三垂线定理课件

P A O
α
A1
a
C1
α
P
A O
a
B1
P C M B
C B
A
回 顾 思 考 ：
注意：如果将定理中[在平面内]的条
件去掉，结论仍然成立吗？
例如：当 b⊥ 时，b⊥OA,但 b不 垂直于OP
P
b
直线a一定要在平面内， 如果a不在平面内，定理就 不一定成立。
O
a
α
A
七、本节小结：
运用三垂线定理证明两条异面直线垂直， 必然要涉及平面的斜线,平面的垂线， 这是三垂线定理解题的关键.我们可以从以下 三点加以理解: 1°知识内容： 三垂线定理 2°思想方法: “转化”的思想， 转化的关键是: 找平面的垂线 3°应用步骤: “一垂二射三证”
八、课后作业：
1、如图，一块正方体木料的上底 面上有一点E，要经过点E在上底面上 画一条直线和C、E的连线垂直，应怎 样画？
D1 E
A1
D A
· B
1
C1
C B
2.已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，M是BC的中点， P 求证：BC⊥AM
C A M B
一、 基本概念：
三垂线定理： 平面的一条斜线垂直于平面内一条直线
斜线在平面内的射影垂直于该直线
P P
α
A
O
a α
A
O
a
二、定理内容分析：
1、三垂线定理包括5个要素：
一面(垂面)； 四线（斜线、垂线、射影和 平面内的直线)。 顺口溜： 一定平面，二定垂线，三找斜线，射影 可见，直线随便。
三垂线定理包含的垂直关系
2. 在正方体AC1中， 求证：A1C⊥BC1 证明：
A A1
D1 B1
D
C1
C
∵在正方体AC1中 A1B1⊥面BCC1B1且BC1⊥B1C
A1
B C1
B1 C B
∴B1C是A1C在面BCC1B1上的射影
由三垂线定理知： A1C⊥BC1 .
六、解题回顾
我们要学会从纷繁的已知条件中找出 或创造出符合三垂线定理的条件
O
a
注意：由一垂、二垂直接得出第三垂 并不是三垂都作为已知条件
三、基础性练习：
已知:P是平面ABC 外一点,PA⊥平面 ABC，AC ⊥ BC，求证：PC ⊥ BC
P
A C
B
四、例题分析：
例１、空间四边形ABCD中，AB垂直于CD，BC 垂直于AD，求证：AC ⊥BD。
证明：
如图，若AB是平面BCD的斜线，过A作 AO⊥平面BCD于O，连结BO、CO、DO ∵AB⊥CD， ∴CD⊥BO（三垂线逆定理）. 同理可得： B BC⊥OD，则O为∆BCD的垂心， ∴ BD⊥OC， ∵ OC是AC的射影， ∴ BD⊥AC（三垂线定理）
①线面垂直 ②线射垂直
P A O P ③ 线斜垂直 P O
α
a
α
Aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a
α
A
O
a
直 线 和
平面垂直
平面内的直线 和平面一条斜 线的射影垂直
平面内的直线 和平面的一条 斜线垂直
思 考 ？
三垂线定理解题的关键：找三垂！
怎么找？
P A
一找直线和平面垂直
二找平面的斜线在平面 内的射影和平面内的 一条直线垂直
α
A
D O
C
例2.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，连 结BD1，AC，CB1，B1A，求证：BD1⊥平面AB1C
证明：连结BD， 连结A1B
∵ABCD是正方形， ∴AC⊥BD 又：DD1⊥平面ABCD ∴BD是斜线D1B在平面ABCD上的射影 ∵AC在平面AC内， ∴BD1⊥AC 请同学思考：如何证明BD1⊥AB1
A A1 D1 B1 C1
D B
C
而AB1，AC相交于点A且都在平面AB1C内 ∴BD1⊥平面AB1C
五、课堂练习:
1、PA⊥正方形ABCD所在平面，O为对角线BD 的中点，求证：PO⊥BD 证明: ∵ABCD为正方形
A O P
D
O为BD的中点
∴ AO⊥BD
B
C
PO⊥BD 又AO是PO在ABCD上的射影