不等式的简单变形(1)
不等式的常用变形公式
不等式的常用变形公式一、加减法变形公式不等式的加减法变形公式是我们在解不等式问题时经常使用的一种变形方式。
具体表达如下：1. 加法变形公式：对于不等式 a < b，如果两边同时加上相同的数 c，不等式的方向不变，即 a + c < b + c。
例如，对于不等式2x - 3 < 5，我们可以通过加法变形公式将其变形为 2x - 3 + 3 < 5 + 3，得到 2x < 8。
2. 减法变形公式：对于不等式 a < b，如果两边同时减去相同的数 c，不等式的方向不变，即 a - c < b - c。
例如，对于不等式 3x + 4 > 7，我们可以通过减法变形公式将其变形为 3x + 4 - 4 > 7 - 4，得到 3x > 3。
二、乘法变形公式不等式的乘法变形公式是解决不等式问题时常用的另一种变形方式。
具体表达如下：1. 正数乘法变形公式：对于不等式 a < b，如果两边同时乘以一个正数 c（c > 0），不等式的方向不变，即 ac < bc。
例如，对于不等式 2x < 6，我们可以通过正数乘法变形公式将其变形为 2x * 3 < 6 * 3，得到 6x < 18。
2. 负数乘法变形公式：对于不等式 a < b，如果两边同时乘以一个负数 c（c < 0），不等式的方向改变，即 ac > bc。
例如，对于不等式-3x > 9，我们可以通过负数乘法变形公式将其变形为 -3x * (-3) > 9 * (-3)，得到 9x < -27。
三、除法变形公式除法变形公式是不等式中应用较少的一种变形方式，但在特定情况下仍然有一定的应用价值。
具体表达如下：对于不等式 a < b，如果两边同时除以一个正数 c（c > 0），不等式的方向不变，即 a/c < b/c。
例如，对于不等式4x > 12，我们可以通过除法变形公式将其变形为 4x / 4 > 12 / 4，得到 x > 3。
七年级数学下册 第8章 不等式3不等式的简单变形
总结:
☆不等式的两边都乘以（或除以）一个正数， 不等号的方向不变
☆不等式的两边都乘以（或除以）一个负数， 不等号的方向改变.
不 等 式 的 性 质：
性质1：不等式的两边加上或减去同一个数或者 整式,不等号的方向不变；
如果a b，则a c b c;a c b c.
性质2：不等式的两边都乘以（或除以）一个 正数，不等号的方向不变；
4a-3 4b＜-3
(4)1-a 1-b＞
1-2a 1-2＞b
练习1、利用不等式的性质，用“<“或”>“号填 空。
(1)若x>-3,那么x-m > -3-m.
(2)若m-b<n-b,那么m < n.
(3)若a<b,那么b-a > 0. (4)若a<b, 且c>0,那么ac+c < bc+c. (5)若a<0,b<0, c<0,那么(a+b)c > 0.
(1) 7+3 ＞ 4+3 7+2 ＞ 4+2 7+1 ＞ 4+1
总结:
(2)7-3 ＞4-3 7-2 ＞ 4-2 7-1 ＞ 4-1
☆不等式的两边都加上或减去同一个数或者 整式,不等号的方向不变。
根据不等式7 > 4填空:
(3) 7×3 _＞_4×3 7×2 _＞_4×2 7×1 _＞_4×1
(4)7×(-3)_<_4×(-3) 7×(-2)_<_4×(-2) 7×(-1)_<_4×(-1)
不等式的简单变形
复习回顾
等式的基本性质
（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数 或同一个整式，所得的结果仍是等式.
基本不等式变形公式
基本不等式变形公式在我们学习数学的道路上，基本不等式变形公式就像是一把神奇的钥匙，能帮助我们打开许多难题的大门。
先来瞧瞧基本不等式的常见形式：对于非负实数 a 和 b，有$\sqrt{ab} \leq \frac{a + b}{2}$ ，当且仅当 a = b 时，等号成立。
从这个简单又重要的式子出发，能衍生出好多有趣且实用的变形公式。
比如说，我们把基本不等式两边同时平方，就能得到 $ab \leq(\frac{a + b}{2})^2$ 。
这一变形在解决一些求最值的问题时，常常能发挥意想不到的作用。
我记得之前有个学生，叫小明，在做一道数学题的时候就被基本不等式变形公式给难住了。
那道题是这样的：已知 x > 0，y > 0，且 x +2y = 8，求xy 的最大值。
小明一开始毫无头绪，眉毛都快拧成麻花啦。
我就引导他，让他想想基本不等式变形公式。
他恍然大悟，把 x + 2y = 8 变形为 x = 8 - 2y，然后代入到 xy 中，得到一个关于 y 的二次函数。
再利用我们的变形公式 $ab \leq (\frac{a + b}{2})^2$ ，求出 xy 的最大值。
当他算出答案的那一刻，脸上绽放出了像花儿一样灿烂的笑容，我心里也别提多有成就感啦！还有一种常见的变形是：$a + b \geq 2\sqrt{ab}$ ，这个变形在证明不等式或者求取值范围的时候经常会用到。
咱们再来说说另一个变形：$\frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \leq \sqrt{ab}$ 。
这个变形看起来有点复杂，但在处理一些涉及到分式的问题时，它可是能大显身手的。
比如说，在解决一个关于两个正数的平均速度问题时，就可以巧妙地运用这个变形公式。
假设一段路程，甲用时间 a 走完，乙用时间 b 走完，求他们速度的平均大小关系，这时候这个变形公式就能派上用场啦。
总之，基本不等式变形公式虽然看起来有点“调皮”，不好捉摸，但只要我们多做练习，多思考，就能把它们驯服，让它们成为我们解题的得力助手。
不等式的简单变形教案
不等式的简单变形教案一、教学目标1. 理解不等式的基本概念，掌握不等式的简单变形方法。
2. 能够运用不等式的性质进行简单的变形运算。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容1. 不等式的定义及其表示方法。
2. 不等式的基本性质：加减乘除的不等式性质。
3. 不等式的简单变形方法：同向相加、反向相减、乘除性质的应用。
