2014-2015年江苏省盐城中学中校区高二上学期期中数学试卷及参考答案
高二上学期期中考试数学试卷含答案
高二级上学期期中考试题数学本试卷共8页，22小题，满分150分，考试时间120分钟。
第一部分选择题（共60分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知直线l 1：2x ＋my ＝2，l 2：m 2x ＋2y ＝1，且l 1⊥l 2，则m 的值为( )A ．0B ．－1C ．0或1D ．0或－12．若一个圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为( )A.2π B ．22π C ．2πD ．4π3．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A ，B ，C ，D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成角的大小为( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°4．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（ ）A B C D 5．下列命题中，正确的是( )A ．任意三点确定一个平面B ．三条平行直线最多确定一个平面C ．不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行D ．一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行6．已知M (3，23)，N (－1，23)，F (1，0)，则点M 到直线NF 的距离为( )A. 5 B ．23 C ． 22D ．3 37．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是正方形，且侧棱垂直于底面)高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )A ．20πB ．16πC ．32πD ．24π8．直线:20l x y ++=分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上， 则ABP △面积的取值范围是（ ） A ．[]26，B ．[]48，C ．D ．⎡⎣二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.9．若220x x --<是2x a -<<的充分不必要条件，则实数a 的值可以是( ) A ．1B ．2C ．3D ．410．已知,αβ是两个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ） A ．若//m n m α⊥，，则n α⊥ B ．若//,m n ααβ⋂=，则//m n C ．若m α⊥，m β⊥，则//αβ D ．若,//,m m n n αβ⊥⊥，则//αβ 11．若直线过点(1,2)A ，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l 方程可能为( ) A ．10x y -+=B ．30x y +-=C ．20x y -=D ．10x y --=12．已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为矩形，侧面PCD ⊥平面ABCD ，BC =CD PC PD ===.若点M 为PC 的中点，则下列说法正确的为（ ）A ．BM ⊥平面PCDB ．//PA 面MBDC ．四棱锥M ABCD -外接球的表面积为36π D ．四棱锥M ABCD -的体积为6第二部分非选择题（90分）三、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分.13．命题“20210x x x ∃<-->，”的否定是______________．14．已知直线l 1的方程为23y x =-+，l 2的方程为42y x =-，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，则直线l 的斜截式方程为________________．15．若直线:l y kx =与曲线:1M y =+有两个不同交点，则k 的取值范围是________________．16．已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S -ABC 的体积为9，则球O 的体积为____________．四、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．(本小题满分10分)已知直线l 1的方程为x ＋2y －4＝0，若l 2在x 轴上的截距为32，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 1与l 2的交点坐标；(2)已知直线l 3经过l 1与l 2的交点，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍，求l 3的方程．18．(本小题满分12分)四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝12CD ＝1，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AD ＝ 3.(1)求证：PD ⊥AB ；(2)求四棱锥P-ABCD 的体积．19．(本小题满分12分)已知圆C 的圆心坐标为(a ，0)，且圆C 与y 轴相切． (1)已知a ＝1，M (4，4)，点N 是圆C 上的任意一点，求|MN |的最小值；(2)已知a ＜0，直线l 的斜率为43，且与y 轴交于点20,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.若直线l 与圆C 相离，求a 的取值范围．20．(本小题满分12分)在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，点D 是线段AB 上的动点．(1)当点D 是AB 的中点时，求证：AC 1∥平面B 1CD ；(2)线段AB 上是否存在点D ，使得平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1？若存在，试求出AD 的长度；若不存在，请说明理由．21. (本小题满分12分) 如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，060ABC ∠=，FA ⊥平面ABCD ，//,2 2.FA ED AB FA ED ===求二面角F BC A --的大小的正切值；求点E 到平面AFC 的距离；求直线FC 与平面ABF 所成的角的正弦值.22. (本小题满分12分)已知圆22+=9：O x y ，过点()0,2P -任作圆O 的两条相互垂直的弦AB 、CD ，设M 、N 分别是AB 、CD 的中点，（1）直线MN 是否过定点? 若过，求出该定点坐标，若不过，请说明理由； （2）求四边形ACBD 面积的最大值，并求出对应直线AB 、CD 的方程.高二级上学期期中考试题 数学答案及说明一、选择题：1.D ，2.A ，3.C ，4.B ，5.C ，6.B ，7.D ，8.A ，9.BCD ，10.ACD ，11.ABC ，12.BC.二、填空题：13.0x ∀<，2210x x --≤；14.y ＝－2x －2；15.13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭；16.36π.题目及详细解答过程：一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分)1．已知直线l 1：2x ＋my ＝2，l 2：m 2x ＋2y ＝1，且l 1⊥l 2，则m 的值为( ) A ．0 B ．－1 C ．0或1 D ．0或－1 解析：因为l 1⊥l 2，所以2m 2＋2m ＝0，解得m ＝0或m ＝－1. 答案：D2．若一个圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为( ) A.2π B ．22π C ．2π D ．4π 解析：设底面圆的半径为r ，高为h ，母线长为l ，由题可知，r ＝h ＝22l ，则12(2r )2＝1，r ＝1，l ＝2.所以圆锥的侧面积为πrl ＝2π. 答案：A3．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A ，B ，C ，D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成角的大小为( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°解析：当三棱锥D ABC 体积最大时，平面DAC ⊥平面ABC .取AC 的中点O ，则∠DBO 即为直线BD 和平面ABC 所成的角．易知△DOB 是等腰直角三角形，故∠DBO ＝45°.答案：C4．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（ ）A B C D 【答案】B【解析】由于圆上的点()2,1在第一象限，若圆心不在第一象限， 则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限， 设圆心的坐标为(),a a ，则圆的半径为a ，圆的标准方程为()()222x a y a a -+-=.由题意可得()()22221a a a -+-=，可得2650a a -+=，解得1a =或5a =，所以圆心的坐标为()1,1或()5,5，圆心到直线的距离均为121132555d ⨯--==； 圆心到直线的距离均为22553255d ⨯--== 圆心到直线230x y --=的距离均为22555d -==； 所以，圆心到直线230x y --=25. 故选：B ．5．下列命题中，正确的是( ) A ．任意三点确定一个平面 B ．三条平行直线最多确定一个平面C ．不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行D ．一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行 解析：由线面垂直的性质，易知C 正确． 答案：C6．已知M (3，23)，N (－1，23)，F (1，0)，则点M 到直线NF 的距离为( ) A. 5 B ．23 C ． 22D ．3 3解析：易知NF 的斜率k ＝－3，故NF 的方程为y ＝－3(x －1)，即3x ＋y －3＝0. 所以M 到NF 的距离为|33＋23－3|（3）2＋12＝2 3. 答案：B7．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是正方形，且侧棱垂直于底面)高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )A ．20πB ．16πC ．32πD ．24π解析：由题意知正四棱柱的底面积为4，所以正四棱柱的底面边长为2，正四棱柱的底面对角线长为22，正四棱柱的对角线为2 6.而球的直径等于正四棱柱的对角线，即2R ＝2 6.所以R ＝ 6.所以S 球＝4πR 2＝24π. 答案：D8．直线:20l x y ++=分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是（ ） A ．[]26，B ．[]48，C ．232⎡⎤⎣⎦，D ．2232⎡⎤⎣⎦，【答案】A 【解析】直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，()()2,0,0,2A B ∴--,则22AB =.点P 在圆22(2)2x y -+=上，∴圆心为（2，0），则圆心到直线的距离1202222d ++==.故点P 到直线20x y ++=的距离2d 的范围为2,32⎡⎤⎣⎦，则[]22122,62ABP S AB d d ==∈△.故答案为A.二、多选题(每题5分，共20分)9．若220x x --<是2x a -<<的充分不必要条件，则实数a 的值可以是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】BCD【解析】：由220x x --<，解得12x -<<．又220x x --<是2x a -<<的充分不必要条件，(1∴-，2)(2-，)a ，则2a ．∴实数a 的值可以是2，3，4．故选：BCD ．10．已知,αβ是两个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ） A ．若//m n m α⊥，，则n α⊥ B ．若//,m n ααβ⋂=，则//m n C ．若m α⊥，m β⊥，则//αβ D ．若,//,m m n n αβ⊥⊥，则//αβ 【答案】ACD 【解析】若m α⊥，则,a b α∃⊂且a b P =使得m a ⊥，m b ⊥，又//m n ，则n a ⊥，n b ⊥，由线面垂直的判定定理得n α⊥，故A 对； 若//m α，n αβ=，如图，设m AB =，平面1111D C B A 为平面α，//m α，设平面11ADD A 为平面β，11A D n αβ⋂==，则m n ⊥，故B 错；垂直于同一条直线的两个平面平行，故C 对；若,//m m n α⊥，则n α⊥，又n β⊥，则//αβ，故D 对； 故选：ACD ．11．若直线过点(1,2)A ，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l 方程可能为( ) A ．10x y -+= B ．30x y +-= C ．20x y -= D ．10x y --=【答案】ABC【解析】：当直线经过原点时，斜率为20210k -==-，所求的直线方程为2y x =，即20x y -=； 当直线不过原点时，设所求的直线方程为x y k ±=，把点(1,2)A 代入可得12k -=，或12k +=，求得1k =-，或3k =，故所求的直线方程为10x y -+=，或30x y +-=； 综上知，所求的直线方程为20x y -=、10x y -+=，或30x y +-=． 故选：ABC ．12．已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为矩形，侧面PCD ⊥平面ABCD ，23BC =，26CD PC PD ===.若点M 为PC 的中点，则下列说法正确的为（ ）A ．BM ⊥平面PCDB ．//PA 面MBDC ．四棱锥M ABCD -外接球的表面积为36π D ．四棱锥M ABCD -的体积为6 【答案】BC【解析】作图在四棱锥P ABCD -中：为矩形，由题：侧面PCD ⊥平面ABCD ，交线为CD ，底面ABCDBC CD ⊥，则BC ⊥平面PCD ，过点B 只能作一条直线与已知平面垂直，所以选项A错误；连接AC 交BD 于O ，连接MO ，PAC ∆中，OM ∥PA ，MO ⊆面MBD ，PA ⊄面MBD ，所以//PA 面MBD ，所以选项B 正确；四棱锥M ABCD -的体积是四棱锥P ABCD -的体积的一半，取CD 中点N ，连接PN ，PN CD ⊥，则PN平面ABCD ，32PN =，四棱锥M ABCD -的体积112326321223M ABCD V -=⨯⨯⨯⨯=所以选项D 错误.矩形ABCD 中，易得6,3,3AC OC ON ===，PCD 中求得：16,2NM PC ==在Rt MNO 中223MO ON MN =+=即： OM OA OB OC OD ====，所以O 为四棱锥M ABCD -外接球的球心，半径为3， 所以其体积为36π，所以选项C 正确， 故选：BC三、填空题(每题5分，共20分)13．命题“20210x x x ∃<-->，”的否定是______． 【答案】0x ∀<，2210x x --≤【解析】因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题20210x x x ∃<-->，， 则该命题的否定是：0x ∀<，2210x x --≤ 故答案为：0x ∀<，2210x x --≤．14．已知直线l 1的方程为23y x =-+，l 2的方程为42y x =-，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，则直线l 的斜截式方程为________________．解析：由斜截式方程知直线l 1的斜率k 1＝－2，又l ∥l 1，所以l 的斜率k ＝k 1＝－2.由题意知l 2在y 轴上的截距为－2，所以l 在y 轴上的截距b ＝－2.由斜截式方程可得直线l 的方程为y ＝－2x －2.答案：y ＝－2x －215．若直线:l y kx =与曲线()2:113M y x =+--有两个不同交点，则k 的取值范围是________________．解析：曲线M ：y ＝1＋1－（x －3）2是以(3，1)为圆心，1为半径的，且在直线y ＝1上方的半圆．要使直线l 与曲线M 有两个不同交点，则直线l 在如图所示的两条直线之间转动，即当直线l 与曲线M 相切时，k 取得最大值34；当直线l 过点(2，1)时，k 取最小值12.故k 的取值范围是13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 答案：13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭16．已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S -ABC 的体积为9，则球O 的体积为____________．解析：如图，连接OA ，OB .由SA ＝AC ，SB ＝BC ，SC 为球O 的直径，知OA ⊥SC ，OB ⊥SC .又由平面SCA ⊥平面SCB ，平面SCA ∩平面SCB ＝SC ，知OA ⊥平面SCB . 设球O 的半径为r ，则OA ＝OB ＝r ，SC ＝2r ，所以三棱锥S ABC 的体积为311323r V SC OB OA ⎛⎫=⨯⋅⋅= ⎪⎝⎭，即r 33＝9.所以r ＝3.所以3344336.33=O V r πππ=⨯=球答案：36π四、解答题(每题5分，共70分)17．(本小题满分10分)已知直线l 1的方程为x ＋2y －4＝0，若l 2在x 轴上的截距为32，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 1与l 2的交点坐标；(2)已知直线l 3经过l 1与l 2的交点，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍，求l 3的方程． 解：(1)设l 2的方程为2x －y ＋m ＝0，..........1分因为l 2在x 轴上的截距为32，所以3－0＋m ＝0，m ＝－3，即l 2：2x －y －3＝0.....3分联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，2x －y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.所以直线l 1与l 2的交点坐标为(2，1)．..........5分 (2)当l 3过原点时，l 3的方程为y ＝12x ..........6分当l 3不过原点时，设l 3的方程为12x y a a +=...........7分 又直线l 3经过l 1与l 2的交点，所以2112a a+=， 得52a =，l 3的方程为2x ＋y －5＝0...........8分 综上，l 3的方程为y ＝12x 或2x ＋y －5＝0...........10分18．(本小题满分12分)四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝12CD ＝1，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ＝ 3.(1)求证：PD ⊥AB ；(2)求四棱锥P-ABCD 的体积．18.解：(1)证明：因为PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥AB ，..........1分又因为AB ⊥AD ，AD ∩PA ＝A ，..........3分 所以AB ⊥平面PAD ，..........4分又PD ⊂平面PAD ，..........5分所以AB ⊥PD ...........6分 (2)解：S 梯形ABCD ＝12(AB ＋CD )·AD ＝332，.......8分又PA ⊥平面ABCD ，..........9分所以V 四棱锥P-ABCD ＝13×S 梯形ABCD ·PA ＝13×332×3＝32...........12分19．(本小题满分12分)已知圆C 的圆心坐标为(a ，0)，且圆C 与y 轴相切． (1)已知a ＝1，M (4，4)，点N 是圆C 上的任意一点，求|MN |的最小值； (2)已知a ＜0，直线l 的斜率为43，且与y 轴交于点20,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.若直线l与圆C 相离，求a 的取值范围．19.解：(1)由题意可知，圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝1...........2分又|MC |＝（4－1）2＋（4－0）2＝5，..........4分 所以|MN |的最小值为5－1＝4...........5分(2)因为直线l 的斜率为43，且与y 轴相交于点20,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以直线l 的方程为y ＝43x －23.即4x －3y －2＝0..........7分因为直线l 与圆C 相离，所以圆心C (a ，0)到直线l 的距离d ＞r . 则224243a a ->+.........9分又0a <，所以245a a ->-，解得2a >-..........11分 所以a 的取值范围是(－2，0)．.........12分20．