5.2任意角的三角比
第5章 三角比 5.2 任意角及其度量(2)
沪教版(上海) 高一第二学期 新高考辅导与训练 第5章 三角比 5.2 任意角及其度量（2）一、解答题1. 将换算成弧度；将弧度换算成角度(精确到).2.如图，用弧度制分别写出下列条件下角的集合：（1）终边在射线上；（2）终边在直线上.如图，已知扇形的圆心角为120°，半径长为6.求：3.（1）的长l；）与弦所成的弓形的面积S.（24. 用弧度制写出终边在阴影部分的角的集合：（1）（2）5. 已知扇形的周长为20cm，面积为cm，求扇形圆心角的大小.6. 已知集合，，求.7. 如图，扇形的半径，圆心角.求阴影部分的面积S.8. 在扇形中，半径等于r.（1）若弦的长等于半径，求扇形的弧长l；（2）若弦的长等于半径的倍，求扇形的面积S二、双空题三、填空题四、单选题9. 已知扇形的周长为，当扇形圆心角为多少弧度时，扇形的面积S 最大？并求此最大面积.10. _________弧度；弧度=________.11. 扇形的圆心角为，它所对的弦长为，则此扇形的弧长为_________，面积为________.12.在中与终边相同的角为________.13. 扇形的圆心角是72°，半径为5 cm ，其面积为___________．14.计算下列三角比的值：__________；_______；_________；_________.15. 与角终边相同的角的集合是（ ）A ．B ．C ．D ．16. 若是第二象限角，则是（）A．第一象限角B．第一象限角或第二象限角C．第一象限角或第三象限角D．第一象限角或第四象限角17. 若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则圆弧所对的圆心角的弧度数为（）A．B．C．2D．。
任意角的三角比
任意角的三角比一、基础知识熟练记忆1、任意角的三角比——对于任意角的三角比，我们利用平面直角坐标系来进行研究。
（1）设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ） 则点P 与原点的距离02222>+=+=y x y x r（2）比值r y叫做α的正弦 记作： r y =αsin 比值r x叫做α的余弦 记作： r x =αcos 比值x y叫做α的正切 记作： xy =αtan 比值y x叫做α的余切 记作： yx =αcot 比值x r叫做α的正割 记作： x r =αsec 比值y r叫做α的余割 记作： yr =αcsc 根据相似三角形的知识，对于终边不在坐标轴上确定的角α， 上述六个比值都不会随P 点在α的终边上的位置的改变而改变。
当角α的终边在纵轴上时，即Z)(2∈+=k k ππα时，终边上任意一点P 的横坐标x 都为0，所以tan α、sec α无意义；当角α的终边在横轴上时，即α＝ｋπ（ｋ∈Z ）时， 终边上任意一点P 的纵坐标ｙ都为0，所以cot α、csc α无意义。
几个需要注意的问题：① 凡是终边相同的角的三角函数值相等。
sin(2k π+α)=sin α cos(2k π+α)=cos α tan(2k π+α)=tan α cot(2k π+α)=cot α② 0>r 而x,y 的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号应由象限确定。
第一象限：0,0.>>y x∴sin α>0，cos α>0，tan α>0，cot α>0 第二象限：0,0.><y x∴sin α>0，cos α<0，tan α<0，cot α<0O A M P Txyα的终边 x yO A M T yOAM xyOAM TPα的终边第三象限：0,0.<<y x∴sin α<0，cos α<0，tan α>0，cot α>0 第四象限：0,0.<>y x∴sin α<0，cos α>0，tan α<0，cot α<0记忆法则：第一象限全为正，二正三切四余弦。
5.2(3)任意角的三角比
+ -
y O
+ x
-
y O
+ +
x
+
y O
+ x
sin α cscα
cos α sec α
tan α cot α
2.诱导公式： 2.诱导公式： 诱导公式
sin(k ⋅ 360° + α ) = sin α
cos(k ⋅ 360° + α ) = cos α
sin( 2kπ + α ) = sin α
cos(k ⋅ 360° + α ) = cos α
sin( 2kπ + α ) = sin α
cos( 2kπ + α ) = cos α
tan( 2kπ + α ) = tan α
cot(2kπ + α ) = cot α
tan(k ⋅ 360° + α ) = tan α
cot(k ⋅ 360° + α ) = cot α
o o o o