三、教学重点与难点1. 教学重点：不等式的基本性质和简单变形方法。
2. 教学难点：不等式变形过程中的符号变化和逻辑推理。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生通过观察、分析和推理来发现不等式的性质和变形方法。
2. 利用具体例题，让学生动手操作，培养学生的实践能力。
3. 组织小组讨论，鼓励学生相互交流和合作，提高学生的团队协作能力。
五、教学过程1. 导入新课：通过引入实际问题，引发学生对不等式的兴趣，导入新课。
2. 讲解不等式的定义和表示方法，引导学生理解不等式的基本概念。
3. 讲解不等式的基本性质，通过示例演示和讲解，让学生掌握不等式的性质。
4. 讲解不等式的简单变形方法，通过具体例题和练习，让学生熟练掌握不等式的变形技巧。
5. 课堂练习：布置一些不等式的变形题目，让学生独立完成，巩固所学知识。
7. 课后作业：布置一些不等式变形的相关练习题，让学生巩固所学知识。
六、教学评价1. 评价目标：评估学生对不等式的基本概念、性质和变形方法的理解和掌握程度。
2. 评价方法：通过课堂练习、作业和测试来评估学生的学习效果。
3. 评价内容：学生能够正确表示不等式，运用不等式的性质进行简单变形，并解决相关问题。
七、教学资源1. 教学PPT：制作精美的PPT，展示不等式的定义、性质和变形方法。
2. 练习题库：准备一定数量的不等式变形练习题，包括基础题和拓展题。
3. 小组讨论工具：提供小组讨论所需的白板、彩笔等工具。
八、教学进度安排1. 第1周：介绍不等式的定义和表示方法。
2. 第2周：讲解不等式的基本性质。
不等式的解题方法与技巧
不等式的解题方法与技巧不等式是数学中的一个重要概念，解不等式不仅是中学阶段数学学习的一部分，也是高中阶段进一步学习函数与分析的基础。
下面将介绍一些解不等式的常用方法和技巧。
1.基本不等式性质对于两个不等式a<b和c<d，可以根据其性质进行合并或分拆：-合并：a+b<c+d-分拆：a-b>c-d2.不等式化简对于复杂的不等式，可以通过一系列的等价变形将其化简为简单的形式。
常用的等价变形方法有：- 同乘或同除以一个正数：如果a<b，则对于正数x，有ax<bx；如果a<b且x>0，则有ax<bx；如果a<b且x<0，则有ax>bx。
-同加或同减一个具体数：如果a<b，则对于任意实数x，有a+x<b+x，即a+c<b+c；同理，a-c<b-c。
-综合运用：通过多次变换，将不等式化为更简洁的形式。
3.不等式乘法法则不等式乘法法则用于解决乘法不等式的问题。
对于两个正数a和b，以及一个不等式c<d，有以下结论：- 如果a<b且c<d，则ac<bd。
- 如果a<b且c>d，则ac>bd。
- 如果a<b且c=d，则ac=bd。
注意：当a和b中至少一个为负数时，上述法则不适用。
4.不等式绝对值性质当不等式中含有绝对值时，可以利用绝对值的性质进行求解。
对于实数a和b，可以根据绝对值性质得到以下结果：-如果，a，<，b，则a^2<b^2-如果，a，>，b，则a^2>b^2-如果，a，=，b，则a^2=b^25.不等式取正负号问题当不等式的系数为负数时，可以通过取正负号的方式，将其转化为求解不等式的问题。
具体方法如下：-如果a<0，则对不等式两边同时取负号，得到-a>-b。
-如果a>0，则对不等式两边同时取正号，得到a<b。
6.解多项式不等式对于多项式不等式，可以通过求解其零点，确定其正负性。
不等式的变形技巧
不等式问题第一讲 不等式的变形技巧不等式的求解与证明一般没有固定的程序，方法多、技巧性强，即在求解与证明不等式时，常常需要将题设结构式进行恰当的分析、凑配、消合、代换等来整形，以达到我们的目的.一．不等式的证明技巧1.1 凑配法所谓的凑配法，就是按照我们预定的目标，对题设结构式进行分拆、凑合，凑成可以运用某个基本不等式或著名不等式，凑成能用上题设条件，凑成出现结论的形式等等. 例1.设,,a b c 都是正实数，且任意两数之和大于第三个数.求证：()()().abc a b c b c a c a b ≥+-+-+-例2. 若α、β、π(0,)2γ∈，且222cos cos cos 1.αβγ++=求证：tan tan tan αβγ⋅⋅≥ （2013年中国科技大学夏令营）1.2分析法分析是解决问题的基础，这里所说的分析法是指先假设所给定的不等式成立，然后去寻找不等式成立的条件，一直找到已知条件或显然成立的不等式为止. 例3. 设12342x x x x ≥≥≥≥，且2341.x x x x ++≥求证：212341234()4.x x x x x x x x +++≤ （2013年清华大学夏令营） 1. 3消参法根据题设条件，尽可能地缩小考虑范围，恰当地进行放缩，并伴以分期相消、代入相消、加减相消、引参相消等等.例4.已知*n ∈N ， 2.n ≥求证：1(1) 3.nn+< （2013年中国科技大学夏令营） 1.4整合法是指合并、统一变换技巧，统一几个分式的分母，统一几个代数式的次，统一用某个量或式表示其余的量或式等.例5.解不等式(1)(2)(3)(4)24.x x x x ----≥ (2009年南京大学) 例6.有小于1的正数：12,,,n x x x 满足12 1.n x x x +++= 求证：33311221114.n nx x x x x x +++>--- （2010年浙江大学） 1.5代换法是指代换、替代，即用一个字母代换一个式子（如和式、差式、比值、分式、增量、常数、几何量等）或用一个式子替代一个式子或字母.例6.设正数,,a b c 的乘积1abc =，试证：111(1)(1)(1) 1.a b c b c a-+-+-+≤例7.已知,a b 为非负数，44M a b =+且1a b +=，求M 的最值. （2006年清华大学） 例8.已知1x y +=，n 为正整数，求证：22122.nn n xy -+≥ （2009年清华大学）二．不等式证明的常用方法在高中数学中，不等式的证明始终是一个难点，其原因在于不等式无固定的程序可行，方法多样，技巧性强.