2018届北师大版 函数与方程 检测卷
2018届北师大版 函数的图象 检测卷
－∞，0)
去掉绝对值得f(x)＝⎩
⎪⎨⎪⎧x 2
－的图象关于原点对称，与g(x)＝2在同一坐标系中的图象大致是
＋log 2x 的零点是12
，排除A ；g(x)＝21，故选C .
x＋1
的图象可以看作是由函数y＝10ln|x|
x
是奇函数，所以排除A和D；又因为当
，g(x)＝k(x＋2)．若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实有两个不相等的实根，则函数f(x)与g(x)
如图所示，侧棱与底面垂直，且底面为正方形的四棱柱
，则函数y＝f(x)的图象大致是()
平面DCC1D1，过M点向AD作垂线，垂足为E，则
(2BN)2＝1＋4x2，所以y＝f(x)的图象是双曲线y2在第一象限内的一部分，故选C.
的大致图象如图所示．
＝b 有三个不同的根，只需4m ，a >0.
f (x )的最小值．
<0，
的单调递增区间是(－∞，0)⎝⎛⎭⎫a 2，＋∞；单调递减区间是时，所求最小值f (x )min ＝的图象如图所示．
时，函数F (x )与G (x )的图象只有一个交点，原方程有一
故a的取值范围是[3，＋∞)．。
2018届北师大版 三角函数 检测卷
分类汇编三角函数2017.02一、选择、填空题 1、（红色七校2017届高三第二次联考）．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 成等比数列，若sinB=，cosB=，则a +c 的值为2、（赣吉抚七校2017届高三阶段性教学质量监测考试（二））设 x y ，满足约束条件430 0x yy x x y ≥⎧⎪≥-⎨⎪≥≥⎩，，若目标函数()220z x ny n =+>，z 最大值为2，则tan 6y nx π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π后的表达式为（ ）A ．tan 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．cot 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ C.tan 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．tan 2y x =3、（赣中南五校2017届高三下学期第一次联考）已知()sin 2017cos 201766f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为A,若存在实数12,x x 使得对任意实数x 总有()()()12f x f x f x ≤≤成立，则12A x x -的最小值为（ ） A.2017πB.22017π C. 42017π D.4034π4、（赣州市2017届高三上学期期末考试）将函数()cos 2f x x ω=的图象向右平移34πω个单位，得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在[,]46ππ-上为减函数，则正实数ω的最大值为（ ） A ．12 B ．1 C. 32D ．3 5、（上饶市2017届高三第一次模拟考试）已知1sin()123πα-=，则17cos()12πα+的值等于（ ） A ．13BC ．13-D． 6、（江西省师大附中、临川一中2017届高三1月联考）已知将函数()21cos cos 2f x x x x =+-的图像向左平移512π个单位长度后得到()y g x =的图像，则()g x 在,123ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为 （ ）A. 1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C. 12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. 12⎡-⎢⎣7、（新余市2017高三上学期期末考试）若函数()sin ()f x x x x R ωω=+∈，又()2f α=-，()0f β=，且||αβ-的最小值为34π，则正数ω的值是（ ） A.13 B.32 C.43 D.23 8、（宜春中学2017届高三2月月考）已知函数()sin()4f x x ππ=+和函数()cos()4g x x ππ=+在区间57[,]44-上的图像交于,,A B C 三点，则ABC ∆的面积是（ ）9、（江西省重点中学协作体2017届高三下学期第一次联考）为了得到函数3cos 2y x =的图象，只需把函数3sin(2)6y x π=+的图象上所有的点A ．向右平移3π个单位 B ．向右平移6π个单位C ．向左平移3π个单位D ．向左平移6π个单位10、（九江市十校2017届高三第一次联考）︒570sin 的值是（ ）A ．21-B ．21C D ．23-11、（九江市十校2017届高三第一次联考）已知函数3()sin(2)f x x π=+，若存在(0,)a π∈，使得(2)()f x a f x +=恒成立，则a 的值是（ ）A .6πB .4πC .3πD .2π二、解答题1、（红色七校2017届高三第二次联考）已知函数f （x ）=2sinxcosx ﹣3sin 2x ﹣cos 2x +3．（1）当x ∈[0，]时，求f （x ）的值域；（2）若△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足=，=2+2cos （A +C ），求f （B ）的值．2、（赣中南五校2017届高三下学期第一次联考）已知函数，．（Ⅰ）若在上单调函数，求的取值范围；（Ⅱ）若时，在上的最小值为，求的表达式．3、（赣州市2017届高三上学期期末考试）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，222a b c ac bc ca ++=++.（1）证明：ABC ∆是正三角形；（2）如图，点D 的边BC 的延长线上，且2BC CD =，AD =，求sin BAD ∠的值.4、（宜春中学2017届高三2月月考）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，（1）A=60°，，求B ；（2）已知，c=2，B=150°，求边b 的长．5、（江西师范大学附属中学2017届高三12月月考）设ABC ∆的内角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c , 已知sin()sin sin a b a cA B A B+-=+-（Ⅰ）求角B ； （Ⅱ）若3,cos b A ==求ABC ∆的面积.6、（南昌市八一中学2017届高三2月测试）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，cos 2cos C a cB b-=，且2a c +=． （1）求角B ；（2）求边长b 的最小值．7、（九江市十校2017届高三第一次联考）已知ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，1sin sin B C R+=（其中R 为ABC ∆的外接圆的半径）且ABC ∆的面积22()S a b c =--. （1）求tan A 的值；（2）求ABC ∆的面积S 的最大值.参考答案一、选择、填空题1、 2、答案：C解析：作出可行域与目标函数基准线2y x n =-，由线性规划知识，可得当直线2nz x y =+过点()1 1B ，时，z 取得最大值，即122n +=，解得2n =；则tan 6y nx π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位后得到的解析式为tan 2tan 2666y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故答案为C.3、B4、B5、A6、B7、D8、C9、D10、A 11、D二、解答题1、解：（1）∵f（x）=2sinxcosx﹣3sin2x﹣cos2x+3=sin2x﹣3﹣+3=sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1，∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，∴sin（2x+）∈[，1]，∴f（x）=2sin（2x+）+1∈[0，3]；（2）∵=2+2cos（A+C），∴sin（2A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C），∴sinAcos（A+C）+cosAsin（A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C），∴﹣sinAcos（A+C）+cosAsin（A+C）=2sinA，即sinC=2sinA，由正弦定理可得c=2a，又由=可得b=a，由余弦定理可得cosA===，∴A=30°，由正弦定理可得sinC=2sinA=1，C=90°，由三角形的内角和可得B=60°，∴f（B）=f（60°）=22、解：⑴，对称轴为． (1)分在上单调．或，····3分或．又，或．········5分⑵若，则，···6分当，即时，．···8分当，即时，．···10分综上所述：．······12分3、解：（1）由222a b c ac bc ca++=++得222()()()0a b b c c a-+-+-=…………………………………………………………3分所以0a b b c c a-=-=-=，所以a b c==………………………………………………4分即ABC∆是正三角形…………………………………………………………………………5分（2）因为ABC∆是等边三角形，2BC CD=，所以2AC CD=，120ACD∠=o…………………………………………………………7分所以在ACD∆中，由余弦定理可得：2222cosAD AC CD AC CD ACD=+-⋅∠，可得22744cos120CD CD CD CD=+-⋅o，解得1CD=………………………………9分在ABC∆中，33BD CD==，由正弦定理可得sinsinBD BBADAD⋅∠===…………………………………………………12分4、解：（1）由正弦定理可知：∴b=7， 边b 的长7．5、解：（Ⅰ）因为所以ba c a cb a --=+， 所以222a b ac c -=-， 所以21cos 222a cb ac B ac ac +-===，又因为π<<B 0，所以3B π=（Ⅱ）由36cos ,3==A b 可得sin A =, 由BbA a sin sin =可得2=a ，而()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=所以ABC ∆的面积==C ab S sin 216、（I ）由已知cos 2sin sin ,cos sin C A CB B-=即()cos sin 2sin sin cos ,C B A C B =- ()sin 2sin cos ,B C A B +=7、 解：（1）由()22c b a S --=得A bc bc A bc cos 2-2sin 21= ……2分 ()412tan ,2sin 42cos 2sin ,cos 12sin 212==-=A A A A A A ……4分1582tan 12tan2tan 2=-=A A A …6分 （2）由RC B 1sin sin =+得2=+c b ……7分由158tan =A 得178sin =A ……9分1742174174sin 212=⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤==c b bc A bc S ……11分 当且仅当1==c b 时，取“=”号 于是，△ABC 的面积S 最大值为174.……12分。
2018届北师大版(理科数学) 解析几何、极坐标参数方程 单元测试
十四、圆锥曲线（一）试题细目表（二）试题解析1.（2018·海淀区期末·9）点到双曲线的渐近线的距离是．【答案】2.（2018·海淀区期末·11）设抛物线的顶点为，经过抛物线的焦点且垂直于轴的直线和抛物线交于两点，则 .【答案】23.（2018·丰台区期末·13）能够说明“方程的曲线是椭圆”为假命题的一个的值是．【答案】中任取一值即为正确答案4.（2018·海淀期末·5）已知直线与圆相交于两点，且为正三角形，则实数的值为A. B. C.或 D.或【答案】D5.（2018·海淀期末·8）已知点为抛物线的焦点，点为点关于原点的对称点，点在抛物线上，则下列说法错误．．的是A.使得为等腰三角形的点有且仅有4个B.使得为直角三角形的点有且仅有4个C. 使得的点有且仅有4个D. 使得的点有且仅有4个【答案】C6. （2018·丰台区期末·7）过双曲线的一个焦点作一条与其渐近线垂直的直线，垂足为为坐标原点，若，则此双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．【答案】C7. （2018·通州区期末·2）已知点为抛物线上一点，那么点到抛物线准线的距离是A．B．C．D．【答案】C7. （2018·昌平区期末·11）已知直线，点是圆上的点，那么点到直线的距离的最小值是 .【答案】28. （2018·朝阳区期末·6）已知圆的圆心为.直线过点且与轴不重合，交圆于两点，点在点，之间.过作直线的平行线交直线于点，则点的轨迹是A. 椭圆的一部分B. 双曲线的一部分C. 抛物线的一部分D. 圆的一部分【答案】B9. （2018·朝阳区期末·9）已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为.【答案】10. （2018·东城区期末·13）双曲线的一个焦点到它的一条渐近线的距离为1，则；若双曲线与不同，且与有相同的渐近线，则的方程可以是.【答案】；十五、极坐标与参数方程（一）试题细目表（二）试题解析1.（2018•西城期末·4）已知为曲线：（为参数）上的动点．设为原点，则的最大值是（A）（B）（C）（D）【答案】D2.（2018·海淀期末·2）在极坐标系中，方程表示的圆为【答案】D3.（2018·丰台期末·3）在极坐标系中，方程表示的曲线是（）A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线【答案】B4.（2018·通州区期末·11）在极坐标系中，已知点是以为圆心，为半径的圆上的点，那么点到极点的最大距离是_______.【答案】35.(2018·通州区期末·12) 已知点的坐标是，将绕坐标原点顺时针旋转至，那么点的横坐标是_______.【答案】6.（2018·昌平区期末·10）已知曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，那么曲线的直角坐标方程为.【答案】7.（2018·东城区期末·12）在极坐标系中，若点在圆外，则的取值范围为.【答案】>1十六、解析几何综合题（一）试题细目表（二）试题解析1. （2018·西城区期末·19）（本小题满分14分）已知椭圆过点，且离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点．若直线上存在点，使得四边形是平行四边形，求的值．【答案】解：（Ⅰ）由题意得，，所以．[ 2分]因为，[ 3分]所以， [ 4分]所以椭圆的方程为． [ 5分]（Ⅱ）若四边形是平行四边形，则，且.[ 6分]所以直线的方程为，所以，．[ 7分]设，．由得， [ 8分]由，得．且，． [ 9分]所以.． [10分]因为，所以．整理得， [12分]解得，或． [13分]经检验均符合，但时不满足是平行四边形，舍去．所以，或． [14分] 2. (2018·海淀区期末·18) 已知椭圆，点（Ⅰ）求椭圆的短轴长和离心率；（Ⅱ）过的直线与椭圆相交于两点，设的中点为，判断与的大小，并证明你的结论.【答案】解：（Ⅰ）：，故，，，有，. ……………..3分椭圆的短轴长为，离心率为.……………..5分（Ⅱ）结论是：. ……………..6分设直线：，，，整理得：……………..8分故，……………..10分……………..11分……………..12分故，即点在以为直径的圆内，故………..13分3.（2018·丰台区期末·19）在平面直角坐标系中，动点到点的距离和它到直线的距离相等，记点的轨迹为.（Ⅰ）求得方程；（Ⅱ）设点在曲线上，轴上一点（在点右侧）满足.平行于的直线与曲线相切于点，试判断直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.【答案】解：（Ⅰ）因为动点到点的距离和它到直线的距离相等，所以动点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线.设的方程为，则，即.所以的轨迹方程为.（Ⅱ）设，则，所以直线的斜率为.设与平行，且与抛物线相切的直线为，由得，由得，所以，所以点.当，即时，直线的方程为，整理得，所以直线过点.当，即时，直线的方程为，过点，综上所述，直线过定点.4.（2018·石景山期末·19）已知椭圆离心率等于，、是椭圆上的两点.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是椭圆上位于直线两侧的动点.当运动时，满足，试问直线的斜率是否为定值？如果为定值，请求出此定值；如果不是定值，请说明理由.【答案】解：（Ⅰ）因为，又，所以………2分设椭圆方程为,代入,得……4分椭圆方程为…………5分（Ⅱ）当时，斜率之和为…………6分设斜率为，则斜率为…………7分设方程为，与椭圆联立得代入化简得：，同理，，即直线的斜率为定值. …………14分5.（2018·通州区期末·18）已知椭圆过点，离心率.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点，过点作斜率为直线，与椭圆交于，两点，若轴平分，求的值．【答案】解：（Ⅰ）因为椭圆的焦点在轴上，过点，离心率，所以，……………………2分所以由，得……………………3分所以椭圆的标准方程是……………………4分（Ⅱ）因为过椭圆的右焦点作斜率为直线，所以直线的方程是.联立方程组消去，得显然设点，，所以，……………………7分因为轴平分，所以.所以……………………9分所以所以所以所以所以所以……………………12分所以因为，所以……………………13分6.（2018·房山区期末·18）已知直线过点，圆:,直线与圆交于两点.（）求直线的方程；（）求直线的斜率的取值范围；（Ⅲ）是否存在过点且垂直平分弦的直线?若存在，求直线斜率的值，若不存在，请说明理由．【答案】（）设圆,圆心为，故直线的方程为，即 …………………5分 （）法1：直线的方程为，则由得由得故…………………10分法2：直线的方程为，即，圆心为，圆的半径为1则圆心到直线的距离因为直线与有交于两点，故，故（Ⅲ）假设存在直线垂直平分于弦,此时直线过，，则，故的斜率，由（）可知，不满足条件所以，不存在存在直线垂直于弦。
2018届北师大版(文) 函数与方程及函数的应用 检测卷
