新疆乌鲁木齐地区2014年高三第二次诊断性测验数学(理)答案
2014年新疆乌鲁木齐市高考数学二模试卷(理科)
2014年新疆乌鲁木齐市高考数学二模试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.巳知集合A={x |x 2＜1}，B=[0，1]，则A ∩B=（ ） A.（0，1） B.〔0，1] C.[0，1） D.[0，1] 【答案】 C【解析】解：由A 中的不等式变形得：（x +1）（x -1）＜0得：-1＜x ＜1， ∴A=（-1，1）， ∵B=[0，1]， ∴A ∩B=[0，1）． 故选：C ．求出A 中不等式的解集确定出A ，找出A 与B 的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2.已知复数z 1=a +bi 与z 2=c +di （a ，b ，c ，d ∈R ，z 2≠0），则z 1z 2∈R 的充要条件是（ ）A.ad +bc =0B.ac +bd ．=0C.ac -bd =0D.ad -bc =0 【答案】 D【解析】解：∵z 1z 2=a+bi c+di =(a+bi)(c−di)(c+di)(c−di)=ac+bd+(bc−ad)ic 2+d 2，∴则z 1z 2∈R 的充要条件ad -bc =0．故选：D ．根据复数的基本运算和充分条件和必要条件的定义即可得到结论．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用复数的有关概念是解决本题的关键，比较基础．3.已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列，若a 2=2，2a 3+a 4=16，则a 5=（ ） A.4 B.8 C.16 D.32 【答案】 C【解析】解：∵数列{a n }是各项均为正数的等比数列， a 2=2，2a 3+a 4=16， ∴{a 1q =22a 1q 2+a 1q 3=16， 解得{a 1=1q =2，或{a 1=−12q =−4（舍），故选：C．由已知条件利用等比数列的通项公式，列出方程组求出首项和公比，由此能求出结果．本题考查等比数列的第五项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的通项公式的合理运用．4.已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）A.2 3cm3B.43cm3 C.13cm3 D.83cm3【答案】B【解析】解：由三视图可知，几何体为底面为底为2，高为2的三角形的三棱锥，且一面垂直于底面，V=13×12×2×2×2=43，故选B．由三视图可知，几何体为底面为等腰三角形的三棱锥，且一面垂直于底面，再求解即可．本题考查学生的空间想象能力，是基础题．5.已知函数y=f（2x）+x是偶函数，且f（2）=1，则f（-2）=（）A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】解：∵y=f（2x）+x是偶函数，∴f（-2x）-x=f（2x）+x，∴f（-2x）=f（2x）+2x，令x=1，则f（-2）=f（2）+2=3．故选：B根据函数是偶函数，结合函数，令x=1，即可得到结论．本题主要考查函数值的计算，利用函数的奇偶性的性质得到方程关系是解决本题的关键，注意要学会转化．6.阅读如图所示的程序框图，如果输入的n的值为6，那么运行相应程序，输出的n的值为（）A.3B.5C.10D.16【答案】B【解析】=3，i=1，满足继续进行循环的条解：进入循环前n=6．i=0，此时n为偶数，故n=n2件；当n=3．i=1，此时n为奇数，故n=3n+1=10，i=2，满足继续进行循环的条件；=5，i=3，不满足继续进行循环的条件；n=10．i=2，此时n为偶数，故n=n2故输出的n值为5故选：B分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出满足条件的i值，模拟程序的过程可得答案．本题考查的知识点是程序框图，其中程序的运行次数不多时，多采用模拟程序运行过程的方法进行解答7.若向量a⃗、b⃗ 、c⃗两两所成的角相等，且|a⃗ |=1，|b⃗ |=1，|c⃗ |=3，则|a⃗ +b⃗ +c⃗ |等于（）A.2B.5C.2或5D.√2或√5【答案】C【解析】解：由向量a⃗、b⃗ 、c⃗两两所成的角相等，设向量所成的角为α，由题意可知α=0°或α=120°则(|a⃗+b⃗ +c⃗|)2=|a⃗|2+|b⃗ |2+|c⃗|2+2（a⃗⋅b⃗ +a⃗⋅c⃗ +b⃗ ⋅c⃗）=11+2（|a⃗ |•|b⃗ |cosα+|a⃗ |•|c⃗ |cosα+|b⃗ |•|c⃗ |cosα）=11+14cosα所以当α=0°时，原式=5；当α=120°时，原式=2．故选C设向量所成的角为α，则先求出(|a⃗+b⃗ +c⃗|)2的值即可求出，考查学生会计算平面向量的数量积，灵活运用a⃗⋅b⃗ =|a⃗ |•|b⃗ |cosα的公式．8.已知⊙A 1：（x +2）2+y 2=12和点A 2（2，0），则过点A 2且与⊙A 1相切的动圆圆心P 的轨迹方程为（ ）A.x 23-y 2=1 B.x 23+y 2=1 C.x 2-y 2=2 D.x 212+y 28=1【答案】 A【解析】解：根据题意有||PA 1|-|PA 2||=2√3＜|A 1A 2|=4， ∴点P 的轨迹是以A 1（-2，0），A 2（2，0）为焦点，实轴长为2a =2√3的双曲线， ∴b =√c 2−a 2=1，∴点P 的轨迹方程为x 23-y 2=1．故选：A ．根据动圆圆心P 过点A 2且与⊙A 1相切可得到动圆圆心在运动中所应满足的几何条件，然后将这个几何条件坐标化，即得到它的轨迹方程．本题考查圆的基本知识和轨迹方程的求法，解题时要注意公式的灵活运用．9.将函数f （x ）=sin （2x +θ）（−π2＜θ＜π2）的图象向右平移φ（φ＞1）个单位长度后得到函数g （x ）的图象，若f （x ），g （x ）的图象都经过点P （0，√32），则φ的值可以是（ ） A.5π3 B.5π6 C.π2 D.π6 【答案】 B【解析】解：函数f(x)=sin(2x +θ)(−π2＜θ＜π2)向右平移φ个单位，得到g （x ）=sin （2x +θ-2φ），因为两个函数都经过P （0，√32），所以sinθ=√32(−π2＜θ＜π2)，θ=π3，所以g （x ）=sin （2x +π3-2φ），sin （π3-2φ）=√32，φ＞1，所以π3-2φ=2k π+π3，φ=-k π，与选项不符舍去，π3-2φ=2k π+2π3，k ∈Z ，当k =-1时，φ=5π6． 故选B ．求出平移后的函数解析式，利用两个函数都经过P （0，√32），解出θ，然后求出φ即可．本题考查函数图象的平移，函数值的求法，考查分析问题解决问题的能力与计算能力．10.设a =log 0.10.2，b =log 0.20.4，c =log 0.30.6，则（ ） A.a ＞b ＞c B.a ＞c ＞b C.b ＞c ＞a D.c ＞b ＞a 【答案】【解析】解：∵log n 2n =1+1log 2n ，当0＜n 1 ＜n 2＜1时，有log 2n 1＜log 2n 2＜0， ∴0＞1log2n 1＞1log2n 2，∴当0＜n ＜1时，n 越大，log n 2n 的值越小， ∵a =log 0.10.2，b =log 0.20.4，c =log 0.30.6， 0.1＜0.2＜0.3， ∴a ＞b ＞c ． 故选：A ．利用对数的性质推导出当0＜n ＜1时，n 越大，log n 2n 的值越小，由此能比较a =log 0.10.2，b =log 0.20.4，c =log 0.30.6的大小．本题考查对数值大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意对数运算性质的合理运用．11.从0到9这10个数字中，任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个三位数能被3整除的概率是（ ） A.4160 B.1927 C.3554 D.1954【答案】 D【解析】解：0到9这10个数字中，任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数， 所有的三位数的个数为A 103-A 92=648个．将10个数字分成三组，即被3除余1的有{1，4，7}、被3除余2的有{2，5，8}，被3整除的有{3，6，9，0}．若要求所得的三位数被3整除，则可以分类讨论：①三个数字均取第一组，或均取第二组，有2A 33=12个；②若三个数字均取自第三组，则要考虑取出的数字中有无数字0，共有A 43-A 32=18个；③若三组各取一个数字，第三组中不取0，有C 31•C 31•C 31•A 33=162个，④若三组各取一个数字，第三组中取0，有C 31•C 31•2•A 22=36个，这样能被3整除的数共有228个．故这个三位数能被3整除的概率是228648=1954，故选D ．由题意可得所有的三位数有A 103-A 92=648个，然后根据题意将10个数字分成三组：即被3除余1的有1，4，7；被3除余2的有2，5，8；被3整除的有3，6，9，0，若要求所得的三位数被3整除，则可以分类讨论：每组自己全排列，每组各选一个，再利用排列与组合的知识求出个数，进而求出答案．本题考查排列、组合及简单计数问题，以及等可能事件的概率公式，也考查分类讨论思想与正难则反的解题思想．古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本题可以借助于组合数列举出所有事件，概率问题同其他的知识点结合在一起，实际上是以概率问题为载体，主要考查的是被三整除的数字特点，属于中档题．12.若直线ax +by +c =0与抛物线y 2=2x 交于P ，Q 两点，F 为抛物线的焦点，直线PF ，QF 分别交抛物线于点M ，N ，则直线MN 的方程为（ ） A.4cx -2by +a =0 B.ax -2by +4c =0 C.4cx +2by +a =0 D.ax +2by +4c =0 【答案】 A【解析】解：设P （x 1，y 1），M （x 2，y 2），N （x 3，y 3）， 由PM 过焦点F ，得y 1y 2=-1，x 1x 2=14，则有P （14x 2，-1y 2），同理Q （14x 3，-1y 3），将P 点代入直线方程ax +by +c =0，有a •14x 2+b （-1y 2）+c =0，两边乘以4x 2，得a -4bx 2y 2+4x 2c =0，又y 22=2x 2，∴y 2=2x 2y 2，∴a -2by 2+4cx 2=0，同理a -2by 3+4cx 3=0故所求直线为a -2by +4cx =0． 故选：A ． 设P （x 1，y 1），M （x 2，y 2），N （x 3，y 3），确定P ，Q 的坐标，代入直线方程ax +by +c =0，即可求出直线MN 的方程．本题考查抛物线的性质，考查点与直线的位置关系，考查学生的计算能力，确定P ，Q 的坐标是关键．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4=11，S 12=9，则S 20= ______ ． 【答案】 -25【解析】解：∵等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4=11，S 12=9， ∴{4a 1+6d =1112a 1+66d =9，解得a 1=72，d =-12， ∴S 20=20a 1+190d =-25． 故答案为：-25．由已知条件利用等差数列的前n 项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出S 20．本题考查等差数列的前20项和的求法，是基础题，解题时要熟练掌握等差数列的前n 项和公式的合理运用．14.如图，矩形OABC 内的阴影部分由曲线f （x ）=sinx 及直线x =a （a ∈（0，2π）与x 轴围成．向矩形OABC 内随机掷一点，该点落在阴影部分的概率为12，则a = ______ ．【答案】 π【解析】解：根据题意，阴影部分的面积为∫s a0inxdx=−(cosx)|0a =1-cosa ， 矩形的面积为a ⋅4a =4， 则由几何概型的概率公式可得1−cosa 4=12，即cosa =-1， 又a ∈（0，2π）， ∴a =π， 故答案为：π根据几何概型的概率公式，以及利用积分求出阴影部分的面积即可得到结论．本题主要考查几何概型的概率的计算，根据积分的几何意义求出阴影部分的面积是解决本题的关键．15.直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA 1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于 ______ ． 【答案】 20π 【解析】解：在△ABC 中AB=AC=2，∠BAC=120°， 可得BC =2√3由正弦定理，可得△ABC 外接圆半径r =2， 设此圆圆心为O'，球心为O ，在RT △OBO'中， 易得球半径R =√5，故此球的表面积为4πR 2=20π 故答案为：20π通过正弦定理求出底面外接圆的半径，设此圆圆心为O'，球心为O ，在RT △OBO'中，求出球的半径，然后求出球的表面积．本题是基础题，解题思路是：先求底面外接圆的半径，转化为直角三角形，求出球的半径，这是三棱柱外接球的常用方法；本题考查空间想象能力，计算能力．16.已知直线x +y +1=0与曲线C ：y =x 3-3px 2相交于点A ，B ，且曲线C 在A ，B 处的切线平行，则实数p 的值为 ______ ． 【答案】 1【解析】解：由y =x 3-3px 2，得y ′=3x 2-6px ， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），∵曲线C在A，B处的切线平行，∴3x12−6px1=3x22−6px2，令3x12−6px1=3x22−6px2=m，∴x1，x2是方程3x2-6px-m=0的两个根，则x1+x2=2p，下面证线段AB的中点在曲线C上，∵x13−3px12+x23−3px222=(x1+x2)[(x1+x2)2−3x1x2]−3p[(x1+x2)2−2x1x2]2=8p3−12p32=−2p3，而(x1+x22)3−3p(x1+x22)2=(2p2)3−3p(2p2)2=-2p3，∴线段AB的中点在曲线C上，由x1+x2=2p，知线段的中点为（p，-p-1），∴-p-1=p3-3p•p2=-2p3，解得p=1．故答案为：1．求出原函数的导函数，设出A，B点的坐标，得到函数在A，B点处的导数值，由A，B点处的导数值相等得到3x12−6px1=3x22−6px2=m，把x1，x2看作方程3x2-6px-m=0的两个根，利用根与系数关系得到x1+x2=2p，进一步得到AB的中点坐标，然后再证明AB的中点在曲线C上，最后由AB中点的纵坐标相等求得实数p的值．本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，求解该题的主线是利用AB中点的坐标相等，关键是证明AB的中点在曲线C上，是中档题．三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)17.如图，已知OPQ是半径为√3，圆心角为π3的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形，记∠COP=x，矩形ABCD的面积为f（x）．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式，并写出其定义域；（Ⅱ）求函数y=f（x）+f（x+π4）的最大值及相应的x值．【答案】解：（1）在R t△OBC中，OB=OC•cosx=√3cosx，BC=OC•sinx=√3sinx，在R t△OAD中，DAOA=tan60°=√3，∴OA=√33BC=sinx，∵AB=OB-OA=√3cosx-sinx，∴f（x）=S=AB•BC=（√3cosx-sinx）•√3sinx=3sinx•cosx-√3sin2x=32sin 2x -√32（1-cos 2x ）=√3sin （2x +π6）-√32，x ∈（0，π3）…（6分）（Ⅱ）由x ∈（0，π3），x +π4∈（0，π3），得x ∈（0，π12）而y =f （x ）+f （x +π4）=√3sin （2x +π6）-√32+√3sin [2（x +π4）+π6]-√32=√3[sin （2x +π6）+cos （2x +π6）]-√3 =√6sin （2x +5π12）-√3， 由2x +5π12∈（5π12，7π12），故当2x +5π12=π2，即x =π24时，y 取最大值√6-√3…（12分）【解析】（1）先把矩形的各个边长用角x 表示出来，进而表示出矩形的面积；（2）先将函数y =f （x ）+f （x +π4）的解析式化为正弦型函数，进而根据正弦型函数的图象和性质得到答案．本题考查在实际问题中建立三角函数模型，解题关键是根据图形建立起三角模型，将三角模型用所学的恒等式变换公式进行化简，属于中档题．18.如图在四棱锥P 一ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，∠BAD=90°．BC=2AD ，AC 与BD 交于点O ，点M ，N 分别在线PC 、AB 上，CMMP =BN NA =2．（Ⅰ）求证：平面MNO ∥平面PAD ；（Ⅱ）若平面PA ⊥平面ABCD ，∠PDA=60°，且PD=DC=BC=2，求二面角B-AM-C 的余弦值．【答案】证明（Ⅰ）在梯形ABCD 中，∵AD ∥BC ， ∴OC ：OA=BC ：AD=2， 又BN=2NA ， ∴NO ∥BC ∥AD在△PAD 中，∵OC ：OA=BC ：AD=2，CM=2MP ， ∴OM ∥AP∴OM ∥平面PAD ，∵NO ∥AD ，且ON ∩OM=0，ON⊂平面MNO ，OM⊂平面MNO ， ∴平面MNO ∥平面（Ⅱ）在△PAD 中，PA 2=PD 2+AD 2-2PD •AD cos ∠PDA=3∴PA 2+AD 2=PD 2，即PA ⊥AD ，又平面PDA ⊥平面ABCD ∴PA ⊥平面ABCD ，而∠BAD=90°故，如图，以点A 为坐标原点，分别以AD ，AB ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，在梯形ABCD 中，CD=BC=2AD=2，∠BAD=90°， ∴AB=√3，则有A （0，0，0），B （0，√3，0），C （2，√3，0），D （1，0，0），P （0，0，√3）， 由PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =（23，√33，2√33）， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，√3，0），AC⃗⃗⃗⃗⃗ =（2，√3，0）， 设平面ABM 的法向量为M 1=（a ，b ，c ），由{m 1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m 1⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得{√3b =02a +√3b +2√3c =0，令c =-√3，解得b =0，a =3， ∴m 1=（3，0，-√3）同理，可得平面ACM 的法向量为m 2=（3，-2√3，0） 设二面角B-AM-C 的平面角为θ，易知0＜θ＜π2， ∴cos θ=|m 1m 2||m1|⋅|m 2|=3√714．【解析】（Ⅰ）在梯形ABCD 中，由已知AD ∥BC ，推断出OC ：OA=BC ：AD=2，进而可知NO ∥BC ∥AD ，在△PAD 中，根据OC ：OA=BC ：AD=2，CM=2MP ，推断出OM ∥AP 进而可证明平面MNO ∥平面PAD ．