下面介绍几种常用的方法：2.1 放缩法在证明的过程中，根据不等式的传递性，常常用舍去一些正项（或负项）而使不等式的各项之和变小（或变大），或把和（或积）中的各项换以较大（或较小）的数，或在分式中扩大（或缩小）分子（或分母），从而达到证明的目的，常用的方法为改变分子（分母）放缩法，补拆法、编组放缩法，寻找“中间量”放缩法. 例9.求证：13599990.01.24610000⨯⨯⨯⨯< 例10.求证：135********n n -⨯⨯⨯⨯⨯< 例11.已知,0a b >，求证：1112a b a b a nb+++<+++（2008年浙江大学）2.2判别式法判别式法是为了根据需要一元二次方程，利用关于某一变元的二次三项式有实根时的判别式的取值范围来证明不等式.例12.设,x y R ∈，且221x y +=，求证：||y ax -≤例13.求证：对任意的实数x R ∈，都有221243.324x x x x -+≤≤++ 例14.求证：对任意的实数,x y R ∈，不等式223(1)x xy y x y ++≥+-恒成立.（2009年中国科技大学）2.3分解法按照一定的规则，把一个数或式分解成几个数或式，使复杂的问题转化为简单的易解决的问题，以便于分而治之，各个击破，从而达到证明不等式的目的. 例15.当n N ∈且2n ≥，求证：11111).23n n ++++> 例16.已知*n N ∈，求证：1 3.+++< （2004复旦大学保送生试题）。
不等式的简单变形(上课用)
解不等式 $|2x - 1| < 3$。根据绝对值的定义，该不等式等价于 $-3 < 2x - 1 < 3$。进一步解得 $-1 < x < 2$。
平方去绝对值法
通过平方消去绝对值
对于形如 $|f(x)| < g(x)$ 或 $|f(x)| > g(x)$ 的不等式，可以通过平方的方 式消去绝对值符号，但需要注意平方 后可能产生增根或失根的情况。
举例
解不等式 $|x + 2| > x$。将不等式平方得到 $(x + 2)^2 > x^2$，进一步整理得 $4x + 4 > 0$，解得 $x > -1$。但需要注意，当 $x leq 2$ 时，原不等式也成立，因此最终解集为 $x in (-infty, -2] cup (-1, +infty)$。
04
分式不等式变形
通分去分母法
原理
通过通分，将分式不等式转化为 整式不等式，从而简化问题。
步骤
首先找出分式不等式中所有分母的 最小公倍数，然后将不等式两边同 时乘以这个最小公倍数，消去分母。
注意事项
在消去分母时，需要注意不等号的 方向可能会发生变化。
分离参数法
原理
通过分离参数，将含参数 的分式不等式转化为不含 参数的不等式，从而便于 求解。
配方法适用范围
注意事项
在配方过程中，需要注意配方项的选 择以及符号的处理，避免出现错误。
适用于一元二次不等式标准形式中， $a neq 0$且能够配方的情况。
Байду номын сангаас
公式法
01
02
03
公式法步骤
利用一元二次方程的求根 公式，将不等式转化为根 的形式，然后根据不等式 的性质进行求解。
不等式解题技巧
不等式解题技巧引言不等式是数学中重要的一个概念，它描述了数的大小关系。
不等式解题是数学学习中的基础内容，它在数学应用中有着广泛的应用。
本文将介绍一些不等式解题的常用技巧，帮助读者更好地理解和应用不等式。
一、一元一次不等式1.1 简单不等式的解法对于形如ax+b>0或ax+b<0的一元一次不等式，我们可以通过变形和一些基本的性质来求解。
示例：解不等式2x+5>7。
解法：首先，我们可以将不等式变形为2x>7-5，即2x>2。
接下来，我们将不等式两边除以2，得到x>1。
所以，解集为所有大于1的实数。
1.2 不等式的加减法性质当不等式中的两项都加上（或减去）同一个数时，不等号的方向不发生改变。
示例：解不等式3x-4<7。
解法：我们可以将不等式中的所有项都加上4，得到3x<11。
因为加上4不改变不等号的方向，所以不等式解为x<11/3。
1.3 不等式的乘除法性质当不等式中的两项都乘以（或除以）同一个正数时，不等号的方向不发生改变；当不等式中的两项都乘以（或除以）同一个负数时，不等号的方向发生改变。
示例：解不等式-2x/3>4。
解法：我们可以将不等式中的所有项都乘以-3，注意这里负数的情况，得到2x<-12。
因为乘以负数改变了不等号的方向，所以不等式解为x>-6。
二、一元二次不等式2.1 一元二次不等式的解法对于形如ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0的一元二次不等式，我们可以通过求解其对应的二次方程的解集来确定其解集。
示例：解不等式x^2-3x+2>0。
解法：首先，我们可以将不等式对应的二次方程进行因式分解，得到(x-1)(x-2)>0。
然后，我们绘制出二次方程对应的抛物线，找出使得函数大于0的区间。
最后，我们得到不等式的解集为(1, 2)。
2.2 一元二次不等式的图像法对于一元二次不等式，我们还可以借助图像来确定其解集。
8.2.2不等式的简单变形
2x 112 10x 112 2x 112 112
3
6
4
①去分母 4(2x 1) 2(10x 1) 3(2x 1) 12
②去括号 8x 4 20x 2 6x 312 ③移项 8x 23
⑤系数化为1
x1 6
不等式有类似的变形吗？
若两边乘以（或除以）的数的正负不确定时， 应分正、负、0三种情况讨论。
例4.已知a＞b，判断下列不等式变形是否正确，并 说明理由。
(1) a b cc
(2)ac2 bc2
× C≤0时不成立 × C=0时不成立
(3)a(c2 1)b(c2 1)
√
∵c2+1>0
（4）a(c-1)2＞b(c-1)2
× C=1时不成立
不等式的简单变形
方程的变形规则1
方程的两边都加上或减去同一个 数，方程的解不变。
方程中的某些项改变符号后,从方程的
一边移到另一边。即方程可移项. 方程的变形规则2
方程的两边都乘以或除以同一个 不为零的数，方程的解不变。
例题 解方程: 2x 1 10x 1 2x 1 1.