7π + cot 5π − sin 13π + tan 13π ； (2) cos 3 2 6 3 | sin θ | cos θ | tan θ | cot θ (3) . + + + sin θ | cos θ | tan θ | cot θ |
小结： 小结： 1.当角 的终边在不同象限时，其各三 当角α的终边在不同象限时 当角 的终边在不同象限时， 角比的符号： 角比的符号：
o
x
cot α = x (α ≠ kπ , k ∈ Z ) y sec α = r (α ≠ kπ + π , k ∈ Z ) 2 x
任意角三角函比概念
1、任意角的三角比：在初中时，我们学习了锐角三角比。
如图所示，直角三角形OQP 中，Q Rt ∠=∠，点点P 的坐标为(,)x y ，则角α的对边QP 的长为y ，邻边OQ 的长为x ，斜边0)r r =>。
有锐角三角比的定义，得：sin ;cos ;tan ;cot QP y OQ x QP y OQ xOP r OP r OQ x QP y αααα========。
锐角α的三角比可以用其终边上点的坐标来定义。
定义分析：1、明确,,x y r 的几何意义：六个公式，只涉及三个量：,,x y r 量，就能确定三角比！2、角α的终边所在位置，决定了三角比的值：当α 与角α终边上点P 的位置无关，所以可任取一点(,P x y 2、三角比的定义1、设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ）则P 与原点的距离2222>+=+=y x yx r2、比值ry 叫做α的正弦 记作：ry=αs i n ；比值r x叫做α的余弦 记作： r x=αc o s ； 比值x y叫做α的正切 记作：x y =αt a n ； 比值y x叫做α的余切 记作： y x =αc o t ；比值x r 叫做α的正割 记作：x r=αs e c ； 比值y r叫做α的余割 记作：y r =αc s c 注意:①角是“任意角”，当β=2k π+α(k ∈Z)时，β与α的同名三角比值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等。
3：三角比在各象限的符号及坐标轴上的值：三角函数线：角的终边与单位圆交于点P ，过点P 作 x 轴的垂线，垂足为M ，则有向线段MP 、OM 是角α的正弦线、余弦线 。
过点A(1,0)作 单位圆的切线 ，交 α的终边或反向延长线交 于点T ，则有向线段 AT 是角α的 正切线。
sin MP α= cos OM α= tan AT α=小结：三角比值的正负由什么决定？1、三角比名；2、角的终边位置。
任意角的三角比教案
任意角的三角比教案
三角比是指三角形中各边的比值，通常包括正弦、余弦和正切。
在教学这个概念时，可以从以下几个角度进行教案设计：
1. 概念介绍，首先，要介绍三角形的基本概念，包括顶点、边、角度等，并引入三角比的概念。
可以通过图示和实际示例来让学生
直观理解三角比的含义和作用。
2. 正弦、余弦和正切的定义，分别介绍正弦、余弦和正切的定义，以及它们在直角三角形和任意角三角形中的计算方法。
可以通
过几何图形和实际问题来说明三角比的定义和计算方法。
3. 三角比的性质，介绍三角比的基本性质，如正弦、余弦和正
切的周期性、奇偶性等，以及它们之间的关系。
通过数学推导和实
例演示来让学生理解三角比的性质。
4. 三角比的应用，介绍三角比在实际生活和工程中的应用，如
测量高度、距离、角度等。
可以通过实际案例和问题让学生体会三
角比在实际中的重要性和作用。
5. 综合练习，设计一些综合性的练习题，包括计算三角比、证明三角比的性质、解决实际问题等，以帮助学生巩固所学的知识和技能。
在教学过程中，可以结合多媒体教学、小组讨论、实验演示等多种教学方法，让学生在实践中感受三角比的奥妙，提高他们的学习兴趣和能力。
同时，教师应该注重引导学生思考，培养他们的数学思维和解决问题的能力，使他们能够灵活运用三角比解决实际问题。
5.2任意角的三角比
2
2
2
解: (1)
y
2 P2
1
1
2
O
(2)
P1 1
x
y
1
1 P1
O1
x
2
P2 2
例13.利用三角函数线画出满足下列条件的角的终边
(1) sin 1 (2) cos 1 (3) tan 1
2
2
2
解: (3)
y
1
2
1 O
2
A x
T 1
例14.利用三角函数线，比较, 的同名三角
第五章 三角比
5.1.3 任意角及其度量
5.2.1 任意角的三角比
tan2 asin2 acos4 a ________
tan
17
_____
例2.已知角 的终边经过点 P(2,1) ， 求角 的六个三角比
例3.已知角 的终边经过点 P(0, 2) ， 哪种三角比不存在？
例7. 已知角α的终边在直线y=2x上,求tanα,cscα.
