【数学】江苏省泰州市姜堰区2013-2014学年高一上学期期中考试

2013 - 2014学年度第一学期期中考试试题
高 一 数 学
（考试时间：120分钟 总分：160分）
一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1. 集合}2,1{=A ，}3,2{=B ，则=B A ▲ .
2. =⎪⎭
⎫
⎝⎛2
149 ▲ .
3. 集合}3,1{=A ，用描述法可以表示为 ▲ .
4. 函数)52(log )(3-=x x f 的定义域为 ▲ .
5. 函数]3,2[,1
)(∈=
x x
x f 的最大值为 ▲ . 6. =-2lg 20lg ▲ .
7. 3)72.0(- ▲ 3)75.0(-（填“>”或“<”）.
8. 函数32)(+=x x f ，函数53)(-=x x g ，则=))2((g f ▲ .
9. 若方程02)13(72=--+-m x m x 的一根在区间)1,0(上，另一根在区间)2,1(上，则实数m 的范围 ▲ .
10. 若函数)(x f y =的定义域为}583{≠≤≤-x x x 且，值域为}021{≠≤≤-y y y 且，则)(x f y =的图象可能是 ▲ （填序号）.
① ② ③ ④
11. 函数00,
1)3(,)(<≥⎩⎨⎧+-=x x x a a x f x 为区间),(+∞-∞上的单调增函数，则实数a 的取值范
围为 ▲ .
12. 某人定制了一批地砖，每块地砖 (如图1所示）是边长为40cm 的正方形ABCD ，点
F E ,分别在边BC 和CD 上，△CFE ，△ABE 和四边形AEFD 均由单一材料制成，制成△CFE ，△ABE 和四边形AEFD 的三种材料的每平方米价格之比依次为3:2:1.
图
2
图1
若将此种地砖按图2所示的形式铺设，能使中间的深色阴影部分构成四边形EFGH .则当=CE ▲ cm 时，定制这批地砖所需的材料费用最省？
13. 已知函数)0(1
)(2
2
≠-
=x x x x f ，若实数a 满足)2(2)(log )(log 2
12f a f a f ≤+，则实数a 的范围是 ▲ .
14. 设函数3ln )(,2)(2-+=-+=x x x g x e x f x ，若实数b a ,满足0)(,0)(==b g a f ，请
将)(),(,0a g b f 按从小到大的顺序．．．．．．．
排列 ▲ （用“<”连接）. 二、解答题：本大题共6小题共计90分，请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分14分）
已知R U =，集合}41{≤≤=x x A ，}2{+≤≤=a x a x B . （Ⅰ）若3=a ，求B A ,)(A C B U ； （Ⅱ）若A B ⊆，求a 的范围.
16.（本小题满分14分）
已知二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的图像顶点为)9,1(-，且图像在x 轴截得的
线段长为6. （Ⅰ）求)2(f ；
（Ⅱ）若)(x f 在区间)3,(+m m 上单调．．
，求m 的范围.
17.（本小题满分14分）
在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v （单位：s m /）和燃料的质量M （单
位：kg ）,火箭（除燃料外）的质量m （单位：kg ）满足2000
)1(m
M e v
+
=.（e 为自然对数的底）
（Ⅰ）当燃料质量M 为火箭（除燃料外）质量m 两倍时，求火箭的最大速度（单位：
s m /）
；
（Ⅱ）当燃料质量M 为火箭（除燃料外）质量m 多少倍时，火箭的最大速度可以达到
8s km /.（结果精确到个位．．．．．．．
，数据：099.13ln ,598.54,718.24≈≈≈e e ）
18.（本小题满分16分）
已知函数)(x f 是定义域为．．．．R ．的奇函数.当0<x 时，)(log )(b x x f a +=，图像如图所
示.
（Ⅰ）求)(x f 的解析式；
（Ⅱ）若方程m x f =)(有两解，写出m 的范围； （Ⅲ）解不等式0)()1(<⋅-x f x ，写出解集．．．．.