（Ⅱ）先由余弦定理求得PA ，推断出PA 2+AD 2=PD 2，可知PA ⊥AD ，又利用平面PDA ⊥平面ABCD 推断出PA ⊥平面ABCD ，进而建立如图，以点A 为坐标原点，分别以AD ，AB ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，求得AB ，则有A ，B ，C ，D ，P 的坐标可知，由PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求得得AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，设平面ABM 的法向量为M 1=（a ，b ，c ），由{m 1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m 1⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得{√3b =02a +√3b +2√3c =0，令c =-√3，解得a 和b ，得到m 1，同理可求得平面ACM 的法向量为m 2设二面角B-AM-C 的平面角为θ，利用平面向量的数量积的运算求得cos θ．本题主要考查了面面平行的判定，线面垂直的性质，空间向量的相关知识．考查了学生分析推理和运算的能力．19.袋中装有7个红球和8个黑球，一次取4个球． （Ⅰ）求取出的4个球同色的概率；（Ⅱ）设取出黑球的个数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望．【答案】解：（Ⅰ）若取出的4个球都是红色，共有C 74=35种情形，若取出的4个球都是黑色，共有C 84=70种情形， 故取出的4个球同色的概率为C 74+C 84C 154=113．…（6分）（Ⅱ）依题意知ξ=0，1，2，3，4，P （ξ=0）=C 80C 74C 154=139，P （ξ=1）=C 81C 73C 154=839，P （ξ=2）=C 82C 72C 154=2865，P （ξ=3）=C 83C 71C 154=56195，P （ξ=4）=C 84C 70C 154=239，∴ξ的分布列为：∴E ξ=0×139+1×839+2×2865+3×56195+4×239=3215．…（12分）【解析】（Ⅰ）利用古典概率计算公式结合排列组合的性质能求出取出的4个球同色的概率． （Ⅱ）依题意知ξ=0，1，2，3，4，分别求出P （ξ=0），P （ξ=1），P （ξ=2），P （ξ=3），P （ξ=4），由此能求出ξ的分布列和E ξ．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．20.已知椭圆x 2a2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的焦点为F ，离心率为23，短轴长为2√5，过点F 引两直线l 1和l 2，l 1交椭圆于点A 和C ，l 2交椭圆于B 和D ． （Ⅰ）求此椭圆的方程；（Ⅱ）若|FA|•|FC|=|FB|•|FD|，试求四边形ABCD 面积的最大值．【答案】（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）根据题意有{ca=232b =2√5，又a 2=b 2+c 2，解得a =3，b =√5，c =2， ∴椭圆M 的方程为x 29+y 25=1．…（5分）（Ⅱ）不妨设F 为椭圆M 的右焦点（2，0），当直线l 1的斜率k 1存在时，l 1的方程为y =k 1（x -2）=k 1x +m ，（m =-2k 1） …（1）， 设A （x 1，y 1），C （x 2，y 2），把（1）代入椭圆的方程，得关于x 的一元二次方程： （5+9k 12）x 2+18mk 1x +9m 2-45=0，…（2） ∵x 1，x 2是方程（2）的两个实数解， ∴x 1+x 2=−18mk 15+9k 12，x 1•x 2=9m 2−455+9k 12， (3)又y 1=k 1（x 1-2），y 2=k 1（x 2-2），∴|FA|=√(x 1 −2)2+(y 1 −0)2=√1+k 12|x 1-2|， 同理|FC|=√1+k 12|x 2−2|，∴|FA|•|FC|=（1+k 12）|x 1x 2-2（x 1+x 2）+4|， (4)把（3）代入（4）得，|FA|•|FC|=（1+k 12）|9m 2 −455+9k 12 -2−18mk 15+9k 12+4|， (5)记θ1 为直线l 1的倾斜角，则k 1=tan θ1， 由（5）知|FA|•|FC|=259−4cos 2θ1， (6)当l 1的斜率不存在时，θ1=90°，此时A ，C 的坐标可为（2，53）和（2，-53）或（2，-53）和（2，53）， ∴|FA|•|FC|=259， (7)由（6）（7）知，当直线l 1的倾斜角为θ1时，|FA|•|FC|=259−4cos 2θ1， (8)同理，记直线l 2的倾斜角为θ2时，|FB|•|FD|=259−4cos 2θ2 (9)由|FA|•|FC|=|FB|•|FD|得，cos 2θ1=cos 2θ2，0＜θ1，θ2＜π，∴θ1=θ2或θ1=π-θ2， 依题意θ1≠θ2，∴θ1=π-θ2，当θ1≠90°时，|AC|=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=√√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2 =√1+k 12√(−18mk 125+9k 12−49m 2−455+9k 12=30(1+k 12)5+9k 12=30(1+tan 2θ1)5+9tan 2θ1=309−4cos 2θ1， (10)当θ1=90°时，|AC|=2×53=103， (11)由（10）、（11）知当直线l 1的倾斜角为θ1时，|AC|=309−4cos 2θ1， (12)同理，|BD|=309−4cos 2(π−θ1)=309−4cos 2θ1， (13)由（12）、（13）知，四边形ABCD 的面积为S=12|AC|•|BD|sin 2θ1=450sin2θ1(9−4cos 2θ1)2，令g （θ）=sin2θ(9−4cos 2θ)2，∵cos 2θ=1+cos2θ2，∴g （θ）=sin2θ(7−2cos2θ)2， 则g ′(θ)=(sin2θ7−2cos2θ)2)′ =2(2cos2θ−1)(cos2θ+4)(7−2cos2θ)3，∵0＜θ＜π，∴0＜2θ＜2π，当0＜2θ＜π3，或5π3＜2θ＜2π时，g ′（θ）＞0， g （θ）递增，当π3≤2θ≤5π3时，g ′（x ）≤0，g （θ）递减，∴当2θ=π3，即θ=π6时，g （θ）取最大值， 即g （θ）max =g （π6）=√372，∴当θ=π6时，四边形ABCD 的面积S max =25√34．…（12分）【解析】 （Ⅰ）根据题意有{ca=232b =2√5，由此能求出椭圆M 的方程．（Ⅱ）设F 为椭圆M 的右焦点（2，0），当直线l 1的斜率k 1存在时，推导出|FA|•|FC|=259−4cos 2θ1；当l 1的斜率不存在时，|FA|•|FC|=259，从而得到四边形ABCD 的面积为S=12|AC|•|BD|sin 2θ1=450sin2θ1(9−4cos 2θ1)2，由此能求出四边形ABCD 的面积的最大值．本题考查椭圆方程的求法，考查四边形面积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意三角函数、导数性质的灵活运用．21.已知函数f （x ）=x−1lnx ．（Ⅰ）求证：当x ＞1时，f （x ）＞1； （Ⅱ）令a n +1=f （a n ），a 1=√e ，求证：2n lna n ≥1．【答案】证明：（Ⅰ）令g （x ）=lnx -x +1，则g ′（x ）=1−x x当0＜x ＜1时，g ′（x ）＞0，∴函数y =g （x ）在0＜x ＜1时为增函数， ∴0＜x ＜1时，g （x ）＜g （1）=0，即lnx -x +1＜0；当x ＞1时，g ′（x ）＜0，∴函数y =g （x ）在x ＞1时为减函数，∴x ＞1时，g （x ）＜g （1）=0，即lnx -x +1＜0， 则当x ＞1时，0＜lnx ＜x -1，∴x−1lnx ＞1，即f （x ）＞1； …（5分）（Ⅱ）下面用数学归纳法证明2n lna n ≥1ⅰ）当n =1时，a 1=√e ，知2lna 1=2ln √e =1，∴n =1时，命题成立ⅱ）假设n =k 时，命题成立．即2k lna k ≥1要证明n =k +1时，命题成立．即证明2k +1lna k +1≥1，只需证明a k +1≥e 12k+1 依题意知a k +1=a k −1lna k ，即证明：a k −1lna k ≥e 12k+1f ′（x ）=−ln 1x +1x −1(lnx)2x ＞1时，有0＜1x ＜1，由（Ⅰ）可知ln 1x -1x +1＜0，∴当x ＞1时，f ′（x ）＞0，∴函数x ＞1时为增函数 由归纳假设2k lna k ≥1，即a k ≥e 12k ＞1， ∴f （a k ）≥f （e 12k）=e 12k−112k (1)依题意知a k +1=f （a k ），故又只需证明f （e 12k ）＞e 12k+1， 构造函数h （x ）=e x -1-x e x2，h ′（x ）=e x2（e x2-1-x2）e x 2＞1，由（Ⅰ）知ln e x2-e x2+1＜0，即e x2-1-x2＞0，∴h ′（x ）＞0∴函数y =h （x ），x ＞0为增函数，∴h （12k ）＞h （0）=0， 则f （e 12k）=e 12k−112k＞e 12k+1 …（2），由（1）（2）及题意知a k +1≥e 12k+1，即2k +1lna k +1≥1综合（ⅰ）ⅱ）知，有2n lna n ≥1成立．【解析】（Ⅰ）令g （x ）=lnx -x +1，求导数，证明x ＞1时，g （x ）＜g （1）=0，即lnx -x +1＜0，即可证明当x ＞1时，f （x ）＞1；（Ⅱ）用数学归纳法证明2n lna n ≥1即可．本题考查导数知识的运用，考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，正确运用数学归纳法是关键．22.已知，在△ABC 中，D 是AB 上一点，△ACD 的外接圆交BC 于点E ，AB=2BE ．（Ⅰ）求证：BC=2BD ；（Ⅱ）若CD 平分∠ACB ，且AC=2，EC=1，求BD 的长．【答案】（Ⅰ）证明：连接DE ，因为四边形ACED 是圆的内接四边形， 所以∠BDE=∠BCA ， 又∠DBE=∠CBA ，所以△DBE ∽△CBA ，即有BEAB =BDBC ，又AB=2BE ，所以BC=2BD …（5分） （Ⅱ）由（Ⅰ）△DBE ∽△CBA ，知BEAB =EDAC ， 又AB=2BE ，∴AC=2DE ， ∵AC=2，∴DE=1，而CD 是∠ACB 的平分线，∴DA=1，设BD=x ，根据割线定理得BD •BA=BE •BC即x （x +1）=12（x +1）[12（x +1）+1]，解得x =1，即BD=1． …（10分） 【解析】（Ⅰ）连接DE ，证明△DBE ∽△CBA ，即可证明BC=2BD ；（Ⅱ）先求DE ，利用CD 是∠ACB 的平分线，可得DA=1，根据割线定理求出BD ． 本题考查与圆有关的比例线段，考查割线定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．四、填空题(本大题共2小题，共10.0分)23.在平面直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l 的参数方程为{x =√2+t y =t （t为参数），圆C 的极坐标方程是ρ=1．（Ⅰ）求直线l 与圆C 的公共点个数；（Ⅱ）在平面直角坐标系中，圆C 经过伸缩变换{x′=xy′=2y 得到曲线C ′，设M （x ，y ）为曲线C ′上一点，求4x 2+xy +y 2的最大值，并求相应点M 的坐标． 【答案】 解：（Ⅰ）直线l 的方程为x -y -√2=0，圆C 的方程是x 2+y 2=1； ∵圆心（0，0）到直线l 的距离为d =|0−0−√2|√12+(−1)2=1，等于圆的半径r ，∴直线l 与圆C 的公共点有1个；（Ⅱ）圆C 的参数方程是{x =cosθy =sinθ，（0≤θ＜2π）；∴曲线C ′的参数方程是{x =cosθy =2sinθ；∴4x 2+xy +y 2=4cos 2θ+cos θ•2sin θ+4sin 2θ=4+sin 2θ； 当θ=π4或θ=5π4时，4x 2+xy +y 2取得最大值5，此时M 的坐标为（√22，√2）或（-√22，-√2）．【解析】（Ⅰ）把直线l 的参数方程、圆C 的极坐标方程化为普通方程，根据圆心到直线的距离d 与圆半径r 的关系，判定直线l 与圆C 的公共点个数；（Ⅱ）由圆C 的参数方程求出曲线C ′的参数方程，代入4x 2+xy +y 2中，求出4x 2+xy +y 2取得最大值时对应的M 的坐标．本题考查了参数方程与极坐标方程的应用问题，解题时可以把参数方程、极坐标方程化为普通方程，以便正确解答问题，是基础题．24.已知函数f （x ）=|x -1|．（Ⅰ）解不等式f （x -1）+f （1-x ）≤2；（Ⅱ）若a ＜0．求证：f （ax ）-af （x ）≥f （x ）． 【答案】 解：（Ⅰ）∵f （x -1）+f （1-x ）=|x -2|+|x |． 因此只须解不等式|x -2|+|x |≤2．当x ≤0时，原不式等价于2-x -x ≤2，即x ≥0，所以x =0． 当0＜x ＜2时，原不式等价于2≤2成立，所以0＜x ＜2． 当x ≥2时，原不式等价于x -2+x ≤2，即x ≤2，所以x =2． 综上，原不等式的解集为{x |0≤x ≤2}．…（5分） （Ⅱ）∵f （ax ）-af （x ）=|ax -1|-a |x -1|，又a ＜0时，|ax -1|-a |x -1|=|ax -1|+|-ax +a |≥|ax -1-ax +a |=|a -1|=f （a ）， ∴a ＜0时，f （ax ）-af （x ）≥f （x ）．…（10分） 【解析】（Ⅰ）依题意，f （x -1）+f （1-x ）≤2⇔|x -2|+|x |≤2，通过对x ≤0与0＜x ＜2及x ≥2的讨论分析，去掉绝对值符号，即可求得原不等式的解集；（Ⅱ）利用绝对值不等式，a ＜0时，可得f （ax ）-af （x ）=|ax -1|-a |x -1|≥|ax -1-ax +a |=|a -1|=f （a ），从而可证结论．本题考查绝对值不等式的解法，通过对x ≤0与0＜x ＜2及x ≥2的讨论分析，去掉绝对值符号是关键，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．。
新疆乌鲁木齐地区2014届下学期高三年级第二次诊断性测验考试地理试卷 有答案
新疆乌鲁木齐地区2014届下学期高三年级第二次诊断性测验考试地理试卷有答案(卷面分值:100 分;考试时间：100 分钟）注意事项：1.本试卷为问答分离式试卷,共 10 页,其中问卷 8 页,答卷 2 页。
答案务必写或涂在指定位置上。
2.答题前,请考生务必将自己的学校、姓名、准考证号、科别等信息填写在答卷的密封区内。
3.选考题任选 1 题作答，如果多做则按所答第 1 题计分。
第 I 卷（选择题共 50 分}本卷共 25 小题，每小题 2 分,共 50 分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。
图 1 为我国东部某地区等高线图。
读图完成 1?2 题。
1.陡崖顶部与湖泊水面的最大高差约是A.149 米B. 151 米C.249 米D.251 米2.对图示地区地理环境的叙述，正确的是A.河流流量较大，汛期多在夏秋季节B.典型植被为亚热带常绿硬叶林C.终年温和湿润，气温年较差小D.河流入海口附近冲积扇较发育图 2 为世界某大河主要流经地区示意图，该河源头海拔 228 米，以融雪补给为主。
图 3为图 2 中 A 城市气候资料图，读图完成 3 -4 题。
3.该河径流量最大的季节可能是：A.春季B.夏季C.秋季D.冬季4.对该河航运叙述正确的是：A. 全年降水均匀，四季通航B.粮食与木材货运方向基本一致C.河流流速平缓，利于航运D.支流水流湍急，不利于通航图 4 为西成高铁示意图，该铁路是国内拟建的最具山区特点的高标准现代化铁路。
读图完成 5-6 题。
5.西成高铁甲地段线路总长 135 千米，隧道里程 127 千米，桥隧比高达 94%，其最主要的原因是A.较少占用耕地B.河流湖泊密集C.保护野生动物D.地形地质复杂6.西成高铁修建的意义不包括A.加强两地资源互补B.缩短两地铁路里程C.促进两地交流协作D.节约两地通行时间图 5 为松林、草地、红砂岩和泥浆四种地物的反射波谱曲线。
读图完成 7—8 题。
新疆乌鲁木齐地区2014届高三下学期第三次诊断性测验数学(理)试题 Word版含解析
