向量的几何表示
向量的应用
向量的应用
向量是几何中重要的概念，也是数学中常常用到的工具，广泛应用于物理、工程、计
算机科学等各个领域。
下面将介绍一些向量的常见应用。
1. 平面几何中的向量应用：
在平面几何中，向量可以表示平面上的点、线段、三角形等。
我们可以用两个向量表
示平面上的一条直线，可以用三个向量表示一个平面，可以用向量的线段来表示一个位移
和距离等。
向量的叉积可以用来判断两个向量是否平行、垂直，以及求解平面上的面积
等。
2. 物理学中的向量应用：
在物理学中，向量被广泛应用于描述力、速度、加速度等物理量的大小和方向。
位移
向量可以用来表示物体的位置变化，速度向量可以用来表示物体的运动速度和方向，加速
度向量可以用来表示物体的速度变化率等。
通过向量的运算，可以方便地计算物体之间的
相对速度、加速度，以及其他相关的物理量。
4. 计算机科学中的向量应用：
在计算机科学中，向量被广泛应用于描述二维和三维图形的坐标和方向。
我们可以用
二维向量表示平面上的一个点的坐标，用三维向量表示空间中的一个点的坐标，用向量的
加法和减法进行坐标的变换和计算。
向量的点乘和叉乘可以用来计算向量之间的夹角、距
离和面积等。
向量是数学中非常重要的概念和工具，被广泛应用于物理、工程、计算机科学等各个
领域。
通过对向量的运算和应用，我们可以更方便地描述和计算各种物理量、几何关系和
图形形状等。
向量的应用不仅仅局限于上述几个领域，还有很多其他的应用，如信号处理、优化问题等，具有非常广泛的应用前景。
向量的概念及表示
a ，书写
用 a 。书写向量时，字母上的箭头不能省略。
学生活动
在质量、重力、速度、加速度、 身高、面积、体积这些量中，哪些 是数量，哪些是向量？
数量：质量、身高、面积、体积
向量：重力、速度、加速度
数量只有大小，是一个代数量，可以进行代 数运算、能比较大小 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。
E D O C F
如图，以1×3方格纸中的格点为起点和 终点的所有非零向量中，有多少种大小 不同的模？有多少种不同的方向？
模长依次为1，3，2，5，10，共计6种 2，
方向共有16种
小结
1．向量的概念: 2．向量的表示： 代数表示、几何表示； 3．研究向量： 大小：向量的模、零向量、单位向量 方向：共线向量、平行向量 大小与方向： 相等向量、相反向量 4．数学思想方法： 数形结合、分类讨论（注意对 0 的讨论）.
勇
敢
问题情境1
猫以7米每秒的速度去追以5米每 秒跑的老鼠，猫能追上老鼠吗?
嘻嘻!大笨 猫!
唉, 哪儿去了?
A B
问题情境2
m=20kg
(1)
F=20N
(2)
V =20km/h
(3)
观察上述三个物理量有什么区别？ (1)是只有大小的量 （2）与（3）是有大小和方向的量
只有大小没有方向 既有大小又有方向
D
A
F
C
2.两个特殊向量：
(1). 零向量：长度为 0 的向量。记作 0 (2). 单位向量：长度等于 1 个单位长度的向量。 零向量大小为0，方向不确定的, 可以是任意方向. 单位向量大小为1，方向不一定相同。 1
向量的概念及表示
√ (5)若a = b ，b = c，则a = c ; √ 若 则 √
变式1:非零向量 变式 非零向量a、b、c ,若a // b ，b // c，则a // c 非零向量 若 变式2: 变式 若a // b ，b // c，则a // c 反例： 反例：b = 0
x
如图， 为正六边形ABCDEF的中心，在图中所标出 的中心， 例2.如图，已知 为正六边形 如图 已知O为正六边形 的中心 向量中： 向量中： 共线的向量； （1）试找出与 共线的向量； ）试找出与FE共线的向量 相等的向量； （2）确定与 相等的向量； ）确定与FE相等的向量 相等吗？ （3）OA与BC相等吗？ ） 与 相等吗 共线的向量有BC和 解：（1）与FE共线的向量有 和OA; ：（ ） 共线的向量有
BF DE、CO、BF 、 、
. .
的模相等的向量有________ （3）与AO的模相等的向量有________个. 的模相等的向量有________个 7 （4）向量AO与CO是否相等？答 向量 与 是否相等？ 是否相等
不是
.
E
A
B
F O D C
3.如图是中国象棋的半个棋盘，“相走田” 如图是中国象棋的半个棋盘， 相走田” 如图是中国象棋的半个棋盘 是象棋中相的走法.如相可以从A飞到 飞到A 是象棋中相的走法.如相可以从 飞到 1,也可 以飞到A 问相在棋盘中何处飞法最多？ 以飞到 2，问相在棋盘中何处飞法最多？试 在图中用向量表示. 在图中用向量表示.
