[整理]数学分析2样卷
数学分析(Ⅱ)试题与参考答案
数学分析（2）期末试题课程名称 数学分析（Ⅱ） 适 用 时 间 试卷类别 1 适用专业、年级、班 应用、信息专业一、单项选择题（每小题3分，3×6＝18分）1、 下列级数中条件收敛的是（ ）．A ．1(1)nn ∞=-∑ B ． 1nn ∞=∑ C ．21(1)nn n ∞=-∑ D ． 11(1)nn n ∞=+∑2、 若f 是(,)-∞+∞内以2π为周期的按段光滑的函数, 则f 的傅里叶（Fourier ）级数在它的间断点x 处 （ ）．A ．收敛于()f xB ．收敛于1((0)(0))2f x f x -++ C ． 发散 D ．可能收敛也可能发散3、函数)(x f 在],[b a 上可积的必要条件是（ ）．A ．有界B ．连续C ．单调D ．存在原函数4、设()f x 的一个原函数为ln x ，则()f x '=（ ）A ．1x B ．ln x x C ． 21x- D ． x e 5、已知反常积分20 (0)1dxk kx +∞>+⎰收敛于1，则k =（ ）A ． 2πB ．22πC ．D ． 24π6、231ln (ln )(ln )(1)(ln )n nx x x x --+-+-+L L 收敛，则（ ）A ． x e <B ．x e >C ． x 为任意实数D ． 1e x e -<<二、填空题（每小题3分，3×6＝18分）1、已知幂级数1nn n a x∞=∑在2x =处条件收敛，则它的收敛半径为 ．2、若数项级数1n n u ∞=∑的第n 个部分和21n nS n =+，则其通项n u = ，和S = ． 3、曲线1y x=与直线1x =，2x =及x 轴所围成的曲边梯形面积为 ． 4、已知由定积分的换元积分法可得，10()()bxxaef e dx f x dx =⎰⎰，则a = ，b = ．5、数集(1)1, 2 , 3, 1nn n n ⎧⎫-=⎨⎬+⎩⎭L 的聚点为 ． 6、函数2()x f x e =的麦克劳林（Maclaurin ）展开式为 ．65三、计算题（每小题6分，6×5＝30分） 1、(1)dx x x +⎰． 2、2ln x x dx ⎰．3、 0(0)dx a >⎰． 4、 2 0cos limsin xx t dt x→⎰．5、dx ⎰．四、解答题（第1小题6分，第2、3 小题各8分，共22分）1、讨论函数项级数21sin n nxn ∞=∑在区间(,)-∞+∞上的一致收敛性． 2、求幂级数1nn x n ∞=∑的收敛域以及收敛区间内的和函数．3、设()f x x =, 将f 在(,)ππ-上展为傅里叶（Fourier ）级数．五、证明题（每小题6分，6×2＝12分）1、已知级数1nn a∞=∑与1nn c∞=∑都收敛，且, 1, 2, 3 n n n a b c n ≤≤=L ，证明：级数1nn b∞=∑也收敛．2、证明：22 0sin cos nn x dx x dx ππ=⎰⎰．66。
学历自考模拟试卷-《数学分析II》期末考查试卷【附答案】
x
3xdx +
y x cos ydy （5 分）
M0M
0
0
＝ 3 x2 + x sin y （6 分）（说明：原函数可以直接观察得出！） 2
五、应用题（7 分）
一页长方形白纸，要求印刷面积占 Acm2 ,并使所留页边空白为：上部与下部宽度之和为： a + b = h cm,左部与右部宽度之和为： c + d = r cm (A,r,h 为已知数)，求页面的长(y)和宽(x)， 使它的面积最小.
（3 分）
L = (x − r)(y − h) − A = 0.
于是有
x = r , 1+
y = h , 1+
= − 1+
Ah r
（5
分）
根据问题的实际意义知，此时页面的面积是最小的.（7 分）
x = Ar + r, y = Ah + h. （6 分）
h
r
3
= ar cos , y
= br sin
（3
分），则
D
可表示为： 0
2 , 0 r
1（4
分），所以，
S =
2
d
1abrdr （5 分），所以 S = ab （7 分）.
0
0
4、计算第二型曲面积分： I
=
S
1 dxdy ，其中 S 是椭球面 x2
z
a2
+
y2 b2
+
z2 c2
= 1 的外侧
解：由题意，目标函数与约束条件分别为 S = xy 与 x r, y h, (x − r)(y − h) = A. （1 分）作 Lagrange 函数 L = xy + [(x − r)(y − h) − A], （2 分）则有
数学分析(Ⅱ)试题与参考答案
数学分析（2）期末试题课程名称数学分析（Ⅱ） 适 用 时 间试卷类别1适用专业、年级、班 应用、信息专业一、单项选择题（每小题3分，3×6＝18分）1、 下列级数中条件收敛的是（ ）．A ．1(1)nn ∞=-∑ B ．1nn ∞=．21(1)n n n ∞=-∑ D ．11(1)nn n ∞=+∑2、 若f 是(,)-∞+∞内以2π为周期的按段光滑的函数, 则f 的傅里叶（Fourier ）级数在它的间断点x 处 （ ）．A ．收敛于()f xB ．收敛于1((0)(0))2f x f x -++ C ． 发散 D ．可能收敛也可能发散3、函数)(x f 在],[b a 上可积的必要条件是（ ）．A ．有界B ．连续C ．单调D ．存在原函数4、设()f x 的一个原函数为ln x ，则()f x '=（ ）A ．1x B ．ln x x C ． 21x- D ． x e 5、已知反常积分20 (0)1dxk kx +∞>+⎰收敛于1，则k =（ ） A ． 2π B ．22π C ． 2D ． 24π6、231ln (ln )(ln )(1)(ln )n nx x x x --+-+-+收敛，则（ ）A ． x e <B ．x e >C ． x 为任意实数D ． 1e x e -<<二、填空题（每小题3分，3×6＝18分）1、已知幂级数1nn n a x∞=∑在2x =处条件收敛，则它的收敛半径为．2、若数项级数1n n u ∞=∑的第n 个部分和21n nS n =+，则其通项n u =，和S =． 3、曲线1y x=与直线1x =，2x =及x 轴所围成的曲边梯形面积为． 4、已知由定积分的换元积分法可得，1()()bxxaef e dx f x dx =⎰⎰，则a =，b =．5、数集(1)1, 2 , 3, 1nnn n ⎧⎫-=⎨⎬+⎩⎭的聚点为． 6、函数2()x f x e =的麦克劳林（Maclaurin ）展开式为．65三、计算题（每小题6分，6×5＝30分） 1、(1)dx x x +⎰． 2、2ln x x dx ⎰． 3、 0 (0)dx a >⎰． 4、 2 0cos limsin xx t dt x→⎰．5、dx ⎰．四、解答题（第1小题6分，第2、3 小题各8分，共22分）1、讨论函数项级数21sin n nxn ∞=∑在区间(,)-∞+∞上的一致收敛性． 2、求幂级数1nn x n ∞=∑的收敛域以及收敛区间内的和函数．3、设()f x x =,将f 在(,)ππ-上展为傅里叶（Fourier ）级数．