3
6
4
解:两边都乘以12,得
x 12 33
即 x 2.
9
例2 解不等式: 5x 2,
解：两边都除以-5,得
5x 2 5 5 即 x2
5
方程变形规则和不等式性质的比较
1.方程两边都加上或减去同一个数或整式，方程的解不变 不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号 方向不变 2.方程两边都乘以或除以同一个不等于零的数，方程的解不变 不等式两边都乘以或除以同一正数，不等号方向不变 不等式两边都乘以或除以同一负数，不等号方向改变
基本不等式的变形及其应用
基本不等式的变形及其应用基本不等式公式：当a＞0，b＞0，则，(当a=b时，等号成立)基本不等式公式的变形：上述7式中，当a=b时，等号成立备注：1.求最值的条件：一正，二定，三相等一正：a，b的范围为正数二定：“a·b”之积为定值或者“a+b”之和为定值三相等：等号成立时，a=b2.当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”。
这就是上面所说的“二定”，和为定值或者积为定值。
3.均值不等式：(a＞0，b＞0)，即“调和平均数”≤“几何平均数”≤“算术平均数”≤“平方平均数”，当a=b时，等号成立。
4.a3+b3+c3≥3abc (a+b+c＞0即可，当a=b=c或者a+b+c=0时，等号成立)常见题型一、凑系数(乘除变量系数)例题：当0＜x＜4时，求函数y=x(8-2x)的最大值解析：如果把x前面的系数变成2，那么2x+(8-2x)=8，为常数(和为定值)，这样就可以用基本不等式了。
原式变为，根据公式：，即，当且仅当2x=8-2x，即x=2时等号成立。
备注：1.这题也可以用一元二次函数求最值的方法来做，但是如果基本不等式运用的熟练的话解题速度更快一些2.运用基本不等式或者其变形的核心观念就是两个数的积或者和是定值。
3.运用基本不等式或者其变形，最后一定要确认等号是否成立变式：当0＜x＜4时，求函数的最大值二、凑项(加减常数)例题：已知，求的最大值解析：备注：1.当a＜0，b＜0，那么2.再此强调，运用基本不等式及其变形时，一定要确保最值的条件“一正，二定，三相等”变式：已知x＞-1，求的最大值三、分离“分子”或“分母”例题：x＞-1，求函数de de dd的最小值解析：变式：当x＞0，求的最大值四、公式变形例题：求函数，求最大值解析：备注：当题目中所求式子带有根号的，通常要想到和这两个基本不等式的变形。
不等式的基本变形
不等式的简单变形教学目标本节通过介绍不等式的变形，对解不等式作了理论上的准备，并引导学生体会不等式与方程的区别。
知识与能力1．通过本节的学习让学生在自主探索的基础上，联系方程的基本变形得到不等式的基本性质。
2．启发学生在不的概念式的变形中分辨情况，正确应用。
3．教会学生直接应用一次不等式的变形求解一元一次不等式，并指导学生掌握基本方法。
4．在教学过程中要引导学生体会一元一次不等式和方程的区别与联系。
过程与方法1．通过回顾一元一次方程的变形进入对不等式的变形的讨论。
2．通过具体的实例引导学生探索不等式的基本性质（加法性质）。
3．引导学生发现不等式变形与方程变形的联系，从而引导学生概括不等式另外的性质。
4．通过对不等式的性质的讨论，应用其解简单的不等式。
5．练习巩固，能将本节内容与上节内容联系起来。
情感、态度与价值观1．通过学生的自主讨论培养学生的观察力和归纳的能力。
2．通过在教学中发挥学生的主体作用，加深在学习中“转化”思想的渗透。
3．通过学生的讨论使学生进一步体会集体的作用，培养其集体合作的精神。
教学重、难点及教学突破重点1．掌握不等式的三条基本性质，尤其是不等式的基本性质3。
2．对简单的不等式进行求解。
难点正确应用不等式的三条基本性质进行不等式变形。
教学突破由于这一节探索性较强，在这一节中要让学生自主探索或联系方程的基本变形进行归纳。
在这一过程中关键是启发学生注意在不等式的变形中分辨情况，正确应用。
在探索简单不等式的解法时要注意不等式性质的应用，引导和鼓励学生自主探索一元一次不等式的一般解法，并注意在教学过程中“转化”思想的渗透。
教学过程：一、复习练习：1．不等式中的最小整数值是，不等式≤2中的最大整数值是．2．写出不等式的一个解是，=7 （填“是”或“不是”）不等式的解，不等式的解是大于的数．3．用不等式表示：的5倍与2的差不大于与1的和的3倍．．4．用不等式表示“的相反数的4倍减5不小于2”为．5．“不是一个正数”用不等式表示为．6．“与3的差的4倍大于8”用不等式表示为．7．在数轴上表示下列不等式的解集：（1） x>5. (2).x<-3. (3)x≥-1 (4) -1<x≦。
803不等式的简单变形一
一、回顾
1、回顾一元一次方程的解法，特别对“移项”法则进行复习。
2、复习不等式的解集，解不等式的概念。
二、创设情境、引入新课
1、问题提出：一个倾斜的天平两边分别放有重物，其质量分别为a和b（显然a>b），如果在两边盘内分别加上等量的砝码c平向左边。那么天平会发生什么变化？如果再把砝码c拿出来呢？
点评：解上述不等式首先依据不等式性质1进行变形，得到解集，而且通过过程教学，寻找规律，可以得到：采用解方程中的“移项”思想来解不等式较为简便。但是要使学生明确其根据是不等式的性质1 .