1.【2016高考新课标1卷】函数22xy x e =-在[]2,2-的图像大致为【答案】D2.(2015·湖南卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤a ，x 2，x >a ，若存在实数b ，使函数g (x )＝f (x )－b 有两个零点，则a 的取值范围是________．【答案】：(－∞，0)∪(1，＋∞)【解析】：函数g (x )有两个零点，即方程f (x )－b ＝0有两个不等实根，则函数y ＝f (x )和y ＝b 的图象有两个公共点．①若a <0，则当x ≤a 时，f (x )＝x 3，函数单调递增；当x ＞a 时，f (x )＝x 2，函数先单调递减后单调递增，f (x )的图象如图①实线部分所示，其图象与直线y ＝b 可能有两个公共点.3.已知直线y ＝mx 与函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，x ≤0，12x 2＋1，x >0的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m 的取值范围是________．【答案】(2，＋∞)【解析】作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，x ≤0，12x 2＋1，x >0的图象，不相等的实数根，即方程x 2－2mx ＋2＝0的判别式Δ＝4m 2－4×2>0，且m >0，解得m > 2.故所求实数m 的取值范围是() 2，＋∞.【特别提醒】解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解． 4. (1)(2015·海南)已知函数f (x )＝ln x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的零点为x 0，则x 0所在的区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)(2)x ]表示不超过x 的最大整数，例如2.9]＝2，－4.1]＝－5.已知f (x )＝x －x ](x ∈R)，g (x )＝log 4(x －1)，则函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4(1)【答案】：C【解析】：∵f (x )＝ln x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2在(0，＋∞)上是增函数， ∴又f (1)＝ln 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝ln 1－2<0， f (2)＝ln 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫120<0， f (3)＝ln 3－⎝ ⎛⎭⎪⎫121>0， ∴x 0∈(2,3)，故选C.(2)【答案】：B 【解析】：函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数可转化为函数f (x )与g (x )图象的交点个数，作出函数f (x )＝x －x ]＝⎩⎪⎨⎪⎧ …，x ＋1，－1≤x <0，x ，0≤x <1，x －1，1≤x <2，…与函数g (x )＝log 4(x －1)的大致图象，如图，由图知，两函数图象的交点个数为2，即函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数是2.5.(2014·江苏)已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈0,3)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12.若函数y ＝f (x )－a 在区间－3,4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫0，126. 【2015高考四川，理13】某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储存温度x （单位：C）满足函数关系b kx e y +=（ 718.2=e 为自然对数的底数，k 、b 为常数）。
2018届北师大版 三角函数 检测卷
[A 级 基础达标](时间：40分钟)1．已知函数f (x )＝sin(sin x )，则下列说法正确的是( ) A ．f (x )的定义域是[－1,1] B ．f (x )是偶函数C ．f (x )的值域是[－sin1，sin1]D ．f (x )不是周期函数 答案 C解析 ∵－1≤sin x ≤1，且y ＝sin x 在[－1,1]上是增函数，∴f (x )的值域是[－sin1，sin1]．2．若将函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的图象重合，则ω的最小值为( )A ．16 B ．14 C ．13 D ．12答案 D解析 y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4向右平移π6个单位长度，可得：y ＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，∴π4－π6ω＋k π＝π6(k ∈Z )，∴ω＝6k ＋12(k∈Z )．又∵ω>0∴ωmin ＝12.故选D.3．[2017·西安模拟]已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( )A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称 B ．关于直线x ＝π4对称C ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称D ．关于直线x ＝π3对称 答案 D解析 ω＝2，函数f (x )的对称轴满足2x ＋π3＝k π(k ∈Z )，解得x ＝k π2－π6(k ∈Z )，当k ＝1时，x ＝π3，选D.4．[2017·天津模拟]将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0，则ω的最小值是( ) A ．13 B ．1 C ．53 D ．2答案 D解析 根据题意平移后函数的解析式为y ＝ sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，将⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0代入，得sin ωπ2＝0， 则ω＝2k ，k ∈Z ，且ω>0，故ω的最小值为2.5．[2017·惠州模拟]已知函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，则b －a 的值不可能是( )A ．π3B ．2π3C ．πD ．4π3答案 A解析 画出函数y ＝sin x 的草图分析知b －a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，4π3.6．[2017·南宁模拟]函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)的图象如图，则f (x )＝________.答案 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4 解析 由图象得：T ＝4×2＝8，∴ω＝2π8＝π4，代入(－1,1)，得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋φ＝1， ∴－π4＋φ＝2k π，k ∈Z ，即φ＝2k π＋π4，k ∈Z ， 又∵0≤φ≤π，∴φ＝π4. ∴f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4.7．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3向左平移m 个单位长度后关于y 轴对称，则m 的最小正值为________．答案 π24解析 y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4(x ＋m )＋π3关于y 轴对称，则有4m ＋π3＝k π＋π2(k∈Z )，m ＝k π4＋π24，∴m 的最小正值为π24.8．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ<π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝________.答案 22解析 把函数y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象，再把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6的图象，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×π6＋π6＝sin π4＝22. 9．如图所示，某地夏天8～14时用电量变化曲线近似满足函数式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b ，φ∈(0，π)(1)求这期间的最大用电量及最小用电量； (2)写出这段曲线的函数解析式．解 (1)由图象，知这期间的最大用电量为50万千瓦时，最小用电量为30万千瓦时．(2)A ＝12(50－30)＝10，b ＝12(50＋30)＝40， T ＝2πω＝2×(14－8)＝12，所以ω＝π6，所以y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋40. 把x ＝8，y ＝30代入上式，得φ＝π6.所以所求解析式为y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π6＋40，x ∈[8,14]． 10．[2017·启东模拟]已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R ⎝⎛⎭⎪⎫其中A >0，ω>0，0<φ<π2的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上一个最低点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2. (1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2时，求f (x )的值域．解 (1)由最低点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2，得A ＝2. 由x 轴相邻两个交点之间的距离为π2，得T 2＝π2， 即T ＝π，所以ω＝2πT ＝2ππ＝2.由点M ⎝⎛⎭⎪⎫2π3，－2在图象上，得2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×2π3＋φ＝－2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋φ＝－1， 故4π3＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )． 所以φ＝2k π－11π6(k ∈Z )． 因为φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以φ＝π6.故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，7π6.当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )取最小值－1.故f (x )的值域为[－1,2]．[B 级 知能提升](时间：20分钟)11．为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象，可以将函数y ＝cos2x 的图象( )A ．向右平移π6个单位长度 B ．向右平移π3个单位长度 C ．向左平移π6个单位长度 D ．向左平移π3个单位长度 答案 B解析 y ＝cos2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2，由y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4 得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π12，只需向右平移π3个单位长度．12．[2016·北京高考]将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3图象上的点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，t 向左平移s (s >0)个单位长度得到点P ′.若P ′位于函数y ＝sin2x 的图象上，则( )A ．t ＝12，s 的最小值为π6 B ．t ＝32，s 的最小值为π6 C ．t ＝12，s 的最小值为π3D ．t ＝32，s 的最小值为π3答案 A解析 点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，t 在函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象上， ∴t ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π4－π3＝12.函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象向左平移π6个单位长度即可得到函数y ＝sin2x 的图象，故s 的最小值为π6.13．若函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋φ(0<φ<π)的一条对称轴方程为x ＝9π4，则函数y ＝sin(2x －φ)(0≤x <π)的单调递增区间为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π8和⎣⎢⎡⎭⎪⎫7π8，π 解析 因为y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋φ的对称轴为x ＝9π4，所以13×9π4＋φ＝k π，k ∈Z ，所以φ＝k π－3π4，k ∈Z .又因为0<φ<π，所以φ＝π4.由2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π8≤x ≤k π＋3π8，k ∈Z .因为0≤x <π，所以函数的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π8和⎣⎢⎡⎭⎪⎫7π8，π. 14．[2015·湖北高考]某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0，求θ的最小值．解 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表：且函数表达式为f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.(2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，得g (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2θ－π6.因为函数y ＝sin x 图象的对称中心为(k π，0)，k ∈Z . 令2x ＋2θ－π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z .由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0成中心对称，令k π2＋π12－θ＝5π12，k ∈Z ，解得θ＝k π2－π3，k ∈Z .由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.。
2018届北师大版 函数、导数及其应用 2 检测卷
第二章 第二讲A 组基础巩固一、选择题1．(2017·辽宁省铁岭市协作体高三上学期第三次联考数学试题)下列函数中，在区间(－1,1)上为减函数的是 ( D )A ．y ＝11－xB ．y ＝cos xC ．y ＝ln(x ＋1)D ．y ＝2－x[解析] 根据函数单调性的定义，余弦函数单调性，以及指数函数的单调性便可判断每个选项函数在(－1,1)上的单调性，从而找出正确选项．解：A.x 增大时，－x 减小，1－x 减小，∴11－x 增大；∴函数y ＝11－x 在(－1,1)上为增函数，即该选项错误；B ．y ＝cos x 在(－1,1)上没有单调性，∴该选项错误；C ．x 增大时，x ＋1增大，ln(x ＋1)增大，∴y ＝ln(x ＋1)在(－1,1)上为增函数，即该选项错误；D ．y ＝2－x ＝(12)x ；∴根据指数函数单调性知，该函数在(－1,1)上为减函数，∴该选项正确．故选D. 2．(2017·浙江省台州中学高三10月月考数学试题)偶函数y ＝f (x )在区间[0,4]上单调递减，则有 ( A )A ．f (－1)>f (π3)>f (－π)B ．f (π3)>f (－1)>f (－π)C ．f (－π)>f (－1)>f (π3)D ．f (－1)>f (－π)>f (π3)[解析] 由题意得，0<1<π3<π<4⇒f (－1)＝f (1)>f (π3)>f (π)＝f (－π)，故选A.3．(2016·宁夏模拟)若函数f (x )是R 上的增函数，对实数a 、b ，若a ＋b >0，则有 ( A ) A ．f (a )＋f (b )>f (－a )＋f (－b ) B ．f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b ) C ．f (a )－f (b )>f (－a )－f (－b )D ．f (a )－f (b )<f (－a )－f (－b )[解析] ∵a ＋b >0，∴a >－b ，b >－a .∴f (a )>f (－b )，f (b )>f (－a )，∴选A.4．若函数y ＝f (x )在R 上单调递增，且f (m 2＋1)>f (－m ＋1)，则实数m 的取值范围是 ( D )A ．(－∞，－1)B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)[解析] 由题意得m 2＋1>－m ＋1，故m 2＋m >0，故m <－1或m >0.5．(2017·陕西省西安一中大学区高三上学期期中数学试题)已知f (x )＝2＋log 3x (1≤x ≤9)，则函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值为 ( B )A ．6B ．13C ．22D ．33[解析] 将f (x )＝2＋log 3x (1≤x ≤9)代入y ＝[f (x )]2＋f (x 2)中，整理化简为关于log 3x 的函数，利用换元法求最值．解：y ＝[f (x )]2＋f (x 2)＝(log 3x )2＋6log 3x ＋6， ∵f (x )＝2＋log 3x (1≤x ≤9)，∴⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤91≤x 2≤9 ∴y ＝[f (x )]2＋f (x 2)＝(log 3x )2＋6log 3x ＋6，的定义域是{x |1≤x ≤3}． 令log 3x ＝t ，因为1≤x ≤3，所以0≤t ≤1，则上式变为y ＝t 2＋6t ＋6,0≤t ≤1， y ＝t 2＋6t ＋6在[0,1]上是增函数 当t ＝1时，y 取最大值13 故选B6．下列四个函数：①y ＝3－x ；②y ＝1x 2＋1； ③y ＝x 2＋2x －10；④y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x (x ≤0)，－1x(x >0).