专题二函数概念与基本初等函数第六讲函数综合及其应用答案

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加练半小时高考数学江苏专用理科专题复习：专题2 函数概念与基本初等函数含答案

训练目标 (1)函数单调性的概念；(2)函数的最值及其几何意义. 训练题型 (1)判断函数的单调性；(2)利用函数单调性比较大小、解不等式；(3)利用函数单调性求最值.解题策略(1)判断函数单调性常用方法：定义法、图象法、导数法、复合函数法；(2)分段函数单调性要注意分界点处函数值的大小；(3)可利用图象直观研究函数单调性. 2．已知f (x )是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f (x －2)<f (1－x )，则x 的取值范围是________．3．函数f (x )＝11－x (1－x )的最大值是________． 4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－ax －5，x ≤1，a x，x >1在R 上为增函数，则a 的取值范围是________． 5．函数f (x )＝x 2－4x ＋5在区间[0，m ]上的最大值为5，最小值为1，则m 的取值范围是________．6．函数f (x )＝|log 3x |在区间[a ，b ]上的值域为[0,1]，则b －a 的最小值为________．7．若存在正数x 使2x (x －a )<1成立，则a 的取值范围是________．8．(2015·上海黄浦区期中调研测试)若函数f (x )＝2x 2＋ax ＋1－3a 是定义域为R 的偶函数，则函数f (x )的单调递减区间是________．9．设函数f (x )＝x 2＋(a －2)x －1在区间(－∞，2]上是减函数，则实数a 的最大值为________．10．若定义在R 上的二次函数f (x )＝ax 2－4ax ＋b 在区间[0,2]上是增函数，且f (m )≥f (0)，则实数m 的取值范围是________．11．(2015·洛阳二模)函数y ＝f (x )(x ∈R )的图象如图所示，则函数g (x )＝f (log a x )(0<a <1)的单调减区间是________．12．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的取值范围是________． 13．(2015·广东深圳五校联考)已知函数f (x )＝－x 3－x ＋sin x ，当θ∈(0，π2)时，恒有f (cos 2θ＋2m sin θ)＋f (－2m －2)>0成立，则实数m 的取值范围是________．14．(2015·昆明模拟)已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f (－12)，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为________．(用“>”连接)答案解析1．(－∞，1]∪[2，＋∞)解析二次函数在某区间内是否单调取决于对称轴的位置，函数f (x )＝x 2－2mx －3的对称轴为x ＝m ，函数在区间[1,2]上单调，则m ≤1或m ≥2.2．[1，32) 解析由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x －2≤1，－1≤1－x ≤1，x －2<1－x ，解得1≤x <32，故满足条件的x 的取值范围是1≤x <32. 3.43解析因为f (x )＝1(x －12)2＋34，所以当x ＝12时，f (x )取得最大值43. 4．[－3，－2]解析要使函数在R 上是增函数则有⎩⎪⎨⎪⎧ －a 2≥1，a <0，－1－a －5≤a ，解得－3≤a ≤－2.5．[2,4] 解析由f (x )＝(x －2)2＋1知，当x ＝2时，f (x )的最小值为1，当f (x )＝5，即x 2－4x ＋5＝5时，解得x ＝0或x ＝4.依据图象(图略)，得2≤m ≤4.6.23解析令f (x )＝0，得x ＝1；令f (x )＝1，得x ＝13或3. 因为f (x )在(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，故b －a 的最小值为1－13＝23. 7．(－1，＋∞)解析由题意知，存在正数x ，使a >x －12x ，所以a >(x －12x )min ，而函数f (x )＝x －12x 在(0，＋∞)上是增函数，所以f (x )>f (0)＝－1，所以a >－1.8．(－∞，0]解析由已知得a ＝0，从而f (x )＝2x 2＋1，由复合函数的单调性可知函数f (x )的单调递减区间是(－∞，0]．9．－2解析函数f (x )的图象的对称轴为直线x ＝－a －22，则函数f (x )在(－∞，－a －22)上单调递减，在区间[－a －22，＋∞)上单调递增，所以2≤－a －22，解得a ≤－2. 10．0≤m ≤4解析由于f (x )在区间[0,2]上是增函数，所以f (2)＞f (0)，解得a ＜0.又因为f (x )图象的对称轴为x ＝－－4a 2a＝2.所以x 在[0,2]上的值域与在[2,4]上的值域相同，所以满足f (m )≥f (0)的m 的取值范围是0≤m ≤4.11．[a ，1]解析由图象可知，函数y ＝f (x )的单调递减区间为(－∞，0)和(12，＋∞)，单调递增区间为[0，12]． ∵0<a <1，∴函数y ＝log a x 在定义域内单调递减．由题意可知，0≤log a x ≤12，解得a ≤x ≤1，即所求递减区间为[a ，1]．12.⎣⎡⎦⎤12，2解析由题意知a >0，又log 12a ＝log 2a －1＝－log 2a . ∵f (x )是R 上的偶函数，∴f (log 2a )＝f (－log 2a )＝f (log 12a )． ∵f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)， ∴2f (log 2a )≤2f (1)，即f (log 2a )≤f (1)．又因f (x )在[0，＋∞)上递增，∴|log 2a |≤1，－1≤log 2a ≤1，∴a ∈⎣⎡⎦⎤12，2.13．[－12，＋∞) 解析因为函数f (x )＝－x 3－x ＋sin x 是奇函数且f ′(x )＝－3x 2－1＋cos x ≤0，所以函数f (x )＝－x 3－x ＋sin x 在R 上是减函数．不等式f (cos 2θ＋2m sin θ)＋f (－2m －2)>0等价于f (cos 2θ＋2m sin θ)>－f (－2m －2)＝f (2m ＋2)⇔cos 2θ＋2m sin θ<2m ＋2⇔2m (1－sin θ)>cos 2θ－2⇔m >cos 2θ－22(1－sin θ)＝sin 2θ＋12(sin θ－1)，θ∈(0，π2)．记g (θ)＝sin 2θ＋12(sin θ－1)，令sin θ＝t ∈(0,1)，则g (t )＝t 2＋12(t －1)，g ′(t )＝2t (t －1)－(t 2＋1)2(t －1)2＝t 2－2t －12(t －1)2＝(t －1)2－22(t －1)2<0在t ∈(0,1)上恒成立，所以函数g (t )＝t 2＋12(t －1)在t ∈(0,1)上是减函数，从而g (θ)＝sin 2θ＋12×(sin θ－1)<02＋12×(0－1)＝－12在(0，π2)上恒成立，所以实数m 的取值范围为[－12，＋∞)． 14．b >a >c解析根据已知可得函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，且在(1，＋∞)上是减函数．因为a＝f (－12)＝f (52)，且2<52<3，所以b >a >c .。

高考数学(理科)二轮复习【专题2】函数、基本初等函数的图象与性质(含答案)

第1讲函数、基本初等函数的图象与性质考情解读(1)高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主，难度中等偏下．(2)函数图象和性质是历年高考的重要内容，也是热点内容，对图象的考查主要有两个方面：一识图，二用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题；对函数性质的考查，则主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合一起考查，既有具体函数也有抽象函数．常以填空题的形式出现，且常与新定义问题相结合，难度较大．1．函数的三要素定义域、值域及对应关系两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一函数．2．函数的性质(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则．(2)奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性．(3)周期性：周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数在其定义域上满足f(a＋x)＝f(x)(a不等于0)，则其一个周期T＝|a|.3．函数的图象对于函数的图象要会作图、识图、用图．作函数图象有两种基本方法：一是描点法，二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．4．指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质(1)指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)的图象和性质，分0<a <1，a >1两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质． (2)幂函数y ＝x α的图象和性质，分幂指数α>0，α<0两种情况.热点一函数的性质及应用例1 (1)(2014·课标全国Ⅱ)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)单调递减，f (2)＝0.若f (x －1)>0，则x 的取值范围是________．(2)设奇函数y ＝f (x ) (x ∈R )，满足对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－t )，且x ∈⎣⎡⎦⎤0，12时，f (x )＝－x 2，则f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫－32＝________. 思维启迪 (1)利用数形结合，通过函数的性质解不等式；(2)利用f (x )的性质和x ∈[0，12]时的解析式探求f (3)和f (－32)的值．答案 (1)(－1,3) (2)－14解析 (1)∵f (x )是偶函数，∴图象关于y 轴对称．又f (2)＝0，且f (x )在[0，＋∞)单调递减，则f (x )的大致图象如图所示，由f (x －1)>0，得－2<x －1<2，即－1<x <3. (2)根据对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－t )可得f (－t ) ＝f (1＋t )，即f (t ＋1)＝－f (t )，进而得到 f (t ＋2)＝－f (t ＋1)＝－[－f (t )]＝f (t )，得函数y ＝f (x )的一个周期为2，故f (3)＝f (1)＝f (0＋1)＝－f (0)＝0，f ⎝⎛⎭⎫－32＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－14.所以f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫－32＝0＋⎝⎛⎭⎫－14＝－14. 思维升华函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．(1)(2013·重庆改编)已知函数f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4(a ，b ∈R )，f (lg(log 210))＝5，则f (lg(lg 2))＝________.(2)已知函数f (x )＝x 3＋x ，对任意的m ∈[－2,2]，f (mx －2)＋f (x )<0恒成立，则x 的取值范围为________________________________________________________________________．答案 (1)3 (2)⎝⎛⎭⎫－2，23 解析 (1)lg(log 210)＝lg ⎝⎛⎭⎫1lg 2＝－lg(lg 2)，由f (lg(log 210))＝5，得a [lg(lg 2)]3＋b sin(lg(lg 2))＝4－5＝－1，则f (lg(lg 2))＝a (lg(lg 2))3＋b sin(lg(lg 2))＋4＝－1＋4＝3. (2)易知f (x )为增函数．又f (x )为奇函数，由f (mx －2)＋f (x )<0知， f (mx －2)<f (－x )．∴mx －2<－x ，即mx ＋x －2<0，令g (m )＝mx ＋x －2，由m ∈[－2,2]知g (m )<0恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧g (－2)＝－x －2<0，g (2)＝3x －2<0，∴－2<x <23.热点二函数的图象例2 (1)下列四个图象可能是函数y ＝10ln|x ＋1|x ＋1图象的是________．(2)已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f (－12)，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为________．思维启迪 (1)可以利用函数的性质或特殊点，利用排除法确定图象．(2)考虑函数f (x )的单调性．答案 (1)③ (2)b >a >c解析 (1)函数的定义域为{x |x ≠－1}，其图象可由y ＝10ln|x |x 的图象沿x 轴向左平移1个单位而得到，y ＝10ln|x |x 为奇函数，图象关于原点对称，所以，y ＝10ln|x ＋1|x ＋1的图象关于点(－1,0)成中心对称．所以①④不可能是；又x >0时，y ＝10ln|x ＋1|x ＋1>0，所以②不可能是，图象③可能是．(2)由于函数f (x )的图象向左平移1个单位后得到的图象关于y 轴对称，故函数y ＝f (x )的图象本身关于直线x ＝1对称，所以a ＝f (－12)＝f (52)，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，等价于函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减，所以b >a >c .思维升华 (1)作图：常用描点法和图象变换法．图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换．尤其注意y ＝f (x )与y ＝f (－x )、y ＝－f (x )、y ＝－f (－x )、y ＝f (|x |)、y ＝|f (x )|及y ＝af (x )＋b 的相互关系．(2)识图：从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系．(3)用图：图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究．(1)(2013·课标全国Ⅰ改编)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x >0.若|f (x )|≥ax ，则a的取值范围是________．(2)形如y ＝b|x |－a (a >0，b >0)的函数，因其图象类似于汉字中的“囧”字，故我们把它称为“囧函数”．若当a ＝1，b ＝1时的“囧函数”与函数y ＝lg |x |图象的交点个数为n ，则n ＝________. 答案 (1)[－2,0] (2)4解析 (1)函数y ＝|f (x )|的图象如图．①当a ＝0时，|f (x )|≥ax 显然成立．②当a >0时，只需在x >0时，ln(x ＋1)≥ax 成立．比较对数函数与一次函数y ＝ax 的增长速度．显然不存在a >0使ln(x ＋1)≥ax 在x >0上恒成立． ③当a <0时，只需在x <0时，x 2－2x ≥ax 成立．即a ≥x －2成立，所以a ≥－2.综上所述：－2≤a ≤0. (2)由题意知，当a ＝1，b ＝1时， y ＝1|x |－1＝⎩⎨⎧1x －1(x ≥0且x ≠1)，－1x ＋1(x <0且x ≠－1)，在同一坐标系中画出“囧函数”与函数y ＝lg|x |的图象如图所示，易知它们有4个交点．热点三基本初等函数的图象及性质例3 (1)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12(－x )，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是________．(2)已知α，β∈[－π2，π2]且αsin α－βsin β>0，则下面结论正确的是________．①α>β；②α＋β>0；③α<β；④α2>β2.思维启迪 (1)可利用函数图象或分类讨论确定a 的范围；(2)构造函数f (x )＝x sin x ，利用f (x )的单调性．答案 (1)(－1,0)∪(1，＋∞) (2)④解析 (1)方法一由题意作出y ＝f (x )的图象如图．显然当a >1或－1<a <0时，满足f (a )>f (－a )．方法二对a 分类讨论：当a >0时，log 2a >log 12a ，即log 2a >0，∴a >1.当a <0时，log 12(－a )>log 2(－a )，即log 2(－a )<0，∴－1<a <0.(2)设f (x )＝x sin x ，x ∈[－π2，π2]，∴y ′＝x cos x ＋sin x ＝cos x (x ＋tan x )，当x ∈[－π2，0]时，y ′<0，∴f (x )为减函数，当x ∈[0，π2]时，y ′>0，∴f (x )为增函数，且函数f (x )为偶函数，又αsin α－βsin β>0， ∴αsin α>βsin β，∴|α|>|β|，∴α2>β2.思维升华 (1)指数函数、对数函数、幂函数和三角函数是中学阶段所学的基本初等函数，是高考的必考内容之一，重点考查图象、性质及其应用，同时考查分类讨论、等价转化等数学思想方法及其运算．(2)比较数式大小问题，往往利用函数图象或者函数的单调性．(1)设15<(15)b <(15)a <1，那么a a ，b a ，a b 的大小关系式是________．(2)已知函数f (x )＝2x－12x ，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x ≥0，f (－x )，x <0，则函数g (x )的最小值是________．答案 (1)a b <a a a a ，故a b <a a g (0)＝0，所以函数g (x )的最小值是0.1．判断函数单调性的常用方法(1)能画出图象的一般用数形结合法去观察．(2)由基本初等函数通过加、减运算或复合而成的函数，常转化为基本初等函数单调性的判断问题．(3)对于解析式较复杂的一般用导数法． (4)对于抽象函数一般用定义法． 2．函数奇偶性的应用函数的奇偶性反映了函数图象的对称性，是函数的整体特性．利用函数的奇偶性可以把研究整个函数具有的性质问题转化到只研究部分(一半)区间上，是简化问题的一种途径．尤其注意偶函数f (x )的性质：f (|x |)＝f (x )． 3．函数图象的对称性(1)若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，即f (x )＝f (2a －x )，则f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．提醒：函数y ＝f (a ＋x )与y ＝f (a －x )的图象对称轴为x ＝0，并非直线x ＝a . (2)若f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称．(3)若函数y ＝f (x )满足f (x )＝2b －f (2a －x )，则该函数图象关于点(a ，b )成中心对称．4．二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，要深刻理解它们之间的相互关系，能用函数与方程、分类讨论、数形结合思想来研究与“三个二次”有关的问题，高考对“三个二次”知识的考查往往渗透在其他知识之中，并且大都出现在解答题中． 5．指数函数、对数函数的图象和性质受底数a 的影响，解决与指、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数a 的范围．比较两个对数的大小或解对数不等式或解对数方程时，一般是构造同底的对数函数，若底数不同，可运用换底公式化为同底的对数，三数比较大小时，注意与0比较或与1比较． 6．解决与本讲有关的问题应注意函数与方程、数形结合、分类讨论、化归与转化等思想的运用．真题感悟1．(2014·安徽)若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (1－x )，0≤x ≤1，sin πx ，1<x ≤2，则f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝________. 答案516解析 ∵f (x )是以4为周期的奇函数， ∴f ⎝⎛⎭⎫294＝f ⎝⎛⎭⎫8－34＝f ⎝⎛⎭⎫－34， f ⎝⎛⎭⎫416＝f ⎝⎛⎭⎫8－76＝f ⎝⎛⎭⎫－76.∵当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )， ∴f ⎝⎛⎭⎫34＝34×⎝⎛⎭⎫1－34＝316.∵当1<x ≤2时，f (x )＝sin πx ，∴f ⎝⎛⎭⎫76＝sin 7π6＝－12. 又∵f (x )是奇函数，∴f ⎝⎛⎭⎫－34＝－f ⎝⎛⎭⎫34＝－316， f ⎝⎛⎭⎫－76＝－f ⎝⎛⎭⎫76＝12. ∴f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎫416＝12－316＝516.2．(2014·福建改编)若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则所给函数图象正确的是________．答案 ②解析由题意得y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过(3,1)点，可解得a ＝3.图象①中，y ＝3－x ＝(13)x ，显然图象错误；图象②中，y ＝x 3，由幂函数图象可知正确；图象③中，y ＝(－x )3＝－x 3，显然与所画图象不符；图象④中，y ＝log 3(－x )的图象与y ＝log 3x 的图象关于y 轴对称，显然不符，故图象②正确．押题精练1．已知函数f (x )＝e |ln x |－⎪⎪⎪⎪x －1x ，则函数y ＝f (x ＋1)的大致图象为________．答案 ①解析据已知关系式可得f (x )＝⎩⎨⎧e－ln x＋⎝⎛⎭⎫x －1x ＝x (0<x ≤1)，eln x－⎝⎛⎫x －1x ＝1x(x >1)，作出其图象然后将其向左平移1个单位即得函数y ＝f (x ＋1)的图象．2．已知函数f (x )＝|log 12x |，若m <n ，有f (m )＝f (n )，则m ＋3n 的取值范围是________．答案 (4，＋∞)解析 ∵f (x )＝|log 12x |，若m <n ，有f (m )＝f (n )，∴log 12m ＝－log 12n ，∴mn ＝1，∴0<m <1，n >1，∴m ＋3n ＝m ＋3m 在m ∈(0,1)上单调递减，当m ＝1时，m ＋3n ＝4，∴m ＋3n >4.3．已知f (x )＝2x －1，g (x )＝1－x 2，规定：当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当|f (x )|<g (x )时，h (x )＝－g (x )，则h (x )的最小值为________．答案－1解析由题意得，利用平移变化的知识画出函数|f (x )|，g (x )的图象如图，而h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|f (x )|，|f (x )|≥g (x )，－g (x )，|f (x )|<g (x )，故h (x )的最小值为－1.4．已知定义在R 上的偶函数满足：f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，且当x ∈[0,2]时，y ＝f (x )单调递减，给出以下四个命题：①f (2)＝0；②x ＝－4为函数y ＝f (x )图象的一条对称轴；③函数y ＝f (x )在[8,10]上单调递增；④若方程f (x )＝m 在[－6，－2]上的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－8. 则所有正确命题的序号为________．答案 ①②④解析令x ＝－2，得f (2)＝f (－2)＋f (2)，又函数f (x )是偶函数，故f (2)＝0，①正确；根据①可得f (x ＋4)＝f (x )，可得函数f (x )的周期是4，由于偶函数的图象关于y 轴对称，故x ＝－4也是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴，②正确；根据函数的周期性可知，函数f (x )在[8,10]上单调递减，③不正确；由于函数f (x )的图象关于直线x ＝－4对称，故如果方程f (x )＝m 在区间[－6，－2]上的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 22＝－4，即x 1＋x 2＝－8，④正确．故正确命题的序号为①②④.(推荐时间：40分钟)1．设函数f (x )＝x 3cos x ＋1.若f (a )＝11，则f (－a )＝________. 答案－9解析令g (x )＝f (x )－1＝x 3cos x ，∵g (－x )＝(－x )3cos(－x )＝－x 3cos x ＝－g (x )， ∴g (x )为定义在R 上的奇函数．又∵f (a )＝11， ∴g (a )＝f (a )－1＝10，g (－a )＝－g (a )＝－10. 又g (－a )＝f (－a )－1，∴f (－a )＝g (－a )＋1＝－9.2．(2014·浙江改编)在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x ≥0)，g (x )＝log a x 的图象可能是________．答案 ④解析幂函数f (x )＝x a 的图象不过(0,1)点，图象①不正确；②由对数函数f (x )＝log a x 的图象知0<a <1，而此时幂函数f (x )＝x a 的图象应是增长越来越慢的变化趋势，故②错；图象③中由对数函数f (x )＝log a x 的图象知a >1，而此时幂函数f (x )＝x a 的图象应是增长越来越快的变化趋势，故③错．图象④是正确的．3．(2014·朝阳模拟)已知函数y ＝f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝lg x ，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫1100的值为________．答案－lg 2解析当x <0时，－x >0，则f (－x )＝lg(－x )．又函数f (x )为奇函数，f (－x )＝－f (x )，所以当x <0时，f (x )＝－lg(－x )．所以f ⎝⎛⎭⎫1100＝lg 1100＝－2，f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫1100＝f (－2)＝－lg 2. 4．设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )(x ∈R )是偶函数，则实数a 的值为________．答案－1解析因为f (x )是偶函数，所以恒有f (－x )＝f (x )，即－x (e －x ＋a e x )＝x (e x ＋a e －x )，化简得x (e －x ＋e x )(a ＋1)＝0.因为上式对任意实数x 都成立，所以a ＝－1.5．设偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，则f (x －2)>0的解集为________．答案 {x |x <0或x >4}解析由于函数f (x )是偶函数，因此有f (|x |)＝f (x )，不等式f (x －2)>0，即f (|x －2|)>0，f (|x －2|)＝2|x －2|－4>0， |x －2|>2，即x －2<－2或x －2>2，由此解得x <0或x >4.∴f (x －2)>0的解集为{x |x <0或x >4}．6．使log 2(－x )<x ＋1成立的x 的取值范围是________．答案 (－1,0)解析在同一坐标系内作出y ＝log 2(－x )，y ＝x ＋1的图象，知满足条件的x ∈(－1,0)．7．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，cos πx ，x <0的图象上关于y 轴对称的点共有________对．答案 3解析因为y ＝cos πx 是偶函数，图象关于y 轴对称．所以，本题可转化成求函数y ＝log 3x 与y ＝cos πx 图象的交点个数的问题．作函数图象如图，可知它们有三个交点，即函数f (x )图象上关于y 轴对称的点有3对．8．(2013·天津)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎦⎤12，2解析由题意知a >0，又log 12a ＝log 2a －1＝－log 2a . ∵f (x )是R 上的偶函数，∴f (log 2a )＝f (－log 2a )＝f (log 12a )． ∵f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)， ∴2f (log 2a )≤2f (1)，即f (log 2a )≤f (1)．又∵f (x )在[0，＋∞)上递增．∴|log 2a |≤1，－1≤log 2a ≤1，∴a ∈⎣⎡⎦⎤12，2.9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 13e x (x ≥2)，f (x ＋1)(x <2)，则f (ln 3)＝________. 答案 e解析 f (ln 3)＝f (ln 3＋1)＝13eln 3＋1＝e ，故填e. 10．已知函数f (x )＝x |x －a |，若对任意的x 1，x 2∈[2，＋∞)，且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]>0恒成立，则实数a 的取值范围为________．答案 {a |a ≤2}解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x －a )，x ≥a ，－x (x －a )，x <a ，由(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0知，函数y ＝f (x )在[2，＋∞)单调递增，当a ≤0时，满足题意，当a >0时，只需a ≤2，即0<a ≤2，综上所述，实数a 的取值范围为a ≤2.11．设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32，则a ＋3b 的值为________．答案－10解析因为f (x )的周期为2，所以f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫32－2＝f ⎝⎛⎭⎫－12，即f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫－12.又因为f ⎝⎛⎭⎫－12＝－12a ＋1，f ⎝⎛⎭⎫12＝b 2＋212＋1＝b ＋43，所以－12a ＋1＝b ＋43. 整理，得a ＝－23(b ＋1)．① 又因为f (－1)＝f (1)，所以－a ＋1＝b ＋22，即b ＝－2a .② 将②代入①，得a ＝2，b ＝－4.所以a ＋3b ＝2＋3×(－4)＝－10.12．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足以下三个条件：①对于任意的x ∈R ，都有f (x ＋4)＝f (x )；②对于任意的x 1，x 2∈R ，且0≤x 1＜x 2≤2，都有f (x 1)＜f (x 2)；③函数y ＝f (x ＋2)的图象关于y 轴对称．则判断f (4.5)，f (6.5)，f (7)的大小关系为________．答案 f (4.5)＜f (7)＜f (6.5)解析由已知得f (x )是以4为周期且关于直线x ＝2对称的函数．所以f (4.5)＝f (4＋12)＝f (12)， f (7)＝f (4＋3)＝f (3)，f (6.5)＝f (4＋52)＝f (52)．又f (x )在[0,2]上为增函数．所以作出其在[0,4]上的图象知f (4.5)＜f (7)＜f (6.5)．13．设函数f (x )＝1＋(－1)x 2(x ∈Z )，给出以下三个结论： ①f (x )为偶函数；②f (x )为周期函数；③f (x ＋1)＋f (x )＝1，其中正确结论的序号是________．答案 ①②③解析对于x ∈Z ，f (x )的图象为离散的点，关于y 轴对称，①正确；f (x )为周期函数，T ＝2，②正确；f (x ＋1)＋f (x )＝1＋(－1)x ＋12＋1＋(－1)x 2 ＝1＋(－1)x ＋1＋(－1)x 2＝1，③正确． 14．能够把圆O ：x 2＋y 2＝16的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O 的“和谐函数”，下列函数是圆O 的“和谐函数”的是________．①f (x )＝e x ＋e －x ；②f (x )＝ln 5－x 5＋x； ③f (x )＝tan x 2；④f (x )＝4x 3＋x . 答案 ②③④解析由“和谐函数”的定义知，若函数为“和谐函数”，则该函数为过原点的奇函数．①中，f (0)＝e 0＋e －0＝2，所以f (x )＝e x ＋e －x 的图象不过原点，故f (x )＝e x ＋e －x 不是“和谐函数”；②中f (0)＝ln 5－05＋0＝ln 1＝0，且f (－x )＝ln 5＋x 5－x ＝－ln 5－x 5＋x＝－f (x )，所以f (x )为奇函数，所以f (x )＝ln 5－x 5＋x为“和谐函数”；③中，f (0)＝tan 0＝0，且f (－x )＝tan －x 2＝－tan x 2＝－f (x )，f (x )为奇函数，故f (x )＝tan x 2为“和谐函数”；④中，f (0)＝0，且f (x )为奇函数，故f (x )＝4x 3＋x 为“和谐函数”，所以，②③④中的函数都是“和谐函数”．。