E
D
F
O
C
A
B
长度相等且方向相同， （2）与FE长度相等且方向相同，故BC=FE ; ） 长度相等且方向相同 但方向相反， （3）虽然 ）虽然OA//BC, 且 OA = BC ,但方向相反， 但方向相反 故这两个向量不相等. 故这两个向量不相等
向量在几何中的应用
向量在几何中的应用几何是研究空间中点、线、面等几何图形的科学。
在几何学中，向量是一种重要的概念，它能够精确地描述几何图形之间的关系和运动。
通过向量的使用，我们可以更加深入地理解几何图形的性质和变换。
本文将探讨向量在几何中的应用，介绍几个常见的向量应用例子。
1. 向量表示线段和平移在几何中，线段是两点之间的部分。
我们可以使用向量来表示线段，并通过向量的运算得到线段的长度、方向和位置关系。
例如，设点A和点B是平面内的两点，则向量AB可以表示线段AB，其长度为|AB|，方向为从A指向B。
如果我们需要将线段AB平移，可以通过向量的平移运算来实现，即将线段的每个点都沿着相同的向量平移。
2. 向量表示几何图形的方向和面积在几何中，向量也被用来表示几何图形的方向。
例如，一条直线的方向可以用与其平行的向量表示，一个三角形的方向可以用两个不共线的向量表示。
通过向量的运算，我们可以判断两个向量之间的夹角，从而确定几何图形的方向关系。
此外，向量还可以用来计算几何图形的面积。
例如，设有一个三角形ABC，可以使用向量AB和向量AC来表示这个三角形，那么这个三角形的面积可以通过向量的叉积来计算，即S = 1/2 |AB x AC|。
3. 向量表示坐标和平面方程在平面几何中，向量可以表示点的坐标。
设点A的坐标为(a, b)，可以将其表示为向量OA = [a, b]，其中O为坐标系的原点。
通过向量的加法和数乘运算，我们可以计算出两个点之间的位置关系和距离。
除此之外，向量还可以用来表示平面方程。
在平面几何中，平面可以用一般方程的形式表示为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C为平面的法向量的分量，D为一个常数。
通过向量的点乘运算，我们可以计算出平面上任意一点的坐标和法向量之间的关系，从而确定平面的方程。
4. 向量表示旋转和投影向量在几何中还有其他应用，例如表示旋转和投影。
在平面几何中，可以通过向量的旋转运算来实现图形的旋转，将图形的每个点都按照同一个角度和方向进行旋转。
平面向量及其应用向量的几何表示
平面向量及其应用：向量的几何表示在数学和物理学中，向量是一个有着大小和方向的量。
平面向量是其中一种特殊的向量，它只存在于二维平面上。
本文将介绍平面向量的几何表示及其在实际应用中的重要性。
平面向量的定义平面向量通常用箭头符号（→）表示，表示从一个点到另一个点的有向线段。
一个平面向量可以由其起点和终点坐标表示。
例如，向量V可以表示为V = (V, V)，其中V和V分别是起点和终点的坐标。
向量的几何表示平面向量可以使用几何方法表示，其中最常用的方法之一是使用位移向量。
位移向量是由一个点到另一个点的有向线段。
位移向量的起点被称为原点，终点是通过坐标表示的。
位移向量经常用于描述物体在二维平面上的运动。
向量的长度也被称为向量的模或大小。
用数学符号表示向量V的模为∥V∥，即两点之间的欧几里德距离。
在几何表示中，向量的模可以通过勾股定理计算。
另一个向量的重要几何属性是向量的方向。
向量的方向通常使用角度来表示，具体来说是与坐标轴之间的夹角。
在几何表示中，向量的角度可以通过三角函数计算。
向量的应用平面向量在许多实际应用中扮演着重要的角色。
以下是一些常见应用：1. 平面几何平面向量在平面几何中经常用于描述图形的位置和变换。
例如，可以使用向量描述线段的位移、直线的斜率和角的方向。
2. 物理学在物理学中，平面向量可以表示力、速度和加速度等物理量。
例如，质点的位移可以使用向量来描述，速度可以定义为单位时间内位移的变化率。
3. 工程学在工程学中，平面向量广泛应用于力学、电路分析和结构设计等领域。
例如，可以使用向量描述结构物的受力情况，计算力的合成和分解。
4. 计算机图形学在计算机图形学中，平面向量用于描述物体的位置、旋转和缩放。
例如，可以使用向量表示三维模型的顶点坐标，通过变换矩阵来进行视图变换。
平面向量作为一个有大小和方向的量，可以用几何方法进行表示。
其在物理学、工程学和计算机图形学等领域有着广泛的应用。
通过理解平面向量的几何表示以及其应用，我们可以更好地理解和解决实际问题。
空间几何的向量表示与运算
空间几何的向量表示与运算在数学中，向量是一个常见的概念，用来表示具有大小和方向的量。
而空间几何是研究几何对象在三维空间中的性质和关系的学科。
本文将介绍空间几何中向量的表示和运算方法。
一、向量的表示在空间几何中，向量可以用有序的三个实数表示。
通常表示为：<div align=center>**a** = (a₁, a₂, a₃)</div>其中，**a** 表示向量，a₁、a₂、a₃分别表示向量在三个坐标轴上的分量。
