中考精英数学(四川地区)课件 第12节 二次函数的图像与性质
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二次函数的图像和性质课件
03
二次函数的图像与性质的 应用
判断单调性
总结词
通过图像和导数判断二次函数的单调性
详细描述
利用二次函数的导数，可以判断函数的单调区间。导数大于0 时，函数递增；导数小于0时，函数递减。结合函数图像，可 以更直观地判断单调性。
求最值
总结词
利用二次函数的极值点求最值
VS
详细描述
二次函数存在极值点，极值点处的函数值 可能是最大值或最小值。通过求导并令导 数为0，可以找到极值点，从而求得最值 。
二次函数的图像和性质课件
contents
目录
• 二次函数的概念 • 二次函数的性质 • 二次函数的图像与性质的应用 • 实际应用案例 • 总结与回顾
01
二次函数的概念
二次函数的定义
定义
一般地，形如$y = ax^{2} + bx + c(a \neq 0)$的函数叫做二次 函数。
解释
二次函数是包含未知数的二次多
总结二次函数的对称 轴、开口方向、顶点 坐标等性质。
易错点与难点回顾
01
回顾二次函数图像的绘制方法和 易错点，如混淆顶点坐标和对称 轴坐标等。
02
回顾二次函数的性质和易错点， 如错误地认为二次函数总是单调 的等。
学生自我测评与作业布置
设计相关题目，让学生自主检测掌握 情况。
布置相关作业，要求学生完成并提交 。
详细描述
在投资组合理论中，投资者需要根据不同资产的风险和收益特性来构建投资组合。二次函 数可以用来描述风险和收益之间的非线性关系，帮助投资者更好地理解投资组合的风险和 收益特性。
扩展知识点
投资组合理论、风险和收益的关系。
物理运动中的二次函数
二次函数的图像和性质PPT课件
-5
-6
y=－x2
-7
-8 -9
-10
从图像可以看出,二次函数y=x2和y=－x2的图像都
是一条曲线,它的形状类似于投篮球或投掷铅球时球在
空中所经过的路线y .
这样的曲线叫做抛物线.
y=x2的图像叫做抛物线y=x2.
y=x2
y
o
x
y=－x2的图像叫做抛物线y=－x2.
实际上,二次函数的图像 o
x
都是抛物线.
达式的二次项系数、一次项系数和常数项.
下列哪些函数是二次函数？哪些是一次函数？
(1) y=3x-l (2) y=2x² (3) y=x²+6 (4) y=-3x²-2x+4
（1）一次函数的图象是一条__直__线_， (2) 通常怎样画一个函数的图象？ 列表、描点、连线 (3) 二次函数的图象是什么形 状呢？
1 -5 -4 -3 -2 -1 o 1
2
3
4
5
x
图像.
请画函数y=－x2的图像 解:(1) 列表
(2) 描点
(3) 连线
根据表中x,y的数值在 坐标平面中描点(x,y), 再用平滑曲线顺次连接 各点,就得到y=-x2的图
像.