其中值域为R 的函数有 ( B ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[解析] 依题意，注意到y ＝3－x 与函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x (x ≤0)，－1x (x >0)的值域均是R ，函数y ＝1x 2＋1的值域是(0,1]，函数y ＝x 2＋2x －10＝(x ＋1)2－11的值域是[－11，＋∞]，因此选B.7．若函数f (x )＝－x 2＋2ax 与函数g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则实数a 的取值范围为 ( D )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0,1)D ．(0,1][解析] 注意到f (x )＝－(x －a )2＋a 2；依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，a >0即0<a ≤1，故选D.8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x >1，(4－a2)x ＋2，x ≤1是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是 ( B )A ．(1，＋∞)B ．[4,8)C ．(4,8)D ．(1,8)[解析] 由f (x )在R 上单调递增，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >1，4－a 2>0，(4－a 2)＋2≤a ，解得：4≤a <8. 二、填空题9．(2016·山东威海模拟)函数f (x )＝lg x 2的单调递减区间是_(－∞，0)_.[解析] 函数f (x )＝lg x 2的单调递减区间需满足x 2>0，且y ＝x 2单调递减，故x ∈(－∞，0)．10．若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调增区间是[3，＋∞)，则a ＝_－6_. [解析] 画图知a ＝－6.11．函数f (x )＝(13)x －log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为_3_.[解析] 由于y ＝(13)x 在R 上单调递减，y ＝log 2(x ＋2)在[－1,1]上递增，所以f (x )在[－1,1]上单调递减，故f (x )在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝3.三、解答题12．(教材改编题)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋2.(1)求f (x )在区间[12，3]上的最大值和最小值；(2)若g (x )＝f (x )－mx 在[2,4]上是单调函数，求m 的取值范围．[答案] (1)5 1 (2)(－∞，2]∪[6，＋∞)[解析] (1)f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[12，3]，所以f (x )的最小值是f (1)＝1. 又f (12)＝54，f (3)＝5，所以f (x )的最大值是f (3)＝5.所以f (x )在区间[12，3]上的最大值是5，最小值是1.(2)g (x )＝f (x )－mx ＝x 2－(m ＋2)x ＋2.所以m ＋22≤2或m ＋22≥4，即m ≤2或m ≥6.故m 的取值范围是(－∞，2]∪[6，＋∞)．13．函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且对一切x >0，y >0，都有f (xy )＝f (x )－f (y )．当x >1时，有f (x )>0.(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的单调性并加以证明； (3)若f (4)＝2，求f (x )在[1,16]上的值域． [答案] (1)0 (2)见解析 (3)[0,4][解析] (1)因为当x >0，y >0时，f (xy )＝f (x )－f (y )，所以令x ＝y >0，则f (1)＝f (x )－f (x )＝0. (2)设x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2， 则f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2x 1)．因为x 2>x 1>0，所以x 2x 1>1，所以f (x 2x 1)>0.所以f (x 2)>f (x 1)，即f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (3)由(2)知f (x )在[1,16]上是增函数． 所以f (x )min ＝f (1)＝0，f (x )max ＝f (16)．因为f (4)＝2，f (xy )＝f (x )－f (y )，所以f (164)＝f (16)－f (4)，所以f (16)＝2f (4)＝4，所以f (x )在[1,16]上的值域为[0,4]．B 组能力提升1．(2017·湖北省孝感市六校教学联盟高三上学期期末数学试题)已知定义域为R 的函数f (x )在(8，＋∞)上为减函数，且函数y ＝f (x ＋8)函数为偶函数，则 ( D )A ．f (6)＞f (7)B ．f (6)＞f (9)C ．f (7)＞f (9)D ．f (7)＞f (10)[解析] 根据y ＝f (x ＋8)为偶函数，则f (x ＋8)＝f (－x ＋8)，即y ＝f (x )关于直线x ＝8对称．又f (x )在(8，＋∞)上为减函数，故在(－∞，8)上为增函数，故可得答案．解：∵y ＝f (x ＋8)为偶函数，∴f (x ＋8)＝f (－x ＋8)，即y ＝f (x )关于直线x ＝8对称． 又∵f (x )在(8，＋∞)上为减函数， ∴f (x )在(－∞，8)上为增函数．由f (8＋2)＝f (8－2)，即f (10)＝f (6)，又由6＜7＜8，则有f (6)＜f (7)，即f (7)＞f (10)． 故选D.[点拨] 本题主要考查偶函数的性质．对偶函数要知道f (－x )＝f (x )．2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤0，－x 2－2x ＋3，x >0，则不等式f (a 2－4)>f (3a )的解集为 ( B )A ．(2,6)B ．(－1,4)C ．(1,4)D ．(－3,5)[解析] 作出函数f (x )的图象，由图知，函数f (x )在R 上是单调递减的．由f (a 2－4)>f (3a )，可得a 2－4<3a ，整理得a 2－3a －4<0，即(a ＋1)(a －4)<0，解得－1<a <4，所以不等式的解集为(－1,4)．3．(2017·河北省唐山市高考模拟数学试题)已知函数f (x )＝xx －1＋sinπx 在[0,1)上的最大值为m ，在(1,2]上的最小值为n ，则m ＋n ＝ ( D )A ．－2B ．－1C ．1D ．2[解析] 通过变形可知f (x )＝1＋1x －1＋sinπx ，进而可知当x ∈[0,1)时，函数g (x )＝1x －1＋sinπx 满足g (2－x )＝－g (x )，由此可知在区间[0,1)∪(1,2]上，函数f (x )关于点(1,1)中心对称，利用对称性即得结论．解：f (x )＝x x －1＋sinπx ＝1＋1x －1＋sinπx ，记g (x )＝1x －1＋sinπx ，则当x ∈[0,1)时， g (2－x )＝12－x －1＋sinπ(2－x )＝11－x－si nπx ，即在区间[0,1)∪(1,2]上，函数f (x )关于点(1,1)中心对称， ∴m ＋n ＝2，故选D.4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是_[0,1)_.[解析] 由条件知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ＞1，0，x ＝1，－x 2，x ＜1.其函数图象如图所示，其递减区间是[0,1)．5．(2016·内蒙古巴彦淖尔第一中学10月月考)已知函数f (x )＝x 2＋mx ＋n 的图象过点(1,3)，且f (－1＋x )＝f (－1－x )对任意实数都成立，函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于原点对称.(1)求f (x )与g (x )的解析式；(2)若F (x )＝g (x )－λf (x )在[－1,1]上是增函数，求实数λ的取值范围． [答案] (1)f (x )＝x 2＋2x ，g (x )＝－x 2＋2x (2)λ≤0 [解析] (1)因为f (1)＝1＋m ＋n ＝3，所以m ＋n ＝2.因为f (－1＋x )＝f (－1－x )对任意实数都成立，所以f (0)＝n ＝f (－2)＝4－2m ＋n ，解得m ＝2，n ＝0，所以f (x )＝x 2＋2x .因为函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于原点对称，所以g (x )＝－x 2＋2x .(2)因为F (x )＝g (x )－λf (x )＝－(1＋λ)x 2＋2(1－λ)x 在[－1,1]上是增函数， 所以F ′(x )＝(－2－2λ)x ＋2－2λ在[－1,1]上非负．所以⎩⎪⎨⎪⎧ F ′(1)≥0F ′(－1)≥0即⎩⎪⎨⎪⎧(－2－2λ)＋2－2λ≥0(2＋2λ)＋2－2λ≥0解得λ≤0.。
2018届北师大版(文) 三角函数图象与性质 检测卷
1．将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，所得图象的一条对称轴方程可能是( )A ．x ＝－π12B ．x ＝π12C ．x ＝π3D ．x ＝2π3【答案】：D【解析】：将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6的图象，由12x ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，得x ＝2π3＋2k π，k ∈Z ， ∴当k ＝0时，函数图象的对称轴为x ＝2π3.故应选D.2．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，如果x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( )A.12 B .32 C.22D ．1【答案】：B3．将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R)的图象向左平移m (m >0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A.π6 B .π12 C.π3 D .5π6 【答案】：A4．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图象如图所示，则该函数的解析式可能是( )A ．f (x )＝34sin ⎝⎛⎭⎫32x ＋π6 B ．f (x )＝45sin ⎝⎛⎫45x ＋15 C ．f (x )＝45sin ⎝⎛⎭⎫56x ＋π6 D ．f (x )＝45sin ⎝⎛⎭⎫23x －15 【答案】：B【解析】：由图可以判断|A |<1，T >2π，则|ω|<1，f (0)>0，f (π)>0，f (2π)<0，只有选项B 满足上述条件．5．已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝35，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，则tan α＝( ) A.43 B.34 C ．－34 D ．±34 【答案】 B【解析】 因为cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝35，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，所以sin α＝－35，cos α＝ －45，∴tan α＝34，故选B. 6．设a ＝tan 130°，b ＝cos(cos 0°)，c ＝⎝⎛⎭⎫x 2＋120，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c >a >b B ．c >b >a C ．a >b >c D ．b >c >a【答案】 B【解析】 a ＝tan 130°<0，b ＝cos(cos 0°)＝cos 1，∴0<b <1；c ＝1，故选B.7．已知1＋sin αcos α＝－12，则cos αsin α－1的值是( )A.12 B ．－12C ．2D ．－2【答案】 A【解析】 由同角三角函数关系式1－sin 2α＝cos 2α及题意可得cos α≠0，且1－sin α≠0，∴1＋sin αcos α＝cos α1－sin α，∴cos α1－sin α＝－12，即cos αsin α－1＝12.8．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象为C ，下面结论中正确的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期是2π B ．图象C 关于点⎝⎛⎭⎫π6，0对称C ．图象C 可由函数g (x )＝sin 2x 的图象向右平移π3个单位得到D ．函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－π12，π2上是增函数 【答案】 B9．函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|＜π2的图象向左平移π6个单位后所得函数图象的解析式是奇函数，则函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为( ) A ．－32 B ．－12C.12D.32【答案】 A【解析】 由函数f (x )的图象向左平移π6个单位得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ＋π3的函数是奇函数，所以φ＋π3＝k π，k ∈Z ，又因为|φ|＜π2，所以φ＝－π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，23π，所以当x ＝0时，f (x )取得最小值为－32. 10．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b ⎝⎛⎭⎫其中ω＞0，|φ|＜π2的图象如下，则S ＝f (0)＋f (1)＋…＋f (2 011)等于( )A ．0B ．503C ．1 006D ．2 012【答案】 D11．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋θ－3cos ⎝⎛⎭⎫12x ＋θ⎝⎛⎭⎫|θ|<π2，且其图象关于y 轴对称，则函数y ＝f (x )的一个单调递减区间是( )A.⎝⎛⎭⎫0，π2 B.⎝⎛⎭⎫π2，πC.⎝⎛⎫－π2，－π4D.⎝⎛⎭⎫3π2，2π 【答案】 C【解析】 因为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋θ－3cos ⎝⎛⎭⎫12x ＋θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋θ－π3的图象关于y 轴对称，所以θ＝－π6，所以f (x )＝－2cos 12x 在⎝⎛⎭⎫－π2，－π4递减，故选C. 12．设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2<φ<π2的图象关于直线x ＝2π3对称，它的周期为π，则( )A ．f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫0，12 B ．f (x )在⎣⎡⎦⎤π12，2π3上是减函数 C ．f (x )的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫5π12，0D ．将f (x )的图象向右平移|φ|个单位得到y ＝2sin ωx 的图象 【答案】 C【解析】 因为设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的图象关于直线x ＝2π3对称，它的周期为π，所以φ＝π6，ω＝2，所以f (x )＝2sin(2x ＋π6)(ω>0，－π2<φ<π2)，因为f ⎝⎛⎭⎫5π12＝0，所以f (x )的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫5π12，0，故选C.13．已知函数f (x )＝2sin(x ＋φ)的部分图象如图所示，则f ⎝⎛⎭⎫2 008π3的值为( )A ．－2B ．2C ．－ 3 D. 3【答案】 B14．函数y ＝3sin x ＋3cos x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的单调递增区间是________． 【答案】：⎣⎡⎦⎤0，π3 【解析】：化简可得y ＝23sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，由2k π－π2≤x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z)，得－2π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z)，又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴函数的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤0，π3. 15．已知ω>0，在函数y ＝2sin ωx 与2cos ωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则ω＝________.【答案】：π2【解析】：令ωx ＝X ，则函数y ＝2sin X 与y ＝2cos X 图象交点坐标分别为⎝⎛⎭⎫π4＋2k π，2，⎝⎛⎭⎫5π4＋2k π，－2，k ∈Z.因为距离最短的两个交点的距离为23，所以相邻两点横坐标最短距离是2＝T 2，所以T ＝4＝2πω，所以ω＝π2.16．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6－1(ω>0)的图象向右平移2π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是________．【答案】：3【解析】：将f (x )的图象向右平移2π3个单位后得到图象的函数解析式为2sin ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x －2π3＋π6－1＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －2ωπ3＋π6－1，所以2ωπ3＝2k π，k ∈Z ，所以ω＝3k ，k ∈Z ，因为ω>0，k ∈Z ，所以ω的最小值为3.17．已知a ＝(sin x ，－cos x )，b ＝(cos x ，3cos x )，函数f (x )＝a ·b ＋32. (1)求f (x )的最小正周期，并求其图象对称中心的坐标； (2)当0≤x ≤π2时，求函数f (x )的值域．