(本小题满分12分)在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，点D 是线段AB 上的动点． (1)当点D 是AB 的中点时，求证：AC 1∥平面B 1CD ；(2)线段AB 上是否存在点D ，使得平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1？若存在，试求出AD 的长度；若不存在，请说明理由．20.解：(1)证明：如图，连接BC 1，交B 1C 于点E ，连接DE ，则点E 是BC 1的中点，又点D 是AB 的中点，由中位线定理得DE ∥AC 1，.........1分 因为DE ⊂平面B 1CD ，.........2分AC 1⊄平面B 1CD ，.........3分所以AC 1∥平面B 1CD ..........4分(2)解：当CD ⊥AB 时，平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1........5分 证明：因为AA 1⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ， 所以AA 1⊥CD ..........6分又CD ⊥AB ，AA 1∩AB ＝A ，.........7分所以CD ⊥平面ABB 1A 1，因为CD ⊂平面CDB 1，.........8分 所以平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1，.........9分故点D 满足CD ⊥AB 时，平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1......10分 因为AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，所以AC 2＋BC 2＝AB 2， 故△ABC 是以角C 为直角的三角形， 又CD ⊥AB ，所以AD ＝95..........12分22. (本小题满分12分) 如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，060ABC ∠=，FA ⊥平面ABCD ，//,2 2.FA ED AB FA ED ===求二面角F BC A --的大小的正切值；求点E 到平面AFC 的距离；求直线FC 与平面ABF 所成的角的正弦值.21.解： 作于点G ，连接FG ， 四边形ABCD 是菱形,,，为等边三角形,,-----1分平面ABCD ，平面ABCD ，，又，，平面AFG ，BC FG ∴⊥-----2分 G∴为二面角的平面角，------3分----------------------------4分连接AE ，设点E 到平面AFC 的距离为h ， 则， ----------------------5分即，也就是，--------------------6分解得：； ------------------------------------------------7分(3)作CH AB ⊥于点H ，连接FH ，ABC ∆为等边三角形，H ∴为AB 的中点，221,3,5,AH CH FH FA AH ===+= FA ⊥平面ABCD ，CH ⊂平面ABCD ，FA CH ∴⊥，----8分 又,CH AB AB AF A ⊥⋂=，CH ∴⊥平面ABF ，-----9分CFH ∴∠为直线FC 与平面ABF 所成的角，-------10分36sin 422CH CFH CF ∴∠===．-----------------12分 22.(本小题满分12分)已知圆22+=9：O x y ，过点()0,2P -任作圆O 的两条相互垂直的弦AB 、CD ，设M 、N 分别是AB 、CD 的中点，（1）直线MN 是否过定点?若过，求出该定点坐标，若不过，请说明理由； （2）求四边形ACBD 面积的最大值，并求出对应直线AB 、CD 的方程.22.解：（1）当直线AB CD 、的斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为:()()()112220,,,,y kx k A x y B x y =-≠------------1分由2229+=y kx x y =-⎧⎨⎩得：()221450k x kx +--=--------------------2分 点()0,2P -在圆内,故0∆>. 又 1212222422,21211M M Mx x k k x x x y kx k k k +∴+=∴===-=-+++ 即 2222,11kM k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭--------------------3分AB CD ⊥以1k -代换k 得22222,11k k N k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭22222222111.22211MNk k k k k k k k k k -+-++∴==+++---------------4分∴直线MN 的方程为：222212121k k y x k k k -⎛⎫+=- ⎪++⎝⎭化简得2112k y x k-=-，故直线MN 恒过定点()01-，--------------------5分 当直线AB CD 、的斜率不存在或为0时，显然直线MN 恒过定点()01-， 综上，直线MN 恒过定点()01-，--------------------.6分 (2) 解法一:圆心O 到直线AB的距离1d =AB ==分 （或由第（1）问得：21AB x =-==以1k -代换k 得CD =）AB CD ⊥∴以1k -代换k 得:CD =分12ACBD S AB CD ∴=⋅==分14=≤= 当且仅当221,1k k k==±时,取等号,故四边形ACBD 面积的最大值为14，--------------------11分对应直线AB 、CD 分别为2,2y x y x =-=--或2,2y x y x =--=-----------12分 解法二：设圆心O 到直线AB 、CD 的距离分别为12,d d 、则22222211229,9AB r d d CD r d d =-=-=-=---------------------7分AB CD ⊥222124d d OP ∴+==--------------------8分()()()2222121221991821818414ACBD S AB CD d d d d OP ∴=⋅=≤-+-=-+=-=-=--------------------10分当且仅当12d d =，即1k =±时,取等号,故四边形ACBD 面积的最大值为14，--------------------11分对应直线AB 、CD 分别为2,2y x y x =-=--或2,2y x y x =--=---------12分。
盐城中学高二(上)数学期中考卷
盐城中学高二（上）数学期中考卷一、选择题（每题1分，共5分）1. 已知集合A={x|x²3x+2=0}，则A中元素的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 32. 若函数f(x)=2x²4x+3在区间（a，+∞）上单调递增，则实数a 的取值范围为（）A. a＜1B. a＜2C. a＞1D. a＞23. 已知复数z满足|z|=1，则z的共轭复数z的模为（）A. 0B. 1C. 2D. z4. 在三角形ABC中，若a=8，b=10，cosA=3/5，则sinB的值为（）A. 3/5B. 4/5C. 3/4D. 4/35. 已知数列{an}为等差数列，a1=1，a3=3，则数列的公差d为（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、判断题（每题1分，共5分）1. 任何两个实数的和都是一个实数。
（）2. 两个平行线的斜率相等。
（）3. 三角形的内角和为180度。
（）4. 若函数f(x)在区间（a，b）上单调递增，则f'(x)＞0。
（）5. 任何两个复数都可以进行四则运算。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 已知函数f(x)=x²+2x+1，则f(1)=______。
2. 在直角坐标系中，点A(1,2)到原点的距离为______。
3. 若等差数列{an}的公差为2，且a3=8，则a1=______。
4. 已知复数z=3+4i，则z的共轭复数为______。
5. 三角形ABC中，若a=3，b=4，cosB=1/2，则sinA的值为______。
四、简答题（每题2分，共10分）1. 简述等差数列的定义。
2. 求解一元二次方程x²3x+2=0。
3. 计算定积分∫（0，π/2）sinx dx。
4. 已知函数f(x)=2x+1，求f(x)在x=2处的导数。
5. 证明勾股定理。
五、应用题（每题2分，共10分）1. 某商品进价为100元，售价为120元，每增加1元，可多卖出10件。
2014-2015学年高二上学期期中考试数学试题(word版)
2014～2015学年度第一学期期中考试高二数学试题一．填空题（每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．） 1. 命题“2,220x R x x ∃∈++=”的否定是 ▲ .2. 过点()4,3P --，倾斜角为135°的直线的方程为 ▲ .3. ()43,7M xoy -点，关于平面的对称点的坐标为 ▲ .4. 直线240x y +-=在两坐标轴上的截距之和为 ▲ .5. 已知一个球的体积为336cm π，则这个球的表面积为 ▲ .6. 直线()230215x y +-=-被圆心为，的圆截得的弦长为，则圆的方程为 ▲ 7. “1a =”是“01ax y x ay +=+=直线与直线平行”的 ▲ 条件 （填“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分也不必要”） 8. ()()(),00,2,1,1P m A B 点到定点距离之和的最小值是 ▲9. 在过点()2,3的直线中，被圆22240x y x y +--=截得的弦长最短的直线的方程为▲10. ,,_______a b c αβγ设为不同的直线，，，为不同的平面，则下面命题正确的个数为 ①,a c b c a b ⊥⊥若则 ②,a b b a a ααα⊂若则或 ③,a a b b αα⊥⊥若则 ④,αγβγαβ⊥⊥若则11. 若圆222424030x y k x y k k k x y ++-+-=-+=关于直线对称，则实数的值为▲12. 若命题“[)()21,3,220x x a x ∃∈+--≥是不等式”是假命题，则实数a 的值为▲13. 在2,1,ABC BC AB AC ABC ∆==∆中，已知则面积的最大值是▲14. 圆()()2220x a y a a x y a -+-=+=上恰有两点到直线的取值范围是 ▲二、解答题（共6小题，合计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．） 15.（本小题满分14分）[)()22:11:4240""""p y x mx q x m x p q p q m =++-+∞--+=已知命题二次函数在，上单调递增；命题方程没有实数根。
2014-2015年江苏省盐城市亭湖区南洋中学高二上学期期中数学试卷及参考答案
2014-2015学年江苏省盐城市亭湖区南洋中学高二（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题纸相应位置上）1．（5分）已知数列{a n}的通项公式a n=2n﹣1，则a5=．2．（5分）已知﹣1，2，x成等比数列，则x=．3．（5分）不等式（x+1）（x﹣2）＜0的解集为．4．（5分）在△ABC中，若a=8，b=5，B=30°，则sinA=．5．（5分）在△ABC中，若b=2，a=1，cosC=，则c=．6．（5分）在等差数列{a n}中，若a4=1，a7=﹣5，则它的前10项和S10=．7．（5分）在等比数列{a n}中，a1+a2=3，a2+a3=6，则a4+a5=．8．（5分）函数y=lg（2x2﹣3x+1）的定义域是．9．（5分）设等比数列{a n}的公比，前n项和为S n，则=．10．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=2bsinA，则B=．11．（5分）已知等差数列{a n}的公差2，若a1，a3，a4成等比数列，则等比数列的公比为．12．（5分）等差数列{a n}中，S n为它的前n项和，且S10＜S11，S11＞S12，则：①此数列的公差d＜0；②S12一定大于S7；③a11是各项中最大的一项；④S11一定是S n的最大项，其中正确命题的序号是．13．（5分）设关于x的不等式x2﹣x＜2nx（n∈N*）的解集中整数的个数为a n，数列{a n}的前n项和为S n，则的值为．14．（5分）把正偶数数列{2n}的数按上小下大，左小右大的原则排列成如图“三角形”所示的数表，设a ij（i，j∈N*）是位于这个三角形数表中从上往下数第i行，从左往右数第j个数（如a42=16），若a mn=2012，则=．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）已知等差数列{a n}中，a1=﹣1，a3=3（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{a n}的前k项和S k=35，求k的值．16．（14分）已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2+c2=a2+bc （1）求A；（2）若，b+c=3，求△ABC的面积．17．（14分）在等比数列{a n}中，a1•a2•a3=27，a2•a4=81（1）求a1和公比q；（2）若{a n}各项均为正数，求数列{n•a n}的前n项和．18．（16分）已知f（x）=ax2﹣bx+3（1）若a=﹣2，b=5，求f（x）≥0的解集；（2）若f（x）＜2x的解集是（﹣3，﹣1），求a，b；（3）若b=﹣1，当x∈R，f（x）＞a恒成立，求实数a的取值范围．19．（16分）如图，一船由西向东航行，测得某岛M的方位角为α，前进5km 后，测得此岛的方位角为β，已知该岛周围3km内有暗礁，现该船继续东行，（1）若α=60°，β=45°，问该船有无触礁危险？（2）当α，β满足什么条件时，该船有触礁的危险？20．（16分）已知数列{a n}的前n项和为S n，S n=2a n﹣3n，（n∈N+）（1）求a1，a2；（2）求证：数列{a n+3}成等比数列；（3）求数列{a n}的通项公式a n；（4）数列{a n}中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由．2014-2015学年江苏省盐城市亭湖区南洋中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题纸相应位置上）1．（5分）已知数列{a n}的通项公式a n=2n﹣1，则a5=9．【解答】解：a5=2×5﹣1=9．故答案为：9．2．（5分）已知﹣1，2，x成等比数列，则x=﹣4．【解答】解：∵﹣1，2，x成等比数列，∴22=﹣x，解得x=﹣4．故答案为：﹣4．3．（5分）不等式（x+1）（x﹣2）＜0的解集为{x|﹣1＜x＜2} ．【解答】解：∵（x+1）（x﹣2）＜0，∴﹣1＜x＜2，∴原不等式的解集为{x|﹣1＜x＜2}．故答案为：{x|﹣1＜x＜2}．4．（5分）在△ABC中，若a=8，b=5，B=30°，则sinA=．【解答】解：由正弦定理可得：=，∴sinA===．故答案为：．5．（5分）在△ABC中，若b=2，a=1，cosC=，则c=．【解答】解：由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2abcosC==2，∴．故答案为：．6．（5分）在等差数列{a n}中，若a4=1，a7=﹣5，则它的前10项和S10=﹣20．【解答】解：由等差数列{a n}的性质可得：a1+a10=a4+a7=﹣4，则它的前10项和S10==5×（﹣4）=﹣20．故答案为：﹣20．7．（5分）在等比数列{a n}中，a1+a2=3，a2+a3=6，则a4+a5=24．【解答】解：设等比数列的公比为q，则由题意可得a1+a1q=3，且q（a1+a2）=6．求得q=2，a1=1，故a4+a5=（a2+a3）q2=6×4=24，故答案为24．8．（5分）函数y=lg（2x2﹣3x+1）的定义域是（﹣∞，）∪（1，+∞）．【解答】解：∵函数y=lg（2x2﹣3x+1），∴2x2﹣3x+1＞0，解得x＜或x＞1，∴函数y=lg（2x2﹣3x+1）的定义域是（﹣∞，）∪（1，+∞）．故答案为：（﹣∞，）∪（1，+∞）．9．（5分）设等比数列{a n}的公比，前n项和为S n，则=15．【解答】解：对于，∴10．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=2bsinA，则B=或．【解答】解：∵a=2bsinA，由正弦定理可得，sinA=2sinBsinA，∵sinA≠0，∴sinB=，∵0°＜B＜180°．∴B=或．故答案为：或．11．（5分）已知等差数列{a n}的公差2，若a1，a3，a4成等比数列，则等比数列的公比为．【解答】解：∵a1，a3，a4成等比数列，∴=a1a4，∴=a1（a1+6），化为a1=﹣8．∴a3=﹣8+4=﹣4．∴等比数列的公比q===．故答案为：．12．（5分）等差数列{a n}中，S n为它的前n项和，且S10＜S11，S11＞S12，则：①此数列的公差d＜0；②S12一定大于S7；③a11是各项中最大的一项；④S11一定是S n的最大项，其中正确命题的序号是①②④．【解答】解：∵S10＜S11，∴a11=S11﹣S10＞0，∵S11＞S12，∴a12=S12﹣S11＜0，∵a11＞0，a12＜0，∴d=a12﹣a11＜0，命题①正确；S12﹣S7=a8+a9+a10+a11+a12=5a10＞0，∴S12＞S7，命题②正确；∵a 1﹣a11=﹣10d＞0，命题③不正确；该数列前11项为正值，即前11项的和最大，命题④正确．∴正确的命题为①②④．故答案为：①②④．13．（5分）设关于x的不等式x2﹣x＜2nx（n∈N*）的解集中整数的个数为a n，数列{a n}的前n项和为S n，则的值为2014．【解答】解：由x2﹣x＜2nx（n∈N*）化为x[x﹣（2n+1）]＜0，解得0＜x＜2n+1，∴关于x的不等式x2﹣x＜2nx（n∈N*）的解集为{x|0＜x＜2n+1}．可知此解集中含整数的个数为2n，∴a n=2n．∴=n（n+1）．∴==2014．故答案为：2014．14．（5分）把正偶数数列{2n}的数按上小下大，左小右大的原则排列成如图“三角形”所示的数表，设a ij（i，j∈N*）是位于这个三角形数表中从上往下数第i行，从左往右数第j个数（如a42=16），若a mn=2012，则=．【解答】解：由图可知，第一行放1个偶数，第二行放2个偶数，第3行放3个偶数…又因为a mn=2012指图中摆放的第m行第n列，所以先求第m行的最后一个偶数（该偶数小于2010且是最接近的，并且还能成为每一行最后一个数字的）应为第44行的最后一偶数是1980，接着可以断定2012应位于45行故m=45，又第45行的第一个偶数为1982，利用等差数列的任意两项之间关系可知2012应出在该行的第16列故n=16，所以则=，故答案为：二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）已知等差数列{a n}中，a1=﹣1，a3=3（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{a n}的前k项和S k=35，求k的值．【解答】解：（1）∵等差数列{a n}中，a1=﹣1，a3=3，∴a3=﹣1+2d=3，解得d=2，∴数列{a n}的通项公式a n=﹣1+（n﹣1）×2=2n﹣3．（2）∵a1=﹣1，d=2，∴=n2﹣2n．∵数列{a n}的前k项和S k=35，∴k2﹣2k=35，解得k=7或k=﹣5（舍）．∴k=7．16．（14分）已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2+c2=a2+bc （1）求A；（2）若，b+c=3，求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵△ABC中，b2+c2=a2+bc，∴b2+c2﹣a2=bc，∴cosA==，又∵A∈（0，π），∴A=；（2）∵，b+c=3，A=，由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc，代入数据可得3=9﹣3bc，解得bc=2，∴△ABC的面积S=bcsinA=×2×=．17．（14分）在等比数列{a n}中，a1•a2•a3=27，a2•a4=81（1）求a1和公比q；（2）若{a n}各项均为正数，求数列{n•a n}的前n项和．【解答】解：由等比数列的性质可得，a1•a2•a3==27，a2=3，，a2•a4=81，解得：a4=27，q=±3，∴或，（2）由a n＞0，，，，∴S n=1•30+2•31+3•32+…+n•3n﹣1，∴3S n=1•3+2•32+…+（n﹣1）•3n﹣1+n•3n，两式相减：﹣2S n=30+31+…+3n﹣1﹣n•3n=﹣n•3n=﹣n•3n∴S n=．18．（16分）已知f（x）=ax2﹣bx+3（1）若a=﹣2，b=5，求f（x）≥0的解集；（2）若f（x）＜2x的解集是（﹣3，﹣1），求a，b；（3）若b=﹣1，当x∈R，f（x）＞a恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）a=﹣2，b=5时：f（x）=﹣2x2﹣5x+3≥0，即2x2+5x﹣3≤0，解得：﹣3≤x≤，故不等式的解集是[﹣3，]；（2）f（x）＜2x的解集是（﹣3，﹣1），即ax2﹣（b+2）x+3＜0的解集是（﹣3，﹣1），即﹣3，﹣1是方程ax2﹣（b+2）x+3=0的根，∴，解得：；（3）b=﹣1时：x∈R，f（x）＞a恒成立，即：ax2+x+3﹣a＞0在R恒成立，故，解得：0＜a＜．19．（16分）如图，一船由西向东航行，测得某岛M的方位角为α，前进5km 后，测得此岛的方位角为β，已知该岛周围3km内有暗礁，现该船继续东行，（1）若α=60°，β=45°，问该船有无触礁危险？（2）当α，β满足什么条件时，该船有触礁的危险？【解答】解：（1）∵α=60°，β=45°，∴在Rt△MCA，∠AMC=60°，Rt△MCB中，∠BMC=45°，∵AB=5，∴∴∴该船没有触礁危险．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）（2）在Rt△MCA，AC=tanα•MC，Rt△MCB中，BC=tanβ•MC∴AB=AC﹣BC=tanα•MC﹣tanβ•MC=5，∴∴当时，该船有触礁危险．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（16分）20．（16分）已知数列{a n}的前n项和为S n，S n=2a n﹣3n，（n∈N+）（1）求a1，a2；（2）求证：数列{a n+3}成等比数列；（3）求数列{a n}的通项公式a n；（4）数列{a n}中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）因为S n=2a n﹣3n，当n=1时，S1=2a1﹣3，解得a1=3，当n=2时，S2=2a2﹣3，解得a2=6，（2）因为S n=2a n﹣3n，=2a n+1﹣3（n+1），所以S n+1=2a n+1﹣2a n﹣3，则a n+1所以a n=2a n+3，+1+3=2（a n+3）所以a n+1数列{a n+3}是等比数列，（3）由（2）知，数列{a n+3}是等比数列，因为a1+3=6，所以a n+3=6•2n﹣1=3•2n，所以a n=3•2n﹣3．（4）设存在s，p，r∈N*，且s＜p＜r，使得a s，a p，a r成等差数列，则2a p=a s+a r，即2（3•2p﹣3）=3•2s﹣3+3•2r﹣3即2p+1=2s+2r，2p﹣s+1=1+2r﹣s，2p﹣s+1，2r﹣s为偶数，而1+2r﹣s为奇数，所以2p+1=2s+2r不成立，故不存在满足条件的三项．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。
