高中数学选修4-1 切线长定理及弦切角练习题
切线长定理综合练习题
切线长定理综合练习题切线长度定理是初级数学中的一个重要知识点，它在几何、微积分等领域中具有广泛的应用。
本文将通过一系列的综合练习题来帮助读者更好地理解和掌握切线长度定理。
练习题一：设圆O的半径为r，点A是圆上一点，切线与弦的交点分别为B、C。
求证：BC的长度等于2r。
解题思路：首先，我们可以根据切线的定义，知道切线与圆相切的点A到圆心O的距离等于半径r，即AO = r。
其次，根据弦的定义，弦所对的圆心角等于切线与弦所对的圆心角，即角BOC = 欧，且BO = OC = r。
根据正弦定理，我们可以得到BC的长度等于2r。
练习题二：设点A为圆的外切点，弦BC过点A。
求证：BC的长度等于2r。
解题思路：首先，我们可以根据切线的定义，知道切线与切点到圆心的线段垂直，并且切点到圆心的线段等于半径r，即OA ⊥ BC且OA = r。
其次，根据正弦定理，我们可以得到BC的长度等于2r。
练习题三：设点A为圆的内切点，切线BC过点A。
求证：BC的长度等于2r。
解题思路：首先，我们可以根据切线的定义，知道切线与切点到圆心的线段垂直，并且切点到圆心的线段等于半径r，即OA ⊥ BC且OA = r。
其次，根据正弦定理，我们可以得到BC的长度等于2r。
综合练习题四：设圆O的半径为r，点A是圆上一点，弦BC经过点A。
已知AC = x，AB = y。
求证：BC的长度等于2r。
解题思路：首先，根据角平分线定理，我们可以得出AO与BC垂直、且AO 平分∠BAC。
其次，根据勾股定理，我们可以得到AO² = AB² + OB²。
最后，结合前两个条件，我们可以得到BC的长度等于2r。
通过以上一系列的综合练习题，我们可以发现无论是切线与弦的交点在圆内还是在圆外，无论是给定弦长还是切线长，切线长度定理都成立。
切线长等于2r这个简单而有趣的定理，不仅在几何学中有着重要的应用，还在微积分、物理学等领域中被广泛使用。
人教新课标版数学高二人教A选修4-1试题 2.4弦切角的性质 (2)
一、选择题1．如图2－4－12所示，AB 是⊙O 的直径，MN 与⊙O 切于点C ，AC ＝12BC ，则sin ∠MCA ＝( )图2－4－12A.12 B.22 C.32D.55【解析】 由弦切角定理，得 ∠MCA ＝∠ABC .∵sin ∠ABC ＝AC AB＝AC AC 2＋BC 2＝AC 5AC ＝55，故选D. 【答案】 D图2－4－132．如图2－4－13所示，AB 是⊙O 的直径，EF 切⊙O 于C ，AD ⊥EF 于D ，AD ＝2，AB ＝6，则AC 的长为( )A ．2B ．3C ．2 3D ．4【解析】 连接BC .∵AB 是⊙O 的直径， ∴AC ⊥BC ，由弦切角定理可知， ∠ACD ＝∠ABC ，∴△ABC ∽△ACD ，∴AC AD ＝AB AC， ∴AC 2＝AB ·AD ＝6×2＝12， ∴AC ＝23，故选C. 【答案】 C3．如图2－4－14，PC 与⊙O 相切于C 点，割线PAB 过圆心O ，∠P ＝40°，则∠ACP 等于( )图2－4－14A ．20°B ．25°C ．30°D ．40°【解析】 如图，连接OC ， ∵PC 切⊙O 于C 点， ∴OC ⊥PC ，∵∠P ＝40°， ∴∠POC ＝50°， 连接BC ，∵OC ＝OB ， ∴∠B ＝12∠POC ＝25°，∴∠ACP ＝∠B ＝25°.【答案】 B4．如图2－4－15所示，已知AB 、AC 与⊙O 相切于B 、C ，∠A ＝50°，点P 是⊙O 上异于B 、C 的一动点，则∠BPC 的度数是( )A ．65°B．115°C．65°或115°D．130°或50°图2－4－15【解析】当点P在优弧BC上时，由∠A＝50°，得∠ABC＝∠ACB＝65°.∵AB是⊙O的切线，∴∠ABC＝∠BPC＝65°.当P点在劣弧BC上时，∠BPC＝115°.故选C.【答案】 C二、填空题5．(2012·广东高考)如图2－4－16所示，直线PB与圆O相切于点B，D是弦AC上的点，∠PBA＝∠DBA.若AD＝m，AC＝n，则AB＝________.图2－4－16【解析】利用弦切角定理及相似三角形求解．∵PB切⊙O于点B，∴∠PBA＝∠ACB.又∠PBA＝∠DBA，∴∠DBA＝∠ACB，∴△ABD ∽△ACB . ∴AB AC ＝AD AB， ∴AB 2＝AD ·AC ＝mn ， ∴AB ＝mn . 【答案】mn6. 如图2－4－17，点P 在圆O 直径AB 的延长线上，且PB ＝OB ＝2，PC 切圆O 于C 点，CD ⊥AB 于D 点，则CD ＝__________.图2－4－17【解析】 连接OC ，∵PC 切⊙O 于点C ， ∴OC ⊥PC ，∵PB ＝OB ＝2，OC ＝2， ∴PC ＝23，∵OC ·PC ＝OP ·CD ， ∴CD ＝2×234＝ 3.【答案】3三、解答题7．如图2－4－18所示，△ABT 内接于⊙O ，过点T 的切线交AB 的延长线于点P ，∠APT 的平分线交BT 、AT 于C 、D .求证：△CTD 为等腰三角形．图2－4－18【证明】 ∵PD 是∠APT 的平分线， ∴∠APD ＝∠DPT .又∵PT 是圆的切线，∴∠BTP ＝∠A . 又∵∠TDC ＝∠A ＋∠APD ， ∠TCD ＝∠BTP ＋∠DPT ， ∴∠TDC ＝∠TCD ， ∴△CTD 为等腰三角形．8．(2012·辽宁高考)如图2－4－19，⊙O 和⊙O ′相交于A ，B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C ，D 两点，连接DB 并延长交⊙O 于点E .证明：图2－4－19(1)AC ·BD ＝AD ·AB ； (2)AC ＝AE .【证明】 (1)由AC 与⊙O ′相切于A ，得∠CAB ＝∠ADB ，同理∠ACB ＝∠DAB ，所以△ACB ∽△DAB .从而AC AD ＝ABBD，即AC ·BD ＝AD ·AB .(2)由AD 与⊙O 相切于A ，得∠AED ＝∠BAD . 又∠ADE ＝∠BDA ，得△EAD ∽△ABD . 从而AE AB ＝ADBD ，即AE ·BD ＝AD ·AB .综合(1)的结论知，AC ＝AE .9．(2013·辽宁高考)如图2－4－20，AB 为⊙O 的直径，直线CD 与⊙O 相切于E ，AD 垂直CD 于D ，BC 垂直CD 于C ，EF 垂直AB 于F ，连接AE ，BE .图2－4－20证明：(1)∠FEB ＝∠CEB ； (2)EF 2＝AD ·BC .【证明】 (1)由直线CD 与⊙O 相切，得∠CEB ＝∠EAB . 由AB 为⊙O 的直径，得AE ⊥EB ，从而∠EAB ＋∠EBF ＝π2；又EF ⊥AB ，得∠FEB ＋∠EBF ＝π2.从而∠FEB ＝∠EAB .故∠FEB ＝∠CEB .(2)由BC ⊥CE ，EF ⊥AB ，∠FEB ＝∠CEB ，BE 是公共边，得Rt △BCE ≌Rt △BFE ，所以BC ＝BF .类似可证Rt △ADE ≌Rt △AFE ，得AD ＝AF . 又在Rt △AEB 中，EF ⊥AB ，故EF 2＝AF ·BF ， 所以EF 2＝AD ·BC .10．如图，△ABC 内接于圆O ，AB ＝AC ，直线MN 切圆O 于点C ，弦BD ∥MN ，AC 与BD 相交于点E .(1)求证：△ABE ≌△ACD ； (2)若AB ＝6，BC ＝4，求AE .【解】 (1)证明：由已知得∠ABE ＝∠ACD ，∠BAE ＝∠EDC ， 又∵BD ∥MN ，∴∠DCN ＝∠EDC ， ∴∠BAE ＝∠DCN .又直线MN 切圆O 于点C ， ∴∠CAD ＝∠DCN . ∴∠CAD ＝∠BAE .又AB ＝AC ，∴△ABE ≌△ACD . (2)由于△ABE ≌△ACD ，则BE ＝CD ， 由(1)得∠CAD ＝∠BAE ，∴BC ＝CD .∴BE ＝CD ＝4. 在△ABE 和△CDE 中，∠BAE ＝∠EDC ，∠EBA ＝∠ECD ， ∴△ABE ∽△DCE .∴BE CE ＝ABCD .∴BE AC －AE ＝AB CD . ∴46－AE ＝64， 解得AE ＝103.。
弦切角定理 知能优化训练(答案解析) 高中数学选修4-1 北师大版
[学生用书P26～P27]1．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为直径，D为BC延长线上一点，PC切⊙O于C点，∠PCD＝20°，则∠A＝()A．20°B．30°C．40°D．50°解析：选A.∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴∠B＝∠ACP＝180°－90°－20°＝70°，∴∠A＝90°－70°＝20°.2.已知，如图，P A切⊙O于点A，BC是⊙O的直径，BC的延长线交AP于P，AE⊥BP交⊙O于E，则图中与∠CAP相等的角的个数是()A．1 B．2C．3 D．4解析：选C.其中：∠B、∠AEC都与∠CAP相等，连接OA、OE，∵OC⊥AE，∴OC垂直平分AE，∴△ACE为等腰三角形，∴∠EAC＝∠AEC＝∠CAP.3．如图，P A，PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，C是上的一点，已知⊙O的半径为r，PO＝2r，设∠P AC＋∠PBC＝α，∠APB＝β，则α与β的大小关系为()A．α＞βB．α＝βC．α＜βD．不确定解析：选B.连接AB 、AO ， ∴∠P AC ＝∠ABC ， ∠PBC ＝∠BAC ， ∴α＝∠P AC ＋∠PBC ＝12(∠P AB ＋∠PBA ) ＝12(180°－∠APB )， ∵AO ＝r ，P A 切⊙O 于A ，AO ⊥P A 且PO ＝2r ， ∴∠APO ＝30°，∴∠APB ＝2∠APO ＝60°，∴α＝12(180°－60°)＝60°＝β.4.已知：如图，P A 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，PCD 为⊙O 的割线． 求证：AC ·BD ＝AD ·BC . 证明：∵P A 是切线， ∴∠P AC ＝∠PDA ， ∵∠APC ＝∠APD ， ∴△APC ∽△DP A . ∴AC AD ＝P A PD .同理BC BD ＝PB PD. ∵P A ＝PB ，∴AC AD ＝BCBD.∴AC ·BD ＝AD ·BC .5．弦切角的定义是( )A ．一条切线和一条弦组成的角B ．顶点在圆上，一边是切线，另一边是射线组成的角C ．顶点在圆上，两边与圆相交的角D ．顶点在圆上，一边与圆相切，另一边与圆相交的角 解析：选D.根据弦切角的定义易得答案． 6.如图，PC 与⊙O 相切于C 点，割线P AB 过圆心O ，∠P ＝40°，则∠ACP 等于( ) A ．20° B ．25° C ．30° D ．40° 解析：选B.连接OC (图略)，∴OC ⊥PC . 又∵∠P ＝40°，∴∠COP ＝50°，∴∠ACP ＝12×50°＝25°.7．判断如图中的角：∠BAC ，不是弦切角的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案：D 8.如图，AB 是⊙O 的直径，DB 、DC 分别切⊙O 于B 、C ，若∠ACE ＝25°，则∠D 为( ) A ．50° B ．55° C ．60° D ．65° 解析：选A.如图所示，连接BC .根据弦切角定理，得∠ACE ＝∠ABC ＝25°. 又∵AB ⊥BD ，∴∠CBD ＝90°－∠ABC ＝65°. ∵DC 、DB 是圆的切线， ∴∠CBD ＝∠DCB ＝65°， ∴∠D ＝180°－2×65°＝50°，故选A. 9.如图，AD ⊥直径CE ，AB 为⊙O 的切线，A 为切点，若∠1＝30°，则∠2＝( ) A ．15° B ．20° C ．25° D ．30°解析：选D.连接AE (图略)，∵CE 是直径， ∴∠CAE ＝90°，∴∠E ＋∠ACE ＝90°，AD ⊥EC ， ∴∠ADC ＝90°，∴∠2＋∠ACE ＝90°，∴∠2＝∠E ， 又AB 切⊙O 于A ，AC 是弦，∴∠1＝∠E ， ∴∠1＝∠2. 10.。
数学人教A版选修4-1课后导练：第二讲第四节弦切角的性