【十年高考(文数)2010-2019】二函数概念与基本初等函数第六讲函数综合及其应用(附答案)

④若函数
f
(x)
=
a ln(x
+
2)
+
x（ x2 +1
x
>
−2 ， a ∈
R
）有最大值，则
f
(x) ∈
B
．
其中的真命题有
．（写出所有真命题的序号）
三、解答题
17．（2018 上海）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平
均用时，某地上班族 S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当 S 中 x%(0 < x < 100) 的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为
B． 3.75 分钟
C． 4.00 分钟
D． 4.25 分钟
p 0.8 0.7
0.5
O
345 t
7．（2014 湖南）某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为 p ，第二年的增长率为 q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为
A． p + q 2
B． ( p +1)(q +1) −1 2
C． pq
D． ( p +1)(q +1) −1
8．（2014 陕西）如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连续（相切），已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为
y(千米)
y=-x
y=3x-6
湖面
O
2 x(千米)
2 千里之行始于足下
实用文档用心整理
A． y = 1 x3 − 1 x2 − x 22
②当 t 为何值时，公路 l 的长度最短？求出最短长度．
19．（2013 重庆）某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面

专题02 函数的概念与基本初等函数(原卷版)

专题02函数的概念与基本初等函数1．【2019年天津文科05】已知a＝log27，b＝log38，c＝0.30.2，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b2．【2019年天津文科08】已知函数f（x）若关于x的方程f（x）x+a（a∈R）恰有两个互异的实数解，则a的取值范围为（）A．[，] B．（，] C．（，]∪{1} D．[，]∪{1}3．【2019年新课标3文科12】设f（x）是定义域为R的偶函数，且在（0，+∞）单调递减，则（）A．f（log3）＞f（2）＞f（2）B．f（log3）＞f（2）＞f（2）C．f（2）＞f（2）＞f（log3）D．f（2）＞f（2）＞f（log3）4．【2019年新课标2文科06】设f（x）为奇函数，且当x≥0时，f（x）＝e x﹣1，则当x＜0时，f（x）＝（）A．e﹣x﹣1 B．e﹣x+1 C．﹣e﹣x﹣1 D．﹣e﹣x+15．【2019年新课标1文科03】已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a6．【2019年北京文科03】下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y＝x B．y＝2﹣x C．y＝log x D．y7．【2018年新课标2文科12】已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）＝f（1+x），若f（1）＝2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝（）A．﹣50 B．0 C．2 D．508．【2018年新课标1文科12】设函数f（x），则满足f（x+1）＜f（2x）的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1] B．（0，+∞）C．（﹣1，0）D．（﹣∞，0）9．【2018年新课标3文科07】下列函数中，其图象与函数y＝lnx的图象关于直线x＝1对称的是（）A．y＝ln（1﹣x）B．y＝ln（2﹣x） C．y＝ln（1+x）D．y＝ln（2+x）10．【2018年北京文科05】“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为（）A．f B．f C．f D．f11．【2018年天津文科05】已知a，b，c，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b12．【2017年北京文科05】已知函数f（x）＝3x﹣（）x，则f（x）（）A．是偶函数，且在R上是增函数B．是奇函数，且在R上是增函数C．是偶函数，且在R上是减函数D．是奇函数，且在R上是减函数13．【2017年北京文科08】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，则下列各数中与最接近的是（）（参考数据：lg3≈0.48）A．1033B．1053C．1073D．109314．【2017年天津文科06】已知奇函数f（x）在R上是增函数．若a＝﹣f（），b＝f（log24.1），c＝f （20.8），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b15．【2017年天津文科08】已知函数f（x），设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥|a|在R上恒成立，则a的取值范围是（）A ．[﹣2，2]B ．C ．D ．16．【2018年新课标1文科13】已知函数f （x ）＝log 2（x 2+a ），若f （3）＝1，则a ＝． 17．【2018年新课标3文科16】已知函数f （x ）＝ln （x ）+1，f （a ）＝4，则f （﹣a ）＝．18．【2018年天津文科14】已知a ∈R ，函数f （x ）．若对任意x ∈[﹣3，+∞），f （x ）≤|x |恒成立，则a 的取值范围是．19．【2017年新课标2文科14】已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ∈（﹣∞，0）时，f （x ）＝2x 3+x 2，则f （2）＝．20．【2017年新课标3文科16】设函数f （x ），则满足f （x ）+f （x ）＞1的x 的取值范围是．21．【2017年北京文科11】已知x ≥0，y ≥0，且x +y ＝1，则x 2+y 2的取值范围是．1．【山西省晋城市2019届高三第三次模拟考试】若函数(()sin ln f x x ax =⋅的图象关于y 轴对称，则实数a 的值为（） A ．2B ．4C ．2±D ．4±2．【广东省东莞市2019届高三第二学期高考冲刺试题（最后一卷)】己知()f x 是定义在R 上的偶函数，在区间(]0-∞，为增函数，且()30f =，则不等式(12)0f x ->的解集为（） A ．()10-，B ．()12-，C ．()02，D ．()2，+∞ 3．【天津市河北区2019届高三一模】已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在[)0,+∞内单调递减，则（）A ．()()()320log 2log 3f f f <<-B ．()()()32log 20log 3f f f <<-C ．()()()23log 3log 20f f f -<<D ．()()()32log 2log 30f f f <-<4．【天津市红桥区2019届高三二模】已知 1.22a =，52log 2=b ，1ln3c =，则（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>5．【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评】已知函数()221log 2xf x x+=-，若()f a b =，则()4f a -=（）A ．bB ．2b -C ．b -D ．4b -6．【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评】已知函数()21x f x x =-，则（）A ．()f x 在()0,1单调递增B ．()f x 的最小值为4C ．()y f x =的图象关于直线1x =对称D ．()y f x =的图象关于点()1,2对称7．【山东省栖霞市2019届高三高考模拟卷（新课标I)】已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，当01x ≤≤时，2()f x x =，则(1)(2)(3)(2019)f f f f ++++=L （）A ．2019B ．0C ．1D ．-18．【天津市红桥区2019届高三一模】若方程2121x kx x -=--有两个不同的实数根，则实数k 的取值范围是（） A ．(),1-∞-B ．()1,0-C ．()0,4D ．()()0,11,49．【天津市部分区2019届高三联考一模】设,m n R ∈，则“m n <”是“112m n-⎛⎫> ⎪⎝⎭”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．【广东省2019届高考适应性考试】某罐头加工厂库存芒果()m kg ，今年又购进()n kg 新芒果后，欲将芒果总量的三分之一用于加工为芒果罐头。

2023年高考数学总复习第二章函数概念与基本初等函数第6节：对数与对数函数(教师版)