乌鲁木齐地区2014年高三年级第三次诊断性测验理科数学（问卷）（卷面分值：150分 考试时间：120分钟） 注意事项：1.本卷分为问卷和答卷两部分，答案务必书写在答卷（或答题卡）的指定位置上.2.答卷前，先将答卷密封线内（或答题卡中的相关信息）的项目填写清楚. 第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题：共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知A={x ∈N|x ≤6}, B={x ∈R|x 2-3x > 0|}，则A ∩B=A. {3, 4, 5}B. {4, 5, 6}C. {x|3 < x ≤6}D. {x|3≤x <6}2.复数 i1-i 在复平面内对应的点在A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.设函数122,0(),0x x f x x x -⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，若f (x ) > 1，则x 的取值范围是A.（-1，1）B.（-1，+∞）C.（-∞，-1）∪（1，+ ∞）D.（-∞，-2）∪(0, + ∞) 4.已知sin2α = - 2425，且α∈( 3π4, π)，则sin α = A. 35 B. 45 C. - 35 D. - 455.执行如图的程序框图，若输出的S = 3132，则输入的整数p 的值为 A. 3 B. 4 C. 5 D. 66.在△ABC 中，AC ·cosA = 3BC ·cosB ，且cosC =55，则A= A. 30° B. 45° C. 60° D. 120° 7.一个几何体的三视图如右图所示，则它的体积为 A. 203 B. 403 C. 20 D. 40 8.若f(x) = 3sinx - 4cosx 的一条对称轴方程为x = a ，则a 的取值 范围可以是A. ( 0, π4 )B. ( π4, π2 )C. ( π2, 3π4 )D. ( 3π4, π )9.已知函数f(x)在定义域上的值不全为零，若函数f(x+1)的图象关于 ( 1, 0 )对称，函数f(x+3)的图象关于直线x=1对称，则下列式子中错误的是A. f(-x) = f(x)B. f(x -2) = f(x + 6)C. f(-2 + x) + f(-2 -x) = 0D. f(3 + x) + f(3 -x)=044 1正视图侧视图俯视图10.函数f(x) = - 1b e ax (a>0, b>0)的图象在x=0处的切线与圆x 2+y 2=1相切，则a+b 的最大值是 A. 4 B. 2 2 C. 2 D. 211.A, B, C, D 在球O 的表面上，且AB = BC=2，AC = 22，若四面体ABCD 的体积的最大值为43，则球O 的表面积为A. 16π3 B. 8π C. 9π D. 12π12.已知双曲线 x 2a 2 - y 2b 2 =1 (a>0, b>0)的中心为O ，过其右焦点F 的直线与两条渐近线交于A ，B 两点，→FA 与→BF 同向，且FA ⊥OA ，若|OA|+|OB|=2|AB|，则此双曲线的离心率为 A. 32 B. 52 C.3 D.5第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题 ~ 第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题 ~ 第24题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13.82x ⎫⎪⎭二项展开式中的常数项为 ；14.在平面直角坐标系xoy 中，椭圆C 1和C 2的方程分别为 x 24 + y 2= 1和 y 216 + x 24 = 1，射线OA 与C 1和C 2分别交于点A 和点B ，且→OB = 2→OA ，则射线OA 的斜率为 ； 15.定义在R 上的函数f(x)单调递增，且对任意x ∈(0, + ∞)，恒有f(f(x)-log 2x) = 1，则函数f(x)的零点为 ；16.已知直线l 与函数y=x 2的图象交于A ，B 两点，且线段AB 与函数y = x 2的图象围成的图形面积为43，则线段AB 的中点P 的轨迹方程是 .三、解答题第17~21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）已知等比数列{a n }的前n 项和为S n , a 1=3, 且3S 1 , 2S 2 , S 3成等差数列. （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n =log 3a n ，求T n =b 1b 2 - b 2b 3 + b 3b 4 - b 4b 5 + … + b 2n-1b 2n - b 2n b 2n+118.（本题满分12分）已知正三棱柱ABC –A 1B 1C 1中，AB = 2，AA 1 = 6.点F ，E 分别是边A 1C 1和侧棱BB 1的中点. （Ⅰ）证明：FB ⊥平面AEC ； （Ⅱ）求二面角F -AE -C 的余弦值.19.（本题满分12分） 某公司招聘员工，先由两位专家面试，若两位专家都同意通过，则视作通过初审予以录用；若两位专家都未同意通过，则视作未通过初审不予录用；当这两位专家意见不一致时，再由第三位专家进行复审，若能通过复审则予以录用，否则不予录用.设应聘人员获得每位初审专家通过的概率为0.5，复审能通过的概率为0.3，各专家评审的结果相互独立. （Ⅰ）求某应聘人员被录用的概率；（Ⅱ）若4人应聘，设X 为被录用的人数，试求随机变量X 的分布列和数学期望.20.（本题满分12分）已知抛物线y 2 = 2px (p > 0)的交点为F ，过H （- p2 , 0）引直线l 交此抛物线于A ，B 两点. （Ⅰ）若直线AF 的斜率为2，求直线BF 的斜率；（Ⅱ）若p=2，点M 在抛物线上，且→FA + →FB = t →FM ，求t 的取值范围.21.（本题满分12分）已知函数f(x) = 1-ln(x +1) , g(x) = ax 2 - x + 1. （Ⅰ）求证：1-x ≤ f(x) ≤ 11+x ；（Ⅱ）当0≤x ≤1时，若f(x) ≥ g(x)恒成立，求a 的取值范围.A BCA 1B 1C 1EF请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B 铅笔在答卷（答题卡）上把所选题目的题号涂黑，满分10分22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，点A 为圆外一点，过点A 作圆的两条切线，切点分别为B ，C ，ADE 是圆的一条割线，连接CD, BD, BE, CE 。
2014级高三二诊数学(理)参考答案及评分意见
( 一㊁ 选择题 : 每小题 ５ 分 , 共６ ０ 分) １． D; ２． A; ３． B; ４． A; ５． D; ; ; ; ; ７． B ８． C ９． D １ ０． C １ １． D; ) 第 Ⅱ 卷( 非选择题 , 共９ 分 ０ ( 二㊁ 填空题 : 每小题 ５ 分 , 共２ ０ 分) ２ n １ ３． ㊀㊀１ ４． ３ ２． ８; ㊀㊀１ ５． ４; ㊀㊀１ ６． ． －２; n ＋１ ( 三㊁ 解答题 : 共７ ０ 分) B E C E ( 解: 在 әB 据正弦定理 , 有 １ ７． Ⅰ) E C 中, ． ＝ s i n øB C E s i n B ２ π , ȵ øB ＝ B E ＝１, C E＝ ７, ３ ３ B E ������s i n B ２ ２ １ ʑ s i n øB C E＝ ． ＝ ＝ C E １ ４ ７ ( 由平面几何知识 , 可知 øD Ⅱ) E A ＝ øB C E． π 在R t әA E D中, ȵ øA ＝ , A E ＝５, ２ ３ ５７ ２ ʑc o s øD E A ＝ １－s i n øD E A ＝ １－ ＝ ． ２ ８ １ ４ 第 Ⅰ 卷( 选择题 , 共６ ０ 分) ６． C; １ ２． A．
ɡ ɡ ɡ
C D２ ＝ C E２ ＋D E２ －２ C E������D E������ c o s øC E D ＝ ７＋２ ８－２ˑ ７ ˑ２ ７ ˑ ( －
当 x ＝５ ７ ０时, ３ˑ５ ７ ０＋４ ３ ３． ２＝６ ０ ４． ２． y ＝０．
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高三数学 ( 理科 ) 二诊测试参考答案第 ㊀ 共 ５页) １ 页(
������������������������１ 特征量 y 的估计值为 ６ ʑ 当 x ＝５ ７ ０时, ０ ４． ２． ２分 ( 解: 如图 , 作 GM ʊ C 交B 连接 MF ． １ ９． Ⅰ) D, C 于点 M , 作 BH ʊ AD , 交 GM 于 N , 交D C 于H． ȵE F ʊC D ,ʑGM ʊ E F． ʑGN ＝A B ＝３, HC ＝９． ȵA B ʊ GM ʊ D C, NM BM A G ２ ʑ ＝ ＝ ＝ ． HC B C AD ３ ʑNM ＝６． ʑGM ＝GN ＋ NM ＝９． ������������������������４ 分 ʑGM ������E F． ʑ 四边形 GMF E 为平行四边形 ． ʑG E ʊ MF ． 又 MF ⊂ 平面 B C F, G E ⊄ 平面 B C F, ������������������������６ 分 ʑG E ʊ 平面 B C F． ( Ⅱ )ȵ 平面 AD E ʅ 平面 C D E F, AD ʅ D E, AD ⊂ 平面 AD E, ʑAD ʅ 平面 C D E F． 以 D 为坐标原点 , D C 为x 轴 , D E 为y 轴 , DA 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标 系D x z． y ʑ E (０, ４, ０) , F (９, ４, ０) , C (１ ２, ０, ０) , B (３, ０, ４ ３) ． ң ң , , , ( ) ʑE F ＝ ９００ E B ＝ (３, ４ ３) ． －４, 设平面 E B F 的法向量n１ ＝ (x１ , z１ ) ． y１ , ң x１ ＝０ n ������E F ＝０, ９ 由 １ 得 ． ң ３ x１ －４ z１ ＝０ ������ y１ ＋４ ３ n１ E B ＝０ ������������������������８ 分 取 y１ ＝ ３ , 得 n１ ＝ (０,３, １) ． ң ң 同理 , F C ＝ (３, ０) , F B ＝ ( －６, －４, ４ ３) ． －４, , ) 设平面 B C F 的法向量n２ ＝ ( x２ , z ． y２ ２ ң ３ x ４ ������ － ＝０ ２ ２ y n F C ＝０, 由 ２ 得 ． ң x２ －４ z２ ＝０ －６ y２ ＋４ ３ n２ ������F B ＝０ ������������������������１ 取 x２ ＝４, 得 n２ ＝ (４, ０分 ３, ３ ３) ． n１ ������ n２ ０ˑ４＋ ３ ˑ３＋１ˑ３ ３ ６３ ３ ３ ９ ʑ c o s＜ n１ , n２ ＞＝ ． ＝ ＝ ＝ n１ | n２ | ２ ６ | | ２ˑ １ ６＋９＋２ ７ ２ˑ２ １ ３ ������������������������１ １分 ȵ 二面角 E －B F －C 为钝二面角 ,
最新2014年全国高考理科数学二模试题及答案-新课标
绝密*启用前最新2014年全国高考理科数学二模试题及答案（新课标）理科数学注息事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.问答第Ⅰ卷时。
选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时。
将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。
第一卷一． 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈；,则B 中所含元素的个数为（ ）()A 3 ()B 6 ()C 8 ()D 10【解析】选D5,1,2,3,4x y ==，4,1,2,3x y ==，3,1,2x y ==，2,1x y ==共10个 （2）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ）()A 12种 ()B 10种 ()C 9种 ()D 8种【解析】选A甲地由1名教师和2名学生：122412C C =种（3）下面是关于复数21z i=-+的四个命题：其中的真命题为（ ） 1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1-()A 23,p p ()B 12,p p ()C ,p p 24 ()D ,p p 34【解析】选C 22(1)11(1)(1)i z i i i i --===---+-+--1:p z =22:2p z i =，3:p z 的共轭复数为1i -+，4:p z 的虚部为1-（4）设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，∆21F PF 是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）()A 12 ()B 23 ()C 34()D 45【解析】选C∆21F PF 是底角为30的等腰三角形221332()224c PF F F a c c e a ⇒==-=⇔== （5）已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（ ）()A 7 ()B 5 ()C -5 ()D -7【解析】选D472a a +=，56474784,2a a a a a a ==-⇒==-或472,4a a =-= 471101104,28,17a a a a a a ==-⇒=-=⇔+=- 471011102,48,17a a a a a a =-=⇒=-=⇔+=-（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数(2)N N ≥和实数12,,...,n a a a ，输出,A B ，则（ ）()A A B +为12,,...,n a a a 的和 ()B 2A B+为12,,...,n a a a 的算术平均数 ()C A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最大的数和最小的数 ()D A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最小的数和最大的数【解析】选C（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）()A 6 ()B 9 ()C 12 ()D 18【解析】选B该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为3 此几何体的体积为11633932V =⨯⨯⨯⨯=（8）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B两点，AB =；则C 的实轴长为（ ）()A ()B ()C 4 ()D 8【解析】选C设222:(0)C x y a a -=>交x y 162=的准线:4l x =-于(A -(4,B --得：222(4)4224a a a =--=⇔=⇔=（9）已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减。
新疆乌鲁木齐地区2014年高三年级第二次诊断性测验理科数学试卷及答案
新疆乌鲁木齐地区2014年高三年级第二次诊断性测验理科数学试卷及答案乌鲁木齐地区2014年高三年级第二次诊断性测验理科数学（问卷）（卷面分值：150分考试时间：120分钟）注意事项：1.本卷分为问卷和答卷两部分，答案务必书写在答卷（或答题卡）的指定位置上.2.答卷前，先将答卷密封线内（或答题卡中的相关信息）的项目填写清楚.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={x|x2<1}, B=[0, 1)，则A∩B=A. (0, 1)B. (0, 1]C. [0, 1)D. [0, 1]2.已知复数z1=a+bi与z2=c+di (a, b, c, d∈R, z2≠0)，则z1z2∈R的充要条件是A. ad+bc=0B. ac+bd=0C. ac-bd=0D. ad-bc=03.已知数列{a n}是各项均为正数的等比数列，若a2=2, 2a3+a4=16，则a5=A. 4B. 8C. 164.某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位: cm）可得这个几何体的体积是A. 13cm3 B. 23cm3C. 43cm3 D. 83cm35.已知函数y=f(2x)+x是偶函数，且f(2)=1，则f(-2) =A. 2B. 3C. 4D. 56.阅读如右图所示的程序框图，若输入n的值为6，运行相应程序，则输出的n的值为A. 3B. 5C. 10D. 167.若平面向量,,a b c两两所成的角相等，且||1,||1,||3a b c===，则||a b c++等于B. 5C. 2或5D. 2或 58.已知⊙A1：(x+2)2 + y2=12和点A2(2, 0)，则过点A2且与⊙A1 相切的动圆圆心P的轨迹方程为A. x23- y2 = 1 B. x23+ y2 = 1C. x2 - y2 = 2D. x212+y28= 1正视图侧视图俯视图9.将函数f(x)=sin(2x+θ) (-π2 < θ < π2 )的图象向右平移φ（φ > 0）个单位长度后得到函数g(x)的图象，若f(x), g(x)的图象都经过点P(0, 32)，则φ的值可以是A. 5π3B. 5π6C. π2D. π6 10.设a = log 0.10.2，b = log 0.20.4，c = log 0.30.6，则A. a > b> cB. a > c > bC. b > c > aD. c > b > a 11.从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数能被3整除的概率为A. 827B. 1927C. 1954D. 3554 12.若直线ax + by + c = 0与抛物线y 2=2x 交于P ，Q 两点，F 为抛物线的焦点，直线PF ，QF 分别交抛物线于点M ，N ，则直线MN 的方程为A. 4cx -2by + a=0B. ax -2by + 4c=0C. 4cx + 2by + a=0 C.ax + 2by + 4c=0 第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题 ~ 第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题 ~ 第24题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9=11，S 11=9，则S 20= ； 14.如图，矩形OABC 内的阴影部分由曲线f(x)=sinx 及直线x=a(a ∈(0,2π) )与x 轴围成.向矩形OABC 内随机掷一点，该点落在阴影部分的概率为12，则a= ；15.直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的各个顶点都在同一个球面上. 若AB=AC=AA 1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于 . 16.已知直线x+y+1=0与曲线C ：y = x 3-3px 2相交于点A ，B ，且曲线C 在A ，B 处的切线平行，则实数p 的值为 .三、解答题第17~21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）如图，已知OPQ 是半径为3，圆心角为π3的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形，记∠COP 为x ，矩形ABCD 的面积为f(x)。
2014年新疆乌鲁木齐市高考数学二模试卷(理科)(解析版)