课后导练基础达标1.如图2-4-7,PC 与⊙O 相切于C 点,割线PAB 过圆心O,∠P=40°,则∠ACP 等于( )图2-4-7 A.20° B.25° C.30° D.40° 解析:连结OC,∵PC 切⊙O 于C,∴OC ⊥PC. ∴∠OCP=90°.∴∠P+∠COP=90°. ∴∠COP=90°-∠P=50°. 又∵∠PCA 是弦切角, ∴∠PCA=21∠AOC=25°. 答案:B2.如图2-4-8,四边形ABCD 是圆内接四边形,AB 是直径,MN 是⊙O 切线,C 为切点,若∠BCM=38°,则∠B 等于( )图2-4-8 A.32° B.42° C.52° D.48° 解析:连结AC,∵MN 切圆于C,BC 是弦, ∴∠BAC=∠BCM.∵AB 是直径,∴∠ACB=90°. ∴∠B+∠BAC ＝90°. ∴∠B+∠BCM=90°. ∴∠B=90°-∠BCM=52°. 答案:C3.如图2-4-9,CA 为⊙O 的切线,切点为A,点B 在⊙O 上,如果∠CAB=55°,那么∠AOB 等于( )图2-4-9A.55°B.90°C.110°D.120° 解析:延长AO 交⊙O 于D,连结BD,∵AC 切⊙O 于A,AB 是弦, ∴∠D=∠CAB. 又∵∠D=21∠AOB, ∴∠AOB=2∠CAB=110°. 答案:C4.如图2-4-10,∠ABC=90°,O 是AB 上一点,⊙O 切AC 于D,交AB 于E,连结DB 、DE 、OC,则图中与∠CBD 相等的角共有( )图2-4-10A.1个B.2个C.3个D.4个 解析:∵AB ⊥BC,∴BC 与⊙O 相切,BD 为弦. ∴∠CBD=∠BED. 同理,∠CDB=∠BED. ∴∠CBD=∠CDB. 又OC ⊥BD,DE ⊥BD, ∴DE ∥OC.∴∠BED=∠BOC. ∴∠CBD=∠BOC. ∴共3个. 答案:C5.如图2-4-11,AB 、AC 与⊙O 相切于B 、C,∠A=50°,点P 是圆上异于B 、C 的一动点,则∠BPC 的度数是( )图2-4-11A.65°B.115°C.65°或115°D.130°或50° 解析:点P 可能位置有两种情况,点P 在优弧上或在劣弧上.图2-4-12(1)如图2-4-12,在优弧上, ∵AB 、AC 是切线,∴∠ABC=∠P 1,∠ACB=∠P 1,∠ABC=21(180°-∠A)=65°. (2)如图2-4-13,在劣弧上,可在优弧上任取一点Q,图2-4-13由(1)知∠Q=65°,∵四边形BP 2CQ 内接于圆O, ∴∠BP 2C+∠Q=180°. ∴∠BP 2C=180°-∠Q=115°. 综上,∠BPC=65°或115°. 答案:C 温馨提示本题运用了运动变化思想、分类思想和化归思想. 综合运用6.如图2-4-14,AD 是圆内接△ABC 的∠A 的平分线,交圆于D,E 为BC 中点,BF 为圆的切线,DF ⊥BF. 求证:DE=DF.图2-4-14证明:连结BD,∵BF 是切线,BD 是弦, ∴∠DBF=∠BAD. ∵=,∴∠DBC=∠DAC.又∵AD 是∠BAC 的平分线,∴∠BAD=∠DAC.∴∠DBF=∠DBE, 即BD 是∠EBF 的平分线. ∵∠BAD=∠DAC,∴=,即D 是中点.∵E 是BC 中点,∴DE ⊥BC. ∴DE=DF.7.如图2-4-15,梯形ABCD 中,AB ∥DC,AD=BC,以AD 为直径的⊙O 交AB 于点E,⊙O 的切线EF 交BC 于F,求证:EF ⊥BC.图2-4-15证明:∵AD是直径,∴∠AED=90°.∴∠DEF+∠BEF=90°.∵EF切⊙O于点E,DE是弦,∴∠DEF=∠A.∴∠A+∠BEF=90°.∵AD=BC,AB∥DC,∴∠B=∠A.∴∠B+∠BEF=90°.∴∠BFE=90°.∴EF⊥BC.8.两圆内切于点P,大圆的弦AD交小圆于点B、C.求证:∠APB=∠CPD.图2-4-16证明:过P作两圆的公切线MN.∵PB是小圆弦,MN是切线,∴∠BPM=∠BCP.∵PA是大圆弦,MN是切线,∴∠APM=∠D.∴∠BPM-∠APM=∠BCP-∠D.又∠BCP=∠D+∠CPD,∴∠BCP-∠D=∠CPD.∴∠APB=∠CPD.9.如图2-4-17,AB是⊙O的弦,CD是经过⊙O上一点M的切线.图2-4-17求证:(1)AB∥CD时,AM=MB.(2)AM=MB时,AB∥CD.证明:(1)∵AB∥CD,∴∠A=∠AMC.∵CD切⊙O于M,AM是弦,∴∠AMC=∠B.∴∠A=∠B.∴AM=BM.(2)∵AM=MB,∴∠A=∠B.又∵CD切⊙O于M,AM是弦,∴∠AMC=∠B.∴∠AMC=∠A.∴AB∥CD.拓展探究10.如图2-4-18,AB是半圆O的直径,点M是半径OA的中点,点P在线段AM上运动(不与点M重合),点Q在半圆O上运动且总保持PQ=PO,过Q作⊙O的切线交BA的延长线于点C.图2-4-18(1)当∠QPA=60°时,请你对△QCP的形状作出猜想,并证明;(2)当QP⊥AO时,△QCP的形状是___________三角形.(3)由(1)、(2)得出的结论,请你进一步猜想,当点P在线段AM上运动到任何位置时△QCP一定是___________三角形.解析:(1)△QCP是等边三角形,证明:连结OQ,则CQ⊥OQ.∵PQ=PO,∠QPC=60°,∴∠POQ=∠PQO=30°.∴∠C=∠CQO-∠POQ=60°.∴∠CQP=∠C=∠QPC=60°.∴△QPC是等边三角形.(2)等腰直角(解析:略)(3)等腰(解析:略)备选习题11.如图2-4-19,BC为⊙O直径,DE切⊙O于A点,BD⊥DE于D,若∠ABD=50°,则的度数为_________________.图2-4-19解析:∵BD⊥DE,∴∠BDA=90°.∴∠ABD+∠BAD=90°.∴∠BAD=90°-50°=40°.∵AB是弦,AD是切线,∴∠C=∠BAD=40°.∴BC是直径.∴∠BAC=90°.∴∠C+∠ABC=90°.∴∠ABC=90°-∠C=50°.∴的度数为100°.答案:100°12.如图2-4-20,AB为⊙O的直径,DA、DE为⊙O两切线,A、C为切点,A、B、E共线,若的度数为60°,则∠CAD的度数为____________,∠E的度数为_____________.图2-4-20解析:∵度数为60°,∴∠BAC=30°,∠BCE=30°.∵AD为切线,∴BA⊥AD.∴∠BAC+∠CAD=90°.∴∠CAD=90°-∠BAC=60°.∵AB为直径,∴∠ACB=90°.∴∠ABC=90°-∠BAC=30°.∴∠E=∠ABC-∠BCE=30°.答案:60°30°13.两圆内切于点P,大圆的弦AB切小圆于C，求证：∠APC＝∠CPB.图2-4-21证明:过P作两圆公切线MN,设PB交小圆于D,连结CD.∵PC是小圆弦,MN切小圆于P,∴∠MPC=∠PDC.∵PA是大圆弦,MN切大圆于P,∴∠MPA=∠B.∴∠MPC-∠MPA=∠PDC-∠B.∵∠PDC=∠B+∠BCD,∴∠PDC-∠B=∠BCD.∴∠APC=∠BCD.又AB切小圆于C，CD是小圆弦,∴∠BCD=∠CPB.∴∠APC=∠CPB.14.如图2-4-22,△ABC中,过A与BC相切于D的圆分别交AB、AC于E、F,且EF∥BC. 求证:AD平分∠A.图2-4-22证明:连结DF,∵BC 切圆于D,DF 是弦, ∴∠3=∠2.∵EF ∥BC,∴∠3=∠4. 又∠1=∠4,∴∠1=∠2,即AD 平分∠BAC.15.如图2-4-12(1),OA 和OB 是⊙O 的半径,且OA ⊥OB,P 是OA 上任一点,BP 的延长线交⊙O 于Q,过Q 的⊙O 的切线交OA 的延长线于R,易证RP=RQ(不要求证明). (1)现将PA 向上平移至图2-4-23(2)位置,结论还成立吗?若成立,请证明.(2)若将PA 向上平移至⊙O 外,结论还成立吗?如图2-4-23(3),若成立,请证明.(1) (2) (3)图2-4-23解析:(1)成立.证明:连结OQ,则QR ⊥OQ. ∴∠PQR+∠BQO=90°.∵∠RPQ=∠1,∠1+∠B=90°, ∴∠RPQ+∠B=90°.又OB=OQ,∴∠B=∠BQO. ∴∠PQR=∠RPQ.∴RP=RQ. (2)结论仍然成立.证明:连结OQ,则OQ ⊥RQ. ∴∠RQO=90°.∴∠RQP+∠BQO=90°.∵OA ⊥PA,∴∠P+∠ABP=90°. 又∠PBA=∠OBQ,∵OB=OQ, ∴∠OBQ=∠OQB.∴∠P=∠PQR.∴RP=RQ.。
数学人教A版选修4-1课后导练：第二讲第四节弦切角的性质含解析
课后导练基础达标1。
如图2-4—7，PC与⊙O相切于C点,割线PAB过圆心O，∠P=40°，则∠ACP等于（）图2—4-7A.20° B。
25°C。
30°D.40°解析:连结OC,∵PC切⊙O于C，∴OC⊥PC.∴∠OCP=90°。
∴∠P+∠COP=90°。
∴∠COP=90°-∠P=50°。
又∵∠PCA是弦切角,1∠AOC=25°.∴∠PCA=2答案：B2.如图2—4-8,四边形ABCD是圆内接四边形，AB是直径,MN是⊙O 切线,C为切点,若∠BCM=38°,则∠B等于（)图2-4—8A.32°B。
42° C.52°D。
48°解析：连结AC，∵MN切圆于C，BC是弦，∴∠BAC=∠BCM.∵AB是直径，∴∠ACB=90°.∴∠B+∠BAC＝90°.∴∠B+∠BCM=90°。
∴∠B=90°—∠BCM=52°.答案:C3.如图2-4—9,CA为⊙O的切线,切点为A,点B在⊙O上,如果∠CAB=55°,那么∠AOB等于（）图2—4—9A.55°B。
90° C.110°D。
120°解析：延长AO交⊙O于D，连结BD,∵AC切⊙O于A，AB是弦，∴∠D=∠CAB。
1∠AOB,又∵∠D=2∴∠AOB=2∠CAB=110°。
答案：C4.如图2-4-10，∠ABC=90°，O是AB上一点，⊙O切AC于D，交AB于E,连结DB、DE、OC,则图中与∠CBD相等的角共有( )图2-4-10A.1个B.2个C。
3个 D.4个解析：∵AB⊥BC，∴BC与⊙O相切,BD为弦.∴∠CBD=∠BED。
同理，∠CDB=∠BED。
∴∠CBD=∠CDB.又OC⊥BD，DE⊥BD,∴DE∥OC。
数学人教A版选修4-1课后训练：2.4弦切角的性质含解析
课后训练1．如图，O 的半径为2 cm,O 切AC 于D ，切BE 于E ，∠ACB ＝60°,则CE 的长为（ ）．A ．3cmB ．23cm 3C ．3cm 3D ．23cm2．如图,AB 是O 的直径,直线EF 切O 于B ，C 、D 为O 上的点，∠CBE ＝40°，AD CD =,则∠BCD 的度数是( )．A ．110°B ．115°C ．120°D ．135°3．如图，在圆的内接四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，EF 切O 于C 点，那么图中与∠DCF 相等的角的个数是( )．A ．4B ．5C ．6D ．74．如图，BD 为O 的直径，AB 、AE 切O 于B 、C ，∠BDC ＝65°,则∠BAC ＝________。
5．如图，已知AB 与O 相切于点M ，MC MD =，且MC 、MD 为14圆周长,则∠AMC ＝__________。
6．已知,如图，△ABC内接于O,DC切O于C点，BC平分∠ACD，则△ABC为________．7．如图，AB是O的直径，CD是O的切线，C为切点，AC 平分∠BAD．求证：AD⊥CD．8．如图，P是O的半径OA上的一点，D在O上，且PD＝PO.过点D作O的切线交OA的延长线于点C，延长DP交O于K，连接KO，OD．(1）证明：PC＝PD；(2)若该圆的半径为5，CD∥KO，求出OC的长．如图,BC为O的直径,AB AD=，过点A的切线与CD的延长线交于点E.(1）试猜想∠AED是否等于90°？为什么？（2）若25AD=，ED∶EA＝1∶2，求O的半径．(3）在（2）的条件下求∠CAD的正弦值．参考答案1.答案：B解析：∵CD、CE是O的切线，∴OC平分∠ECD．∴∠OCE＝12∠ECD＝12(180°－∠ACB)＝12(180°－60°）＝60°.∴CE＝OE cot60°＝323233⨯=(cm）．2。
(完整版)切线长定理练习题
切线长定理练习题一、选择题1。
下列说法中，不正确的是（ )A．三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点B．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部C．垂直于半径的直线是圆的切线D．三角形的内心到三角形的三边的距离相等2．给出下列说法：①任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形;③任意一个三角形一定有一个内切圆,并且只有一个内切圆;④任意一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形．其中正确的有 ( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3.一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长等于 ( )A．21 B．20 C．19 D．184。
