吉林省实验中学高考数学模拟试卷(八)理(含解析)
吉林省实验中学2020届高三年级第三次模拟理科数学试题及答案
吉林省实验中学2020届高三第三次模拟考试数学学科（理）试题考试时间：120分钟 满分：150分命题 审题 高三数学（理科）备课组 2019年11月9日一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）（1）已知α是第三象限角，且sin α＝－1213，则tan α＝（A ）－513 （B ）513 （C ）－125 （D ）125（2）设函数()f x =()(),ln 1M g x x =-的定义域为N ，则MN =（A ）{}21x x -<< （B ）{}12x x <<（C ）{}2x x <- （D ）{}2x x >（3）1+2sin （π＋1）cos （π－1）＝( )（A ）sin 1－cos 1 （B ）sin 1+cos1 （C ）±(sin 1－cos 1) （D ）cos1－sin 1（4） 设θ∈R ，则“|θ－π12|<π12”是“sin θ<12”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（5）已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当01x <<时，()4x f x =，则()512f f ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭（A ）2- （B ）2 （C ）12 （D ）12- (6) 设231tan 30,sin ,ln 22a b xdx c ππ=︒==⎰，则（A ）a <b <c （B ）a < c < b （C ）b < a <c （D ）c < b <a(7) 函数y ＝cos 2x －2sin x 的最大值与最小值分别为 （A ）3，－1 （B ）3，－2 （C ）2，－2 （D ）2，－1(8) 函数()()sin f x A x ωϕ=+（其中0A >, 0ω>,2πϕ<）的一部分图象如图所示，将函数图象上的每一个点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数()y g x =的图象，则()g x 解析式可以为（ ）（A ）()sin 3g x x π=+⎛⎫⎪⎝⎭（B ）()sin 43x x g π=+⎛⎫⎪⎝⎭ （C ）()sin 6x x g π=+⎛⎫⎪⎝⎭（D ）()sin 46g x x π=+⎛⎫⎪⎝⎭(9) 设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6+sin2x ,则f (x )的一个单调递增区间是 （A ）71212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， （B ）51212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， （C ）233ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， （D ）566ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，(10) 将函数()sin 6f x x π=+⎛⎫⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标变为原来的1(0)ωω>，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，()g x 在,64ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数，91104848g g ππ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则ω=（A ）12（B ）2 （C ）3 （D ）4(11) 若函数3()3f x x x =-在区间()212,a a -上有最小值，则实数a 的取值范围是（A ）(- （B ）(1,4)- （C ）(]1,2- （D ）()1,2-(12) 设函数7()sin 2,0,66f x x x ππ⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，若方程()()f x t t R =∈恰好有三个根，分别为1,x 2,x 3123()x x x x <<，则1233+5+2x x x 的值为（A ）9π （B ）5π （C ）73π （D ）113π二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分．） (13) 已知log 2,log 3a a m n ==，则m n a -＝(14) 在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，△ABC 的面积为32，则C ＝ .(15) 函数f (x )＝3sin π2x –2log x 的零点的个数是 个.(16) 若[,)x e ∀∈+∞，满足32l n 0mxx x m e -≥恒成立，则实数m 的取值范围为__________．三、解答题：（解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．）(17)(本小题满分10分)在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为312x y t =+=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩(t 为参数).以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为)4πρθ=+.（Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 交于A B ，两点，1(3)P ，为直线l 上一点，求11PAPB+.(18) (本小题满分12分)已知点(4,3)P -为角α终边上一点． （Ⅰ）求tan 2α的值；cos 2424απαπ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值．(19) (本小题满分12分) 设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4. (Ⅰ)求f (x )的单调区间；(Ⅱ)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝⎛⎭⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值.(20) (本小题满分12分) 如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，各棱长均相等．D ，E ，F 分别为棱AB ，BC ，A 1C 1的中点．(Ⅰ)求证：EF ∥平面A 1CD ； (Ⅱ)若三棱柱ABC -A 1B 1C 1为直三棱柱，求直线BC 与平面A 1CD 所成角的正弦值．(21) (本小题满分12分)已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，(0,2)D 为椭圆C 短轴的一个端点，F 为椭圆C 的右焦点，线段DF 的延长线与椭圆C 相交于点E ，且3DF EF =.(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若直线OA 与OB 的斜率之积为32-，求OA OB ⋅的取值范围.(22) (本小题满分12分)设函数()sin (0)f x x a x a =->．(Ⅰ)若函数()y f x =是R 上的单调函数，求实数a 的取值范围； (Ⅱ)设1()()ln 1(0)2a g x f xb x b R b ==++∈≠，，，()g x '是()g x 的导函数． ①若对任意的0()0x g x '>>，，求证：存在00x >使0()0g x <； ②若1212()()()g x g x x x =≠，求证：2124x x b <．数学学科（理）试题答案一、选择题：DABAB DCABD CD二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分．）(13)23(14) 60° .(15) 3 .(16) _____(,2]e -∞_____． 三、解答题：（解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．）(17)(本小题满分10分)解:(1)直线l 的普通方程为2y x =-曲线C 的直角坐标方程为22(2)(2)8x y -++=.(2)将直线l的参数方程化为3+21x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数) 代入曲线C 的方程22(2)(2)8x y -++=，得20+2t =∴12t t +=-122t t =∴1212+11t t PA PB t t +==(18) (本小题满分12分) （Ⅰ）由已知，得3sin 5α=，∴242225sin sin cos ααα==-．2722125cos cos αα=-=，得2427tan α=-，（Ⅱcos 2424απαπ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==25α（1+sin ）． (19) (本小题满分12分)解 (1)由题意知f (x )＝sin 2x2－1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π22＝sin 2x 2－1－sin 2x 2＝sin 2x －12.由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π，k ∈Z,可得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π，k ∈Z ；由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z, 可得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z )； 单调递减区间是⎣⎡⎦⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z ). (2)由f ⎝⎛⎭⎫A 2＝sin A －12＝0，得sin A ＝12， 由题意知A 为锐角，所以cos A ＝32.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 可得1＋3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ，即bc ≤2＋3，且当b ＝c 时等号成立.因此12bc sin A ≤2＋34.所以△ABC 面积的最大值为2＋34(20) (本小题满分12分)解：(1)证明：连接ED ，在△ABC 中，因为D ，E 分别为棱AB ，BC 的中点，所以DE ∥AC ，DE ＝12AC .又F 为A 1C 1的中点，可得A 1F ＝12A 1C 1，又因为AC ∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1， 所以A 1F ∥DE ，A 1F ＝DE ，因此四边形A 1FED 为平行四边形， 所以EF ∥A 1D ，又EF ⊄平面A 1CD ，A 1D ⊂平面A 1CD ， 所以EF ∥平面A 1CD .(2)设A 1B 1的中点为O ，连接OC 1，OD ，因为三棱柱ABC -A 1B 1C 1为直三棱柱，所以OD ⊥平面A 1B 1C 1，所以OD ⊥OC 1，OD ⊥OA 1. 又△A 1B 1C 1为等边三角形， 所以OC 1⊥A 1B 1.以O 为坐标原点，OA 1―→，OD ―→，OC 1―→的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O -xyz .设三棱柱的棱长为a ，则B ⎝⎛⎭⎫－a 2，a ，0，C ⎝⎛⎭⎫0，a ，32a ，A 1⎝⎛⎭⎫a 2，0，0，D (0，a,0)．所以BC ―→＝⎝⎛⎭⎫a 2，0，32a ，A 1D ―→＝⎝⎛⎭⎫－a 2，a ，0， DC ―→＝⎝⎛⎭⎫0，0，32a .设平面A 1CD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n·A 1D ―→＝0， n·DC ―→＝0，即⎩⎨⎧－a2x ＋ay ＝0，32az ＝0.令x ＝2，解得n ＝(2,1,0)．设直线BC 与平面A 1CD 所成的角为θ，则sin θ＝cos 〈n ，BC ―→〉＝|n ·BC ―→||n |·|BC ―→|＝a 5·a 2＝55. 所以直线BC 与平面A 1CD 所成角的正弦值为55.(21) (本小题满分12分)（1）设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，右焦点(),0F c ，因为()0,2D 为椭圆短轴的一个端点，则2b =.因为3DF EF =，则点42,33c E ⎛⎫-⎪⎝⎭. 因为点E 在椭圆上，则22161199c a +=，即222a c =. 又224c a =-，则()2224a a =-，得28a =，所以椭圆C 的标准方程是22184x y +=.（2）解法一：当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+， 代入椭圆方程，得()2228x kx m ++=，即()222214280k x kmx m +++-=.设点()11,A x y ，()22,B x y ，则122421km x x k +=-+，21222821m x x k -=+. 因为32OA OBk k ⋅=-，则121232y y x x ⋅=-，即1212320x x y y +=，即()()1212320x x kx m kx m +++=，即()()22121223220k x x km x x m ++++=，所以()222222228823202121m k m k m k k -+⋅-+=++， 即()()()2222222344210k m k m mk+--++=，化简得2223m k =+.所以12121212OA OB x x y y x x ⋅=+=- 2222242121212121m k k k k --=-=-=-+++.因为()()22221642128k m k m ∆=-+- ()()2228848610k m k=+-=+>，20k ≥，则220221k <≤+，所以11OA OB -<⋅≤.又120x x ≠，则24m ≠，即212k ≠，则22121k ≠+，所以0OA OB ⋅≠. 当直线l 的斜率不存在时，点A ，B 关于x 轴对称，则OA OB k k =-. 因为32OA OBk k =-，不妨设0OA k >，则OA k =.联立y x =与22184x y +=，得点A，B，或点(A，(B ，此时1OA OB ⋅=-.综上分析，OA OB ⋅的取值范围是[)(]1,00,1-⋃. 解法二：因为302OA OB k k ⋅=-<，设0OA k k =≠，则32OB k k=-. 设点()11,A x y ，()22,B x y ，则121232y y x x ⋅=-，即121232y y x x =-，所以12121212OA OB x x y y x x ⋅=+=-. 由22184y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22228x k x +=，即()22218k x +=，所以212821x k =+.同理，22222816293212k x k k ==+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.所以()()222212422281681642092129k k x x k k k k ⨯⨯==++++ 228169420k k⨯=++.因为229412k k +≥=，当且仅当2294k k =，即k =221204x x <≤.即1222x x -≤≤，且120x x ≠，所以OA OB ⋅的取值范围是[)(]1,00,1-⋃. (22) (本小题满分12分) （1）由题意，()1cos f x a x =-'， 若()0f x '≤恒成立，得1cos x a≥恒成立，又0a >，x ∈R ，显然不成立； 若()0f x '≥∵0a >∴1cos x a≥对x ∈R 恒成立， ∵()max cos 1x =∴11a ≥，从而01a <≤． 的 （2）①()1sin ln 12g x x x b x =-++，则()11cos 2bg x x x'=-+． 若0b <，则存在02b ->，使11cos 0222b b g ⎛⎫⎛⎫-=---'< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不合题意.∴0b >．取2ebx -=，则001x <<．此时()2000000111sin ln 11sin ln 1sin 0222b g x x x b x x b e x -=-++<-++=-<．∴存在00x >，使()00g x <．②依题意，不妨设120x x <<，令21x t x =，则1t >．由（1）知函数sin y x x =-单调递增，则2211sin sin x x x x ->-，从而2121sin sin x x x x ->-． ∵()()12g x g x =∴11122211sin ln 1sin ln 122x x b x x x b x -++=-++ ∴()()()2121212111ln ln sin sin 22b x x x x x x x x --=--->-．∴212120ln ln x x b x x -->>-．下面证明2121ln ln x x x x ->-1ln t t->，只要证明()ln 0*t <．设())ln 1h t t t =->，则()210h t '-=<在()1+∞，恒成立． ∴()h t 在()1+∞，单调递减，故()()10h t h <=，从而()*得证． ∴2b ->，即2124x x b <．。
吉林省实验中学2017-2018学年高三第八次模拟考试理数试题 Word版含解析
2017-2018学年一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.）1.已知集合{}0162<-=x x A ，{}1,0,5-=B ，则（ ）A ．φ=B A B ．A B ⊆C ．{}1,0=B AD ．B A ⊆ 【答案】C 【解析】 试题分析：集合{}{}2160=44A x x x x =-<-<<，所以{}{}{}445,0,10,1AB x x =-<<-=，故选C.考点：集合的运算.2.已知复数i ii z (122016++=为虚数单位），则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】A考点：1.复数计算；2.共轭复数定义.3.某疾病研究所想知道吸烟与患肺病是否有关，于是随机抽取1000名成年人调查是否抽烟及是否患有肺病得到22⨯列联表，经计算得231.52=K ，已知在假设吸烟与患肺病无关的前提条件下， 01.0)635.6(,05.0)841.3(22=≥=≥K P K P .则该研究所可以（ ） A ．有%95以上的把握认为“吸烟与患肺病有关” B ．有%95以上的把握认为“吸烟与患肺病无关” C ．有%99以上的把握认为“吸烟与患肺病有关” D ．有%99以上的把握认为“吸烟与患肺病无关”【解析】试题分析：因为25.231 3.841K =>,而2( 3.841)0.05P K ≥=,故有有%95以上的把握认为“吸烟与患肺病有关”,选A. 考点：独立性检验.4.已知0,0>>b a ，则“1>ab ”是“2>+b a ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A考点：1.基本不等式；2.充分必要条件.5.若4,6==n m ，按照如图所示的程序框图运行后，输出的结果是（ ） A ．1001B ．100C ．10D ．1【解析】试题分析：当4,6==n m ，满足m n >,所以lg()lg101y m n =+==,输出结果为1,故选D. 考点：程序框图.6.已知函数)sin()(ϕπ+=x A x f 的部分图象如图所示，点C B ,是该图象与x 轴的交点，过点C 的直线与该图象交于ED ,两点，则)()(-⋅+的值为（ ）A ．1-B ．21- C ．21D ．2【答案】D考点：1.向量数量积计算；2. 三角函数周期计算公式.【易错点晴】本题主要考查了向量加减法,向量数量积的计算,三角函数周期计算等,属于基础题. 学生容易做错的地方:①对向量计算比较陌生,不会化简；②不会计算2BC .在ABC 中,若点D 为BC 边中点,则2AB AC AD +=,这个公式在向量运算中经常用到；周期的计算公式:函数 ()sin()f x A x ωφ=+,所以()f x 最小正周期2T πω=.7.已知等比数列{}n a 中，5824a a a =，等差数列{}n b 中564a b b =+，则数列{}n b 的前9项和9S 等于（ ）A ．9B ．18C ．36D ．72【答案】B 【解析】试题分析：由于{}n a 为等比数列,则2285a a a =,又5824a a a =,所以54a =,在等差数列{}n b 中,4654b b a +==,所以52b =,数列{}n b 的前9项和19959()9182b b S b +===,故选B. 考点：1.等比数列的性质；2.等差数列性质；3.等差数列前n 项和公式.8.从装有若干个大小相同的红球、白球和黄球的袋中随机摸出1个球，摸到红球、白球和黄球的概率分别为61,31,21，从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，连续摸3次，则记下的颜色中有红有白但没有黄的概率为（ ） A ．365 B ．31 C ．125 D ．21【答案】C考点：1.相互独立事件概率乘法公式；2.互斥事件的概率加法公式.9.在平行四边形ABCD 中，0=⋅CB AC ，04222=-+AC BC ，若将其沿AC 折成直二面角B AC D --，则三棱锥B AC D --的外接球的表面积为（ ） A ．π16 B ．π8 C ．π4 D ．π2 【答案】C 【解析】试题分析：由0=⋅有AC CB ⊥,若将其沿AC 折成直二面角B AC D --，则三棱锥B ACD --的外接球的直径为BD ,由题意有直线AD ⊥平面ABC ,且2222222224BD AD AB AD BC AC BC AC =+=++=+=,所以外接球直径为2,半径为1,表面积为2414S ππ=⨯=,故选C.考点：1.球的表面积公式；2.球心的确定.10.过抛物线x y 42=的焦点作两条垂直的弦AB 、CD ，则=+CDAB 11（ ） A ．2 B ．4 C ．21 D ．41 【答案】D考点：1.两直线垂直时,倾斜角的关系；2.过抛物线焦点弦的弦长公式22sin pAB α=(α为直线的倾斜角).11.某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为（ ）CABDA ．22B ．32C ．4D ．62 【答案】B考点：1.由几何体三视图得到直观图；2.三角形面积公式.【易错点晴】本题主要考查了如何由几何体的三视图得到直观图,考查了空间想象力,属于中档题. 在本题中,由于正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，想到此四面体由边长为2的正方体截掉几部分得到的.正视图沿AD 方向,侧视图沿DC 方向,俯视图沿QD 方向.12.已知点P 为函数x x f ln )(=的图象上任意一点，点Q 为圆1)]1([22=++-y ee x 上任意一点，则线段PQ 的长度的最小值为（ ）A ．e e e 12--B ．e e e -+122C ．eee -+12 D ．11-+e e【答案】C考点：1.利用导数研究曲线上一点的切线方程；2.两直线垂直的条件；3.两点间距离公式. 【思路点晴】本题主要考查了利用导数研究曲线上任意一点的切线方程,属于中档题. 由圆心到圆上任意一点的距离为1,本题转化为圆心C 1(,0)e e +到函数x x f ln )(=上一点距离的最小值,由导数的几何意义,求出切线斜率为1t,由两直线垂直的条件,求出21l n ()0t t e t e +-+=,判断函数21()ln ()g x x x e x e=+-+的单调性,求出零点,再由两点间距离公式求出最小值.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.已知y x 、满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≤-+,0,0,01x y x y x 则y x z 2+=的最大值为_______.【答案】2 【解析】试题分析：由不等式组画出可行域如下图阴影部分，其中11(0,1),(,),(0,0)22A B O ，令0,z =则12y x =-，是经过原点的一条直线，当此直线向右上方平移时，纵截距逐渐变大，z 的值也逐渐变大，经过(0,1)A 时，z 有最大值2.考点：简单的线性规划.14.在长为12厘米的线段AB 上任取一点C ，现以线段BC AC ,为邻边作一矩形，则该矩形的面积大于20平方厘米的概率为_____. 【答案】23考点：1.一元二次不等式的解；2.用几何概型求概率. 15.52)1(+-x x 的展开式中，3x 项的系数为_____. 【答案】30- 【解析】试题分析：5252(1)()1x x x x ⎡⎤-+=-+⎣⎦的展开式的通项公式为2515()r rr T C x x -+=-,对于25()r x x --的通项为25102155()()(1)m r m m m m r m m r r T C x x C x----+--=-=-,令1023r m --=,又x05m r ≤≤-,m N ∈,求出2,3r m ==或3,1r m ==，所以3x 项的系数为2333115352(1)(1)30C C C C -+-=-.考点：1.二项式定理；2.二项式系数的性质.【思路点晴】本题主要考查二项式定理的应用, 求展开式式中某项的系数,属于中档题. 二项式()n a b +的展开式的第1k +项1k n k k k n T C a b -+=(其中0,,k n n N k N *≤≤∈∈).本题中要把2x x -作为一个整体,看成一项,才能用二项展开式写出通项,再写出25()r xx --的通项,由于是求3x 项的系数,所以令1023r m --=,要注意,m r 的范围,求出所有满足条件的,m r 值,求出3x 项的系数来.16.已知函数)(x f 是定义在),0()0,(+∞-∞ 上的偶函数，当0>x 时，⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<-=-,2),2(21,20,12)(1x x f x x f x则函数1)(2)(-=x f x g 的零点个数为____个. 【答案】6考点：1.偶函数的性质；2.数形结合思想；3.方程根的个数的判断.【方法点晴】本题考查了偶函数图象的特征,利用数形结合求方程根的个数,属于中档题. 函数1)(2)(-=x f x g 的零点个数等价于函数()y f x =的图象与直线12y =的图象的交点个数.先由已知条件作出函数()y f x =在0>x 时的图象,再利用对称性,作出(,0)-∞上的图象.由图可知, 函数()y f x =的图象与直线12y =的图象有6个交点.利用分段函数的表达式,作出()y f x =的图象是本题的关键.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）设ABC ∆中的内角C B A ,,所对的边长分别为c b a ,,，且2,54cos ==b B . （1）当35=a 时，求角A 的度数； （2）求ABC ∆面积的最大值. 【答案】（1）30=A ；（2）3.考点：1.正弦定理；2.余弦定理；3.重要不等式. 18.（本小题满分12分）某大学志愿者协会有10名同学，成员构成如下表，其中表中部分数据不清楚，只知道从这10名同学中随机抽取一位，抽到该名同学为“数学专业”的概率为2.现从这10名同学中随机抽取3名同学参加社会公益活动（每位同学被选到的可能性相同）. （1）求n m ,的值；（2）求选出的3名同学恰为专业互不相同的男生的概率；（3）设ξ为选出的3名同学中“女生或数学专业”的学生的人数，求随机变量ξ的分布列及其数学期望ξE .【答案】（1）3,1m n ==；（2）112；（3）分布列见解析，2110. （3）由题意，ξ的可能取值为3,2,1,0.由题意可知，“女生或数学专业”的学生共有7人.所以1201)0(31033===C C P ξ，40712021)1(3103317====C C C P ξ，402112063)2(3101327====C C C P ξ，24712035)3(31037====C C P ξ.所以ξ的分布列为所以102434024011200=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE .（12分） 考点：1.用古典概型求概率；2.离散型随机变量的分布列；3. 离散型随机变量的期望. 19.（本小题满分12分）如图，四棱锥ABCD E -中，平面⊥EAD 平面ABCD ，ED EA CD BC AB DC ⊥⊥，，∥，且4=AB ， 2====ED EA CD BC .