江苏省盐城中学2014-2015学年高二12月阶段性检测数学(理)试题
江苏省盐城中学2014-2015学年高二12月阶段性检测数学（理）试题一、填空题（本大题共14小题,每小题5分,计70分） 1.已知i z 21-=，则z 的虚部是 . 2.已知)1(,11->++=x x x y ，则y 的最小值是 3.已知)2)(1(i i z +-=，则=z4.已知双曲线C )0,(12222>=-b a by a x 的焦距是10，点P （3,4）在C 的渐近线上，则双曲线C 的标准方程是5.在直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥+a x y x y x 040表示平面区域面积是4，则常数a 的值_______．6.函数)1()(-=x e x f x的图象在点()()1,1f 处的切线方程是 .7.已知C z ∈,12=-i z ，则1-z 的最大值是 8.数列}{n a 的前n 项和为n S *)(N n ∈，且,211=a n n a n S 2=，利用归纳推理，猜想}{n a 的通项公式为9.已知x a x x x f ln 212)(2++-=在),2[+∞上是增函数，则a 的取值范围是 . 10.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则4S ，84S S -，128S S -成等差数列； 类比以上结论有：设等比数列{}n b 的前n 项积．为n T ，则4T ， ，812T T 成等比数列． 11.函数mx x x x f ++=233)(在)0,2(-∈x 上有极值，则m 的取值范围是 12.43:222b y x O =+,若C 上存在点P ,使得过点P 引圆O 的两条切线,切点分别为,A B ,满足60APB ∠=︒,则椭圆C 的离心率取值范围是13.如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点21F F 、在x 轴上，21,A A 为左右顶点，焦距为2，左准线l 与x 轴的交点为M ，2MA ∶11||A F=6∶1．若点P 在直线l 上运动，且离心率21<e ，则12tan F PF ∠的最大值为 ．二、解答题（本大题共6小题，计90分.）15. （本题满分14分）已知cx bx ax x f ++=23)(在区间[0,1]上是减函数,在区间),1(),0,(+∞-∞上是增函数,又.23)21(-='f(Ⅰ)求)(x f 的解析式;(Ⅱ)若m x f ≤)(在区间∈x ]2,0[恒成立,求m 的取值范围.16. （本题满分14分）在平面直角坐标系xoy 中，已知点A(0，1)，B 点在直线1-=y 上，M 点满足//，⋅=⋅，M 点的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)斜率为1的直线l 过原点O ，求l 被曲线C 截得的弦长.17. (本题满分14分) 设数列}{n a 的前n 项和为n S ，且方程02=--n n a x a x 有一根为)(1*N n S n ∈-.(1)求21,S S ;(2)猜想数列}{n S 的通项公式，并给出证明．18. （本题满分16分）在淘宝网上，某店铺专卖盐城某种特产．由以往的经验表明，不考虑其他因素，该特产每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克，51≤<x ）满足：当31≤<x 时，1)3(2-+-=x bx a y ，为常数）（b a ,；当53≤<x 时，70490y x =-+．已知当销售价格为2元/千克时，每日可售出该特产600千克；当销售价格为3元/千克时，每日可售出150千克．（1）求b a ,的值，并确定y 关于x 的函数解析式；（2）若该特产的销售成本为1元/千克，试确定销售价格x 的值，使店铺每日销售该特产所获利润)(x f 最大（x 精确到0.1元/千克）．19. （本题满分16分）如图，已知椭圆:C )0(12222>>=+b a b x a y 的离心率为21，以椭圆C 的上顶点Q 为圆心作圆)0()2(:222>=-+r r y x Q ，设圆Q 与椭圆C 交于点M 与点N 。
2014-2015学年江苏省盐城中学高二(上)10月月考数学试卷
2014-2015学年江苏省盐城中学高二（上）10月月考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题(本大题共14小题，共70.0分)1.命题“∀x∈R，2x≠0”的否定是______ ．【答案】∃x∈R，2x=0【解析】解：命题“∀x∈R，2x≠0”的否定是：∃x∈R，2x=0．故答案为：∃x∈R，2x=0．直接写出全称命题的否定得答案．命题的否定即命题的对立面．“全称量词”与“存在量词”正好构成了意义相反的表述．如“对所有的…都成立”与“至少有一个…不成立”；“都是”与“不都是”等，所以“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，“存在性命题”的否定一定是“全称命题”，是基础题．2.椭圆C：=1的焦距是______ ．【答案】8【解析】解：依题意得，a2=25，b2=9，又∵在任意椭圆中有a2=b2+c2，从而c2=a2-b2=16（c＞0），解得c=4．则该椭圆的焦距即2c=2×4=8，故答案为：8．直接从方程中解读出椭圆中基本参量的数值；然后通过椭圆中a、b、c之间的等量关系，即可解出c，进而得到2c，即该椭圆的焦距．本题考查了椭圆中各个参量的意义以及在方程中相应的相关表示，以及椭圆中重要的基本关系a2=b2+c2．3.已知p：1≤x≤2，q：≤0，则p是q的______ 条件．（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选择一个填写）【答案】必要不充分【解析】解：∵≤0，∴1＜x≤2，即q：1＜x≤2，∵p：1≤x≤2，q：1＜x≤2，∴p是q的必要不充分条件，故答案为：必要不充分根据分式不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义，即可得到结论．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键．4.有下列四个命题：①“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”．其中真命题的序号为______ ．【答案】①③【解析】解：①“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题：“若x，y互为相反数，则x+y=0”逆命题正确；②“全等三角形的面积相等”的否命题：“不全等三角形的面积不相等”，三角形的命题公式可知只有三角形的底边与高的乘积相等命题相等，所以否命题不正确；③“若q≤1，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题：“x2+2x+q=0没有实根，则q＞1”，因为x2+2x+q=0没有实根，所以4-4q＜0可得q＞1，所以逆否命题正确；④“不等边三角形的三个内角相等”，显然不正确．正确命题有①③．故答案为：①③．利用四种命题关系写出四个命题，然后判断真假即可．本题考查四种命题的关系，命题的真假的判断，基本知识的考查．5.若变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值是______ ．【答案】5【解析】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=x+y为y=-x+z，由图可知，当直线y=-x+z过B时，直线在y轴上的截距最大，z最大．联立，解得B（2，3）．∴z max=2+3=5．故答案为：5．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．6.已知椭圆的一个焦点为（0，2），离心率为，则其标准方程为______ ．【答案】+=1【解析】解：依题意，c=2，==，∴a=2，∴b2=a2-c2=8-4=4，∵椭圆的一个焦点在y轴上，∴其标准方程为：+=1．故答案为：+=1．利用椭圆的标准方程及几何性质可得a=2，b2=4，而其焦点在y轴上，从而可得答案．本题考查椭圆的标准方程及几何性质，求得a=2，b2=4，注意到其焦点在y轴上是关键，属于中档题．7.设a，b，c∈R，ab=2，且c≤a2+b2恒成立，则c的最大值为______ ．【答案】4【解析】解：由ab=2，设，，则a2+b2=2（tan2θ+cot2θ）（当且仅当tanθ=cotθ时取等号）．∵c≤a2+b2恒成立，∴c的最大值为4．故答案为：4．由题意设，，利用基本不等式求得a2+b2的最小值，则答案可求．本题考查了三角恒等变换，考查了利用基本不等式求最值，是基础题．8.已知一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集为（1，2），则不等式bx2-cx+a≥0的解集为______ ．【答案】，，【解析】解：ax2+bx+c＞0的解集为（1，2），∴，，a＜0，不等式bx2-cx+a≥0可化为，即-3x2-2x+1≤0，解得x≤-1或故答案为 ，，由一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集为（1，2），得，，a＜0，不等式bx2-cx+a≥0可化为，代入求出解．本题考查了一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根的关系，属于基础题．9.已知f（x）=，＜，，则不等式f（2x+1）＞3的解集为______ ．【答案】（- ，-1）【解析】解：∵f（x）=，＜，，∴不等式f（2x+1）＞3可化为：＜＞，①或＞，②解①可得x＜-1，解②可得x∈∅，∴原不等式的解集为（- ，-1）故答案为：（- ，-1）由题意化原不等式为＜＞，①或＞，②，分别解不等式组取并集可得．本题考查分段函数，涉及不等式组的解法，属基础题．10.已知正数x，y满足x+4y+5=xy，则xy的最小值是______ ．【答案】25【解析】解：∵正数x，y满足x+4y+5=xy，∴xy=x+4y+5≥2+5=4+5，∴（）2-4-5≥0，解得≥5或≤-1，∵≥0，∴≥5∴xy的最小值为25，当且仅当x=4y，即x=10，y=时取到．故答案为：25由题意可得xy=x+4y+5≥2+5=4+5，解关于的不等式可得．本题考查基本不等式，涉及一元二次不等式的解法，属基础题．11.设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为______ ．【答案】【解析】解：|PF2|=x，∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，∴|PF1|=2x，|F1F2|=x，又|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c∴2a=3x，2c=x，∴C的离心率为：e==．故答案为：．设|PF2|=x，在直角三角形PF1F2中，依题意可求得|PF1|与|F1F2|，利用椭圆离心率的性质即可求得答案．本题考查椭圆的简单性质，求得|PF1|与|PF2|及|F1F2|是关键，考查理解与应用能力，属于中档题．12.若关于x的不等式0≤mx2+x+m≤1的解集为单元素集，则m的值为______ ．【答案】+或-【解析】解：∵mx2+x+m=m+m-，关于x的不等式0≤mx2+x+m≤1的解集为单元素集，故二次函数y=m+m-的图象开口向上，且和直线y=1有唯一交点；或二次函数y=m+m-的图象开口向下，且和直线y=0（x轴）有唯一交点，∴＞，或＜，求得m=+，或m=-，故答案为：+或-．由题意可得，二次函数y=m+m-的图象开口向上，且和直线y=1有唯一交点；或函数的图象开口向下，且和直线y=0（x轴）有唯一交点，故有＞，或＜，由此求得m的值．本题主要考查一元二次不等式的解法，函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．13.已知不等式x2-4ax+2a+2≤0的解集为M，若M⊆[1，4]，则实数a的取值范围是______ ．【答案】（-，]【解析】解：不等式x2-4ax+2a+2≤0的解集为M，若M⊆[1，4]，当M≠∅时，令f（x）=x2-4ax+2a+2，则有＜＜，解得1≤a≤．当M=∅时，△=16a2-4（2a+2）＜0，求得-＜a＜1．综上可得，实数a的取值范围是（-，]，故答案为：（-，]．当M≠∅时，令f（x）=x2-4ax+2a+2，则由题意可得＜＜，由此解得a的范围；当M=∅时，由△＜0求得a的范围，再把这2个a的范围取并集，即得所求．本题主要考查一元二次不等式的解法，二次函数的性质应用，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．14.已知△ABC的三边长a，b，c依次成等差数列，a2+b2+c2=21，则b的取值范围是______ ．【答案】（，]【解析】解：设公差为d，则有a=b-d，c=b+d，代入a2+b2+c2=21化简可得3b2+2d2=21．故当d=0时，b有最大值为．由于三角形任意两边之和大于第三边，故较小的两边之和大于最大边，即a+b＞c，可得b＞2d．∴3b2+2＞21，解得b＞，故实数b的取值范围是（，]．故答案为（，]．设a=b-d，c=b+d，代入已知等式化简可得3b2+2d2=21，由此求得b的最大值为．再由a+b＞c可得b＞2d，结合已知的等式得3b2+2＞21，解得b＞，再把这两个b的范围取交集求得数b的取值范围．本题主要考查等差数列的定义和性质的应用，解不等式，属于中档题．二、解答题(本大题共6小题，共72.0分)15.已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，且过点A（1，）和B（-，-）．（1）求椭圆C的方程；（2）若椭圆E与椭圆C有相同的焦点，且过点P（2，-），求椭圆E的方程．【答案】解：（1）设椭圆的方程为（a＞b＞0），则∵过点A（1，）和B（-，-），∴，∴a=2，b=，∴椭圆C的方程为；（2）设椭圆方程为（m＞0），∵椭圆过点P（2，-），∴，∴m=8，∴椭圆方程为．【解析】（1）设椭圆的方程为（a＞b＞0），代入点A（1，）和B（-，-），求出a，b，即可求椭圆C的方程；（2）设椭圆方程为（m＞0），代入点P（2，-），求出m，即可求椭圆E的方程．本题考查椭圆方程，考查学生的计算能力，正确设椭圆方程是关键．16.已知p：（x-2）（x+m）≤0，q：x2+（1-m）x-m≤0．（1）若m=3，命题“p且q”为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【答案】解：（1）若m=3，则p：（x-2）（x+3）≤0，即-3≤x≤2，q：x2-2x-3≤0，解得-1≤x≤3，若命题“p且q”为真，则p，q同时为真，则，解得-1≤x≤2．（2）∵x2+（1-m）x-m≤0，∴（x+1）（x-m）≤0，则不等式对应的方程的根为x=-1，或x=m，不等式（x-2）（x+m）≤0，对应的方程的根为x=2，或x=-m，若p是q的必要不充分条件，设p对应的集合为A，q对应的集合是B，则满足B⊊A，若m≥-1，则集合B=[-1，m]，此时-m≤2，即A=[-m，2]，此时满足，解得1≤m≤2，若m＜-1，则集合B=[m，-1]，此时-m＞1，此时A∩B=∅，不满足条件，故实数m的取值范围是1≤m≤2．．【解析】（1）若m=3，根据命题“p且q”为真，则p，q同时为真，即可得到结论．（2）根据充分条件和必要条件的定义即可得到结论．本题主要考查复合命题的应用，以及充分条件和必要条件的应用，结合一元二次不等式的解法是解决本题的关键．17.某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C（x），当年产量不足80千件时，（万元）．当年产量不小于80千件时，（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．（1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？【答案】解：（1）∵每件商品售价为0.05万元，∴x千件商品销售额为0.05×1000x万元，①当0＜x＜80时，根据年利润=销售收入-成本，∴=；②当x≥80时，根据年利润=销售收入-成本，∴=．综合①②可得，＜＜．（2）由（1）可知，＜＜，①当0＜x＜80时，=，∴当x=60时，L（x）取得最大值L（60）=950万元；②当x≥80时，=1200-200=1000，当且仅当，即x=100时，L（x）取得最大值L（100）=1000万元．综合①②，由于950＜1000，∴当产量为100千件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000万元．【解析】（1）分两种情况进行研究，当0＜x＜80时，投入成本为（万元），根据年利润=销售收入-成本，列出函数关系式，当x≥80时，投入成本为，根据年利润=销售收入-成本，列出函数关系式，最后写成分段函数的形式，从而得到答案；（2）根据年利润的解析式，分段研究函数的最值，当0＜x＜80时，利用二次函数求最值，当x≥80时，利用基本不等式求最值，最后比较两个最值，即可得到答案．本小题主要考查函数模型的选择与应用．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．本题建立的数学模型为分段函数，对于分段函数的问题，一般选用分类讨论和数形结合的思想方法进行求解．属于中档题．18.已知椭圆：＞＞和圆O：x2+y2=a2，F1（-1，0），F2（1，0）分别是椭圆的左、右两焦点，过F1且倾斜角为，的动直线l交椭圆C于A，B两点，交圆O于P，Q两点（如图所示，点A在轴上方）．当时，弦PQ的长为．（1）求圆O和椭圆C的方程；（2）若点M是椭圆C上一点，求当AF2，BF2，AB成等差数列时，△MPQ面积的最大值．【答案】解：（1）取PQ的中点D，连接OD，OP，由，c=1，可得OD=，∵弦PQ的长为，∴=4，∴a2=4，b2=3，∴圆O的方程为x2+y2=4，椭圆C的方程为；（2）设|AF2|=s，|BF2|=t，则|AF1|+|AF2|=2a=4，|BF1|+|BF2|=2a=4，∵AF2，BF2，AB成等差数列，∴2t=s+8-s-t，∴t=，设B（x0，y0），则由，得B（-，-），∴k=，∴PQ：y=（x+1）∴O到PQ的距离为d=，∴PQ=2=，又∵椭圆C上一点到直线PQ的距离的最大值为，∴△MPQ面积的最大值•=．【解析】（1）取PQ的中点D，连接OD，OP，求出OD，利用弦PQ的长为，求出OQ，可得a，b，即可求圆O和椭圆C的方程；（2）设|AF2|=s，|BF2|=t，利用AF2，BF2，AB成等差数列，求出t，设B（x0，y0），则由，得B的坐标，可得PQ的方程，求出PQ，椭圆C上一点到直线PQ的距离的最大值，即可求△MPQ面积的最大值．本题考查圆和椭圆的方程，考查三角形面积的计算，考查等差数列的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19.已知函数f（x）=-ax2+bx．（1）若a＞0，b＞0，且不等式f（x）≤1在R上恒成立，求证：b≤2；（2）若a=-，且不等式f（x）≤1在[0，1]上恒成立，求实数b的取值范围；（3）设0＜a＜1，b＞0，求不等式|f（x）|≤1在x∈[0，1]上恒成立的充要条件．【答案】解：（1）由于函数f（x）=-ax2+bx≤1在R上恒成立，∴a＞0，且函数的最大值≤1，∴b2≤4a，∴|b|≤2，∴b≤2．（2）若a=-，则f（x）=x2+bx，由不等式f（x）≤1在[0，1]上恒成立，则有求得实数b≤．（3）∵0＜a＜1，b＞0，∴函数f（x）=-ax2+bx的图象是开口向下的抛物线，图象的对称轴x=＞0，且f（0）=0．不等式|f（x）|≤1在x∈[0，1]上恒成立，当≤1时，由f（）=≤1，求得0＜b≤2a．当＞1时，由f（1）=b-a≤1求得2a＜b≤a+1．综上可得，0＜b≤2a或2a＜b≤a+1．【解析】（1）由题意可得函数的最大值≤1，化简可得b≤2．（2）若a=-，则f（x）=x2+bx，由题意可得，由此求得求得实数b 的范围．（3）由于函数f（x）=-ax2+bx的图象是开口向下的抛物线，图象的对称轴x=＞0，且f（0）=0．故|f（x）|的最大值小于或等于1，在[0，1]上恒成立，分类讨论可得结论．本题主要考查二次函数的性质，函数的恒成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．20.已知函数f（x）=ax+，a∈R．（1）当a=1时，求f（x）的最小值；（2）若函数f（x）图象上的点都在不等式组表示的平面区域内，求实数a的取值范围；（3）若函数h（x）=x4+[f（x）-]（x2+1）+bx2+1在（0，+ ）上有零点，求a2+b2的最小值．【答案】解：（1）当a=1时，f（x）=x+的定义域为[-1，+ ），由y=x和y=均为增函数，故f（x）=x+为增函数，故当x=-1时，f（x）取最小值-1，（2）若函数f（x）图象上的点都在不等式组表示的平面区域内，则f（x）=ax+≥x-1在[-1，+ ）上恒成立，即（a-1）x++1≥0在[-1，+ ）上恒成立，令t=，则x=t2-1，（t≥0），则（a-1）（t2-1）+t+1≥0在[0，+ ）上恒成立，当a=1时，t+1≥1满足条件，当a≠1时，若（a-1）（t2-1）+t+1≥0在[0，+ ）上恒成立，＞，解得：1＜a≤2，则综上所述，实数a的取值范围为[1，2]，（3）令h（x）=x4+[f（x）-]（x2+1）+bx2+1=0即，令t=x+，则方程可化为t2+at+b-2=0，t≥2，设令g（t）=t2+at+b-2=0，t≥2，当-＞2，即a＜-4时，只需△=a2-4b+8≥0，此时，a2+b2≥16；当-≤2，即a≥-4时，只需4+2a+b-2≤0，即2a+b+2≤0，此时a2+b2≥．综上所述a2+b2的最小值为．【解析】（1）将a=1代入，结合函数的定义域和单调性，可得f（x）的最小值；（2）若函数f（x）图象上的点都在不等式组表示的平面区域内，则f（x）=ax+≥x-1在[-1，+ ）上恒成立，进而可得实数a的取值范围；（3）若函数h（x）=x4+[f（x）-]（x2+1）+bx2+1在（0，+ ）上有零点，利用换无法，结合二次函数的图象和性质，可得a2+b2的最小值．本题考查的知识点是函数零点的判定定理，函数的单调性和最值，线性规划，是函数，不等式的综合应用，难度中档．。