三、象限角的三角比的符号
++ __
_+ _+
_+ +_
sin
cos
tan
思考： 各象限角的余切、正割和余割的符号？
例12.已知
(0,
2
)
，利用三角函数线证明：
(1) sin cos 1
y
T
1P
(2) sin
证：(1) 由三角形两边之和 大于第三边可得：MP OM OP
O MAx
即 sin cos 1
(2)由点到直线的距离定义可得：MP PA
任意角的三角比PPT课件
解：x2，y–3， r 22 (3)2 13
cssctioaensstncryxyrrxyxy1231212332333132311313133
7
二、单位圆与三角函数线
在平面直角坐标系中，称以原点O为圆心、 以1为半径的圆为单位圆(unit circle)．
10
三角函数线
y
Y’
N
PT
α
o
M Ax
y
Y’
y
T α终边在第一象限
y
Y’
P
N
α
A
Mo
x
Y’
T
α终边在第二象限
Mo
PNΒιβλιοθήκη Axα终边在第三象限
o
MA x
N
P
T α终边在第四象限 11
例2、 求角7 的正弦、 余弦和正切的值．
4
解：如图 AOB 7
4
则BOA
4
y
在终边OB上取一点P，使OP=1
x2 y2
x y
1 3
10
x
y
13或xy
1 3
又 2 y 0
P(1， 3)
13
例4、填表：
α
点P的 坐标
OP
sinα
cosα tanα
cotα
secα cscα
0 (1,0) 1
0
1
0 不存在 1 不存在
思考1：如图，已知角的终边 与单位圆的交点为P，如何求点 P坐标？
单位圆上点P的坐标为 (cos,sin)
y P(x, y)
任意角的三角比精品讲义
课题任意角的三角比1、任意角及其度量一、知识梳理I、角的概念的推广1、角的定义一条射线由原来的位置OA绕着它的端点O旋转到另一位置OB所形成的图形就是角。
旋转开始时的射线OA叫做角的始边，旋转终止时的射线OB叫做角α的终边，射线的端点O叫做角α的顶点。
2、角的分类（1）按旋转方向分类可分为正角、负角和零角按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，一条射线没有作任何旋转时，这时形成的角叫做零角。
（2）按角的终边位置分类在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，角的终边（除端点外）落在第几象限，就说这个角是第几象限角，当角的终边落在坐标轴上就认为这些角不属于任何象限。
3、终边相同的角的集合表示所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子k·360°+α，（k∈Z）来表示，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。
【终边落在坐标轴上的角的集合表示】终边落在x轴的正半轴上：终边落在x轴的负半轴上：终边落在y轴的正半轴上：终边落在y轴的负半轴上：终边落在x轴上：终边落在y轴上：终边落在坐标轴上：【象限角的集合表示】第一象限角：第二象限角：第三象限角：第四象限角：【几类特殊角的表示】终边在第一、三象限角平分线：终边在第二、四象限角平分线：终边在x轴上方：终边在x 轴下方： 终边在y 轴右侧： 终边在y 轴左侧：终边关于x 轴对称的两个角：终边关于y 轴对称的两个角：二、例题分析例1、下列命题中是真命题的是 （ ）A ．小于90°的角是锐角；B ．若是锐角，则的终边在第一象限；C ．若角与角的终边相同，则=；D ．若的终边在第一象限，则是正角。
例2、在下列各角中与330°角的终边相同的是（ ）A ．510°B ．150°C ．﹣60°D ．﹣390°例3、将下列各角化成α+2k π（0≤α≤2π，k ∈Z ）的形式，并指出它们是第几象限的角：（1）322π； （2）﹣315°； （3）1 500°； （4）﹣9πII 、弧度制 1、角的度量 （1）弧度制的定义长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad ，以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制。
5.2(2)任意角三角比
cos2k cos tan 2k tan cot2k 70 ；
15 （2） cos ； 4 25 （3） tan ； 2 1 （4） cot ； 6
一、复习回顾
1.已 知 的 终 边 经 过 点 P5t ,12t , t 0 ， 求
sin , cos , tan 的值.