（1）求证：⊥BD 平面ADE ；（2）求直线BE 和平面CDE 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）32.（2）以D 为坐标原点，DB DA ,所在直线分别为y x ,轴建立空间直角坐标系xyz D -， 得)2,0,2(),0,2,2(),0,22,0(),0,0,0(E C B D -，所以)0,2,2(),2,0,2(),2,22,2(-==-=DC DE BE .可求得平面CDE 的一个法向量是)1,1,1(-=n ，设直线BE 与平面CDE 所成的角为α，得323322222,cos sin =⋅--==><=n BE α. 故直线BE 和平面CDE 所成角的正弦值为32.（12分） 考点：1.面面垂直的性质；2.空间直角坐标系；3.直线与平面所成的角. 20.（本小题满分12分）已知椭圆)0(13:222>=+a y a x M 的一个焦点为)0,1(-F ，左右顶点分别为B A ,，经过点F的直线l 与椭圆M 交于D C ,两点. （1）求椭圆方程；（2）记ABD ∆与ABC ∆的面积分别为1S 和2S ，求21S S -的最大值.【答案】（1）13422=+y x ；（2）当23±=k ,21S S -的最大值为3.考点：1.求椭圆的方程；2.韦达定理；3.基本不等式.【易错点晴】本题考查了椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系,属于中档题.在本题（2）中,要考虑直线斜率不存在这种特殊情况,当斜率存在时,要联立直线与椭圆方程,消去y 得到一个关于x 的一元二次方程,由韦达定理,求出1212+,x x x x 的值,计算12S S -时, 找定值用基本不等式求最大值.本题考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力,难度较大. 21.（本小题满分12分）已知函数)2(sin )(2e a ax x e x f x -+-=，其中R a ∈，⋅⋅⋅=71828.2e 为自然对数的底数. （1）当0=a 时，讨论函数)(x f 的单调性； （2）当121≤≤a 时，求证：对任意的),0[+∞∈x ，0)(<x f . 【答案】（1）函数)(x f 在R 上为减函数；（2）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）对函数)(x f 求导,利用函数的单调性与导数的关系,得出函数)(x f 的单调性；（2）对任意的),0[+∞∈x ，0)(<x f 等价于对任意的),0[+∞∈x ，2sin 20x ax a e -+-<,再构造函数e a ax x x g -+-=2sin )(2,求导,利用导数,求出()g x 的最大值小于零.∵02cos 00=-ax x ，∴00cos 21x ax =，将其代入上式得 e a ax x a e a x a x x g -+-+=-+-=241sin sin 412cos 41sin )(002020max，（10分）令0sin x t =，)4,0(0π∈x ，则)22,0(∈t ，即有e a a t t a t p -+-+=24141)(2，)22,0(∈t ， ∵)(t p 的对称轴02<-=a t ，∴函数)(t p 在区间)22,0(上是增函数，且121≤≤a ，∴)121(,08152228122)22()(≤≤<-+<-+-=<a e e a a p t p ， 即任意),0[+∞∈x ，0)(<x g ，∴0)()(<=x g e x f x ，因此任意),0[+∞∈x ，0)(<x f .（12分） 考点：1.利用导数研究函数的单调性；2.导数的综合应用.【思路点晴】本题考查了利用导数研究函数的单调性,导数的综合应用等知识点,是压轴题.在（2）中,注意等价转换,对任意的),0[+∞∈x ，0)(<x f 等价于对任意的),0[+∞∈x ，2sin 20x ax a e -+-<,再构造函数e a ax x x g -+-=2sin )(2,利用单调性,求出函数()g x 的最大值, 即e a ax x a e a x a x x g -+-+=-+-=241sin sin 412cos 41sin )(002020max ,把0sin x 看成一个整体,就转化为二次函数最大值.本题多次等价转化,难度大,综合性强.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，⊙1O 和⊙2O 公切线AD 和BC 相交于点D ，C B A 、、为切点，直线1DO 交⊙1O 于G E 、两点，直线2DO 交⊙2O 于H F 、两点. （1）求证：DHG DEF ∆∆~；（2）若⊙1O 和⊙2O 的半径之比为16:9，求DFDE的值.【答案】（1）证明见解析；（2）32. 【解析】试题分析：（1）利用切割线定理求出DH DF DG DE ⨯=⨯,又HDG EDF ∠=∠,可得DHGDEF ∆∆~；考点：1.切割线定理；2.相似三角形.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程是是参数）t t y t x (242222⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C 的极坐标方程为)4cos(4πθρ+=.（1）判断直线l 与曲线C 的位置关系；（2）过直线l 上的点作曲线C 的切线，求切线长的最小值.【答案】（1）直线与圆相离；（2）【解析】试题分析：（1）将直线的参数方程化为普通方程,曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程,利用圆心到到直线的距离与圆的半径大小关系,得出结果；（2）求出圆心到直线的距离,利用勾股定理求出切线长.考点：1.参数方程化为普通方程和极坐标方程化为直角坐标方程；2.直线与圆位置关系；3.点到直线距离公式.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知关于x 的不等式：12≤-m x 的整数解有且仅有一个值为2. （1）求整数m 的值；（2）已知R c b a ∈,,，若m c b a =++444444，求222c b a ++的最大值. 【答案】（1）4=m ；（2）3. 【解析】试题分析：（1）解含有绝对值的不等式,由于不等式仅有一个整数解2,求出整数m 的值；（2）利用柯西不等式得到222c b a ++的范围,求出最大值. 试题解析：解：（1）由12≤-m x ，得2121+≤≤-m x m ，∴不等式的整数解为2，∴5321221≤≤⇒+≤≤-m m m ， 又不等式仅有一个整数解2，∴4=m .（5分） （2）显然1444=++c b a ，由柯西不等式可知：])()())[(111()(2222222222222c b a c b a ++++≤++， 所以3)(2222≤++c b a 即3222≤++c b a ，当且仅当33222===c b a 时取等号，最大值为3.（10分） 考点：1.含有一个绝对值不等式的解法; 2.柯西不等式的应用.。
吉林省实验中学2020届高三第二次模拟理科数学考试试题(含答案)讲解学习
吉林省实验中学2020届高三第二次模拟理科数学考试试题(含答案)吉林省实验中学2020届高三第二次模拟考试数学学科（理）试题一、选择题（每小题5分，共60分）1. 若集合{}22<-∈=x N x A ,{}2)1(log 2<+=x x B ,则B A I 为（ ）A. {}31<<x xB.{}211<<x xC.{}3,2,1 D.{}2,1 2. 命题“2)2(log ),3,1(23>+∈∀x x x ”的否定为（ ） A. 2)2(log ),3,1(23<+∈∀x x x B.2)2(log ),3,1(02030>+∈∃x x x B. 2)2(log ),3,1(23≤+∈∀x x x D.2)2(log ),3,1(02030≤+∈∃x x x3. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=0,log 0,12)(21x x x x f x ，若0)(=-a x f 有两个零点，则a 的范围（ ）A. ),1(+∞B.[),0+∞C. ]2,1(D. ),2(+∞ 4. “21<<y x 或”是”3<+y x ”的（ ）条件A. 充分不必要B.必要不充分C. 充分必要D.即不充分也不必要5. 函数)4(log 4)(21++-=x x x f 的值域是（ ）A. (]4,4-B. [)4,3-C.[)+∞-,3D.(]3,-∞-6. 已知[]x a e x p ln ,,1:2<∈∀，04,:0200=++∈∃a x x R x q 使，若命题""q p ∧为假，则a 的取值范围是（ ）A. ()+∞,0B.()+∞,4C. [)+∞,0D.[)4,07. 设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且满足)6()4(x f x f -=-，则=+++)2020()2()1(f f f Λ（ ）A. 无法确定B. 0C. 2D. 48. 设)(x f 是定义在R 上的偶函数，对()+∞∈∀,0,21x x ，当21x x ≠时，总有()[]0)()(2121<--x f x f x x 成立，则（ ）A. )2()2()41(log 32233-->>f f fB. )2()2()41(log 23323-->>f f fC. )41(log )2()2(33223f f f >>-- D. )41(log )2()2(32332f f f >>--9. 已知x x f ln 3)(=，⎩⎨⎧>+-≤-=1,341,22)(2x x x x x x g ，令)()()(x g x f x h -=，则函数)(x h y =的零点个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 410. 设)(x f 是定义在R 的函数，满足0)(2)2(=++x f x f π，且[]0,2π-∈x 时，x x f sin )(=，若对(]a x ,∞-∈∀，恒有4)(≤x f 成立，则a 的最大值为（ ） A. 25π B. 29π C. 625π D. 631π11. 若点P 的坐标满足1ln -=x y ，则点P 的轨迹为（ ）A. B.C. D.12. 设函数()f x 在R 上存在导数()f x '， x R ∀∈，有()()2f x f x x -+=，且()+∞∈,0x 时总有x x f <')(成立，若02135)()13(2>----++a a a f a f ，则实数a 的取值范围为（ ）A. ⎥⎦⎤ ⎝⎛-21,21B. ⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-21,C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-21,D. ⎪⎭⎫⎝⎛+∞-,21二、填空题（每题5分，共20分）13. 集合{}52<<-=x x A ，()12,1+-=m m B ，若A B A =Y ，则m 的取值范围是 .14. 已知函数)(x f 的定义域为R ，对21x x <∀，都有2121)()(x x x f x f ->-，且1)2(=f ，则不等式x x f 2121log 1)(log <+的解集为 .15. 若对R x x ∈∀21,，总有4)()()(++=+y f x f y x f 成立，则)(4cos sin )(x f x xx g ++=的最大值和最小值的和为 .16. 若曲线21:(0)C y ax a => 与曲线2:x C y e = 存在公共切线，则a 的取值范围是 .三、解答题（一）必做题，共60分17. 在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且满足C C A B sin 23cos sin sin +=。
吉林省实验中学高三数学模拟试卷(理科)
吉林省实验中学高三数学模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．2．（5分）（2008•天津）把函数y=sinx （x ∈R ）的图象上所有点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函．，，C，，的图象向左平行移动个单位得到）再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的2x+3．（5分）命题甲：p 是q 的充分条件；命题乙：p 是q 的充分必要条件，则命题甲是命题4．（5分）（2012•增城市模拟）等比数列{a n}的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，则5．（5分）已知函数f（x）是定义域为R的偶函数，且，若f（x）在[﹣上的单调性，再由可得出函数的由题意故有2t﹣27．（5分）已知数列{a n}中，且{a n}单调递增，则k的取值范围是8．（5分）（2012•陕西）在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a2+b2=2c2，．．．cosC=9．（5分）（2011•江西）已知数列{a n}的前n项和s n满足：s n+s m=s n+m，且a1=1，那么a10=10．（5分）如图是函数f（x）=x2+ax+b的部分图象，则函数g（x）=lnx+f′（x）的零点所在的区间是（））和）=ln+1+a）的零点所在的区间是（，11．（5分）（2013•锦州二模）已知正项等比数列{a n}满足：a3=a2+2a1，若存在两项a m，a n，使得，则的最小值为（）．．．使得，由此能求出∴，使得∴，∴∴∴（[（+）（5+2，所以，．）时，x=＞＞二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）（2008•徐汇区二模）已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2=﹣6．14．（5分）（2012•荆州模拟）定义在（﹣1，1）上的函数f（x）=﹣5x+sinx，如果f（1﹣a）+f（1﹣a2）＞0，则实数a的取值范围为（1，）．解得：故答案为：15．（5分）（2012•天津）已知集合A={x∈R||x+2|＜3}，集合B={x∈R|（x﹣m）（x﹣2）＜0}，且A∩B=（﹣1，n）．则m=﹣1，n=1．16．（5分）定义一个对应法则f：P（m，n）→P（，），（m≥0，n≥0）．现有点A（2，6）与点B（6，2），点M是线段AB上一动点，按定义的对应法则f：M→M′．当点M在线段AB上从点A开始运动到点B结束时，点M的对应点M′所经过的路线长度为．（，（（OX=线长度为故答案为三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）在△ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且sinA=，（1）求A+B的值；（2）若a﹣b=，求a、b、c的值．sinA=sinB=，利用余弦定理sinA=sinB=cosA=cosB=sinAsinB=•=．sinA=sinB==得：=b=a=﹣=×（﹣，18．（12分）已知函数，．（Ⅰ）求f（x）的最大值和最小值；（Ⅱ）若不等式|f（x）﹣m|＜2在上恒成立，求实数m的取值范围．）[，]﹣[ ]（﹣cos2x﹣[，]∴≤≤，）[，]19．（12分）（2007•陕西）如图，在底面为直角梯形的四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD，PA=4，AD=2，AB=2，BC=6．（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）求二面角P﹣BD﹣D的大小．，．∴，∴得，∴的大小为20．（12分）已知数列{a n}满足．（1）求证：数列{a n+1﹣a n}是等比数列，并求{a n}的通项公式；（2）记数列{a n}的前n项和S n，求使得S n＞21﹣2n成立的最小整数n．）证明：时，也满足从而可得21．（12分）（2012•怀化二模）设x1，x2（x1≠x2）是函数f（x）=ax3+bx2﹣a2x（a＞0）的两个极值点．（1）若x1=﹣1，x2=2，求函数f（x）的解析式；（2）若，求b的最大值．（3）若x1＜x＜x2，且x2=a，g（x）=f'（x）﹣a（x﹣x1），求证：．从而，可得，利用配方法即可∴∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣得∵，∴∴∴═3a22．（12分）已知S n=1+++…+，（n∈N*），设f （n）=S2n+1﹣S n+1，试确定实数m的取值范围，使得对于一切大于1的自然数n，不等式恒成立．恒成立．所以只要++（恒成立．所以只要＞，得＞高考资源网版权所有！投稿可联系QQ：1084591801。
数学---吉林省实验中学2017届高三下学期第八次模拟考试(期中)试题(理)
吉林省实验中学2017届高三下学期第八次模拟考试（期中）数学试题（理）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） （1）若2i2iz -=+，则z ＝（ ） （A ）15（B ）1 （C ）5（D ）25（2）设集合{}2230A x x x =--<，{}|2|2≤B x x =-，则（ ） （A ）(]1,0- （B ）[)0,3 （C ）(]3,4（D ）()1,3-（3）已知平面向量(1,),(2,5),(,0)m m ===a b c ，且()a c +⊥()a b -，则m =（ ） （A）3 （B）3 （C）3±（D）3-（4）已知1sin()123πα-=，则5cos()12πα+的值等于（ ） （A ）13（B（C ）13-（D） （5）函数sin (0)ln ||xy x x =≠的部分图象大致是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）（6）已知表示不超过．．．x 的最大．．整数．执行如图所示的程序框图，若输入x 的值为2.4，则输出z 的值为（ ）A B =（A ）1.2 （B ）0.6 （C ）0.4（D ）－0.4（7）某班班会准备从含甲、乙的6名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有（ ） （A ）336种 （B ）320种 （C ）192种（D ）144种（8）若一个空间几何体的三视图如图所示，，则其表面积为（ ）（A ）32π（B ）32π（C ）34π+（D ）34π（9）已知将函数21()cos cos 2f x x x x +-的图象向左平移512π个单位长度后得到()y g x =的图象，则()g x 在,123ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为（ ）（A ）1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （B ）11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （C）12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （D）12⎡-⎢⎣⎦（10）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，过其左焦点F 作x 轴的垂线，交双曲线于A 、B两点，若双曲线的右顶点在以AB 为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是（ ） （A ）3(1,)2（B ）(1,2) （C ）3(,)2+∞（D ）(2,)+∞（11）已知三棱锥S ABC -外接球的直径6SC =，且3AB BC CA ===，则三棱锥S ABC -的体积为（ ） （A（B（C（D（12）已知函数()()()11 232 [2)x x f x f x x ⎧--∈-∞⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，，，则函数()()cos g x f x x π=-在区间[]08，内所有零点的和为（ ）（A ）16 （B ）30 （C ）32（D ）40二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分．）（13）△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边，若cos 2cos C a cB b-=， 则B = ． （14）已知变量,x y 满足约束条件26x yy x x y ⎧⎪⎨⎪+⎩≤≤≤ ，则2z x y =-的取值范围是_________．（15）若二项式261)x+的展开式中的常数项为m ，则21(2)d m x x x -=⎰_________． （16）关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请200名同学，每人随机写下一个都小于1的正实数对（x ，y ）；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对（x ，y ）的个数m ；最后再根据统计数m 来估计π的值．假如统计结果是m ＝56，那么可以估计π≈__________．（用分数表示）三、解答题：（解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．） （17）（本小题满分12分）已知正项等比数列{}n a 满足123,2,6a a a +成等差数列，且24159a a a =． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设(1)n n n b a =+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．（18）（本小题满分12分）为选拔选手参加“中国谜语大会”，某中学举行了一次“谜语大赛”活动．为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n ）进行统计．按照[50,60)，[60,70)，[70,80)， [80,90)，[90,100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50,60)，[90,100]的数据）．（Ⅰ）求样本容量n 和频率分布直方图中的x 、y 的值；（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取3 名学生参加“中国谜语大会”，设随机变量X 表示所抽取的3名学生中得分在[80,90)内的学生人数，求随机变量X 的分布列及数学期望．成绩（分）频率组距y0.0100.040x 0.0161009080706050O（19）（本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥平面ABC ，△ABC 为等腰直角三角形，90BAC ∠= ，且1,,AB AA E F =分别是1,CC BC 的中点．（Ⅰ）求证：1B F ⊥平面AEF ； （Ⅱ）求锐二面角1B AE F --的余弦值．（20）（本小题满分12分）已知12,F F 分别为椭圆22:132x y C +=的左、右焦点，点00(,)P x y 在椭圆C 上．（Ⅰ）求12PF PF ⋅的最小值；（Ⅱ）若00y >且1120PF F F ⋅=，已知直线:(1)l y k x =+与椭圆C 交于两点A B 、，过点P 且平行于直线l 的直线交椭圆C 于另一点Q ，问：四边形PABQ 能否成为平行四边形？若能，请求出直线l 的方程；若不能，请说明理由．FE C 1B 1A 1CB A（21）（本小题满分12分） 已知函数()()ln af x x a R x=+∈． （Ⅰ）若函数()f x 在1x =处的切线平行于直线20x y -=，求实数a 的值；（Ⅱ）判断函数()f x 在区间2e ,)-⎡+∞⎣上零点的个数；（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若在[]()1,e e 2.71828...=上存在一点0x ，使得()0001x mf x x +<成立，求实数m 的取值范围．请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． （22）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，已知曲线:sin x C y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），在以原点O 为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线lcos()14πθ+=-． （Ⅰ）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）过点(1,0)M -且与直线l 平行的直线1l 交C 于A B 、两点，求点M 到A B 、两 点的距离之积．（23）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数1()||||(0)f x x a x aa=+++>．（Ⅰ）当2a=时，求不等式()3f x>的解集；（Ⅱ）证明：1()()4f m fm+-≥．【参考答案】一、选择题：二、填空题： （13）π3（14）[]6,0-（15）23（16）7825三、解答题：（17）解：（Ⅰ）设正项等比数列{}n a 的公比为()0>q q由399923242235124±=⇒==⇒==q a a q a a a a ,因为0>q ,所以3=q . 又因为6,2,321+a a a 成等差数列,所以()3012690461111231=⇒=-++⇒=-++a a a a a a a所以数列{}n a 的通项公式为n n a 3=. （Ⅱ）依题意得()n n n b 312⋅+=,则()n n n T 312373533321⋅++⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅=…………①()()14323123123735333+⋅++⋅-+⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅=n n n n n T …………②由②-①得()()2321333323122-+⋅⋅⋅++⋅-⋅+=+nn n n T ()1212132331332312+++⋅=---⋅-⋅+=n n n n n所以数列{}n b 的前n 项和13+⋅=n n n T（18）解：（Ⅰ）由题意可知，样本容量8500.01610n ==⨯，20.0045010y ==⨯，0.1000.0040.0100.0160.0400.030x =----=（Ⅱ）由题意可知，分数在[80,90)内的学生有5人，分数在[90,100]内的学生有2人，共7人.抽取的3名学生中得分在[80,90)的人数X 的可能取值为1，2，3，则125237C C 51(1)C 357P X ====，215237C C 204(2)C 357P X ====，305237C C 102(3)C 357P X ====.所以X 的分布列为所以()142151237777E X =⨯+⨯+⨯=. （19）解：（Ⅰ）连结AF ，∵F 是等腰直角三角形ABC ∆斜边BC 的中点，∴AF BC ⊥. 又三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱， ∴面ABC ⊥面11BB C C ， ∴AF ⊥面11BB C C ，1AF B F ⊥. 设11AB AA ==，则1132B F EF B E ===. ∴22211B F EF B E +=，∴1B F EF ⊥. 又AF EF F = ，∴ 1B F ⊥平面AEF .（Ⅱ）以F 为坐标原点，,FA FB 分别为,x y 轴建立直角坐标系如图，设11AB AA ==，则11(0,0,0),((0,(0,)2222F A B E -，1()2AE =，1(AB = .由（Ⅰ）知，1B F ⊥平面AEF ，∴可取平面AEF的法向量1m FB == .设平面1B AE 的法向量为(,,)n x y z =，由110,0,0,2020,022x y z n AE z n AB z x y z ⎧+=⎪⎧=+-=⎪⎪⇒⇒⎨⎨=-=⎪⎪⎩-++=⎪⎩∴可取(3,1n =-. 设锐二面角1B AE F --的大小为θ，则03(1)1cos |cos ,|6||||m nm n m n θ⨯-+⨯=<>===∴所求锐二面角1B AE F --的余弦值为6（20）解：（Ⅰ）由题意可知12(1,0),(1,0)F F -，则100200(1,),(1,)PF x y PF x y =---=-- 2212001PF PF x y ∴⋅=+- ， 点00(,)P x y 在椭圆C 上 2200132x y ∴+=，即2200223x y =-2220012002211(33x x PF PF x x ∴⋅=+--=+≤≤∴当00x =时，12PF PF ⋅的最小值为1.（Ⅱ）12000, 1, 0 (PF PF x y P ⋅=∴=->∴-设1122(,),(,)A x y B x y ，由22(1)132y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(23)63(2)0k x k x k +++-=22121222636,2323k k x x x x k k -∴+=-=++，12AB x ∴=-= (//P PQ AB - ∴直线PQ 的方程为(1)y k x =+ 由22(1)3132y k x x y ⎧-=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得222(23)6(3(6033k x k k x k +++++-= C222323Q P Qkx PQ xk--∴=∴=-=+若四边形PABQ能成为平行四边形，则AB PQ==解得k=，则符合题意的直线l存在，且方程为1)y x=+，即10x+=（21）解：（Ⅰ）()21'af xx x=-,函数()f x在1x=处的切线平行于直线20x y-=.()112,1f a a'∴=-=∴=-.（Ⅱ）令=)(xf0ln=+xax，2e,)x-⎡∈+∞⎣得xxa ln=-记∈=xxxxH,ln)(2e,)-⎡+∞⎣，,ln1)('xxH+=由此可知)(xH在21e,e--⎡⎤⎣⎦上递减，在1(e,)-+∞上递增，且,2)(22---=eeH,)(11---=eeH+∞→x时+∞→)(xH故ea1>时，)(xf在2e,)-⎡+∞⎣无零点221eaea<=或时，)(xf在2e,)-⎡+∞⎣恰有一个零点eae122<≤时，)(xf在2e,)-⎡+∞⎣有两个零点（Ⅲ）在[]()1, 2.71828...e e=上存在一点x,使得()001x mf xx+<成立等价于函数()()11lnmh x x mf x x m xx x x=+-=+-+在[]1,e上的最小值小于零.()()()222221111'1x x mm m x mx mh xx x x x x+-----=---==,①当1m e+≥时,即1m e≥-时,()h x在[]1,e上单调递减,所以()h x的最小值为()h e,由()10m h e e m e +=+-<可得211e m e +>-,22111,11e e e m e e ++>-∴>-- ； ②当11m +≤时,即0m ≤时,()h x 在[]1,e 上单调递增,所以()h x 的最小值为()1h ,由()1110h m =++<可得2m <-；③当11m e <+<时,即01m e <<-时,可得()h x 的最小值为()()()()()1,0ln 11,0ln 1,12ln 12h m m m m m h m m m m +<+<∴<+<+=+-+> 此时,()10h m +<不成立.综上所述:可得所求m 的范围是211e m e +>-或2m <-（22）解：（Ⅰ）曲线C 化为普通方程为：2213x y +=, 由1)4cos(22-=+πθρ，得2sin cos -=-θρθρ， 所以直线l 的直角坐标方程为 02=+-y x .（Ⅱ）直线1l的参数方程为1,.x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）， 代入2213x y +=化简得：2220t -=， 设B A ,两点所对应的参数分别为21,t t ，则121t t =-，∴12||||||1MA MB t t ⋅==.（23）解：（Ⅰ）当2a =时, 1()|2|||2f x x x =+++,原不等式等价于 21232x x x <-⎧⎪⎨---->⎪⎩或1221232x x x ⎧-≤≤-⎪⎪⎨⎪+-->⎪⎩或121232x x x ⎧>-⎪⎪⎨⎪+++>⎪⎩ 解得: 114x <-或x ∈Φ或14x >,所以不等式的解集为{11|4x x <-或1}4x >（Ⅱ）11111 ()()|||||||| f m f m a m am a m m a +-=++++-++-+111111||||||||2||2(||||)4 m a a m m mm a m a m m=++-++++-+≥+=+≥。