18．设向量a ＝(sin x ，cos x )，b ＝(sin x ，3sin x )，x ∈R ，函数f (x )＝a ·(a ＋2b )．(1)求函数f (x )的最大值与单调递增区间； (2)求使不等式f ′(x )≥2成立的x 的取值集合． 【解析】 (1)f (x )＝a ·(a ＋2b )＝a 2＋2a ·b ＝sin 2x ＋cos 2x ＋2(sin 2x ＋3sin x cos x ) ＝1＋1－cos 2x ＋3sin 2x ＝2＋2⎝⎛⎭⎫32sin 2x －12cos 2x＝2＋2⎝⎛⎭⎫sin 2x cos π6－cos 2x sin π6 ＝2＋2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. ∴当sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＝1时，f (x )取得最大值为4.19.已知直线y ＝2与函数f (x )＝2sin 2ωx ＋23sin ωx cos ωx －1(ω＞0)的图象的两相邻交点之间的距离为π.(1)求f (x )的【解析】式，并求出f (x )的单调递增区间；(2)将函数f (x )的图象向左平移π4个单位得到函数g (x )的图象，求函数g (x )的最大值及g (x )取得最大值时x 的取值集合．【解析】 (1)f (x )＝2sin 2ωx ＋23sin ωx cos ωx －1＝ 1－cos 2ωx ＋3sin 2ωx －1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6. 由题意可知函数的周期T ＝2π2ω＝π，即ω＝1， 所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，其中k ∈Z ，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3，其中k ∈Z ，即f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈Z . (2)g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4－π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 则g (x )的最大值为2，此时有2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝2，即sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝1，即2x ＋π3＝2k π＋π2，其中k ∈Z .解得x ＝k π＋π12(k ∈Z )，所以当g (x )取得最大值时x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k π＋π12，k ∈Z . 20．已知函数f (x )＝3sinωx ＋φ2·cos ωx ＋φ2＋sin 2ωx ＋φ2(ω＞0，0＜φ＜π2)，其图象的两个相邻对称中心的距离为π2，且过点⎝⎛⎭⎫π3，1. (1)求函数f (x )的表达式；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，a ＝5，S △ABC ＝25，角C 为锐角，且满足f ⎝⎛⎭⎫C 2－π12＝76，求边c 的值．(2)∵f ⎝⎛⎭⎫C 2－π12＝76，得：sin C ＋12＝76，∴sin C ＝23. ∵角C 为锐角，∴cos C ＝53. 又∵a ＝5，S △ABC ＝12ab sin C ＝12·5·b ·23＝25，∴b ＝6.由余弦定理：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝5＋36－2·5·6·53＝21，∴c ＝21.21．已知函数f (x )＝2cos x (sin x －cos x )＋1，x ∈R. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π8，3π4上的最小值和最大值．22．某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入的数据如下表：(1)求x 1，x 2，x 3的值及函数f (x )的表达式；(2)将函数f (x )的图象向左平移π个单位，可得到函数g (x )的图象，求函数y ＝f (x )·g (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，5π3的最小值． 【解析】：(1)由2π3ω＋φ＝0，8π3ω＋φ＝π可得ω＝12，φ＝－π3，由12x 1－π3＝π2，12x 2－π3＝3π2，12x 3－π3＝2π可得x 1＝5π3，x 2＝11π3，x 3＝14π3， 又A sin ⎝⎛⎭⎫12×5π3－π3＝2，∴A ＝2， ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x －π3.。
2018届北师大版 函数模型及应用 单元测试
专题层级快练(十四)1．已知A 、B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A 地到B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地，把汽车离开A 地的距离x 表示为时间t(小时)的函数表达式是( ) A ．x ＝60tB ．x ＝60t ＋50C ．x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t （0≤t ≤2.5），150－50t （t>3.5）D ．x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t （0≤t ≤2.5），150 （2.5<t ≤3.5），150－50（t －3.5） （3.5<t ≤6.5）答案 D2．某企业第三年的产量比第一年的产量增长44%，若每年的平均增长率相同(设为x)，则以下结论正确的是( ) A ．x>22% B ．x<22% C ．x ＝22% D ．以上都不对答案 B3．如果在今后若干年内，我国国民经济生产总值都控制在平均每年增长9%的水平，那么要达到国民经济生产总值比1995年翻两番的年份大约是( )(lg2＝0.301 0，lg3＝0.477 1，lg109＝2.037 4，lg0.09＝－2.954 3)( ) A ．2015年 B ．2011年 C ．2010年 D ．2008年 答案 B解析 设1995年总值为a ，经过x 年翻两番，则a·(1＋9%)x ＝4a.∴x ＝2lg2lg1.09≈16.4．某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n 次涨停(每次上涨10%)，又经历了n 次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( ) A ．略有盈利B ．略有亏损C ．没有盈利也没有亏损D ．无法判断盈亏情况 答案 B解析 设该股民购进股票的资金为a ，则交易结束后，所剩资金为：a(1＋10%)n ·(1－10%)n ＝a·(1－0.01)n ＝a·0.09n <a.5．某购物网站在2016年11月开展“全部6折”促销活动，在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”．某人在11日当天欲购入原价48元(单价)的商品共42件，为使花钱总数最少，他最少需要下的订单张数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4答案 C解析 为使花钱总数最少，需使每张订单满足“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”，即每张订单打折前原金额不少于500元．由于每件原价48元，因此每张订单至少11件，所以最少需要下的订单张数为3张．6．现有某种细胞100个，其中占总数12的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，当细胞总数超过1010个时，所需时间至少为(参考数据：lg3＝0.477，lg2＝0.301)( ) A ．44小时 B ．45小时 C ．46小时 D ．47小时 答案 C解析 1小时后，细胞总数为12×100＋12×100×2＝32×100；2小时后，细胞总数为12×32×100＋12×32×100×2＝94×100；3小时后，细胞总数为12×94×100＋12×94×100×2＝278×100；4小时后，细胞总数为12×278×100＋12×278×100×2＝8116×100；可见，细胞总数y 与时间x(小时)之间的函数关系为y ＝100×(32)x (x ∈N *)．由100×(32)x >1010，得(32)x >108，两边取以10为底的对数，得xlg 32>8，∴x>8lg3－lg2.∵8lg3－lg2＝80.477－0.301≈45.45，∴x>45.45，∴至少经过46小时，细胞总数超过1010个．7．2016年翼装飞行世界锦标赛在张家界举行，右图反映了在空中高速飞行的某翼人从某时刻 15分钟内的速度v(x)与时间x 的关系，若定义“速度差函数”u(x)为时间段[0，x]内的最大速度与最小速度的差，则u(x)的图像是( )答案 D解析 据题意函数在[6，10]和[12，15]两个区间上都是常数，故选D.8．某乡镇现在人均一年占有粮食360千克，如果该乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%，那么x 年后若人均一年占有y 千克粮食，则y 关于x 的解析式为( )A ．y ＝360(1.041.012)x －1B ．y ＝360×1.04xC ．y ＝360×1.04x1.012D ．y ＝360(1.041.012)x答案 D解析 设该乡镇现在人口量为M ，则该乡镇现在一年的粮食总产量为360M ，1年后，该乡镇粮食总产量为360M(1＋4%)，人口量为M(1＋1.2%)，则人均占有粮食产量为360M （1＋4%）M （1＋1.2%），2年后，人均占有粮食产量为360M （1＋4%）2M （1＋1.2%）2，…，经过x 年后，人均占有粮食产量为360M （1＋4%）x M （1＋1.2%）x ，即所求解析式为y ＝360(1.041.012)x . 9．一个容器装有细沙a cm 3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为y ＝ae－bt(cm 3)，若经过8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min ，容器中的沙子只有 时的八分之一． 答案 16解析 当t ＝0时，y ＝a ；当t ＝8时，y ＝ae －8b＝12a ， ∴e －8b＝12，容器中的沙子只有 时的八分之一时，即y ＝ae －bt ＝18a. e －bt＝18＝(e －8b )3＝e －24b ，则t ＝24，所以再经过16 min.10.为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式y ＝(116)t －a (a 为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放 ，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为__________________________．(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放 ，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室． 答案 (1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10t ，0≤t ≤0.1，（116）t －0.1，t>0.1 (2)0.6解析 (1)设y ＝kt ，由图像知y ＝kt 过点(0.1，1)，则 1＝k ×0.1，k ＝10，∴y ＝10t(0≤t ≤0.1)． 由y ＝⎝⎛⎭⎫116t －a 过点(0.1，1)，得1＝⎝⎛⎭⎫1160.1－a ，解得a ＝0.1，∴y ＝⎝⎛⎭⎫116t －0.1(t>0.1)．(2)由⎝⎛⎭⎫116t －0.1≤0.25＝14，得t ≥0.6.故至少需经过0.6小时学生才能回到教室．11．一类产品按质量共分为10个档次，最低档次产品每件利润8元，每提高一个档次每件利润增加2元，一天的工时可以生产最低档次产品60件，提高一个档次将减少3件，求生产何种档次的产品获利最大？ 答案 生产第9档次的产品获利最大 解析 将产品从低到高依次分为10个档次．设生产第x 档次的产品(1≤x ≤10，x ∈N )，利润为y 元， 则y ＝[60－3(x －1)][8＋2(x －1)]＝(63－3x)(6＋2x)＝6(21－x)(3＋x)≤6[（21－x ）＋（3＋x ）2]2＝6×144＝864.当且仅当21－x ＝3＋x ，即x ＝9时取等号．12．据气象中心观察和预测：发生于M 地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图像如图所示，过线段OC 上一点T(t ，0)作横轴的垂线l ，梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km)．(1)当t ＝4时，求s 的值；(2)将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N 城位于M 地正南方向，且距M 地650 km ，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N 城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N 城？如果不会，请说明理由． 答案 (1)24(2)s ＝⎩⎪⎨⎪⎧32t 2， t ∈[0，10]，30t －150， t ∈（10，20]，－t 2＋70t －550， t ∈（20，35](3)沙尘暴发生30 h 后将侵袭到N 城解析 (1)由图像可知：当t ＝4时，v ＝3×4＝12，∴s ＝12×4×12＝24.(2)当0≤t ≤10时，s ＝12·t ·3t ＝32t 2；当10<t ≤20时，s ＝12×10×30＋30(t －10)＝30t －150；当20<t ≤35时，s ＝12×10×30＋10×30＋(t －20)×30－12×(t －20)×2(t －20)＝－t 2＋70t －550.综上可知，s ＝⎩⎪⎨⎪⎧32t 2， t ∈[0，10]，30t －150， t ∈（10，20]，－t 2＋70t －550， t ∈（20，35].(3)∵t ∈[0，10]时，s max ＝32×102＝150<650，t ∈(10，20]时，s max ＝30×20－150＝450<650， ∴当t ∈(20，35]时，令－t 2＋70t －550＝650， 解得t 1＝30，t 2＝40.∵20<t ≤35，∴t ＝30，∴沙尘暴发生30 h 后将侵袭到N 城．13．一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22. (1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ (3)今后最多还能砍伐多少年？ 答案 (1)1－(12)110 (2)5 (3)15解析 (1)设每年砍伐面积的百分比为x(0<x<1)，则a(1－x)10＝12a ，即(1－x)10＝12，解得x ＝1－(12)110.故每年砍伐面积的百分比为1－(12)110.(2)设经过m 年剩余面积为原来的22，则a(1－x)m ＝22a ， 即(12)m 10＝(12)12，m 10＝12，解得m ＝5.故到今年为止，已砍伐了5年． (3)设从今年 ，最多还能砍伐n 年，则n 年后剩余面积为22a(1－x)n . 令22a(1－x)n ≥14a ，即(1－x)n≥24，(12)n 10≥(12)32，n 10≤32，解得n ≤15. 故今后最多还能砍伐15年．1．(2015·北京)某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为( ) A ．6升 B ．8升 C ．10升 D ．12升答案 B解析 因为第一次(即5月1日)把油加满，而第二次把油加满加了48升，即汽车行驶35 600－35 000＝600千米耗油48升，所以每100千米的耗油量为8升，选B.2．为了保护学生的视力，课桌椅的高度都是按照一定的关系配套设计的．研究表明：假设课桌的高度为y cm ，椅子的高度为x cm ，则y 应该是x 的一次函数，下表给出了两套符合条件的课桌椅的高度：现有一把高为42.0 cm 的椅子和一张高78.2 cm 的课桌，则这套课桌椅________．(填“配套”或“不配套”) 答案 配套解析 设一次函数为y ＝ax ＋b ，将给出条件的两套课桌椅的高度代入，得⎩⎪⎨⎪⎧40a ＋b ＝75，37a ＋b ＝70.2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1.6，b ＝11，所以y ＝1.6x ＋11.当x ＝42时，y ＝78.2，故是配套的． 3．某驾驶员喝了m 升酒后，血液中的酒精含量f(x)(毫克/毫升)随时间x(小时)变化的规律近似满足表达式f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧5x －2（0≤x ≤1），35·（13）x（x>1）.《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚》规定：驾驶员血液中酒精含量不得超过0.02毫克/毫升．此驾驶员至少要过________小时后才能开车(不足1小时部分算1小时，结果精确到1小时)． 答案 4解析 当0≤x ≤1时，5x －2≤0.02，即x －2≤log 50.02，x ≤2＋log 50.02∉[0，1]，此时x 无解；当x>1时，35·(13)x ≤0.02，即31－x ≤0.1，1－x ≤log 30.1，x ≥1－log 30.1，得x ≥3.10.所以此驾驶员至少要过4小时后才能开车．。
2018届北师大版(文) 函数、初等函数的图象与性质 检测卷
