2017届高三数学(全国人教A版,理)一轮复习单元滚动检测第九单元 平面解析几何

高三单元滚动检测卷·数学考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．单元检测九 平面解析几何第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．当方程x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0所表示的圆的面积最大时，直线y ＝(k －1)x ＋2的倾斜角α的值为( )A.3π4B.π4C.3π2D.5π42．已知点P (x ，y )在以原点为圆心的单位圆上运动，则点Q (x ′，y ′)＝(x ＋y ，xy )的轨迹是( )A ．圆B ．抛物线C ．椭圆D ．双曲线3．(2016·潍坊模拟)设F 是椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点，椭圆上的点与点F 的最大距离为M ，最小距离是m ，则椭圆上与点F 的距离等于12(M ＋m )的点的坐标是( ) A ．(0，±2)B ．(0，±1)C ．(3，±12)D ．(2，±22) 4．已知双曲线x 24－y 212＝1的离心率为e ，抛物线x ＝2py 2的焦点为(e,0)，则p 的值为( ) A ．2B ．1 C.14 D.1165．若AB 是过椭圆x 225＋y 216＝1中心的弦，F 1为椭圆的焦点，则△F 1AB 面积的最大值为( )A ．6B ．12C ．24D ．486．(2015·武汉调研)已知O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为( )A ．2B ．2 2C ．2 3D ．47．(2016·北京海淀区期末练习)双曲线C 的左，右焦点分别为F 1，F 2，且F 2恰好为抛物线y 2＝4x 的焦点，设双曲线C 与该抛物线的一个交点为A ，若△AF 1F 2是以AF 1为底边的等腰三角形，则双曲线C 的离心率为( ) A. 2B ．1＋ 2C ．1＋ 3D ．2＋ 38．P (x ，y )是圆x 2＋(y －1)2＝1上任意一点，欲使不等式x ＋y ＋c ≥0恒成立，则实数c 的取值范围是( )A ．[－1－2，2－1]B ．[2－1，＋∞)C ．(－1－2，2－1)D ．(－∞，－2－1)9．(2016·福州质检)已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点，若双曲线左支上存在一点P 与点F 2关于直线y ＝bx a对称，则该双曲线的离心率为( ) A.52 B. 5C. 2D ．2 10．设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，过点M (3，0)的直线与抛物线相交于A 、B 两点，与抛物线的准线相交于点C ，|BF |＝2，则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCF S △ACF等于( ) A.45B.23C.47D.1211．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线的倾斜角为2π3，离心率为e ，则a 2＋e 22b的最小值为( )A ．2 3 B.233 C. 3 D ．3 312．(2015·河南豫东豫北十校联考)双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的一条渐近线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，F 1，F 2为C 的焦点，A 为双曲线上一点，若|F 1A |＝2|F 2A |，则cos ∠AF 2F 1等于( ) A.32 B.54 C.55 D.14第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知动点P (x ，y )在椭圆C ：x 225＋y 216＝1上，F 是椭圆C 的右焦点，若点M 满足|M F →|＝1且M P →·M F →＝0，则|PM →|的最小值为________．14．过抛物线y 2＝4x 的焦点，作倾斜角为α的直线交抛物线于A ，B 两点，且|AB |＝163，则α＝________.15．(2014·辽宁)已知椭圆C ：x 29＋y 24＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝________.16．设A ，B 为双曲线x 2a 2－y 2b2＝λ(a >0，b >0，λ≠0)同一条渐近线上的两个不同的点，已知向量m ＝(1,0)，|AB →|＝6，AB →·m |m |＝3，则双曲线的离心率为________． 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)(2015·安徽六校联考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，圆心在l 上．