四、随堂练习、巩固新知
1、课本第60页练习1、2题。
2、补充题：解下列不等式并在数轴上表示出它们的解集：
（1）7x－4 < 5＋6x（2）4＋1.5x > 0.5x＋7
七、布置作业。教科书第63页习题1 .（1）、（2）2 .（2）（3）
2、举例分析：
解不等式：
（1）x－7<8（2）3x<2x-3
解（1）不等式的两边都加上7，不等式的方向不变，所以
x－7＋7<8＋7，
得x<15
（2）不等式的两边都减去2x（即加上－2x），不等号的方向不变，所以
3x－2x<2x－3－2x
得x<－3
教师活动：提出例1的问题。学生活动：小组学习，寻求规律，新旧知识联系，迁移“移项”含义。教学方法：合作学习。
教学过程设计
分析备注
第八章一元一次不等式
§8.2.2不等式的简单变形（一）
【教学目标】：
1、使学生了解不等式的概念。
2、使学生通过自主探究，理解和掌握不等式的基本性质1，并会用不等式的基本性质1将不等式变形。
不等式的解法
不等式的解法一、简单的一元高次不等式的解法： 1.一元二次不等式的一般解法：1）形如：（x －a ） · (x －b ）＞0 等价于⎩⎨⎧〉-〉-00b x a x 或⎩⎨⎧〈-〈-00b x a x 。
2）形如：（x －a ） · (x －b ）＜0 等价于⎩⎨⎧〈-〉-0b x a x 或 ⎩⎨⎧〉-〈-0b x a x 。
2.简单的一元高次不等式的穿针引线法：一元高次不等式f(x)＞0(或＜0)用穿针引线法（或数轴标根法、根轴法、区间法）求解。
用此法解一元高次不等式，先将不等式化为一端为零，一端为一次因式（或二次因式不可分解因式）之积，然后求出零点，并在数轴上依次标出，再用光滑曲线从右至左，自上而下依次通过这些零点。
则大于零（小于零）的不等式的解集对应着曲线在数轴上方（下方）部分的实数x 的取值集合。
【注意事项】分解因式后，各因式中x 的系数一定要化为正数；画线时，遇奇数次重根一次穿过，遇偶数次重根穿而不过；考查各重根是否在解集内，再决定其去留。
【典型例题】解不等式：1) x 2-2x-3＞0; 2) (x+2)·(x+1)2·(x-1)3·(x-2)≤0. 【解析】1）不等式x 2-2x-3＞0 可化为（x-3）（x+1）＞0 它等价于⎩⎨⎧〉+〉-0103x x 或 ⎩⎨⎧〈+〈-0103x x 即 x ＞3 或x ＜-1。
还可以用穿针引线法解答：令x 2-2x-3=0 ，即 （x-3）（x+1）=0. 则零点分别为 -1,3.将零点依次标在数轴上，并画出光滑的曲线，如图所示： + + -1 3因为不等式大于零，所以取X 轴上方的阴影部分。
则不等式的解集为： x ＞3 或x ＜-1。
2）用穿针引线法解答：令 (x+2)·(x+1)2·(x-1)3·(x-2)=0 ，则零点分别为：-2，-1,1,2，将零点依次标在数轴上，并画出光滑的曲线，如图所示：X-2 -1 1 2故原不等式的解集为{x|x ≤-2或1≤x ≤2或x=-1} 。
基本不等式的六个变形
基本不等式的六个变形第一变形：加减法变形基本不等式中的第一个变形是加减法变形。
当不等式两边都加上（或减去）同一个数时，不等号的方向不会改变。
例如，对于不等式a < b，如果我们将两边都加上c，那么不等式变为a + c < b + c。
同样地，如果我们将两边都减去c，不等式变为a - c < b - c。
这个变形的目的是为了使得不等式的两边更容易进行比较。
第二变形：乘除法变形基本不等式中的第二个变形是乘除法变形。
当不等式两边都乘以（或除以）同一个正数时，不等号的方向不会改变。
例如，对于不等式a < b，如果我们将两边都乘以正数c，那么不等式变为ac < bc。
同样地，如果我们将两边都除以正数c，不等式变为a/c < b/c。
需要注意的是，如果我们将两边都乘以（或除以）同一个负数c，那么不等号的方向会发生改变。
这个变形的目的是为了改变不等式的形式，使得比较更方便。
第三变形：平方变形基本不等式中的第三个变形是平方变形。
当不等式两边都平方时，不等号的方向不会改变。
例如，对于不等式a < b，如果我们将两边都平方，那么不等式变为a^2 < b^2。
平方变形常常用于解决含有平方的不等式，因为平方可以消除绝对值。
需要注意的是，当不等式中含有负数时，平方变形可能会导致不等式的方向发生改变。
这个变形的目的是为了消除平方根，使得比较更简单。
第四变形：倒数变形基本不等式中的第四个变形是倒数变形。
当不等式两边都取倒数时，不等号的方向会发生改变。
例如，对于不等式a < b，如果我们将两边都取倒数，那么不等式变为1/a > 1/b。
倒数变形常常用于解决含有分数的不等式，因为倒数可以改变分数的大小关系。
需要注意的是，当不等式中含有负数时，倒数变形可能会导致不等式的方向发生改变。
这个变形的目的是为了改变不等式的形式，使得比较更方便。
第五变形：倒置变形基本不等式中的第五个变形是倒置变形。
不等式的知识点
不等式的知识点不等式是数学中的一个重要概念，它在解决各种数学问题和实际生活中的优化问题中都有着广泛的应用。
下面就让我们一起来深入了解一下不等式的知识点。
首先，不等式的定义很简单，它是用不等号（大于>、小于<、大于等于≥、小于等于≤）连接两个表达式的式子。
例如，2x ＋ 3 ＞ 5 就是一个不等式。
不等式的性质是解决不等式问题的基础。
性质 1：如果 a ＞ b，那么 a ＋ c ＞ b ＋ c 。
也就是说，给不等式两边同时加上或减去同一个数，不等号方向不变。
性质 2：如果 a ＞ b 且 c ＞ 0 ，那么 ac ＞ bc ；如果a ＞b 且c ＜ 0 ，那么 ac ＜ bc 。
这意味着，不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变；同时乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变。
在解不等式时，我们通常会运用这些性质将不等式进行变形，最终求出未知数的取值范围。
比如，解不等式 3x 5 ＜ 16 ，我们先将 5 移到右边得到 3x ＜ 21 ，然后两边同时除以 3 ，得到 x ＜ 7 。
