【数学】2015-2016年福建省漳州市东山二中高三(上)期中数学试卷与答案(理科)

2015-2016学年福建省漳州市东山二中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知复数（a∈R，i为虚数单位），若z是纯虚数，则实数a等于（）A．B．C．1 D．﹣12．（5分）已知向量=（3，0），=（0，1），若与共线，则实数的λ值为（）A．1 B．﹣1 C．D．3．（5分）等比数列{a n}中，a1+a3=5，a2+a4=10，则a6+a8等于（）A．80 B．96 C．160 D．3204．（5分）设α、β、γ是三个不重合的平面，m、n为两条不同的直线．给出下列命题：①若n∥m，m⊂α，则n∥α；②若α∥β，n⊄β，n∥α，则n∥β；③若β⊥α，γ⊥α，则β∥γ；④若n∥m，n⊥α，m⊥β，则α∥β．其中真命题是（）A．①和②B．①和③C．②和④D．③和④5．（5分）为了得到函数的图象，只需把的图象上所有的点（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度6．（5分）若集合A={x|x2﹣x＜0}，B={x|（x﹣a）（x+1）＜0}，则“a＞1”是“A∩B≠∅”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）已知△ABC中，已知∠A=45°，AB=，BC=2，则∠C=（）A．30°B．60°C．120° D．30°或150°8．（5分）若函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）在一个周期内的图象如图所示，M、N分别是这段图象的最高点和最低点，且•=0，则A•ω=（）A．B．C．D．9．（5分）如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援，则cosθ=（）A．B．C．D．10．（5分）若函数f（x）=x3﹣3x在（a，6﹣a2）上有最小值，则实数a的取值范围是（）A．（﹣，1） B．[﹣，1） C．[﹣2，1）D．（﹣2，1）11．（5分）设，若对于任意x1∈[0，1]，总存在x0∈[0，1]，使得g（x0）=f（x1）成立，则a的取值范围是（）A． B．[4，+∞）C． D．12．（5分）△ABC中，BC=2，A=45°，B为锐角，点O是△ABC外接圆的圆心，则•的取值范围是（）A．（﹣2，2] B．（﹣2，2] C．[﹣2，2]D．（﹣2，2）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）若（a﹣i）2为纯虚数（i为虚数单位），则实数a=．14．（5分）已知，则cos2x=．15．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是等边三角形，俯视图是半圆．现有一只蚂蚁从点A出发沿该几何体的侧面环绕一周回到A点，则蚂蚁所经过路程的最小值为．16．（5分）已知平面向量、、满足⊥，且||，||，||}={1，2，3}，则|++|的最大值是．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知和是函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的相邻的两个零点．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）在△ABC中，若sinBsinCcosA=sin2A，求函数f（A）的值域．18．（6分）等差数列{a n}的公差为﹣2，且a1，a3，a4成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{b n}的前n项和S n．19．（6分）向量=（sinx，cosx），=（sinx，sinx），=（﹣1，0）．（Ⅰ）若x=，求向量、的夹角；（Ⅱ）若x∈，函数的最大值为，求λ的值．20．（12分）如图，PA，QC都与正方形ABCD所在平面垂直，AB=PA=2QC=2，AC ∩BD=O（Ⅰ）求证：OP⊥平面QBD；（Ⅱ）求二面角P﹣BQ﹣D平面角的余弦值；（Ⅲ）过点C与平面PBQ平行的平面交PD于点E，求的值．21．（12分）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）将y=f（x）的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）（x＞0）的图象．若的图象与直线交点的横坐标由小到大依次是x1，x2，…，x n，求数列{x n}的前2n项的和．22．（12分）如果f（x0）是函数f（x）的一个极值，称点（x0，f（x0））是函数f（x）的一个极值点．