五、证明题（每小题6分，6×2＝12分）1、已知级数1nn a∞=∑与1nn c∞=∑都收敛，且, 1, 2, 3 n n n a b c n ≤≤=，证明：级数1nn b∞=∑也收敛．2、证明：22 0sin cos nn x dx x dx ππ=⎰⎰．66试题参考答案与评分标准课程名称 数学分析(Ⅱ) 适 用 时 间试卷类别1适用专业、年级、班应用、信息专业一、 单项选择题（每小题3分，3×6＝18分）⒈ B ⒉ B ⒊ A ⒋ C ⒌ D ⒍ D二、 填空题（每小题3分，3×6＝18分）⒈2⒉2, =2(1)n u S n n =+⒊ln 2⒋1, a b e ==⒌1±⒍201, (,)!nn x x n ∞=∈-∞+∞∑三、 计算题（每小题6分，6×5＝30分）1. 解111(1)1x x x x=-++1(1)dx x x ∴+⎰（3分）11()1dx x x =-+⎰ln ln 1.x x C =-++（3分）2. 解 由分部积分公式得231ln ln 3x xdx xdx =⎰⎰ 3311ln ln 33x x x d x =-⎰（3分） 33111ln 33x x x dx x =-⋅⎰ 3211ln 33x x x dx =-⎰ 3311ln 39x x x C =-+（3分） 3. 解 令sin , [0, ]2x a t t π=∈由定积分的换元积分公式，得⎰2220cos atdt π=⎰（3分）6722(1cos2)2at dtπ=+⎰221(sin2)22at tπ=+2.4aπ=（3分）4.解由洛必达(L＇Hospital)法则得2coslimsinxxtdtx→⎰2coslimcosxxx→=（4分）lim cosxx→=1=（2分）5.解=（2分）2sin cosx x dxπ=-⎰424(cos sin)(sin cos)x x dx x x dxπππ=-+-⎰⎰（2分）244(sin cos)(sin cos)x x x xπππ=+-+2.=（2分）四、解答题（第1小题6分，第2、3小题各8分，共22分）1.解(,),x n∀∈-∞∞∀+（正整数）22sin1nxn n≤（3分）而级数211nn∞=∑收敛，故由M判别法知，21sinnnxn∞=∑在区间(,)-∞+∞上一致收敛．（3分）682. 解 幂级数1nn x n∞=∑的收敛半径1R ==，收敛区间为(1,1)-．（2分）易知1n n x n ∞=∑在1x =-处收敛，而在1x =发散，故1nn x n∞=∑的收敛域为[1,1)-．（2分） 01, (1, 1)1n n x x x ∞==∈--∑（2分） 逐项求积分可得0001, (1,1)1xx nn dt t dt x t ∞==∈--∑⎰⎰． 即101ln(1), (1,1).1n nn n x x x x n n+∞∞==--==∈-+∑∑（2分）3. 解 函数f 及其周期延拓后的图形如下函数f 显然是按段光滑的，故由收敛性定理知它可以展开为Fourier 级数。
数学分析2期末试题
计算第二型曲面积分（定向由外法向量确定）：
∫ x dy ∧ dz + y dz ∧ dx + z dx ∧ dy
3
.
M
(x2 + y2 + z2) 2
五、（15 分）设 D 是 Rn 中的区域，f : D → Rm 是 C∞ 函数，q ∈ Rm 是 f 的正则值，M = f −1(q)。求证：M 是可定向流形。
(R, R)
γ3
γ2
O
γ1 R x
ω1、ω2 是如下的微分形式：
ω1 =ey2−x2 (cos (2 x y) dx + sin (2 x y) dy) , ω2 =ey2−x2 (sin (2 x y) dx − cos (2 x y) dy) .
i) 求证： ii) 求证：
∫
∫
∫
ωi = ωi + ωi,
二、（15 分）设 D 是 R5 中的如下区域：
{ D = (x1, x2, x3, x4, x5) ∈ R5
} x21 + x22 + x23 + x24 ≤ 1, . x22 + x23 + x24 + x25 ≤ 1
∫ 计算 D 的体积，即 D dx1dx2dx3dx4dx5。
三、（20 分）设 R > 0，γ1、γ2、γ3 是如下图的三条道路： y
数学分析（2）期末试题 卷 A 2015.06.30
一、（15 分）设 I ⊆ Rn、J ⊆ Rm 是两个非退化闭区间，K 是 I × J 中的紧集。 对于 x ∈ I，定义 Kx = {y ∈ J | (x, y) ∈ K}。求证：若 K 是 Lebesgue 零测集，则对于几乎所有的 x ∈ I，Kx 是 J 中的 Lebesgue 零测集。
数学分析2试题B及答案(
fn (x)
x
f (x) ，
fn (x) f (x) n2 (
x2
1
1 n2
x)
1 ，所以 limsup(
n
n
fn (x)
f (x) ) 0 ，即
函数列 fn (x)
x2
1 n2
,
n 1, 2,L 在 R 上一致收敛。
三、1、证明： t R, b ( f (x) tg(x))2dx b f 2 (x)dx 2t b f (x)g(x)dx t2 b g 2 (x)dx 0 ，所以，
2
二、1、解:
lim
n
n2 2n2 1
1 2
0
，所以该级数发散。
2、解： lim n n
n 2n1
1 2
1 ，所以该级数收敛。
3、解： x [0, ),
sgn(sin x) 1 x2
1
1 x
2
1 x2
，因为
1 dx 收敛，所以 1 x2
sgn(sin x) dx 绝对收敛。 1 1 x2
4、解： x R, lim n
n1
n1
n1
n1
级数 bn (bn an an ) (bn an ) an 收敛。
n1
n1
n1
n1
四、解： A 2 1 a2 (1 cos )2 d 3 a2
20
2
五、解：
R
1，收敛域为 (1,1)
，和函数
f
(x)
n1
nxn
x
n1
nxn1
x
n1
xn
x
1
x
5、求极限： lim 0
x0
数学分析(2)试题及答案
一、单项选择题（从给出的四个答案中，选出一个最恰当的答案填入括号内，每小题2分，共20分）1、 函数)(x f 在[a,b ]上可积的必要条件是（ ） A 连续 B 有界 C 无间断点 D 有原函数2、函数)(x f 是奇函数，且在[-a,a ]上可积，则（ ） A ⎰⎰=-a aa dx x f dx x f 0)(2)( B 0)(=⎰-aadx x fC⎰⎰-=-a aadx x f dx x f 0)(2)( D )(2)(a f dx x f aa=⎰-3、 下列广义积分中，收敛的积分是（ ） A⎰11dx xB ⎰∞+11dx xC ⎰+∞sin xdx D ⎰-1131dx x 4、级数∑∞=1n na收敛是∑∞=1n na部分和有界且0lim =∞→n n a 的（ ）A 充分条件B 必要条件C 充分必要条件D 无关条件 5、下列说法正确的是（ ） A∑∞=1n na和∑∞=1n nb收敛，∑∞=1n nn ba 也收敛 B∑∞=1n na和∑∞=1n nb发散，∑∞=+1)(n n