1 2.已知 的终边为射线 y x, x 0 ，求 的 2
正弦，余弦，正切的值.
2 3.求 及 的正弦，余弦，正切的值. 3
4.已知 是第二象限角，试判断 的三角比 的符号.
书本练习 P42，4
五、课堂小结 （1）任意三角比的符号； （2）特殊角的三角比的值； （3）诱导公式；
y + 1 + 0 0 o - -1 x -1
y - 0 +
- o 0 +
1
x
y - 无 + 0 0 o x + 无 -
sin
cos
y - 无 +
tan
1 y - 0 + 无 无 o + 0 -
y + 1 + 无 无 o - -1 -
x
-1
- o 无 +
x
x
csc
sec
cot
例 1．判断下列角的正弦，余弦，正切和 余切值的符号. (1) 495 ;
8 (2) . 3
例 2.根据下列条件确定角 属于哪个象限. （1） sin 0 且 tan 0； （2） sin cos 0
书本练习 P42，1，2，3
四、诱导公式
当两个角终边重合时，根据任意角 三角比的定义，可知这两个角的同名三 角比是相等的，即：
5.2(1)任意角三角比
五、课堂小结
1、掌握任意角的三角比的定义与符号． 2、会求任意角的三角比． 3、熟记特殊角的三角比值．
.
1.三角比的值与角 规定正割 sec 和余割 csc 终边上的点P的位 r sec ( k , k Z ) 置是否有关？
y
x 2 r ( k , k Z ) csc y
2.任何角的三角比 都存在吗?
例 1、已知角的终边经过点 P(2， 1)，求角的 六个三角比的值．
例4、已知角的终边经过点 P(3a,4a)(a 0)， 求： 2 sin cos．
解： x 3a, y 4a r (3a) (4a) 5 a
2 2
(1)当a 0时，r 5a，则：
(2)当a 0时，r 5a，则：
y x 4a 3a 2 sin cos 2 2 1 r r 5a 5a
一、锐角三角比的定义
对边 sin 斜边 邻边 cos 斜边 对边 tan 邻边 邻边 cot 对边 a c b c a b b a
B c A a
b
C
y
r
O
.
