专题二函数概念与基本初等函数第六讲函数综合及其应用答案

1
1 1，则在 x
x ln10 ln10
因此方程 f ( x) lg x 0 的解的个数为 8．
1 附近仅有一个交点，
7． 4 15 【解析】如图连接 OE 交 AC 于 G ，由题意 OE AC ，设等边三角形 ABC 的边
长为 x （ 0 x 5 ），则 OG
3
3
x ， GE 5
x．
6
6
E
AG
F
) 80 20( x ) ≥ 80 20 2 x 160
x
x
x
12．①③④【解析】对于①，根据题中定义，
f ( x) A 函数 y f (x) ， x D 的值域
为 R ，由函数值域的概念知，函数 y f ( x) ， x D 的值域为 R
b R, a D
f (a) b ，所以①正确； 对于②，例如函数 f ( x) ( 1)|x|的值域 (0,1] 包含于区间 [ 1,1]， 2
8 3 1 11
2 3| |
| ，不符合，排除 C、 D；
22
4
8
39
1 x 39 43 11
当a
时，令 x ， |
| | | ，不符合，排除 B ．选 A ．
16
2 2 16 16 8
2．D【解析】 “燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程， A 中乙车消耗 1 升汽油，
最多行驶的路程为乙车图象最高点的纵坐标值， A 错误；B 中以相同速度行驶相同路程，
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1600(cos
1 sin cos ) ， sin 的取值范围是 [ ,1)．
4
(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为
4∶ 3，
设甲的单位面积的年产值为 4k ，乙的单位面积的年产值为 3k (k 0) ，
则年总产值为 4k 800(4sin cos cos ) 3k 1600(cos sin cos )
所以 Vmax
15 12
h(4 3)
15 (4 3) 2 4 15 ． 12
8． 2 ， ( , 1).【解析】①若 a 0 ，则 f ( x)
x3 3x, x ≤ 0 ，当 x 0时， 2x 0 ；
2x, x 0
当 x , 0 时， f ( x) 3x2 3 3( x 1)( x 1) ，所以函数 f (x) 在 ( , 1) 上单调递
4． D【解析】设年平均增长率为 x ，原生产总值为 a ，则 (1 p)(1 q) a a(1 x)2 ，解得
x (1 p)(1 q) 1 ，故选 D．
5．①④【解析】① ex f ( x) ex 2 x ( e ) x 在 R 上单调递增，故 f (x) 2
② ex f (x) ex 3 x (e )x 在 R 上单调递减，故 f (x) 3 x 不具有 3
因此 lg x 不可能与每个周期内 x D 对应的部分相等，
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只需考虑 lg x 与每个周期 x D 的部分的交点，
画出函数图象， 图中交点除外 (1,0) 其他交点横坐标均为无理数， 属于每个周期 x D 的
部分，
且 x 1 处 (lg x)
D MA
P
C
θ
OH
G
EK
BN
过 O 作 OE ⊥ BC 于 E ，则 OE ∥ MN ，所以 COE ， 故 OE 40cos ， EC 40sin ，
则矩形 ABCD 的面积为 2 40cos (40sin 10) 800(4sin cos cos ) ，
CDP 的面积为 1 2 40cos (40 40sin ) 1600(cos sin cos ) ． 2
10
数 b 的取值范围是 (2 10, ) ．
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11． 160【解析】设该容器的总造价为 y 元，长方体的底面矩形的长 x m ，因为无盖长方体
的容积为 4m3 ，高为 1m，所以长方体的底面矩形的宽为
4 m ，依题意，得 x
24
4
4
y 20 4 10(2 x
，所以 f ( x) 有最
大值，必须 a 0 ，此时 f ( x)
x
x2
在区间
1
(
2,
所以 f ( x) B ，即④正确，故填①③④．