2014年新疆乌鲁木齐市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（60分）1．（5分）已知集合A＝{x|x2＜1}，B＝[0，1]，则A∩B＝（）A．（0，1）B．〔0，1]C．[0，1）D．[0，1]2．（5分）已知复数z1＝a+bi与z2＝c+di（a，b，c，d∈R，z2≠0），则∈R的充要条件是（）A．ad+bc＝0B．ac+bd．＝0C．ac﹣bd＝0D．ad﹣bc＝0 3．（5分）已知数列{a n}是各项均为正数的等比数列，若a2＝2，2a3+a4＝16，则a5＝（）A．4B．8C．16D．324．（5分）已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）A．B．C．D．5．（5分）已知函数y＝f（2x）+x是偶函数，且f（2）＝1，则f（﹣2）＝（）A．2B．3C．4D．56．（5分）阅读如图所示的程序框图，如果输入的n的值为6，那么运行相应程序，输出的n的值为（）A．3B．5C．10D．167．（5分）若向量、、两两所成的角相等，且||＝1，||＝1，||＝3，则|++|等于（）A．2B．5C．2或5D．或8．（5分）已知⊙A1：（x+2）2+y2＝12和点A2（2，0），则过点A2且与⊙A1相切的动圆圆心P的轨迹方程为（）A．﹣y2＝1B．+y2＝1C．x2﹣y2＝2D．+＝19．（5分）将函数f（x）＝sin（2x+θ）（）的图象向右平移φ（φ＞1）个单位长度后得到函数g（x）的图象，若f（x），g（x）的图象都经过点P（），则φ的值可以是（）A．B．C．D．10．（5分）设a＝log0.10.2，b＝log0.20.4，c＝log0.30.6，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a 11．（5分）从0到9这10个数字中，任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个三位数能被3整除的概率是（）A．B．C．D．12．（5分）若直线ax+by+c＝0与抛物线y2＝2x交于P，Q两点，F为抛物线的焦点，直线PF，QF分别交抛物线于点M，N，则直线MN的方程为（）A．4cx﹣2by+a＝0B．ax﹣2by+4c＝0C．4cx+2by+a＝0D．ax+2by+4c＝0二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．共20分．13．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S4＝11，S12＝9，则S20＝．14．（5分）如图，矩形OABC内的阴影部分由曲线f（x）＝sin x及直线x＝a（a∈（0，2π）与x轴围成．向矩形OABC内随机掷一点，该点落在阴影部分的概率为，则a＝．15．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC ＝120°，则此球的表面积等于．16．（5分）已知直线x+y+1＝0与曲线C：y＝x3﹣3px2相交于点A，B，且曲线C在A，B 处的切线平行，则实数p的值为．三、解答题：第17～21题每题12分，解答应在答卷《答题卡}的相应各颐中写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）如图，已知OPQ是半径为，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形，记∠COP＝x，矩形ABCD的面积为f（x）．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式，并写出其定义域；（Ⅱ）求函数y＝f（x）+f（x+）的最大值及相应的x值．18．（12分）如图在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°．BC ＝2AD，AC与BD交于点O，点M，N分别在线PC、AB上，＝＝2．（Ⅰ）求证：平面MNO∥平面P AD；（Ⅱ）若平面P A⊥平面ABCD，∠PDA＝60°，且PD＝DC＝BC＝2，求二面角B﹣AM﹣C 的余弦值．19．（12分）袋中装有7个红球和8个黑球，一次取4个球．（Ⅰ）求取出的4个球同色的概率；（Ⅱ）设取出黑球的个数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望．20．（12分）已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的焦点为F，离心率为，短轴长为2，过点F引两直线l1和l2，l1交椭圆于点A和C，l2交椭圆于B和D．（Ⅰ）求此椭圆的方程；（Ⅱ）若|F A|•|FC|＝|FB|•|FD|，试求四边形ABCD面积的最大值．21．（12分）已知函数f（x）＝．（Ⅰ）求证：当x＞1时，f（x）＞1；（Ⅱ）令a n+1＝f（a n），a1＝，求证：2n lna n≥1．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.选修4-1：几何证明选讲22．（10分）已知，在△ABC中，D是AB上一点，△ACD的外接圆交BC于点E，AB＝2BE．（Ⅰ）求证：BC＝2BD；（Ⅱ）若CD平分∠ACB，且AC＝2，EC＝1，求BD的长．选修4-4：坐标系与参数方程23．在平面直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的极坐标方程是ρ＝1．（Ⅰ）求直线l与圆C的公共点个数；（Ⅱ）在平面直角坐标系中，圆C经过伸缩变换得到曲线C′，设M（x，y）为曲线C′上一点，求4x2+xy+y2的最大值，并求相应点M的坐标．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）＝|x﹣1|．（Ⅰ）解不等式f（x﹣1）+f（1﹣x）≤2；（Ⅱ）若a＜0．求证：f（ax）﹣af（x）≥f（x）．2014年新疆乌鲁木齐市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（60分）1．（5分）已知集合A＝{x|x2＜1}，B＝[0，1]，则A∩B＝（）A．（0，1）B．〔0，1]C．[0，1）D．[0，1]【解答】解：由A中的不等式变形得：（x+1）（x﹣1）＜0得：﹣1＜x＜1，∴A＝（﹣1，1），∵B＝[0，1]，∴A∩B＝[0，1）．故选：C．2．（5分）已知复数z1＝a+bi与z2＝c+di（a，b，c，d∈R，z2≠0），则∈R的充要条件是（）A．ad+bc＝0B．ac+bd．＝0C．ac﹣bd＝0D．ad﹣bc＝0【解答】解：∵＝＝，∴则∈R的充要条件ad﹣bc＝0．故选：D．3．（5分）已知数列{a n}是各项均为正数的等比数列，若a2＝2，2a3+a4＝16，则a5＝（）A．4B．8C．16D．32【解答】解：∵数列{a n}是各项均为正数的等比数列，a2＝2，2a3+a4＝16，∴，解得，或（舍），∴．故选：C．4．（5分）已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）A．B．C．D．【解答】解：由三视图可知，几何体为底面为底为2，高为2的三角形的三棱锥，且一面垂直于底面，V＝，故选：B．5．（5分）已知函数y＝f（2x）+x是偶函数，且f（2）＝1，则f（﹣2）＝（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：∵y＝f（2x）+x是偶函数，∴f（﹣2x）﹣x＝f（2x）+x，∴f（﹣2x）＝f（2x）+2x，令x＝1，则f（﹣2）＝f（2）+2＝3．故选：B．6．（5分）阅读如图所示的程序框图，如果输入的n的值为6，那么运行相应程序，输出的n的值为（）A．3B．5C．10D．16【解答】解：进入循环前n＝6．i＝0，此时n为偶数，故n＝＝3，i＝1，满足继续进行循环的条件；当n＝3．i＝1，此时n为奇数，故n＝3n+1＝10，i＝2，满足继续进行循环的条件；n＝10．i＝2，此时n为偶数，故n＝＝5，i＝3，不满足继续进行循环的条件；故输出的n值为5故选：B．7．（5分）若向量、、两两所成的角相等，且||＝1，||＝1，||＝3，则|++|等于（）A．2B．5C．2或5D．或【解答】解：由向量、、两两所成的角相等，设向量所成的角为α，由题意可知α＝0°或α＝120°则＝+++2（++）＝11+2（||•||cosα+||•||cosα+||•||cosα）＝11+14cosα所以当α＝0°时，原式＝5；当α＝120°时，原式＝2．故选：C．8．（5分）已知⊙A1：（x+2）2+y2＝12和点A2（2，0），则过点A2且与⊙A1相切的动圆圆心P的轨迹方程为（）A．﹣y2＝1B．+y2＝1C．x2﹣y2＝2D．+＝1【解答】解：根据题意有||P A1|﹣|P A2||＝2＜|A1A2|＝4，∴点P的轨迹是以A1（﹣2，0），A2（2，0）为焦点，实轴长为2a＝2的双曲线，∴b＝＝1，∴点P的轨迹方程为﹣y2＝1．故选：A．9．（5分）将函数f（x）＝sin（2x+θ）（）的图象向右平移φ（φ＞1）个单位长度后得到函数g（x）的图象，若f（x），g（x）的图象都经过点P（），则φ的值可以是（）A．B．C．D．【解答】解：函数向右平移φ个单位，得到g（x）＝sin（2x+θ﹣2φ），因为两个函数都经过P（0，），所以，，所以g（x）＝sin（2x+﹣2φ），sin（﹣2φ）＝，φ＞1，所以﹣2φ＝2kπ+，φ＝﹣kπ，与选项不符舍去，﹣2φ＝2kπ+，k∈Z，当k＝﹣1时，φ＝．故选：B．10．（5分）设a＝log0.10.2，b＝log0.20.4，c＝log0.30.6，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a【解答】解：∵，当0时，有log2n1＜log2n2＜0，∴0＞＞，∴当0＜n＜1时，n越大，log n2n的值越小，∵a＝log0.10.2，b＝log0.20.4，c＝log0.30.6，0.1＜0.2＜0.3，∴a＞b＞c．故选：A．11．（5分）从0到9这10个数字中，任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个三位数能被3整除的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：0到9这10个数字中，任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，所有的三位数的个数为A103﹣A92＝648个．将10个数字分成三组，即被3除余1的有{1，4，7}、被3除余2的有{2，5，8}，被3整除的有{3，6，9，0}．若要求所得的三位数被3整除，则可以分类讨论：①三个数字均取第一组，或均取第二组，有2A33＝12个；②若三个数字均取自第三组，则要考虑取出的数字中有无数字0，共有A43﹣A32＝18个；③若三组各取一个数字，第三组中不取0，有C31•C31•C31•A33＝162个，④若三组各取一个数字，第三组中取0，有C31•C31•2•A22＝36个，这样能被3整除的数共有228个．故这个三位数能被3整除的概率是＝，故选：D．12．（5分）若直线ax+by+c＝0与抛物线y2＝2x交于P，Q两点，F为抛物线的焦点，直线PF，QF分别交抛物线于点M，N，则直线MN的方程为（）A．4cx﹣2by+a＝0B．ax﹣2by+4c＝0C．4cx+2by+a＝0D．ax+2by+4c＝0【解答】解：设P（x1，y1），M（x2，y2），N（x3，y3），由PM过焦点F，得y1y2＝﹣1，x1x2＝，则有P（，﹣），同理Q（，﹣），将P点代入直线方程ax+by+c＝0，有a•+b（﹣）+c＝0，两边乘以4x2，得a﹣+4x2c＝0，又，∴y2＝，∴a﹣2by2+4cx2＝0，同理a﹣2by3+4cx3＝0故所求直线为a﹣2by+4cx＝0．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．共20分．13．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S4＝11，S12＝9，则S20＝﹣25．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，S4＝11，S12＝9，∴，解得，d＝﹣，∴S20＝20a1+190d＝﹣25．故答案为：﹣25．14．（5分）如图，矩形OABC内的阴影部分由曲线f（x）＝sin x及直线x＝a（a∈（0，2π）与x轴围成．向矩形OABC内随机掷一点，该点落在阴影部分的概率为，则a＝π．【解答】解：根据题意，阴影部分的面积为＝＝1﹣cos a，矩形的面积为，则由几何概型的概率公式可得，即cos a＝﹣1，又a∈（0，2π），∴a＝π，故答案为：π15．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC ＝120°，则此球的表面积等于20π．【解答】解：在△ABC中AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，可得由正弦定理，可得△ABC外接圆半径r＝2，设此圆圆心为O'，球心为O，在RT△OBO'中，易得球半径，故此球的表面积为4πR2＝20π故答案为：20π16．（5分）已知直线x+y+1＝0与曲线C：y＝x3﹣3px2相交于点A，B，且曲线C在A，B 处的切线平行，则实数p的值为1．【解答】解：由y＝x3﹣3px2，得y′＝3x2﹣6px，设A（x1，y1），B（x2，y2），则曲线C在A，B处的切线的斜率分别为，∵曲线C在A，B处的切线平行，∴＝，令＝＝m，∴x1，x2是方程3x2﹣6px﹣m＝0的两个根，则x1+x2＝2p，下面证线段AB的中点在曲线C上，∵＝＝，而＝﹣2p3，∴线段AB的中点在曲线C上，由x1+x2＝2p，知线段的中点为（p，﹣p﹣1），∴﹣p﹣1＝p3﹣3p•p2＝﹣2p3，解得p＝1．故答案为：1．三、解答题：第17～21题每题12分，解答应在答卷《答题卡}的相应各颐中写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）如图，已知OPQ是半径为，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形，记∠COP＝x，矩形ABCD的面积为f（x）．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式，并写出其定义域；（Ⅱ）求函数y＝f（x）+f（x+）的最大值及相应的x值．【解答】解：（1）在Rt△OBC中，OB＝OC•cos x＝cos x，BC＝OC•sin x＝sin x，在Rt△OAD中，＝tan60°＝，∴OA＝BC＝sin x，∵AB＝OB﹣OA＝cos x﹣sin x，∴f（x）＝S＝AB•BC＝（cos x﹣sin x）•sin x＝3sin x•cos x﹣sin2x＝sin2x﹣（1﹣cos2x）＝sin（2x+）﹣，x∈（0，）…（6分）（Ⅱ）由x∈（0，），x+∈（0，），得x∈（0，）而y＝f（x）+f（x+）＝sin（2x+）﹣+sin[2（x+）+]﹣＝[sin（2x+）+cos（2x+）]﹣＝sin（2x+）﹣，由2x+∈（，），故当2x+＝，即x＝时，y取最大值﹣…（12分）18．（12分）如图在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°．BC ＝2AD，AC与BD交于点O，点M，N分别在线PC、AB上，＝＝2．（Ⅰ）求证：平面MNO∥平面P AD；（Ⅱ）若平面P A⊥平面ABCD，∠PDA＝60°，且PD＝DC＝BC＝2，求二面角B﹣AM﹣C 的余弦值．【解答】证明（Ⅰ）在梯形ABCD中，∵AD∥BC，∴OC：OA＝BC：AD＝2，又BN＝2NA，∴NO∥BC∥AD在△P AD中，∵OC：OA＝BC：AD＝2，CM＝2MP，∴OM∥AP∴OM∥平面P AD，∵NO∥AD，且ON∩OM＝0，ON⊂平面MNO，OM⊂平面MNO，∴平面MNO∥平面P AD；（Ⅱ）在△P AD中，P A2＝PD2+AD2﹣2PD•AD cos∠PDA＝3∴P A2+AD2＝PD2，即P A⊥AD，又平面PDA⊥平面ABCD∴P A⊥平面ABCD，而∠BAD＝90°故，如图，以点A为坐标原点，分别以AD，AB，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，在梯形ABCD中，CD＝BC＝2AD＝2，∠BAD＝90°，∴AB＝，则有A（0，0，0），B（0，，0），C（2，，0），D（1，0，0），P（0，0，），由＝，得＝+＝（，，），＝（0，，0），＝（2，，0），设平面ABM的法向量为M1＝（a，b，c），由，得，令c ＝﹣，解得b＝0，a＝3，∴m1＝（3，0，﹣）同理，可得平面ACM的法向量为m2＝（3，﹣2，0）设二面角B﹣AM﹣C的平面角为θ，易知0＜θ＜，∴cosθ＝＝．19．（12分）袋中装有7个红球和8个黑球，一次取4个球．（Ⅰ）求取出的4个球同色的概率；（Ⅱ）设取出黑球的个数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望．【解答】解：（Ⅰ）若取出的4个球都是红色，共有种情形，若取出的4个球都是黑色，共有＝70种情形，故取出的4个球同色的概率为＝．…（6分）（Ⅱ）依题意知ξ＝0，1，2，3，4，P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，P（ξ＝3）＝＝，P（ξ＝4）＝＝，∴ξ的分布列为：∴Eξ＝＝．…（12分）20．（12分）已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的焦点为F，离心率为，短轴长为2，过点F引两直线l1和l2，l1交椭圆于点A和C，l2交椭圆于B和D．（Ⅰ）求此椭圆的方程；（Ⅱ）若|F A|•|FC|＝|FB|•|FD|，试求四边形ABCD面积的最大值．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）根据题意有，又a2＝b2+c2，解得a＝3，b＝，c＝2，∴椭圆M的方程为．…（5分）（Ⅱ）不妨设F为椭圆M的右焦点（2，0），当直线l1的斜率k1存在时，l1的方程为y＝k1（x﹣2）＝k1x+m，（m＝﹣2k1）…（1），设A（x1，y1），C（x2，y2），把（1）代入椭圆的方程，得关于x的一元二次方程：（5+9k12）x2+18mk1x+9m2﹣45＝0， (2)∵x1，x2是方程（2）的两个实数解，∴，x1•x2＝， (3)又y1＝k1（x1﹣2），y2＝k1（x2﹣2），∴|F A|＝＝|x1﹣2|，同理|FC|＝，∴|F A|•|FC|＝（1+k12）|x1x2﹣2（x1+x2）+4|， (4)把（3）代入（4）得，|F A|•|FC|＝（1+k12）|﹣2+4|， (5)记为直线l 1的倾斜角，则k1＝tanθ1，由（5）知|F A|•|FC|＝， (6)当l1的斜率不存在时，θ1＝90°，此时A，C的坐标可为（2，）和（2，﹣）或（2，﹣）和（2，），∴|F A|•|FC|＝， (7)由（6）（7）知，当直线l1的倾斜角为θ1时，|F A|•|FC|＝， (8)同理，记直线l2的倾斜角为θ2时，|FB|•|FD|＝ (9)由|F A|•|FC|＝|FB|•|FD|得，cos2θ1＝cos2θ2，0＜θ1，θ2＜π，∴θ1＝θ2或θ1＝π﹣θ2，依题意θ1≠θ2，∴θ1＝π﹣θ2，当θ1≠90°时，|AC|＝＝＝＝＝＝， (10)当θ1＝90°时，|AC|＝2×＝， (11)由（10）、（11）知当直线l1的倾斜角为θ1时，|AC|＝， (12)同理，|BD|＝＝， (13)由（12）、（13）知，四边形ABCD的面积为S＝|AC|•|BD|sin2θ1＝，令g（θ）＝，∵cos2θ＝，∴g（θ）＝，则＝，∵0＜θ＜π，∴0＜2θ＜2π，当0＜2θ＜，或时，g′（θ）＞0，g（θ）递增，当时，g′（x）≤0，g（θ）递减，∴当2θ＝，即时，g（θ）取最大值，即g（θ）max＝g（）＝，∴当时，四边形ABCD的面积S max＝．…（12分）21．（12分）已知函数f（x）＝．（Ⅰ）求证：当x＞1时，f（x）＞1；（Ⅱ）令a n+1＝f（a n），a1＝，求证：2n lna n≥1．【解答】证明：（Ⅰ）令g（x）＝lnx﹣x+1，则g′（x）＝当0＜x＜1时，g′（x）＞0，∴函数y＝g（x）在0＜x＜1时为增函数，∴0＜x＜1时，g（x）＜g（1）＝0，即lnx﹣x+1＜0；当x＞1时，g′（x）＜0，∴函数y＝g（x）在x＞1时为减函数，∴x＞1时，g（x）＜g（1）＝0，即lnx﹣x+1＜0，则当x＞1时，0＜lnx＜x﹣1，∴＞1，即f（x）＞1；…（5分）（Ⅱ）下面用数学归纳法证明2n lna n≥1ⅰ）当n＝1时，a 1＝，知＝1，∴n＝1时，命题成立ⅱ）假设n＝k时，命题成立．即2k lna k≥1要证明n＝k+1时，命题成立．即证明2k+1lna k+1≥1，只需证明a k+1≥依题意知a k+1＝，即证明：≥f′（x）＝x＞1时，有0＜＜1，由（Ⅰ）可知ln﹣+1＜0，∴当x＞1时，f′（x）＞0，∴函数x＞1时为增函数由归纳假设2k lna k≥1，即a k≥＞1，∴f（a k）≥f（）＝ (1)依题意知a k+1＝f（a k），故又只需证明f（）＞，构造函数h（x）＝e x﹣1﹣x，h′（x）＝（﹣1﹣）＞1，由（Ⅰ）知ln﹣+1＜0，即﹣1﹣＞0，∴h′（x）＞0∴函数y＝h（x），x＞0为增函数，∴h（）＞h（0）＝0，则f（）＝＞…（2），由（1）（2）及题意知a k+1≥，即2k+1lna k+1≥1综合（ⅰ）ⅱ）知，有2n lna n≥1成立．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.选修4-1：几何证明选讲22．（10分）已知，在△ABC中，D是AB上一点，△ACD的外接圆交BC于点E，AB＝2BE．（Ⅰ）求证：BC＝2BD；（Ⅱ）若CD平分∠ACB，且AC＝2，EC＝1，求BD的长．【解答】（Ⅰ）证明：连接DE，因为四边形ACED是圆的内接四边形，所以∠BDE＝∠BCA，又∠DBE＝∠CBA，所以△DBE∽△CBA，即有，又AB＝2BE，所以BC＝2BD…（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）△DBE∽△CBA，知，又AB＝2BE，∴AC＝2DE，∵AC＝2，∴DE＝1，而CD是∠ACB的平分线，∴DA＝1，设BD＝x，根据割线定理得BD•BA＝BE•BC即x（x+1）＝（x+1）[（x+1）+1]，解得x＝1，即BD＝1．…（10分）选修4-4：坐标系与参数方程23．在平面直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的极坐标方程是ρ＝1．（Ⅰ）求直线l与圆C的公共点个数；（Ⅱ）在平面直角坐标系中，圆C经过伸缩变换得到曲线C′，设M（x，y）为曲线C′上一点，求4x2+xy+y2的最大值，并求相应点M的坐标．【解答】解：（Ⅰ）直线l的方程为x﹣y﹣＝0，圆C的方程是x2+y2＝1；∵圆心（0，0）到直线l的距离为d＝＝1，等于圆的半径r，∴直线l与圆C的公共点有1个；（Ⅱ）圆C的参数方程是，（0≤θ＜2π）；∴曲线C′的参数方程是；∴4x2+xy+y2＝4cos2θ+cosθ•2sinθ+4sin2θ＝4+sin2θ；当θ＝或θ＝时，4x2+xy+y2取得最大值5，此时M的坐标为（，）或（﹣，﹣）．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）＝|x﹣1|．（Ⅰ）解不等式f（x﹣1）+f（1﹣x）≤2；（Ⅱ）若a＜0．求证：f（ax）﹣af（x）≥f（x）．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x﹣1）+f（1﹣x）＝|x﹣2|+|x|．因此只须解不等式|x﹣2|+|x|≤2．当x≤0时，原不式等价于2﹣x﹣x≤2，即x≥0，所以x＝0．当0＜x＜2时，原不式等价于2≤2成立，所以0＜x＜2．当x≥2时，原不式等价于x﹣2+x≤2，即x≤2，所以x＝2．综上，原不等式的解集为{x|0≤x≤2}．…（5分）（Ⅱ）∵f（ax）﹣af（x）＝|ax﹣1|﹣a|x﹣1|，又a＜0时，|ax﹣1|﹣a|x﹣1|＝|ax﹣1|+|﹣ax+a|≥|ax﹣1﹣ax+a|＝|a﹣1|＝f（a），∴a＜0时，f（ax）﹣af（x）≥f（x）．…（10分）。