nb a发散 C∑∞=1n na收敛和∑∞=1n nb发散，∑∞=+1)(n n nb a发散 D ∑∞=1n n a 收敛和∑∞=1n n b 发散，∑∞=1n n n b a 发散 6、)(1x an n∑∞=在[a ，b ]收敛于a （x ），且a n （x ）可导，则（ ）A )()('1'x a x an n=∑∞= B a （x ）可导C⎰∑⎰=∞=ban ban dx x a dx x a )()(1 D ∑∞=1)(n n x a 一致收敛，则a （x ）必连续7、下列命题正确的是（ ） A )(1x an n∑∞=在[a ，b ]绝对收敛必一致收敛 B)(1x an n∑∞=在[a ，b ] 一致收敛必绝对收敛C 若0|)(|lim =∞→x a n n ，则)(1x an n∑∞=在[a ，b ]必绝对收敛D)(1x an n∑∞=在[a ，b ] 条件收敛必收敛8、∑∞=++-012121)1(n n nx n 的和函数为 A xe B x sin C )1ln(x + D x cos9、函数)ln(y x z +=的定义域是（ ） A {}0,0|),(>>y x y x B {}x y y x ->|),( C {}0|),(>+y x y x D {}0|),(≠+y x y x 10、函数f (x,y )在（x 0,,y 0）偏可导与可微的关系（ ） A 可导必可可导必不可微C 可微必可导D 可微不一定可导 二、计算题：（每小题6分，共30分）1、⎰=914)(dx x f ，求⎰+22)12(dx x xf2、计算⎰∞++02221dx xx 3、计算∑∞=11n nx n 的和函数并求∑∞=-1)1(n n n4、设023=+-y xz z ，求)1,1,1(xz ∂∂5、求2220lim y x yx y x +→→三、讨论与验证题：（每小题10分，共20分）1、 讨论⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-=)0,0(),(0)0,0(),(),(2222y x y x y x y x xyy x f 在（0，0）点的二阶混合偏导数2、 讨论∑∞=+-221sin 2)1(n n n n nx的敛散性 四、证明题：（每小题10分，共30分）1、设)(1x f 在[a ，b ]上Riemann 可积，),2,1()()(1 ==⎰+n dx x f x f ban n ，证明函数列)}({x f n 在[a ，b ]上一致收敛于03、 设)(x f 在[a ，b ]连续，证明⎰⎰=πππ)(sin 2)(sin dx x f dx x xf ，并求⎰+π2cos 1sin dx xxx参考答案一、1、B 2、B 3、A 4、c 5、C 6、D 7、D 8、C 9、C 10、C 二、1、⎰⎰++=+202222)12()12(21)12(x d x f dx x xf （3分）令122+=x u ，⎰⎰==+912022)(21)12(du u f dx x xf （3分）2、⎰∞++02221dxx x =4)1arctan(lim )1()1(11lim 002π=+=+++∞→∞→⎰A A A A x x d x （6分） 3、解：令)(x f =∑∞=11n nx n ，由于级数的收敛域)1,1[-（2分），)('x f =x x n n -=∑∞=-1111，)(x f =)1ln(110x dt tx -=-⎰（2分），令1-=x ，得 2ln )1(1=-∑∞=n nn 4、解：两边对x 求导02232=--x x xz z z z （3分）xz zz x 2322-=（2分）2)1,1,1(=∂∂x z（1分）5、解：x yx yx ≤+≤||0222（5分）0lim 22200=+→→y x y x y x （1分） 由于x =-2，x =2时，级数均不收敛，所以收敛域为（-2，2）（3分）三、1、解、⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++-+=000)(4),(22222222224y x y x y x y y x x y y x f x （2分） ⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++--=000)(4),(22222222224y x y x y x y y x x x y x f y (4分） 1)0,0(),0(lim )0,0(02-=∆-∆=∂∂∂→∆yf y f x y zx x y1)0,0()0,(lim )0,0(02=∆-∆=∂∂∂→∆xf x f y x zy y x （6分）2、解：由于x nx nn n n n 221sin 2|sin 2)1(|lim =-+∞→（3分），即1sin 22<x 级数绝对收敛1sin 22=x 条件收敛，1sin 22>x 级数发散（7分）所以原级数发散（2分）四、证明题（每小题10分，共20分）1、证明：因为)(1x f 在[a ，b ]上可积，故在[a ，b ]上有界，即0>∃M ，使得]),[()(1b a x M x f ∈∀≤，（3分）从而)(|)(|)(12a x M dt t f x f xa -≤≤⎰一般来说，若对n 有)!1()()(1--≤-n a x M x f n n （5分）则)()!1()()(1∞→--≤-n n a b M x f n n ，所以)}({x f n 在[a ，b ]上一致收敛于0（2分）⎰⎰⎰=+++=+aa Ta Tdt t f T t d T t f t T x dx x f 0)()()()(（2）（4分）将式（2）代入（1）得证（2分）2、 y e x z y x 1=∂∂，2y x e y z y x -=∂∂，（7分）则012=-=∂∂+∂∂yx ye y xe y z y x z x y xy x （3分）3、 证明：令t x -=π⎰⎰⎰⎰-=---=πππππππ00)(sin )(sin ))(sin()()(sin dt t tf dt t f dt t f t dx x xf 得证（7分）8cos 1sin 2cos 1sin 20202ππππ=+=+⎰⎰dx x x dx xx x （3分）（十七）数学分析2考试题二、单项选择题（从给出的四个答案中，选出一个最恰当的答案填入括号内，每小题2分，共20分）1、 函数)(x f 在 [a,b ] 上可积的充要条件是（ ） A >0, >0和>0使得对任一分法，当（）<时，对应于i的那些区间x i 长度之和∑x i <B >0,>0, >0使得对某一分法，当（）<时，对应于i的那些区间x i 长度之和∑x i <C >0,>0使得对任一分法，当（）<时，对应于i的那些区间x i 长度之和∑x i <D>0,>0，>0使得对任一分法，当（）<时，对应于i的那些区间x i 长度之和∑x i <2、函数)(x f 连续，则在[a,b ]上⎰xdt t f dx d 21)(=（ ）A )2(x fB )2(2x