一元一次不等式是最简单的不等式类型之一。
它的一般形式是 ax＋ b ＞ 0 或 ax ＋ b ＜ 0 （其中a ≠ 0 ）。
解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程类似，但要注意不等式性质的正确运用。
一元二次不等式则稍微复杂一些。
以 ax²＋ bx ＋ c ＞ 0 （a ＞ 0 ）为例，我们需要先求出对应的二次方程 ax²＋ bx ＋ c ＝ 0 的根，然后根据二次函数的图像来确定不等式的解集。
如果方程有两个不同的根x₁和 x₂（x₁＜ x₂），那么不等式的解集就是 x ＜ x₁或 x ＞ x₂；如果方程有两个相同的根 x₀，那么不等式的解集就是x ≠ x₀；如果方程没有实数根，那么不等式的解集就是全体实数。
绝对值不等式也是常见的类型。
对于｜x| ＜ a （a ＞ 0 ），其解集是 a ＜ x ＜ a ；对于｜x| ＞ a （a ＞ 0 ），其解集是 x ＜ a 或 x ＞ a 。
《不等式的简单变形》教学设计
④用等式的“移项”与不等式的基本性质①进行对比，可以简化解不等式的步骤，同时也加强了两者之间的联系。
⑤用实验法得出不等式的基本性质①，体现了数形结合的思想，比较直观，用计算归纳法得出不等式的基本性质②③，学生比较熟悉，易于接受。
主体参与式教学设计表
选题名称
不等式的简单变形
授课对象
七年级学生
课时
1
选题中所包含的数学知识
一.教学目标：
㈠知识与技能：
1.识记不等式的三条基本性质，理解不等式的三条基本性质的含义。
2．弄清它们与等式的基本性质的相同点与不同点。特别是不等式基本性质③
3.能够熟、练准确地运用不等式的三条基本性质对不等式进行变形，会用不等式的三条基本性质解不等式。
2.实验感知，操作确认：
上等量的砝码c，如图：实物演示：一个倾斜的天平两边分别放有重物，其质量分别为a和b（显然有a＞b）,如果在两边盘内再分别加那么盘子会出现什么情况？可让学生进行操作，并得出结论.生盘子仍然像原来那样倾斜（即a+c＞b+c）.即当a＞b时，有a+c＞b+c成立。从右边往左边看，能得到什么结论呢？让学生自己总结。
7×14×1，
7×0___4×0，
7×（－1）______4×（－1），
7×2 ______4×2，
7×（－2）______4×（－2），
7×3 ______4×3，
7×（－3）______4×（－3），
你从中你能发现什么？
在学生所得出的结论的基础上，引导学生总结概括出不等式的另外两条性质。不等式的性质2如果a＞b，并且c＞0，那么ac＞bc.不等式的性质3如果a＞b，并且c＜0，那么ac＜bc。这就是说，不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
基本不等式的公式及变形
基本不等式的公式及变形1. 引言大家好，今天我们要聊聊一个有趣又实用的数学话题——基本不等式。
听起来是不是有点严肃？别担心，我们会让这个话题轻松愉快。
你知道吗？在生活中，这种不等式其实无处不在，就像你每天的早餐一样，虽然看似简单，但背后却有不少道道！我们一起来深入探讨一下吧。
2. 什么是基本不等式？2.1 基本不等式的定义简单来说，基本不等式就是在某些条件下，两个数学表达式之间的关系。
比如，给你两个非负数 ( a ) 和 ( b )，那么 ( frac{a + b{2 geq sqrt{ab )。
这句话听上去好像挺高深的，但实际上就像朋友之间的关系一样，互相之间的支撑和帮助，可以让大家都过得更好！2.2 日常生活中的例子想象一下，你和你的朋友一起去吃饭，你们点了两道菜，一个是酸辣汤，一个是米饭。
你们两个人分着吃，就像不等式里的 ( a ) 和 ( b )，最后的分数（也就是你们的快乐）肯定是超过了单独吃的。
就像这个不等式，团队合作总能让事情变得更好，这可不是空话哦！3. 基本不等式的应用3.1 在数学中的应用除了生活中的小例子，基本不等式在数学里可是大显身手的。
比如在解决一些优化问题时，基本不等式就像一个万能钥匙，能帮助我们打开各种大门。
无论是代数、几何，还是微积分，基本不等式的身影都能随处可见，简直是数学界的小明星。
3.2 在其他领域的应用而且，它的魅力还不止于此。
比如在经济学中，基本不等式能够帮助我们分析资源分配问题，确保每个人都能吃到“蛋糕”。
在物理学里，它也能帮助我们理解能量守恒，真是一举多得。
就像那句老话，“不怕一万，就怕万一”，把不等式应用到生活的每一个角落，能够让我们的决策更加明智。
4. 基本不等式的变形4.1 变形的乐趣说到变形，那可是数学中最有趣的部分之一！基本不等式就像变魔术一样，你可以用不同的方式来表达它，而得到的结果依旧成立。
这就像我们的生活，时常需要调整和改变，才能找到最适合自己的方式。
不等式的简单变形讲
例2 解不等式：
解下列不等式，并将解集在数轴上表示。 (1) x-2<3 (2) x+1≥7 (3) 4+5x≤4x (4)7x+15>8x+13
15
⑴ x－ 2＞ 0 ， x
＞2 ＞1
，
⑵ x + 1 ＞ 2， x
⑶ － 2x ≥ 4， x ⑷ －3x ≤ 0， x ⑸ 6－2x＞0， x
，
≤ －2 ，
< 7×（－1）_______4 ×（－1）， < 7×（－2）_______4 ×（－2）， < 7×（－3）_______4 ×（－3）， 从中你能发现什么？
不等式的性质2： 如果a＞b，并且c＞0， 那么ac＞bc 不等式的性质3：如果a＞b，并且c＜0， 那么ac＜bc 即，不等式两边都乘以（或除以）同一个 正数，不等号的方向不变；不等式两边都 乘以（或除以）同一个负数，不等号的方 向要改变。
知识形成
不等式的基本性质
文字表示 符号表示 若a<b,则a+c < b+c （或a－c < b－c) 若a<b , 且c>0, a b 则ac <bc(或 c < c )
(1)不等式的两边都加上（或减去） 同一个数或同一个整式，不等号的 方向不变. (2)不等式的两边都乘以（或除以） 同一个正数，不等号的方向不变.