2014年高三数学二模试卷(理科含答案)
1 / 42014年高考模拟考试试卷高三数学（理科）（考试时间120分钟，满分150分）考生注意：1． 每位考生应同时领到试卷与答题纸两份材料，所有解答必须写在答题纸上规定位置，写在试卷上或答题纸上非规定位置一律无效；2． 答卷前，考生务必将姓名、准考证号码等相关信息在答题纸上填写清楚； 3． 本试卷共23道试题，满分150分，考试时间120分钟。
一、填空题（本大题共14小题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1、经过点 (1, 0)A 且法向量为(2, 1)n =-的直线l 的方程是 ．2、已知集合1|1, A x x R x ⎧⎫=<∈⎨⎬⎩⎭，集合B 是函数lg (1)y x =+的定义域，则A B = ．3、方程22124x y m +=+表示焦点在y 轴上的双曲线，则实数m 取值范围是 ．4、已知数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，()n S n N *∈表示数列{}n a 的前n 项和，则2lim1nn S n →∞=- ．5、在261)x x-（的展开式中，含3x 项的系数等于 ．（结果用数值作答） 6、方程sin cos 1x x +=-的解集是 ． 7、实系数一元二次方程20x ax b ++=的一根为131ix i+=+（其中i 为虚数单位），则 a b += ．8、某高中共有学生1000名，其中高一年级共有学生380人，高二年级男生有180人．如果在 全校学生中抽取1名学生，抽到高二年级女生的概率为0.19，现采用分层抽样（按年级分层） 在全校抽取100人，则应在高三年级中抽取的人数等于 ．9、已知()2x f x =的反函数为111(), ()(1)(1)y f x g x f x f x ---==--+，则不等式()0g x <的解集是．10、已知圆柱M 的底面圆的半径与球O 的半径相同，若圆柱M 与球O 的表面积相等，则它们的体积之比V V 圆柱球：= （结果用数值作答）． 11、在极坐标系中，圆4sin ρθ=的圆心到直线 ()6R πθρ=∈的距离等于 ．12、如果函数(]()210,1()311,ax x f x ax x ⎧-∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，2()log g x x =，关于x 的不等式()()0f x g x ⋅≥ 对于任意(0, )x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是 ．2 / 413、已知二次函数2() ()f x x ax a x R =-+∈同时满足：①不等式()0f x ≤的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在120x x <<，使得不等式12()()f x f x >成立．设数列{}n a 的前n 项 和为n S ，且()n S f n =．规定：各项均不为零的数列{}n b 中，所有满足10i i b b +⋅<的正整数i 的个数称为这个数列{}n b 的变号数．若令1n nab a =-（*n N ∈），则数列{}n b 的变号数等 于 ．14、已知圆22: (01)O x y c c +=<≤，点 (, )P a b 是该圆面（包括⊙O 圆周及内部）上一点，则a b c ++的最小值等于 ．二、选择题（本大题共4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。
2014年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)数学(理)(小题部分)答案解析(正式版)
2014年高考新课标Ⅱ数学（理）卷小题解析（正式版）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题。
每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
【答案】B【解析】由面积公式得：112sin 22B ⨯=，解得2sin 2B =，所学科网以45B =o 或135B =o ，当45B =o 时，由余弦定理得：21222cos45AC =+-o=1，所以1AC =，又因为AB=1，BC=2，所以此时ABC ∆为等腰直角三角形，不合题意，舍去；所以135B =o，由余弦定理得：21222cos135AC =+-o=5，所以5AC =，故选B.【答案】A【解析】设A=“某一天的空气质量为优良”，B=“随后一天的空气质量为优良”，则()0.6(|)0.8()0.75P A B P B A P A ⋂===，故选A.【答案】D【解析】因为'11y a x =-+，所以切线的斜率为12a -=，解得3a =，故选D 。
【答案】B【解析】画出不等式组表示的平面区域,可知区域为三角形，平移直线2z x y =-，可知当经过两条直线310x y -+=与70x y +-=的交点A （5，2）时，取得最大值8，故选B.cos ,||||BM AN BM AN BM AN ⋅==⋅uuu r uuu ruuu r uuu r uuu r uuu r 346522=⋅3010，故选C. 【答案】C【解析】由题意知：()f x 的极值为3±，所以()203f x =⎡⎤⎣⎦，因为'0()3cos 0xf x m m ππ=⋅=，所以,2x k k z mπππ=+∈，所以01,2x k k z m =+∈即011||||22x k m =+≥，所以0||||2mx ≥，即 2200[()]x f x +≥24m +3，而已知()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，所以224m m >+3，故2334m >，解得2m >或2m <-，故选C.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题，每个试题考生都必修作答。
新疆乌鲁木齐市第一中学2014届高三上学期第二次月考数学(理)试题
（请将答案写在答题纸上）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，其中第II 卷第（22）-（24）题为选考题，其他题为必考题。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
第I 卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2320A x x x =-+=，{}log 42x B x ==，则AB =A ．{}2,1,2-B ．{}1,2C ．{}2,2-D ．{}22．已知A 、B 、C 分别为ΔABC 的三个内角，那么“sin cos A B >”是“ΔABC 为锐角三角形”的A ． 充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件 3．下列函数中，在其定义域中，既是奇函数又是减函数的是A.xx f 1)(=B.x x f -=)(C.x x x f 22)(-=-D.x x f tan )(-= 4. 已知0x 是函数f(x) =2x +11x-的一个零点, 若1x ∈（1，0x ），2x ∈（0x ，+∞），则（A ）f(1x )＜0，f(2x )＜0 （B ）f(1x )＜0，f(2x )＞0 （C ）f(1x )＞0，f(2x )＜0 （D ）f(1x )＞0，f(2x )＞05．函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωφωφ=+>><的部分图象如图所示，则将()y f x =的图象向左平移6π个单位后，得到()g x 的图象解析式为A.()sin 2g x x = B ．()sin(2)6g x x π=-C ．2()sin(2)3g x x π=+D ．()cos 2g x x = 6．定义在R 上的函数()f x 满足2log (1),(0),()(1)(2),(0).x x f x f x f x x -≤⎧=⎨--->⎩则f(1)+ f(2) +f(3)+…+ f(2013)的值为A ．-2B ．-1C ．1D ．27．若函数321(02)3x y x x =-+<<的图象上任意点处切线的倾斜角为α，则α的最小值是 A ．4π B ．6π C ．56π D ．34π8．函数x xx xe e y e e --+=-的图像大致为9．与向量a ＝(72，12)，b ＝(12，－72)的夹角相等，且模为1的向量是Ａ.Ｂ.Ｃ. Ｄ.10．设集合{}2),(≤+=y x y x A ，{}2(,)B x y A y x =∈≤，从集合A 中随机地取出一个元素(,)P x y ，则(,)P x y B ∈的概率是第5题图A ．121 B ．32 C ．2417 D ．6511．函数22()(sin cos )2cos f x x x x m =+--在[0,]2π上有零点，则实数m 的取值范围是A ．[1,1]- B． C．[1- D．[ 12．定义方程)(')(x f x f =的实数根0x 叫做函数)(x f 的“驻点”，若函数3(),()ln(1),()1g x x h x x x x φ==+=-的“驻点”分别为γβα，，，则γβα，，的大小关系为A.βαγ>>B.γαβ>>C.γβα>>D.αγβ>>第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个题考生都必须做答．第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．函数y ＝x2－sin x 的单调递减区间是 ． 14．已知a = (cos2α, sin α), b =(1, 2sin α―1), α∈(,ππ2)，若a ·b =52，则tan(α+4π)的值为_________. 15. 设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，都有(2)(2)f x f x -=+，且当[2,0]x ∈-时，1()12xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若关于x 的方程()log (2)0a f x x -+=在区间(2,6]-内恰有三个不同实根，则实数a 的取值范围是 ． 16. 在ABC ∆中，点G 为中线AD 上一点，且1,2AG AD =过点G 的直线分别交,AB AC 于点,E F ，若AC n AF AB m AE ==,，则m ＋3n 的最小值为_________.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．(本小题满分12分)：在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且274s i n c o s222A B C +-=． （Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）求sin sin A B +的最大值．18. (本小题满分12分)设数列{a n}的前n项和S n＝n2，数列{b n}满足b n＝a na n＋m(m∈N*)．(1)若b1，b2，b8成等比数列，试求m的值；(2)是否存在m，使得数列{b n}中存在某项b t满足b1，b4，b t(t∈N*，t≥5)成等差数列？若存在，请指出符合题意的m的个数；若不存在，请说明理由.19．(本小题满分12分)如图，在斜三棱柱111C B A ABC -中，点O 、E 分别是11C A 、1AA 的中点，⊥AO 平面111C B A .已知 90=∠BCA ,21===BC AC AA .(Ⅰ) 求异面直线1AB 与C A 1所成的角； (Ⅱ) 求11C A 与平面11B AA 所成角的正切值．20. （本小题满分12分）：给定抛物线c ∶y 2＝4x ，Ｆ是c 的焦点，过点Ｆ的直线l 与c 相交于Ａ，Ｂ两点. (１)设l 的斜率为１，求与夹角的余弦值；(２)设＝，若λ∈［4，9］，求l 在y 轴上的截距的取值范围.21．（本小题满分12分）： 已知函数()ln(1)2af x x x =+++ （1）当254a =时，求()f x 的单调递减区间； （2）若当0x >时，()1f x >恒成立，求a 的取值范围； （3）求证：1111ln(1)()35721n n N n *+>++++∈+请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．(本小题满分10分)已知AB 为半圆O 的直径，4AB =，C 为半圆上一点，过点C 作半圆的切线CD ，过点A 作AD CD ⊥于D ，交圆于点E ，1DE =． (Ⅰ)求证：AC 平分BAD ∠； (Ⅱ)求BC 的长．ABCO1A 1C 1B E23．(本小题满分10分)已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的正半轴重合，且长度单位相同．直线l 的极坐标方程为：)4sin(210πθρ-=,点(2cos ,2sin 2)P αα+，参数[]0,2απ∈.(Ⅰ)求点P 轨迹的直角坐标方程； (Ⅱ)求点P 到直线l 距离的最大值.24．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲已知函数a a x x f +-=2)(．(Ⅰ)若不等式6)(≤x f 的解集为{}32≤≤-x x ，求实数a 的值；(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，若存在实数n 使)()(n f m n f --≤成立，求实数m 的取值范围．乌鲁木齐市第一中学2013--2014学年第一学期 2014届高三年级第一次月考理科数学参考答案一．选择题二、填空题三、解答题（Ⅱ）由（Ⅰ）得 32π=+B A ．∴ A A A sin 32cos cos 32sinsin ⋅-⋅+=ππ)6sin(3cos 23sin 23π+=+=A A A ． ∵ 320π<<A ，∴ 6566πππ<+<A ．∴ 当26ππ=+A ，即 3π=A 时，B A sin sin +取得最大值为3．19．解法一：(Ⅰ) ∵⊥AO 平面111C B A ，∴AO O AO C A = 11，∴⊥11C B 平面11AC CA ，∴111C B C A ⊥ 又∵AC AA =1， ∴四边形11AC CA 为菱形，∴11AC C A ⊥，且1111B C AC C =∴⊥C A 1平面1AB ∴C A AB 11⊥，即异面直线1AB 与C A 1所成的角为90(Ⅱ)设点1C 到平面11B AA 的距离为d ，∵111111B AA C C B A A V V --=， 即⋅=⋅⋅⋅⋅3121311111AO C B C A S △11B AA d ⋅ 又∵在△11B AA 中，22111==AB B A ，∴S △11AA B 7=．∴7212=d ，∴11C A 与平面11B AA 所成角的正弦值721A 1(Ⅱ)设11C A 与平面11B AA 所成角为θ，∵)0,2,0(11=C A ，111(2,2,0),(0,1A B A A ==设平面11B AA 的一个法向量是(,,)n x y z =则111•0,•0,A B n A A n ⎧=⎪⎨=⎪⎩即220,0.x y y +=⎧⎪⎨=⎪⎩不妨令1x =，可得(1,1,n =-∴11sin cos ,7AC n θ=<>==， ∴11C A 与平面11B AA 所成角的正弦值72120.解： (１)Ｃ的焦点为Ｆ(１，０)，直线l 的斜率为１，所以l 的方程为y ＝x －1. 将y ＝x －1代入方程y 2＝4x ， 整理得x 2－6x ＋1＝0.设Ａ(x 1，y 1)，Ｂ(x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝1..所以与的夹角的余弦值为-3／√41(２)由题设得(x 2－1，y 2)＝λ(1－x 1，－y 1)，即由②得∴， ③联立①、③解得x 2＝λ，依题意有λ＞0. ∴ B (λ，)，或B(λ，－)，又F(1，0)，得直线l 方程为(λ－1)y ＝(x －1)或(λ－1)y ＝－(x －1)，当λ∈［４，９］时，l 在方程y 轴上的截距为或－，把看作函数，设g(λ)＝，λ∈［４，９］，，可知g(λ)＝在［４，９］上是递减的(或用导数g′(λ)＝－＜0，证明g(λ)是减函数).∴，即直线l 在y 轴上截距的变化范围为.22．解：(Ⅰ)连结AC ，因为OA OC =，所以OAC OCA ∠=∠，因为CD 为半圆的切线，所以OC CD ⊥，又因为AD CD ⊥，所以OC ∥AD ，所以OCA CAD ∠=∠，OAC CAD ∠=∠，所以AC 平分BAD ∠． (Ⅱ)由(Ⅰ)知BC CE =，连结CE ，因为ABCE 四点共圆，B CED ∠=∠，所以cos cos B CED =∠， 所以DE CB CE AB=，所以2BC =．。
新疆高三年级第二次诊断测试二模 理科数学答案
理科数学答案
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1~5.BACDD 6~10.DCCBA 11~12. AB
1.选 B.【解析】由题意得 A B = {x | x ³ 1} ．故选 B.
