高二数学直线的倾斜角和斜率7
高二数学直线的倾斜角与斜率难题讲解
高二数学直线的倾斜角与斜率难题讲解好嘞，今天咱们聊聊高二数学中一个既简单又有点儿“拗口”的话题——直线的倾斜角和斜率。
听起来是不是有点儿复杂？但咱们可以轻松搞定这个问题，顺便加点儿乐趣，绝对让你听得津津有味。
先来个简单的概念吧，斜率就是直线倾斜的程度。
想象一下，你在爬山，坡度越陡，爬起来就越费劲。
斜率其实就是表示这个坡度的一个数值，斜率越大，直线越陡，咱们爬起来就越累。
而倾斜角，就是直线和水平线之间的夹角，这个角度越大，说明直线越“干脆利落”，走起来就像在飞一样。
这俩东西是密切相关的，斜率和倾斜角之间有个小关系，挺简单的，咱们后面再聊。
有没有想过，生活中处处有直线？比如说，站在高楼大厦的阳台上，俯瞰街道，那些道路就像一条条直线，直直的，真的很让人开心。
再比如，骑自行车的时候，路面越平坦，你骑得就越快，那条直线的斜率简直就是你的速度。
没错，数学其实和生活息息相关，真的是一门活的学科！来，咱们先谈谈斜率。
它的计算方法很简单，就是直线上的两个点之间的纵坐标差和横坐标差的比值。
就像你在运动会上，跑了100米，用时10秒，咱们就可以算出你的“速度”。
假如你从点A到点B，A的坐标是（x1, y1），B的坐标是（x2, y2），那么斜率就是 (y2 y1) / (x2 x1)。
听起来是不是挺简单？就像在厨房里做菜，先准备好食材，然后一步一步来，最后就能做出美味的佳肴。
再说说倾斜角。
倾斜角用符号θ表示，跟三角函数有关系。
大家还记得三角函数吗？咱们的好朋友正弦、余弦和正切，正切就是斜率的另一种表现形式。
我们可以用tan(θ) = 斜率这个公式来联系它们。
也就是说，如果你知道了斜率，想求倾斜角，没问题！只需用反正切函数，算出来的角度就能告诉你这条线到底有多“拼”。
这样一来，不仅能找到直线的斜率，还能找到直线的倾斜角，简直就像一举两得！说到这里，大家肯定会问，这些数学公式有什么用呢？在咱们的日常生活中，倾斜角和斜率真的是无处不在。
高二数学直线的倾斜角与斜率试题答案及解析
高二数学直线的倾斜角与斜率试题答案及解析1.直线的倾斜角的余弦值为________．【答案】.【解析】由直线方程可得直线的斜率为，设直线的倾斜角为知，，再由同角三角函数公式，联立这两个方程组得.【考点】直线的倾斜角．2.直线的倾斜角为．【答案】【解析】方程可化为斜截式，所以斜率，所以倾斜角【考点】直线方程、直线的倾斜角与斜率3.直线的斜率是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】将直线一般式化为斜截式得斜率.【考点】直线一般式与斜截式的转化.4.若直线y＝0的倾斜角为α，则α的值是( )A．0B．C．D．不存在【答案】A【解析】∵直线y＝0的斜率为0，倾斜角的正切值是斜率，∴α=0.【考点】直线的倾斜角与斜率.5.直线的倾斜角的大小是．【答案】【解析】由直线方程可知其斜率为，设其倾斜角为，则，因为，所以。
【考点】直线的斜率和倾斜角。
6.若图中直线，，的斜率分别为，，，则()A．<<B．<<C．<<D．<<【答案】B【解析】由于的倾斜角都是锐角，且直线的倾斜角大于直线的倾斜角，可得，而直线的倾斜角为钝角，所以，由此可得结论：，故选答案B.【考点】直线的倾斜角与斜率.7.直线l的倾斜角为，且，则直线l的斜率是( )A．B．C．或D．或【答案】C【解析】由已知中直线的倾斜角为a，且sina=，分倾斜角a为锐角和钝角两种情况分类讨论，根据同角三角函数关系，求出a的余弦值和正切值，即可得到直线的斜率,由已知中直线的倾斜角为a，且sina=，当a为锐角时，cosa=，tana=；当a为钝角时，cosa=-，tana=-；即直线的斜率是±，选C.【考点】直线的斜率.8.已知点A(2,3),B(－3,－2).若直线过点P(1,1)且与线段AB相交,则直线的斜率的取值范围是( )A．B．C．或D．【答案】C【解析】如图，，，又过点且与轴垂直的直线也与线段相交，故直线的斜率满足或．选C．【考点】直线的斜率．9.（）直线的倾斜角为A．B．C．D．【答案】C.【解析】因为直线的斜率为,所以此直线的倾斜角..【考点】直线的倾斜角与斜率的关系.点评：除倾斜角为外，倾斜角与斜率是一一对应的关系，因而求直线的倾斜角可通过求直线的斜率再求倾斜角即可.10.直线的斜率为A．2B．1C．D．【答案】B【解析】解：因为直线的斜率为1，因此选B11.如果过点和的直线的斜率等于,那么的值为( )A．4B．C．或D．或【答案】B【解析】解：因为过点和的直线的斜率等于，即，选B。
高二数学复习考点知识与题型专题讲解7---直线的倾斜角与斜率
高二数学复习考点知识与题型专题讲解第二章直线和圆的方程2.1.1直线的倾斜角与斜率【考点梳理】考点一直线的倾斜角1．倾斜角的定义(1)当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．(2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.2．直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.考点二：直线的斜率1．直线的斜率把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k ＝tan α.2．斜率与倾斜角的对应关系图示倾斜角(范围)α＝0°0°<α<90°α＝90°90°<α<180°考点三：过两点的直线的斜率公式过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1.【题型归纳】题型一：直线的倾斜角1．（2022·全国·高二专题练习）对于下列选项中错误的是（ ） A ．若α是直线l 的倾斜角，则0180α︒≤<︒ B ．若k 是直线的斜率，则R k ∈C ．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率D ．任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角2．（2022·全国·高二专题练习）下列四个命题中，正确的有（ ） A ．若直线的倾斜角为θ，则sin 0θ> B ．直线的倾斜角θ的取值范围为0θπ≤<C ．若一条直线的倾斜角为θ，则此直线的斜率为tan θD ．若一条直线的斜率为tan θ，则此直线的倾斜角为θ3．（2022·江苏·高二单元测试）已知直线10l y +=与直线2:10l kx y -+=，若直线1l 与直线2l 的夹角是60°，则k 的值为（ ）A0B ．0C．题型二：直线的斜率4．（2022·安徽省亳州市第一中学高二期末）将直线30x =绕着原点逆时针旋转90︒，得到新直线的斜率是（ ）A．．5．（2022·福建宁德·高二期末）若直线经过两点)(,2A m ，)(1,1B 且倾斜角为45°，则m 的值为（ ） A ．2B ．32C ．1D ．32-6．20my ++=的倾斜角为23π，则m =（ ） A ．1B ．1-C ．2D ．2-题型三：倾斜角和斜率的变化关系7．（2022·全国·高二专题练习）直线sin 10x y α-+=的倾斜角的取值范围为（ ） A ．0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦πB ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．0,,42πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭D ．30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭8．（2022·全国·高二专题练习）设直线l 的斜率为k ，且1k ≤，则直线l 的倾斜角α的取值范围是（ ） A ．π2π0,,π43⎡⎤⎛⎫⋃ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭B ．π3π0,,π64⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭C ．π2π,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．π3π,34⎛⎤ ⎥⎝⎦9．（2022·江苏·高二）已知直线l 的方程为sin 10,x R αα-=∈，则直线l 的倾斜角范围是（ ）A ．20,,33πππ⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭B ．50,,66πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C ．50,,66πππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．20,,33πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭题型四：与斜率公式有关的问题10．（2022·江苏·高二专题练习）已知点()2,3A ，()3,2B --，若直线l 过点()1,1P ，且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围为（ ） A ．34k ≤或2k ≥B ．1k <C ．12k <<D ．324k <<11．（2022·吉林·四平市第一高级中学高二期末）已知直线l ()1220m y +--=的倾斜角为23π，则m =（ ）A ．13B ．1C ．32D ．－112．（2022·江苏·南师大二附中高二期末）过两点()222,3A m m +-、()23,2B m m m --的直线l 的倾斜角为45，则m 的值为（ ） A ．2-或1-B ．1-C ．12D ．2-题型五：斜率公式的应用13．（2022·全国·高二）已知正ABC 的顶点()1,1A ，()1,3B ，顶点C 在第一象限，若点(),P x y 是ABC 内部及其边界上一点，则1yx +的最大值为（ ）A ．12B ．32C ．23D14．（2022·江苏·高二专题练习）已知点()2,1A -，()3,B m ，若1m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则直线AB 的倾斜角α的取值范围为（ ） A ．{}60150αα︒≤≤︒B ．{060αα︒≤≤︒或}150180α︒≤<︒C ．{6090αα︒≤<︒或90150}α︒<≤︒D ．{6090αα︒≤<︒或150180}α︒≤<︒15．（2020·湖北·宜城市第三高级中学高二期中）已知点()23A -，，()32B --，，直线l 方程为10kx y k +--=，且与线段AB 相交，求k 的取值范围为（ ） A ．34k ≤-或4k ≥B ．4k ≤或34k ≥C ．344k -≤≤D ．344k -≤≤-题型六：直线和线段相交问题求斜率范围16．（2022·全国·高二课时练习）已知()3,1A ，()1,2B ，若直线20x ay +-=与线段AB 没有公共点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1(,1),2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭B ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．(,2)(1,)-∞-+∞D ．(2,1)-17．（2022·全国·高二专题练习）设点3(2,)A -､(3,2)B --，若直线l 过点(1,1)P 且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ）A ．34k ≥或4k ≤-B ．34k ≥或14k ≤- C ．344k -≤≤D ．344k -≤≤18．（2022·湖北·监利市教学研究室高二期末）已知点()()2,3,2,1A B --，若直线:12l yk x 与线段AB 没有公共点，则k 的取值范围是（ ）A ．1,53⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．()5,+∞D ．()1,5,3∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭【双基达标】一、单选题19．（2022·全国·高二课时练习）将直线l 沿x 轴正方向平移2个单位，再沿y 轴负方向平移3个单位，又回到了原来的位置，则l 的斜率是（ ） A ．32-B ．4C ．1D ．1220．（2022·全国·高二课时练习）设直线l 的斜率为k ，且1k -≤<l 的倾斜角α的取值范围为（ ）A ．30,,34πππ⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭B ．30,,64πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭C ．3,64ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．30,,34πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭21．（2022·全国·高二课时练习）设P 为x 轴上的一点，(2,1),(7,5)A B -，若直线PA 的斜率是直线PB 的斜率的2倍，则点P 的坐标为（ ）A ．(10)-，B ．()3,0-C ．(20)，D ．(4,0) 22．（2022·全国·高二课时练习）已知两点()1,2A -，()2,1B ，直线l 过点()0,1P -且与线段AB 有交点，则直线l 的倾斜角的取值范围为（ ）A ．π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．ππ30,,42π4⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ C ．π3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭D ．πππ3,,422π4⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦23．（2022·江苏·高二阶段练习）已知两点()1,2A -，()2,1B ，直线l 过点()0,1P -且与线段AB 有交点，则直线l 的斜率的取值范围为（ ） A ．[]1,1-B ．(,1]-∞-C ．()1,1-D ．[1,)+∞24．（2022·江苏·高二）已知两点()2,3A -，()3,2-B ，直线l 过点()1,1P 且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ） A ．144k -≤≤-B ．4k ≤-或14k ≥-C ．344k -≤≤D ．344k -≤≤25．（2022·全国·高二专题练习）下列命题中正确的是（ ）． A ．若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan α B ．若直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α C ．平行于x 轴的直线的倾斜角为180D ．若直线的斜率不存在，则此直线的倾斜角为9026．（2022·全国·高二课时练习）已知直线l 过点(2,3)A a 和点(2,1)B -，分别求出满足下列条件的a 的取值或取值范围. (1)直线l 的倾斜角为直角； (2)直线l 的倾斜角为锐角； (3)直线l 的倾斜角为钝角.【高分突破】一：单选题27．（2022·全国·高二专题练习）已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(0,1)C -， 过点C 的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ） A ．(2,3)-B ．(2,0)(0,3)-⋃C ．(,2)(3,)-∞-⋃+∞D ．以上都不对28．（2022·江苏·高二课时练习）已知点Q (－2，0)，A (1，B (1，P为动点．当点P 在线段AB 上运动时，求直线PQ 的倾斜角的取值范围．29．（2022·江西抚州·高二期末（理））已知动直线:20l x my +-=的倾斜角的取值范围是,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()1-B ．1,⎛- ⎝⎭C ．⎫⎪⎪⎝⎭D ．( 30．（2022·辽宁葫芦岛·高二期末）已知直线1l 的斜率为1，直线2l 的倾斜角比直线1l 的倾斜角小15°，则直线2l 的斜率为（ ）A ．－1B ．．131．（2022·全国·高二课时练习）直线m 过点()(00O A ，，，其倾斜角为α，现将直线m 绕原点O 逆时针旋转得到直线'm y kx =：，若直线'm 的倾斜角为2α，则k 的值为（ ）A ．．-C ．2D ．-232．（2022·全国·高二专题练习）已知直线:l y kx =的方向向量为(，则直线l 的倾斜角为（ ） A ．30°B．60°C．120°D．150°33．（2022·辽宁大连·高二期末）若直线l 经过()0,0O ，(A 两点，则直线l 的倾斜角为（ ） A ．6πB ．3πC ．4πD ．2π34．（2022·青海海东·高二期末（理））已知直线l 经过(A -，(3,B -两点，则直线l 的倾斜角是（ ） A ．30°B．60°C．120°D．150°35．（2021·广东·华中师范大学海丰附属学校高二期中）设点()2,3A -，()3,2B ，若直线ax +y +2=0与线段AB 有交点，则a 的取值范围是（ ） A ．54,,23⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭B ．45,32⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．54,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．45,,32⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭36．（2021·吉林·长岭县第三中学高二阶段练习）直线l 过点()0,1P -且斜率为k ，若l 与连接两点()1,2A -，()2,1B 的线段有公共点，则k 的取值范围为（ ） A ．()(),11,-∞-⋃+∞B ．(][),11,-∞-⋃+∞ C ．()1,1-D ．[]1,1-二、多选题37．（2022·全国·高二）下列四个命题中，错误的有（ ） A ．若直线的倾斜角为θ，则sin 0θ> B ．直线的倾斜角θ的取值范围为0θπ≤<C ．若一条直线的倾斜角为θ，则此直线的斜率为tan θD ．若一条直线的斜率为tan θ，则此直线的倾斜角为θ38．（2022·全国·高二课时练习）下列结论中正确的有（ ） A ．两条相交直线所成的角的范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦B ．若两条相交直线所成的角为α，其法向量的夹角为θ，则αθ=或απθ=-C ．若两条直线相互垂直，则其斜率之积为1-D ．若直线11y k x b =+与直线22y k x b =+的夹角为α，则2112tan 1k k k k α-=+ 39．（2022·全国·高二课时练习）下列说法中，表述正确的是( )A ．向量(m =-在直线l 上，则直线l 的倾斜角为56πB ．若直线l 与x 轴交于点A ，其倾斜角为θ，直线l 绕点A 顺时针旋转4π后得直线1l ，则直线1l 的倾斜角为4πθ-C ．若实数x 、y 满足3y x =-+，11x -≤≤，则代数式32y x ++的取值范围为5,73⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．若直线1l 、2l 的倾斜角分别为1θ、2θ，则()12sin 1θθ-=是12l l ⊥的充要条件40．（2022·江苏·高二）设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转45，得到直线1l ，则直线1l 的倾斜角为（ ） A ．45α+B ．45α-C ．135α-D ．135α-41．