2023年高考数学总复习第二章函数概念与基本初等函数第6节对数与对数函数考试要求1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图像通过的特殊点，会画底数为2，10，12的对数函数的图像；3.体会对数函数是一类重要的函数模型；4.了解指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数.1.对数的概念一般地，如果a (a >0，a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b ＝N ，那么数b 叫作以a 为底N 的对数，记作log a N ＝b .其中a 叫作对数的底数，N 叫作真数.2.对数的性质、运算性质与换底公式(1)对数的性质：①a log a N ＝N ；②log a a b ＝b (a >0，且a ≠1).(2)对数的运算性质如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么①log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②log a MN ＝log a M －log a N ；③log a M n ＝n log a M (n ∈R ).(3)换底公式：log b N ＝log a Nlog a b(a ，b 均大于零且不等于1，N >0).3.对数函数及其性质(1)概念：函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫作对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).(2)对数函数的图像与性质a >10<a <1图像性质定义域：(0，＋∞)值域：R当x ＝1时，y ＝0，即过定点(1，0)当x >1时，y >0；当0<x <1时，y <0当x >1时，y <0；当0<x <1时，y >0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的图像关于直线y ＝x 对称.1.换底公式的两个重要结论(1)log a b ＝1log b a (a >0，且a ≠1；b >0，且b ≠1).(2)log a m b n ＝nm log a b (a >0，且a ≠1；b >0；m ，n ∈R ，且m ≠0).2.在第一象限内，不同底的对数函数的图像从左到右底数逐渐增大.3.对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像过定点(1，0)，且过点(a ，1)函数图像只在第一、四象限.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)log 2x 2＝2log 2x .()(2)函数y ＝log 2(x ＋1)是对数函数.()(3)函数y ＝ln1＋x1－x与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同.()(4)当x >1时，若log a x >log b x ，则a <b .()答案(1)×(2)×(3)√(4)×解析(1)log 2x 2＝2log 2|x |，故(1)错误.(2)形如y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)为对数函数，故(2)错误.(4)若0<b <1<a ，则当x ＞1时，log a x ＞log b x ，故(4)错误.2.(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录法的数据V 满足L ＝5＋lg V .已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(1010≈1.259)()A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6答案C解析由题意知，4.9＝5＋lg V ，得lg V ＝－0.1，得V ＝10－110＝11010≈11.259≈0.8，所以该同学视力的小数记录法的数据约为0.8.3.(2021·天津卷)设a ＝log 20.3，b ＝log 120.4，c ＝0.40.3，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a ＜b ＜cB.c ＜a ＜bC.b ＜c ＜aD.a ＜c ＜b答案D解析∵log 20.3＜log 21＝0，∴a ＜0.∵log 120.4＝－log 20.4＝log 252＞log 22＝1，∴b ＞1.∵0＜0.40.3＜0.40＝1，∴0＜c ＜1，∴a ＜c ＜b .4.(易错题)函数y ＝log a (x －1)＋2(a >0，且a ≠1)的图像恒过的定点是________.答案(2，2)解析当x ＝2时，函数y ＝log a (x －1)＋2(a >0，且a ≠1)的值为2，所以图像恒过定点(2，2).5.(易错题)已知lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，则xy ＝________.答案4解析∵lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，∴lg(xy )＝lg(x －2y )2，x >0，y >0，x －2y >0，xy ＝（x －2y ）2，x >2y ，y >0，（x －y ）（x －4y ）＝0，则x ＝4y >0，∴xy＝4.6.若函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则a ＝________.答案2或12解析当0<a <1时，f (x )＝log a x 在[2，4]上单调递减，故f (x )max ＝f (2)，f (x )min ＝f (4)，则f (2)－f (4)＝log a 12＝1，解得a ＝12.当a >1时，f (x )在[2，4]上单调递增，此时f (x )max ＝f (4)，f (x )min ＝f (2)，则f (4)－f (2)＝log a 2＝1，解得a ＝2.考点一对数的运算1.(2020·全国Ⅰ卷)设a log 34＝2，则4－a ＝()A.116B.19C.18D.16答案B 解析法一因为a log 34＝2，所以log 34a ＝2，则4a ＝32＝9，所以4－a ＝14a ＝19.法二因为a log 34＝2，所以a ＝2log 34＝2log 43＝log 432＝log 49，所以4－a ＝4－log 49＝4log 49－1＝9－1＝19.2.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m 2－m 1＝52lg E1E 2，其中星等为m k 的星的亮度为E k (k ＝1，2).已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为()A.1010.1B.10.1C.lg10.1D.10－10.1答案A解析依题意，m1＝－26.7，m2＝－1.45，代入所给公式得52lg E1E2＝－1.45－(－26.7)＝25.25.所以lg E1E2＝25.25×25＝10.1，即E1E2＝1010.1.3.(2021·天津卷)若2a＝5b＝10，则1a＋1b＝()A.－1B.lg7C.1D.log710答案C解析∵2a＝5b＝10，∴a＝log210，b＝log510，∴1a＋1b＝1log210＋1log510＝lg2＋lg5＝lg10＝1.4.计算：（1－log63）2＋log62·log618log64＝________.答案1解析原式＝1－2log63＋（log63）2＋log663·log6（6×3）log64＝1－2log63＋（log63）2＋1－（log63）2log64＝2（1－log63）2log62＝log66－log63log62＝log62log62＝1.感悟提升 1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并.2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.3.a b＝N⇔b＝log a N(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.考点二对数函数的图像及应用例1(1)函数f (x )＝log a |x |＋1(0<a <1)的图像大致为()(2)若方程4x ＝log a x 0，12上有解，则实数a 的取值范围为________.答案(1)A0，22解析(1)由函数f (x )的解析式可确定该函数为偶函数，图像关于y 轴对称.设g (x )＝log a |x |，先画出x >0时，g (x )的图像，然后根据g (x )的图像关于y 轴对称画出x <0时g (x )的图像，最后由函数g (x )的图像向上整体平移一个单位长度即得f (x )的图像，结合图像知选A.(2)若方程4x ＝log a x 0，12上有解，则函数y ＝4x 和函数y ＝log a x 0，120<a <1，log a 12≤2，解得0<a ≤22.感悟提升对数函数图像的识别及应用方法(1)在识别函数图像时，要善于利用已知函数的性质，函数图像上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解.训练1(1)已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，a ≠1)的图像如图，则下列结论成立的是()A.a >1，c >1B.a >1，0<c <1C.0<a <1，c >1D.0<a <1，0<c <1(2)已知函数f (x )log 2x ，x >0，3x，x ≤0，关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________.答案(1)D(2)(1，＋∞)解析(1)由该函数的图像通过第一、二、四象限知该函数为减函数，∴0<a <1，∵图像与x 轴的交点在区间(0，1)之间，∴该函数的图像是由函数y ＝log a x 的图像向左平移不到1个单位长度后得到的，∴0<c <1.(2)问题等价于函数y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图像有且只有一个交点，结合函数图像可知a>1.考点三解决与对数函数的性质有关的问题角度1比较大小例2(1)已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则()A.a >b >cB.a >c >bC.c >b >aD.c >a >b(2)若实数a ，b ，c 满足log a 2<log b 2<log c 2<0，则下列关系中正确的是()A.a 1.∴c >a >b .(2)根据不等式的性质和对数的换底公式可得1log 2a <1log 2b <1log 2c<0，即log 2c <log 2b <log 2a <0，可得c a >c .角度2解对数不等式例3(1)(2022·太原质检)定义在R 上的奇函数f (x )，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，则不等式f (x )<－1的解集是________.(2)不等式log a (a 2＋1)<log a (2a )<0，则a 的取值范围是________.答案(1)(－∞，－2)解析(1)设x <0，则－x >0，∴f (x )＝－f (－x )＝－log 2(－x )，∴f (x )2x ，x >0，，x ＝0，log 2（－x ），x <0.当x >0时，f (x )<－1，即log 2x <－1＝log 212，解得0<x <12.当x <0时，f (x )<－1，即－log 2(－x )<－1，则log 2(－x )>1＝log 22，解得x <－2.当x ＝0时，f (x )＝0<－1显然不成立.综上，原不等式的解集为(－∞，－2)(2)由题意得a >0且a ≠1，故必有a 2＋1>2a .又log a (a 2＋1)<log a (2a )<0，所以0<a <1，所以2a >1，即a >12.综上，12<a <1.角度3对数型函数性质的综合应用例4已知函数f (x )＝log(1)若函数f (x )是R 上的奇函数，求a 的值；(2)若函数f (x )的定义域是一切实数，求a 的取值范围；(3)若函数f (x )在区间[0，1]上的最大值与最小值的差不小于2，求实数a 的取值范围.解(1)若函数f (x )是R 上的奇函数，则f (0)＝0，∴log 2(1＋a )＝0，∴a ＝0.当a ＝0时，f (x )＝－x 是R 上的奇函数.所以a ＝0.(2)若函数f (x )的定义域是一切实数，则12x ＋a >0恒成立.即a >－12x 恒成立，由于－12x ∈(－∞，0)，故只要a ≥0，则a 的取值范围是[0，＋∞).(3)由已知得函数f (x )是减函数，故f (x )在区间[0，1]上的最大值是f (0)＝log 2(1＋a )，最小值是f (1)＝log由题设得log 2(1＋a )－log2，则log 2(1＋a )≥log 2(4a ＋2).＋a ≥4a ＋2，a ＋2>0，解得－12<a ≤－13.故实数a －12，－13.感悟提升1.比较对数值的大小与解形如log a f (x )>log a g (x )的不等式，主要是应用函数的单调性求解，如果a 的取值不确定，需要分a >1与0<a <1两种情况讨论.2.与对数函数有关的复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.训练2(1)(2019·天津卷)已知a ＝log 27，b ＝log 38，c ＝0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系为()A.c 0，且a ≠1)，若f (x )>1在区间[1，2]上恒成立，则实数a 的取值范围是________.答案(1)A(2)[1，2)解析(1)显然c ＝0.30.2∈(0，1).因为log 33<log 38<log 39，所以1log 24＝2，所以a >2.故c 0，≥1，－a >0，≥1，解得1≤a <2，即a ∈[1，2).(3)当a >1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1，2]上是减函数，由f (x )>1在区间[1，2]上恒成立，则f (x )min ＝f (2)＝log a (8－2a )>1，即8－2a >a ，且8－2a >0，解得1<a <83.当0<a <1时，f (x )在[1，2]上是增函数，由f (x )>1在区间[1，2]上恒成立，知f (x )min ＝f (1)＝log a (8－a )>1，且8－2a >0.∴8－a <a 且8－2a >0，此时解集为∅.综上可知，实数a1.已知b >0，log 5b ＝a ，lg b ＝c ，5d ＝10，则下列等式一定成立的是()A.d ＝acB.a ＝cdC.c ＝adD.d ＝a ＋c答案B解析∵log 5b ＝a ，lg b ＝c ，∴5a ＝b ，10c ＝b .又∵5d ＝10，∴5a ＝b ＝10c ＝(5d )c ＝5cd ，∴a ＝cd .2.(2021·濮阳模拟)已知函数f (x )＝x ＋43x ＋的值域是全体实数，则实数m 的取值范围是()A.(－4，＋∞)B.[－4，＋∞)C.(－∞，－4)D.(－∞，－4]答案D解析由题意可知3x ＋43x ＋m 能取遍所有正实数.又3x ＋43x ＋m ≥m ＋4，所以m ＋4≤0，即m ≤－4.∴实数m 的取值范围为(－∞，－4].3.若函数f (x )＝|x |＋x 3，则f (lg 2)＋f (lg 5)＋()A.2B.4C.6D.8答案A解析由于f (x )＝|x |＋x 3，得f (－x )＋f (x )＝2|x |.又lg 12＝－lg 2，lg 15＝－lg 5.所以原式＝2|lg 2|＋2|lg 5|＝2(lg 2＋lg 5)＝2.4.(2021·新高考Ⅱ卷)已知a ＝log 52，b ＝log 83，c ＝12，则下列判断正确的是()A.c 0，且a ≠1)的图像可能是()答案D解析若a >1，则y ＝1ax 单调递减，A ，B ，D 不符合，且y ＝log C 项不符合，因此0<a <1.当0<a <1时，函数y ＝a x 的图像过定点(0，1)，在R 上单调递减，于是函数y ＝1x的图像过定点(0，1)，在R 上单调递增，函数y ＝log a在(－12，＋∞)上单调递减.因此，选项D 中的两个图像符合.6.已知函数f (x )＝log 2(1－|x |)，则关于函数f (x )有下列说法：①f(x)的图像关于原点对称；②f(x)的图像关于y轴对称；③f(x)的最大值为0；④f(x)在区间(－1，1)上单调递增.其中正确的是()A.①③B.①④C.②③D.②④答案C解析f(x)＝log2(1－|x|)为偶函数，不是奇函数，∴①错误，②正确；根据f(x)的图像(图略)可知④错误；∵1－|x|≤1，∴f(x)≤log21＝0，故③正确.7.(2021·济南一中检测)已知函数y＝log a(2x－3)＋2(a>0且a≠1)的图像恒过定点A，若点A也在函数f(x)＝3x＋b的图像上，则b＝________.答案－7解析令2x－3＝1，得x＝2，∴定点为A(2，2)，将定点A的坐标代入函数f(x)中，得2＝32＋b，解得b＝－7.8.计算：lg25＋lg50＋lg2·lg500＋(lg2)2＝________.答案4解析原式＝2lg5＋lg(5×10)＋lg2·lg(5×102)＋(lg2)2＝2lg5＋lg5＋1＋lg2·(lg5＋2)＋(lg2)2＝3lg5＋1＋lg2·lg5＋2lg2＋(lg2)2＝3lg5＋2lg2＋1＋lg2(lg5＋lg2)＝3lg5＋2lg2＋1＋lg2＝3(lg5＋lg2)＋1＝4.9.函数f(x)＝log2x·log2(2x)的最小值为________.答案－1 4解析依题意得f(x)＝12log2x·(2＋2log2x)＝(log2x)2＋log2x2x－14≥－14，当log 2x ＝－12，即x ＝22时等号成立，所以函数f (x )的最小值为－14.10.已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝log a (x ＋1)(a >0，且a ≠1).(1)求函数f (x )的解析式；(2)若－1<f (1)<1，求实数a 的取值范围.解(1)当x <0时，－x >0，由题意知f (－x )＝log a (－x ＋1)，又f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (－x )＝f (x ).所以当x <0时，f (x )＝log a (－x ＋1)，所以函数f (x )的解析式为f (x )a （x ＋1），x ≥0，a （－x ＋1），x <0.(2)因为－1<f (1)<1，所以－1<log a 2<1，所以log a 1a<log a 2<log a a .①当a >1，，解得a >2；②当0<a <1，，解得0<a <12.综上，实数a(2，＋∞).11.已知函数f (x )＝log 21＋axx －1(a 为常数)是奇函数.(1)求a 的值与函数f (x )的定义域；(2)若当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＋log 2(x －1)>m 恒成立，求实数m 的取值范围.解(1)因为函数f (x )＝log 21＋axx －1是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以log 21－ax －x －1＝－log 21＋axx －1，即log 2ax －1x ＋1＝log 2x －11＋ax ，所以a ＝1，f (x )＝log 21＋xx －1，令1＋xx －1>0，解得x <－1或x >1，所以函数的定义域为{x |x <－1或x >1}.(2)f (x )＋log 2(x －1)＝log 2(1＋x )，当x >1时，x ＋1>2，所以log 2(1＋x )>log 22＝1.因为x ∈(1，＋∞)时，f (x )＋log 2(x －1)>m 恒成立，所以m ≤1，所以m 的取值范围是(－∞，1].12.(2022·烟台模拟)某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P (单位：mg/L)与时间t (单位：h )间的关系式为P ＝P 0e －kt ，其中P 0，k 为正常数.如果一定量的废气在前10h 的过滤过程中污染物被消除了20%，那么污染物减少到最初含量的50%还需要经过多长时间？(结果四舍五入取整数，参考数据：ln 2≈0.693，ln 5≈1.609)()A.11hB.21hC.31hD.41h答案B解析由已知得1－15＝e －10k ，方程两边同取自然对数得ln 45＝－10k ，所以k ＝2ln 2－ln 5－10≈0.0223.设污染物减少到最初含量的50%需要经过t h ，则12＝e －0.0223t ，方程两边同取自然对数得ln12＝－0.0223t ，解得t ≈31.所以还需要经过31－10＝21(h)使污染物减少到最初含量的50%，故选B.13.已知函数f (x )2（x －1），x >1，x ，x ≤1，且关于x 的方程f (x )－a ＝0有两个实数根，则实数a的取值范围为()A.(0，1)B.(0，1]C.(1，2)D.(0，2]答案D解析作出函数y＝f(x)的图像(如图)，方程f(x)－a＝0有两个实数根，即y＝f(x)与y＝a有两个交点，由图知，0<a≤2.14.(2022·郑州调研)在①f(x)＋f(－x)＝0，②f(x)－f(－x)＝0，③f(－2)＝－f(2)这三个条件中选择一个合适的补充在下面问题中，并给出解答.已知函数f(x)＝log2(x2＋a＋x)(a∈R)满足________.(1)求a的值；.(2)若函数g(x)＝2f(－x)＋1－x2＋1，证明：g(x2－x)≤54注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.解若选择②f(x)－f(－x)＝0，因为f(x)－f(－x)＝0，所以log2(x2＋a＋x)－log2(x2＋a－x)＝0，所以x2＋a＋x＝x2＋a－x，所以x＝0，a≥0，此时求不出a的具体值，所以不能选②.若选择①f(x)＋f(－x)＝0，(1)因为f(x)＋f(－x)＝0，所以log2(x2＋a＋x)＋log2(x2＋a－x)＝0，所以log2[(x2＋a＋x)(x2＋a－x)]＝0，所以x2＋a－x2＝1，解得a＝1.若选择③f(－2)＝－f(2)，(1)因为f(－2)＝－f(2)，所以log2(4＋a－2)＝－log2(4＋a＋2)，所以(4＋a－2)(4＋a＋2)＝1，所以4＋a－4＝1，所以a＝1.(2)由(1)知f(x)＝log2(x2＋1＋x)，f(－x)＝log2(x2＋1－x)，所以g(x)＝2log2(x2＋1－x)＋1－x2＋1＝x2＋1－x＋1－x2＋1＝－x＋1，所以g(x2－x)＝－(x2－x)＋1＝－x2＋x＋1＋54≤54.。

高考数学一轮复习第2章函数的概念与基本初等函数第6讲对数与对数函数课件文

(1)确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义域上进行． (2)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误． (3)在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解．在利用单调性时，一定要明确底数 a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件．
A．3
B．13
C． 3
D．
3 3
解析：选 D.因为 xlog34＝1，即 log34x＝1.所以 4x＝3.即 2x＝ 3，
所以
2－x＝
1＝ 3
3 3.
12/11/2021
(必修 1 P71 例 7(1)改编)函数 y＝log2x2 的大致图象是( )
解析：选 D.法一：f(－x)＝log2(－x)2＝log2x2＝f(x)．所以 y＝log2x2 的图象关于 y 轴对称，故选 D. 法二：y＝log2x2＝2log2|x|＝22lloogg22x（，－x＞ x）0，，x＜0. 作出图象可知选 D.
【答案】
(1)D
1 (2)4
12/11/2021
(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项． (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
12/11/2021
【对点通关】 1．(必修 1 P73 练习 T1 改编)若函数 y＝a|x|(a>0，且 a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数 y＝loga|x|的图象大致是( )
12/11/2021
【对点通关】
1．(2016·高考全国卷Ⅰ)若 a>b>0，0<c<1，则( )

高三数学课件：第二章函数的概念与基本初等函数 2-6

(2)曲线|y|＝2x＋1 与直线 y＝b 的图象如图所示，由图象可得：如果|y|＝2x＋1 与直线 y＝b 没有公共点，则 b 应满足的条件是 b ∈[－1,1]．
[答案] (1)B (2)[－1,1]
[拓展探究] (1)若将本例(2)中“|y|＝2x＋1”改为“y＝|2x－ 1|”，且与直线 y＝b 有两个公共点，求 b 的取值范围．
第
二函数的概念与基本初等函数
章
第六节
指数与指数函数
高考概览 1.了解指数函数模型的实际背景；2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；3.理解指数函数的概念及指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点；4.知道指数函数是一类重要的函数模型.
吃透教材夯双基
填一填记一记厚积薄发
是 a>1，还是 0<a<1，在第一象限内底数越大，函数图象越高．
如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx 的图象，则 a，b，c，d 与 1 的大小关系为 c>d>1>a>b>0 .
[小题速练]
1
1．化简[(－2)6] 2 －(－1)0 的结果为( )
A．－9
B．7
C．－10
1
1
m
②负分数指数幂：a－mn ＝ a n
＝
n am (a>0，m，n∈N*，
且 n>1)；
③0 的正分数指数幂等于没有意义．
0 ,0 的负分数指数幂
(2)有理数指数幂的性质 ①aras＝ ar＋s (a>0，r，s∈Q)； ②(ar)s＝ ars (a>0，r，s∈Q)； ③(ab)r＝ arbr (a>0，b>0，r∈Q)．

高中数学专题微专题2 基本初等函数、函数的应用

A.y＝1.002x
1
C.y＝ x 3－5
√B.y＝log7x＋1
D.y＝5＋sin x
由题意，函数在(10,1 000)上单调递增，故D不符合题意，排除D；
1
因为当x∈(10,125)时，y＝x 3－5<0，故C不符合题意，排除C；
当x＝1 000时，1.0021 000≈7.37>5，故y＝1.002x不符合题意，排除A；
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
对于D选项，当T＝360，P＝729时，lg P＝ lg 729∈(lg 102，lg 103)，即lg P∈(2,3)，根据图象可知，二氧化碳处于超临界状态.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
(1，＋∞)上单调递减，所以由复合函数的单调性可知，f(x)在(－∞，
1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减.易知f(x)的图象关于直线x＝1
对称，所以
c＝f
6
2
＝
f
2－
6
2
，
又
2 2
<2 －
6 2<
3 2
<1 ，
所以
f
2
2
<f
2－
26<f
23，所以
b>c>a.
跟则实踪数训a练的1取值(1)范(2围02是3·广东联考)已知函数f(x)＝2－x，12xx≥，0x<，0，若f(a)<f(6－a)，
PART TWO
热点突破
1.(2023·通州模拟)下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递增的是
A.y＝1x C.y＝ex＋e－x
√B.y＝x3

【600分考点-700分考法】2020版高考理数：专题(2)函数的概念与基本初等函数I

＝
1 x2
－1＝ 1x＋11x－1
＝ 1x＋11x＋1－2，
∴f(x)＝x2－2x(x≠1)．
方法二(换元法)：设
1 x
＋1＝t，则x＝
t－1 1(t≠1)，
∴f(t)＝