(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；(2)若圆C 上存在点M ，使|MA |＝2|MO |，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．18．(12分)已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，其一个顶点是抛物线x 2＝－43y 的焦点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若过点P (2,1)的直线l 与椭圆C 在第一象限相切于点M ，求直线l 的方程和点M 的坐标．19.(12分)如图所示，离心率为12的椭圆Ω：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的点到其左焦点的距离的最大值为3，过椭圆Ω内一点P 的两条直线分别与椭圆交于点A ，C 和B ，D ，且满足AP →＝λPC →，BP →＝λPD →，其中λ为常数，过点P 作AB 的平行线交椭圆于M ，N 两点．(1)求椭圆Ω的方程；(2)若点P (1,1)，求直线MN 的方程，并证明点P 平分线段MN .20．(12分)设抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，M ∈C ，以M 为圆心的圆M 与l 相切于点Q ，Q 的纵坐标为3p ，E (5,0)是圆M 与x 轴除F 外的另一个交点．(1)求抛物线C 与圆M 的方程；(2)已知直线n ：y ＝k (x －1)(k ＞0)，n 与C 交于A ，B 两点，n 与l 交于点D ，且|F A |＝|FD |，求△ABQ 的面积．21.(12分)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F (c,0)． (1)若双曲线的一条渐近线方程为y ＝x 且c ＝2，求双曲线的方程；(2)以原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ，过A 作圆的切线，斜率为－3，求双曲线的离心率．22．(12分)(2015·青岛质检)已知椭圆C 1的中心为原点O ，离心率e ＝22，其一个焦点在抛物线C 2：y 2＝2px 的准线上，若抛物线C 2与直线l ：x －y ＋2＝0相切．(1)求该椭圆的标准方程；(2)当点Q (u ，v )在椭圆C 1上运动时，设动点P (2v －u ，u ＋v )的运动轨迹为C 3.若点T 满足：O T →＝M N →＋2OM →＋O N →，其中M ，N 是C 3上的点，直线OM 与ON 的斜率之积为－12，试说明：是否存在两个定点F 1，F 2，使得|TF 1|＋|TF 2|为定值？若存在，求F 1，F 2的坐标；若不存在，请说明理由．答案解析1．A 2.B 3.B 4.D 5.B 6.C7．B [依题意可知，点A (1，±2)，F 1(－1,0)，F 2(1,0)，|AF 1|＝22＋22＝22，|AF 2|＝|F 1F 2|＝2，双曲线C 的离心率为e ＝|F 1F 2||AF 1|－|AF 2|＝222－2＝2＋1，故选B.]8．B [设圆上任一点P 的坐标为(cos α，sin α＋1)，即x ＝cos α，y ＝sin α＋1，则x ＋y ＋c ＝cos α＋sin α＋1＋c ＝2[22cos α＋22sin α]＋1＋c ＝2sin(α＋π4)＋1＋c ≥0， 即c ≥－1－2sin(α＋π4)， 又因为－1≤sin(α＋π4)≤1， 所以得到－1－2≤－1－2sin(α＋π4)≤－1＋2， 则c ≥－1＋ 2.]9．B [记线段PF 2与直线y ＝b ax 的交点为M ， 依题意，直线y ＝b ax 是题中的双曲线的一条渐近线，M 是PF 2的中点，且|PF 2|＝2|MF 2|＝2b ； 又点O 是F 1F 2的中点，因此有|PF 1|＝2|OM |＝2a ；由点P 在双曲线的左支上得|PF 2|＝|PF 1|＋2a ＝4a ＝2b ，b ＝2a ，该双曲线的离心率是e ＝1＋(b a )2＝5，故选B.] 10．A [如图，过A ，B 作准线l ：x ＝－12的垂线，垂足分别为A 1，B 1，由于F 到直线AB 的距离为定值．∴S △BCF S △ACF ＝|BC ||AC |.又∵△B 1BC ∽△A 1AC ，∴|BC ||AC |＝|BB 1||AA 1|， 由抛物线定义|BB 1||AA 1|＝|BF ||AF |＝2|AF |， 由|BF |＝|BB 1|＝2知x B ＝32，y B ＝－3， ∴AB ：y －0＝33－32(x －3)，把x ＝y 22代入上式，求得y A ＝2，x A ＝2， ∴|AF |＝|AA 1|＝52. 故S △BCF S △ACF ＝|BF ||AF |＝252＝45.] 11．B [由题意，b a ＝3，∴b ＝3a ， ∴c ＝2a ，e ＝2，a 2＋e 22b ＝a 2＋423a ＝a 23＋23a≥233(当且仅当a ＝2时取等号)， 则a 2＋e 22b 的最小值为233.] 12．C [因为双曲线的一条渐近线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，所以b ＝2a .