问题2.4 函数与方程、不等式相关问题-突破170分之江苏2017届高三数学复习提升秘籍 含解析 精品
2017年江苏省高考数学试卷及解析
2017年江苏省高考数学试卷一.填空题1．（5分）已知集合A={1，2}，B={a，a2+3}．若A∩B={1}，则实数a的值为．2．（5分）已知复数z=（1+i）（1+2i），其中i是虚数单位，则z的模是．3．（5分）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取件．4．（5分）如图是一个算法流程图：若输入x的值为，则输出y的值是．5．（5分）若tan（α﹣）=．则tanα=．6．（5分）如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是．7．（5分）记函数f（x）=定义域为D．在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积是．9．（5分）等比数列{a n}的各项均为实数，其前n项为S n，已知S3=，S6=，则a8=．10．（5分）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是．11．（5分）已知函数f（x）=x3﹣2x+e x﹣，其中e是自然对数的底数．若f（a﹣1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值范围是．12．（5分）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tanα=7，与的夹角为45°．若=m+n（m，n∈R），则m+n=．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣12，0），B（0，6），点P在圆O：x2+y2=50上．若≤20，则点P的横坐标的取值范围是．14．（5分）设f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f（x）=，其中集合D={x|x=，n∈N*}，则方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是．二.解答题15．（14分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC．16．（14分）已知向量=（cosx，sinx），=（3，﹣），x∈[0，π]．（1）若∥，求x的值；（2）记f（x）=，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．18．（16分）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E1G1的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l没入水中部分的长度；（2）将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求l没入水中部分的长度．19．（16分）对于给定的正整数k，若数列{a n}满足：a n﹣k+a n﹣k+1+…+a n﹣1+a n+1+…+a n+k﹣1+a n+k=2ka n对任意正整数n（n＞k）总成立，则称数列{a n}是“P（k）数列”．（1）证明：等差数列{a n}是“P（3）数列”；（2）若数列{a n}既是“P（2）数列”，又是“P（3）数列”，证明：{a n}是等差数列．20．（16分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：b2＞3a；（3）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值范围．二.非选择题，附加题（21-24选做题）【选修4-1：几何证明选讲】（本小题满分0分）21．如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P为垂足．求证：（1）∠PAC=∠CAB；（2）AC2 =AP•AB．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知矩阵A=，B=．（1）求AB；（2）若曲线C1：=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2，求C2的方程．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C 的参数方程为（s为参数）．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．［选修4-5：不等式选讲］24．已知a，b，c，d为实数，且a2+b2=4，c2+d2=16，证明ac+bd≤8．【必做题】25．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1=，∠BAD=120°．（1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（2）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．26．已知一个口袋有m个白球，n个黑球（m，n∈N*，n≥2），这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，…，m+n的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉（k=1，2，3，…，m+n）．123…m+n（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；（2）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E（X）是X的数学期望，证明E（X）＜．2017年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．（5分）（2017•江苏）已知集合A={1，2}，B={a，a2+3}．若A∩B={1}，则实数a的值为1．【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A={1，2}，B={a，a2+3}．A∩B={1}，∴a=1或a2+3=1，解得a=1．故答案为：1．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义及性质的合理运用．2．（5分）（2017•江苏）已知复数z=（1+i）（1+2i），其中i是虚数单位，则z的模是．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：复数z=（1+i）（1+2i）=1﹣2+3i=﹣1+3i，∴|z|==．故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（5分）（2017•江苏）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取18件．【分析】由题意先求出抽样比例即为，再由此比例计算出应从丙种型号的产品中抽取的数目．【解答】解：产品总数为200+400+300+100=1000件，而抽取60辆进行检验，抽样比例为=，则应从丙种型号的产品中抽取300×=18件，故答案为：18【点评】本题的考点是分层抽样．分层抽样即要抽样时保证样本的结构和总体的结构保持一致，按照一定的比例，即样本容量和总体容量的比值，在各层中进行抽取．4．（5分）（2017•江苏）如图是一个算法流程图：若输入x的值为，则输出y的值是﹣2．【分析】直接模拟程序即得结论．【解答】解：初始值x=，不满足x≥1，所以y=2+log2=2﹣=﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题考查程序框图，模拟程序是解决此类问题的常用方法，注意解题方法的积累，属于基础题．5．（5分）（2017•江苏）若tan（α﹣）=．则tanα=．【分析】直接根据两角差的正切公式计算即可【解答】解：∵tan（α﹣）===∴6tanα﹣6=tanα+1，解得tanα=，故答案为：．【点评】本题考查了两角差的正切公式，属于基础题6．（5分）（2017•江苏）如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是．【分析】设出球的半径，求出圆柱的体积以及球的体积即可得到结果．【解答】解：设球的半径为R，则球的体积为：R3，圆柱的体积为：πR2•2R=2πR3．则==．故答案为：．【点评】本题考查球的体积以及圆柱的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．7．（5分）（2017•江苏）记函数f（x）=定义域为D．在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是．【分析】求出函数的定义域，结合几何概型的概率公式进行计算即可．【解答】解：由6+x﹣x2≥0得x2﹣x﹣6≤0，得﹣2≤x≤3，则D=[﹣2，3]，则在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率P==，故答案为：【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的计算，结合函数的定义域求出D，以及利用几何概型的概率公式是解决本题的关键．8．（5分）（2017•江苏）在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积是．【分析】求出双曲线的准线方程和渐近线方程，得到P，Q坐标，求出焦点坐标，然后求解四边形的面积．【解答】解：双曲线﹣y2=1的右准线：x=，双曲线渐近线方程为：y=x，所以P（，），Q（，﹣），F1（﹣2，0）．F2（2，0）．则四边形F1PF2Q的面积是：=2．故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．9．（5分）（2017•江苏）等比数列{a n}的各项均为实数，其前n项为S n，已知S3=，S6=，则a8=32．【分析】设等比数列{a n}的公比为q≠1，S3=，S6=，可得=，=，联立解出即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q≠1，∵S3=，S6=，∴=，=，解得a1=，q=2．则a8==32．故答案为：32．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．（5分）（2017•江苏）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是30．【分析】由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=+4x，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=+4x≥4×2×=240（万元）．当且仅当x=30时取等号．故答案为：30．【点评】本题考查了基本不等式的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11．（5分）（2017•江苏）已知函数f（x）=x3﹣2x+e x﹣，其中e是自然对数的底数．若f（a﹣1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值范围是[﹣1，] ．【分析】求出f（x）的导数，由基本不等式和二次函数的性质，可得f（x）在R上递增；再由奇偶性的定义，可得f（x）为奇函数，原不等式即为2a2≤1﹣a，运用二次不等式的解法即可得到所求范围．【解答】解：函数f（x）=x3﹣2x+e x﹣的导数为：f′（x）=3x2﹣2+e x+≥﹣2+2=0，可得f（x）在R上递增；又f（﹣x）+f（x）=（﹣x）3+2x+e﹣x﹣e x+x3﹣2x+e x﹣=0，可得f（x）为奇函数，则f（a﹣1）+f（2a2）≤0，即有f（2a2）≤﹣f（a﹣1）=f（1﹣a），即有2a2≤1﹣a，故答案为：[﹣1，]．【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的判断和应用，注意运用导数和定义法，考查转化思想的运用和二次不等式的解法，考查运算能力，属于中档题．12．（5分）（2017•江苏）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tanα=7，与的夹角为45°．若=m+n（m，n∈R），则m+n=3．【分析】如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．由与的夹角为α，且tanα=7．可得cosα=，sinα=．C．可得cos（α+45°）=．sin（α+45°）=．B．利用=m+n（m，n∈R），即可得出．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．由与的夹角为α，且tanα=7．∴cosα=，sinα=．∴C．cos（α+45°）=（cosα﹣sinα）=．sin（α+45°）=（sinα+cosα）=．∴B．∵=m+n（m，n∈R），∴=m﹣n，=0+n，则m+n=3．故答案为：3．【点评】本题考查了向量坐标运算性质、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．（5分）（2017•江苏）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣12，0），B（0，6），点P在圆O：x2+y2=50上．若≤20，则点P的横坐标的取值范围是[﹣5，1] ．【分析】根据题意，设P（x0，y0），由数量积的坐标计算公式化简变形可得2x0+y0+5≤0，分析可得其表示表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域，联立直线与圆的方程可得交点的横坐标，结合图形分析可得答案．【解答】解：根据题意，设P（x0，y0），则有x02+y02=50，=（﹣12﹣x0，﹣y0）•（﹣x0，6﹣y0）=（12+x0）x0﹣y0（6﹣y0）=12x0+6y+x02+y02≤20，化为：12x0﹣6y0+30≤0，即2x0﹣y0+5≤0，表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域，联立，解可得x0=﹣5或x0=1，结合图形分析可得：点P的横坐标x0的取值范围是[﹣5，1]，故答案为：[﹣5，1]．【点评】本题考查数量积的运算以及直线与圆的位置关系，关键是利用数量积化简变形得到关于x0、y0的关系式．14．（5分）（2017•江苏）设f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f（x）=，其中集合D={x|x=，n∈N*}，则方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是8．【分析】由已知中f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f（x）=，其中集合D={x|x=，n∈N*}，分析f（x）的图象与y=lgx图象交点的个数，进而可得答案．【解答】解：∵在区间[0，1）上，f（x）=，第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数，又f（x）是定义在R上且周期为1的函数，∴在区间[1，2）上，f（x）=，此时f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；同理：区间[2，3）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[3，4）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[4，5）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[5，6）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[6，7）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[7，8）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[8，9）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；在区间[9，+∞）上，f（x）的图象与y=lgx无交点；故f（x）的图象与y=lgx有8个交点；即方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是8，故答案为：8【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，函数的图象和性质，转化思想，难度中档．二.解答题15．（14分）（2017•江苏）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD ⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC．【分析】（1）利用AB∥EF及线面平行判定定理可得结论；（2）通过取线段CD上点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC，利用线面垂直的性质定理可知FG⊥AD，结合线面垂直的判定定理可知AD⊥平面EFG，从而可得结论．【解答】证明：（1）因为AB⊥AD，EF⊥AD，且A、B、E、F四点共面，所以AB∥EF，又因为EF⊊平面ABC，AB⊆平面ABC，所以由线面平行判定定理可知：EF∥平面ABC；（2）在线段CD上取点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC，因为BC⊥BD，所以FG∥BC，又因为平面ABD⊥平面BCD，所以FG⊥平面ABD，所以FG⊥AD，又因为AD⊥EF，且EF∩FG=F，所以AD⊥平面EFG，所以AD⊥EG，故AD⊥AC．【点评】本题考查线面平行及线线垂直的判定，考查空间想象能力，考查转化思想，涉及线面平行判定定理，线面垂直的性质及判定定理，注意解题方法的积累，属于中档题．16．（14分）（2017•江苏）已知向量=（cosx，sinx），=（3，﹣），x∈[0，π]．（1）若∥，求x的值；（2）记f（x）=，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．【分析】（1）根据向量的平行即可得到tanx=﹣，问题得以解决，（2）根据向量的数量积和两角和余弦公式和余弦函数的性质即可求出【解答】解：（1）∵=（cosx，sinx），=（3，﹣），∥，∴﹣cosx=3sinx，∴tanx=﹣，∵x∈[0，π]，∴x=，（2）f（x）==3cosx﹣sinx=2（cosx﹣sinx）=2cos（x+），∵x∈[0，π]，∴x+∈[，]，∴﹣1≤cos（x+）≤，当x=0时，f（x）有最大值，最大值3，当x=时，f（x）有最小值，最大值﹣2．【点评】本题考查了向量的平行和向量的数量积以及三角函数的化简和三角函数的性质，属于基础题17．（14分）（2017•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：=1（a＞b ＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．【分析】（1）由椭圆的离心率公式求得a=2c，由椭圆的准线方程x=±，则2×=8，即可求得a和c的值，则b2=a2﹣c2=3，即可求得椭圆方程；（2）设P点坐标，分别求得直线PF2的斜率及直线PF1的斜率，则即可求得l2及l1的斜率及方程，联立求得Q点坐标，由Q在椭圆方程，求得y02=x02﹣1，联立即可求得P点坐标；方法二：设P（m，n），当m≠1时，=，=，求得直线l1及l1的方程，联立求得Q点坐标，根据对称性可得=±n2，联立椭圆方程，即可求得P点坐标．【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的离心率e==，则a=2c，①椭圆的准线方程x=±，由2×=8，②由①②解得：a=2，c=1，则b2=a2﹣c2=3，∴椭圆的标准方程：；（2）方法一：设P（x0，y0），则直线PF2的斜率=，则直线l2的斜率k2=﹣，直线l2的方程y=﹣（x﹣1），直线PF1的斜率=，则直线l2的斜率k2=﹣，直线l2的方程y=﹣（x+1），联立，解得：，则Q（﹣x0，），由P，Q在椭圆上，P，Q的横坐标互为相反数，纵坐标应相等，则y0=，∴y02=x02﹣1，则，解得：，则，又P在第一象限，所以P的坐标为：P（，）．方法二：设P（m，n），由P在第一象限，则m＞0，n＞0，当m=1时，不存在，解得：Q与F1重合，不满足题意，当m≠1时，=，=，由l1⊥PF1，l2⊥PF2，则=﹣，=﹣，直线l1的方程y=﹣（x+1），①直线l2的方程y=﹣（x﹣1），②联立解得：x=﹣m，则Q（﹣m，），由Q在椭圆方程，由对称性可得：=±n2，即m2﹣n2=1，或m2+n2=1，由P（m，n），在椭圆方程，，解得：，或，无解，又P在第一象限，所以P的坐标为：P（，）．【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查直线的斜率公式，考查数形结合思想，考查计算能力，属于中档题．18．（16分）（2017•江苏）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E1G1的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l没入水中部分的长度；（2）将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求l没入水中部分的长度．【分析】（1）设玻璃棒在CC1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，过N作NP∥MC，交AC于点P，推导出CC1⊥平面ABCD，CC1⊥AC，NP⊥AC，求出MC=30cm，推导出△ANP∽△AMC，由此能出玻璃棒l没入水中部分的长度．（2）设玻璃棒在GG1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，过点N作NP⊥EG，交EG于点P，过点E作EQ⊥E1G1，交E1G1于点Q，推导出EE1G1G为等腰梯形，求出E1Q=24cm，E1E=40cm，由正弦定理求出sin∠GEM=，由此能求出玻璃棒l没入水中部分的长度．【解答】解：（1）设玻璃棒在CC1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，在平面ACM中，过N作NP∥MC，交AC于点P，∵ABCD﹣A1B1C1D1为正四棱柱，∴CC1⊥平面ABCD，又∵AC⊂平面ABCD，∴CC1⊥AC，∴NP⊥AC，∴NP=12cm，且AM2=AC2+MC2，解得MC=30cm，∵NP∥MC，∴△ANP∽△AMC，∴=，，得AN=16cm．∴玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm．（2）设玻璃棒在GG1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，在平面E1EGG1中，过点N作NP⊥EG，交EG于点P，过点E作EQ⊥E1G1，交E1G1于点Q，∵EFGH﹣E1F1G1H1为正四棱台，∴EE1=GG1，EG∥E1G1，EG≠E1G1，∴EE1G1G为等腰梯形，画出平面E1EGG1的平面图，∵E1G1=62cm，EG=14cm，EQ=32cm，NP=12cm，∴E1Q=24cm，由勾股定理得：E1E=40cm，∴sin∠EE1G1=，sin∠EGM=sin∠EE1G1=，cos，根据正弦定理得：=，∴sin，cos，∴sin∠GEM=sin（∠EGM+∠EMG）=sin∠EGMcos∠EMG+cos∠EGMsin∠EMG=，∴EN===20cm．∴玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm．【点评】本题考查玻璃棒l没入水中部分的长度的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．19．（16分）（2017•江苏）对于给定的正整数k，若数列{a n}满足：a n﹣k+a n﹣k+1+…+a n﹣1+a n+1+…+a n+k﹣1+a n+k=2ka n对任意正整数n（n＞k）总成立，则称数列{a n}是“P（k）数列”．（1）证明：等差数列{a n}是“P（3）数列”；（2）若数列{a n}既是“P（2）数列”，又是“P（3）数列”，证明：{a n}是等差数列．+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3=（a n﹣3+a n+3）【分析】（1）由题意可知根据等差数列的性质，a n﹣3+（a n+a n+2）+（a n﹣1+a n+1）═2×3a n，根据“P（k）数列”的定义，可得数列{a n}是“P（3）﹣2数列”；（2）由“P（k）数列”的定义，则a n+a n﹣1+a n+1+a n+2=4a n，a n﹣3+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3=6a n，﹣2变形整理即可求得2a n=a n﹣1+a n+1，即可证明数列{a n}是等差数列．【解答】解：（1）证明：设等差数列{a n}首项为a1，公差为d，则a n=a1+（n﹣1）d，则a n+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3，﹣3=（a n﹣3+a n+3）+（a n﹣2+a n+2）+（a n﹣1+a n+1），=2a n+2a n+2a n，=2×3a n，∴等差数列{a n}是“P（3）数列”；（2）证明：由数列{a n}是“P（2）数列”则a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2=4a n，①数列{a n}是“P（3）数列”a n﹣3+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3=6a n，②+a n﹣2+a n+a n+1=4a n﹣1，③由①可知：a n﹣3a n﹣1+a n+a n+2+a n+3=4a n+1，④由②﹣（③+④）：﹣2a n=6a n﹣4a n﹣1﹣4a n+1，整理得：2a n=a n﹣1+a n+1，∴数列{a n}是等差数列．【点评】本题考查等差数列的性质，考查数列的新定义的性质，考查数列的运算，考查转化思想，属于中档题．20．（16分）（2017•江苏）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：b2＞3a；（3）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值范围．