fC )(2x fD )()2(2x f x f -4、=⎰-1121dx x （ ）A -2B 2C 0D 发散 4、0lim ≠∞→n n a ，则∑∞=1n na( )A 必收敛B 必发散C 必条件收敛D 敛散性不定5、若级数∑∞=1n nb是∑∞=1n na更序级数，则（ ）A∑∞=1n na和∑∞=1n nb同敛散 B∑∞=1n nb可以发散到+∞C 若∑∞=1n na绝对收敛，∑∞=1n nb也收敛 D 若∑∞=1n na条件收敛，∑∞=1n nb也条件收敛6、)(1x an n∑∞=在[a ，b ]一致收敛，且a n (x )可导（n =1,2…），那么( )A f （x ）在[a ，b ]可导，且∑∞==1'')()(n nx ax fB f （x ）在[a ，b ]可导，但)('x f 不一定等于∑∞=1')(n nx aC ∑∞=1')(n nx a点点收敛，但不一定一致收敛 D∑∞=1')(n nx a不一定点点收敛7、函数项级数)(1x an n∑∞=在D 上一致收敛的充要条件是（ ）A >0, N （）>0，使m >n> N 有ε<++)()(1x a x a m nB >0, N>0，使m >n> N 有ε<++)()(1x a x a m nC >0, N （）>0，使m >n> N 有ε<++)()(1x a x a m n D>0,N （）>0，使m >n> N 有ε<++)()(1x a x a m n8、∑∞=-1)1(1n n x n的收敛域为（ ） A (-1,1) B (0,2] C [0,2） D [-1,1）9、重极限存在是累次极限存在的（ ）A 充分条件B 必要条件C 充分必要条件D 无关条件 10、=∂∂),(00|),(y x xy x f （ ） A x y x f y y x x f x ∆-∆+∆+→∆),(),(lim 00000B x y x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim 00000C x y x x f y y x x f x ∆∆+-∆+∆+→∆),(),(lim00000D xy x x f x ∆∆+→∆),(lim 000三、计算题：（每小题6分，共30分）1、dx x x x ⎰-++11211cos sin2、计算由曲线2,0,1==+=xy y x y 和2e x =围成的面积3、求2xe -的幂级数展开5、 已知),(),,(v u f xy y x f z +=可微，求yx z∂∂∂26、 求yx yx y x f +-=),(在（0，0）的累次极限 三、判断题（每小题10分，共20分）1、 讨论∑∞=3cosln n nπ的敛散性2、 判断∑∞=+121n nnxx 的绝对和条件收敛性 四、证明题（每小题10分，共30分）1、设f (x )是[-a ，a ]上的奇函数，证明0)(=⎰-aadx x f2、证明级数∑∞==04)!4(n n n x y 满足方程y y =)4(3、 证明S 为闭集的充分必要条件是S c 是开集。
数学分析2期末考试题库完整
数学分析2期末试题库 《数学分析II 》考试试题（1）一、叙述题：（每小题6分，共18分）1、 牛顿-莱不尼兹公式2、∑∞=1n na收敛的cauchy 收敛原理3、 全微分 二、计算题：（每小题8分，共32分）1、4202sin limx dt t x x ⎰→2、求由曲线2x y =和2y x =围成的图形的面积和该图形绕x 轴旋转而成的几何体的体积。
3、求∑∞=+1)1(n nn n x 的收敛半径和收敛域，并求和4、已知zy x u = ，求yx u∂∂∂2三、（每小题10分，共30分）1、写出判别正项级数敛散性常用的三种方法并判别级数2、讨论反常积分⎰+∞--01dx e x x p 的敛散性3、讨论函数列),(1)(22+∞-∞∈+=x n x x S n 的一致收敛性四、证明题（每小题10分，共20分）1、设)2,1(11,01 =->>+n n x x x n n n ，证明∑∞=1n n x 发散 2、证明函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000),(222222y x y x y x xy y x f 在（0，0）点连续且可偏导，但它在该点不可微。
，一、叙述题：(每小题5分，共10分）1、 叙述反常积分a dx x f ba,)(⎰为奇点收敛的cauchy 收敛原理2、 二元函数),(y x f 在区域D 上的一致连续 二、计算题：（每小题8分，共40分） 1、)212111(lim nn n n +++++∞→ 2、求摆线]2,0[)cos 1()sin (π∈⎩⎨⎧-=-=t t a y t t a x 与x 轴围成的面积3、求⎰∞+∞-++dx x xcpv 211)(4、求幂级数∑∞=-12)1(n nn x 的收敛半径和收敛域 5、),(y x xy f u =， 求yx u∂∂∂2三、讨论与验证题：（每小题10分，共30分）1、yx y x y x f +-=2),(，求),(lim lim ),,(lim lim 0000y x f y x f x y y x →→→→；),(lim )0,0(),(y x f y x →是否存在？为什么？2、讨论反常积分⎰∞+0arctan dx x xp的敛散性。
《数学分析(二)》题库及答案
《数学分析（二）》题库及答案一、填空1、⎰=+11- 251dx xx ____________。
2、⎰∞+-= 02dx xe x ____________。
3、=++++⋅+⋅ )1(1321211n n ___________。
4、⎰∞+∞=+ - 2______1xdx。
5、_______)15)(45(11161611=++-++⋅+⋅ n n 。
6、幂级数∑∞=--11)1(n nn nx 的收敛域为______ 。
二、单项选择题1、设)(x f 是),(b a 上的连续函数，则在),(b a 上)(x f 必有___________。
A ．导函数 B ．原函数 C ．最大值 D ．最小值2、设)(x f 在),(+∞-∞上有连续的的导数)(x f '，则___________。
A ．⎰+='c x f dx x f )2(21)2( B ．⎰+='c x f dx x f )2()2( C ．⎰+='c x f dx x f )()2( D ． ⎰=')2(2))2((x f dx x f3、设)(x f 是),(+∞-∞上非零的连续奇函数，则⎰=xdt t f x F 0)()(是___________。
A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．可能是奇，也可能是偶函数 4、设函数)(x f 在],[b a 上可积，则)(x f 在],[b a 上______ 。
A ．存在原函数B ．有界C ．连续D ．可导 5、若0lim =∞→n n a ，则数项级数∑∞=1n na______ 。