盐城市中学2013-2014学年高二上学期期中考试数学(文)试题
第Ⅰ卷（共50分）一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,计70分. 不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上.1.命题“x R ∀∈，20x ≥”的否定是 .2.抛物线24x y =的焦点坐标是 .3.若()22x x f =，则()1f '-等于 .4.双曲线2214y x -=的渐近线方程为 .5.“两条直线不相交”是“两条直线是异面直线”的 条件．（填 “充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不必要又不充分”中的一个）6.函数28ln y x x =-的单调递减区间为.7.设x ，y R ∈且1230x x y y x ≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最小值是 ．8.设集合{}2230A x x x =--<，{}21xB x =>，则A B = .9.若双曲线221916x y -=上一点P 到右焦点的距离为4，则点P 到左焦点的距离是 ．10.已知正数y x ,满足21x y +=，则21x y+的最小值为 .11.P 为椭圆14522=+y x 上的点，21,F F 是其两个焦点，若 3021=∠PF F ，则21PF F ∆的面积是 ．12.已知函数()y f x =的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为32y x =-，则函数2()()g x x f x =+的图象在点(1,(1))g 处的切线方程为 .13.过椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一点B ，且点B 在x 轴上的射影恰为右焦点F ,若12k =，则椭圆的离心率e 的值是 .14.已知函数2()(,)f x x b x c b c R =++∈，若b 、c 满足214b c ≥+，且22()()()f c f b M c b -≤-恒成立，则M 的最小值为 .第Ⅱ卷（共80分）二、解答题：（本大题共6小题，计80分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15.已知命题p ：任意x R ∈，21x a +≥，命题q ：函数2()21f x x ax =-+在(,1]-∞-上单调递减．（1）若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围； （2）若p 和q 均为真命题，求实数a 的取值范围．16.已知顶点在原点O ，焦点在x轴上的抛物线过点. （1）求抛物线的标准方程；（2）若抛物线与直线2y x =-交于A 、B 两点，求证：1OA OB k k ⋅=-.1212121212(4)(4)4()1644424161.4OA OB y y x x x x x x k k x x ---++⋅===-+==-17.已知函数()a x x x x f +++-=9323．（1）求()x f 的单调递减区间；（2）若()x f 在区间[]2,2-上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．18.某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为P 元，则销售量Q （单位：件）与零售价P （单位：元）有如下关系：28300170Q P P =--，问该商品零售价定为多少元时毛利润L 最大，并求出最大毛利润．（毛利润=销售收入-进货支出）关系为19.已知圆224O x y +=：，若焦点在x 轴上的椭圆22221x y a b += 过点(01)P -，，且其长轴长等于圆O 的直径． （1）求椭圆的方程；（2）过点P 作两条互相垂直的直线1l 与2l ，1l 与圆O 交于A 、B 两点， 2l 交椭圆于另一点C ，设直线1l 的斜率为k ，求弦AB 长； （3）求ABC ∆面积的最大值．20.设函数()ln f x x ax =-，a R ∈．（1）当1x =时，函数()f x 取得极值，求a 的值；（2）当102a <<时，求函数()f x 在区间[1，2]上的最大值； （3）当1a =-时，关于x 的方程22()mf x x =(0)m >有唯一实数解，求实数m 的值．。
2014-2015年江苏省盐城市阜宁中学高二上学期期中数学试卷及参考答案
2014-2015学年江苏省盐城市阜宁中学高二（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共15小题，每小题5分，共70分）1．（5分）函数f（x）=lg（1﹣x2）的定义域是．2．（5分）命题“若|x|＞1则x＞1”的否命题是命题（填“真”或“假”）．3．（5分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）一条渐近线为y=x，则此双曲线的离心率为．4．（5分）（理科题）已知向量=（3，﹣2，1），=（﹣2，4，0），则+2=．5．（文科题）设a，b∈R，关于x的不等式ax2+bx﹣1＞0的解集为，则a+b=．6．（5分）设a，b，m都是正数，且，则a与b的大小关系是b＜a．7．（5分）已知点P在⊙O：x2+y2=4上，过P作x轴的垂线，垂足为D，则PD 的中点所在的轨迹方程为．8．（5分）设x＞0，y＞0且2x+5y=200，则lgx+lgy最大值是．9．（5分）若关于x的不等式ax2+2ax﹣（a+2）≥0的解集为∅，则实数a的取值范围是．10．（5分）若双曲线的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，则m=．11．（5分）设0＜t＜，a是大于0的常数，f（t）=的最小值是16，则a=．12．（5分）已知命题p：＜1，命题q：x2+（a﹣1）x﹣a＞0，若¬p是¬q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是．13．（5分）已知函数f（x）=，则关于x的不等式f（x2）＞f（3﹣2x）的解集是．14．（5分）已知椭圆=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，l为右准线，当椭圆上存在一点P，使PF1是点P到直线l的距离的2倍，则椭圆离心率最小值为．15．（5分）设m，n∈R且n≤6，若不等式2mx+（2﹣x）n﹣8≥0对任意x∈[﹣4，2]都成立，则取值范围是．二、解答题（本大题共6小题，共90分，解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）16．（14分）已知命题p：“方程=1表示焦点在y轴上椭圆”，命题q：“∃x∈R使得x2+（a﹣1）x+1＜0”（a∈R）．（1）若命题p为真命题，求a的取值范围；（2）若命题p∧q为真命题，求a的取值范围．17．（14分）设抛物线y2=4x的焦点为F，过F作一条直线与抛物线相交于A、B 两点．（1）求证：以线段AB为直径的圆与抛物线的准线相切；（2）设A、B两点纵坐标为y1，y2，求y1y2的值．18．（14分）设实数x，y满足，求：（1）z=x+2y﹣4的最大值；（2）z=x2+y2的最大值．19．（16分）过去的2013年，我国多地区遭遇了雾霾天气，引起口罩热销．某品牌口罩原来每只成本为6元．售价为8元，月销售5万只．（1）据市场调查，若售价每提高0.5元，月销售量将相应减少0.2万只，要使月总利润不低于原来的月总利润（月总利润=月销售总收入﹣月总成本），该口罩每只售价最多为多少元？（2）为提高月总利润，厂家决定下月进行营销策略改革，计划每只售价x（x≥9）元，并投入（x﹣9）万元作为营销策略改革费用．据市场调查，每只售价每提高0.5元，月销售量将相应减少万只．则当每只售价x为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润．20．（16分）已知椭圆C中心在坐标原点，焦点坐标为（2，0），短轴长为．（1）求椭圆C的标准方程及离心率，并写出椭圆的准线方程；（2）设P是椭圆C上一点，且点P与椭圆C的两个焦点F1，F2构成一个直角三角形，且PF1＞PF2，求的值．21．（16分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆的离心率为，右顶点为A，直线BC过原点O，且点B在x轴上方，直线AB与AC分别交直线l：x=a+1于点E、F．（1）若点，求△ABC的面积；（2）若点B为动点，设直线AB与AC的斜率分别为k1、k2．①试探究：k1•k2是否为定值？若为定值，请求出；若不为定值，请说明理由；②求△AEF的面积的最小值．2014-2015学年江苏省盐城市阜宁中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共15小题，每小题5分，共70分）1．（5分）函数f（x）=lg（1﹣x2）的定义域是（﹣1，1）．【解答】解：f（x）=lg（1﹣x2）的定义域满足条件：1﹣x2＞0，解得﹣1＜x＜1，∴函数f（x）=lg（1﹣x2）的定义域是（﹣1，1）．故答案为：（﹣1，1）．2．（5分）命题“若|x|＞1则x＞1”的否命题是真命题（填“真”或“假”）．【解答】解：命题“若|x|＞1则x＞1”的否命题是“若|x|≤1则x≤1”，是真命题．故答案为：真．3．（5分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）一条渐近线为y=x，则此双曲线的离心率为．【解答】解：双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线的方程为：b2x2﹣a2y2=0，即bx±ay=0．由已知，一条渐近线的方程为3x﹣4y=0所以=，离心率e==．故答案为：．4．（5分）（理科题）已知向量=（3，﹣2，1），=（﹣2，4，0），则+2=（﹣1，6，1）．【解答】解：∵向量=（3，﹣2，1），=（﹣2，4，0），则+2=（3，﹣2，1）+2（﹣2，4，0）=（﹣1，6，1）．故答案为：（﹣1，6，1）．5．（文科题）设a，b∈R，关于x的不等式ax2+bx﹣1＞0的解集为，则a+b=1．【解答】解：∵关于x的不等式ax2+bx﹣1＞0的解集为，∴对应的方程ax2+bx﹣1=0的二实数根是、1，由根与系数的关系，得；，解得a=﹣2，b=3；∴a+b=﹣2+3=1．故答案为：1．6．（5分）设a，b，m都是正数，且，则a与b的大小关系是b＜a．【解答】解：∵a，b，m都是正数，且，∴b（a+m）﹣a（b+m）=m（b﹣a）＜0，∴b＜a．故答案为：b＜a．7．（5分）已知点P在⊙O：x2+y2=4上，过P作x轴的垂线，垂足为D，则PD的中点所在的轨迹方程为．【解答】解：设PD的中点的坐标是（x，y），则P的坐标是（x，2y），因为点P在⊙O：x2+y2=4上，所以x2+4y2=4，即，故答案为：．8．（5分）设x＞0，y＞0且2x+5y=200，则lgx+lgy最大值是3．【解答】解：∵x＞0，y＞0，且2x+5y=200，∴10xy≤（）2=10000，∴xy≤1000，∴lgx+lgy=lg（xy）≤lg1000=3．∴lgx+lgy最大值是3．故答案为：3．9．（5分）若关于x的不等式ax2+2ax﹣（a+2）≥0的解集为∅，则实数a的取值范围是{a|﹣1＜a≤0} ．【解答】解：∵关于x的不等式ax2+2ax﹣（a+2）≥0的解集为∅，∴a=0时，0﹣2≥0，不等式不成立，a=0满足题意；a＞0，不等式的解集不为空集，不满足题意；a＜0时，当△=4a2﹣4a•[﹣（a+2）]＜0时，即a2+a＜0，解得：﹣1＜a＜0，满足题意；综上，实数a的取值范围是{a|﹣1＜a≤0}．故答案为：{a|﹣1＜a≤0}．10．（5分）若双曲线的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，则m=1．【解答】解：∵y2=8x的焦点为F（2，0），∴根据题意得到双曲线的右焦点为F（2，0），可得c==2，解之得m=1．故答案为：111．（5分）设0＜t＜，a是大于0的常数，f（t）=的最小值是16，则a=9．【解答】解：∵0＜t＜，∴0＜cost＜1，f（t）==（）•（cost+1﹣cost）=1+++a ≥1+a+2=16，当且仅当=时，等号成立．求得=3或﹣5（舍去），∴a=9，故答案为：9．12．（5分）已知命题p：＜1，命题q：x2+（a﹣1）x﹣a＞0，若¬p是¬q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2] ．【解答】解：由＜1得﹣1=＜0，即（2﹣x）（x﹣1）＜0，解得x＞2或x＜1，即p：x＞2或x＜1，则￢p：1≤x≤2，∵q：x2+（a﹣1）x﹣a＞0，∴￢q：x2+（a﹣1）x﹣a≤0，即（x﹣1）（x+a）≤0，若a=﹣1，则不等式的解为x=1，即￢q：x=1，不满足条件．若a＞﹣1，则不等式的解为﹣a＜x＜1，即￢q：﹣a＜x＜1，不满足条件．若a＜﹣1，则不等式的解为1＜x＜﹣a，即￢q：1＜x＜﹣a，要使¬p是¬q的充分不必要条件，则﹣a≥2，即a≤﹣2，即a的取值范围是a≤﹣2，故答案为：（﹣∞，﹣2]．13．（5分）已知函数f（x）=，则关于x的不等式f（x2）＞f（3﹣2x）的解集是（﹣∞，﹣3）∪（1，3）．【解答】解：∵f（x）=，由x2≥0，得f（x2）=x2，从而原不等式f（x2）＞f（3﹣2x）化为x2＞f（3﹣2x）．①当3﹣2x≥0即x≤时，原不等式进一步化为x2＞3﹣2x，得x＞1，或x＜﹣3，∴1＜x≤，或x＜﹣3．②当3﹣2x＜0即x＞时，原不等式进一步化为x2＞（3﹣2x）2，得1＜x＜3，∴．综合①、②得原不等式的解集为（﹣∞，﹣3）∪（1，3）．故填（﹣∞，﹣3）∪（1，3）．14．（5分）已知椭圆=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，l为右准线，当椭圆上存在一点P，使PF1是点P到直线l的距离的2倍，则椭圆离心率最小值为．【解答】解：设P到直线l的距离为d，根据椭圆的第二定义得=e=，|PF1|=2d，且|PF1|+|PF2|=2a，则|PF1|=2a﹣|PF2|=2a﹣=2d，即d=，而|PF1|∈[a﹣c，a+c]，即2d=，所以得到，由①得：（）2++2≥0，为任意实数；由②得（）2+3﹣2≥0，解得≥≥或≤（舍去），即有≤e＜1．则e的最小值为．故答案为：．15．（5分）设m，n∈R且n≤6，若不等式2mx+（2﹣x）n﹣8≥0对任意x∈[﹣4，2]都成立，则取值范围是[2，] ．【解答】解：解：设y=2xm+（2﹣x）n﹣8，整理可得y=﹙2m﹣n﹚x+﹙2n﹣8﹚当2m﹣n＞0时，因为x∈[﹣4，2]，所以y min=﹙2m﹣n﹚•﹙﹣4﹚+﹙2n﹣8﹚=﹣8m+6n﹣8当2m﹣n＜0时，因为x∈[﹣4，2]，所以y min=﹙2m﹣n﹚•2+﹙2n﹣8﹚=4m﹣8∵不等式2xm+（2﹣x）n﹣8≥0对任意x∈[﹣4，2]都成立，∴m，n满足或，可行域如图或∴当且仅当m=2，n=6时，=3，∴0＜≤3，令y==+，令=x，∴y=x+，（0＜x≤3），∴2≤y≤，故答案为：[2，]．二、解答题（本大题共6小题，共90分，解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）16．（14分）已知命题p：“方程=1表示焦点在y轴上椭圆”，命题q：“∃x∈R使得x2+（a﹣1）x+1＜0”（a∈R）．（1）若命题p为真命题，求a的取值范围；（2）若命题p∧q为真命题，求a的取值范围．【解答】解：（1）若P为真命题，则，即1＜a＜4，（2）若q为真命题，则△=（a﹣1）2﹣4＞0，即a＞3或a＜﹣1，由题意p，q都是真命题，∴即3＜a＜4．17．（14分）设抛物线y2=4x的焦点为F，过F作一条直线与抛物线相交于A、B 两点．（1）求证：以线段AB为直径的圆与抛物线的准线相切；（2）设A、B两点纵坐标为y1，y2，求y1y2的值．【解答】解：（1）设A、B到准线l距离为d1，d2，AB中点C到准线l距离为d，则，又∵A、B在抛物线上∴d1=AF，d2=BF，∴∴⊙C与直线l相切，（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意AB与x轴不平行设AB：x=my+1代入y2=4x得y2﹣4my﹣4=0∴y1y2=4，18．（14分）设实数x，y满足，求：（1）z=x+2y﹣4的最大值；（2）z=x2+y2的最大值．【解答】解：作出可行域如图，并求出顶点的坐标A（1，3），B（3，1），C（7，9）．…（6分）（1）易知可行域内各点均在直线x+2y﹣4=0的上方，故将C（7，9）代入z=x+2y﹣4得最大值为21．（2）z的几何意义为动点（x，y）到原点的距离的平方，由图象可知OC的距离最大，此时z最大，此时z=x2+y2=130．19．（16分）过去的2013年，我国多地区遭遇了雾霾天气，引起口罩热销．某品牌口罩原来每只成本为6元．售价为8元，月销售5万只．（1）据市场调查，若售价每提高0.5元，月销售量将相应减少0.2万只，要使月总利润不低于原来的月总利润（月总利润=月销售总收入﹣月总成本），该口罩每只售价最多为多少元？（2）为提高月总利润，厂家决定下月进行营销策略改革，计划每只售价x（x≥9）元，并投入（x﹣9）万元作为营销策略改革费用．据市场调查，每只售价每提高0.5元，月销售量将相应减少万只．则当每只售价x为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润．【解答】解：设口罩每只售价最多为x元，则月销售量为（5﹣）万只，则由已知（5﹣）（x﹣6）≥（8﹣6）×5，即，即2x2﹣53x+296≤0，解得8≤x≤，即每只售价最多为18.5元．（2）下月的月总利润y=[5﹣]（x﹣6）﹣===﹣[]+，∵x≥9，∴，即y=﹣[]+=14，当且仅当，即x=10时取等号．答：当x=10时，下月的月总利润最大，且最大利润为14万元．20．（16分）已知椭圆C中心在坐标原点，焦点坐标为（2，0），短轴长为．（1）求椭圆C的标准方程及离心率，并写出椭圆的准线方程；（2）设P是椭圆C上一点，且点P与椭圆C的两个焦点F1，F2构成一个直角三角形，且PF1＞PF2，求的值．【解答】解：（1）由题意设椭圆C方程则∴a2=b2+c2=16∴椭圆C的方程为，离心率，准线方程为x=±8，（2）由已知PF1+PF2=8，F1F2=4PF1＞PF2故在Rt△PF1F2中只有PF1F1F2为斜边若∠PF2F1=90°，则∴∴，若∠F1PF2=90°，则=无解综合得．21．（16分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆的离心率为，右顶点为A，直线BC过原点O，且点B在x轴上方，直线AB与AC分别交直线l：x=a+1于点E、F．（1）若点，求△ABC的面积；（2）若点B为动点，设直线AB与AC的斜率分别为k1、k2．①试探究：k1•k2是否为定值？若为定值，请求出；若不为定值，请说明理由；②求△AEF的面积的最小值．【解答】解：（1）由题意得解得a2=2b2=8，则△ABC的面积S=；（2）①k1•k2为定值，下证之：证明：设B（x0，y0），则C（﹣x0，﹣y0），且，而由（1）得a2=2b2，所以；②设直线AB的方程为y=k 1（x﹣a），直线AC的方程为y=k2（x﹣a），令x=a+1得，y E=k1，y F=k2，则△AEF的面积，因为点B在x轴上方，所以k1＜0，k2＞0，由得（当且仅当k 2=﹣k1时等号成立）所以，△AEF的面积的最小值为．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。
2014-2015年江苏省盐城中学中校区高二上学期期中数学试卷及答案
