求二元一次方程与多元一次方程组的自然数解的方法

求二元一次方程与多元一次方程组的自然数解的方法，与此相关或涉及整数分拆的数论问题．补充说明：对于不定方程的解法，本讲主要利用同余的性质来求解，对于同余性质读者可参考《思维导引详解》五年级[第15讲 余数问题].解不定方程的4个步骤：①判断是否有解；②化简方程；③求特解；④求通解．本讲讲解顺序：③⇒包括1、2、3题⇒④⇒②⇒①包括4、5题⇒③⇒包括6、7题，其中③④步骤中加入百鸡问题．复杂不定方程：⑧、⑨、⑩依次为三元不定方程、较复杂不定方程、复杂不定方程．整数分拆问题：11、12、13、14、15．1．在两位数中，能被其各位数字之和整除，而且除得的商恰好是4的数有多少个?【分析与解】 设这个两位数为ab ，则数字和为a b +，这个数可以表达为10a b +，有()()104a b a b +÷+=即1044a b a b +=+，亦即2b a =．注意到a 和b 都是0到9的整数，且a 不能为0，因此a 只能为1、2、3或4，相应地b 的取值为2、4、6、8．综上分析，满足题目条件的两位数共有4个，它们是12、24、36和48．2．设A 和B 都是自然数，并且满足1711333A B +=,那么A+B 等于多少?【分析与解】 将等式两边通分，有3A+llB=17,显然有B=l ，A=2时满足，此时A+B=2+1=3．3．甲级铅笔7分钱一支，乙级铅笔3分钱一支．张明用5角钱恰好可以买这两种不同的铅笔共多少支?【分析与解】设购买甲级铅笔x 支，乙级铅笔y 支．有7x +3y =50，这个不定方程的解法有多种，在这里我们推荐下面这种利用余数的性质来求解的方法：将系数与常数对3取模(系数7，3中，3最小)：得x =2(mod 3)，所以x 可以取2，此时y 取12；x 还可以取2+3=5，此时y 取5；即212x y =⎧⎨=⎩、55x y =⎧⎨=⎩,对应x y +为14、10 所以张明用5角钱恰好可以买这两种不同的铅笔共14支或10支．4．有纸币60张，其中1分、l 角、1元和10元各有若干张．问这些纸币的总面值是否能够恰好是100元?【分析与解】 设1分、1角、1元和10元纸币分别有a 张、b 张、c 张和d 张，列方程如下：由()()601101001000100002a b c d a b c d +++=⎧⎪⎨+++=⎪⎩(2)(1)得9999999940b c d ++= ③注意到③式左边是9的倍数，而右边不是9的倍数，因此无整数解，即这些纸币的总面值不能恰好为100元．5.将一根长为374厘米的合金铝管截成若干根36厘米和24厘米两种型号的短管，加工损耗忽略不计．问：剩余部分的管子最少是多少厘米?【分析与解】 24厘米与36厘米都是12的倍数，所以截成若干根这两种型号的短管，截去的总长度必是12的倍数，但374被12除余2，所以截完以后必有剩余．剩余管料长不小于2厘米．另一方面，374=27×12+4×12+2，而36÷12=3，24÷12=2，有3×9+2×2=31．即可截成9根36厘米的短管与2根24厘米的短管，剩余2厘米．因此剩余部分的管子最少是2厘米．6．某单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有寺的职工各带一个孩子参加．男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵树，每个孩子种6棵树，他们一共种了216棵树．那么其中有多少名男职工?【分析与解】设男职工x 人，孩子y 人，则女职工3y -x 人(注意，为何设孩子数为y 人，而不是设女职工为y 人)，那么有()131036x y x y +-+=216，化简为336x y +=216，即12x y +=72．有122436486054321x x x x x y y y y y ⎧=⎧====⎧⎧⎧⎪⎨⎨⎨⎨⎨=====⎩⎩⎩⎪⎩⎩. 但是，女职工人数为3y x -必须是自然数，所以只有125x y =⎧⎨=⎩时，33y x -=满足． 那么男职工数只能为12名7．一居民要装修房屋，买来长0.7米和O.8米的两种木条各若干根．如果从这些木条中取出一些接起来，可以得到许多种长度的木条，例如：O.7+O.7=1.4米，0.7+0.8=1.5米．那么在3.6米、3.8米、3.4米、3.9米、3.7米这5种长度中，哪种是不可能通过这些木条的恰当拼接而实现的?