吉林省吉林大学附属中学2020届高三数学第八次模拟考试试题 理(含解析)
吉林省吉林大学附属中学2020届高三数学第八次模拟考试试题理（含解析）第Ⅰ卷（选择题60分）一、选择题（本大题包括12个小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只．有一项．．．是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）．1. 已知集合，则集合中元素的个数为A. B. C. D.【答案】D本题选择D选项.2. 已知复数的实部和虚部相等，则A. B. C. D.【答案】D【解析】令,解得故．3. 已知是上的奇函数，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】∵函数f(x)是奇函数，∴若x1+x2=0，则x1=−x2，则f(x1)=f(−x2)=−f(x2)，即f(x1)+f(x2)=0成立，即充分性成立，若f(x)=0,满足f(x)是奇函数,当x1=x2=2时，满足f(x1)=f(x2)=0,此时满足f(x1)+f(x2)=0，但x1+x2=4≠0，即必要性不成立，故“x1+x2=0”是“f(x1)+f(x2)=0”的充分不必要条件，本题选择A选项.4. 在等比数列中，已知，则A. B.C. D.【答案】B【解析】由题意可得：，解得：.本题选择B选项.5. 若,则直线必不经过A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】令x=0，得y=sinα<0，令y=0，得x=cosα>0，直线过(0,sinα)，(cosα,0)两点，因而直线不过第二象限。
本题选择B选项.6. 《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该著作完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用．如图所示的程序框图的算法思路源于该著作中的“李白沽酒”问题，执行该程序框图，若输出的的值为，则输入的的值为A. B. C. D.【答案】C【解析】阅读流程图，程序运行如下：首先初始化：，进入循环结构：第一次循环：，此时满足，执行 ;第二次循环：，此时满足，执行 ;第三次循环：，此时满足，执行 ;第四次循环：，此时不满足，跳出循环，输出结果为：，由题意可得： .本题选择C选项.7. 圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝A. B. C. D.【答案】B【解析】由几何体三视图中的正视图和俯视图可知，截圆柱的平面过圆柱的轴线，该几何体是一个半球拼接半个圆柱，∴其表面积为：，又∵该几何体的表面积为16+20π，∴，解得r=2，本题选择B选项.点睛：三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．8. 某游戏中一个珠子从的通道(图中实线表示通道)由上至下滑下,从最下面的六个出口(如图所示1、2、3、4、5、6)出来，规定猜中出口者为胜．如果你在该游戏中，猜得珠子从3号出口出来，那么你取胜的概率为A. B. C. D. 以上都不对【答案】A【解析】我们把从A到3的路线图单独画出来：分析可得，从A到3总共有种走法，每一种走法的概率都是12，∴珠子从出口3出来是.本题选择A选项.9. 设是平面上的两个单位向量，.若则的最小值是A. B. C. D.【答案】C【解析】∵，是平面上的两个单位向量，，∴，则的最小值为，故选C.点睛：本题考查了向量的模，数量积表示两个向量的夹角及向量模的最小值的求法，属于基础题；在求向量的模长时，最常用的方法就是对其进行平方，将其转化为向量的数量积，在该题中的最小值，即求其平方的最小值，其平方后变成关于的二次函数，利用二次函数的最值求法即可求.10. 0已知实数满足不等式组若直线把不等式组表示的平面区域分成上、下两部分的面积比为，则A. B. C. D.【答案】A【解析】作出不等式组对应平面区如图(三角形ABC部分),A(0,1),B(1,−1)，∵直线y=k(x+1)过定点C(−1,0)，∴C点在平面区域ABC内，∴点A到直线y=k(x+1)的距离，点B到直线y=k(x+1)的距离，∵直线y=k(x+1)把不等式组表示的平面区域分成上、下两部分的面积比为1:2，∴，解得 .本题选择A选项.点睛：简单的线性规划有很强的实用性，线性规划问题常有以下几种类型：（1）平面区域的确定问题；（2）区域面积问题；（3）最值问题；（4）逆向求参数问题．而逆向求参数问题，是线性规划中的难点，其主要是依据目标函数的最值或可行域的情况决定参数取值．若目标函数中含有参数，则一般会知道最值，此时要结合可行域，确定目标函数取得最值时所经过的可行域内的点（即最优解），将点的坐标代入目标函数求得参数的值．11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，且焦点与椭圆的焦点相同，离心率为，若双曲线的左支上有一点到右焦点的距离为为的中点，为坐标原点，则等于A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意可得，双曲线方程为，左、右焦点分别为F1、F2，左支上有一点M到右焦点F2的距离为18，N是MF2的中点，连接MF1，ON是△MF1F2的中位线，∴ON∥MF1，，∵由双曲线的定义知，MF2−MF1=2×5，∴MF1=8.ON=4.本题选择D选项.12. 不共面的三条定直线l1,l2,l3互相平行，点A在l1上，点B在l2上，C、D两点在l3上，若CD=a(定值），则三棱锥A—BCD的体积A. 随着A点的变化而变化B. 随着由B点的变化而变化C. 有最大值，无最小值D. 为定值【答案】D【解析】因为三条平行线是固定的，所以B到CD的距离是定值，所以三角形BCD的面积是定值，A到三角形BCD的距离也是定值，所以三棱锥A−BCD的体积=定值.本题选择D选项.点睛：求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题、23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题（本大题包括4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）．13. 椭圆的短轴长为，则__________．【答案】2【解析】试题分析：由题意得考点：椭圆方程几何性质14. 有9个外表看上去一样的小球,其中8个重10克，1个重9克，现有一架天平，问至少称_______次可以确保把轻球挑出来．【答案】2【解析】很明显一次无法完成任务.把9个乒乓球，三三组合，则可以分成3组，用天平去称，第一次称两组：①若天平平衡，则轻球在第三组，第二次称第三组其中的两个球，若天平平衡，则轻球就是第三个，若不平衡，轻的一边就是轻球；②若天平不平衡，则轻球在轻的一边，第二次称轻的一边三个球中的两个，若平衡，第三个就是轻球，若不平衡，轻的一边就是轻球；故答案为：2．15. 由正整数组成的一组数据x1，x2，x3，x4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为__________.【答案】1，1，3，3.【解析】由题意知：x2+x3=4，x1+x4=4，容易得答案.考点：本题考查平均数与中位数及标准差的求解.16. 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝a，CD＝b(a>b).若EF∥AB，EF到CD与AB的距离之比为m:n，则可推算出：EF＝，利用以上结论，推想出下面问题的结果．在上面的梯形ABCD中，分别延长梯形的两腰AD和BC交于O点，设△OAB，△ODC的面积分别为S1，S2，则△OEF的面积S0＝__________（利用m，n，S1，S2表示）．【答案】.【解析】在平面几何中类比几何性质时，一般为：由平面几何点的性质，类比推理线的性质；由平面几何中线段的性质，类比推理空间几何中面积的性质；故由：“”，类比到关于△OEF的面积S0与S1,S2的结论是：.点睛：合情推理包括归纳推理和类比推理，在进行类比推理时，要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑；否则只抓住一点表面现象甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．三、解答题（本大题包括6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．17.已知的内角的对边分别为，．（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）若，，求．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】试题分析：(1)由正弦定理边化角可得；(2)由题意结合余弦定理可得.试题解析：（Ⅰ）由正弦定理得，于是或（舍去）.因为，所以.（Ⅱ）由题意及余弦定理可知，①由得，即②，联立①②解得.所以.18.为庆祝“2020年中国长春国际马拉松赛”，某单位在庆祝晚会中进行嘉宾现场抽奖活动.抽奖盒中装有大小相同的6个小球，分别印有“长春马拉松”和“美丽长春”两种标志，摇匀后，规定参加者每次从盒中同时抽取两个小球(登记后放回并摇匀)，若抽到的两个小球都印有“长春马拉松”即可中奖，并停止抽奖，否则继续，但每位嘉宾最多抽取3次.已知从盒中抽取两个小球不都是“美丽长春”标志的概率为.(Ⅰ)求盒中印有“长春马拉松”标志的小球个数；(Ⅱ)用η表示某位嘉宾抽奖的次数，求η的分布列和期望．【答案】（Ⅰ）3；（Ⅱ）分布列见解析，期望为．【解析】试题分析：(1)利用题意结合对立事件公式可得；(2)利用题意可得的取值为，写出分布列，结合分布列可得期望为．试题解析：（Ⅰ）设印有“美丽长春”的球有n个，同时抽两球不都是“美丽长春”标志为事件A，则同时抽取两球都是“美丽长春”标志的概率是P()＝，由对立事件的概率：P(A)＝1－P()＝.即P()＝＝，解得n＝3.（Ⅱ）由已知，两种球各三个，η可能取值分别为1，2，3，P(η＝1)＝＝，P(η＝2)＝·＋·＝，P(η＝3)＝1－P(η＝1)－P(η＝2)＝.则η的分布列为η 1 2 3P所以E(η)＝1×＋2×＋3×＝.点睛：离散型随机变量的分布列指出了随机变量X的取值范围以及取各值的概率；要理解两种特殊的概率分布——两点分布与超几何分布；并善于灵活运用两性质：一是p i≥0(i＝1,2，…)；二是p1＋p2＋…＋p n＝1检验分布列的正误.19.如图，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC＝16，PA＝PC＝10.(Ⅰ)设G是OC的中点，证明：FG∥平面BOE；(Ⅱ)证明：在△ABO内存在一点M，使FM⊥平面BOE，并求点M到OA，OB的距离.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）【解析】试题分析：(1)建立空间直角坐标系，利用题意结合平面的法向量和直线的方向向量可得FG∥平面BOE；(2)设出点的坐标，利用空间直角坐标系可得点M到OA，OB的距离为.试题解析：（Ⅰ）如图，连接OP，易知OB，OC，OP两两垂直，以点O为坐标原点，分别以OB，OC，OP所在直线为x轴，y轴，x轴，建立空间直角坐标系O－xyz，则O(0，0，0)，A(0，－8，0)，B(8，0，0)，C(0，8，0)，P(0，0，6)，E(0，－4，3)，F(4，0，3).由题意，得G(0，4，0)因为＝(8，0，0)，＝(0，－4，3)，所以平面BOE的一个法向量为n＝(0，3，4).由＝(－4，4，－3)，得n·＝0，即n⊥.又直线FG不在平面BOE内，所以FG∥平面BOE.（Ⅱ）设点M的坐标为(x0，y0，0)，则＝(x0－4，y0，－3).所FM⊥平面BOE，所以∥n.因此x0＝4，y0＝－，即点M的坐标是(4，－，0).在平面直角坐标系xOy中，△AOB的内部区域可表示为不等式组20. （本小题满分12分）如图，抛物线C1：x2＝4y，C2：x2＝－2py(p>0).点M(x0，y0)在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B(M为原点O时，A，B重合于O).当x0＝1－时，切线MA的斜率为－.(Ⅰ)求p的值；(Ⅱ)当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程(A，B重合于O时，中点为O). 【答案】（Ⅰ）2;;（Ⅱ）.【解析】解:(1)因为抛物线C1:x2=4y上任意一点(x,y)的切线斜率为y′=,且切线MA的斜率为-,所以A点坐标为.故切线MA的方程为y=- (x+1)+.因为点M(1-y0)在切线MA及抛物线C2上,于是y0=- (2-)+=-, ①y0=-=-. ②由①②得p=2.(2)设N(x,y),A,B,x1≠x2,由N为线段AB中点知x=, ③y=. ④切线MA,MB的方程为y=(x-x1)+, ⑤y=(x-x2)+. ⑥由⑤⑥得MA,MB的交点M(x0,y0)的坐标为x0=,y0=.因为点M(x0,y0)在C2上,即=-4y0,所以x1x2=-. ⑦由③④⑦得x2=y,x≠0.当x1=x2时,A,B重合于原点O,AB中点N为O,坐标满足x2=y.因此AB中点N的轨迹方程为x2=y.21.已知函数,.（Ⅰ）请判断方程在区间上的根的个数，并说明理由；（Ⅱ）判断的图像是否具有对称轴，如果有请写出一个对称轴方程，若不具有对称性，请说明理由；（Ⅲ）求证：．【答案】（1）4035;;（2）见解析．（3）见解析．【解析】试题分析：(1)利用题意结合函数的周期性可得方程在区间上的根的个数为4035；(2)函数的对称轴为，由即可验证结论；(3)利用题意对数列进行求和可得 .试题解析：（Ⅰ）因为对于恒成.所以与具有相同的根有的周期为2所以内有个根，又对称性知道内有2020个根，所以在上具有个根.（Ⅱ）具有对称性，猜想的对称轴是，下面进行验证：猜想成立。
吉林实验中学2024届高三考前热身数学试卷含解析
2024年高考数学模拟试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()sin()f x x ωθ=+，其中0>ω，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，其图象关于直线6x π=对称，对满足()()122f x f x -=的1x ，2x ，有12min2x x π-=，将函数()f x 的图象向左平移6π个单位长度得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的单调递减区间是（） A ．()2,6k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B ．(),2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦C ．()5,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D ．()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦2．下列函数中，图象关于y 轴对称的为（ ）A ．()f x =B ．)(f x =，[]1,2x ∈-C ．si 8)n (f x x =D ．2()x xe ef x x-+= 3．三棱锥S ABC -的各个顶点都在求O 的表面上，且ABC ∆是等边三角形，SA ⊥底面ABC ，4SA =，6AB =，若点D 在线段SA 上，且2AD SD =，则过点D 的平面截球O 所得截面的最小面积为（ ） A ．3πB ．4πC ．8πD ．13π4．已知曲线11(0x y aa -=+>且1)a ≠过定点(),kb ，若m n b +=且0,0m n >>，则41m n+的最小值为（ ）. A ．92 B ．9C ．5D ．525．若函数()222y sin x ϕϕπ⎛⎫< ⎪⎝+⎭=的图象经过点012π⎛⎫⎪⎝⎭，，则函数()()()22f x sin x cos x ϕϕ=-+-图象的一条对称轴的方程可以为( ) A ．24x π=-B ．3724x π=C ．1724x π=D ．1324x π=-6．为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ ）A ．向右平移5π6个长度单位 B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向左平移5π12个长度单位7．集合{}|212P x N x =∈-<-<的子集的个数是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．88．已知函数()2943,02log 9,0x x x f x x x ⎧+≤=⎨+->⎩，则函数()()y f f x =的零点所在区间为（ ） A ．73,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,0-C ．7,42⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()4,59．已知b a bc a 0.2121()2,log 0.2,===，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．b c a <<10．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．48122+B ．60122+C ．72122+D ．8411．若函数()()2sin 2cos f x x x θ=+⋅（02πθ<<）的图象过点()0,2，则（ ）A ．函数()y f x =的值域是[]0,2B ．点,04π⎛⎫⎪⎝⎭是()y f x =的一个对称中心 C ．函数()y f x =的最小正周期是2π D ．直线4x π=是()y f x =的一条对称轴 12．已知复数为纯虚数(为虚数单位)，则实数（ ）A ．-1B ．1C ．0D ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
吉林省实验中学2016届高三第八次模拟考试文数试题 含解析
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
）1。
已知全集R U =,集合{}22x x y x A -==，集合{}2,xB y y x R ==∈,则=B AC R)(（ ）A ．{}2>x xB ．{}10≤<x xC ．{}21≤<x xD ．{}0<x x 【答案】A考点:集合间的运算. 2。
已知复数i iz +-=12，则z 的共轭复数为（ )A ．i +1B ．i 21+C ．i 21-D ．i 32+【答案】C 【解析】 试题分析:22(1)1121(1)(1)i z i i i i i i i i +=+=+=++=+--+，所以z 的共轭复数12z i =-,故选C 。
考点：1。
复数的代数形式；2。
复数的运算;3.共轭复数。
3。
甲、乙、丙、丁四位同学各自对B A 、两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r 与残差平方和m 如下表：甲 乙 丙 丁 r0.820.780.690。
85m 106 115 124 103则哪位同学的试验结果体现B A 、两变量有更强的线性相关性（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁 【答案】D 【解析】试题分析：相关系数r 越接近于1和残差平方和m 越小,两变量A B 、的线性相关性越强。
故选D 。
考点：1。
相关系数r 和残差平方和m ；2.两变量的线性相关。
4。
下图是计算5121814121+⋅⋅⋅+++的值的一个程序框图，其中判断框内可以填的是（ ）A ．?12≥nB ．?11≥nC ．?10≥nD ．?9≥n【答案】C考点:程序框图。
5。
已知中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的离心率26=e ，其焦点到渐近线的距离为1,则此双曲线的方程为（ )A ．1222=-y xB ．13222=-y xC.1422=-y x D ．122=-y x【答案】A 【解析】试题分析：由题意设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，则离心率2262c a b e a a +===，所以 222a b =，焦点(,0)c ±到渐近线b y x a =±的距离为221bc bcb c b a ===+,所以22a =，双曲线方程为1222=-y x ，故选A 。
吉林省实验中学高考数学模拟试卷(理科)(解析版)
2021年吉林省实验中学高考数学模拟试卷〔理科〕〔九〕一、选择题：〔本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕1．设集合A={x|1＜x＜4}，集合B={x|x2﹣2x﹣3≤0}，则A∩〔∁R B〕=〔〕A．〔1，4〕B．〔3，4〕C．〔1，3〕D．〔1，2〕∪〔3，4〕2．命题p：∀x1，x2∈R，〔f〔x2〕﹣f〔x1〕〕〔x2﹣x1〕≥0，则￢p是〔〕A．∃x1，x2∈R，〔f〔x2〕﹣f〔x1〕〕〔x2﹣x1〕≤0B．∀x1，x2∈R，〔f〔x2〕﹣f〔x1〕〕〔x2﹣x1〕≤0C．∃x1，x2∈R，〔f〔x2〕﹣f〔x1〕〕〔x2﹣x1〕＜0D．∀x1，x2∈R，〔f〔x2〕﹣f〔x1〕〕〔x2﹣x1〕＜03．假设复数z满足z〔2﹣i〕=11+7i〔i为虚数单位〕，则z为〔〕A．3+5iB．3﹣5iC．﹣3+5iD．﹣3﹣5i4．{a n}是等差数列，公差d不为零，前n项和是S n，假设a3，a4，a8成等比数列，则〔〕A．a1d＞0，dS4＞0B．a1d＜0，dS4＜0C．a1d＞0，dS4＜0D．a1d＜0，dS4＞05．x，y满足约束条件，假设z=ax+y的最大值为4，则a=〔〕A．3B．2C．﹣2D．﹣36．阅读如下图的程序图，运行相应的程序输出的结果s=〔〕A．1B．4C．9D．167．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如下图，其中支出在[50，60〕元的同学有30人，则n的值为〔〕A．100B．1000C．90D．9008．关于正态曲线性质的表达：①曲线关于直线x=μ对称，这个曲线在x轴上方；②曲线关于直线x=σ对称，这个曲线只有当x∈〔﹣3σ，3σ〕时才在x轴上方；③曲线关于y轴对称，因为曲线对应的正态密度函数是一个偶函数；④曲线在x=μ时处于最高点，由这一点向左右两边延伸时，曲线逐渐降低；⑤曲线的对称轴由μ确定，曲线的形状由σ确定；⑥σ越大，曲线越“矮胖〞，σ越小，曲线越“高瘦〞．上述说法正确的选项是〔〕A．①④⑤⑥B．②④⑤C．③④⑤⑥D．①⑤⑥9．节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒的概率是〔〕A．B．C．D．10．抛物线y2=4x的焦点到双曲线的渐近线的距离是〔〕A．B．C．1D．11．假设某几何体的三视图〔单位：cm〕如下图，则此几何体的体积等于______cm2．〔〕A．16B．18C．24D．2612．函数f〔x〕=﹣cosx在[0，+∞〕内〔〕A．没有零点B．有且仅有一个零点C．有且仅有两个零点D．有无穷多个零点二、填空题：〔本大题共4小题，每题5分，共20分〕13．向量夹角为45°，且，则=．14．〔1+x〕8〔1+y〕4的展开式中x2y2的系数是．15．sinxdx=．16．半球内有一内接正方体，则这个半球的外表积与正方体的外表积之比是．三、解答题：〔本大题共5小题，共70分．解容许写出说明文字，证明过程或演算步骤〕17．在平面直角坐标系xOy中，向量=〔，﹣〕，=〔sinx，cosx〕，x∈〔0，〕．〔1〕假设⊥，求tanx的值；〔2〕假设与的夹角为，求x的值．18．在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手〔1至5号〕登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢送歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．〔Ⅰ〕求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；〔Ⅱ〕X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列和数学期望．19．如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点．〔1〕求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；〔2〕求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．20．如图，点P〔0，﹣1〕是椭圆C1：+=1〔a＞b＞0〕的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2+y2=4的直径，l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A、B两点，l2交椭圆C1于另一点D．〔1〕求椭圆C1的方程；〔2〕求△ABD面积的最大值时直线l1的方程．21．设x1，x2〔x1≠x2〕是函数f〔x〕=ax3+bx2﹣a2x〔a＞0〕的两个极值点．〔1〕假设x1=﹣1，x2=2，求函数f〔x〕的解析式；〔2〕假设，求b的最大值．〔3〕假设x1＜x＜x2，且x2=a，g〔x〕=f'〔x〕﹣a〔x﹣x1〕，求证：．请考生在第22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E．〔1〕证明：△ABE∽△ADC；〔2〕假设△ABC的面积S=AD•AE，求∠BAC的大小．