已知函数f（x）=（ax﹣b）（x≠0且a≠0）（1）若函数f（x）总存在有两个极值点A，B，求a，b所满足的关系；（2）若函数f（x）有两个极值点A，B，且存在a∈R，求A，B在不等式|x|＜1表示的区域内时实数b的范围．（3）若函数f（x）恰有一个驻点A，且存在a∈R，使A在不等式表示的区域内，证明：0≤b＜1．请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．选修4-1：几何证明选讲23．（10分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．（Ⅰ）证明：∠D=∠E；（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．选修4-4：坐标系与参数方程24．在直角坐标系xOy中，直线C1：x=﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ=（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．选修4-5：不等式选讲25．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|①当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；②f（x）≤|x﹣4|若的解集包含[1，2]，求a的取值范围．2015-2016学年福建省漳州市东山二中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知复数（a∈R，i为虚数单位），若z是纯虚数，则实数a等于（）A．B．C．1 D．﹣1【解答】解：∵复数==是纯虚数，∴a﹣1=0，a=1，故选：C．2．（5分）已知向量=（3，0），=（0，1），若与共线，则实数的λ值为（）A．1 B．﹣1 C．D．【解答】解：由题得：=（3，﹣λ），2=（6，1）∵与共线，∴3+6λ=0，解得：λ=﹣．故选：D．3．（5分）等比数列{a n}中，a1+a3=5，a2+a4=10，则a6+a8等于（）A．80 B．96 C．160 D．320【解答】解：由a1+a3=5，a2+a4=10，得到a2+a4=q（a1+a3）=10，即5q=10，∴公比q=2，则a6+a8=q5（a1+a3）=25×5=160．故选：C．4．（5分）设α、β、γ是三个不重合的平面，m、n为两条不同的直线．给出下列命题：①若n∥m，m⊂α，则n∥α；②若α∥β，n⊄β，n∥α，则n∥β；③若β⊥α，γ⊥α，则β∥γ；④若n∥m，n⊥α，m⊥β，则α∥β．其中真命题是（）A．①和②B．①和③C．②和④D．③和④【解答】解：对四个命题逐个加以判断：对于①，直线与平面平行的前提是平面外一条直线与平面内一条直线互相平行，而n∥m，m⊂α，直线n可以在平面内α，故①错误；对于②若α∥β，n⊄β，n∥α，说明在β内可以找到一条直线l与n平行，根据直线与平面平行的判定定理可得n∥β成立，故②正确；对于③可以翻译为：垂直于同一平面的两个平面平行，在正方体中可心找出③的反例，说明③错误；对于④，由n∥m，n⊥α，可得m⊥α，再结合m⊥β，得平面α与β和同一条直线平行由线面垂直的性质与判定定理可以得到α∥β，故④正确．故选：C．5．（5分）为了得到函数的图象，只需把的图象上所有的点（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【解答】解：把的图象上所有的点向左平移个单位长度，可得函数y=sin（x+﹣）=sin（x+）的图象，故选：A．6．（5分）若集合A={x|x2﹣x＜0}，B={x|（x﹣a）（x+1）＜0}，则“a＞1”是“A∩B≠∅”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由题意A={x|x2﹣x＜0}={x|0＜x＜1}，当a＞1时，B={x|（x﹣a）（x+1）＜0}={x|﹣1＜x＜a}，此时有A⊊B，故有“A∩B ≠∅”成立，即“a＞1”是“A∩B≠∅”的充分条件；当“A∩B≠∅”成立时若a=，此时满足A∩B≠∅，由此知“A∩B≠∅”得不出“a＞1”综上，“a＞1”是“A∩B≠∅”的充分而必要条件故选：A．7．（5分）已知△ABC中，已知∠A=45°，AB=，BC=2，则∠C=（）A．30°B．60°C．120° D．30°或150°【解答】解：由正弦定理得：=，又∠A=45°，AB=，BC=2，所以sinC==，又AB=＜BC=2，得到：0＜C＜A=45°，则∠C=30°．故选：A．8．（5分）若函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）在一个周期内的图象如图所示，M、N分别是这段图象的最高点和最低点，且•=0，则A•ω=（）A．B．C．D．【解答】解：由图得，T=4×=π，则ϖ=2，设M（，A），则N（，﹣A），∵，A＞0，∴×﹣A×A=0，解得A=，∴A•ω=．故选：C．9．