二、向量的运算1. 向量的加法：向量的加法是指将两个向量进行相加，得到一个新的向量。
计算方法如下：<div align=center>**a** + **b** = (a₁ + b₁, a₂ + b₂, a₃ + b₃)</div>2. 向量的减法：向量的减法是指将一个向量减去另一个向量，得到一个新的向量。
计算方法如下：<div align=center>**a** - **b** = (a₁ - b₁, a₂ - b₂, a₃ - b₃)</div>3. 向量的数乘：向量的数乘是指将一个向量乘以一个实数，得到一个新的向量。
计算方法如下：<div align=center>k**a** = (ka₁, ka₂, ka₃)</div>其中，k 表示实数。
4. 向量的数量积：向量的数量积（又称为点积）是指将两个向量进行按分量相乘，并将相乘结果相加而得到一个数。
计算方法如下：<div align=center>**a** · **b** = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃</div>5. 向量的向量积：向量的向量积（又称为叉积）是指将两个向量进行按一定规则相乘，得到一个新的向量。
计算方法如下：<div align=center>**a** × **b** = (a₂b₃ - a₃b₂, a₃b₁ - a₁b₃, a₁b₂ - a₂b₁)</div>三、应用举例1. 向量的平行性判断：若两个向量 **a** 和 **b** 的数量积为0，即 **a** · **b** = 0，则可以判断这两个向量相互垂直或平行。
向量的概念与线性运算
OM=OA+AP+PM =OA+OB+OC.
如果分别取三个以坐标轴正向为其方向的单位向
量，并依次记为i，j，k，称其为基本单位向量.由向量
的始点移到同一点O，并记a=OA，b=OB.以OA，OB 为邻边作平行四边形OACB,则称OC=c为a与b的和向量, 记为c=a+b.
向量加法运算的三角形法则： 自a的终点B作BC=b，连接AC，则向量AC即为a与
b的和向量.这种求和常称为向量加法的三角形法则.
n个向量相加的法则： 使前一向量的终点作为次一向量的起点，相继作
向量在轴上的投影有以下性质：
性质7.1 Pr ju AB | AB | cos,其中为轴u与AB间的夹角.
性质7.2 有限个向量的和在任何给定轴上的投影等于 各向量在该轴上投影之和.即
Prju(a+b+¨¨+e)= Prjua+ Prjub+ ¨¨+Prjue.
七、向量线性运算的代数表示
若向量OM=(x,y,z)，则可知向量OM在x轴，y轴， z轴上的投影依次为x，y，z.因此又称向量OM在三条 坐标轴上的投影x，y，z为向量OM的坐标.
即向量OM的模等于其坐标平方和的算术平方根.
设向量OM与x轴，y轴，z轴的正向间夹角分别为 α,β,γ.由几何知识可知
cos OA ,cos OB ,cos OC .
| OM |
| OM |
| OM |
称cosα，cosβ，cosγ为该向量的方向余弦.
数学中的向量
数学中的向量向量是数学中的重要概念，它在几何学、物理学、工程学等许多领域中都有广泛应用。
本文将从几何和物理两个方面，介绍向量的基本概念、性质以及应用。
一、向量的基本概念和性质向量是有大小和方向的量，它可以用有向线段表示。
向量的大小叫做向量的模，用两点表示的向量记作AB，其中A是向量的起点，B 是向量的终点。
向量的方向由起点指向终点。
向量有很多重要的性质。
首先是向量的相等性质，即两个向量相等当且仅当它们的模相等且方向相同。
其次是向量的相反性质，即对于任意向量AB，存在一个向量BA，它们的模相等，但方向相反。
此外，还有向量的平行性质，即两个向量平行当且仅当它们的方向相同或相反。
最后，向量还有数量乘法和加法的运算性质，即向量的数量乘法和加法满足分配律、结合律和交换律。
二、向量的几何应用在几何学中，向量常用于描述平面和空间中的图形和运动。
例如，我们可以利用向量来表示线段、直线和平面。
对于平面上的图形，我们可以用向量表示线段的位移和方向，用向量的加法和数量乘法来进行线段的平移、旋转和缩放等操作。
对于空间中的图形，我们可以利用向量进行空间中的点、直线和平面的表示和计算。
此外，在解决几何问题时，向量还可以用于求解距离、角度等几何量。
三、向量的物理应用在物理学中，向量是描述物理量的重要工具。
例如，位移、速度、加速度等物理量都是向量。
位移向量表示物体从一个位置到另一个位置的位移，速度向量表示物体的运动速度，加速度向量表示物体运动速度的变化率。
利用向量的加法和数量乘法，我们可以对物体的位移、速度和加速度进行计算和分析。
此外，向量还可以用于描述力、力矩等物理量，用于解决静力学、动力学等物理问题。
四、向量的其他应用除了几何和物理，向量还有许多其他的应用。