2014-2015学年江苏省盐城中学中校区高二（上）期中数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1．（5分）命题“∀x∈R，x2+x+1≥0”的否定是．2．（5分）双曲线﹣=1渐近线方程为．3．（5分）若点A（1，1），B（2，﹣1）位于直线x+y﹣a=0的两侧，则a的取值范围为．4．（5分）命题“若a=0，则ab=0”及该命题的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为．5．（5分）已知不等式ax2+bx﹣1＞0的解集是{x|3＜x＜4}，则a+b=．6．（5分）曲线y=x2﹣2x在点P（2，0）处的切线方程为．7．（5分）如果p：x＞2，q：x2＞4，那么p是q的．（在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要”中选择一个填空）8．（5分）函数f（x）=（2﹣x）e x的单调递增区间是．9．（5分）已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，焦点在直线3x﹣4y﹣12=0上，则该抛物线的方程为．10．（5分）若f（x）=x2﹣2x﹣4lnx，则f′（x）＞0的解集为．11．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）与双曲线有相同的焦点为F，A是两条曲线的一个交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率是．12．（5分）已知直线kx﹣y+1﹣k=0恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣1=0（m，n＞0）上，则的最小值为．13．（5分）设x，y满足约束条件：且z=x﹣ay的最小值为7，则a=．14．（5分）已知f（x，y）=（x﹣y）2+（4++）2，则f（x，y）的最大值为．二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15．（14分）已知p：|x+1|≤2，q：（x+1）（x﹣m）≤0．（1）若m=4，命题“p且q”为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．16．（14分）椭圆C1：=1（a＞b＞0）过点，离心率e=，A为椭圆C1上一点，B为抛物线y2=x上一点，且A为线段OB的中点．（1）求椭圆C1的方程；（2）求直线AB的方程．17．（15分）已知二次函数f（x）=ax2﹣2x+a（a≠0）（1）当a=﹣1时，求不等式f（x）＜0的解集；（2）若不等式f（x）≥0对x∈（0，+∞）恒成立，求a的取值范围．18．（15分）今年的国庆假期是实施免收小型客车高速通行费后的第一个重大节假日，有一个群名为“天狼星”的自驾游车队．该车队是由31辆车身长都约为5m （以5m计算）的同一车型组成的，行程中经过一个长为2725m的隧道（通过该隧道的车速不能超过25m/s），匀速通过该隧道，设车队的速度为xm/s，根据安全和车流的需要，当0＜x≤12时，相邻两车之间保持20m的距离；当12＜x≤25时，相邻两车之间保持（）m的距离．自第1辆车车头进入隧道至第31辆车车尾离开隧道所用的时间为y （s）．（1）将y表示为x的函数；（2）求该车队通过隧道时间y的最小值及此时车队的速度．19．（16分）设x，y为正实数，a=，c=x+y．（1）试比较a、c的大小；（2）若p=1，试证明：以a，b，c为三边长一定能构成三角形；（3）若对任意的正实数x，y，不等式a+b＞c恒成立，试求p的取值范围．20．（16分）设直线x+y=1与椭圆=1（a＞b＞0）相交于A，B两点．（1）若a=，求b的范围；（2）若OA⊥OB，且椭圆上存在一点P其横坐标为，求点P的纵坐标；=，求椭圆方程．（3）若OA⊥OB，且S△OAB2014-2015学年江苏省盐城中学中校区高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1．（5分）命题“∀x∈R，x2+x+1≥0”的否定是∃x∈R，x2+x+1＜0．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x∈R，x2+x+1≥0”的否定是：∃x∈R，x2+x+1＜0；故答案为：∃x∈R，x2+x+1＜0．2．（5分）双曲线﹣=1渐近线方程为y=±x．【解答】解：在双曲线的标准方程中，把1换成0，即得﹣=1的渐近线方程为﹣=0，化简可得y=±x．故答案为：y=±x．3．（5分）若点A（1，1），B（2，﹣1）位于直线x+y﹣a=0的两侧，则a的取值范围为（1，2）．【解答】解：∵点A（1，1），B（2，﹣1）位于直线x+y﹣a=0的两侧，∴（1+1﹣a）（2﹣1﹣a）＜0，即（2﹣a）（1﹣a）＜0，则（a﹣1）（a﹣2）＜0，即1＜a＜2，故答案为：（1，2）4．（5分）命题“若a=0，则ab=0”及该命题的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为2．【解答】解：命题“若a=0，则ab=0”为真，其逆否命题也为真，原命题的逆命题为“若ab=0，则a=0”为假命题，而否命题与逆命题互为逆否命题，也是假命题，所以真命题个数为2，故答案为：2．5．（5分）已知不等式ax2+bx﹣1＞0的解集是{x|3＜x＜4}，则a+b=．【解答】解：由题意不等式ax2+bx﹣1＞0的解集是{x|3＜x＜4}，故3，4是方程ax2+bx﹣1=0的两个根，∴3+4=﹣，3×4=﹣∴a=﹣，b=∴a+b=﹣=故答案为6．（5分）曲线y=x2﹣2x在点P（2，0）处的切线方程为y=2x﹣4．【解答】解：∵y=x2﹣2x，∴f'（x）=2x﹣2，当x=2时，f'（2）=2得切线的斜率为2，所以k=2；所以曲线在点（2，0）处的切线方程为：y﹣0=2×（x﹣2），即y=2x﹣4．故答案为：y=2x﹣4．7．（5分）如果p：x＞2，q：x2＞4，那么p是q的充分不必要条件．（在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要”中选择一个填空）【解答】解：由x＞2⇒x2＞4，是充分条件，由x2＞4推不出x＞2，不是必要条件，故答案为：充分不必要条件．8．（5分）函数f（x）=（2﹣x）e x的单调递增区间是（﹣∞，1）．【解答】解：f′（x）=﹣e x+（2﹣x）e x=（1﹣x）e x．令f′（x）＞0，解得x＜1．∴函数f（x）的单调递增区间为：（﹣∞，1）．故答案为（﹣∞，1）．9．（5分）已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，焦点在直线3x﹣4y﹣12=0上，则该抛物线的方程为y2=16x．【解答】解：∵直线3x﹣4y﹣12=0交x轴于点（4，0），交y轴于点（0，﹣3），∴抛物线的焦点为（4，0）或（0，﹣3），可得抛物线开口向右或开口向下．①当抛物线的开口向右时，设抛物线方程为y2=2px（p＞0），∵=4，解得p=8，2p=16，∴此时抛物线的方程为y2=16x；故答案为：y2=16x．10．（5分）若f（x）=x2﹣2x﹣4lnx，则f′（x）＞0的解集为（2，+∞）．【解答】解：要使函数有意义，则x＞0，∵f（x）=x2﹣2x﹣4lnx，∴f′（x）=2x﹣2=，若f′（x）＞0，则=＞0，即x2﹣x﹣2＞0，解得x＞2或x＜﹣1（舍去），故不等式f′（x）＞0的解集为（2，+∞）．故答案为：（2，+∞）．11．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）与双曲线有相同的焦点为F，A是两条曲线的一个交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率是+1．【解答】解：∵抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，∴p=2c∵A是它们的一个公共点，且AF垂直x轴设A点的纵坐标大于0∴|AF|=p，∴A（，p）∵点A在双曲线上∴﹣=1∵p=2c，b2=c2﹣a2∴﹣=1化简得：c4﹣6c2a2+a4=0∴e4﹣6e2+1=0∵e2＞1∴e2=3+2∴e=1+故答案为：1+12．（5分）已知直线kx﹣y+1﹣k=0恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣1=0（m，n＞0）上，则的最小值为4．【解答】解：整理直线方程得y=k（x﹣1）+1，∴点A的坐标为（1，1），∵点A在直线mx+ny﹣1=0（m，n＞0）上，∴m+n﹣1=0，即m+n=1，∴==，∵mn≤=，m=n时取等号，∴≥4，即的最小值为4，故答案为：4．13．（5分）设x，y满足约束条件：且z=x﹣ay的最小值为7，则a=﹣3．【解答】解：不等式组所对应的可行域为两直线相交所称的角形区域，联立，可解得，故最小值在点（，）处取到，∴﹣a•=7，解得a=﹣3或5，经验证当a=5时，目标函数取最大值，不合题意故答案为：﹣314．（5分）已知f（x，y）=（x﹣y）2+（4++）2，则f（x，y）的最大值为．【解答】解：f（x，y）=（x﹣y）2+（4++）2，表示两点A（x，4+）和B（y，﹣）的距离的平方．由A在上半圆x2+（y﹣4）2=1运动，B在下半椭圆+n2=1上运动，由对称性可得只要求得圆心C（0，4）到椭圆上的点的距离最大值．设半椭圆上P（m，n）（﹣1≤n≤0），即有|CP|===，当n=﹣时，|CP|取得最大值3，则有f（x，y）的最大值为（3+1）2=28+6．故答案为：．二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15．（14分）已知p：|x+1|≤2，q：（x+1）（x﹣m）≤0．（1）若m=4，命题“p且q”为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）m=4时，p：﹣3≤x≤1，q：﹣1≤x≤4，若p且q为真，则p为真，q为真，∴x的范围是：{x|﹣1≤x≤1}；（2）∵p：{x|﹣3≤x≤1}，若m≤﹣1，则q：{x|m≤x≤﹣1}，又p是q的必要不充分条件，即q⊂b，∴﹣3≤m≤﹣1，若m＞﹣1，则q：{x|﹣1≤x≤m}，∴﹣1＜m≤1，综上：m的范围是[﹣3，1]．16．（14分）椭圆C1：=1（a＞b＞0）过点，离心率e=，A为椭圆C1上一点，B为抛物线y2=x上一点，且A为线段OB的中点．（1）求椭圆C1的方程；（2）求直线AB的方程．【解答】解：（1）据题意得：又a2=b2+c2，解得，所以椭圆方程为．（2）设A点坐标为（x0，y0），则B点坐标为（2x0，2y0），分别代入椭圆和抛物线方程得，消去y0并整理得：，所以或．当时，；当时，y0无解．所以直线AB的方程为．17．（15分）已知二次函数f（x）=ax2﹣2x+a（a≠0）（1）当a=﹣1时，求不等式f（x）＜0的解集；（2）若不等式f（x）≥0对x∈（0，+∞）恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a=﹣1时，不等式为﹣x2﹣2x﹣1＜0，即（x+1）2＞0，所以x≠﹣1，所以所求不等式的解集为{x|x≠﹣1}；（2）不等式为：ax2﹣2x+a≥0，即，因为该不等式对x∈（0，+∞）恒成立，所以，因为，当且仅当x=1取最大值1．所以a的取值范围为a≥1．18．（15分）今年的国庆假期是实施免收小型客车高速通行费后的第一个重大节假日，有一个群名为“天狼星”的自驾游车队．该车队是由31辆车身长都约为5m （以5m计算）的同一车型组成的，行程中经过一个长为2725m的隧道（通过该隧道的车速不能超过25m/s），匀速通过该隧道，设车队的速度为xm/s，根据安全和车流的需要，当0＜x≤12时，相邻两车之间保持20m的距离；当12＜x≤25时，相邻两车之间保持（）m的距离．自第1辆车车头进入隧道至第31辆车车尾离开隧道所用的时间为y （s）．（1）将y表示为x的函数；（2）求该车队通过隧道时间y的最小值及此时车队的速度．【解答】解：（1）∵当0＜x≤12时，相邻两车之间保持20m的距离；当12＜x≤25时，相邻两车之间保持（）m的距离，∴当0＜x≤12时，y==；当12＜x≤25时，y==5x++10∴y=；（2）当0＜x≤12时，y=，∴x=12m/s时，y min=290s；当12＜x≤25时，y=5x++10≥2 +10=250s当且仅当5x=，即x=24m/s时取等号，即x=24m/s时，y min=250s∵290＞250，∴x=24m/s时，y min=250s．答：该车队通过隧道时间y的最小值为250s及此时该车队的速度为24m/s．19．（16分）设x，y为正实数，a=，c=x+y．（1）试比较a、c的大小；（2）若p=1，试证明：以a，b，c为三边长一定能构成三角形；（3）若对任意的正实数x，y，不等式a+b＞c恒成立，试求p的取值范围．【解答】解：（1）∵a2=x2+xy+y2，c2=x2+2xy+y2 ，∴c2﹣a2=xy＞0，∴c＞a．（2）若p=1，∵a=≥＞=b，∴c==＞a，∴c为最大边，又（a+b）2=x2+2xy+y2+2ab＞x2+2xy+y2=c2 ，∴a+b＞c，从而以a，b，c为三边长一定能构成三角形．（3）∵a+b＞c，即，∴．∵，∴．20．（16分）设直线x+y=1与椭圆=1（a＞b＞0）相交于A，B两点．（1）若a=，求b的范围；（2）若OA⊥OB，且椭圆上存在一点P其横坐标为，求点P的纵坐标；=，求椭圆方程．（3）若OA⊥OB，且S△OAB【解答】解：（1）将直线x+y=1代入椭圆方程，消去y，得（b2+a2）x2﹣2a2x+a2﹣a2b2=0，x1+x2=，x1x2=，因为直线与椭圆交于两点，故△=4a4﹣4（b2+a2）（a2﹣a2b2）＞0，代入a=，解得，且a＞b，所以b的范围为；（2）将直线x+y=1代入椭圆方程，可得：，由OA⊥OB可得x1x2+y1y2=0，解得a2+b2=2a2b2即，代x0=到椭圆方程得，即，所以点P的纵坐标为．（3）设直线x+y=1与坐标轴交于C、D，则，又△AOB，△COD两个三角形等高，故，所以，求得所以，所以椭圆方程为．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型： 图形特征：60°60°60°45°45°45°运用举例：1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；xyB CAO2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．ls 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不与点B，C重合），过D作∠ADE=45°，DE交AC于E．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．EB4.如图，已知直线112y x=+与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线212y x bx c=++与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为(1，0)。
2014-2015高二(上)数学期中试卷及答案
2014-2015学年第一学期高二期中考试数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1．把命题“012,0200<+-∈∃x x R x ”的否定写在横线上__________． 2的倾斜角是 ．3．已知一个球的表面积为264cm π，则这个球的体积为4． “两条直线不相交”是“两条直线是异面直线”的 条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中的一个）5．若直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0与直线l 2：x ＋(a －1)y ＋(a 2－1)＝0平行，则实数a ＝________. 6．若圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，则当圆的面积最大时，圆心坐标为________． 7．已知圆锥的底面半径是3，高为4，这个圆锥的侧面积是________． 8．经过点(2,1)A 且到原点的距离等于2的直线方程是____________.9．设,αβ为使互不重合的平面，,m n 是互不重合的直线，给出下列四个命题： ①//,,//m n n m αα⊂若则 ②,,//////m n m n ααββαβ⊂⊂若，，则 ③//,,//m n m n αβαβ⊂⊂若，则 ④若,,,,m n n m n αβαβαβ⊥⋂=⊂⊥⊥则； 其中正确命题的序号为 ．10． 圆心在直线02=-y x 上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为32，则圆C 的标准方程为 .11． 在正三棱柱111C B A ABC -中，各棱长均相等，C B BC 11与的交点为D ，则AD 与平面C C BB11所成角的大小是_______．12．若圆C:222430x y x y ++-+=关于直线260ax by ++=对称，则由点(,)a b 向圆所作的切线长的最小值是13．如图是一个正方体的表面展开图，A 、B 、C 均为棱的中点，D 是顶点，则在正方体中，异面直线AB 和CD 的夹角的余弦值为 。
2014-2015学年江苏省盐城市东台市安丰中学高二上学期期中数学试卷与解析
2014-2015学年江苏省盐城市东台市安丰中学高二（上）期中数学试卷一、填空题（本题共14小题，每小题5分，合计70分．请把答案直接填写在答题纸相应的位置上.）1．（5分）不等式＞0的解集为．2．（5分）若命题“对c≤﹣x∈R，x2+4cx+1＞0”是假命题，则实数c的取值范围是．3．（5分）从1、2、3、4中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于20的概率为．4．（5分）某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为：x，8，9，10，11．已知这组数据的平均数为10，则其方差为．5．（5分）如果执行如图所示的流程图，那么输出的S=．6．（5分）已知△ABC的三个内角A、B、C，“A＞B”是“sinA＞sinB”的条件．（选填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要）7．（5分）在区间[﹣5，5]内随机地取出一个数a，则使得a∈{a|﹣a2+a+2＞0}的概率为．8．（5分）已知椭圆：的焦距为4，则m为．9．（5分）已知变量x、y满足，则z=2x+y的最大值．10．（5分）已知正数x，y满足x+ty=1，t是给定的正实数．若+的最小值为16，则正实数t的值是．11．（5分）已知函数f（x）=，则满足f（x）≥1的x的取值范围是．12．（5分）已知椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），过椭圆右焦点且与x轴垂直的直线与椭圆交于P、Q两点，x轴一点M（，0），若△PQM为正三角形，则椭圆的离心率等于．13．（5分）不等式a2+8b2≥λb（a+b）对于任意的a，b∈R恒成立，则实数λ的取值范围为．14．（5分）设，若对任意的正实数x，y，都存在以a，b，c为三边长的三角形，则实数p的取值范围是．二、解答题（本题共6小题，合计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（14分）设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，q：实数x满足．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．16．（14分）已知函数f（x）=，x∈[1，+∞）．（1）当a=4时，求函数f（x）的最小值；（2）若对任意x∈[1，4]，f（x）＞6恒成立，试求实数a的取值范围．17．（14分）从参加高二年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在[70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）根据上面补充完整的频率分布直方图估计出本次考试的平均分；（3）用分层抽样的方法在分数段为[40，60）的学生中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人在分数段[50，60）的概率．18．（16分）在直角坐标系中，设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右两个焦点分别为F1，F2．过右焦点F2且与x轴垂直的直线l与椭圆C相交，其中一个交点为M（，1）．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的一个顶点为B（0，﹣b），直线BF2交椭圆C于另一点N，求△F1BN的面积．19．（16分）某市出租汽车的收费标准如下：在3km以内（含3km）的路程统一按起步价7元收费，超过3km以外的路程按2.4元/km收费．而出租汽车一次载客的运输成本包含以下三个部分：一是固定费用约为2.3元；二是燃油费，约为1.6元/km；三是折旧费，它与路程的平方近似成正比，且当路程为100km时，折旧费约为0.1元．现设一次载客的路程为xkm．（Ⅰ）试将出租汽车一次载客的收费F与成本C分别表示为x的函数；（Ⅱ）若一次载客的路程不少于2km，则当x取何值时，该市出租汽车一次载客每km的收益y（y=）取得最大值？20．（16分）设A1、A2与B分别是椭圆E：的左右顶点与上定点，直线A2B与圆C：x2+y2=1相切．（1）求证：；（2）P是椭圆E上异于A1、A2的一点，直线PA1、PA2的斜率之积为﹣，求椭圆E的方程；（3）直线l与椭圆E交于M、N两点，且，试判断直线l与圆C的位置关系，并说明理由．2014-2015学年江苏省盐城市东台市安丰中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本题共14小题，每小题5分，合计70分．请把答案直接填写在答题纸相应的位置上.）1．（5分）不等式＞0的解集为（1，3）．