（5分）如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援，则cosθ=（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示，在△ABC中，AB=40，AC=20，∠BAC=120°，由余弦定理得BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cos120°=2800，所以BC=20．由正弦定理得sin∠ACB=•sin∠BAC=．由∠BAC=120°知∠ACB为锐角，故cos∠ACB=．故cosθ=cos（∠ACB+30°）=cos∠ACBcos30°﹣sin∠ACBsin30°=．故选：B．10．（5分）若函数f（x）=x3﹣3x在（a，6﹣a2）上有最小值，则实数a的取值范围是（）A．（﹣，1） B．[﹣，1） C．[﹣2，1）D．（﹣2，1）【解答】解：由题意可得：函数f（x）=x3﹣3x，所以f′（x）=3x2﹣3．令f′（x）=3x2﹣3=0可得，x=±1；因为函数f（x）在区间（a，6﹣a2）上有最小值，其最小值为f（1），所以函数f（x）在区间（a，6﹣a2）内先减再增，即f′（x）先小于0然后再大于0，所以结合二次函数的性质可得：a＜1＜6﹣a2，且f（a）=a3﹣3a≥f（1）=﹣2，且6﹣a2﹣a＞0，联立解得：﹣2≤a＜1．故选：C．11．（5分）设，若对于任意x1∈[0，1]，总存在x0∈[0，1]，使得g（x0）=f（x1）成立，则a的取值范围是（）A． B．[4，+∞）C． D．【解答】解：因为f（x）=，当x=0时，f（x）=0，当x≠0时，f（x）==，由0＜x≤1，∴0＜f（x）≤1．故0≤f（x）≤1又因为g（x）=ax+5﹣2a（a＞0），且g（0）=5﹣2a，g（1）=5﹣a．故5﹣2a≤g（x）≤5﹣a．所以须满足⇒≤a≤4．故选：A．12．（5分）△ABC中，BC=2，A=45°，B为锐角，点O是△ABC外接圆的圆心，则•的取值范围是（）A．（﹣2，2] B．（﹣2，2] C．[﹣2，2]D．（﹣2，2）【解答】解：如图所示：|BC|=2，∠BOC=90°，∠CAB=45°，由于∠B为锐角，则：点A只能在左半圆上，故设：A（）（）B（），C（0，）所以：，=2由于所以：﹣则：﹣2＜≤2故选：A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）若（a﹣i）2为纯虚数（i为虚数单位），则实数a=±1．【解答】解：∵（a﹣i）2 =a2﹣1﹣2ai 为纯虚数，∴a2﹣1=0 且2a≠0，求得a=±1，故答案为：±1．14．（5分）已知，则cos2x=﹣．【解答】解：∵，可得：cosx=，∴cos2x=2cos2x﹣1=2×﹣1=﹣．故答案为：﹣．15．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是等边三角形，俯视图是半圆．现有一只蚂蚁从点A出发沿该几何体的侧面环绕一周回到A点，则蚂蚁所经过路程的最小值为+．【解答】解：由题目所给三视图可得，该几何体为圆锥的一半，侧面展开图的半径为2，弧长为π，∴圆心角为，∵一只蚂蚁从点A出发沿该几何体的侧面环绕一周回到A点，∴蚂蚁所经过路程的最小值为=+．故答案为：+．16．（5分）已知平面向量、、满足⊥，且||，||，||}={1，2，3}，则|++|的最大值是3+．【解答】解：分别以所在的直线为x，y轴建立直角坐标系，①当{||，||}={1，2}，||=3，则，设，则x2+y2=9，∴++=（1+x，2+y），∴||=的最大值，其几何意义是圆x2+y2=9上点（x，y）与定点（﹣1，﹣2）的距离的最大值为=3+；②且{||，||}={1，3}，||=2，则，x2+y2=4，∴++=（1+x，3+y）∴||=的最大值，其几何意义是圆x2+y2=4上点（x，y）与定点（﹣1，﹣3）的距离的最大值为2+=2+，③{||，||}={2，3}，||=1，则，设，则x2+y2=1∴++=（2+x，3+y）∴||=的最大值，其几何意义是在圆x2+y2=1上取点（x，y）与定点（﹣2，﹣3）的距离的最大值为1+=1+∵，故|++|的最大值为3+．故答案为：3+三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知和是函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的相邻的两个零点．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）在△ABC中，若sinBsinCcosA=sin2A，求函数f（A）的值域．