1 1
2
－1＝(t－1)2－1＝t2－2t，∴f(x)＝x2－2x(x≠1)．
t－1
考点一函数的概念
求函数的值域时，应根据解析式的结构特点，选择适当的方法，常
见的方法： (1)配方法．将形如y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数配方，转化为顶点
式，利用二次函数值域的求法求解．
(2)单调性法．先判断函数的单调性，利用单调性确定函数的最值，进而求得值域．若f(x)在[a，b]上单调递增，则x∈[a，b]时，
函数f(2x)的定义域为[0，1]．所以函数g(x)有意义的条件是
0≤x≤1，
x－1≠0，
解得0≤x＜1.故函数g(x)的定义域是[0，1)．
【答案】[0，1）
考点一函数的概念方法2 求函数的解析式
求函数解析式的常见方法：
(1)待定系数法．若已知函数的类型(如一次函数、二次函数等)，可直接设出函数解析式．例如，二次函数可设为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，其中a，b，c 是待定系数，根据题设条件列出方程组，解出a，b，c即可． (2)换元法．已知f(h(x))＝g(x)，求f(x)时，可设h(x)＝t，从中解出x(用t 表示x)，代入g(x)中进行换元得到f(t)，最后将t换成x即可．
考点一函数的概念
必备知识全面把握
1．函数的定义
一般地，设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y=f(x),x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．

第2章函数概念与基本初等函数 (6)

根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本 Q 与上市时间 t 的变化关系： Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a· bt，Q＝a·logbt. 利用你选取的函数，求： (1)西红柿种植成本最低时的上市天数是 ________； (2)最低种植成本是 ________元/100 kg.
栏目导引
第二章函数概念与基本初等函数
函数模型对数函数模型幂函数模型
函数解析式 f(x)＝blogax＋c(a，b，c 为常数，a>0 且 a≠1， b≠0) f(x)＝axn＋b(a，b，n 为常数，a≠0，n≠0)
栏目导引
第二章函数概念与基本初等函数
2.三种函数模型性质比较 y＝ax(a>1) 在(0，＋∞) 上的单调性增长速度 y＝logax(a>1) y＝xn(n>0)
栏目导引
第二章函数概念与基本初等函数
【解析】
根据题意，要使附加税不少于 128 万元，
5 需30－2R×160×R%≥128，
整理得 R2－12R＋32≤0，解得 4≤R≤8，即 R∈[4，8]．
【答案】 A
栏目导引
第二章函数概念与基本初等函数
角度二
构建指数函数、对数函数模型
2 a (60 － 120) ＋m＝116， a＝0.01，解得 2 a(100－120) ＋m＝84， m＝80，
所以 Q＝0.01(t－120)2＋80，故当上市天数为 120 时，种植成本取到最低值 80 元/100 kg.
答案：(1)120 (2)80
栏目导引
栏目导引
)
解析：选 B．根据散点图知，选择 y＝a＋b x最适合，故选 B．

加练半小时高考数学江苏专用理科专题复习：6专题2 函数概念与基本初等函数含答案

训练目标 (1)函数的概念；(2)函数的“三要素”；(3)函数的表示法.训练题型(1)函数的三种表示方法；(2)函数定义域求法；(3)函数值域的简单求法；(4)分段函数.解题策略(1)函数的核心是对应关系，任一自变量都对应唯一一个函数值；(2)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f [g (x )]的定义域可由不等式a ≤g (x )≤b 解出；(3)分段函数是一个函数，解决分段函数的关键是根据定义域中的不同区间分类讨论.1．(2015·湖北改编)函数f (x )＝4－|x |＋lg x x －3的定义域为________．2．函数y ＝1－x ＋x 的定义域为________． 3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x >0，π，x ＝0，π2＋1，x <0，则f {f [f (－1)]}＝________.4．记函数f (x )＝3－x 的定义域为A ，则A ∩N 中有________个元素．5．(2015·山东)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －b ，x ＜1，2x ，x ≥1.若f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫56 ＝4，则b ＝________. 6．(2015·宁夏大学附属中学上学期期中)函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ∈(－∞，－1)，log 2x ，x ∈[1，＋∞)的值域为________．7．将长度为2的一根铁条折成长为x 的矩形，矩形的面积y 关于x 的函数关系式是y ＝x (1－x )，则函数的定义域是________．8．设函数y ＝f (x )在R 上有定义．对于给定的正数M ，定义函数f M (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤M ，M ，f (x )>M ，则称函数f M (x )为f (x )的“孪生函数”．若给定函数f (x )＝2－x 2，M ＝1，则f M (0)＝________. 9．已知函数f (x ＋1)＝x ＋2x ，则函数f (x )的解析式为________．10．规定记号“⊗”表示一种运算，即a ⊗b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为非负实数)，若1⊗k ＝3，则k 的值为________；函数f (x )＝k ⊗x 的值域为________．11．(2015·湖北重点中学上学期第三次月考)若函数f (x )＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为[－254，－4]，则实数m 的取值范围是________．12．已知函数f (x )＝1－x 2，函数g (x )＝2a cos(π3x )－3a ＋2(a >0)，若存在x 1，x 2∈[0,1]，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，则实数a 的取值范围是________． 13．下列各组函数中，表示同一函数的有________个． ①y ＝x －1和y ＝x 2－1x ＋1；②f (x )＝x 2和g (x )＝(x ＋1)2； ③f (x )＝(x )2x 和g (x )＝x(x )2.14．函数y ＝f (x )的图象如图所示，给出下列说法： ①函数y ＝f (x )的定义域是[－1,5]； ②函数y ＝f (x )的值域是(－∞，0]∪[2,4]； ③函数y ＝f (x )在定义域内是增函数； ④函数y ＝f (x )在定义域内的导数f ′(x )>0. 其中正确的是________．答案解析1．(2,3)∪(3,4]解析依题意，有4－|x |≥0，解得－4≤x ≤4①；x 2－5x ＋6x －3>0，解得x >2且x ≠3②；由①②求交集得函数的定义域为(2,3)∪(3,4]． 2．{x |0≤x ≤1}解析由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，x ≥0，解得0≤x ≤1.3．π解析 f (－1)＝π2＋1，所以f {f [f (－1)]}＝f [f (π2＋1)]＝f (0)＝π. 4．4解析由3－x ≥0，得x ≤3，即A ＝{x |x ≤3}，所以A ∩N ＝{0,1,2,3}，有4个元素． 5.12解析由题意得f ⎝⎛⎭⎫56＝3×56－b ＝52－b . 若52－b ≥1，即b ≤32时，252－b ＝4，解得b ＝12. 若52－b ＜1，即b ＞32时，3×⎝⎛⎭⎫52－b －b ＝4，解得b ＝78(舍去)．所以b ＝12.6．[0，＋∞)解析当x ≥1时，log 2x ≥log 21＝0；当x <－1时，0<3x <3－1＝13，故函数的值域为{y |y ≥0}∪{y |0<y <13}＝{y |y ≥0}．7．{x |0<x <1}解析由于矩形的长和宽均大于零，所以有x >0且2－2x2>0，得0<x <1.8．1解析由题设f (x )＝2－x 2≤1，得当x ≤－1或x ≥1时，f M (x )＝2－x 2；当－1<x <1时，f M (x )＝1.∴f M (0)＝1. 9．f (x )＝x 2－1(x ≥1)解析设x ＋1＝t ，则t ≥1，x ＝t －1，两边平方得x ＝(t －1)2，∴f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1，∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)． 10．1 [1，＋∞)解析 ∵a ⊗b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为非负实数)， ∴1⊗k ＝k ＋1＋k ＝3(k 为非负实数)，解得k ＝1. 函数f (x )＝k ⊗x ＝1⊗x ＝x ＋1＋x ，设f 1(x )＝x ，则f 1(x )在[0，＋∞)上为增函数．设f 2(x )＝x ＋1，则f 2(x )在[0，＋∞)上也为增函数．由此可得f (0)＝1为f (x )的最小值，所以f (x )＝x ＋1＋x 的值域为[1，＋∞)． 11．[32，3]解析函数f (x )＝x 2－3x －4的图象开口向上，对称轴为直线x ＝32，f (32)＝－254，f (0)＝－4，f (3)＝－4.因为所给值域中包括最小值，所以m 的取值范围是[32，3]．12．[12，2]解析当x ∈[0,1]时，f (x )＝1－x 2的值域是[0,1]，g (x )＝2a cos(π3x )－3a ＋2(a >0)的值域是[2－2a,2－a ]，为使存在x 1，x 2∈[0,1]，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，需[0,1]∩[2－2a,2－a ]≠∅.由[0,1]∩[2－2a,2－a ]＝∅，得1<－2a ＋2或2－a <0，解得a <12或a >2.所以，若存在x 1，x 2∈[0,1]，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，则实数a 的取值范围是12≤a ≤2.13．1解析 ①中两函数的定义域不同；②中两函数的对应法则不同；③中两个函数都能化为f (x )＝1(x >0)，表示同一个函数． 14．①②解析①②正确；函数y＝f(x)在定义域内不是增函数，因而③④错误．。

加练半小时高考数学江苏专用理科专题复习：9专题2 函数概念与基本初等函数含答案

训练目标函数的单调性、最值、奇偶性、周期性. 训练题型 (1)判定函数的性质；(2)求函数值或解析式；(3)求参数或参数范围；(4)和函数性质有关的不等式问题.解题策略 (1)利用奇偶性或周期性求函数值(或解析式)，要根据自变量之间的关系合理转换；(2)和单调性有关的函数值大小问题，先化到同一单调区间；(3)解题时可以根据函数性质作函数的草图，充分利用数形结合思想.①y ＝x ＋1；②y ＝－x 3；③y ＝1x；④y ＝x |x |. 2．(2015·黄冈调研)定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＋f (x )＝0，f (x )＝f (x ＋4)，且x ∈(－2,0)时，f (x )＝2x ＋15，则f (log 220)＝________. 3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x >0，cos x ，x ≤0，则下列结论正确的是________． ①f (x )是偶函数；②f (x )是增函数；③f (x )是周期函数；④f (x )的值域为[－1，＋∞)．4．若f (x )和g (x )都是奇函数，且F (x )＝f (x )＋g (x )＋2在(0，＋∞)上有最大值8，则在(－∞，0)上F (x )有最______值，为________．5．设x >y >1,0<a <1，则下列关系正确的是________．①x -a >y -a ；②ax <ay ；③a x <a y ；④log a x >log a y .6．若定义运算a ⊙b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≥b ，a ，a <b ，则函数f (x )＝x ⊙(2－x )的值域为________． 7．(2015·四川成都七中零诊)对于函数f (x )，若存在常数a ≠0，使得x 取定义域内的每一个值，都有f (x )＝f (2a －x )，则称f (x )为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是________． ①f (x )＝cos(x ＋1)；②f (x )＝x ；③f (x )＝tan x ；④f (x )＝x 3.8．(2015·安徽庐江部分示范高中第三次联考)定义域为R 的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 2－x ，则当x ∈[－1,0)时，f (x )的最小值为________．9．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，当x <0，f (x )＝x ＋2，那么不等式2f (x )－1<0的解集是________________．10．(2015·广州综合测试一)已知幂函数f (x )＝x －m 2－2m ＋3(m ∈Z )为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数，则f (2)的值为________．11．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋32)＋f (x )＝0，且函数y ＝f (x －34)为奇函数，给出下列命题：①函数f (x )的最小正周期是32； ②函数y ＝f (x )的图象关于点(－34，0)对称； ③函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称．其中真命题的个数是________．12．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x )<f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是________．13．已知定义在R 上的偶函数y ＝f (x )满足：f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，且当x ∈[0,2]时，y ＝f (x )单调递减，给出以下四个命题：①f (2)＝0；②直线x ＝－4为函数y ＝f (x )图象的一条对称轴；③函数y ＝f (x )在[8,10]上单调递增；④若关于x 的方程f (x )＝m 在[－6，－2]上的两根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－8.其中所有正确命题的序号为________．14．(2015·湖北武汉部分学校毕业生2月调研)已知函数f (x )＝a log 2|x |＋1(a ≠0)，定义函数F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x >0，－f (x )，x <0，给出下列命题： ①F (x )＝|f (x )|；②函数F (x )是奇函数；③当a >0时，若x 1x 2<0，x 1＋x 2>0，则F (x 1)＋F (x 2)>0成立；④当a <0时，函数y ＝F (x 2－2x －3)存在最大值，不存在最小值．其中所有正确命题的序号是________．答案解析1．④解析易知y ＝x |x |为奇函数，图象如下：从图知y ＝x |x |为增函数．2．－1解析 ∵f (－x )＋f (x )＝0，即f (－x )＝－f (x )，∴定义在R 上的函数f (x )是奇函数．∵4＝log 216<log 220<log 232＝5，∴f (log 220)＝f (log 220－4)＝f (log 254)＝－f (－log 254)＝－f (log 245)， ∵－2<log 245<0，∴f (log 245)＝2log 245＋15＝1， ∴f (log 220)＝－1.3．④解析因为f (π)＝π2＋1，f (－π)＝－1，所以f (－π)≠f (π)，所以函数f (x )不是偶函数，排除A ；因为函数f (x )在(－2π，－π)上单调递减，排除B ；函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )不是周期函数，排除C ；因为x >0时，f (x )>1，x ≤0时，－1≤f (x )≤1，所以函数f (x )的值域为[－1，＋∞)．4．－4解析由题意知f (x )＋g (x )在(0，＋∞)上有最大值6，因为f (x )和g (x )都是奇函数，所以f (－x )＋g (－x )＝－f (x )－g (x )＝－[f (x )＋g (x )]，即f (x )＋g (x )也是奇函数，所以f (x )＋g (x )在(－∞，0)上有最小值－6，所以F (x )＝f (x )＋g (x )＋2在(－∞，0)上有最小值－4.5．③解析对于①，－a <0，幂函数f (x )＝x －a 在(0，＋∞)上是减函数，所以x －a <y －a ，故①不正确；对于②，x >y >1，又a >0，利用不等式的性质得ax >ay ，故②不正确；易知③正确；对于④，因为0<a <1，所以函数f (x )＝log a x 在(1，＋∞)上是减函数，又x >y >1，所以log a x <log a y ，故④不正确．6．(－∞，1]解析由题意知x ⊙(2－x )表示x 与2－x 两者中的较小者，借助y ＝x 与y ＝2－x 的图象，不难得出f (x )的值域为(－∞，1]．7．①解析对于函数f (x )，若存在常数a ≠0，使得x 取定义域内的每一个值，都有f (x )＝f (2a －x )，则称f (x )为准偶函数，∴函数的对称轴是直线x ＝a ，a ≠0，②③④中，函数没有对称轴；函数f (x )＝cos(x ＋1)，有对称轴，且x ＝0不是对称轴，①正确．8．－18解析当x ∈[－1,0)时，x ＋1∈[0,1)．∵f (x ＋1)＝2f (x )，∴f (x )＝12f (x ＋1)＝12[(x ＋1)2－(x ＋1)]＝12(x 2＋x )，其图象的对称轴为直线x ＝－12， ∴f (x )min ＝f (－12)＝－18. 9．{x |x <－32或0≤x <52} 解析由题意知，函数y ＝f (x )的定义域是R ，当x <0时，f (x )＝x ＋2，则当x >0时，－x <0，所以f (－x )＝－x ＋2，又函数y ＝f (x )为定义在R 上的奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝x －2，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2，x <0，0，x ＝0，x －2，x >0，因此不等式2f (x )－1<0等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x <0，x ＋2<12或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，0<12或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x －2<12.解得x <－32或0≤x <52. 10．16解析因为幂函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调增函数，所以－m 2－2m ＋3>0，解得－3<m <1，因为m ∈Z ，所以m ＝－2或m ＝－1或m ＝0.因为幂函数f (x )为偶函数，所以－m 2－2m ＋3是偶数，当m ＝－2时，－m 2－2m ＋3＝3，不符合，舍去；当m ＝－1时，－m 2－2m ＋3＝4；当m ＝0时，－m 2－2m ＋3＝3，不符合，舍去．所以f (x )＝x 4，故f (2)＝24＝16.11．2解析由题意可得f (x ＋3)＝－f (x ＋32)＝f (x )，则函数f (x )是周期函数，且其最小正周期为3，故①错误；由y ＝f (x －34)是奇函数，可知其图象关于原点(0,0)对称，又函数y ＝f (x －34)的图象向左平移34个单位长度可得函数y ＝f (x )的图象，则函数f (x )的图象关于点(－34，0)对称，故②正确；由②知，对于任意的x ∈R ，都有f (－34－x )＝－f (－34＋x )，用34＋x 代换x ，可得f (－32－x )＋f (x )＝0，所以f (－32－x )＝－f (x )＝f (x ＋32)对于任意的x ∈R 都成立，令t ＝32＋x ，得f (－t )＝f (t )，则函数f (x )是偶函数，其图象关于y 轴对称，故③正确．综上可知，真命题的个数是2.12.⎝⎛⎭⎫－16，16 解析偶函数满足f (x )＝f (|x |)，根据这个结论，有f (2x )<f ⎝⎛⎭⎫13⇔f (|2x |)<f ⎝⎛⎭⎫13，进而转化为不等式|2x |<13，解这个不等式即得x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－16，16. 13．①②④解析对于①，∵f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，∴当x ＝－2时，f (－2＋4)＝f (－2)＋f (2)，∴f (－2)＝0，又f (x )是偶函数，∴f (2)＝0，∴①正确；对于②，∵f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，f (2)＝0，∴f (x ＋4)＝f (x )，∴函数y ＝f (x )的周期T ＝4，又直线x ＝0是函数y ＝f (x )图象的对称轴，∴直线x ＝－4也为函数y ＝f (x )图象的一条对称轴，∴②正确；对于③，∵函数f (x )的周期是4，∴y ＝f (x )在[8,10]上的单调性与[0,2]上的单调性相同，∴y ＝f (x )在[8,10]上单调递减，∴③错误；对于④，∵直线x ＝－4是函数y ＝f (x )图象的对称轴，∴x 1＋x 22＝－4，x 1＋x 2＝－8，∴④正确． 14．②③解析 ①因为|f (x )|＝⎩⎨⎧ f (x )，|x |≥2－1a ，－f (x )，0<|x |<2－1a ，而F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x >0，－f (x )，x <0，这两个函数的定义域不同，不是同一函数，即F (x )＝|f (x )|不成立，①错误．②当x >0时，F (x )＝f (x )＝a log 2|x |＋1，－x <0，F (－x )＝－f (－x )＝－(a log 2|－x |＋1)＝－(a log 2|x |＋1)＝－F (x )；当x <0时，F (x )＝－f (x )＝－(a log 2|x |＋1)，－x >0，F (－x )＝f (－x )＝a log 2|－x |＋1＝a log 2|x |＋1＝－F (x )．所以函数F (x )是奇函数，②正确．③当a >0时，F (x )＝f (x )＝a log 2|x |＋1在(0，＋∞)上是单调增函数．若x 1x 2<0，x 1＋x 2>0，不妨设x 1>0，则x 2<0，x 1>－x 2>0，所以F (x 1)>F (－x 2)>0，又因为函数F (x )是奇函数，－F (x 2)＝F (－x 2)，所以F (x 1)＋F (x 2)>0，③正确．④函数y ＝F (x 2－2x －3)＝⎩⎪⎨⎪⎧ a log 2(x 2－2x －3)＋1，x >3或x <－1，－a log 2(－x 2＋2x ＋3)－1，－1<x <3，当x >3或x <－1时，因为a <0，所以y ＝F (x 2－2x －3)既没最大值，也没最小值，即函数y ＝F (x 2－2x －3)的值域为(－∞，＋∞)，故④错误．综上知，答案为②③.。