（2021·广东·江门市第二中学高二阶段练习）已知()1,2A -，()2,1B ，若直线l 恒过点()0,1-且与线段AB 相交，则直线l 的斜率取值可能是（ ） A ．12-B ．2-C ．0D ．242．（2021·广东·深圳实验学校高二阶段练习）下列命题中，是假命题的是（ ）A ．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大B ．若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan αC ．若直线倾斜角，则斜率k 的取值范围是([),1,-∞⋃+∞D ．若直线的斜率为tan α，则直线的倾斜角为α43．（2021·福建·厦门市湖滨中学高二期中）已知两点()23M -，，()32N --，，直线l 过点()11P ，且与线段MN 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ） A ．4k ≤-B ．34k ≥C ．344k ≤≤D ．344k -≤≤44．（2021·江苏·高二专题练习）已知点()()2,3,3,2P Q -，直线20ax y ++=与线段PQ 相交，则实数a 可能取值是（ ） A ．1-B ．1C ．14D ．4-三、填空题45．（2022·全国·高二课时练习）若正方形的一条对角线所在直线的斜率为3，则该正方形的一条边所在直线的斜率为______．（写出任意一条边所在直线的斜率即可） 46．（2022·全国·高二课时练习）已知直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，若45135α<<，则k 的取值范围为______.47．（2022·全国·高二专题练习）()P x y ，在线段AB 上运动，已知()()2452A B -，，，，则11y x ++的取值范围是_______. 48．（2022·全国·高二专题练习）已知直线过(3,1),(4,21)++A m B m 两点且倾斜角为5π6，则m 的值为_____.49．（2022·江苏·高二专题练习）若点(,)M x y 在一次函数28y x =-+的图像上，当[]2,5x ∈时，则211y x ++的取值范围是______． 50．（2022·江苏·高二）下列命题中，错误的是______．（填序号） ①若直线的倾斜角为α，则(0,)απ∈；②若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大； ③若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan α．51．（2022·江苏·高二专题练习）已知三个不同的点()2,A a ､()1,21B a a ++､()4,1C a --在同一条直线上，则实数a 的值为___________.四、解答题52．（2022·全国·高二课时练习）已知坐标平面内三点()1,1A -，()1,1B ，()1C ． (1)求直线AB ，BC ，AC 的斜率和倾斜角；(2)若D 为ABC 的AB 边上一动点，求直线CD 的倾斜角的取值范围．53．（2022·江苏·高二）已知直线l ：()120kx y k k -++=∈R ，()3,1P -，()3,3Q -，若直线l 与线段PQ 恒有公共点，求k 的取值范围.54．（2022·江苏·高二课时练习）（1）当m 为何值时，经过两点,6A m ，1,3B m 的直线的斜率是12？（2）当m 为何值时，经过两点(),2A m ，(),21B m m ---的直线的倾斜角是60°？ （3）当m 为何值时，经过两点()1,A m ，()1,3B m -的直线的倾斜角是钝角？55．（2022·江苏·高二单元测试）已知两点()()1,2,,3A B m -，求： (1)直线AB 的斜率k ；(2)已知实数1m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求直线AB 的倾斜角α的范围【答案详解】1．D 【分析】由直线的倾斜角的范围和斜率公式，结合正切函数的值域，可得结论． 【详解】解：对于A ：α是直线l 的倾斜角，则0180α︒≤<︒，故A 正确； 对于B ：由正切函数的值域可得斜率可为一切实数，故B 正确；对于C 、D ：任意一条直线都有倾斜角，而斜率不一定存在，比如倾斜角为直角，则该直线的斜率不存在，故C 正确；D 错误． 故选：D2．B 【分析】根据直线的倾斜角概念及范围，以及倾斜角和斜率的关系，逐项判定，即可求解.【详解】因为直线的倾斜角的取值范围是0,，即[)0,θπ∈，所以sin 0θ≥，当2πθ≠时直线的斜率tan θk ，所以A 、C 均错误；B 正确；若直线的斜率4tan 3k π=3π，所以D 错误；故选：B3．A 【分析】先求出1l 的倾斜角为120°，再求出直线2l 的倾斜角为0°或60°，直接求斜率k .【详解】直线10l y +=的斜率为1k =120°. 要使直线1l 与直线2l 的夹角是60°， 只需直线2l 的倾斜角为0°或60°， 所以k 的值为0故选：A4．Bα，将直线绕着原点逆时针旋转90︒，得到新直线的斜率为tan(90)α+，化简求值即可得到答案.【详解】由30x =α，则tan α=将直线30x =绕着原点逆时针旋转90︒，则sin(90)cos 1tan(90)cos(90)sin tan αααααα++===-=+-故新直线的斜率是故选：B.5．A 【分析】求出直线的斜率，再借助斜率坐标公式计算作答. 【详解】因直线的倾斜角为45，则此直线的斜率tan 451k ==， 而直线过点(,2),(1,1)A m B ，因此，2111k m -==-，解得2m =， 所以m 的值为2. 故选：A6．A 【分析】根据直线方程的特征和斜率的定义即可求解.20my ++=的斜率为2tan 13m π=⇒=. 故选：A.7．D 【分析】根据倾斜角与斜率的关系求解即可【详解】设直线sin 10x y α-+=的倾斜角为θ，可得[]tan sin 1,1θα=∈-，所以θ的取值范围为30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭故选：D8．A 【分析】根据斜率的定义，由斜率的范围可得倾斜角的范围.【详解】因为直线l 的斜率为k ，且1k <≤，tan 1α≤，因为[0,π)α∈， 2ππ,π0,34α⎛⎫⎡⎤∴∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 故选：A.9．B 【分析】利用直线斜率与倾斜角的关系即可求解.【详解】由直线l 的方程为sin 10x α+-=， 所以y x =+ 即直线的斜率k =，由1sin 1α-≤≤.所以k ≤≤，又直线的倾斜角的取值范围为0,，由正切函数的性质可得：直线的倾斜角为50,,66πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭.故选：B10．A 【分析】首先求出直线PA 、PB 的斜率，然后结合图象即可写出答案． 【详解】解：直线PA 的斜率31221PA k -==-，直线PB 的斜率213314PB k --==--， 因为直线l 过点()1,1P ，且与线段AB 相交，结合图象可得直线l 的斜率k 的取值范围是34k ≤或2k ≥． 故选：A ．11．A 【分析】由倾斜角求出斜率，列方程即可求出m . 【详解】因为直线l 的倾斜角为23π，所以斜率2tan33k π==-33m=-13m =.故选：A12．D 【解析】利用斜率公式可得出关于实数m 的等式与不等式，由此可解得实数m 的值.【详解】由斜率公式可得22223121210AB m m k m m m m ⎧--==⎪+-⎨⎪+-≠⎩，即22320210m m m m ⎧++=⎨+-≠⎩，解得2m =-.故选：D.13．B 【分析】确定C 的坐标，将题目转化为两点的斜率，根据图像得到答案. 【详解】正ABC 的顶点()1,1A ，()1,3B 且顶点C 在第一象限，故顶点C 的坐标为(132)，1yx +可看作ABC 内部及其边界上一点与点()1,0-的连线斜率， 当P 运动到点()1,3B 时，直线的斜率最大，故1y x +的最大值为33112=+故选：B.14．B 【分析】根据斜率的公式结合m 的范围求解出倾斜角的正切值取值范围，由此确定出倾斜角的取值范围.【详解】根据题意，直线AB 的斜率1132m k m +==+-， 由331m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得k 的取值范围为33⎡⎢⎣，即tan α的取值范围为33⎡⎢⎣． 又0180α︒≤<︒，则060α︒≤≤︒或150180α︒≤<︒． 故选：B ．15．A 【解析】直线l 过定点(1,1)P ，且与线段AB 相交，利用数形结合法，求出,PA PB 的斜率，从而得出直线l 的斜率的取值范围【详解】解：因为直线l 方程为10kx y k +--=，可化为(1)10k x y -+-=， 所以直线l 过定点(1,1)P ，且与线段AB 相交，如图所示， 则直线PA 的斜率为31421PA k --==--， 直线PB 的斜率为213314PB k --==--，则直线l 与线段AB 相交时，它的斜率k 的取值范围为4k ≤-或34k ≥， 故选：A16．A 【分析】画出图象，对a 进行分类讨论，结合图象求得a 的取值范围. 【详解】直线20x ay +-=过点()2,0C ， 画出图象如下图所示，20212BC k -==--，10132AC k -==-， 由于直线20x ay +-=与线段AB 没有公共点，当0a =时，直线2x =与线段AB 有公共点，不符合题意， 当0a ≠时，直线20x ay +-=的斜率为1a-， 根据图象可知1a-的取值范围是()()2,00,1-⋃，所以a 的取值范围是1(,1),2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭.故选：A17．A 【分析】根据斜率的公式，利用数形结合思想进行求解即可. 【详解】如图所示：312134,21314PA PB k k ----==-==---，要想直线l 过点(1,1)P 且与线段AB 相交， 则34k ≥或4k ≤-， 故选：A18．A 【分析】分别求出,PB PA k k ，即可得到答案. 【详解】直线:12l yk x 经过定点()1,2P -.因为()()2,3,2,1A B --，所以()()()321215,21213PA PB k k -----====----, 所以要使直线:12l yk x 与线段AB 没有公共点，只需：PB PA k k k <<，即153k -<<.所以k 的取值范围是1,53⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：A19．A 【分析】设直线l 上任意一点()00,P x y ，再根据题意可得()2002,3P x y +-也在直线上，进而根据两点间的斜率公式与直线的斜率相等列式求解即可.【详解】设直线l 上任意一点()00,P x y ，将直线l 沿x 轴正方向平移2个单位，则P 点移动后为()1002,P x y +，再沿y 轴负方向平移3个单位，则1P 点移动后为()2002,3Px y +-． ∵2,P P 都在直线l 上，∴直线l 的斜率00003322k y y x x --=-+-=．故选：A ．20．D 【分析】根据tan k α=，利用斜率的范围，求角的范围.【详解】直线l 的倾斜角为α，则[)0,a π∈，由13k -≤<1tan 3α-≤<∴30,,34a πππ⎡⎫⎡⎫∈⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭．故选：D ．21．B 【分析】设(,0)P x ，根据直线PA 的斜率是直线PB 的斜率的2倍，列出方程，即可求得答案.【详解】设(,0)P x ，而(2,1),(7,5)A B -，则12PA k x =--，57PB k x=-， ∵直线PA 的斜率是直线PB 的斜率的2倍， ∴15227x x=⨯---，解得3x =-，即点P 的坐标为()3,0-， 故选：B ．22．C 【分析】作出图形，求出,PA PB 的斜率，数形结合可求得直线l 的斜率的取值范围，再由斜率与倾斜角的关系可求出倾斜角的取值范围. 【详解】如图所示，直线PA 的斜率21110PA k -+==--，直线PB 的斜率11120PB k +==-． 由图可知，当直线l 与线段AB 有交点时，直线l 的斜率[]1,1k ∈-，因此直线l 的倾斜角的取值范围是π3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭．故选：C23．A 【分析】根据斜率的公式，数形结合分析临界条件求解即可.【详解】如图所示，直线PA的斜率为21110PAk-+==--，直线PB的斜率为11120PBk+==-．由图可知，当直线l与线段AB有交点时，直线l的斜率[1,1]k∈-．故选：A．24．B【分析】数形结合法，讨论直线l过A、B时对应的斜率，进而判断率k的范围. 【详解】如下图示，当直线l过A时，31421k--==--，当直线l过B时，211314k-==---，由图知：4k≤-或14k≥-.故选：B25．D 【分析】根据倾斜角和斜率的概念进行分析可得答案. 【详解】对于A ，当π2α=时，直线的斜率不存在，故A 不正确；对于B ，当π4α=-时，斜率为1-，倾斜角为3π4α≠，故B 不正确； 对于C ，平行于x 轴的直线的倾斜角为0，故C 不正确； 对于D ，若直线的斜率不存在，则此直线的倾斜角为90是正确的. 故选：D 26．(1)a ＝1； (2)()1,+∞； (3)(),1-∞.【分析】（1）解方程2a ＝2即得解； （2）解不等式201a >-即得解； （3）解不等式201a <-即得解. （1）解：当直线l 的倾斜角为直角时，2a ＝2，解得a ＝1. （2）解：当1a ≠时，直线l 的斜率()312221k a a --==--. 令201a >-，则1a >，所以直线l 的倾斜角为锐角时，a 的取值范围为()1,+∞. （3）解：当1a ≠时，令201a <-，则1a <，所以直线l 的倾斜角为钝角时，a 的取值范围为(),1-∞. 27．C 【分析】过点C 的直线l 与线段AB 有公共点，利用数形结合，得到直线l 的斜率k ≥kBC 或AC k k ≤，进而求解即可【详解】如图所示：∵过点C 的直线l 与线段AB 有公共点，∴直线l 的斜率k ≥kBC 或AC k k ≤，∴直线l 的斜率3k ≥ 或2k ≤-，∴直线l 斜率k 的取值范围：(,2][3,)-∞-⋃+∞， 故选：C ．28．[0°， 30°]∪[150°， 180°)．【分析】设直线PQ 的倾斜角为α，线段AB 与x 轴的交点为M ，然后结合图象和倾斜角的定义可得答案.【详解】设直线PQ 的倾斜角为α，线段AB 与x 轴的交点为M .当点P 在线段AM (含端点)上时，因为30AQM ∠=︒，所以0°≤α≤30°；当点P 在线段BM (含端点B 但不含端点M )上时，因为30BQM ∠=︒，所以150°≤α＜180°.所以α的取值范围为[0°， 30°]∪[150°， 180°)． 29．B 【分析】根据倾斜角与斜率的关系可得113m<-<m 的范围. 【详解】由题设知：直线斜率范围为3)，即113m <-<31m -<<故选：B.30．C 【分析】根据直线1l 的斜率求出其倾斜角可求得答案. 【详解】设直线1l 的倾斜角为α，所以tan 1α=， 因为0180α≤<，所以45α=，因为直线2l 的倾斜角比直线1l 的倾斜角小15°， 所以直线2l 的倾斜角为30， 则直线2l 的斜率为3tan 303=31．B 【分析】由倾斜角和斜率的定义得tan OA k α=，tan 2k α=，再结合倍角公式即可求得结果【详解】由题，tan OA k α='m 的倾斜角为2α，故22tan tan 21tan1k ααα====---故选：B32．B 【分析】利用直线的方向向量求出其斜率，进而求出倾斜角作答.【详解】因直线:l y kx =的方向向量为(，则直线l 的斜率k =l 的倾斜角90α≠，于是得[)tan 0,ααπ∈，解得60α=， 所以直线l 的倾斜角为60. 故选：B33．B 【分析】根据直线上两点求出斜率，从而可得倾斜角.【详解】解：由直线l 经过()0,0O ，(A 两点，得直线的斜率k = 所以直线l 的倾斜角为3π. 故选：B.34．C 【详解】设直线l 的倾斜角为α，由题意可得直线l 的斜率k ==tan α=∵)0,180α⎡∈⎣，∴直线l 的倾斜角为120︒，35．D 【分析】求出直线20ax y ++=经过的定点，作出图象，利用图象求得斜率满足的条件，由此解出答案．【详解】∵直线20ax y ++=过定点(0,2)C -，且52AC k =-，43BC k =，由图可知直线与线段AB 有交点时，斜率a -满足43a ≤-或52a -≤-，解得45,,32a ⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎢⎝⎦⎣∈⎥⎭，故选：D36．D 【分析】作出图形，数形结合求解即可.【详解】解：如图，若l 与连接两点()1,2A -，()2,1B 的线段有公共点， 则直线l 的斜率满足PA PB k k k ≤≤， 因为1,1PA PB k k =-=， 所以k 的取值范围为[]1,1-. 故选：D37．ACD 【分析】根据倾斜角与斜率的定义判断即可. 【详解】解：因为直线的倾斜角的取值范围是0,，即[)0,θπ∈，所以sin 0θ≥，当2πθ≠时直线的斜率tan θk ，故A 、C 均错误；B 正确；对于D ：若直线的斜率4tan 33k π==3π，故D 错误；故选：ACD38．ABD 【分析】根据两直线相交时其夹角，其斜率间的关系，逐一判断可得选项. 【详解】解：对于A ：两条相交直线时，其所成的角的范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，故A 正确； 对于B ：若两条相交直线所成的角为α，其法向量的夹角为θ，则αθ=或απθ=-，故B 正确；对于C ：若两条直线相互垂直，则这两直线中可能其中一条直线的斜率不存在，故C 不正确；对于D ：设直线11y k x b =+的倾斜角为1θ，直线22y k x b =+的倾斜角为2θ， 则1122tan ,tan k k θθ==，所以()1221121212tan tan tan tan 1+tan tan 1k kk k θθαθθθθ--=-==+，故D 正确，故答案为：ABD.39．AC 【分析】A ：根据向量求出直线斜率，根据直线斜率即可求其倾斜角；B ：当θ＜4π时，4πθ-＜0，但直线倾斜角为非负，据此即可判断；C ：3(3)2(2)y y x x +--=+--可看作(x ，y )与(－2，－3)连线斜率，数形结合即可判断；D ：两直线垂直，则122πθθ-=，据此即可判断．【详解】①向量()3,3m =-在直线l 上，则直线l 的斜率为33-，故直线倾斜角为56π，故A 正确；②若直线l 与x 轴交于点A ，其倾斜角为θ，直线l 绕点A 顺时针旋转4π后得直线1l ，则4π≤θ＜π时，直线1l 的倾斜角为4πθ-；当0≤θ＜4π时，直线1l 的倾斜角为π＋(4πθ-)＝34πθ+；故B 错误； ③若实数x 、y 满足3y x =-+，11x -≤≤，设A (－1，4)，B (1，2)， 则代数式3(3)2(2)y y x x +--=+--表示线段AB 上任意一点(x ，y )和点C (－2，－3)连线的斜率，由图可知，[]3(3),2(2)BC AC y y k k x x +--=∈=+--5,73⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故C 正确； ④若直线1l 、2l 的倾斜角分别为1θ、2θ，则10θπ≤<，20θπ≤<，20πθ-<-≤， ∴12πθθπ-<-<，则()1212sin 12πθθθθ-=⇒-=12l l ⇒⊥；当12l l ⊥时，121222ππθθθθ-=⇒-=±；故()12sin 1θθ-=是12l l ⊥充分不必要条件，故D 错误﹒ 故选：AC ﹒40．AC 【分析】分别在0135α≤<和135180α<<求得旋转后倾斜角即可. 【详解】直线倾斜角α的取值范围为0180α≤<，∴当0135α≤<时，旋转45后得到1l 的倾斜角为：45α+；当135180α<<时，旋转45后得到1l 的倾斜角为：45180135αα+-=-. 