又|F 1A |＝2|F 2A |，且|F 1A |－|F 2A |＝2a ，所以|F 2A |＝2a ，|F 1A |＝4a ，而c 2＝5a 2，得2c ＝25a ，所以cos ∠AF 2F 1＝|F 1F 2|2＋|F A 2|2－|F 1A |22|F 1F 2||F A 2|＝20a 2＋4a 2－16a 22×25a ×2a＝55，故选C.] 13. 3解析 由题意可得F P →·F M →＝|F M →|2＝1，所以|P M →|＝|F M →－F P →|＝1＋|F P →|2－2＝|F P →|2－1≥(5－3)2－1＝3，当且仅当点P 在右顶点时取等号，所以|PM →|的最小值是 3. 14．60°或120°解析 当α＝90°时，|AB |＝4不成立；当α≠90°时，设直线方程为y ＝tan α(x －1)，与抛物线方程联立得：(tan α)2x 2－[2(tan α)2＋4]x ＋(tan α)2＝0，∴由根与系数的关系得：x 1＋x 2＝2(tan α)2＋4(tan α)2， ∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2(tan α)2＋4(tan α)2＋2＝163， ∴tan α＝±3，∴α＝60°或120°.15．12解析 取MN 的中点G ，G 在椭圆上，因为点M 关于C 的焦点F 1，F 2的对称点分别为A ，B ，故有|GF 1|＝12|AN |，|GF 2|＝12|BN |， 所以|AN |＋|BN |＝2(|GF 1|＋|GF 2|)＝4a ＝12.16．2或233解析 设AB →与m 的夹角为θ，则AB →·m |m |＝6cos θ＝3，所以cos θ＝12. 所以双曲线的渐近线与x 轴成60°角，可得b a＝ 3. 当λ>0时，e ＝c a ＝1＋(b a )2＝2； 当λ<0时，e ＝c b ＝1＋(a b )2＝233. 17．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －4，y ＝x －1 得圆心C (3,2)，∵圆C 的半径为1，∴圆C 的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝1，显然切线的斜率一定存在，设所求圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3，即kx －y ＋3＝0， ∴|3k －2＋3|k 2＋1＝1， ∴|3k ＋1|＝k 2＋1，∴2k (4k ＋3)＝0，∴k ＝0或k ＝－34， ∴所求圆C 的切线方程为y ＝3或y ＝－34x ＋3， 即y ＝3或3x ＋4y －12＝0.(2)∵圆C 的圆心在直线l ：y ＝2x －4上，∴设圆心C 为(a,2a －4)，则圆C 的方程为(x －a )2＋[y －(2a －4)]2＝1.又∵|MA |＝2|MO |，∴设M (x ，y ), 则x 2＋(y －3)2＝2x 2＋y 2，整理得x 2＋(y ＋1)2＝4，设为圆D ，∴点M 既在圆C 上又在圆D 上，即圆C 和圆D 有交点，∴2－1≤a 2＋[(2a －4)－(－1)]2≤2＋1，解得a 的取值范围为[0，125]． 18．解 (1)设椭圆C 的方程为 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)， 由题意得b ＝3，c a ＝12， 解得a ＝2，c ＝1.故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)因为过点P (2,1)的直线l 与椭圆C 在第一象限相切，所以直线l 的斜率存在，故可设直线l 的方程为y ＝k (x －2)＋1(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k (x －2)＋1得(3＋4k 2)x 2－8k (2k －1)x ＋16k 2－16k －8＝0.①因为直线l 与椭圆C 相切，所以Δ＝[－8k (2k －1)]2－4(3＋4k 2)(16k 2－16k －8)＝0.整理，得96(2k ＋1)＝0，解得k ＝－12. 所以直线l 的方程为y ＝－12(x －2)＋1＝－12x ＋2. 将k ＝－12代入①式，可以解得M 点的横坐标为1， 故切点M 的坐标为(1，32)． 19．解 (1)由题意得e ＝c a ＝12，a ＋c ＝3， 联立a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝3，c ＝1，∴椭圆方程为x 24＋y 23＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由AP →＝λPC →可得C (1－x 1λ＋1，1－y 1λ＋1)． ∵点C 在椭圆上，故(1＋λ－x 1)24λ2＋(1＋λ－y 1)23λ2＝1， 整理得712(1＋λ)2－16(1＋λ)(3x 1＋4y 1)＋(x 214＋y 213)＝λ2，又点A 在椭圆上可知x 214＋y 213＝1， 故有712(1＋λ)2－16(1＋λ)(3x 1＋4y 1)＝λ2－1.