1.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 13x ，x >0，2x ，x ≤0，若f (a )>12，则实数a 的取值范围是( ) A.(－1，0)∪(3，＋∞) B.(－1，3)C.(－1，0)∪⎝⎛⎭⎫33，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫－1，33 【答案】 D【解析】 由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧a >0，log 13a >12，或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0，2a >12.所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－1，33，故选D. 2.若函数y ＝f (x )的值域是[1，3]，则函数F (x )＝1－2f (x ＋3)的值域是( )A.[－5，－1]B.[－2，0]C.[－6，－2]D.[1，3] 【答案】 A【解析】 ∵1≤f (x )≤3，∴1≤f (x ＋3)≤3，－6≤－2f (x ＋3)≤－2，－5≤1－2f (x ＋3)≤－1.∴－5≤F (x )≤－1，即函数F (x )的值域是[－5，－1].3．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝3x ＋m (m 为常数)，则f (－log 35)的值为( )A ．4B ．－4C ．6D ．－6 【答案】 B【解析】 由f (x )是定义在R 上的奇函数得f (0)＝1＋m ＝0⇒m ＝－1，f (－log 35)＝－f (log 35)＝－(3log 35－1)＝－4，选B.4.设函数y ＝x 13与y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( ) A.⎝⎛⎭⎫12，1 B.⎝⎛⎭⎫13，12 C.⎝⎛⎭⎫14，13 D.⎝⎛⎭⎫0，14 【答案】 B【解析】5.已知函数f (x )＝e |ln x |，则函数y ＝f (x ＋1)的大致图象为( )【答案】 D6.已知函数f (x )＝2x －12x ＋1，则不等式f (x －2)＋f (x 2－4)<0的解集为( ) A ．(－1，6)B ．(－6，1)C ．(－2，3)D ．(－3，2)【答案】 D【解析】 因为函数f (x )＝2x －12x ＋1为奇函数且增函数，所以不等式f (x －2)＋f (x 2－4)<0可化为f (x 2－4)<f (2－x )，所以x 2－4<2－x ，则－3<x <2，故选D.7.已知g (x )是R 上的奇函数，当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3 （x ≤0），g （x ） （x >0），若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是( )A ．(－∞，1)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(1，2)D ．(－2，1)【答案】 D【解析】 ∵函数g (x )是R 上的奇函数，且当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，∴当x >0时，g (x )＝ln(1＋x )．∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3（x ≤0），g （x ）（x >0），∴当x ≤0时，f (x )＝x 3为单调递增函数，值域 (－∞，0]．当x >0时，f (x )＝ln(x ＋1)为单调递增函数，值域(0，＋∞)．∴函数f (x )在区间(－∞，＋∞)上单调递增．f (2－x 2)>f (x )，2－x 2>x ，所以－2<x <1.故选D.8.若a ＝log 23，b ＝log 32，c ＝log 46，则下列结论正确的是( )A ．b <a <cB ．a <b <cC ．c <b <aD ．b <c <a【答案】 D 【解析】 a ＝log 23＝log 49>log 46＝c >1，又b ＝log 32<1，∴b <c <a .9.函数f (x )＝sin x x 2＋1的图象大致为( )【答案】 A【解析】 首先由f (x )为奇函数，得图象关于原点对称，排除C 、D ，又当0<x <π时，f (x )>0知，选A.10.函数f (x )＝x 3－3e x 的大致图象是( )【答案】 C?【解析】 由解析式可以得到当x ∈(0，33)时，f (x )<0，x ∈(33，＋∞)时，f (x )>0，故选C.11．函数f (x )＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( ) A ．(－1，1]B ．(0，1]C ．[1，＋∞)D ．(0，＋∞)【答案】：B12．若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，若t ＝ab ，则t 的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．9【答案】：D【解析】：∵f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2，∴f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，又∵f (x )在x ＝1处有极值，∴f ′(1)＝12－2a －2b ＝0⇒a ＋b ＝6，∵a >0，b >0，a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤9，当且仅当a ＝b ＝3时等号成立．13．已知函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋3x ＋1有两个极值点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(3，＋∞)B ．(－∞，－3)C ．(－3，3)D ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)【答案】：D【解析】：f ′(x )＝x 2＋2ax ＋3.由题意知方程f ′(x )＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝4a 2－12>0，解得a >3或a <－ 3.14．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，若x ＝－3是函数f (x )的一个极值点，则实数a ＝________.【答案】：515．若函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是________． 【答案】：(0，1)∪(2，3)【解析】：f ′(x )＝－x ＋4－3x ＝－x 2＋4x －3x ＝－（x －1）（x －3）x. 由f ′(x )＝0及判断可知函数f (x )的两个极值点为1，3，则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上就不单调，所以t <1<t ＋1或t <3<t ＋1，解得0<t <1或2<t <3.16．已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值．【解析】：(1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4.由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4.故b ＝4，a ＋b ＝8.从而a ＝4，b ＝4.(2)由(1)知，f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ，f ′(x )＝4e x (x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)⎝⎛⎭⎫e x －12. 令f ′(x )＝0，得x ＝－ln 2或x ＝－2.从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(－2，－ln 2)时，f ′(x )<0.故f (x )在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减．当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (－2)＝4(1－e －2)． 17．设函数f (x )＝1＋(1＋a )x －x 2－x 3，其中a >0.(1)讨论f (x )在其定义域上的单调性；(2)当x ∈[0，1]时，求f (x )取得最大值和最小值时的x 的值．(2)∵a >0，∴x 1<0，x 2>0.①当a ≥4时，x 2≥1，由(1)知，f (x )在[0，1]上单调递增，∴f (x )在x ＝0和x ＝1处分别取得最小值和最大值．②当0<a <4时，x 2<1.由(1)知，f (x )在[0，x 2]上单调递增，在[x 2，1]上单调递减，因此f (x )在x ＝x 2＝－1＋4＋3a 3处取得最大值． 又f (0)＝1，f (1)＝a ，∴当0<a <1时，f (x )在x ＝1处取得最小值；当a ＝1时，f (x )在x ＝0和x ＝1处同时取得最小值；当1<a <4时，f (x )在x ＝0处取得最小值．综上①②可知，当a ≥4时，f (x )取得最大值和最小值时x 的值分别为1和0；当0<a <4时，f (x )取得最大值时x 的值为－1＋4＋3a 3；当0<a <1时，f (x )取最小值时x 的值为1；当a ＝1时，f (x )取得最小值时x 的值为0或1；当1<a <4时，f (x )取得最小值时x 的值为0.18．已知函数f (x )＝e －x －ax (x ∈R)． (1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最小值；(2)若x ≥0时，f (－x )＋ln(x ＋1)≥1，求实数a 的取值范围．②若a <－2，令φ(x )＝e x ＋1x ＋1＋a ， 则φ′(x )＝e x－1（x ＋1）2＝（x ＋1）2e x －1（x ＋1）2≥0. ∴函数φ(x )在[0，＋∞)上单调递增．由于φ(0)＝2＋a <0，φ(－a )＝e －a ＋11－a ＋a ≥1－a ＋11－a ＋a ＝1＋11－a>0. 故∃x 0∈(0，－a )，使得φ(x 0)＝0.则当0<x <x 0时，φ(x )<φ(x 0)＝0，即g ′(x )<0.∴函数g (x )在(0，x 0)上单调递减．∴g (x 0)<g (0)＝0，即(*)式不恒成立．综上所述，实数a 的取值范围是[－2，＋∞)．19.已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13ax 2－4x ＋3.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )有最大值3，求a 的值． 【解析】20.已知函数f (x )＝－x ＋log 21－x 1＋x. (1)求f ⎝⎛⎭⎫12 014＋f ⎝⎛⎭⎫－12 014的值；(2)当x ∈(－a ，a ]，其中a ∈(0，1)，a 是常数时，函数f (x )是否存在最小值？若存在，求出f (x )的最小值；若不存在，请说明理由．【解析】 (1)由f (x )＋f (－x )＝log 21－x 1＋x ＋log 21＋x 1－x＝log 21＝0.∴f ⎝⎛⎭⎫12 014＋f ⎝⎛⎭⎫－12 014＝0.(2)f (x )的定义域为(－1，1)，∵f (x )＝－x ＋log 2⎝⎛⎭⎫－1＋2x ＋1， 当x 1<x 2且x 1，x 2∈(－1，1)时，f (x )为减函数，∴当a ∈(0，1)，x ∈(－a ，a ]时f (x )单调递减，∴当x ＝a 时，f (x )min ＝－a ＋log 21－a 1＋a. 21．已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1x＋2的图象关于点A (0，1)对称． (1)求f (x )的解析式；(2)若g (x )＝x 2·[f (x )－a ]，且g (x )在区间[1，2]上为增函数．求实数a 的取值范围．【解析】。
2018届北师大版 函数 单元测试
函 数一、选择题1、（2016年山东高考）已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，3()1f x x =- ；当11x -≤≤时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=- .则f (6)= （A ）−2（B ）−1（C ）0（D ）22、（2015年山东高考）设函数31,1,()2,1.xx x f x x -<⎧=⎨≥⎩则满足()(())2f a f f a =的取值范围是 (A)2[,1]3(B) [0,1] (C) 2[,)3+∞ (D) [1,)+∞3、（2014年山东高考）函数1)(log 1)(22-=x x f 的定义域为(A))210(， (B) )2(∞+，(C) ),2()210(+∞ ， (D) )2[]210(∞+，， 4、（东营市、潍坊市2016届高三下学期第三次模拟）给出以下四个函数的大致图象：则函数()()()()ln ln ,,,x xx e f x x x g x h x xe t x x x====对应的图象序号顺序正确的是（ ） A ．②④③①B ．④②③①C ．③①②④D ．④①②③5、（临沂市2016届高三11月期中质量检测）已知实数,a b 满足()23,32a b x f x a x b ===+-，则的零点所在的区间是A. ()2,1--B. ()1,0-C. ()0,1D. ()1,26、（滨州市2016届高三上学期期末）已知函数22()2,()log ,()log 2x f x x g x x x h x x =+=+=-的零点依次为,,a b c ，则（A ）a b c << （B ）c b a << （C ）c a b << （D ）b a c <<7、（德州市2016届高三上学期期末）若函数()x x f x a ka -=+ (a >0且a ≠1)在R 上既是奇函数又是增函数，则()log ||a g x x k =+的图象是8、（胶州市2016届高三上学期期末）已知函数()y f x x =-是偶函数，且()2=1f ，则()-2f A. -1 B. 1 C. -3 D. 29、（莱芜市2016届高三上学期期末）函数()()ln f x x =-的定义域为A. {}0x x <B. {}{}10x x ≤-⋃C. {}1x x ≤-D. {}1x x ≥-10、（莱芜市2016届高三上学期期末）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()()ln 1f x x =-，则函数()f x 的大致图象为11、（临沂市2016届高三上学期期末）周期为4的奇函数()[]02f x 在，上的解析式为()22,01log 1,12x x f x x x ⎧≤≤=⎨+<≤⎩，则()()20142015f f += A.0B.1C.2D.312、（泰安市2016届高三上学期期末）已知实数,a b 满足23,32a b==，则()xf x a x b=+-的零点所在的区间是 A. ()2,1-- B. ()1,0- C. ()0,1D. ()1,213、（烟台市2016届高三上学期期末）已知函数()()1221,1log 3,1x x f x x x -⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩，若()()11f a f a =-=，则A.2B. 2-C.1D. 1-14、（枣庄市2016届高三上学期期末）设0.3.0.33log 2,log 2,2a b c ===，则这三个数的大小关系是（ ）A ．c b a >>B ．c a b >>C ．a b c >>D ．b c a >>15、（滨州市2016高三3月模拟）函数21log 2xy x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点个数是（A ） 0 （B ） 1 （C ） 2 （D ） 3 16、（德州市2016高三3月模拟）函数2ln ||xy x =的图象大致为17、（济宁市2016高三3月模拟）函数()31log f x x=的定义域为 A. {}x x <1B. {}0x x <<1C. {}01x x <≤D. {}x x >118、（泰安市2016高三3月模拟）奇函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +为偶函数，且()12f =，则()()45f f +的值为A.2B.1C. 1-D. 2-19、（潍坊市2016高三3月模拟）已知函数()()222,log f x x g x x =-+=，则函数()()()F x f x g x =⋅的大致图象为20、（烟台市2016高三3月模拟）已知定义在R 上的函数()f x 满足：()1y f x =-的图象关于()1,0点对称，且当0x ≥时恒有()()2f x f x +=，当[)0,2x ∈时，()1x f x e =-，则()()20162015f f +-= A. 1e -B. 1e -C. 1e --D. 1e +21、（枣庄市2016高三3月模拟）函数()f x = ）A ．(],1-∞B ．1,12⎛⎤⎥⎝⎦ C ．[)1，+∞ D ．12，+⎛⎫∞ ⎪⎝⎭22、（滨州市2016高三3月模拟）已知函数()()52,0,5,0,x x f x f x x +⎧≤⎪=⎨->⎪⎩则()2016f =（A ）12（B ）1 （C ）16 （D ）32二、填空题1、（2016年山东高考）已知函数2||,()24,x x m f x x mx m x m ≤⎧=⎨-+>⎩，，其中0m >，若存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根，则m 的取值范围是_________.2、（2015年山东高考）已知函数()xf x a b =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[1,0]-，则a b += .3、（2014年山东高考）已知函数()()y f x x R =∈，对函数()()y g x x I =∈，定义()g x 关于()f x 的“对称函数”为函数()()y h x x I =∈，()y h x =满足：对任意x I ∈，两个点()()()(),,,x h x x g x 关于点()(),x f x 对称，若()h x 是()g x =关于()3fx x b=+的“对称函数”，且()()h x g x >恒成立，则实数b 的取值范围是 。
2018届北师大版(文科数学) 函数与方程单元测试
备战2018高考数二轮专题精炼：函数与方程1、设是定义在R上的偶函数，对任意的，都有，且当时，，若在区间内关于的方程恰有三个不同的实数根，则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】因为是定义在R上的偶函数,所以,又，所以函数关于x=2轴对称,即,,函数的周期为4,且当时，，分别画出y=f(x)和g(x)=的图象,使其恰有三个交点,则需满足,即,解得,故选C.2、已知，则方程所有实数根的个数为A. B. C. D.【答案】D【解析】在同一坐标系内作出函数的图象，如图所示，根据函数图象可知，两函数的图象交点的个数为5个，所以方程所有实数根的个数为5个。
选D．3、设函数,若关于的方程恰好有六个不同的实数解,则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】作出函数的图象如图，令，则方程化为，要使关于的方程，恰好有六个不同的实数根，则方程在内有两个不同实数根，，解得实数的取值范围是，故选B.4、已知定义在上的偶函数满足，且当时，，若在内关于的方程恰有3个不同的实数根，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵,∴，即，∴ 函数f(x)的周期为4。
当x∈[0,2]时，则？x∈[？2,0]，∴，∵f(x)是偶函数，∴由f(x)？loga(x+2)=0，得f(x)=loga(x+2)，令作出函数的图象如图所示：①当0<a<1时，函数g(x)=loga(x+2)单调递减，此时两函数的图象只有1个交点，不满足条件；②当a>1时，要使方程f(x)？loga(x+2)=0恰有3个不同的实数根，则需函数f(x)与g(x)=loga(x+2)的图象有3个不同的交点，则需满足，即，解得。