例如，在计算机图形学中，向量可以用于表示图像的颜色、位置和方向，用于进行图形的计算和渲染。
在经济学和金融学中，向量可以用于表示经济和金融指标的变化趋势和关系，用于进行经济和金融的分析和预测。
向量知识点
第一节向量有关概念及线性运算一、向量的概念1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量。
2、向量的表示：（1）几何法：且一条有向线段表示，长度表示大小，箭头表示方向。
（2）符号表示法：有向线段记法：，，或一个字母：，。
（3）坐标表示：与起点在原点的有向线段一一对应。
A，B的坐标分别为，，则向量的坐标为3、向量的长度（大小）：向量的长度称为向量的模。
记作：4、零向量：长度为0的向量。
记作：5、单位向量：长度为1个单位长度的向量。
关注重点：（1）方向（2）长度二、两个向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。
记作：，或规定：零向量与任一向量平行。
2、相等的向量：长度相等且方向相同的向量。
记作：，或零向量与零向量相等。
3、相反向量：与长度相同方向相反的向量，记作的相反向量是。
注意：数学上的向量均指自由向量：一切向量都可以在不改变方向和大小的前提下，将它移至任意位置，即起点可任取，且起点一旦确定，终点也将唯一确定。
1、判断下列命题的正误：（1）零向量与非零向量平行；（2）长度相等方向相反的向量共线；（3）若与是两个单位向量，则与相等；（4）若向量与向量不共线，则与都是非零向量；（5）若两个向量相等，则它们的起点、方向、长度必须相等；（6）若两个向量的模相等，则这两个向量不是相等向量就是相反向量；（7）若非零向量，是共线向量，则A、B、C、D四点共线；（8）“四边形ABCD是平行四边形”的充要条件是“”；（9）共线的向量一定相等；（10）相等的向量一定共线。
解：（1）正确（2）正确（3）错误两个单位向量的模均为1，但方向可以不同。
（4）正确因为零向量与任意向量共线（5）错误两向量相等，起点可以不同，只需模相等，方向相同。
（6）错误方向不定。
（7）错误线段AB可与线段CD平行。
（8）正确一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
小结：[1]相等与共线区别：向量相等一定共线，但共线未秘相等。
[2]向量共线与四点共线：向量是自由向量，因此四点不共线但可能两个向量共线。
数学向量的知识点总结
数学向量的知识点总结一、向量的定义和表示1. 向量的定义在几何学中，向量通常表示为具有大小和方向的箭头，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
在代数学中，向量可以用有序数对表示，例如 (a, b)，其中 a 和 b 分别表示向量在 x 轴和 y 轴上的分量。
2. 向量的表示向量通常用一个字母加上一个有向线段或者一个箭头表示，比如AB→ 或者a→，其中 AB表示向量的起点和终点，箭头表示向量的方向和大小。
在数学中，向量通常用粗体字母来表示，比如a或者a。
3. 向量的模和方向向量的模表示向量的大小，通常用两点间的距离来表示。
向量的方向表示向量指向的方向，通常用夹角或者方向余弦来表示。
例如，向量 a 的模表示为 |a|，向量 a 的方向表示为θ。
二、向量的基本运算1. 向量的加法向量的加法满足三角形法则，即两个向量的和等于连接它们的两条边的和。
向量的加法可以表示为 c = a + b，其中 c 表示两个向量的和，a 和 b 分别表示加数。
2. 向量的减法向量的减法可以看成是向量加法的逆运算，即 c = a - b 等价于 c + b = a。
向量的减法也满足三角形法则，即两个向量的差等于连接它们的两个端点的线段。
3. 向量的数量积向量的数量积又叫作点积或者内积，表示为 a·b，定义为a·b = |a| |b| cosθ，其中 |a| 和 |b|分别表示向量的模，θ 表示两个向量的夹角。
向量的数量积是一个标量，表示向量的大小和方向之间的关系。
4. 向量的向量积向量的向量积又叫作叉积或者外积，表示为 a×b，定义为|a×b| = |a| |b| sinθ n，其中 |a×b| 表示向量的模，n 表示两个向量所在平面的法向量。
向量的向量积是一个向量，表示向量的方向和大小之间的关系。
三、向量的线性运算1. 向量的线性组合给定一组向量a₁, a₂, ..., aa 和一组标量k₁, k₂, ..., ka，它们的线性组合定义为k₁a₁ + k₂a₂ + ... + k aaa。
向量的概念及其运算
坐标,记为 OA = x, y .
注:向量既有代数特征,又有几何特征,它是数形兼备的好工具.
3.相等向量:长度相等且方向相同的向量. 向量可以自由平移,平移前后的向量相等.两向量
a 与 b 相等,记为 a b .