19.（本小题满分16分）
设函数),10()(R k a a a ka x f x x ∈≠>-=-且， )(x f 是定义域为R 的奇函数． （Ⅰ）求k 的值，判断并证明．．
当1>a 时，函数)(x f 在R 上的单调性； （Ⅱ）已知2
3
)1(=f ，函数]1,1[),(2)(22-∈-+=-x x f a a x g x x ，求)(x g 的值域； （Ⅲ）已知3=a ，若)()3(x f x f ⋅≥λ对于]2,1[∈x 时恒成立.请求出最大的整数．．．．．λ．
20.（本小题满分16分）
已知函数1)(2
-=x x f ，1)(-=x k x g .
（Ⅰ）已知n m <<0，若)()(n f m f =，求2
2
n m +的值；
（Ⅱ）设)
()()()(),(),()(x g x f x g x f x g x f x F <≥⎩⎨⎧=，当21
=k 时，求)(x F 在)0,(-∞上的最小值；
（Ⅲ）求函数)()()(x g x f x G +=在区间]2,2[-上的最大值.
2013-2014学年度第一学期期中考试
高一数学试题参考答案
1.{2}
2.
23 3.}0)3)(1({=--x x x （答案不唯一） 4.⎭⎬⎫⎩
⎨⎧>25x x
5.
2
1
6.1
7.>
8.5
9.24-<<-m 10.② 11.31<<a 12.10 13.
144
1
≠≤≤a a 且 14.)(0)(b f a g << 15.（Ⅰ）3=a ，}53{≤≤=∴x x B
}51{≤≤=x x B A …………………………………………………………………4分 }41{≤≤=x x A }41{><=∴x x x A C U 或
}54{)(≤<=∴x x A C B U …………………………………………………………8分
（Ⅱ）A B ⊆ ⎩⎨
⎧≤+≥∴4
21
a a ………………………………………………………12分
21≤≤∴a ………………………………………………………………………………14分
16.（Ⅰ）由题意，9)1()(2--=x a x f 过)0,4(点，1=∴a
82)(2--=∴x x x f ……………………………………………………………………5分
8844)2(-=--=f ……………………………………………………………………7分
（Ⅱ）①在区间)3,(+m m 上单调增，则1≥m ……………………………………10分 ②在区间)3,(+m m 上单调减，则13≤+m ，即2-≤m ……………………………13分 综上：12≥-≤m m 或时，)(x f 在区间)3,(+m m 上是单调的.……………………14分
17.（Ⅰ）)1ln(2000)1ln(2000m
M m M v +⋅=+
= ………………………………………3分 )/(2198099.120003ln 2000s m v =⨯≈⋅=∴…………………………………………6分
答：当燃料质量M 为火箭质量m 两倍时，火箭的最大速度为s m /2198……………7分
（Ⅱ）12000-=v
e m
M
……………………………………………………………………10分 541598.5411420008000
≈-≈-=-=∴e e m
M
……………………………………………13分 答：当燃料质量M 为火箭质量m 的54倍时，火箭最大速度可以达到8s km /.……14分 18.（Ⅰ） 0)3(log =+-b a ，13=-∴b ，4=∴b
又 12log =a ，2=∴a ∴当0<x 时，)4(log )(2+=x x f ……………………2分 当0>x 时，0<-x ，)4(log )(2+-=-x x f
)()(x f x f -=- ，)4(log )(2x x f -=-∴，
即)4(log )(02x x f x --=>时，……………………………………………………4分
00
),
4(log ,
0),4(log )(22>=<⎪⎩
⎪
⎨⎧--+=∴x x x x x x f ……………………………………………………6分
（Ⅱ）2002<<<<-m m 或………………………………………………………10分 （Ⅲ）①⎩⎨
⎧<>-0)(01x f x ，⎩⎨⎧
<<-<>∴3
031x x x 或，31<<∴x ………………………13分
②⎩⎨⎧><-0)(01x f x ，⎩
⎨⎧
><<-<∴3031x x x 或，03<<-∴x
综上：解集为}3103{<<<<-x x x 或
……………………………………………16分 19.（Ⅰ）
()x x f x ka a =-是定义域为R 上的奇函数， (0)0f ∴=，得1k =．
()x x f x a a -=-，()()x x f x a a f x --=-=-，即()f x 是R 上的奇函数………2分