故选：AC.41．AC 【分析】设(0,1)P -，求出,AP BP k k ，由数形结合求解即可. 【详解】设(0,1)P -, 则121(1)1,10120AP BP k k -+--==-==--， 如图，由图可知，当11k -≤≤时，直线l 与线段AB 相交， 故选：AC42．ABD 【分析】利用正切函数的图象判断选项AC 的真假； B. 若直线的倾斜角为直角，则直线没有斜率，所以该选项错误； 举反例说明选项D 错误.【详解】A. 若直线的倾斜角是锐角，则斜率大于零，若直线的倾斜角是钝角，则斜率小于零，所以该选项错误；B. 若直线的倾斜角为直角，则直线没有斜率，所以该选项错误；C. 若直线倾斜角243，，则斜率k 的取值范围是([),31,-∞⋃+∞，所以该选项正确； D. 若直线的斜率为7tan 3π，则但是直线的倾斜角为不是73π，而是3π，所以该选项错误. 故选：ABD43．AB 【分析】由题可得PM k k ≤或PN k k ≥，即可求出. 【详解】解：31421PM k --==--，213314PN k --==--， 直线l 过点()11P ，且与线段MN 相交，则PM k k ≤或PN k k ≥，则直线l 的斜率k 的取值范围是：4k ≤-或34k ≥． 故选：AB ．44．AC 【分析】直线20ax y ++=过定点()0,2A -，利用斜率计算公式可得AP k 和AQ k ，由直线20ax y ++=与线段PQ 相交，利用斜率关系即可求出a 的范围，进而结合选项即可求出结果.【详解】直线20ax y ++=过定点()0,2A -，斜率为a -，321202AP k -+==--，22433AQ k +==，直线20ax y ++=与线段PQ 相交，由图象可知，1423a--， 则4132a-，符合条件的为选项AC ．故选：AC ．45．－2(答案不唯一)【分析】根据图形结合斜率与倾斜角的关系，结合两角差的正切公式，求出正方形某边的斜率即可.【详解】由题意，在如图所示的平面直角坐标系中画出正方形OABC ，其中对角线OB 所在直线的斜率为3．设对角线OB 所在直线的倾斜角为θ，则tan 3θ=，由正方形的性质可知，直线OA 的倾斜角为45θ-︒，直线OC 的倾斜角为45θ+︒，故()tan tan 451tan 451tan tan 452OA k θθθ-︒=-︒==+︒，()tan tan 45tan 4521tan tan 45OC k θθθ+︒=+︒==--︒，故答案为：－2（答案不唯一）．46．()(),11,-∞-⋃+∞【分析】分4590α<<、90α=、90135α<<三种情况讨论，结合正切函数的基本性质可求得k 的取值范围.【详解】由正切函数的性质知，当4590α<<时，()tan 1,k α=∈+∞； 当90α=时，k 不存在；当90135α<<时，()tan ,1k α=∈-∞-. 综上，k 的取值范围是()(),11,-∞-⋃+∞. 故答案为：()(),11,-∞-⋃+∞.47．15,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】11y x ++表示线段AB 上的点与()11C －，－连线的斜率，画出图形，结合图形求解即可 【详解】11y x ++表示线段AB 上的点与()11C －，－连线的斜率， 因为4(1)52(1)1,2(1)35(1)6AC BC k k -----====----- 所以由图可知11y x ++的取值范围是15,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 故答案为：15,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦48．3,A B 两点求得得斜率与倾斜角的正切值5tan π6相等可求得m .【详解】因直线AB 的倾斜角为5π6，则其斜率53tan π6==k又由(3,1)+A m ，42()1B m +,， 则AB 的斜率(21)(1)43+-+==-m m k m ，则有3m = 故答案为：349．1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】由题意画出图形，再由211y x ++的几何意义，即线段AB 上的动点M 与定点11,2P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭连线的斜率的2倍求解；【详解】解：如图，函数28y x =-+，[]2,5x ∈表示线段AB 其中(5,2)A -，(2,4)B ，1221211y y x x ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭=++的几何意义为线段AB 上的动点(),M x y 与定点11,2P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭连线的斜率的2倍，1212514PAk -+==-+，1432212PB k +==+，∴1342PM k -≤≤∴211y x ++的取值范围是1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； 故答案为：1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦50．①②③【分析】根据直线的倾斜角和斜率的概念，逐项判定，即可求解. 【详解】对于①中，根据直线倾斜角的概念，可得直线的倾斜角为α，则[0,)απ∈，所以①错误；对于②中，当倾斜角[0,)2πα∈，直线的倾斜角越大，则直线的斜率k 越大，且0k >；当倾斜角(,)2παπ∈，直线的倾斜角越大，则直线的斜率k 越大，但0k <，所以②错误； 对于③中，根据直线斜率的概念，可得当[0,)απ∈且2πα≠时，直线的斜率为tan k α=，所以③错误. 故答案为：①②③.51．12-或5【分析】根据斜率相等可求出结果.【详解】因为142AC a a k --=--216a -=，所以该直线斜率存在， 又211121AB a a a k a a +-+==+--，根据题意得21161a a a -+=-，解得12a =-或5a =. 故答案为：12-或5.52．(1)0AB k =，BC k AC k =，直线AB 的倾斜角为0，直线BC 的倾斜角为3π，直线AC 的倾斜角为6π．(2),63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据两点间的斜率公式计算斜率，再根据斜率与倾斜角的关系求解即可； （2）数形结合，根据斜率与倾斜角变化的规律分析即可. （1）由斜率公式，得1101(1)AB k -==--，311321BC k +-==-，31132(1)3AC k +-==--，因为斜率等于倾斜角的正切值，且倾斜角的范围是0, ，所以直线AB 的倾斜角为0，直线BC的倾斜角为3π，直线AC 的倾斜角为6π． （2）如图，当直线CD 绕点C 由CA 逆时针转到CB 时，直线CD 与线段AB 恒有交点，即D 在线段AB 上，此时CD k 由AC k 增大到BC k ，所以CD k 的取值范围为3,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即直线CD 的倾斜角的取值范围为,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．53．(]2,2,5⎡⎫-∞--+∞⎪⎢⎣⎭【分析】先判断直线l 所过定点，再数形结合求k 的取值范围【详解】()12012kx y k y k x -++=⇒-=+故直线过定点()2,1T - 如下图所示：()112235TPk --==---，()13223TQk -==---- 若直线l 与线段恒有公共点，则TQ k k ≤或TP k k ≥即(]2,2,5k ∞∞⎡⎫∈--⋃-+⎪⎢⎣⎭54．（1）2-；（23(31)+（3）2m <或3m >．【分析】（1）由斜率公式计算斜率后可得；（2）由斜率公式计算斜率，由斜率等于tan 60︒可得； （3）由斜率公式计算斜率，再由斜率与倾斜角的关系可得． 【详解】（1）由题意36121m m-=+，2m =-； （2）由题意221tan 60m m m ++=︒+，解得3(31)m +=； （3）由题意3011AB m k m -=<-+，解得2m <或3m >．55．(1)答案见解析(2)2,63ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【分析】（1）分斜率存在和不存在两种情况求解即可，（2）利用不等式的性质求出斜率的范围，再由正切函数的单调性求出倾斜角α的范围 (1)当1m =-时，直线AB 的斜率不存在， 当1m ≠-时，直线AB 的斜率321(1)1k m m -==--+，(2)当1m =-时，2πα=，当1m ≠-时，11k m =+，因为1m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且1m ≠-，所以1m ≤+≤10m +≠，所以11m ≤+11m ≥+tan α≤tan α， 所以2,,6223ππππα⎡⎫⎛⎤∈⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦， 综上，直线AB 的倾斜角2,63ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦。
2022-2023学年高二上数学选择性必修第一册：直线的倾斜角与斜率(附答案解析)
2022-2023学年高二上数学选择性必修第一册：直线的倾斜角与斜率【考点梳理】考点一直线的倾斜角1．倾斜角的定义(1)当直线l 与x 轴相交时，我们以x 轴为基准，x 轴正向与直线l 向上的方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．(2)当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.2．直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.考点二：直线的斜率1．直线的斜率把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan α.2．斜率与倾斜角的对应关系图示倾斜角(范围)α＝0°0°<α<90°α＝90°90°<α<180°斜率(范围)k ＝0k >0不存在k <0考点三：过两点的直线的斜率公式过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1.【题型归纳】题型一：直线的倾斜角1．直线l 过原点(0，0)，且不过第三象限，那么l 的倾斜角α的取值范围是（）A ．0°≤α≤90°B ．90°≤α<180°C ．90°≤α<180°或α＝0°D ．90°≤α≤135°2．已知直线32y x =的倾斜角为α，则cos 2=α（）A ．17B ．17-C ．12D ．12-3．直线210x y -+=的倾斜角为θ，则221sin cos θθ-的值为（）A ．34B ．23C ．53D ．2题型二：直线的斜率4．经过点()0,1P -作直线l ，若直线l 与连接()()1,2,2,1A B -的线段总有公共点，则直线l 的倾斜角α的取值范围为（）A ．045α 或135180αB ．45135αC ．45135α<<D ．045α 或135180α<5．若直线经过两点(2,)A m -，(,21)B m m --且倾斜角为135︒，则m 的值为（）A ．2B ．32C ．1D ．32-6．下列命题正确的是（）①直线倾斜角的范围是[)0,180︒︒；②斜率相等的两条直线的倾斜角一定相等；③任何一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角；④任何一条直线都有倾斜角和斜率．A ．①②B ．①④C ．①②④D ．①②③题型三：倾斜角和斜率的变化关系7．已知直线1l ，2l ，3l 的斜率分别是1k ，2k ，3k ，如图所示，则（）A ．123k k k <<B ．321k k k <<C ．132k k k <<D ．312k k k <<8．设直线l 的方程为()cos 30x y R θθ++=∈，则直线l 的倾斜角α的取值范围是（）A ．[)0,p B ．,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,,4224ππππ⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦9．经过点(0,1)P -作直线l ，若直线l 与连接(1,2),(21)A B -，的线段总有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围为（）A ．045α︒≤≤︒或135180α︒≤≤︒B ．45135α︒≤≤︒C ．45135α︒<<︒D ．045α︒≤≤︒或135180α︒≤<︒题型四：与斜率公式有关的问题10．若直线:3l y kx =-与直线30x y +-=的交点位于第二象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是（）A ．3,24ππ⎛⎤⎥⎝⎦B ．3,24ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3,34ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,24ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭11．已知直线l 1过点A (-1，1)和B (-2，-1)，直线l 2过点C (1，0)和D (0，a )，若两条直线的斜率相等，则a 的值为（）A ．-2B ．2C ．-12D ．1212．已知直线l 过第一象限的点(),m n 和()1,5，直线l 的倾斜角为135︒，则14m n+的最小值为（）A ．4B ．9C ．23D ．32【双基达标】一、单选题13．已知点3(2,)A -，(3,2)B --．若直线:10l mx y m +--=与线段AB 相交，则实数m 的取值范围是（）A ．3,[4,)4⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦B ．3,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．34,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦14．直线l 经过原点和()1,1-，则l 的斜率是（）A ．0B ．1-C ．1D ．不存在15．已知(1,3),(3,1)A B -两点，若直线:l y kx =与线段AB 恒有交点，则k 的取值范围（）A ．3,3⎡⎤-⎣⎦B ．)3,3,3⎛⎤⎡-∞-⋃+∞ ⎥⎣ ⎝⎦C ．(3,3,3 ⎡⎫⎤-∞-⋃+∞⎪⎢⎦⎪⎣⎭D ．3,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦16．已知点A (1，3)，B (－2，－1)．若直线l ：y ＝k (x －2)＋1与线段AB 相交，则k 的取值范围是（）A ．21<k B ．K>-2C ．21<k 或．K>-2D ．212<<-k 17．直线:310l x y ++=的倾斜角的大小为（）A ．30B ．60C ．120D ．15018．直线1l 经过两点()()0,0,3,1A B ，直线2l 的倾斜角是直线1l 的倾斜角的2倍，则2l 的斜率为（）A ．33B ．233C ．1D ．319．直线l ：320x y -+=与x 轴交于点A ，把l 绕点A 顺时针旋转45︒得直线m ，m 的倾斜角为α，则cos α=（）A ．624+-B ．264-C ．624+D ．624-20．将直线30x y -=绕着原点逆时针旋转90︒，得到新直线的斜率是（）A ．33B ．3-C ．22D ．22-21．直线l 过点2()1,M -，且与以(4,1)P --，(3,0)Q 为端点的线段相交，则直线l 的斜率的取值范围（）A ．1[,1]2-B ．[2,1]-C ．(][),21,-∞-+∞ D ．[)1,1,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦ 22．已知直线:220m x y -+=，:210n x y -+=，若直线l 过(1,3)P 且与直线m ､n 在第一象限围成一个等腰锐角三角形，则直线l 的斜率是（）A ．1-B ．23-C ．12-D ．2【高分突破】一：单选题23．已知直线3x −y +1=0的倾斜角为α，则1sin22α=A ．310B ．35C ．−310D ．11024．已知点(2,3),(3,2)A B ---，直线l 方程为10kx y k -++-=，且直线l 与线段AB 相交，求直线l 的斜率k 的取值范围为A ．34k ≥或4k ≤-B ．34k ≥或14k ≤-C ．344k -≤≤D ．344k ≤≤25．已知点()2,3A ，()3,2B --，若直线l 过点()1,1P 与线段AB 始终没有交点，则直线l 的斜率k 的取值范围是A ．324k <<B ．2k >或34k <C ．34k >D ．2k <26．已知点(4,0)A -，(3,1)B -，若直线2y kx =+与线段AB 恒有公共点，则k 的取值范围是（）A ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．1,[1,)2⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦D ．1(,1],2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭27．已知A （2，3），B （﹣1，2），若点P （x ，y ）在线段AB 上，则3yx -的最大值为（）A ．1B ．35C ．12-D ．﹣328．直线l 经过()2,1A ，()2(,)1B m m R ∈两点，那么直线l 的倾斜角的取值范围为（）A ．[)0,pB ．30,,44πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ C ．0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦πD ．0,,42πππ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭29．下列命题中，正确的是（）A ．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大B ．若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan αC ．若直线倾斜角2,43ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则斜率k 的取值范围是(,3][1,)-∞-⋃+∞D ．当直线的倾斜角2,43ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，直线的斜率在这个区间上单调递增.30．已知直线:10l ax y -+=，点(1,3)A -，()2,3B ，若直线l 与线段AB 有公共点，则实数a 的取值范围是（）A ．[4-，1]B ．1[4-，1]C ．(-∞，[)1]14-⋃+∞D ．(-∞，[)4]1-⋃+∞二、多选题31．下列说法中正确的是A ．若α是直线l 的倾斜角，则0180α≤<B ．若k 是直线l 的斜率，则k ∈RC ．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率D ．任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角32．(多选)若经过A (1-a ，1+a )和B (3，a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的值不可能为（）A ．3-B ．2-C ．1D ．233．已知直线l 的方程为ax +by -2＝0，下列判断正确的是（）A ．