【解答】解：（Ⅰ）由题意得函数f（x）的周期T=2[﹣（﹣）]=π，∴ω==2，∴f（x）=sin（2x+φ），代入点（﹣，0）可得0=sin（﹣+φ），∴﹣+φ=kπ，∴φ=kπ+，k∈Z又0＜φ＜π，∴φ=，∴f（x）=sin（2x+）=cos2x；（II）∵在△ABC中，若sinBsinCcosA=sin2A，∴由正弦定理可得bccosA=a2，再由余弦定理可得bc•=a2，整理可得b2+c2=3a2，∴cosA===•≥•=，∴≤cosA＜1，∴f（A）=cos2A=2cos2A﹣1∈[﹣，1），故f（A）的值域为∈[﹣，1）18．（6分）等差数列{a n}的公差为﹣2，且a1，a3，a4成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{b n}的前n项和S n．【解答】（Ⅰ）解：由已知得a3=a1﹣4，a4=a1﹣6，…（2分）又a1，a3，a4成等比数列，所以，…（4分）解得a1=8，…（5分）所以a n=10﹣2n．…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，…（8分）所以S n==．…（12分）19．（6分）向量=（sinx，cosx），=（sinx，sinx），=（﹣1，0）．（Ⅰ）若x=，求向量、的夹角；（Ⅱ）若x∈，函数的最大值为，求λ的值．【解答】解：（Ⅰ）时，；∴；∴；即向量的夹角为；（Ⅱ）=；∴；∵；∴；①若λ＜0，则时，f（x）取最大值；∴；②若λ＞0，则时，f（x）取最大值；∴．20．（12分）如图，PA，QC都与正方形ABCD所在平面垂直，AB=PA=2QC=2，AC ∩BD=O（Ⅰ）求证：OP⊥平面QBD；（Ⅱ）求二面角P﹣BQ﹣D平面角的余弦值；（Ⅲ）过点C与平面PBQ平行的平面交PD于点E，求的值．【解答】（Ⅰ）证明：连接OQ，由题知PA∥QC，∴P、A、Q、C四点共面，易知BD⊥AC，BD⊥PA，又PA∩AC=A，∴BD⊥平面PACQ，得BD⊥OP．由题中数据得PA=2，AO=OC=，QC=1，∴，△PAO∽△OCQ，∴∠POA=∠OQC，又∵∠POA+∠OPA=90°，∴∠POA+∠COQ=90°，∴OP⊥OQ．（或计算OQ=，OP=，PQ=3，由勾股定理得出∠POQ=90°，即OP⊥OQ）∵BD∩OQ=O，∴OP⊥平面QBD．（Ⅱ）解：如图右图所示，以A为原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，由题意，得A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），Q（2，2，1），O（1，1，0），∴，，=（0，2，1），设平面PBQ的法向量为，∴，得，不妨取y=﹣1，得，由（Ⅰ）知，是平面BDQ的一个法向量，于是cos=，由图知，二面角P﹣BQ﹣D为锐二面角，∴二面角P﹣BQ﹣D的平面角的余弦值为．（Ⅲ）解：设，∴=（0，2，﹣2），，从而，∵CE∥平面PBQ，∴与平面PBQ的法向量垂直，则，得，即．另解：在平面PAD中，分别过点D、P作直线PA、AD的平行线相交于点M，连结MC交直线DQ与点N，在平面PQD中过点N作直线NE∥PQ交PQ于点E，如右图所示．由题可知CN∥PB，NE∥PQ，CN∩NE=N，∴平面CNE∥平面PBQ，∴CE∥平面PBQ．显然，△QCN∽△DMN，由CQ=1，MD=PA=2，∴，即．21．（12分）已知函数．（Ⅰ）求f （x ）的单调递增区间； （Ⅱ）将y=f （x ）的图象向左平移个单位，得到函数y=g （x ）（x ＞0）的图象．若的图象与直线交点的横坐标由小到大依次是x 1，x 2，…，x n ，求数列{x n }的前2n 项的和． 【解答】解：（Ⅰ）=sinx ﹣=sinx ﹣cosx=sin （x ﹣）．由2kπ≤x ﹣≤2kπ+，得2kπ﹣≤x ≤2kπ+ （k ∈Z ）所以f （x ）的单调递增区间是[2kπ﹣，2kπ+]（k ∈Z ）（Ⅱ）函数f （x ）=sin （x ﹣）的图象向左平移个单位后，得到函数y=sinx的图象，即g（x）=sinx，若函数g（x）=sinx（x＞0）的图象与直线y=交点的横坐标由小到大依次是x1，x2，…，x n，则由正弦曲线的对称性，周期性得：=，=2π+，…，=2（n﹣1）π+，所以x1+x2+ (x2)+x2n﹣1=（x1+x2）+（x3+x4）+…+（x2n﹣1+x2n）=π+5π+9π+…+（4n﹣3）π=[n×1+4]•π=（2n2﹣n）π22．（12分）如果f（x0）是函数f（x）的一个极值，称点（x0，f（x0））是函数f（x）的一个极值点．已知函数f（x）=（ax﹣b）（x≠0且a≠0）（1）若函数f（x）总存在有两个极值点A，B，求a，b所满足的关系；（2）若函数f（x）有两个极值点A，B，且存在a∈R，求A，B在不等式|x|＜1表示的区域内时实数b的范围．（3）若函数f（x）恰有一个驻点A，且存在a∈R，使A在不等式表示的区域内，证明：0≤b＜1．【解答】解：（1）令f'（x）=0得x2﹣ax+b=0∵函数f（x）总存在有两个极值点∴x2﹣ax+b=0由2个不同的实数根∴a2﹣4b＞0又∵a≠0且x≠0∴（3分）（2）x2﹣ax+b=0在（﹣1，1）有两个不相等的实根．