故a的取值范围是。
答案：C5、已知偶函数满足，且当时，，则关于的方程在上根的个数是（）A. 10个B. 8个C. 6个D. 4个【答案】C【解析】∵∴∴函数的周期为2在上，画出函数与的简图，如图所示：根据图象，关于的方程在上根的个数是6个，故选C6、若方程有两个不等的实数根，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由方程得：，因为的最低点为，当过时有一个交点，此时，所以要让方程两个不等实数根，只需，故选C.7、已知函数，若函数在上有两个零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由解析式可得函数的第一部分为指数函数的一部分，且随着a的变化而上下平移，右半部分为直线的一部分，且是固定的，作图如下：结合图象分析可得，当左半部分的图象介于两红线之间时符合题意，而红线与y轴的焦点坐标为1-a，且只需0≤1-a＜1，即即可故选B。
2018届北师大版 函数、导数及其应用 1 检测卷
第二章 第一讲A 组基础巩固一、选择题1．下列图象中表示函数图象的是 ( B )[解析] 如果满足函数的定义，那么要求定义域中的任意一个x 要有唯一确定的y 与其对应，不能出现一对多的情况，故选B.2．(2017·河北省衡水市故城高中高三上学期第一次月考数学试题)已知函数y ＝f (x )的对应关系如下表，函数y ＝g (x )的图象是如图的曲线ABC ，其中A (1,3)，B (2,1)，C (3,2)，则f [g (2)]的值为 ( B )A.3[解析] 根据函数图象和函数值的对应关系即可得到结论． 解：由图象可知g (2)＝1， 由表格可知f (1)＝2， ∴f [g (2)]＝f (1)＝2， 故选B.3．(2017·福建省建阳一中上学期第二次月考数学试题)已知函数g (x )＝1－2x ，f (g (x ))＝1－x 2x 2(x ≠0)，则f (12)等于 ( C ) A ．1B ．3C ．15D ．30[解析] 当g (x )＝12时，x ＝14，所以f (12)＝f [g (14)]＝1－(14)2(14)2＝15.4．(2017·河北省衡水市高三下学期三月点睛金榜大联考(六)数学试题)已知函数f (x )满足条件：∀x ∈R ，f (x )＋f (－x )＝0且f (x ＋t )－f (x )<0(其中t 为正数)，则函数f (x )的解析式可以是 ( D )A ．y ＝1xB ．y ＝x 3C ．y ＝sin xD ．y ＝－3x[解析] 由已知f (x ＋t )－f (x )<0(其中t 为正数)，得f (x ＋t )<f (x )，故f (x )为减函数；由f (x )＋f (－x )＝0，得f (x )＝－f (x )，故f (x )也是奇函数，对照各选项，只有D 符合．5．(2016·广东模拟) 设函数f (x )满足f (1－x1＋x )＝1＋x ，则f (x )的表达式为 ( A )A.21＋xB ．21＋x 2C ．1－x 21＋x 2D ．1－x 1＋x[解析] 令1－x 1＋x ＝t ，则x ＝1－t 1＋t ，代入f (1－x 1＋x )＝1＋x ，得f (t )＝1＋1－t 1＋t ＝21＋t，故选A.6．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 12，x ＞0(12)x，x ≤0，则f [f (－4)]＝ ( C )A ．－4B ．－14C ．4D ．6[解析] 因为－4＜0，所以f (－4)＝(12)－4＝16，所以f [f (－4)]＝f (16)＝1612＝4，故选C.7．设f ：x →x 2是集合M 到集合N 的映射．若N ＝{1,2}，则M 不可能是 ( C ) A ．{－1} B ．{－2，2} C ．{1，2，2}D ．{－2，－1,1，2}[解析] 由映射的定义，集合M 中的每一个元素在集合N 中必须有唯一的元素与它对应，对选项C,22＝4∉N .故选C.8．(2016·四川绵阳中学)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，x ＋1，x ≤0.若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于 ( A )A ．－3B ．－1C ．1D ．3[解析] 方法一：当a >0时，由f (a )＋f (1)＝0，得2a ＋2＝0，可见不存在实数a 满足条件，当a <0时，由f (a )＋f (1)＝0，得a ＋1＋2＝0，解得a ＝－3，满足条件，故选A.方法二：由指数函数的性质可知：2x >0，又因为f (1)＝2，所以a <0，所以f (a )＝a ＋1，即a ＋1＋2＝0，解得a ＝－3，故选A.方法三：验证法，把a ＝－3代入f (a )＝a ＋1＝－2，又因为f (1)＝2，所以f (a )＋f (1)＝0，满足条件，从而选A.二、填空题9．(2016·江苏)函数y ＝3－2x －x 2的定义域是_[－3,1]_.[解析] 要使函数y ＝3－2x －x 2有意义，则3－2x －x 2≥0，解得－3≤x ≤1，则函数y ＝3－2x －x 2的定义域是[－3,1]．10．已知函数f (x )，g (x )分别由下表给出则f [g (1)]的值为_1_；满足_2_.11．(2017·浙江省鉴湖中学高三模拟数学试题)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a ＝_2_.三、解答题12．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x ＜0，2x ，x ≥0，且f (－2)＝3，f (－1)＝f (1).(1)求f (x )的解析式；(2)画出f (x )的图象．[答案] (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ＜0，2x ，x ≥0(2)见解析[解析] (1)由f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)得⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝3，－a ＋b ＝2，解得a ＝－1，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ＜0，2x ，x ≥0.(2)f (x )的图象如图：13．(能力挑战题)若函数f (x )＝x 2－1x 2＋1.(1)求f (2)f (12)的值； (2)求f (1)＋f (2)＋…＋f (2 018)＋f (12)＋f (13)＋…＋f (12 018)的值．[答案] (1)－1 (2)0[解析] (1)因为f (x )＝x 2－1x 2＋1＝1－2x 2＋1，所以f (2)f (12)＝1－222＋11－2(12)2＋1＝－1.(2)由f (x )＝1－2x 2＋1得，f (1x )＝1－2(1x )2＋1＝1－2x 2x 2＋1＝2x 2＋1－1，所以，两式两边分别相加，得f (x )＋f (1x )＝0，所以，f (1)＋f (2)＋…＋f (2 018)＋f (12)＋f (13)＋…＋f (12 018)＝f (1)＋0×2017＝0.B 组能力提升1．(2016·中山模拟)若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为y ＝x 2＋1，值域为{1,3}的同族函数有 ( C )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[解析] 由x 2＋1＝1得x ＝0，由x 2＋1＝3得x ＝±2，所以函数的定义域可以是{0，2}，{0，－2}，{0，2，－2}，故值域为{1,3}的同族函数共有3个．2．(2017·江西省重点中学协作体高考二模数学试题)某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是 ( D )(注：结余＝收入－支出)A ．收入最高值与收入最低值的比是3：1B ．结余最高的月份是7月C ．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D ．前6个月的平均收入为40万元 [解析] 根据折现统计图即可判断各选项．解：由图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3：1，故A 正确，由图可知，结余最高为7月份，为80－20＝60，故B 正确，由图可知，1至2月份的收入的变化率为与4至5月份的收入的变化率相同，故C 正确， 由图可知，前6个月的平均收入为16(40＋60＋30＋30＋50＋60)＝45万元，故D 错误，故选D.3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x ，x ≤1，1－log 2x ，x <1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是 ( D )A ．[－1,2]B ．[0,2]C ．[1，＋∞)D ．[0，＋∞)[解析] f (x )≤2⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤1，21－x ≤2或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，1－log 2x ≤2⇔0≤x ≤1或x >1，故选D.4．已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，则函数y ＝f (x )的定义域为_[－1,2]_，函数y ＝f (x ＋2)的定义域为_[－3,0]_.[解析] ∵y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]， ∴x ∈[－3，3]，x 2－1∈[－1,2]， ∴y ＝f (x )的定义域为[－1,2]． 又－1≤x ＋2≤2，∴－3≤x ≤0， ∴f (x ＋2)的定义域为[－3,0]．5．动点P 从单位正方形ABCD 的顶点A 出发，顺次经过B ，C ，D 绕边界一周，当x 表示点P 的行程，y 表示P A 的长时，求y 关于x 的解析式，并求f (52)的值.[答案]52[解析] 当P 点在AB 上运动时，y ＝x (0≤x ≤1)；当P 点在BC 上运动时， y ＝12＋(x －1)2＝x 2－2x ＋2(1<x ≤2)； 当P 点在CD 上运动时，y ＝12＋(3－x )2＝x 2－6x ＋10(2<x ≤3)； 当P 点在DA 上运动时，y ＝4－x (3<x ≤4)； 综上可知，y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0≤x ≤1，x 2－2x ＋2，1<x ≤2，x 2－6x ＋10，2<x ≤3，4－x ，3<x ≤4.∴f (52)＝52.。
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第二章 第三讲A 组基础巩固一、选择题1．(2017·北京市朝阳区高三上学期期末统一考试数学试题)下列函数中，既是偶函数，又在区间[0,1]上单调递增的是 ( D )A ．y ＝cos xB ．y ＝－x 2C ．y ＝(12)|x |D ．y ＝|sin x |[解析] cos(－x )＝cos x ，所以y ＝cos x 为偶函数，在[0，π2]上为减函数，不满足题意；y＝－x 2为开口向下的二次函数，关于y 轴对称为偶函数，在(0，＋∞)上单调减，不满足题意；y ＝(12)|x |，(12)|－x |＝(12)|x |为偶函数，当x >0时，y ＝(12)x 在(0，＋∞)上为减函数，不满足题意，f (x )＝|sin x |，f (－x )＝|sin(－x )|＝|sin x |为偶函数，当x ∈[0，π2]时，函数为增函数，故选D.2．(2016·金华模拟)若函数f (x )＝x 2(2x ＋1)(x －a )为偶函数，则a ＝ ( A )A.12B ．23C ．34D ．1[解析] 由已知f (x )为偶函数，得f (－1)＝f (1)， 即－1(－2＋1)(－1－a )＝－1(2＋1)(1－a )，所以a ＋1＝3(1－a )，解得a ＝12.3．(2017·西藏日喀则一中高三上学期第一次月考数学试题)函数f (x )是定义在(－2,2)上的奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x －1，则f (log 213)的值为 ( A )A ．－2B ．－23C ．7D ．32[解析] 由奇函数的性质及对数运算法则可求答案． 解：由题意得，f (log 213)＝f (－log 23)＝－f (log 23)＝－(2log 23－1)＝－(3－1)＝－2.故选A.[点拨] 该题考查函数的奇偶性、对数的运算法则，属基础题，正确运用对数的运算法则是解题关键．4．已知f (x )在R 上满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (2017)＝ ( B )A ．－2B ．2C ．－98D ．98[解析] 因为f (x ＋4)＝f (x )，所以f (x )的周期为4，所以f (2017)＝f (504×4＋1)＝f (1)＝2.故选B.5．(教材改编题)已知函数D (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则下列结论错误的是 ( C )A ．D (x )的值域为{0,1}B ．D (x )是偶函数C ．D (x )不是周期函数D ．D (x )不是单调函数[解析] 由题意可知，D (x )的值域是{0,1}，选项A 正确；当x 是有理数时，－x 也是有理数，且D (－x )＝1，D (x )＝1，故D (－x )＝D (x )，当x 是无理数时，－x 也是无理数，且D (－x )＝0，D (x )＝0，即D (－x )＝D (x )，故D (x )是偶函数，选项B 正确，当x 是有理数时，对于任一非零有理数a ，x ＋a 是有理数，且D (x ＋a )＝1＝D (x )，当x 是无理数时，对于任一非零有理数b ，x ＋b 是无理数，所以D (x ＋b )＝D (x )＝0，故D (x )是周期函数(但不存在最小正周期)，选项C 不正确；由实数的连续性易知，不存在区间I ，使D (x )在区间I 上是增函数或减函数，故D (x )不是单调函数，选项D 正确．故选C.6．(2016·吉林长春三校联考调研)已知函数f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1.若f (a )＝23，则f (－a )＝ ( C )A.23B ．－23C ．43D ．－43[解析] 根据题意，f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1＝1＋x x 2＋1，且h (x )＝xx 2＋1是奇函数，故f (－a )＝1＋h (－a )＝1－h (a )＝1－(f (a )－1)＝43.7．(2017·河北省衡水市故城高中高三上学期第一次月考数学试题)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x ，若f (2－a 2)＞f (a )，则实数a 的取值范围是 ( B )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－2,1)C ．(－1,2)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)[解析] 由题意可先判断出f (x )＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1在(0，＋∞)上单调递增，根据奇函数的对称区间上的单调性可知，f (x )在(－∞，0)上单调递增，从而可比较2－a 2与a 的大小，解不等式可求a 的范围解：∵f (x )＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1在(0，＋∞)上单调递增 又∵f (x )是定义在R 上的奇函数根据奇函数的对称区间上的单调性可知，f (x )在(－∞，0)上单调递增 ∴f (x )在R 上单调递增 ∵f (2－a 2)＞f (a ) ∴2－a 2＞a解不等式可得，－2＜a ＜1 故选B.8．(2015·贵州遵义航天高级中学二模)定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －2)＝－f (x )，且在[0,1]上是增函数，则有 ( B )A ．f (14)<f (－14)<f (32)B ．f (－14)<f (14)<f (32)C ．f (14)<f (32)<f (－14)D ．f (－14)<f (32)<f (14)[解析] 因为f (x －2)＝－f (x )，所以T ＝4，且关于x ＝－1对称，由奇函数和单调性得到f (－14)<f (14)<f (32)．故选B.二、填空题9．(2017·上海交通大学附属中学高三上学期摸底数学试题)函数f (x )＝2x ＋a 2x －a 为奇函数，则实数a 的值为_1或－1_.[解析] 函数f (x )＝2x ＋a 2x －a 为奇函数，可得2－x ＋a 2－x －a ＝－2x ＋a2x －a，化简即可得出结论．解：∵函数f (x )＝2x ＋a2x －a 为奇函数，∴2－x ＋a 2－x －a ＝－2x ＋a 2x －a， ∴1＋a ·2x 1－a ·2x ＝－2x ＋a 2x －a ， ∴a ＝1或－1.故答案为1或－1.[点拨] 本题考查了奇函数的性质，考查学生的计算能力，属于基础题．10．(教材改编题)已知定义在[－2,2]上的偶函数f (x )在区间[0,2]上是减函数．若f (1－m )<f (m )，则实数m 的取值范围是 －1≤m <12.[解析] 由偶函数的定义，得⎩⎪⎨⎪⎧f (1－m )＝f (|1－m |)，f (m )＝f (|m |).因为f (x )在区间[0,2]上是减函数，所以0≤|m |<|1－m |≤2，解得－1≤m <12.11．(2016·江苏)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x <0，|25－x |，0≤x <1，其中a ∈R .若f (－52)＝f (92)，则f (5a )的值是 －25.[解析] 由题意可得f (－52)＝f (－12)＝－12＋a ，f (92)＝f (12)＝|25－12|＝110，则－12＋a ＝110，a＝35，故f (5a )＝f (3)＝f (－1)＝－1＋35＝－25. [点拨] 注意周期性定义f (x ＋T )＝f (x )在解题中的应用． 三、解答题12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数.(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围[答案] (1)m ＝2 (2)(1,3] [解析] (1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数， 所以f (－x )＝－f (x )．于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ， 所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．13．