如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，AC是⊙O的直径，连结AB、BC、OP，则与∠PAB相等的角(不包括∠PAB本身)有 ( )A．1个 B．2个C．3个 D．4个4题图5题图6题图5．如图，已知△ABC的内切圆⊙O与各边相切于点D、E、F，则点O是△DEF的 ( ）A．三条中线的交点 B．三条高的交点C．三条角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点6.一个直角三角形的斜边长为8,内切圆半径为1,则这个三角形的周长等于（ )A．21 B．20 C．19 D．18二、填空题6．如图，⊙I是△ABC的内切圆,切点分别为点D、E、F，若∠DEF=52o，则∠A的度为________．PBAO6题图 7题图 8题图7．如图,一圆内切于四边形ABCD ，且AB=16，CD=10，则四边形ABCD 的周长为________． 8．如图,已知⊙O 是△ABC 的内切圆，∠BAC=50o，则∠BOC 为____________度． 三、解答题9。
如图，AE 、AD 、BC 分别切⊙O 于点E 、D 、F ，若AD=20，求△ABC 的周长．10。
如图,PA 、PB 是⊙O 的两条切线，切点分别为点A 、B ，若直径AC= 12，∠P=60o，求弦AB 的长．11。
1.2.4切割线与相交弦定理 课时作业(答案解析) 高中数学选修4-1 北师大版
学业分层测评(七)2.4 切割线定理(建议用时：45分钟)学业达标]一、选择题1.如图1-2-91所示，线段AB 和⊙O 交于C ，D ，AC ＝BD ，AE ，BF 分别切⊙O 于E ，F .那么AE 与BF 的关系为( )图1-2-91A.AE ＝2BFB.AE ＝13BFC.AE >BFD.AE ＝BF【解析】 ∵AE 2＝AC (AC ＋CD )，BF 2＝BD (BD ＋CD ).又∵AC ＝BD ，CD ＝CD ，∴AE 2＝BF 2，∴AE ＝BF .【答案】 D2.如图1-2-92，P AB ，PCD 是⊙O 的两条割线，PC ＝AB ，P A ＝20，CD ＝11，则AB 的长为( )图1-2-92A.30B.25C.20D.15【解析】 设PC ＝AB ＝x ，则x (x ＋11)＝20×(20＋x )，所以x ＝25. 所以AB 的长为25.3.如图1-2-93所示，已知P A是⊙O的切线，A为切点，PC与⊙O相交于B，C两点，PB＝2 cm，BC＝8 cm，则P A的长等于()图1-2-93A.4 cmB.16 cmC.20 cmD.2 5 cm【解析】∵PB＝2，BC＝8，∴PC＝10.∵P A是⊙O的切线，PC是⊙O的割线，∴P A2＝PB·PC＝2×10，∴P A＝25(cm).【答案】 D4.如图1-2-94，已知圆O的半径为3，从圆O外一点A引切线AD和割线ABC，圆心O到直线AC的距离为22，AB＝3，则AD的长为()图1-2-94A.7B.213C.15D.5 6【解析】∵圆O的半径为3，圆心O到AC的距离为2 2.∴BC＝232－(22)2＝2.又∵AB＝3，∴AC＝5.又∵AD为⊙O的切线，由切割线定理得AD2＝AB·AC＝3×5＝15，∴AD＝15.5.如图1-2-95，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E，则()图1-2-95A.CE·CB＝AD·DBB.CE·CB＝AD·ABC.AD·AB＝CD2D.CE·EB＝CD2【解析】在直角三角形ABC中，根据直角三角形射影定理可得CD2＝AD·DB，再根据切割线定理可得CD2＝CE·CB，所以CE·CB＝AD·DB.【答案】 A二、填空题6.如图1-2-96，自圆O外一点P引切线与圆切于点A，M为P A中点，过M 引割线交圆于B，C两点.求证：∠MCP＝∠MPB.图1-2-96【证明】∵P A与圆相切于A，∴MA2＝MB·MC.∵M为P A中点，∴PM＝MA，∴PM2＝MB·MC，∴PMMC＝MBPM.∵∠BMP＝∠PMC，。
高中数学人教A版选修(4-1)2.4 同步练习 《弦切角的性质》(人教)
《弦切角的性质》同步练习一、选择题1．P在⊙O 外，PM 切⊙O 于C ，PAB 交⊙O 于A ，B ，则( )A ．∠MCB ＝∠B B ．∠PAC ＝∠PC ．∠PCA ＝∠BD ．∠PAC ＝∠BCA2．如图，PC 与⊙O 相切于C 点，割线PAB 过圆心O ，∠P ＝40°，则∠ACP 等于( )A ．20°B ．25°C ．30°D ．40°3．如图，AB 是⊙O 的直径，EF 切⊙O 于C ，AD ⊥EF 于D ，AD ＝2，AB ＝6，则AC 的长为( )A ．2B ．3C ．2 3D ．44．如图，AB 是⊙O 的直径，P 在AB 的延长线上，PD 切⊙O 于C 点，连接AC ，若AC ＝PC ，PB ＝1，则⊙O 的半径为( )A ．1B ．2C ．3D ．4PE 分别切⊙O 于B ，C ，若∠ACE ＝40°，则∠P ＝________.6．如图，点P 在圆O 直径AB 的延长线上，且PB ＝OB ＝2，PC 切圆O 于C 点，CD ⊥AB 于D点，则CD ＝________.7．如图，过圆O 外一点P 分别作圆的切线和割线交圆于A ，B ，且PB ＝7，C 是圆上一点使得BC ＝5，∠BAC ＝∠APB ，则AB ＝________.8.如图，AB 是半圆O 的直径，C 是圆周上一点(异于A ，B)，过C 作圆O 的切线l ，过A 作直线l 的垂线AD ，垂足为D ，AD 交半圆于点E.求证：CB ＝CE.9.如图所示，△ABC 内接于⊙O ，AB ＝AC ，直线XY 切⊙O 于点C ，弦BD ∥XY ，AC ，BD 相交于点E.(1)求证：△ABE ≌△ACD ；(2)若AB ＝6 cm ，BC ＝4 cm ，求AE 的长．答案和解析一、选择题1．P 在⊙O 外，PM 切⊙O 于C ，PAB 交⊙O 于A ，B ，则( )A ．∠MCB ＝∠B B ．∠PAC ＝∠PC ．∠PCA ＝∠BD ．∠PAC ＝∠BCA解析：选C 由弦切角定理知∠PCA ＝∠B.2．如图，PC 与⊙O 相切于C 点，割线PAB 过圆心O ，∠P ＝40°，则∠ACP 等于( )A ．20°B ．25°C ．30°D ．40°解析：选B 连接OC.∵PC 切⊙O 于C 点，∴OC ⊥PC.∵∠P ＝40°，∴∠POC ＝50°.连接BC ，则∠B ＝12∠POC ＝25°， ∴∠ACP ＝∠B ＝25°.3．如图，AB 是⊙O 的直径，EF 切⊙O 于C ，AD ⊥EF 于D ，AD ＝2，AB ＝6，则AC 的长为( )A ．2B ．3C ．2 3D ．4解析：选C 连接BC ，则∠ACB ＝90°，又AD ⊥EF ，∴∠ADC ＝90°，即∠ADC ＝∠ACB ，又∵∠ACD ＝∠ABC ，∴△ABC ∽△ACD ，∴AC AD ＝AB AC， ∴AC2＝AD ·AB ＝12，即AC ＝2 3.4．如图，AB 是⊙O 的直径，P 在AB 的延长线上，PD 切⊙O 于C 点，连接AC ，若AC ＝PC ，PB ＝1，则⊙O 的半径为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A连接BC.∵AC ＝PC ，∴∠A ＝∠P.∵∠BCP ＝∠A ，∴∠BCP ＝∠P.∴BC ＝BP ＝1.由△BCP ∽△CAP 得PC PA ＝PB PC. ∴PC2＝PB ·PA ，即AC2＝PB ·PA.而AC2＝AB2－BC2，设⊙O 半径为r ，则4r2－12＝1·(1＋2r)，解得r ＝1.PE 分别切⊙O 于B ，C ，若∠ACE ＝40°，则∠P ＝________.解析：连接BC ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.又∠ACE ＝40°，∴∠PCB ＝∠PBC ＝50°.∴∠P ＝80°.答案：80°6．如图，点P 在圆O 直径AB 的延长线上，且PB ＝OB ＝2，PC 切圆O 于C 点，CD ⊥AB 于D 点，则CD ＝________.解析：连接OC.∵PC 切⊙O 于C 点，∴OC ⊥PC.∵PB ＝OB ＝2，OC ＝2.∴PC ＝2 3.∵OC ·PC ＝OP ·CD ，∴CD ＝2×234＝ 3. 答案： 37．如图，过圆O 外一点P 分别作圆的切线和割线交圆于A ，B ，且PB ＝7，C 是圆上一点使得BC ＝5，∠BAC ＝∠APB ，则AB ＝________.解析：由PA 为⊙O 的切线，BA 为弦，得∠PAB ＝∠BCA ，又∠BAC ＝∠APB ，于是△APB ∽△CAB ，所以PB AB ＝AB BC. 而PB ＝7，BC ＝5，故AB2＝PB ·BC ＝7×5＝35，即AB ＝35.答案：358.如图，AB 是半圆O 的直径，C 是圆周上一点(异于A ，B)，过C 作圆O 的切线l ，过A 作直线l 的垂线AD ，垂足为D ，AD 交半圆于点E.求证：CB ＝CE.证明：连接AC ，BE ，在DC 延长线上取一点F ，因为AB 是半圆O 的直径，C 为圆周上一点， 所以∠ACB ＝90°，即∠BCF ＋∠ACD ＝90°.又因为AD ⊥l ，所以∠DAC ＋∠ACD ＝90°.所以∠BCF ＝∠DAC.又因为直线l 是圆O 的切线，所以∠CEB ＝∠BCF ，又∠DAC ＝∠CBE ，所以∠CBE ＝∠CEB ，所以CB ＝CE.9.如图所示，△ABC 内接于⊙O ，AB ＝AC ，直线XY 切⊙O 于点C ，弦BD∥XY ，AC ，BD 相交于点E.(1)求证：△ABE ≌△ACD ；(2)若AB ＝6 cm ，BC ＝4 cm ，求AE 的长．解：(1)证明：因为XY 是⊙O 的切线，所以∠1＝∠2.因为BD ∥XY ，所以∠1＝∠3，所以∠2＝∠3.因为∠3＝∠4，所以∠2＝∠4.因为∠ABD ＝∠ACD ，又因为AB ＝AC ，所以△ABE ≌△ACD.(2)因为∠3＝∠2，∠ABC ＝∠ACB ，所以△BCE ∽△ACB ，所以BC AC ＝CE CB， 即AC ·CE ＝BC2.因为AB ＝AC ＝6 cm ，BC ＝4 cm ，所以6·(6－AE)＝16.所以AE ＝103(cm)．。
高中数学选修4-1(人教版)练习：第二讲2.4弦切角的性质