【分析与解】设0.7米，0.8米两种木条分别x ，y 根，则0.7x +0.8y =3.43.6，…即7x +8y =34，36，37，38，39将系数，常数对7取模，有y ≡6，l ，2，3，4(mod 7)，于是y 最小分别取6,1,2，3，4．但是当y 取6时，8×6=48超过34，x 无法取值．所以3.4米是不可能通过这些木条的恰当拼接而实现的．8.小萌在邮局寄了3种信，平信每封8分，航空信每封1角，挂号信每封角，她共用了1元2角2分．那么小萌寄的这3种信的总和最少是多少封?【分析与解】显然，为了使3种信的总和最少，那么小萌应该尽量寄最贵的挂号信，然后是航空信，最后才是平信．但是挂号信、航空信的邮费都是整数角不会产生几分．所以，2分，10n +2分应该为平信的邮费，n 最小取3，才是8的倍数，所以平信至少要寄4封，此时剩下的邮费为122-32=90，所以再寄4封挂号信，航空信1封即可．于是，小萌寄的这3种信的总和最少是4+1+4=9封．9.有三堆砝码，第一堆中每个砝码重3克，第二堆中每个砝码重5克，第三堆中每个砝码重7克．现在要取出最少个数的砝码，使它们的总重量为130克．那么共需要多少个砝码?其中3克、5克和7克的砝码各有几个?【分析与解】 为了使选取的砝码最少，应尽可能的取7克的砝码．130÷7：18……4，所以3克、5克的砝码应组合为4克，或4+7k 克重．设3克的砝码x 个，5克的砝码y 个，则3547x y k +=+．当k =0时，有354x y +=，无自然数解；当k =1时，有3511x y +=，有x =2，y =1，此时7克的砝码取17个，所以共需2+1+17=21个砝码，有3克、5克和7克的砝码各2、1、17个．当k >1时，7克的砝码取得较少，而3、5克的砝码却取得较多，不是最少的取砝码情形．所以共需2+1+17=20个砝码，有3克、5克和7克的砝码各2、1、17个．10．5种商品的价格如表8—1，其中的单位是元．现用60元钱恰好买了10件商品，那么有多少种不同的选购方式?【分析与解】 设B 、C 、D 、E 、A 商品依次买了b 、c 、d 、e 、(10-b-c-d-e)件，则有()2.910 4.77.210.614.9b c d e b c d e ----++++=60．184377120b c d e +++=310，显然e 只能取0，1，2． Ⅰ有184377b c d ++=310，其中d 可取0，1，2，3，4．(1)当d=0时，有1843b c +=310，将系数，常数对6取模得：c ≡4(mod 6)，于是c 最小取4，那么有18b=310-43×4=138，b 不为自然数．所以d=0时。

不满足； (2)有1843b c +=233，将系数，常数对6取模得：c ≡5(mod 6),于是最小,那么有18b=233-43×5=18,； (3)有1843b c +=156，将系数，常数对6取模得：c ≡O(mod 6)，于是c 最小取0，那么有18b=156，b 不为自然数，所以d=2时，不满足； (4)有1843b c +=79，将系数、常数对6取模得：c ≡1(mod 6)，于是最小那么有18b=79—43=36． (5)当d=4时，有1843b c +=2，显然不满足．Ⅱ有184377b c d ++=190，其中d 可以取0、1、2． (1)有1843b c +=190，将系数、常数对6取模有：c ≡4(mod 6)，于是最小那么有18b=190-43×4=18, (2)当d=1时，有1843b c +=113，将系数、常数对6取模有：c ≡5(mod 6)，于是c 最小取5，即18b +215=113，显然d=1时，不满足； (3)有1843b c +=36,显然有时 Ⅲ有184377b c d ++=70，d 只能取0，有1843b c +=70，将系数、常数对6取模有：c ≡4(rood 6)，于是c 最小取4，那么有18b +172=70，显然不满足最后可得到如下表的满足情况：共有4种不同的选购方法．11．有43位同学，他们身上带的钱从8分到5角，钱数都各不相同．每个同学都把身上带的全部钱各自买了画片．画片只有两种：3分一张和5分一张．每11人都尽量多买5分一张的画片．问他们所买的3分画片的总数是多少张?【分析与解】 钱数除以5余0，1，2，3，4的人，分别买0，2，4，1，3张3分的画片．