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x 恒有f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数； (2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式； (3)计算f (0)＋f (1)＋…＋f (2 018)的值．[答案] (1)f (x )是以4为周期的函数 (2)x 2－6x ＋8 (3)1 [解析] (1)因为f (x ＋2)＝－f (x )， 所以f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )， 因此，f (x )是以4为周期的函数． (2)x ∈[－2,0]时，－x ∈[0,2]，f (－x )＝－2x －x 2.因为f (x )是奇函数， 所以f (x )＝－f (－x )＝－(－2x －x 2)＝2x ＋x 2.当x ∈[2,4]时，x －4∈[－2,0]， 所以f (x －4)＝2(x －4)＋(x －4)2. 因为f (x )以4为周期，所以f (x )＝f (x －4)＝(x －4)2＋2(x －4)＝x 2－6x ＋8.(3)由(1)，(2)可知f (0)＝0，f (1)＝1，f (2)＝0，f (3)＝－1，所以f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2018)＝504×[f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)]＋f (2 016)＋f (2 017)＋f (2 018)＝1.B 组能力提升1．(原创题)已知函数f (x )的定义域为(3－2a ，a ＋1)，且f (x ＋1)为偶函数，则实数a 的值可以是 ( B )A.23B ．2C ．4D ．6[解析] 方法一：因为函数f (x ＋1)为偶函数，所以f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，即函数f (x )关于x ＝1对称，所以区间(3－2a ，a ＋1)关于x ＝1对称，所以3－2a ＋a ＋12＝1，既a ＝2.方法二：由y ＝f (x )定义域知y ＝f (x ＋1)，定义域为(2－2a ，a )，且为偶函数，∴2－2a＋a ＝0，∴a ＝2.2．(2017·湖南省衡阳市八中高三第二次月考数学试题)已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋5)＝－f (x )，当x ∈(0,5)时，f (x )＝x 2－x ，则f (2016)＝ ( A )A ．－12B ．－16C ．－20D ．0[解析] 因为f (x ＋5)＝－f (x )，所以f (x ＋10)＝－f (x ＋5)＝f (x )，f (x )的周期为10，因此f (2016)＝f (－4)＝－f (4)＝－(16－4)＝－12，故选A.3．(2016·重庆市南开中学高三月考试题)已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a ＝f (log 47)，b ＝f (log 123)，c ＝f (0.2－0.6)，则a ，b ，c 的大小关系是 ( B )A ．c ＜a ＜bB ．c ＜b ＜aC ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c[分析] 由f (x )是偶函数，则f (x )＝f (|x |)，单调性在对称轴两侧相反，通过比较自变量的绝对值的大小，可得对应函数值的大小．[解析] ∵f (x )是偶函数，∴f (x )＝f (|x |)， ∵log 47＝log 27＞1，|log 123|＝|log 23－1|＝log 23，又∵2＝log 24＞log 23＞log 27＞1， 0．2－0.6＝(15)－0.6＝50.6＞512＞412＝2， ∴0.2－0.6＞|log 2 3|＞|log 4 7|＞0.又∵f (x )在(－∞，0]上是增函数且为偶函数，∴f (x )在[0，＋∞)上是减函数； ∴f (0.2－0.6)＜f (log 123)＜f (log 47)；即c ＜b ＜a .故选：B.[点拨] 本题考查了函数的单调性与奇偶性的应用，解题的关键是总结出函数的性质，由自变量的大小得出对应函数值的大小．4．设函数f (x )＝(x ＋1)2＋sin xx 2＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝_2_.[解析] 易知f (x )＝1＋2x ＋sin xx 2＋1.设g (x )＝f (x )－1＝2x ＋sin xx 2＋1，则g (x )是奇函数．∵f (x )的最大值为M ，最小值为m ， ∴g (x )的最大值为M －1，最小值为m －1， ∴M －1＋m －1＝0，∴M ＋m ＝2.[思路点拨] 直接求解函数的最大值和最小值很复杂不可取，所以可考虑对函数整理化简，构造奇函数，根据奇函数的最大值与最小值之和为零求解．[方法点评] 在函数没有指明奇偶性或所给函数根本不具备奇偶性的情况下，通过观察函数的结构，发现其局部通过变式可构造出奇偶函数，这样就可以根据奇偶函数特有的性质解决问题．5．已知函数y ＝f (x )在定义域[－1,1] 上既是奇函数，又是减函数. (1)求证：对任意x 1，x 2∈[－1,1]，有[f (x 1)＋f (x 2)]·(x 1＋x 2)≤0. (2)若f (1－a )＋f (1－a 2)<0，求实数a 的取值范围. [答案] (1)见解析 (2)[0,1)[解析] (1)若x 1＋x 2＝0，显然不等式成立． 若x 1＋x 2<0，则－1≤x 1<－x 2≤1， 因为f (x )在[－1,1]上是减函数且为奇函数， 所以f (x 1)>f (－x 2)＝－f (x 2)，所以f (x 1)＋f (x 2)>0. 所以[f (x 1)＋f (x 2)](x 1＋x 2)<0成立． 若x 1＋x 2>0，则1≥x 1>－x 2≥－1， 同理可证f (x 1)＋f (x 2)<0.所以[f (x 1)＋f (x 2)](x 1＋x 2)<0成立．综上所述，对任意x 1，x 2∈、[－1,1]，有[f (x 1)＋f (x 2)]·(x 1＋x 2)≤0恒成立．(2)因为f (1－a )＋f (1－a 2)<0⇔f (1－a 2)<－f (1－a )＝f (a －1)，所以由f (x )在定义域[－1,1]上是减函数，得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤1－a 2≤1，－1≤a －1≤1，1－a 2>a －1，即⎩⎪⎨⎪⎧0≤a 2≤2，0≤a ≤2，a 2＋a －2<0，解得0≤a <1.故所求实数a 的取值范围是[0,1)．。
2018届北师大版(文) 函数与方程及函数的应用 检测卷
1．已知函数f (x )＝x －a x，若116<a <12，则f (x )零点所在区间为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫18，14 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫116，14 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1【答案】 C【解析】 根据零点存在性定理，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0，故选C.2．函数f (x )＝ln(x ＋1)－2x的零点所在的大致区间是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，e)D ．(3，4) 【答案】 B【解析】 利用零点存在性定理得到f (1)·f (2)＝(ln 2－2)·(ln 3－1)<0，故选B. 3．函数f (x )＝ln x ＋x 3－9的零点所在的区间为( ) A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(2，3) D ．(3，4) 【答案】 C【解析】 利用零点存在性定理得到f (3)·f (2)<0，故选C.4．设x 1，x 2是方程ln|x －2|＝m (m 为实常数)的两根，则x 1＋x 2的值为( ) A ．4 B ．2 C ．－4D ．与m 有关【答案】 A 【解析】5．直线y ＝x 与函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x >m ，x 2＋4x ＋2，x ≤m 的图象恰有三个公共点，则实数m 的取值范围是( )A ．[－1，2)B ．[－1，2]C ．[2，＋∞)D ．(－∞，－1]【答案】 A【解析】 直线y ＝x 与函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x >m ，x 2＋4x ＋2，x ≤m 的图象恰有三个公共点，即方程x 2＋4x ＋2＝x (x ≤m )与x ＝2(x >m )共有三个根．∵x 2＋4x ＋2＝x 的解为x 1＝－2，x 2＝－1，∴－1≤m <2时满足条件，故选A.6．在2014年APEC 会议期间，北京某旅行社为某旅行团包机去旅游，其中旅行社的包机费为12 000元，旅行团中每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅行团的人数在30人或30人以下，每张机票收费800元；若旅行团的人数多于30人，则给予优惠，每多1人，旅行团每张机票减少20元，但旅行团的人数最多不超过45人，当旅行社获得的机票利润最大时，旅行团的人数是( )A ．32人B ．35人C ．40人D ．45 人 【答案】 B【解析】 设旅行团的人数为x 人，每张机票收费为m 元，旅行社获得的机票利润为y ， 当1≤x ≤30且x ∈N 时，m ＝800，y max ＝800×30－12 000＝12 000， 当30<x ≤45且x ∈N 时，m ＝800－20(x －30)＝1 400－20x ，则y ＝(1 400－20x )x －12 000＝－20x 2＋1 400x －12 000，对应的抛物线开口向下， 因为x ∈N ，所以当x ＝－ 1 4002×（－20）＝35，函数取得最大值．所以当旅行社人数为35时，旅行社可获得最大利润．故选B.7．一个人以6米/秒的速度去追赶停在交通灯前的的汽车，当他离汽车25米时交通灯由红变绿，汽车开始变速直线行驶(汽车与人前进方向相同)，汽车在时间t 内的路程为s ＝12t 2米，那么，此人( ) A ．可在7秒内追上汽车 B ．可在9秒内追上汽车C ．不能追上汽车，但其间最近距离为14米D ．不能追上汽车，但其间最近距离为7米 【答案】 D8．某人在三个时间段内，分别乘摩托车、汽车和火车走了整个行程的三分之一，如果该人乘摩托车、汽车和火车的速度分别为v 1，v 2，v 3，则该人整个行程的平均速度是( )A.v 1＋v 2＋v 33B.1v 1＋1v 2＋1v 33C.3v 1v 2v 3D.31v 1＋1v 2＋1v 3【答案】 D【解析】 设整个行程为3S ，乘摩托车、汽车和火车的时间分别为t 1，t 2，t 3，则t 1＝S v 1，t 2＝S v 2，t 3＝S v 3，整个行程的平均速度为3S t 1＋t 2＋t 3＝3S S v 1＋S v 2＋S v 3＝31v 1＋1v 2＋1v 3，选D.9．某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月车存货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10 km 处建仓库，这两项费用y 1，y 2分别是2万元，8万元，那么要使这两项费用之和最小，则仓库应建在离车站( )A ．5 km 处B ．4 km 处C ．3 km 处D ．2 km 处【答案】 A 【解析】10．设函数f (x )＝x |x －a |，若对∀x 1，x 2∈[3，＋∞)，x 1≠x 2，不等式f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＞0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3]B ．[－3，0)C ．(－∞，3]D ．(0，3] 【答案】：C【解析】：由题意分析可知条件等价于f (x )在[3，＋∞)上单调递增，∵f (x )＝x |x －a |，∴当a ≤0时，结论显然成立；当a ＞0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax ，x ≥a ，－x 2＋ax ，x ＜a ， ∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 2上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，a 上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增，∴0＜a ≤3.综上，实数a 的取值范围是(－∞，3]．11．在函数y ＝x cos x ，y ＝e x ＋x 2，y ＝lg x 2－2，y ＝x sin x 中，偶函数的个数是( )(导学号 55460092)A ．3B ．2C ．1D ．0 【答案】：B【解析】：y ＝x cos x 为奇函数，y ＝lg x 2－2与y ＝x sin x 为偶函数，y ＝e x ＋x 2是非奇非偶函数．12．函数f (x )＝1－3xx －1的定义域为( )A ．(－∞，0]B ．[0，1]∪[1，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(1，＋∞)【答案】：A【解析】：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1－3x ≥0，x ≠1，解得x ≤0且x ≠1，即x ≤0.13．函数y ＝2xsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋6x 4x－1的图象大致为( )【答案】：D 【解析】：14．两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同根函数”，给出四个函数：f 1(x )＝2log 2(x ＋1)，f 2(x )＝log 2(x ＋2)，f 3(x )＝log 2x 2，f 4(x )＝log 2(2x )，则“同根函数”是( )A ．f 2(x )与f 4(x )B ．f 1(x )与f 3(x )C ．f 1(x )与f 4(x )D ．f 3(x )与f 4(x )【答案】：A【解析】：f 4(x )＝log 2(2x )＝1＋log 2x ，f 2(x )＝log 2(x ＋2)，将f 2(x )的图象沿着x 轴先向右平移2个单位得到y ＝log 2x 的图象，然后再沿着y 轴向上平移1个单位可得到f 4(x )的图象，根据“同根函数”的定义可知f 2(x )与f 4(x )为“同根函数”．15．已知函数f (x )＝x 2＋1－ax (其中a ＞0)在区间[0，＋∞)上是单调函数，则实数a 的取值范围为________．【答案】：[1，＋∞)【解析】：∵f (x )＝x 2＋1－ax ，∴f ′(x )＝xx 2＋1－a . 又函数f (x )＝x 2＋1－ax (其中a ＞0)在区间[0，＋∞)上是单调函数，且当a ≥1时，f ′(x )＜0，而0＜a ＜1时，f ′(x )的符号不确定，故当a ∈[1，＋∞)时，f (x )在[0，＋∞)上单调递减．16．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x ＞0的零点个数是________．【答案】：217．已知函数f (x )＝a x＋b (a ＞0，a ≠1)．(1)若f (x )的图象如图①所示，求a 、b 的值； (2)若f (x )的图象如图②所示，求a 、b 的取值范围；(3)在(1)中，若|f (x )|＝m 有且仅有一个实数解，求实数m 的取值范围． 【解析】：(1)f (x )的图象过点(2，0)，(0，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b ＝0，a 0＋b ＝－2，解得a ＝3，b ＝－3. (2)∵f (x )单调递减， ∴0＜a ＜1，又f (0)＜0，即a 0＋b ＜0， ∴b ＜－1.即a 的取值范围是(0，1)，b 的取值范围是(－∞，－1)． (3)画出y ＝|f (x )|的草图(图略)，知当m ＝0或m ≥3时，|f (x )|＝m 有且仅有一个实数解． ∴实数m 的取值范围是{0}∪[3，＋∞)． 18．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ＞0)，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），x ＞0，－f （x ），x ＜0.若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0成立．(1)求F (x )的表达式；(2)当x ∈[－2，2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求k 的取值范围．(2)由(1)知，g(x)＝x2＋2x＋1－kx＝x2＋(2－k)x＋1. ∵g(x)在[－2，2]上是单调函数，∴k－22≤－2或k－22≥2，解得k≤－2或k≥6.∴k的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞)．19．已知函数f(x)＝a－22x＋1.(1)求f(0)；(2)探究f(x)的单调性，并证明你的结论；(3)若f(x)为奇函数，求满足f(ax)＜f(2)的x的范围．20．设函数f (x )＝x ＋1x的图象为C 1，C 1关于点A (2，1)对称的图象为C 2，C 2对应的函数为g (x )．(1)求g (x )的【解析】式；(2)若直线y ＝m 与C 2只有一个交点，求m 的值和交点坐标．【解析】(1)设点P (x ，y )是C 2上的任意一点，则P (x ，y )关于点A (2，1)对称的点为P ′ (4－x ，2－y )，代入f (x )＝x ＋1x ，可得2－y ＝4－x ＋14－x ，即y ＝x －2＋1x －4，∴g (x )＝x －2＋1x －4.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝m ，y ＝x －2＋1x －4，消去y 得x 2－(m ＋6)x ＋4m ＋9＝0，Δ＝[－(m ＋6)]2－4(4m ＋9)，∵直线y ＝m 与C 2只有一个交点， ∴Δ＝0，解得m ＝0或m ＝4.当m ＝0时，经检验合理，交点为(3，0)； 当m ＝4时，经检验合理，交点为(5，4)．21．已知函数f (x )＝|x 2－4x ＋3|.若关于x 的方程f (x )－a ＝x 至少有三个不相等的实数根，求实数a 的取值范围．22．某工厂的固定成本为3万元，该工厂每生产100台某产品的生产成本为1万元，设生产该产品x (百台)，其总成本为g (x )万元(总成本＝固定成本＋生产成本)，并且销售收入r (x )满足r (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.5x 2＋7x －10.5（0≤x ≤7），13.5（x >7）.假定该产品产销平衡，根据上述统计规律求： (1)要使工厂有盈利，产品数量x 应控制在什么范围？ (2)工厂生产多少台产品时盈利最大？。
2018届北师大版 导数与函数的极值、最值 检测卷
(2)求A；
(3)证明：|f′(x)|≤2A.