y 1
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x
-2
-3 -4
二次函数的图像和性质PPT课 件
创设情境，导入新课
问题：
上面的图片都是二次函数的图片， 与我们生活密切相关
你们喜欢篮球吗？：投篮时，篮球运动的路 线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点 时的高度？
今天让我们来研究一下二次函数的图像 和性质吧
二次函数:
一般地,形如 y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0)的函 数,叫做二次函数.其中,x是自变量,a,b,c分别是函数表
二次函数的图象和性质课件
最大值出现在顶点处。
解决实际问题
实际应用场景
二次函数在许多实际问题中都有应用，如物体运动、经济 活动等。通过建立数学模型，我们可以利用二次函数来描 述和解决这些实际问题。
实际问题的求解策略
对于实际问题，我们通常需要结合二次函数的性质和实际 问题的特点来制定求解策略。这可能包括分析函数的单调 性、最值、零点等。
二次函数的顶点
总结词
二次函数的顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
详细描述
二次函数的最值点即为顶点。对于一般形式的二次函数y=ax^2+bx+c，其顶点的x坐标为-b/2a，y坐 标为c-b^2/4a。Biblioteka 二次函数的对称轴总结词
二次函数的对称轴为x=-b/2a。
详细描述
二次函数的对称轴是一条垂直于x轴的直线，其方程为x=-b/2a。这是由二次函数的最值性质决定的，对称轴上 方的函数值与对称轴下方的函数值相等。
二次函数图象的绘制
01
02
03
步骤一
确定二次函数的表达式， 例如 $f(x) = ax^2 + bx + c$。
步骤二
选择一个或多个点，代入 二次函数表达式中，计算 出对应的y值。
步骤三
在坐标系上标出这些点， 通过这些点绘制出二次函 数的图象。
二次函数图象的形状
形状特征一
二次函数图象是一个抛物 线。根据a的值（正或负） ，抛物线开口向上或向下 。
二次函数的图象和性质课 件
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的图象 • 二次函数的性质 • 二次函数的解析式 • 二次函数的应用
01
二次函数的基本概念
二次函数定义
总结词
二次函数是形如$f(x) = ax^2 + bx + c$的函数，其中$a neq 0$。
解决实际问题
实际应用场景
二次函数在许多实际问题中都有应用，如物体运动、经济 活动等。通过建立数学模型，我们可以利用二次函数来描 述和解决这些实际问题。
实际问题的求解策略
对于实际问题，我们通常需要结合二次函数的性质和实际 问题的特点来制定求解策略。这可能包括分析函数的单调 性、最值、零点等。
二次函数的顶点
总结词
二次函数的顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
详细描述
二次函数的最值点即为顶点。对于一般形式的二次函数y=ax^2+bx+c，其顶点的x坐标为-b/2a，y坐 标为c-b^2/4a。Biblioteka 二次函数的对称轴总结词
二次函数的对称轴为x=-b/2a。
详细描述
二次函数的对称轴是一条垂直于x轴的直线，其方程为x=-b/2a。这是由二次函数的最值性质决定的，对称轴上 方的函数值与对称轴下方的函数值相等。
二次函数图象的绘制
01
02
03
步骤一
确定二次函数的表达式， 例如 $f(x) = ax^2 + bx + c$。
步骤二
选择一个或多个点，代入 二次函数表达式中，计算 出对应的y值。
步骤三
在坐标系上标出这些点， 通过这些点绘制出二次函 数的图象。
二次函数图象的形状
形状特征一
二次函数图象是一个抛物 线。根据a的值（正或负） ，抛物线开口向上或向下 。
二次函数的图象和性质课 件
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的图象 • 二次函数的性质 • 二次函数的解析式 • 二次函数的应用
01
二次函数的基本概念
二次函数定义
总结词
二次函数是形如$f(x) = ax^2 + bx + c$的函数，其中$a neq 0$。
二次函数的图像和性质ppt课件
二次函数的图像和性质ppt课件
contents
目录
• 引言 • 二次函数的定义和公式 • 二次函数的图像 • 二次函数的性质 • 二次函数的实际应用 • 总结与回顾 • 课后作业与思考题
01 引言
课程背景介绍
01
二次函数是数学中基础知识之一 ，掌握好二次函数的图像和性质 对于后续学习代数、几何等数学 领域都有重要的意义。
二次函数的定义
01
02
03
定义
一般地，形如$y = ax^2 + bx + c$（$a$、$b$、 $c$是常数，$a \neq 0$ ）的函数叫做二次函数。
解释
二次函数是包含未知数的 二次多项式的函数，其未 知数的最高次数为2。
示例
$y = 2x^2 + 3x - 4$是 一个二次函数。
二次函数的公式
01
02
03
04
当x增大时，如果a>0，y值会 随之增大；如果a<0，y值会
随之减小。
当x增大时，如果a>1，y值会 快速增大；如果0<a<1，y值