8
2bc
2
3
又∵ a, 2b, c 成等比数列，∴ ac
=
4b2 ，∴
b sin c
B
b sin B 4b2
a sin 4b
B
sin A 4
3. 8
a
( ) ( ) 16.填 2 + ln 3 .【解析】设 f
m
=g
n
=
t
，则
m
=
1+
ln
t
，
n
=
t-1
e3
，
3
3
( ) ( ) ( ) ( ) 令 h t
0.02、0.01,依此画出频率分布直方图；
…6 分
（Ⅱ）调整为间隔 15 分钟发一趟车之后，候车时间原本不超过 10 分钟的数据就有 14 个，
发生了变化的候车时间中不超过 10 分钟的数据又增加了 20 个，共计 34 个，所以候车时
间不超过 10 分钟的频率为 34 0.68 ，由此估计一名乘客候车时间不超过 10 分钟的概率 50
2 求第二项，根据题意求得第一天走了192 里，所以此人第二天走的路程为 96 里．故选 C.
8.选 C.【解析】根据题意得，输出的 k = 4 ．故选 C.
9.选 B.【解析】∵ 是锐角且满足 sin cos 2 ，得 φ = 5π ，
新疆乌鲁木齐地区2014届高三第二次诊断性测验数学文科试卷
新疆乌鲁木齐地区2014届高三第二次诊断性测验数学（文）试卷第I 卷（选择题，共60分） 一、选择题（60分）1、巳知集合A ＝｛x ｜x 2＜1}，B ＝［0，1］，则A ∩B =. A 、(0,1） B.〔0，1］ C ．［0,1） D 、［0，1］ 2.已知复数z 1＝a ＋bi 与z 2＝c ＋di （a ，b ，c ，d ∈R ，z 2≠0），则12z z ∈R 的充要条件是 A 、ad+bc=0 B. ac+bd.=0 C. ac －bd ＝0 D 、ad －bc ＝0 3.已知数列{n a ｝是各项均为正数的等比数列，若23452,216,a a a a =+=则＝ A 、4 B 、8 C 、16 D 、324、某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm ）可得这个几何休的体积是A 、313cmB 、323cmC 、343cmD 、383cm5、已知函数y ＝f （x ）＋x 是偶函数，且f （2）＝1， 则f （－2）＝A 、2B 、3C 、4D 、56、阅读如右图所示的程序框图，若输人n 的值为6，运行相应程序， 则输出的n 的值为 A 、3 B 、5 C 、10 D ．167若平面向量a ，b ，c 两两所成的角相等，且｜a ｜＝1，｜b ｜＝1 ｜c ｜＝3，则｜a ＋b ＋c ｜等于A 、2B 、5C 、2或5 D8、已知⊙A 1：（x ＋2）2＋y 2＝12和点A 2（2，0），则过点A 2且与⊙A 1相切的动圆圆心P 的轨迹方程为A 、2213x y -= B 、2213x y += C 、222x y -= D 、221128x y +=9、将函数f （x ）＝sin （2x ＋θ）（一2π＜θ＜2π＝的图象向右平移ϕ（ϕ＞0）介单位长度后得到函数g （x ）的图象，若f （x ），g （x ）的图象都过点P （0），则ϕ的值可以是 A 、53π B 、56π C 、2π D 、6π10、已知△ABC 中，AB ＝1，AC ＝2，则BC ＝ ABC 、2 D11、设0.10.20.3log 0.2,log 0.4,log 0.6a b c ===，则A ．a ＞b ＞cB 、a ＞c ＞bC 、b ＞c ＞aD 、c ＞b ＞a12若直线ax ＋by ＋c ＝0与抛物线y 2＝2x 交于P ，Q 两点，F 为抛物线的焦点，直线PF ，QF 分别交抛物线于点M ．N ，则直线MN 的方程为A 、4cx －2by ＋a ＝0B 、ax －2by ＋4c ＝0C 、4cx ＋2by ＋a ＝0D 、ax ＋2by ＋4c ＝0第II 卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13题一第21题为必考题．每个试题考生都必须作答．第22题一第24题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．共20分．13．设等差数列｛n a ｝的前n 项和为Sn ，若S 4＝11，S 12＝9，则S 20＝＿＿＿＿14、已知关于x ，y 的二元一次不式组24120x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，则3x －y 的最大值为＿＿＿＿15、直线1(0,0)x ya b a b+=>>经过点（1,1），则ab 的最小值为＿＿＿＿ 16、直三棱柱ABC 一A 1 B 1C 1的各顶点都在同一个球面上．若AB ＝AC ＝AA 1＝2，∠BAC ＝120°，则此球的表面积等于＿＿＿＿三、解答题：第17～21题每题12分，解答应在答卷《答题卡｝的相应各颐中写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本题满分12分）如图，已知OPQ 3π的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形，记∠COP ＝x ，矩形ABCD 的面积为f （x ）。
2014年全国2卷数学答案.
2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.1．（5分）设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N=（）A．{1} B．{2} C．{0，1} D．{1，2}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出集合N的元素，利用集合的基本运算即可得到结论．解答：解：∵N={x|x2﹣3x+2≤0}={x|1≤x≤2}，∴M∩N={1，2}，故选：D．点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，则z1z2=（）A．﹣5 B．5C．﹣4+i D．﹣4﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：根据复数的几何意义求出z2，即可得到结论．解答：解：z1=2+i对应的点的坐标为（2，1），∵复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，∴（2，1）关于虚轴对称的点的坐标为（﹣2，1），则对应的复数，z2=﹣2+i，则z1z2=（2+i）（﹣2+i）=i2﹣4=﹣1﹣4=﹣5，故选：A点评：本题主要考查复数的基本运算，利用复数的几何意义是解决本题的关键，比较基础．3．（5分）设向量，满足|+|=，|﹣|=，则•=（）A．1B．2C．3D．5考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：将等式进行平方，相加即可得到结论．解答：解：∵|+|=，|﹣|=，∴分别平方得+2•+=10，﹣2•+=6，两式相减得4•=10﹣6=4，即•=1，故选：A．点评：本题主要考查向量的基本运算，利用平方进行相加是解决本题的关键，比较基础．4．（5分）钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=（）A．5B．C．2D．1考点：余弦定理．专题：三角函数的求值．分析：利用三角形面积公式列出关系式，将已知面积，AB，BC的值代入求出sinB的值，分两种情况考虑：当B 为钝角时；当B为锐角时，利用同角三角函数间的基本关系求出cosB的值，利用余弦定理求出AC的值即可．解答：解：∵钝角三角形ABC的面积是，AB=c=1，BC=a=，∴S=acsinB=，即sinB=，当B为钝角时，cosB=﹣=﹣，利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB=1+2+2=5，即AC=，当B为锐角时，cosB==，利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB=1+2﹣2=1，即AC=1，此时AB2+AC2=BC2，即△ABC为直角三角形，不合题意，舍去，则AC=．故选：B．点评：此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．5．（5分）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45考点：相互独立事件的概率乘法公式．专题：概率与统计．分析：设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.75×p=0.6，由此解得p的值．解答：解：设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则有题意可得0.75×p=0.6，解得p=0.8，故选：A．点评：本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，属于基础题．6．（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据求解几何体的体积即可．解答：解：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为3高为2，一个是底面半径为2，高为4，组合体体积是：32π•2+22π•4=34π．底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯的体积为：32π×6=54π．切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为：=．故选：C．点评：本题考查三视图与几何体的关系，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S=（）A．4B．5C．6D．7考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据条件，依次运行程序，即可得到结论．解答：解：若x=t=2，则第一次循环，1≤2成立，则M=，S=2+3=5，k=2，第二次循环，2≤2成立，则M=，S=2+5=7，k=3，此时3≤2不成立，输出S=7，故选：D．点评：本题主要考查程序框图的识别和判断，比较基础．8．（5分）设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=（）A．0B．1C．2D．3考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用．分析：根据导数的几何意义，即f′（x0）表示曲线f（x）在x=x0处的切线斜率，再代入计算．解答：解：，∴y′（0）=a﹣1=2，∴a=3．故答案选D．点评：本题是基础题，考查的是导数的几何意义，这个知识点在高考中是经常考查的内容，一般只要求导正确，就能够求解该题．在高考中，导数作为一个非常好的研究工具，经常会被考查到，特别是用导数研究最值，证明不等式，研究零点问题等等经常以大题的形式出现，学生在复习时要引起重视．9．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（）A．10 B．8C．3D．2考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=2x﹣y得y=2x﹣z，平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点C时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大．由，解得，即C（5，2）代入目标函数z=2x﹣y，得z=2×5﹣2=8．故选：B．点评：本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．10．（5分）设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB 的面积为（）A．B．C．D．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由抛物线方程求出焦点坐标，由直线的倾斜角求出斜率，写出过A，B两点的直线方程，和抛物线方程联立后化为关于y的一元二次方程，由根与系数关系得到A，B两点纵坐标的和与积，把△OAB的面积表示为两个小三角形AOF与BOF的面积和得答案．解答：解：由y2=3x，得2p=3，p=，则F（）．∴过A，B的直线方程为y=，即．联立，得．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．∴==．故选：D．点评：本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查数学转化思想方法，涉及直线和圆锥曲线关系问题，常采用联立直线和圆锥曲线，然后利用一元二次方程的根与系数关系解题，是中档题．11．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（）A．B．C．D．考点：异面直线及其所成的角．专题：空间位置关系与距离．分析：画出图形，找出BM与AN所成角的平面角，利用解三角形求出BM与AN所成角的余弦值．解答：解：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，如图：BC 的中点为O，连结ON，，则MN0B是平行四边形，BM与AN所成角就是∠ANO，∵BC=CA=CC1，设BC=CA=CC1=2，∴CO=1，AO=，AN=，MB===，在△ANO中，由余弦定理可得：cos∠ANO===．故选：C．点评：本题考查异面直线对称角的求法，作出异面直线所成角的平面角是解题的关键，同时考查余弦定理的应用．12．（5分）设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）考点：正弦函数的定义域和值域．专题：三角函数的图像与性质．分析：由题意可得，f（x0）=±，且=kπ+，k∈z，再由题意可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，可得m2 ＞m2+3，由此求得m的取值范围．解答：解：由题意可得，f（x0）=±，且=kπ+，k∈z，即x0=m．再由x02+[f（x0）]2＜m2，可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，∴m2 ＞m2+3，∴m2＞4．求得m＞2，或m＜﹣2，故选：C．点评：本题主要正弦函数的图象和性质，函数的零点的定义，体现了转化的数学思想，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答）13．（5分）（x+a）10的展开式中，x7的系数为15，则a=．考点：二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得x7的系数，再根据x7的系数为15，求得a的值．解答：解：（x+a）10的展开式的通项公式为T r+1=•x10﹣r•a r，令10﹣r=7，求得r=3，可得x7的系数为a3•=120a3=15，∴a=，故答案为：．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．14．（5分）函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）的最大值为1．考点：三角函数的最值；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用两角和差的正弦公式、余弦公式化简函数的解析式为f（x）=sinx，从而求得函数的最大值．解答：解：函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）=sin[（x+φ）+φ]﹣2sinφcos（x+φ）=sin（x+φ）cosφ+cos（x+φ）sinφ﹣2sinφcos（x+φ）=sin（x+φ）cosφ﹣cos（x+φ）sinφ=sin[（x+φ）﹣φ]=sinx，故函数f（x）的最大值为1，故答案为：1．点评：本题主要考查两角和差的正弦公式、余弦公式的应用，正弦函数的最值，属于中档题．15．（5分）已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围是（﹣1，3）．考点：函数奇偶性的性质；函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式等价转化为f（|x﹣1|）＞f（2），即可得到结论．解答：解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，∴不等式f（x﹣1）＞0等价为f（x﹣1）＞f（2），即f（|x﹣1|）＞f（2），∴|x﹣1|＜2，解得﹣1＜x＜3，故答案为：（﹣1，3）点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性之间的关系的应用，将不等式等价转化为f（|x﹣1|）＞f（2）是解决本题的关键．16．（5分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是[﹣1，1]．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：画出图形即可得到结果．解答：解：由题意画出图形如图：∵点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，∴圆心到MN的距离为1，要使MN=1，才能使得∠OMN=45°，图中M′显然不满足题意，当MN垂直x轴时，满足题意，∴x0的取值范围是[﹣1，1]．故答案为：[﹣1，1]．点评：本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线设出角的求法，数形结合是快速解得本题的策略之一．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.17．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n+1．（Ⅰ）证明{a n+}是等比数列，并求{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明：++…+＜．考点：数列的求和；等比数列的性质．专题：证明题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）根据等比数列的定义，后一项与前一项的比是常数，即=常数，又首项不为0，所以为等比数列；再根据等比数列的通项化式，求出{a n}的通项公式；（Ⅱ）将进行放大，即将分母缩小，使得构成一个等比数列，从而求和，证明不等式．解答：证明（Ⅰ）==3，∵≠0，∴数列{a n+}是以首项为，公比为3的等比数列；∴a n+==，即；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当n≥2时，＜=，∴当n=1时，成立，当n≥2时，++…+1+…+==＜．∴对n∈N+时，++…+＜．点评：本题考查的是等比数列，用放缩法证明不等式，证明数列为等比数列，只需要根据等比数列的定义就行；数列与不等式常结合在一起考，放缩法是常用的方法之一，通过放大或缩小，使原数列变成一个等比数列，或可以用裂项相消法求和的新数列．属于中档题．18．（12分）如图，四棱柱P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E﹣ACD的体积．考点：二面角的平面角及求法；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）连接BD交AC于O点，连接EO，只要证明EO∥PB，即可证明PB∥平面AEC；（Ⅱ）延长AF至M连结DM，使得AM⊥DM，说明∠CMD=60°，是二面角的平面角，求出CD，即可三棱锥E﹣ACD的体积．解答：（Ⅰ）证明：连接BD交AC于O点，连接EO，∵O为BD中点，E为PD中点，∴EO∥PB，（2分）EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC；（6分）（Ⅱ）解：延长AF至M连结DM，使得AM⊥DM，∵四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，∴CD⊥平面AMD，二面角D﹣AE﹣C为60°，∴∠CMD=60°，∵AP=1，AD=，∠ADP=30°，∴PD=2，E为PD的中点．