课堂练习:
4.正方形 PQRS 对角线交点为 M，坐标原点 O 不在正方形内部，
A 且
OP
=（0，3），
OS
=（4，0），则
RM
=(
)
(A)（ 7 , 1 ） (B)（ 7 , 1 ） (C)（7，4） (D)（ 7 , 7 ）
22
22
22
5.已 知 a (1，2)，b x，1 ,且 a 2b 与 2a b 平 行,则 x 等 于
OA AB OB
实数与 向量的 乘积
三角形法则
两个向 量的数 量积
AB =λ a
λ ∈R
记 a =(x,y)
则 a =(λ x,λ y)
ab a b cos a,b 记 a (x1, y1),b (x2, y2)
则 a · b =x1x2+y1y2
向量的加减法,实数与向量的乘积,两个向量 的数量积运算.
当基底 i, j 是两个互相垂直的单位向量时,
就建立了平面直角坐标系.如图
a xi y j 一一对应(x, y)
⑴当向量起点在原点时,定义向量坐标
为终点坐标,即若 A(x，y),则 OA =（x,y）;
⑵当向量起点不在原点时,向量 AB 坐标为终点坐标减
向量的概念
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当堂达标 固双基
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题型一 向量的概念
[学透用活]
[典例 1] 下列说法中正确的个数是
(
)
①身高是一个向量；②∠AOB 的两条边都是向量；③温度
(
)
①长度为 0 的向量都是零向量；
②零向量的方向都是相同的；
③单位向量的长度都相等；
④单位向量都是同方向．
A．①②③
B．②③④
C．①②④
D．①③
解析：由定义知①正确，②由于零向量的方向是任意的，故
两个零向量的方向是否相同不确定，故不正确．显然③正确，
④不正确，故选 D. 答案：D
含零上和零下温度，所以温度是向量；④物理学中的摩擦力是
向量；⑤零向量都相等．
A．0
B．1
C．2
D．3
[解析] 身高只有大小，没有方向，故①不是向量，同理③ 不是向量；对②，∠AOB 的两条边只有方向，没有大小，不是 向量；④是向量；⑤方向不一样，也不相等．故选 B.
[答案] B
[对点练清]
在下列判断中，正确的是
速．其中可以看成是向量的有( )
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
B [①②③不是向量，④⑤是向量．]
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2 (1)如图，B，C 是线段 AD 的三等分点，分别以图中各点为起 点和终点，可以写出________个向量．
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(2)在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为 1)，用直尺和圆规画出下列向量：
几何中的向量方法
向量的表示方法有坐标表示和用有向线段表示,和用复数表示.
向量的坐标表示：起点在坐标原点,那么如果终点是A,可以用终点A来表示.
向量的复数表示：向量的起点在原点,而如果它的终点坐标是(a,b),那么它的复数表示方法是Z=a+bi,a是实部,bi是虚部.
向量的有向线段表示: 有向线段的长度就是向量的模长,有向线段的方向是向量的方向.如果向量的起点是A,终点是B,那么可以用AB个向量,A前B后,表示方向是从A到B,AB的长度就是这个向量的模.
向量的表示方法有三种：1、几何表示：用有向线段表示，有向线段的方向表示向量的方向，有向线段的长度表示向量的大小；2、符号表示：用带箭头的小写字母或有向线段的起点和终点的大写字母表示；3、用坐标表示。
在数学中我们把具有大小和方向的量称之为向量。
同时向量也称为欧几里得向量、几何向量、矢量。
向量的概念
既有方向(direction)又有大小(magnitude)的量叫做向量（物理学中叫做矢量），向量可以用小写黑体字母a，b，c，.......表示，也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。
只有大小没有方向的量叫做数量（物理学中叫做标量）。
在自然界中，有许多量既有大小又有方向，如力、速度等。
我们为了研究这些量的这个共性，在它们的基础上提取出了向量这个概念。
这样，研究清楚了向量的性质，当然用它来研究其它量，就会方便许多。
向量的几何表示具有方向的线段叫做有向线段，以A为起点，B为终点的有向线段记作AB。
（AB是印刷体，也就是粗体字母，书写体是上面加个→）有向线段AB的长度叫做向量的模，记作|AB|。
有向线段包含3个因素：起点、方向、长度。
相等向量、平行向量、共线向量、零向量、单位向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
两个方向相同或相反的非零向量叫做平行向量或共线向量，向量a、b平行，记作a//b，零向量与任意向量平行，即0//a，在向量中共线向量就是平行向量，（这和直线不同，直线共线就是同一条直线了，而向量共线就是指两条是平行向量）长度等于0的向量叫做零向量，记作0。
（注意粗体格式，实数“0”和向量“0”是有区别的）零向量的方向是任意的；且零向量与任何向量都平行且垂直。