【分析】（1）通过对f（x）=x3+ax2+bx+1求导可知g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b，进而再求导可知g′（x）=6x+2a，通过令g′（x）=0进而可知f′（x）的极小值点为x=﹣，从而f （﹣）=0，整理可知b=+（a＞0），结合f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值可知f′（x）=0有两个不等的实根，进而可知a＞3．（2）通过（1）构造函数h（a）=b2﹣3a=﹣+=（4a3﹣27）（a3﹣27），结合a＞3可知h（a）＞0，从而可得结论；（3）通过（1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣）=b﹣，利用韦达定理及完全平方关系可知y=f（x）的两个极值之和为﹣+2，进而问题转化为解不等式b﹣+﹣+2=﹣≥﹣，因式分解即得结论．【解答】（1）解：因为f（x）=x3+ax2+bx+1，所以g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b，g′（x）=6x+2a，令g′（x）=0，解得x=﹣．由于当x＞﹣时g′（x）＞0，g（x）=f′（x）单调递增；当x＜﹣时g′（x）＜0，g（x）=f′（x）单调递减；所以f′（x）的极小值点为x=﹣，由于导函数f′（x）的极值点是原函数f（x）的零点，所以f（﹣）=0，即﹣+﹣+1=0，所以b=+（a＞0）．因为f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，所以f′（x）=3x2+2ax+b=0有两个不等的实根，所以4a2﹣12b＞0，即a2﹣+＞0，解得a＞3，所以b=+（a＞3）．（2）证明：由（1）可知h（a）=b2﹣3a=﹣+=（4a3﹣27）（a3﹣27），由于a＞3，所以h（a）＞0，即b2＞3a；（3）解：由（1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣）=b﹣，设x1，x2是y=f（x）的两个极值点，则x1+x2=，x1x2=，所以f（x1）+f（x2）=++a（+）+b（x1+x2）+2=（x1+x2）[（x1+x2）2﹣3x1x2]+a[（x1+x2）2﹣2x1x2]+b（x1+x2）+2=﹣+2，又因为f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，所以b﹣+﹣+2=﹣≥﹣，因为a＞3，所以2a3﹣63a﹣54≤0，所以2a（a2﹣36）+9（a﹣6）≤0，所以（a﹣6）（2a2+12a+9）≤0，由于a＞3时2a2+12a+9＞0，所以a﹣6≤0，解得a≤6，所以a的取值范围是（3，6]．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查运算求解能力，考查转化思想，注意解题方法的积累，属于难题．二.非选择题，附加题（21-24选做题）【选修4-1：几何证明选讲】（本小题满分0分）21．（2017•江苏）如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P为垂足．求证：（1）∠PAC=∠CAB；（2）AC2 =AP•AB．【分析】（1）利用弦切角定理可得：∠ACP=∠ABC．利用圆的性质可得∠ACB=90°．再利用三角形内角和定理即可证明．（2）由（1）可得：△APC∽△ACB，即可证明．【解答】证明：（1）∵直线PC切半圆O于点C，∴∠ACP=∠ABC．∵AB为半圆O的直径，∴∠ACB=90°．∵AP⊥PC，∴∠APC=90°．∴∠PAC=90°﹣∠ACP，∠CAB=90°﹣∠ABC，∴∠PAC=∠CAB．（2）由（1）可得：△APC∽△ACB，∴=．∴AC2 =AP•AB．【点评】本题考查了弦切角定理、圆的性质、三角形内角和定理、三角形相似的判定与性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-2：矩阵与变换]22．（2017•江苏）已知矩阵A=，B=．（1）求AB；（2）若曲线C1：=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2，求C2的方程．【分析】（1）按矩阵乘法规律计算；（2）求出变换前后的坐标变换规律，代入曲线C1的方程化简即可．【解答】解：（1）AB==，（2）设点P（x，y）为曲线C1的任意一点，点P在矩阵AB的变换下得到点P′（x0，y0），则=，即x0=2y，y0=x，∴x=y0，y=，∴，即x02+y02=8，∴曲线C2的方程为x2+y2=8．【点评】本题考查了矩阵乘法与矩阵变换，属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2017•江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（s为参数）．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．【分析】求出直线l的直角坐标方程，代入距离公式化简得出距离d关于参数s的函数，从而得出最短距离．【解答】解：直线l的直角坐标方程为x﹣2y+8=0，∴P到直线l的距离d==，∴当s=时，d取得最小值=．【点评】本题考查了参数方程的应用，属于基础题．［选修4-5：不等式选讲］24．（2017•江苏）已知a，b，c，d为实数，且a2+b2=4，c2+d2=16，证明ac+bd≤8．【分析】a2+b2=4，c2+d2=16，令a=2cosα，b=2sinα，c=4cosβ，d=4sinβ．代入ac+bd化简，利用三角函数的单调性即可证明．另解：由柯西不等式可得：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2），即可得出．【解答】证明：∵a2+b2=4，c2+d2=16，令a=2cosα，b=2sinα，c=4cosβ，d=4sinβ．∴ac+bd=8（cosαcosβ+sinαsinβ）=8cos（α﹣β）≤8．当且仅当cos（α﹣β）=1时取等号．因此ac+bd≤8．另解：由柯西不等式可得：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）=4×16=64，当且仅当时取等号．∴﹣8≤ac+bd≤8．【点评】本题考查了对和差公式、三角函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【必做题】25．（2017•江苏）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1=，∠BAD=120°．（1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（2）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．【分析】在平面ABCD内，过A作Ax⊥AD，由AA1⊥平面ABCD，可得AA1⊥Ax，AA1⊥AD，以A为坐标原点，分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．结合已知求出A，B，C，D，A1，C1的坐标，进一步求出，，，的坐标．（1）直接利用两法向量所成角的余弦值可得异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（2）求出平面BA1D与平面A1AD的一个法向量，再由两法向量所成角的余弦值求得二面角B﹣A1D﹣A的余弦值，进一步得到正弦值．【解答】解：在平面ABCD内，过A作Ax⊥AD，∵AA1⊥平面ABCD，AD、Ax⊂平面ABCD，∴AA1⊥Ax，AA1⊥AD，以A为坐标原点，分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．∵AB=AD=2，AA1=，∠BAD=120°，∴A（0，0，0），B（），C（，1，0），D（0，2，0），A1（0，0，），C1（）．=（），=（），，．（1）∵cos＜＞==．∴异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为；（2）设平面BA1D的一个法向量为，由，得，取x=，得；取平面A1AD的一个法向量为．∴cos＜＞==．∴二面角B﹣A1D﹣A的正弦值为，则二面角B﹣A1D﹣A的正弦值为．【点评】本题考查异面直线所成的角与二面角，训练了利用空间向量求空间角，是中档题．26．（2017•江苏）已知一个口袋有m个白球，n个黑球（m，n∈N*，n≥2），这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，…，m+n的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉（k=1，2，3，…，m+n）．123…m+n（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；（2）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E（X）是X的数学期望，证明E（X）＜．【分析】（1）设事件A i表示编号为i的抽屉里放的是黑球，则p=p（A2）=P（A2|A1）P （A1）+P（A2|）P（），由此能求出编号为2的抽屉内放的是黑球的概率．（2）X的所有可能取值为，…，，P（x=）=，k=n，n+1，n+2，…，n+m，从而E（X）=（）=，由此能证明E（X）＜．【解答】解：（1）设事件A i表示编号为i的抽屉里放的是黑球，则p=p（A2）=P（A2|A1）P（A1）+P（A2|）P（）===．证明：（2）∵X的所有可能取值为，…，，P（x=）=，k=n，n+1，n+2，…，n+m，∴E（X）=（）==＜==•（）==，∴E（X）＜．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．。
误区6.2 含参数不等式的讨论不当失误-突破170分之江苏2017届高三数学复习提升秘籍(原卷版)
突破170分之江苏高三数学复习提升秘籍解含参数不等式是不等式学习的重要内容，是中学数学培养分类讨论能力的主要题型．初学这部分往往对分类讨论分而不全，等价变形变而不等价，盲目套用等式有关性质，从而导致解解题失误．对于含参数的不等式，其求解比较复杂，常涉及分类讨论思想、转化思想、数形结合思想等，求解时稍有不慎就会出错．其错误表现为：忽略对系数为零情况的判断、忽略对判别式的判断、忽略对根的大小关系的判断、忽略系数为负时对不等式的转化等．解决的办法是了解这样一些常见的错误形式，其次是对不等式中的参数所引起的各种情况有充足的认识．一、忽略二次项系数为零而导致错误【例1】若函数y ＝kx 2－6kx ＋(k ＋8)的定义域为R ，则k 的取值范围是________．【错解】0<k ≤1．由题意知kx 2－6kx ＋(k ＋8)≥0恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧k >0Δ＝36k 2－4k (k ＋8)≤0，∴0<k ≤1，即k 的取值范围是0<k ≤1． 二、忽略根的大小关系而导致错误一元二次不等式的求解，一般是依据对应方程的根来完成的，由于根中含有参数，有时由于草率没有对根的大小关系作出判断就轻易地给出不等式的解集而犯错误．【例2】解关于x 的不等式22560x ax a +-<．【错解】对于方程22560x ax a +-=的解为12,.78a a x x =-=∴不等式的解集为78a a x x 禳镲-<<睚镲铪． 三、忽略对根的判别式的讨论而导致错误由于不等式系数中含有参数，没有注意到参数范围的影响而一味的认为对应方程有实数根，而导致错误．【例3】解关于x 的不等式240x ax ++>．【错解】由方程240x ax ++=，得1,2x =，∴不等式的解集为x x x 禳镲<睚镲铪． 【例4】解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0．【错解】原不等式化为a (x －1a)(x －1)<0，∴当a >1时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫1a ，1；当a <1时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫1，1a ．【变式】设不等式x 2－2ax ＋a ＋2≤0的解集为M ，如果M ⊆[1,4]，求实数a 的取值范围．【总结】对于含有参数的不等式，由于参数的取值范围不同，其结果就不同，因此必须对参数进行讨论，即要产生一个划分参数的标准．1．对于含参数的一元一次不等式：()00,0,0ax b +><常，按一次项系数0,0,0a a a >=<三种情况讨论．2．对于解含有参数的二次不等式，一般讨论的顺序是：（1）讨论二次项系数：当二次项系数含参数时，按2x 项的系数a 的符号分类，即分0,0,0a a a >=<三种情况讨论；（2）讨论判别式：按判别式D 的符号分类，即分0,0,0D>D=D<三种情况讨论；（3）讨论对应二次方程两根的大小：按对应方程20ax bx c ++=的根12,x x 的大小分类，即分121212,,x x x x x x >=<三种情况讨论．3．把遇到的每一个需要讨论的点按从小到大的顺序标在数轴上，然后按照从左到右的每一个区间和端点进行讨论．总之，解含参数的不等式的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”【迁移运用】1．【河北省武邑中学2017届高三上学期第三次调研考试数学（理）试题】已知定义在R 上的奇函数()f x 满足:当0x ≥时，()3f x x =，若不等式()()242f t f m mt ->+对任意实数t 恒成立，则实数m 的取值范围是 .2.若不等式mx 2＋2mx －4<2x 2＋4x 对任意x 均成立，则实数m 的取值范围是___________.3.设a ∈R ，若x >0时均有[(a －1)x －1]·(x 2－ax －1)≥0，则a ＝________.4.解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R ).5.已知函数()x a f x x b+=+（a 、b 为常数）． （1）若1=b ，解不等式(1)0f x -<；（2）若1a =，当[]1,2x ∈-时，21()()f x x b ->+恒成立，求b 的取值范围．6．解不等式)0( 01)1(2≠<++-a x aa x ． 7．解不等式：mx 2 -2x+1>0．8．解不等式：()0122>+++x a ax 9．解关于x 的不等式：a （x －1）x －2＞1(a ＜1).。
问题2.3 如何利用导数处理参数范围问题-突破170分之江苏2017届高三数学复习提升秘籍(原卷版)
突破170分之江苏高三数学复习提升秘籍导数是研究函数图像和性质的重要工具，自从新教材将导数引进高中数学教材以来，有关导数问题便成为每年高考的必考试题之一，甚至很多都安排在倒数第一、二题的位置上。
出现了以函数为载体，以导数为工具，考查函数性质及导数应用为目标，已是最近几年高考中函数与导数交汇试题的显著特点和命题趋向。
随着高考对导数考查的不断深入，运用导数确定含参数函数的参数取值范围成为一类常见的探索性问题，由于含参数的导数问题在解答时往往需要对参数进行讨论，因而它也是绝大多数考生答题的难点，具体表现在：他们不知何时开始讨论、怎样去讨论。
对这一问题不仅高中数学教材没有介绍过，而且在众多的教辅资料中也难得一见，本文通过一些实例介绍这类问题相应的解法，期望对考生的备考有所帮助。
一、与函数单调性有关的类型用导数研究函数的单调性，这是导数最为常见的运用，根据：函数在区间(a ，b)上递增'()0f x ⇔≥；递减'()f x ⇔0≤。
在此基础上再研究参数（函数中含参数或区间中含参数）的取值范围（一般可用不等式恒成立理论求解），一般步骤是：首先求出)('x f 后，若能因式分解则先因式分解，讨论)('x f =0两根的大小判断函数)(x f 的单调性，若不能因式分解可利用函数单调性的充要条件转化为恒成立问题。
【例1】设函数()()xe x ax xf ⋅-=22,其中0≥a（I ）当34=a 时,求()x f 的极值点; （II ）若()x f 在[]1,1-上为单调函数,求a 的取值范围．【小试牛刀】【河北省沧州市第一中学2017届高三10月月考数学（理）试题改编】设函数()f x 是定义在(,0)-∞上的可导函数，其导函数为'()f x ，且有22()'()f x xf x x +>，则不等式2(2016)(2016)9(3)0x f x ++--<的解集为 .二、与不等式有关的类型运用导数作为工具，以含有参数的不等式作为载体进行知识交汇处的命题已成为如今各地联考和高考命题的热点之一，在利用不等式求参数取值范围时，通常要构造一个新的函数()g x ，若类似于()a g x ≥，则只要研究max ()a g x ≥；若类似于()a g x ≤，则只要研究min ()a g x ≤。
2017年高考江苏数学试题及答案(word解析版)
2017年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学I一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． （1）【2017年江苏，1，5分】已知集合}2{1A =，，23{},B a a =+．若{}1A B =,则实数a 的值为_______．【答案】1【解析】∵集合}2{1A =，,23{},B a a =+．{}1A B =，∴1a =或231a +=,解得1a =．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义及性质的合理运用．（2）【2017年江苏，2,5分】已知复数()()1i 12i z =-+，其中i 是虚数单位，则z 的模是_______． 【答案】10【解析】复数()()1i 12i 123i 13i z =-+=-+=-+，∴()221310z =-+=．【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． （3）【2017年江苏，3，5分】某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400，300，100件．为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取_______件． 【答案】18【解析】产品总数为2004003001001000+++=件，而抽取60辆进行检验，抽样比例为6061000100=，则应从丙 种型号的产品中抽取630018100⨯=件．【点评】本题的考点是分层抽样．分层抽样即要抽样时保证样本的结构和总体的结构保持一致,按照一定的比例，即样本容量和总体容量的比值，在各层中进行抽取．(4）【2017年江苏，4，5分】如图是一个算法流程图：若输入x 的值为116，则输出y 的值是_______．【答案】2-【解析】初始值116x =,不满足1x ≥，所以41216222log 2log 2y =+=-=-． 【点评】本题考查程序框图，模拟程序是解决此类问题的常用方法,注意解题方法的积累，属于基础题．（5)【2017年江苏，5，5分】若1tan 46πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭．则tan α=_______．【答案】75【解析】tan tantan 114tan 4tan 161tan tan 4παπααπαα--⎛⎫-=== ⎪+⎝⎭+，∴6tan 6tan 1αα-=+，解得7tan 5α=． 【点评】本题考查了两角差的正切公式，属于基础题． （6）【2017年江苏，6,5分】如如图，在圆柱12O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱12O O 的体积为1V ,球O 的体积为2V ，则12VV 的值是________．【答案】32【解析】设球的半径为R ，则球的体积为：343R π，圆柱的体积为：2322R R R ππ⋅=．则313223423V R R V ππ==．【点评】本题考查球的体积以及圆柱的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．(7）【2017年江苏，7,5分】记函数2()6f x x x =+- 的定义域为D ．在区间[45]-，上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是________．【答案】59【解析】由260x x +-≥得260x x --≤，得23x -≤≤，则2[]3D =-，，则在区间[45]-，上随机取一个数x ,则x ∈D 的概率()()325549P --==--． 【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的计算，结合函数的定义域求出D ，以及利用几何概型的概率公式是解决本题的关键．（8）【2017年江苏,8，5分】在平面直角坐标系xoy 中 ，双曲线2213x y -= 的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ,Q ,其焦点是1F ，2F ，则四边形12F PF Q 的面积是_______． 【答案】23【解析】双曲线2213x y -=的右准线:32x =，双曲线渐近线方程为：33y x =，所以33,22P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,33,22Q ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， ()12,0F -．()22,0F ．则四边形12F PF Q 的面积是：143232⨯⨯=．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．（9)【2017年江苏，9，5分】等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项的和为n S ，已知374S =，6634S =,则8a =________． 【答案】32【解析】设等比数列{}n a 的公比为1q ≠,∵374S =，6634S =，∴()311714a q q -=-，()6116314a q q -=-， 解得114a =,2q =．则7812324a =⨯=．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． （10）【2017年江苏，10,5分】某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小,则x 的值是________． 【答案】30【解析】由题意可得:一年的总运费与总存储费用之和=6009006442240x x x x⨯+≥⨯⨯⋅=（万元）． 当且仅当30x =时取等号．【点评】本题考查了基本不等式的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力,属于基础题．（11）【2017年江苏，11，5分】已知函数()312x x f x x x e e=-+-，其中e 是自然数对数的底数，若()()2120f a f a -+≤,则实数a 的取值范围是________．【答案】11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】函数()312x xf x x x e e =-+-的导数为：()21132220x xxx f x x e e e e '=-++≥-+⋅=，可得()f x 在R 上 递增;又()()()331220x x x x f x f x x x e e x x e e--+=-++-+-+-=，可得()f x 为奇函数，则()()2120f a f a -+≤，即有()()()2211f a f a f a ≤--=-，即有221a a ≤-，解得112a -≤≤．【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的判断和应用，注意运用导数和定义法，考查转化思想的运用和二次不等式的解法，考查运算能力，属于中档题．（12）【2017年江苏，12，5分】如图，在同一个平面内，向量OA ，OB ，OC ，的模分别为1，1,2，OA 与OC 的夹角为α，且tan 7α=，OB 与OC 的夹角为45︒。
2017年江苏高考试题(数学_word解析版)
2017年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学（全卷满分160分，考试时间120分钟）参考公式：棱锥的体积13V Sh =，其中S 为底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．（2017年江苏省5分）已知集合{124}A =，，，{246}B =，，，则A B = ▲ ．【答案】{}1,2,4,6。
【考点】集合的概念和运算。
【分析】由集合的并集意义得{}1,2,4,6AB =。
2．（2017年江苏省5分）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为334::，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取 ▲ 名学生． 【答案】15。
【考点】分层抽样。
【解析】分层抽样又称分类抽样或类型抽样。
将总体划分为若干个同质层，再在各层内随机抽样或机械抽样，分层抽样的特点是将科学分组法与抽样法结合在一起，分组减小了各抽样层变异性的影响，抽样保证了所抽取的样本具有足够的代表性。
因此，由350=15334⨯++知应从高二年级抽取15名学生。
3．（2017年江苏省5分）设a b ∈R ，，117ii 12ia b -+=-（i 为虚数单位），则a b +的值为 ▲ ． 【答案】8。
【考点】复数的运算和复数的概念。
【分析】由117ii 12ia b -+=-得()()()()117i 12i 117i 1115i 14i ===53i 12i 12i 12i 14a b -+-+++=+--++，所以=5=3a b ，，=8a b + 。
4．（2017年江苏省5分）下图是一个算法流程图，则输出的k 的值是 ▲ ．【答案】5。
【考点】程序框图。
【分析】根据流程图所示的顺序，程序的运行过程中变量值变化如下表：是否继续循环k 2k 5k 4-+循环前 0 0 第一圈 是 1 0 第二圈 是 2 －2 第三圈 是 3 －2 第四圈 是 4 0 第五圈 是 5 4 第六圈否输出5∴最终输出结果k=5。
2017年江苏高考数学试卷及参考答案清晰版
▲
．
【答案】1
【解析】由题意 1 B ，显然 a 3 3 ，所以 a 1 ，此时 a 3 4 ，满足题意，故答案为 1．
2
2
【考点】集合的运算、元素的互异性
【名师点睛】（1）认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他
情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．
B．[选修 4-2：矩阵与变换](本小题满分 10 分)
0 1
1 0
A
,B
.