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为〔t为参数〕．在极坐标系〔与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴〕中，圆C的方程为ρ=2sinθ．〔Ⅰ〕求圆C的直角坐标方程；〔Ⅱ〕设圆C与直线l交于点A、B，假设点P的坐标为〔3，〕，求|PA|+|PB|．[选修4-5：不等式选讲]24．例3．设a＞0，b＞0，解关于x的不等式：|ax﹣2|≥bx．2021年吉林省实验中学高考数学模拟试卷〔理科〕〔九〕参考答案与试题解析一、选择题：〔本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕1．设集合A={x|1＜x＜4}，集合B={x|x2﹣2x﹣3≤0}，则A∩〔∁R B〕=〔〕A．〔1，4〕B．〔3，4〕C．〔1，3〕D．〔1，2〕∪〔3，4〕【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】由题意，可先解一元二次不等式，化简集合B，再求出B的补集，再由交的运算规则解出A∩〔∁R B〕即可得出正确选项【解答】解：由题意B={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3}，故∁R B={x|x＜﹣1或x＞3}，又集合A={x|1＜x＜4}，∴A∩〔∁R B〕=〔3，4〕应选B2．命题p：∀x1，x2∈R，〔f〔x2〕﹣f〔x1〕〕〔x2﹣x1〕≥0，则￢p是〔〕A．∃x1，x2∈R，〔f〔x2〕﹣f〔x1〕〕〔x2﹣x1〕≤0B．∀x1，x2∈R，〔f〔x2〕﹣f〔x1〕〕〔x2﹣x1〕≤0C．∃x1，x2∈R，〔f〔x2〕﹣f〔x1〕〕〔x2﹣x1〕＜0D．∀x1，x2∈R，〔f〔x2〕﹣f〔x1〕〕〔x2﹣x1〕＜0【考点】命题的否认．【分析】由题意，命题p是一个全称命题，把条件中的全称量词改为存在量词，结论的否认作结论即可得到它的否认，由此规则写出其否认，对比选项即可得出正确选项【解答】解：命题p：∀x1，x2∈R，〔f〔x2〕﹣f〔x1〕〕〔x2﹣x1〕≥0是一个全称命题，其否认是一个特称命题，故¬p：∃x1，x2∈R，〔f〔x2〕﹣f〔x1〕〕〔x2﹣x1〕＜0．应选：C．3．假设复数z满足z〔2﹣i〕=11+7i〔i为虚数单位〕，则z为〔〕A．3+5iB．3﹣5iC．﹣3+5iD．﹣3﹣5i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】等式两边同乘2+i，然后化简求出z即可．【解答】解：因为z〔2﹣i〕=11+7i〔i为虚数单位〕，所以z〔2﹣i〕〔2+i〕=〔11+7i〕〔2+i〕，即5z=15+25i，z=3+5i．应选A．4．{a n}是等差数列，公差d不为零，前n项和是S n，假设a3，a4，a8成等比数列，则〔〕A．a1d＞0，dS4＞0B．a1d＜0，dS4＜0C．a1d＞0，dS4＜0D．a1d＜0，dS4＞0【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】由a3，a4，a8成等比数列，得到首项和公差的关系，即可推断a1d和dS4的符号．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，则a3=a1+2d，a4=a1+3d，a8=a1+7d，由a3，a4，a8成等比数列，得，整理得：．∵d≠0，∴，∴，=＜0．应选：B．5．x，y满足约束条件，假设z=ax+y的最大值为4，则a=〔〕A．3B．2C．﹣2D．﹣3【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面地域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面地域如图：〔阴影局部〕．则A〔2，0〕，B〔1，1〕，假设z=ax+y过A时取得最大值为4，则2a=4，解得a=2，此时，目标函数为z=2x+y，即y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，当直线经过A〔2，0〕时，截距最大，此时z最大为4，满足条件，假设z=ax+y过B时取得最大值为4，则a+1=4，解得a=3，此时，目标函数为z=3x+y，即y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，当直线经过A〔2，0〕时，截距最大，此时z最大为6，不满足条件，故a=2，应选：B6．阅读如下图的程序图，运行相应的程序输出的结果s=〔〕A．1B．4C．9D．16【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的n，s，a的值，当n=3时，不满足条件n ＜3，退出循环，输出s的值为9．【解答】解：模拟执行程序框图，可得a=1，s=0，n=1s=1，a=3满足条件n＜3，n=2，s=4，a=5满足条件n＜3，n=3，s=9，a=7不满足条件n＜3，退出循环，输出s的值为9，应选：C．7．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如下图，其中支出在[50，60〕元的同学有30人，则n的值为〔〕A．100B．1000C．90D．900【考点】用样本的频率分布估量总体分布．【分析】根据频率直方图的意义，由前三个小组的频率可得样本在[50，60〕元的频率，计算可得样本容量．【解答】解：由题意可知：前三个小组的频率之和=〔0.01+0.024+0.036〕×10=0.7，∴支出在[50，60〕元的频率为1﹣0.7=0.3，∴n的值=；应选A．8．关于正态曲线性质的表达：①曲线关于直线x=μ对称，这个曲线在x轴上方；②曲线关于直线x=σ对称，这个曲线只有当x∈〔﹣3σ，3σ〕时才在x轴上方；③曲线关于y轴对称，因为曲线对应的正态密度函数是一个偶函数；④曲线在x=μ时处于最高点，由这一点向左右两边延伸时，曲线逐渐降低；⑤曲线的对称轴由μ确定，曲线的形状由σ确定；⑥σ越大，曲线越“矮胖〞，σ越小，曲线越“高瘦〞．上述说法正确的选项是〔〕A．①④⑤⑥B．②④⑤C．③④⑤⑥D．①⑤⑥【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据正态曲线的性质，分析选项，即可得出结论．【解答】解：根据正态曲线的性质，曲线关于直线x=μ对称，当x∈〔﹣∞，+∞〕时，正态曲线全在x轴上方，故①正确，②不正确；只有当μ=0时，正态曲线才关于y轴对称，故③不正确；曲线关于直线x=μ对称，曲线在x=μ时处于最高点，由这一点向左右两边延伸时，曲线逐渐降低，故④正确；曲线的对称轴由μ确定，曲线的形状由σ确定；σ越大，曲线越“矮胖〞，σ越小，曲线越“高瘦〞．故⑤⑥正确．应选：A．9．节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒的概率是〔〕A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x，y，由题意可得0≤x≤4，0≤y≤4，要满足条件须|x﹣y|≤2，作出其对应的平面地域，由几何概型可得答案．【解答】解：设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x，y，由题意可得0≤x≤4，0≤y≤4，它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒，则|x﹣y|≤2，由几何概型可得所求概率为上述两平面地域的面积之比，由图可知所求的概率为：=应选C10．抛物线y2=4x的焦点到双曲线的渐近线的距离是〔〕A．B．C．1D．【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．【分析】根据抛物线的标准方程，算出抛物线的焦点F〔1，0〕．由双曲线标准方程，算出它的渐近线方程为y=±x，化成一般式得：，再用点到直线的距离公式即可算出所求距离．【解答】解：∵抛物线方程为y2=4x∴2p=4，可得=1，抛物线的焦点F〔1，0〕又∵双曲线的方程为∴a2=1且b2=3，可得a=1且b=，双曲线的渐近线方程为y=±，即y=±x，化成一般式得：．因此，抛物线y2=4x的焦点到双曲线渐近线的距离为d==应选：B11．假设某几何体的三视图〔单位：cm〕如下图，则此几何体的体积等于______cm2．〔〕A．16B．18C．24D．26【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图得出该几何体是直三棱柱，去掉一个底面相同的三棱锥，求出它的体积即可．【解答】解：根据几何体的三视图得：该几何体是底面为直角三角形，高为5的直三棱柱，去掉一个底面为相同的直角三角形，高为3的三棱锥，∴该几何体的体积为：V几何体=V三棱柱﹣V三棱锥=×4×3×5﹣××4×3×3=24应选：C．12．函数f〔x〕=﹣cosx在[0，+∞〕内〔〕A．没有零点B．有且仅有一个零点C．有且仅有两个零点D．有无穷多个零点【考点】函数零点的判定定理．【分析】根据余弦函数的最大值为1，可知函数在[π，+∞〕上为正值，在此区间上函数没有零点，问题转化为商量函数在区间[0，π〕上的零点的求解，利用导数商量单调性即可．【解答】解：f′〔x〕=+sinx①当x∈[0．π〕时，＞0且sinx＞0，故f′〔x〕＞0∴函数在[0，π〕上为单调增取x=＜0，而＞0可得函数在区间〔0，π〕有唯一零点②当x≥π时，＞1且cosx≤1故函数在区间[π，+∞〕上恒为正值，没有零点综上所述，函数在区间[0，+∞〕上有唯一零点二、填空题：〔本大题共4小题，每题5分，共20分〕13．向量夹角为45°，且，则=3．【考点】平面向量数量积的运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【分析】由可得，=，代入|2|====可求【解答】解：∵，=1∴=∴|2|====解得故答案为：314．〔1+x〕8〔1+y〕4的展开式中x2y2的系数是168．【考点】二项式系数的性质．【分析】根据〔1+x〕8和〔1+y〕4的展开式的通项公式可得x2y2的系数．【解答】解：根据〔1+x〕8和〔1+y〕4的展开式的通项公式可得，x2y2的系数为C82•C42=168，故答案为：16815．sinxdx=0．【考点】定积分．【分析】直接根据定积分的计算法则计算即可．【解答】解：sinxdx=﹣cosx|=0，故答案为：016．半球内有一内接正方体，则这个半球的外表积与正方体的外表积之比是3π：4．【考点】球的体积和外表积．【分析】将半球补成整个的球，同时把原半球的内接正方体再补接一同样的正方体，构成的长方体刚好是这个球的内接长方体，那么这个长方体的对角线便是它的外接球的直径．【解答】解：将半球补成整个的球，同时把原半球的内接正方体再补接一同样的正方体，构成的长方体刚好是这个球的内接长方体，那么这个长方体的对角线便是它的外接球的直径．设原正方体棱长为a，球的半径是R，则根据长方体的对角线性质，得〔2R〕2=a2+a2+〔2a〕2，即4R2=6a2，∴R=\frac{\sqrt{6}}{2}a从而S半球的外表积=3πR2=πa2，S正方体=6a2，因此S半球的外表积：S正方体=3π：4，故答案为：3π：4．三、解答题：〔本大题共5小题，共70分．解容许写出说明文字，证明过程或演算步骤〕17．在平面直角坐标系xOy中，向量=〔，﹣〕，=〔sinx，cosx〕，x∈〔0，〕．〔1〕假设⊥，求tanx的值；〔2〕假设与的夹角为，求x的值．【考点】平面向量数量积的运算；数量积表示两个向量的夹角．【分析】〔1〕假设⊥，则•=0，结合三角函数的关系式即可求tanx的值；〔2〕假设与的夹角为，利用向量的数量积的坐标公式进行求解即可求x的值．【解答】解：〔1〕假设⊥，则•=〔，﹣〕•〔sinx，cosx〕=sinx﹣cosx=0，即sinx=cosxsinx=cosx，即tanx=1；〔2〕∵||=，||==1，•=〔，﹣〕•〔sinx，cosx〕=sinx﹣cosx，∴假设与的夹角为，则•=||•||cos=，即sinx﹣cosx=，则sin〔x﹣〕=，∵x∈〔0，〕．∴x﹣∈〔﹣，〕．则x﹣=即x=+=．18．在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手〔1至5号〕登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢送歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．〔Ⅰ〕求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；〔Ⅱ〕X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【分析】〔I〕设事件A表示：“观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手〞，观众甲选中3号歌手的概率为，观众乙未选中3号歌手的概率为1﹣=，利用互斥事件的概率公式，即可求得结论；〔II〕由题意，X可取0，1，2，3，求出相应的概率，即可得到X的分布列与数学期望．【解答】解：〔Ⅰ〕设事件A表示：“观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手〞，观众甲选中3号歌手的概率为，观众乙未选中3号歌手的概率为1﹣=，∴P〔A〕=，∴观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为；〔Ⅱ〕X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，则X可取0，1，2，3．观众甲选中3号歌手的概率为，观众乙选中3号歌手的概率为，当观众甲、乙、丙均未选中3号歌手时，这时X=0，P〔X=0〕=〔1﹣〕〔1﹣〕2=，当观众甲、乙、丙只有一人选中3号歌手时，这时X=1，P〔X=1〕=〔1﹣〕2+〔1﹣〕〔1﹣〕+〔1﹣〕〔1﹣〕=，当观众甲、乙、丙只有二人选中3号歌手时，这时X=2，P〔X=2〕=•〔1﹣〕+〔1﹣〕•+〔1﹣〕=，当观众甲、乙、丙都选中3号歌手时，这时X=3，P〔X=3〕=•〔〕2=，X的分布列如下：X 0 1 2 3P∴数学期望EX=0×+1×+2×+3×=．19．如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点．〔1〕求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；〔2〕求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；异面直线及其所成的角．【分析】〔1〕以{}为单位正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能求出异面直线A1B与C1D所成角的余弦值．〔2〕分别求出平面ABA1的法向量和平面ADC1的法向量，利用向量法能求出平面ADC1与ABA1所成二面角的余弦值，再由三角函数知识能求出平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．【解答】解：〔1〕以{}为单位正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz，则由题意知A〔0，0，0〕，B〔2，0，0〕，C〔0，2，0〕，A1〔0，0，4〕，D〔1，1，0〕，C1〔0，2，4〕，∴，=〔1，﹣1，﹣4〕，∴cos＜＞===，∴异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为．〔2〕是平面ABA1的一个法向量，设平面ADC1的法向量为，∵，∴，取z=1，得y=﹣2，x=2，∴平面ADC1的法向量为，设平面ADC1与ABA1所成二面角为θ，∴cosθ=|cos＜＞|=||=，∴sinθ==．∴平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值为．20．如图，点P〔0，﹣1〕是椭圆C1：+=1〔a＞b＞0〕的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2+y2=4的直径，l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A、B两点，l2交椭圆C1于另一点D．〔1〕求椭圆C1的方程；〔2〕求△ABD面积的最大值时直线l1的方程．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】〔1〕由题意可得b=1，2a=4，即可得到椭圆的方程；〔2〕设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，D〔x0，y0〕．由题意可知：直线l1的斜率存在，设为k，则直线l1的方程为y=kx﹣1．利用点到直线的距离公式和弦长公式即可得出圆心O到直线l1的距离和弦长|AB|，又l2⊥l1，可得直线l2的方程为x+kx+k=0，与椭圆的方程联马上可得到点D的横坐标，即可得出|PD|，即可得到三角形ABD的面积，利用根本不等式的性质即可得出其最大值，即得到k的值．【解答】解：〔1〕由题意可得b=1，2a=4，即a=2．∴椭圆C1的方程为；〔2〕设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，D〔x0，y0〕．由题意可知：直线l1的斜率存在，设为k，则直线l1的方程为y=kx﹣1．又圆的圆心O〔0，0〕到直线l1的距离d=．∴|AB|==．又l2⊥l1，故直线l2的方程为x+ky+k=0，联立，消去y得到〔4+k2〕x2+8kx=0，解得，∴|PD|=．∴三角形ABD的面积S△==，令4+k2=t＞4，则k2=t﹣4，f〔t〕===，∴S△=，当且仅，即，当时取等号，故所求直线l1的方程为．21．设x1，x2〔x1≠x2〕是函数f〔x〕=ax3+bx2﹣a2x〔a＞0〕的两个极值点．〔1〕假设x1=﹣1，x2=2，求函数f〔x〕的解析式；〔2〕假设，求b的最大值．〔3〕假设x1＜x＜x2，且x2=a，g〔x〕=f'〔x〕﹣a〔x﹣x1〕，求证：．【考点】函数在某点取得极值的条件；函数解析式的求解及常用方法；一元二次方程的根的分布与系数的关系．【分析】〔1〕求导函数，根据x1=﹣1，x2=2是函数f〔x〕的两个极值点，即可求得函数f 〔x〕的解析式；〔2〕根据x1，x2是函数f〔x〕的两个极值点，可知x1，x2是方程3ax2+2bx﹣a2=0的两根，从而，利用，可得b2=3a2〔6﹣a〕，令h〔a〕=3a2〔6﹣a〕，利用导数，即可求得b的最大值；〔3〕根据x1，x2是方程3ax2+2bx﹣a2=0的两根，可得f'〔x〕=3a〔x﹣x1〕〔x﹣x2〕，根据，可得，进而有=，利用配方法即可得出结论．【解答】解：〔1〕求导函数，可得f′〔x〕=3ax2+2bx﹣a2，∵x1=﹣1，x2=2是函数f〔x〕的两个极值点，∴f'〔﹣1〕=0，f'〔2〕=0，∴3a﹣2b﹣a2=0，12a+4b﹣a2=0，解得a=6，b=﹣9．∴f〔x〕=6x3﹣9x2﹣36x．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣〔2〕∵x1，x2是函数f〔x〕的两个极值点，∴f'〔x1〕=f'〔x2〕=0．∴x1，x2是方程3ax2+2bx﹣a2=0的两根，故有△=4b2+12a3＞0对一切a＞0，b∈R恒成立．∴，∵a＞0，∴x1•x2＜0，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由得，∴b2=3a2〔6﹣a〕．∵b2≥0，∴3a2〔6﹣a〕≥0，∴0＜a≤6．令h〔a〕=3a2〔6﹣a〕，则h′〔a〕=36a﹣9a2．当0＜a＜4时，h′〔a〕＞0，∴h〔a〕在〔0，4〕内是增函数；当4＜a＜6时，h′〔a〕＜0，∴h〔a〕在〔0，4〕内是减函数；∴当a=4时，h〔a〕是极大值为96，∴h〔a〕在〔0，6〕上的最大值是96，∴b的最大值是．…〔3〕∵x1，x2是方程3ax2+2bx﹣a2=0的两根．∴f'〔x〕=3a〔x﹣x1〕〔x﹣x2〕∵，∴∴…∵x1＜x＜x2，∴═=﹣3a请考生在第22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E．〔1〕证明：△ABE∽△ADC；〔2〕假设△ABC的面积S=AD•AE，求∠BAC的大小．【考点】圆內接多边形的性质与判定．【分析】〔1〕要推断两个三角形相似，可以根据三角形相似判定定理进行证明，但注意观察条件中给出的是角的关系，故采纳判定定理1更适宜，故需要再找到一组对应角相等，由圆周角定理，易得满足条件的角．〔2〕根据〔1〕的结论，我们可得三角形对应对成比例，由此我们可以将△ABC的面积转化为S=AB•AC，再结合三角形面积公式，不难得到∠BAC的大小．【解答】证明：〔1〕由△ABC的角平分线为AD，可得∠BAE=∠CAD因为∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角，所以∠AEB=∠ACD故△ABE∽△ADC．解：〔2〕因为△ABE∽△ADC，所以，即AB•AC=AD•AE．又S=AB•ACsin∠BAC，且S=AD•AE，故AB•ACsin∠BAC=AD•AE．则sin∠BAC=1，又∠BAC为三角形内角，所以∠BAC=90°．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为〔t为参数〕．在极坐标系〔与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴〕中，圆C的方程为ρ=2sinθ．〔Ⅰ〕求圆C的直角坐标方程；〔Ⅱ〕设圆C与直线l交于点A、B，假设点P的坐标为〔3，〕，求|PA|+|PB|．【考点】直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】〔I〕由⊙C的方程可得：，利用极坐标化为直角坐标的公式x=ρcosθ，y=ρsinθ即可得出．．〔II〕把直线l的参数方程〔t为参数〕代入⊙C的方程得到关于t的一元二次方程，即可得到根与系数的关系，根据参数的意义可得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|即可得出．【解答】解：〔I〕由⊙C的方程可得：，化为．〔II〕把直线l的参数方程〔t为参数〕代入⊙C的方程得=0，化为．∴．〔t1t2=4＞0〕．根据参数的意义可得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=．[选修4-5：不等式选讲]24．例3．设a＞0，b＞0，解关于x的不等式：|ax﹣2|≥bx．【考点】绝对值不等式．【分析】首先分析题目由a＞0，b＞0，解关于x的不等式：|ax﹣2|≥bx，去绝对值号得到ax ﹣2≥bx或ax﹣2≤﹣bx，对于不等式ax﹣2≤﹣bx，可直接解得．对于不等式ax﹣2≥bx，需要分别商量当a＞b＞0时，当a=b＞0时，当0＜a＜b时的解集，然后取它们的并集即得到答案．【解答】解：原不等式|ax﹣2|≥bx可化为ax﹣2≥bx或ax﹣2≤﹣bx，〔1〕对于不等式ax﹣2≤﹣bx，即〔a+b〕x≤2 因为a＞0，b＞0即：．〔2〕对于不等式ax﹣2≥bx，即〔a﹣b〕x≥2①当a＞b＞0时，由①得，∴此时，原不等式解为：或；当a=b＞0时，由①得x∈ϕ，∴此时，原不等式解为：；当0＜a＜b时，由①得，∴此时，原不等式解为：．综上可得，当a＞b＞0时，原不等式解集为，当0＜a≤b时，原不等式解集为．2021年7月19日。
2016年吉林省实验中学高考数学模拟试卷(理科)(八)(解析版)
吉林省实验中学2016年高考数学模拟试卷（理科）（八）（解析版）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|x2﹣16＜0}，B={﹣5，0，1}，则（）A．A∩B=∅B．B⊆A C．A∩B={0，1}D．A⊆B2．已知复数z=（i为虚数单位），则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．某疾病研究所想知道吸烟与患肺病是否有关，于是随机抽取1000名成年人调查是否吸烟是否患有肺病，得到2×2列联表，经计算的K2=5.231．已知在假设吸烟与患肺病无关的前提条件下，P（K2≥3.841）=0.05，P（K2≥6.635）=0.01，则该研究所可以（）A．有95%以上的把握认为“吸烟与患肺病有关”B．有95%以上的把握认为“吸烟与患肺病无关”C．有99%以上的把握认为“吸烟与患肺病有关”D．有99%以上的把握认为“吸烟与患肺病无关”4．已知a＞0，b＞0，则“ab＞1”是“a+b＞2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．即不充分也不必要条件5．若m=6，n=4，按照如图所示的程序框图运行后，输出的结果是（）A． B．100 C．10 D．16．已知函数f（x）=Asin（πx+φ）的部分图象如图所示，点B，C是该图象与x轴的交点，过点C的直线与该图象交于D，E两点，则的值为（）A．﹣1 B．C．D．27．已知等比数列{a n}中，a2a8=4a5，等差数列{b n}中，b4+b6=a5，则数列{b n}的前9项和S9等于（）A．9 B．18 C．36 D．728．从装有若干个大小相同的红球、白球和黄球的袋中随机摸出1个球，摸到红球、白球和黄球的概率分别为，，，从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，连续摸3次，则记下的颜色中有红有白但没有黄的概率为（）A．B．C．D．9．在平行四边形ABCD中，，，若将其沿AC折成直二面角D﹣AC﹣B，则三棱锥D﹣ACB的外接球的表面积为（）A．16πB．8πC．4πD．2π10．过抛物线y2=4x（p＞0）的焦点作两条互相垂直的弦AB、CD，则=（）A．2 B．4 C．D．11．某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为（）A．2 B．4 C．2D．212．已知点P为函数f（x）=lnx的图象上任意一点，点Q为圆[x﹣（e+）]2+y2=1任意一点，则线段PQ的长度的最小值为（）A． B． C．D．e+﹣1二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知x、y满足约束条件，则z=x+2y的最大值为．14．在长为12厘米的线段AB上任取一点C，现以线段AC，BC为邻边作一矩形，则该矩形的面积大于20平方厘米的概率为．15．在（x2﹣x+1）5的展开式中，x3的系数为．16．已知函数f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，当x＞0时，，则函数g（x）=2f（x）﹣1的零点个数为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．设△ABC中的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且，b=2．（Ⅰ）当时，求角A的度数；（Ⅱ）求△ABC面积的最大值．18．某大学志愿者协会有10名同学，成员构成如下表，其中表中部分数据不清楚，只知道从这10名同学中随机抽取一位，抽到该名同学为“数学专业”的概率为．专业中文英语数学体育性别男n 1 m 1女 1 1 1 1现从这10名同学中随机选取3名同学参加社会公益活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ）求选出的3名同学恰为专业互不相同的男生的概率；（Ⅲ）设ξ为选出的3名同学中“女生或数学专业”的学生的人数，求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ．19．如图，四棱锥E﹣ABCD中，平面EAD⊥平面ABCD，DC∥AB，BC⊥CD，EA⊥ED，且AB=4，BC=CD=EA=ED=2．（1）求证：BD⊥平面ADE；（2）求直线BE和平面CDE所成角的正弦值．20．已知椭圆M：： +=1（a＞0）的一个焦点为F（﹣1，0），左右顶点分别为A，B．经过点F 的直线l与椭圆M交于C，D两点．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）当直线l的倾斜角为45°时，求线段CD的长；（Ⅲ）记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2，求|S1﹣S2|的最大值．21．已知函数f（x）=e x（sinx﹣ax2+2a﹣e），其中a∈R，e=2.71818…为自然数的底数．（1）当a=0时，讨论函数f（x）的单调性；（2）当≤a≤1时，求证：对任意的x∈[0，+∞），f（x）＜0．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，⊙O1和⊙O2公切线AD和BC相交于点D，A、B、C为切点，直线DO1与⊙O1与E、G两点，直线DO2交⊙O2与F、H两点．（1）求证：△DEF～△DHG；（2）若⊙O1和⊙O2的半径之比为9：16，求的值．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．（2016吉林校级模拟）已知直线l的参数方程是（t是参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρ=4cos（θ+）．（1）判断直线l与曲线C的位置关系；（2）过直线l上的点作曲线C的切线，求切线长的最小值．【选修4-5：不等式选讲】24．已知关于x的不等式：|2x﹣m|≤1的整数解有且仅有一个值为2．