AF=1，∴DM=，CD==．三棱锥E﹣ACD的体积为：==．点评： 本题考查直线与平面平行的判定，几何体的体积的求法，二面角等指数的应用，考查逻辑思维能力，是中档题．19．（12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y （单位：千元）的数据如下表：年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013年份代号t 1 2 3 4 5 6 7人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9（Ⅰ）求y 关于t 的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．考点：线性回归方程．专题：计算题；概率与统计．分析： （Ⅰ）根据所给的数据，利用最小二乘法可得横标和纵标的平均数，横标和纵标的积的和，与横标的平方和，代入公式求出b 的值，再求出a 的值，写出线性回归方程．（Ⅱ）根据上一问做出的线性回归方程，代入所给的t 的值，预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入，这是一个估计值．解答：解：（Ⅰ）由题意，=（1+2+3+4+5+6+7）=4，=（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）=4.3， ∴===0.5，=﹣=4.3﹣0.5×4=2.3．∴y 关于t 的线性回归方程为=0.5t+2.3； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，b=0.5＞0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．将2015年的年份代号t=9代入=0.5t+2.3，得： =0.5×9+2.3=6.8，故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．点评： 本题考查线性回归分析的应用，本题解题的关键是利用最小二乘法认真做出线性回归方程的系数，这是整个题目做对的必备条件，本题是一个基础题．20．（12分）设F 1，F 2分别是C ：+=1（a ＞b ＞0）的左，右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N ．（1）若直线MN 的斜率为，求C 的离心率；（2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN|=5|F 1N|，求a ，b ．考点： 椭圆的应用．专题： 圆锥曲线中的最值与范围问题．分析： （1）根据条件求出M 的坐标，利用直线MN 的斜率为，建立关于a ，c 的方程即可求C 的离心率； （2）根据直线MN 在y 轴上的截距为2，以及|MN|=5|F 1N|，建立方程组关系，求出N 的坐标，代入椭圆方程即可得到结论．解答： 解：（1）∵M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，∴M 的横坐标为c ，当x=c 时，y=，即M （c ，），若直线MN 的斜率为， 即tan ∠MF 1F 2=，即b 2==a 2﹣c 2， 即c 2﹣﹣a 2=0， 则， 解得e=． （Ⅱ）由题意，原点O 是F 1F 2的中点，则直线MF 1与y 轴的交点D （0，2）是线段MF 1的中点，故=4，即b2=4a，由|MN|=5|F1N|，解得|DF1|=2|F1N|，设N（x1，y1），由题意知y1＜0，则，即代入椭圆方程得，将b2=4a代入得，解得a=7，b=．点评：本题主要考查椭圆的性质，利用条件建立方程组，利用待定系数发是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣e﹣x﹣2x．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）=f（2x）﹣4bf（x），当x＞0时，g（x）＞0，求b的最大值；（Ⅲ）已知1.4142＜＜1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：压轴题；导数的综合应用．分析：对第（Ⅰ）问，直接求导后，利用基本不等式可达到目的；对第（Ⅱ）问，先验证g（0）=0，只需说明g（x）在[0+∞）上为增函数即可，从而问题转化为“判断g'（x）＞0是否成立”的问题；对第（Ⅲ）问，根据第（Ⅱ）问的结论，设法寻求ln2，于是在b=2及b＞2的情况下分别计算，最后可估计ln2的近似值．解答：解：（Ⅰ）由f（x）得f'（x）=e x+e﹣x﹣2，即f'（x）≥0，当且仅当e x=e﹣x即x=0时，f'（x）=0，∴函数f（x）在R上为增函数．（Ⅱ）g（x）=f（2x）﹣4bf（x）=e2x﹣e﹣2x﹣4b（e x﹣e﹣x）+（8b﹣4）x，则g'（x）=2[e2x+e﹣2x﹣2b（e x+e﹣x）+（4b﹣2）]=2[（e x+e﹣x）2﹣2b（e x+e﹣x）+（4b﹣4）]=2（e x+e﹣x﹣2）（e x+e﹣x﹣2b+2）．①∵e x+e﹣x≥2，e x+e﹣x+2≥4，∴当2b≤4，即b≤2时，g'（x）≥0，当且仅当x=0时取等号，从而g（x）在R上为增函数，而g（0）=0，∴x＞0时，g（x）＞0，符合题意．②当b＞2时，若x满足2＜e x+e﹣x＜2b﹣2即时，g'（x）＜0，又由g（0）=0知，当时，g（x）＜0，不符合题意．综合①、②知，b≤2，得b的最大值为2．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，．当b=2时，由，得；当时，有，由，得．所以ln2的近似值为0.693．点评：1．本题三个小题的难度逐步增大，考查了学生对函数单调性深层次的把握能力，对思维的要求较高，属压轴题．2．从求解过程来看，对导函数解析式的合理变形至关重要，因为这直接影响到对导数符号的判断，是解决本题的一个重要突破口．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC 的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD•DE=2PB2．考点：与圆有关的比例线段；相似三角形的判定．专题：选作题；几何证明．分析：（Ⅰ）连接OE，OA，证明OE⊥BC，可得E是的中点，从而BE=EC；（Ⅱ）利用切割线定理证明PD=2PB，PB=BD，结合相交弦定理可得AD•DE=2PB2．解答：证明：（Ⅰ）连接OE，OA，则∠OAE=∠OEA，∠OAP=90°，∵PC=2PA，D为PC的中点，∴PA=PD，∴∠PAD=∠PDA，∵∠PDA=∠CDE，∴∠OEA+∠CDE=∠OAE+∠PAD=90°，∴OE⊥BC，∴E是的中点，∴BE=EC；（Ⅱ）∵PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，∴PA2=PB•PC，∵PC=2PA，∴PA=2PB，∴PD=2PB，∴PB=BD，∴BD•DC=PB•2PB，∵AD•DE=BD•DC，∴AD•DE=2PB2．点评：本题考查与圆有关的比例线段，考查切割线定理、相交弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程ρ=2cosθ，θ∈[0，]．（Ⅰ）求C的参数方程；（Ⅱ）设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D的坐标．考点：参数方程化成普通方程；利用导数研究曲线上某点切线方程；圆的参数方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）半圆C的极坐标方程化为直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1，令x﹣1=cosα∈[﹣1，1]，y=sinα，可得半圆C的参数方程．（Ⅱ）由题意可得直线CD和直线l平行．设点D的坐标为（1+cosα，sinα），根据直线CD和直线l的斜率相等求得cotα的值，可得α的值，从而得到点D的坐标．解答：解：（Ⅰ）半圆C的极坐标方程ρ=2cosθ，θ∈[0，]，即ρ2=2ρcosθ，化为直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1，x∈[0，2]、y∈[0，1]．令x﹣1=cosα∈[﹣1，1]，y=sinα，α∈[0，π]．故半圆C的参数方程为，α∈[0，π]．（Ⅱ）设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，∴直线CD和直线l平行，故直线CD和直线l斜率相等．设点D的坐标为（1+cosα，sinα），∵C（1，0），∴=，解得tanα=，即α=，故点D的坐标为（，）．点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程，把直角坐标方程化为参数方程，注意参数的范围，属于基础题．六、解答题（共1小题，满分0分）24．设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）由a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|，利用绝对值三角不等式、基本不等式证得f（x）≥2成立．（Ⅱ）由f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，分当a＞3时和当0＜a≤3时两种情况，分别去掉绝对值，求得不等式的解集，再取并集，即得所求．解答：解：（Ⅰ）证明：∵a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|≥|（x+）﹣（x﹣a）|=|a+|=a+≥2=2，故不等式f（x）≥2成立．（Ⅱ）∵f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，∴当a＞3时，不等式即a+＜5，即a2﹣5a+1＜0，解得3＜a＜．当0＜a≤3时，不等式即6﹣a+＜5，即a2﹣a﹣1＞0，求得＜≤3．综上可得，a的取值范围（，）．点评：本题主要考查绝对值三角不等时，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．参与本试卷答题和审题的老师有：caoqz；maths；静定禅心；qiss；sllwyn；刘长柏；任老师；sxs123；尹伟云（排名不分先后）菁优网2014年6月23日。
新疆乌鲁木齐地区高三数学第二次诊断性测试试题 理
乌鲁木齐地区2015年高三年级第二次诊断性测验理科数学试卷第Ⅰ卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合A=，B=，则集合A B=A. (-2，2)B. (-3，2)C. (-2，1)D. (-3，1)2.复数的共轭复数是A. 1+iB. -1+iC. 1-iD. -1-i3.若角的终边过点P(-3,-4),则cos的值为A. B. C. D.4.设m，n是两条不同的直线，是两个不重合的平面，下列四个命题：①；②；③；④。
其中为真命题的是A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④5.曲线在点（1，e）处的切线与直线垂直，则的值为A. B. C. D.6.设函数是区间上的减函数，则实数t的取值范围是A. B.C. D.7.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的表面积为A. B. C. D.8.如图算法，若输入m=210，n=119，则输出的n为A. 2B. 3C. 7D. 119.一个人将编号为1，2，3，4的四个小球随机放入编号为1，2，3，4的四个盒子，每个盒子放一个小球，球的编号与盒子的编号与盒子的编号相同时叫做放对了，否则叫做放错了。
设放对的个数记为，则的期望的值为A. B. C. 1 D. 210.已知函数为奇函数，，即，则数列的前15项和为A. 13B. 14C. 15D. 1611. 过双曲线的右焦点作斜率为-1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为A,B。
若，则双曲线的渐近线方程为A. B.C. D.12.已知△ABC中角A,B,C的对边分别是，满足，则的最大值为A. B. C. D.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生必须做答.第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答.二.填空题13.二项式的展开式中的系数为10，则实数m等于_______.(用数字填写答案)14.△ABC中，，且CA=3，点M满足，则= _________.15.设函数，实数,且,则的取值范围是__________.16.设抛物线的焦点为F，其准线与x轴的交点为Q，过点F作直线与此抛物线交于A,B两点，若，则________.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）已知数列的前n项和为，对任意的正整数n，都有成立.（Ⅰ）求证数列为等比数列；（Ⅱ）求数列的前n项和。
乌鲁木齐地区高三年级第二次诊断性测验理科数学答案.doc
乌鲁木齐地区2016年高三年级第二次诊断性测验理科数学答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分． 1~5 BAADC 6~10 ACDCC 11~12 DB1.选B .【解析】∵{}22B x x =-<<，∴()1,2A B =I ，故选B. 2.选A.【解析】∵i ii i i i i i +=+=+-++=-+1171717)4)(4()4)(35(435，对应的点为()1,1.故选A. 3.选A .【解析】∵()f x 是偶函数，∴()()f x f x =，∴()1213f x f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，再根据()f x 的单调性，得1|21|3x -<，解得1233x <<.故选B . 4.选D .【解析】不等式组表示的平面区域如图所示， 平移直线2xy =-，可知当经过点()1,0A 时， 2z x y =+取最小值1.故选D .5.选C .【解析】由552sin -=⎪⎭⎫⎝⎛+απ,得55cos -=α，又∵α是第二象限角, ∴tan 2α=-，∴原式=()22cos tan 9221tan 52cos sin 2ααααα+=⋅=++.故选C . 6.选A .【解析】由几何体的三视图，可知该几何体为截去一角的 长方体，其直观图如图所示，所以其体积1166344310032V =⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=，故选A .7.选C .【解析】()12AE DB AB AD AB AD ⎛⎫⋅=+⋅- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r2211322AB AB AD AD =-⋅-=u u u r u u u r u u u r u u u r ，故选C .8.选D .【解析】由234k k ≥+，解得1k ≤-或4k ≥.由框图可知，开始，0k =，4P =.第一步，02422P =⨯=，011k =+=.第二步， 213222P =⨯=，112k =+=.第三步，325222P =⨯=，213k =+=.第四步，538222P =⨯=，314k =+=.第五ABCD 1C 1A 1M NB 1D42243步，因为44k =≥，满足判断框内的条件，故输出结果为888log 23z ==.故选D . 9.选C.【解析】由题意知，20,10x y +>+>，()()214x y +++=，则4121x y +=++ ()()()41141121215+54214214y x x y x y x y ⎡+⎡⎤⎛⎫+++++=+≥+⎡⎤⎢⎢⎥ ⎪⎣⎦++++⎢⎝⎭⎣⎦⎣ 94=，当且仅当31,32==y x 时，112+++y x x 取最小值49.故选C . 10.选C .【解析】()2sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，∵[]0,2x π∈，∴()[]2,2f x ∈- ，01a <<，方程()f x a =有两根12,x x ，由对称性，有1236622x x πππ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，∴1283x x π+=，故选C .11.选D .【解析】令()()ln 0x f x x x =>，则()21ln xf x x-'=，令()0='x f 则e x =， 当()e x ,0∈时，0ln 1>-x ，()0>'x f ，当[)+∞∈,e x 时，0ln 1<-x ，()0<'x f ， ∴函数()f x 的增区间为()e ,0，减区间为[)+∞,e ，又()+∞∈,1e ∴当b a e >>时，()()a f b f <，即aab b ln ln <，即a b b a ln ln < 而e b a >>时，bba a ln ln <，即ab b a ln ln >，故A 、B 不正确， 令()x e x g x=，同理可知函数()x g 的增区间为[)+∞,1，减区间为()1,∞-∴当1>>b a 时，()()b g a g >，即be a e ba >，即ab be ae <,故选D . 12.选B .【解析】设()00,P x y ，交点(),A A A x y ，则()00:PA a l y y x x b-=--，与by x a =联立，得()()00002222,a ax by b ax by A a b a b ++⎛⎫⎪++⎝⎭，若要点A 始终在第一象限，需要000ax by +>即要00bx y a>-恒成立，若点P 在第一象限，此不等式显然成立；只需要若点P 在第四象限或坐标轴上此不等式也成立.此时00y ≤，∴222002a x y b>，而2220021x y b a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故2222022a b x b b a ⎛⎫->- ⎪⎝⎭恒成立，只需22220a b b a -≥，即a b ≥，∴1e <≤故选B .二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.填20.【解析】()51x +展开式的通项为15r rr T C x +=，由题意可知，2x 的系数为21551220C C ⨯+⨯=.14.填362．【解析】不妨设椭圆方程为12222=+by a x ()0a b >>，依题意得1b c ==，a =得椭圆方程为2212x y +=，设此内接正方形在第一象限的顶点坐标为()00,x x ，代入椭圆方程，得360=x ，所以正方形边长为362.15.填4336- ．【解析】由题意得，2sin sin b a B A ==，而1=b ，∴21sin =B ，又2b a c =+，B 不可能是钝角，cos 2B =，而()22232cos 22a c ac b ac B ac ac+---==，即3222ac ac -=336323-=+=ac ，∴ABC S ∆=B ac sin 214336-=.16.填π7．【解析】在四面体ABCD 中，取线段CD 的中点为E ，连结BE AE ,，2AC AD BC BD ====，则CD BE CD AE ⊥⊥,，在AED Rt ∆中6=CD ,∴2AE =，同理210=BE ，取AB 的中点为F ,由BE AE =，得AB EF ⊥，在EFA Rt ∆中，6=AB ，1EF =,取EF 的中点为O ，则21=OF ,在OFA Rt ∆中2OA =，OD OC OB OA ===,∴该四面体的外接球的半径是27，其外接球的表面积是π7.三、解答题：第17~21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，说明过程或演算步骤． 