会缓慢增大。
当x减小时，如果a>0，y值会 随之减小；如果a<0，y值会
随之增大。
当x减小时，如果a>1，y值会 快速减小；如果0<a<1，y值
会缓慢减小。
减。
当$\Delta = 0$时，函
数有一个实根；当
$\Delta < 0$时，函数
没有实根。
极值：当$a > 0$时，二 次函数在区间$(-\infty, -b/2a)$上单调递增，在 区间$(-b/2a,+\infty)$ 上单调递减，此时$b/2a$为极小值点；当 $a < 0$时，二次函数在 区间$(-\infty, -b/2a)$ 上单调递减，在区间$(b/2a,+\infty)$上单调递 增，此时$-b/2a$为极 大值点。
contents
目录
• 引言 • 二次函数的定义和公式 • 二次函数的图像 • 二次函数的性质 • 二次函数的实际应用 • 总结与回顾 • 课后作业与思考题
01 引言
课程背景介绍
01
二次函数是数学中基础知识之一 ，掌握好二次函数的图像和性质 对于后续学习代数、几何等数学 领域都有重要的意义。
二次函数的定义
01
02
03
定义
一般地，形如$y = ax^2 + bx + c$（$a$、$b$、 $c$是常数，$a \neq 0$ ）的函数叫做二次函数。
解释
二次函数是包含未知数的 二次多项式的函数，其未 知数的最高次数为2。
示例
$y = 2x^2 + 3x - 4$是 一个二次函数。
二次函数的公式
01
02
03
04
当x增大时，如果a>0，y值会 随之增大；如果a<0，y值会
随之减小。
当x增大时，如果a>1，y值会 快速增大；如果0<a<1，y值
会缓慢增大。
当x减小时，如果a>0，y值会 随之减小；如果a<0，y值会
随之增大。
当x减小时，如果a>1，y值会 快速减小；如果0<a<1，y值
会缓慢减小。
减。
当$\Delta = 0$时，函
数有一个实根；当
$\Delta < 0$时，函数
没有实根。
极值：当$a > 0$时，二 次函数在区间$(-\infty, -b/2a)$上单调递增，在 区间$(-b/2a,+\infty)$ 上单调递减，此时$b/2a$为极小值点；当 $a < 0$时，二次函数在 区间$(-\infty, -b/2a)$ 上单调递减，在区间$(b/2a,+\infty)$上单调递 增，此时$-b/2a$为极 大值点。
二次函数的图像和性质初中数学经典课件
________________，对称轴是过顶点且平行于_____的一条直线． (2) 若a＞0，则当x＝______时，二次函数y＝ax2＋bx＋c有最_____值,为
________ ； 若 a ＜ 0 ， 则 当 x ＝ _____ 时 ， 二 次 函 数 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c 有 最 _____值，为________． 2. 用 配方 法 可 将二 次 函 数 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c(a≠0) 转 化 为 y＝ a(x ＋ ____)2 ＋ _______．
5.2 二次函数的图像和性质
1.理解二次函数y=ax2+bx+c与y=a(x+h)2+k之间的关系 2.掌握二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质
3.体会二次函数y=ax2+bx+c的图像与a，b，c之间的关
系
思考（一） 请说出抛物线y=ax²+k， y=a（x+h）²，y=a（x+h）²+k 的开口方向、对称轴和顶点坐标.
(2)若该函数的图像不经过第三象限，当－5≤x≤1时，函
数的最大值与最小值之差为16，求b的值．
∴最大值与最小值之差是 25(不合题意，舍去)． 当 b＞0 时，c＞0，若函数的图像不经过第三象限，则 b2 －4×2b≤0，∴0＜b≤8.∴－4≤－b2＜0. 当－5≤x≤1 时，函数有最小值－b42＋2b， 当－b2≤－2，即 b≥4 时，函数有最大值 1＋3b； 当－b2＞－2，即 b＜4 时，函数有最大值 25－3b.
1. “提”：提出 二次项系数；
方
y＝ - (x+2)2-1.
y＝ － (x2+4x＋4－4)-5 y＝ － (x+2) 2－5+4 y＝ － (x+2) 2－1
________ ； 若 a ＜ 0 ， 则 当 x ＝ _____ 时 ， 二 次 函 数 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c 有 最 _____值，为________． 2. 用 配方 法 可 将二 次 函 数 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c(a≠0) 转 化 为 y＝ a(x ＋ ____)2 ＋ _______．
5.2 二次函数的图像和性质
1.理解二次函数y=ax2+bx+c与y=a(x+h)2+k之间的关系 2.掌握二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质
3.体会二次函数y=ax2+bx+c的图像与a，b，c之间的关
系
思考（一） 请说出抛物线y=ax²+k， y=a（x+h）²，y=a（x+h）²+k 的开口方向、对称轴和顶点坐标.