（Ⅰ）求整数m的值；（Ⅱ）已知a，b，c∈R，若4a4+4b4+4c4=m，求a2+b2+c2的最大值．2016年吉林省实验中学高考数学模拟试卷（理科）（八）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|x2﹣16＜0}，B={﹣5，0，1}，则（）A．A∩B=∅B．B⊆A C．A∩B={0，1}D．A⊆B【分析】根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：A={x|x2﹣16＜0}={x|﹣4＜x＜4}，B={﹣5，0，1}，则A∩B={0，1}，故选：C【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．已知复数z=（i为虚数单位），则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】由i4=1，可得i2016=（i4）504=1．再利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：∵i4=1，∴i2016=（i4）504=1．∴复数z====i，则复数z的共轭复数i在复平面内对应的点（，）位于第一象限．故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义、复数的周期性与几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．某疾病研究所想知道吸烟与患肺病是否有关，于是随机抽取1000名成年人调查是否吸烟是否患有肺病，得到2×2列联表，经计算的K2=5.231．已知在假设吸烟与患肺病无关的前提条件下，P（K2≥3.841）=0.05，P（K2≥6.635）=0.01，则该研究所可以（）A．有95%以上的把握认为“吸烟与患肺病有关”B．有95%以上的把握认为“吸烟与患肺病无关”C．有99%以上的把握认为“吸烟与患肺病有关”D．有99%以上的把握认为“吸烟与患肺病无关”【分析】根据条件中所给的计算出的观测值，把观测值同临界值进行比较，看出有1﹣0.05=95%的把握说患肺病与吸烟有关，得到结论．【解答】解：∵计算得K2=5.231，经查对临界值表知P（K2≥3.841）≈0.05，∴有1﹣0.05=95%的把握说患肺病与吸烟有关故选：A．【点评】本题考查独立性检验，是一个基础题，解决本题的关键是正确理解研究患肺病是否与吸烟有关时，计算出观测值得到概率的意义．4．已知a＞0，b＞0，则“ab＞1”是“a+b＞2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．即不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质进行判断即可．【解答】解：若a=3，b=，满足a+b＞2，但ab＞1不成立，∵a2+b2≥2ab，∴（a+b）2≥4ab，∵ab＞1，∴（a+b）2＞4，∴a+b＞2，故a＞0，b＞0，则“ab＞1”是“a+b＞2”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键．5．若m=6，n=4，按照如图所示的程序框图运行后，输出的结果是（）A． B．100 C．10 D．1【分析】模拟程序的运行过程，由于条件m＞n成立，执行y=lg（m+n），计算即可解得答案．【解答】解：模拟执行程序框图，可得m=6，n=4满足条件m＞n，y=lg（6+4）=1，输出y的值为1．故选：D．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题．6．已知函数f（x）=Asin（πx+φ）的部分图象如图所示，点B，C是该图象与x轴的交点，过点C的直线与该图象交于D，E两点，则的值为（）A．﹣1 B．C．D．2【分析】根据三角函数的图象和性质，求出函数的周期，利用向量的基本运算和向量的数量积定义即可得到结论．【解答】解：∵函数f（x）=sin（2πx+φ）的周期T==2，则BC==1，则C点是一个对称中心，则根据向量的平行四边形法则可知：=2，=∴=2=2||2=2×12=2．故选：D．【点评】本题主要考查向量的数量积运算，利用三角函数的图象和性质是解决本题的关键．7．已知等比数列{a n}中，a2a8=4a5，等差数列{b n}中，b4+b6=a5，则数列{b n}的前9项和S9等于（）A．9 B．18 C．36 D．72【分析】由等比数列的性质结合已知求得a5=4，代入b4+b6=a5，进一步代入等差数列的求和公式得答案．【解答】解：∵数列{a n}是等比数列，∴a2a8=，又a2a8=4a5，∴，解得a5=4．∴b4+b6=a5=4．∵数列{b n}是等差数列，∴数列{b n}的前9项和S9==．故选：B．【点评】本题考查了等比数列和等差数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是基础题．8．从装有若干个大小相同的红球、白球和黄球的袋中随机摸出1个球，摸到红球、白球和黄球的概率分别为，，，从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，连续摸3次，则记下的颜色中有红有白但没有黄的概率为（）A．B．C．D．【分析】记下的颜色中有红有白但没有黄的情况有两种：2红1白，1红2白，由此能求出所求概率．【解答】解：∵从装有若干个大小相同的红球、白球和黄球的袋中随机摸出1个球，摸到红球、白球和黄球的概率分别为，，，从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，连续摸3次，∴记下的颜色中有红有白但没有黄的情况有两种：2红1白，1红2白，则所求概率：p==．故选：C．【点评】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式的合理运用．9．在平行四边形ABCD中，，，若将其沿AC折成直二面角D﹣AC﹣B，则三棱锥D﹣ACB的外接球的表面积为（）A．16πB．8πC．4πD．2π【分析】由已知中，可得AC⊥CB，沿AC折成直二面角D﹣AC﹣B，平面DAC⊥平面ACB，可得三棱锥A﹣BCD的外接球的直径为BD，进而根据，求出三棱锥D﹣ACB的外接球的半径，可得三棱锥D﹣ACB的外接球的表面积．【解答】解：平行四边形ABCD中，∵，∴AC⊥CB，沿AC折成直二面角D﹣AC﹣B，∴平面DAC⊥平面ACB，三棱锥D﹣ACB的外接球的直径为DB，∴BD2=AD2+AC2+BC2=2BC2+AC2=4∴外接球的半径为1，故表面积是4π．故选：C．【点评】本题考查的知识点是球内接多面体，平面向量数量积的运算，其中根据已知求出三棱锥D﹣ACB 的外接球的半径是解答的关键．10．过抛物线y2=4x（p＞0）的焦点作两条互相垂直的弦AB、CD，则=（）A．2 B．4 C．D．【分析】设出两直线的倾斜角，利用焦点弦的弦长公式分别表示出|AB|，|CD|即可求得答案．【解答】解：抛物线y2=4x，可知2p=4，设直线l1的倾斜角为θ，则l2的倾斜角为﹣θ，过焦点的弦，|AB|=，|CD|==∴=+==，故选D．【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．对于过焦点的弦，能熟练掌握相关的结论，解决问题事半功倍．11．某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为（）A．2 B．4 C．2D．2【分析】由三视图知该几何体为棱锥，其中SC⊥平面ABCD；四面体S﹣ABD的四个面中SBD面的面积最大，三角形SBD是边长为2的等边三角形，即可求出四面体的四个面中面积最大的面积．【解答】解：由三视图知该几何体为棱锥S﹣ABD，其中SC⊥平面ABCD；四面体S﹣ABD的四个面中SBD面的面积最大，三角形SBD是边长为2的等边三角形，所以此四面体的四个面中面积最大的为=2．故选：C．【点评】本题考查三视图，考查面积的计算，确定三视图对应直观图的形状是关键．12．已知点P为函数f（x）=lnx的图象上任意一点，点Q为圆[x﹣（e+）]2+y2=1任意一点，则线段PQ的长度的最小值为（）A． B． C．D．e+﹣1【分析】由圆的对称性可得只需考虑圆心Q（e+，0）到函数f（x）=lnx图象上一点的距离的最小值．设f（x）图象上一点P（m，lnm），求得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得lnm+m2﹣（e+）m=0，由g（x）=lnx+x2﹣（e+）x，求出导数，判断单调性，可得零点e，运用两点的距离公式计算即可得到所求值．【解答】解：由圆的对称性可得只需考虑圆心Q（e+，0）到函数f（x）=lnx图象上一点的距离的最小值．设f（x）图象上一点（m，lnm），由f（x）的导数为f′（x）=，即有切线的斜率为k=，可得=﹣m，即有lnm+m2﹣（e+）m=0，由g（x）=lnx+x2﹣（e+）x，可得g′（x）=+2x﹣（e+），当2＜x＜3时，g′（x）＞0，g（x）递增．又g（e）=lne+e2﹣（e+）e=0，可得x=e处点（e，1）到点Q的距离最小，且为，则线段PQ的长度的最小值为为﹣1，即．故选：C．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性，考查圆的对称性和两点的距离公式，考查运算能力，属于中档题．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知x、y满足约束条件，则z=x+2y的最大值为2．【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，平移直线y=﹣x，结合图象求出z的最大值即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由z=x+2y得：y=﹣x+，平移直线y=﹣x，结合图象直线过A（0，1）时，z最大，z的最大值是2，故答案为：2．【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题．14．在长为12厘米的线段AB上任取一点C，现以线段AC，BC为邻边作一矩形，则该矩形的面积大于20平方厘米的概率为．【分析】设AC=x，则BC=12﹣x，由矩形的面积S=x（12﹣x）＞20可求x的范围，利用几何概率的求解公式可求【解答】解：设AC=x，则BC=12﹣x矩形的面积S=x（12﹣x）＞20∴x2﹣12x+20＜0∴2＜x＜10由几何概率的求解公式可得，矩形面积大于20cm2的概率P==，故答案为：【点评】本题主要考查了二次不等式的解法，与区间长度有关的几何概率的求解公式的应用，属于基础试题15．在（x2﹣x+1）5的展开式中，x3的系数为﹣30．【分析】化（x2﹣x+1）5=[（x2﹣x）+1]5，利用展开式的通项公式T r+1，讨论r的值，求出展开式中x3项的系数即可．【解答】解：式子（x2﹣x+1）5=[（x2﹣x）+1]5展开式的通项公式为：T r+1=（x2﹣x）r15﹣r；对于（x2﹣x）r，当r=0或1时，展开式中无x3项；当r=2时，（x2﹣x）2展开式中x3的系数是﹣2；当r=3时，（x2﹣x）3展开式中x3的系数是﹣1；当r=4或5时，展开式中无x3项；故x3项的系数为﹣2﹣1×=﹣30．故答案为：﹣30．【点评】本题主要考查了二项式展开式的通项公式与应用问题，是基础题目．16．已知函数f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，当x＞0时，，则函数g（x）=2f（x）﹣1的零点个数为6．【分析】函数g（x）=2f（x）﹣1的零点个数等于函数f（x）图象与直线y=交点的个数，数形结合可得答案．【解答】解：函数g（x）=2f（x）﹣1的零点个数等于函数f（x）图象与直线y=交点的个数，∵函数f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，当x＞0时，，在同一坐标系画出函数的图象如下图所示，由图可得：函数f（x）图象与直线y=有6个交点，故答案为：6．【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的零点与方程根的关系，难度中档．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．设△ABC中的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且，b=2．（Ⅰ）当时，求角A的度数；（Ⅱ）求△ABC面积的最大值．【分析】（I）由可求sinB=且B为锐角，由b=2，a=考虑利用正弦定理可求sinA，结合三角形的大边对大角且a＜b可知A＜B，从而可求A，（II）由，b=2利用余弦定理可得，b2=a2+c2﹣2accosB，把已知代入，结合a2+c2≥2ac可求ac的范围，在代入三角形的面积公式可求△ABC面积的最大值．【解答】解：∵∴sinB=且B为锐角（I）∵b=2，a=由正弦定理可得，∴∵a＜b∴A＜B∴A=30°（II）由，b=2利用余弦定理可得，b2=a2+c2﹣2accosB∴从而有ac≤10∴∴△ABC面积的最大值为3【点评】本题（I）主要考查了利用正弦定理及三角形的大边对大角解三角形（II）利用余弦定理及基本不等式、三角形的面积公式综合求解三角形的面积．考查的是对知识综合运用．18．某大学志愿者协会有10名同学，成员构成如下表，其中表中部分数据不清楚，只知道从这10名同学中随机抽取一位，抽到该名同学为“数学专业”的概率为．专业中文英语数学体育性别男n 1 m 1女 1 1 1 1现从这10名同学中随机选取3名同学参加社会公益活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ）求选出的3名同学恰为专业互不相同的男生的概率；（Ⅲ）设ξ为选出的3名同学中“女生或数学专业”的学生的人数，求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ．【分析】（I）设事件A：从10位学生中随机抽取一位，抽到该名同学为“数学专业”．利用概率求出n即可．（II）设事件B：从这10名同学中随机选取3名同学为专业互不相同的男生．利用古典概型求解概率即可．（III）ξ的可能取值为0，1，2，3．求出概率，得到分布列，然后求解期望．【解答】（本小题满分13分）解：（I）设事件A：从10位学生中随机抽取一位，抽到该名同学为“数学专业”．由题意可知，“数学专业”的学生共有（1+m）人．则．解得m=3．所以n=1．…（4分）（II）设事件B：从这10名同学中随机选取3名同学为专业互不相同的男生．则．…（7分）（III）由题意，ξ的可能取值为0，1，2，3．由题意可知，“女生或数学专业”的学生共有7人．所以，，，．所以ξ的分布列为ξ0 1 2 3P所以．…（13分）【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查计算能力．19．如图，四棱锥E﹣ABCD中，平面EAD⊥平面ABCD，DC∥AB，BC⊥CD，EA⊥ED，且AB=4，BC=CD=EA=ED=2．（1）求证：BD⊥平面ADE；（2）求直线BE和平面CDE所成角的正弦值．【分析】（1）由勾股定理得出AD=BD=2，故而AD⊥BD，由面面垂直的性质得出BD⊥平面ADE；（2）以D为原点建立坐标系，求出和平面CDE的法向量，则直线BE和平面CDE所成角的正弦值为|cos＜＞|．【解答】解：（1）∵EA=ED=2，EA⊥ED，∴AD=2．∵BC=CD=2，BC⊥CD，∴BD=2．又AB=4，∴AD2+BD2=AB2，∴AD⊥BD．又平面EAD⊥平面ABCD，平面EAD∩平面ABCD=AD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥平面ADE．（2）取AD的中点F，连接EF，则EF⊥平面ABCD，EF=．过D点作直线Oz∥EF，则Oz⊥平面ABCD．以D为坐标原点，以DA，DB，Dz为坐标轴建立空间直角坐标系D﹣xyz，∴D（0，0，0），C（﹣，，0），B（0，2，0），E（，0，），∴=（，﹣2，），=（，0，），=（﹣，，0）．设平面CDE的一个法向量为=（x，y，z），则，∴，设x=1得=（1，1，﹣1）．∴cos＜＞===﹣．∴直线BE和平面CDE所成角的正弦值为．【点评】本题考查了线面垂直的判定，空间向量的应用与线面角的计算，属于中档题．20．已知椭圆M：： +=1（a＞0）的一个焦点为F（﹣1，0），左右顶点分别为A，B．经过点F 的直线l与椭圆M交于C，D两点．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）当直线l的倾斜角为45°时，求线段CD的长；（Ⅲ）记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2，求|S1﹣S2|的最大值．【分析】（Ⅰ）由焦点F坐标可求c值，根据a，b，c的平方关系可求得a值；（Ⅱ）写出直线方程，与椭圆方程联立消掉y得关于x的一元二次方程，利用韦达定理及弦长公式即可求得|CD|；（Ⅲ）当直线l不存在斜率时可得，|S1﹣S2|=0；当直线l斜率存在（显然k≠0）时，设直线方程为y=k （x+1）（k≠0），与椭圆方程联立消y可得x的方程，根据韦达定理可用k表示x1+x2，x1x2，|S1﹣S2|可转化为关于x1，x2的式子，进而变为关于k的表达式，再用基本不等式即可求得其最大值；【解答】解：（I）因为F（﹣1，0）为椭圆的焦点，所以c=1，又b2=3，所以a2=4，所以椭圆方程为=1；（Ⅱ）因为直线的倾斜角为45°，所以直线的斜率为1，所以直线方程为y=x+1，和椭圆方程联立得到，消掉y，得到7x2+8x﹣8=0，所以△=288，x1+x2=，x1x2=﹣，所以|CD|=|x1﹣x2|=×=；（Ⅲ）当直线l无斜率时，直线方程为x=﹣1，此时D（﹣1，），C（﹣1，﹣），△ABD，△ABC面积相等，|S1﹣S2|=0，当直线l斜率存在（显然k≠0）时，设直线方程为y=k（x+1）（k≠0），设C（x1，y1），D（x2，y2），和椭圆方程联立得到，消掉y得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0，显然△＞0，方程有根，且x1+x2=﹣，x1x2=，此时|S1﹣S2|=2||y1|﹣|y2||=2|y1+y2|=2|k（x2+1）+k（x1+1）|=2|k（x2+x1）+2k|==≤==，（k=时等号成立）所以|S1﹣S2|的最大值为．【点评】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及椭圆的标准方程的求解，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，难度较大．21．已知函数f（x）=e x（sinx﹣ax2+2a﹣e），其中a∈R，e=2.71818…为自然数的底数．（1）当a=0时，讨论函数f（x）的单调性；（2）当≤a≤1时，求证：对任意的x∈[0，+∞），f（x）＜0．【分析】（1）求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行讨论即可．（2）对任意的x∈[0，+∞），f（x）＜0转化为证明对任意的x∈[0，+∞），sinx﹣ax2+2a﹣e＜0，即可，构造函数，求函数的导数，利用导数进行研究即可．【解答】解：（1）当a=0时，f（x）=e x（sinx﹣e），则f′（x）=e x（sinx﹣e）+e x cosx=e x（sinx﹣e+cosx），∵sinx+cosx=sin（x+）≤＜e，∴sinx+cosx﹣e＜0故f′（x）＜0则f（x）在R上单调递减．（2）当x≥0时，y=e x≥1，要证明对任意的x∈[0，+∞），f（x）＜0．则只需要证明对任意的x∈[0，+∞），sinx﹣ax2+2a﹣e＜0．设g（a）=sinx﹣ax2+2a﹣e=（﹣x2+2）a+sinx﹣e，看作以a为变量的一次函数，要使sinx﹣ax2+2a﹣e＜0，则，即，∵sinx+1﹣e＜0恒成立，∴①恒成立，对于②，令h（x）=sinx﹣x2+2﹣e，则h′（x）=cosx﹣2x，设x=t时，h′（x）=0，即cost﹣2t=0．∴t=，sint＜sin，∴h（x）在（0，t）上，h′（x）＞0，h（x）单调递增，在（t，+∞）上，h′（x）＜0，h（x）单调递减，则当x=t时，函数h（x）取得最大值h（t）=sint﹣t2+2﹣e=sint﹣（）2+2﹣e=sint﹣+2﹣e=sin2t+sint+﹣e=（+1）2+﹣e≤（）2+﹣e=﹣e＜0，故④式成立，综上对任意的x∈[0，+∞），f（x）＜0．【点评】本题主要考查函数单调性与导数的应用，求函数的导数，构造函数，利用导数是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，⊙O1和⊙O2公切线AD和BC相交于点D，A、B、C为切点，直线DO1与⊙O1与E、G两点，直线DO2交⊙O2与F、H两点．（1）求证：△DEF～△DHG；（2）若⊙O1和⊙O2的半径之比为9：16，求的值．【分析】（1）欲求证：△DEF～△DHG，根据AD是两圆的公切线得出线段的乘积式相等，再转化成比例式相等，最后结合角相等即得；（2）连接O1A，O2A，AD是两圆的公切线结合角平分线得到：AD2=O1A×O2A，设⊙O1和⊙O2的半径分别为9x和16x，利用AD2=DE×DG，AD2=DF×DH，分别用x表示出DE和DF，最后算出即可．【解答】解：（1）证明：∵AD是两圆的公切线，∴AD2=DE×DG，AD2=DF×DH，∴DE×DG=DF×DH，∴，又∵∠EDF=∠HDG，∴△DEF∽△DHG．连接O1A，O2A，∵AD是两圆的公切线，∴O1A⊥AD，O2A⊥AD，∴O1O2共线，∵AD和BC是⊙O1和⊙O2公切线，DG平分∠ADB，DH平分∠ADC，∴DG⊥DH，∴AD2=O1A×O2A，（8分）设⊙O1和⊙O2的半径分别为9x和16x，则AD=12x，∵AD2=DE×DG，AD2=DF×DH，∴144x2=DE（DE+18x），144x2=DF（DF+32x）∴DE=6x，DF=4x，∴．已知直线l的参数方程是（t是参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρ=4cos（θ+）．（1）判断直线l与曲线C的位置关系；（2）过直线l上的点作曲线C的切线，求切线长的最小值．【分析】（1）分别求出直线和曲线的普通方程，根据点到直线的距离，求出直线l与曲线C的位置关系；（2）根据点到直线的距离求出直线l上的点向圆C引的切线长的最小值即可．【解答】解：（1）直线l方程：y=x+4，ρ=4cos（θ+）=2cosθ﹣2sinθ，∴ρ2=2ρcosθ﹣2sinθ，∴圆C的直角坐标方程为x2+y2﹣2x+2y=0，即+=4，∴圆心（，﹣）到直线l的距离为d=6＞2，故直线与圆相离．直线l的参数方程化为普通方程为x ﹣y+4=0，则圆心C到直线l的距离为=6，∴直线l上的点向圆C引的切线长的最小值为=4．（10分）【点评】本题考查了参数方程、极坐标方程转化为普通方程，考查直线和圆的位置关系，考查切线问题，是一道中档题．【选修4-5：不等式选讲】24．已知关于x的不等式：|2x﹣m|≤1的整数解有且仅有一个值为2．（Ⅰ）求整数m的值；（Ⅱ）已知a，b，c∈R，若4a4+4b4+4c4=m，求a2+b2+c2的最大值．【分析】（I）由条件可得，求得3≤m≤5．根据不等式仅有一个整数解2，可得整数m 的值．（2）根据a4+b4+c4=1，利用柯西不等式求得（a2+b2+c2）2≤3，从而求得a2+b2+c2的最大值．【解答】解：（I）由|2x﹣m|≤1，得．∵不等式的整数解为2，∴⇒3≤m≤5．又不等式仅有一个整数解2，∴m=4．（2）由（1）知，m=4，故a4+b4+c4=1，由柯西不等式可知；（a2+b2+c2）2≤（12+12+12）[（a2）2+（b2）2+（c2）2]所以（a2+b2+c2）2≤3，即，当且仅当时取等号，最大值为．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，二维形式的柯西不等式的应用，属于基础题．。
2007年吉林省实验中学高三第八次模拟考试数学试题(理科)
2007年吉林省实验中学高三第八次模拟考试数学试题（理科）考试时间：120分钟 总分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知全集U=},,,,{e d c b a 集合},,{},,{e b a B c b A ==，则（ U A ）∩B =（ ）A ．},{e aB ．},,{d c bC ．},,{e c aD ．}{c 2．若复数),(R b a bi a ∈+的平方是纯虚数，则（ ）A ．b a -=B ．||b a =C ．b a =D ．||||b a =3．若半径为1的球面上两点A 、B 间的球面距离为32π，则弦长AB 等于 （ ） A ．23 B ．1C ．2D ．34．函数)1,0()(≠>==a a a y x f y x且与的图像关于直线x y =对称，则下列结论错误．．的是 （ ）A ．)(2)(2x f x f = B ．)2()()2(f x f x f +=C ．)2()()21(f x f x f -=D ．)(2)2(x f x f =5．一个等差数列的前4项是bax b x a 则,2,,,等于 （ ）A ．41B ．31 C ．21 D ．32 6．若不等式x x a 42-≤对任意]1,0(∈x 恒成立，则a 的取值范围是 （ ）A ．4-≥aB ．3-≥aC ．03≤<-aD ．3-≤a7．已知P 是以F 1、F 2为焦点的双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上的一点，若21PF PF ⋅=0，2tan 21=∠F PF ，则此双曲线的离心率为（ ）A ．52B ．3C ．5D ．58．把颜色不同的4个球全部放入3个不同的盒子中，要求每个盒子不空，则不同的放法总数为 （ ） A ．18 B ．24 C ．36 D ．72 9．设)(x f 是可导函数，且)(,1)()(lim0000x f xx f x x f x '=∆-∆-→∆=（ ）A ．21B ．－1C ．0D ．－210．以正方体的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机地取出两个三角形，则这两个三角形共面的概率为 （ ）A ．385367B ．3859 C ．38518D ．38519211．如右图，虚线部分是四个象限的角平分线，实线部分是 函数)(x f y =的部分图像，则)(x f 可能是 （ ） A ．x x sin B ．x x cosC ．x x cos 2D ．x x sin 212．已知A （－1，0），B （1，0），若点),(y xC 满足=+-=+-|||||,4|)1(222BC AC x y x 则（ ） A ．6 B ．4 C ．2D ．与x ，y 取值有关二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．已知9)222(-x的展开式的第7项为421，则x = . 14．设函数a a a f x xx x x f 则实数若,)(,)0(10(121)(>⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥-=的取值范围是 .15．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为AA 1、BB 1的中点，G 为BC 上的一点，若C 1N ⊥MG ，则∠D 1NG = . 16．如右图，在5×5的正方形表格中尚有21个空格，若在每一个 空格中填入一个正整数，使得每一行、每一列及两条对角线上 的数都分别成等比数列，则字母A 所代表的正整数是 . 三、解答题（本大题共6小题，共74分） 17．（本小题12分）已知x f x x ⋅=-+==)(),2),6(sin(),cos ,2(函数π.（1）求函数)(x f 的单调增区间；（2）若)32cos(,56)(π-=x x f 求的值.18．（本小题12分）某车间在两天内，每天生产10件某产品，其中第一天、第二天分别生产出了1件、2件次品，而质检部门每天要在生产的10件产品中随机抽取4件进行检查。
