海淀区2019届高三期中数学(理)试题及答案

海淀区高三年级第一学期期中练习

数 学（理科） 2018.11

本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目

要求的一项。

1. 已知集合{}|0A x x a =-≤，{}1,2,3B =，若A B φ=，则a 的取值范围为

A. (,1]-∞

B. [1,)+∞

C. (,3]-∞

D. [3,)+∞

2. 下列函数中，是偶函数且在(0,)+∞上单调递增的是

A. 2()f x x x =-

B. 21()f x x =

Ｃ. ()ln f x x = D.()x f x e = 3. 11e

dx x

=⎰ A. 1- B. 0 C. 1 D.e

4.在等差数列{}n a 中，1=1a ,65

2a a =，则公差d 的值为 A. 13- B.

13

C. 14-

D. 14 5.角θ的终边经过点(4,)P y ，且sin θ=35

-，则n ta θ= A. 43- B. 43 C. 34- D. 34 6.已知数列{}n a 的通项公式为n a a n n =+，则“21a a ”是“数列{}n a 单调递增”的

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件

7.已知向量a,b,c 满足a +b+c =0，且222a b c ，则a b 、b c 、c a 中最小的值是 A. a b B. b c C. c a D. 不能确定的

8.函数()f x x =，2()3g x x x =-+.若存在129

,,...,[0,]2

n x x x ∈，使得1()f x +2()...f x ++1()n f x -+()n g x =1()g x +2()...g x ++1()n g x -+()n f x ，则n 的最大值为

A. 5

B. 63

C.7

D.8

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9. 计算lg4lg25______.+=

10. 已知向量(1,2)=a ，(3,1)=b ，则向量a ，b 夹角的大小为______.

11. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，下表给出了的部分数据：

则数列的公比q = ，首项1=

a 。 12.函数()sin 2

x f x a =-在区间[0,]π上的最大值为2，则a = 13.能说明“若()

()f x g x 对任意的[0,2]x ∈都成立，则()f x 在[0,2]上的最小值大于()g x 在[0,2]上的最大值”为假命题的一对函数可以是()f x = ，()g x = 。

14.已知函数ln ,0(),x x a f x e x a x

≤⎧⎪=⎨⎪⎩ （1）若函数()f x 的最大值为1，则a = ；

（2）若函数()f x 的图像与直线a y e

=

只有一个公共点，则a 的取值范围为

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

15. （本小题满分13分）

设{}n a 是等比数列 ，n S 为其前n 项的和 ，且22a =, 120a S +=.

（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）若80n S ≥，求n 的最小值.

16.（本小题满分13分）

已知函数cos2()2sin sin cos x f x x x x =+

+. （Ⅰ）求(0)f 的值；

（Ⅱ）求函数()f x 在[0,

]2π上的单调递增区间.

17. （本小题满分13分） 已知函数32()1f x x x ax =++-.

（Ⅰ）当1a =-时，求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）求证：直线2327

y ax =-是曲线()y f x =的切线； （Ⅲ）写出a 的一个值，使得函数()f x 有三个不同零点（只需直接写出数值）

18. （本小题满分13分）

ABC ∆中， 7c =，sin C =

. （Ⅰ）若5cos 7

B =，求b 的值； （Ⅱ）若11a b +=，求AB

C ∆的面积。

19.（本小题满分14分） 已知函数2ln ()x f x mx x m =--

（Ⅰ）求函数()f x 的极值；

（Ⅱ）求证：存在0x ，使得0()1f x 的切线；

20.（本小题满分14分）

记无穷数列{}n a 的前n 项中最大值为n M ，最小值为n m ，令2n n n M m b += （Ⅰ）若23n n a n =-，请写出1234,,,b b b b 的值； （Ⅱ）求证:“数列{}n a 是等差数列”是“数列{}n b 是等差数列”的充要条件； （Ⅲ）若*,2018,1n

n n N a b ∀∈= ，求证:存在*k N ∈，使得n k ∀≥，有1n b +=n b