(2)若该函数的图像不经过第三象限，当－5≤x≤1时，函
数的最大值与最小值之差为16，求b的值．
∴最大值与最小值之差是 25(不合题意，舍去)． 当 b＞0 时，c＞0，若函数的图像不经过第三象限，则 b2 －4×2b≤0，∴0＜b≤8.∴－4≤－b2＜0. 当－5≤x≤1 时，函数有最小值－b42＋2b， 当－b2≤－2，即 b≥4 时，函数有最大值 1＋3b； 当－b2＞－2，即 b＜4 时，函数有最大值 25－3b.
1. “提”：提出 二次项系数；
方
y＝ - (x+2)2-1.
y＝ － (x2+4x＋4－4)-5 y＝ － (x+2) 2－5+4 y＝ － (x+2) 2－1
人教版数学中考复习《二次函数的图象及性质》精品教学课件ppt优秀课件
A(x,y)
B(-x,y)
x
... -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5
1 1.5
2
...
y=x2
...
4 2.25
1 0.25 0
0.25
1
2.25
4
...
y= - x2 ... -4 -2.25 -1 -0.25 0
-0.25
-1
-2.25 -4
...
函数图象画法
注意：列表时自变量 取值要y均 匀 2和对称。
y x2
当当当当xx==xx--==2112时 时时 时，，，，yyyy====--41--14
当a>0时，在对称轴的 左侧，y随着x的增大而
减小。
当a>0时，在对称轴的 右侧，y随着x的增大而
增大。
当当当当xx==xx--==2112时时时时，，，，yyyy====4114
当a<0时，在对称轴的 左侧，y随着x的增大而
3
3
( 3,6)
( 3,6)
谢谢观看
Thank You!
这对对这对条称对这对称条称抛，称条称轴抛，物y轴抛，。轴物y线。轴物y就线轴关就线是关就于是关它于是y它于的轴y它的轴y的轴 对称轴。
对称轴与抛物线的交点
叫做抛物线的顶点。
1、观察右图， 并完成填空。
2、练习2 3、想一想
4、练习4
二次函数y=ax2的性质 １、顶点坐标与对称轴 ２、位置与开口方向 ３、增减性与极值
4. 点的位置及其坐标特征: ①.各象限内的点: ②.各坐标轴上的点: ③.各象限角平分线上的点: ④.对称于坐标轴的两点: ⑤.对称于原点的两点:
y
Q(b,-b)
二次函数的图像及性质ppt课件
同一数值时，这两个
7
函数的函数值之间有
6
什么关系?反映在图
象上，相应的两个点
5
之间的位置又有什么 4
关系?
3
y 2x2 1
（0，1）
2 y 2x2
1
24
函数y＝2x2＋1和y＝2x2的图象有什么联系? 1、函数y＝2x2＋1与y＝2x2的图象开口方向、对称轴相同，
但顶点坐标不同，函数y＝ 2x2的图象的顶点坐标是(0，
6
y=2x²的图象有
5
什么关系？
4
y 2x2 1
3
（0，1）
2 y 2x2
1
23
x … –1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5 … y=2x2 … 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 … y=2x2+1 … 5.5 3 1.5 1 1.5 3 5.5 …
问题1：当自变量x取
y 1 (x 2)2 y 1 (x 2)2
2
2
观察三条抛物线的相互关系,并分别指
出它们的开口方向,对称轴及顶点.