吉林省实验中学高考数学模拟试卷(文科)(八).docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作2016年吉林省实验中学高考数学模拟试卷（文科）（八）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U=R，集合A={x|y=，集合B={y|y=2x，x∈R}，则（∁R A）∩B=（）A．{x|x＞2} B．{x|0＜x≤1}C．{x|1＜x≤2}D．{x|x＜0}2．已知复数z=+i，则z的共轭复数为（）A．1+i B．1+2i C．1﹣2i D．2+3i3．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A、B两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m如表：甲乙丙丁R 0.82 0.78 0.69 0.85M 106 115 124 103则哪位同学的试验结果体现A、B两变量有更强的线性相关性（）A．甲B．乙C．丙D．丁4．如图是计算的值的一个程序框图，其中判断框内可以填的是（）A．n≥12？B．n≥11？C．n≥10？D．n≥9？5．已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的离心率，其焦点到渐近线的距离为1，则此双曲线的方程为（）A．﹣y2=1 B．﹣=1 C．﹣y2=1 D．x2﹣y2=16．某一简单几何体的三视图如所示，该几何体的外接球的表面积是（）A．13πB．16πC．25πD．27π7．数列{a n}，满足对任意的n∈N+，均有a n+a n+1+a n+2为定值．若a7=2，a9=3，a98=4，则数列{a n}的前100项的和S100=（）A．132 B．299 C．68 D．998．已知直线m和平面α，β，则下列四个命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊂β，则m⊥αB．若α∥β，m∥α，则m∥βC．若α∥β，m⊥α，则m⊥βD．若m∥α，m∥β，则α∥β9．以下四个命题中，正确的个数是（）①命题“若f（x）是周期函数，则f（x）是三角函数”的否命题是“若f（x）是周期函数，则f（x）不是三角函数”；②命题“存在x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“对于任意x∈R，x2﹣x＜0”；③在△ABC中，“sinA＞sinB”是“A＞B”成立的充要条件；④若函数f（x）在上有零点，则一定有f＜0．A．0 B．1 C．2 D．310．设e是椭圆的离心率，且，则实数k的取值范围是（）A．（0，3）B．（3，）C．（0，3）∪（，+∞）D．（0，2）11．某工厂生产的A种产品进入某商场销售，商场为吸引厂家第一年免收管理费，因此第一年A种产品定价为每件70元，年销售量为11.8万件．从第二年开始，商场对A种产品征收销售额的x%的管理费（即销售100元要征收x元），于是该产品定价每件比第一年增加了元，预计年销售量减少x万件，要使第二年商场在A种产品经营中收取的管理费不少于14万元，则x的最大值是（）A．2 B．6.5 C．8.8 D．1012．已知函数f（x）=kx，g（x）=2lnx+2e（≤x≤e2），若f（x）与g（x）的图象上分别存在点M，N，使得M，N关于直线y=e对称，则实数k的取值范围是（）A．[﹣，﹣]B．[﹣，2e]C．[﹣，2e]D．[，+∞）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．从{}中随机抽取一个数记为a，从{﹣1，1，﹣2，2}中随机抽取一个数记为b，则函数y=a x+b的图象经过第三象限的概率是______．14．已知实数x，y满足：，z=2x﹣2y﹣1，则z的取值范围是______．15．数列{a n}的首项为a1=1，数列{b n}为等比数列，且b n=，若b10b11=2016，则a21=______．16．在等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，M、N为AC边上两个动点，且满足|MN|=，则•的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．如图，在△ABC中，，点D在边AB上，AD=DC，DE⊥AC，E为垂足（1）若△BCD的面积为，求CD的长；（2）若，求角A的大小．18．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E是AC中点．（1）求证：平面BEC1⊥平面ACC1A1；（2）若，AB=2，求点A到平面BEC1的距离．19．随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机APP软件层出不穷．现从使用A和B 两款订餐软件的商家中分别随机抽取50个商家，对它们的“平均送达时间”进行统计，得到频率分布直方图如图．（Ⅰ）试估计使用A款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的众数及平均数；（Ⅱ）根据以上抽样调查数据，将频率视为概率，回答以下问题：（ⅰ）能否认为使用B款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家达到75%？（ⅱ）如果你要从A和B两款订餐软件中选择一款订餐，你会选择哪款？并说明理由．20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2+y2=截得的线段的长为c，|FM|=．（Ⅰ）求直线FM的斜率；（Ⅱ）求椭圆的方程．21．已知函数，曲线y=f（x）在点（e2，f（e2））处的切线与直线2x+y=0垂直（其中e为自然对数的底数）．（Ⅰ）求f（x）的解析式及单调递减区间；（Ⅱ）是否存在常数k，使得对于定义域内的任意x，恒成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，⊙O的圆心O在Rt△ABC的直角边BC上，AB、AC都是⊙O的切线，M是AB与⊙O相切的切点，N是⊙O与BC的交点．（Ⅰ）证明：MN∥AO；（Ⅱ）若AC=3，MB=2，求CN．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知曲线C的参数方程是（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A、B的极坐标分别为A（2，π）、B（2，）．（1）求直线AB的直角坐标方程；（2）设M为曲线C上的动点，求点M到直线AB距离的最大值．选修4-5：不等式选讲24．设a、b为正实数，且+=2．（1）求a2+b2的最小值；（2）若（a﹣b）2≥4（ab）3，求ab的值．2016年吉林省实验中学高考数学模拟试卷（文科）（八）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U=R，集合A={x|y=，集合B={y|y=2x，x∈R}，则（∁R A）∩B=（）A．{x|x＞2} B．{x|0＜x≤1}C．{x|1＜x≤2}D．{x|x＜0}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】由全集U=R，集合A={x|y=}={x|2x﹣x2≥0}={x|0≤x≤2}，求出∁R A={x|x＜0，或x＞2}，再由B={y|y=2x，x∈R}={y|y＞0}，能求出（∁R A）∩B．【解答】解：∵全集U=R，集合A={x|y=}={x|2x﹣x2≥0}={x|0≤x≤2}，∴∁R A={x|x＜0，或x＞2}，∵B={y|y=2x，x∈R}={y|y＞0}，∴（∁R A）∩B={x|x＞2}．故选A．2．已知复数z=+i，则z的共轭复数为（）A．1+i B．1+2i C．1﹣2i D．2+3i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，再由共轭复数的概念得答案．【解答】解：∵z=+i=，∴．故选：C．3．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A、B两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m如表：甲乙丙丁R 0.82 0.78 0.69 0.85M 106 115 124 103则哪位同学的试验结果体现A、B两变量有更强的线性相关性（）A．甲B．乙C．丙D．丁【考点】两个变量的线性相关．【分析】在验证两个变量之间的线性相关关系中，相关系数的绝对值越接近于1，相关性越强，残差平方和越小，相关性越强，得到结果．【解答】解：在验证两个变量之间的线性相关关系中，相关系数的绝对值越接近于1，相关性越强，在四个选项中只有丁的相关系数最大，残差平方和越小，相关性越强，只有丁的残差平方和最小，综上可知丁的试验结果体现A、B两变量有更强的线性相关性，故选D．4．如图是计算的值的一个程序框图，其中判断框内可以填的是（）A．n≥12？B．n≥11？C．n≥10？D．n≥9？【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当S=0，n=1时，不满足退出循环的条件，故S=，n=2，当S=，n=2时，不满足退出循环的条件，故S=+，n=3，当S=+，n=3时，不满足退出循环的条件，故S=++，n=4，当S=++，n=4时，不满足退出循环的条件，故S=+++，n=5，…当S=+++…+，n=9时，不满足退出循环的条件，故S=，n=10，当S=，n=10时，满足退出循环的条件，故条件应为n≥10，故选：C5．已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的离心率，其焦点到渐近线的距离为1，则此双曲线的方程为（）A．﹣y2=1 B．﹣=1 C．﹣y2=1 D．x2﹣y2=1【考点】双曲线的标准方程．【分析】设出双曲线方程，利用双曲线的离心率，其焦点到渐近线的距离为1，建立方程，即可求得双曲线的方程．【解答】解：设双曲线的方程为，渐近线方程为∵双曲线的离心率，其焦点到渐近线的距离为1，∴，=1∴b=1，a=∴双曲线的方程为﹣y2=1故选A．6．某一简单几何体的三视图如所示，该几何体的外接球的表面积是（）A．13πB．16πC．25πD．27π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为底面为正方形的长方体，底面对角线为4，高为3．则长方体的对角线为外接球的直径．【解答】解：几何体为底面为正方形的长方体，底面对角线为4，高为3，∴长方体底面边长为2．则长方体外接球半径为r，则2r==5．∴r=．∴长方体外接球的表面积S=4πr2=25π．故选C．7．数列{a n}，满足对任意的n∈N+，均有a n+a n+1+a n+2为定值．若a7=2，a9=3，a98=4，则数列{a n}的前100项的和S100=（）A．132 B．299 C．68 D．99【考点】数列的求和．【分析】对任意的n∈N+，均有a n+a n+1+a n+2为定值，可得（a n+1+a n+2+a n+3）﹣（a n+a n+1+a n+2）=0，a n+3=a n，于是{a n}是以3为周期的数列，即可得出．【解答】解：对任意的n∈N+，均有a n+a n+1+a n+2为定值，∴（a n+1+a n+2+a n+3）﹣（a n+a n+1+a n+2）=0，故a n+3=a n，∴{a n}是以3为周期的数列，故a1=a7=2，a2=a98=4，a3=a9=3，∴S100=（a1+a2+a3）+…+（a97+a98+a99）+a100=33（2+4+3）+a1=299．故选：B．8．已知直线m和平面α，β，则下列四个命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊂β，则m⊥αB．若α∥β，m∥α，则m∥βC．若α∥β，m⊥α，则m⊥βD．若m∥α，m∥β，则α∥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】利用面面垂直、面面平行、线面平行的判定定理和性质定理分别分析解答．【解答】解：对于选项A，若α⊥β，m⊂β，则m与α可能平行或者斜交；故A错误；对于选项B，若α∥β，m∥α，则m∥β或者m⊂α；故B 错误；对于选项C，若α∥β，m⊥α，则由面面平行的性质定理可得m⊥β；故C正确；对于选项D，若m∥α，m∥β，则α与β可能相交；故D错误；故选C．9．以下四个命题中，正确的个数是（）①命题“若f（x）是周期函数，则f（x）是三角函数”的否命题是“若f（x）是周期函数，则f（x）不是三角函数”；②命题“存在x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“对于任意x∈R，x2﹣x＜0”；③在△ABC中，“sinA＞sinB”是“A＞B”成立的充要条件；④若函数f（x）在上有零点，则一定有f＜0．A．0 B．1 C．2 D．3【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据命题的否命题的定义进行判断，②根据含有量词的命题的否定进行判断，③根据充分条件和必要条件的定义进行判断，④根据将函数零点的定义进行判断．【解答】解：①命题“若f（x）是周期函数，则f（x）是三角函数”的否命题是“若f（x）不是周期函数，则f（x）不是三角函数”；故①错误，②命题“存在x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“对于任意x∈R，x2﹣x≤0”；故②错误③在△ABC中，“sinA＞sinB”等价为a＞b，则等价为“A＞B”，故，“sinA＞sinB”是“A＞B”成立的充要条件；故③正确，④若函数f（x）在上有零点，则一定有f＜0．错误，当f＞0也可能，故④错误．故选：B10．设e是椭圆的离心率，且，则实数k的取值范围是（）A．（0，3）B．（3，）C．（0，3）∪（，+∞）D．（0，2）【考点】椭圆的简单性质．【分析】对k分类讨论，确定焦点的位置，求椭圆的离心率，从而可求实数k的取值范围．【解答】解：由于椭圆，①若4＞k＞0，a2=4，b2=k，c2=4﹣k，∴e2==＞，∴k＜3，则有0＜k＜3；②若k＞4，则a2=k，b2=4，c2=k﹣4，∴e2==＞，∴k．则有实数k的取值范围是（0，3）∪（，+∞）．故选C．11．某工厂生产的A种产品进入某商场销售，商场为吸引厂家第一年免收管理费，因此第一年A种产品定价为每件70元，年销售量为11.8万件．从第二年开始，商场对A种产品征收销售额的x%的管理费（即销售100元要征收x元），于是该产品定价每件比第一年增加了元，预计年销售量减少x万件，要使第二年商场在A种产品经营中收取的管理费不少于14万元，则x的最大值是（）A．2 B．6.5 C．8.8 D．10【考点】根据实际问题选择函数类型．【分析】先确定商场该年对该商品征收的总管理费的函数解析式，再根据第二年商场在A 种产品经营中收取的管理费不少于14万元，建立不等式，即可求得x的最大值．【解答】解：依题意，第二年该商品年销售量为（11.8﹣x）万件，年销售收入为（70+）（11.8﹣x）万元，则商场该年对该商品征收的总管理费为（70+）（11.8﹣x）x%（万元）．故所求函数为：y=x（x＞0）．令x≥14，化简得x2﹣12x+20≤0，即（x﹣2）（x﹣10）≤0，解得2≤x≤10．∴x的最大值是10故选D．12．已知函数f（x）=kx，g（x）=2lnx+2e（≤x≤e2），若f（x）与g（x）的图象上分别存在点M，N，使得M，N关于直线y=e对称，则实数k的取值范围是（）A．[﹣，﹣]B．[﹣，2e]C．[﹣，2e]D．[，+∞）【考点】函数与方程的综合运用．【分析】设M（x，kx），则N（x，2e﹣kx），推导出k=﹣，由此利用导数性质能求出实数k的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=kx，g（x）=2lnx+2e（≤x≤e2），f（x）与g（x）的图象上分别存在点M，N，使得M，N关于直线y=e对称，∴设M（x，kx），则N（x，2e﹣kx），∴2e﹣kx=2lnx+2e，∴k=﹣，，由k′=0，得x=e，∵≤x≤e2，∴x∈[，e）时，k′＜0，k=﹣是减函数；x∈（e，e2]时，k′＞0，是增函数，∴x=e时，k=﹣；x=e2时，k=﹣=﹣；x=时，k=﹣，∴k min=﹣，k max=﹣=2e．∴实数k的取值范围是[﹣，2e]．故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．从{}中随机抽取一个数记为a，从{﹣1，1，﹣2，2}中随机抽取一个数记为b，则函数y=a x+b的图象经过第三象限的概率是．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；指数函数的图象变换．【分析】根据题意，分析可得a、b可能的情况数目，由分步计数原理可得f（x）=a x+b的情况数目，由指数函数的图象函数性质分析可得函数f（x）=a x+b的图象经过第三象限的情况数目，由等可能事件的概率公式，计算可得答案．【解答】解：根据题意，从集合{}中随机抽取一个数记为a，有4种情况．从{﹣1，1，﹣2，2}中随机抽取一个数记为b，有4种情况，则f（x）=a x+b的情况有4×4=16．函数f（x）=a x+b的图象经过第三象限，有①当a=3、b=﹣1时，②当a=3、b=﹣2时，③当a=2、b=﹣1时，④当a=2、b=﹣2时，⑤当a=，b=﹣2 时，⑥当a=，b=﹣2 时，共6种情况，则函数的图象经过第三象限的概率为=，故答案为．14．已知实数x ，y 满足：，z=2x ﹣2y ﹣1，则z 的取值范围是 [﹣，5） ．【考点】简单线性规划．【分析】根据画出不等式组表示的平面区域，利用数形结合结合目标函数的意义，利用平移即可得到结论．【解答】解：不等式对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x ﹣2y ﹣1得y=x ﹣，平移直线y=x ﹣，由平移可知当直线y=x ﹣，经过点C 时，直线y=x ﹣的截距最小，此时z 取得最大值，由，解得，即C （2，﹣1），此时z=2x ﹣2y ﹣1=4+2﹣1=5，可知当直线y=x ﹣，经过点A 时，直线y=y=x ﹣的截距最大，此时z 取得最小值，由，得，即A （，）代入z=2x ﹣2y ﹣1得z=2×﹣2×﹣1=﹣，故z ∈[﹣，5）．故答案为：[﹣，5）．15．数列{a n}的首项为a1=1，数列{b n}为等比数列，且b n=，若b10b11=2016，则a21=2016．【考点】数列递推式．【分析】由已知结合b n=，得到a21=b1b2…b20，结合b10b11=2016，及等比数列的性质求得a21．【解答】解：由b n=，且a1=1，得b1=．b2=，a3=a2b2=b1b2．b3=，a4=a3b3=b1b2b3．…a n=b1b2…b n．﹣1∴a21=b1b2 (20)∵数列{b n}为等比数列，∴=．故答案为：2016．16．在等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，M、N为AC边上两个动点，且满足|MN|=，则•的取值范围是[，2]．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】建立平面直角坐标系，设出M，N坐标，利用坐标表示出，【解答】解：以等腰直角三角形的直角边为坐标轴，建立平面直角坐标系，如图，则B（0，0），直线AC的方程为x+y=2．设M（a，2﹣a），则0≤a≤1，N（a+1，1﹣a），∴=（a，2﹣a），=（a+1，1﹣a）．∴•=a（a+1）+（2﹣a）（1﹣a）=2a2﹣2a+2=2（a﹣）2+．∵0≤a≤1，∴当a=时，•取得最小值，当a=0或1时，•取得最大值2．故答案为[，2]．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．如图，在△ABC中，，点D在边AB上，AD=DC，DE⊥AC，E为垂足（1）若△BCD的面积为，求CD的长；（2）若，求角A的大小．【考点】解三角形．【分析】（1）利用三角形的面积公式，求出BD，再用余弦定理求CD；（2）先求CD，在△BCD中，由正弦定理可得，结合∠BDC=2∠A，即可得结论．【解答】解：（1）∵△BCD的面积为，，∴∴BD=在△BCD中，由余弦定理可得==；（2）∵，∴CD=AD==在△BCD中，由正弦定理可得∵∠BDC=2∠A∴∴cosA=，∴A=．18．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E是AC中点．（1）求证：平面BEC1⊥平面ACC1A1；（2）若，AB=2，求点A到平面BEC1的距离．【考点】平面与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算．【分析】（1）由ABC﹣A1B1C1是正三棱柱，知AA1⊥平面ABC，BE⊥AA1．由△ABC是正三角形，E是AC中点，知BE⊥平面ACC1A1．由此能够证明平面BEC1⊥平面ACC1A1．（2）由题意知，点A到平面BEC1的距离即点C到平面BEC1的距离，过点C作CH⊥C1E 于点H，则可证CH⊥平面BEC1，故CH为点C到平面BEC1的距离，由等面积可得结论；【解答】证明：（1）∵ABC﹣A1B1C1是正三棱柱，∴AA1⊥平面ABC，∴BE⊥AA1．∵△ABC是正三角形，E是AC中点，∴BE⊥AC，∴BE⊥平面ACC1A1．∴BE⊂平面BEC1∴平面BEC1⊥平面ACC1A1解：（2）由题意知，点A到平面BEC1的距离即点C到平面BEC1的距离∵ABC﹣A1B1C1是正三棱柱∴BE⊥平面ACC1A1，∵BE⊂平面BEC1，∴平面BEC1⊥平面ACC1A1，过点C作CH⊥C1E于点H，则CH⊥平面BEC1，∴CH为点C到平面BEC1的距离在直角△CEC1中，CE=1，CC1=，C1E=，∴由等面积法可得CH=∴点A到平面BEC1的距离为19．随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机APP软件层出不穷．现从使用A和B 两款订餐软件的商家中分别随机抽取50个商家，对它们的“平均送达时间”进行统计，得到频率分布直方图如图．（Ⅰ）试估计使用A款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的众数及平均数；（Ⅱ）根据以上抽样调查数据，将频率视为概率，回答以下问题：（ⅰ）能否认为使用B款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家达到75%？（ⅱ）如果你要从A和B两款订餐软件中选择一款订餐，你会选择哪款？并说明理由．【考点】古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．【分析】（Ⅰ）利用频率分布直方图能求出使用A款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的众数和使用A款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的平均数．（Ⅱ）（ⅰ）使用B款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家的比例估计值，从而求出结果．（ii）求出使用B款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的平均数，从而得到结果．【解答】解：（Ⅰ）依题意可得，使用A款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的众数为55（分钟）．使用A款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的平均数：15×0.06+25×0.34+35×0.12+45×0.04+55×0.4+65×0.04=40（分钟）．（Ⅱ）（ⅰ）使用B款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家的比例估计值为：0.04+0.02+0.56=0.80=80%＞75%，故可认为使用B款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家达到75%．（ii）使用B款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的平均数：15×0.04+25×0.2+35×0.56+45×0.14+55×0.04+65×0.02=35＜40，∴选B款订餐软件．20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2+y2=截得的线段的长为c，|FM|=．（Ⅰ）求直线FM的斜率；（Ⅱ）求椭圆的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由离心率为，得a2=3c2，b2=2c2，设直线FM的方程为y=k（x+c），由此利用已知条件能求出直线FM的斜率．（Ⅱ）椭圆方程为，直线FM的方程为y=（x+c），联立，消去y，得3x2+2cx ﹣5c2=0，由此利用弦长公式能求出椭圆的方程．【解答】解：（Ⅰ）由离心率为，得，又由a2=b2+c2，得a2=3c2，b2=2c2，设直线FM的斜率为k（k＞0），则直线FM的方程为y=k（x+c），由已知有（）2+（）2=（）2，解得k=．∴直线FM的斜率为．（Ⅱ）由（Ⅰ）得椭圆方程为，直线FM的方程为y=（x+c），两个方程联立，消去y，得3x2+2cx﹣5c2=0，解得x=﹣或x=c，∵点M在第一象限，∴M（c，），由|FM|==，解得c=1，∴椭圆的方程为．21．已知函数，曲线y=f（x）在点（e2，f（e2））处的切线与直线2x+y=0垂直（其中e为自然对数的底数）．（Ⅰ）求f（x）的解析式及单调递减区间；（Ⅱ）是否存在常数k，使得对于定义域内的任意x，恒成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（I）令f′（e2）=解出m，得出f（x）的解析式，令f′（x）＜0解出f（x）的单调递减区间；（II）分离参数得出k＞2x﹣2lnx（0＜x＜1）或k＜2x﹣2lnx（x＞1），分情况讨论求出右侧函数的最大值或最小值，从而得出k的范围．【解答】解：（Ⅰ），∵曲线y=f（x）在点（e2，f（e2））处的切线与直线2x+y=0垂直，∴f′（e2）==，解得m=2，∴，∴，令f'（x）＜0解得：0＜x＜1或1＜x＜e，∴函数f（x）的单调减区间为（0，1）和（1，e）．（Ⅱ）∵恒成立，即，①当x∈（0，1）时，lnx＜0，则恒成立，令，则g′（x）=，再令，则h′（x）=＜0，所以h（x）在（0，1）内递减，所以当x∈（0，1）时，h（x）＞h（1）=0，故，所以g（x）在（0，1）内递增，g（x）＜g（1）=2∴k≥2．②当x∈（1，+∞）时，lnx＞0，则恒成立，由①可知，当x∈（1，+∞）时，h'（x）＞0，所以h（x）在（1，+∞）内递增，所以当x∈（1，+∞）时，h（x）＞h（1）=0，故，所以g（x）在（1，+∞）内递增，g（x）＞g（1）=2⇒k≤2；综合①②可得：k=2．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，⊙O的圆心O在Rt△ABC的直角边BC上，AB、AC都是⊙O的切线，M是AB与⊙O相切的切点，N是⊙O与BC的交点．（Ⅰ）证明：MN∥AO；（Ⅱ）若AC=3，MB=2，求CN．【考点】与圆有关的比例线段；弦切角．【分析】（Ⅰ）连接CM，OM，运用三角形的全等的判定和性质，可得AO⊥CM，再由两直线平行的判定定理，即可得证；（Ⅱ）由切线的性质，可得AM=AC=3，求得AB，BC，运用圆的切割线定理，计算即可得到所求CN的长．【解答】解：（Ⅰ）连接CM，OM，∵AC、AM都是⊙O的切线，可得AC=AM，OC=OM，AO=AO，则△AOC≌△AOM，即有AO⊥CM，又CN为⊙O的直径，∴MN⊥CM，∴MN∥AO；（Ⅱ）由切线的性质可得AM=AC=3，∴AB=AM+MB=5，∴又由切割线定理得MB2=BN•BC，∴BN===1，∴CN=CB﹣BN=4﹣1=3．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知曲线C的参数方程是（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A、B的极坐标分别为A（2，π）、B（2，）．（1）求直线AB的直角坐标方程；（2）设M为曲线C上的动点，求点M到直线AB距离的最大值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）将A（2，π）、B（2，），分别化为直角坐标为A（2cosπ，2sinπ），B，利用斜率计算公式、点斜式即可得出．（2）利用点到直线的距离公式、三角函数的单调性与值域即可得出．【解答】解：（1）将A（2，π）、B（2，），分别化为直角坐标为A（2cosπ，2sinπ），B，即A，B的直角坐标分别为A（﹣2，0），B（﹣1，﹣），k AB==﹣，∴直线AB的方程为y=﹣（x+2），即AB的方程为x+y+2=0．（2）设M（2cosθ，sinθ），它到直线AB距离d==≤，当sin（θ+φ）=1时取等号．∴点M到直线AB距离的最大值是．选修4-5：不等式选讲24．设a、b为正实数，且+=2．（1）求a2+b2的最小值；（2）若（a﹣b）2≥4（ab）3，求ab的值．【考点】基本不等式．【分析】（1）根据基本不等式得出ab（a=b时等号成立），利用a2+b2≥2ab=（a=b时等号成立）求解即可．（2）根据+=2．∴a，代入得出（a+b）2﹣4ab≥4（ab）3，即（2）2﹣4ab≥4（ab）3求解即可得出ab=1【解答】解：（1）∵a 、b 为正实数，且+=2．∴a 、b 为正实数，且+=2≥2（a=b 时等号成立）． 即ab （a=b 时等号成立）∵a 2+b 2≥2ab=（a=b 时等号成立）． ∴a 2+b 2的最小值为1，（2）∵且+=2．∴a ∵（a ﹣b ）2≥4（ab ）3，∴（a +b ）2﹣4ab ≥4（ab ）3即（2）2﹣4ab ≥4（ab ）3即（ab ）2﹣2ab +1≤0，（ab ﹣1）2≤0， ∵a 、b 为正实数，∴ab=12016年9月20日。
吉林省实验中学高三第八次模拟考试文数试题含解析.doc