y x
P(x,y)
x
二、任意角三角比的定义
在任意角终边上任取一点P( x，y)， (除原点外) 2 2 设OP r x y (r 0) y y x P(x,y) sin cos r r y O x tan ( k , k Z ) x 2 x 提问: ( k , k Z ) cot
y x 4a 3a 1 2 sin cos 2 2 r r 5a 5a
练习： 1． 已知角 的终边过点 P 4,3,求 的六个三角比；
高一年级第二讲任意角的三角比
课题 任意角的三角比一、主要知识1、 任意角的三角比的定义 设施一个任意角，的终边上任意一点P （除端点外）的坐标是（x ，y ），它与原点的距离是r （r=>0），那么： 比值叫做α的正弦，记作sin，即sin =（∈R ）； 比值叫做α的余弦，记作cos ，即cos =（∈R ）；比值叫做α的正切，记作tan ，即tan =（≠kπ+，k ∈Z ）； 比值叫做α的余切，记作cot ，即cot =（≠kπ，k ∈Z ）； 比值叫做α的正割，记作sec ，即sec =（≠kπ+，k ∈Z ）； 比值叫做α的余割，记作csc ，即csc =（≠kπ，k ∈Z ）；2、 单位圆中的三角函数线设任意角α的终边与单位圆相交于点P （x ，y ），那么，sin α=r y =y ，cos α=rx = x ，如上右图，单位圆中的有向线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，即sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=A T 。
二、例题分析例1、已知角α的终边上有一点P （3t ，4t ）（t≠0），求角α的六种三角函数值。
II 、任意三角比的第一组诱导公式及各三角比在每个象限的符号1、 第一组诱导公式终边相同的角的同一三角函数值相等，即：sin （α+k·360°）=sin αcos （α+k·360°）=cos αtan （α+k·360°）=tan α2. 一些特殊角的三角函数值3. 各三角比在每个象限的符号sin(csc) cos(sec) tan(cot) 例2、根据下列条件，确定α是第几象限的角。
（1） sin α>0，tan α<0；（2） cos α·tan α>0； （3） sin2α>0，cos α<0。
三、巩固练习1、 已知α∈（0，2π），求证：sin α<α<tan α。
5.2任意角的三角比(1)教案
5.2课题：任意角的三角比（1）教案教学目的：1、掌握任意角的正弦、余弦、正切以及余切、正割、余割定义。
2、会根据角α终边上的点的坐标求出角α的六个三角比。
3、会利用单位圆的三角函数线表示正弦、余弦和正切。
4、能利用三角比的定义进行三角比的求值。
教学重点：任意角的正弦、余弦、正切以及余切、正割、余割定义。
教学过程：（一）、引入一、复习锐角三角比：初中是怎样定义锐角三角比的?答：sinA=c a ，cosA=c b ，tanA=b a ，cotA=ab A ∈(0，2π)，sinA ，cosA ，tanA ，cotA 均为正。
（二）、新课 一、从锐角三角比的定义出发，能否对任意角定义三角比呢？使锐角三角比是它的特殊情况。
二、任意角三角比的定义： 1．用坐标法定义三角比：（1）设α是一个任意角，以α的顶点为原点，以它的始边作为x 轴的非负半轴； （2）在角α的终边上任取一点P ； （3）设P （x ，y ），计算|OP|=r (r>0)．;sin ,sin ,)1(r yr y =ααα即记作的正弦叫做比值 ;cos ,cos ,)2(r xr x =ααα即记作的余弦叫做比值 ;tan ,tan ,)3(x yx y =ααα即记作的正切叫做比值;cot ,cot ,)4(y xy x =ααα即记作的余切叫做比值 ;sec ,sec ,)5(x rx r =ααα即记作的正割叫做比值A B Cab c(x P),y.csc ,csc ,)6(y ry r =ααα即记作的余割叫做比值由三角比的定义知道，三角比的值与P 点在终边上的位置无关，而是由α的终边位置所决定的．特别，当角α的终边在y 轴上，终边上任意一点P 的横坐标x 等于0， 所以tan α=xy无意义。
三、典型例题（3个，基础的或中等难度）例1、已知角α的终边经过点P(2,-3)，求α角的六个三角比值。