6
y 1 x 22
2
5
4
y 1 x2 2
y 1 x 22
2
3
2
1
-8
-6
-4
-2 B
-1
2
4
6
37
在同一坐标系中作出下列二次函数:
y 1 x 2 y 1 (x 2)2
5
3、画函数图像的基本步骤是： 列表 、 描点 、 连线 。
6
7
1. y=ax2的函数图像
8
1、画函数y=x2的图像； 观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算 相应的y值,完成下表：
数学中考总复习课件：第12课时二次函数的图象与性质(一)(共39张PPT)
考点聚焦
杭考探究
当堂检测
第12课时┃ 二次函数的图象与 性质(一)
【归纳总结】
考点聚焦
杭考探究
当堂检测
第12课时┃ 二次函数的图象与 性质(一)
考点4
用待定系数法求二次函数的表达式
1． [2014·成都] 将二次函数 y＝x2－2x＋3 化为 y＝(x－h)2 ＋k 的形式，结果为 ( D ) A．y＝(x＋1)2＋4 B．y＝(x＋1)2＋2 C．y＝(x－1)2＋4 D．y＝(x－1)2＋2
D．当－1＜x＜2 时，y＞0
图 12－1
考点聚焦 杭考探究 当堂检测
第12课时┃ 二次函数的图象与 性质(一)
2 ． [2014·天津 ] 抛物线 y ＝ x2 － 2x ＋ 3 的顶点坐标是 (1，2) ． ________
考点聚焦
杭考探究
当堂检测
第12课时┃ 二次函数的图象与 性质(一)
【归纳总结】 表达式 y＝ax ＋bc ＋c y＝a(x＋m)2 ＋k y＝a(x－ x1)(x－x2)
系数 a
最值
增减性
大于 0
b 减小 ； ≤－2a 时， 当 x______ y 随 x 的增大而______ b 时， y 随 x 的增大而 小 值 当 x________ 最______ ≥－2a 增大 ________ b ≤－2a 增大 ； 当 x______ 时， y 随 x 的增大而______ b 大 ≥－2a 时， y 随 x 的增大而 最______值 当 x________ 减小 ________
第12课时
二次函数的图象与 性质(一)
第12课时┃ 二次函数的图象与 性质(一)
考 点 聚 焦
考点1 二次函数的定义
二次函数的图像与性质课件
面积问题
矩形面积问题
通过二次函数表示矩形面 积与边长之间的关系，解 决最大面积问题。
三角形面积问题
利用二次函数表示三角形 面积与高或底之间的关系， 求解最大或最小面积。
梯形面积问题
通过二次函数表示梯形面 积与上底、下底和高之间 的关系，解决面积优化问 题。
利润问题
总利润与销售量关系
利用二次函数表示总利润与销售量之间的关系，找到最大利润点。
韦达定理的应用
韦达定理可用于求解一元二次方程的两个根的平方和、倒数和等问题，简化计算过程。同时，在解决 与二次函数相关的问题时，韦达定理也具有重要的应用价值。例如，在求解二次函数的顶点坐标、对 称轴等问题时，可以利用韦达定理进行求解。
PART 05
二次函数在实际问题中应 用
REPORTING
WENKU DESIGN
定价策略
通过二次函数分析商品定价与销售量、成本之间的关系，制定最优 定价策略。
成本控制
利用二次函数表示成本与产量之间的关系，寻求最低成本方案。
抛物线型问题
抛物线顶点与对称轴
01
通过二次函数的图像分析，确定抛物线的顶点坐标和对称轴方
程。
抛物线开口方向与最值
02
根据二次函数的系数判断抛物线的开口方向，并找到函数的最
与x轴交点
二次函数与x轴的交点即为方程的根。当Δ=b^2-4ac>0时，方程有两个不相等的实根，图像 与x轴有两个交点；当Δ=0时，方程有两个相等的实根（重根），图像与x轴有一个交点；当 Δ<0时，方程无实根，图像与x轴无交点。
PART 03
二次函数性质探讨
REPORTING
WENKU DESIGN
伸缩变换
人教版中考复习《第12讲：二次函数的图象与性质》课件
实数根的情况 抛物线与 x 轴有两个交点 (x1,0),(x 2,0).x 1,x 2 是方程 ax2+bx+c=0 的两个不相等的实数 根 抛物线与 x 轴有一个交点 b 2a
二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0), 当 y=0 时,得一元 b2- 4ac=0 二次方程 ax2+bx+c=0 b - 4ac<0
第12讲
二次函数的图象与性质
考点梳理自清
考题体验感悟
考法互动研析
考点一
考点二
考点三
考点四
考点五
考点一二次函数概念及表达式 定义:一般地,形如y=ax2+bx+c (a,b,c为常数,a≠0)的函数叫做二 次函数.
