重庆市万州二中2018-2019学年高二数学下学期期中试题 理

重庆市万州二中2018-2019学年高二数学下学期期中试题理一、单选题
1．已知复数（是虚数单位），则（是的共轭复数）的虚部为( )
A． B． C． D．
2．汽车以(单位：)作变速直线运动时，在第至第间的内经过的位移是( )
A． B． C． D．
3．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“”类比得到“”；
②“”类比得到“”；
③“”类比得到“”．
以上式子中，类比得到的结论正确的个数是( )
A．3 B．2 C．1 D．0
4．从右图所示的长方形区域内任取一点，则点取自图中阴影部分的概率为( )
A． B． C． D．
5．甲、乙、丙、丁四个孩子踢球打碎了玻璃。

甲说：“是丙或丁打碎的。

”乙说：“是丁打碎的。

”丙说：“我没有打碎玻璃。

”丁说：“不是我打碎的。

”他们中只有一人说了谎，请问是( )打碎了玻璃。

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．已知有极大值和极小值，则a的取值范围为( ) A．B．
C．D．
7．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》
一书里出现了如右图所示的表，即杨辉三角，这是数学
史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第行的所有
数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列，则此数
列的前55项和为( ) A ．4072 B ．2026
C ．4096
D ．2048 8．函数
的定义域是，
，对任意
，
，则不等式
的解集为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9．若关于的方程没有实数根，则实数的取值范围是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
10．若函数有唯一一个极值点，则实数a 的取值范围是( )
A ．
B ．
C ．
或
D ．
或
11．若函数的图象上存在两个点
关于原点对称，则称点对
为
的“伙伴点对”，点对与
可看作同一个“伙伴点对”，若函数
恰好由两个“伙伴点对”，则实数的值为( )
A ．
B ．2
C ．1
D ．0
12．若实数,,,a b x y 满足，则()()2
2
a x
b y -+-的最小值为( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
二、填空题 13．若
，且
，则
__________．
14．已知，则__________.
15．设变力F(x)作用在质点M 上，使M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10，已知F(x)＝
m；力的单位：N)．
16．若函数与的图象存在公共切线，则实数的最大值为__________
三、解答题
17．已知复数.当实数取什么值时，复数是：（1）纯虚数；
（2）复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数.
18．（Ⅰ）求证：
（Ⅱ）已知，且，求证：和中至少有一个小于2.
19．用一根长为分米的铁丝制作一个长方体框架(由12条棱组成),使得长方体框架的底面长是宽的倍．在制作时铁丝恰好全部用完且损耗忽略不计．现设该框架的底面宽是分米,用表示该长方体框架所占的空间体积(即长方体的体积)．
（1）试求函数的解析式及其定义域；
（2）当该框架的底面宽取何值时,长方体框架所占的空间体积最大,并求出最大值．
20．已知函数.
（1）当时，求函数在处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性.
21．已知函数.
（1）当时，求函数的最小值；
（2）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围；
22．已知函数，. （Ⅰ）若函数在上单调递增，求实数的取值范围;
（Ⅱ）若函数的图象与直线交于两点，线段中点的横坐标为，证明：（为函数的导函数）.
参考答案
DCBCD BAADB BC
12. 【解析】∵24ln 220b a a c d +-+-+=， ∴2
4ln 0,220b a a c d +-=-+=。

将24ln 0b a a +-=看成2
4ln 0y x x +-=，即曲线2
4ln y x x =-+。

将220c d -+=看成220x y -+=，即直线22y x =+。

()()
22
a c
b d -+-表示曲线2
4ln y x x =-+上的点与直线22y x =+上的点间的距离的平
方。

作与直线22y x =+平行的曲线的切线， 由2
4ln y x x =-+，得42y x x =-'+
，令4
22y x x
'=-+=，得220x x +-=， 解得1x =或2x =-（舍去）。

所以切点为()1,1-。

故点()1,1-到直线220x y -+=的距离为d ==
∴()()22
a c
b d -+-的最小值为5。

选C 。

16．【解析】
解：设公切线与f （x ）＝x 2
+1的图象切于点（，）， 与曲线C ：g （x ）＝
切于点（，
），
∴2，
化简可得，2，∴
∵2，a ，
设h （x ）
（x ＞0），则h ′（x ），
∴h （x ）在（0，
）上递增，在（
，+∞）上递减，
∴h（x）max＝h（），∴实数a的的最大值为e，故答案为：e．
17．【解析】，
（1）为纯虚数，则，则.
（2），则或.
18．【解析】（Ⅰ）证明：因为和都是正整数，所以
只需证，
只需证，
即证，即证，
即证，
即证，
因为显然成立，所以原不等式成立.
（Ⅱ）假设
则因为，有
所以，
故.这与题设条件相矛盾，所以假设错误.
因此和中至少有一个小于2.
19．【解析】（1）由题意,当长方体框架的底面宽是分米时,其长是分米,高是
分米,
所以．
由,解得,即函数的定义域为．
（2）法1：因为,
所以,
当且仅当,即时,有最大值,
最大值为．
即当该框架的底面宽为8分米时，长方体框架所占的空间体积最大，最大值为1536立方分米．
法2：因为
所以
易得当时,；当时,．
从而在区间上单调递增,在区间上单调递减,
故当时,有最大值,最大值为．
即当该框架的底面宽为8分米时，长方体框架所占的空间体积最大，最大值为1536立方分米．
20．【解析】（1）当时，
∴切线斜率，切线方程为：
（2）由，
可得：
①当时，，在为减函数；
②当时，时，，故在为减函数；时，，故在为增函数.
21．【解析】（1）当时，，∴，
当时，；当时，
故在上单调递减，在上单调递增，
∴，
（2）由条件得，
令，则.
①当时，在上，，单调递增，
∴，即，∴在上为增函数，
∴，∴时满足条件.
②当时，令，解得，在上，，单调递减，
∴当时，有，即，
∴在上为减函数，∴，不合题意.
综上实数的取值范围为．
22．【解析】（Ⅰ）由题意，知的定义域是，
则，
令，则=0，解得x=1或x=.
∵函数在上单调递增，
∴ⅰ）当时，在上单调递增，在上单调递减，符合题意；
ⅱ）当时，在和上单调递增，在上单调递减，符合题意；ⅲ）当时，在上单调递增，符合题意；
ⅳ）当时，在和上单调递增，在上单调递减，∵函数在
上单调递增，∴，
综上所述，的取值范围是.
（Ⅱ）由题意，得，
∴.
当时，，在上单调递增，与直线不可能有两个交点，故．
令，解得；令，解得，故在上单调递增，在
上单调递减．
不妨设，，且.
要证，需证.即证
.
又，所以只需证.
即证：当时，．
设，则.
∴在上单调递减.
又，
故当时，，原不等式成立．。