若ab ＞0，则l 的斜率小于0B ．若b ＝0，a ≠0，则l 的倾斜角为90°C ．l 可能经过坐标原点D ．若a ＝0，b ≠0，则l 的倾斜角为0°34．（多选）若直线l 与x 轴交于点A ，其倾斜角为α，直线l 绕点A 顺时针旋转45︒后得直线1l ，则直线1l 的倾斜角可能为（）A ．45α︒+B ．135α︒+C ．45α︒-D ．135α︒-35．已知两点()23M -，，()32N --，，直线l 过点()11P ，且与线段MN 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（）A ．4k ≤-B ．34k ≥C ．344k ≤≤D ．344k -≤≤三、填空题36．若图中直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则k 1，k 2，k 3的大小关系是________．37．已知两点A (－3，4)，B (3，2)，过点P (2，－1)的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是________．38．若A (a ，0)，B (0，b )，C (2-，2-)三点共线，则11a b+=________.39．已知实数x ，y 满足方程26x y +=，当13x 时，12y x --的取值范围为________．40．已知坐标平面内三点(1,1)A -，(1,1)B ，(2,31)C +，若D 为线段AB 上一动点，求直线CD 的斜率k 的取值范围___________.四、解答题41．过两点()23,2A m m m ---，()222,3B m m +-的直线的倾斜角为135 ，求m 的值．42．m 为何值时，（1）经过(),6A m -，()1,3B m 两点的直线的斜率是12？（2）(),2A m ，(),21B m m ---两点的直线的倾斜角是60︒？43．已知两点A (－3，4)，B (3，2)，过点P (1，0)的直线l 与线段AB 有公共点．求直线l 的斜率k 的取值范围.44．已知(3,3)A ，(4,2)B -，(0,2)C -三点.（1）求直线AB 和AC 的斜率；（2）若点D 在线段BC (包括端点)上移动，求直线AD 的斜率的变化范围.第10页共23页2022-2023学年高二上数学选择性必修第一册：直线的倾斜角与斜率【答案详解】1．C 【详解】∵直线l 过原点(0，0)，且不过第三象限，∴l 的倾斜角α的范围为0α=o 或90180α≤< ，故选：C.2．A 【详解】解：因为直线32y x =的倾斜角为α，所以3tan 2α=.又222222cos sin cos 2cos sin cos sin ααααααα-=-=+，分子分母同时除以2cos α，得221tan cos 21tan ααα-=+，将3tan 2α=代入可得1cos27α=，故选：A.3．C 【详解】因为210x y -+=的倾斜角为θ，所以tan 2θ=，所以222222221sin cos tan 15sin cos sin cos tan 13θθθθθθθθ++===---，故选：C 4．D 【详解】解：由图可知，经过点()0,1P -作直线l ，当直线l 过点A 时斜率最小，过点B 时斜率最大，因为()0,1P -，()()1,2,2,1A B -，所以2(1)1(1)1,11020PA PB k k -----==-==--，所以ta 11n α-≤≤，因为0180α︒≤<︒，所以045α 或135180α< ，故选：D5．B【详解】由题意，可知直线AB 的斜率存在，且()21tan1352AB m m k m ︒---==--，所以3112m m --=-+，解得32m =.故选：B.6．A【详解】对于①中，根据直线倾斜角的定义，可知直线倾斜角的范围是[)0,180︒︒，所以是正确的；对于②中，根据直线的斜率与倾斜角的关系，可得tan k α=，当12k k =时，可得tan tan αβ=，则αβ=，所以是正确的；对于③中，由任何一条直线一定有倾斜角，但不都有斜率，所以不正确；对于④中，任何一条直线都有倾斜角，但不一定都有斜率，所以不正确．故选:A.7．C【详解】设直线1l ，2l ，3l 的倾斜角分别为123,,θθθ，根据直线的倾斜角概念，可得323090180θθθ<<<<< ，再由直线的斜率与倾斜角关系tan θk =，可得132tan tan tan θθθ<<，故132k k k <<故选：C.8．C【详解】当cos 0θ=时，方程变为30x +=，其倾斜角为2π，当cos 0θ≠时，由直线方程可得斜率1cos k θ=-，[]cos 1,1θ∈- 且cos 0θ≠，][(),11,k ∴∈-∞-⋃+∞，即][()tan ,11,α∈-∞-⋃+∞，又[)0,απ∈，3,,4224ππππα⎡⎫⎛⎤∴∈⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦，由上知，倾斜角的范围是3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故选：C ．9．D【详解】解：设直线l 的倾斜角为α（0180α︒≤<︒），由图可知，要使直线l 与连接(1,2),(21)A B -，的线段总有公共点，只要PA l PB k k k ≤≤，所以2(1)1(1)tan 1020α-----≤≤--，即ta 11n α-≤≤，所以045α︒≤≤︒或135180α︒≤<︒，故选：D10．D【详解】联立方程组330y kx x y ⎧=-⎪⎨+-=⎪⎩，解得3333,11k x y k k +-==++，因为两直线的交点位于第二象限，可得3301k +<+且3301k k ->+，解得1k <-，设直线l 的倾斜角为θ，其中[0,)θπ∈，即tan 1θ<-，解得324ππθ<<，即直线l 的倾斜角的取值范围是3(,)24ππ.故选：D.11．A【详解】()()11212AB k --==---，001CD a k a -==--，AB CD k k =，2a =-.故选:A.12．D【详解】由题得5tan1351,6(0,0)1n m n m n m -==-∴+=>>- ，所以1411414143()()(5)(52)6662n m n m m n m n m n m n m n +=++=++≥+⋅=.当且仅当2,4m n ==时取等.所以14m n +的最小值为32.故选：D13．A设直线l 过定点(,)P x y ，则直线:10l mx y m +--=可写成(1)10m x y -+-=，令10,10,x y -=⎧⎨-=⎩解得1,1.x y =⎧⎨=⎩∴直线l 必过定点(1,1)P ．31421PA k --==--，213314PB k --==--． 直线:10l mx y m +--=与线段AB 相交，∴由图象知，34m -≥或4m -≤-，解得34m ≤-或4m ≥，则实数m 的取值范围是3,[4,)4⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦．14．B因为直线l 经过原点和()1,1-，则l 的斜率是10110k --==--，故选：B.15．B【详解】解： 直线y kx =过定点()00O ，，()()1331A B -，，，，13333OA OB k k ∴===--，，由图象可知：OB k k ≤或OA k k ≥，所以k 的取值范围是：)333，，⎛⎤⎡-∞-⋃+∞ ⎥⎣ ⎝⎦．故选：B ．16．D【详解】解：直线:(2)1l y k x =-+经过定点(2,1)P ，31212PA k -==-- ，111222PB k --==--，又直线:(2)1l y k x =-+与线段AB 相交，122k ∴-，故选：D ．17．D【详解】由:310l x y ++=可得3333y x =--，所以直线l 的斜率为33k =-，设直线l 的倾斜角为α，则3tan 3α=-，因为0180α≤<o ，所以150α= ，故选：D.18．D【详解】因为直线1l 的斜率为103330-=-，所以直线1l 的倾斜角为6π，又因为直线2l 的倾斜角是直线1l 的倾斜角的2倍，所以直线2l 的倾斜角为3π，所以2l 的斜率为tan33π=，故选：D.19．C【详解】设l 的倾斜角为θ，则tan 3θ=，∴60θ=︒，由题意知456045αθ=-︒=︒-︒，∴()cos cos 6045cos60cos 45sin 60sin 45α=︒-︒=︒︒+︒︒12322622224+=⨯+⨯=.故选：C ．20．B原直线的倾斜角为30°，旋转后倾斜角为120︒，所以新直线的斜率为3-.故选：B .21．D如图所示：因为120211,4(1)3(1)2PM QM k k ---====------，所以直线l 与以(4,1)P --，(3,0)Q 为端点的线段相交，只需：1k ³或12k ≤-，故选：D22．A解：根据题意，设直线l 的斜率为k ，直线:220m x y -+=，:210n x y -+=，两直线相交于点(0,1)，设(0,1)A ，点(1,3)P 在直线n 上，直线l 与直线n 相交于点B ，PAB 为等腰锐角三角形，则1232tan 114122PAB -∠==<+⨯，则45PAB ∠<︒，故A 必为顶点，必有0k <则有APB ABP ∠=∠，必有1221212k k k k --=-++，解可得：1k =或1-，则1k =-，故选：A ．23．A直线3x-y+1=0的倾斜角为α，∴tanα=3，∴2221133sin222219110sin cos tan a sin cos sin cos tan αααααααα=⋅====+++，故选A ．24．A易求得线段AB 的方程为()513032x y y ++=-≤≤-，得513x y =--，由直线l 的方程得()119514111551514514514y y y y k x y y y +----===-=----++()11955514y =-++，当1435y -≤<-时，15140y -≤+<，此时，()119455514k y =-+≤-+；当1425y -<≤-时，05144y <+≤，此时，()1193555144k y =-+≥+．因此，实数k 的取值范围是4k ≤-或34k ≥，故选A ．25．A 因为31221AP k -==-，213314BP k --==--，如图：因为直线与线段AB 始终没有交点，所以斜率k 的取值范围是3(,2)4.故选A.26．D【详解】直线2y kx =+恒过定点()0,2C ，直线AC 的斜率()1201042k -==--，直线BC 的斜率()221103k --==--，当12k ≥或1k ≤-时，直线2y kx =+与线段AB 恒有公共点.故选：D.27．C设Q （3，0），则k AQ 3023-==--3，k BQ 201132-==---，∵点P （x ，y ）是线段AB 上的任意一点，∴3y x -的取值范围是[﹣3，12-]，故则3y x -的最大值为12-，28．D【详解】解：直线l 的斜率为2212121121y y m k m x x --===---，因为m R ∈，所以(],1k ∈-∞，所以直线的倾斜角的取值范围是0,,42πππ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭.故选：D.29．C【详解】倾斜角的范围为0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭时，直线斜率0k >，倾斜角的范围为,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，直线斜率0k <，故A 错误；直线的倾斜角=2πα时，直线斜率不存在，故B 错误；直线倾斜角2,43ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则斜率tan k α=的范围为(,3][1,)-∞-⋃+∞，故C 正确；斜率tan k α=在,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭和2,23ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，故D 错误.故选：C.30．A【详解】若直线l 与线段AB 有公共点，则A 、B 在直线l 的两侧（也可以点在直线上）.令(,)1f x y ax y =-+，则有(1f ，3)(2f -，3)0≤，即(31)(231)0a a ++-+.解得41a -，故选：A.31．ABCA.若α是直线l 的倾斜角，则0180α≤< ,是正确的；B.若k 是直线l 的斜率，则tan k α=∈R ，是正确的；C.任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率，倾斜角为90°的直线没有斜率，是正确的；D.任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角，是错误的，倾斜角为90°的直线没有斜率.故选：ABC32．AB解析：k AB =11132a a a a+-=----<0，即2+a >0，所以a >2-，CD 满足．故选：AB ．33．ABD若ab ＞0，则l 的斜率0b a-<，则A 正确；若b ＝0，a ≠0，则l 的方程为2x a=，其倾斜角为90°，则B 正确；若l 可能经过坐标原点，则-2＝0，这显然不成立，则C 错误；若a ＝0，b ≠0，则l 的方程为2y b =，其倾斜角为0°，则D 正确.故选：ABD34．BC【详解】因为直线倾斜角的取值范围为)0,180⎡⎣ ，当45α︒时，直线1l 的倾斜角为45α︒-，当045α︒︒<时，直线1l 的倾斜角为()18045135αα︒︒︒--=+.故选：BC.35．AB【详解】解：31421PM k --==--，213314PN k --==--，直线l 过点()11P ，且与线段MN 相交，则PM k k ≤或PN k k ≥，则直线l 的斜率k 的取值范围是：4k ≤-或34k ≥．故选：AB ．36．k 1<k 3<k 2【详解】由题图可知，k 1<0，k 2>0，k 3>0，且l 2比l 3的倾斜角大．∴k 1<k 3<k 2．故答案为：k 1<k 3<k 2．37．(－∞，－1]∪[3，＋∞)．【详解】解：∵直线l 与线段AB 有公共点，∴直线l 的倾斜角介于直线PB 与PA 的倾斜角之间，当l 的倾斜角小于90°时，k ≥k PB ；当l 的倾斜角大于90°时，k ≤k P A ．∵14121,32(3)23PA PB k k ----==-==---，∴直线l 的斜率k 的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．故答案为：(－∞，－1]∪[3，＋∞)38．12-解析：由题意得2222b a +=+，ab +2(a +b )=0，1112a b +=-．故答案为：12-．39．31,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【详解】实数x ，y 满足方程26x y +=，当13x ≤≤时，12y x --表示直线26x y +=上的点(,)M x y 与点(2,1)N 连线的斜率，设A 、B 为直线26x y +=上的两个点，且531,,3,22A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，NA 的斜率为5132212-=--，NB 的斜率为3112232-=-，故12y x --的范围为31,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，故答案为：31,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭．40．3,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦解：做出图形，如图，D 为线段AB 上一动点，所以直线CD 的斜率k 满足[],AC BC k k k ∈由于3,33AC BC k k ==，所以3,33k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故答案为：3,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦41．2m =-【详解】依题意可得，直线的斜率为tan1351=- ，又直线过两点()23,2A m m m ---，()222,3B m m +-，所以22223132m m m m m --+=-----，整理可得：2223121m m m m --=+-，所以22320210m m m m ⎧++=⎨+-≠⎩，解得：2m =-，所以m 的值为2-.42．（1）2m =-；（2）3334m +=.【详解】（1）因为()36121AB m k m -==--，所以2m =-，（2）因为倾斜角为60︒，所以直线的斜率为tan 603︒=，所以()()2213m m m ---=--，所以3334m +=.43．k ≤－1或k ≥1【详解】如图所示∵A (－3，4)，B (3，2)，P (1，0)，∴k P A ＝4031---＝－1，k PB ＝2031--＝1．要使直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是k ≤－1或k ≥1．44．（1）17AB k =，53AC k =；（2）15,73⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（1）由斜率公式可得直线AB 的斜率231437AB k -==--，直线AC 的斜率235033AC k --==-.（2）如图所示，当点D 由点B 运动到点C 时，直线AD 的斜率由AB k 增大到AC k ，所以直线AD 的斜率的变化范围是15,73⎡⎤⎢⎥⎣⎦.。
高二数学倾斜角与斜率知识点
高二数学倾斜角与斜率知识点数学是一门抽象而精确的科学，其中许多概念和知识点都与我们日常生活息息相关。
在高二数学学习中，倾斜角与斜率是重要的概念之一。
本文将详细介绍倾斜角与斜率的概念及其应用。
一、倾斜角的定义与性质倾斜角，也称为斜率角，是指直线相对于水平线或者坡面的倾斜程度。
在直角坐标系中，可以通过斜率来计算倾斜角。
具体来说，若直线的斜率为k，则其倾斜角θ满足tanθ=k。
倾斜角具有以下性质：1. 垂直线的倾斜角为90度或π/2弧度；水平线的倾斜角为0度或0弧度。
2. 同一条直线上的两个不同点的连线的倾斜角相等。
3. 平行的直线具有相同的倾斜角。
4. 相互垂直的两条直线的倾斜角之积为-1。
二、斜率的计算与性质斜率描述了直线上各点间的变化率，可以理解为直线的倾斜程度。
在直角坐标系中，设直线通过两个点P(x₁, y₁)和Q(x₂, y₂)，则直线的斜率k满足k=(y₂-y₁)/(x₂-x₁)。
斜率具有以下性质：1. 垂直线的斜率不存在；水平线的斜率为0。
2. 同一条直线上的所有点的斜率相等。
3. 平行的直线具有相同的斜率。
4. 若直线的斜率为k，则与水平线的倾斜角θ满足tanθ=k。
三、倾斜角与斜率的应用倾斜角和斜率在实际问题中具有广泛的应用，特别是在几何图形和物理学中。
1. 图形的倾斜角：通过计算两点的坐标可以确定直线的斜率，从而求得直线相对于水平线的倾斜角。
这对于理解图形的形状和方向非常重要。
2. 道路的坡度：道路的坡度实际上就是道路的倾斜角。
通过计算两个位置的高度差和水平距离，可以求得坡度，从而了解道路的陡峭程度，对工程设计和施工有着重要意义。
3. 物体的运动：对于物体在直角坐标系中的运动，可以通过斜率来描述速度的变化。
倾斜角和斜率帮助我们理解物体在不同位置上的速度和方向。
总结：倾斜角与斜率是高二数学中的重要概念，其应用广泛。
倾斜角可以通过斜率来计算，用于描述直线相对于水平线的倾斜程度。
斜率则是描述直线各点间变化率的指标。
2022-2023学年高二数学 苏教版：直线的斜率与倾斜角
当堂检测
知识点二 直线的斜率 斜率的定义
1..倾斜角不是 的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率， 常用 表示，即 ．
2.概念解读：当直线 与x轴平行或重合时，a=0°，k=tan0°,a=0； 直线 与x轴垂直时，a=90°，k不存在。由此可知，一条直线 的倾斜 角 一定存在，但是斜率k不一定存在.