(1)一般形式:y = ax 2 + bx + c 二次函数的顶点坐标是(h,k)
; ;
12
考点梳理自清
考题体验感悟
考法互动研析
命题点1
命题点2
命题点3
解 (1)①段函数图象表示批发量不少于20 kg且不多于60 kg的该种 水果,可按5元/kg批发; ②段函数图象表示批发量高于60 kg的该种水果,可按4元/kg批发. 4分 5������(20 ≤ ������ ≤ 60), (2)由题意得,ω= 5分 4������(������ > 60).
2
,0 ,x=- 是方程 ax2+bx+c=0 的
2a b 2a
b
两个相等的实数根,即 x 1=x2=-
抛物线与 x 轴没有交点,即方程 ax2+bx+c=0 没有实数根
9
考点梳理自清
考题体验感悟
考法互动研析
二次函数的图像和性质 初中初三九年级数学教学课件PPT 人教版
＝ax2的图象的关系
关系：函数y＝ax2＋b的图象与函数y＝ax2的图象开口
方向相同、对称轴相同，但
，函数y＝ax2
的定点是（0,0），而函数y＝ax2＋b的顶点是
2．函数y＝ax2＋大而减 ；当x＞0时，函数值y随x
的增大而增大，当x=0时，函数有最小值，最小值是 y＝b．
解：
在同一坐标系内画出函数y=x2、y=x2+1与y=x2-1的图象。
x
… -2 -1
0
1 2…
y=x2
…4
1
0
1 4…
y=x2+1
…5
2
1
2 5…
y=x2-1
…3
0
-1 0 3 …
y=x2+1
6 y=x2
y=x2-1 4
2
-4 -2 0
2
4
-2
发现：当自变量x取同一数值时，函数y＝x2＋1的 函数值都比函数y＝x2的函数值大1，y＝x2-1的函 数值都比函数y＝x2的函数值小1，反映在图像上 可以看到函数y＝x2＋1的图象上的点都是由函数y ＝x2的图象上的相应点向上移动了一个单位。函 数y＝x2-1的图像上的点都是由函数y＝x2 的图像 上的相应点向下移动了一个单位。
(0，-1)。
函数y＝x2＋1的性质：
当 x_＜ 0 时，函数值y随x的增大而减小；当 x_＞0_ 时，函数
值y随x的增大而增大，当x__=0____时，函数有最__小___ 值，最
小__值是 y＝__1____．
以上就是函数y＝x2＋1的性质.
三、做一做
问题7：先在同一直角坐标系中画出函数y＝2x2－2与函数y＝ 2x2的图象，再作比较，说说它们有什么联系和区别?
中考数学专题复习 第十二讲二次函数的图象与性质(共57张PPT)
的交点,∴B选项不符合题意;C.∵y=ax2-2ax-1=a(x1)2-1-a,∴二次函数图象的顶点坐标为(1,-1-a), 当-1-a<0时,有a>-1,∴C选项不符合题意;D.∵y=ax22ax-1=a(x-1)2-1-a,∴二次函数图象的对称轴为x=1. 若a>0,则当x≥1时,y随x的增大而增大,∴D选项符合 题意.
C.若a<0,函数图象的顶点始终在x轴的下方 D.若a>0,则当x≥1时,y随x的增大而增大
【思路点拨】A.将a=1代入原函数解析式,令x=-1求出 y的值,由此对选项A进行判断;B.将a=-2代入原函数解 析式,令y=0,根据根的判别式Δ,可得出当a=-2时,函 数图象与x轴的交点情况,由此对选项B进行判断;C.利 用配方法找出二次函数图象的顶点坐标,令其纵坐标
2.(2017·威海中考)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)
的图象如图所示,则正比例函数y=(b+c)x与反比例函
数y= a b c 在同一坐标系中的大致图象是 ( )
x
【解析】选C.由二次函数图象可得,a>0,b<0,c>0,
4acb2 0， b 1，所以|b|>|c|,即b+c<0,由二次函
二、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质
1.当a>0时
(1)开口方向:向上.(2)顶点坐标:
b (__2_a _,
4ac
b2
).
b
4a
(3)对称轴:直线_x ____2 a__.