1 0
0 2
已知矩阵
（1）求 AB ；
（2）若曲线
C1 :
x2 y 2
1
8
2
在矩阵 AB 对应的变换作用下得到另一曲线 C2 ，求 C2 的方程．
C．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分 10 分）
19．（本小题满分 16 分）
对于给定的正整数 k ，若数列 {an } 满足： ank ank 1 L an1 an1 L ank 1 ank 2kan 对任意正
整数 n(n k ) 总成立，则称数列 {an } 是“ P(k ) 数列”．
（1）证明：等差数列 {an } 是“ P (3) 数列”；
17．（本小题满分 14 分）
E:
x2 y 2
1(a b 0)
a 2 b2
的左、右焦点分别为 F1 ， F2 ，离心率
如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆
1
为 2 ，两准线之间的距离为 8．点 P 在椭圆 E 上，且位于第一象限，过点 F1 作直线 PF1 的垂线 l1 ，过
点 F2 作直线 PF2 的垂线 l2 ．
江苏省13市2017届高三上学期考试数学试题分类汇编：不等式
江苏省13市2017高三上学期考试数学试题分类汇编不等式一、填空题1、（南京市、盐城市2017届高三第一次模拟）已知实数,x y 满足0722x x y x y>⎧⎪+≤⎨⎪+≤⎩，则y x 的最小值是 ▲ .2、（南通、泰州市2017届高三第一次调研测）若实数x ，y 满足243700x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤，≤，≥，≥，则z ＝3x ＋2y 的最大值为 ▲ ．3、（苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017届高三上学期期中）设实数x ，y 满足0,1,21,x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪+⎩≥≤≥ 则32x y +的最大值为 ▲ ．4、（苏北四市（徐州、淮安、连云港、宿迁）2017届高三上学期期末）若实数,x y 满足133(0)2xy x x +=<<，则313x y +-的最小值为 ． 5、（苏州市2017届高三上期末调研测试）已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤-≤431y x x x y ，则目标函数y x z -=2的最大值是6、（苏州市2017届高三上期末调研测试）已知正数y x ,满足1=+y x ，则1124+++y x 的最小值为 7、（无锡市2017届高三上学期期末）设不等式1,0,4,x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩表示的平面区域为M,若直线2y kx =-上存在M 内的点，则实数k 的取值范围是 . 8、（扬州市2017届高三上学期期中）不等式21<+xx 的解集为 9、（扬州市2017届高三上学期期中）若实数y x ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤+-≥-02540232y x y x y ，则目标函数y x z 2+=的最大值为 。
10、（扬州市2017届高三上学期期末）若实数,x y满足1010 1x yy xx+-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩，则23z x y=+的最大值为▲ 11、（镇江市2017届高三上学期期末）已知函数)(xf是定义在R上的奇函数，当0>x时，xxxf42-=)(，则不等式xxf>)(的解集为．12、（南通、泰州市2017届高三第一次调研测）已知函数()4f x x x=+-，则不等式2(2)()f x f x+>的解集用区间表示为▲．13、（苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017届高三上学期期中）已知正数a，b满足195aba b+=-，则ab的最小值为▲14、（无锡市2017届高三上学期期末）已知0,0,2a b c>>>，且2a b+=，则522ac c cb ab c+-+-的最小值为.15、（扬州市2017届高三上学期期中）若2,0>>ba，且3=+ba，则使得214-+ba取得最小值的实数a= 。
2017年江苏数学高考试题答案
a 3时， f (x)>0(x 1) ，故 f (x) 在 R 上是增函数， f (x) 没有极值；
a 3时， f (x)=0 有两个相异的实根 x1= a
a2 3
3b
，
x2 =
a
a2 3b
.
3
列表如下
x
( , x1)
x1
(x1, x2 )
x2
(x2, )
f (x)
+
0
–
0
+
f (x)
因为
，所以 x π [ π , 7π] ，
6 66
从而 1 cos(x π) 3 . 62
于是，当 x π π ，即 x 0 时， 66
取到最大值 3；
当 x π ，即 x 5π 时，
6
6
取到最小值 2 3 .
17.本小题主要考查直线方程、直线与直线的位置关系、椭圆方程、椭圆的几何性质等基础
平面 ABD 平面 BCD=BD，
BC 平面 BCD， BC BD ，
所以 BC 平面 ABD .
因为 AD 平面 ABD ，所以 BC AD .
又 AB⊥AD， BC AB B ， AB 平面 ABC， BC 平面 ABC，
所以 AD⊥平面 ABC，
又因为 AC 平面 ABC，
所以 AD⊥AC.
因为
l1⊥PF1
，
l2⊥PF2
，所以直线
l1
的斜率为
x0 y0
1
，直线
l2
的斜率为
x0 1 y0
，
从而直线 l1 的方程： y
x0 1 (x 1) ， y0
①
直线 l2 的方程： y
创新设计(江苏专用)2017届高考数学二轮复习 上篇 专题整合突破 专题一 函数与导数、不等式
专题一 函数与导数、不等式 第2讲 不等式问题练习 理一、填空题1.(2015·苏州调研)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x （x ≥0），－x 2＋x （x ＜0），则不等式f (x 2－x ＋1)＜12的解集是________.解析 依题意得，函数f (x )是R 上的增函数，且f (3)＝12，因此不等式f (x 2－x ＋1)＜12等价于x 2－x ＋1＜3，即x 2－x －2＜0，由此解得－1＜x ＜2. 因此，不等式f (x 2－x ＋1)＜12的解集是(－1，2). 答案 (－1，2)2.若点A (m ，n )在第一象限，且在直线x 3＋y4＝1上，则mn 的最大值是________.解析 因为点A (m ，n )在第一象限，且在直线x 3＋y 4＝1上，所以m ，n ＞0，且m 3＋n4＝1，所以m 3·n 4≤2342m n ⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当m 3＝n 4＝12，即m ＝32，n ＝2时，取“＝”，所以m 3·n 4≤⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14，即mn ≤3，所以mn 的最大值为3. 答案 33.(2016·苏北四市模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≥0，x 2－2x ，x ＜0，若f (－a )＋f (a )≤2f (1)，则实数a 的取值范围是________. 解析 f (－a )＋f (a )≤2f (1)⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，（－a ）2－2×（－a ）＋a 2＋2a ≤2×3或 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，（－a ）2＋2×（－a ）＋a 2－2a ≤2×3 即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，a 2＋2a －3≤0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，a 2－2a －3≤0， 解得0≤a ≤1，或－1≤a ＜0. 故－1≤a ≤1. 答案 [－1，1]4.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x ＞0，⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，x ≤0，那么不等式f (x )≥1的解集为________.解析 当x ＞0时，由log 3x ≥1可得x ≥3，当x ≤0时，由⎝ ⎛⎭⎪⎫13x≥1可得x ≤0，∴不等式f (x )≥1的解集为(－∞，0]∪[3，＋∞).答案 (－∞，0]∪[3，＋∞)5.(2016·南京、盐城模拟)若x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2≥0，x －y ＋1≥0，3x ＋y －6≤0，则x 2＋y 2的最小值是________.解析 不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，x 2＋y 2表示原点(0，0)到此区域内的点P (x ，y )的距离.显然该距离的最小值为原点到直线x ＋2y －2＝0的距离. 故最小值为|0＋0－2|12＋22＝255. 答案2556.已知当x ＜0时，2x 2－mx ＋1＞0恒成立，则m 的取值范围为________. 解析 由2x 2－mx ＋1＞0，得mx ＜2x 2＋1， 因为x ＜0，所以m ＞2x 2＋1x ＝2x ＋1x.而2x ＋1x ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（－2x ）＋1（－x ）≤－2（－2x ）×1（－x ）＝－2 2.当且仅当－2x ＝－1x ，即x ＝－22时取等号，所以m ＞－2 2. 答案 (－22，＋∞)7.设目标函数z ＝x ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k .若z 的最大值为12，则z 的最小值为________.解析 作出不等式组所表示的可行域如图阴影所示，平移直线x ＋y ＝0，显然当直线过点A (k ，k )时，目标函数z ＝x ＋y 取得最大值，且最大值为k ＋k ＝12，则k ＝6，直线过点B时目标函数z ＝x ＋y 取得最小值，点B 为直线x ＋2y ＝0与y ＝6的交点， 即B (－12，6)，所以z min ＝－12＋6＝－6. 答案 －68.(2016·泰州调研)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋1y＝1，若x ＋2y ＞m 2＋2m 恒成立，则实数m的取值范围为________.解析 记t ＝x ＋2y ，由不等式恒成立可得m 2＋2m ＜t min . 因为2x ＋1y ＝1，所以t ＝x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ＝4＋4y x＋x y.而x ＞0，y ＞0，所以4y x ＋xy≥24y x ·x y ＝4(当且仅当4y x ＝xy，即x ＝2y 时取等号).所以t ＝4＋4y x ＋xy≥4＋4＝8，即t min ＝8.故m 2＋2m ＜8，即(m －2)(m ＋4)＜0.解得－4＜m ＜2. 答案 (－4，2) 二、解答题9.(2015·苏北四市调研)某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O 的两条直线段围成.按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米.设小圆弧所在圆的半径为x 米，圆心角为θ(弧度).(1)求θ关于x 的函数关系式；(2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米.设花坛的面积与装饰总费用的比为y ，求y 关于x 的函数关系式，并求出x 为何值时，y 取得最大值？解 (1)设扇环的圆心角为θ，则30＝θ(10＋x )＋2(10－x )，所以θ＝10＋2x 10＋x (0＜x ＜10).(2)花坛的面积为12θ(102－x 2)＝(5＋x )(10－x )＝－x 2＋5x ＋50(0＜x ＜10).装饰总费用为9θ(10＋x )＋8(10－x )＝170＋10x ， 所以花坛的面积与装饰总费用的比y ＝－x 2＋5x ＋50170＋10x＝－x 2－5x －5010（17＋x ），令t ＝17＋x ，则y ＝3910－110⎝⎛⎭⎪⎫t ＋324t ≤310，当且仅当t ＝18时取等号，此时x ＝1，θ＝1211.答：当x ＝1时，花坛的面积与装饰总费用的比最大.10.已知函数f (x )＝2xx 2＋6. (1)若f (x )＞k 的解集为{x |x ＜－3，或x ＞－2}，求k 的值； (2)对任意x ＞0，f (x )≤t 恒成立，求t 的取值范围. 解 (1)f (x )＞k ⇔kx 2－2x ＋6k ＜0.由已知{x |x ＜－3，或x ＞－2}是其解集，得kx 2－2x ＋6k ＝0的两根是－3，－2. 由根与系数的关系可知(－2)＋(－3)＝2k ，即k ＝－25.(2)因为x ＞0，f (x )＝2x x 2＋6＝2x ＋6x≤226＝66，当且仅当x ＝6时取等号.由已知f (x )≤t 对任意x ＞0恒成立，故t ≥66，即t 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫66，＋∞. 11.(1)解关于x 的不等式x 2－2mx ＋m ＋1＞0； (2)解关于x 的不等式ax 2－(2a ＋1)x ＋2＜0.解 (1)原不等式对应方程的判别式Δ＝(－2m )2－4(m ＋1)＝4(m 2－m －1).当m 2－m －1＞0，即m ＞1＋52或m ＜1－52时，由于方程x 2－2mx ＋m ＋1＝0的两根是m ±m 2－m －1，所以原不等式的解集是{x |x ＜m －m 2－m －1，或x ＞m ＋m 2－m －1}；当Δ＝0，即m ＝1±52时，不等式的解集为{x |x ∈R ，且x ≠m }；当Δ＜0，即1－52＜m ＜1＋52时，不等式的解集为R .综上，当m ＞1＋52或m ＜1－52时，不等式的解集为{x |x ＜m －m 2－m －1，或x ＞m ＋m 2－m －1}；当m ＝1±52时，不等式的解集为{x |x ∈R ，且x ≠m }；当1－52＜m ＜1＋52时，不等式的解集为R .(2)原不等式可化为(ax －1)(x －2)＜0.①当a ＞0时，原不等式可以化为a (x －2)⎝⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0，根据不等式的性质，这个不等式等价于(x －2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0.因为方程(x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＝0的两个根分别是2，1a，所以当0＜a＜12时，2＜1a ，则原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2＜x ＜1a ；当a ＝12时，原不等式的解集是∅；当a＞12时，1a ＜2，则原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1a ＜x ＜2.②当a ＝0时，原不等式为－(x －2)＜0，解得x ＞2，即原不等式的解集是{x |x ＞2}.③当a ＜0时，原不等式可以化为a (x －2)⎝⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0，根据不等式的性质，这个不等式等价于(x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＞0，由于1a＜2，故原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜1a或x ＞2.综上，当a ＝0时不等式解集为(2，＋∞)；当0＜a ＜12时，不等式解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，1a ；当a ＝12时，不等式解集为∅；当a ＞12时，不等式解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2；当a ＜0时，不等式解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1a ∪(2，＋∞).。
问题2.5 利用导数处理不等式相关问题- 突破170分之江苏2017届高三数学复习提升秘籍(原卷版)
突破170分之江苏高三数学复习提升秘籍在高中新课标准中，导数在数学各类问题以及各个学科和许多领域中有着非常广泛的应用. 导数已成为研究函数性质的一种重要工具，例如求函数的单调区间、求最大（小）值、求函数的值域等等。
在新课程背景下，不等式内容已大幅度降低要求，压轴题中出现不等式内容，一般情况都需要转化为函数，利用函数的性质，通过求导，利用单调性求出极值、最值，因此，很多时侯可以利用导数作为工具得出函数性质，从而解决不等式问题。
下面具体讨论导数在解决与不等式有关的问题时的作用。
一、利用导数证明不等式利用导数得出函数单调性来证明不等式 我们知道函数在某个区间上的导数值大于(或小于)0时,该函数在该区间上单调递增(或递减).因而在证明不等式时,根据不等式的特点,有时可以构造函数,用导数证明该函数的单调性,然后再用函数单调性达到证明不等式的目的,即把证明不等式转化为证明函数的单调性.常见的有如下几种形式：直接构造函数，然后用导数证明该函数的增减性；再利用函数在它的同一单调递增（减）区间，自变量越大，函数值越大（小），来证明不等式成立。
有时先把不等式变形后再构造函数,然后利用导数证明该函数的单调性，达到证明不等式的目的。
【例1】已知()ln ,()f x x g x==（Ⅰ）当1x ≥时，求()()f x g x -的最大值；11,1ln 2x x x x -+<<∀>恒成立 【小试牛刀】已知函数()xf x e ax =- (a 为常数)的图像与y 轴交于点A ，曲线()y f x =在点A 处的切线斜率为1-.(1)求a 的值及函数()f x 的极值； (2)证明：当0x >时，2x x e <． 二、利用导数解决不等式恒成立问题、存在性问题不等式恒成立问题或存在性问题是高考中非常多的一种题型，此类问题一般都会涉及到求参数范围，往往把变量分离后可以转化为m>f(x) (或m<f(x))恒成立，于是m 大于f(x)的最大值（或m 小于f(x)的最小值），从而把不等式恒成立问题转化为函数求最值问题。
问题2.4 函数与方程、不等式相关问题-2017届高三数学跨越一本线 含解析 精品
2017届高三数学跨越一本线精品问题四 函数与方程、不等式相关问题 函数与方程、函数与不等式都是高中数学的重要内容,也都是高考的热点和重点,在每年的高考试题中这部分内容所占的比例都很大,函数与方程、函数与不等式是高中数学的主线,它们贯穿于高中数学的各个内容,求值的问题就要涉及到方程,求取值范围的问题就离不开不等式,但方程、不等式更离不开函数,函数与方程、函数与不等式思想的运用是我们解决问题的重要手段.本文通过一些实例介绍这类问题相应的解法,期望对考生的备考有所帮助. 一、函数与方程关系的应用函数与方程是两个不同的概念,但它们之间有着密切的联系,方程f (x )＝0的解就是函数y ＝f (x )的图像与x 轴的交点的横坐标,函数y ＝f (x )也可以看作二元方程f (x )－y ＝0通过方程进行研究.就中学数学而言,函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质,解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中,通过建立函数关系式或构造中间函数,把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质,达到化难为易,化繁为简的目的.许多有关方程的问题可以用函数的方法解决,反之,许多函数问题也可以用方程的方法来解决.函数与方程的思想是中学数学的基本思想,也是各地模考和历年高考的重点.【例1】【2017浙江杭州地区重点中学期中】已知函数2||()2x f x kx x =-+（x R ∈）有四个不同的零点,则实数的取值范围是（ ） A ．0k <B ．1k <C ．01k <<D ．1k >【分析】把函数2||()2x f x kx x =-+（x R ∈）有四个不同的零点转化为方程1(2)k x x =+有三个不同的根,再利用函数图象求解【解析】因为0x =是函数()f x 的零点,则函数2()()2xf x kx k x =-∈+R 有四个不同的零点,等价于方程1(2)k x x =+有三个不同的根,即方程1(2)x x k =+有三个不同的根．记函数()(2)g x x x =+＝222,(0)2,(0)x x x x x x ⎧+≥⎪⎨--<⎪⎩．由题意y=1k 与()y g x =有三个不同的交点,由图知101k<<,所以1k >,故选D ． 【点评】()()y f x g x =- 零点问题也可转化为方程()()f x g x =的根的问题,()()f xg x =的根的个数问题,可以转化为函数()y f x =和()y g x =图象交点的个数问题,通过在直角坐标系中作出两个函数图象,从而确定交点的个数,也就是方程()()f x g x =根的个数． 【小试牛刀】【2016届重庆市巴蜀中学月考】设21(0),()4cos 1(0),x x f x x x x π⎧+≥=⎨-<⎩()1()g x kx x R =-∈,若函数()()y f x g x =-在[]2,3x ∈-内有4个零点,则实数的取值范围是（ ）A ．11)3B ．113⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．D ．(4⎤⎦【答案】B二、函数与不等式关系的应用函数与不等式都是高中数学的重要内容,也都是高考的重点,在每年的高考试题中这部分内容所占的比例都是很大的.函数是高中数学的主线,方程与不等式则是它的重要组成部分.在很多情况下函数与不等式也可以相互转化,对于函数y ＝f (x ),当y >0时,就转化为不等式f (x )>0,借助于函数图像与性质解决有关问题,而同时研究函数的性质,也离不开解不等式的应用.【例2】已知函数213,1()log , 1x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩ ,()|||1|g x x k x =-+-,若对任意的12,x x ∈R ,都有12()()f x g x ≤成立,则实数k 的取值范围为 .【分析】根据题中条件：对任意的12,R x x ∈,都有12()()f x g x ≤成立,将问题转化为maxmin ()()f x g x ≤.再由题中所给两函数的特征：函数213,1()log , 1x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩是一确定的分段函数,由它的图象不难求出函数的最大值max ()f x =14；而另一个函数()|||1|g x x k x =-+-中含有绝对值,由含有绝对值的不等式可求出它的最小值min ()|1|,g x k =-,即可得到不等式1|1|4k -≥,则可求出k 的取值范围. 【解析】对任意的12,x x ∈R ,都有12()()f x g x ≤成立,即max min ()()f x g x ≤.