) 上，有 1 ≤ f ( x) ≤ 1 ，
2
2
13．【解析】 (1) 当 0 x ≤ 30 时， f ( x) 30 40 恒成立，公交群体的人均通勤时间不可能
少于自驾群体的人均通勤时间；
在此范围内， x Q 且 x D 时，设 x
q , p,q
N*, p
2 ，且 p, q 互质，
p
若 lg x Q ，则由 lg x
(0,1) ，可设 lg x
n ,m, n
N*,m
2 ，且 m,n 互质，
m
n
因此 10m
q ，则 10n ( q )m ，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，
p
p
因此 lg x Q ，
④ ex f (x) ex (x2 2) ，令 g x ex x2 2 ，
则 g ( x) ex ( x2 2) ex 2x ex [( x 1)2 1] 0 ，
ex f ( x) ex ( x2 2) 在 R 上单调递增，故 f (x) x2 2 具有 性质．
6．8【解析】由于 f ( x) [0,1) ，则需考虑 1 x 10 的情况，
2
x2 x 3≥ ( x a) ，即 2
x2 x 3 a ≥ 0 ，故对于方程 x2 x 3 a 0，
2
2Biblioteka Baidu
( 1 )2 4(3 a) ≤ 0，解得 2
a≥
47 ；当 x
1 时，若要
x f ( x) ≥|
a |恒成立，结合图象，只需
2x x ≥ a，
16
2
x2
即x
2 ≥ a ，又 x
2 ≥ 2 ，当且仅当 x
甲燃油效率最高， 所以甲最省油， B 错误， C 中甲车以 80 千米 /小时的速度行驶 1 小时，
甲车每消耗 1 升汽油行驶的里程 10km,行驶 80km，消耗 8 升汽油， C 错误， D 中某城
市机动车最高限速 80 千米 /小时． 由于丙比乙的燃油效率高，相同条件下，在该市用
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f x，
所以 h(x)=2 f (x) g( x) 6x 2b 4 x2 ， h( x) g ( x) 恒成立，
即 6x 2b 4 x2 4 x2 ，令 y 3x b ， y 4 x2 ，则只要直线 y 3x b
在半圆
2
x
2
y
|b | 4( y≥ 0) 上方即可，由
2 ，解得 b 2 10 （舍去负值） ，故实
M 2 ≤ - g( x) ≤ M 2 ，两式相加得 ( M 1 M 2 ) ≤ f ( x) ≤ M 1 M 2 ，于是 f ( x) B ， 与已知“ . f ( x) A ”矛盾，故 f ( x) g (x) B ，即③正确；对于④，如果 a 0 ，
那么 x
, f (x)
，如果 a 0 ，那么 x 2, f ( x)
2 ，即 x
2 时等号成立，所以 a ≤ 2 ，
2x
2x
2x
综上， a 的取值范围是
[
47 ,2]
．选
A．
16
解法二 由题意 f ( x) 的最小值为 11，此时 x 4
x 等价于 |
a
|≤
11
在
R
上恒成立．
2
4
1
x
．不等式 f (x) ≥| a |在 R 上恒成立
2
2
当a
2 3 时，令 x
1x ，|
3
3
令 h (x) 0 ，解得 x 4 3 ，当 x (0, 4 3) 时， h ( x) 0 ， h(x) 单调递增；
当 x (4 3,5) 时， h ( x) 0 ， h( x) 单调递减，
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所以 x 4 3 是 h( x) 取得最大值 h(4 3) (4 3) 4
当 x (32.5,100) 时， g(x) 单调递增．
实际意义：当有 32.5%的上班族采用自驾方式时，上班族整体的人均通勤时间最短．
适当的增加自驾比例， 可以充分的利用道路交通， 实现整体效率提升； 但自驾人数过多， 则容易导致交通拥堵，使得整体效率下降．
14．【解析】 (1) 连结 PO 并延长交 MN 于 H ，则 PH ⊥ MN ，所以 OH =10．
C O
B
D
由题意可知三棱锥的高 h GE 2 OG2
(5 3 x)2 ( 3 x) 2
6
6
53
25
x
3
底面 S ABC
3 x2， 4
三棱锥的体积为 V 1 3 x2 34
25 5 3 x 15 5x4 3 x5 ，