(4)增减性:当x<- b 时,y随x的增大而_减__小__;当x>- b
2a
二次函数图象和性质 初中初三九年级数学教学课件PPT 人教版
猜想吗？
做一做
描点,连线
y 2
0
-4 -3 -2 -1 -1 1 2 3 4 x -2
-4
-6
?
-8
-10 y=-x2
y
y x2
当x<0 (在对称轴的 左侧)时,y随着x的增大而 增大.
当x>0 (在对称轴 的右侧)时, y随着 x的增大而减小.
当x= -2时,y= -4
当x= -1时,y= -1
抛物线 y x2与它的对称轴的交点 （0，0）叫做抛物线 y x2的顶点
它是抛物线 y x2 的最低点．
抛物线与对称轴 有交点吗？
例1.在同一直角坐标系中画出函数y= 21x2和y=2x2的图象
解: (1) 列表
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
(2) 描点
y=
1 2
x2
函数y= x2,21y=2x2的图象 与函数y=x2(图中虚线图形)
的图象相比,有什么共同点
和不同点? 共同点: 开口都向上; 顶点是原点而且是抛物线
的最低点，对称轴是 y 轴
y 2x2 y
10
9 8 7 6 5 4
3 2 1
y x2 y x2
2
在对称轴的左侧， y随着x的增大而减小。
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x
,当x=0时,函数y的值最大,最大值是
,
当x
0时,y<0.
画最简单的二次函数 y = x2 的图象
解:(1) 列表 x y
你还(2记) 得描描点点
法的一般步骤?
(3) 连线
连线时应注意 什么问题？
… -3 -2 -1 列0表时1 应2注意3 …
做一做
描点,连线
y 2
0
-4 -3 -2 -1 -1 1 2 3 4 x -2
-4
-6
?
-8
-10 y=-x2
y
y x2
当x<0 (在对称轴的 左侧)时,y随着x的增大而 增大.
当x>0 (在对称轴 的右侧)时, y随着 x的增大而减小.
当x= -2时,y= -4
当x= -1时,y= -1
抛物线 y x2与它的对称轴的交点 （0，0）叫做抛物线 y x2的顶点
它是抛物线 y x2 的最低点．
抛物线与对称轴 有交点吗？
例1.在同一直角坐标系中画出函数y= 21x2和y=2x2的图象
解: (1) 列表
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
(2) 描点
y=
1 2
x2
函数y= x2,21y=2x2的图象 与函数y=x2(图中虚线图形)
的图象相比,有什么共同点
和不同点? 共同点: 开口都向上; 顶点是原点而且是抛物线
的最低点，对称轴是 y 轴
y 2x2 y
10
9 8 7 6 5 4
3 2 1
y x2 y x2
2
在对称轴的左侧， y随着x的增大而减小。
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x
,当x=0时,函数y的值最大,最大值是
,
当x
0时,y<0.
画最简单的二次函数 y = x2 的图象
解:(1) 列表 x y
你还(2记) 得描描点点
法的一般步骤?
(3) 连线
连线时应注意 什么问题？
… -3 -2 -1 列0表时1 应2注意3 …
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A． 1 B．2 C．3 D． 4
4ac b 2 4a
B
5．(2015•广安)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)过
点(－1，0)和点(0，－3)，且顶点在第四象限，设P ＝a＋b＋c，则P的取值范围是( )
A．－3<P<－1 C．－3<P<0
B．－6<P<0 D．－6<P<－3
4．(2017•巴中)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点
A(－3，0)，对称轴为直线x＝－1，给出四个结论：①c>0 ；②若点 B(－ ，y1)、C(－ ，y2)为函数图象上的两点，则y1<y2；③2a－b＝0； 3，其中，正确结论的个数是 5 ④ <0 ( )
2 2
四川地区
第12节 二次函数的图像与性质
数学
二次函数的图形与性质
1．(2016•成都)二次函数y＝2x2－3的图象是一条抛物线，下列关于该抛
物线的说法，正确的是( ) A．抛物线开口向下 D B．抛物线经过点(2，3) C．抛物线的对称轴是直线x＝1 D．抛物线与x轴有两个交点
2．(2017•达州)己知二次函数y＝ax2＋bx＋c图
二次函数图象的解析式
【例4】已知抛物线y＝a(x－h)2－2(a，h是常数，a≠0)与x轴交于点A， B，与y轴交于点C，点M为抛物线顶点． (1)若点A(－1，0)，B(5，0)，求抛物线的解析式； (2)若点A(－1，0)，且△ABM是直角三角形，求抛物线的解析式； (3)若抛物线与直线y1＝x－6相交于M，D两点， ①用含a的式子表示点D的坐标； ②当CD∥x轴时，求抛物线的解析式．
2
b
3b＋2c＜0，可判断②；x＝－1时该二次函数取得最大值，据此可判断④.