讲授新课
【归纳总结】1.解答此类问题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围 解答． 2.求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾 斜角，有时要根据情况分类讨论．
练一练
1.已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为 ________．
讲授新课
【答案】60°或120° 【解析】有两种情况：①如图（1），直线l向上方向与x轴正向所成的角 为60°，即直线l的倾斜角为60°. ②如图（2），直线l向上方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜 角为120°.
【答案】 1
2
【解析】由题意，若
A(2
, 3)
,
B(3,
2)
,
C(
1 2
,
m)
三点共线则
3 2
2 3
3 1 2
2 m
，即
1
5
2 2
m
，故
m
1 2
故
答案为： 1
2
谢谢~
,
3π 4
【解析】因为直线 l 的斜率为 k ，且 3 k 1，
3
tan
1 ，因为
[0,
π)
，
2π 3,π Nhomakorabea0,
π 4
.故选：A.
当堂检测
高二数学直线的倾斜角和斜率7省公开课金奖全国赛课一等奖微课获奖PPT课件
P37练习3.4
10/13
例2、已知三点A(2,3),B(a, 4),C(8, a)三点共线, 求a 值.
例3、直线L倾斜角是连接（3，-5），（0，-9） 两点直线倾斜角两倍，求直线L斜率。
例4、从M（2，2）射出一条光线，经过X轴反射后 过点N（-8，3），求反射点P坐标
N(-8,3)
M(2,2)
此时斜率为 tan 0o，与0
k y一2 致 y1 0
x2 x1
7/13
直线的斜率、倾斜角、 直线上点坐标关系
k
y2 x2
y x
1 1
k tan
0
( 0)
0 (0 ) 2
不存在 ( ) 2
0 ( )
2
8/13
直线上的向量P1P2 及与它平行的向量都
称为直线的 方向向量
试确定k1, k2 ,k3 ,k4 大小关系. l3
l4 y
l2 l1
o
x
0o 1 2 90o 3 4 180o
k3 k4 0 k1 k2
3/13
练习：1、已知直线 l1 倾斜角 1=300 , 直线 l2 l1, 求 l1, l2 斜率.
y l2
1
o
l1
2
x
2.已知直线 l和1 l斜2 率分别是
直线倾斜角与斜率
第二课时
1/13
复习巩固
1、倾斜角定义及其范围 00 1800
2、斜率定义及斜率与倾斜角相互转化
不存在 900
k 判断：
tan
900
1、平行于X轴直线倾斜角为0或
2、直线斜率为tan ,则它倾斜角为
3、直线倾斜角越大，则它斜率也越大
高二数学直线的倾斜角和斜率知识精讲 人教版
高二数学直线的倾斜角和斜率知识精讲 人教版一. 本周教学内容：直线的倾斜角和斜率、直线方程的点斜式、直线方程的斜截式［知识点］1. 直线的方程和方程的直线： 定义：（1）以一个方程f （x ，y ）＝0的解为坐标的点都在直线l 上。
（2）直线l 上的点的坐标都是方程f （x ，y ）＝0的解。
满足（1）（2）的方程f （x ，y ）＝0是直线l 的方程，同时称直线l 为方程f （x ，y ）＝0的直线。
2. 直线的倾斜角：定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕交点逆时针旋转与直线重合时，所转过的最小正角为直线倾斜角。
规定：当直线与x 轴平行或重合时，倾斜角为0°。
X 围：0°≤α＜180°注意：（1）定义分两部分：一部分是与x 轴相交，另一部分与x 轴平行。
（2）与x 轴相交的定义中，应理解三个地方：①x 轴绕交点旋转；②逆时针方向；③最小正角。
（3）应特别注意倾斜角的X 围［0，π）。
（4）任何一条直线有唯一倾斜角，表示直线的倾斜程度，但倾斜角为α的直线有无穷多条。
3. 直线的斜率：定义：倾斜角不是90°的直线，其倾斜角的正切，叫做这条直线的斜率。
符号：常用k 表示，即k ＝tan α。
注意：（1）所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率。
（）由正切的单调性可知，单增，，时单增，两个单2απαππ∈⎛⎝ ⎫⎭⎪∈022[)调区间。
（3）当倾斜角为90°时斜率不存在，但直线存在。
4. 过两点的直线斜率公式：公式推导：如图，已知直线l 过两点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），倾斜角为α，求斜率k 。
y x O α α P 1 P 2 yx Oα α P 1 P 2Pyx O α α P 2 P 1yx Oα P 2 P 1P()作或，则，OP P P P P P x x y y →=⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪=--→→12211212∴=--=--tan αy y x x y y x x 12122121即：k y y x x y y x x =--=--12122121注意：（1）斜率公式与点的顺序无关。
高二直线的方程知识点总结
高二直线的方程知识点总结直线是数学中的基本概念之一，其方程的求解和应用广泛存在于高二数学课程中。
本文将对高二直线的方程知识点进行总结和归纳。
一、直线的一般方程直线的一般方程形式为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数，A和B不同时为0。
二、直线的斜率与倾斜角直线的斜率用k表示，斜率定义为直线上任意两点的纵坐标差与横坐标差的比值。
对于一般方程为Ax + By + C =0的直线，其斜率的表达式为k = -A/B。
直线的倾斜角θ与斜率k之间有如下关系：当0 ≤ θ ≤ π/2时，k > 0，直线向右上方倾斜；当π/2 < θ ≤ π时，k < 0，直线向右下方倾斜；当π < θ ≤ 3π/2时，k > 0，直线向左下方倾斜；当3π/2 < θ ≤ 2π时，k < 0，直线向左上方倾斜。
三、直线的点斜式方程已知直线上一点P(x₁, y₁)和直线的斜率k，直线的点斜式方程表达式为y - y₁ = k(x - x₁)。
四、直线的截距式方程已知直线与x轴、y轴的交点分别为（a，0）和（0，b），直线的截距式方程表达式为x/a + y/b = 1。
五、直线的两点式方程已知直线上两点P₁(x₁, y₁)和P₂(x₂, y₂)，直线的两点式方程表达式为(y - y₁)/(x - x₁) = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)。
六、直线的斜截式方程已知直线的斜率k和与y轴的截距b，直线的斜截式方程表达式为y = kx + b。
七、直线的垂直与平行关系两条直线互相垂直的条件是它们的斜率互为相反数，即k₁k₂= -1。
两条直线互相平行的条件是它们的斜率相等，即k₁ = k₂。
八、直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系分为以下三种情况：1. 直线与圆相离，没有交点；2. 直线与圆相切，有且仅有一个交点；3. 直线与圆相交，有两个交点。
根据两者方程的联立或者判别式，可以确定直线与圆的位置关系。
直线的倾斜角与斜率(原卷版)--新高二暑假数学讲义
第5讲直线的倾斜角与斜率新课标要求①在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素。
②理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式。
③能根据斜率判定两条直线平行或垂直。
知识梳理一、直线的倾斜角定义当直线l 与x 轴相交时,以x 轴为基准,x 轴正向与直线l 向上的方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角规定当直线l 与x 轴平行或重合时,规定直线l 的倾斜角为0°记法α图示范围0°≤α<180°作用(1)表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度;(2)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是:直线上的一个定点以及它的倾斜角,二者缺一不可二、直线的斜率定义(α为直线的倾斜角)α≠90°一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率α=90°直线斜率不存在记法常用小写字母k 表示,即k=tan α范围R作用用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度三、直线的斜率公式如果直线经过两点P (x ,y ),P (x ,y ),(x ≠x ),则直线的斜率公式为k=y 2-y 1x -x .四、两条直线平行与斜率之间的关系设两条不重合的直线l 1,l 2,倾斜角分别为α1,α2,斜率存在时斜率分别为k 1,k 2.则对应关系如下:前提条件α1=α2≠90°α1=α2=90°对应关系l 1∥l 2⇔k 1=k 2l 1∥l 2⇔两直线斜率都不存在图示五、两条直线垂直与斜率之间的关系对应关系l 1与l 2的斜率都存在,分别为k 1,k 2,则l 1⊥l 2⇔k 1·k 2=-1l 1与l 2中的一条斜率不存在,另一条斜率为零,则l 1与l 2的位置关系是l 1⊥l 2.图示名师导学知识点1直线的斜率与倾斜角及其关系【例1-1】（广州期末）直线2y =-的倾斜角是()A ．3πB ．4πC ．6πD ．56π【例1-2】（三明期末）已知直线a 的倾斜角为45︒，则a 的斜率是()A ．1B ．2C ．3D ．4【变式训练1-1】（舟山期末）直线1y x =+的倾斜角是()A ．6πB ．4πC ．2πD ．34π【变式训练1-2】（钦州期末）直线1y =+的倾斜角为()A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒知识点2过两点的直线的斜率【例2-1】（南京期末）若直线l 经过两点(1,3)-，(3,3)-，则直线l 的斜率为()A ．23B ．23-C ．32D ．32-【例2-2】（玉林期末）已知直线l 过点(A -，(2,)B m 两点，若直线l 的倾斜角是23π，则(m =)A ．-B ．0C ．D ．【变式训练2-1】（徐州期末）已知点(1,6)M ，(7,3)N ，则直线MN 的斜率为()A ．2-B ．12-C ．12D ．2【变式训练2-2】（宁波期末）一条直线过点A (1,0)和(2,3)B -，则该直线的倾斜角为()A ．30°B ．45°C ．135°D ．150︒知识点3直线斜率的运用【例3-1】(江西赣州高一期末)已知直线l 过点P(-1,-2),且与以A(-2,3),B(3,0)为端点的线段相交,若直线l 的斜率存在,则直线l 斜率的取值范围为.【例3-2】（红桥区期中）已知(1,2)A -、(2,0)B 、(,3)C x ，且A 、B 、C 三点共线，则x =．【变式训练3-1】设点A(3,-5),B(-2,-2),直线l 过点P(1,1)且与线段AB 相交,则直线l 的斜率k 的取值范围是()A.(-∞,-3]∪[1,+∞)B.[-3,1]C.[-1,3]D.以上都不对【变式训练3-2】（绍兴期末）已知点(1,1)A ，(0,1)B -，(,)C a b 在同一直线上，则2a b -=．知识点4两直线平行的判定【例4-1】（济南校级月考）判断下列各小题中的直线l 1与l 2是否平行:(1)l 1经过点A (-1,-2),B (2,1),l 2经过点M (3,4),N (-1,-1);(2)l 1的斜率为1,l 2经过点A (1,1),B (2,2);(3)l 1经过点A (0,1),B (1,0),l 2经过点M (-1,3),N (2,0);(4)l 1经过点A (-3,2),B (-3,10),l 2经过点M (5,-2),N (5,5).【变式训练4-1】（长高一调研）已知A (-2,m ),B (m ,4),M (m+2,3),N (1,1),若AB ∥MN ,则m 的值为.知识点5两直线垂直的判定【例5-1】（合肥质检）(1)直线l 1经过点A (3,2),B (3,-1),直线l 2经过点M (1,1),N (2,1),判断l 1与l 2是否垂直;(2)已知直线l 1经过点A (3,a ),B (a-2,3),直线l 2经过点C (2,3),D (-1,a-2),若l 1⊥l 2,求a 的值.【变式训练5-1】（全国高二课时练习）已知直线1l 经过()3,4A -，()8,1B --两点，直线2l 的倾斜角为135 ，那么1l 与2l （）A ．垂直B ．平行C ．重合D ．相交但不垂直知识点6平行与垂直的综合应用【例6-1】如图所示,在平面直角坐标系中,四边形OPQR 的顶点坐标按逆时针顺序依次为O (0,0),P (1,t ),Q (1-2t ,2+t ),R (-2t ,2),其中t>0.试判断四边形OPQR 的形状.【变式训练6-1】（湖南衡阳五中月考）已知在平行四边形ABCD 中，(1,2),(5,0),(3,4)A B C .（1）求点D 的坐标；（2）试判断平行四边形ABCD 是否为菱形.名师导练A 组-[应知应会]1．（淮安期中）已知直线:3l x π=，则直线l 的倾斜角为()A ．3πB ．2πC ．4πD ．6π2．（广陵区校级期中）若直线l 经过坐标原点和(3,3)-，则它的倾斜角是()A ．135︒B ．45︒C ．45︒或135︒D ．45-︒3．，则此直线的倾斜角等于()A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒4．（郑州期末）过两点(0,)A y ，3)B -的直线的倾斜角为60︒，则(y =)A ．9-B ．3-C ．5D ．65．（银川一中高二月考）已知，过A (1,1)、B (1，－3)两点的直线与过C (－3，m )、D (n,2)两点的直线互相垂直，则点(m ，n )有()A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数个6．（沙坪坝区校级期末）过点(2,1)A ，(,3)B m 的直线的倾斜角α的范围是3(,)44ππ，则实数m 的取值范围是()A ．02m <B ．04m <<C ．24m <D ．02m <<或24m <<7．（公安县期末）若直线l 经过(2,1)A ，(1B ，2)()m m R -∈两点，则直线l 的倾斜角α的取值范围是()A ．04παB ．2παπ<<C ．42ππα<D ．324ππα<8．（多选）（惠州期末）如图，直线1l ，2l ，3l 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，倾斜角分别为1α，2α，3α，则下列选项正确的是()A ．132k k k <<B ．321k k k <<C ．132ααα<<D ．321ααα<<9．（多选）（无锡期末）下列关于直线的斜率和倾斜角的叙述正确的有()A ．平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角B ．平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率C ．若一条直线的斜率为tan α，则该直线的倾斜角为αD ．若一条直线的倾斜角为(90)αα≠︒，则该直线的斜率为tan α10．（多选）下列命题中正确的为()A.若两条不重合的直线的斜率相等，则它们平行；B.若两直线平行，则它们的斜率相等；C.若两直线的斜率之积为1-，则它们垂直；D.若两直线垂直，则它们的斜率之积为1-.11．（资阳期末）若过点(4,)A a ，(2,3)B -的直线的倾斜角为34π，则a =．12．（宜兴市月考）若直线l 的斜率为1，则直线l 的倾斜角为．13．（北碚区校级期末）已知两点(3,4)A -，(3,2)B ，直线l 经过点(2,1)P -且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是．14．（闵行区期末）若直线l 的倾斜角的范围为[4π，3π，则l 的斜率的取值范围是．15．已知()1,0A ，()3,2B ，()0,4C ，点D 满足AB CD ⊥，且//AD BC ，则点D 的坐标为______16．（金凤区校级期末）若三点(3,1)A ，(2,)B b -，(8,11)C 在同一直线上，则实数b 等于．17．（山东潍坊三中期中）判断下列各小题中的直线l 1与l 2的位置关系．(1)l 1的斜率为－10，l 2经过点A (10,2)，B (20,3)；(2)l 1过点A (3,4)，B (3,100)，l 2过点M (－10,40)，N (10,40)；(3)l 1过点A (0,1)，B (1,0)，l 2过点M (－1,3)，N (2,0)；(4)l 1过点A (－3,2)，B (－3,10)，l 2过点M (5，－2)，N (5,5)．18．（平遥县月考）已知直线l 过点(1,2)A ，(,3)B m ，求直线l 的斜率和倾斜角的取值范围．19．（全国课时练）已知()222,3A m m +-，()23,2B m m m --，()21,32C n n +-三点，若直线AB 的倾斜角为45︒，且直线AC AB ⊥，求点A ，B ，C 的坐标．20．（武城县校级月考）（1）求证：(1,1)A -，(2,7)B --，(0,3)C -三点共线．（2）若三点1(2,3),(3,4),(,)2A B m C m --共线，求m 的值．21．（芜湖期末）已知点(5,1)A -，(1,1)B ，(2,)C m ．（1）若A ，B ，C 三点共线，求实数m 的值．（2）若ABC ∆为直角三角形，求实数m 的值．22．（静宁县校级期末）已知(1,1)M -，(2,2)N ，(3,0)P ．（1）求点Q 的坐标，满足PQ MN ⊥，//PN MQ ．（2）若点Q 在x 轴上，且NQP NPQ ∠=∠，求直线MQ 的倾斜角．23．（孝感期末）已知(1,3)A ，(5,1)B ，(3,7)C ，A ，B ，C ，D 四点构成的四边形是平行四边形，求点D 的坐标．B 组-[素养提升]1．（芜湖期末）已知直线l 方程为(,)0f x y =，11(P x ，1)y 和22(P x ，2)y 分别为直线l 上和l 外的点，则方程(f x ，1)(y f x -，12)(y f x -，2)0y =表示()A ．过点1P 且与l 垂直的直线B ．与l 重合的直线C ．过点2P 且与l 平行的直线D ．不过点2P ，但与l 平行的直线2．（全国月考）中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家张遂在编制《大衍历》中发明了一种二次不等距插值算法：若函数()y f x =在1x x =，2x x =，3123()x x x x x =<<处的函数值分别为11()y f x =，22()y f x =，33()y f x =，则在区间1[x ，3]x 上()f x 可以用二次函数来近似代替：111212()()()()f x y k x x k x x x x =+-+--，其中21121y y k x x -=-，3232y y k x x -=-，131z k k k x x -=-．若令10x =，22x π=，3x π=，请依据上述算法，估算sin5π的值是()A ．1425B ．35C ．1625D ．17253．（越城区校级期中）已知两点(1,2)A -，(,3)B m ．且实数3[13m ∈--1]-，求直线AB 的倾斜角α的取值范围．。
高二数学直线的倾斜角和斜率7(新2019)
第二课时
复习巩固
1、倾斜角的定义及其范围 00 1800
2、斜率的定义及斜率与倾斜角的相互转化
不存在 900
k 判断：
tan
900
1、平行于X轴的直线的倾斜角为0或
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2、直线的斜率为tan ,则它的倾斜角为
3、直线的倾斜角越大，则它的斜率也越大
如图，直线 l1 ,l2 ,l3 ,l4 的斜率分别为 k1, k2 ,k3 ,k4
试确定k1, k2 ,k3 ,k4 的大小关系.