模等于1个单位长度的向量叫做单位向量。
编辑本段平面向量的坐标表示在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底。
任作一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x、y，使得a=x i+y j 我们把（x，y）叫做向量a的（直角）坐标，记作a=（x，y），其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，上式叫做向量的坐标表示。
在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示。
注意：平面向量的坐标与点的坐标不一样，平面向量的坐标是相对的。
而点的坐标是绝对的。
若一向量的起点在原点，例如该向量为（1，2）那么该向量上的所有点都可以用（a，2a）表示。
向量的概念
a b c
cb a
2021/8/6
共线向量
3.相等向量： 长度相等且方向相同的向量。
A a
B
4.相反向量：
D a
记作：AB DC
C
我们把与a大小相等方向相反的
向量称为a的相反向量。记做：- a
说明：在平行向量、共线向量、相等向量的概念中应 注意零向量的特殊性
2021/8/6
例1：已知O为正六边形ABCDEF的中心，
在图中所标出的向量中：
E
（1）试找出与FE共线的向量;
（2）试确定与FE相等的向量; （3）OA与BC相等吗？
O F
若不等，有什么关系？
解：(1)OA,BC
A
(2)BC FE
(3)虽然OA// BC,且OA BC
但是它们方向相反，故这两个向量不相等。
OA 2021/8/6 BC 或者BC OA
• 大约公元前３５０年，古希腊著名学者亚里 士多德就知道了力可以表示为向量．向量一词来 自力学、解析几何中的有向线段。
•
最先用有向线段来表示向量的是英国物理学
家牛顿。
2021/8/6
学
海
无
涯
勤
为
岸
，
作业：
云 程 有
P75 3、4
路 志 为
梯
。
2021/8/6
向量该怎样表示啊？
2021/8/6
二、向量的表示方法
①几何表示——向量常用有向线段表示,如图示：
大小记为：AB
AB
A
a
印刷时用黑体 a表示，
书写时写为 a
有向线段的长 度表示向量的 大小。箭头所
Ｂ 指的方向表示 向量的方向。
向量的概念表示
C .若 | a | = | b | , 则 a = b或 a = -b×
D .若 a / /b , 则 a = b ×
E .若 a = b , 则 | a | = | b |
F .若 a ≠ b , 则 a与 b不 是 共 线 向 量 ×
G .若 a = 0 , 则 - a = 0
一. 向量的定义：
既有大小又有方向的量叫向量.
注意：数量与向量的区别：
数量： 只有大小一个代数量，可以进行代数运算、
能比较大小；
向量： 既有大小又有方向的量，不能比较大小.
向量的定义：既有大小又有方向的量叫向量
请说出下列哪些是数量哪些是向量? 距离、位移、身高、力、质量、时间、
速度、加速度、面积、电场强度、温度.
向量是不能比较大小的,
a
但向量的模是可以进行比较大小的. |a||b| 有意义
b
ab
无意义
2.两个基本向量：
0 零向量: 长度为零的向量，记为：
注意: (1）零向量的方向是任意的
(2） 0 与 0 的区别。
(3） | 0|0
单位向量: 长度为1个单位长度的向量.
仅对向量的大小明确规定，而没有对向量的方向明 确规定。
有向线段: 规定了起点、方向、长度 的线段。
向量:与起点无关，用有向线段表示向量时，
起点可以取任意位置。
所以数学中的向量也叫自由向量.
a
如图：他们都表示 同一个向量。
a
有向线段与向量的区别：
有向线段：有固定起点、大小、方向
向量：可选任意点作为向量的起点、有大小、方向。
B
D
B
向量运算与几何意义
向量运算与⼏何意义1. 向量表⽰向量指具有⼤⼩和⽅向的量，也称为⽮量。
可以从⼏何和坐标两个⾓度来表⽰。
1）⼏何表⽰向量可以⽤有向线段来表⽰。
有向线段的长度表⽰向量的⼤⼩，也就是向量的长度。
箭头所指的⽅向表⽰向量的⽅向。
长度为 0 的向量叫做零向量。
长度等于 1 个单位的向量，叫做单位向量。
2）坐标表⽰空间中有⽆数条有向线段，长度和⽅向相同的向量也有⽆数条，那如何表征⼀个向量呢？在空间或者平⾯建⽴坐标系，任何⼀个向量都可以平移到以原点为起点的位置，这时就可以⽤向量终点的坐标来表征这个向量，记为a=(x,y,z,...)坐标表⽰和⼏何表⽰是不同的，⼏何表⽰的向量起点可以是任意位置，⽽坐标表⽰的向量起点只能是原点。
⼀个任意位置的向量如何求出它的坐标？⽤此向量的有向线段终点坐标减去始点坐标。
2. 基和坐标在同⼀个线性空间中，任⼀个向量都可以在⼀组基下表⽰成⼀组坐标。
不同的基就构成不同的坐标系。
但基本⾝也可以被其它坐标系描述。
要描述向量需要具备两个条件：1）确定⼀个线性空间，同⼀空间内的所有元素都具有相同的向量维度。
2）在确定的线性空间的基础上，选择该空间中的⼀组基，确定了基，就确定了向量的坐标。
线性空间是我们⾃⼰规定的完备的元素集合，⼀个向量可以放到不同的线性空间去表⽰，那么这些线性空间中的元素必是同维的，不同维度的向量必定属于不同的线性空间。
基≠坐标系，但可作为坐标系，⼀般我们选取线性空间中的标准正交基作为参考系，来描述其它向量和其它基。