吉林省实验中学2016届高三第八次模拟考试文数试题一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知全集U = R，集合A = {cy = ^2x-x2[集合B = [y\y = 2X,xe R]F贝I\(C R A)C]B=()A. {xx> 2}B. {x|0< x< 1}C. {x|l < x< 2}D. {xx<0}【答案】A【解析】试题分析：由2x-^>Q^Q<x<2,所以集合X = 02], C“Hs，0)U(2,他)；当兀已左时, y = 2x>0,所以集合B = (0,代)，则(GQClB = (2：g,故选A.考点：集合间的运算.22.已知复数z二—— + z,则z的共辘复数为()1-ZA. 1 + iB. 1 + 2/C. 1 — 2zD. 2 + 3,【答案】C【解析】2. 2(1 + z) . . . 1 •试题分析：2 = —+ z=-———4-z = l + z + z = l + 2^所以z的共轨复数z=l-2z,故选l-z (l-z)(l + z)C.考点:l.fi数的代数形式；2.复数的运算；3.共辘复数.3.甲、乙、丙、丁四位同学各自对A、B两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数八与残差平方和加如下表：m106115124103则哪位同学的试验结果体现A、B两变量有更强的线性相关性（）A.甲B.乙C.丙D. T【答案】D【解析】试题分析：相关系数厂越接近于1和残差平方和加越小，两变量A、B的线性相关性越强.故选D.考点：1.相关系数厂和残差平方和加；2.两变量的线性相关.4•下图是计算丄+ - + - + ••• + —的值的一个程序框图，其屮判断框内可以填的是（）248 512 A. n>m B. n>ll? C. H>10? D. n>9?【解析】试题分析：本程序框图的功能是求1 + 2+；+…+丄的值，而丄=二所以当*9时要执行循环2 4 8 512 512 T体,« = 10时不执行循环体，输出S,得出结果，故«>10?,选C.考点：程序框图.5.已知中心在原点，焦点在兀轴上的双曲线的离心率e =—,其焦点到渐近线的距离为1,2则此双曲线的方程为（A. ------- ）厂=12)2 9JIB. X J =1C. —-y2=lD. x2-y2=\【答案】C【答案】A【解析】C 如+戻 V6 「厂山e = - = -------- =—,所以a a 2a 1= 2b 2,焦点（±c,0）到渐近线y = ±-x 的距离为~^= = — = b = l t 所以a 2=2, a yjh 2+a 2cr 2双曲线方程为—= 1,故选A .2考点：1.双曲线的简单几何性质；2.点到直线的距离公式.6.某一简单几何体的三视图如图所示，该几何体的外接球的表面积是（）A. 13龙B. 16龙C. 25龙D. 27龙【答案】C【解析】试题分析:此几何体是底面为正方形的长方体，由正视图有底面对角线为4,所以底边边长为2^2 ,由侧视團 有高为3,该几何体的外接球球心为体对角线的中点，设其外接球半径为J?，则俯機图 试题分析： 由题意设双曲线方程为 则离心率正视图懐视图■2R = 7（2^2）2 +（2 血尸+32=5, 5 = -,表面积S=4TT R2=4TTX —= 25®故选C.2 4考点：1.三视图的识别；2.球的表面积公式.7.数列｛陽｝对于Vn G N*,都有a n + a n+i + a fl+2为定值，且a7 =2,a9 =3,^ =4 ,则数列仏｝的前100项的和&（）（）=（）A. 68B. 99C. 132D. 299【答案】D【解析】试题分析：由题意有，数列｛%｝为周期为3的周期数列，％=坷=2,购=冬=3，徐=勺=4, 则数列仏”｝的前100项的和5100 = 33（® +色+色）+ 4 = 33x9 + 2 = 299,故选D.考点：1.周期数列；2.数列求和.A.若a丄0, 则加丄"8.已知直线加和平面a,0,则下列四个命题正确的是（）则加〃0D.若加// a ,则a// pc.若a〃0,【答案】C【解析】试题分析:选项扎若a丄0,加则加ua或z«||a或加与a相交,A错;选项乩若al! II a ,则加” 0或muQr错；选项C,若a" 0,加丄a,则加丄Q,C正确；选项D,若加// a f m II Q, 则a" 0或a与Q 相交,D错•故选C・考点：线面之间的平行、垂直关系的判断.9.以下四个命题中，正确的个数是（）①命题“若/（兀）是周期函数，则/（无）是三角函数”的否命题是“若/（兀）是周期函数，则/（x）不是三角函数”；②命题“存在XW/?,/一无>0”的否定是“对于任意XG R,x2-x<0ff；③在\ABC中,“ sin A > sin B ”是“ A> B ”成立的充要条件；④若函数/(x)在(2015,2017)上有零点,则一定有/(2015)./(2017)<0.A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】试题分析：对于①命题“若/(兀)是周期函数，则/(兀)是三角函数”的否命题是“若/(兀)不是周期函数，则/(兀)不是三角函数”，①错；对于②，命题“存在XG R,x2-x>0ff的否定是“对于任意兀，②错；对于③，在AABC屮，当sin A > sin B时，由正弦定理一^-=上一有a>b,由大边对大角有A>B，当A>B时，得a>b,由正弦定理有sin A sin BsinA>sinB,所以“ sin A > sin B ”是“ A>B V成立的充要条件，③正确；对于④，举例函数/(x) = (x-2016)2,在(2015,2017)上有零点x = 2016,但/(2015) -/(2017) = 1>0不符合.故只有1个正确.考点：1.四种命题的形式；2.特称命题的否定形式；3.充分条件与必要条件的判断；4.函数零点存在定理. 【易错点晴】木题分为4个小题，都是对平时练习中易错的知识点进行考查，属于基础题.在① 中，注意命题的否定与否命题的区别；在②中，是对特称命题的否定，己知p:Bxe M,p(x),否定rpMeMm在③中，注意正弦定理和大边对大角、大角对大边的运用；对于④, 是考查零点存在定理，要说明这个命题是错误的，只需举出一个反例即可.x2y2110.设幺是椭圆—+ ^- = 1的离心率，且眩(一,1),则实数比的取值范围是()4 k2A. (0,3)B. (3,耳)C. (0,3) U(y,+-)D.(0,2)【答案】c【解析】试题分析：当0"<4时〉椭圆焦点在兀轴上，f = 4=京=k > c = Qc^-R = J4一A;,离心率e = -= ^~k?由:有0<k<3；当疋>4时，椭圆焦点在尹轴上，/ =上护=4卍=J?二I, a 2 2Jfc-4 1 16 16离心率"洱丄，；<xl有心岁•故实数花的范围是0"<3或疋A眾选C・4k 2 3 3考点：椭圆的简单儿何性质.11.某工厂生产的A种产品进入某商场销售，商场为吸引厂家第一年免收管理费，因此第一年A种产品定价为每件70元，年销售量为11.8万件，从第二年开始，商场对A种产品征收销售额的兀％的管理费(即销售100元要征收兀元)，于是该产品定价每件比第一年增加了比色元，预计年销售量减少x万件，要使第二年商场在A种产品经营中收取的管理费不少1一兀％于14万元，则兀的最大值是()A. 2B. 6.5C. 8.8D. 10【答案】D【解析】试题分析：由己知有，第二年的年销售收入为(70+70讥％)(11.8_工)万元，商场对该商品征1 —X°/o收的管理费记为y,y = (70 + 7°•"%)(11.8-x)x%(兀>0),贝9 y>14 ,所以1-X%(70 + 7°，X%)(11.8 - x)x% >14,化简得/_12 兀+ 2050,所以2<x<10,故x 得最大1 -x%值为10,选D.考点：解不等式.【易错点晴】本题主要考查阅读理解能力，如何将实际问题转化为数学模型，是中档题.在本题屮，要把第二年商场对该商品收取的管理费的表达式列正确，产品销售额等于产品价格乘销售量,根据题意构造函数y = (70 +型必)(11.8-x)x%(x>0),再令^>14,解不等式,求出兀1 -X%的范围，得到最大值即可.12.已知函数/(x) = kx , g(x) = 2\nx + 2e(-<x<e2),若/'(兀)与g(兀)的图象上分别存在e点M.N ,使得关于直线y = w对称，则实数£的取值范阖是()2 4 2 4 4A. [―-—]B. [―—,2" 0. [-—,2^] D. [-—,+oo)e e e e~ e~【答案】B【解析】试题分析：设肚)为函数/(%)=底上的一点，则M(t z ki)关于直线y=g的对称点为N住九-肚)在函数g(功=210兀+2€(—兰*兰g?)上，所以為一A/ = 21uf+2^, k = —,贝i_|Ar'= —-,e t e t所CU在卩■ J上为减函数，在(仗刃上为增函数，所以当20时也=-如=-2,当时2 In- 2褊盘二―十=九，故—一兰疋<2®选B.£ee考点：1.函数图象的对称；2.利用导数研究函数的最值.【思路点晴】本题考查了利用导数研究函数的最值，属于中档题•在本题中，先由两函数的图象存在点关于直线y = £对称，则设点为函数/(%) = kx±,关于直线y = e的对称点为NZ — la)在函数gU) = 21n^4-2^(-<x<^2)±,得到k = -^-(-<t<e2),再利用e t e导数求出k的范围来.本题注意从对称找突破口.第II卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每题5分，满分20分•)13•从閉,2,3｝中随机抽取-个数记为°,从｛-27,2｝中随机抽取一个数记杯则函数y = d" +b的图象经过第三象限的概率是【答案】-8【解析】试题分析：由题意所有可能的情况有4x4=16种情况，函数y = 的團象经过第三象限时，匕因配对2”2,-2｝,｛2「1｝眉-2｝3-1｝共6种情况，故函数的图象经过第三象限的概的情况有率为令=|・16 8考点：1•用列举法计算基本事件数及事件发生的概率；2.指数函数的图象变换.x-2y+l>014.已知实数满足：< x<2, z = 2x-2y-l,则z的取值范闱是x+y-lXO「5 、【答案】一二,5_ 3丿【解析】试题分析：由已知的不等式组，画出可行域如图阴影部分，三角形三个顶点坐标分别为3 1 2（2,—），（2,-1）,（一,一），当z取不同值时，z = 2x-2y-l表示的是斜率为1的平行直线系, 3 31 2 S经过点（一,一）时，z取最小值-'在经过点（2，-1）时，取最大值5,由于不等式x<2表示的3 3 3「5 、区域不包括直线x = 2,所以不能取到最大值5,故z的取值范围是-\5 •考点：1•不等式组所表示的区域；2•简单的线性规划.丄15•数列｛色｝的首项为q=l,数列｛仇｝为等比数列且»=啦,若V U=2016,0,则【答案】2016【解析】试题分析：由已知有^= — = 02，^= — ,所以用=a l b l =业”由站=池有。
吉林省实验中学2010高三数学第八次高考模拟考试 理 新人教版
吉林省实验中学2010年高三年级第九次模拟考试数学试题（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．已知全集U Z =，2{1,0,1,2},{|}A B x x x =-==，则U A C B 为（ ）A ．{1,2}-B ．{1,0}-C ．{0,1}D ．{1,2}2．已知复数z 的实部为1-，虚部为2，则5i z=（ ）A ．2i -B ．2i +C ．2i --D ．2i -+ 3．直线1y x =+与圆221x y +=的位置关系为（ ）A ．相切B ．相交但直线不过圆心C ．直线过圆心D ．相离4．已知两条直线,m n ，两个平面,αβ，给出下面四个命题： ①//,m n m n αα⊥⇒⊥ ②//,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒ ③//,////m n m n αα⇒ ④//,//,m n m n αβαβ⊥⇒⊥ 其中正确命题的序号是（ ）A ．①③B ．②④C ．①④D ．②③ 5．已知命题:p x ∀∈R ，sin 1x ≤，则（ ）A ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x ≥B ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x ≥C ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x >D ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x >6．锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同。
从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为 （ ）A ．891B ．2591C ．4891D ．60917．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线中心在原点，焦点在y 轴上，一条渐近线方程为20x y -=，则它的离心率为（ ）A B ．2C D ．28．若对于任意实数x ，有3230123(2)(2)(2)x a a x a x a x =+-+-+-，则2a 的值为（ ）S =0，T =0，n =0T ＞S ？S = S +4输出T结 束n = n +2T =T + n是否A ．3B ．6C ．9D ．129．执行如图所示的程序框图，输出的T 等于 （ ） A ．10 B ．15 C ．20 D ．3010．右图是一个几何的三视图，根据图中的数据， 计算该几何体的表面积为 （ ） A ．15π B ．18π C ．22π D ．33π11．已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥，则(1)'(0)f f 的最小值为 （ ）A ．3B ．52C ．2D ．3212．在平面直角坐标系xOy ，已知平面区域{(,)|1,A x y x y =+≤且0,0}x y ≥≥，则平面区域{(,)|(,)}B x y x y x y A =+-∈的面积为（ ）A ．2B ．1C ．12D ．14二、填空题（每小题解5分，共20分）13．已知向量(0,1,1)a =-，(4,1,0)b =，||29a b λ+=且0λ>，则λ= ．14．某校准备召开高中毕业生代表会，把6个代表名额分配给高三年级的3个班，每班至少一个名额，不同的分配方案共有 种． 15．已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 边长为1，高AA 1＝2，它的八个顶点都在同一球面上，那么球的半径是 ． 16．定义一种运算“*”，它对正整数n 满足以下运算： （1）2*1001=1；侧视图 4 35俯视图·（2）]1001)2[(31001)22(*⋅=*+n n ，则2008*1001的值是 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知向量m ),cos ,(sin A A = n )sin ,(cos B B =, m ．n C B A C ，，，且2sin =分别为△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角． （Ⅰ）求角C 的大小;（Ⅱ）若sin A , sin C , sin B 成等比数列, 且18)(=-⋅AC AB CA , 求c 的值． 18．（本小题满分12分）“ 五·一”黄金周某旅游公司为3个旅游团提供4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条旅游线路．（Ⅰ）求3个旅游团选择3条不同的线路的概率； （Ⅱ）求恰有2条线路被选择的概率； （Ⅲ）求选择甲线路的旅游团个数的期望． 19．（本小题满分12分）如图,在底面为直角梯形的四棱锥,//,BC AD ABCD P 中-,90︒=∠ABC平面⊥PA ABCD ,32,2,3===AB AD PA ,6=BC（Ⅰ）求证:;PAC BD 平面⊥（Ⅱ）求二面角A BD P --的大小．N20．（本小题满分12分）已知向量OA → ＝（2 2 ，0），O 是坐标原点，动点 M 满足：| OM → ＋ OA → |＋| OM →－OA →| ＝ 6。
吉林省实验中学高三数学理科第三次模拟考试卷
吉林省实验中学2008届高三年级第三次模拟考试数学试题（理科）A 卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分） 1．设B A x x B x x A 则},31||{},2|{≤-=≥==（ ）A ．[2，4]B ．(]2,-∞-C ．[－2，4]D ．[)+∞-,2 2．105sin 15cos 75cos 15sin +等于（ ）A ．0B ．21 C ．23 D ．13．如果复数m mi i m 则实数是实数,)1)((2++是（ ）A ．1B ．－1C ．2D ．－2 4．若q p x q x p 是则,2|1:|,0)1lg(:<-<-成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知过点m y x m B m A 则平行的直线与直线和,012)4,(),2(=++-=的值为（ ） A ．0 B ．2 C ．－8 D ．86．如图，正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=2AB ，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为 （ ） A ．51 B ．52C ．53D ．547．已知xy y x y x 则,log log )(log 222+=+的取值范围是（ ）A ．[)+∞,4B ．[)+∞,2C ．(][)+∞∞-,20,D ．[0，2] 8．函数)1(1log 2>-=x xx y 的反函数是 （ ）A ．)0(211>-=x y xB ．)0(211<-=x y xC ．)0(211>+=x y xD ．)0(211<+=x y x9．以下给出的函数中，以π为周期的偶函数是 （ ）A ．x x y cos sin =B ．x y tan =C ．x x y 22sin cos -=D ．2cosx y = 10．若23)21(x x x n 的系数等于展开式中+的系数的4倍，则n 等于 （ ）A ．7B ．8C ．9D ．1011．设987321321,105,15,}{a a a a a a a a a a n ++==++则若列是公差为正数的等差数=（ ）A ．102B ．35C ．50D ．5112．将函数x y 2=的图像按向量a 平移后得到函数62+=x y 的图像，给出以下四个命题： ①a 的坐标可以是（－3，0）；②a 的坐标可以是（0，6）；③a 的坐标可以是（－3，0）或（0，6）；④a 的坐标可以有无数种情况，其中真命题的个数是 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4B 卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分） 13．)221(lim 220xx x x x ---→= .14．已知函数)(x f y =的图象如图，则不等式0)112(≥-+x x f 的解集为 . 15．从颜色不同的5个球中任取4个放入3个不同的盒子中，要求每个盒子不空，则不同的放法总数为 .16．给出下列四个函数①1)(2+=x x f ；②x x f ln )(=；③xe xf -=)(；④x x f sin )(=.其中满足：“对任意|||)()(|),()2,1(,21212121x x x f x f x x x x -<-≠∈总成立”的是.（把你认为正确函数的序号都填上） 三、解答题（本大题共6小题，共计70分） 17．（本小题满分10分）已知锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且.3tan 222bc a acB -+= （1）求∠B ；（2）求函数.]2,0[cos sin 2sin )(上的最大值在π∈+=x x B x x f18．（本小题满分12分）设甲、乙两套试验方案在一次试验中成功的概率均为p ，且这两套试验方案中至少有一套试验成功的概率为0.51.假设这两套试验方案在试验过程中，相互之间没有影响. （1）求p 的值；（2）设试验成功的方案的个数为.,ξξξE 的分布列及数学期望求 19．（本小题满分12分）在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 是棱AB 的中点. （1）求证：BC ∥平面A 1MD 1； （2）求二面角A 1—D 1M —C 的大小. 20．（本小题满分12分）如图，已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x ，F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .（1）若∠F 1AB =90°，求椭圆的离心率；（2）若椭圆的焦距为2，且F AF 222=，求椭圆的方程. 21．（本小题满分12分）已知点列}{,,12:),(1n n n n a y l P x y l b a P 数列轴的交点与为直线上在直线+=是等差数列，其公差为1).(*N ∈n （1）求}{n a 、}{n b 的通项公式； （2）)(lim ),2(||5321n n nn C C C n P P n C +++≥=∞→ 求；（3）若.}{,1),2(2111的通项公式求且n n n n d d n a d d =≥+=+-22．（本小题满分12分） 已知函数1)(2=+=x bx axx f 在处取得极值2. （1）求函数)(x f 的解析式；（2）m 满足什么条件时，函数)(x f 在区间（m ，2m +1）上为单调递增函数？ （3）若bx axx f l b x ax x f y x P +=+=2200)(,)(),(与直线的图象上的任意一点为的图象切于P 点，求直线l 的斜率的取值范围.参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分）1．A 2．D 3．B 4．A 5．C 6．D 7．A 8．B 9．C 10．B 11．D 12．D 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）13．21-14．[)1,2- 15．180 16．②③④ 三、解答题（本大题共6小题，共计70分） 17．（本小题满分10分） 解：（1）由题意得：3,20,23sin ,cos 23tan ππ=∴<<=∴=B B B B B……………5分（2）由（1）及条件得)3s i n (2c o s 3s i n)(π+=+=x x x x f……………8分)(,6];65,3[3],2,0[x f x x x 时当πππππ=∴∈+∴∈ 取得最大值，最大值为2.……………10分18．（本小题满分12分）（1）解：记这两套试验方案在一次试验中均不成功的事件为A ，则至少有一套试验成功的事件为.A由题意，这两套试验方案在一次试验中不成功的概率均为.1p -.)1(1)(,,)1()(,22p A P p A P --=-=从而所以令.3.0,51.0)1(12==--p p 解得 …………6分 （2）解：ξ的可取值为0，1，2…………7分,42.0)3.01(3.02)1(,49.0)3.01()0(2=-⨯⨯===-==ξξP P.09.03.0)2(2===ξP …………10分所以ξ的分布列为：6.0)2(2)1(1)0(0==⨯+=⨯+=⨯=ξξξξξP P P E 的数学期望 …………12分19．（本小题满分12分） 解法1：（1）∵BC ∥B 1C 1，B 1C 1∥A 1D 1，∴BC ∥A 1D 1. 又A 1D 1⊂平面A 1MD 1，BC ⊄平面A 1MD 1∴BC ∥平面A 1MD 1；…………5分（2）设平面A 1MD 1与棱DC 相交于点N ， 连结D 1N ，则点N 是DC 的中点.∴A 1D 1⊥平面D 1DCC 1，A 1D 1⊂平面A 1MND 1∴平面A 1MND 1⊥平面D 1DCC 1， 且D 1N 是交线.过点C 作CH ⊥D 1N 于H 点， 则CH ⊥平面A 1MND 1，再过H 作HO ⊥D 1M 于O 点，连结CO ，根据三垂线定理得CO ⊥D 1M ， 从而∠COH 是二面角C —D 1M —N ，也就是所求二面角A 1—D 1M —C 的补二面角的平面角…………8分设正方体的棱长为2，则在121,2,11===∆DC DN DD DND Rt 由于中， 所以有.55252cos 22111==+=∠DN DD DD N DD 在N DD NCH DC CN CHN Rt 1,121,∠=∠==∆由于中，所以有 .552cos cos 1=∠⋅=∠⋅=N DD CN NCH CN CH 又由于可求得22,5,321211122221211212111=+==+==++=+=C C C D C D BM CB MC AM A A D A M A D A M D所以在,101052229582cos 12122111=⋅⋅-+=⋅⋅-+=∠∆MC C D M D MC C D CM D C MD 中有进而有.101031011sin 1=-=∠CM D 根据三角形面积公式得2101035223sin 111=⇒⋅⋅=⋅⇒∠⋅⋅=⋅CO CO CM D MC C D CO M D 从而在.55arcsin ,55sin ,=∠==∠∆COH CO CH COH CHO Rt 中因此所求的二面角.55arcsin11---π的大小为C M D A …………12分解法2：分别以直线DA 、DC 、DD 1为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系D —xyz ，并设正方体的棱长为2，则相关点的坐标分别为A 1(2，0，2)，D 1(0，0，2)，C(0，2，0)，M(2，1，0) …………6分⎩⎨⎧=-+=⎩⎨⎧=-⋅=⋅-===⋅=⋅=0220,0)2,1,2(),,(0)0,0,2(),,(),2,1,2(),0,0,2(,0,),,(1111111111z y x x z y x z y x D A D M A n A D n MD A z y x n 即所以有而且则的法向量是平面设).1,2,0(,0,2,11====n x y z 从而则令…………8分再设0,),,(121212=⋅=⋅'''=M D n C D n CMD z y x n 则的法向量是平面,⎩⎨⎧='-'+'='-'⎩⎨⎧=-⋅'''=-⋅'''-=-=0220,0)2,1,2(),,(0)2,2,0(),,(),2,1,2(),2,2,0(11z y x z y z y x z y x M D C D 即所以有而且 令)2,2,1(,2,12=='='='n z y x 从而则…………10分设θθ则的平面角是所求二面角,11C M D A --是钝角，并且有552|||||,cos |cos 212121-=⋅=><-=n n n n θ， 即552arccos )552arccos(-=-=πθ为所求 …………12分20．（本小题满分12分）解：（1）若21,90AOF AB F ∆=∠则为等腰直角三角形，所以有OA=OF 2，即b=c …………2分 所以22,2===a c e c a …………4分（2）由题知),(),0,1(),,0(2y x B F b A 设，由,2,23,222by x F AF -===解得 …………6分代入141491449122222222=+=+=+ab b a b y a x 即得， 解得32=a…………10分所以椭圆方程为12322=+y x …………12分21．（本小题满分12分）解：（1）12,12:),(+=∴+=n n n n n a b x y l b a P 上在直线0)1,0(,111=∴∴a P y l P 轴的交点与为直线 ，又数列)(12)(11}{**N n n b N n n a a n n n ∈-=∴∈-=∴的公差为…………3分（2）),(),1,0(1n n n b a P P)1(5)22()1()1(||22221-=-+-=-+=∴n n n b a P P n n n)2(111)1(1||51≥--=-=⋅=n n n n n P P n C n n…………6分nn n C C C n 11111312121132-=--+-+-=+++∴ 1)(lim 32=+++∴∞→n n C C C…………8分 （3）)21(2211+-+=++∴+=--n d d n d n d d n n n n…………10分}2{++∴n d n 是以2为公比，4为首项的等比数列，.22,2211--=∴=++∴++n d n d n n n n…………12分22．（本小题满分12分）解：（1）已知函数2222)()2()()(,)(b x x ax b x a x f b x ax x f +-+='∴+= …………2分又函数⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+⎩⎨⎧=='∴=142102)1(,2)1(0)1(,21)(b a ba ab a f f x x f 即处取得极值在 14)(2+=∴x xx f …………4分（2）由10)1()2(4)1(4)(222±=⇒=+-+='x x x x x x f所以]1,1[14)(2-+=的单调增区间为x xx f ， …………6分若函数⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+-≥+m m m m m m x f 121121,)12,()(则有为单调递增函数在 解得01≤<-m即(].)()12,(,0,1的单调增区间为函数时x f m m m +-∈…………8分（3）2222)1()2(4)1(4)(14)(+-+='∴+=x x x x x f x x x f 直线l 的斜率为]11)1(2[4)1(8)1(4)(2022022020200+-+=+-+='=x x x x x x f k 令(](]1,0),2(4,1,0,11220∈-=∈=+t t t k l t t x 的斜率则直线, ].4,21[-∈∴k……………12分。