因此，可将钱数8分至5角2分这45种分为9组，每连续5个在一组，每组买3分画片0+2+4+1+3=10张，9组共买10×9=90张，去掉5角1分钱中买的2张3分画片，5角2分中买的4张3分画片，43个人买的3分画片的总数是90-2-4=84张．12．哥德巴赫猜想是说：“每个大于2的偶数都可以表示成两个质数之和．”试将168表示成两个两位质数的和，并且其中的一个数的个位数字是1．【分析与解】 个位数字是1的两位质数有11，31，41，61，71．其中168-11=157，168-31=137，168-41=127，168-61=107，都不是两位数，只有168-71=97是两位数，而且是质数，所以168=71+97是惟一解．13．(1)将50分拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能大，那么这个最大质数是多少?(2)将60分拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能小，那么这个最大的质数是多少?【分析与解】 (1)首先确定这10个质数或其中的几个质数可以相等，不然10个互不相等的质数和最小为2+3+5+7+11+13+17+19+23+29，显然大于50．所以，其中一定可以有某几个质数相等．欲使最大的质数尽可能大，那么应使最小的质数尽可能小，最小的质数为2，且最多可有9个2，那么最大质数不超过50—2×9=32，而不超过32的最大质数为31．又有82502222331=++++++个，所以满足条件的最大质数为31． (2)最大的质数必大于5，否则10个质数的之和将不大于50．所以最大的质数最小为7，为使和为60，所以尽可能的含有多个7．60÷7=8……4，8760=7+7+7++7+4 个，而4=2+2，恰好有8760=7+7+7++7+2+2个．即8个7与2个2的和为60，显然其中最大的质数最小为7．14．有30个贰分硬币和8个伍分硬币，用这些硬币不能构成的1分到1元之间的币值有多少种?【分析与解】 注意到所有38枚硬币的总币值恰好是100分(即1元)，于是除了50分和100分外，其他98种币值就可以两两配对了，即(1，99)；(2，98)；(3，97)；(4，96)；…；(49，51)；每一对币值中有一个可用若干个贰分和伍分硬币构成，则另一个也一定可以，显然50分和100分的币值是可以组成的，因此只需要讨论币值为1分，2分，3分，…，48分和49分这49种情况． 1分和3分的币值显然不能构成．2分，4分，6分，…，46分，48分等2；4种偶数币值的都可以用若干个贰分硬币构成．5分，7分，9分，…，47分，49分等23种奇数币值的只须分别在4分，6分,8分，…46分、48分的构成方法上，用一枚伍分硬币去换两枚贰分硬币即可，譬如，37分币值的，由于36分币值可用18枚贰分硬币构成，用一枚伍分硬币换下两枚贰分硬币，剩下的币值即为37分．综合以上分析，不能用30个贰分和8个伍分硬币构成的1分到1元之间的币值只有四种，即1分，3分，97分，99分．15．小明买红、蓝两支笔，共用了17元．两种笔的单价都是整数元，并且红笔比蓝笔贵．小强打算用35元来买这两种笔(也允许只买其中一种)，可是他无论怎么买，都不能把35元恰好用完．那么红笔的单价是多少元?【分析与解】如下表先枚举出所有可能的单价如表1．再依次考虑：首先，不能出现35的约数．否则只买这种笔就可以刚好用完35元，所以含有7，5，1的组合不可能．然后，也不能出现35—17=18的约数．否则先各买一支需17元，那么再买这种笔就可以花去18元，一共花35元．所以含有9，6，3，2的组合也不可能．所以，只有13+4的组合可能，经检验13x+4y=35这个不定方程确实无自然数解．所以红笔的单价为13元．1．庙里有若干个大和尚和若干个小和尚，已知每7个大和尚每天共吃41个馒头，每29个小和尚每天共吃11个馒头.平均每个和尚每天恰好吃1个馒头，问：庙里至少有多少个和尚．2．小花狗和波斯猫是一对好朋友，它们在早晚见面时总要叫上几声表示问候．早晨见面，小花狗叫两声，波斯猫叫一声；晚上见面，小花狗叫两声，波斯猫叫三声．细心的小娟对它们叫声统计了15天，它们并不是，每天早晚都见面，在这15天内它们共叫61声．问：波斯猫至少叫了多少声?3．《张邱建算经》百鸡问题：今有百钱，鸡翁直钱五，鸡母直钱三，鸡雏三直一,百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何?。