即得∴﹣1＜b＜1且b≠0（7分）（3）由①f'（x）=0⇒x2﹣ax+b=0（x≠0）①当在x=a左右两边异号∴（a，f（a））是y=f（x）的唯一的一个极值点由题意知即即0＜a2＜1存在这样的a的满足题意∴b=0符合题意（9分）②当b≠0时，f′（x）=△=a2﹣4b=0即4b=a2这里函数y=f（x）唯一的一个驻点为由题意即即∴0＜b＜1（13分）综上知：满足题意b的范围为b∈[0，1）．（14分）请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．选修4-1：几何证明选讲23．（10分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．（Ⅰ）证明：∠D=∠E；（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠D=∠CBE，∵CB=CE，∴∠E=∠CBE，∴∠D=∠E；（Ⅱ）设BC的中点为N，连接MN，则由MB=MC知MN⊥BC，∴O在直线MN上，∵AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，∴OM⊥AD，∴AD∥BC，∴∠A=∠CBE，∵∠CBE=∠E，∴∠A=∠E，由（Ⅰ）知，∠D=∠E，∴△ADE为等边三角形．选修4-4：坐标系与参数方程24．在直角坐标系xOy中，直线C1：x=﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ=（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．【解答】解：（Ⅰ）由于x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴C1：x=﹣2 的极坐标方程为ρcosθ=﹣2，故C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1的极坐标方程为：（ρcosθ﹣1）2+（ρsinθ﹣2）2=1，化简可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0．（Ⅱ）把直线C3的极坐标方程θ=（ρ∈R）代入圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0，求得ρ1=2，ρ2=，∴|MN|=|ρ1﹣ρ2|=，由于圆C2的半径为1，∴C2M⊥C2N，△C2MN的面积为•C2M•C2N=•1•1=．选修4-5：不等式选讲25．已知函数f （x ）=|x +a |+|x ﹣2|①当a=﹣3时，求不等式f （x ）≥3的解集；②f （x ）≤|x ﹣4|若的解集包含[1，2]，求a 的取值范围．【解答】解：（1）当a=﹣3时，f （x ）≥3 即|x ﹣3|+|x ﹣2|≥3，即，可得x ≤1；，可得x ∈∅；，可得x ≥4．取并集可得不等式的解集为 {x |x ≤1或x ≥4}．（2）原命题即f （x ）≤|x ﹣4|在[1，2]上恒成立，等价于|x +a |+2﹣x ≤4﹣x 在[1，2]上恒成立，等价于|x +a |≤2，等价于﹣2≤x +a ≤2，﹣2﹣x ≤a ≤2﹣x 在[1，2]上恒成立． 故当 1≤x ≤2时，﹣2﹣x 的最大值为﹣2﹣1=﹣3，2﹣x 的最小值为0， 故a 的取值范围为[﹣3，0]．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=0)(>k f k x y1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f②x 1≤x 2＜k ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=k 0)(>k f xy1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0)(<k f xy1x 2x 0>a O∙kx y1x 2x O∙k<a 0)(>k f④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2<k fxy1x 2x O∙<a 1k∙2k 0)(1>k f 0)(2<k f⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p = x>O-=f(p) f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2b f a-x(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x>O -=f(p) f(q)()2b f a-0x x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。