【解答】解：不等式＞0即为（3﹣x）（x﹣1）＞0，即（x﹣3）（x﹣1）＜0，即或，解得，x∈∅或1＜x＜3．则解集为（1，3）．故答案为：（1，3）．2．（5分）若命题“对c≤﹣x∈R，x2+4cx+1＞0”是假命题，则实数c的取值范围是c≤﹣．【解答】解：∵当对∀x∈R，x2+4cx+1＞0为真命题时，只需△=16c2﹣4＜0，解得，∵x∈R，x2+4cx+1＞0”是假命题，∴或又∵c≤﹣∴c≤﹣．故答案为：c≤﹣．3．（5分）从1、2、3、4中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于20的概率为．【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生所包含的事件是从4个数字中选两个数字进行排列，共有A42=12种结果，两位数大于20的为：21，23，24，31，32，34，41，42，43共9种结果，因此概率为．故答案为：4．（5分）某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为：x，8，9，10，11．已知这组数据的平均数为10，则其方差为2．【解答】解：∵五个数x，8，9，10，11的平均数为10，∴（x+8+9+10+11）=10∴x=12∴五个数的方差为：s2=[（12﹣10）2+（8﹣10）2+（9﹣10）2+（10﹣10）2+（11﹣10）2]=2故答案为：25．（5分）如果执行如图所示的流程图，那么输出的S=15．【解答】解：执行流程图，有i=1，S=0满足条件i＜6，有S=1，i=2；满足条件i＜6，有S=3，i=3；满足条件i＜6，有S=6，i=4；满足条件i＜6，有S=10，i=5；满足条件i＜6，有S=15，i=6；此时不满足条件i＜6，退出执行循环体，输出S的值为15．故答案为：15．6．（5分）已知△ABC的三个内角A、B、C，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件．（选填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要）【解答】解：在三角形中，A＞B⇔sinA＞sinB，故答案为：充要．7．（5分）在区间[﹣5，5]内随机地取出一个数a，则使得a∈{a|﹣a2+a+2＞0}的概率为．【解答】解：∵a∈{a|﹣a2+a+2＞0}∴a∈（﹣1，2）区间（﹣1，2]的长度为2﹣（﹣1）=3，区间[﹣5，5]的长度为5﹣（﹣5）=10，∴满足题意的概率为P=故答案为：．8．（5分）已知椭圆：的焦距为4，则m为4或8．【解答】解：由题意，焦点在x轴上，10﹣m﹣m+2=4，所以m=4；焦点在y轴上，m﹣2﹣10+m=4，所以m=8，综上，m=4或8．故答案为：m=4或8．9．（5分）已知变量x、y满足，则z=2x+y的最大值12．【解答】解：由题意作出其平面区域，将z=2x+y化为y=﹣2x+z，z相当于直线y=﹣2x+z的纵截距，由可解得，x=5，y=2；故z=2x+y的最大值为2×5+2=12；故答案为：12．10．（5分）已知正数x，y满足x+ty=1，t是给定的正实数．若+的最小值为16，则正实数t的值是9．【解答】解：由题意可得+=（+）（x+ty）=1+t++≥1+t+2=1+t+2=16，解得t=9故答案为：911．（5分）已知函数f（x）=，则满足f（x）≥1的x的取值范围是（﹣∞，2] ．【解答】解：由题意，或∴x≤1或1＜x≤2∴x≤2故答案为：（﹣∞，2]．12．（5分）已知椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），过椭圆右焦点且与x轴垂直的直线与椭圆交于P、Q两点，x轴一点M（，0），若△PQM为正三角形，则椭圆的离心率等于．【解答】解：∵椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），过椭圆右焦点且与x轴垂直的直线与椭圆交于P、Q两点∴P（c，），Q（c，），∵△PQM为正三角形∴﹣c=（），∵a2=b2+c2，∴=，故答案为：，13．（5分）不等式a2+8b2≥λb（a+b）对于任意的a，b∈R恒成立，则实数λ的取值范围为[﹣8，4] ．【解答】解：∵a2+8b2≥λb（a+b）对于任意的a，b∈R恒成∴a2+8b2﹣λb（a+b）≥0对于任意的a，b∈R恒成即a2﹣（λb）a+（8﹣λ）b2≥0恒成立，由二次不等式的性质可得，△=λ2+4（λ﹣8）=λ2+4λ﹣32≤0∴（λ+8）（λ﹣4）≤0解不等式可得，﹣8≤λ≤4故答案为：[﹣8，4]14．（5分）设，若对任意的正实数x，y，都存在以a，b，c为三边长的三角形，则实数p的取值范围是（1，3）．【解答】解：对于正实数x，y，由于≥=，c=x+y≥2，，且三角形任意两边之和大于第三边，∴+2＞，且+＞2，且+2＞．解得1＜p＜3，故实数p的取值范围是（1，3），故答案为：（1，3）．二、解答题（本题共6小题，合计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（14分）设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，q：实数x满足．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由x2﹣4ax+3a2＜0，得（x﹣3a）（x﹣a）＜0．又a＞0，所以a＜x＜3a．当a=1时，1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3．…（2分）由，得2＜x≤3，即q为真时实数x的取值范围是2＜x≤3．…（4分）若p∧q为真，则p真且q真，…（5分）所以实数x的取值范围是2＜x＜3．…（7分）（2）￢p是￢q的充分不必要条件，即￢p⇒￢q，且￢q推不出￢p．即q是p的充分不必要条件，则，解得1＜a≤2，所以实数a的取值范围是1＜a≤2．…（14分）16．（14分）已知函数f（x）=，x∈[1，+∞）．（1）当a=4时，求函数f（x）的最小值；（2）若对任意x∈[1，4]，f（x）＞6恒成立，试求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由a=4，得f（x）==x++2≥6，当x=2时，取得等号．即当x=2时，f（x）min=6；（2）x∈[1，4]，＞6恒成立，即x∈[1，4]，x2+2x+a＞6x恒成立．等价于a＞﹣x2+4x，当x∈[1，4]时恒成立，令g（x）=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，x∈[1，4]，∴a＞g（x）max=g（2）=4，即．∴a的取值范围是a＞4．17．（14分）从参加高二年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在[70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）根据上面补充完整的频率分布直方图估计出本次考试的平均分；（3）用分层抽样的方法在分数段为[40，60）的学生中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人在分数段[50，60）的概率．【解答】解：（1）分数在[70，80）内的频率为1﹣（0.010+0.015+0.015+0.025+0.005）×10=1﹣0.7=0.3．又=0.03，补出的图形如下图所示．…（4分）（2）平均分为：=45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71．答：估计这次考试的平均分是71．（3）由题意，[40，50）分数段的人数为0.10×60=6人；[50，60）分数段的人数为0.15×60=9人；在[40，60）的学生中抽取一个容量为5的样本，在[40，50）分数段抽取2人，分别记为m，n；[50，60）分数段抽取3人，分别记为a，b，c，设从样本中任取2人，至少有1人在分数段[50，60）为事件A，则基本事件空间包含的基本事件有（m，n）、（m，a）、（m，b）、（m，c）、…、（b，c）共10种，则事件A包含的基本事件有（m，a）、（m，b）、（m，c）、（n，a）、（n，b）、（n，c）、（a，b）、（a，c）、（b，c）共9种，所以P（A）==0.9．…（14分）18．（16分）在直角坐标系中，设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右两个焦点分别为F1，F2．过右焦点F2且与x轴垂直的直线l与椭圆C相交，其中一个交点为M（，1）．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的一个顶点为B（0，﹣b），直线BF2交椭圆C于另一点N，求△F1BN的面积．【解答】解：（1）由椭圆定义可知|MF1|+|MF2|=2a．由题意|MF2|=1，∴|MF1|=2a﹣1．又由Rt△MF1F2可知，a＞0，∴a=2，又a2﹣b2=2，得b2=2．∴椭圆C的方程为．（2）直线BF2的方程为．由得点N的纵坐标为．又，∴．19．（16分）某市出租汽车的收费标准如下：在3km以内（含3km）的路程统一按起步价7元收费，超过3km以外的路程按2.4元/km收费．而出租汽车一次载客的运输成本包含以下三个部分：一是固定费用约为2.3元；二是燃油费，约为1.6元/km；三是折旧费，它与路程的平方近似成正比，且当路程为100km时，折旧费约为0.1元．现设一次载客的路程为xkm．（Ⅰ）试将出租汽车一次载客的收费F与成本C分别表示为x的函数；（Ⅱ）若一次载客的路程不少于2km，则当x取何值时，该市出租汽车一次载客每km的收益y（y=）取得最大值？【解答】解：（Ⅰ）F（x）==设折旧费z=kx2，将（100，0.1）代入，得0.1=1002k，解得k=所以C（x）=2.3+1.6x+x2；（Ⅱ）因为y=，所以y=①当x＞3时，由基本不等式，得y≤0.8﹣2=0.79（当且仅当x=500时取等号）②当2≤x≤3时，由y在[2，3]上单调递减，得y max=0.75﹣＜0.79答：该市出租汽车一次载客路程为500km时，每km的收益y取得最大值．20．（16分）设A 1、A2与B分别是椭圆E：的左右顶点与上定点，直线A2B与圆C：x2+y2=1相切．（1）求证：；（2）P是椭圆E上异于A1、A2的一点，直线PA1、PA2的斜率之积为﹣，求椭圆E的方程；（3）直线l与椭圆E交于M、N两点，且，试判断直线l与圆C的位置关系，并说明理由．【解答】（1）证明：∵A1、A2与B分别是椭圆E：的左右顶点与上定点，∴A1（﹣a，0），A2（a，0），B（0，b），∴直线A2B的方程是，∵直线A2B与圆C：x2+y2=1相切，∴=1，故．（2）解：设P（x0，y0），则直线PA1，PA2的斜率之积为：===﹣，，∵，∴，结合，得，∴椭圆E的方程为．（3）解：设点M（x 1，y1），N（x2，y2），①若直线l的斜率存在，设直线l为y=kx+m，由y=kx+m代入，得，化简，得（b2+a2k2）x2+2a2kmx+a2m2﹣a2b2=0（△＞0），∴，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=+km（﹣）+m2=，∵，∴x1x2+y1y2=0．代入，得（a2+b2）m2﹣a2b2（1+k2）=0，∵，∴m2=1+k2，圆心到直线l的距离为d=，所以，直线l与圆C相切．②若直线l的斜率不存在，设直线l：x=n，代入，得y=，∴|n|=b，∴a2n2=b2（a2﹣n2），化简整理可得n2=，又由（1）中的结论可知，，即=1，∴n2=1，解得n=±1，所以直线l与圆C相切．。
江苏省盐城中学-2015学年高二上学期10月月考试卷 数学 Word版含答案.pdf
盐城中学高二年级随堂测验（2014.10） 数 学 试 题 命题人：翟正平 蔡广军 审核人： 姚动 一、填空”的否定是 . 2. 椭圆的焦距是 8 . 3. 已知，，则是的 必要不充分 条件. （在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选择一个填写） 4.有下列个命题 其中真命题为_____（1）（3）_____. 若变量x，y满足约束条件则目标函数的最值是______． ,离心率为,则其标准方程为 . 7. 设,,且恒成立,则的最大值为 4 . 8. 已知一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为 . 9. 已知，则不等式的解集为 . 10. 已知正数满足，则的最小值是 11 . 11. 设椭圆的左、右焦点分别为，是上的点，，，则的离心率为 . 12. 若关于的不等式的解集为单元素集，则的值为 或 . 13. 已知不等式的解集为M，M［1，4］，实数a的取值范围 . 14.已知的三边长依次成等差数列，，则的取值范围是 ． 二、解答的中心在原点,焦点在轴上,且过点和. (1) 求椭圆的方程; (2) 若椭圆与椭圆有相同的焦点,且过点,求椭圆的方程. 16．已知 （1）若，命题“且”为真，，求实数的取值范围； （2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 解（1） （2） 17．某工厂某种航空产品的年固定成本为250万元，每生产件，需另投入成本为，当年产量不足80件时，（万元）.当年产量不小于80件时，（万元）.每件商品售价为50万元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完. （1）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式； （2）年产量为多少件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？ 产量为100件时，利润最大为为1000万元. 18． 已知椭圆：和圆：，分别是椭圆的左、右两焦点，过且倾斜角为的动直线交椭圆于两点，交圆于两点（如图所示，点在轴上方）．当时，弦的长为． （1）求圆与椭圆的方程； （2）若成等差数列，求直线的方程. .解：（1）取PQ的中点D，连OD，OP由，知 椭圆C的方程为：，，（2）设，， 的长成等差数列， 设，由得， ，. (1)若,且不等式在上恒成立,求证:； (2)若,且不等式在上恒成立,求实数的取值范围； (3)设,,求不等式在上恒成立的充要条件. 20.已知函数,． （1）当时，求的最小值； （2）若函数图象上的点都在不等式组表示的平面区域内，求实数的取值范围； （3）若函数在上有零点，求的最小值. 解：（1） （2）由题意可知，在上恒成立，把根式换元之后容易计算出； （3）=0 即，令,方程为， 设，， 当，即时，只需，此时，； 当，即时，只需，即，此时． 的最小值为. 。
盐城中学高二上学期期中考试试卷数学(理)含答案
江苏省盐城中学2013—2014学年度第一学期期中考试高二年级数学(理科)试题(2013.11 )命题人：蔡广军盛维清审题人：徐瑢试卷说明：本场考试时间 120分钟，总分150分.一、填空题：(本大题共14小题,每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定 位置上) 1 .命题“ -x • R , x 2 _ 0 ”的否定是 ▲ .2 .抛物线x 2 =4y 的焦点坐标是 ▲.3 .已知点A(3, -2,1), B(-2,4,0)，则向量AB 的坐标为▲ .24.双曲线x 2 -丄1的渐近线方程为 ▲ .45. “两条直线不相交”是“两条直线是异面直线”的▲ 条件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不必要又不充分”中的一个)6. 已知直线11, 12的方向向量分别为 a =(1,2, -2),=(-2,3,k)，若h _ I ?，则实数k =▲ .x _1I7.设 x , y ^R 且 <x —2y +3A 0，贝U z = x + 2y 的最小值是▲ .y 兰x& 设集合 A={xx 2 —2x —3 v0}, B ={x2x ^仆，贝y A “ B =▲ .9. 已知动点M 到点A(2, 0 的距离等于它到直线x = -1的距离，则点M 的轨迹方程是 ▲ ____ .2110. 已知正数x, y 满足x 2y =1，贝U的最小值为 ▲.x y2 211. P 为椭圆 —--1上的点，h,F 2是其两个焦点，若• RPF 2 =30；则 汗1卩卩2的面积5 4则A MB M 的最小值为▲2 213.过椭圆C:耸上 -1(a b 0)的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一点B ，且点Ba b是 ____ ▲12.已OOA = (1,2,3), OB =(2,1,2) , 0C= (1,1,2),若点 M 在直线 OC 上运动,1 1在X轴上的射影恰为右焦点F ,若—：:k ：：•—，则椭圆的离心率e的取值范围是▲3 2 --------------b214. 已知函数f (x) =X2 bx c(b,c R)，若b、c满足c_—1，且f (c) - f (b)乞M (c2 -b2)4恒成立，则M的最小值为▲.二、解答题：(本大题共6小题，计80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内)2 215. (本小题12分)已知命题p :任意x • R, x • 1 _ a，命题q :函数f (x) =x - 2ax - 1在(-：：,-1]上单调递减.(1)若命题p为真命题，求实数a的取值范围；(2)若p和q均为真命题，求实数a的取值范围.16. (本小题12分)已知顶点在原点0,焦点在x轴上的抛物线过点(3八6).(1 )求抛物线的标准方程；(2)若抛物线与直线y =x-2交于A、B两点，求证：k OA k OB - -1.17. (本小题13分)如图，四棱锥S- ABCD的底面为正方形，SD丄平面ABCD，SD=AD=2，请建立空间直角坐标系解决下列问题.(1)求证：AC _ SB ；(2)求直线SB与平面ADS所成角的正弦值.S ，218. (本小题13分)某工厂拟建一座平面图为矩形，面积为200m的三段式污水处理池，池高为1 m ,如果池的四周墙壁的建造费单价为400元/m2，池中的每道隔墙厚度不计，面积只计一面，隔墙的建造费单价为248元/m2，池底的建造费单价为80元/ m2，则水池的长、宽分别为多少米时，污水池的造价最低？最低造价为多少元？19.(本小题15分)在长方体ABCD -ABQ.D,中，AA,二AD =1,E为线段CD中点.(1)求直线B“E与直线AD1所成的角的余弦值；(2)若AB = 2,求二面角A —B r E-A r的大小；(3)在棱AA上是否存在一点P ,使得DP//平面BAE ?若存在，求AP的长；若不存在，说B C2 22 XV20 .（本小题15分）已知抛物线y =8x与椭圆一2 2=1有公共焦点F ,且椭圆过点a bD （-、2 .3）.（1）求椭圆方程；（2）点A、B是椭圆的上下顶点，点C为右顶点，记过点A、B、C的圆为O M，过点D作O M 的切线丨，求直线l的方程；（3）过椭圆的上顶点作互相垂直的两条直线分别交椭圆于另外一点P、Q，试问直线PQ是否经过定点，若是，求出定点坐标；若不是，说明理由盐城中学2013-2014高二年级期中考试数学（理科）答题纸2013、11二、解答题（共90分）15、（12 分）解：（1）当p为真命题时有x2丄a-1 ,所以a -1岂0,16、（12 分）解：设抛物线的标准方程为：y2 =2px,因为抛物线过点（3, 6）,所以6 =2p 3,解得p =1,所以抛物线的标准方程为：y2 =2x.（2）设A、B两点的坐标分别为（％ , yj, （x2, y2），由题意知: y2二2x y = X _2,消去y得：x2-6x=0 ,根据韦达定理知：x1 x2 = 6, x-! x^ 4 ,所以，y〃2 任-4)(X2-4) X1X2 -4(X1 X2)164 一24 164解：建立以D为坐标原点，DA,DC,DS分别为x,y,z轴的空间直角坐标系, 贝V A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),S(0,0,2),AC =(-2,2,0),SB = (2,2,-2),AC SB = -2 2 2 2 0 (-2) =0 ,AC _ SB .(2)取平面ADS的一个法向量为DC =(0,2,0),则cos ： SB, DC =SB DC |SB||DC |所以直线SB与平面ADS所成角的正弦值为18、（13 分）解：设污水池的宽为 xm ，则长为200 m ，水池的造价为 y 元，则x由题意知：定义域为 x ：= （0, •：：）,y = 80 汇 200 + x x 400 x 2 + 200 x 400 x 2 + x 汇 248 汇 2 x160000=16000 1296x ---------x _16000 2J296 160000 =16000 2 36 400 = 44800此时长为18m ,答：污水池的长宽分别为 18m, 100 m 时造价最低，为44800元.919、（15 分）a解：门）则 A （0,0,0）, D （0,1,0）, D 1（0,1,1）,E （2,1,0）, B .（a,0,1）,Tfa一 aaa0111110110当且仅当1296x 二160000，即xx100时，取“=”, 9 座位号20、(15 分)23解：(1)F(2,0),则c=2,又22 23=1，得a2a a -42 2•••所求椭圆方程为X ^-1 .8 4(2) M ^-^,0) ,O M^x—^y + y22 2直线I斜率不存在时，x - - 2 ,。
江苏省盐城中学南校区高二数学上学期期中试卷(含解析)