17.（12分）（Ⅰ）当1n =时，由1121S a =-得11a =，2n =时，由12221a a a +=-，22a =， 当2n ≥时，21n n S a =-，1121n n S a --=- ，两式相减，得122n n n a a a -=-， 即12nn a a -=， 所以{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，则12n n a -=. …6分 （Ⅱ）122log log 21n n n b a n -===-，令n n n c a b =，则()121n n c n -=-记数列{}n n a b 的前n 项和为n T ，即()012102122212n n T n -=⨯+⨯+⨯++-⋅L 则()()123120212222212n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅+-⋅L ， 两式相减，得()()()11212120222121212n n n n n T n n ----=++++--⋅=--⋅-L1222n n n +=-+-⋅ ∴1222n n n T n +=⋅-+ …12分18.（12分）（Ⅰ）连结BE ,由题意得BE AC ⊥,又∵PC ⊥平面ABC ，∴PC BE ⊥,∴BE ⊥面PAC ,∴BE AP ⊥,又∵EF AP ⊥，∴AP ⊥面BEF ,∴AP FB ^； …6分（Ⅱ）如图，以E 为坐标原点，分别以EB u u u r ,EC u u ur 的方向为x 轴，y 轴正方向，建立空间直角坐标系E xyz -.由题意得()0,1,0A -，110,,22F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，)B，()0,1,0C ，则()BC =u u u r,11,22FB ⎫=-⎪⎭u u u r ，设平面FBC 的法向量为(),,x y z =n ，则00BC FB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r n n，即011022y y z ⎧+=⎪+-=，令y =1x =，z =(=n ，易知，平面AFC 的法向量为()1,0,0EB ==u u u r p ,∴cos ,31⋅==n p n p n p ， 即，二面角A FC B --…12分 19.（12分）()22421614488.145 6.63524182220K ⨯-⨯=≈≥⨯⨯⨯所以根据此统计有99%的把握认为学生选答“几何类”与性别有关. …6分 （Ⅱ）根据分层抽样得，在选答“选修4—1”“选修4—4”和“选修4—5”的同学中分别抽取2名，2名，3名，依题意知X 的可能取值为2,1,0()51350318212212316212212===C C C C C C X P , ()211623185117C C P X C ===,()121623181251C C P X C ===, 所以X 的分布列为()31=X E …12分 20.(12分)（Ⅰ）依题意，点P 到点()1,0F 的距离与它到直线1x =-的距离相等，∴点P 的轨迹E是以F 为焦点，以直线1x =-为准线的抛物线，∴E 的方程为24yx =（或x 轴负半轴； …6分 （Ⅱ）根据对称性只考虑AB 的斜率为正的情形，设点,,,A B M F 在准线上的投影分别为11,,,A B N H ，要证CA CB CM CF ⋅=⋅，就是要证CA CFCM CB=， 只需证11CA CHCN CB =，即证11CA CB CN CH ⋅=⋅…① 设直线AB 的方程为1x my =+，代入24yx =，得2440y my --=，设()()1122,,,A x y B x y ，则124y y m +=…②，124y y =-…③， 在1x my =+中，令1x =-，得2y m -=，即21,C m -⎛⎫- ⎪⎝⎭因此，要证①式成立，只需证：()()()12122c c c c y y y y y y y y +⎛⎫-⋅-=-⋅-⎪⎝⎭只需证：121202c y y y y y +-=…④， 由②③两式，可知121224202c y y y y y m m +⎛⎫-=---= ⎪⎝⎭， ∴④式成立，∴原命题获证． …12分21.(12分)（Ⅰ）当1m =时，令()()()3103x g x f x x =--<≤，则()31x g x x-'=+， 当10x -<≤时，30x -≥，10x +>，∴()0g x '≥，此时函数()g x 递增，∴当10x -<≤时，()()00g x g ≤=，当10x -<≤时，()33x f x ≤…① …5分（Ⅱ）()11mx x m m f x mx ⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦'=+ …② 令()0f x '=，得10x =，21x m m=-，⑴当1m =时，120x x ==，由②得()21x f x x'=+…③∴当1x >-时，10x +>，20x ≥， ∴()0f x '≥，此时，函数()f x 为增函数，∴10x -<<时，()()00f x f <=，()00f =，0x >时，()()00f x f >=， 故函数()y fx =，在1x>-上有且只有一个零点0x = ；⑵当01m <<时，10m m -<，且11m m m-<-， 由②知，当11,x m m m ⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦，10mx +>，0mx <，10x m m ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭，此时，()0f x '≥；同理可得，当1,0x m m ⎛⎤∈-⎥⎝⎦，()0f x '≤；当0x ≥时，()0f x '≥；∴函数()y fx =的增区间为11,m m m ⎛⎤-- ⎥⎝⎦和()0,+∞，减区间为1,0m m ⎛⎤- ⎥⎝⎦故，当10m x m-<<时，()()00f x f >=，当0x >时，()()00f x f >=∴函数()y fx =，1,x m m⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭有且只有一个零点0x =；又222111ln 2f m m m m m ⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，构造函数()11ln 2t t t t ϕ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，01t <<，则()()222111112t t t t tϕ--⎛⎫'=-+= ⎪⎝⎭ …④，易知，对()0,1t ∀∈，()0t ϕ'≤， ∴函数()y t ϕ=，01t <<为减函数，∴()()10t ϕϕ>=由01m <<，知201m <<，∴()222111=ln 02f m m m m m ⎛⎫⎛⎫---> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…⑤ 构造函数()()ln 10k x x x x =-+>，则()1xk x x-'=，当01x <≤时，()0k x '≥，当1x >时，()0k x '<，∴函数()y k x =的增区间为(]0,1，减区间为()1,+∞，∴()()10k x k ≤=，∴有222111ln 11m m m≤-<+，则2112m e m --<，∴21111mem mm ---<-，当21111m ex mm----<<时，()21ln 11mx m+<--…⑥ 而222112x mx x mx m-<-<+…⑦ 由⑥⑦知()()22211ln 11102x f x mx mx m m=++-<--++=…⑧ 又函数()y fx =在11,m m m ⎛⎤--⎥⎝⎦上递增，21111m em m m---->由⑤⑧和函数零点定理知，2011,m x mm ⎛⎫-∃∈- ⎪⎝⎭，使得()00f x =综上，当01m <<时，函数()()2ln 12x f x mx mx =++-有两个零点， ⑶当1m >时，10m m ->，由②知函数()y f x =的增区间是1,0m ⎛⎤- ⎥⎝⎦和1,m m ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，减区间是10,m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭…⑨由④知函数()y t ϕ=，当1t >为减函数，∴当1t >时()()10t ϕϕ<= 从而10f m m⎛⎫-< ⎪⎝⎭；当2x m >时，12m m m ⎛⎫>-⎪⎝⎭其中，11mx +> ()()()()2ln 1ln 12022x xf x mx mx mx x m =++-=++->…⑩ 又1x m m >-时，函数()y f x =递增，∴01,2x m m m ⎛⎫∃∈- ⎪⎝⎭使得()00f x =，根据⑨知，函数1,0x m ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，有()0f x <；10,x m m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x <，()0f x =，∴函数()11,y f x x m mm ⎛⎫=∈-- ⎪⎝⎭有且只有一个零点0x =综上所述：当01m <<和1m >时，函数()y fx =有两个零点，当1m =时，函数()y fx =有且仅有一个零点． …12分请考生在第22、23、24题中任选一题作答，并将所选的题号下的“○”涂黑．如果多做，则按所做的第一题记分，满分10分． 22．（10分） （Ⅰ）连结EF ，延长AH 交BC 于D ，过C 点平行于AH 的直线是CM ， ∵BC 是直径，∴90BEC BFC ∠=∠=︒，∴180AFH AEH ∠+∠=︒，∵,,,A F H E 四点共圆，∴1=2∠∠，又∵BFEC 是圆内接四边形，∴1=3∠∠， ∴2=3∠∠，而=C C ∠∠,∴ADC ∆∽BEC ∆, ∴=90ADC BEC ∠∠=︒, ∴AD BC ⊥, ∴CM BC ⊥,∴CM 是⊙O 的切线． …5分 （Ⅱ）∵180HDC HEC ∠+∠=︒,∴,,,H D C E 四点共圆， ∴BH BE BD BC ⋅=⋅, 同理CH CF CD BC ⋅=⋅, 两式相加++BH BE CH CF BD BC CD BC ⋅⋅=⋅⋅()2=BD CD BC BC +⋅= …10分23．（10分）（Ⅰ）由=2cos =sin ρθρθ⎧⎨⎩，得2cos =sin θθ，tan 2θ=，∴2OA k = …5分（Ⅱ）设A 的极角为θ，tan 2θ=，则255sin ,cos 55θθ==，则1,2B ρθπ⎛⎫-⎪⎝⎭,代入=2cos ρθ得1=2cos 2sin 25ρθπθ⎛⎫-== ⎪⎝⎭2,2C ρθπ⎛⎫+⎪⎝⎭,代入=sin ρθ得2π=sin +cos 25ρθθ⎛⎫==⎪⎝⎭，∴1255BC ρρ=+=+= …10分 24．（10分） （Ⅰ）∵()()()1212fx x f x f x λμλμ+-+⎡⎤⎣⎦()()()()22212121122333x x x x x x x x λμλμλμ⎡⎤=+-+--+-⎣⎦()()2222112211221212x x x x x x x x λλλμμμλμλμλμ=-++-=-+- ()2120x x λμ=--≤ ∴()()()f λx μx λf x μf x ≤1212++ …5分（Ⅱ）∵()()221211221212333f x f x x x x x x x x x -=--+=-+-∵120,1x x ≤≤，∴1202x x ≤+≤，∴12331x x -≤+-≤-，∴1233x x +-≤，∴使()()1212f x f x L x x -≤-恒成立的L 的最小值是3． …10分以上各题的其他解法，限于篇幅从略，请相应评分．。
新疆乌鲁木齐市近年届高三数学第二次诊断性测试试题理(含解析)(最新整理)
若一平面内两相交直线分别与另一平面平行,则两平面平行，故 C 错误．
若, ,
，则由直线与平面平行的性质知 ，故 D 正确．
故选 D.
【点睛】本题考查的知识点是，判断命题真假，比较综合的考查了空间中直线与平面的位置关
系,属于中档题。
6.已知等差数列 的公差不为零，且 ， ， 成等比数列,则
（）
A.
B。
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分） 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题～第 21 题为必考题,每个试题考生都必须作答.第
10
新疆乌鲁木齐市 2019 届高三数学第二次诊断性测试试题 理（含解析）
22 题～第 23 题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分. 13.有 5 名学生做志愿者服务,将他们分配到图书馆、科技馆、养老院这三个地方去服务，每个 地方至少有 1 名学生，则不同的分配方案有____种（用数字作答）。 【答案】150 【解析】 【分析】 由题意可知，由两种分配方案分别为 2，2，1 型或 3,1，1 型，每一种分配全排即可. 【详解】解:将 5 名志愿者分配到这三个地方服务，每个地方至少 1 人，其方案为 2，2，1 型
对于 A，连接 ND，与 EF 交于 O 点，连接 AO，
则 AO 的长即点 到 的距离，AO
对于 B，三棱锥
的体积是
，故 A 错误； ，故 B 错误；
对于 C,F 点到平面 CDN 的距离为 ,∴ 与平面 所成的角的正弦值为
，
故 C 错误； 对于 D, 与 所成的角即 MC 与 所成的角,显然是 60°,故 D 正确， 故选:D 【点睛】本题考查根据正方体的平面展开图，画出它的立体图形，考查学生分析解决问题的能 力,属于中档题．
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把⑶代入⑷得， …⑸
记 为直线 的倾斜角，则 ，由⑸知 …⑹
当 的斜率不存在时， ，此时 的坐标可为 和
或 和 ，∴ …⑺
由⑹⑺知，当直线 的倾斜角为 时 …⑻
同理，记直线 的倾斜角为 时 …⑼
由 得， ，
，∴ 或 ，依题意 ，∴
当 时，
…⑽
当 时， …⑾
由⑽、⑾知当直线 的倾斜角为 时， …⑿
13.填 .【解析】依题意有 ，两式相减得， ，
∴ .
14.填 .【解析】根据题意，阴影部分的面积为 ，
即， ， ，又 ，故 .
15.填 .【解析】设半径为 的球内接直三棱柱 的上下底面外接圆的圆心分别为 ，则球心 在线段 的中点处，连接 ，
则 ，在 中， ，∴ ， ，∴ ，∴ ，
∴此球的表面积等于 .
故，从 到 这 个数字中任取 个数字组成一个没有重复数字的三位数中能被 整除的共有 个，∴能被 整除的概率为 .
12.选A.【解析】设 ， ，由 过焦点 ，易得 ， ，则有 ，同理 ，将 点代入直线方程 ，有 ，两边乘以 ，得 ，又 ， ，所以 ，同理
故，所求直线为 ．
二、填空题:共4小题，每小题5分，共20分.
； ； ；
；
∴ 的分布列为
∴ …12分
20．（本小题满分12分）
（Ⅰ）根据题意有 ，又 ，解得
∴椭圆 的方程为 …5分
（Ⅰ）不妨设 为椭圆 的右焦点
当直线 的斜率 存在时， 的方程为 …⑴，
设 ， ，把⑴代入椭圆的方程，得关于 的一元二次方程：
…⑵
∵ ， 是方程⑵的两个实数解，∴ …⑶
又 ，
∴ ，同理 ，
16.填 .【解析】曲线 ，则 ，设 ，
依题意知 …⑴， …⑵，∴ 是方程 的两个根∴ …⑶，下证线段 的中点在曲线 上，
∵
，而
∴线段 的中点在曲线 上，由⑶知线段 的中点为
，解得 .
三、解答题（共6小题，共70分）
17.（本小题满分12分）
（Ⅰ）在 中， ，
，
， …6分
（Ⅱ）由 ， ，得
而
∵ ，∴ ， ，
∴ ，即 时， …12分
18.（本小题满分12分）
（Ⅰ）在梯形 中，∵ ∥ ，∴ ，
又 ，∴ ∥ ∥
在 中，∵ ， ，∴ ∥
∴平面 ∥平面 ；…6分
（Ⅱ）在 中，
∴ ，即 ，又平面 ⊥平面
∴ ⊥平面 ，而故，如图， Nhomakorabea点 为坐标原点，分别以
所在直线为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，
在梯形 中， ，
则，当 时， ，∴ ， ；…5分
（Ⅱ）下面用数学归纳法证明
ⅰ）当 时， ，知 ，∴ 时，命题成立
ⅱ）假设 时，命题成立．即
要证明 时，命题成立．即证明 ，只需证明
依题意知 ，即证明：
当 时，有 ，由（Ⅰ）可知 ，即
∴当 时， ，∴函数 ， 时为增函数
由归纳假设 ，即 ，
∴ …⑴
依题意知 ，故又只需证明 ，即只需证明 ，
即 ，解得 ，即 …10分
23．选修4－4：坐标系与参数方程
（Ⅰ）直线 的方程为 圆 的方程是
圆心到直线的距离为 ，等于圆半径，
∴直线 与圆 的公共点个数为 ； …5分
（Ⅱ）圆 的参数方程方程是 ∴曲线 的参数方程是
∴
当 或 时， 取得最大值
此时 的坐标为 或 …10分
24.选修4－5：不等式选讲
（Ⅰ）∵ .
因此只须解不等式 .
当 时，原不式等价于 ，即 .
当 时，原不式等价于 ，即 .
当 时，原不式等价于 ，即 .
综上，原不等式的解集为 .…5分
（Ⅱ）∵
又 0时，
∴ 0时， . …10分
以上各题的其他解法，限于篇幅从略，请相应评分.
构造函数 ，
，由（Ⅰ）知 ，即 ，∴
∴函数 ， 为增函数，∴ ，即
则 …⑵，由⑴⑵及题意知 ，即
综合ⅰ）ⅱ）知，对 ，都有 成立．
22．选修4—1：几何证明选讲
（Ⅰ）连接 ，因为四边形 是圆的内接四边形，
所以 ，又 ，
所以 ∽ ，即有 ，
又 ，所以 …5分
（Ⅱ）由（Ⅰ） ∽ ，知 ，
又 ，∴ ，∵ ，∴ ，而 是 的平分线∴ ，设 ，根据割线定理得
同理， …⒀
由⑿、⒀知，四边形 的面积为
令 ，∵ ，∴
则
∵ ，∴ ，当 ，或 时， ，
递增，当 时， ， 递减，
∴当 时， 取最大值，即
∴当 时，四边形 的面积 …12分
21．（本小题满分12分）
（Ⅰ）令 ，则
当 时， ，∴函数 在 时为增函数，
∴ 时， ，即
当 时， ，∴函数 在 时为减函数，
∴ 时， ，即 ，
∴ ，∴ .
4.选C.【解析】，该几何体的直观图为右图所示
∴ .
5.选B.【解析】∵ 是偶函数，∴ ，
∴ ，令 ， .
6.选B.【解析】循环体执行第一次时： ；循环体执行第二次时：
循环体执行第三次时： ；∴输出 .
7.选C.【解析】当向量 两两成 角时， ；当向量 两两成 角时，∵ ；
∴
8.选A.【解析】根据题意有 ，∴点 的轨迹是以 ， 为焦点，实轴长为 的双曲线， ，方程为 .
“含 ”：由这样的数字构成： ，它们组成的无重复数字的三位数有 个；或由 构成，它们组成的无重复数字的三位数有 个，共有 个
“不含 ”：由这样的数字构成：⑴含 中的一个，另外两个数字分别为
，它们组成的无重复数字的三位数有 个；
⑵由 三个数字构成无重复数字的三位数有 个；⑶无 ，由 组成无重复数字的三位数有 个，
乌鲁木齐地区2014年高三年级第二次诊断性测验
理科数学试题参考答案及评分标准
一、选择题:共12小题，每小题5分，共60分.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
选项
C
D
C
C
B
B
C
A
B
A
C
A
1.选C.【解析】由 得 ，故 ，∴ .
2.选D.【解析】∵ ，
∴ 的充要条件是 .
3.选C.【解析】由题意得， 解得 ， ，又 ，
9.选B.【解析】∵ 过 ，∴ ，又 ，∴ ，
∵ 过 ，∴ ，∴ ，或 ，即 ，或 ，又 ，选B.
10.选A.【解析】∵ ，当 时，有
∴ ，即，当 时， 越大， 的值越小， ，∴ .
11.选C.【解析】∵从 到 这 个数字中任取 个数字组成一个没有重复数字的三位数有 个；其中，能被 整除的，可以分为“含 ”与“不含 ”两类；
，∴ ，
则有 ，
由 ，得 ，
，
设平面 的法向量为 ，由 ，得 ，令 ，解得 ，∴
同理，可得平面 的法向量为
设二面角 的平面角为 ，易知 ，
∴ ． …12分
19．（本小题满分12分）
（Ⅰ）若取出的 个球都是红色，共有 种情形，若取出的 个球都是黑色，共有 种情形，故取出的 个球同色的概率为 ；…6分
（Ⅱ）依题意知