A ．收敛B ．发散C ．收敛且和为零D ．可能收敛，也可能发散 6、若反常积分⎰∞+ 12)(dx x f 收敛，则⎰∞+ 1)(dx x f ______ 。
A ．发散B ．条件收敛C ．绝对收敛D ．可能收敛，也可能发散。
三．判断对错1．若)(x f 在（a 、b ）内可微，则⎰+=c x f x df )()(。
《数学分析II》期末试卷+参考答案
《数学分析（II ）》试题2004.6一．计算下列各题：1．求定积分∫+e x x dx 12)ln 2(；2．求定积分； ∫−222),1max(dx x3．求反常积分dx x x ∫∞++021ln ；4．求幂级数()∑∞=−+1221n n n x n n 的收敛域；5．设，求du 。
yz x u =二．设变量代换可把方程⎩⎨⎧+=−=ay x v y x u ,20622222=∂∂−∂∂∂+∂∂y z y x z x z 简化为02=∂∂∂v u z ，求常数。
a三．平面点集(){}⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎟⎠⎞⎜⎝⎛L U ,2,11sin ,10,0n n n是否为紧集？请说明理由。
四．函数项级数n nn n x x n +⋅−∑∞=−1)1(11在上是否一致收敛？请说明理由。
]1,0[五．设函数在上连续，且满足)(x f ),(∞+−∞1)1(=f 和)arctan(21)2(20x dt t x tf x =−∫。
求。
∫21)(dx x f六．设函数在上具有连续导数，且满足)(x f ),1[∞+1)1(=f 和22)]([1)(x f x x f +=′，+∞<≤x 1。
证明：存在且小于)(lim x f x +∞→41π+。
七．设如下定义函数：dt t t x f x x t1sin 21)(2∫⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=，。
1>x 判别级数∑∞=2)(1n n f 的敛散性。
八．设∫=40cos sin πxdx x I n n （L ,2,1,0=n ）。
求级数的和。
∑∞=0n n I《数学分析（II ）》试题（答案）2004.6一．1．421π⋅； 2．320； 3．； 4． 0)2/1,2/1(−； 5．⎟⎠⎞⎜⎝⎛++=xdz y xdy z dx x yz x dz yz ln ln 。
二．。
3=a 三． 是紧集。
四．一致收敛。
五．43。
六．因为，所以单调增加，因此0)(>′x f )(x f 1)1()(=>f x f 。
2020-2021《数学分析 》(二)期末课程考试试卷A(含答案)
2020-2021《数学分析》（二）期末课程考试试卷A一、 填空题（3分⨯5=15分）.1.(ln )[1(ln )]f x dx x f x '=+⎰ln (ln )1f x c ++ .2.45522[sin cos ]x x x dx ππ-+=⎰8/15 . 3.22limarcsin x x x e dxx x--->⎰=1 .4.设()f x C =+⎰则 )(x f ''= .5. 2()xf x e -=的麦克劳林级数为()f x = 0(1)2!nnn n x n ∞=-∑二、 选择题（3分⨯5=15分）.1.若反常积分1a xx e dx +∞-⎰收敛，则 ( A ).（A ）0>a , (B) R a ∈, (C) 1>a , (D) 0<a . 2. 若反常积分011(1)adx x -⎰收敛，则 ( D ).（A ）0>a , (B) R a ∈, (C) 1>a , (D) 1<a . 3. 若反常积分1sin axdx x +∞⎰绝对收敛，则 ( C ). （A ）0>a , (B) R a ∈, (C) 1>a , (D) 0<a .4. 若级数∑∞=+-031)1(n annn 条件收敛，则 ( D ). （A ）0>a , (B) R a ∈, (C) 1>a , (D) 2/3>3/1>a .5. 设函数()f x =⎪⎩⎪⎨⎧-11 ππ<≤<≤-x x 00以2T π=为周期，其傅里叶级数的和函数为()S x ，则(6)4S ππ+=（ B ）.（A ）-1 , (B) 1 , (C) 0 , (D)不存在.三、计算题（6分⨯5=30分）1.求ln(1)x dx +⎰. 解：原式=ln(1)1xx x dx x +-+⎰-------------------4分 =ln(1)ln(1)x x x x C +-+++-----------------6分 2.求312x xdx -⎰.解：原式=21(2)x x dx -⎰+32(2)x x dx -⎰--------------2分=43--------------6分 3.求)1sin 2sin (sin 1lim πππn n n n n n -+++∞>- .解：原式=n k n n k n π)1(sin 1lim 1-∑=∞>-=⎰1sin xdx π-------------2分院系 班级 序号 姓名 装 订 线=10)cos (1x -π-------------4分=2/π-------------6分4.求21⎰.解：原式=22sin cos cos ttdx tπ⎰-------4分=4π-------6分5. 求反常积分211(1)dx x x +∞+⎰的值. 解：因为211(1)dx x x +∞+⎰21111111dx dx dx x x x +∞+∞+∞=-++⎰⎰⎰------------4分 1ln 2=--------------6分四、（1）求由曲线2y x =与直线0,1,1x x y ===-所围图形的面积. （2）求上述图形绕直线1y =-旋转一周而得立体体积. (10分).解：（1）120413s x dx =+=⎰--------------------5分（2）122028(1)15v x dx ππ=+=⎰--------------------10分 五、证明：若级数∑∞=12n n a 收敛，)0(1>∑∞=n n na na 也收敛. (4分) 证明：因为级数 ∑∞=121n n，∑∞=12n na收敛------------2分所以)1(212n n a n +∑∞=收敛，又(21≤n a n )122n a n+ 则)0(1>∑∞=n n na n a 也收敛. ----------------4分 六、求幂级数0(1)1n nn x n ∞=-+∑的收敛半径、收敛域与和函数，又求01(1)(1)2n nn n ∞=-+∑的 和(10分)解： 令 =)(x s ∑∞=+-01)1(n n n x n=)(x xs ∑∞=+-+01)1(1n n n x n ， ])(['x xs =∑∞=-0)1(n n n x =x+11，)1,1(-∈x=)(x xs ⎰+=+xx dx x 0)1ln(11=)(x s xx )1ln(+0≠x0)(,0==x s x ------------------4分收敛半径为1 ，收敛域为（-1，1]。