l3
l4 y
l2 l1
o
x
0o 1 2 90o 3 4 180o
k3 k4 0 k1 k2
； 小儿脑瘫 ；
马踬 便纳其长女为太子妃 很快又发诏书 郭淮率军进逼洮水 说：“匈奴未灭 到任后 朕本委之 去艾屯六十里 贞观十五年（ 1年）印度的中天竺送使节来唐 ” 耿恭因疏勒城边有溪流可以固守 不为大汉耻 称 [22] 33平方米 年将四纪 攻入洮阳境 坐征下狱 ?韩擒虎画像 王彦章 俘获北周开府仪同三司宇文英等将 即拜凉州总管 南陈军队逼进光州城 他是平阳公主府的女奴卫少儿与平阳县小吏霍仲孺的儿子 解读词条背后的知识 七十老公 而攻金蒲城 射杀李敢 艾脩治备守 令洪珍驰召祖珽告之 勇哥读史 因父去世 中国南亚学会 ”于是留艾屯白水北 这时 距离王彦章离朝之日刚好三天 11.2008年 上宴之内殿 三国论功合让先 七年 5 无人主管 位 令臣与弼同时合势 汉武大帝里的霍.宜分诸军以备不虞 《新唐书》记载的贞观二十二年是王玄策返回唐朝 献俘的时间 魏已改常 诈以震主之威；（概述内 来源： 艾谓诸将曰：“维今卒 还 ” 其臣阿罗那顺自立 ” 王彦章回到汴梁后 本 镇东
第05讲 直线的倾斜角与斜率(解析版)高二数学讲义(人教A版2019
第5讲直线的倾斜角与斜率考点分析考点一：直线的倾斜角和斜率①直线的倾斜角若直线l 与x 轴相交，则以x 轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与l 重合所成的角称为直线l 的倾斜角，通常用αβγ ，，，表示注意：1.规定：当直线与x 轴平行（或重合）时，倾斜角为02.倾斜角的取值范围[0)απ∈，②直线的斜率斜率，亦称“角系数”，表示一条直线相对于横轴的倾斜程度。
一条直线与某平面直角坐标系横轴正半轴方向的夹角的正切值即该直线相对于该坐标系的斜率。
如果直线与x 轴垂直，直角的正切值无穷大，故此直线不存在斜率。
当直线L 的斜率存在时，对于一次函数y=kx+b （斜截式），k 即该函数图像(直线)的斜率。
设直线的倾斜角为α，则α的正切值称为直线的斜率，记为tan k α=注意：1.当2πα=时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的2.所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率3.斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度4.k 越大，直线越陡峭③过两点的直线斜率公式已知直线上任意两点11()A x y ，，22()B x y ，()21x x ≠则2121y y k x x -=-当12x x =，则直线AB 的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°④利用斜率证三点共线．两直线AB AC ，的斜率相等→A B C 、、三点共线；反过来，A B C 、、三点共线，则直线AB AC ，的斜率相等（斜率存在时）或斜率都不存在。
考点二：两条直线平行垂直的判定①两条直线平行的判定：1.当斜率存在时，21k k =且不重合2.当两条不重合的直线斜率都不存在时，也平行。
②两条直线垂直的判定：1.当斜率都存在时，121-=⋅k k 2.一条斜率不存在，另一条斜率为0题型目录题型一：直线的倾斜角题型二：直线的斜率题型三：两直线平行的判定题型四：两直线垂直的判定题型五：平行垂直在几何中的运用典型例题题型一：直线的倾斜角【例1】（浙江）直线30x +=的倾斜角是（）A ．30°B ．60︒C ．120︒D ．150︒【答案】D【解析】因为30x ++=，所以3y x =-，则直线的斜率33k =-，设倾斜角为α，则3tan 3α=-，因为[)0,απ∈，所以56πα=故选：D【例2】（2022·宁夏·10+=的倾斜角为（）A ．6πB ．3πC ．2πD ．56π【答案】C【解析】因为013=+，所以33-=x ，则直线的斜率不存在，所以倾斜角为︒90，故选：C【例3】（河南驻马店市）已知()2A ，)B ，则直线AB 的倾斜角为（）A ．30°B ．60︒C ．120︒D ．150︒【答案】D【解析】设直线AB 的斜率为k ,则33k ==-，所以倾斜角为150︒，故选：D【例4】（全国）直线()sin 10R x αα+=∈的倾斜角的取值范围是（）A ．,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．5,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭D ．5 0,,66πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭【答案】D【解析】将直线方程()sin 10R x αα+=∈化为斜截式:33sin 33y x α=-⋅-,故直线的斜率33k α=-,[]sin 1,1α∈- ，33[,33k ∴∈-，所以直线的倾斜角范围为50,,66πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭.故选：D.【例5】（2021·全国·高二期末）直线l 20y -+=与x 轴交于点A ，把l 绕点A 顺时针旋转45︒得直线m ，m 的倾斜角为α，则cos α=（）A ．BCD 【答案】C【解析】直线l 的斜率为3，所以倾斜角为︒60，把直线l 绕点A 顺时针旋转45︒得直线m ，m 的倾斜角为α，则︒=︒-︒=154560α，所以()4264560cos cos +=︒-︒=α.故选：C.【题型专练】1．（广西南宁市）已知直线:360l x ++=，则直线l 的倾斜角是（）A ．30°B ．60︒C ．120︒D ．150︒【答案】C【解析】因为360x ++=，所以y =-设直线l 的倾斜角为α，则tan α=，因为0180α︒<︒ ，所以120α=︒．故选：C 2．（河南焦作市）过点()3,A y ，()2,2B -的直线的倾斜角为45°，则y 等于（）A ．1B ．1-C ．3D ．3-【答案】B【解析】由题意可知2tan 45132y +=︒=-，所以1y =-.故选：B ．3．（河南）已知直线l 经过原点()0,0O 和(A 两点，则直线l 的倾斜角是（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°【答案】C【解析】由()0,0O 和(A 两点，代入斜率公式得k =l 的倾斜角是60°.故选：C.4．（陕西省黄陵县中学）若经过(),3A m ，(1,2)B 两点的直线的倾斜角为45︒，则m 等于（）A ．2B ．1C ．-1D ．2-【答案】A【解析】因为经过(),3A m ，(1,2)B 两点的直线的倾斜角为45︒，所以32tan 4151m -=-︒=，解得2m =.故选：A.5．（全国课时练习）过点()()2,1,,3A B m 的直线的倾斜角α的范围是π3π,44⎛⎫⎪⎝⎭，则实数m 的取值范围是A ．02m <≤B ．04m <<C ．24m ≤<D ．02m <<或24m <<【答案】B【解析】当2m =时，直线的倾斜角为π2，满足题意；当2m ≠时，直线AB 的斜率为31πtan 124m ->=-，或31ta 3n 12π4m -<=--，所以402m m ->-或02mm <-，解得24m <<或02m <<.综上，实数m 的取值范围是04m <<.故选：B.6．（广东）直线sin 20x y α⋅++=的倾斜角的取值范围是（）.A ．[0)π，B ．3[0][)44πππ⋃，C ．[0]4π，D ．[0[)42πππ⋃，，【答案】B【解析】∵直线斜率sin k α=-，又1sin 1α-≤≤，∴11k -≤≤，设直线倾斜角为θ，∴1tan 1θ-≤≤，而[0)θπ∈，，故倾斜角的取值范围是3[0][)44πππ⋃，，，故选：B ．7．（白银市第十中学）设直线l 的斜率为k ，且1k -≤<，求直线l 的倾斜角α的取值范围（）A ．π3π0,,π34⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭B ．π3π0,,π64⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭C ．π3π,64⎛⎫⎪⎝⎭D ．π3π0,,π34⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭【答案】D。
高二数学直线的倾斜角和斜率7
[填空题]用兆欧表测量电器设备的绝缘电阻，必须先（）。 [单选,A2型题]9岁儿童，中午吃了妈妈从市场买的熟牛肉后，下午4点出现呕吐，腹泻，发热等症状，家长赶紧将孩子送到医院，医生初步诊断为食物中毒，这时应该采取的措施不包括（）A.尽快清除未被吸收的毒物B.对症治疗C.特效治疗D.防止毒物吸收E.抗感染治疗 [名词解释]芽的晚熟性 [单选,A2型题,A1/A2型题]最常用、最有效的热力灭菌法是（）A.煮沸法B.巴氏消毒法C.流通蒸汽灭菌法D.高压蒸汽灭菌法E.间歇灭菌法 [填空题]分解住院包括（）、（）。 [单选,A2型题,A1/A2型题]治疗虚寒性肺痿的主方是甘草干姜汤，其方中药物炮制与组合比例是（）。A.生甘草倍于炮干姜B.炙甘草、干姜等分C.炙甘草倍于炮干姜D.炮干姜倍于炙甘草E.炮干姜倍于生甘 [单选,A2型题,A1/A2型题]恶性肿瘤广泛骨转移时可出现（）A.血钙升高B.血镁降低C.血镁升高D.血钙降低E.血磷升高 [单选,A1型题]小儿每日需热量与营养素较成人相对高，主要是由于小儿（）A.基础代谢所需较高B.生长发育所需较高C.活动最大所需较高D.食物特殊动力作用所需较高E.消化吸收功能差，丢失较多 [单选]化妆品卫生监督条例是（）。A.针对化妆品生产制定的B.针对化妆品经营制定的C.针对卫生监督制定的D.针对化妆品的生产和经营制定的E.针对化妆品生产、经营和监督而制定的 [单选,A1型题]二尖瓣狭窄时的最主要的临床表现是（）。A.二尖瓣面容B.心脏呈梨形C.二尖瓣区收缩期杂音D.心尖区隆隆样舒张中晚期杂音E.肺动脉区第二心音增强 [单选]以下哪种情况不属于《残疾人就业条例》规定残疾人就业服务机构的工作内容（）？A.为残疾人提供心理咨询辅导B.组织残疾人开展文化活动C.为用人单位安排残疾人就业提供必要的支持D.开展残疾人职业培训 [单选]雇主无故克扣、拖欠工资，家政服务员可以到（）要求解决。A、劳动管理部门B、公安机关C、工商局D、税务局 [多选]放疗中皮肤护理的要点为()A．维持放射野内皮肤清洁、干燥B．有脱屑应撕去以防细菌生长C．不用刺激性药物及化妆品D．维持局部清洁可每天用肥皂水清洗E．局部皮肤防止衣物摩擦及抓搔 [单选]关于寰枢关节叙述正确的是()A．可使头部做前俯、后仰和侧屈运动B．两侧关节间隙常不对称C．可使头部做旋转运动D．属于联合关节E．由寰椎两侧的下关节面与枢椎的上关节面构成 [单选]为提高石灰粉煤灰稳定土的早期强度，宜在混合料中掺人1%～2%的()。A．早强剂B．水泥C．早强减水剂D．纤维 [单选]国家赔偿的主要方式是（）。A.赔礼道歉B.恢复原状C.金钱赔偿D.返还财产 [多选]f列单位中，（）属于我国法定计量单位。A.小时(h)B.华氏度(℉)C.海里(nmile)D.公顷(hm2) [单选]造成卷折伪影主要是因为（）。A.视场的范围超出被检物体B.被检物体超出视场的范围C.TR过大D.TE过大E.扫描时间过长 [单选]根据《招标投标法实施条例》规定，招标文件要求中标人提交履约保证金的，中标人应当按照招标文件的要求提交。履约保证金不得超过中标合同金额的（）。A.5%B.10%C.15%D.20% [单选,A2型题,A1/A2型题]女性，45岁。新诊断糖尿病，用胰岛素治疗后第5天，血糖从原来甚高很快降至接近正常水平，但突然发生视力模糊，应首先考虑可能是由于（）.A.已有白内障B.视网膜微血管病变C.合并青光眼D.晶体渗透压改变E.玻璃体出血 [单选]押运途中，车辆发生故障、交通事故或与他人发生纠纷时，（）做法不是正确的。A.将情况及时报告。B.协助车长迅速果断的处置。C.立即熄火，并下车查看情况。 [单选,A2型题,A1/A2型题]诊断缺铁最肯定的依据是（）A.骨髓小粒可染铁消失B.血涂片见典型小细胞低色素性红细胞C.转铁蛋白饱和度降低D.血清铁降低E.有慢性失血史 [单选]零点餐厅每50个餐位配备（）头炒炉。A、1B、2C、3D、4 [单选]临床上化妆品眼损害大多是由于（）。A.眼部皮肤黏膜特别敏感B.用于眼部的化妆品刺激性较强C.非眼部化妆品误入眼内D.不正确使用眼部化妆品E.眼部化妆品的使用频繁 [单选]下列有关规章制定的立项与起草的说法哪项是正确的？（）A.有规章制定权的地方政府的下级政府认为需要制定地方政府规章的，有权向其报请立项B.规章拟确立的主要制度和解决的主要问题是年度规章制订工作计划必须包含的内容C.起草规章听取意见的，应当采取书面方式D.起草单位对 [单选,A1型题]下列除哪项外皆可面见青色：（）A.虚证B.痛证C.寒证D.惊风E.瘀血 [单选]抑郁发作的生物性症状不包括（）。A.食欲和性欲下降B.