第二讲直线与圆的位置关系2.4 弦切角的性质A级基础巩固一、选择题1．如图所示，MN与⊙O相切于点M，Q和P是⊙O上两点，∠P QM＝70°，则∠NMP等于( )A．20°B．70°C．110°D．160°解析：根据弦切角定理：∠NMP＝∠PQM＝70°.答案：B2.如图所示，过圆内接△ABC的顶点A引切线交BC的延长线于点D，若∠B＝35°，∠ACB＝80°，则∠D等于( )A．45°B． 50°C．55°D．60°解析：因为AD是圆的切线，所以∠DAC＝∠B＝35°.又因为∠D＋∠DAC＝∠ACB，所以∠D ＝∠ACB －∠DAC ＝80°－35°＝45°. 答案：A3.如图所示，AB 为圆的直径，弦AC 与AB 成30°角，DC 切圆于点C ，AB ＝5 cm ，则BD 等于( )A ．10 cmB ．5 cm C.52cm D ．1 cm解析：连接BC (如图)，则∠ACB ＝90°， ∠BCD ＝30°＝∠D ，故BD ＝BC ＝52cm.答案：C 4．如图所示，△ABC 内接于⊙O ，EC 切⊙O 于点C .若∠BOC ＝76°，则∠BCE 等于( )A ．14°B ．38°C ．52°D ．76° 解析：因为EC 为⊙O 的切线， 所以∠BCE ＝∠BAC ＝12∠BOC ＝38°.答案：B5.如图所示，CA为⊙O的切线，切点为A，点B在⊙O上，如图所示∠CAB＝55°，那么∠AOB等于( )A．55°B．90°C．110°D．120°解析：延长AO交⊙O于D，连接BD(如图)，因为AC切⊙O于A，AB是弦，所以∠D＝∠CAB.又∠D＝12∠AOB，所以∠AOB＝2∠CAB＝110°.答案：C二、填空题6．如图所示，EB，EC是圆O的两条切线，B，C是切点，A，D 是圆O上两点，如果∠E＝46°，∠DCF＝32°，则∠A＝____．解析：连接OB，OC，AC(如图)，根据弦切角定理，∠A ＝∠BAC ＋∠CAD ＝12(180°－∠E )＋∠DCF ＝67°＋32°＝99°.答案：99°7．如图所示，已知圆O 的直径AB ＝5，C 为圆周上一点，BC ＝4，过点C 作圆O 的切线l ，过点A 作l 的垂线AD ，垂足为D ，则CD ＝________．解析：由弦切角定理，有∠ACD ＝∠B ， 所以CD AC ＝cos ∠ACD ＝cos B ＝BC AB .所以CD52－42＝45.故CD ＝125.答案：125 8．如图所示，AB 是圆O 的直径，直线CE 和圆O 相切于点C ，A D ⊥CE 于D ，若AD ＝1，∠ABC ＝30°，则圆O 的面积是________．解析：由弦切角定理，有∠ACD＝∠ABC＝30°，所以AC＝2AD，AB＝2AC，即AB＝4，圆O的面积S＝π·(42)2＝4π.答案：4π三、解答题9．如图所示，PA切⊙O于点A，PBC是⊙O的割线，在PC上截取PD＝PA，求证：∠1＝∠2.证明：因为PA＝PD，所以∠PAD＝∠PDA.因为∠PDA＝∠C＋∠1，∠PAD＝∠PAB＋∠2，所以∠C＋∠1＝∠PAB＋∠2.又PA切⊙O于点A，AB为弦，所以∠PAB＝∠C.所以∠1＝∠2.10.如图所示，已知AB切⊙O于B，BC是⊙O的直径，AC交⊙O 于D，DE是⊙O的切线，CE⊥DE于E，DE＝3，CE＝4，求AB的长．解：因为CE ⊥DE 于E ， DE ＝3，CE ＝4， 所以CD ＝5. 连接BD (如图)．因为DE 切⊙O 于点D ， 所以∠EDC ＝∠DBC . 又因为BC 为⊙O 的直径， 所以∠BDC ＝90°. 所以Rt △BDC ∽Rt △DEC .所以CD BC ＝CE CD ＝DE BD ，即5BC ＝45＝3BD .所以BC ＝254，BD ＝154.又因为AB 与⊙O 相切于点B ， 所以AB ⊥BC .所以AC ＝12516.所以AB ＝7516.B 级 能力提升1.如图所示，已知AB ，AC 与⊙O 相切于点B ，C ，∠A ＝50°，点P 是⊙O 上异于点B ，C 的一个动点，则∠BPC 的度数是( )A ．65°B ．115°C ．65°或115°D ．130°或50°解析：当点P 在优弧BC ︵上时，由∠A ＝50°，得∠ABC ＝∠ACB ＝65°.因为AB 是⊙O 的切线， 所以∠ABC ＝∠BPC ＝65°.当P 点在劣弧BC ︵上时，∠BPC ＝115°. 答案：C2.如图所示，已知AB 和AC 分别是⊙O 的弦和切线，点A 为切点，AD 为∠BAC 的平分线，且交⊙O 于点D ，BD 的延长线与AC 交于点C ，AC ＝6，AD ＝5，则CD ＝________．解析：由弦切角定理，有∠CAD ＝∠B .又∠C ＝∠C ，则△ACD ∽△BCA ， 所以CD AC ＝AC BC，又∠BAD ＝∠CAD ＝∠B ， 则BC ＝CD ＋BD ＝CD ＋AD . 设CD ＝x ，则x 6＝6x ＋5，x ＝4或－9(舍去)， 故CD ＝4. 答案：43.如图所示，BD 是⊙O 的直径，AB 与⊙O 相切于点B ，过点D 作OA 的平行线交⊙O 于点C ，AC 与BD 的延长线相交于点E .(1)试探究AE 与⊙O 的位置关系，并说明理由．(2)已知EC ＝a ，ED ＝b ，AB ＝c ，请你思考后，选用以上适当的数据，设计出计算⊙O 的半径r 的一种方案：①你选用的已知数据是________； ②写出求解过程(结果用字母表示)． 解：(1)AE 与⊙O 相切． 理由：连接OC (如图)．因为CD∥OA，所以∠AOC＝∠OCD，∠ODC＝∠AOB.又因为OD＝OC，所以∠ODC＝∠OCD.所以∠AOB＝∠AOC.在△AOC和△AOB中OA＝OA，∠AOC＝∠AOB，OC＝OB，所以△AOC≌△AOB，所以∠ACO＝∠ABO.因为AB与⊙O相切，所以∠ACO＝∠ABO＝90°.所以AE与⊙O相切．(2)①选择a、b、c，或其中2个．②解答举例：若选择a、b、c，法一：由CD∥OA，ac＝br，得r＝bca.法二：在Rt △ABE 中，由勾股定理(b ＋2r )2＋c 2＝(a ＋c )2，得r ＝a2＋2ac －b2. 法三：由Rt △OCE ∽Rt △ABE ， a r ＝b ＋2r c ， 得r ＝－b ＋b2＋8ac4. 若选择a 、b .法一：在Rt △OCE 中，由勾股定理得： a 2＋r 2＝(b ＋r )2，得r ＝a2－b22b；法二：连接BC ，由△DCE ∽△CBE ， 得r ＝a2－b22b .。
弦切角定理 课后作业(答案解析)提升 高中数学选修4-1 北师大版
第三课时弦切角定理1．P在⊙O外，PM切⊙O于C，PAB交⊙O于A、B，则() A．∠MCB＝∠B B．∠PAC＝∠PC．∠PCA＝∠B D．∠PAC＝∠BCA答案：C2．在⊙O的直径CB的延长线上取一点A，AP与⊙O切于点P，且∠APB＝30°，AP＝3，则CP等于()A. 3 B．2 3C．23－1 D．23＋1答案：A3．在△ABC中，AB＝12 cm，∠C＝30°，则这个三角形的外接圆的直径是() A．24 cm B．18 cmC．36 cm D．12 3 cm答案：A4．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆上的两点，半圆O的切线PC交AB的延长线于点P，∠PCB＝25°，则∠ADC为()A．105°B．115°C．120°D．125°答案：B5．如图，AB是⊙O的直径，EF切⊙O于C，AD⊥EF于D，AD＝2，AB＝6，则AC的长为()A．2 B．3C．2 3 D．4答案：C6．如图，AD是⊙O的切线，AC是⊙O的弦，过C作AD的垂线，垂足为B，CB与⊙O相交于点E，AE平分∠CAB，且AE＝2，则AB＝________，AC ＝________，BC＝________.答案：323 37．如图，AD切⊙O于点F，FB，FC为⊙O的两弦，请列出图中所有的弦切角________．答案：∠AFB、∠AFC、∠DFC、∠DFB8. 在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，作DE⊥AC于E，求证：DE是⊙O的切线．证明：如图，连接AD、OD.∵AB为⊙O的直径，∠ADB＝90°，∴在Rt△ADB中，O为AB的中点，则AO＝OD，∴∠1＝∠2.在等腰△ABC中，∵AD⊥BC，∠1＝∠5，在Rt△ACD中，DE⊥AC.∴∠5＝∠3，∠2＝∠3，∠ADC＝90°.即∠3＋∠4＝90°∴∠2＋∠4＝90°，ED⊥OD.∴DE是⊙O的切线．9．如图，已知⊙O1与⊙O2交于A、C两点，P为⊙O1上任一点，连接PA、PC 并延长，分别交⊙O2于B、D.求证：O1P⊥BD.证明：过P作⊙O1的切线PE，P为切点，连接AC，所以∠1＝∠2，O1P垂直于PE.因为∠2＝∠B，所以∠1＝∠B.因此PE平行于BD，所以O1P⊥BD.。
切线长定理大题10道-教师用卷
，
又 ，
，即 ，
，
，
．
6.如图，已知AB是 的直径，CD与 相切于 ．
求证：BC是 的平分线；
若 的半径 ，求CE的长．
【答案】 证明： 是切线，
，
，
，
，
，
，
平分 ．
在 中， ，
，
，
，
，
．
7. 如图，AB是 的直径，点C在AB的延长线上，AD平分 交 于点D，且 ，垂足为点E．
求证：直线CE是 的切线．
，
．
≌ ，
，
是 的切线．
，
在 中， ，
设 的半径为r，则 ，
在 中，
．
解之得 ，即 的半径为 ．
9. 如图，点C是以AB为直径的 上一点，CD是 切线，D在AB的延长线上，作 于E．
求证：AC平分 ；
若 ，求 的半径；
请探索：线段 之间有何数量关系？请证明你的结论．
【答案】 证明：连接OC，
是 切线，
，
，
，
是直径，
，
，
，
为 切线，
，
，
，
；
，
，
，
，
，
，
，
．
5. 如图，在 中，点D是 上的一点，点C是直径AB延长线上一点，连接 ，且 ．
求证：直线CD是 的切线；
若CM平分 ，且分别交 于点 ，当 时，求MN的长．
【答案】 证明：如图，连接OD．
为 的直径，
，即 ，
又 ， ，
； ，即 ．
是圆O的半径， 直线CD是 的切线；
若 ，求弦AD的长．
【答案】 证明：连结OC，如图，
高中数学选修4-1切线长定理及弦切角
高中数学选修4-1切线长定理及弦切角练习题（一）填空1．已知：如图7－143，直线BC切⊙O于B点，AB=AC，AD=BD，那么∠A=____．2．已知：如图7－144，直线DC与⊙O相切于点C，AB为⊙O直径，AD⊥DC 于D，∠DAC=28°侧∠CAB=____ ．3．已知：直线AB与圆O切于B点，割线ACD与⊙O交于C和D4．已知：如图7－145，PA切⊙O于点A，割线PBC交⊙O于B和C两点，∠P=15°，∠ABC=47°，则∠C= ____．5．已知：如图7－146，三角形ABC的∠C=90°，内切圆O与△ABC的三边分别切于D，E，F三点，∠DFE=56°，那么∠B=____．6．已知：如图 7－147，△ABC内接于⊙O，DC切⊙O于C点，∠1=∠2，则△ABC为____ 三角形．7．已知：如图7－148，圆O为△ABC外接圆，AB为直径，DC切⊙O于C点，∠A=36°，那么∠ACD=____．（二）选择8．已知：△ABC内接于⊙O，∠ABC=25°，∠ACB= 75°，过A点作⊙O的切线交BC的延长线于P，则∠APB等于[ ]A．62.5°；B．55°；C．50°；D．40°．9．已知：如图 7－149，PA，PB切⊙O于A，B两点，AC为直径，则图中与∠PAB相等的角的个数为[ ]A．1 个；B．2个；C．4个；D．5个．10．已知如图7－150，四边形ABCD为圆内接四边形，AB是直径，MN切⊙O 于C点，∠BCM=38°，那么∠ABC的度数是[ ]A．38°；B．52°；C．68°；D．42°．11．已知如图7－151，PA切⊙O于点A，PCB交⊙O于C，B两点，且 PCB 过点 O，AE⊥BP交⊙O于E，则图中与∠CAP相等的角的个数是[ ]A．1个；B．2个；C．3个；D．4个．（三）计算12．已知：如图7－152，PT与⊙O切于C，AB为直径，∠BAC=60°，AD为⊙O一弦．求∠ADC与∠PCA的度数．13．已知：如图7－153，PA切⊙O于A，PO交⊙O于B，C，PD平分∠APC．求∠ADP的度数．14．已知：如图7－154，⊙O的半径OA⊥OB，过A点的直线交OB于P，交⊙O于Q，过Q引⊙O的切线交OB延长线于C，且PQ=QC．求∠A的度数．15．已知：如图7－155，⊙O内接四边形ABCD，MN切⊙O于C，∠BCM=38°，AB为⊙O直径．求∠ADC的度数．16．已知：如图7－156，PA，PC切⊙O于A，C两点，B点17．已知：如图 7－157，AC为⊙O的弦，PA切⊙O于点A，PC过O点与⊙O 交于B，∠C=33°．求∠P的度数．18．已知：如图7－158，四边形ABCD内接于⊙O，EF切⊙O19．已知 BA是⊙O的弦，TA切⊙O于点A，∠BAT= 100°，点M在圆周上但与A，B不重合，求∠AMB的度数．20．已知：如图7－159，PA切圆于A，BC为圆直径，∠BAD=∠P，PA=15cm，PB=5cm．求 BD的长．21．已知：如图7－160，AC是⊙O直径，PA⊥AC于A，PB切⊙O于B，BE ⊥AC于E．若AE=6cm，EC=2cm，求BD的长．22．已知：如图7－161所示，P为⊙O外一点，PA切⊙O于A，从PA中点M 引⊙O割线MNB，∠PNA=138°．求∠PBA的度数．23．已知：如图7－162，DC切⊙O于C，DA交⊙O于P和B两点，AC交⊙O 于Q，PQ为⊙O直径交BC于E，∠BAC=17°，∠D=45°．求∠PQC与∠PEC的度数．24．已知：如图 7－163，QA切⊙O于点A，QB交⊙O于B25．已知：如图7－164，QA切⊙O于A，QB交⊙O于B和C26．已知：在图7－165中，PA切⊙O于A，AD平分∠BAC，PE平分∠APB，AD=4cm，PA=6cm．求EP的长．27．已知；如图7－166，PA为△ABC外接圆的切线，A 为切点，DE∥AC，PE=PD．AB=7cm，AD=2cm．求DE的长．28．已知：如图 7－167，BC是⊙O的直径，DA切⊙O于A，DA=DE．求∠BAE 的度数．29．已知：如图 7－168，AB为⊙O直径，CD切⊙O于CAE∠CD于E，交BC 于F，AF=BF．求∠A的度数．30．已知：如图7－169，PA，PB分别切⊙O于A，B，PCD为割线交⊙O于C，D．若 AC=3cm，AD=5cm，BC= 2cm，求DB的长．