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吉林省实验中学2016年高考数学模拟试卷（理科）（八）（解析版）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|x2﹣16＜0}，B={﹣5，0，1}，则（）A．A∩B=∅B．B⊆A C．A∩B={0，1} D．A⊆B2．已知复数z=（i为虚数单位），则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．某疾病研究所想知道吸烟与患肺病是否有关，于是随机抽取1000名成年人调查是否吸烟是否患有肺病，得到2×2列联表，经计算的K2=5.231．已知在假设吸烟与患肺病无关的前提条件下，P（K2≥3.841）=0.05，P（K2≥6.635）=0.01，则该研究所可以（）A．有95%以上的把握认为“吸烟与患肺病有关”B．有95%以上的把握认为“吸烟与患肺病无关”C．有99%以上的把握认为“吸烟与患肺病有关”D．有99%以上的把握认为“吸烟与患肺病无关”4．已知a＞0，b＞0，则“ab＞1”是“a+b＞2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．即不充分也不必要条件5．若m=6，n=4，按照如图所示的程序框图运行后，输出的结果是（）A． B．100 C．10 D．16．已知函数f（x）=Asin（πx+φ）的部分图象如图所示，点B，C是该图象与x轴的交点，过点C的直线与该图象交于D，E两点，则的值为（）A．﹣1 B．C．D．27．已知等比数列{a n}中，a2a8=4a5，等差数列{b n}中，b4+b6=a5，则数列{b n}的前9项和S9等于（）A．9 B．18 C．36 D．728．从装有若干个大小相同的红球、白球和黄球的袋中随机摸出1个球，摸到红球、白球和黄球的概率分别为，，，从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，连续摸3次，则记下的颜色中有红有白但没有黄的概率为（）A．B．C．D．9．在平行四边形ABCD中，，，若将其沿AC折成直二面角D ﹣AC﹣B，则三棱锥D﹣ACB的外接球的表面积为（）A．16π B．8πC．4πD．2π10．过抛物线y2=4x（p＞0）的焦点作两条互相垂直的弦AB、CD，则=（）A．2 B．4 C．D．11．某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为（）A．2 B．4 C．2 D．212．已知点P为函数f（x）=lnx的图象上任意一点，点Q为圆[x﹣（e+）]2+y2=1任意一点，则线段PQ的长度的最小值为（）A． B．C．D．e+﹣1二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知x、y满足约束条件，则z=x+2y的最大值为．14．在长为12厘米的线段AB上任取一点C，现以线段AC，BC为邻边作一矩形，则该矩形的面积大于20平方厘米的概率为．15．在（x2﹣x+1）5的展开式中，x3的系数为．16．已知函数f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，当x＞0时，，则函数g（x）=2f（x）﹣1的零点个数为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．设△ABC中的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且，b=2．（Ⅰ）当时，求角A的度数；（Ⅱ）求△ABC面积的最大值．18．某大学志愿者协会有10名同学，成员构成如下表，其中表中部分数据不清楚，只知道从这10名同学中随机抽取一位，抽到该名同学为“数学专业”的概率为．专业中文英语数学体育性别男n 1 m 1女 1 1 1 1现从这10名同学中随机选取3名同学参加社会公益活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ）求选出的3名同学恰为专业互不相同的男生的概率；（Ⅲ）设ξ为选出的3名同学中“女生或数学专业”的学生的人数，求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ．19．如图，四棱锥E﹣ABCD中，平面EAD⊥平面ABCD，DC∥AB，BC⊥CD，EA⊥ED，且AB=4，BC=CD=EA=ED=2．（1）求证：BD⊥平面ADE；（2）求直线BE和平面CDE所成角的正弦值．20．已知椭圆M：： +=1（a＞0）的一个焦点为F（﹣1，0），左右顶点分别为A，B．经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）当直线l的倾斜角为45°时，求线段CD的长；（Ⅲ）记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2，求|S1﹣S2|的最大值．21．已知函数f（x）=e x（sinx﹣ax2+2a﹣e），其中a∈R，e=2.71818…为自然数的底数．（1）当a=0时，讨论函数f（x）的单调性；（2）当≤a≤1时，求证：对任意的x∈[0，+∞），f（x）＜0．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，⊙O1和⊙O2公切线AD和BC相交于点D，A、B、C为切点，直线DO1与⊙O1与E、G两点，直线DO2交⊙O2与F、H两点．（1）求证：△DEF～△DHG；（2）若⊙O1和⊙O2的半径之比为9：16，求的值．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．（2016吉林校级模拟）已知直线l的参数方程是（t是参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρ=4cos（θ+）．（1）判断直线l与曲线C的位置关系；（2）过直线l上的点作曲线C的切线，求切线长的最小值．【选修4-5：不等式选讲】24．已知关于x的不等式：|2x﹣m|≤1的整数解有且仅有一个值为2．（Ⅰ）求整数m的值；（Ⅱ）已知a，b，c∈R，若4a4+4b4+4c4=m，求a2+b2+c2的最大值．2016年吉林省实验中学高考数学模拟试卷（理科）（八）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|x2﹣16＜0}，B={﹣5，0，1}，则（）A．A∩B=∅B．B⊆A C．A∩B={0，1} D．A⊆B【分析】根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：A={x|x2﹣16＜0}={x|﹣4＜x＜4}，B={﹣5，0，1}，则A∩B={0，1}，故选：C【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．已知复数z=（i为虚数单位），则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】由i4=1，可得i2016=（i4）504=1．再利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：∵i4=1，∴i2016=（i4）504=1．∴复数z====i，则复数z的共轭复数i在复平面内对应的点（，）位于第一象限．故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义、复数的周期性与几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．某疾病研究所想知道吸烟与患肺病是否有关，于是随机抽取1000名成年人调查是否吸烟是否患有肺病，得到2×2列联表，经计算的K2=5.231．已知在假设吸烟与患肺病无关的前提条件下，P（K2≥3.841）=0.05，P（K2≥6.635）=0.01，则该研究所可以（）A．有95%以上的把握认为“吸烟与患肺病有关”B．有95%以上的把握认为“吸烟与患肺病无关”C．有99%以上的把握认为“吸烟与患肺病有关”D．有99%以上的把握认为“吸烟与患肺病无关”【分析】根据条件中所给的计算出的观测值，把观测值同临界值进行比较，看出有1﹣0.05=95%的把握说患肺病与吸烟有关，得到结论．【解答】解：∵计算得K2=5.231，经查对临界值表知P（K2≥3.841）≈0.05，∴有1﹣0.05=95%的把握说患肺病与吸烟有关故选：A．【点评】本题考查独立性检验，是一个基础题，解决本题的关键是正确理解研究患肺病是否与吸烟有关时，计算出观测值得到概率的意义．4．已知a＞0，b＞0，则“ab＞1”是“a+b＞2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．即不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质进行判断即可．【解答】解：若a=3，b=，满足a+b＞2，但ab＞1不成立，∵a2+b2≥2ab，∴（a+b）2≥4ab，∵ab＞1，∴（a+b）2＞4，∴a+b＞2，故a＞0，b＞0，则“ab＞1”是“a+b＞2”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键．5．若m=6，n=4，按照如图所示的程序框图运行后，输出的结果是（）A． B．100 C．10 D．1【分析】模拟程序的运行过程，由于条件m＞n成立，执行y=lg（m+n），计算即可解得答案．【解答】解：模拟执行程序框图，可得m=6，n=4满足条件m＞n，y=lg（6+4）=1，输出y的值为1．故选：D．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题．6．已知函数f（x）=Asin（πx+φ）的部分图象如图所示，点B，C是该图象与x轴的交点，过点C的直线与该图象交于D，E两点，则的值为（）A．﹣1 B．C．D．2【分析】根据三角函数的图象和性质，求出函数的周期，利用向量的基本运算和向量的数量积定义即可得到结论．【解答】解：∵函数f（x）=sin（2πx+φ）的周期T==2，则BC==1，则C点是一个对称中心，则根据向量的平行四边形法则可知： =2， =∴=2=2||2=2×12=2．故选：D．【点评】本题主要考查向量的数量积运算，利用三角函数的图象和性质是解决本题的关键．7．已知等比数列{a n}中，a2a8=4a5，等差数列{b n}中，b4+b6=a5，则数列{b n}的前9项和S9等于（）A．9 B．18 C．36 D．72【分析】由等比数列的性质结合已知求得a5=4，代入b4+b6=a5，进一步代入等差数列的求和公式得答案．【解答】解：∵数列{a n}是等比数列，∴a2a8=，又a2a8=4a5，∴，解得a5=4．∴b4+b6=a5=4．∵数列{b n}是等差数列，∴数列{b n}的前9项和S9==．故选：B．【点评】本题考查了等比数列和等差数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是基础题．8．从装有若干个大小相同的红球、白球和黄球的袋中随机摸出1个球，摸到红球、白球和黄球的概率分别为，，，从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，连续摸3次，则记下的颜色中有红有白但没有黄的概率为（）A．B．C．D．【分析】记下的颜色中有红有白但没有黄的情况有两种：2红1白，1红2白，由此能求出所求概率．【解答】解：∵从装有若干个大小相同的红球、白球和黄球的袋中随机摸出1个球，摸到红球、白球和黄球的概率分别为，，，从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，连续摸3次，∴记下的颜色中有红有白但没有黄的情况有两种：2红1白，1红2白，则所求概率：p==．故选：C．【点评】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式的合理运用．9．在平行四边形ABCD中，，，若将其沿AC折成直二面角D ﹣AC﹣B，则三棱锥D﹣ACB的外接球的表面积为（）A．16π B．8πC．4πD．2π【分析】由已知中，可得AC⊥CB，沿AC折成直二面角D﹣AC﹣B，平面DAC⊥平面ACB，可得三棱锥A﹣BCD的外接球的直径为BD，进而根据，求出三棱锥D﹣ACB的外接球的半径，可得三棱锥D﹣ACB的外接球的表面积．【解答】解：平行四边形ABCD中，∵，∴AC⊥CB，沿AC折成直二面角D﹣AC﹣B，∴平面DAC⊥平面ACB，三棱锥D﹣ACB的外接球的直径为DB，∴BD2=AD2+AC2+BC2=2BC2+AC2=4∴外接球的半径为1，故表面积是4π．故选：C．【点评】本题考查的知识点是球内接多面体，平面向量数量积的运算，其中根据已知求出三棱锥D﹣ACB的外接球的半径是解答的关键．10．过抛物线y2=4x（p＞0）的焦点作两条互相垂直的弦AB、CD，则=（）A．2 B．4 C．D．【分析】设出两直线的倾斜角，利用焦点弦的弦长公式分别表示出|AB|，|CD|即可求得答案．【解答】解：抛物线y2=4x，可知2p=4，设直线l1的倾斜角为θ，则l2的倾斜角为﹣θ，过焦点的弦，|AB|=，|CD|==∴=+==，故选D．【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．对于过焦点的弦，能熟练掌握相关的结论，解决问题事半功倍．11．某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为（）A．2 B．4 C．2 D．2【分析】由三视图知该几何体为棱锥，其中SC⊥平面ABCD；四面体S﹣ABD的四个面中SBD 面的面积最大，三角形SBD是边长为2的等边三角形，即可求出四面体的四个面中面积最大的面积．【解答】解：由三视图知该几何体为棱锥S﹣ABD，其中SC⊥平面ABCD；四面体S﹣ABD的四个面中SBD面的面积最大，三角形SBD是边长为2的等边三角形，所以此四面体的四个面中面积最大的为=2．故选：C．【点评】本题考查三视图，考查面积的计算，确定三视图对应直观图的形状是关键．12．已知点P为函数f（x）=lnx的图象上任意一点，点Q为圆[x﹣（e+）]2+y2=1任意一点，则线段PQ的长度的最小值为（）A． B．C．D．e+﹣1【分析】由圆的对称性可得只需考虑圆心Q（e+，0）到函数f（x）=lnx图象上一点的距离的最小值．设f（x）图象上一点P（m，lnm），求得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得lnm+m2﹣（e+）m=0，由g（x）=lnx+x2﹣（e+）x，求出导数，判断单调性，可得零点e，运用两点的距离公式计算即可得到所求值．【解答】解：由圆的对称性可得只需考虑圆心Q（e+，0）到函数f（x）=lnx图象上一点的距离的最小值．设f（x）图象上一点（m，lnm），由f（x）的导数为f′（x）=，即有切线的斜率为k=，可得=﹣m，即有lnm+m2﹣（e+）m=0，由g（x）=lnx+x2﹣（e+）x，可得g′（x）=+2x﹣（e+），当2＜x＜3时，g′（x）＞0，g（x）递增．又g（e）=lne+e2﹣（e+）e=0，可得x=e处点（e，1）到点Q的距离最小，且为，则线段PQ的长度的最小值为为﹣1，即．故选：C．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性，考查圆的对称性和两点的距离公式，考查运算能力，属于中档题．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知x、y满足约束条件，则z=x+2y的最大值为 2 ．【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，平移直线y=﹣x，结合图象求出z 的最大值即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由z=x+2y得：y=﹣x+，平移直线y=﹣x，结合图象直线过A（0，1）时，z最大，z的最大值是2，故答案为：2．【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题．14．在长为12厘米的线段AB上任取一点C，现以线段AC，BC为邻边作一矩形，则该矩形的面积大于20平方厘米的概率为．【分析】设AC=x，则BC=12﹣x，由矩形的面积S=x（12﹣x）＞20可求x的范围，利用几何概率的求解公式可求【解答】解：设AC=x，则BC=12﹣x矩形的面积S=x（12﹣x）＞20∴x2﹣12x+20＜0∴2＜x＜10由几何概率的求解公式可得，矩形面积大于20cm2的概率P==，故答案为：【点评】本题主要考查了二次不等式的解法，与区间长度有关的几何概率的求解公式的应用，属于基础试题15．在（x2﹣x+1）5的展开式中，x3的系数为﹣30 ．【分析】化（x2﹣x+1）5=[（x2﹣x）+1]5，利用展开式的通项公式T r+1，讨论r的值，求出展开式中x3项的系数即可．【解答】解：式子（x2﹣x+1）5=[（x2﹣x）+1]5展开式的通项公式为：T r+1=（x2﹣x）r15﹣r；对于（x2﹣x）r，当r=0或1时，展开式中无x3项；当r=2时，（x2﹣x）2展开式中x3的系数是﹣2；当r=3时，（x2﹣x）3展开式中x3的系数是﹣1；当r=4或5时，展开式中无x3项；故x3项的系数为﹣2﹣1×=﹣30．故答案为：﹣30．【点评】本题主要考查了二项式展开式的通项公式与应用问题，是基础题目．16．已知函数f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，当x＞0时，，则函数g（x）=2f（x）﹣1的零点个数为 6 ．【分析】函数g（x）=2f（x）﹣1的零点个数等于函数f（x）图象与直线y=交点的个数，数形结合可得答案．【解答】解：函数g（x）=2f（x）﹣1的零点个数等于函数f（x）图象与直线y=交点的个数，∵函数f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，当x＞0时，，在同一坐标系画出函数的图象如下图所示，由图可得：函数f（x）图象与直线y=有6个交点，故答案为：6．【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的零点与方程根的关系，难度中档．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．设△ABC中的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且，b=2．（Ⅰ）当时，求角A的度数；（Ⅱ）求△ABC面积的最大值．【分析】（I）由可求sinB=且B为锐角，由b=2，a=考虑利用正弦定理可求sinA，结合三角形的大边对大角且a＜b可知A＜B，从而可求A，（II）由，b=2利用余弦定理可得，b2=a2+c2﹣2accosB，把已知代入，结合a2+c2≥2ac可求ac的范围，在代入三角形的面积公式可求△ABC面积的最大值．【解答】解：∵∴sinB=且B为锐角（I）∵b=2，a=由正弦定理可得，∴∵a＜b∴A＜B∴A=30°（II）由，b=2利用余弦定理可得，b2=a2+c2﹣2accosB∴从而有ac≤10∴∴△ABC面积的最大值为3【点评】本题（I）主要考查了利用正弦定理及三角形的大边对大角解三角形（II）利用余弦定理及基本不等式、三角形的面积公式综合求解三角形的面积．考查的是对知识综合运用．18．某大学志愿者协会有10名同学，成员构成如下表，其中表中部分数据不清楚，只知道从这10名同学中随机抽取一位，抽到该名同学为“数学专业”的概率为．专业中文英语数学体育性别男n 1 m 1女 1 1 1 1现从这10名同学中随机选取3名同学参加社会公益活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ）求选出的3名同学恰为专业互不相同的男生的概率；（Ⅲ）设ξ为选出的3名同学中“女生或数学专业”的学生的人数，求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ．【分析】（I）设事件A：从10位学生中随机抽取一位，抽到该名同学为“数学专业”．利用概率求出n即可．（II）设事件B：从这10名同学中随机选取3名同学为专业互不相同的男生．利用古典概型求解概率即可．（III）ξ的可能取值为0，1，2，3．求出概率，得到分布列，然后求解期望．【解答】（本小题满分13分）解：（I）设事件A：从10位学生中随机抽取一位，抽到该名同学为“数学专业”．由题意可知，“数学专业”的学生共有（1+m）人．则．解得 m=3．所以n=1．…（4分）（II）设事件B：从这10名同学中随机选取3名同学为专业互不相同的男生．则．…（7分）（III）由题意，ξ的可能取值为0，1，2，3．由题意可知，“女生或数学专业”的学生共有7人．所以，，，．所以ξ的分布列为ξ0 1 2 3P所以．…（13分）【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查计算能力．19．如图，四棱锥E﹣ABCD中，平面EAD⊥平面ABCD，DC∥AB，BC⊥CD，EA⊥ED，且AB=4，BC=CD=EA=ED=2．（1）求证：BD⊥平面ADE；（2）求直线BE和平面CDE所成角的正弦值．【分析】（1）由勾股定理得出AD=BD=2，故而AD⊥BD，由面面垂直的性质得出BD⊥平面ADE；（2）以D为原点建立坐标系，求出和平面CDE的法向量，则直线BE和平面CDE所成角的正弦值为|cos＜＞|．【解答】解：（1）∵EA=ED=2，EA⊥ED，∴AD=2．∵BC=CD=2，BC⊥CD，∴BD=2．又AB=4，∴AD2+BD2=AB2，∴AD⊥BD．又平面EAD⊥平面ABCD，平面EAD∩平面ABCD=AD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥平面ADE．（2）取AD的中点F，连接EF，则EF⊥平面ABCD，EF=．过D点作直线Oz∥EF，则Oz⊥平面ABCD．以D为坐标原点，以DA，DB，Dz为坐标轴建立空间直角坐标系D﹣xyz，∴D（0，0，0），C（﹣，，0），B（0，2，0），E（，0，），∴=（，﹣2，），=（，0，），=（﹣，，0）．设平面CDE的一个法向量为=（x，y，z），则，∴，设x=1得=（1，1，﹣1）．∴cos＜＞===﹣．∴直线BE和平面CDE所成角的正弦值为．【点评】本题考查了线面垂直的判定，空间向量的应用与线面角的计算，属于中档题．20．已知椭圆M：： +=1（a＞0）的一个焦点为F（﹣1，0），左右顶点分别为A，B．经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）当直线l的倾斜角为45°时，求线段CD的长；（Ⅲ）记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2，求|S1﹣S2|的最大值．【分析】（Ⅰ）由焦点F坐标可求c值，根据a，b，c的平方关系可求得a值；（Ⅱ）写出直线方程，与椭圆方程联立消掉y得关于x的一元二次方程，利用韦达定理及弦长公式即可求得|CD|；（Ⅲ）当直线l不存在斜率时可得，|S1﹣S2|=0；当直线l斜率存在（显然k≠0）时，设直线方程为y=k（x+1）（k≠0），与椭圆方程联立消y可得x的方程，根据韦达定理可用k 表示x1+x2，x1x2，|S1﹣S2|可转化为关于x1，x2的式子，进而变为关于k的表达式，再用基本不等式即可求得其最大值；【解答】解：（I）因为F（﹣1，0）为椭圆的焦点，所以c=1，又b2=3，所以a2=4，所以椭圆方程为=1；（Ⅱ）因为直线的倾斜角为45°，所以直线的斜率为1，所以直线方程为y=x+1，和椭圆方程联立得到，消掉y，得到7x2+8x﹣8=0，所以△=288，x1+x2=，x1x2=﹣，所以|CD|=|x1﹣x2|=×=；（Ⅲ）当直线l无斜率时，直线方程为x=﹣1，此时D（﹣1，），C（﹣1，﹣），△ABD，△ABC面积相等，|S1﹣S2|=0，当直线l斜率存在（显然k≠0）时，设直线方程为y=k（x+1）（k≠0），设C（x1，y1），D（x2，y2），和椭圆方程联立得到，消掉y得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0，显然△＞0，方程有根，且x1+x2=﹣，x1x2=，此时|S1﹣S2|=2||y1|﹣|y2||=2|y1+y2|=2|k（x2+1）+k（x1+1）|=2|k（x2+x1）+2k|==≤==，（k=时等号成立）所以|S1﹣S2|的最大值为．【点评】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及椭圆的标准方程的求解，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，难度较大．21．已知函数f（x）=e x（sinx﹣ax2+2a﹣e），其中a∈R，e=2.71818…为自然数的底数．（1）当a=0时，讨论函数f（x）的单调性；（2）当≤a≤1时，求证：对任意的x∈[0，+∞），f（x）＜0．【分析】（1）求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行讨论即可．（2）对任意的x∈[0，+∞），f（x）＜0转化为证明对任意的x∈[0，+∞），sinx﹣ax2+2a ﹣e＜0，即可，构造函数，求函数的导数，利用导数进行研究即可．【解答】解：（1）当a=0时，f（x）=e x（sinx﹣e），则f′（x）=e x（sinx﹣e）+e x cosx=e x（sinx﹣e+cosx），∵sinx+cosx=sin（x+）≤＜e，∴sinx+cosx﹣e＜0故f′（x）＜0则f（x）在R上单调递减．（2）当x≥0时，y=e x≥1，要证明对任意的x∈[0，+∞），f（x）＜0．则只需要证明对任意的x∈[0，+∞），sinx﹣ax2+2a﹣e＜0．设g（a）=sinx﹣ax2+2a﹣e=（﹣x2+2）a+sinx﹣e，看作以a为变量的一次函数，要使sinx﹣ax2+2a﹣e＜0，则，即，∵sinx+1﹣e＜0恒成立，∴①恒成立，对于②，令h（x）=sinx﹣x2+2﹣e，则h′（x）=cosx﹣2x，设x=t时，h′（x）=0，即cost﹣2t=0．∴t=，sint＜sin，∴h（x）在（0，t）上，h′（x）＞0，h（x）单调递增，在（t，+∞）上，h′（x）＜0，h（x）单调递减，则当x=t时，函数h（x）取得最大值h（t）=sint﹣t2+2﹣e=sint﹣（）2+2﹣e=sint﹣+2﹣e=sin2t+sint+﹣e=（+1）2+﹣e≤（）2+﹣e=﹣e＜0，故④式成立，综上对任意的x∈[0，+∞），f（x）＜0．【点评】本题主要考查函数单调性与导数的应用，求函数的导数，构造函数，利用导数是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，⊙O1和⊙O2公切线AD和BC相交于点D，A、B、C为切点，直线DO1与⊙O1与E、G两点，直线DO2交⊙O2与F、H两点．（1）求证：△DEF～△DHG；（2）若⊙O1和⊙O2的半径之比为9：16，求的值．【分析】（1）欲求证：△DEF～△DHG，根据AD是两圆的公切线得出线段的乘积式相等，再转化成比例式相等，最后结合角相等即得；（2）连接O1A，O2A，AD是两圆的公切线结合角平分线得到：AD2=O1A×O2A，设⊙O1和⊙O2的半径分别为9x和16x，利用AD2=DE×DG，AD2=DF×DH，分别用x表示出DE和DF，最后算出即可．【解答】解：（1）证明：∵AD是两圆的公切线，∴AD2=DE×DG，AD2=DF×DH，∴DE×DG=DF×DH，∴，又∵∠EDF=∠HDG，∴△DEF∽△DHG．连接O1A，O2A，∵AD是两圆的公切线，∴O1A⊥AD，O2A⊥AD，∴O1O2共线，∵AD和BC是⊙O1和⊙O2公切线，DG平分∠ADB，DH平分∠ADC，∴DG⊥DH，∴AD2=O1A×O2A，（8分）设⊙O1和⊙O2的半径分别为9x和16x，则AD=12x，∵AD2=DE×DG，AD2=DF×DH，∴144x2=DE（DE+18x），144x2=DF（DF+32x）∴DE=6x，DF=4x，∴．已知直线l的参数方程是（t是参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρ=4cos（θ+）．（1）判断直线l与曲线C的位置关系；（2）过直线l上的点作曲线C的切线，求切线长的最小值．【分析】（1）分别求出直线和曲线的普通方程，根据点到直线的距离，求出直线l与曲线C的位置关系；（2）根据点到直线的距离求出直线l上的点向圆C引的切线长的最小值即可．【解答】解：（1）直线l方程：y=x+4，ρ=4cos（θ+）=2cosθ﹣2sinθ，∴ρ2=2ρcosθ﹣2sinθ，∴圆C的直角坐标方程为x2+y2﹣2x+2y=0，即+=4，∴圆心（，﹣）到直线l的距离为d=6＞2，故直线与圆相离．直线l的参数方程化为普通方程为x﹣y+4=0，则圆心C到直线l的距离为=6，∴直线l上的点向圆C引的切线长的最小值为=4．（10分）【点评】本题考查了参数方程、极坐标方程转化为普通方程，考查直线和圆的位置关系，考查切线问题，是一道中档题．【选修4-5：不等式选讲】24．已知关于x的不等式：|2x﹣m|≤1的整数解有且仅有一个值为2．（Ⅰ）求整数m的值；（Ⅱ）已知a，b，c∈R，若4a4+4b4+4c4=m，求a2+b2+c2的最大值．【分析】（I）由条件可得，求得3≤m≤5．根据不等式仅有一个整数解2，可得整数m的值．（2）根据a4+b4+c4=1，利用柯西不等式求得（a2+b2+c2）2≤3，从而求得a2+b2+c2的最大值．【解答】解：（I）由|2x﹣m|≤1，得．∵不等式的整数解为2，∴⇒3≤m≤5．又不等式仅有一个整数解2，∴m=4．（2）由（1）知，m=4，故a4+b4+c4=1，由柯西不等式可知；（a2+b2+c2）2≤（12+12+12）[（a2）2+（b2）2+（c2）2]所以（a2+b2+c2）2≤3，即，当且仅当时取等号，最大值为．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，二维形式的柯西不等式的应用，属于基础题．。