观察213,1()log , 1x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩的图象可知,当12x =时,函数max ()f x =14；因为()|||1||(1)||1|g x x k x x k x k =-+-≥---=-,所以min ()|1|,g x k =-所以,1|1|4k -≥,解得34k ≤或54k ≥,故答案为34k ≤或54k ≥．【点评】本题考查了分段函数、对数函数和二次函数的性质,主要考察了不等式的恒成立问题和函数的最值问题. 注意不等式：≤±≤-||||||b a b a ||||b a +对,a b ∈R 是恒成立的.特别要注意等号成立的条件. 渗透到方程问题、不等式问题、和某些代数问题都可以转化为函数知识.且涉及的知识点多、面广,在概念性、应用性、理解性都有一定的要求,它们是高考中考查的重点,所以在教学中我们应引引起高度的重视.【小试牛刀】【2017四川自贡普高一诊】设()(32log f x x x =+,则对任意实数 a b ，,若0a b +≥,则（ ）A ．()()0f a f b +≤B ．()()0f a f b +≥ C.()()0f a f b -≤ D ．()()0f a f b -≥ 【答案】B三、函数、方程和不等式关系的应用函数、方程、不等式的结合,是函数某一变量值一定或在某一范围下的方程或不等式,体现了一般到特殊的观念.也体现了函数图像与方程、不等式的内在联系,在高中阶段,应该让学生进一步深刻认识和体会函数、方程、不等式三部分之间的内在联系,并把这种内在联系作为学习的基本指导思想,这也是高中数学最为重要的内容之一.而新课程标准中把这个联系提到了十分明朗、鲜明的程度.因此,在高三的复习中,对这部分内容应予以足够的重视.【例3】已知函数e ()ln ,()e xxf x mx a x mg x =--=,其中m ,a 均为实数． (1)求()g x 的极值；(2)设1,0m a =<,若对任意的12,[3,4]x x ∈12()x x ≠,212111()()()()f x f xg x g x -<-恒成立,求的最小值；(3)设2a =,若对任意给定的0(0,e]x ∈,在区间(0,e]上总存在1212,()t t t t ≠,使得120()()()f t f t g x == 成立,求m 的取值范围．【分析】(1)求()g x 的极值,就是先求出'()g x ,解方程'()0g x =,此方程的解把函数的定义域分成若干个区间,我们再确定在每个区间里'()g x 的符号,从而得出极大值或极小值；（2）此总是首先是对不等式21()()f x f x -2111()()g x g x -恒成立的转化,由（1）可确定()f x 在[3,4]上是增函数,同样的方法（导数法）可确定函数1()g x 在[3,4]上也是增函数,不妨设21x x >,这样题设绝对值不等式可变为2()f x -1()f x 21()g x 11()g x -,整理为212111()()()()f x f xg x g x -<-,由此函数1()()()u x f x g x =-在区间[3,4]上为减函数,则21e (1)()10e x a x u x x x -'=--⋅≤在（3,4）上恒成立,要求的取值范围．采取分离参数法得11e e x x a x x ---+≥恒成立,于是问题转化为求11e ()e x x v x x x--=-+在[3,4]上的最大值；（3）由于0x 的任意性,我们可先求出()g x 在(0,]e 上的值域(0,1],题设“在区间(0,e]上总存在1212,()t t t t ≠,使得1()f t =2()f t 0()g x =成立”,转化为函数()f x 在区间(0,]e 上不是单调函数,极值点为2m（20e m <<）,其次()1f e ≥,极小值2()0f m ≤,最后还要证明在2(0,)m上,存在,使()1f t ≥,由此可求出m 的范围. 【解析】（1）e(1)()exx g x -'=,令()0g x '=,得x = 1． 列表如下：∵g (1) = 1,∴y =()g x 的极大值为1,无极小值． （2）当1,0m a =<时,()ln 1f x x a x =--, (0,)x ∈+∞． ∵()0x af x x -'=>在[3,4]恒成立,∴()f x 在[3,4]上为增函数． 设1e ()()e x h x g x x ==,∵12e (1)()x x h x x--'=> 0在[3,4]恒成立, ∴()h x 在[3,4]上为增函数． 设21x x >,则212111()()()()f x f xg x g x -<-等价于2121()()()()f x f x h x h x -<-, 即2211()()()()f x h x f x h x -<-．设1e ()()()ln 1e xu x f x h x x a x x=-=---⋅,则u (x )在[3,4]为减函数．∴21e (1)()10e x a x u x x x -'=--⋅≤在（3,4）上恒成立．∴11e e x x a x x---+≥恒成立．设11e ()e x x v x x x --=-+,∵112e (1)()1e x x x v x x ---'=-+=121131e [()]24x x ---+,x ∈3,4],∴1221133e [()]e 1244x x --+>>,∴()v x '< 0,()v x 为减函数．∴()v x 在3,4]上的最大值为v (3) = 3 -22e 3．∴a ≥3 -22e 3,∴的最小值为3 -22e 3．（3）由（1）知()g x 在(0,e]上的值域为(0,1]． ∵()2ln f x mx x m =--,(0,)x ∈+∞,当0m =时,()2ln f x x =-在(0,e]为减函数,不合题意．当0m ≠时,2()()m x m f x x-'=,由题意知()f x 在(0,e]不单调,所以20e m <<,即2em >．① 此时()f x 在2(0,)m 上递减,在2(,e)m上递增, ∴(e)1f ≥,即(e)e 21f m m =--≥,解得3e 1m -≥．② 由①②,得3e 1m -≥． ∵1(0,e]∈,∴2()(1)0f f m =≤成立．下证存在2(0,]t m∈,使得()f t ≥1．取e m t -=,先证e 2m m-<,即证2e 0m m ->．③ 设()2e x w x x =-,则()2e 10x w x '=->在3[,)e 1+∞-时恒成立． ∴()w x 在3[,)e 1+∞-时为增函数．∴3e ))01((w x w ->≥,∴③成立． 再证()e m f -≥1． ∵e e 3()1e 1m m f m m m --+=>>-≥,∴3e 1m -≥时,命题成立． 综上所述,m 的取值范围为3[,)e 1+∞-． 【点评】本题主要考查了导数的应用,求单调区间,极值,求函数的值域,以及不等式恒成立等函数的综合应用. 对于不等式的解法要熟练地掌握其基本思想,在运算过程中要细心,不可出现计算上的错误.解决不等式与函数、方程之间联系的题目时不仅要理解其内在的联系,还应注意转化的思想和数形结合的思想应用. 有关恒成立问题、能成立问题、恰好成立问题在新课标高考试题中经常出现,要理解各自的区别.在求函数在闭区间上的最值问题可采用以下方法：先求出函数在导数为零的点、不可导点、闭区间的端点的函数值,然后进行比较,最大的函数值就是函数的最大值,最小的函数值就是函数的最小值.【小试牛刀】【2017中原名校高三上学期第三次质量考评】已知定义在()0,+∞的函数()()41f x x x =-,若关于的方程()()()2320f x t f x t +-+-=有且只有个不同的实数根,则实数的取值集合是 ．【答案】{2,5-【迁移运用】1.【2017山西省运城市高三上学期期中】函数()f x 是偶函数,且在(0,)+∞内是增函数,(3)0f -=,则不等式()0xf x <的解集为（ ） A ．{}|303x x x -<<>或 B ．{}|303x x x <-<<或 C ．{}|33x x x <->或 D ．{}|303x x x -<<<<或0【答案】B【解析】函数()f x 为偶函数,故()xf x 为奇函数,()f x 在(0,)+∞内是增函数,()(3)30f f -==,所以()0,3x ∈时()0f x <,当()3,x ∈+∞时,()0f x >,根据对称性,有当()3,0x ∈-时()0f x <,当(),3x ∈-∞-时,()0f x >.由此可知()0xf x <即为两者异号的解集为{}|303x x x <-<<或.2.【2017湖北孝感高三上学期第一次联考】定义域在R 上的奇函数()f x ,当0x ≥时,()()12log 1,0113,1x x f x x x ⎧+≤<⎪=⎨⎪--≥⎩,则关于的方程()()001f x a a -=<<所有根之和为1则实数的值为（ ）A B ．12D ．14【答案】B【解析】因为函数)(x f 为奇函数,所以可以得到当]0,1(-∈x 时,)1(log )1(log )()(221x x x f x f -=+--=--=,当]1,(--∞∈x 时,()()(1|3|)f x f x x -=-=----|3|1x =+-,所以函数)(x f 图象如下图,函数)(x f 的零点即为函数)(x f y =与a y =的交点,如上图所示,共个,当]1,(--∞∈x 时,令a x =-+1|3|,解得：2,421-=--=a x a x ,当]0,1(-∈x 时,令a x =-)1(log 2,解得：a x 213-=,当),1[+∞∈x 时,令a |3-x |1=-,解得：2,454+=-=a x a x ,所以所有零点之和为：12345421242121a a x x x x x a a a a ++++=--+-+-+-++=-=12a ∴=.故本题正确答案为B.3.【2017重庆八中高三上学期二调】对于函数1()1x f x x -=+,设[]2()()f x f f x =,[]32()()f x f f x =,…,[]1()()n n f x f f x +=（*n N ∈,且2n ≥）,令集合{}2036|(),M x f x x x R ==∈,则集合M 为（ ）A ．空集B ．实数集C ．单元素集D ．二元素集 【答案】B4.【2017中原名校高三上学期第三次质量考评】定义在实数集R 上的函数()f x ,满足()()()22f x f x f x =-=-,当[]0,1x ∈时,()2x f x x =⋅.则函数()()lg g x f x x =-的零点个数为（ ）A ．99B ．100 C.198 D ．200 【答案】B【解析】()f x 是偶函数,图象关于直线1x =对称,周期是,画图可得,零点个数为100,故选B.5.【2017辽宁盘锦市高中11月月考】设函数31,1,()2,1,x x x f x x -<⎧=⎨≥⎩则满足()(())2f a f f a =的的取值范围是（ ）A ．2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]0,1 C ．2[,)3+∞ D ．[1,)+∞ 【答案】C【解析】令()t a f =,则()t t f 2=,当1<t 时,tt 213=-,由()t t t g 213--=的导数为()2ln 23t t g -=',在1<t 时,()0>'t g ,()t g 在()1,∞-递增,即有()()01=<g t g ,则方程t t 213=-无解；当1≥t 时,t t 22=成立,由()1≥a f ,即113≥-a ,解得32≥a ,且1<a ；或1≥a ,12≥a 解得0≥a ,即为1≥a ．综上可得的范围是32≥a ．故选C. 6. 【2017湖北荆州高三上学期第一次质量检测】已知函数()()2ln 1,23f x x g x x x =-=-++,用{}min ,m n 表示,m n 中最小值,设()()(){}min ,h x f x g x =,则函数()h x 的零点个数为（ ）A ．B ． C. D ． 【答案】C【解析】 由0)(=x f 可得ex e x 1,==；由0)(=x g 可得3,1=-=x x ,且当e x =时,0)(>e g ．当0<x 时无意义,结合函数的图象可知方程0)(=x h 有三个根.故应选C.7. 【2016届河南省中原名校高三上学期第一次联考】设Z n m ∈,,已知函数()()4log 2+-=x x f 的定义域是[]n m ,,值域是[]2,0,若函数()121++=-m x g x 有唯一的零点,则=+n m （ ）A ．2B ．2-C ．1D ．0 【答案】C8.【2017河南八市重点高中上学期第三次测评】函数()221sin cos cos log 442f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的零点个数为（ ）． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】B【解析】由已知得2211cos 21()cos 2log cos 2log 222x f x x x x x +=+--=-,令()0f x =,即2cos2log x x =,在同一坐标系内作出函数cos 2y x =与2log y x =的图象 两个函数有两个不同的交点,所以函数()f x 的零点的个数为,故选B.9.【2017河北衡水中学高三上学期五调】已知直线y mx =与函数20.51,0,()12(),03xx x f x x ⎧+>⎪=⎨-≤⎪⎩的图象恰好有3个不同的公共点,则实数m 的取值范围是（ ）A． B．)+∞C. D． 【答案】B【解析】在直角坐标系内作出函数()f x 的图象与直线y mx =的图象,当直线y mx =与20.51(0)y x x =+>相切时,m = ,由图可知,当直线y mx =与函数20.51,0,()12(),03xx x f x x ⎧+>⎪=⎨-≤⎪⎩的图象恰好有3个不同的公共点时,m ,故选B.10. 【2017河南百校联盟高三11月质检】已知函数()f x 满足()14f x f x ⎛⎫=⎪⎝⎭,当1,14x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,()ln f x x =,若在1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上,方程()f x kx =有三个不同的实根,则实数的取值范围是（ ）A.44ln 4,e ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ B.[]4ln4,ln4-- C.4,ln 4e ⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ D. 4,ln 4e ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】由题意,1,14x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时()ln f x x =,当(]1,4x ∈时,()1111,1,44ln 44f x f x x x x ⎡⎫⎛⎫∈===-⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭,如图4ln x kx -=在(]1,4x ∈有两解,4ln xk x-=有两解,设函数()()24ln 1n ,4x l xg x g x x x --'==-g x （）在(]1,e 上单调递减,在[],4e 上单调递增,4ln 4k e∴-≤≤-.故选：D ． 11.【河北石家庄2017届高三上学期第一次质检,10】已知函数()132,1,1x e x f x x x x -⎧<=⎨+≥⎩,则()()2f f x <的解集为（ ）A ．()1ln2,-+∞B ．(),1ln2-∞- C. ()1ln 2,1- D ．()1,1ln 2+ 【答案】B【解析】因为当1x ≥时,3()2f x x x =+≥；当1x <时,1()22x f x e -=<,所以(())2f f x <,等价于()1f x <,即121x e -<,解得1ln 2x <-,所以(())2f f x <的解集为(,1ln 2)-∞-,故选B ．12.【2017江苏徐州丰县民族中学高三上学期第二次月考】设函数()f x =a R ∈,为自然对数的底数）,若曲线sin y x =上存在一点00(,)x y 使得00(())f f y y =,则的取值范围是 ． 【答案】[]1,e【解析】由题设00(())f f y y =及函数的解析式可知11,0)(≤≤-≥y x f ,所以10≤≤y ．由题意问题转化为“存在]1,0[∈x ,使得x a x e x =-+有解”,即a x x e x +-=2在]1,0[有解,令x x e x h x +-=2)(,则12)(/+-=x e x h x ,当0>x 时,函数x x e x h x +-=2)(是增函数；所以10≤≤x ,当)1()()0(h x h h ≤≤,即e x h ≤≤)(1.所以[]1,e ,故应填答案[]1,e .13.【2017江苏徐州丰县民族中学高三上学期第二次月考】已知函数()f x 为定义在[]2,3a -上的偶函数,在[]0,3上单调递减,并且22()(22)5a f m f m m -->-+-,则m 的取值范围是 ．【答案】112m ≤<14. 【2016届黑龙江省双鸭山一中高三上学期期中】 定义在),1(+∞上的函数)(x f 满足下列两个条件：（1）对任意的),1(+∞∈x 恒有)(2)2(x f x f =成立；（2）当(]2,1∈x 时,x x f -=2)(．记函数=)(x g )1()(--x k x f ,若函数)(x g 恰有两个零点,则实数的取值范围是（ ）A ．)2,1[B ．)2,34[C ．)2,34(D ．]2,34[ 【答案】B【解析】由题意得：当(]2,1∈x 时,x x f -=2)(．当(2,4]x ∈时()4f x x =-；当(4,8]x ∈时()8f x x =-；函数)(x g 恰有两个零点即函数()y f x =与直线(1)y k x =-有且仅有两个交点,而(1)y k x =-过点(2,2)时,有且仅有一个交点,2k =,(1)y k x =-过点(4,4)时,有且仅有两个交点,43k =,因此实数的取值范围是)2,34[ 15. 【2016届江苏省泰州中学高三上学期第二次月考】已知函数xx x x x f 11)(--+=,关于的方程),(0)()(2R b a b x f a x f ∈=++恰有6个不同实数解,则的取值范围是 ． 【答案】)2,4(--【解析】因为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>≤<<≤---<-=--+=1,210,201,21,211)(x xx x x x x x x x x x x f ,所以函数x x x x x f 11)(--+=的图象如图所示,且0)(>x f ,所以),(0)()(2R b a b x f a x f ∈=++可化为),(0)()(2R b a b x af x f ∈=++；因为),(0)()(2R b a b x af x f ∈=++恰有6个不同实数解,所以关于)(x f 的方程),(0)()(2R b a b x af x f ∈=++有两根：2)(1=x f ,2)(02<<x f ,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><-<=++0220042b a b a ,即⎩⎨⎧<<->--04042a a ,解得24-<<-a ；故填)2,4(--．16.【 2016届黑龙江省牡丹江市一中高三10月月考】已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>+≤<=)()(log )(1221022x xx x x x f ,若方程()()1-=x k x f 有两个实根,则实数的取值范围是 ． 【答案】⎥⎦⎤⎝⎛2ln 121，【解析】函数)(x f 的图像如图中红色曲线,函数()1-=x k y 的图像为过定点（1,0）的动直线．可求出函数x y 2log =（10≤<x ）在点（1,0）处的切线的方程为)(ln 121-=x y ,此时有且只有一个公共点．设=)(x g xx 222+)(ln 121--x ,1>x 则0211212<--=ln )('x x g ,即函数)(x g 在），（∞+1上单调递减．显然23)1(=g ,03<=ln2-49)4(g ,所以必存在唯一10>x ,使0)(0=x g ,且0x x >时,0<)(x g 即此时直线恒在函数)(x f 的图像的上方（如图所示）．显然当21ln >k 时,函数()1-=x k y 与函数)(x f 的图像有三个交点,不符合题意．函数xx x f 222+=)(的导数为2121x x f -=)(',显然当+∞→x 时,21)('→x f ,则此时函数)(x f 的图像在函数()1-=x y 21图像（即直线）的上方．所以由图像可知,函数()1-=x k y 的图像在直线和之间时符合题意．故∈k ⎥⎦⎤⎝⎛2ln 121，． 17. 已知函数213,1()log , 1x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩ ,()|||1|g x x k x =-+-,若对任意的12,R x x ∈,都有12()()f x g x ≤成立,则实数的取值范围为 .【答案】34k ≤或54k ≥ 【解析】对任意的12,R x x ∈,都有12()()f x g x ≤成立,即max min ()()f x g x ≤.观察213,1()log , 1x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩的图象可知,当12x =时,函数max ()f x =14；因为()|||1||(1)||1|g x x k x x k x k =-+-≥---=-, 所以min ()|1|,g x k =-所以,1|1|4k -≥,解得34k ≤或54k ≥, 故答案为34k ≤或54k ≥．18.定义在R 上的函数32()f x ax bx cx =++(0)a ≠的单调增区间为(1,1)-,若方程23(())2()0a f x bf x c ++=恰有6个不同的实根,则实数的取值范围是 .【答案】12a <-19.【2017湖南百所重点中学高三上学期阶段诊测】已知定义在R 上的函数()f x 的周期为3.当13x ≤≤时,2()4f x x =+. （1）求(5)(7)f f +的值；（2）若关于的方程2()()f x mx m R =∈在区间[4,6]上有实根,求实数m 的取值范围. 【答案】（1）(5)(7)13f f +=；（2）413[,]1336． 【解析】（1）∵函数()f x 的周期为3,∴(5)(2)8f f ==,(7)(4)(1)5f f f ===, ∴(5)(7)13f f +=.（2）设[4,6]x ∈,则3[1,3]x -∈,∵函数()f x 的周期为3, ∴2()(3)(3)4f x f x x =-=-+.方程2()f x mx =在[4,6]上有实根22(3)4x m x-+=⇔在[4,6]上有实根,设2222(3)4136134()113()1313x g x x x x x -+==-+=-+, ∵[4,6]x ∈,∴111[,]64x ∈,∵311[,]1364∈, ∴min 4()13g x =, 又∵1331||||413136-<-,∴max 13()(6)36g x g ==,∴413()[,]1336g x ∈, ∴实数m 的取值范围为413[,]1336.19.