ABCD的顶点A，D，C在圆O上，AB的延长线31．已知：如图7－170，与⊙O交于M，CB的延长线与⊙O交于点N，PD切⊙O于D，∠ADP=35°，∠ADC=108°．求∠M的度数．32．已知：如图7－171，PQ为⊙O直径，DC切⊙O于C，DP交⊙O于B，交CQ延长线于A，∠D=45°，∠PEC=39°．求∠A的度数．33．已知：如图 7－172，△ABC内接于⊙O，EA切⊙O于A，过B作BD∥AE 交AC延长线于D．若AC=4cm，CD= 3cm，求AB的长．34．已知：如图7－173，△ABC内接于圆，FB切圆于B，CF⊥BF于F交圆于 E，∠1=∠2．求∠1的度数．35．已知：如图7－174，PC为⊙O直径，MN切⊙O于A，PB⊥MN于B．若PC=5cm，PA=2cm．求PB的长．36．已知：如图7－175，AD为⊙O直径，CBE，CD分别切⊙37．已知：如图7－176，圆内接四边形ABCD的AB边经过圆心，AD，BC的延长线相交于E，过C点的切线CF⊥AE于F．求证：（1）△ABE为等腰三角形；（2）若 BC=1cm，AB=3cm，求EF的长．38．已知：如图7－177，AB，AC切⊙O于B，C，OA交⊙O于F，E，交BC 于D．（1）求证：E为△ABC内心；（2）若∠BAC=60°，AB=a，求OB与OD的长．（四）证明39．已知：在△ABC中，∠C=90°，以C为圆心作圆切AB边于F点，AD，BC分别与⊙C切于D，E两点．求证：AD∥BE．40．已知：PA，PB与⊙O分别切于A，B两点，延长OB到C，41．已知：⊙O与∠A的两边分别相切于D，E．在线段AD，AE（或在它们的延长线）上各取一点B，C，使DB=EC．求证：OA⊥BC．⊥EC于H，AO交BC于D．求证：BC·AH=AD·CE．*43．已知：如图7－178，MN切⊙O于A，弦BC交OA于E，过C点引BC的垂线交MN于D．求：AB∥DE．44．已知：如图7－179，OA是⊙O半径，B是OA延长线上一点，BC切⊙O 于C，CD⊥OA于D．求证：CA平分∠BCD．45．已知：如图7－180，BC是⊙O直径，EF切⊙O于A点，AD⊥BC于D．求证：AB平分∠DAE，AC平分∠DAF．46．已知：如图7－181，在△ABC中，AB=AC，∠C= 2∠A，以 AB为弦的圆O与 BC切干点 B，与 AC交于 D点．求证：AD=DB=BC．47．已知：如图7－182，过△ADG的顶点A作直线与DG的延长线相交于C，过G作△ADG的外接圆的切线二等分线段AC于E．求证：AG2=DG·CG．48．已知：如图7－183，PA，PB分别切⊙O于A，B两点，PCD为割线．求证：AC·BD=BC·AD．BC=BA，连结AC交圆于点E．求证：四边形ABDE是平行四边形．50．已知：如图7－185，∠1=∠2，⊙O过A，D两点且交AB，AC于E，F，BC切⊙O于D．求证：EF∥BC．51．已知：如图7－186，AB是半圆直径，EC切半圆于点C，BE⊥CE交AC 于F．求证：AB=BF．52．已知：如图7－187，AB为半圆直径，PA⊥AB，PC切半圆于C点，CD⊥AB于D交PB于M．求证：CM=MD．（五）作图53．求作以已知线段AB为弦，所含圆周角为已知锐角∠α（见图7－188）的弧（不写作法，写出已知、求作，答出所求）．54．求作一个以α为一边，所对角为∠α，此边上高为h的三角形．55．求作一个以a为一边，m为此边上中线，所对角为∠α的三角形（不写作法，答出所求）．切线长定理及弦切角练习题(答案)（一）填空1．36° 2．28° 3．50° 4．32°5．22° 6．等腰 7．54°（二）选择8．C 9．D 10．B 11．C（三）计算12．30°，30°．13．45°．提示：连接AB交PD于E．只需证明∠ADE=∠AED，证明时利用三角形外角定理及弦切角定理．14．30°．提示：因为PQ=QC，所以∠QCP=∠QPC．连接OQ，则知∠POQ与∠QCP互余．又∠OAQ=∠OQA与∠QPC互余，所以∠POQ=∠OAQ=∠OQA．而它们的和为90°（因为∠AOC=90°）．所以∠OAQ=30°16．67.5°．提示：解法一连接AC，则∠PAC=∠PCA．又∠P=45°，所以∠PAC=∠PCA=67.5°．从而∠B=∠PAC=67.5°．解法二连接OA，OC，则∠AOC=180°－∠P=135°，所以17．24°．提示：连接OA，则∠POA=66°．18．60°．提示：连接BD，则∠ADB=40°，∠DBC=20°．设∠ABD=∠BDC（因为AB//CD）=x°，则因∠B+∠D=180°，所以2x°+60°=180°，x°=60°，从而∠ADE=∠ABD=60°．19．100°或80°．提示： M可在弦AB对的两弧的每一个上．从而22．42°．提示：∠ABM=∠NAM．于是显然△ABM∽△NAM，NMP，所以△PMB∽△NMP，从而∠PBM=∠NPM．再由∠ABM=∠NAM，就有∠PBA=∠PBM+∠NAM=∠NPM+∠NAM=180°－∠PNA=42°．23．28°，39°．提示：连接PC．24．41°．提示：求出∠QAC和∠ACB的度数．25．100°．以DB=9．因为2DP2=2×9，由此得DP2=9．又DP＞0，所以DP=3，从而，DE=2×3=6（cm）．28．45°．提示：连接AC．由于DA=DE，所以∠ABE+∠BAE=∠AED=∠EAD=∠CAD+∠CAE，但∠ABE=∠CAD，所以∠BAE=∠CAE．由于∠BAE+∠CAE=90°，所以∠BAE=45°．29．60°．提示：解法一连接AC，则AC⊥BC．又AF⊥CE，所以∠ACE=∠F．又DC切⊙O于C，所以∠ACE=∠B．所以∠F=∠B．因为AF=BF，所以∠BAF=∠B=∠F．所以∠BAF=60°．31．37°．提示：连接AC，则∠M=∠ACN=∠CAD．32．17°．提示：连接PC，则∠QPC+∠PBC=90°．45°=∠D=（∠BPQ+∠QPC）∠DCP=（∠BPQ+∠QPC）－∠PBC=[∠BPQ+（90°－∠PBC）]－∠PBC．所以2∠PBC－∠BPQ=45°．（1）又∠PBC+∠BPQ=39°，（2）从而∠PBC=28°，∠BPQ=11°．于是∠A=∠PBC－∠BPQ=17°．34．30°．提示：连接BE，由∠1=∠2，可推出∠EBF=∠ECB=∠EBC，而这三个角的和为90°，所以每个角为30°．36．60°．提示：连接OB，则OB⊥CE，从而∠C=∠BOE= 60°．37．（1）提示：连接OC，则∠E=∠OCB=∠OBC=∠CDE，所以△ABE为等腰三角形．38．（1）提示：连接BE．只需证明∠ABE=∠DBE．（四）证明39．提示：AC，BC各平分∠A，∠B．设法证出∠A+∠B=180°．40．提示：连接OP，设法证出∠BPC=∠BPO．42．提示：在△BCE和△DAH中，∠BCE=∠DAH（它们都与∠DCH互补）．又A，D，C，H共圆，所以∠CEB=∠ACB=∠AHD，从而△BCE∽△DAH．这就得所要证明的比例式．43．提示：连接AC．先证明A，E，C，D四点共圆．由此得∠ADE=（∠ACE=）∠MAB，所以AB//DE．44．提示：证法一延长AO交⊙O于点E，连接EC，则∠BCA=∠E，且∠ACD=∠E．所以∠BCA=∠ACD．证法二连接OA，则∠BCA与∠OCA互余；又∠ACD与∠OAC互余，而∠OCA=∠OAC，所以∠BCA=∠ACD．46．提示：由已知得∠A=36°，∠B=∠C=72°，∠DBC=∠A=36°，所以∠ABD=36°，从而AD=BD．又∠C=∠CDB=72°，所以BD=BC．47．提示：过A作CD的平行线交BC于H，则AH=CG．然后证AG2=DG·AH=DG·CG．49．提示：因为BC=BA，所以∠A=（∠C=）∠D；又∠CED=∠DBF（BF是AB 的延长线），所以它们的补角∠DEA=∠ABD．从而四边形ABDE是平行四边形．50．提示：连接DE，则∠BDE=∠1=∠2=∠FED．所以EF//BC．51．提示：连接BC，则∠ACB=90°=∠FCB．因为CE⊥BE，所以∠F=∠ECB．因为EC切半圆于C，所以∠ECB=∠A，所以∠A=∠F，因此AB=BF．52．提示：连接AC，BC并延长BC交AP延长线于点N．首先所以CM=MD．。
高中数学人教A版选修4-1学业分层测评9 弦切角的性质 Word版含解析.doc
学业分层测评(九)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．如图2-4-12所示，AB 是⊙O 的直径，MN 与⊙O 切于点C ，AC ＝12BC ，则sin ∠MCA ＝( )图2-4-12A.12 B.22 C.32D.55【解析】 由弦切角定理，得∠MCA ＝∠ABC . ∵sin ∠ABC ＝AC AB ＝AC AC 2＋BC 2＝AC 5AC ＝55，故选D.【答案】 D2．如图2-4-13，在圆的内接四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，EF 切⊙O 于C 点，那么图中与∠DCF 相等的角的个数是( )图2-4-13A ．4B ．5C ．6D ．7【解析】 ∠DCF ＝∠DAC ，∠DCF ＝∠BAC ，∠DCF ＝∠BCE ， ∠DCF ＝∠BDC ，∠DCF ＝∠DBC .【答案】 B3.如图2-4-14所示，AB是⊙O的直径，EF切⊙O于C，AD⊥EF于D，AD ＝2，AB＝6，则AC的长为()图2-4-14A．2 B．3C．2 3 D．4【解析】连接BC.∵AB是⊙O的直径，∴AC⊥BC，由弦切角定理可知，∠ACD＝∠ABC，∴△ABC∽△ACD，∴ACAD＝ABAC，∴AC2＝AB·AD＝6×2＝12，∴AC＝23，故选C.【答案】 C4．如图2-4-15，PC与⊙O相切于C点，割线P AB过圆心O，∠P＝40°，则∠ACP等于()【导学号：07370043】图2-4-15A．20°B．25°C．30°D．40°【解析】如图，连接OC，BC，∵PC切⊙O于C点，∴OC⊥PC，∵∠P＝40°，∴∠POC＝50°. ∵OC＝OB，∴∠B＝12∠POC＝25°，∴∠ACP＝∠B＝25°.【答案】 B5．如图2-4-16所示，已知AB，AC与⊙O相切于B，C，∠A＝50°，点P 是⊙O上异于B，C的一动点，则∠BPC的度数是()图2-4-16A．65°B．115°C．65°或115°D．130°或50°【解析】当点P在优弧上时，由∠A＝50°，得∠ABC＝∠ACB＝65°.∵AB是⊙O的切线，∴∠ABC＝∠BPC＝65°.当P点在劣弧上时，∠BPC＝115°.故选C.【答案】 C二、填空题6.如图2-4-17所示，直线PB与圆O相切于点B，D是弦AC上的点，∠PBA＝∠DBA.若AD＝m，AC＝n，则AB＝________.图2-4-17 【解析】∵PB切⊙O于点B，∴∠PBA＝∠ACB.又∠PBA＝∠DBA，∴∠DBA＝∠ACB，∴△ABD∽△ACB.∴ABAC＝ADAB，∴AB2＝AD·AC＝mn，∴AB＝mn.【答案】mn7．如图2-4-18，已知△ABC内接于圆O，点D在OC的延长线上．AD是⊙O的切线，若∠B＝30°，AC＝2，则OD的长为__________．图2-4-18【解析】连接OA，则∠COA＝2∠CBA＝60°，且由OC＝OA知△COA为正三角形，所以OA＝2.又因为AD是⊙O的切线，即OA⊥AD，所以OD＝2OA＝4.【答案】 48.如图2-4-19，点P在圆O直径AB的延长线上，且PB＝OB＝2，PC切圆O于C点，CD⊥AB于D点，则CD＝________.图2-4-19 【解析】连接OC，∵PC切⊙O于点C，∴OC⊥PC，∵PB＝OB＝2，OC＝2，∴PC＝23，∵OC·PC＝OP·CD，∴CD＝2×234＝ 3.【答案】 3三、解答题9．如图2-4-20所示，△ABT内接于⊙O，过点T的切线交AB的延长线于点P，∠APT的平分线交BT，AT于C，D.图2-4-20求证：△CTD为等腰三角形．【证明】∵PD是∠APT的平分线，∴∠APD＝∠DPT.又∵PT是圆的切线，∴∠BTP＝∠A.又∵∠TDC＝∠A＋∠APD，∠TCD＝∠BTP＋∠DPT，∴∠TDC＝∠TCD，∴△CTD为等腰三角形．10．如图2-4-21，AB是⊙O的弦，M是上任一点，过点M的切线与分别以A，B为垂足的直线AD，BC交于D，C两点，过M点作NM⊥CD交AB 于点N，求证：MN2＝AD·BC.图2-4-21 【证明】连接AM，MB，因为DA⊥AB，MN⊥CD，所以∠MDA＋∠MNA＝180°.