解析：(1)f′(x)＝－2αsin 2x－(α－1)sinx.
(2)(分类讨论)当α≥1时，
|f(x)|＝|αcos 2x＋(α－1)(cosx＋1)|≤α＋2(α－1)＝3α－2＝f(0)．故A＝3α－2.
当0＜α＜1时，将f(x)变形为
答案：D
6．若函数f(x)＝ x3＋x2－ 在区间(a，a＋5)上存在最小值，则实数a的取值范围是()
A．[－5,0) B．(－5,0)
C．[－3,0) D．(－3,0)
解析：由题意，f′(x)＝x2＋2x＝x(x＋2)，故f(x)在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函数，在(－2,0)上是减函数，作出其图象如图所示，令 x3＋x2－ ＝－ 得，x＝0或x＝－3，则结合图象可知， ，解得a∈[－3,0)，故选C.
答案：C
二、填空题
7．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则f(2)＝________.
解析：∵函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，
∴f(1)＝10，且f′(1)＝0，
即 解得 或
而当 时，函数在x＝1处无极值，故舍去．
∴f(x)＝x3＋4x2－11x＋16，∴f(2)＝18.
f(x)＝2αcos2x＋(α－1)cosx－1.
f(x)极小值＝f ＝2－2ln 2，无极大值．
11．已知函数f(x)＝ －ex(a>0)．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)求函数f(x)在[1,2]上的最大值．
解析：(1)f(x)＝ －ex(a>0)，则f′(x)＝ －ex.
令 －ex＝0，则x＝ln .
2018-2019学年高一北师版数学A版必修1：4.1.1函数与方程(一)
1
方程 f(4x)－x＝0，即 4x －x＝0，得 x＝2，故选 A.
4．若函数 f(x)＝x2－ax＋b 的两个零点是 2 和 3，则函数 g(x)＝bx2－ax－1 的零点是( )
1
1
A．－1 和6 B．1 和－6
11
1
C.2和3
D．－2和 3
答案：B
解析：∵函数 f(x)＝x2－ax＋b 的两个零点是 2 和 3，
∴f(－2)·f(1)≤0，∴(－4a＋4)·(2a＋4)≤0，即(a－1)(a＋2)≥0，∴a≤－2 或 a≥1. 1
12．已知定义在 R 上的偶函数 y＝f(x)在[0，＋∞)上递减，函数 f(x)的一个零点为2， 1
求满足 f(log4x)＜0 的 x 的取值集合． 1
解：由题意，得 f(2)＝0，∵f(log 1 x)＜0，
三、解答题：(共 35 分，11＋12＋12)
10．求下列函数的零点． (1)f(x)＝x－1； (2)f(x)＝x2－x－2； (3)f(x)＝x3－x.
解：(1)由 f(x)＝0，得 x－1＝0，∴x＝1，
∴函数 f(x)＝x－1 的零点是 x＝1.
(2)由 f(x)＝x2－x－2＝0，得 x1＝2，x2＝－1，
即 y＝f(x)的图象与 x 轴交点的横坐标．因此，只有说法②④正确，故选 B. x－1
3．若 f(x)＝ x ，则函数 y＝f(4x)－x 的零点是( )
1
1
A.2 B．－2
C．2 D．－2
答案：A
解析：根据函数零点的概念，函数 y＝f(4x)－x 的零点就是方程 f(4x)－x＝0 的根，解
4x－1
4
1
1
1
∴由单调性知 log 1 x＜－2，或 log 1 x＞2，解得 0＜x＜2，或 x＞2，
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函数与方程
A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)
一、选择题
1．若函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是( )
【导学号：66482079】
A ．0,2
B ．0，1
2 C ．0，－1
2
D ．2，－1
2
C [由题意知2a ＋b ＝0，即b ＝－2a . 令g (x )＝bx 2－ax ＝0，得x ＝0或x ＝a b ＝－1
2.] 2．函数f (x )＝e x ＋x －2的零点所在的区间为( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1)
D ．(1,2)
C [因为f (0)＝e 0＋0－2＝－1＜0，f (1)＝e 1＋1－2＝e －1＞0，故f (0)·f (1)＜0，故选C.]
3．函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0,2)内的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2
D ．3
B [由指数函数、幂函数的性质可知，f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0,2)内递增，且f (0)＝－1＜0，f (2)＝10＞0，所以f (0)·f (2)＜0，即函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0,2)内有唯一一个零点，故选B.]
4．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
0，x ≤0，e x ，x ＞0，则使函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点的实数m
的取值范围是( )
A ．[0,1)
B ．(－∞，1)
C ．(－∞，1]∪(2，＋∞)
D ．(－∞，0]∪(1，＋∞)
D [函数g (x )＝f (x )＋x －m 的零点就是方程f (x )＋x ＝m 的根，画出h (x )＝f (x )＋x ＝⎩⎨⎧
x ，x ≤0，e x ＋x ，x ＞0
的大致图像(图略)．
观察它与直线y ＝m 的交点，得知当m ≤0或m ＞1时，有交点，即函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点．]
5．(2016·湖北七校2月联考)已知f (x )是奇函数且是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是( )
【导学号：66482080】
A.1
4 B ．18 C ．－7
8
D ．－38
C [令y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0，则f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )＝f (x －λ)，因为f (x )是R 上的单调函数，所以2x 2＋1＝x －λ只有一个实根，即2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个实根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－7
8.故选C.]
二、填空题
6．已知关于x 的方程x 2＋mx －6＝0的一个根比2大，另一个根比2小，则实数m 的取值范围是________．
(－∞，1) [设函数f (x )＝x 2＋mx －6，则根据条件有f (2)＜0，即4＋2m －6＜0，解得m ＜1.]
7．(2016·浙江高考)设函数f (x )＝x 3＋3x 2＋1，已知a ≠0，且f (x )－f (a )＝(x －b )(x －a )2，x ∈R ，则实数a ＝________，b ＝________.
－2 1 [∵f (x )＝x 3＋3x 2＋1，则f (a )＝a 3＋3a 2＋1，
∴f (x )－f (a )＝(x －b )(x －a )2＝(x －b )(x 2－2ax ＋a 2)＝x 3－(2a ＋b )x 2＋(a 2＋2ab )x －a 2b ＝x 3＋3x 2－a 3－3a 2.
由此可得⎩⎨⎧
2a ＋b ＝－3，①
a 2
＋2ab ＝0，②
a 3＋3a 2＝a 2
b .③
∵a ≠0，∴由②得a ＝－2b ，代入①式得b ＝1，a ＝－2.]
8．(2015·湖南高考)若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是__________．
(0,2) [由f (x )＝|2x －2|－b ＝0得|2x －2|＝b .
在同一平面直角坐标系中画出y ＝|2x －2|与y ＝b 的图像，如图所示，
则当0<b <2时，两函数图像有两个交点，从而函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点．]
三、解答题
9．已知函数f (x )＝x 3
－x 2
＋x 2＋14.证明：存在x 0∈⎝ ⎛
⎭
⎪⎫0，12，使f (x 0)＝x 0.
[证明] 令g (x )＝f (x )－x . 2分 ∵g (0)＝14，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1
2＝－18，
∴g (0)·g ⎝ ⎛⎭⎪⎫
12＜0. 7分
又函数g (x )在⎣⎢⎡
⎦⎥⎤0，12上连续，
∴存在x 0∈⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，12，使g (x 0)＝0，
即f (x 0)＝x 0. 12分
10．已知二次函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x ＋1－2a ，
(1)判断命题：“对于任意的a ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根”的真假，并写出判断过程；
(2)若y ＝f (x )在区间(－1,0)及⎝ ⎛
⎭
⎪⎫0，12内各有一个零点，求实数a 的取值范围.
【导学号：66482081】
[解] (1)“对于任意的a ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根”是真命题． 依题意，f (x )＝1有实根，即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0有实根. 3分 因为Δ＝(2a －1)2＋8a ＝(2a ＋1)2≥0对于任意的a ∈R 恒成立，即x 2＋(2a －
1)x －2a ＝0必有实根，从而f (x )＝1必有实根. 5分
(2)依题意，要使y ＝f (x )在区间(－1,0)及⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个零点， 只需⎩⎪⎨
⎪⎧ f (－1)>0，
f (0)<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>0，7分
即⎩⎪⎨⎪⎧
3－4a >0，1－2a <0，34－a >0，解得12<a <3
4. 10分
故实数a
的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫a ⎪
⎪⎪
12<a <34. 12分
B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)
1．(2017·郑州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
2x
－a ，x ≤0，
2x －1，x ＞0
(a ∈R )，若函数f (x )在
R 上有两个零点，则a 的取值范围是( )
A ．(－∞，－1)
B ．(－∞，－1]
C ．[－1,0)
D ．(0,1]
D [因为当x ＞0时，f (x )＝2x －1， 由f (x )＝0得x ＝1
2.
所以要使f (x )在R 上有两个零点，则必须2x －a ＝0在(－∞，0]上有唯一实数解．
又当x ∈(－∞，0]时，2x ∈(0,1]，且y ＝2x 在(－∞，0]上递增， 故所求a 的取值范围是(0,1]．]
2．函数f (x )＝⎩⎨⎧
x ＋1，x ≤0，
log 2x ，x >0，则函数y ＝f [f (x )]＋1的所有零点所构成的集
合为________.
【导学号：66482082】
⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
－3，－12，14，
2 [由题意知f [f (x )]＝－1，由f (x )＝－1得x ＝－2或x
＝12，
则函数y ＝f [f (x )]＋1的零点就是使f (x )＝－2或f (x )＝1
2的x 的值． 解f (x )＝－2得x ＝－3或x ＝1
4， 解f (x )＝12得x ＝－1
2或x ＝2， 从而函数y ＝f [f (x )]＋1
的零点构成的集合为⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫－3，－12，1
4，
2.] 3．若关于x 的方程22x ＋2x a ＋a ＋1＝0有实根，求实数a 的取值范围.
【导学号：66482083】
[解] 法一(换元法)：设t ＝2x (t ＞0)，则原方程可变为t 2＋at ＋a ＋1＝0，(*) 原方程有实根，即方程(*)有正根． 令f (t )＝t 2＋at ＋a ＋1. 3分 ①若方程(*)有两个正实根t 1，t 2，
则⎩⎨⎧
Δ＝a 2－4(a ＋1)≥0，
t 1＋t 2＝－a ＞0，t 1·t 2＝a ＋1＞0，
解得－1＜a ≤2－22；6分
②若方程(*)有一个正实根和一个负实根(负实根不合题意，舍去)，则 f (0)＝a ＋1＜0，解得a ＜－1；9分
③若方程(*)有一个正实根和一个零根，则f (0)＝0且－a
2＞0，解得a ＝－1. 综上，a 的取值范围是(－∞，2－22]. 12分 法二(分离变量法)：由方程，解得a ＝－22x ＋1
2x ＋1，3分
设t ＝2x (t ＞0)，
则a ＝－t 2＋1t ＋1＝－⎝ ⎛⎭
⎪⎫
t ＋2t ＋1－1
＝2－⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤(t ＋1)＋2t ＋1，其中t ＋1＞1，9分
由基本不等式，得(t＋1)＋
2
t＋1
≥22，当且仅当t＝2－1时取等号，故a≤2－
2 2. 12分。