十年高考理科数学真题专题二函数概念与基本初等函数六函数综合及其应用及答案

专题二函数概念与基本初等函数Ⅰ第六讲函数的综合及其应用一、选择题1．（2017天津）已知函数23,1,()2, 1.x x x f x x x x ⎧-+⎪=⎨+>⎪⎩≤设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2x f x a +≥在R 上恒成立，则a 的取值范围是 A ．47[,2]16-B ．4739[,]1616-C ．[23,2]-D ．39[23,]16- 2．（2015北京）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 3．（2014北京）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t （单位：分钟）满足函数关系2p at bt c =++（a 、b 、c 是常数），下图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（）A ．3.50分钟B ．3.75分钟C ．4.00分钟D ．4.25分钟4．（2014湖南）某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为 A ．2p q + B ．(1)(1)12p q ++- CD1 二、填空题5．（2017山东）若函数e ()xf x (e=2．71828L ，是自然对数的底数)在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质，下列函数中具有M 性质的是． ①()2xf x -=②2()f x x=③()3xf x -=④()cos f x x =6．（2017江苏）设()f x 是定义在R 且周期为1的函数，在区间[0,1)上，2,(),x x Df x x x D⎧∈=⎨∉⎩其中集合1{|,}n D x x n n-==∈*N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是．7．（2017新课标Ⅰ）如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O ．D 、E 、F 为圆O 上的点，DBC ∆，ECA ∆，FAB ∆分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形。

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第六讲函数综合应用一、【基础训练】1.函数/(x) = Jl-21og6%的定义域为_____________________ .【答案](0, V6]2.若函数f(x) = r+KX^\则/(.f(10))= __________________________ •[lgx(x>l)【答案】23.函数y = 2,+2A-A'2的值域为________________ .【答案1 (0, 4]4.已知x = \n^,y = log52,z = e ,则x,y,z 的人小关系为___________________ .【答案】y<0.5<z<l<x25.若«G{---1,0,2},为使幕函数y = 与兀y轴无交点且为偶函数的&值为2【答案】一兰或036.已知y = /(%) + * 是奇函数，K/(l) = l,若g(x) = f(x) + 2f则g(—l)=.【答案】一1二、【思维拓展】1 .己知函数fix)=|lg(h:), g(x)=lg(x+1) •⑴求yu) —g优)的定义域；(2)若方程yu) =g(x)有且仅有一个实数根，求实数k的取值范I韦I.解⑴由[E>°,当Q0时，即$ + 1>°解得定义域为(0, +8)[kx>0[x>0当X0时，即$ + [>°解得定义域为(一1，0)[x<0⑵fix) =g(x)即&=(x+l)2，当心0时，工>0,贝H = X4-丄+ 2此时R4符合条件：X当X0时，一1<兀<0,此时XO 都符合条件. 综上，&<0或A4.2.已知心）是定义在R 上的奇函数，当丘0时/U ）=2A —x 2.（1）求函数TU ）的表达式并画出其大致图象；（2）若当兀G ［a, 〃］时，/（x ）e 占.若0<a<広2,求Q 、b的值. 解析：(1)当兀<0 时，/(x)= —y (—x)= — (―2x —X 2)=X 2+2X ,2x~x 2 ,x>0/>y (x )—" 2 ，X 2+2X X <0• •H 兀)的大致图彖如右：（2）①0<a<b<\时，7U ）为增函数,即 2ab —d t b=2ab —ab 1= 1,得 a=b,与 a<b 矛盾.②1&<冰2时，y （x ）为减函数，AS 7 12b —b^=r I b r 2a — \a —a — 1 =0 即| 2 .^a=1, b~ \b^—b — 1 =0•e •b= 综上： Z, 1 呼.③0<a<\<b<2时，由图象知用）=+=1，得a=l,由咼,知］VQ,此时与②一样.3.已知定义在（0, +8）上的函数.心）满足：①对任意的xje （o, +8）部有.心），）=沧）+心）；②当x >1时，人兀）>0.求证：（1笊1）=0；⑵对任意的xe （o, +8）,有#）=_心）；•A* （3笊兀）在（0, +8）上是增函数.证明（1）令尸尸］,所以夬1）=幼1）,所以川）=0；⑵令尸丄，所以用）=几丫）+卅）=0,所以夬》=—/«；X⑶任収“>兀2>0,则玉 >1,所以X-X1）-X X 2）=A ）>0 U|j J （x ｝）>A X 2）所以几Q 在（0, +8）上是增函数.三、【能力提升】1.__________________________________________________________ 已知函数/（X）= 2v -2 （XG（-1,2）），贝IJ函数y = f（x-\）的值域为 ________________________【答案】［0, 2）2.设奇I采|数人兀）在［―1, 1］上是增函数，J=Ly（—1）=—h若函数2m+i对所有的兀丘［一1,1］都成立，则当眩［—1,1］时，/的取值范围是 _________ .【答案】圧一2或者A0或“24 HI3.已知函数f（x） =；_若函数能）=/（兀）—2x恰有三个不同的零点，贝I」实数加的取值x +4x-3,x< /n范围是__________________ .【答案】（1,2］一丄兀2,0<X<244.已知函数）亍/（兀）是定义域为R的偶函数，当丘0吋，/（%）=< ，若关于兀的方程［/（兀）］22 4+0UJ+牯=0有且仅有8个不同实数根，则实数a的収值范围是______________【答案】（駕）p.V _ 15.已知函数/（x） = ^—5- + X+1,若几?）+血+1）〉2,则实数Q的取值范围是_________e x +1【答案】r 四、【琏接高考】1._____________________________________________ （2015 安徽卷，文科1 l）lg- + 21g2-（|）-1 = ____________________________________________2 2【答案】・1【解析】试题分•析：原式=lg5-lg2 + 21g-2 = lg5 4-lg2-2 = l-2 = -l2. (2015江苏卷，7)不等式2宀< 4的解集为 ________ .【答案】(-1,2).【注意】指数函数单调性3. (2015湖北卷，理科17>为实数，函数f(x)=\x 2-ax\ ^.区间［0, 1］上的最大值记为g ⑷.当 a = _________ 时，g ⑷的值最小.【答案】2^2-2.试题分析：因为函数所以分以下几种情况对其进行讨论：①当Q 创时，函数 /(x)=|x ：-公-公在区间［0:1］±单调冕増，所以/(x)_ =g(a)=l-i7；②当 0<6T<2->/2-2 此时 /(亠1(分-点吟 /⑴=1 -Q ，而冷-(1-&)=三工-2<0,所以咖=1-6③当: 4-^^<2-72-2a>2d-?时，/(x)“ = E ⑵斗综上可知，g(a)=： .所以g(a)在(-艾2］上单调谨 4,—^>2^-2 减，在C 72-2?-X )±单调递增，所以g ⑷*rCd-2),所以当^ = 2^2-2时，呂⑷的值最小•故应填 2>/2-2•①：^<0： g(a)*(l)=l — a ；/(l) = l-a(0<t7<2V2-2)2③：1VQV 2： g(a) = /(》) =冷④：a>2 ： g(a) = /(l) = a-\, 综上，当。

专题02 函数概念与基本初等函数第五讲函数综合及其应用(解析版)

专题02 函数概念与基本初等函数第五讲函数综合及其应用答案部分1．A 【解析】解法一根据题意，作出()f x 的大致图象，如图所示x当1x ≤时，若要()||2x f x a +≥恒成立，结合图象，只需23()2x x x a -+-+≥，即2302x x a -++≥，故对于方程2302x x a -++=，21()4(3)02a ∆=--+≤，解得4716a -≥；当1x >时，若要()||2xf x a +≥恒成立，结合图象，只需22x x a x ++≥，即22x a x +≥，又222x x +≥，当且仅当22x x=，即2x =时等号成立，所以2a ≤，综上，a 的取值范围是47[,2]16-．选A ．解法二由题意()f x 的最小值为114，此时12x =．不等式()||2xf x a +≥在R 上恒成立等价于11||24x a +≤在R 上恒成立．当a =-12x =，111|||248x -=>，不符合，排除C 、D ；当3916a =时，令12x =，394311||||216168x +=>，不符合，排除B ．选A ． 2．D 【解析】 “燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，A 中乙车消耗1升汽油，最多行驶的路程为乙车图象最高点的纵坐标值，A 错误；B 中以相同速度行驶相同路程，甲燃油效率最高，所以甲最省油，B 错误，C 中甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，甲车每消耗1升汽油行驶的里程10km,行驶80km ，消耗8升汽油，C 错误，D 中某城市机动车最高限速80千米/小时．由于丙比乙的燃油效率高，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油,选D ．3．①④【解析】①()2()2x x x x ee f x e -=⋅=在R 上单调递增，故()2xf x -=具有M 性质；②()3()3x x x x e e f x e -=⋅=在R 上单调递减，故()3xf x -=不具有M 性质； ③3()xxe f x e x =⋅，令3()xg x e x =⋅，则322()3(2)xxxg x e x e x x e x '=⋅+⋅=+，∴当2x >-时，()0g x '>，当2x <-时，()0g x '<，∴3()x x e f x e x =⋅在(),2-∞-上单调递减，在()2,-+∞上单调递增，故()3f x x =不具有M 性质；④2()(2)x x e f x e x =+，令()()22x g x e x =+，则22()(2)2[(1)1]0x x x g x e x e x e x '=++⋅=++>，∴2()(2)x x e f x e x =+在R 上单调递增，故2()2f x x =+具有M 性质．4．8【解析】由于()[0,1)f x ∈，则需考虑110x ≤<的情况，在此范围内，x ∈Q 且x D ∈时，设*,,,2qx p q p p=∈≥N ，且,p q 互质，若lg x ∈Q ，则由lg (0,1)x ∈，可设*lg ,,,2nx m n m m=∈≥N ，且,m n 互质，因此10n mq p=，则10()nm q p =，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lg x ∉Q ，因此lg x 不可能与每个周期内x D ∈对应的部分相等，只需考虑lg x 与每个周期x D ∉的部分的交点，画出函数图象，图中交点除外(1,0)其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期x D ∉的部分，且1x =处11(lg )1ln10ln10x x '==<，则在1x =附近仅有一个交点，因此方程()lg 0f x x -=的解的个数为8．5．15OE 交AC 于G ，由题意OE AC ⊥，设等边三角形ABC 的边长为x （05x <<），则36OG x =，356GE x =-． G ODFECBA由题意可知三棱锥的高22223353(5)()25663h GE OG x x x =-=--=-底面23ABC S x ∆=，三棱锥的体积为2451353153255343123V x x x x =⨯-=- 设453()53h x x x =-，则3453()203h x x x '=-（05x <<），令()0h x '=，解得43x =(0,43)x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增；当(43,5)x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减，所以43x =()h x 取得最大值4(43)(43)h =所以2max 1515(43)(43)415V h === 6．2，(,1)-∞-.【解析】①若0a =，则33,0()2,0x x x f x x x ⎧-=⎨->⎩≤，当0x >时，20x -<；当0x …时，2()333(1)(1)f x x x x '=-=+-，所以函数()f x 在(,1)-∞-上单调递增，在(1,0]- 上单调递减，所以函数()f x 在(,0]-∞上的最大值为(1)2f -=．综上函数()f x 的最大值为2．②函数33y x x =-与2y x =-的大致图象如图所示若()f x 无最大值，由图象可知22a ->，即1a <-．7．【解析】(1)当030x <≤时，()3040f x =<恒成立，公交群体的人均通勤时间不可能少于自驾群体的人均通勤时间；当30100x <<时，若40()f x <，即180029040x x+->，解得20x <（舍）或45x >； ∴当45100x <<时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间； (2)设该地上班族总人数为n ，则自驾人数为%n x ⋅，乘公交人数为(1%)n x ⋅-．因此人均通勤时间30%40(1%),030()1800(290)%40(1%),30100n x n x x ng x x n x n x x x n ⋅⋅+⋅⋅-⎧<⎪⎪=⎨+-⋅⋅+⋅⋅-⎪<<⎪⎩≤，整理得：240,0010()1(32.5)36.875,3010050x x g x x x ⎧-<⎪⎪=⎨⎪-+<<⎪⎩≤3，则当(0,30](30,32.5]x ∈U ，即(0,32.5]x ∈时，()g x 单调递减；当(32.5,100)x ∈时，()g x 单调递增．实际意义：当有32.5%的上班族采用自驾方式时，上班族整体的人均通勤时间最短．适当的增加自驾比例，可以充分的利用道路交通，实现整体效率提升；但自驾人数过多，则容易导致交通拥堵，使得整体效率下降．8．【解析】(1)连结PO 并延长交MN 于H ，则PH ⊥MN ，所以OH =10．θHE KGNM PO ABC D过O 作OE ⊥BC 于E ，则OE ∥MN ，所以COE θ∠=，故40cos OE θ=，40sin EC θ=，则矩形ABCD 的面积为240cos (40sin 10)800(4sin cos cos )θθθθθ⨯+=+，CDP ∆的面积为1240cos (4040sin )1600(cos sin cos )2θθθθθ⨯⨯-=-．过N 作GN ⊥MN ，分别交圆弧和OE 的延长线于G 和K ，则10GK KN ==．令0GOK θ∠=，则01sin 4θ=，0(0,)6πθ∈．当0[,)2πθθ∈时，才能作出满足条件的矩形ABCD ，所以sin θ的取值范围是1[,1)4．答：矩形ABCD 的面积为800(4sin cos cos )θθθ+平方米，CDP ∆的面积为1600(cos sin cos )θθθ-，sin θ的取值范围是1[,1)4．(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k ，乙的单位面积的年产值为3k (0)k >，则年总产值为4800(4sin cos cos )31600(cos sin cos )k k θθθθθθ⨯++⨯-8000(sin cos cos )k θθθ=+，0[,)2πθθ∈．设()sin cos cos f θθθθ=+，0[,)2πθθ∈，则222()cos sin sin (2sin sin 1)(2sin 1)(sin 1)f θθθθθθθθ'=--=-+-=--+．令()0f θ'=，得π6θ=，当0(,)6πθθ∈时，()>0f θ′，所以()f θ为增函数；当(,)62ππθ∈时，()<0f θ′，所以()f θ为减函数，因此，当π6θ=时，()f θ取到最大值．答：当π6θ=时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．9．【解析】（1）由21log 50x ⎛⎫+>⎪⎝⎭，得151x +>，解得()1,0,4x ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭U ．（2）()1425a a x a x+=-+-，()()24510a x a x -+--=，当4a =时，1x =-，经检验，满足题意．当3a =时，121x x ==-，经检验，满足题意．当3a ≠且4a ≠时，114x a =-，21x =-，12x x ≠． 1x 是原方程的解当且仅当110a x +>，即2a >； 2x 是原方程的解当且仅当210a x +>，即1a >．于是满足题意的(]1,2a ∈．综上，a 的取值范围为(]{}1,23,4U ．（3）当120x x <<时，1211a a x x +>+，221211log log a a x x ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在()0,+∞上单调递减．函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值分别为()f t ，()1f t +．()()22111log log 11f t f t a a t t ⎛⎫⎛⎫-+=+-+≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭即()2110at a t ++-≥，对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦成立．因为0a >，所以函数()211y at a t =++-在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，12t =时，y 有最小值3142a -，由31042a -≥，得23a ≥．故a 的取值范围为2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．10．【解析】（1）由题意知，点M ，N 的坐标分别为()5,40，()20,2.5．将其分别代入2ay x b =+，得4025 2.5400ab a b ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，解得10000a b =⎧⎨=⎩．（2）①由（1）知，21000y x =（520x ≤≤），则点P 的坐标为21000,t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设在点P 处的切线l 交x ，y 轴分别于A ，B 点，32000y x '=-，则l 的方程为()2310002000y x t t t -=--，由此得3,02t ⎛⎫A ⎪⎝⎭，230000,t ⎛⎫B ⎪⎝⎭．故()f t ==，[]5,20t ∈． ②设()624410g t t t ⨯=+，则()6516102g t t t⨯'=-．令()0g t '=，解得t =当(t ∈时，()0g t '<，()g t 是减函数；当()t ∈时，()0g t '>，()g t 是增函数．从而，当t =()g t 有极小值，也是最小值，所以()min 300g t =，此时()min f t =答：当t =l的长度最短，最短长度为千米．。

函数与函数综合应用 (答案与详解)