又因为∠MNA＋∠MNB＝180°，所以∠MDA＝∠MNB，又因为CD为⊙O的切线，所以∠1＝∠2，所以△ADM∽△MNB，所以ADMN＝AMBM，同理MNBC＝AMBM，所以ADMN＝MNBC，即有MN2＝AD·BC.[能力提升]1．在圆O的直径CB的延长线上取一点A，AP与圆O切于点P，且∠APB ＝30°，AP＝3，则CP＝() 【导学号：07370044】A.3B．2 3C．23－1 D．23＋1【解析】如图，连接OP，则OP⊥P A，又∠APB＝30°，∴∠POB＝60°，在Rt△OP A中，由AP＝3，易知，PB＝OP＝1，在Rt△PCB中，由PB＝1，∠PBC＝60°，得PC＝ 3.【答案】 A2．如图2-4-22，AB是⊙O直径，P在AB的延长线上，PD切⊙O于C点，连接AC，若AC＝PC，PB＝1，则⊙O的半径为()图2-4-22A．1 B．2C．3 D．4【解析】连接BC.∵AC＝PC，∴∠A＝∠P.∵∠BCP＝∠A，∴∠BCP＝∠P，∴BC＝BP＝1.由△BCP∽△CAP，得PC2＝PB·P A，即AC2＝PB·P A.而AC2＝AB2－BC2，设⊙O半径为r，则4r2－12＝1·(1＋2r)，解得r＝1.【答案】 A3．如图2-4-23，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A，B，且PB＝7，C是圆上一点使得BC＝5，∠BAC＝∠APB，则AB＝__________.图2-4-23【解析】由P A为⊙O的切线，BA为弦，得∠P AB＝∠BCA.又∠BAC＝∠APB，于是△APB∽△CAB，所以PBAB＝ABBC.而PB＝7，BC＝5，故AB2＝PB·BC＝7×5＝35，即AB＝35.【答案】354．如图2-4-24，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于E，AD垂直CD 于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，连接AE，BE.图2-4-24证明：(1)∠FEB＝∠CEB；(2)EF2＝AD·BC.【证明】(1)由直线CD与⊙O相切，得∠CEB＝∠EAB.由AB为⊙O的直径，得AE⊥EB，从而∠EAB＋∠EBF＝π2.又EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝π2.从而∠FEB＝∠EAB，故∠FEB＝∠CEB.(2)由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE是公共边，得Rt△BCE≌Rt △BFE，所以BC＝BF.类似可证Rt△ADE≌Rt△AFE，得AD＝AF.又在Rt△AEB中，EF⊥AB，故EF2＝AF·BF，所以EF2＝AD·BC.。
数学人教A版选修4-1达标训练：第二讲四弦切角的性质
更上一层楼基础·巩固1如图2-4-8，AB 是半圆O 的直径，C 、D 是半圆上的两点，半圆O 的切线PC 交AB 的延长线于点P ，∠PCB=25°，则∠ADC 为( ) A.105° B.115° C.120° D.125°图2-4-8思路解析:连结AC ，构造出夹圆周角∠ADC 所对弧的弦切角，即∠PCA ，而∠PCA 显然等于∠PCB 加上一个直角，由此即得结果.答案:B2如图2-4-9，AB 是⊙O 的直径，EF 切⊙O 于C ，AD ⊥EF 于D ，AD=2，AB=6，则AC 的长为( )图2-4-9A.2B.3C.32D.4思路解析:连结BC ，构造出弦切角所对的圆周角，由已知有△ADC 与△ACB 相似，所以可得ABACAC AD ，代入数值得关于AC 的方程.答案:C3如图2-4-10，AB 是⊙O 的弦，CD 是经过⊙O 上的点M 的切线.图2-4-10求证：(1)如果AB ∥CD ，那么AM=MB ； (2)如果AM=BM ，那么AB ∥CD.思路分析:本题的两个问题互为逆命题，利用弦切角在中间起桥梁作用，如第（1）题，由平行得∠B=∠DMB ，由弦切角得∠DMB=∠A ，于是有∠A=∠B. 证明:(1)CD 切⊙O 于M 点，∴∠DMB=∠A ，∠CMA=∠B. ∵AB ∥CD ，∴∠CMA=∠A. ∴∠A=∠B.∴AM=MB. (2)∵AM=BM ，∴∠A=∠B.∵CD 切⊙O 于M 点，∴∠DMB=∠A ，∠CMA=∠B. ∴∠CMA=∠A.∴AB ∥CD.4如图2-4-11，四边形ABED 内接于⊙O ，AB ∥DE ，AC 切⊙O 于A ，交ED 延长线于C. 求证：AD ∶AE=DC ∶BE.图2-4-11思路分析:求证成比例的四条线段正好在两个三角形△ACD 和△ABE 中，所以只要证明△ACD ∽△ABE 即可.证明:∵四边形ABED 内接于圆， ∴∠ADC=∠ABE. ∵AC 是⊙O 的切线， ∴∠CAD=∠AED.∵AB ∥DE ，∴∠BAE=∠AED. ∴∠CAD=∠BAE. ∴△ACD ∽△ABE. ∴AD ∶AE=DC ∶BE. 综合·应用5如图2-4-12，P 为⊙O 的直径CB 延长线上的一点，A 为⊙O 上一点，若=，AE 交BC 于D ，且∠C=21∠PAD.图2-4-12(1)求证：PA 为⊙O 的切线； (2)若∠BEA=30°，BD=1，求AP 及PB 长. 思路分析:对于（1），A 已经是圆上一点，所以可以连结OA ，证明PA 与OA 垂直；对于（2），将∠E 利用圆周角定理转移到Rt △ODA 和Rt △OAP 中，解直角三角形即可得到线段AP 及PB 的长.（1）证明:连结AO ，∵=，BC 为直径，∴AE ⊥BC ，AD=DE ，=.∵OA=OC ，∴∠C=∠3.∴∠1=2∠C. 又∵∠C=21∠PAD ，∴∠1=∠2. ∵∠1＋∠4=90°，∴∠2＋∠4=90°. ∴PA ⊥OA.∴PA 为⊙O 的切线.（2）解:在Rt △EBD 中，∵∠BEA=30°，BD=1,∴BE=2，DE=3.在Rt △ODA 和Rt △EBD 中,∠4=90°-∠1=90°-2∠C=90°-2∠E=30°=∠E ，∠ODA=∠BDE ，AD=ED ，∴Rt △ODA ≌Rt △EBD.∴AD=DE=3，OD=BD=1，OA=BE=2. 在Rt △OAP 中，∵AD ⊥OP ， ∴AD 2=OD·DP ，即(3)2=1·DP. ∴DP=3.∴BP=2.在Rt △ADP 中，根据勾股定理，得AP=323)3(2222=+=+DP AD .6如图2-4-13，已知C 点在⊙O 直径BE 的延长线上，CA 切⊙O 于A 点，∠ACB 的平分线CD 交AE 于F 点，交AB 于D 点.图2-4-13(1)求∠ADF 的度数.(2)若∠ACB 的度数为y 度，∠B 的度数为x 度，那么y 与x 之间有怎样的关系？试写出你的猜测并给出证明.(3)若AB=AC ，求AC ∶BC. 思路分析:（1）中由AC 为⊙O 切线可得∠B=∠EAC ，由CD 平分∠ACB 可得∠ACD=∠DCB ，根据三角形外角定理，得到∠ADF=∠AFD ，建立等腰三角形，再由顶角求底角；（2）中则利用三角形内角和定理得到方程，获得关系；（3）中求线段的比值，利用△ACE ∽△ABC 可得.解:（1）∵AC 为⊙O 切线， ∴∠B=∠EAC.∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACD=∠DCB.∴∠B ＋∠DCB=∠EAC ＋∠ACD ，即∠ADF=∠AFD. ∵BE 为⊙O 直径，∴∠DAE=90°. ∴∠ADF=21(180°-∠DAE)=45°. （2）∵∠B=∠EAC ，∠B ＋∠BAC ＋∠ACB=180°, ∴x ＋90＋x ＋y=180.∴y=90-2x. ∵0<∠B<∠ADC ，∴0<x<45.∴y 与x 的函数关系式是y=90-2x ，其中x 的取值范围是0<x<45. （3）∵∠B=∠EAC ，∠ACB=∠ACB ， ∴△ACE ∽△ABC.∴ABAEBC AC =. ∵AB=AC ，∴∠B=∠ACB,即x=y.又∵y=90-2x ，∴x=90-2x ，x=30. ∴在Rt △ABE 中，AB AE BC AC ==tan ∠ABE=tan30°=33.。
[精品]新人教A版选修4-1高中数学跟踪检测(九)弦切角的性质和答案
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课时跟踪检测(九) 弦切角的性质一、选择题1．P在⊙O外，PM切⊙O于C，PAB交⊙O于A，B，则( )A．∠MCB＝∠B B．∠PAC＝∠PC．∠PCA＝∠B D．∠PAC＝∠BCA解析：选C 由弦切角定理知∠PCA＝∠B.2．如图，PC与⊙O相切于C点，割线PAB过圆心O，∠P＝40°，则∠ACP等于( )A．20° B．25° C．30° D．40°解析：选B 连接OC.∵PC切⊙O于C点，∴OC⊥PC.∵∠P＝40°，∴∠POC＝50°.连接BC，则∠B＝12∠POC＝25°，∴∠ACP＝∠B＝25°.3．如图，AB是⊙O的直径，EF切⊙O于C，AD⊥EF于D，AD＝2，AB＝6，则AC的长为( )A．2 B．3 C．2 3 D．4 解析：选C 连接BC，则∠ACB＝90°，又AD⊥EF，∴∠ADC＝90°，即∠ADC＝∠ACB，又∵∠ACD＝∠ABC，∴△ABC∽△ACD，∴ACAD＝ABAC，∴AC2＝AD·AB＝12，即AC＝2 3.4．如图，AB是⊙O的直径，P在AB的延长线上，PD切⊙O于C点，连接AC，若AC＝PC，PB＝1，则⊙O 的半径为( )A．1 B．2C．3 D．4解析：选A连接BC.∵AC＝PC，∴∠A＝∠P.∵∠BCP＝∠A，∴∠BCP＝∠P.∴BC＝BP＝1.由△BCP∽△CAP得PC PA ＝PB PC.∴PC2＝PB·PA，即AC2＝PB·PA.而AC2＝AB2－BC2，设⊙O半径为r，则4r2－12＝1·(1＋2r)，解得r＝1.二、填空题5．如图，AB是⊙O的直径，PB，PE分别切⊙O于B，C，若∠ACE ＝40°，则∠P＝________.解析：连接BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.又∠ACE＝40°，∴∠PCB＝∠PBC＝50°.∴∠P＝80°.答案：80°6．如图，点P在圆O直径AB的延长线上，且PB＝OB＝2，PC 切圆O于C点，CD⊥AB于D点，则CD＝________.解析：连接OC.∵PC切⊙O于C点，∴OC⊥PC.∵PB＝OB＝2，OC＝2.∴PC＝2 3.∵OC·PC＝OP·CD，∴CD＝2×234＝ 3.答案： 37．如图，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A，B，且PB＝7，C是圆上一点使得BC＝5，∠BAC＝∠APB，则AB＝________.解析：由PA为⊙O的切线，BA为弦，得∠PAB＝∠BCA，又∠BAC＝∠APB，于是△APB∽△CAB，所以PBAB＝ABBC.而PB＝7，BC＝5，故AB2＝PB·BC＝7×5＝35，即AB＝35.答案：35三、解答题8.如图，AB是半圆O的直径，C是圆周上一点(异于A，B)，过C作圆O的切线l，过A作直线l的垂线AD，垂足为D，AD交半圆于点E.求证：CB＝CE.证明：连接AC，BE，在DC延长线上取一点F，因为AB是半圆O的直径，C为圆周上一点，所以∠ACB＝90°，即∠BCF＋∠ACD＝90°.又因为AD⊥l，所以∠DAC＋∠ACD＝90°.所以∠BCF＝∠DAC.又因为直线l是圆O的切线，所以∠CEB＝∠BCF，又∠DAC＝∠CBE，所以∠CBE＝∠CEB，所以CB＝CE.9.如图所示，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，直线XY切⊙O于点C，弦BD∥XY，AC，BD相交于点E.(1)求证：△ABE≌△ACD；(2)若AB＝6 cm，BC＝4 cm，求AE的长．解：(1)证明：因为XY是⊙O的切线，所以∠1＝∠2.因为BD∥XY，所以∠1＝∠3，所以∠2＝∠3.因为∠3＝∠4，所以∠2＝∠4.因为∠ABD＝∠ACD，又因为AB＝AC，所以△ABE≌△ACD.(2)因为∠3＝∠2，∠ABC＝∠ACB，所以△BCE∽△ACB，所以BCAC＝CECB，即AC·CE＝BC2.因为AB＝AC＝6 cm，BC＝4 cm，所以6·(6－AE)＝16.所以AE＝103(cm)．10.如图，已知C点在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于A点，DC是∠ACB的角平分线，交AE于点F，交AB于D点．(1)求∠ADF的度数；(2)若AB＝AC，求AC∶BC.解：(1)∵AC为圆O的切线，∴∠B＝∠EAC.又DC是∠ACB的平分线，∴∠ACD＝∠DCB.∴∠B＋∠DCB＝∠EAC＋∠ACD，即∠ADF＝∠AFD.又∵BE为圆O的直径，∴∠DAE＝90°，∠ADF＝12(180°－∠DAE)＝45°.(2)∵∠B＝∠EAC，∠ACB＝∠ACE，∴△ACE∽△BCA.∴ACBC＝AEAB.又∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝23∠ADF＝30°.∴在Rt△ABE中，ACBC＝AEAB＝tan ∠B＝tan 30°＝33.。