江苏省盐城中学南校区2014-2015学年高二上学期期中数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1．（5分）命题“∀x∈R，x2+x+1≥0”的否定是．2．（5分）双曲线﹣=1渐近线方程为．3．（5分）若点A（1，1），B（2，﹣1）位于直线x+y﹣a=0的两侧，则a的取值范围为．4．（5分）命题“若a=0，则ab=0”的逆命题是命题．（在“真”或“假”中选一个填空）5．（5分）已知不等式ax2+bx﹣1＞0的解集是{x|3＜x＜4}，则a+b=．6．（5分）曲线y=x2在（1，1）处的切线方程是．7．（5分）如果p：x=2，q：x2=4，那么p是q的．（在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要”中选择一个填空）8．（5分）不等式ax2+x+1＞0（a≠0）恒成立，则实数a的取值范围为．9．（5分）已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，焦点在直线3x﹣4y﹣12=0上，则该抛物线的方程为．10．（5分）已知抛物线关于x轴对称，顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y），若点M到抛物线焦点的距离为3，则|OM|=．11．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）与双曲线有相同的焦点为F，A是两条曲线的一个交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率是．12．（5分）已知直线kx﹣y+1﹣k=0恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣1=0（m，n＞0）上，则的最小值为．13．（5分）设x，y满足约束条件：，则z=x+2y的最小值为．14．（5分）记min{a，b}为a，b两数中的最小值，当正数x，y变化时，t=min{x，}也在变化，则t的最大值为．二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15．（14分）已知p：|x+1|≤2，q：（x+1）（x﹣m）≤0．（1）若m=4，命题“p且q”为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．16．（14分）椭圆C1：=1（a＞b＞0）过点，离心率e=，A为椭圆C1上一点，B为抛物线y2=x上一点，且A为线段OB的中点．（1）求椭圆C1的方程；（2）求直线AB的方程．17．（15分）已知不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）解不等式（t为常数）18．（15分）已知二次函数f（x）=ax2﹣2x+a（a≠0）．（1）当a=﹣1时，求不等式f（x）＜0的解集；（2）若不等式f（x）＞0无解，求a的取值范围；（3）若不等式f（x）≥0对x∈（0，+∞）恒成立，求a的取值范围．19．（16分）今年的国庆假期是实施免收小型客车高速通行费后的第一个重大节假日，有一个群名为“天狼星”的自驾游车队．该车队是由31辆车身长都约为5m（以5m计算）的同一车型组成的，行程中经过一个长为2725m的隧道（通过该隧道的车速不能超过25m/s），匀速通过该隧道，设车队的速度为xm/s，根据安全和车流的需要，当0＜x≤2时，相邻两车之间保持20m的距离；当12＜x≤25时，相邻两车之间保持（）m的距离．自第1辆车车头进入隧道至第31辆车车尾离开隧道所用的时间为y（s）．（1）将y表示为x的函数；（2）求该车队通过隧道时间y的最小值及此时车队的速度．20．（16分）设直线x+y=1与椭圆=1（a＞b＞0）相交于A，B两点．（1）若a=，求b的范围；（2）若OA⊥OB，且椭圆上存在一点P其横坐标为，求点P的纵坐标；（3）若OA⊥OB，且S△OAB=，求椭圆方程．江苏省盐城中学南校区2014-2015学年高二上学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1．（5分）命题“∀x∈R，x2+x+1≥0”的否定是∃x∈R，x2+x+1＜0．考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．解答：解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x∈R，x2+x+1≥0”的否定是：∃x∈R，x2+x+1＜0；故答案为：∃x∈R，x2+x+1＜0．点评：本题考查命题的否定特称命题与全称命题的关系，基本知识的考查．2．（5分）双曲线﹣=1渐近线方程为y=±x．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：在双曲线的标准方程中，把1换成0，即得此双曲线的渐近线方程．解答：解：在双曲线的标准方程中，把1换成0，即得﹣=1的渐近线方程为﹣=0，化简可得y=±x．故答案为：y=±x．点评：本题以双曲线为载体，考查双曲线的简单性质，解题的关键是正确运用双曲线的标准方程．3．（5分）若点A（1，1），B（2，﹣1）位于直线x+y﹣a=0的两侧，则a的取值范围为（1，2）．考点：二元一次不等式的几何意义．专题：不等式的解法及应用．分析：根据点与直线的位置关系，即可．解答：解：∵点A（1，1），B（2，﹣1）位于直线x+y﹣a=0的两侧，∴（1+1﹣a）（2﹣1﹣a）＜0，即（2﹣a）（1﹣a）＜0，则（a﹣1）（a﹣2）＜0，即1＜a＜2，故答案为：（1，2）点评：本题主要考查二元一次不等式的几何意义，以及一元二次不等式的解法是解决本题的关键．4．（5分）命题“若a=0，则ab=0”的逆命题是假命题．（在“真”或“假”中选一个填空）考点：四种命题．专题：计算题；简易逻辑．分析：写出命题的逆命题，再判断其真假即可．解答：解：命题“若a=0，则ab=0”的逆命题是如果ab=0，那么a=0，是假命题．故答案为：假．点评：本题主要考查了逆命题的定义以及真假命题的判定，要求学生对基础知识牢固掌握．5．（5分）已知不等式ax2+bx﹣1＞0的解集是{x|3＜x＜4}，则a+b=．考点：一元二次不等式与一元二次方程．专题：计算题；转化思想．分析：不等式ax2+bx﹣1＞0的解集是{x|3＜x＜4}，故3，4是方程ax2+bx﹣1=0的两个根，由根与系数的关系求出a，b，既得．解答：解：由题意不等式ax2+bx﹣1＞0的解集是{x|3＜x＜4}，故3，4是方程ax2+bx﹣1=0的两个根，∴3+4=﹣，3×4=﹣∴a=﹣，b=∴a+b=﹣=故答案为点评：本题考查一元二次不等式与一元二次方程的关系，解答本题的关键是根据不等式的解集得出不等式相应方程的根，再由根与系数的关系求参数的值．注意总结方程，函数，不等式三者之间的联系．6．（5分）曲线y=x2在（1，1）处的切线方程是2x﹣y﹣1=0．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题．分析：求出导函数，令x=1求出切线的斜率；利用点斜式写出直线的方程．解答：解：y′=2x当x=1得f′（1）=2所以切线方程为y﹣1=2（x﹣1）即2x﹣y﹣1=0故答案为2x﹣y﹣1=0点评：本题考查导数的几何意义：在切点处的导数值是切线的斜率．7．（5分）如果p：x=2，q：x2=4，那么p是q的充分不必要条件．（在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要”中选择一个填空）考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：根据充分必要条件的定义，分别证明充分性，必要性，从而得到答案．解答：解：由p：x=2能推出q：x2=4，是充分条件，由q：x2=4推不出p：x=2，不是必要条件，故答案为：充分不必要条件．点评：本题考查了充分必要条件，是一道基础题．8．（5分）不等式ax2+x+1＞0（a≠0）恒成立，则实数a的取值范围为．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由题意和二次函数的性质列出不等式组，求出a的取值范围．解答：解：因为不等式ax2+x+1＞0（a≠0）恒成立，所以，解得a＞，所以实数a的取值范围为，故答案为：．点评：本题考查利用二次函数的性质解决恒成立问题，注意开口方向，属于基础题．9．（5分）已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，焦点在直线3x﹣4y﹣12=0上，则该抛物线的方程为y2=16x或x2=﹣12y．考点：抛物线的标准方程．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出直线3x﹣4y﹣12=0与x轴、y轴的交点分别为（4，0）、（0，﹣3），可得抛物线开口向右或开口向下，由此设出抛物线的标准方程并解出焦参数p的值，即可得到所求抛物线的方程．解答：解：∵直线3x﹣4y﹣12=0交x轴于点（4，0），交y轴于点（0，﹣3），∴抛物线的焦点为（4，0）或（0，﹣3），可得抛物线开口向右或开口向下．①当抛物线的开口向右时，设抛物线方程为y2=2px（p＞0），∵=4，解得p=8，2p=16，∴此时抛物线的方程为y2=16x；②当抛物线的开口向右时，用类似于①的方法可得抛物线的方程为x2=﹣12y．综上所述，所求抛物线的方程为y2=16x或x2=﹣12y．故答案为：y2=16x或x2=﹣12y点评：本题给出抛物线满足的条件，求抛物线的方程．着重考查了双曲线的标准方程与基本概念、抛物线的标准方程及其简单几何性质等知识，属于基础题．10．（5分）已知抛物线关于x轴对称，顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y），若点M到抛物线焦点的距离为3，则|OM|=．考点：抛物线的简单性质；两点间的距离公式．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据题意设抛物线的方程为y2=2px（p＞0），利用抛物线的定义可得|MF|=2+=3，解得p=2，从而得到抛物线的方程．由此算出点M的坐标为（2，），再利用两点间的距离公式即可算出|OM|的值．解答：解：∵抛物线经过点M（2，y），∴抛物线的开口向右．设抛物线的方程为y2=2px（p＞0），∵点M（2，y）到抛物线焦点F的距离为3，∴根据抛物线的定义，得|MF|=2+=3，解得p=2，由此可得抛物线的方程为y2=4x．将点M坐标代入抛物线方程，得y2=4×2=8，解得y=，M坐标为（2，）．∴|OM|==2．故答案为：点评：本题已知抛物线上横坐标为2的点到焦点的距离为3，求该点到抛物线顶点的距离．着重考查了抛物线的定义与标准方程、两点间的距离公式等知识，属于中档题．11．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）与双曲线有相同的焦点为F，A是两条曲线的一个交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率是+1．考点：圆锥曲线的共同特征．专题：计算题．分析：根据抛物线和双曲线有相同的焦点求得p和c的关系，根据AF⊥x轴可判断出|AF|的值和A的坐标，代入双曲线方程与p=2c，b2=c2﹣a2联立求得a和c的关系式，然后求得离心率e．解答：解：∵抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，∴p=2c∵A是它们的一个公共点，且AF垂直x轴设A点的纵坐标大于0∴|AF|=p，∴A（，p）∵点A在双曲线上∴﹣=1∵p=2c，b2=c2﹣a2∴﹣=1化简得：c4﹣6c2a2+a4=0∴e4﹣6e2+1=0∵e2＞1∴e2=3+2∴e=1+故答案为：1+点评：本题主要考查关于双曲线的离心率的问题，属于中档题，本题利用焦点三角形中的边角关系，得出a、c的关系，从而求出离心率．12．（5分）已知直线kx﹣y+1﹣k=0恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣1=0（m，n＞0）上，则的最小值为4．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：把直线方程整理成点斜式，求得A点的坐标，代入直线mx+ny﹣1=0中，求得m+n的值，最后根据基本不等式求得的最小值．解答：解：整理直线方程得y=k（x﹣1）+1，∴点A的坐标为（1，1），∵点A在直线mx+ny﹣1=0（m，n＞0）上，∴m+n﹣1=0，即m+n=1，∴==，∵mn≤=，m=n时取等号，∴≥4，即的最小值为4，故答案为：4．点评：本题主要考查了基本不等式，直线方程问题，解题的关键时求得m+n的值．13．（5分）设x，y满足约束条件：，则z=x+2y的最小值为8．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域，由z=x+2y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线经过点A时，直线y=的截距最小，此时z最小，由，得，即A（2，3）此时z=2+2×3=8．故答案为：8点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．14．（5分）记min{a，b}为a，b两数中的最小值，当正数x，y变化时，t=min{x，}也在变化，则t的最大值为．考点：函数的最值及其几何意义．专题：函数的性质及应用．分析：先推导=≤，再分当x≥与当x≤≤两种情况探讨最值，解答：解：=≤当x≥时，即x≥时，t=min{x，}=，而≤≤x≤，当x≤≤时，也即0＜x≤时，t=min{x，}=x，而x≤，综上t的最大值为故答案为：．点评：本题主要考查了函数的取最值的问题，理解新定义函数的意义，并能运用分类讨论的数学思想去解题是解决问题的关键二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15．（14分）已知p：|x+1|≤2，q：（x+1）（x﹣m）≤0．（1）若m=4，命题“p且q”为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：（1）分别求出关于p，q的不等式，从而得到答案；（2）通过讨论m的范围，结合集合之间的关系，从而得到答案．解答：解：（1）m=4时，p：﹣3≤x≤1，q：﹣1≤x≤4，若p且q为真，则p为真，q为真，∴x的范围是：{x|﹣1≤x≤1}；（2）∵p：{x|﹣3≤x≤1}，若m≤﹣1，则q：{x|m≤x≤﹣1}，又p是q的必要不充分条件，即q⊂b，∴﹣3≤m≤﹣1，若m＞﹣1，则q：{x|﹣1≤x≤m}，∴﹣1＜m≤1，综上：m的范围是．点评：本题考查了复合命题的真假，考查了集合之间的关系，是一道基础题．16．（14分）椭圆C1：=1（a＞b＞0）过点，离心率e=，A为椭圆C1上一点，B为抛物线y2=x上一点，且A为线段OB的中点．（1）求椭圆C1的方程；（2）求直线AB的方程．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）据题意得：又a2=b2+c2，解出a，b即可得到椭圆方程；（2）设A点坐标为（x0，y0），则B点坐标为（2x0，2y0），分别代入椭圆和抛物线方程，解出A点坐标，即可得到AB方程．解答：解：（1）据题意得：又a2=b2+c2，解得，所以椭圆方程为．（2）设A点坐标为（x0，y0），则B点坐标为（2x0，2y0），分别代入椭圆和抛物线方程得，消去y0并整理得：，所以或．当时，；当时，y0无解．所以直线AB的方程为．点评：本题考查椭圆的方程和性质及运用，考查抛物线方程的运用，考查直线方程的求法，考查运算能力，属于基础题．17．（15分）已知不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）解不等式（t为常数）考点：其他不等式的解法．专题：计算题．分析：（Ⅰ）由已知解集的端点可知1和b为方程ax2﹣3x+2=0的两个解，把x=1代入方程求出a的值，进而求出b的值；（Ⅱ）把原不等式分子提取﹣1，在不等式两边同时除以﹣1，不等号方向改变，当t=﹣2时，显然原不等式无解；当t不等于﹣2时，根据两数相除异号得负的取符号法则转化为两个不等式组，讨论t与﹣2的大小，根据不等式组取解集的方法可得到原不等式的解集，综上，得到t取不同值时，原不等式对应的解集．解答：解：（Ⅰ）由题意得：x=1和x=b是方程ax2﹣3x+2=0的两个解，∴把x=1代入方程得：a﹣3+2=0，解得a=1，则方程为x2﹣3x+2=0，即（x﹣1）（x﹣2）=0，可得方程的另一解为2，即b=2，∴a=1，b=2；（Ⅱ）原不等式可化为：，显然当t=﹣2时，不等式不成立，即解集为空集；当t≠﹣2时，原不等式可化为：或，当t＞﹣2时，解得：﹣2＜x＜t；当x＜﹣2时，解得t＜x＜2，综上，原不等式的解集为：．点评：此题考查了其他不等式的解法，利用了转化及分类讨论的数学思想，其中转化的理论依据为两数相乘（除）同号得正、异号得负的取符号法则，此类题是2015届高考中常考的题型．18．（15分）已知二次函数f（x）=ax2﹣2x+a（a≠0）．（1）当a=﹣1时，求不等式f（x）＜0的解集；（2）若不等式f（x）＞0无解，求a的取值范围；（3）若不等式f（x）≥0对x∈（0，+∞）恒成立，求a的取值范围．考点：二次函数的性质．专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：（1）由二次不等式的解法，即可得到；（2）对a讨论，①当a=0时，②当a≠0时，则需，解出不等式，求并集即可；（3）不等式为：ax2﹣2x+a＞0，即，因为该不等式对x∈（0，+∞）恒成立，只要求出右边的最大值即可，注意运用基本不等式．解答：解：（1）当a=﹣1时，不等式为﹣x2﹣2x﹣1＜0，即（x+1）2＞0，所以x≠﹣1，所以所求不等式的解集为{x|x≠﹣1}；（2）不等式为：ax2﹣2x+a＞0．①当a=0时，不等式的解为：x＜0，不合题意；②当a≠0时，则需，所以a≤﹣1．综合得a≤﹣1；（3）不等式为：ax2﹣2x+a＞0，即，因为该不等式对x∈（0，+∞）恒成立，所以，因为，所以a的取值范围为a≥1．点评：本题考查二次函数的性质和二次不等式的解法，考查不等式恒成立转化为求函数最值问题，属于中档题．19．（16分）今年的国庆假期是实施免收小型客车高速通行费后的第一个重大节假日，有一个群名为“天狼星”的自驾游车队．该车队是由31辆车身长都约为5m（以5m计算）的同一车型组成的，行程中经过一个长为2725m的隧道（通过该隧道的车速不能超过25m/s），匀速通过该隧道，设车队的速度为xm/s，根据安全和车流的需要，当0＜x≤2时，相邻两车之间保持20m的距离；当12＜x≤25时，相邻两车之间保持（）m的距离．自第1辆车车头进入隧道至第31辆车车尾离开隧道所用的时间为y（s）．（1）将y表示为x的函数；（2）求该车队通过隧道时间y的最小值及此时车队的速度．考点：函数模型的选择与应用．专题：函数的性质及应用．分析：（1）利用当0＜x≤12时，相邻两车之间保持20m的距离；当12＜x≤25时，相邻两车之间保持（）m的距离，可得分段函数；（2）分段求出函数的最小值，即可得到分段函数的最小值．解答：解：（1）∵当0＜x≤12时，相邻两车之间保持20m的距离；当12＜x≤25时，相邻两车之间保持（）m的距离，∴当0＜x≤12时，y==；当12＜x≤25时，y==5x++10∴y=；（2）当0＜x≤12时，y=，∴x=12m/s时，y min=290s；当12＜x≤25时，y=5x++10≥2 +10=250s当且仅当5x=，即x=24m/s时取等号，即x=24m/s时，y min=250s∵290＞250，∴x=24m/s时，y min=250s．答：该车队通过隧道时间y的最小值为250s及此时该车队的速度为24m/s．点评：本题考查分段函数模型的构建，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力，属于中档题．20．（16分）设直线x+y=1与椭圆=1（a＞b＞0）相交于A，B两点．（1）若a=，求b的范围；（2）若OA⊥OB，且椭圆上存在一点P其横坐标为，求点P的纵坐标；（3）若OA⊥OB，且S△OAB=，求椭圆方程．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）将直线x+y=1代入椭圆方程，消去y，得到x的方程，运用判别式大于0，解出即可；（2）将直线x+y=1代入椭圆方程，消去y，得到x的方程，运用韦达定理，以及两直线垂直的条件，化简整理，即可得到所求值；（3）设直线x+y=1与坐标轴交于C、D，求出CD，再由面积，求得AB，再由弦长公式，求得a，b的方程，再由（2）的结论，即可得到椭圆方程．解答：解：（1）将直线x+y=1代入椭圆方程，消去y，得（b2+a2）x2﹣2a2x+a2﹣a2b2=0，x1+x2=，x1x2=，因为直线与椭圆交于两点，故△=4a4﹣4（b2+a2）（a2﹣a2b2）＞0，代入a=，解得，且a＞b，所以b的范围为；（2）将直线x+y=1代入椭圆方程，可得：，由OA⊥OB可得x1x2+y1y2=0，解得a2+b2=2a2b2即，代x0=到椭圆方程得，即，所以点P的纵坐标为．（3）设直线x+y=1与坐标轴交于C、D，则，又△AOB，△COD两个三角形等高，故，所以，求得所以，所以椭圆方程为．点评：本题考查椭圆方程及运用，考查联立直线方程和椭圆方程，消去未知数，运用韦达定理和判别式大于0，以及弦长公式，考查运算能力，属于中档题．。
江苏省盐城中学2014—2015学年度第二学期期中考试数学试题2015.5
江苏省盐城中学2014—2015学年度第二学期期中考试高一年级数学试题（2015.5）命题人：蔡广军 蔡青 审题人：徐瑢试卷说明：本场考试时间120分钟，总分160分。