【2016届湖北省龙泉中学等高三9月联考】定义在(1,0)(0,)-+∞上的函数()f x 及二次函数()g x 满足： 211()2()ln xf x f x x +-=,(1)(3)3,g g =-=,且()g x 的最小值是1-． （Ⅰ）求()f x 和()g x 的解析式；（Ⅱ）若对于12,[1,2]x x ∈,均有2112211()2()2ln 222g x ax x f x +≤++-成立,求实数的取值范围；（Ⅲ）设()()(),0(),(),0f x x x g x x ϕ>⎧⎪=⎨≤⎪⎩讨论方程[]()1x ϕϕ=-的解的个数情况．【答案】（Ⅰ）()ln(1)f x x =-+,2()2g x x x =+ （Ⅱ）(,4]-∞- （Ⅲ）三个解．【解析】（Ⅰ）∵211()2()lnx f x f x x +-=①,则1()2()ln[(1)]f f x x x x-=+②由①②联立解得： ()ln(1)f x x =-+；()g x 是二次函数,可设2()(),0g x A x m n A =-+≠又(1)(3)3,g g =-=,∴抛物线对称轴为1312x -==-．∴1m =-． 根据题意函数有最小值为1n =-,∴2()(1)1g x A x =+-． 又2(1)(11)131g A A =+-=⇒=,故22()(1)12g x x x x =+-=+ （Ⅱ）设()2()()2G x g x ax x a x =+=++,211()2ln(1)2ln 222F x x x =-++-, 依题意知：当12x ≤≤时, max min ()()G x F x ≤∵222(2)(1)()0111x x x x F x x x x x +-+-'=-==≥+++,()F x 在[1,2]上单调递增, min ()(1)0F x F ∴==()()1302280G a G a =+≤⎧⎪∴⎨=+≤⎪⎩,解得4a ≤-, ∴实数的取值范围是(,4]-∞-；（Ⅲ）图像解法：()x ϕ的图象如图所示： 令()T x ϕ=,则()1T ϕ=-121,1T T e ∴=-=-而()1x ϕ=-有两个解, ()1x e ϕ=-有个解．[]()1x ϕϕ∴=-有个解．代数解法：令()T x ϕ=,则() 1.T ϕ=-（1）由()1T ϕ=-得：221(0)T T T +=-≤或ln(1)1(0)T T -+=->, 解得121,1T T e =-=-．（2）若1()1x T ϕ==-,则221(0)x x x +=-≤或ln(1)1(0)x x -+=->, ∴121,1x x e =-=-；若2()1x T e ϕ==-,则221(0)x x e x +=-≤或ln(1)1(0)x e x -+=->由221(0)x x e x +=-≤解得31x =,而ln(1)1(0)x e x -+=->无解 综上所述,方程[]()1x ϕϕ=-共有三个解．20.【2016届重庆市巴蜀中学高三10月月考】已知函数()()211ln ,2f x ax a x x a R =-+-+∈． （1）讨论()f x 的单调性；（2）证明：当()0,1x ∈时,()()11f x f x -<+； （3）若函数()f x 有两个零点1x ,2x ,比较12+2x x f ⎛⎫'⎪⎝⎭与的大小,并证明你的结论. 【答案】（1）1a <-时,f （x ）在1(0,)a-上递增,1(1)a-，上递减,(1,)+∞上递增；1a =-时,f（x ）在(0,)+∞上递增；10a -<<时,f （x ）在(0,1)上递增,1(1)a-，上递减,1(,)a -+∞上递增；0a ≥时,f （x ）在(0,1)上递增,在(1,)+∞上递减；（2）见解析；（3）12+02x x f ⎛⎫'> ⎪⎝⎭． 【解析】（1）(1)(1)'(),(0)ax x f x x x-+-=>①0a ≥时,f （x ）在（0,1）上递增,在(1,)+∞上递减；②0a <时,f’（x ）=0的两根为1,1a-A ．1=1a -,即1a =-时,f （x ）在(0,)+∞上递增；B ．1<1a -,即1a <-时,f （x ）在1(0,)a -上递增,1(1)a -，上递减,(1,)+∞上递增；且111()1ln()02f a a a-=-++-<,故此时f （x ）在(0,)+∞上有且只有一个零点． C ．1>1a -,即10a -<<时,f （x ）在(0,1)上递增,1(1)a-，上递减,1(,)a -+∞上递增；且(1)102af =-<,故此时f （x ）在(0,)+∞上有且只有一个零点．综上所述：1a <-时,f （x ）在1(0,)a-上递增,1(1)a -，上递减,(1,)+∞上递增；1a =-时,f （x ）在(0,)+∞上递增；10a -<<时,f （x ）在(0,1)上递增,1(1)a-，上递减,1(,)a -+∞上递增；0a ≥时,f （x ）在(0,1)上递增,在(1,)+∞上递减；（2）()()11f x f x -<+⇔2211(1)(1)(1)ln(1)(1)(1)(1)ln(1)22a x a x x a x a x x --+--+-<-++-+++ ⇔2ln(1)ln(1)0x x x +--+<设()2ln(1)ln(1),(0,1)g x x x x x =+--+∈∴2112'()2011(1)(1)x g x x x x x --=+-=<-+-+∴()g x 在(0,1)x ∈上单调递减 ∴()g(0)0g x <=得证．（3）由（1）知,函数()f x 要有两个零点1x ,2x ,则0(1)102a af >⎧⎪⎨=->⎪⎩ ∴2a >,不妨设1201x x <<<∴由（2）得222(2)(11)()=0f x f x f x -=+-> ∴212x x ->,∴12+12x x <,∴12+02x x f ⎛⎫'> ⎪⎝⎭21. 已知函数()()),,(,22R c b c bx x x g b x x f ∈++=+=对任意的R x ∈恒有()()x g x f ≤成立.(1)当b=0时,记()()(),x f x g x h =若()x h 在[∞+,2）上为增函数,求c 的取值范围； (2)证明：当0≥x 时,()()2c x x g +≤成立；(3)若对满足条件的任意实数b,c,不等式()()()22b c M b g c g -≤-恒成立,求M 的最小值.【答案】（1）[1,4]；（2）证明见解析；（3）32． 【解析】（1）因为任意的恒有成立,所以对任意的,即恒成立.所以,从而.,即：.当时,记（）因为在上为增函数,所以任取,,恒成立.即任取,,成立,也就是成立. 所以,即的取值范围是.（2）由（1）得,且,所以,因此.故当时,有.即当时,.（3）由（2）知,,当时,有设,则,所以,由于的值域为,因此当时,的取值范围是； 当时,由（1）知,.此时或0,, 从而恒成立.综上所述,的最小值为.22. 【2016届浙江宁波效实中学高三上期中】已知函数2()3,()21()f x x a g x ax a =+=+∈R（1）若函数()f x 在(0,2)上无零点,请你探究函数()y g x =在(0,2)上的单调性；（2）设()()()F x f x g x =-,若对任意的(0,1)x ∈,恒有()1F x <成立,求实数的取值范围．【答案】（1）若0a =：在(0,2)上无单调性,若0a >：在(0,2)上单调递增,若12a ≤-：在1(0,)2a -上单调递减,在1(,)2a-+∞上单调递增；（2）[1,2]．。
问题2.2 函数中存在性与恒成立问题-突破170分之江苏2017届高三数学复习提升秘籍(原卷版)
突破170分之江苏高三数学复习提升秘籍函数的内容作为高中数学知识体系的核心，也是历年高考的一个热点。
在新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察，恒成立问题便是一个考察学生综合素质的很好途径，它主要涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数函数和对数函数等常见函数的图象和性质，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。
近几年的数学高考和各地的模考联考中频频出现存在性与恒成立问题，其形式逐渐多样化，但它们大都与函数、导数知识密不可分。
解决高中数学函数的存在性与恒成立问题常用以下几种方法：①函数性质法；②分离参数法；③主参换位法；④数形结合法等。
一、函数性质法【例1】1）、已知函数12)(2+-=ax x x f ，xa x g =)(，其中0>a ，0≠x ．对任意]2,1[∈x ，都有)()(x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；2）、已知两函数2)(x x f =，m x g x-⎪⎭⎫ ⎝⎛=21)(，对任意[]2,01∈x ，存在[]2,12∈x ，使得()21)(x g x f ≥，求实数m 的取值范围。
二、分离参数法【例2】已知函数()ln f x ax x x =+的图象在点x e =（e 为自然对数的底数）处的切线的斜率为3．（1）求实数a 的值；（2）若2()f x kx ≤对任意0x >成立，求实数k 的取值范围。
利用分离参数法来确定不等式(),0f x λ≥,（ D x ∈,λ为实参数）恒成立中参数λ的取值范围的基本步骤:（1） 将参数与变量分离，即化为()()g f x λ≥（或()()g f x λ≤）恒成立的形式；（2） 求()f x 在x D ∈上的最大（或最小）值；（3） 解不等式()max ()g f x λ≥(或()()min g f x λ≤) ，得λ的取值范围。
三、主参换位法【例3】已知函数()ln()(x f x e a a =+为常数）是实数集R 上的奇函数，函数()()sin g x f x x λ=+是区间[]1,1-上的减函数，(Ⅰ)求a 的值；(Ⅱ)若[]2()11,1g x t t x λ≤++∈-在上恒成立，求t 的取值范围。
误区2.1 忽略函数的定义域问题-突破170分之江苏2017届高三数学复习提升秘籍(原卷版)
突破170分之江苏高三数学复习提升秘籍函数是高中数学最基本的内容，函数作为高中数学的主线，函数思想贯穿整个高中数学学习的始终。
函数的定义域是函数概念的重要组成部分，是函数“三要素” (定义域、值域、对应法则)之首，是函数最本质的特征，在函数问题中有着重要的地位。
它不仅是研究函数图象性质的基础，而且在众多数学问题的求解过程中，往往能够显示出不可低估的特殊作用。
它直接制约着函数的解析式、图象和性质，在解决问题的过程中，如果忽视函数的定义域，常常会事倍功半,甚至误入歧途。
本文对下面几类典型问题进行扼要剖析， 供同学们参考。
一、判断函数的奇偶性时忽视函数的定义域奇偶性是函数的一种基本性质，根据它的定义，判断函数的奇偶性，就应先考虑该函数的定义域区间是否关于坐标原点成中心对称， 如果定义域区间是关于坐标原点不成中心对称，则函数就无奇偶性可谈，它必是一个非奇非偶函数；否则再用奇偶性定义()f x -与()f x 的关系加以判断。
【例1】判断函数2()3f x x =，(2,2]x ∈-的奇偶性。
【小试牛刀】已知f(x)＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为[a －1,2a]，则y ＝f(x)的最大值为__________.二、求函数单调区间忽视函数的定义域复合函数的单调性问题是高中学生学习的一个难点问题，也是高考的一个热点问题，复合函数的单调性是指函数在定义域的某一区间上，函数值随自变量的变化而增减的情况。
切记函数单调性是一个局部概念，单调区间必须是定义域的子集。
【例2】函数2()ln(43)f x x x =+-的单调递减区间是__________________. 【小试牛刀】若在区间(-∞，1]上递减，则a 的取值范围为_____________. 三、利用换元法解题时忽视函数的定义域在完成一些函数综合问题中，表面没有强调的函数定义域，但是在解答过程中函数定义域的作用是不能忽略的，定义域优先原则是永恒的。
问题6.1 含参数的不等式的恒成立、恰成立、能成立问题 -突破170分之江苏2017届高三数学复
突破170分之江苏高三数学复习提升秘籍专题六 不等式纵观近几年高考对于不等式综合问题的考查，主要有三类问题：恒成立问题、能成立问题以及恰成立问题，要求学生有较强的推理能力和准确的计算能力，才能顺利解答．从实际教学来看，这部分知识能力要求高、难度大，是学生掌握最为薄弱，看到就头疼的题目．分析原因，除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理．本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨． 1 不等式恒成立问题新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察，恒成立问题便是一个考察学生综合素质的很好途径，它常以函数、方程、不等式和数列等知识点为载体，渗透着换元、化归、分类讨论、数形结合、函数与方程等思想方法，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用．近几年的数学高考中频频出现恒成立问题，其形式逐渐多样化，但都与函数、导数知识密不可分．解决高考数学中的恒成立问题常用以下几种方法：①函数性质法；②主参换位法；③分离参数法；④数形结合法；⑤消元转化法．下面我就以近几年高考试题为例加以剖析． 1．1 函数性质法一、一次函数——单调性法给定一次函数()()0y f x ax b a ==+≠，若()y f x =在[],m n 内恒有()0f x >，则根据函数的图像（线段）（如右下图） 可得上述结论等价于（1）⎩⎨⎧>>0)(0m f a 或（2）0,()0.a f n <⎧⎨>⎩可合并定成()()0,0.f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩同理，若在[],m n 内恒有()0f x <，则有()()0,0.f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩例1．若不等式)1(122->-x m x 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的范围．图1（1）【分析】我们可以用改变主元的办法，将m 视为主变元，即将元不等式化为： 0)12()1(2<---x x m 来求解．【解析】【点评】有些问题，如果采取反客为主（即改变主元）的策略，可产生意想不到的效果．二、二次函数——利用判别式、韦达定理及根的分布求解 有以下几种基本类型：类型1：设2()(0).f x ax bx c a =++≠（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a ． 类型2：设2()(0).f x ax bx c a =++≠（1）当0>a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立,222()00()0.b b ba aa f f ααββαβ⎧⎧⎧-<≤-≤->⎪⎪⎪⇔⎨⎨⎨⎪⎪⎪>∆<>⎩⎩⎩或或 ],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立()0,()0.f f αβ<⎧⇔⎨<⎩（2[）当0<a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立()()0,0.f f αβ>⎧⎪⇔⎨>⎪⎩图1（2）],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立,222()00()0.b b ba aa f f ααββαβ⎧⎧⎧-<≤-≤->⎪⎪⎪⇔⎨⎨⎨⎪⎪⎪>∆<<⎩⎩⎩或或 例2．已知不等式2440mx mx +-<对任意实数x 恒成立．则m 取值范围是_______. 【分析】由不等式2440mx mx +-<对任意实数x 恒成立，知0m =或0,162160.m m m <⎧⎨+<⎩由此能求出m 的取值范围．【解析】∵不等式2440mx mx +-<对任意实数x ，0m ∴=或0,162160.m m m <⎧⎨+<⎩解得10m -<≤．【点评】本题考查一元二次不等式的解法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．例3．已知函数()()()22241,f x mx m x g x mx =--+=，若对于任一实数x ，()f x 与()g x 的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是 ___________.【分析】()f x 与()g x 的函数类型，直接受参数m 的影响，∴首先要对参数进行分类讨论，然后转换成不等式的恒成立的问题利用函数性质及图像解题．【解析】综上可得08m <<即(0,8)m ∈．【点评】该题考查一次函数、二次函数的单调性，考查不等式的求解，考查分类讨论思想． 三、其它函数：()0f x >恒成立⇔min ()0f x >（注：若()f x 的最小值不存在，则()0f x >恒成立⇔()f x 的下界大于0）；()0f x <恒成立⇔max ()0f x <（注：若()f x 的最大值不存在，则()0f x <恒成立⇔()f x 的上界小于0）．例4．已知函数)0(ln )(44>-+=x c bx x ax x f 在1=x 处取得极值3c --，其中a ，b 为常数． （1）试确定a ，b 的值； （2）讨论函数)(x f 的单调区间；（3）若对任意0>x ，不等式22)(c x f -≥恒成立，求c 的取值范围．【分析】22)(c x f -≥恒成立，即 2min ()2f x c ≥-，要解决此题关键是求min ()f x ，0>x ．【解析】（1）（2）略．例5.设函数432()2()f x x ax x b x R =+++∈，其中,a b R ∈．（Ⅲ）若对于任意的[]22a ∈-，，不等式()1f x ≤在[]11-，上恒成立，求b 的取值范围．（节选） 【分析】()1f x ≤，即max ()1f x ≤，[]22a ∈-，，x ∈[]11-，，要解决此题关键是求max ()f x ．【解析】（Ⅲ）322()434(434)f x x ax x x x ax '=++=++由条件[]22a ∈-，可知29640a ∆=-<，从而24340x ax ++>恒成立．当0x <时，()0f x '<；当0x >时，()0f x '>．因此函数()f x 在[]11-，上的最大值是(1)f 与(1)f -两者中的较大者．为使对任意[]22a ∈-，，不等式()1f x ≤在[]11-，上恒成立，当且仅当max ()1f x ≤，即(1)1(1)1f f ≤-≤⎧⎨⎩，即22b ab a≤--≤-+⎧⎨⎩在[]22a ∈-，上恒成立．即minmin(2)(2)b a b a ≤--≤-+⎧⎨⎩，[]22a ∈-，，∴4b ≤-，因此满足条件的b 的取值范围是(]4--∞，． 例6.设函数321()(1)4243f x x a x ax a =-+++，其中常数1a >． （II ）若当0x ≥时，()0f x >恒成立，求a 的取值范围．（节选）【分析】利用导数求函数的最值，由恒成立条件得出不等式条件从而求出a 的范围．【点评】以上三题考查了利用导数研究函数的极值，利用导数研究函数的单调性，导数的正负对应着函数的增减，要注意极值点一定是导函数对应方程的根，但是导函数对应方程的根不一定是极值点． 1．2 分离参数法——极端化原则若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围．利用分离参数法来确定不等式(),0f x λ≥（D x ∈，λ为实参数）恒成立中参数λ的取值范围的基本步骤：（1）将参数与变量分离，即化为()()g f x λ≥（或()()g f x λ≤）恒成立的形式； （2）求()f x 在x D ∈上的最大（或最小）值；（3）解不等式()max ()g f x λ≥(或()()min g f x λ≤) ，得λ的取值范围． 适用题型：（1）参数与变量能分离；（2）函数的最值易求出．例7.（2013新课标卷Ⅰ理11）已知函数22,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，若|()f x |≥ax ，则a 的取值范围是A .(,0]-∞B .(,1]-∞C .[-2,1]D .[-2,0]【解析】∵()22,0,ln(1),0,x x x f x x x ⎧-≤=⎨+>⎩∴由|()f x |≥ax 得，202x x x ax ≤⎧⎨-≥⎩且0ln(1)x x ax >⎧⎨+≥⎩，由22x x x ax≤⎧⎨-≥⎩可得2a x ≥-，则a ≥-2，排除Ａ，Ｂ，当a =1时，易证ln(1)x x +<对0x >恒成立，故a =1不适合，排除C ，故选D.【点评】本题主要考查函数不等式恒成立求参数范围问题的解法，是难题． 例8.当(1,2)x ∈时，不等式240xmx ++<恒成立，则m 的取值范围是．例9.已知函数321()33f x ax bx x =+++，其中0a ≠． （1）当b a ,满足什么条件时，)(x f 取得极值?（2）已知0>a ，且)(x f 在区间(0,1]上单调递增，试用a 表示出b 的取值范围．【分析】此题虽有三个变量x ，a ，b ，而x 的范围已知，最终要用a 表示出b 的取值范围，∴可以将a 看成一个已知数，对x 和b 进行离参．【解析】（1）略；(2))(x f 在区间(0,1]上单调递增⇔2'()210f x ax bx =++≥在(0,1]上恒成立⇔1,(0,1]22ax b x x ≥--∈恒成立⇔max 1()22ax b x ≥--，(0,1]x ∈．设1()22ax g x x=--，2221()1'()222a x a a g x x x -=-+=-，令'()0g x =得x =x =舍去)，当1>a 时，101a <<，当x ∈时'()0g x >，1()22ax g x x =--单调增函数；当x ∈时'()0g x <，1()22ax g x x =--单调减函数，∴max ()g x=g =∴b ≥．当01a <≤1≥，此时'()0g x ≥在区间(0,1]恒成立，∴1()22ax g x x =--在区间(0,1]上单调递增，∴max ()g x =1(1)2a g +=-，∴12a b +≥-． 综上，当1>a 时，b ≥； 当01a <≤时，12a b +≥-．例10．设函数2()1f x x =-，对任意2,3x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，24()(1)4()x f m f x f x f m m ⎛⎫-≤-+ ⎪⎝⎭恒成立，则实数m 的取值范围是 ．1．3 主参换位——反客为主法某些含参不等式恒成立问题，在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量，但函数的最值却难以求出时，可考虑变换思维角度“反客为主”，即把习惯上的主元变与参数变量的“地位”交换一下，变个视角重新审查恒成立问题，往往可避免不必要的分类讨论或使问题降次、简化，起到“山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村”的出奇制胜的效果．例11.已知函数322()9cos 48cos 18sin f x x x x αβα=-++，()()g x f x '=，且对任意的实数 t 均有(1cos )0g t +≥，(3sin )0g t +≤．(Ⅰ) 求函数()f x 的解析式；(Ⅱ)若对任意的[26,6]m ∈-，恒有2()11f x x mx ≥--，求x 的取值范围． 【解析】(Ⅰ) 2()()318cos 48cos g x f x x x αβ'==-+，,01cos 2,t R t ∀∈≤+≤23sin 4t ≤+≤，而(1cos )0g t +≥，(3sin )0g t +≤恒成立．