北师大版数学高二-选修4-1测评 1.2.3弦切角定理
学业分层测评(六)2.3 弦切角定理(建议用时：45分钟)学业达标]一、选择题1.P在⊙O外，PM切⊙O于C，P AB交⊙O于A、B，则()【导学号：96990026】A.∠MCB＝∠BB.∠P AC＝∠PC.∠PCA＝∠BD.∠P AC＝∠BCA【解析】如图所示，由弦切角定理知∠PCA＝∠B.【答案】 C2.如图1-2-64，△ABC内接于⊙O，EC切⊙O于点C.若∠BOC＝76°，则∠BCE 等于()图1-2-64A.14°B.38°C.52°D.76°【解析】∵EC为⊙O的切线，∴∠BCE＝∠BAC＝12∠BOC＝38°.【答案】 B3.如图1-2-65，在圆的内接四边形ABCD中，AC平分∠BAD，EF切⊙O于C点，那么图中与∠DCF相等的角的个数是()图1-2-65A.4B.5C.6D.7【解析】∠DCF＝∠DAC，∠DCF＝∠BAC，∠DCF＝∠BCE，∠DCF＝∠BDC，∠DCF＝∠DBC.【答案】 B4.如图1-2-66所示，CD是⊙O的直径，AE切⊙O于点B，DC的延长线交AB于点A，∠A＝20°，则∠DBE＝()图1-2-66A.55°B.65°C.75°D.85°【解析】连结OB，则OB⊥AB，∴∠AOB＝90°－∠A＝70°.∠BOD＝180°－∠AOB＝110°.又OB＝OD，∴∠OBD＝12(180°－∠BOD)＝35°，∴∠DBE＝90°－∠OBD＝55°.【答案】 A5.在圆O的直径CB的延长线上取一点A，AP与圆O切于点P，且∠APB ＝30°，AP＝3，则CP＝()A. 3B.2 3C.23－1D.23＋1【解析】如图，连接OP，则OP⊥P A，又∠APB＝30°，∴∠POB＝60°，∴在Rt△OP A中，AP＝3，易知，PB＝OP＝1，在Rt△PCB中，由PB＝1，∠PBC＝60°，得PC＝ 3.【答案】 A二、填空题6.如图1-2-67，已知P A是圆O(O为圆心)的切线，切点为A，PO交圆O于B，C两点，AC＝3，∠P AB＝30°，则线段PB的长为________.图1-2-67【解析】如图，连接OA，又P A为⊙O切线，∴∠OAP＝90°，∠C＝∠P AB＝30°，∴∠OBA＝∠OAB＝60°，∴∠P＝∠P AB＝30°，∴PB＝AB.又AC＝3，BC为⊙O直径，∴∠CAB＝90°，∴AB＝1，∴PB＝1.【答案】 17.如图1-2-68，已知：△ABC内接于圆O，点D在OC的延长线上.AD是⊙O 的切线，若∠B＝30°，AC＝2，则OD的长为__________.【导学号：96990027】图1-2-68【解析】连接OA，则∠COA＝2∠CBA＝60°，且由OC＝OA知△COA为正三角形，所以OA＝2.又因为AD是⊙O的切线，即OA⊥AD，所以OD＝2OA＝4.【答案】 48.如图1-2-69，AB为⊙O直径，CD切⊙O于D，AB延长线交CD于点C，若∠CAD＝25°，则∠C等于__________.图1-2-69【解析】连接BD，∵AB为直径，∴∠BDA＝90°.又∵CD为⊙O切线，切点为D，由弦切角定理知∠BDC＝∠CAD＝25°.∴∠CDA＝90°＋25°＝115°.在△ACD中，∠C＝180°－∠A－∠CDA＝180°－25°－115°＝40°.【答案】40°三、解答题9.如图1-2-70，一圆过直角三角形ABC的直角顶点C，且与斜边AB相切于D点，AD＝DB，G为︵CD中点，F为︵CE上任一点，求证：∠CFG＝∠EFD.图1-2-70 【证明】连接CD，∵AB切圆于D点.∴∠CDB＝∠DFC.∵G为︵CD的中点，∴∠CDB＝∠DFC＝2∠CFG.∵D为直角三角形ACB的斜边中点，∴CD＝AD，∴∠CDB＝2∠DCE.∵∠DCE＝∠EFD，∴∠CFG＝∠EFD.10.如图1-2-71所示，已知圆上的弧︵AC＝︵BD，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：图1-2-71(1)∠ACE＝∠BCD；(2)BC2＝BE×CD.【证明】(1)因为︵AC＝︵BD，所以∠BCD＝∠ABC.又因为EC与圆相切于点C，故∠ACE＝∠ABC，所以∠ACE＝∠BCD.(2)因为∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD，所以△BDC∽△ECB，故BC BE ＝CD BC，即BC2＝BE×CD.能力提升]1.如图1-2-72，AB是⊙O的直径，EF切⊙O于C，AD⊥EF于D，AD＝2，AB＝6，则AC的长为()图1-2-72A.2B.3C.2 3D.4【解析】连接BC，则∠ACB＝90°，又AD⊥EF，∴∠ADC＝90°，即∠ADC＝∠ACB，又∵∠ACD＝∠ABC，∴△ABC∽△ACD，∴AC2＝AD·AB＝12，即AC＝2 3.【答案】 C2.如图1-2-73，AB是⊙O直径，P在AB的延长线上，PD切⊙O于C，连接AC，若AC＝PC，PB＝1，则⊙O的半径为()图1-2-73A.1B.2C.3D.4【解析】连接BC.∵AC＝PC，∴∠A＝∠P.∵∠BCP＝∠A，∴∠BCP＝∠P.∴BC＝BP＝1.由△BCP∽△CAP得PC2＝PB·P A，即AC2＝PB·P A.而AC2＝AB2－BC2，设⊙O半径r，则4r2－12＝1·(1＋2r)，解得r＝1.【答案】 A3.如图1-2-74，点P在圆O直径AB的延长线上，且PB＝OB＝2，PC切圆O于C点，CD⊥AB于D点，则CD＝__________.【导学号：96990028】图1-2-74 【解析】如图，连接OC，∵PC切⊙O于C点，∴OC⊥PC.∵PB＝OB＝2，OC＝2.∴PC＝2 3.∵OC·PC＝OP·CD，∴CD＝2×234＝ 3.【答案】 34.如图1-2-75，已知AB为⊙O直径，P为AB延长线上一动点，过点P作⊙O 的切线，设切点为C.图1-2-75(1)请你连接AC，作∠APC的平分线，交AC于点D，测量∠CDP的度数；(2)∠CDP的度数是否随点P在AB延长线上的位置的变化而变化？请你猜想并证明.【解】(1)连接AC，作∠APC的平分线，交AC于点D，测量结果：∠CDP＝45°.(2)猜想∠CDP＝45°不变.连接BC.⎭⎪⎬⎪⎫PC 切⊙O 于点C ⇒∠1＝∠APD 平分∠APC ⇒∠2＝∠3∠4＝∠1＋∠2∠CDP ＝∠A ＋∠3⎭⎪⎬⎪⎫⇒∠CDP ＝∠4AB 为⊙O 直径⇒∠ACB ＝90°⇒∠CDP ＝45°.。
高中数学人教A版选修4-1课时跟踪检测(九) 弦切角的性质 Word版含解析
课时跟踪检测(九) 弦切角的性质一、选择题1．P 在⊙O 外，PM 切⊙O 于C ，PAB 交⊙O 于A ，B ，则( )A ．∠MCB ＝∠BB ．∠PAC ＝∠P C ．∠PCA ＝∠BD ．∠PAC ＝∠BCA解析：选C 由弦切角定理知∠PCA ＝∠B .2．如图，PC 与⊙O 相切于C 点，割线PAB 过圆心O ，∠P ＝40°，则∠ACP 等于( )A ．20°B ．25°C ．30°D ．40°解析：选B 连接OC .∵PC 切⊙O 于C 点，∴OC ⊥PC .∵∠P ＝40°，∴∠POC ＝50°.连接BC ，则∠B ＝12∠POC ＝25°， ∴∠ACP ＝∠B ＝25°.3．如图，AB 是⊙O 的直径，EF 切⊙O 于C ，AD ⊥EF 于D ，AD ＝2，AB ＝6，则AC 的长为( )A ．2B ．3C ．2 3D ．4解析：选C 连接BC ，则∠ACB ＝90°，又AD ⊥EF ，∴∠ADC ＝90°，即∠ADC ＝∠ACB ，又∵∠ACD ＝∠ABC ，∴△ABC ∽△ACD ，∴AC AD ＝AB AC ，∴AC 2＝AD ·AB ＝12，即AC ＝2 3.4．如图，AB 是⊙O 的直径，P 在AB 的延长线上，PD 切⊙O 于C点，连接AC ，若AC ＝PC ，PB ＝1，则⊙O 的半径为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A连接BC .∵AC ＝PC ，∴∠A ＝∠P .∵∠BCP ＝∠A ，∴∠BCP ＝∠P .∴BC ＝BP ＝1.由△BCP ∽△CAP 得PC PA ＝PB PC. ∴PC 2＝PB ·PA ，即AC 2＝PB ·PA .而AC 2＝AB 2－BC 2，设⊙O 半径为r ，则4r 2－12＝1·(1＋2r )，解得r ＝1.二、填空题5．如图，AB 是⊙O 的直径，PB ，PE 分别切⊙O 于B ，C ，若∠ACE ＝40°，则∠P ＝________.解析：连接BC ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.又∠ACE ＝40°，∴∠PCB ＝∠PBC ＝50°.∴∠P ＝80°.答案：80°6．如图，点P 在圆O 直径AB 的延长线上，且PB ＝OB ＝2，PC 切圆O 于C 点，CD⊥AB 于D 点，则CD ＝________.解析：连接OC .∵PC 切⊙O 于C 点，∴OC ⊥PC .∵PB ＝OB ＝2，OC ＝2.∴PC ＝2 3.∵OC ·PC ＝OP ·CD ，∴CD ＝2×234＝ 3. 答案： 37．如图，过圆O 外一点P 分别作圆的切线和割线交圆于A ，B ，且PB ＝7，C 是圆上一点使得BC ＝5，∠BAC ＝∠APB ，则AB ＝________.解析：由PA 为⊙O 的切线，BA 为弦，得∠PAB ＝∠BCA ，又∠BAC ＝∠APB ，于是△APB ∽△CAB ，所以PB AB ＝AB BC. 而PB ＝7，BC ＝5，故AB 2＝PB ·BC ＝7×5＝35，即AB ＝35.答案：35三、解答题8.如图，AB 是半圆O 的直径，C 是圆周上一点(异于A ，B )，过C 作圆O 的切线l ，过A 作直线l 的垂线AD ，垂足为D ，AD 交半圆于点E .求证：CB ＝CE .证明：连接AC，BE，在DC延长线上取一点F，因为AB是半圆O的直径，C为圆周上一点，所以∠ACB＝90°，即∠BCF＋∠ACD＝90°.又因为AD⊥l，所以∠DAC＋∠ACD＝90°.所以∠BCF＝∠DAC.又因为直线l是圆O的切线，所以∠CEB＝∠BCF，又∠DAC＝∠CBE，所以∠CBE＝∠CEB，所以CB＝CE.9.如图所示，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，直线XY切⊙O于点C，弦BD∥XY，AC，BD相交于点E.(1)求证：△ABE≌△ACD；(2)若AB＝6 cm，BC＝4 cm，求AE的长．解：(1)证明：因为XY是⊙O的切线，所以∠1＝∠2.因为BD∥XY，所以∠1＝∠3，所以∠2＝∠3.因为∠3＝∠4，所以∠2＝∠4.因为∠ABD＝∠ACD，又因为AB＝AC，所以△ABE≌△ACD.(2)因为∠3＝∠2，∠ABC＝∠ACB，所以△BCE∽△ACB，所以BCAC＝CECB，即AC·CE＝BC2.因为AB＝AC＝6 cm，BC＝4 cm，所以6·(6－AE)＝16.所以AE＝103(cm)．10.如图，已知C点在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于A 点，DC是∠ACB的角平分线，交AE于点F，交AB于D点．(1)求∠ADF的度数；(2)若AB＝AC，求AC∶BC.解：(1)∵AC为圆O的切线，∴∠B＝∠EAC.又DC是∠ACB的平分线，∴∠ACD＝∠DCB.∴∠B＋∠DCB＝∠EAC＋∠ACD，即∠ADF＝∠AFD. 又∵BE为圆O的直径，∴∠DAE＝90°，∠ADF＝12(180°－∠DAE)＝45°.(2)∵∠B＝∠EAC，∠ACB＝∠ACE，∴△ACE∽△BCA.∴ACBC＝AEAB.又∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝23∠ADF＝30°.∴在Rt△ABE中，ACBC＝AEAB＝tan ∠B＝tan 30°＝33.。