当基和坐标⼀⼀对应时，此时基向量的坐标肯定是 (1,0,0,0...),(0,1,0,0,...),...这样的形式，以三维空间为例，有α=xi+yj+zk=x 1+y1+z1=xyz需要明⽩的是：⼀组基可以被其它坐标系描述，故我们提到基，只是单纯的满⾜下列条件的向量组：1）向量组线性⽆关。
2）线性空间中的任⼀个向量都可以由基线性表⽰。
基是线性空间中最⼤线性⽆关向量组，因为根据定义来看，给基中增加任⼀个向量都会是多余的。
向量有关的知识点
向量是数学和物理学中一个非常重要的概念，它在各个领域都有着广泛的应用。
本文将以“向量有关的知识点”为题，逐步介绍向量的定义、运算、性质以及在几何和物理中的应用。
1.概念定义向量是具有大小和方向的量，可以用有序的数对或坐标表示。
向量通常用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
向量可以在平面或空间中存在，平面中的向量称为二维向量，而空间中的向量称为三维向量。
2.向量的运算向量的运算包括加法和数乘两种。
向量的加法满足交换律和结合律，即A+B=B+A和(A+B)+C=A+(B+C)。
向量的数乘是指将一个向量与一个标量相乘，结果是一个新的向量。
3.向量的性质向量有许多重要的性质。
其中，零向量是一个特殊的向量，其大小为0，方向可以是任意的。
两个向量相等当且仅当它们的大小相等且方向相同。
两个向量的数量积等于它们的大小乘以它们夹角的余弦值。
4.向量的几何表示向量可以用几何形状来表示。
在二维平面中，向量可以表示为从原点出发的箭头，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
在三维空间中，向量可以表示为从原点出发的箭头，箭头的长度、方向和倾斜角度都可以表示向量的大小和方向。
5.向量在几何中的应用向量在几何中有广泛的应用。
例如，向量可以表示平面上的直线和线段，两个向量的和可以表示平面上的平行四边形的对角线。
向量的数量积可以用来计算两个向量之间的夹角，以及判断两个向量是否垂直或平行。
6.向量在物理中的应用向量在物理学中起着重要的作用。
例如，速度和加速度是物理学中常用的向量量，它们不仅有大小，还有方向。
物体的位移可以表示为速度向量乘以时间的积。
力也是一个向量，它可以用来描述物体受到的作用力的大小和方向。
本文通过对向量的定义、运算、性质以及在几何和物理中的应用的介绍，希望读者能够对向量有一个清晰的认识。
向量不仅是数学和物理学中的基本概念，还在计算机图形学、计算机视觉等领域有着广泛的应用。
对向量的深入理解将有助于我们更好地理解和应用相关的知识。
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B C A
l
点A、B、C在同一条直线上 上述分析表明，任一组平行向量都可以移动到 同一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量 思考：如果非零向量 AB与CD 是共线向量，那 么点A、B、C、D是否一定共线？
补充知识 定义：
向量的相反向量
★如果向量 AB 和 CD 的模相等 且方向相反，那么把向量 AB 叫做向 量 CD 的相反向量(或把向量 CD 叫做 向量 AB 的负向量)，记作 AB CD (或 CD AB ) .
B A O F E
OA CB DO EF
C D
OB DC EO FA
OC AB ED FO
例4 判断下列命题是否正确：
①若两个单位向量共线,则这两个向量相等（ ②不相等的两个向量一定不共线 （ ）
③ａ与ｂ共线,ｂ与ｃ共线,则ａ与c也共线（ ）
④任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行
A D C
东
例2 如图，四边形ABCD为正方形， △BCE为等腰直角三角形.以图中各点为 起点和终点，写出与向量 AB 平行的所 有向量.
D
C
A
B
E
BA, BE, EB, AE, EA, DC , CD
例3 如图，设O为正六边形ABCDEF的中心，分 别写出与 OA、 、 相等的向量. OB OC
问题3：向量与有向线段的区别？
（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无 关，只要大小和方向相同，这两个向量就是相同 的向量； （2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起 点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向 线段.
问题4：由于向量是有大小的，那么它的大小如何表示呢？ 向量的大小也就是向量的长度
（2）零向量与零向量相等； A B （3）任意两个相等的非零向量，都可用同一 条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关 . （4）在平面上，两个长度相等且指向一致的 有向线段表示同一个向量；因为向量完全由它 的方向和模确定. (5)向量或有向线段平移,不会改变其长度和 方向
思考：用有向线段表示非零向量 如果 AB CD ，那么A、B、C、D四点的位置 关系有哪几种可能情形？
※注意：
AB BA .