二次函数图象的平移 【例3】已知将二次函数y＝x2＋bx＋c的图象向右平移2个单位再向 下平移3个单位，所得图象的解析式为y＝x2－4x－5，则b，c的值为( ) C A．b＝0，c＝6 B．b＝0，c＝－5 C．b＝0，c＝－6 D．b＝0，c＝5 【分析】根据平移后的抛物线的解析式，可得平移后的顶点坐标，由平移 方式可得原二次函数的顶点坐标，再根据平移时不改变a值，从而确定 a，b，c的值．
一条新函数的图象，其中点A(1，m)，B(4，n)平移后的对应点分别为点 A′、B′.若曲线段AB扫过的面积为9(图中的阴影部分)，则新图象的函数 表达式是( ) A．y＝12(x－2)2－2 B．y＝12(x－2)2＋D 7 C．y＝12(x－2)2－5 D．y＝12(x－2)2＋4
【例2】(2017•安顺)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 的图象如图，给出下列四个结论：①4ac－b2＜0；②3b ＋2c＜0；③4a＋c＜2b；④m(am＋b)＋b＜a(m≠－1)， 其中结论正确的个数是( ) A． 1 B．2 C． 3 D． 4 C
【分析】由图象得抛物线与x轴的交点情况可判断①；根据对称轴是x＝ －1，可得x＝－2、0时，y的值相等，所以4a－2b＋c＞0，可判断③；根 据－ 2 a ＝－1，得出b＝2a，再根据a＋b＋c＜0，可得1 b＋b＋c＜0，所以
B
二次函数图象的平移 6．(2017•绵阳)将二次函数y＝x2的图象先向下平移1个单位，再向右平移 3个单位，得到的图象与一次函数y＝2x＋b的图象有公共点，则实数b的取 值范围是( ) A．b>8 B．b>－8 C．b≥8 D ． b ≥－ 8 D
7．(2017•凉山州)将抛物线y＝－x2先向下平移2个单位，再向右平移3个单
1.已知点A(－3，y1)，B(－1，y2)，C(2，y3)在函数y＝－x2－2x＋b的图
象上，则y1，y2，y3的大小关系为( ) A．y1＜y3<y2 B．y3＜y1<B y2 C3
2.(2016•泰安)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，那 么一次函数y＝ax＋b的图象大致是( A )
位后所得抛物线的解析式为______________________________．
y＝－(x－3)2－2(或y＝－x2＋6x－11)
二次函数的图形与性质 【例1】(2016•宁波)二次函数y＝2x2－3的图象是一条抛物线，下 列关于该抛物线的说法，正确的是( ) A．当a＝1时，函数图象过点(－1，1) D B．当a＝－2时，函数图象与x轴没有交点 C．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小 D．若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大
象如图，则一次函数y＝ax－2b与反比例函数 y＝ 在同一平面直角坐标系中的图象大致是 ( ) c
x
C
3．(2017•南充)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)的图象
如图所示，下列结论错误的是( )
C A．4ac<b2 B．abc<0 C．b＋c<3a D．a<b
3.(2017•烟台)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，对称轴是
直线x＝1，下列结论： ①ab＜0；②b2＞4ac；③a＋b＋2c＜0；④3a＋c＜0. 其中正确的是 ( ) A．①④ C B．②④ C．①②③ D．①②③④
4.(2017•盐城)如图，将函数y＝12(x－2)2＋1的图象沿y轴向上平移得到