设21x x >，则1a >，21x x a a ∴>，21()()0f x f x ∴->， ()f x ∴在R 上为增函数…………5分
（Ⅱ）
3(1)2f =
，即22320a a --=，2a ∴=或
则]1,1[),22(222)(22-∈--+==--x x g y x x x x ，令]1,1[,22-∈-=-x t x x ， 由（1）可知该函数在区间]1,1[-上为增函数，则]2
3
,23[-∈t
则]2
3
,23[,22)(2
-
∈+-==t t t t h y ………………………………………………………8分 当23-
=t 时，4
29max =y ；当1=t 时，1min =y 所以)(x g 的值域为]4
29
,
1[……………………………………………………………… 10分 （Ⅲ）由题意，即)33(3
333x x x
x
---≥-λ，在]2,1[∈x 时恒成立
令]2,1[,33∈-=-x t x x ，则]9
80
,
38[∈t 则]2,1[)33()313)(33(22∈-≥++----x x x x x x x ，λ恒成立 即为]9
80
,
38[,)3(2
∈⋅≥+t t t t λ恒成立……………………………………………………13分 32+≤t λ，]980,
38[∈t 恒成立，当38=t 时，9
91
)3(min 2=+t
9
91
≤
∴λ，则λ的最大整数为10…………………………………………………………16分 20.（Ⅰ）111
1,1,1)(22≥-≤<<-⎩
⎨⎧--=x x x x x x f 或
由)(x f 图像可知，210≤<<≤n m
)()(n f m f =即为1122-=-n m ，所以222=+n m …………………………………3分 （Ⅱ）0<x ，则0
11,1,1)(2
2<<--≤⎩⎨⎧--=x x x x x f ，)0,(,21
21)(-∞∈-=x x x g 当1-≤x 时，)()(x g x f ≥，即为x x 2
1
2112
-≥
-，解得23-≤x
当01<<-x 时，)()(x g x f ≥，即为x x 212112
-≥
-，解得02
1
<≤-x
02
121232
3,1,2
1
21,1)(22
<≤--<<--≤⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---=x x x x x x x F
当21-
=x 时，)(x F 最小值为4
3 （本问也可直接利用图像说明理由求解）…………………………………………………6分
（Ⅲ）11)(2
-+-=x k x x G 1111
,1,1,1222-<<≤-≥⎪⎩
⎪⎨⎧-+-++----+=x x x k kx x k kx x k kx x
①记]2,1[,1)(21∈--+=x k kx x x G ，结合图像可知， 当2
3
2≤-
k ，即3-≥k 时，3)2()(1max 1+==k G x G 当2
3
2>-
k ，即3-<k 时，0)1()(1max 1==G x G ……………………………………8分 ②记]1,1[,1)(22-∈++--=x k kx x x G ，结合图像可知， 当12
-≤-
k
，即2≥k 时，k G x G 2)1()(2max 2=-= 当121<-
<-k ，即22<<-k 时，22max 2)12
()2()(+=-=k
k G x G 当12
≥-
k
，即2-≤k 时，0)1()(2max 2==G x G ③记]1,2[,1)(2
3--∈-+-=x k kx x x G ，结合图像可知， 当
2
3
2-≥k ，即3-≥k 时，33)2()(3max 3+=-=k G x G 当
2
3
2-<k ，即3-<k 时，k G x G 2)1()(3max 3=-=…………………………………10分 由上讨论可知：
当3-<k 时，0}2,0max{)(max ==k x G
当23-≤≤-k 时，3}33,0,3max{)(max +=++=k k k x G 当02<<-k 时，3}33,)12
(,3max{)(2
max +=+++=k k k
k x G
当20<≤k 时，33}33,)12
(,3max{)(2
max +=+++=k k k k x G
当2≥k 时，33}33,2,3max{)(max +=++=k k k k x G ………………………………15分 综上所述：当3-<k 时，)(x G 在]2,2[-上的最大值为0 当03<≤-k 时，)(x G 在]2,2[-上的最大值为3+k
当0≥k 时，)(x G 在]2,2[-上的最大值为33+k ………………………………………16分 （本问直接分5种情况讨论，分析函数)(x G 在]2,2[-上的变化趋势亦可.请酌情给分.）。