函数及函数综合应用一、函数的表示(分段函数)【典型例题】例1.1 设 f (x )={x +1，x ≤02x ， x >0 ，则满足f(x)+f (x －12)>1的x 的取值范围是 .【答案】(－14，+∞) 【解析】当x ≥12时：显然成立；当12≥x >0时：f(x)+f (x －12)=2x +x －12+1>1，成立当x <0时：f(x)+f (x －12)= x +1+x －12+1>1，解得x >－14【要点】分段函数处理方法一：分段解析例1.2 设f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≥-+-<<-2,8620,22x x x x x x，若两两不相等的正数a 、b 、c 满足f(a)=f(b)=f(c)，则:(1) a+b+c 的取值范围是 . (2) abc 的取值范围是 . 【答案】(1) (7，8) (2) (9，16)【解析】(1)作出y=f(x)的图像，不妨设a<b<c ，则显然0<a <2<b <3<c <4，由对称性b+c =6，由x =3的y max =1，此时x =1，a ∈(1，2)；，a+b+c ∈(7，8)(2)设y=t ，(0<t <1) 则，a =， b 、c 是方程－x 2+6x －8=t 的两根，由韦达定理bc =8+t ，abc ==∈(9，16) 【要点】(1)图像是研究分段函数重要的辅助工具(2)多变量目标函数求范围，要点是研究多个变量之间的关系，将目标函数化为一个变量的函数例1.3 已知函数f (x )＝220ln(1)0.x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩，，，若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是．【答案】[－2，0]【解法一】由y ＝|f (x )|的图象知：①当x ＞0时，y ＝ax 只有a ≤0时，才能满足|f (x )|≥ax . ②当x ≤0时，y ＝|f (x )|＝|－x 2＋2x |＝x 2－2x .a 的下界为抛物线y= x 2－2x 在(0，0) 处的切线斜率故由y’=2x －2知k 切线=－2，∴ a ≥－2. 综上可知：a ∈[－2,0]．∴∴a t a =-212+t ∴1)8(2++t t 2114++t【解法二】x >0时，g(x)=|f (x )|－ax =ln(x +1)－ax ，当a >0时：x →+∞时g(x) →−∞，不符题意当a ≤0时：g(x)为增函数，g(x)>g(0)=0，符合题意x ≤0时，g(x)=|f (x )|－ax =x 2－2x －ax =x (x －(a +2))≥0，即x －(a +2)≤0，故a ≥x －2，由x ≤0知a ≥－2例1.4 用min {a,b }表示a,b 两个数中的较小值，用max {a,b }表示a,b 两个数中的较大值，设f(x)=x 2－2(a +2)x +a 2，g(x)=－x 2+2(a －2)x －a 2+8. 令H 1(x )=max {f(x)，g(x)}，记H 1(x )的最小值为A ；令H 2(x )=min {f(x)，g(x)}，记H 2(x )的最大值为B ；则A －B=【答案】－16【解析】令f(x)=g(x)可解得x =a +2和x =a －2作出f(x)及g(x)的图像，由图像可知：A =(H 1(x ))min =f (a +2)；B =(H 2(x ))max =f (a －2) 所以A －B=－16【要点】分段函数处理方法二：图像法二、函数性质及应用【典型例题】例2.1 以下命题中，正确的有 (填出所有正确的命题的序号)① 函数f(x)=－|x －1|+1 的图象关于直线x =1对称，且当 x >1时为减函数 ② 函数f(x)=2x −12x +1为奇函数，且在R 上为增函数③ 函数f(x)=lg x －lg(2－x )+2的图象关于点(1，2)对称，且在(0，2)上为增函数 ④ 所有二次函数的图象都是轴对称图形；所有三次函数的图象都是中心对称图形⑤ 函数1sin )1()(22+++=x xx x f 的图象关于点(0，1)对称【答案】12345【解析】(1) 作图可知正确(2) 可验证f(x)+f(－x)=0，函数y =t−1t+1=1－2t+1(t >0) 和t =2x 都是增函数 (3) 可验证：f(x)+f(2－x)=4，函数y = lg x 和y =－lg(2－x )都是增函数 (4) 正确 (5) f(x)=1sin 212+++x xx (奇函数+1)【要点】对称性的验证和发现例2.2 若0<a ab a ④ a b f(b)，即a b <a a (2) 令f(x)=x a 为增函数，则f(a)<f(b)，即a a f(b)，化简得ba a >ab a(4) 令f(x)=lnx x，由f(x)导数可得f(x)在(0，e)为增函数，则f(a)<f(b)，即lna a<lnb b所以blna<alnb ，即a b +≤-=0,0,2)(22x bx ax x x x x f ，若f(x)是偶函数，则使得f (3x －2)>f (x 2)的x 的取值范围是【答案】(−3+√172，3)【解析】y=x 2－2x 在x <0时为减函数，而f(x)图像关于y 轴对称，故原不等式等价于： |3x －2|>|x 2|，解得答案【要点】单调性+对称性在不等式中的应用例2.4 设函数f(x)=|)|1ln(112x x +-+，则使得f(x)>f (2x －1)的x 的取值范围是 . 【答案】(－∞，13) ∪ (3，+∞)【解析】注意到f(x)为偶函数，当x >0时，f(x)=)ln(1112x x +-+为减函数，故原不等式等价于： |x |<|2x －1|，解得答案【要点】单调性+对称性在不等式中的应用例2.5设f(x)=x 2－2x +a (e x －1+e 1－x ) 恰有1个零点，则a = 【答案】12【解析】注意到f(x)=f (2－x )，即f(x)图像关于x =1对称，所以f (1)=0解得【要点】主动发现f(x)的对称性注意函数g(x)=f(x －m)+f(m －x) 具有轴对称性 g(x)=f(x －m)－f(m －x )具有中心对称性本题也有其他解法，但用对称性解决是最快捷的方法例2.6 已知函数f(x)满足f (－x )=2－f(x)，若函数xx y 1+=与y=f(x)图像的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)……(x m ，y m )，则=+∑=mi i iy x1)(A.0B. mC. 2mD. 4m 【答案】B【解析】f (－x )=2－f(x)表明f(x )图像关于(1，0)中心对称，而xx y 1+=图像也关于(1，0)中心对称，所以两个函数的图像的公共点也关于(1，0)中心对称【要点】对称性的应用例2.7 设a ＞0，b ＞0，e 是自然对数的底数，则( )A ．若e a ＋2a ＝e b ＋3b ，则a ＞bB ．若e a ＋2a ＝e b ＋3b ，则a ＜bC ．若e a －2a ＝e b －3b ，则a ＞bD ．若e a －2a ＝e b －3b ，则a ＜b 【答案】A【解析】令f(x)= e x ＋2x 为增函数，则f(a)=f(b)+b>f(b)，所以a>b C 、D 可通过g (x)= e x －2x 的单调性判定【要点】构造函数，通过单调性研究方程与不等式三、函数图像及图像变换【典型例题】例3.1将函数y=f(x)的图像左移1个单位、再将横坐标变成原来的2倍 (纵坐标不变)，得到函数y=g(x)的图像，已知函数y=g(x)的图像与函数y =ln(x +1)的图像关于y 轴对称，则函数y=f(x)的解析式为( ) A. ln(2x －1) B. ln(－2x +3) C. ln(x +) D.ln(－x －2) 【答案】B【解析】将y =ln(x +1)对称得到g(x)，再逆变换：横坐标变成原来的倍、右移1个单位得到f(x)： g(x)=ln(－x +1)，g(x)→g (2x )=ln(－2x +1)→ln(－2(x －1)+1)= ln(－2x +3)【要点】逆变换例3.2 设函数y=f(x)的图像与y =2log 2(x +a )－2的图像关于直线y =－x 对称，且f (2)+f (0)=3，则a = . 【答案】3【解析】－x =2log 2(－y +a )－2，解得y=a －222+-x ,即为f(x)的解析式f (2)+f (0)=2a －3=3，a =3 【要点】重要的对称变换例3.3 若实数m 、n 满足m +2m =5，n +log 2n =5，则一定有( )A. m+n >5B. m+n =5C.m+n <1D. m+n =1 【答案】B【解析】令f(x)=2x ，g(x)=log 2x ，则f(x)、g(x)图像关于y=x 对称m +2m =5化为2m =5－m ，即直线y =5－x 与f(x)的公共点为(m ，5－m ) 同理直线y =5－x 与g(x)的公共点为(n ，5－n )由于直线y =5－x 与y=x 垂直，所以两个公共点关于y=x 对称，即m =5－n 【要点】主动发现两个函数图像的对称性21212121例3.4 函数y ＝x cos x ＋sin x 的图象大致为( )．【答案】D【解析】f’(x)=2cosx －xsinx ，f’(0)=2，f’(π)<0；【要点】导数、切线、极限、渐近线等在图像识别中的应用例3.5 函数y =x x xx ee e e ---+的图象大致为( )【答案】A【解析】方法很多，例如奇函数+单调性；也可考虑渐近线例3.6函数y ＝f (x )的图象如图所示，在区间[a ，b ]上可找到n (n ≥2)个不同的数x 1，x 2，…，x n ，使得1212===n nf x f x f x x x x ()()()，则n 的所有可能的取值组成的集合为 ( )．A ．{3,4}B ．{2,3,4}C ．{3,4,5} D．{2,3}【答案】B【解析】为图像上一点(x ，f(x))与原点连线的斜率，观察图像即可得到答案【要点】图像的几何意义xx f )(四、函数应用(不等式、方程)【典型例题】例4.1 当0＜x ≤12时，4x ＜log a x ，则a 的取值范围是【答案】(22，1) 【解析】当a >1时：4x >1，log a x <log a12<0，不成立当0<a <1时：g(x)= 4x －log a x 为增函数，g(x)<0恒成立等价于：g (12)<0，解得答案【要点】分类讨论例4.2 设a >41，若不等式|x 2－2ax －3a 2|≤4a 对任意x ∈[1,4a ]恒成立，则a 的取值范围是【答案】(41，]【解析】设f(x)= |x 2－2ax －3a 2|=|(x －3a )(x +a )|；由绝对值及二次函数性质知，f(x)在(－∞,－a )减，(－a ，a )增，(a ，3a )减，(3a ，+∞)增由f (1)=|3a 2+2a －1|≤4a ，得a ≤1；故∴ f(x)max =max {f (1)，f (4a )}，于是f(x)max ≤4a 等价于解得答案【要点】二次函数、绝对值函数；图像法例4.3 若x ∈[－2，1]，ax 3－x 2+4x +3≥0，则a 的取值范围是 . 【答案】[－6,－2]【解析】x =0时显然成立；－2≤x <0时原不等式等价于a ≤ 令g(t)=－3t 3－4t 2+t (t ≤－)，则g(t)min =g (－1)=－2，故a ≤－2 同理，0<x ≤1时a ≥g(t) (t ≥1)，g(t)max =g (1)=－6，故a ≥－6 【要点】不等式预处理—参数分离，但要合理使用 (不是万能手段)例4.4 若函数f(x)=3x －sin2x +3a sin x 在R 上单调递增，则a 的取值范围是【答案】[－31，31]【解析】原命题等价于：f’(x)≥0在R 上恒成立；f’(x)= 3－2cos2x +3a cos x =－4cos 2x +3a cos x+5考虑g(t)=－4t 2+3at+5 (－1≤x ≤1)，则g(t)min =min{g (－1)，g (1)}故g(t)≥0恒成立等价于⎩⎨⎧≥≥-0)1(0)1(g g ，可解得答案【要点】变量替换54⎪⎩⎪⎨⎧≤=≤-+=aa a f aa a f 45)4(4|123|)1(22xx x x x x 1)1(4)1(3342332+--=--21例4.5 f(x)=2x |log 0.5x |－1的零点个数是 . 【答案】2【解析】分别作出曲线y =|log 0.5x |和曲线y =2－x 的图像【要点】研究零点的技巧：预处理例4.6 函数f(x)=e x (2x －a )+1有零点，则a 的取值范围是 . 【答案】[2－2ln2，+∞)【解析】f’(x)= e x (2x －a +2)，故f(x)在(－∞，22-a )为减，(22-a ，+∞) 为增 x →+∞时 f(x)→+∞故f(x)有零点的充要条件为：f (22-a )≤0，解得答案【另解】分别作出y =－e －x 和y =2x －a 的图像，当直线y =2x －a 与曲线y =－e －x 相切时， (－e －x )’=e －x =2，解得x =－ln2，y =－2，即为切点坐标带入直线可解得此时－a =2ln2－2由图像可知，当直线向下移动式满足条件，故－a ≤2ln2－2，即得【要点】研究零点的方法：(1) 单调性+零点定理 (2) 图像法例4.7 已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围是( )．A ．(2，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－1) 【答案】C【解析】f’(x)=3x (ax －2)当a <0时：f(x)在(－∞，2a )减，( 2a ，0)增，(0，+∞)减依题意：f (2a)>0，解得a <－2当a =0时：f(x)有两个零点不符题意；当a >0时：f(x)在(－∞，0)增， (0，2a)减，(2a，+∞)增，而f (0)=1>0，不符题意【要点】三次函数的零点例4.8 设a >1，f(x)=a x ，若存在实数T ，使得对任意实数x 都有f (x +T )=Tf (x )，则a 的取值范围是【答案】(1，e1e ]【解析】f(x+T)=a T a x =Ta x ，即存在T ，使得a T =T ；即T ln a =ln T ，ln a =TTln ，考虑函数g(x)=x x ln ，g’(x)=2ln 1x x -=0得x =e ，故g(x)max =g (e)=e 1，所以ln a ≤e1，解得a ≤e 1e例4.9 设a >1，若有且仅有一个常数c 使得对任意的x ∈[a ,3a ]，都有y ∈[a , a 2]满足方程log a x+log a y=c ，这时a 的取值的集合为 . 【答案】{3}【解析】log a x+log a y=c 等价于y =，当x ∈[a ,3a ]时，y ∈[，]xa c 131-c a 1-c a依题意即2+log a 3≤c ≤3依题意，满足条件的c 只有1个，所以log a 3=1，a =3例4.10设函数π()x f x m=，若存在f (x )的极值点x 0满足22200+[()]x f x m <，则m 的取值范围是．【答案】(－∞，－2)∪(2，＋∞) 【解析】∵x 0是f (x )的极值点，0ππcos 0x m m =，即012x mk m =+，k ∈Z. ∴x 02＋[f (x 0)]2＜m 2可转化为2221π122mk m mk m m m ⎤⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦，k ∈Z ，即存在k ∈Z ，使221312k m ⎛⎫+<- ⎪⎝⎭；而212k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值为14，∴23114m ->，解得m ＜－2或m ＞2.