解: (1)不等式的两边都加上7,不等号的方向不变,
所以 x－7＋7<8＋7, 即 x<8+7 得 x<15 (2)不等式的两边都减去2x(即加上－这里的不等式的 2x),不等号的 方向不变， 变形与解方程中 的什么变形类似? 所以 3x－2x<2x－3－2x 即 3x-2x<-3 得 x <－ 3 这里的变形，与方程变形中的移项相类似， 你能说出不等式变形的“移项”该怎么进行吗？
七年级数学下册《不等式的简单变形》教案、教学设计
2.学生在解决实际问题时，能否将问题抽象为不等式，并运用所学知识进行解决。
3.学生在合作交流中的参与度，以及能否在讨论中互相学习、共同提高。
针对以上学情，教师应采取以下措施：
1.加强对不等式性质的讲解和引导，让学生充分理解并掌握。
2.设计贴近生活的实际问题，引导学生将问题抽象为不等式，提高解决问题的能力。
2.引导学生运用数形结合、分类讨论等数学思想，提高解决问题的策略和方法。
3.培养学生将实际问题抽象为数学模型的能力，让学生在解决问题的过程中，感受数学与现实生活的联系。
（三）情感态度与价值观
1.激发学生对数学学科的兴趣，培养学生主动学习、积极探究的精神。
2.通过解决实际问题，让学生体验数学的价值，增强学生对数学的信心和热爱。
-学生之间相互出题，以小组为单位，挑选一道最具挑战性的不等式题目，并在课堂上进行解答和讨论。
5.自主反思总结：
-要求学生撰写一篇关于本章节学习的反思日记，内容包括：不等式的性质和简单变形方法的学习心得，以及在实际问题中的应用体会。
-鼓励学生提出在学习过程中遇到的问题和困惑，以便在课堂上进行针对性的解答。
-通过课后作业，让学生在课后自主复习，提高知识掌握程度。
6.关注个体差异，因材施教：
-针对不同学生的学习情况，制定个性化的教学方案，使每个学生都能在课堂上得到提高。
-注重培养学生的自主学习能力，激发学生的学习潜能。
7.教学评价，持续改进：
-从知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观等方面进行全面评价，了解学生的学习情况。
-根据评价结果，调整教学策略，不断提高教学质量。
四、教学内容与过程
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
> C年前则有： a－c __b－c
自学提示：（阅读教材P
44-45并思考下列问题.时间：6分钟）
1、图8.2.3的演示说明不等式有什么性质？用式 子及文字怎样表示？ 2、完成课本45页的试一试，从中你能发现什么规 律？你能否总结出不等式的基本性质？用式子 怎样表示？ 3、方程的同解原理与不等式的性质有什么区别和 联系？ 4、解不等式的过程，其目的是将不等式变形成什 么形式？
2 2
C≤0时不成立
C=0时不成立 成立 C=1时不成立
（4）a(c-1)2＞b(c-1)2
a是一个整数，你能确定a与3a的大小吗？
当a＞0时， a＜3a； 当a＝0时， a＝ 3a； 当a＜0时， a＞3a。
已知不等式 （m-1）x > m-1 的解集为 x < 1 ，求m的范围。 解：因为不等式 （m-1）x > m - 1 的解集为 x < 1 所以 所以 ( m-1) < 0 m<1
想一想：还有其 他比较2a与a的 大小的方法吗？
∵a-a＜0,
∴2a<a(不等式的基本性质2）
作差比较法比较两个式子大小
如果ａ－ｂ＝０，那么ａ＝ｂ； 如果ａ－ｂ＞０，那么ａ＞ｂ； 如果ａ－ｂ＜０，那么ａ＜ｂ．
由此可看出，要比较ａ与ｂ的大 小，可以先求出ａ与ｂ的差，再 看这个差是正数、负数，还是０
将不等式中的某些项改变符号后， 从不等式的一边移到另一边。
例2 解不等式：
(1) 1 x 解： 2 1 x > -3 2
×
(2)
-2x < 6 1 () 2
2 > -3
×
1 2 解： -2x × (- ) > 6 2 x > -3
×
x > -6
这里的变形，与方程变形中的（ 未知数的系数化为1）类 似，它的依据是什么？ 依据是不等式的性质2或3 要注意的是：不等式两边乘以（或除以）的数是正 数还是负数，来确定变形时不等号的方向是否需要 改变。
1、x －2 ＞0 2、x+1 ＜0
3、 －2 x ＜4
4、3x≤0
作业：
教材：P49—50
第1、3题
例
已知a<0 ，试比较2a与a的大小。
解法一：∵2＞1，a＜0，
∴2a＜a（不等式的基本性质3）
解法二： 在数轴上分别表示2a和a的点（a＜0）， 如图.2a位于a的左边，所以2a＜a
∣a∣ 2a a ∣a∣ 0
相同处
不同处
下列是由 a＜b 变形而得的式子，
请你用 ＜ 或 ＞ 连接： ＜ (1) a-1 ______ b-1； (2) ＞ –a ______ -b；
＞ (3) –a+1 ______-b+1 ； (4) 2a-1 ＜ (5) a-b ＜ 2b-1； 0 。
选择适当的不等号填空： （1)∵0 ∴a
等式的基本性质有哪些?