则由二次函数性质得(2)0(4)0g g =⎧⎨≤⎩，解得cos 1α=，1cos 2β=，sin 0α= ∴ 32()924f x x x x =-+． （Ⅱ）22()11924110f x x mx mx x x ≥--⇔-++≥．令2()92411h m mx x x =-++，则2()11f x x mx ≥-- 即()0h m ≥．由于[26,6]m ∈-，则有22(26)26924110(6)6924110h x x x h x x x ⎧-=--++≥⎪⎨=-++≥⎪⎩． 解得 113x -≤≤．∴x 的取值范围为1[,1]3-． 例12．已知函数323()(1)132a f x x x a x =-+++，其中a 为实数．（Ⅱ）已知不等式2()1f x x x a '--+＞对任意(0)a ∈+∞，都成立，求实数x 的取值范围．（节选） 【分析】已知参数a 的范围，要求自变量x 的范围，转换主参元x 和a 的位置，构造以a 为自变量x 作为参数的一次函数()g a ，转换成∀(0)a ∈+∞，，()0g a >恒成立再求解．1．4 数形结合——直观求解法若所给不等式进行合理的变形化为()()f x g x ≥（或()()f x g x ≤）后，能非常容易地画出不等号两边函数的图像，则可以通过画图直接判断得出结果．尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷．例13.若对任意x R ∈，不等式||x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是_____.【解析】对∀x R ∈，不等式||x ax ≥恒成立，则由一次函数性质及图像知11a -≤≤，即||1a ≤．例14.若不等式23log 0a x x -<在10,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内恒成立，求实数a 的取值范围．axy x图5综上得：1127a >≥． 例15．若不等式log sin 2(01)a x x a a >>≠且对于任意x ∈(0,]4π都成立，求a 的取值范围．图6图7【解析】作出函数sin 2=y x 的图像，由题意知 在x ∈(0，4π］上，函数log =a y x 的图像总在函数sin 2=y x 的图像的上方，∴01<<a ．作直线x =4π，与log=ay x 和sin 2=y x 的图像分别交于A 、B两点，为保证log =a y x 在区间（0，4π］上的图像在sin 2=y x 图像的上方，不难从图中得到其条件是点A 在点B 的上方，∴当x =4π时，log sin(2)1log 44>⨯==a a a ππ， 又01<<a ，得4π<a <1．1．5 消元转化法例16．已知f(x)是定义在[-1，1]上的奇函数，且f(1)=1，若0)()(0],1,1[,>++≠+-∈nm n f m f n m n m 时，若12)(2+-≤at t x f 对于所有的]1,1[],1,1[-∈-∈a x 恒成立，求实数t 的取值范围．【点评】对于含有两个以上变量的不等式恒成立问题，可以根据题意依次进行消元转化，从而转化为只含有两变量的不等式问题，使问题得到解决．上述例子剖析了近几年数学高考中恒成立问题的题型及解法，值得一提的是，各种类型各种方法并不是完全孤立的，虽然方法表现的不同，但其实质却都与求函数的最值是等价的，这也正体现了数学中的“统一美”．2 不等式能成立问题的处理方法若在区间D 上存在实数x 使不等式()f x k >成立，则等价于在区间D 上()maxf x k >；若在区间D 上存在实数x 使不等式()f x k <成立，则等价于在区间D 上的()min f x k <．注意不等式能成立问题（即不等式有解问题）与恒成立问题的区别．从集合观点看，含参不等式()f x k <()()f x k >在区间D 上恒成立(){}()maxD x f x k f x k ⇔⊆<⇔<(){}()()min D x f x k f x k ⇔⊆>⇔>，而含参不等式()f x k <()()f x k >在区间D 上能成立⇔至少存在一个实数x 使不等式()f x k <()()f x k >成立(){}()minDx f x k f x k ⇔<≠∅⇔<(){}()()maxDx f x k f x k ⇔<≠∅⇔>．例17．若关于x 的不等式23x ax a --≤-的解集不是空集，则实数a 的取值范围是 ．【解析】设()2f x x ax a =--．则关于x 的不等式23x ax a --≤-的解集不是空集()3f x ⇔≤-在R 上能成立()min 3f x ⇔≤-，即()2min 434a a f x +=-≤-解得6a ≤-或2a ≥ 例18．已知函数()()21ln 202f x x ax x a =--≠存在单调递减区间，求a 的取值范围 【解析】∵函数()f x 存在单调递减区间，∴()2'12120ax x f x ax x x +-=--=-<在()0,+∞有解．即()()2120,a x x x >-∈+∞能成立， 设()212u x x x=-．由()2212111u x x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭得， ()min 1u x =-．于是，1a >-，由题设0a ≠，∴a 的取值范围是()()1,00,-+∞．3 不等式恰好成立问题的处理方法例19．已知()22x x af x x++=当[)()1,,x f x ∈+∞的值域是[)0,+∞，试求实数a 的值．例20．已知=)(x f x x +221，=)(x g a x -+)1ln(， ⑴若存在]2,0[∈x ，使得)()(x g x f =，求实数a 的取值范围； ⑵若存在]2,0[∈x ，使得)()(x g x f >，求实数a 的取值范围； ⑶若对任意]2,0[∈x ，恒有)()(x g x f >，求实数a 的取值范围；⑷若对任意]2,0[,21∈x x ，恒有)()(21x g x f >，求实数a 的取值范围；⑸若对任意]2,0[2∈x ，存在]2,0[1∈x ，使得)()(21x g x f >，求实数a 的取值范围； ⑹若对任意]2,0[2∈x ，存在]2,0[1∈x ，使得)()(21x g x f =，求实数a 的取值范围； ⑺若存在]2,0[,21∈x x ，使得)()(21x g x f >，求实数a 的取值范围；⑻若存在]2,0[,21∈x x ，使得)()(21x g x f =，求实数a 的取值范围.因为]2,0[∈x 时111+-+='x x x h ）（=122++x x x >0,所以)(x h 在]2,0[上是增函数，由此可求得)(x h 的值域是[0，3ln 4-]，所以实数a 的取值范围是[0，3ln 4-].⑵解析：据题意：若存在]2,0[∈x ，使得)()(x g x f >,即)(x h a >有解，故h max (x)>a ，由⑴知h max （x ）=3ln 4-，于是得a <3ln 4-.点评：在求不等式中的参数范围过程中，当不等式中的参数（或关于参数的式子）能够与其它变量完全分离出来并且分离后不等式其中一边的函数的最值或值域可求时，常用分离参数法.另外要注意方程有解与不等式有解的区别，方程有解常通过分离参数法转化为求函数值域问题，而不等式有解常通过分离参数法转化为求函数最值问题.⑶解析：对任意]2,0[∈x ，恒有)()(x g x f >，即]2,0[∈x 时)(x h a >恒成立，即min )(x h a >，由⑵可知a <0.点评：比较⑵、 ⑶可知不等式恒成立和有解是有明显区别的，切不可混为一团.另外还要注意解决此类问题时参数能否取到端点值.以下充要条件应细心思考，甄别差异：①若)(x f 值域为],[n m ，则不等式)(x f a >恒成立⇔a m ≤；不等式)(x f a >有解⇔a n ≤； ②若)(x f 值域为],[n m ，则不等式)(x f a >恒成立⇔a m <；若)(x f 值域为],(n m 则不等式)(x f a >恒成立⇔a m ≤.⑷解析：由题中条件可得）（x f 的值域，，]40[=A )(x g 的值域]3ln ,[a a B --=，若对任意]2,0[,21∈x x ，恒有)()(21x g x f >，即max min )()(x g x f >，即a ->3ln 0，所以3ln >a .点评：⑶与 ⑷虽然都是不等式恒成立问题，但却有很大的区别， ⑶中不等式的左右两端函数的自变量相同，而⑷中不等式的左右两端函数的自变量不同，21,x x 的取值在[0，2]上具有任意性.⑸解析：对任意]2,0[2∈x ，若存在]2,0[1∈x ，使得)()(21x g x f >，即max max )()(x g x f >，由⑷可知即a ->3ln 4，所以3ln 4+->a .点评：设)(x g 的最大值为M ，对任意]2,0[2∈x ，)()(21x g x f >的条件M x f >)(1，于是问题转化为存在]2,0[1∈x ，使得M x f >)(1，因此只需)(x f 的最小值大于M 即max max )()(x g x f >.⑹解析：对任意]2,0[2∈x ，若存在]2,0[1∈x ，使得)()(21x g x f =，则A B ⊆，所以⎩⎨⎧≤-≥-43ln 0a a 即03ln 4≤≤+-a点评：因为对)(x f 值域内的任一元素在定义域内必存在自变量与其对应，所以对任意]2,0[2∈x ，若存在]2,0[1∈x ，使得)()(21x g x f =的充要条件是)(2x g 在)(x f 的值域内，因此，)(x g 的值域是)(x f 的值域的子集.⑻解析：若存在21,x x 使得)()(21x g x f =，则AB ≠∅，∴33≤+a ，∴实数a 的取值围是].0,(-∞【迁移运用】1．【2016届山东省枣庄市三中高三12月月考】若存在正数x 使2()1xx a -<成立，则a 的取值范围是________．【答案】(1,)-+∞【解析】由2()1xx a -<得12x x a -<，即12x a x >+，即存在正数x 使12xa x >+成立即可，1()(0)2x h x x x =->，所以只要min ()a h x >，，因为()h x 为增函数，所以当0x >时，01()(0)012h x h >=-=-，所以1a >-，即a 的取值范围是(1,)-+∞．2．【2016届浙江省余姚中学高三上学期期中】设0a <，()()2320x a x b ++≥在(),a b 上恒成立，则b a-的最大值为_______________.【答案】13【解析】当0a b <<时，()()2320xa xb ++≥在(),a b 上恒成立，可转化为(),x a b ∀∈,20x b +<,(),x a b ∀∈,23a x ≤-，所以23a a ≤-，所以103a -≤≤，所以13b a -<；当0a b <<时，()()2320x a x b ++≥在(),a b 上恒成立，当0x =时，()()2320xa xb ab ++=<，不符合题意；当0a b <=时，由题意知(),0x a ∈，()2320x a x +≥恒成立，所以230x a +≤，所以103a -≤<，所以13b a -≤．综上所述，b a -的最大值为13．3.若AB 中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是4.设函数22,0()log ,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，若对任意给定的(2,)y ∈+∞，都存在唯一的x R ∈，满足22(())2f f x a y ay =+，则正实数a 的最小值是______________. 【答案】14【解析】首先写出f (f (x ))表达式，当0x ≤时，2(())log (2)x f f x x ==；当01x <≤时，2log (())2x f f x x ==；当1x >时，22(())log (log )f f x x =，考虑到题目说的要求x 的唯一性，即当取某个y 值时，f (f (x ))的值只能落在三段区间的一段，而不能落在其中的两段或者三段内．因此我们要先求出f (f (x ))在每段区间的值域．当0x ≤时，(())0f f x ≤；当01x <≤时，0(())1f f x <≤；当1x >时, (())R f f x ∈．从中可发现，上面两段区间的值包含在最后一段区间内，换一句话就是说假如f (f (x ))取在小于等于1的范围内的任何一个值，则必有两个x 与之对应．因此，考虑到x 的唯一性，则只有使得f (f (x ))>1,因此题目转化为当y >2时，恒有2221a y ay +>．因此令22()21g y a y ay =+-,题目转化为y >2时，恒有g (y )>0,又g (y )=(2ay -1)（ay +1），为了要使其大于0，则12ay >或1ay <-，考虑到题目要求a 的正实数，则ay <-1不考虑．因此1122ay a y>⇒>，在y 大于2的情况下恒成立．因此max 111()224a a y y >⇔>=，所以a 的最小正实数为14 (因为y 本身取不到2，因此a 可以取14）． 5.函数()(31)2f a m a b m =-+-，当[0,1]m ∈时，0()1f a ≤≤恒成立，则22b a ab-的最大值是______.【答案】154【解析】设()(32)h m a m a b =--+，则依题意0(0)1,0(1)1h h ≤≤≤≤，代入可得：01,0221b a a b ≤-≤≤+-≤，画出可行域，构造点(,)a b 与原点连线的斜率可得14bt a≤=≤；而221a b a b t ab b a t -+=-+=-+，易知函数1()u t t t =-+为区间[1,4]上的增函数，故15()4u t ≤． 6.集合()*{,,S x y z x y z N =∈、、，且x y z <<、y z x <<、z x y <<恰有一个成立}，若(),,x y z S ∈且(),,z w x S ∈,则下列选项正确的是( ) （A ）(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∉ （B ）(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∈ （C ）(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈（D ）(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∉【解析】7．【湖南湘中名校2014届高三上学期第一次大联考数学8】已知()()21,2xf x xg x m ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，若对任意的[]11,3x ∈-，存在[]20,2x ∈，使()()12f x g x ≥，则实数m 的取值范围是 ( ) A ．14m ≥B ．1m ≥C ．0m ≥D ．2m ≥8．【2016届湖南省常德市一中高三上第五次月考】已知0,0x y >>，若2282y x m m x y+>+ 恒成立，则实数m 的取值范围是________． 【答案】(4,2)-9．【2016届浙江省富阳市二中高三上学期第二次质量检测】若正实数,x y 满足244x y xy ++=，且不等式2(2)22340x y a a xy +++-≥恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】),25[]3,(+∞-∞【解析】由已知可得03422)44(2≥-++-xy a a xy ，即3424)12(222+-≥+a a a xy 恒成立，即1217222++-≥a a a xy 恒成立，又422424+≥++=xy y x xy 解得2≥xy 即2≥xy ，所以12172222++-≥a a a 解得3-≤a 或25≥a 10.若函数x x x f 3)(3+=对任意的0)()2(],2,2[<+--∈x f mx f m 恒成立，则∈x ． 【答案】22,3⎛⎫- ⎪⎝⎭．11.若函数2()log (3)(01)a f x x ax a a =-+>≠且，满足对任意实数1x 、2x ，当212ax x ≥>时，0)()(21<-x f x f ，则实数a 的取值范围为 .【答案】(1,．【解析】由对任意实数12,x x ，当212ax x >≥时，12()()0f x f x -<，得到()f x 在[,)2a +∞上是增函数，而23y x ax =-+在[,)2a +∞上是增函数，所以有：211(1,120a a a a a >⎧>⎧⎪∴∴∴∈⎨⎨∆=-<-<<⎪⎩⎩12若对满足条件8x y xy ++=的正实数,x y 都有2()()10x y a x y +-++≥恒成立，则实数a 的取值范围为 . 【答案】65(,]8a ∈-∞． 【解析】设x y t +=，则228()24x y t t xy ++=≤=，∴24320t t --≥，∴8t ≥或4t ≤-（舍），不等式化为：210t at -+≥（8t ≥）1658a t a t ⇔≤+⇔≤，∴65(,]8a ∈-∞. 13对于在区间[a ，b ]上有意义的两个函数)()(x n x m 与，如果对于区间[a ，b ]中的任意x 均有1|)()(|≤-x n x m ，则称)()(x n x m 与在[a ，b ]上是“密切函数”， [a ，b ]称为“密切区间”，若函数43)(2+-=x x x m 与32)(-=x x n 在区间[a ，b ]上是“密切函数”，则b a -的最大值为 ．【答案】1．【解析】由2|()()||57|1m x n x x x -=-+≤得，21571x x -≤-+≤，这个不等式的解集为[2,3]，由题意得[,][2,3]a b ⊆，所以b a -的最大值为321-= 14已知函数 f(x)=xlnx, g(x)=-x 2+ax-3. (1)求函数f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值.(2)对一切x ∈(0,+∞),2f(x)≥g(x)恒成立,求实数a 的取值范围. (3)求证:对一切x ∈(0,+∞),都有xlnx>e e x x2-.(3)由(1)可知f(x)=xlnx(x ∈(0,+∞))的最小值是-错误！未找到引用源。
问题3.3 三角形中的不等问题-突破170分之江苏2017届高三数学复习提升秘籍(原卷版)
突破170分之江苏高三数学复习提升秘籍在△ABC 中，如果A ，B ，C 对应边分别用a ，b ，c 表示，则常见的等式有：A ＋B ＋C ＝π，2sin sin sin a b c R A B C===(正弦定理)，c 2＝a 2＋b 2－2abcosC (余弦定理)等，而其中隐藏的不等关系也很多，如0＜A ＜π，0＜A ＋B ＜π，|a －b |＜c ＜a ＋b ，如果是锐角三角形，则还有0＜A ＜2π，2π＜A ＋B ＜π，a 2＋b 2＞c 2等等，解题中充分利用这些关系，结合不等式相关性质，可以求出相关变量或解析式的准确范围.一、角的范围或最值例1、△ABC 的三个内角为A ，B ，C 5πtan 6=，则sin sin B C ⋅的最大值为_______.变式训练：若ABC ∆的内角满足sin 2sin A B C =，则cos C 的最小值是 .二、边的范围或最值例2、已知ABC ∆的内角A ，B ，C 满足sin 2A ＋sin (A －B ＋C )＝sin (C －A －B )＋12，面积S 满足1≤S ≤2，记a ，b ，c 分别为A ，B ，C 所对的边，则下列不等式一定成立的是 .A .bc (b ＋c )＞8B .ac (a ＋b )＞C .6≤abc ≤12D .12≤abc ≤24 变式训练：在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且BC 边上的高为a 63，则cb bc + 的最大值是________________.三、周长的范围或最值例3、已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，cos sin 0a C C b c --=.(1)求A 的大小；(2)若a ＝7，求△ABC 的周长的取值范围．变式训练：设△ABC 的内角A ，B ， C 所对的边分别为a ，b ，c ，且1cos 2a C cb -=. (1)求角A 的大小；(2)若a ＝1，求△ABC 的周长的取值范围.四、面积的范围与最值例4、如图，在等腰直角三角形OPQ 中，∠POQ ＝90°， OP ＝，点M 在线段PQ 上．(1)若OM =，求PM 的长；(2)若点N 在线段MQ 上，且∠MON ＝30°，问：当∠POM 取何值时，△OMN 的面积最小？并求出面积的最小值．变式训练：在△ABC 中，角A ，B ，C 对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝2..(Ⅰ)若3A π=，求b ＋c 的取值范围；(Ⅱ)若1AB AC ⋅=，求△ABC 面积的最大值.五、与其它知识点的综合问题例5、已知O 为△ABC 的外心，31cos =A ，若AO xAB y AC =+，则x ＋y 的最大值为______________. 变式训练：在∆ABC 中，记角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，角A 为锐角，设向量(cos ,sin )m A A = (cos ,sin )n A A ，且12m n ⋅=． （1）求角A 的大小及向量m 与n 的夹角；（2）若a =，求∆ABC 面积的最大值．【迁移运用】1．【江苏省泰州中学2017届高三摸底考试】已知||3AB =|，C 是线段AB 上异于A ，B 的一点，△ADC ，△BCE 均为等边三角形，则△CDE 的外接圆的半径的最小值是 ．C BEDA2．【四川巴中市2017届“零诊”】在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b a B c +=2cos 2，若ABC ∆的面积c S 123=，则ab 的最小值为 ． 3．【2016届宁夏银川市二中高三上学期统练二】ABC ∆为锐角三角形，内角C B A ,,的对边长分别为c b a ,,，已知2=c ，且A A B C 2sin 2)sin(sin =-+，则a 的取值范围是______________；4．【2016届河北省衡水中学高三上学期三调考试】ABC ∆中，60B AC =︒=，，则2AB BC +的最大值为 ．5．【2015-2016学年安徽省合肥市一六八中高二上开学考试】给出四个命题：（1）若22sin A sin B =，则△ABC 为等腰三角形；（2）若sinA cosB =，则△ABC 为直角三角形；（3）若2222sin A sin B sin C ++＜，则△ABC 为钝角三角形；（4）若()()1()cos A B cos B C cos C A =－－－，则△ABC 为正三角形．以上正确命题的是_______．6．三角形ABC 中．222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-．则A 的取值范围是 ．7．给出下列四个命题：①当01x x >≠且时，有1ln 2ln x x+≥； ②ABC ∆中， sin sin A B >当且仅当A B >；③已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若75S S >，则93S S >；④函数(1)y f x =+与函数(1)y f x =-的图像关于直线1x =对称．其中正确命题的序号为 ．8．已知ABC ∆中，角A 、B 、C 所对边分别为c b a ,,，若b c B A 2tan tan 1=+，则bca 2的最小值为 ． 9．【山东省实验中学2017届高三第一次诊，16】在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边， cos 2cos C a c B b-=，且2a c +=． （1）求角B ；（2）求边长b 的最小值．10．【2016-2017学年度江苏苏州市高三期中调研考试】（本题满分15分）如图，有一块平行四边形绿地ABCD ，经测量2BC =百米，1CD =百米，0120BCD ∠=，拟过线段BC 上一点E 设计一条直路EF （点F 在四边形ABCD 的边上，不计路的宽度），EF 将绿地分成两部分，且右边面积是左边面积的3倍，设EC x =百米，EF y =百米．（1）当点F 与点D 重合时，试确定点E 的位置；（2）试求x 的值，使路EF 的长度y 最短．11．【苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017届高三上学期期中】（本小题满分16分）某城市有一直角梯形绿地ABCD ，其中90ABC BAD ∠=∠=︒，2AD DC ==km ，1BC =km ．现过边界CD 上的点E 处铺设一条直的灌溉水管EF ，将绿地分成面积相等的两部分．（1）如图①，若E 为CD 的中点，F 在边界AB 上，求灌溉水管EF 的长度；（2）如图②，若F 在边界AD 上，求灌溉水管EF 的最短长度．12．【江苏省南通中学2017届高三上学期期中考试】(本小题满分14分)如图，在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ， (sin cos )a b C C =+．(Ⅰ)求ABC ∠；(Ⅱ)若=2A π∠，D 为ABC ∆外一点，2DB =，1DC =，求四边形ABDC 面积的最大值．13．已知△ABC 为锐角三角形，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C2sin c A =。