解：r=22)3(2-+=13，∴sin α=13133133-=-，cos α=13132，tan α=23-，cot α=32-sec α=213，csc α=313-例2．求下列各角的六个三角比值： （1）0 （2）π （3）23π 解：（1）在0角终边上取点(1，0)，则r=1，∴sin0=0，cos0=1，tan0=0，cot0无意义，sec0=1，csc0无意义 （2）在π角终边上取点(-1，0)，则r=1，∴sin π=0，cos π=-1，tan π=0，cot π无意义，sec π=-1，csc π无意义（3）在23π角终边上取点(0，-1)，则r=1， ∴sin 23π=-1，cos 23π=0，tan 23π无意义，cot 23π=0，sec 23π无意义，csc 23π=-1例3：已知角α的终边上有一点P(4，y)（y ≠0）且sin α=5y，求角α六个三角比。
5.2-3 任意角的三角比及同角三角比关系及诱导公式
第五章：三角比第二节：任意角的三角比 第三节：同角三角比的关系和诱导公式【知识讲解】 1.三角比的定义：设角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，在其始边上任意取一点P ，设它的坐标 为)0(),,(22>+==r y x r OP y x 。
任意角a 的三角比定义：设点P （y x ,）是角a 终边上不同于 的 一点，记22||r y x OP +==，则αsin = ;αcos = ;αtan = ,x ≠0,αcot = ,y ≠0;αsec = , x ≠0,αcsc = , y ≠0.三角比在各象限的符号：（一全，二正弦，三切，四余弦）2、三角函数线：在任意角的三角比定义中，若令r ＝1，即点P 在单位圆上。
如图：P(x ，y)，|OP|＝1，OM 、MP 、AT 均为有向线段。
sin α＝MPOP＝y ＝MP ，称为α的正弦线；全正O PA(1，0)xy Mcot αtan αcos α＝OMOP＝x ＝OM ，称为α的余弦线； ——点P 的坐标也可以表示成(cos α，sin α)tan α＝MP OM ＝ATOA＝AT ，称为α的正切线。
3. 同角三角比的关系平方关系：商数关系：倒数关系： 【小秘书】1.同角三角函数的基本关系式的记忆法则 （1）对角线上对应的函数互为倒数；（2）每一个顶点对应函数等于相邻顶点对应函数的乘积； （3）阴影三角形中，上面二个顶点对应的函数的平方和等 于下面一个顶点的平方。
例如：22sin cos x x +=1sin cos xx =tan x2．用同角三角函数的基本关系式求值时应注意：①注意“同角”，至于角的形式无关重要，如22sin4cos 41αα+=等； ②注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如tan cot 1(,)2k k Z πααα⋅=≠∈； ③对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用），如：cos α= 22sin 1cos αα=-， sin cos tan ααα=等。
数学高一下册-5.2.1 任意角的三角比 课件
最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云
1
2
O
(2)
P1 1 x
y
1
1 P1
O1பைடு நூலகம்
x
2
P2 2
例13.利用三角函数线画出满足下列条件的角的终边
(1) s i n 1 (2) c o s 1 (3) tan 1
2
2
2
解: (3)
y
1
2
A
1 O
x
2
T 1
例14.利用三角函数线，比较 , 的同名三角
比(正弦、余弦、正切)的大小.
第五章 三角比
5.1.3 任意角及其度量
5.2.1 任意角的三角比
t a n 2 a s i n 2 a c o s 4 a _ _ _ _ _ _ _ _
tan1742k______
例2.已知角 的终边经过点 P(2,1) ， 求角 的六个三角比
例3.已知角 的终边经过点 P (0 , 2 ) ， 哪种三角比不存在？
O MAx
大于第三边可得：M P O M O P
即 sincos1
(2)由点到直线的距离定义可得：MPPA
即 sinO P，则 sin 证毕
例13.利用三角函数线画出满足下列条件的角的终边
(1) s i n 1 (2) c o s 1 (3) tan 1
2
2
2
解: (1)
y
2P2
1
解：作两个角的三角函数线 y
可得：
sinsin coscos
tantan
P1 1
P2
任意角的三角比讲义
任意角的三角比讲义一、角度的定义和表示1. 角度的定义角度是度量两条射线之间旋转的大小。
角度的度量单位是度（°）或弧度（rad）。