例4.11 设函数()(21)xf x e x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围是【答案】[32e，1)【解析】注意到f (0)= a －1<0，所以原命题成立的一个必要条件为：f (－1)≥0，解得 a ≥ 32e当x ≥1时f’(x)=e x (2x +1)－a >3e －a >0，故f(x)在(1，+ ∞)为增函数，x ≥1时f(x)≥f (1)=e >0当x <－1时f’(x)=e x (2x +1)－a <－e x －a <0，f(x)为减函数，所以f(x)>f (－1)≥0 所以存在唯一的整数0满足题设【要点】整数命题：探究—证明【思考】若去掉条件a <1，本题如何解答？【提示】考虑预处理：参数分离注意到f (1)=e>0，令g(x)= e x (2x−1)x−1 则当x <1时f(x)<0等价于a < g(x)；当x >1时f(x)<0等价于a > g(x)；g'(x)=e x x(2x−3)(x−1)2 g(x)在(－∞，0)增， (0，1)减，(1，32)减，(32，+∞)增g (0)=1，g (32)=4e32>1，存在唯一的整数x 0<1使得a < g(x 0)的充要条件为：g (－1)≥a >g (0)，解得32e≥a >1(此时对任意x >1都有g(x)> g (32)=4e32>a )存在唯一的整数x 0>1使得a > g(x 0)的充要条件为：g (3)≥a >g (2)，解得5e 32≥a >3e 2(此时对任意x<1都有g(x)< g (0)=1<a )例4.12 设f(x)=，g(x)=x 2－4x －4，若∃a 使得f(a)+g(b)=0，则b 的取值范围是 . ⎪⎩⎪⎨⎧≤≥--21131a a a a c c ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≥+-<+21),1ln(21,122x x x x x【答案】(－1，5)【解析】当x ∈(－∞,－)时f(x)=(+1)2－1∈(－1,0)；当x ∈[－，+∞)时f(x)=ln(x +1)∈[－ln2,+∞)，故f(x)∈(－1,+∞)∴g(b)=－f(a)<1，即b 2－4b －4<1 ⇒ b ∈(－1,5). 【要点】∃a 、b ，使得f(a)=g(b)的充要条件为：① f(a) 在函数g(x)的值域内 ② g(b) 在函数f(x)的值域内五、导数及导数的简单应用【典型例题】例5.1 设f(x)为偶函数，当x ≤0时f(x)= e －x －1－x ，则曲线y=f(x)在点(1，f (1))处的切线方程为【答案】y =2x【解析】x ≤0时f’(x)=－e－x －1－1，由f(x)为偶函数可得：f (1)=f (－1)=2，f’(1)=－f’(－1)=2 切线为：y －2=2(x －1)例5.2 若存在直线与曲线y =ln x 和曲线y =x 2+2x +a (x <0)都相切，则a 的取值范围是 . 【答案】(－ln2－1，+∞)【解析】f’(x)= 1x (x >0)，g’(x)=2x +2 (x <0)设切点分别为A(s ，f(s))、B(t ，g(t))，则AB 与两条曲线都相切的充要条件为：f’(s)= g’(t)= f (s )−g(t)s−t ，带入：lns−(t 2+2t+a)s−t=1s=2t +2消去s 并化简得：t 2－ln(2t +2)－1=a由s >0解得－1<t <0，令h(t)= t 2－ln(2t +2)－1，则h ’(t)= 2t (t+1)−1t+1<0，故h(t)为减函数所以h(t)的值域为(－ln2－1，+∞) 【要点】公切线的研究方法：f’(s)= g’(t)= f (s )−g(t)s−t例5.3 已知a >0，已知曲线C ：y= || (0<x <4)上存在两点，曲线C 在该两点处的切线相互垂直，则a 的取值范围是 .【答案】(0，)【解析】设曲线C 在点(x 1，f (x 1))和(x 2，f (x 2))处的切线相互垂直，不妨设x 1<x 2，则f’(x 1)f’(x 2)=－10<x <a 时，f(x)=－，f’(x)=<0；x>a 时，f(x)=，f’(x)=>0；∴ 0<a <4且0<x 1<a <x 2<4于是f’(x 1)=， f’(x)=；=－1化简得x 1+2a =，又∵x 1+2a ∈(2a ，3a )，∈(，1)21x121ax ax 2+-21a x a x 2+-2)2(3a x a +-a x a x 2+-2)2(3a x a+21)2(3a x a +-22)2(3a x a +21)2(3a x a +-22)2(3a x a+a x a 232+ax a232+a a 243+∴(2a ，3a )∩(，1)≠Φ，即解得 0<a <例5.4 设f(x)=x 2，g (x)=－(x －1)2，P 、Q 分别是曲线y=f(x)和y=g(x)上的动点，A(s,f(s))和B(t,g(t))分别是曲线上的定点，满足|AB |≤|PQ |对任意P 、Q 都成立. 下面四个数中，哪一个最接近s ？ A.B. C. D. 【答案】B【解析】设f(x)、g(x)在A 、B 处的切线分别为l 、m ，则当l ∥m 且l ⊥AB 时|AB |取得最小值f’(x)=2x ，g’(x)= 2－2x ，所以：2s =2－2t ，且2s ×s 2+(t−1)2s−t=－1消去t 整理得：4s 3+2s －1=0，设h(s)= 4s 3+2s －1，易得h(s)为增函数则h (0)<0，h (1)>0，h (12)>0，h (14)<0，h (38)<0所以s ∈(38，12)，区间中点为716例5.5若x =－2是函数f(x)=(x 2+ax －1)e x －1的极值点，则f(x)的极小值为【答案】－1【解析】由f’(－2)=0可得a =－1，此时f ’(x)=(x +2)(x －1) e x －1 f(x)min =f (1)=－1例5.6 已知函数有两个极值点m 、n (m <n )，则 ( )A ．f(m)<0，f(n)<－B ．f(m)<0，f(n)>－C ．f(m)>0，f(n)<－D ．f(m)>0，f(n)>－【答案】D【解析】由题意知 f ′(x )＝ln x ＋1－2ax ＝0在区间(0，＋∞)上有两个根．令h (x )＝ln x ＋1－2ax ，则h ′(x )＝xax21-，当a ≤0时h ′(x )＞0，f ′(x )在区间(0，＋∞)上递增，f ′(x )＝0不可能有两个正根，∴a ＞0.由h ′(x )＝0，可得12x a =，因此111=ln +11=ln >0222h a a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故10<<2a 且121<2x x a <.又h (1)＝1－2a ＞0，∴1211<2x x a<<此时f (x )在区间(0，x 1)上递减，在区间(x 1，x 2)上递增，在区间(x 2，＋∞)上递减． ∴f (x 1)＜f (1)＝－a ＜0，f (x 2)＞f (1)＝12a ->-. 故选D.例5.7设奇函数f(x)满足：f (－1)=0，当x >0时xf’(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x 的范围是 . 【答案】(－1，0)∪(0，1) 【解析】f (0)=0不满足；令g(x)= f(x)x ，则g(x)为偶函数，且g’(x)=xf’(x)－f(x)x 2a 243+⎪⎩⎪⎨⎧<+>122433a a a a 211651671691611()(ln )f x x x ax =-21212121依题意x >0时g’(x)<0，故g(x)在(0，+∞)为减函数，在(－∞，0)为增函数 g (－1)=g (1)=0，所以－1<x <0或者0<x <1 【要点】构造函数，利用函数单调性解决不等式问题六、综合例题选讲(重要的代数方法及数学思想)【典型例题】例6.1 已知函数f(x)=x 2e 2x +m |x |e x +1有4个零点，则m 的取值范围是【答案】(−e+1e 2，+∞) 【解析】令g(x)=|x |e x =|x e x |，令f 1(x )=x e x ，则f 1(x ) (－∞，－1)为为减函数，在(－1，+∞)为增函数作出y=g(x)的图像，则直线y=t 与曲线y=g(x)的公共点的个数N ：当t <0时N =0；当t =0时N =1；当1e<t <0时N=3；当t=1e时N=2；当t >1e时N=1考虑二次函数h(t)=t 2+mt +1，t =0不是零点，故f(x)=x 2e 2x +m |x |e x +1有4个零点，当且仅当g(t) 在区间(0，1e)和(1e，+∞)各有1个零点，所以h (0)>0，h (1e)<0，解得【要点】变量替换例6.2 设函数f (x )＝a 1－x 2＋1＋x ＋1－x ，若总存在x 0∈[－1，1]，使得f (x 0)>23，则a 的取值范围是【答案】(－，+∞)【解析】设t=1＋x ＋1－x ，t 2=2+2∈[2,4]，t ∈[,2]；此时f (x )=m(t)=t 2+t －a ，依题意：m(t)max >23 当a ≥0时， m(t)在[,2]上为增函数，m(t)max =m (2)=a +2 >23，符合题意 a <0时，m(t)的对称轴为t = 当<，即a <时，m(t)max =m ()=<23，不符题意当≤≤2，即≤a ≤－时，m(t)max ==m () =－a >23，无解当－<a <0时，m(t)max ==m (2)=a +2>23，符合题意，综上a >－【要点】变量替换例6.3 设f(x)=e x +e －x ，g(x)=f (2x )－2af(x)+4a －2，若g(x)恰有1个零点，则a 的取值范围是【答案】[2，+∞) 【解析】由于(f(x))2= e 2x +e－2x+2，g(x)= e 2x +e－2x－2a (e x +e －x )+ 4a －2=(e x +e －x )2－2a (e x +e －x ) +4a －4=(f(x))2－2af(x)+ 4a －4=[f(x)－2][f(x)－(2a －2)]2121x -∴22a 2a1-a 1-222-222a 1-22-21a 1-a 21-2121由于f(x)－2=0恰有1个根x =0，所以f(x)－(2a －2)=0无根或只有1个0根由于f(x)值域为[2，+∞)，所以(2a －2)≤2，解得答案【要点】变量替换、因式分解例6.4 设a >0，函数f(x)=23x 2－2ax －a 2ln x －b ，若f(x)恰有1个零点，则b 的最大值为【答案】12e 2【解析】f’(x)=(3x+a)(x−a)x(x >0)，f(x)在(0，a )减，(a ，+∞)增依题意：f(a)=0解得b =－a 2－a 2ln a (记为g(a)) g’(a)=－2a (1+ln a )，g(a)在(0，1e)为增，( 1e，+∞)为减，所以b max =g (1e)= 12e 2【要点】等价转化例6.5 已知函数f(x)=e x －ax 2+bx －1 满足f (1)=0，且f(x)在区间(0，1)内有零点，则a 的取值范围是【答案】(e －1，1)【解析】注意到f (0)=f (1)=0，依题意f(x)在(0，1)内至少有2个极值点，即f’(x)在(0，1)内至少有2个零点由f (1)=e －a +b －1=0，可得b =1－e +a f’(x)= e x －2ax +b ，(f’(x))’=e x －2a ，由e>e x >1若a ≤12，则(f’(x))’ >0，f’(x)为增函数，不会有2个零点，不符题意；若a ≥e 2，同理不符题意当 12<a <e 2 时，f’(x)在(0，ln2a )为减函数，(ln2a ，1)为增函数f’(x)在(0，1)内有2个零点，充要条件为：{f ′(0)>0f ′(ln2a )<0f ′(1)>0解得：e －1<a <1 【要点】等价转化例6.6 若函数f (x )＝(1－x 2)(x 2＋ax ＋b )的图像关于直线x ＝－2对称，则f (x )的最大值为__________．【答案】16【解法一】由f (1)=f (－1)=0，f(x)图像关于x ＝－2对称，所以f (－5)=f (－3)=0 故a =－(－3－5)=8，b =15此时f (x )＝－(x +1)(x －1)(x +3)(x +5)=－(x 2+4x +3)(x 2+4x －5) =－(t 2－2t －15)=－(t －1)2+16其中：t = x 2+4x ∈[－4，+∞），当t= 1时f(x)max =16【解法二】考虑g(x)=f (x －2)为偶函数，g (－1)=g (－3)=0，所以g (1)=g (3)=0 故g(x)=－(x +3)(x +1)(x －1)(x －3)=－(x 2－1) (x 2－9)=－(x 2－5)2+16 【要点】(1) 变量替换(2) 灵活处理对称条件21例6.7 设f(x)=e x －x －e +1，命题p ：f(x)≤0，命题q ：－1≤x ≤1，则p 是q 的： A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】注意到f (1)=0，f’(x)= e x －1，所以f(x)在(－∞，0)为减，(0，+∞)为增f (－1)=2+e －1－e<0，f (－2)=3+e －2－e>0，所以f(x)在(－∞，0)上有一个零点，设为x 0， f(x)≤0的充要条件为x 0≤x ≤1由于－2<x 0<－1，故为－1≤x ≤1的必要不充分条件【要点】单调性与不等式例6.8 设f(x)=e x －ax －1，g(x)=ln x －ax+a ，若总存在x ∈(1，2)，使得f(x)g(x)<0，则a 的取值范围是【答案】[ln2，e 2−12]【解析】f’(x)= e x －a ，g’(x)= 1x－a ，注意到e x ∈(e ，e 2)，1x∈( 12，1)，故对a 分类讨论(1) 当a ≤12时，f’(x)≥0，g’(x)≥0，故f(x)、g(x)都是(1，2)上的增函数，f(x)>f (1)= e －a －1>0，g(x)>g (1)=0，故不符题意；(2) 当12<a ≤1时，同理f(x)> 0，而g(x)在(1，1a)为增，( 1a ，2)为减依题意：g (2) ≤0，解得ln2≤a ≤1(3) 1<a ≤e 时：g(x)是(1，2)上的减函数，所以g(x)<g (1)=0f(x)是(1，2)上的增函数，故f(2)≥0，解得1<a ≤e(4) e<a ≤e 2时：同理g(x)<0，此时f(x)在(1，ln a )为减，(ln a ，2)为增，故f(1)≥0或者f(2)≥0解得e<a ≤e 2−12(5) a ≥e 2时：f(x)是(1，2)上的减函数，f(x)<f (1)= e －a －1<0，同理g(x)<0，不符题意【要点】分类讨论例6.9 设f(x)=2ax 2+(a －1)x －1 (a >0)，求函数y =|f(x)|在[－1，1]上的最大值【分析】结合|f(x)|的图像，判定f(x)的零点与定义域的位置关系，再比较极值与端点函数值的大小【解析】由a >0，f (0)=－1<0， f (－1)=a >0，所以：f(x)有两个零点(设为x 1x 2)满足：x 1<－1<x 2 f(x)的对称轴为x 0=a a 41-，t 0－1=aa451- 情形①：当0<a ≤51时，1≤x 0，| f(x)|在(－1，x 1)减，(x 1, 1)增x 2x 0－1x 1而|f (1)|= 2－3a >|f (－1)|，所以：|f(x)|max =2－3a情形②：51<a <32时，x 0<x 2<1， |f(x)|在 (－1，x 1)减，(x 1， x 0)增，(x 1， x 2)减，(x 2，1)增|f(x)|max =max{|f(－1)|，|f(x 0)|，|f(1)|}|f (1)|－|f (－1)|=2(a －1)<0|f (x 0)|=a a a 8162++ |f (x 0)|－|f (－1)|=a a a 8)1)(17(-+->0所以：|f(x)|max =aa a 8162++情形③：a 32≥时， x 0<1≤x 2， |f(x)| 在(－1，x 1)减，(x 1，x 0)增，(x 0，1)减 |f(x)|max =max{|f(－1)|，|f(x 0)| } 故当 a <1时：|f(x)|max =aa a 8162++当a ≥1时：|f(x)|max =|g (1)|=3a －2综上，|f(x)|max ={2−3a ，0<a ≤15a 2+6a+18a， 15<a <13a −2， a ≥1．【要点】分类讨论。