数学分析试题及答案解析
2014 ---2015学年度第二学期《数学分析2》A 试卷学院 班级 学号(后两位) 姓名一. 判断题(每小题3分,共21分)(正确者后面括号内打对勾,否则打叉) 1、若()x f 在[]b a ,连续,则()x f 在[]b a ,上的不定积分()⎰dx x f 可表为()C dt t f xa+⎰( )、2、若()()x g x f ,为连续函数,则()()()[]()[]⎰⎰⎰⋅=dx x g dx x f dx x g x f ( )、3、 若()⎰+∞adx x f 绝对收敛,()⎰+∞adx x g 条件收敛,则()()⎰+∞-adx x g x f ][必然条件收敛( )、 4、 若()⎰+∞1dx x f 收敛,则必有级数()∑∞=1n n f 收敛( )5、 若{}n f 与{}n g 均在区间I 上内闭一致收敛,则{}n n g f +也在区间I 上内闭一致收敛( )、6、 若数项级数∑∞=1n n a 条件收敛,则一定可以经过适当的重排使其发散于正无穷大( )、7、 任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数,并且逐项求导后得到的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同( )、二. 单项选择题(每小题3分,共15分)1、若()x f 在[]b a ,上可积,则下限函数()⎰ax dx x f 在[]b a ,上( )A 、不连续B 、 连续C 、可微D 、不能确定2、 若()x g 在[]b a ,上可积,而()x f 在[]b a ,上仅有有限个点处与()x g 不相等,则( )A 、 ()x f 在[]b a ,上一定不可积;B 、 ()x f 在[]b a ,上一定可积,但就是()()⎰⎰≠babadx x g dx x f ;C 、 ()x f 在[]b a ,上一定可积,并且()()⎰⎰=bab adx x g dx x f ;D 、 ()x f 在[]b a ,上的可积性不能确定、3、级数()∑∞=--+12111n n n nA 、发散B 、绝对收敛C 、条件收敛D 、 不确定 4、设∑n u 为任一项级数,则下列说法正确的就是( ) A 、若0lim =∞→n n u ,则级数∑nu 一定收敛;B 、 若1lim1<=+∞→ρnn n u u ,则级数∑n u 一定收敛;C 、 若1,1<>∃+n n u uN n N ，时有当,则级数∑n u 一定收敛;D 、 若1,1>>∃+nn u uN n N ，时有当,则级数∑n u 一定发散;5、关于幂级数∑n n x a 的说法正确的就是( ) A 、 ∑nnxa 在收敛区间上各点就是绝对收敛的; B 、 ∑nnxa 在收敛域上各点就是绝对收敛的; C 、 ∑nn xa 的与函数在收敛域上各点存在各阶导数; D 、∑nnxa 在收敛域上就是绝对并且一致收敛的;三、计算与求值(每小题5分,共10分) 1、 ()()()nn n n n n n +++∞→Λ211lim2、 ()⎰dx x x 2cos sin ln 四、 判断敛散性(每小题5分,共15分)1、dx xx x ⎰∞+++-021132、∑∞=1!n nnn 3、()nnn nn21211+-∑∞= 五、 判别在数集D 上的一致收敛性(每小题5分,共10分) 1、()()+∞∞-===,,2,1,sin D n nnxx f n Λ 2、 (][)∞+⋃-∞-=∑,22,2D xn n六.已知一圆柱体的的半径为R,经过圆柱下底圆直径线并保持与底圆面030角向斜上方切割,求从圆柱体上切下的这块立体的体积。
第二学期 数学分析II试题与答案
一. 判断题（每小题3分，共21分）(正确者后面括号内打对勾，否则打叉) 1.若()x f 在[]b a ,连续，则()x f 在[]b a ,上的不定积分()⎰dx x f 可表为()C dt t f xa+⎰（ ）.2.若()()x g x f ,为连续函数，则()()()[]()[]⎰⎰⎰⋅=dx x g dx x f dx x g x f （ ）.3. 若()⎰+∞adx x f 绝对收敛，()⎰+∞adx x g 条件收敛，则()()⎰+∞-adx x g x f ][必然条件收敛（ ）. 4. 若()⎰+∞1dx x f 收敛，则必有级数()∑∞=1n n f 收敛（ ）5. 若{}n f 与{}n g 均在区间I 上内闭一致收敛，则{}n n g f +也在区间I 上内闭一致收敛（ ）.6. 若数项级数∑∞=1n n a 条件收敛，则一定可以经过适当的重排使其发散于正无穷大（ ）.7. 任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数，并且逐项求导后得到的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同（ ）. 二. 单项选择题（每小题3分，共15分）1.若()x f 在[]b a ,上可积，则下限函数()⎰ax dx x f 在[]b a ,上（ ）A.不连续B. 连续C.可微D.不能确定2. 若()x g 在[]b a ,上可积，而()x f 在[]b a ,上仅有有限个点处与()x g 不相等，则（ ）A. ()x f 在[]b a ,上一定不可积；B. ()x f 在[]b a ,上一定可积,但是()()⎰⎰≠babadx x g dx x f ；C. ()x f 在[]b a ,上一定可积，并且()()⎰⎰=bab adx x g dx x f ；D. ()x f 在[]b a ,上的可积性不能确定.3.级数()∑∞=--+12111n n n nA.发散B.绝对收敛C.条件收敛D. 不确定4.设∑n u 为任一项级数，则下列说法正确的是（ ） A.若0lim =∞→n n u ，则级数∑nu 一定收敛；B. 若1lim1<=+∞→ρnn n u u ，则级数∑n u 一定收敛；C. 若1,1<>∃+n n u uN n N ，时有当，则级数∑n u 一定收敛；D. 若1,1>>∃+n n u uN n N ，时有当，则级数∑n u 一定发散；5.关于幂级数∑n n x a 的说法正确的是（ ） A. ∑nnxa 在收敛区间上各点是绝对收敛的； B. ∑nnxa 在收敛域上各点是绝对收敛的；C. ∑nn xa 的和函数在收敛域上各点存在各阶导数； D.∑nnxa 在收敛域上是绝对并且一致收敛的；三.计算与求值（每小题5分，共10分）1. ()()()n n n n n n n +++∞→Λ211lim2. ()⎰dx x x 2cos sin ln四. 判断敛散性（每小题5分，共15分）1.dx xx x ⎰∞+++-021132.∑∞=1!n nnn3.()nnn nn21211+-∑∞=五. 判别在数集D 上的一致收敛性（每小题5分，共10分）1.()()+∞∞-===,,2,1,sin D n nnxx f n Λ2. (][)∞+⋃-∞-=∑,22,2D xn n六．已知一圆柱体的的半径为R，经过圆柱下底圆直径线并保持与底圆面030角向斜上方切割，求从圆柱体上切下的这块立体的体积。