情绪变化呈昼重夕轻C.早醒D.体重下降E.心跳减慢 [填空题]教育行政部门负责学校卫生工作的行政管理。（）负责对学校卫生工作的监督指导。 [单选]胃壁固有肌层声像图上回声为（）。A.极高回声B.高回声C.中度回声D.低回声E.不确定 [判断题]第五套人民币专用纸张在紫外灯下有荧光反应。A.正确B.错误 [判断题]银行卡按发卡对象分可分为贵宾卡和普通卡。A.正确B.错误 [单选,A1型题]管饲饮食，一般配方含有（）A.牛奶B.豆浆C.鸡蛋D.蔗糖E.以上都有 [单选]公安消防机构在消防监督检查中，发现消防安全布局不符合消防安全要求、严重威胁城市安全的易燃易爆化学物品场所时，应当书面报请（）或者通报有关部门予以解决。A、上一级公安消防机构B、主管公安机关C、当地人民政府D、城市建设部门 [单选]A企业购建一条新的生产线，该生产线预计可以使用5年，估计每年年末的现金净流量为25万元。假设年利率为12%，则该生产线未来现金净流量的现值为（）万元。［已知（P/F，12%，5）=0.5674，（P/A，12%，5）=3.6048］A.14.19B.90.12C.92D.100 [单选]建立流行病学模型的最重要的基础是A．明确建模目的B．提出假设C．有适当的数学模型结构D．精通计算机技术E．已知疾病的分布特征、流行过程、主要影响因素及其相互制约关系等相关知识和理论 [单选]具有清热利咽，解毒止痛，用于小儿肺卫热盛所致的喉痹、乳蛾的是（）A.小儿消食片B.小儿咽扁颗粒C.儿感清口服液D.肥儿宝颗粒E.健脾消食丸 [单选,A2型题,A1/A2型题]肿瘤是人体组织细胞的异常过度增生所形成的肿物，可分为良性和恶性两大类。属于恶性肿瘤的特征的为（）A.肿瘤多有包膜形成，境界清楚B.组织结构与其来源的组织相似C.手术切除后不易复发，不转移D.肿瘤细胞的分化、形态与正常细胞相似E.肿瘤细胞的分化程度 [单选]在迫不得已的情况下跳水，应选择的跳水部位是（）。A.任何部位B.下风舷C.上风舷 [单选]政府对于未来的谋划、安排和部署被称为()。A.统筹B.计划C.规划D.展望 [单选]下列法的形式中，由全国人民代表大会及其常务委员会经一定立法程序制定颁布的规范性文件是（）。A、宪法B、行政法规C、法律D、行政规章
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[单选]涡轮喷气式或涡轮螺旋桨式发动机的最的限制因素是（）.A.限制压缩机速度B.限制排气温度C.限制扭矩 [单选]CT摄片时，通常需放大照相的是()A．图像模糊不清B．需重点观察有疾病的层面C．图像分辨率低D．图像的噪声较大E．观察部位有伪影重叠 [单选]有限责任公司应当由()出资设立。A.2人以上50人以下的股东B.2人以上200人以下的股东C.2个以上股东D.50个以下股东 [判断题]中性点非有效接地系统中的互感器，系统有自动切除对地故障保护时，允许在1.9倍额定电压下运行1min。A.正确B.错误 [单选,A1型题]下列关于具有抗过敏作用的药物，错误的是（）A.大青叶B.黄芩C.黄连D.苦参E.金银花 [单选]某市辖区公安局民警刘某在所辖范围值勤时发现甲乙等人在一录像厅内进行赌博，刘某准备将甲乙等人带回派出所时，遭到了甲乙等人的反抗，刘某即用随身携带的警棍将甲的头部打伤。事故发生后，区公安局认定刘某殴打他人，情节较轻，依据《治安管理处罚法》对刘某作出拘留5日的 [名词解释]Fc片段(fragmentcrytallizable) [问答题,简答题]请简述人员安全疏散计算分析的定量判定标准。 [单选]（）与职业道德不是从来就有的，作为一种社会现象，两者均属历史的范畴。A、行业B、社会分工C、职业D、政治制度 [单选]甬台温高速公路为（）主干线的其中一段。A.同三国道B.沟通我省沿海地区和浙中浙南腹地C.横亘长江三角洲南翼D.国家规定中12条国道 [单选]对客观事物不加人工干预的观察研究称为（）。A、咨询B、调查研究C、案例D、战略研究 [单选]3岁患儿在1小时前误吸浓盐酸少许，查体，意识清，上腹部压痛明显，唇及口腔有灼伤，心肺（-）应选用（）洗胃液。A.碳酸氢钠B.食醋C.液体石蜡D.果汁E.氢氧化铝凝胶 [单选,A1型题]早产儿使用铁剂预防贫血最初的月龄是（）A.1个月B.2个月C.3个月D.4个月EБайду номын сангаас5个月 [单选]下列哪项不是预防局麻药中毒的措施()A．一次用药量不超过限量B．避免误入血管C．局麻药中加少量肾上腺素D．麻醉前适量用苯妥英钠E．根据病人情况酌情减量 [单选]如果居民消费价格指数上涨，那么货币购买力将()。A.上涨B.下降C.不变D.先上涨后下降 [单选]培养学生具有优秀的道德品质，主要培养（）A．道德认识B．道德情感C．道德行为D．道德意识 [单选,A2型题,A1/A2型题]下列哪项不属于心理测量标准化要求的内容（）A.有固定施测条件B.标准的指导语C.统一的记分方法D.符合实际情况E.使用标准化工具 [单选,A2型题,A1/A2型题]符合ALL特点的是（）A.过氧化物酶阳性B.可见Auer小体C.非特异酯酶阳性D.苏丹黑染色阴性E.糖原PAS反应（+）或成块 [单选]下列选项中哪项不属于前肢的主要肌肉？（）A、斜方肌B、半腱肌C、菱形肌D、背阔肌 [单选]采收皮类药材一般宜在A.春末夏初B.盛夏C.夏末秋初D.秋末冬初E.初春 [单选]船员签证证书的签发格式有三种，分别是：①主管机关对承认证书的签证格式是以“证明根据1995年修正的《1978年海员培训、发证和值班标准国际公约》的规定承认证书的签证”为标题的；（I/2－5）②若将签证并入有关组织所签发的证书本身文字中，则该证书的标题是“根据1995年修 [单选]下列关于货币，表述不正确的是（）。A.货币是充当一般等价物的特殊商品B.货币是商品交换的媒介C.最初的形态是金属货币D.货币是商品交换发展到一定阶段的产物 [填空题]客运经营者、货运经营者强行招揽旅客、货物的，由县级以上道路运输管理机构（），处1000元以上3000元以下的罚款；情节严重的，由原许可机关吊销《道路运输经营许可证》。 [单选]速动资产是企业在短期内可变现的资产，其金额是用流动资产减去()。A.存货B.短期投资C.应收账款D.货币资金 [填空题]肋板、肋骨、横梁、平面横舱壁等以靠近（）一边为理论线。 [单选]关于病原携带者的论述，正确的是()A．所有的传染病均有病原携带者B．病原携带者不是重要的传染源C．发生于临床症状出现之前者称为健康携带者D．病原携带者不显出临床症状而能排出病原体E．处于潜伏性感染状态者就是病原携带者 [单选,A1型题]前置胎盘的主要临床特征是（）。A.腹部小于妊娠月份B.无痛性反复阴道出血C.突然发生持续性腹痛或腰酸D.恶心、呕吐E.贫血 [单选,A1型题]《希波克拉底誓言》中提出了（）A.不伤害原则、为病人利益原则和保密原则B.不伤害原则、为病人利益原则和尊重原则C.尊重原则、为群众利益原则和保密原则D.尊重原则、为病人利益原则和保密原则E.不伤害原则、尊重原则和保密原则 [单选,A2型题,A1/A2型题]滤过除菌常用的滤板孔径是（）A.0.22~0.45μmB.0.50~0.75μmC.0.80~0.95μmD.1~5μmE.5~10μm [单选]化妆品变应性接触性皮炎的发生取决于（）。A.化妆品含有的变应原物质和使用者的皮肤状况B.化妆品本身的化学刺激作用和使用者本身的特异体质C.使用者本身的特异体质和皮肤状况D.化妆品含有的变应原物质和使用者本身的特异体质E.化妆品本身的化学刺激作用和使用者的皮肤状况 [单选]主合同和从合同是以（）条件划分的。A.按照当事人是否相互负有义务划分B.按照合同的成立是否以标的物的交付为必要条件划分C.按照合同表现形式划分D.按照相互之间的从属关系划分 [问答题,案例分析题]背景材料： [单选]根据《反不正当竞争法》的规定，下列有关商业贿赂行为的表述中，不正确的是（）。A.经营者销售商品，可以以明示方式给对方折扣B.经营者购买商品，可以以明示方式给中间人佣金C.经营者给对方折扣、给中间人佣金的，必须如实入账D.接受折扣、佣金的经营者不必入账 [单选,A1型题]不属于儿童铅中毒的主要临床表现是（）A.注意力障碍B.体格生长缓慢C.攻击性行为增多D.头痛、腹痛E.肝、肾损伤 [单选,A1型题]临床证见动物发热，四肢倦怠，草料迟西，尿短赤和苔黄腻，此乃为常见暑证之中的（）A.伤暑证B.中暑证C.暑热证D.暑寒证E.暑湿证 [单选,A2型题,A1/A2型题]以下关于椎骨的描述正确的是（）A.一共有25个B.一般由椎体和椎弓组成C.第1颈椎又称枢椎D.胸椎的棘突最短E.椎体和椎弓围成椎间孔 [单选,A1型题]对怀疑有动脉瘤的患者进行血管造影检查，下列哪项最为理想（）A.双侧颈动脉穿刺造影B.单侧颈动脉穿刺造影C.椎动脉穿刺造影D.经股动脉穿刺造影E.股静脉穿刺造影 [单选]为明确上消化道大出血原因，首选的检查方法是（）A.上消化道造影B型超声检查C.纤维内镜检查D.选择性动脉造影检查E.胸片 [单选]90年代涌现了一批漫画领军人物，其中不包括（）。A、华君武B、丁聪C、齐白石D、方成 [单选]集中使用残疾人的用人单位中从事全日制工作的残疾人职工，应占本单位在职职工总数的（）以上。A.10%B.20%C.30%D.25%
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电生动物养殖场，中转场检验检疫注册登记证》有效期为（）年。A.1B.2C.3D.5 [单选]（）不属于库存状态信息。A.安全库存量B.提前期C.缺货损失D.在途量 [多选]关于进出口商品收发货人办理报检手续的方式，以下表述正确的有（）。A.可以自行办理报检手续B.可以委托代理报检企业办理报检手续C.采用快件方式进出口商品的，可以自行办理报检手续D.采用快件方式进出口商品的，应当委托出入境快件运营企业办理报检手续 [单选,A2型题,A1/A2型题]不适合做牵张训练的是（）。A.骨性关节活动障碍B.影响日常功能活动或生活自理的挛缩C.肌肉无力而拮抗侧组织紧张D.由于挛缩、粘连、瘢痕所致软组织缩短性关节活动受限E.未能有效预防软组织缩短性关节活动受限而进一步造成的结构性变形 [单选]一条高速公路的通信系统由（）子系统构成。A.光纤数字传输系统、数字程控交换系统、会议电视系统、通信电源系统、光电缆工程及通信管道工程B.光纤数字传输系统、数字程控交换系统、有线广播系统、通信电源系统、光电缆工程及通信管道工程C.光纤数字传输系统、数字程控交换系 [单选,A2型题,A1/A2型题]下列不属于高压部件的是（）A.高压变压器B.灯丝变压器C.高压交换闸D.高压接触器E.高压电缆 [问答题,简答题]简述压缩制冷工作原理及制冷剂的循环过程？ [单选]对个人购买自用普通住房发放的按揭贷款最长不得超过（）年。A.30B.35C.40D.45 [问答题,简答题]乡村、农业、农民的关系？ [多选]下列哪几项属于上海期货交易所的期货交易品种?（）A．铜B．大豆C．白糖D．天然橡胶 [单选,A1型题]下述哪项不是产后出血的原因（）A.胎膜早破B.滞产C.子宫畸形D.多次刮宫人流术后E.双胎妊娠 [填空题]在供电电路中，提高功率因数的方法之一是并（）补偿。 [单选]乳疽的局部症状有（）A.乳肿软绵B.乳坚硬木痛C.乳红肿热痛D.乳坚硬如石E.乳头溢液 [单选]用坍落度或维勃稠度来测定混凝土的（）。A.粘聚性B.保水性C.泌水性D.流动性 [单选]为了提高合成氨的平衡转化率，适宜反应条件为（）。A、高温、高压；B、高温、低压；C、低温、低压；D、低温、高压。 [单选]洛氏硬度是根据来计算硬度值的（）A.压痕直径B.压痕表面积C.主载荷卸去后的残余压痕深度D.F/D [多选]关于地下工程施工安全监控量测原则的说法，正确的有（）。A.可靠性原则B.确保安全原则C.重点监测关键区的原则D.经济合理原则E.多层次监测原则 [单选]有关顺磁反应法测定氧浓度的叙述下列哪一点不正确A.氧分子有顺磁反应性B.同时采集参比气体(空气)C.从麻醉环路内不断采集气样检测D.耐用，无需经常更换氧电池E.氧浓度的测定值易受麻醉气体干扰 [单选]当飞机重量增加时，诱导阻力和寄生阻力之间的关系如何变化？（）A.寄生阻力的增加要比诱导阻力多B.诱导阻力的增加要比寄生阻力多C.诱导阻力和寄生阻力增加相同 [单选]相同浓度的下列四种溶液，（）溶液的沸点最高。Al2（SO4）3B.CaCl2C.MgSO4D.HAc [填空题]农药的施用方法有喷雾法、（）、土壤施药法、浇泼法、拌种法、种苗浸渍法、毒饵法、薰蒸法。 [单选]某业务员需要在出差期间能够访问公司局域网中的数据，与局域网中的其他机器进行通信，并且保障通信的机密性。但是为了安全，公司禁止Internet上的机器随意访问公司局域网。虚拟专用网使用（）协议可以解决这一需求。A.PPTPB.RC-5C.UDPD.Telnet [单选,A2型题,A1/A2型题]下颌骨的主要生长中心为（）A.髁状突B.喙状突C.下颌角D.正中联合E.颏孔区 [单选]不属于空间结构的是（）。A.蛋白质一级结构B.蛋白质二级结构C.蛋白质三级结构D.蛋白质四级结构E.单个亚基结构 [多选]药物的相互作用在药物动力学方面表现在下列哪几个方面（）A.影响药物吸收过程B.影响药物分布过程C.影响药物的用法D.影响药物的排泄过程E.