向量的定义
向量的表示
字母表示 几何表示
向量
向量的模与零向量、单位向量
相等向量
三种向量关系
注意：(1)向量无大小， 但其模有大小；
平行向量(共线向量）
相反向量
(2)零向量是一个非常特殊的 向量，与任何向量平行。
知识迁移
例1 已知飞机从A地按北偏东30°方 向飞行2000km到达B地，再从B地按南偏 东30°方向飞行2000km到达C地，再从C 地按西南方向飞行1000 2 km到达D地. （1）画图表示向量 AB, BC , CD； （2）求飞机从A地到达D地的位移所对应 北 B 的向量的模和方向.
问题6：相等向量 因为向量完全由它的方向和模确定.对于 两个非零向量a、b，就其模等与不等，方向 同与不同而言，有哪几种可能情形？ 模相等, 模相等, 方向相同; 方向不相同;
模不相等, 方向相同;
模不相等, 方向不相同;
【相等向量】
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
a b
（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；
四边形的四顶点（
）
⑤向量ａ与ｂ不共线,则ａ与ｂ都是非零向量（ ） √ ⑥有相同起点的两个非零向量不平行（ ）
）
归纳与整理
1.向量是为了表示、刻画既有大小， 又有方向的量而产生的，物理中有许多 相关背景材料，数学中的向量是物理中 矢量的提升和拓展，它有一系列的理论 和方法，是沟通代数、几何、三角的一 种工具，有着广泛的实际应用.
2.由于有向线段具有长度和方向双 重特征，所以向量可以用有向线段表 示，但向量不是有向线段，二者只是一 种对应关系. 3.零向量是一个特殊向量，其模为 0，方向是不确定的.引入零向量将为以 后的研究带来许多方便.
问题1：向量定义？数量与向量的区 别与联系？
数量----把只有大小，没有方向的量称为数量 向量----数学中，把既有大小，又有方向的量叫 . 向量与数量的联系和区别： 思考：年龄、身高、长度、面积、体积、温 联系：向量与数量都是有大小的量； 时间、路程、质量等是向量吗？ 区别：向量有方向且不能比较大小， 数量无方向且能比较大小.
2.1平面向量的基本概念
阅读教材P74-P76，并思考以下问题：
（1）向量定义是什么？数量与向量的区别与联系？ （2）向量如何表示？ （3）有向线段与向量有何区别与联系 ？ （4）零向量、单位向量是如何定义的？ （5）单位向量起点都平移到点O，其终点有什么 关系？ （6）什么叫相等向量？单位向量是相等向量吗？ (7)有一组向量方向相同或相反，这些向量有什 么关系？ （8）把一组平行向量的起点平移到一点O，这些 向量是不是平行向量？此时这些向量终点有什么 关系？ （9）平行向量与共线向量间有什么关系？
记作 AB , 如图所示：
用表示向量的有向线段的长度表示.
AB
A(起 点)
B(终 点)
问题5：零向量、单位向量是如何定义的？向量的 模可以为0吗？可以为1吗？可以为负数吗？ 向量的模可以为0,也可以为1,不可以为负数. 为了研究的需要，我们引入以下概念. 【零向量】长度为0的向量叫零向量; 记作0. (书写体用0) 规定：零向量0的方向是任意的. 注意：零向量0与实数0的含义、书写区别. 【单位向量】长度为1个单位长度的向量，叫单 位向量. 〖说明〗零向量、单位向量的定义都只是 限制了大小.
A B C D
AB和CD
C
A
D
B
问题6 平行向量 ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量 向量a、b平行，记作 a ∥b 即对于任意向量a，都有 0∥a （2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，如左图
如图:用有向线段表示的两个平行向量（1）综合①、②才是平行向量的完整定义 记作ａ∥ｂ∥ｃ.
探究：平行向量与共线向量 思考：如果两个非零向量所在的直线互相平 行，那么这两个向量的方向有什么关系？ 方向相同或相反 思考：我们知道方向相同或相反的非零向量 叫做平行向量，向量a与b平行记作a//b，那 么平行向量所在的直线一定互相平行吗？ 思考：零向量0与向量a平行吗？
零向量与任一向量平行.
思考：将向量平移，不会改变其长度和方向.如图， 设a、b、c是一组平行向量，任作一条与向量a所在 直线平行的直线l，在l上任取一点O，分别作 OA a, OB b , OC c ,那么点A、B、C的位置关系如何？ a 平行向量也叫做共线向量
问题2：向量如何表示？
向量用带有箭头的线段来表示，线段按一定 的比例(标度)画出，它的长短表示向量的 大小，箭头的指向表示向量的方向.
①用有向线段表示；
AB
A(起 点)
B(起点 )
②用字母ａ、ｂ、 c…等表示.（印刷 用黑体，手写用 a ） ③用表示向量的有向线段的起点与终点 字母表示，例如 CD . AB，