2. 角度的表示角度可以用三种形式进行表示：度（°），分（’）和秒（’’）。
例如，一个角度为60度15分20秒，则可以表示为60°15’20’’。
二、任意角的三角比1. 任意角任意角是指一个角度可以不是90度的角度。
2. 正弦、余弦、正切函数在任意角的情况下，我们仍然可以计算三角函数的值。
例如，对于一个任意角A，我们可以定义其正弦、余弦和正切函数分别为SIN(A)、COS(A)和TAN(A)。
其中，正弦函数的值等于对边与斜边的比值，余弦函数的值等于邻边与斜边的比值，正切函数的值等于对边与邻边的比值。
3. 三角函数的性质在任意角的情况下，三角函数仍然具有一些重要的性质。
3.1 周期性正弦函数和余弦函数的周期均为360度或2π弧度，即它们在每经过360度或2π弧度时会重复一次。
正切函数的周期为180度或π弧度，即它们在每经过180度或π弧度时会重复一次。
3.2 值域正弦函数和余弦函数的值域均为[-1,1]，即它们的函数值均在这个范围内。
正切函数的值域为所有实数，即正切函数可以取到任意实数的值。
4. 三角函数的应用在实际问题中，三角函数广泛应用于各种领域，如物理、工程、地理等。
例如，在三角学中，我们可以使用正弦函数和余弦函数来计算两个角度之间的距离、高度等。
在物理学中，我们可以使用三角函数来计算力的大小和方向等问题。
三、小结任意角的三角比是三角函数的重要部分，它在数学、物理和工程等领域都有着广泛的应用。
我们需要了解三角函数的定义、性质和应用，以便能够在实际问题中进行计算和分析。
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cosα
α
11 6 7 4 5 3
cosα
例2、填表并找规律：
α
6 4 3
tanα
α
5 6 3 4 2 3
tanα
α
7 6 5 4 4 3
tanα
α
11 6 7 4 5 3
tanα
四、三角比的符号
角 属于 点P的坐标 sin cos tan cot sec csc 的象限 x y
tanα
cotα
secα
cscα
(1,0)
(0,1) (1,0) (0, 1)
1
1 1 1
0
1 0 1
1
0 1 0
0
不存在
0
1
不存在
1
不存在 0
不存在
π
3 2
不存在 0
1 不存在 不存在 1
不存在
例 5、 已知角θ的终边上一点P的坐标是(x,–2)
x (x≠0)，且 cos ， 3
求sinθ和tanθ的值．
课堂小结：
1、任意角的三角比的定义
2、三角比的几何表示——三角函数线
5.2任意角的三角比（2）
三、终边相同的角的三角比公式
sin(2k ) sin cos(2k ) cos tan(2k ) tan cot(2k ) cot
5.2任意角的三角比（1）
一、任意角的三角比定义
锐角三角比
y r O P(x,y) y x
sinα = cosα = tanα =
角的对边 MP y 角的斜边 OP r
α
x 角的邻边 OM 角的斜边 OP r
x M
y 角的对边 MP x 角的邻边 OM
x 角的邻边 OM y 角的对边 MP
注：
其中kZ
1）一个角加上或者减去2的整数倍时，角的三角比不变；
2）任意角的三角比都可转化为属于[0,2)的角的三角比．
例1、求下列各三角比的值：
(1) (2)
(3)
1 sin 30 sin1470 2 15 2 cos( ) cos 4 2 4
o
o
25 tan 3
r x y
2
2
cotα =
一、任意角的三角比定义
锐角三角比
y r O P(x,y) y x
sinα = cosα = tanα =
角的对边 MP y 角的斜边 OP r 角的邻边 OM x 角的斜边 OP r 角的对边 MP y 角的邻边 OM x 角的邻边 OM x 角的对边 MP y
2、三角比的符号:
+ +
1、终边相同的角的三角比公式:
cos(2k ) cos cot(2k ) cot
其中kZ
-
-
- + - +
cosα secα
+
+
-
sinα cscα
tanα cotα
记忆方法：
sin csc
y
全+
o
tan cot
cos sec
二、单位圆与三角函数线
在平面直角坐标系中，称以原点O为圆心、 以1为半径的圆为单位圆(unit circle)．
思考1：如图，已知角的终边 与单位圆的交点为P，如何求点 P坐标？
y
1
单位圆上点P的坐标为 (cos,sin)
o xM
y
P ( x, y )
x
有向线段
当有向线段OM与x轴正方向同向时，OM的方向为正， 且x为正值． 当线段OM与x轴正方向反向时，OM的 方向为负向，且x为负值. 同理，我们规定了有向线段MP的方向和y的值.