一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1．若过()()1,,4,8A a B 两点的直线斜率为1，则实数a 的值为 ▲ ． 2．记直线013=+-y x 的倾斜角为θ，则sin θ= ▲ ．3．若直线40x ay ++=与直线064=++y ax 平行，则实数a 的值为 ▲ ． 4．已知两点()()0,2,2,1B A ，则点A 关于点B 的对称点C 的坐标为 ▲ ．5．若圆C 的圆心为()1,3，且被直线0x y -=截得的弦长为27，则圆C 的方程为 ▲ ．6．若α为锐角且53sin =α，则cos 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值是 ▲ ．7．如图，已知正三棱锥ABC P -中，F E ,分别是PC AC ,的中点，若,2=AB P 到底面ABC 的距离为3，则三棱锥F BEC -的体积为 ▲ ．8．已知△ABC 中，90=C ，4,2,CA CB ==点M 满足AM MB =，则C M A B ⋅= ▲ ．9．设0x 是函数()338xf x x =+-的一个零点，且0(,1),x k k k Z ∈+∈，则k = ▲ ．10．若n m ,是不重合的两直线，,αβ是不重合的两平面，则正确命题的序号是 ▲ ． （1）若αα//,n m ⊂则n m //； （2）若,,m n m β⊥⊥则//n β；（3）若,//,n m n αβ= 则//m α且//m β； （4）若//,,m n m α⊥则n α⊥. 11．已知函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=42sin 2πx x f ，则()x f 在[]π,0上的单调减区间为 ▲ ．12．平面直角坐标系xOy 中，若不经过坐标原点O 且在两坐标轴上截距相等的直线l 与圆()22:32C x y +-=相切，则直线l 的方程为 ▲ ．13.已知动直线430kx y k -+-=与圆2268240x y x y +--+=交于,A B 两点，平面上的动点P 满足：4PA PB +=，则动点P 到坐标原点O 的距离的最大值为 ▲ .14.已知函数()212,1, 1ax a x f x x ax x +-<⎧=⎨-≥⎩，若存在1212,,x x R x x ∈≠，使()()12f x f x =成立，则实数a 的取值范围是 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内.15．（本题14分）如图，正方体1111D C B A ABCD -，求证： （1）//11B A 平面11D ABC ；（2）1BD AC ⊥.16．（本题14分）已知向量()3sin ,,cos ,14a x b x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭.（1）当//a b 时，求tan x 的值；（2）设函数()()322f x a b b =+⋅- ，当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最大值.ACBPFE第7题图D D 1A 1C 1B 1BCA第15题图17．（本题14分）在平面直角坐标系xOy 中，若圆以O 为圆心且过点()1,3P . （1）求圆O 的方程；（2）若直线3:+=kx y l ，圆O 上存在一点M ，使得l 是线段OM 的垂直平分线，求直线l 的斜率k .18．（本题16分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD . （1）求证：平面PAD ⊥平面PCD ；（2）在棱PD 上是否存在一点E ，使得//PB 平面EAC ？如果存在，请找出点E 并加以证明；如果不存在，请说明理由.19．（本题16分）已知圆C 经过点()4,2P -，与直线:23110l x y -+=相切于点()1,3Q -. （1）求过点Q 且与直线l 垂直的直线方程； （2）求圆C 的方程；（3）若直线//m PQ ，直线m 与圆C 交于点B A ,两点且90=∠AOB ，求直线m 的方程.20．（本题16分）已知定义在R 上的偶函数()f x 与奇函数()g x ，满足()()12x f x g x ++=.（1）求()f x 的解析式；（2）若()()()()2221p x f x mg x m m m R =++--∈，设()t g x =,将()p x 表示成关于t 的函数()h t .① 若()21h t m m ≥--对任意[]0,2t ∈恒成立，求实数m 的取值范围；② 若方程()()0h h t =无实根，求实数m 的取值范围.第18题图。
江苏省盐城中学2014-2015学年高二数学上学期12月月考试题 理
数学〔理科〕试题一、填空题〔本大题共14小题,每一小题5分,计70分〕 1.i z 21-=，如此z 的虚部是. 2.)1(,11->++=x x x y ，如此y 的最小值是 3.)2)(1(i i z +-=，如此=z4.双曲线C :)0,(12222>=-b a by a x 的焦距是10，点P 〔3,4〕在C 的渐近线上，如此双曲线C的标准方程是5.在直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥+a x y x y x 040表示平面区域面积是4，如此常数a 的值_______．6.函数)1()(-=x e x f x的图象在点()()1,1f 处的切线方程是.7.C z ∈,12=-i z ，如此1-z 的最大值是 8.数列}{n a 的前n 项和为n S *)(N n ∈，且,211=a n n a n S 2=，利用归纳推理，猜测}{n a 的通项公式为9.x a x x x f ln 212)(2++-=在),2[+∞上是增函数，如此a 的取值范围是. 10.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，如此4S ，84S S -，128S S -成等差数列； 类比以上结论有：设等比数列{}n b 的前n 项积．为n T ，如此4T ，，812T T 成等比数列． 11.函数mx x x x f ++=233)(在)0,2(-∈x 上有极值，如此m 的取值范围是 12.43:222b y x O =+,假设C 上存在点P ,使得过点P引圆O 的两条切线,切点分别为,A B ,满足60APB ∠=︒,如此椭圆C 的离心率取值范围是13.如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点21F F 、在x 轴上，21,A A 为左右顶点，焦距为2，左准线l 与x 轴的交点为M ，2MA ∶11||A F = 6∶1．假设点P 在直线l 上运动，且离心率21<e ，如此12tan F PF ∠的最大值为． 14.函数2342015()12342015x x x x f x x =+-+-++，20154321)(2015432x x x x x x g --+-+-= 设)3()4()(+⋅-=x g x f x F ，且函数()F x 的零点均在区间[],a b 〔a b <，a ，∈b Z 〕内，圆22x y b a +=-的面积的最小值是_______.二、解答题〔本大题共6小题，计90分.〕15. 〔此题总分为14分〕cx bx ax x f ++=23)(在区间[0,1]上是减函数,在区间),1(),0,(+∞-∞上是增函数,又.23)21(-='f(Ⅰ)求)(x f 的解析式;(Ⅱ)假设m x f ≤)(在区间∈x ]2,0[恒成立,求m 的取值范围.16. 〔此题总分为14分〕在平面直角坐标系xoy 中，点A(0，1)，B 点在直线1-=y 上，M 点满足//，⋅=⋅，M 点的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的方程；(2)斜率为1的直线l 过原点O ，求l 被曲线C 截得的弦长.17.(此题总分为14分)设数列}{n a 的前n 项和为n S ，且方程02=--n n a x a x 有一根为)(1*N n S n ∈-.(1)求21,S S ;(2)猜测数列}{n S 的通项公式，并给出证明．18. 〔此题总分为16分〕在淘宝网上，某店铺专卖盐城某种特产．由以往的经验明确，不考虑其他因素，该特产每日的销售量y 〔单位：千克〕与销售价格x 〔单位：元/千克，51≤<x 〕满足：当31≤<x 时，1)3(2-+-=x bx a y ，为常数）（b a ,；当53≤<x 时，70490y x =-+．当销售价格为2元/千克时，每日可售出该特产600千克；当销售价格为3元/千克时，每日可售出150千克．〔1〕求b a ,的值，并确定y 关于x 的函数解析式；〔2〕假设该特产的销售本钱为1元/千克，试确定销售价格x 的值，使店铺每日销售该特产所获利润)(x f 最大〔x 准确到0.1元/千克〕．19. 〔此题总分为16分〕如图，椭圆:C )0(12222>>=+b a b x a y 的离心率为21，以椭圆C 的上顶点Q 为圆心作圆)0()2(:222>=-+r r y x Q ，设圆Q 与椭圆C 交于点M 与点N 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2014-2015学年江苏省盐城中学中校区高二（上）期中数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1．（5分）命题“∀x∈R，x2+x+1≥0”的否定是．2．（5分）双曲线﹣=1渐近线方程为．3．（5分）若点A（1，1），B（2，﹣1）位于直线x+y﹣a=0的两侧，则a的取值范围为．4．（5分）命题“若a=0，则ab=0”及该命题的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为．5．（5分）已知不等式ax2+bx﹣1＞0的解集是{x|3＜x＜4}，则a+b=．6．（5分）曲线y=x2﹣2x在点P（2，0）处的切线方程为．7．（5分）如果p：x＞2，q：x2＞4，那么p是q的．（在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要”中选择一个填空）8．（5分）函数f（x）=（2﹣x）e x的单调递增区间是．9．（5分）已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，焦点在直线3x﹣4y﹣12=0上，则该抛物线的方程为．10．（5分）若f（x）=x2﹣2x﹣4lnx，则f′（x）＞0的解集为．11．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）与双曲线有相同的焦点为F，A是两条曲线的一个交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率是．12．（5分）已知直线kx﹣y+1﹣k=0恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣1=0（m，n＞0）上，则的最小值为．13．（5分）设x，y满足约束条件：且z=x﹣ay的最小值为7，则a=．14．（5分）已知f（x，y）=（x﹣y）2+（4++）2，则f（x，y）的最大值为．二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15．（14分）已知p：|x+1|≤2，q：（x+1）（x﹣m）≤0．（1）若m=4，命题“p且q”为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．16．（14分）椭圆C1：=1（a＞b＞0）过点，离心率e=，A为椭圆C1上一点，B为抛物线y2=x上一点，且A为线段OB的中点．（1）求椭圆C1的方程；（2）求直线AB的方程．17．（15分）已知二次函数f（x）=ax2﹣2x+a（a≠0）（1）当a=﹣1时，求不等式f（x）＜0的解集；（2）若不等式f（x）≥0对x∈（0，+∞）恒成立，求a的取值范围．18．（15分）今年的国庆假期是实施免收小型客车高速通行费后的第一个重大节假日，有一个群名为“天狼星”的自驾游车队．该车队是由31辆车身长都约为5m （以5m计算）的同一车型组成的，行程中经过一个长为2725m的隧道（通过该隧道的车速不能超过25m/s），匀速通过该隧道，设车队的速度为xm/s，根据安全和车流的需要，当0＜x≤12时，相邻两车之间保持20m的距离；当12＜x≤25时，相邻两车之间保持（）m的距离．自第1辆车车头进入隧道至第31辆车车尾离开隧道所用的时间为y （s）．（1）将y表示为x的函数；（2）求该车队通过隧道时间y的最小值及此时车队的速度．19．（16分）设x，y为正实数，a=，c=x+y．（1）试比较a、c的大小；（2）若p=1，试证明：以a，b，c为三边长一定能构成三角形；（3）若对任意的正实数x，y，不等式a+b＞c恒成立，试求p的取值范围．20．（16分）设直线x+y=1与椭圆=1（a＞b＞0）相交于A，B两点．（1）若a=，求b的范围；（2）若OA⊥OB，且椭圆上存在一点P其横坐标为，求点P的纵坐标；=，求椭圆方程．（3）若OA⊥OB，且S△OAB2014-2015学年江苏省盐城中学中校区高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1．（5分）命题“∀x∈R，x2+x+1≥0”的否定是∃x∈R，x2+x+1＜0．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x∈R，x2+x+1≥0”的否定是：∃x∈R，x2+x+1＜0；故答案为：∃x∈R，x2+x+1＜0．2．（5分）双曲线﹣=1渐近线方程为y=±x．【解答】解：在双曲线的标准方程中，把1换成0，即得﹣=1的渐近线方程为﹣=0，化简可得y=±x．故答案为：y=±x．3．（5分）若点A（1，1），B（2，﹣1）位于直线x+y﹣a=0的两侧，则a的取值范围为（1，2）．【解答】解：∵点A（1，1），B（2，﹣1）位于直线x+y﹣a=0的两侧，∴（1+1﹣a）（2﹣1﹣a）＜0，即（2﹣a）（1﹣a）＜0，则（a﹣1）（a﹣2）＜0，即1＜a＜2，故答案为：（1，2）4．（5分）命题“若a=0，则ab=0”及该命题的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为2．【解答】解：命题“若a=0，则ab=0”为真，其逆否命题也为真，原命题的逆命题为“若ab=0，则a=0”为假命题，而否命题与逆命题互为逆否命题，也是假命题，所以真命题个数为2，故答案为：2．5．（5分）已知不等式ax2+bx﹣1＞0的解集是{x|3＜x＜4}，则a+b=．【解答】解：由题意不等式ax2+bx﹣1＞0的解集是{x|3＜x＜4}，故3，4是方程ax2+bx﹣1=0的两个根，∴3+4=﹣，3×4=﹣∴a=﹣，b=∴a+b=﹣=故答案为6．（5分）曲线y=x2﹣2x在点P（2，0）处的切线方程为y=2x﹣4．【解答】解：∵y=x2﹣2x，∴f'（x）=2x﹣2，当x=2时，f'（2）=2得切线的斜率为2，所以k=2；所以曲线在点（2，0）处的切线方程为：y﹣0=2×（x﹣2），即y=2x﹣4．故答案为：y=2x﹣4．7．（5分）如果p：x＞2，q：x2＞4，那么p是q的充分不必要条件．（在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要”中选择一个填空）【解答】解：由x＞2⇒x2＞4，是充分条件，由x2＞4推不出x＞2，不是必要条件，故答案为：充分不必要条件．8．（5分）函数f（x）=（2﹣x）e x的单调递增区间是（﹣∞，1）．【解答】解：f′（x）=﹣e x+（2﹣x）e x=（1﹣x）e x．令f′（x）＞0，解得x＜1．∴函数f（x）的单调递增区间为：（﹣∞，1）．故答案为（﹣∞，1）．9．（5分）已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，焦点在直线3x﹣4y﹣12=0上，则该抛物线的方程为y2=16x．【解答】解：∵直线3x﹣4y﹣12=0交x轴于点（4，0），交y轴于点（0，﹣3），∴抛物线的焦点为（4，0）或（0，﹣3），可得抛物线开口向右或开口向下．①当抛物线的开口向右时，设抛物线方程为y2=2px（p＞0），∵=4，解得p=8，2p=16，∴此时抛物线的方程为y2=16x；故答案为：y2=16x．10．（5分）若f（x）=x2﹣2x﹣4lnx，则f′（x）＞0的解集为（2，+∞）．【解答】解：要使函数有意义，则x＞0，∵f（x）=x2﹣2x﹣4lnx，∴f′（x）=2x﹣2=，若f′（x）＞0，则=＞0，即x2﹣x﹣2＞0，解得x＞2或x＜﹣1（舍去），故不等式f′（x）＞0的解集为（2，+∞）．故答案为：（2，+∞）．11．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）与双曲线有相同的焦点为F，A是两条曲线的一个交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率是+1．【解答】解：∵抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，∴p=2c∵A是它们的一个公共点，且AF垂直x轴设A点的纵坐标大于0∴|AF|=p，∴A（，p）∵点A在双曲线上∴﹣=1∵p=2c，b2=c2﹣a2∴﹣=1化简得：c4﹣6c2a2+a4=0∴e4﹣6e2+1=0∵e2＞1∴e2=3+2∴e=1+故答案为：1+12．（5分）已知直线kx﹣y+1﹣k=0恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣1=0（m，n＞0）上，则的最小值为4．【解答】解：整理直线方程得y=k（x﹣1）+1，∴点A的坐标为（1，1），∵点A在直线mx+ny﹣1=0（m，n＞0）上，∴m+n﹣1=0，即m+n=1，∴==，∵mn≤=，m=n时取等号，∴≥4，即的最小值为4，故答案为：4．13．（5分）设x，y满足约束条件：且z=x﹣ay的最小值为7，则a=﹣3．【解答】解：不等式组所对应的可行域为两直线相交所称的角形区域，联立，可解得，故最小值在点（，）处取到，∴﹣a•=7，解得a=﹣3或5，经验证当a=5时，目标函数取最大值，不合题意故答案为：﹣314．（5分）已知f（x，y）=（x﹣y）2+（4++）2，则f（x，y）的最大值为．【解答】解：f（x，y）=（x﹣y）2+（4++）2，表示两点A（x，4+）和B（y，﹣）的距离的平方．由A在上半圆x2+（y﹣4）2=1运动，B在下半椭圆+n2=1上运动，由对称性可得只要求得圆心C（0，4）到椭圆上的点的距离最大值．设半椭圆上P（m，n）（﹣1≤n≤0），即有|CP|===，当n=﹣时，|CP|取得最大值3，则有f（x，y）的最大值为（3+1）2=28+6．故答案为：．二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15．（14分）已知p：|x+1|≤2，q：（x+1）（x﹣m）≤0．（1）若m=4，命题“p且q”为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）m=4时，p：﹣3≤x≤1，q：﹣1≤x≤4，若p且q为真，则p为真，q为真，∴x的范围是：{x|﹣1≤x≤1}；（2）∵p：{x|﹣3≤x≤1}，若m≤﹣1，则q：{x|m≤x≤﹣1}，又p是q的必要不充分条件，即q⊂b，∴﹣3≤m≤﹣1，若m＞﹣1，则q：{x|﹣1≤x≤m}，∴﹣1＜m≤1，综上：m的范围是[﹣3，1]．16．（14分）椭圆C1：=1（a＞b＞0）过点，离心率e=，A为椭圆C1上一点，B为抛物线y2=x上一点，且A为线段OB的中点．（1）求椭圆C1的方程；（2）求直线AB的方程．【解答】解：（1）据题意得：又a2=b2+c2，解得，所以椭圆方程为．（2）设A点坐标为（x0，y0），则B点坐标为（2x0，2y0），分别代入椭圆和抛物线方程得，消去y0并整理得：，所以或．当时，；当时，y0无解．所以直线AB的方程为．17．（15分）已知二次函数f（x）=ax2﹣2x+a（a≠0）（1）当a=﹣1时，求不等式f（x）＜0的解集；（2）若不等式f（x）≥0对x∈（0，+∞）恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a=﹣1时，不等式为﹣x2﹣2x﹣1＜0，即（x+1）2＞0，所以x≠﹣1，所以所求不等式的解集为{x|x≠﹣1}；（2）不等式为：ax2﹣2x+a≥0，即，因为该不等式对x∈（0，+∞）恒成立，所以，因为，当且仅当x=1取最大值1．所以a的取值范围为a≥1．18．（15分）今年的国庆假期是实施免收小型客车高速通行费后的第一个重大节假日，有一个群名为“天狼星”的自驾游车队．该车队是由31辆车身长都约为5m （以5m计算）的同一车型组成的，行程中经过一个长为2725m的隧道（通过该隧道的车速不能超过25m/s），匀速通过该隧道，设车队的速度为xm/s，根据安全和车流的需要，当0＜x≤12时，相邻两车之间保持20m的距离；当12＜x≤25时，相邻两车之间保持（）m的距离．自第1辆车车头进入隧道至第31辆车车尾离开隧道所用的时间为y （s）．（1）将y表示为x的函数；（2）求该车队通过隧道时间y的最小值及此时车队的速度．【解答】解：（1）∵当0＜x≤12时，相邻两车之间保持20m的距离；当12＜x≤25时，相邻两车之间保持（）m的距离，∴当0＜x≤12时，y==；当12＜x≤25时，y==5x++10∴y=；（2）当0＜x≤12时，y=，∴x=12m/s时，y min=290s；当12＜x≤25时，y=5x++10≥2 +10=250s当且仅当5x=，即x=24m/s时取等号，即x=24m/s时，y min=250s∵290＞250，∴x=24m/s时，y min=250s．答：该车队通过隧道时间y的最小值为250s及此时该车队的速度为24m/s．19．（16分）设x，y为正实数，a=，c=x+y．（1）试比较a、c的大小；（2）若p=1，试证明：以a，b，c为三边长一定能构成三角形；（3）若对任意的正实数x，y，不等式a+b＞c恒成立，试求p的取值范围．【解答】解：（1）∵a2=x2+xy+y2，c2=x2+2xy+y2 ，∴c2﹣a2=xy＞0，∴c＞a．（2）若p=1，∵a=≥＞=b，∴c==＞a，∴c为最大边，又（a+b）2=x2+2xy+y2+2ab＞x2+2xy+y2=c2 ，∴a+b＞c，从而以a，b，c为三边长一定能构成三角形．（3）∵a+b＞c，即，∴．∵，∴．20．（16分）设直线x+y=1与椭圆=1（a＞b＞0）相交于A，B两点．（1）若a=，求b的范围；（2）若OA⊥OB，且椭圆上存在一点P其横坐标为，求点P的纵坐标；=，求椭圆方程．（3）若OA⊥OB，且S△OAB【解答】解：（1）将直线x+y=1代入椭圆方程，消去y，得（b2+a2）x2﹣2a2x+a2﹣a2b2=0，x1+x2=，x1x2=，因为直线与椭圆交于两点，故△=4a4﹣4（b2+a2）（a2﹣a2b2）＞0，代入a=，解得，且a＞b，所以b的范围为；（2）将直线x+y=1代入椭圆方程，可得：，由OA⊥OB可得x1x2+y1y2=0，解得a2+b2=2a2b2即，代x0=到椭圆方程得，即，所以点P的纵坐标为．（3）设直线x+y=1与坐标轴交于C、D，则，又△AOB，△COD两个三角形等高，故，所以，求得所以，所以椭圆方程为．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。