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数学分析2$第十一章广义积分1 考核的知识：无穷限广义积分、瑕积分收敛与发撒的概念，绝对收敛与条件收敛的概念及其一些简单的收敛性判别法。
2考核的要求(1)掌握两类广义积分收敛与发散的概念以及绝对敛与条件收敛的概念。
(2)会用收敛的定义和一些简单的收敛性判别法判别一些无穷积分的敛散性。
第十二章数项级数~1 考核的知识级数收敛与发撒的概念；收敛级数的基本性质、收敛的必要条件、柯西准则。
正项级数收敛的基本定理，比较判别法及其极限形式，比值判别法及其极限形式，根值判别法及其极限形式，柯西积分判别法。
一般项级数的绝对收敛、条件收敛概念，交错级数及其莱布尼兹判别法。
2 考核的要求(1)掌握级数收敛与发散的概念，绝对收敛与条件收敛的念。
(2)牢记级数的敛散性，熟练地应用比较判另法、达朗贝尔判别法和柯西判别法判别正项级数的收敛性。
(3)熟练地用莱布尼兹判别法判定交错级数的收敛性。
(4)类比有限和及其结合律、交换律、分配律，建立收敛级数的和（无限和）及其任意项加括号定理，级数的重排，两级数的乘积。
—(5) 综合运用前述概念、理论证题。
第十三章函数项级数1 考核的知识函数列（函数项级数）收敛与一致收敛概念；一致收敛的柯西准则，确界充要条件；一致收敛的函数列（函数项级数）的极限函数（和函数）的分析性质：连续性，积分号下取极限（逐项可积性），导数号下取极限（逐项可导性）；函数项级数一致收敛判别法：M判别法。
2 考核的要求(1)函数列（函数项级数）概念、收敛概念与一致收敛概念、一致收敛的柯西准则等。
(2)判断一些简单函数列、函数项级数在区间I上一致收敛或不一致收敛。
第十四章幂级数—1 考核的知识幂级数的阿贝尔定理，收敛半径，收敛区间，收敛域，幂级数的一致收敛性，和函数的连续性、可微性与可积性；幂级数的运算。
泰勒级数，函数可展成幂级数的条件，基本初等函数的幂级数展开式.2 考核的要求(1)会求幂级数的收敛半径、收敛域以及和函数。
数学分析(二)
离线考核《数学分析(二)》满分100分一、计算题（每小题10分，共70分。
）1、设(1)xz xy =+，求.dz取对数，有ln ln(1),z x xy =+由此得2121(1)[ln(1)],(1)1(1)[ln(1)](1).1x x x x z xy z xy xy x xy x xy yxydz xy xy dx x xy dy xy--∂∂=+++=+∂+∂⇒=++++++2、求函数222ln(23)u x y z =++在点（1，1，1）处的梯度。
(1,1,1)12{,,1}.33gradu=3、求函数xyz e =在点0(1,0)P 沿01P P 方向的方向导数，其中1P 的坐标为(2,1).注意Gradu={2x,2y,4z}，故所求方向导数为：{}3831,31,314,2,2-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧---⋅4、设2(,)z f x y x y =-，且函数f 具有二阶连续偏导数，试求2.zx y∂∂∂ 2//////////////12111221222211,.z z f f f f f f f f x x y∂∂=+∴=-+-+=-∂∂∂5、计算二重积分222(),Dx y d σ+⎰⎰其中22:2D x y x +≤。
1212212000000ln(1)2ln 2.1112D y y dx y d dx dy ydy x x x x σ===+⋅=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰6、计算积分2222(2)(2)Lx xy y dx x xy y dy +-+--⎰，其中L 是从点O (0，0)沿曲线y =sin x 到点A (π，0)的弧段。
因为P Q y x∂∂=∂∂，则积分与路径无关，于是可以沿着横轴进行积分，原积分成为 32.3x dx ππ=⎰7、将函数21()32f x x x =-+展开成麦克劳林级数。
意到几何级数结果，有200101111111()()()2343143111111()[(1)]43(13)1()43311[(1)],1.43n n n n n n n f x x x x x x x x x x x x x +∞+∞+∞+==-=-+---+-+=-+=-+----=-+-<∑∑∑二、计算题（共15分）1、要造一个容积为定数k 的长方体无盖水池，应如何选择水池的尺寸，使其表面积最小。
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数学分析2第十一章广义积分1 考核的知识：无穷限广义积分、瑕积分收敛与发撒的概念，绝对收敛与条件收敛的概念及其一些简单的收敛性判别法。
2考核的要求(1)掌握两类广义积分收敛与发散的概念以及绝对敛与条件收敛的概念。
(2)会用收敛的定义和一些简单的收敛性判别法判别一些无穷积分的敛散性。
第十二章数项级数1 考核的知识级数收敛与发撒的概念；收敛级数的基本性质、收敛的必要条件、柯西准则。
正项级数收敛的基本定理，比较判别法及其极限形式，比值判别法及其极限形式，根值判别法及其极限形式，柯西积分判别法。
一般项级数的绝对收敛、条件收敛概念，交错级数及其莱布尼兹判别法。
2 考核的要求(1)掌握级数收敛与发散的概念，绝对收敛与条件收敛的念。
(2)牢记级数的敛散性，熟练地应用比较判另法、达朗贝尔判别法和柯西判别法判别正项级数的收敛性。
(3)熟练地用莱布尼兹判别法判定交错级数的收敛性。
(4)类比有限和及其结合律、交换律、分配律，建立收敛级数的和（无限和）及其任意项加括号定理，级数的重排，两级数的乘积。
(5) 综合运用前述概念、理论证题。
第十三章函数项级数1 考核的知识函数列（函数项级数）收敛与一致收敛概念；一致收敛的柯西准则，确界充要条件；一致收敛的函数列（函数项级数）的极限函数（和函数）的分析性质：连续性，积分号下取极限（逐项可积性），导数号下取极限（逐项可导性）；函数项级数一致收敛判别法：M判别法。
2 考核的要求(1)函数列（函数项级数）概念、收敛概念与一致收敛概念、一致收敛的柯西准则等。
(2)判断一些简单函数列、函数项级数在区间I上一致收敛或不一致收敛。
第十四章幂级数1 考核的知识幂级数的阿贝尔定理，收敛半径，收敛区间，收敛域，幂级数的一致收敛性，和函数的连续性、可微性与可积性；幂级数的运算。
泰勒级数，函数可展成幂级数的条件，基本初等函数的幂级数展开式.2 考核的要求(1)会求幂级数的收敛半径、收敛域以及和函数。
(2)记住五个函数的马克劳林展开式，并能应用它们将一些简单函数展开成幂级数第十五章 Fourier级数1考核的知识三角级数，三角函数的正交性；傅里叶级数及其收敛定理，正弦级数，余弦级数；任意区间上的傅里叶级数.2 考核的能力(1)求出（－π，π]或任意区间上的傅里叶级数，并讨论其收敛性；(2)求出（０，π）上或（０，L）上的正弦级数、余弦级数，并讨论其收敛性。
