2018届高三数学(理科)二轮复习讲义一回扣教材纠错例析4.数列Word版含解析

一、回扣教材，纠错例析
4．数列
[要点回扣]
1．a n 与S n 的关系式
已知前n 项和S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧
S 1，n ＝1S n －S n －1，n ≥2.由S n 求a n 时，易忽略n ＝1的情况．
[对点专练1] 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，则a n ＝________.
[答案] ⎩⎨⎧ 2，n ＝1，2n －1，n ≥2
2．等差数列的有关概念
(1)等差数列的判断方法：定义法a n ＋1－a n ＝d (d 为常数，n ∈N *)或a n ＋1－a n ＝a n －a n －1(n ≥2)．
(2)等差数列的通项：a n ＝a 1＋(n －1)d (n ∈N *)或a n ＝a m ＋(n －m )d .(n ，m ∈N *)
(3)等差数列的前n 项和：S n ＝n (a 1＋a n )2
，S n ＝na 1＋n (n －1)2d . [对点专练2] 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 3＝0.则公差d 等于________．
[答案] －2
3．等差数列的性质
(1)当公差d ≠0时，等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝dn ＋a 1－d 是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 项和S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n 是关于n 的二次函数且常数项为0.
(2)若公差d >0，则为递增等差数列；若公差d <0，则为递减等差数列；若公差d ＝0，则为常数列．
(3)当m ＋n ＝p ＋q 时，则有a m ＋a n ＝a p ＋a q ，特别地，当m ＋n ＝2p 时，则有a m ＋a n ＝2a p .
(4)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列．
[对点专练3] 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝12，S 20＝17，则S 30为( )
A ．15
B ．20
C ．25
D ．30
[答案] A
4．等比数列的有关概念
(1)等比数列的判断方法：定义法a n ＋1a n
＝q (q 为常数，n ∈N *)，其中q ≠0，a n ≠0或a n ＋1a n
＝a n a n －1(n ≥2)．如一个等比数列{a n }共有2n ＋1项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则a n ＋1＝56.
(2)等比数列的通项：a n ＝a 1q n －1或a n ＝a m q n －m .
(3)等比数列的前n 项和：当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q
. (4)等比中项：若a ，A ，b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等
比中项．值得注意的是，不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个，即为±ab.如已知两个数a，b(a≠b)的等差中项为A，等比中项为B，则A与B的大小关系为A>B.
[对点专练4]在等比数列{a
n
}中，若a1＝1，a5＝16，则a3＝________.
[答案] 4
5．等比数列的性质
当m＋n＝p＋q时，则有a m·a n＝a p·a q，特别地，当m＋n＝2p时，则有a m·a n＝a2p.
[对点专练5]各项均为正数的等比数列{a
n
}中，若a5·a6＝9，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝________.
[答案]10
6．数列求和
数列求和时要明确项数、通项，并注意根据通项的特点选取合适的方法．数列求和的方法有公式法、分组求和法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法等．
[对点专练6]数列{a
n }满足a n＋a n＋1＝
1
2(n∈N，n≥1)，若a2＝1，
S n是{a n}的前n项和，则S21的值为________．
[答案]9
2
[易错盘点]
易错点1忽视数列首项致误
【例1】已知数列{a n}对任意n∈N*都满足a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1a n＝8－5n，则数列{a n}的通项公式为________．
[错解] ∵a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n ＝8－5n ，
∴a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －2a n －1＝8－5(n －1)，
两式相减，得2n －1a n ＝－5，
∴a n ＝－52n －1. [错因分析] 当n ＝1时，由题中条件可得a 1＝3，而代入错解中所得的通项公式可得a 1＝－5，显然是错误的．其原因是：两式相减时，所适用的条件是n ≥2，并不包含n ＝1的情况．只有所求的通项公式对n ＝1时也成立，才可以这样写，否则要分开写．
[正解] 当n ≥2时，由于a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n ＝8－5n ， 那么a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n －1＝8－5(n －1)，
两式对应相减可得2n －1a n ＝8－5n －[8－5(n －1)]＝－5，
所以a n ＝－52n －1. 而当n ＝1时，a 1＝3≠－521－1＝－5， 所以数列{a n }的通项公式为
a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3，n ＝1，－52n －1，n ≥2.
本题实质上已知数列{a n }的前n 项和S n ，求通项a n 与S n 的关系中，a n ＝S n －S n －1，成立的条件是n ≥2，求出的a n 中不一定包括a 1，而a 1应由a 1＝S 1求出，然后再检验a 1是否在a n 中，这是一个典型的易错点．
[对点专练1]
(1)数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，2S n －na n ＝n ，若S 20＝－360，则a 2＝________.
(2)已知数列{a n }的前n 项之和为S n ＝n 2＋n ＋1，则数列{a n }的通项公式为________．
[解析] (1)∵2S n －na n ＝n ，①
∴当n ≥2时，2S n －1－(n －1)a n －1＝n －1，②
∴①－②得：(2－n )a n ＋(n －1)a n －1＝1，③
(1－n )a n ＋1＋na n ＝1，④
由③－④得，(2－2n )a n ＝(1－n )(a n －1＋a n ＋1)，
又∵n ≥2，∴1－n ≠0.∴2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)，
∴数列{a n }为等差数列，设其公差为d ，当n ＝1时，2S 1－a 1＝1，∴a 1＝1，
∴S 20＝20＋20×192d ＝－360，∴d ＝－2.
∴a 2＝1－2＝－1.
(2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝3；
当n ≥2时，a n ＝n 2＋n ＋1－(n －1)2－(n －1)－1＝2n ，
∴a n ＝⎩⎨⎧ 3，n ＝1，2n ，n ≥2.
[答案] (1)－1 (2)a n ＝⎩⎨⎧ 3，n ＝1，2n ，n ≥2
易错点2 忽视等比数列公比的条件致误
【例2】 各项均为实数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10＝10，S 30＝70，则S 40等于( )
A ．150
B ．－200
C ．150或－200
D ．400或－50
[错解] 记b 1＝S 10，b 2＝S 20－S 10，b 3＝S 30－S 20，b 4＝S 40－S 30，b 1，b 2，b 3，b 4是公比为r 的等比数列．∴b 1＋b 2＋b 3＝10＋10r ＋10r 2＝S 30
＝70，即r 2＋r －6＝0，得r ＝2或r ＝－3.故S 40＝10(1－r 4)1－r
，代入得S 40＝150或－200.选C.
[错因分析] 数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30的公比q 10>0.忽略了此隐含条件，就产生了增解－200.
[正解] 记b 1＝S 10，b 2＝S 20－S 10，b 3＝S 30－S 20，b 4＝S 40－S 30，b 1，b 2，b 3，b 4是公比为r ＝q 10>0的等比数列．
∴b 1＋b 2＋b 3＝10＋10r ＋10r 2＝S 30＝70，
∴r 2＋r －6＝0，。