问题情景： 你能准确填出不等号吗？
老师 同学
＞ 谁的年龄大？ 30 ______ 13 三 年 前：30－3 ______ 13－3 ＞ ＞ 五 年 后：30＋5 ______ 13＋5
某老师今年a岁，某同学今年b岁, 如果老师与学生的年龄大小关系 是： a__b > C年后则有： a＋c__ b＋c >
等号填空:
> a b, c 0, ac ___ bc
< a b, c 0, ac ___ bc = a b, c 0, ac ___ bc ≥ a b, c 0, ac ___ bc
a b, c 0, ac ___ bc
≤
自学提示：（阅读教材P
46例1.例2回答下列问题.时间5分钟）
用不等式表示这 个不等关系。
a-c>b-c
根据上述实验你能发现不 等式的什么变形规律？
不等式的基本性质1 如果a>b,那么 a+c>b+c, ac>b-c. 这就是说，不等式的两边都加上（或减 去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。
结论: 不等式的性质1
如果a＞b，那么： a＋c ＞ b＋c， a－c ＞ b－c 。
探求新知：
已知a<b<0，利用作差比较法比较 下列各组中两个式子的大小，并写 出比较过程。 (1)a-5与b-5; (2)2a+3与2b+3； (3)2a-3b与2a+b。
已知a＞b，判断下列不等式变形是否正确，并说明理由。
a b (1) c c 2 2 (2)ac bc (3)a(c 1)b(c 1)
文字表示 符号表示
(1)不等式的两边都加上（或减去） 同一个数或同一个整式，不等号的 方向不变. (2)不等式的两边都乘以（或除以） 同一个正数，不等号的方向不变.
若a<b,则a+c < b+c （或a－c < b－c) 若a<b , 且c>0, a b 则ac <bc(或 c < c )
(3)不等式的两边都乘以（或除以） 若a<b , 且c<0, 同一个负数，不等号的方向改变. a b 则ac>bc(或 c > c )
练习
解下列不等式，并把解集在数轴上表 示出来： 1、X－2＞0. 2、X＋1＞0.
3、－2X＜4.
4、3X≤0
课堂小结
不等式的性质. 解不等式的过程,就是要将不等式变形为 x＞a或x＜a的形式. 解简单不等式的一般步骤:(1)移项.(2)合并.(3) 系数化为1. 移项时需要注意什么?系数化为1时需要注意 什么?
试验探究
试一试，将不等式7 ＞4两边都乘以同一个数，比较所得的 数的大小，用“＜” 、“＞”或“=”填空：
左边 7×3 7 ×2 7 ×1 7 ×0 7 ×（－1） 7 ×（－2） 7 ×（－3） ＞、 ＜、 右边 = 不等号有何变化
＞ ＞ ＞ = ＜
＜
4 ×3 4 ×2 4 ×1 4 ×0 4 ×（ － 1） 4 ×（ － 2） 4 ×（ － 3）
下面各题的结论对吗？请说出你的观点和理由： ⑴ 如果 a+8＞4，那么a＞-4； （ ）
⑵ 如果4a＞4b，那么a＞b；
（
）
）
⑶ 因为-1＞-2，所以-1-a＞-2-a；（ ⑷ 如果a＞b，那么ac2＞bc2；
( × )
⑸ 如果ac2＞bc2，那么a＞b．
(
)
课堂练习
解下列不等式,并把解集在数轴 上表示出来.
例1 解不等式：
(1) x -7 < 8
(2) 解： 3x < 2x -3 3x -2x < 2x -2x -3 解： x -7 +7 < 8 +7 x < 8 +7 x < 15
3x -2x < -3
x < -3
你能说出不等式变形的移项怎么 进行吗？
这里的变形，与方程 变形中的（ 移项 ）类 似。
＜ 1,
＜ a+1(不等式的基本性质1）；
（2）∵(a-1)2 ≥ 0, ∴(a-1)2-2 ≥ -2(不等式的基本性质1）
x ＞-1 (3)若x+1＞0,两边同加上-1,得____________ 不等式的基本性质1 (依据:_____________________).
x ＞-3 (4)若2 x ＞-6,两边同除以2,得________,依据 不等式的基本性质2 _______________. X≥-2 (5)若-0.5 x≤1,两边同乘以-2,得________,依据 ___________ 不等式的基本性质3
不变 不变 不变 变
变 变
变
＜ 从中你能发现什么？
不等式的性质2 不等式的性质3
如果a＞b，并且c＞0， 那么ac＞bc 如果a＞b，并且c＜0， 那么ac＜bc
即，不等式两边都乘以（或除以）同一个 正数，不等号的方向不变；不等式两边都 乘以（或除以）同一个负数，不等号的方 向要改变。
知识形成
不等式的基本性质
1、例1中的两个小题中的变形依据是什么？ 2.这两个小题中不等式的变形与方程的什么变形 类似？你能说出不等式的变形的“移项”该怎 么进行吗？ 3.例2中的（1）小题中的变形依据是什么？ 例2 中的（2）小题中的变形依据是什么？ 4.这两个小题中不等式的变形与方程的什么变形 类似？又有什么不同？
与解方程一样，解不等式的过程，就是要将不等 式变形成 x> a 或 x< a 的形式
例１．比较x² -2x-15与x² -2x-8的大小 解：（ x² -2x-15）-(x² -2x-8 )（ 作差 ） ＝ x² -2x-15 -x² +2x+8 ( 化简 ) ＝－７＜０ ( 判断) 所以 x² -2x-15 ＜ x² -2x-8 ( 结论 )
如果ａ＞ｂ，试比较下列各组中两 个式子的大小 （１）－２ａ＋５与－２ｂ＋５ a b （２） —-３与－-４ ２ 2
探索不等式的变形规律
如果在两边盘内分 别加上等量的砝码 c，天平的倾斜方 向会改变吗？
a c
你能用不等式表示 这个不等关系吗？
b c
a>b
怎样用不等式表示这个 不等关系呢？
a+c>b+c
如果在两边盘内分 别减去等量的砝码 c，天平的倾斜方 向会改变吗？
用不等式表示这 个不等关系。
b a
c c
a>b
不等式的两边都乘以（或除以）同
一个数，不等号的方向变还是不变 ？
可以是一个正数、零 或负数，也可以是一 注意：不等式的两边都乘以（或除以）同 个含有字母的代数式
一个负数，不等号的方向一定要改变。