3
12
3
设 h(x) 5x4
3 x5 ，则 h ( x) 20x3 5 3 x4 （ 0 x 5 ），
当 30 x 100 时，若 40 f ( x) ，即 2x 1800 90 40，解得 x 20（舍）或 x 45 ； x
∴当 45 x 100 时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；
(2)设该地上班族总人数为 n ，则自驾人数为 n x% ，乘公交人数为 n (1 x%) ．
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2
x
具有
性质；
性质；
③ ex f (x) ex x3 ，令 g ( x) ex x3 ，则 g ( x) ex x3 ex 3x2 x2ex (x 2) ，
当 x 2 时， g x 0 ，当 x 2 时， g x 0 ，
ex f ( x) ex x3 在
, 2 上单调递减，在 2,
上单调递增，
故 f x x3 不具有 性质；
增，在 ( 1,0] 上单调递减，所以函数 f (x) 在 ( ,0] 上的最大值为 f ( 1) 2 ．
综上函数 f ( x) 的最大值为 2． ②函数 y x3 3x 与 y 2 x 的大致图象如图所示
y
3 2
1
–２ –１O 1 2 3
–１ –２
若 f ( x) 无最大值，由图象可知 2a 2 ，即 a 1 ．
8000k (sin cos cos ) ， [ 0, 2 ) ．
设 f ( ) sin cos cos ， [ 0 , 2 ) ，
则 f ( ) cos2 sin 2 sin
因此人均通勤时间 g(x)
30 n x% 1800
(2 x x
40 n (1 x%) ,
n 90) n x% 40 n (1
n
0
x %) ,30
x ≤ 30
，
x 100
整理得： g( x)
40 x , 10
1 (x
32.5) 2
50
0 36.875,30
x ≤ 30
，
x 100
则当 x (0,30] U (30,32.5] ，即 x (0,32.5] 时， g( x) 单调递减；
丙车比用乙车更省油 ,选 D．
3． B 【解析】由题意可知 p at 2 bt c过点（ 3， 0.7），（ 4， 0.8）（ 5， 0.5），代入 p at 2 bt c 中可解得 a 0.2, b 1.5, c 2 ，∴ p 0.2t2 1.5t 2 0.2(t 3.75) 2 0.8125 ，∴当 t 3.75分钟时，可食用率最大．
9． 24【解析】由题意得
eb 192
，即
e22k b 48
eb 192 e11k 1 ，所以该食品在
2
33 ℃的保鲜时间是
y 10． (2
e33k b (e11k )3 eb ( 1 )3 193 24． 2
10, ) 【解析】函数 g (x) 的定义域为 [
1,2] ，根据已知得
h( x) g ( x) 2
所以 f ( x) B ，但 f ( x) 有最大值 l，没有最小值，所以②错误；对于③，若
f ( x) g( x) B ，则存在一个正数 M 1 ，使得函数 f ( x) g (x) B 的值域包含于区间 [ M 1 , M 1] ，所以 M 1 ≤ f ( x) g (x) ≤ M 1 ，由 g (x) B 知，存在一个正数 M 2 ， 使得函数 g ( x) 的值域包含于区间 [ M 2, M 2 ] ，所以 M 2 ≤ g (x) ≤ M 2 ，亦有
过 N 作 GN ⊥ MN ，分别交圆弧和 OE 的延长线于 G 和 K ，则 GK KN 10 ．
令 GOK
0 ，则 sin 0
1
，
4
0
(0, ) ． 6
当
[
0,
) 2
时，才能作出满足条件的矩形
所以 sin 的取值范围是 [ 1 ,1)． 4
ABCD ，
答：矩形 ABCD 的面积为 800(4sin cos cos ) 平方米， CDP 的面积为
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专题二 函数概念与基本初等函数 Ⅰ 第六讲 函数综合及其应用 答案部分
1． A 【解析】解法一 根据题意，作出 f (x) 的大致图象，如图所示
y
y= f(x)
x O1
当 x ≤ 1 时，若要 f (x) ≥| x a | 恒成立，结合图象，只需