① 由BP →＝λPD →，同理可得712(1＋λ)2－16(1＋λ)(3x 2＋4y 2)＝λ2－1.② ②－①得3(x 1－x 2)＋4(y 1－y 2)＝0，即k AB ＝－34. 又AB ∥MN ，故k MN ＝－34， ∴直线MN 的方程为y －1＝－34(x －1)， 即3x ＋4y －7＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 23＝1，3x ＋4y －7＝0可得21x 2－42x ＋1＝0⇒x M ＋x N ＝2＝2x p ，∴P 是MN 的中点，即点P 平分线段MN .20．解 (1)由抛物线的定义知，圆M 经过焦点F (p 2，0)， Q (－p 2，3p )， 点M 的纵坐标为3p ，又M ∈C ，则M (3p 2，3p )，|MF |＝2p . 由题意，M 是线段EF 的垂直平分线上的点，故3p 2＝p 2＋52，解得p ＝2. 故抛物线C ：y 2＝4x ，圆M ：(x －3)2＋(y －23)2＝16.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)x ＝－1得y ＝－2k ， 则D (－1，－2k )，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k (x －1) 得ky 2－4y －4k ＝0(k ＞0)，即y ＝2＋21＋k 2k 或y ＝2－21＋k 2k. ∵|F A |＝|FD |，则A 的纵坐标为2＋21＋k 2k， 且2＋21＋k 2k＝2k ， 解得k ＝ 3. ∴A (3,23)，B (13，－233)， 直线n ：y ＝3(x －1)，Q (－1,23)，则|AB |＝163， 点Q 到直线n 的距离d ＝23，△ABQ 的面积S ＝12|AB |·d ＝1633. 21．解 (1)∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b ax ， 由双曲线的一条渐近线方程为y ＝x ，可得b a＝1，解之得a ＝b ， ∵c ＝a 2＋b 2＝2，∴a ＝b ＝ 2.由此可得双曲线方程为x 22－y 22＝1. (2)设A 的坐标为(m ，n )，可得直线AO 的斜率满足k ＝n m ＝－1－3，即m ＝3n .① ∵以点O 为圆心，c 为半径的圆的方程为x 2＋y 2＝c 2，∴将①代入圆的方程，得3n 2＋n 2＝c 2，解得n ＝12c ，m ＝32c ， 将点A (32c ，12c )代入双曲线方程，得 (32c )2a 2－(12c )2b 2＝1， 化简得34c 2b 2－14c 2a 2＝a 2b 2， ∵c 2＝a 2＋b 2，∴b 2＝c 2－a 2代入上式，化简整理得34c 4－2c 2a 2＋a 4＝0， 两边都除以a 4，整理得3e 4－8e 2＋4＝0，解之得e 2＝23或e 2＝2， ∵双曲线的离心率e >1，∴该双曲线的离心率e ＝2(舍负)．22．解 (1)由⎩⎨⎧ y 2＝2px ，x －y ＋2＝0⇒y 2－2py ＋22p ＝0， ∵抛物线C 2：y 2＝2px 与直线l ：x －y ＋2＝0相切， ∴Δ＝4p 2－82p ＝0⇒p ＝2 2.∴抛物线C 2的方程为y 2＝42x ，其准线方程为x ＝－2，∴c ＝ 2.∵离心率e ＝c a ＝22，∴a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝2， 故椭圆的标准方程为x 24＋y 22＝1. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (x ′，y ′)，T (x ，y )， 则⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝2v －u ，y ′＝u ＋v ⇒⎩⎨⎧ u ＝13(2y ′－x ′)，v ＝13(x ′＋y ′).∵点Q (u ，v )在椭圆C 1上，∴u 24＋v 22＝1⇒[13(2y ′－x ′)]2＋2[13(x ′＋y ′)]2＝4 ⇒x ′2＋2y ′2＝12，∴点P 的轨迹方程为x 2＋2y 2＝12.由O T →＝M N →＋2OM →＋O N →得(x ，y )＝(x 2－x 1，y 2－y 1)＋2(x 1，y 1)＋(x 2，y 2)＝(x 1＋2x 2，y 1＋2y 2)，x ＝x 1＋2x 2，y ＝y 1＋2y 2.设k OM ，k ON 分别为直线OM ，ON 的斜率，由题设条件知k OM ·k ON ＝y 1y 2x 1x 2＝－12， 因此x 1x 2＋2y 1y 2＝0.∵点M，N在椭圆x2＋2y2＝12上，∴x21＋2y21＝12，x22＋2y22＝12，故x2＋2y2＝(x21＋4x22＋4x1x2)＋2(y21＋4y22＋4y1y2) ＝(x21＋2y21)＋4(x22＋2y22)＋4(x1x2＋2y1y2)＝60＋4(x1x2＋2y1y2)．∴x2＋2y2＝60，从而可知点T是椭圆x260＋y230＝1上的点．∴存在两个定点F1，F2，且为椭圆x260＋y230＝1的两个焦点，使得|TF1|＋|TF2|为定值，其坐标为F1(－30，0)，F2(30，0)．。