tan
3
3
例2、填表并找规律：
α
6 4 3
sinα
α
5 6 3 4 2 3
sinα
α
7 6 5 4 4 3
sinα
α
11 6 7 4 5 3
sinα
例2、填表并找规律：
α
6 4 3
cosα
α
5 6 3 4 2 3
cosα
α
7 6 5 4 4 3
注意：
(1) sinα是个整体符号，不能认为是“sin”与
“α”的积，其余五个符号也是这样；
(2) 定义中只说怎样的比值叫做α的什么比，
并没有说α的终边在什么位置(终边在坐
标轴上的除外)，即比的定义与α的终边
位置无关.；
(3) 比值只与角的大小（终边位置）有关．
任意角三角比与锐角三角比的联系和区别：
第一象限
第二象限 第三象限 第四象限
+ +
+
+
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+
+
例3、判断下列角的正弦、余弦、正切和 余切值的符号：
⑴495°
8 ⑵ 3
例4、判断下列三角比的符号： (1) sin 237 o
4 (2) cos( ) tan 5 7
(3) cos 486o sin 486o (4) sin 700o tan 700o
例 5、
根据下列条件确定角 是第几象限角？
3 并表示成集合形式 ． (2k ,2k ), k Z 2
(1) sin <0且tan >0； 第三象限
(2) sin cos <0． 第二象限或第四象限
x
sin x cos x tan x cot x 2,0,4, ex2、函数y 的值域是 ______ sin x cos x tan x cot x
2 2 ( ， ) 则点P的坐标为 2 2
7 4
4
4
y
7 y 2 sin 2 4 r 7 x 2 cos 2 4 r
o
π 4
M
A
x
B
P
7 y tan 1 4 x
例3 、 已知角的终边上一点 P到原点的距离为 1 10， cot ( 2 )，求点 P． 3
α
x M
r x y
2
2
cotα =
一、任意角的三角比定义
sinα = cosα = tanα =
y r x r y x
x y
y 角α的终边 角α的终边 P(x,y) P(x,y)
cscα =
r （余割） y
secα =
cotα =
r （正割） x
x （余切） y
O
x
r x y
2
2
cotα =
三角函数线
y P
α
Y’ T
y
Y’
N o y Y’ T M P
P
N o
α
M
A
x
y
A
M Y’
x
T α终边在第二象限
α终边在第一象限
o N
A x
o N
M P T
A
x α终边在第四象限
α终边在第三象限
7 例2、 求角 的正弦 、 余弦和正切的值． 4 7 则BOA 解：如图 AOB
在终边OB上取一点P，使OP=1
解：设P( x，y) 则r 10
x 2 y 2 10 x 1 x 1 或 x 1 y 3 y 3 3 y
又 2 y 0
P(1， 3)
例4、填表：
α 0
2
点P的 OP 坐标
sinα
cosα
任意角三角比是锐角三角比的推广， 锐角三角比是任意角三角比的特例．
例1 、 已知角α的终边经过点P(2,–3)(如图)， 求α的六个三角比的值． 解：x2，y–3，
r 2 (3) 13
2 2
x 2 y 2 313 23 13 y 3 13 r 13 cos cot tan si n sec csc r y 3 r 13 1 33 13 x 1 2 3 x 2 y
(k , k ), k Z
2
例 6、 已知 是第一象限的角，且 cos
2
0 ，
则 是第几象限的角？并表示成集合形式 ． 2
第三象限的角
5 (2k , 2k ), k Z 2 4
课堂小结：
sin(2k ) sin tan(2k ) tan
y y
P ( x, y )
P
M
o
M
x
o
M
x
思考2：如何用有向线段表示角的正弦、余 弦、正切?
y
T
sin=MP
cos=OM
AT tan AT OA
1
P ( x, y )
M A(1,0)
o
x
我们把这三条与单位圆有关的线段MP、OM、 AT分别叫做角的正弦线、余弦线、正切线． 这些有向线段通称三角函数线