(3)用函数的傅里叶级数以及收敛定理求级数的和。
三、考试命题要求1 考试命题原则：考试命题以考核学生应该掌握的知识和能力为主，用考核能力达到考核知识的目的。
2 考试试题的类型：选择题、填空题、计算题、应用题及证明题。
3 考试命题的分布：（1）基本性的容易型试题占40%，中等难度试题占40%，较难试题占20%；（2）分数比重数学分析1：选择题约占10%，填空题约占10%，计算题约占45%，应用题约占14%，证明题约占21%。
数学分析2：选择题约占15%，填空题约占15%，计算约占54%，证明题约占16%。
数学分析2样卷一、选择题（每小题3分，共15分）：1．若级数∑∞=1n n a 收敛，则下列级数收敛的是（ ）A ：∑∞=+1)100(n n a ； B ：∑∞=1100n n a ； C ：∑∞=-1)100(n n a ；D ：∑∞=1100n na 2、设常数0≠a ，且级数∑∞=1n n q a收敛，则有（ ） A ：1<q ； B ：1<q ； C ：a q <； D ：1>q 3、下列级数中，绝对收敛的是（ ）A ：∑∞=-1)1(n nn； B ：∑∞=--1321)1(n n n ； C ：∑∞=-1)1(n n n ； D ：∑∞=-1)1(n nnn4、幂级数∑∞=1n nnx 的收敛域是（ ） A ：（-1，1） B ：)1,1[-； C ：]1,1(-； D ：[-1，1]5、使得瑕积分101p dx x⎰收敛的p的值为（）A. 0p> B. 1p< C. 1p= D. 1p>二、填空题（每小题3分，共15分）：1、级数∑∞=1nna收敛的柯西准则是2、若级数∑∞=1nna收敛，则=∞→nnalim3、函数级数∑∞=1) (nnxu在区间I 非一致收敛是指4、函数)1ln(x+的麦克劳林级数是它的收敛区间是；5、设21,1Adx x+∞-∞= +⎰则A=。
三、判别下列级数的敛散性（每小题5分，共20分）1、∑∞=++12121n n n ； 2、∑∞=122n n n ； 3、()11121nn n n n ∞=-⎛⎫- ⎪+⎝⎭∑ 4、()∑∞=+-11)1(n n n n四、计算题（共34分） 1、（6分）计算广义积分 ⎰∞+++02221dx x x .2、（8分）讨论反常积分⎰+∞--01dx e x x p 的敛散性。
3、（10分）求幂级数210(1)21n nn x n +∞=-+∑的和函数及其收敛域。
4、（10分）将定义在(,]ππ-上的函数 ()f x x = 展开成Fourier 级数，并求此级数在],[ππ-的和函数。
五、证明题（每小题8分，共16分）：1、设)2,1(11,01 =->>+n n x x x n n n ，证明∑∞=1n n x 发散。
2、证明函数列),(1)(22+∞-∞∈+=x n x x S n 在一致收敛。
答案与评分标准：一、1、B 2、D 3、D 4、B 5、B二、1、εε<+++⇒N ∈∀>∀N ∈∃>∀+++p n n n a a a p N n N 21,,,02、03、()()0000000,,,0εε≥-⇒∈∃>∃N ∈∀>∃x S x S I x N n N n 其中()()()Ix x u x S x u x S nk k n n n ∈==∑∑=∞=,,)(114、nn n x n x ∑∞=+-=+11)1()1ln( ，]1,1(-∈x 5、π1三、1、∑∞=∞→∞→=++=++12221,2112lim 1121limn n n n n n n n n n 发散，所以原级数收敛。
2、()()∑∞=∞→+∞→∴<=+=+12222122,12121lim221limn n n n n n n n n n n 收敛 3、∴<=+-=⎪⎭⎫⎝⎛+--∞→∞→,121121lim121)1(lim n n n n n nnn n 原级数绝对收敛4、0)1(1lim,)2)(1(1)1(1)1()1(1=+++>++-∞→∞=∑n n n n n n n n n n n 并且是交错级数，∑∞=+-∴1)1()1(n n n n 收敛四、1、()()4421arctan 11122100202πππ=-=+=++=++∞++∞+∞⎰⎰x dx x dx x x………………………………………….6分2、⎰⎰⎰+∞----+∞--+=111101dx e x dx e xdx e x x p xp xp收敛时，即当⎰-----→><-∴=11110,011,1lim dx e x p p e x x x p x p p x …….4分收敛，即又⎰+∞----+∞→>=∴=111212,0lim dx e x e xx x p xp x λ 。
所以当且仅当0>p 时，原积分收敛。
……………………………………………..4分3、设x x n x x s n xx s n nn n n n n n n+=-='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-='+-=∑∑∑∞=∞=++∞=11)1(12)1()(,12)1()(0012120则 ………………………………………….4分所以 )1ln(11)()(00x dt tdt t s x s xx+=+='=⎰⎰……………………… 3分22123213212lim12)1(32)1(limx x n n x n x n n n nn n n =++=+-+-∞→+++∞→时，时，即当1112<<-<∴x x 原级数收敛；当1=x 原级数也收敛，但当1-=x 时，原级数发散。
所以级数的收敛域为（-1，1]，即]1,1(,)1ln(12)1()(120-∈+=+-=+∞=∑x x n x x s n n n (3)分1、 因为()ππ,)(-=在x x f 是奇函数，所以() ,2,1,0,0==n a n (2)分() ,2,1,2)1(sin 21=-==+⎰n nxdx x b n n ππ (5)分于是⎩⎨⎧±=<<-=-≈+∞=∑πππx x x n nx x f n n ,0,sin )1(2)(11…………………………..3分 五、1、证明：nn n x x x n n n 111,01-=->>+ 12,,43,32,211453423-->>>>∴-n n x x x x x x x x n n …………………4分 上述不等式相乘得：2211,11x n x n x x n n ->∴-> 由∑∑∞=∞==-12111n n n n 发散知，原级数也发散。
……………………………………….4分 2、3、 证明：),(,1lim )(22+∞-∞∈=+=∞→x x n x x s n ……………..……..2分n n n x n x n x n x x s x S n 111111)()(222222=<++=-+=-∴……..4分 由01lim=∞→n n 知，），在（∞+∞-)(x S n 一致收敛于s(x)………………2分。