江苏省包场高级中学2017届高三数学讲义：专题十 解决
专题九 解决不等式的有关问题【考点展示 中档提升】 1．不等式422<-xx的解集为 .2．已知关于x 的不等式240x x t -+≤的解集为A ，若(,]t A -∞⋂=∅,则实数t 的取值范围 为 .3.若对于任意的正数x ,a x x x≤++132恒成立，则a 的取值范围是 . 4．已知x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥-,0,2,0y y x y x 若y ax z +=的最大值为4，则=a .5．如果函数)0,0(1)8()2(21)(2≥≥+-+-=n m x n x m x f 在区间]2,21[单调递减，那么mn 的最大值为 .6.设函数⎩⎨⎧≤-->=0,120,ln )(x x x x x f ，D 是由x 轴和曲线)(x f y =及该曲线在点（1，0）处的切线所围成的封闭区域，则y x z 2-=在D 上的最大值为 . 7．设x ，y ，z 均为大于1的实数，且z 为x 和y 的等比中项，则lg lg 4lg lg z zx y+的最小值为 . 8．已知实数,x y 满足条件0,50,30,x y x y y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩若不等式222()()m x y x y +≤+恒成立，则实数m的最大值是 .9．设),(y x P 为函数)3(12>-=x x y 图像上一动点，记273153--++--+=y y x x y x m ，则当m 最小时，点P 的坐标 ．10．若关于x 的不等式22)12(ax x <-的解集中整数恰好有3个，则实数a 的取值范围为 ．11.已知0,0>>y x ，则yx xx y ++216的最小值 ． 12．已知),1,0(,,41∈=b a ab 则ba -+-1211的最小值 ． 13．若ABC ∆的内角B A ，满足,)cos(2sin sin B A AB+=则B 的最大值为 ．14．若实数y x ，满足,24y x y x -=-则x 的取值范围 ．【典例导引 真题感悟】 例1 已知函数62)(2+=x xx f ． （1）若k x f >)(的解集为{}23|->-<x x x 或，求k 的值； （2）对任意0>x ，t x f ≤)(恒成立，求t 的取值范围．例2 （1）已知a ＞1，b ＞1，且11111a b +=--，则a +4b 的最小值为 ． （2）已知正数x ，y 满足1910x y x y+++=，则x y +的最大值为 ． （3）已知正数c b a ,,满足,ln ln ,435c c a b c a c b a c +≥-≤≤-则ab的取值范围为 ．例3 （1）在平面直角坐标系xOy 中，设C B A ,,是圆122=+y x 上相异三点，若存在正实数μλ,，使得OB OA OC μλ+=，则22)3(-+μλ的取值范围是 ．（2）设实数y x ，满足,1422=-y x 则xy x 232-的最小值是 ． （3）已知实数a 、b 、c 满足条件0≤a ＋c －2b ≤1，且2a＋2b≤21＋c，则2a －2b2c 的取值范围是_________．例4若13)(1-=x x f ，)0(93)(2>-⋅=a a x f x x R ∈，且⎩⎨⎧>≤=)()(),()()(),()(212211x f x f x f x f x f x f x f （1）当1=a 时，求)(x f 在1=x 处的切线方程；（2）当92<≤a 时，设)()(2x f x f =所对应的自变量取值区间的长度为l （闭区间[]n m ,的长度定义为m n -），试求l 的最大值；（3）是否存在这样的a ，使得当[)+∞∈,2a 时，)()(2x f x f =？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．【巩固练习 整理反思】1．已知22(0),()(0)x x x f x x x x ⎧+⎪=⎨-+<⎪⎩≥，则不等式2(1)12f x x -+<的解集是 ．2．若不等式112<++<-c bx ax 的解集为)3,1(-，则实数a 的取值范围是 ． 3．设210<<m ，若k m m ≥-+2121恒成立，则实数k 的最大值为 .4．设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥-≤--,0,0,0,023y x y x y x 若目标函数)0,0(>>+=b a by ax z 的最大值为1，则ba 11+的最小值为 . 5.设⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥-≥-+1230301234:y x x y x p （R y x ∈,），222:r y x q ≤+（0,,>∈r R y x ），若p 是q 的充分不必要条件，则r 的取值范围是 .6．设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-+≥-,3,04,02x y x y x 则y x y x 2332+的取值范围是 ． 7．如图所示，在ABC ∆中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若m =，)0,(>=n m AN n AC ，则nm 41+8．设实数x,y 满足3≤2xy ≤8，942≤≤y x ，则43y x 的最大值是 ．9．已知0,0x y >>且2x y +=，则22111x y xy++的最小值为 ． 10．已知xy －z ＝0，且0＜y z ＜12，则xz 2－4yzx 2z 2＋16y 2的最大值为______．11．设正实数y x ，满足yzxy z y x +++222的最小值为______．12.设椭圆C:)0(12222>>=+b a by a x 恒过定点A （1，2），则椭圆的中心到准线的距离的最小值 .13．设正数,,a b c 满足32a c b +≤≤a b ca b++-的取值范围 ． 14．若实数d c b a ,,,满足143ln 22=-=-dc b a a ，则22)()(d b c a -+-的最小值为 ．15．设实数y x ，满足,44442222=++-y x y xy x 则y x 2+取最大值时，=yx． 16.如图，某城市有一块半径为1（单位：百米）的圆形景观，圆心为C ，有两条与圆形景观相切且互相垂直的道路．最初规划在拐角处（图中阴影部分）只有一块绿化地，后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路，便于市民快捷地往返两条道路．规划部门采纳了此建议，决定在绿化地中增建一条与圆C 相切的小道AB ．问：A ，B 两点应选在何处可使得小道AB 最短？（第15题图）。
问题10.4 数学归纳法在证明不等式中的应用-突破170分之江苏2017届高三数学复习提升秘籍(解析版)
突破170分之江苏高三数学复习提升秘籍数学归纳法是用来证明和自然数有关系的命题的一种特殊技巧和方法，主要是用来探讨与正整数有关的一系列数学问题，其过程基本要分两个步骤：第一步是验证当取第一个初始值0n 时所要证明的不等式成立，第二步是对于任意的正整数k ，假设当n k =时不等式能够成立，以此来证明当1n k =+时所要证明的不等式是否成立，如果第一步和第二步都能成立，那么可以得出结论，即对于所有大于或等于0n 的正整数不等式成立。
新课标中提出着重考查学生的探索和归纳能力，利用数学归纳法证明不等式，在近几年各地的高考和模考试题中已成为一个新的热点和亮点，并且基本上都以主观题的方式出现，大多数出现在最后三道大题中。
因此，高考中我们想要得高分就要将它当成必须掌握的问题。
一、证明与正整数相关的不等式在有关自然数的不等式证明问题中，常常可以考虑用数学归纳法进行处理，这也是数学归纳法最为主要的应用之一，其主要步骤有两步：（1）证明当0n n =（第一个自然数）时不等式成立；（2）假设不等式当时n k =（0k n ≥）时成立，证明1n k =+时不等式也成立；由（1）、（2）对于0n n ≥的一切自然数，不等式都成立。
【例1】用数学归纳法证明:),2(241321312111*N n n n n n n ∈≥>+⋯++++++【牛刀小试】证明：)(1212151311*N n n n ∈-≤-++++．【答案】见解析 【解析】①当1=n ，不等式显然成立． 2分②假设),1(*N k k k n ∈≥=时不等式成立， 即,12121311-≤-+++k k 4分当1+=k n 时，左边=12112121121311++-≤++-+++k k k k1212)12()12(1211212++++-≤+++-=k k k k k k .121212+=++=k k k 不等式成立． 7分由①②可知，对一切*N n ∈都有).(12121311*N n n n ∈-≤-+++8分二、证明与数列相关的不等式数列可以看作一个定义域为自然数集N （或它的有限子集{1,2,3,,}n ）的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。
2017年高考江苏卷数学试题和答案（2）
2017年高考江苏卷数学试题和答案(2)2017年高考江苏卷数学试题解析版一、填空题本大题共14小题，每小题5分共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上1. 已知集合，，若则实数的值为▲ .【考点】元素的互异性【名师点睛(1)认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.(2)注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.(3)防范空集.在解决有关等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑是否成立，以防漏解.2. 已知复数其中i是虚数单位，则的模是▲ .【考点】复数的模点睛. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为3. 某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取▲ 件.【解析】所求人数为，故答案为18.【考点】分层抽样点睛在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即niNi=nN.4. 右图是一个算法流程图，若输入的值为,则输出的的值是▲ .【解析】由题意，故答案为-2.【考点】循环结构流程图点睛5. 若则▲ .【考点】两角和正切公式点睛(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用;②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.6. 如图,在圆柱内有一个球,该球与圆柱的上、下面及母线均相切.记圆柱的体积为,球的体积为,则的值是▲ .【解析】设球半径为，则.故答案为.【考点】圆柱体积点睛(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解. (2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解.7. 记函数的定义域为.在区间上随机取一个数,则的概率是▲ .【考点】几何概型概率【名师点睛(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解.(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域.几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性.基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率.8. 在平面直角坐标系中,双曲线的右准线与它的两条渐近线分别交于点,,其焦点是,则四边形的面积是▲ .【答案】【名师点睛.已知双曲线方程求渐近线2.已知渐近线设双曲线方程3双曲线焦点到渐近线距离为为对应准线与渐近线的交点9. 等比数列的各项均为实数,其前项的和为,已知,则= ▲ .【答案】32【解析】当时，显然不符合题意;当时，，解得，则.【名师点睛在解决等差、等比数列的运算问题时，两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.10. 某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则的值是▲ .【答案】30【解析】总费用，当且仅当，即时等号成立.【名师点睛在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.11. 已知函数, 其中e是自然对数的底数. 若,则实数的取值范围是▲ .【答案】函数性质解不等式点睛解函数不等式首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内12. 如图在同一个平面内，向量,,的模分别为1,1,与的夹角为且tan=7与的夹角为45°若则▲ .3【解析】由可得，，根据向量的分解，易得，即，即，即得，所以.【考点】向量表示点睛(1)向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数、方程、不等式方程、不等式(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.(3)向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题;②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.13. 在平面直角坐标系中点在圆上若则点的横坐标的取值范围是▲ .【考点】直线与圆线性规划点睛或纵坐标14. 设是定义在且周期为1的函数，在区间上其中集合，则方程的解的个数是▲ .8【解析】由于，则需考虑的情况范围内，且时，设，且互质，则由，可设，且互质，则，此时左边为整数，右边非整数，矛盾，因此与方程点睛(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围.从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值;从图象的对称性，分析函数的奇偶性;从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等.二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15(本小题满分14分)如图在三棱锥A-BCD中AB⊥AD, BC⊥BD, 平面ABD平面BCD 点EF(E与AD不重合分别在棱ADBD上且EFAD.求证：(1)EF平面ABC;(2)ADAC.【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】证明：(1)在平面内，因为ABAD，，.【考点】线面判定定理、判定与性质定理，面面垂直性质定理点睛垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.(本小题满分14分)已知向量(1)若a∥b求x的值;(2)记求的最大值和最小值以及对应的的值【答案】(1)(2)时，取得最大值时，取得最值.【解析】解：因为，a∥b，(2).，，.于是，当，即时，取最大值3;当，即时，取最小值.共线，数量积点睛1)向量平行，,(2)向量垂直，(3)向量加减：(本小题满分14分)如图,在平面直角坐标系中,椭圆的左、右焦点分别为, ,离心率为,两准线之间的距离为8.点在椭圆上，且位于第一象限，过点作直线的垂,过点作直线的垂线.(1)求椭圆的标准方程;(2)若直线的交点在椭圆上求点的坐标.(2)【解析】解从而直线的方程，①直线的方程. ②由①②，解得，所以因为点在椭圆上，，即或因此点P的坐标.【考点】椭圆方程，直线与椭圆位置关系点睛要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点曲线上则点的坐标满足曲线方程18.(本小题满分1分)如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm,容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm容器Ⅱ的两底面对角线的长分别为14cm和62cm. 分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水水深均为12cm现有一根玻璃棒l其长度为40cm.(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计)(1)将放在容器Ⅰ中的一端置于点A处另一端置于侧棱求没入水中部分的长度;(2)将放在容器Ⅱ中的一端置于点E处，另一端置于侧棱上，求没入水中部分的长度.【解析】:(1)由正棱柱的定义，平面，所以平面，.记玻璃棒的另一端落在处.( 如果将“没入水中部分冶理解为“水面以上部分冶，则结果为24cm)(2)如图，O，O1是正棱台的两底面中心.由正棱台的定义，OO1⊥平面EFGH，所以平面E1EGG1⊥平面EFGH，O1O⊥EG.同理，平面E1EGG1⊥平面E1F1G1H1，O1O⊥E1G1.记玻璃棒的另一端落在GG1上点N处.过G作GK⊥E1G，K为垂足，则GK =OO1=32.因为EG = 14，E1G1= 62，所以KG1= ，从而.设则.因为，所以.在中，由正弦定理可得，解得.因为，所以.于是.记EN与水面的交点为P2，过 P2作P2Q2⊥EG，Q2为垂足，则P2Q2⊥平面 EFGH，故P2Q2=12，从而 EP2=.答:玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm.(如果将“没入水中部分冶理解为“水面以上部分冶，则结果为20cm)【考点】正余弦定理【名师点睛解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第三步：求结果.19.(本小题满分16分)对于给定的正整,若数列满足对任意正整数总成立，则称数列是数列”.(1)证明：等差数列是数列”;(2)若数列既是数列”，又是数列”，证明：是等差数列.当时，，①当时，.②由①知，，③，④所以数列是等差数列【考点】等差数列定义及通项公式点睛证明为等差数列的方法：(1)用定义证明：为常数;(2)用等差中项证明：;(3)通项法：为的一次函数;(4)前项和法：20.(本小题满分16分)已知函数有极值且导函数的极值点是的零点(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)求关于的函数关系式，并写出定义域;证明：(3)若这两个函数的所有极值之和不小于，求的取值范围【答案】(1)(2)见解析()解(1)由，得.当时，有极小值.因为的极值点是的零点.所以，又，故.因为有极值，故有实根，从而，即.时，，故在R上是增函数，没有极值;时，有两个相异的实根，.列表如下x + 0 – 0 + 极大值极小值故的极值点是.从而，因为，所以，故，即.因此.(3)由(1)知，的极值点是，且，.从而因此a的取值范围为.导数研究函数单调性、极值及零点点睛函数的零点问题方程解的通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，借助函数的大致图象零点归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路数学II21.【选做题】本题包括、、、四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修4—1：几何证明选讲(本小题满分10分)如图，AB为半圆O的直径,直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P为垂足.求证：(1)(2).【答案】见解析【解析(1)因为半圆O点，所以，所以性质，相似三角形点睛1.解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路(1)直接应用相交弦、切割线定理及其推论;(2)当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”.在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握.2.应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等.B选修4—2：矩阵与变换(本小题满分10分)已知矩阵 A= ，B=.(1)求;(2)若曲线在矩阵对应的变换作用下得到另一曲线,求的方程.【答案】(1)(2)【解析解(1)因为A==，所以AB==.(2)设曲线上的任意一点，AB对应的变换下,则，即，.因为在曲线上，所以从而，即因此曲线矩阵AB对应的变换下.【考点】矩阵乘法、线性变换点睛乘法注意对应：变换注意前后对应点：点在矩阵变换下变成点在平面坐标系中中已知直线的参考方程为为参数,曲线的参数方程为为参数设为曲线上的动点，求点到直线的距离的最小值【答案】【解析解直线的普通方程为因此当点的坐标为时曲线到直线的距离.【考点】参数方程普通方程点睛1.将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换法. 2.把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x及y的取值范围的影响.D.[选修4-5：不等式选讲](本小题满分10分)已知为实数，且证明【考点】柯西不等式【名师点睛柯西不等式的一般形式：设a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn为实数，则(a+a+…+a)(b+b+…+b)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2，当且仅当bi=0或存在一个数k，使ai=kbi(i=1,2，…，n)时，等号成立.【必做题】第22、23题，每小题10分，计20分.请把答案写在答题卡的指定区域内解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.如图, 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD,且AB=AD=2,AA1=,.(1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值;(2)求二面角B-A1D-A的正弦值【解析】解：在平面ABCD内，过点A作AEAD，交BC于点E.因此异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为.(2)平面A1DA的一个法向量为.设为平面BA1D的一个法向量，又，则即不妨取x=3，则，因此二面角B-A1D-A的正弦值为.、异面直线所成角及二面角点睛利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系;第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标;第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量;第四，破“应用公式关”.已知一个口袋有个白球个黑球),这些球除颜色外全部相同现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为的抽屉内，其中第次取球放入编号为的抽屉.2 3 (1)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率;(2)随机变量表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数是的数学期望证明【答案】(1)(2)见解析【解析】解:(1) 编号为2的抽屉内放的是黑球的概率为: .(2) 随机变量 X 的概率分布为:X … … P … … 随机变量 X 的期望为：随机变量分布、数学期望点睛求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义;第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率;第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确;第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的)，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式()求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.。