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高中数学选修4-1切线长定理及弦切角练习题（一）填空1．已知：如图7－143，直线BC切⊙O于B点，AB=AC，AD=BD，那么∠A=____．2．已知：如图7－144，直线DC与⊙O相切于点C，AB为⊙O直径，AD⊥DC 于D，∠DAC=28°侧∠CAB=____ ．3．已知：直线AB与圆O切于B点，割线ACD与⊙O交于C和D4．已知：如图7－145，PA切⊙O于点A，割线PBC交⊙O于B和C两点，∠P=15°，∠ABC=47°，则∠C= ____．5．已知：如图7－146，三角形ABC的∠C=90°，内切圆O与△ABC的三边分别切于D，E，F三点，∠DFE=56°，那么∠B=____．6．已知：如图 7－147，△ABC内接于⊙O，DC切⊙O于C点，∠1=∠2，则△ABC为____ 三角形．7．已知：如图7－148，圆O为△ABC外接圆，AB为直径，DC切⊙O于C点，∠A=36°，那么∠ACD=____．（二）选择8．已知：△ABC内接于⊙O，∠ABC=25°，∠ACB= 75°，过A点作⊙O的切线交BC的延长线于P，则∠APB等于[ ]A．62.5°；B．55°；C．50°；D．40°．9．已知：如图 7－149，PA，PB切⊙O于A，B两点，AC为直径，则图中与∠PAB相等的角的个数为[ ]A．1 个；B．2个；C．4个；D．5个．10．已知如图7－150，四边形ABCD为圆内接四边形，AB是直径，MN切⊙O 于C点，∠BCM=38°，那么∠ABC的度数是[ ]A．38°；B．52°；C．68°；D．42°．11．已知如图7－151，PA切⊙O于点A，PCB交⊙O于C，B两点，且 PCB 过点 O，AE⊥BP交⊙O于E，则图中与∠CAP相等的角的个数是[ ]A．1个；B．2个；C．3个；D．4个．（三）计算12．已知：如图7－152，PT与⊙O切于C，AB为直径，∠BAC=60°，AD为⊙O一弦．求∠ADC与∠PCA的度数．13．已知：如图7－153，PA切⊙O于A，PO交⊙O于B，C，PD平分∠APC．求∠ADP的度数．14．已知：如图7－154，⊙O的半径OA⊥OB，过A点的直线交OB于P，交⊙O于Q，过Q引⊙O的切线交OB延长线于C，且PQ=QC．求∠A的度数．15．已知：如图7－155，⊙O内接四边形ABCD，MN切⊙O于C，∠BCM=38°，AB为⊙O直径．求∠ADC的度数．16．已知：如图7－156，PA，PC切⊙O于A，C两点，B点17．已知：如图 7－157，AC为⊙O的弦，PA切⊙O于点A，PC过O点与⊙O 交于B，∠C=33°．求∠P的度数．18．已知：如图7－158，四边形ABCD内接于⊙O，EF切⊙O19．已知 BA是⊙O的弦，TA切⊙O于点A，∠BAT= 100°，点M在圆周上但与A，B不重合，求∠AMB的度数．20．已知：如图7－159，PA切圆于A，BC为圆直径，∠BAD=∠P，PA=15cm，PB=5cm．求 BD的长．21．已知：如图7－160，AC是⊙O直径，PA⊥AC于A，PB切⊙O于B，BE ⊥AC于E．若AE=6cm，EC=2cm，求BD的长．22．已知：如图7－161所示，P为⊙O外一点，PA切⊙O于A，从PA中点M 引⊙O割线MNB，∠PNA=138°．求∠PBA的度数．23．已知：如图7－162，DC切⊙O于C，DA交⊙O于P和B两点，AC交⊙O 于Q，PQ为⊙O直径交BC于E，∠BAC=17°，∠D=45°．求∠PQC与∠PEC的度数．24．已知：如图 7－163，QA切⊙O于点A，QB交⊙O于B25．已知：如图7－164，QA切⊙O于A，QB交⊙O于B和C26．已知：在图7－165中，PA切⊙O于A，AD平分∠BAC，PE平分∠APB，AD=4cm，PA=6cm．求EP的长．27．已知；如图7－166，PA为△ABC外接圆的切线，A 为切点，DE∥AC，PE=PD．AB=7cm，AD=2cm．求DE的长．28．已知：如图 7－167，BC是⊙O的直径，DA切⊙O于A，DA=DE．求∠BAE 的度数．29．已知：如图 7－168，AB为⊙O直径，CD切⊙O于CAE∠CD于E，交BC 于F，AF=BF．求∠A的度数．30．已知：如图7－169，PA，PB分别切⊙O于A，B，PCD为割线交⊙O于C，D．若 AC=3cm，AD=5cm，BC= 2cm，求DB的长．ABCD的顶点A，D，C在圆O上，AB的延长线31．已知：如图7－170，与⊙O交于M，CB的延长线与⊙O交于点N，PD切⊙O于D，∠ADP=35°，∠ADC=108°．求∠M的度数．32．已知：如图7－171，PQ为⊙O直径，DC切⊙O于C，DP交⊙O于B，交CQ延长线于A，∠D=45°，∠PEC=39°．求∠A的度数．33．已知：如图 7－172，△ABC内接于⊙O，EA切⊙O于A，过B作BD∥AE 交AC延长线于D．若AC=4cm，CD= 3cm，求AB的长．34．已知：如图7－173，△ABC内接于圆，FB切圆于B，CF⊥BF于F交圆于 E，∠1=∠2．求∠1的度数．35．已知：如图7－174，PC为⊙O直径，MN切⊙O于A，PB⊥MN于B．若PC=5cm，PA=2cm．求PB的长．36．已知：如图7－175，AD为⊙O直径，CBE，CD分别切⊙37．已知：如图7－176，圆内接四边形ABCD的AB边经过圆心，AD，BC的延长线相交于E，过C点的切线CF⊥AE于F．求证：（1）△ABE为等腰三角形；（2）若 BC=1cm，AB=3cm，求EF的长．38．已知：如图7－177，AB，AC切⊙O于B，C，OA交⊙O于F，E，交BC 于D．（1）求证：E为△ABC内心；（2）若∠BAC=60°，AB=a，求OB与OD的长．（四）证明39．已知：在△ABC中，∠C=90°，以C为圆心作圆切AB边于F点，AD，BC分别与⊙C切于D，E两点．求证：AD∥BE．40．已知：PA，PB与⊙O分别切于A，B两点，延长OB到C，41．已知：⊙O与∠A的两边分别相切于D，E．在线段AD，AE（或在它们的延长线）上各取一点B，C，使DB=EC．求证：OA⊥BC．⊥EC于H，AO交BC于D．求证：BC·AH=AD·CE．*43．已知：如图7－178，MN切⊙O于A，弦BC交OA于E，过C点引BC的垂线交MN于D．求：AB∥DE．44．已知：如图7－179，OA是⊙O半径，B是OA延长线上一点，BC切⊙O 于C，CD⊥OA于D．求证：CA平分∠BCD．45．已知：如图7－180，BC是⊙O直径，EF切⊙O于A点，AD⊥BC于D．求证：AB平分∠DAE，AC平分∠DAF．46．已知：如图7－181，在△ABC中，AB=AC，∠C= 2∠A，以 AB为弦的圆O与 BC切干点 B，与 AC交于 D点．求证：AD=DB=BC．47．已知：如图7－182，过△ADG的顶点A作直线与DG的延长线相交于C，过G作△ADG的外接圆的切线二等分线段AC于E．求证：AG2=DG·CG．48．已知：如图7－183，PA，PB分别切⊙O于A，B两点，PCD为割线．求证：AC·BD=BC·AD．BC=BA，连结AC交圆于点E．求证：四边形ABDE是平行四边形．50．已知：如图7－185，∠1=∠2，⊙O过A，D两点且交AB，AC于E，F，BC切⊙O于D．求证：EF∥BC．51．已知：如图7－186，AB是半圆直径，EC切半圆于点C，BE⊥CE交AC 于F．求证：AB=BF．52．已知：如图7－187，AB为半圆直径，PA⊥AB，PC切半圆于C点，CD⊥AB于D交PB于M．求证：CM=MD．（五）作图53．求作以已知线段AB为弦，所含圆周角为已知锐角∠α（见图7－188）的弧（不写作法，写出已知、求作，答出所求）．54．求作一个以α为一边，所对角为∠α，此边上高为h的三角形．55．求作一个以a为一边，m为此边上中线，所对角为∠α的三角形（不写作法，答出所求）．切线长定理及弦切角练习题(答案)（一）填空1．36° 2．28° 3．50° 4．32°5．22° 6．等腰 7．54°（二）选择8．C 9．D 10．B 11．C（三）计算12．30°，30°．13．45°．提示：连接AB交PD于E．只需证明∠ADE=∠AED，证明时利用三角形外角定理及弦切角定理．14．30°．提示：因为PQ=QC，所以∠QCP=∠QPC．连接OQ，则知∠POQ与∠QCP互余．又∠OAQ=∠OQA与∠QPC互余，所以∠POQ=∠OAQ=∠OQA．而它们的和为90°（因为∠AOC=90°）．所以∠OAQ=30°16．67.5°．提示：解法一连接AC，则∠PAC=∠PCA．又∠P=45°，所以∠PAC=∠PCA=67.5°．从而∠B=∠PAC=67.5°．解法二连接OA，OC，则∠AOC=180°－∠P=135°，所以17．24°．提示：连接OA，则∠POA=66°．18．60°．提示：连接BD，则∠ADB=40°，∠DBC=20°．设∠ABD=∠BDC（因为AB//CD）=x°，则因∠B+∠D=180°，所以2x°+60°=180°，x°=60°，从而∠ADE=∠ABD=60°．19．100°或80°．提示： M可在弦AB对的两弧的每一个上．从而22．42°．提示：∠ABM=∠NAM．于是显然△ABM∽△NAM，NMP，所以△PMB∽△NMP，从而∠PBM=∠NPM．再由∠ABM=∠NAM，就有∠PBA=∠PBM+∠NAM=∠NPM+∠NAM=180°－∠PNA=42°．23．28°，39°．提示：连接PC．24．41°．提示：求出∠QAC和∠ACB的度数．25．100°．以DB=9．因为2DP2=2×9，由此得DP2=9．又DP＞0，所以DP=3，从而，DE=2×3=6（cm）．28．45°．提示：连接AC．由于DA=DE，所以∠ABE+∠BAE=∠AED=∠EAD=∠CAD+∠CAE，但∠ABE=∠CAD，所以∠BAE=∠CAE．由于∠BAE+∠CAE=90°，所以∠BAE=45°．29．60°．提示：解法一连接AC，则AC⊥BC．又AF⊥CE，所以∠ACE=∠F．又DC切⊙O于C，所以∠ACE=∠B．所以∠F=∠B．因为AF=BF，所以∠BAF=∠B=∠F．所以∠BAF=60°．31．37°．提示：连接AC，则∠M=∠ACN=∠CAD．32．17°．提示：连接PC，则∠QPC+∠PBC=90°．45°=∠D=（∠BPQ+∠QPC）∠DCP=（∠BPQ+∠QPC）－∠PBC=[∠BPQ+（90°－∠PBC）]－∠PBC．所以2∠PBC－∠BPQ=45°．（1）又∠PBC+∠BPQ=39°，（2）从而∠PBC=28°，∠BPQ=11°．于是∠A=∠PBC－∠BPQ=17°．34．30°．提示：连接BE，由∠1=∠2，可推出∠EBF=∠ECB=∠EBC，而这三个角的和为90°，所以每个角为30°．36．60°．提示：连接OB，则OB⊥CE，从而∠C=∠BOE= 60°．37．（1）提示：连接OC，则∠E=∠OCB=∠OBC=∠CDE，所以△ABE为等腰三角形．38．（1）提示：连接BE．只需证明∠ABE=∠DBE．（四）证明39．提示：AC，BC各平分∠A，∠B．设法证出∠A+∠B=180°．40．提示：连接OP，设法证出∠BPC=∠BPO．42．提示：在△BCE和△DAH中，∠BCE=∠DAH（它们都与∠DCH互补）．又A，D，C，H共圆，所以∠CEB=∠ACB=∠AHD，从而△BCE∽△DAH．这就得所要证明的比例式．43．提示：连接AC．先证明A，E，C，D四点共圆．由此得∠ADE=（∠ACE=）∠MAB，所以AB//DE．44．提示：证法一延长AO交⊙O于点E，连接EC，则∠BCA=∠E，且∠ACD=∠E．所以∠BCA=∠ACD．证法二连接OA，则∠BCA与∠OCA互余；又∠ACD与∠OAC互余，而∠OCA=∠OAC，所以∠BCA=∠ACD．46．提示：由已知得∠A=36°，∠B=∠C=72°，∠DBC=∠A=36°，所以∠ABD=36°，从而AD=BD．又∠C=∠CDB=72°，所以BD=BC．47．提示：过A作CD的平行线交BC于H，则AH=CG．然后证AG2=DG·AH=DG·CG．49．提示：因为BC=BA，所以∠A=（∠C=）∠D；又∠CED=∠DBF（BF是AB 的延长线），所以它们的补角∠DEA=∠ABD．从而四边形ABDE是平行四边形．50．提示：连接DE，则∠BDE=∠1=∠2=∠FED．所以EF//BC．51．提示：连接BC，则∠ACB=90°=∠FCB．因为CE⊥BE，所以∠F=∠ECB．因为EC切半圆于C，所以∠ECB=∠A，所以∠A=∠F，因此AB=BF．52．提示：连接AC，BC并延长BC交AP延长线于点N．首先所以CM=MD．。