函数综合及其应用答案

专题二函数概念与基本初等函数Ⅰ第六讲函数综合及其应用答案部分1．A【解析】解法一根据题意，作出f (x) 的大致图象，如图所示yy=f(x)O 1x当x ≤1时，若要 f (x) ≥|x+a | 恒成立，结合图象，只需x 2 -x +3≥-(x+a) ，即2x 2 -x+3 +a ≥0，故对于方程x 2 -x+3 +a =0 ，∆=(-1)2 -4(3+a)≤0，解得2a ≥-47；当x >1 时，若要f (x)≥|x+a | 恒成立，结合图象，只需x +2≥x+a ，2 2 216 2x 2即+≥a，又+≥2 ，当且仅当=，即x = 2 时等号成立，所以a ≤2 ，2 x 2 x 2 xx 2 x 2 x 2综上，a 的取值范围是[-47, 2] ．选A．16解法二由题意f (x) 的最小值为11，此时x =1．不等式f (x) ≥|x+a | 在R 上恒成立等价于| x+a |≤11在R 上恒成立．422 2 4当a =-2 3 时，令x =1，|x-2 3 |=|8 3 -1|>11，不符合，排除C、D；2 2 48当a =39时，令x =1，|x+39|=|43|>11，不符合，排除B．选A．16 2 2 16 16 82．D【解析】“燃油效率”是指汽车每消耗1 升汽油行驶的里程，A 中乙车消耗1 升汽油，最多行驶的路程为乙车图象最高点的纵坐标值，A 错误；B 中以相同速度行驶相同路程，甲燃油效率最高，所以甲最省油，B 错误，C 中甲车以80 千米/小时的速度行驶1 小时，甲车每消耗1 升汽油行驶的里程10km,行驶80km，消耗8 升汽油，C 错误，D 中某城市机动车最高限速80 千米/小时．由于丙比乙的燃油效率高，相同条件下，在该市用pq丙车比用乙车更省油,选 D ．3．B 【解析】由题意可知 p = at 2 + bt + c 过点（3，0.7），（4，0.8）（5，0.5），代入p = at 2 + bt + c 中可解得a = -0.2,b = 1.5, c = -2 ，∴ p = -0.2t 2 +1.5t - 2 =-0.2(t - 3.75)2 + 0.8125 ，∴当t = 3.75 分钟时，可食用率最大．4．D 【解析】设年平均增长率为 x ，原生产总值为a ，则(1+ p )(1+ q )a = a (1+ x ) 2，解得x = (1+ p )(1+ q ) -1 ，故选 D ．5．①④【解析】①e xf (x ) = e x⋅2-x= ( e )x 在R 上单调递增，故 f (x ) = 2- x具有M 性质； 2② e x f (x ) = e x ⋅3 -x = ( e)x 在R 上单调递减，故 f (x ) = 3- x不具有M 性质；3③ e x f (x ) = e x ⋅ x 3，令 g (x ) = e x ⋅ x 3，则 g '( x ) = e x ⋅ x 3+ e x ⋅ 3x 2= x 2e x( x + 2) ，∴当 x > -2时， g '(x ) >0 ，当 x < -2时， g ' (x )< 0 ，∴ e x f (x ) = e x ⋅ x 3 在(-∞, -2) 上单调递减，在(-2, +∞) 上单调递增，故 f (x ) = x 3 不具有M 性质；④e xf (x ) = e x(x 2 + 2)，令 g (x ) = e x (x 2 + 2)，则 g '(x ) = e x (x 2 + 2) + e x ⋅ 2x = e x [(x + 1)2+ 1]> 0 ，∴ e x f (x ) = e x (x 2 + 2) 在R 上单调递增，故 f (x ) = x 2 + 2具有M 性质．6．8【解析】由于 f (x ) ∈[0,1) ，则需考虑1≤ x <10 的情况，在此范围内， x ∈Q 且 x ∈ D 时，设x = q , p , q ∈ N * , p ≥ 2 ，且 p , q 互质，若lg x ∈Q ，则由lg x ∈(0,1) ，可设lg x =n, m , n ∈ N *, m ≥ 2 ，且m , n 互质， mn 10 = 10n = ( q )m因此m，则pp，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lg x ∉Q ，因此lg x 不可能与每个周期内 x ∈ D 对应的部分相等，只需考虑lg x 与每个周期 x ∉ D 的部分的交点，画出函数图象，图中交点除外(1, 0) 其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期 x ∉ D 的部分，且 x =1处(lg x )' =1=1< 1 ，则在 x =1 附近仅有一个交点，x ln10 ln10因此方程 f (x ) - lg x = 0 的解的个数为 8．7． 4 15 【解析】如图连接OE 交 AC 于G ，由题意OE ⊥ AC ，设等边三角形ABC 的边长为 x （0 < x < 5 ），则OG = 3 x ，GE = 5- 6 3 x ． 6EAGFO CBD由题意可知三棱锥的高h =GE 2 - OG 2=(5-3 x )2 - (3 x )2 = 25-5 3 x底面 S∆ABC =3 x 2， 4663三棱锥的体积为V = 1⨯3 x 2⨯ 25- 5 3 x = 15 5x4 - 3 x5 ， 34 3 12 3设h (x ) = 5x 4 -3 x 5 ，则h '(x ) = 20x 3 - 5 3 x 4（0 < x < 5 ）， 3 3令 h '(x ) = 0 ，解得x = 4 3 ，当x ∈(0, 4 3) 时， h '(x ) > 0 ，h (x ) 单调递增；当 x ∈(4 3,5) 时，h '(x ) < 0 ， h (x ) 单调递减，⎩所以 x = 4 3 是h (x ) 取得最大值h (4 3) = (4 3)4所以V = 15 ⨯ h (4 3) = 15⨯ (4 3)2 = 4 15． max812 12⎧ x 3- 3x ,x ≤ 0 ． 2 ，(-∞, -1) .【解析】①若 a = 0 ，则 f (x ) = ⎨ -2x , x > 0，当 x > 0 时，-2x < 0 ；当 x … 0 时， f '( x ) = 3x 2 - 3 = 3( x + 1)(x - 1) ，所以函数 f ( x ) 在(-∞, -1) 上单调递增，在(-1, 0] 上单调递减，所以函数 f ( x )在(-∞, 0] 上的最大值为 f (-1) = 2 ．综上函数 f (x ) 的最大值为 2．②函数 y = x 3- 3x 与 y = -2x 的大致图象如图所示y 321–2 –1 O–1–2123若 f (x ) 无最大值，由图象可知-2a > 2 ，即a < -1．⎧ e b= 192 9．24【解析】由题意得⎨ e 22k +b = 48 ⎧e b =192 ⎪⎨e 11 k = 1 ，所以该食品在33 ℃的保鲜时间是 ⎪⎩ 2y = e 33k +b = (e 11k )3 ⋅ e b = (1)3⨯ 193= 24 ．210．(2 10, +∞)【解析】函数 g (x ) 的定义域为[-1, 2] ，根据已知得h ( x ) + g ( x )= f (x ) ，2所以 h (x )=2 f (x ) - g (x ) = 6x + 2b - 4 - x 2 ， h (x ) > g (x ) 恒成立，即6x + 2b - 4 - x 2 > 4 - x 2 ，令 y = 3x + b ，y = 4 - x 2 ，则只要直线y = 3x + b在半圆 x 2 + y 2= 4( y ≥0) 上方即可，由 | b |10> 2，解得b > 2 10 （舍去负值），故实数b 的取值范围是(2 10, +∞) ．⎩ ，即11．160【解析】设该容器的总造价为y 元，长方体的底面矩形的长x m ，因为无盖长方体的容积为4m 3 ，高为1m ，所以长方体的底面矩形的宽为4m ，依题意，得xy = 20⨯ 4+ 10(2x + 2⨯4) = 80+ 20(x + 4)≥ 80+ 20⨯ 2 x ⋅ 4= 160x x x12．①③④【解析】对于①，根据题中定义， f (x )∈ A ⇔ 函数 y = f (x ) ， x ∈ D 的值域为R ，由函数值域的概念知，函数 y = f (x ) ， x ∈ D 的值域为R ⇔ ∀b ∈ R ,∃a ∈ Df (a ) = b ，所以①正确；对于②，例如函数 f (x ) = ( 1)|x | 的值域(0,1] 包含于区间[-1,1] ，2所以 f (x ) ∈ B ，但 f (x ) 有最大值 l ，没有最小值，所以②错误；对于③，若f (x ) +g (x )∈ B ，则存在一个正数 M 1 ，使得函数 f (x ) + g (x )∈ B 的值域包含于区间[-M 1, M 1] ，所以-M 1 ≤ f (x ) +g (x ) ≤ M 1 ，由 g (x ) ∈ B 知，存在一个正数M 2 ，使得函数 g (x ) 的值域包含于区间[-M 2 , M 2 ]，所以-M 2 ≤ g (x ) ≤ M 2 ，亦有-M 2 ≤ -g (x ) ≤ M 2 ，两式相加得 -(M 1 + M 2 ) ≤ f (x ) ≤M 1 + M 2 ，于是 f (x ) ∈ B ，与已知“. f (x ) ∈ A ”矛盾，故 f (x ) + g (x ) ∉ B ，即③正确；对于④，如果a > 0 ，那么 x → +∞, f (x ) → +∞ ，如果a < 0 ，那么 x → -2, f (x ) → +∞ ，所以 f (x ) 有最大值，必须a = 0 ，此时 f (x ) = x x 2+1 在区间(-2, +∞) 上，有- 1 ≤ f (x )≤ 1 ，2 2所以 f (x ) ∈ B ，即④正确，故填①③④．13．【解析】(1)当0 < x ≤30 时， f (x ) = 30 < 40 恒成立，公交群体的人均通勤时间不可能少于自驾群体的人均通勤时间；当30 < x <100 时，若40 < f ( x ) ，即 2x + 1800 - 90 > 40 ，解得x < 20（舍）或x > 45 ；x∴当45 < x <100 时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间； (2)设该地上班族总人数为n ，则自驾人数为n ⋅ x % ，乘公交人数为n ⋅ (1- x %) ．⎨ x n B⎧ 30 ⋅ n ⋅ x % + 40 ⋅ n ⋅(1 - x %) ,0 < x ≤30n 因此人均通勤时间 g (x ) = ⎪ ， ⎨ (2x + 1800 - 90)⋅ n ⋅ x % + 40⋅ n ⋅ (1- x %) ⎪⎪, 30 < x < 100 ⎩⎧40 - 整理得： g (x ) = ⎪ 1 x, 0 < x ≤ 30 10 ， 2⎪ ⎪⎩50(x - 32.5) + 36.875, 30 < x < 100则当 x ∈ (0, 30] (30, 32.5]，即 x ∈ (0, 32.5] 时， g (x ) 单调递减；当x ∈(32.5,100) 时， g (x ) 单调递增．实际意义：当有32.5% 的上班族采用自驾方式时，上班族整体的人均通勤时间最短．适当的增加自驾比例，可以充分的利用道路交通，实现整体效率提升；但自驾人数过多，则容易导致交通拥堵，使得整体效率下降．14．【解析】(1)连结PO 并延长交MN 于 H ，则PH ⊥ MN ，所以OH =10．PDCG θE KM AO HN过O 作OE ⊥ BC 于 E ，则OE ∥ MN ，所以∠COE =θ，故OE = 40cos θ， EC = 40sin θ，则矩形 ABCD 的面积为2⨯ 40cos θ(40sin θ+10) = 800(4sin θcos θ+ cos θ) ，∆CDP 的面积为1⨯ 2 ⨯ 40 cos θ(40 - 40 sin θ) =1600(cos θ-sin θcos θ) ．2过N 作GN ⊥ MN ，分别交圆弧和OE 的延长线于G 和 K ，则GK = KN = 10 ．令∠GOK =θ ，则sin θ = 1 ，θ ∈ (0,π) ．0 04 0 6当θ∈[θ ,π) 时，才能作出满足条件的矩形 ABCD ，0 2所以sin θ的取值范围是[ 1,1) ．4答：矩形 ABCD 的面积为800(4sin θcos θ+ cos θ)平方米， ∆CDP 的面积为1600(cos θ- sin θcos θ) ， sin θ的取值范围是[ 1,1)．4(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k ，乙的单位面积的年产值为3k (k > 0) ，则年总产值为4k ⨯800(4sin θcos θ+cos θ) +3k ⨯1600(cos θ-sin θcos θ)= 8000k (sin θcos θ+ cos θ) ，θ∈[θ ,π) ．0 2 设 f (θ) = sin θcos θ+ cos θ，θ∈[θ ,π) ，0 2则 f '(θ) = cos 2 θ- sin 2 θ- sin θ= -(2 sin 2 θ+ sin θ-1) = -(2 sin θ-1)(sin θ+1) ． π令 f '(θ) = 0 ，得θ= 6 ，当θ∈ (θ ,π) 时， f ′(θ)>0，所以 f (θ)为增函数；0 6当θ∈ (π,π) 时， f ′(θ)<0 ，所以 f (θ) 为减函数， 6 2π因此，当θ= 6时， f (θ) 取到最大值．π答：当θ= 6时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．15．【解析】（1）由log 2 ⎭ + 5 >1 ，解得 x ∈⎛-∞, - 1 ⎫ (0, +∞)．4 ⎪ ⎝ ⎭ （2） 1+ a = (a - 4)x + 2a - 5 ，(a - 4) x 2 +(a -5)x -1= 0 ，x当a = 4 时， x = -1 ，经检验，满足题意．当a = 3时， x 1 = x 2 = -1，经检验，满足题意．当a ≠ 3 且a ≠ 4 时， x 1 =1a - 4 ，x 2 = -1 ， x 1 ≠ x 2 ． x 1 是原方程的解当且仅当 1+ a > 0 ，即a > 2 ；x 1 x 2 是原方程的解当且仅当 1+ a > 0 ，即a >1 ．x 2于是满足题意的a ∈(1, 2] ．⎛ 1 + 5 ⎫> 0 ，得 1⎝x ⎪ x1 ⎩ ⎭综上，a 的取值范围为(1, 2] {3, 4}．（3）当0 < x < x 时， + a > 1 + a ，log ⎛ 1 + a ⎫> log ⎛ 1 + a ⎫ ， 1 2xx2 x ⎪ 2 x⎪ 1 2所以 f (x )在 (0, +∞)上单调递减．⎝ 1 ⎭ ⎝ 2 ⎭函数 f (x )在区间 [t ,t +1]上的最大值与最小值分别为 f (t ) ， f (t +1) ．f (t ) - f (t +1) = log⎛ 1 + a ⎫ - log ⎛ 1 + a ⎫≤ 1 即at 2 + (a +1)t -1≥ 0 ， 2 t ⎪ 2 t +1 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭对任意t ∈⎡1 ,1⎤成立． ⎢⎣2 ⎥⎦因为 a > 0 ，所以函数 y = at 2 + (a +1)t -1在区间⎡ 1 ,1⎤上单调递增， ⎢⎣ 2 ⎥⎦t = 1 时， y 有最小值3 a - 1 ，由 3 a - 1 ≥ 0，得a ≥ 2 ．2 4 2 4 2 3故a 的取值范围为⎡ 2 , +∞⎫．⎢⎣ 3 ⎪16．【解析】（1）由题意知，点M ， N 的坐标分别为(5, 40) ，(20, 2.5) ．⎧ a= 40将其分别代入y = a，得⎪ 25+ b ⎧a = 1000 ，解得． x 2+ b⎨ a ⎨b = 0⎪ 400+ b = 2.5（2）①由（1）知， y = 1000 （ 5 ≤ x ≤ 20 ），则点P 的坐标为 ⎛t , 1000⎫ ，x 2t2 ⎪ ⎝ ⎭ 设在点P 处的切线l 交 x ， y 轴分别于 A ， B 点， y ' = - 2000，x3 则l 的方程为 y - 1000 = - 2000 ( x - t )，由此得A ⎛ 3t , 0 ⎫， B ⎛ 0, 3000⎫． t 2 t 32 ⎪ t 2 ⎪⎛ 3t ⎫2⎛ 3000 ⎫23 24 ⨯106 ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ t ∈ 5, 20故 f (t ) = 2 ⎪ + t 2 ⎪ = 2 t + t 4 ， [ ]．⎝ ⎭ ⎝ ⎭②设 g (t ) = t 2 + 4 ⨯10 6 ，则g '(t ) = 2t - 16⨯106．令g '(t )= 0 ，解得t 10 2 ．t 4 t 5=⎩当t ∈(5,10 2)时，g '(t )< 0 ， g (t ) 是减函数；当t ∈(10 2, 20) 时， g '(t )> 0 ，g (t ) 是增函数．从而，当t = 10 2 时，函数g (t )有极小值，也是最小值，所以g (t )min = 300 ，此时 f (t )min = 15 3 ．答：当t = 10 2 时，公路l 的长度最短，最短长度为15 3 千米．17．【解析】（Ⅰ）因为蓄水池侧面积的总成本为100⋅2πrh = 200πrh 元，底面的总成本为160πr 2 元，所以蓄水池的总成本为（ 200πrh +160πr 2 ）元.又题意据200πrh +160πr 2=12000π，所以h =1(300 - 4r 2 ) ，5r从而V (r ) =πr 2h = π(300r - 4r 3) ．因r > 0 ，又由h > 0 可得r < 5 3 ，5故函数V (r ) 的定义域为(0, 5 3) .（Ⅱ）因V (r ) = π(300r - 4r 3 ) ，故V '(r ) = π(300 -12r 2) ．令V '(r ) = 0 ，5 5解得r 1 = 5, r 2 = -5 （因 r 2 = -5不在定义域内，舍去）. 当r ∈ (0,5) 时，V '(r ) > 0 ，故V (r ) 在 (0, 5) 上为增函数；当r ∈(5,5 3) 时，V '(r ) < 0 ，故V (r ) 在(5, 5 3) 上为减函数. 由此可知，V (r ) 在r = 5 处取得最大值，此时h = 8 ．即当r = 5 ， h = 8时，该蓄水池的体积最大．18．【解析】（1）当b = 1,c = -1, n …2 时， f (x ) = x n+ x - 1．∵ f (1) f (1) = ( 1 - 1 )⨯1< 0 ，∴ f (x ) 在( 1,1) 内存在零点．2 2n 2 2又当 x ∈( 1 ,1) 时， f '(x ) = nx n -1+ 1> 0 ，∴ f (x ) 在( 1 ,1) 上是单调递增的，2 2∴ f (x ) 在区间( 1,1) 内存在唯一的零点；2⎧-1剟f (-1) 1, ⎧ 0 剟b - c 2, （2）解法一由题意知 ⎨ -1剟f (1) 1, 即 ⎨-2 剟b + c 0, 由图像知，b + 3c 在点⎩ ⎩(0, -2) 取得最小值-6 ，在点(0, 0) 取得最大值0 ．⎨-1剟f (1) 1,cO b - 2解法二由题意知-1剟f (1) =1+b +c 1 ，即-2 剟b +c0 ．…①-1剟f (-1) =1-b +c1，即-2 ? --b +c ?0 ．…②①⨯2 +②得-6 ? 2(-b +c) + (-b +c) =b + 3c ? 0当b = 0, c =-2 时，b + 3c =-6 ；当b =c = 0 时，b + 3c = 0所以b + 3c 的最小值-6 ，最大值0 ．⎧f (-1) =1 -b +c,解法三由题意知⎨⎩ f (1) =1 +b +c,,解得b = f (1) -f ( -1) , c = f (1) +f ( -1) -22 2b + 3c = 2 f (1) +f (-1) - 3 ．又∵⎧-1剟f (-1) 1,, ∴-6 ?b +3c ? 0⎩当b = 0, c =-2 时，b +3c =-6 ；当b =c = 0 时，b +3c = 0 所以b + 3c 的最小值-6 ，最大值0 ．(3)当n = 2 时, f (x) =x2 +bx +c ．对任意x1, x2∈[-1,1] 都有有 f (x1) -f (x2) …4 等价于f (x) 在[-1,1]上的最大值与最小值之差M … 4 ．据此分类讨论如下:(ⅰ)当b>1 ,即b > 2时,2M =f (1) -f (-1) = 2 b > 4 ,与题设矛盾．(ⅱ)当-1…-b<0 ,即0 <b …22 时,M =f (1)-f (-b) = (b+ 1)2 …2 24 恒成立．(ⅲ) 当0 …-b<1 ,即-2 剟b20 时, M =f (-1)-f (-b) =(b-1)2 …2 24 恒成立．综上可知, -2 剟b 2 ． 19．【解析】设包装盒的高为h （cm ），底面边长为a （cm ），由已知得 2 （1） S = 4ah = 8x (30 - x ) = -8( x -15)2 +1800, 所以当x = 15 时， S 取得最大值．（2）V = a 2h = 2 2 - (x 2 + 30x 2 ),V ' = 6 2x (20- x ). a = 2x ,h = 60 - 2x = 2(30 - x ),0 < x < 30. 由V ' = 0得x = 0 （舍）或x =20．当 x ∈ (0,20) 时，V ' > 0;当x ∈ (20, 30)时V ' < 0 ．所以当 x =20 时，V 取得极大值，也是最小值．此时 h = 1 即1 装盒的高与底面边长的比值 a 2 2 2。

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丙车比用乙车更省油 ,选 D．
3． B 【解析】由题意可知 p at 2 bt c过点（ 3， 0.7），（ 4， 0.8）（ 5， 0.5），代入 p at 2 bt c 中可解得 a 0.2, b 1.5, c 2 ，∴ p 0.2t2 1.5t 2 0.2(t 3.75) 2 0.8125 ，∴当 t 3.75分钟时，可食用率最大．
增，在 ( 1,0] 上单调递减，所以函数 f (x) 在 ( ,0] 上的最大值为 f ( 1) 2 ．
综上函数 f ( x) 的最大值为 2． ②函数 y x3 3x 与 y 2 x 的大致图象如图所示
y
3 2
1
–２ –１O 1 2 3
–１ –２
若 f ( x) 无最大值，由图象可知 2a 2 ，即 a 1 ．
，所以 f ( x) 有最
大值，必须 a 0 ，此时 f ( x)
x
x2
在区间
1
(
2,
所以 f ( x) B ，即④正确，故填①③④．
) 上，有 1 ≤ f ( x) ≤ 1 ，
2
2
13．【解析】 (1) 当 0 x ≤ 30 时， f ( x) 30 40 恒成立，公交群体的人均通勤时间不可能
少于自驾群体的人均通勤时间；
2
x2 x 3≥ ( x a) ，即 2
x2 x 3 a ≥ 0 ，故对于方程 x2 x 3 a 0，
2
2
( 1 )2 4(3 a) ≤ 0，解得 2
a≥
47 ；当 x
1 时，若要
x f ( x) ≥|
a |恒成立，结合图象，只需
2x x ≥ a，
16
2
x2
即x
2 ≥ a ，又 x
2 ≥ 2 ，当且仅当 x
) 80 20( x ) ≥ 80 20 2 x 160
x
x
x
12．①③④【解析】对于①，根据题中定义，
f ( x) A 函数 y f (x) ， x D 的值域
为 R ，由函数值域的概念知，函数 y f ( x) ， x D 的值域为 R
b R, a D
f (a) b ，所以①正确；对于②，例如函数 f ( x) ( 1)|x|的值域 (0,1] 包含于区间 [ 1,1]， 2
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1600(cos
1 sin cos ) ， sin 的取值范围是 [ ,1)．
4
(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为
4∶ 3，
设甲的单位面积的年产值为 4k ，乙的单位面积的年产值为 3k (k 0) ，
则年总产值为 4k 800(4sin cos cos ) 3k 1600(cos sin cos )
甲燃油效率最高，所以甲最省油， B 错误， C 中甲车以 80 千米 /小时的速度行驶 1 小时，
甲车每消耗 1 升汽油行驶的里程 10km,行驶 80km，消耗 8 升汽油， C 错误， D 中某城
市机动车最高限速 80 千米 /小时．由于丙比乙的燃油效率高，相同条件下，在该市用
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过 N 作 GN ⊥ MN ，分别交圆弧和 OE 的延长线于 G 和 K ，则 GK KN 10 ．
令 GOK
0 ，则 sin 0
1
，
4
0
(0, ) ． 6
当
[
0,
) 2
时，才能作出满足条件的矩形
所以 sin 的取值范围是 [ 1 ,1)． 4
ABCD ，
答：矩形 ABCD 的面积为 800(4sin cos cos ) 平方米， CDP 的面积为
当 x (32.5,100) 时， g(x) 单调递增．
实际意义：当有 32.5%的上班族采用自驾方式时，上班族整体的人均通勤时间最短．
适当的增加自驾比例，可以充分的利用道路交通，实现整体效率提升；但自驾人数过多，则容易导致交通拥堵，使得整体效率下降．
14．【解析】 (1) 连结 PO 并延长交 MN 于 H ，则 PH ⊥ MN ，所以 OH =10．
在此范围内， x Q 且 x D 时，设 x
q , p,q
N*, p
2 ，且 p, q 互质，
p
若 lg x Q ，则由 lg x
(0,1) ，可设 lg x
n ,m, n
N*,m
2 ，且 m,n 互质，mn因此 10m
q ，则 10n ( q )m ，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，
p
p
因此 lg x Q ，
当 30 x 100 时，若 40 f ( x) ，即 2x 1800 90 40，解得 x 20（舍）或 x 45 ； x
∴当 45 x 100 时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；
(2)设该地上班族总人数为 n ，则自驾人数为 n x% ，乘公交人数为 n (1 x%) ．
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④ ex f (x) ex (x2 2) ，令 g x ex x2 2 ，
则 g ( x) ex ( x2 2) ex 2x ex [( x 1)2 1] 0 ，
ex f ( x) ex ( x2 2) 在 R 上单调递增，故 f (x) x2 2 具有性质．
6．8【解析】由于 f ( x) [0,1) ，则需考虑 1 x 10 的情况，
10
数 b 的取值范围是 (2 10, ) ．
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11． 160【解析】设该容器的总造价为 y 元，长方体的底面矩形的长 x m ，因为无盖长方体
的容积为 4m3 ，高为 1m，所以长方体的底面矩形的宽为
4 m ，依题意，得 x
24
4
4
y 20 4 10(2 x
所以 Vmax
15 12
h(4 3)
15 (4 3) 2 4 15 ． 12
8． 2 ， ( , 1).【解析】①若 a 0 ，则 f ( x)
x3 3x, x ≤ 0 ，当 x 0时， 2x 0 ；
2x, x 0
当 x , 0 时， f ( x) 3x2 3 3( x 1)( x 1) ，所以函数 f (x) 在 ( , 1) 上单调递
D MA
P
C
θ
OH
G
EK
BN
过 O 作 OE ⊥ BC 于 E ，则 OE ∥ MN ，所以 COE ，故 OE 40cos ， EC 40sin ，
则矩形 ABCD 的面积为 2 40cos (40sin 10) 800(4sin cos cos ) ，
CDP 的面积为 1 2 40cos (40 40sin ) 1600(cos sin cos ) ． 2
所以 f ( x) B ，但 f ( x) 有最大值 l，没有最小值，所以②错误；对于③，若
f ( x) g( x) B ，则存在一个正数 M 1 ，使得函数 f ( x) g (x) B 的值域包含于区间 [ M 1 , M 1] ，所以 M 1 ≤ f ( x) g (x) ≤ M 1 ，由 g (x) B 知，存在一个正数 M 2 ，使得函数 g ( x) 的值域包含于区间 [ M 2, M 2 ] ，所以 M 2 ≤ g (x) ≤ M 2 ，亦有
因此人均通勤时间 g(x)
30 n x% 1800
(2 x x
40 n (1 x%) ,
n 90) n x% 40 n (1
n
0
x %) ,30
x ≤ 30
，
x 100
整理得： g( x)
40 x , 10
1 (x
32.5) 2
50
0 36.875,30
x ≤ 30
，
x 100
则当 x (0,30] U (30,32.5] ，即 x (0,32.5] 时， g( x) 单调递减；
4． D【解析】设年平均增长率为 x ，原生产总值为 a ，则 (1 p)(1 q) a a(1 x)2 ，解得
x (1 p)(1 q) 1 ，故选 D．
5．①④【解析】① ex f ( x) ex 2 x ( e ) x 在 R 上单调递增，故 f (x) 2
② ex f (x) ex 3 x (e )x 在 R 上单调递减，故 f (x) 3 x 不具有 3
3
3
令 h (x) 0 ，解得 x 4 3 ，当 x (0, 4 3) 时， h ( x) 0 ， h(x) 单调递增；
当 x (4 3,5) 时， h ( x) 0 ， h( x) 单调递减，
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所以 x 4 3 是 h( x) 取得最大值 h(4 3) (4 3) 4
9． 24【解析】由题意得
eb 192
，即
e22k b 48
eb 192 e11k 1 ，所以该食品在
2
33 ℃的保鲜时间是
y 10． (2
e33k b (e11k )3 eb ( 1 )3 193 24． 2
10, ) 【解析】函数 g (x) 的定义域为 [
1,2] ，根据已知得
h( x) g ( x) 2
8000k (sin cos cos ) ， [ 0, 2 ) ．
设 f ( ) sin cos cos ， [ 0 , 2 ) ，
则 f ( ) cos2 sin 2 sin
2
x
具有
性质；
性质；
③ ex f (x) ex x3 ，令 g ( x) ex x3 ，则 g ( x) ex x3 ex 3x2 x2ex (x 2) ，

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