(江苏专用)2017版高考数学 专题2 函数概念与基本初等函数 15 与函数有关的创新题 理
【步步高】（江苏专用）2017版高考数学 专题2 函数概念与基本初等函数 15 与函数有关的创新题 理1．(2015·湖北改编)已知符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0.f (x )是R 上的增函数，g (x )＝f (x )－f (ax )(a >1)，则下列结论正确的是________．①sgn[g (x )]＝sgn x ；②sgn[g (x )]＝sgn[f (x )]；③sgn[g (x )]＝－sgn x ；④sgn[g (x )]＝－sgn[f (x )]．2．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为y ＝－x 2，值域为{－1，－9}的“同族函数”共有________个．3．(2015·滨州二模)具有性质f (1x)＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”交换的函数．下列函数：①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0＜x ＜1，0，x ＝1，－1x，x ＞1.其中满足“倒负”交换的函数是________．4．若f (x )的定义域为[a ，b ]，值域为[a ，b ] (a <b )，则称函数f (x )是[a ，b ]上的“四维光军”函数．设g (x )＝12x 2－x ＋32是[1，b ]上的“四维光军”函数，则常数b 的值为____．5．若实数t 满足f (t )＝－t ，则称t 是函数f (t )的一个次不动点．设函数f (x )＝ln x 与函数g (x )＝e x(其中e 为自然对数的底数)的所有次不动点之和为m ，则m ＝____. 6．定义：函数y ＝f (x )，对给定的正整数k ，若在其定义域内存在实数x 0，使得f (x 0＋k )＝f (x 0)＋f (k )，则称函数f (x )为“k 性质函数”．若函数f (x )＝lg ax 2＋1为“2性质函数”，则实数a 的取值范围是 ．7．用[x ]表示不大于实数x 的最大整数，方程lg 2x －[lg x ]－2＝0的实根个数是________．8．(2015·吉林白山4月模拟)已知定义在R 上的函数y ＝f (x )对于任意的x 都满足f (x ＋1)＝－f (x )，当－1≤x <1时，f (x )＝x 3，若函数g (x )＝f (x )－log a |x |至少有6个零点，则a 的取值范围是________________．9．设函数y ＝f (x )在R 上有定义，对于任一给定的正数p ，定义函数 f p (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ，f x p ，p ，fx p ，则称函数f p (x )为f (x )的“p 界函数”．若给定函数f (x )＝x2－2x －1，p ＝2，则下列结论不成立的是________．①f p [f (0)]＝f [f p (0)]；②f p [f (1)]＝f [f p (1)]；③f p [f p (2)]＝f [f (2)]；④f p [f p (3)]＝f [f (3)]．10．定义在(－1,1)上的函数f (x )，对任意x ，y ∈(－1,1)都有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y 1＋xy)，且当x ∈(－1,0)时，f (x )>0.回答下列问题： (1)判断f (x )在(－1,1)上的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数f (x )在(0,1)上的单调性，并说明理由； (3)若f (15)＝12，试求f (12)－f (111)－f (119)的值．答案解析1．③解析 因为a >1，所以当x >0时，x <ax ，因为f (x )是R 上的增函数，所以f (x )<f (ax )，所以g (x )＝f (x )－f (ax )<0，sgn[g (x )]＝－1＝－sgn x ；同理可得当x <0时，g (x )＝f (x )－f (ax )>0，sgn[g (x )]＝1＝－sgn x ；当x ＝0时，g (x )＝0，sgn[g (x )]＝0＝－sgn x 也成立．故③正确． 2．9解析 函数y ＝－x 2，值域为{－1，－9}，可知自变量x 从1，－1，±1中任取一个，再从3，－3，±3中任取一个构成函数，故满足条件的“同族函数”有3×3＝9个． 3．①③解析 ①f (1x )＝1x －11x＝1x －x ＝－(x －1x)＝－f (x )，故该函数为“倒负”交换的函数；②f (1x )＝1x ＋11x＝1x＋x ＝f (x )，故该函数不是“倒负”交换的函数；③当x ＝1时，1x ＝1，显然此时f (x )＝0，f (1x )＝0，故有f (1x)＝－f (x )；当0<x <1时，1x >1，此时f (x )＝x ，f (1x )＝－11x＝－x ，故有f (1x)＝－f (x )；当x >1时，0<1x <1，此时f (x )＝－1x ，f (1x )＝1x ，故有f (1x)＝－f (x )．综上，只有①③为“倒负”交换的函数． 4．3解析 由已知得g (x )＝12(x －1)2＋1，其对称轴为x ＝1，区间[1，b ]在对称轴的右边，所以函数在区间[1，b ]上是单调递增的，由“四维光军”函数的定义可知，g (1)＝1，g (b )＝b ，故12b 2－b ＋32＝b ，又因为b >1，解得b ＝3. 5．0解析 在同一直角坐标系中画出函数y ＝ln x ，y ＝－x 的大致图象，其图象有唯一的公共点(t ，－t )，即有ln t ＝－t ，e －t＝t ，于是点(－t ，t )是函数y ＝e x，y ＝－x 的图象的交点，因此函数f (x )＝ln x 与g (x )＝e x 的次不动点必是成对出现的，且两者互为相反数，所以m ＝0.6．[15－102，15＋10 2 ] 解析 由条件得lg a x 0＋2＋1＝lg a x 20＋1＋lg a5，即a x 0＋2＋1＝a 2x 20＋(a >0)，化简得(a －5)x 20＋4ax 0＋5a －5＝0， 当a ＝5时，x 0＝－1； 当a ≠5时，由Δ≥0， 得16a 2－20(a －5)(a －1)≥0， 即a 2－30a ＋25≤0，所以15－102≤a ≤15＋10 2. 综上，a ∈[15－102，15＋10 2 ]． 7．3解析 令lg x ＝t ，则得t 2－2＝[t ]，作y ＝t 2－2与y ＝[t ]的图象，知t ＝－1，t ＝2，及1<t <2内有一个解，当1<t <2时，[t ]＝1，t ＝3，故得：x ＝110，x ＝100，x ＝103，即共有3个实根．8．(0，15]∪(5，＋∞)解析 由f (x ＋1)＝－f (x )得f (x ＋1)＝－f (x ＋2)， 因此f (x )＝f (x ＋2)，即函数f (x )是周期为2的周期函数．函数g (x )＝f (x )－log a |x |至少有6个零点可转化成y ＝f (x )与h (x )＝log a |x |两函数图象交点至少有6个，需对底数a 进行分类讨论．若a >1，则h (5)＝log a 5<1，即a >5.若0<a <1，则h (－5)＝log a 5≥－1，即0<a ≤15.所以a 的取值范围是(0，15]∪(5，＋∞)．9．②解析 因为f (0)＝－1，f (－1)＝2≤2，所以f p [f (0)]＝f p (－1)＝f (－1)＝2，因为f (0)＝－1≤2，所以f p (0)＝f (0)＝－1，所以f [f p (0)]＝f (－1)＝2，所以f p [f (0)]＝f [f p (0)]，故①正确；因为f (1)＝－2，f (－2)＝7>2，所以f p [f (1)]＝f p (－2)＝2，因为f (1)＝－2≤2，所以f p (1)＝f (1)＝－2，所以f [f p (1)]＝f (－2)＝7，所以f p [f (1)]≠f [f p (1)]，故②不正确；经验证③④都正确．10．解 (1)f (x )在(－1,1)上是奇函数，理由如下：令x ＝y ＝0⇒f (0)＝0，令y ＝－x ，则f (x )＋f (－x )＝0⇒f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )在(－1,1)上是奇函数．(2)f (x )在(0,1)上单调递减．理由如下：设0<x 1<x 2<1，则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f (x 1－x 21－x 1x 2)，而x 1－x 2<0,0<x 1x 2<1⇒x 1－x 21－x 1x 2<0.又x 1－x 21－x 1x 2－(－1)＝＋x 1－x 21－x 1x 2>0，故－1<x 1－x 21－x 1x 2<0，则f (x 1－x 21－x 1x 2)>0，即当0<x 1<x 2<1时，f (x 1)>f (x 2)， ∴f (x )在(0,1)上单调递减．(3)由于f (12)－f (15)＝f (12)＋f (－15)＝f (12－151－12×5)＝f (13)．同理，f (13)－f (111)＝f (14)，f (14)－f (119)＝f (15)，∴f (12)－f (111)－f (119)＝2f (15)＝2×12＝1.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
突破170分之江苏高三数学复习提升秘籍函数与方程、函数与不等式都是高中数学的重要内容，也都是高考的热点和重点，在每年的高考试题中这部分内容所占的比例都很大，函数与方程、函数与不等式是高中数学的主线，它们贯穿于高中数学的各个内容，求值的问题就要涉及到方程，求取值范围的问题就离不开不等式，但方程、不等式更离不开函数，函数与方程、函数与不等式思想的运用是我们解决问题的重要手段。
本文通过一些实例介绍这类问题相应的解法，期望对考生的备考有所帮助。
一、函数与方程关系的应用函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，方程f(x)＝0的解就是函数y＝f(x)的图像与x轴的交点的横坐标，函数y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)－y＝0通过方程进行研究。
就中学数学而言，函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。
许多有关方程的问题可以用函数的方法解决，反之，许多函数问题也可以用方程的方法来解决。
函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是各地模考和历年高考的重点。
【例1】已知函数错误！未找到引用源。
,且函数错误！未找到引用源。
恰有3个不同的零点,则实数错误！未找到引用源。
的取值范围是__________________________.【分析】根据题中所给函数的特征：一段为二次函数；另一段与之相关，所求函数的零点可转化为对应方程的根，即：令错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
，从而可转化为两函数图象的交点，两函数的图象何时有三个交点，则可求出错误！未找到引用源。
的范围。
【点评】本题考查了函数的零点、方程的根以及函数图像与x轴的交点之间存在相互转化关系。
主要考察学生对方程的根与函数零点关系的理解，以及利用函数图象确定函数零点的个数的方法。
求零点问题也可转化为方程的根，进而将问题转化为两个函数的交点的情况。
【小试牛刀】已知函数错误！未找到引用源。
，则方程错误！未找到引用源。
恰有两个不同实数根时，实数错误！未找到引用源。
的取值范围是__________________.【答案】错误！未找到引用源。
二、函数与不等式关系的应用函数与不等式都是高中数学的重要内容，也都是高考的重点，在每年的高考试题中这部分内容所占的比例都是很大的。
函数是高中数学的主线，方程与不等式则是它的重要组成部分。
在很多情况下函数与不等式也可以相互转化，对于函数y＝f(x)，当y>0时，就转化为不等式f(x)>0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而同时研究函数的性质，也离不开解不等式的应用。
【例2】已知函数错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
，若对任意的错误！未找到引用源。
，都有错误！未找到引用源。
成立，则实数错误！未找到引用源。
的取值范围为 .【分析】根据题中条件：对任意的错误！未找到引用源。
，都有错误！未找到引用源。
成立，将问题转化为错误！未找到引用源。
再由题中所给两函数的特征：函数错误！未找到引用源。
是一确定的分段函数，由它的图象不难求出函数的最大值错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
；而另一个函数错误！未找到引用源。
中含有绝对值，由含有绝对值的不等式可求出它的最小值错误！未找到引用源。
，即可得到不等式错误！未找到引用源。
，则可求出错误！未找到引用源。
的取值范围。
【点评】本题考查了分段函数、对数函数和二次函数的性质，主要考察了不等式的恒成立问题和函数的最值问题. 注意不等式：错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
对错误！未找到引用源。
是恒成立的.特别要注意等号成立的条件. 渗透到方程问题、不等式问题、和某些代数问题都可以转化为函数知识。
且涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，它们是高考中考查的重点，所以在教学中我们应引引起高度的重视。
【小试牛刀】设函数错误！未找到引用源。
.当错误！未找到引用源。
时，不等式错误！未找到引用源。
的解集为错误！未找到引用源。
，求实数错误！未找到引用源。
的取值范围为 .【答案】错误！未找到引用源。
.三、函数、方程和不等式关系的应用函数、方程、不等式的结合，是函数某一变量值一定或在某一范围下的方程或不等式，体现了一般到特殊的观念。
也体现了函数图像与方程、不等式的内在联系，在高中阶段，应该让学生进一步深刻认识和体会函数、方程、不等式三部分之间的内在联系，并把这种内在联系作为学习的基本指导思想，这也是高中数学最为重要的内容之一。
而新课程标准中把这个联系提到了十分明朗、鲜明的程度。
因此，要高三的复习中，对这部分内容应予以足够的重视。
【例3】已知函数e ()ln ,()e x x f x mx a x m g x =--=，其中m ，a 均为实数． （1）求()g x 的极值；（2）设1,0m a =<，若对任意的12,[3,4]x x ∈12()x x ≠，212111()()()()f x f xg x g x -<-恒成立，求a 的最小值；（3）设2a =，若对任意给定的0(0,e]x ∈，在区间(0,e]上总存在1212,()t t t t ≠，使得120()()()f t f t g x == 成立，求m 的取值范围． 【分析】(1)求错误！未找到引用源。
的极值，就是先求出错误！未找到引用源。
，解方程错误！未找到引用源。
，此方程的解把函数的定义域分成若干个区间，我们再确定在每个区间里错误！未找到引用源。
的符号，从而得出极大值或极小值；（2）此总是首先是对不等式错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
恒成立的转化，由（1）可确定错误！未找到引用源。
在错误！未找到引用源。
上是增函数，同样的方法（导数法）可确定函数错误！未找到引用源。
在错误！未找到引用源。
上也是增函数，不妨设错误！未找到引用源。
，这样题设绝对值不等式可变为错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
，整理为错误！未找到引用源。
，由此函数错误！未找到引用源。
在区间错误！未找到引用源。
上为减函数，则21e (1)()10e x a x u x x x -'=--⋅≤在（3，4）上恒成立，要求错误！未找到引用源。
的取值范围．采取分离参数法得11e e x x a x x---+≥恒成立，于是问题转化为求11e ()e x x v x x x--=-+在错误！未找到引用源。
上的最大值；（3）由于错误！未找到引用源。
的任意性，我们可先求出错误！未找到引用源。
在错误！未找到引用源。
上的值域错误！未找到引用源。
，题设“在区间(0,e]上总存在1212,()t t t t ≠，使得错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
成立”，转化为函数错误！未找到引用源。
在区间错误！未找到引用源。
上不是单调函数，极值点为错误！未找到引用源。
（错误！未找到引用源。
），其次错误！未找到引用源。
，极小值错误！未找到引用源。
，最后还要证明在错误！未找到引用源。
上，存在错误！未找到引用源。
，使错误！未找到引用源。
，由此可求出错误！未找到引用源。
的范围.【解析】（1）e(1)()e xx g x -'=，令()0g x '=，得x = 1． 列表如下：∵g (1) = 1，∴y =()g x 的极大值为1，无极小值．设11e ()e x x v x x x --=-+，∵112e (1)()1e x x x v x x ---'=-+=121131e [()]24x x ---+，x ， ∴1221133e [()]e 1244x x --+>>，∴()v x '< 0，()v x 为减函数． ∴()v x 在上的最大值为v (3) = 3 -22e 3． ∴a ≥3 -22e 3，∴a 的最小值为3 -22e 3．【点评】本题主要考查了导数的应用，求单调区间，极值，求函数的值域，以及不等式恒成立等函数的综合应用. 对于不等式的解法要熟练地掌握其基本思想，在运算过程中要细心，不可出现计算上的错误.解决不等式与函数、方程之间联系的题目时不仅要理解其内在的联系，还应注意转化的思想和数形结合的思想应用. 有关恒成立问题、能成立问题、恰好成立问题在新课标高考试题中经常出现，要理解各自的区别.在求函数在闭区间上的最值问题可采用以下方法：先求出函数在导数为零的点、不可导点、闭区间的端点的函数值，然后进行比较，最大的函数值就是函数的最大值，最小的函数值就是函数的最小值.【小试牛刀】不等式错误！未找到引用源。
在错误！未找到引用源。
内恒成立，实数错误！未找到引用源。
的取值范围为______________.【答案】错误！未找到引用源。
【迁移运用】，若函1. 【2016-2017学年度江苏苏州市高三期中调研考试】已知函数错误！未找到引用源。
数有三个零点，则实数错误！未找到引用源。
的取值范围是__________．错误！未找到引用源。
【答案】错误！未找到引用源。
【解析】试题分析：函数错误！未找到引用源。
有三个零点，即函数错误！未找到引用源。
的图象与直线错误！未找到引用源。
有三个交点，作出函数错误！未找到引用源。
的图象和直线错误！．未找到引用源。
，有三个交点，则必有错误！未找到引用源。
2. 【江苏省苏州市2017届高三暑假自主学习测试】已知函数错误！未找到引用源。
若关于错误！未找到引用源。
的方程错误！未找到引用源。
有两个不同的实数根，则实数错误！未找到引用源。
的取值范围是▲ ．【答案】错误！未找到引用源。
【解析】3.【江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考】已知错误！未找到引用源。
为定义在错误！未找到引用源。
上的偶函数，当错误！未找到引用源。
时，错误！未找到引用源。
，则不等式错误！未找到引用源。
的解集是▲．【答案】错误！未找到引用源。
【解析】试题分析：当错误！未找到引用源。
时，错误！未找到引用源。
单调递增，又错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
4. 【江苏省南通中学2017届高三上学期期中考试】已知函数错误！未找到引用源。
函数错误！未找到引用源。
，若函数错误！未找到引用源。
恰有4个零点，则实数错误！未找到引用源。
的取值范围是▲ ．【答案】错误！未找到引用源。
【解析】试题分析：错误！未找到引用源。
，所以要有4个零点，需满足错误！未找到引用源。
5. 【泰州中学2017届高三上学期期中考试】定义在错误！未找到引用源。