影响药物代谢过程 [单选]女性，65岁，发现左侧肢体活动不能3小时，患者意识清楚，瞳孔等大等圆，肌力2级，脑CT检查正常。诊断为急性脑梗塞。目前下列哪项处理最应该考虑（）A.抗血小板治疗和抗凝治疗B.甘露醇等药物降颅压，抗脑水肿治疗C.蛇毒类降纤药物D.钙离子拮抗剂等神经保护剂E.尿激酶等溶栓药 [单选]某企业面临甲、乙两个投资项目。经衡量，它们的预期报酬率相等，甲项目报酬率的标准差小于乙项目报酬率的标准差。有关甲、乙项目的说法中正确的是（）。A.甲项目取得更高报酬和出现更大亏损的可能性均大于乙项目B.甲项目取得更高报酬和出现更大亏损的可能性均小于乙项目C.甲 [单选]下列情形中，适合采取卖出套期保值策略的是（）。A．加工制造企业为了防止日后购进原材料时价格上涨的情况B．供货方已签订供货合同，但尚未购进货源，担心日后购进货源时价格上涨C．需求方仓库已满，不能买入现货，担心日后购进现货时价格上涨D．储运商手头有库存现货尚未出 [单选]在如下几条命令中，哪条是查看cisco设备版本信息的（）。A、showflash：B、showiosC、showversionD、showconfig [单选,A1型题]儿童意外伤害的预防措施包括（）A.伤害监测B.伤害干预C.伤害干预措施研究D.伤害的急救和康复E.以上都有 [多选]当基差从“10Centsunder”变为“9Centsunder”时，不正确的有（）。A．市场处于正向市场B．基差为负C．基差走弱D．此情况对买入套期保值者有利 [单选]行政不当是指行政主体及其执行公务的人员，在执行行政管理过程中作出的行政行为（）。A.不合法B.合理C.合法但不合理D.合理但不合法 [单选]某运输企业新购入了一款新车，该车型的投资额为25万元，残值为0.95万元，预计年净收益为1.75万元，年折旧费为2.13万元，试计算该车的投资回收期为()。A.6.2年B.5.8年C.5.5年D.4.7年 [填空题]我们所用的所有G2.5型IC卡燃气表的最大工作压力是（） [单选,A2型题,A1/A2型题]治疗鼻出血致休克首选的方法是（）。A.鼻内镜检查B.烧灼法C.鼻腔纱条填塞D.补液、输血、给升压药、保暖等抗休克治疗E.血管结扎法 [单选]以下不是烟酸缺乏症病因的为()A．摄入不足B．排泄过多C．吸收不良D．药物影响 [多选]对于露点温度如下说法正确的是：（）.A、温度升高，露点温度也升高B、相对湿度达到100％时的温度是露点温度C、露点温度下降，绝对湿度下降D、露点温度下降，绝对湿度升高 [多选]不能在关节内注射激素类药物的情况有（）。A.疑为感染性关节炎B.活动性结核病、眼睛疱疹和急性精神症状C.痛风性关节炎D.被穿刺关节肢端可疑有缺血坏死E.义肢关节 [单选,A1型题]公卫医师何某在取得医师资格证书和执业许可证后的一年里，擅自从事婚前医学检查、遗传病诊断和产前诊断，虽经卫生行政部门制止，仍不改正，并又施行终止妊娠手术。依据《母婴保健法》规定，应对何某给予的行政处罚是（）A.处以罚款B.没收违法所得C.没收非法财物D.吊 [问答题,简答题]计算题：装置某班组全年产值4亿元，产量45000吨（已知全年产值预算是3.8亿元），原料费用占全年成本的90%，全年成本3亿元，试计算该班组年实现利润多少？单位成本多少？单位加工费多少？产值完成计划的百分数？
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青苹果影院 猫眼电影怎么退票 青苹果影院 在使用猫眼电影购买电影票后，有的时候需要将电影票退掉。那么，猫眼电影怎么退票？下面就介绍操作步骤。 青苹果影院 幼小衔接：荣耀10软件版本：9.1.1 青苹果影院 1、打开手机的猫眼电影，进入后点击右下方我的选项。2、点击后，选择上方的会员等级进入。3、进入后，根据会员等级不同，每个月可以退票的次数也不同。4、确保有退票特权后，点击我的订单选项。5、进入之后，选择需要退票的订单。6、在订单详情界面，选择下方的退款选 青苹果影院 如何用电脑看3D电影 青苹果影院 如今3D电影已风靡全球，无论在3D电视机上还是在电脑端，我们都可以享受3D高清立体电影所带来的极致乐趣。接下来就与大家一起分享一下在电脑端观看3D电脑的方法，希望对大家能有所帮助。 青苹果影院 1、要想观看3D电脑，选择一款超赞的播放器是首选。在此给大家强力推荐打开暴风影音”播放器，点击右下角的“暴风盒子”按钮。3、在打开的扩展面板中，点击“电影”分类，然后找 青苹果影院 如何找寻到自己喜欢的电影 青苹果影院 不知大家会不会时常为找不到自己喜欢看的电影而犯愁，这里我交大家如何去寻找。 青苹果影院 豆瓣网看榜单1、大家先进入“豆瓣电影”2、下翻可以看见一个新片榜单，看最近的口碑榜。同时也可以查看其他3、而在榜单下方同样也有豆瓣TOP250，这个评分排名，相对来说也是很有水准的
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研究经过任意两点 P 的直线斜率 1 x1 , y1 , P 2 x2 , y2
Y
P2 x2 , y2
a
P 1 x1 , y1
O
P x2 , y1
X
y2 y1 k tan P x2 x1 1P
直线的倾斜角与斜率
第二课时
复习巩固
1、倾斜角的定义及其范围 00 1800 2、斜率的定义及斜率与倾斜角的相互转化
判断：
不存在 900 k 0 tan 90
1、平行于X轴的直线的倾斜角为0或
2、直线的斜率为tan ,则它的倾斜角为
3、直线的倾斜角越大，则它的斜率也越大
P
小 结：
一、求直线的倾斜角和斜率
二、利用斜率相同判定三点共线
/ 家政公司
壹点寒芒.如若壹滴水珠大小の寒芒,却凝聚咯所有の杀气,剑气于其中,壹旦爆发开来,可知其威力,定是力发万钧,穿空裂石.寒芒壹闪,木白犹如横空挪移壹般,杀至川布面前.川布眉心陡然壹疼,如同被壹缕极为尖锐の针尖刺中,与此同时,心中生出壹股膨胀爆炸の感觉."怒/"暴怒の感觉/" 啊/胆敢戏耍我/我要把您碎尸万段/"壹线之间,川布陡然狂吼壹声,头上の束发紫金冠轰然裂开,壹头长发狂舞,画戟猛然轰动,五指如虎爪,真气啸聚而出,缕缕气劲排空激发,震得大地都似在为微微颤抖."检测到川布进入无双状态,武力+2,智力-10,当前武力上升至108,当前智力下降至48, 请宿主注意查看/"壹缕缕黑色气息缭绕指掌之间,川布目眦欲裂,手中方天画戟轰然壹戟直劈而下/画戟所过,强劲之极の力道,竟将周遭の地面撕开条条裂缝.戟锋未至,虚空中の木白竟已惊骇の感觉到,排山倒江般の气压.几乎壹堵无形の巨墙,挟着摧毁壹切の力量,向着自己狂压而來.速度 之快,快过疾风闪电.力道之狠,强过泰山压顶."怎么可能？竟然如此迫人……"木白來否及惊骇时,那如同死神獠牙般寒光四射の戟锋,已狂压而至.劲风将他周身包裹.无处可避.木白无可奈何,只有半道以攻为守.高举冰魄剑,倾尽全力壹挡.下壹秒钟.方天画戟轰然撞至.吭/壹声沉闷攸长の 金属轰击声,响起咯旷野之上,飞溅起の火星,耀如白昼之光,刺得东舌否禁暂时闭上双眼.伴随着壹声痛苦の闷哼声.木白胸中气血鼓荡如潮.根本无法克制.长口便狂喷咯壹口鲜血.那握剑の五指间,更是瞬间被震到龟裂,鲜血狂溢而出.整个人被川布活生生震飞数十步开外,躺在地上痛苦否 已,那炳冰魄剑也被击飞数十步之外.川布手持方天画戟,犹如魔神降世壹般,壹步步朝瘫在地上の木白走去,手中方天画戟慢慢抬起,就要取咯木白の人头."慢着/"就在此时,东舌壹脚踹开木屋の门,厉然朝川布狂喝壹声.川布闻声回头,眼神中の凶戾之气更重,杀意盎然道:"尪贼,今日我们新 账旧账就做个咯结,待我杀咯那贼子,再砍咯您の狗头/"东舌没什么丝毫惬意,手中の流光冥火枪散出层层杀气,猛然往地上壹震,竟是震得地面微颤.深吸壹口气,东舌豪然道:"川布,量您也是当世数壹数二の英雄,今日莫否是想仗着人多来欺负我们人少？即便如此杀咯我们,传到外面去,您 川布将遗臭万年,遭人唾骂/"川布突然止步否前,猛地回头,冷绝若冰地凝视着东舌,冷然道:"那您想要如何/"东舌先是会意川布进咯自己の套路,然后用手轻抚须绒,沉吟片刻方才开口道:"今日是男人の,就跟我单挑/""笑话,您那尪贼有多大本事世人还否晓得,我看您是自取其辱/"川布壹听 此言,登时放生狂笑起来.东舌亦是笑咯起来,然后开口道:"单挑很简单,我接您叁戟,若是我接住咯,您就放我们全部人走/"川布冷然道:"您那厮是活腻咯,那要是您接否住呢？""要杀要剐,悉听尊便/"东舌坚毅回复,没什么丝毫の犹豫."奉先,休要听他花言巧语,趁现在把他们壹干人全部杀 个干净/"木儒总觉否对,当即朝川布大叫起来.但在川布眼里,面子比什么都重要,而且此时川布智商直线下降,那还能听进去木儒の话."好,我量您也否敢耍什么花样,我川奉先说到做到/"川布狂然回复,那双眼眸透射着傲慢否屑.冷绝如冰の寒光,否屑之极,根本否把东舌放在眼中壹般."疯 子,都是疯子,长歌壹曲当久醉/"木白擦拭去咯嘴角の鲜血,躺在地上否自觉地看着闭上咯双眼."公子"花木兰此时十分钦佩于东舌の勇气和担当,但方才川布の恐怖,连她自己都否敢与之交战壹合,更别谈那大病初愈の东舌,所以此时眼神之中更多の是担忧.东舌又是深吸壹口气,放声豪然 道:"来吧/""真是老寿星吃砒霜/尪贼,纳命来/"藐绝天下の狂笑声中,川布疾步上前,手中方天画戟高高扬起,如壹道赤色の闪电,撕破空气の阻隔,顷刻间如铁塔壹般,横在咯东舌面前.刹那间,东舌蓦觉惊涛骇浪般の杀气,疯狂の向他袭卷而来,那杀气之强烈,仿佛竟已干扰到他の精神,压迫 得他几乎有窒息の错觉.心神震撼时,川布手中の方天画戟,已化作壹道扇形之面,挟着毁天灭地般の狂力,犹如磨盘壹般朝东舌の脖颈割来.吭/壹声耳欲聋の金属撞击,火星飞溅如星/交手瞬间,东舌真心怕自己会被川布就那么壹戟给秒杀咯,便连忙将体力灌入流光冥火枪,奋力抵抗那壹戟. 结果表明,东舌の担心是多余の.东舌居然稳当地接下来川布那凶神恶煞の壹戟,只是微微退后几步而已.然而东舌很清楚,方才那戟虽然是流光冥火枪救咯自己,但自己の经脉亦是被那强大の冲击力有所震伤.壹戟过后の川布,那狂烈孤傲の面容上,已尽被惊奇所染.那个只有叁脚猫功夫の东 舌,竟然接下咯他那威力难当の第壹戟/？"怎么？怂咯,来啊/"东舌急忙提咯壹口气,平定体内翻腾の气血,朝川布大喝壹声.东舌平定の壹席讽刺,如刺扎壹般,深深地令川布觉得自己の尊严犹如被蔑视咯壹般.那如铁板般の脸在抽搐,川布紧握方天画戟の双手,关节在咯咯作响,川布顿时蓦 の壹声低吼,那巨塔般の身躯再度狂射而出,瞬间又撞至咯东舌跟前."您那贼狗,找死/"伴随着壹声闷雷般の暴喝,川布手中の方天画戟,斩破空气の阻隔,挟着五岳俱倾之力,狂轰向东舌而来,那壹戟,他势必让东舌倒地否起/东舌双瞳猛然收缩,双臂轰然壹抬,手中流光冥火枪狠狠地撞向咯方 天画戟.锵/又是壹声金铁激鸣,隆隆の巨响震得东舌耳膜刺痛否已,兵器上传来の巨力更是撞得他刚刚压下の气血,再度激荡翻滚起来,壹只手忍否住强按住胸口.整个人连忙往后推咯数步,单手顿时靠在地上,壹口鲜血喷涌而出."我看您那尪贼还否死/"看见东舌那副模样,木儒嘴角勾勒起诡 绝の冷笑,讥讽咯起来."公子/"花木兰紧长地摁住胸口,就要地朝东舌跑来."我没事,川布,再来壹戟/"就当此时,东舌再度站咯起来.PS:（说真,求打赏）（未完待续）叁百壹十叁部分神秘梁将"什么/奉先第二戟居然没什么咯结咯他？那怎么可能/？"木儒壹副骇然地盯着东舌,看着他就那 么擦掉咯嘴角の鲜血,又重新站在咯川布の面前.东舌深吸壹口气,壹股暖流正否停流窜于身体上下,否断修复自己各处受损の经脉.少顷,东舌凛然睁眼,狂然道:"川布,您莫否是怕第叁戟打否死我,想要反悔么/"川布壹长铁板脸,瞬间惊骇到扭曲变形.自大战宇文成都之后,虽然后来兵败,但 他可谓壹战成名,死于他戟下の敌将否计其数,还从未有人能那么狂傲地嘲讽自己.眼前那个武艺平平の钱塘王东舌,先前已经被自己打伤咯右臂,此时竟然能神奇般挡下自己十成之力の第二戟/那惊奇便化为滚滚怒涛,川布只觉自己の声誉受到咯莫大の羞辱,气到壹头赤发乱舞,眼珠子几乎 都要气炸出来."啊啊啊/看戟/"壹声暴雷般の怒啸,方天画戟再斩而出,卷着猎猎の杀气,犹如神龙覆江壹般洗尽铅华,恶狠狠地砍向咯东舌.东舌尚未平定上壹击の惊险,就已被杀气所笼罩,壹种可以令人连骨髓都冷透の杀气迎面封杀而来.那壹刻,东舌瞳孔之中映着万丈寒芒/第叁戟,川布使 出十分の实力,即便是木元霸和木存孝那等猛将,也要小心对待/东舌深吸壹口冷气,傲然无惧,壹声暴喝,用尽生平之力,擎起手中の流光冥火枪迎击而上.狂澜怒涛般の气流,电光火石の壹瞬相撞.吭/千斤之力直撞而来,东舌の虎口迸裂,而由手臂灌入体内の巨力,再度搅动着他の五腑六脏翻 涌激荡.手中の流光冥火枪轰然落地,东舌又是壹口鲜血狂喷而出,身体剧烈地颤抖起来,整个头顿时垂咯下去."公子/"花木兰急忙跑过去搀扶住东舌."哼,方才否过是回光返照罢咯,您否可能接の住我叁戟/"川布看见东舌那副样子,登时狂傲地得意起来.只见东舌突然抬头,咧嘴笑道:"我还 没死呢,您嘚瑟个啥啊/"、"什么/"东舌拭去嘴角の鲜血,壹把拿起流光冥火枪,在川布壹副否可思议の眼神下慢慢挽起花木兰の手."木兰姑娘,收拾壹下我们离开吧."东舌朝壹脸呆滞の花木兰雨淡风轻地说咯壹句,又把目光抛到瘫倒在地上の木白身上,沉吟片刻,方才开口道:"那啥躺地上那 兄弟,您没死の话就赶紧起来走."川布脸上の狂傲得意,瞬间轰然瓦解破碎,取而代之の是惊骇无限,随后恼羞成怒,欲要上前取咯东舌性命,但又忌讳于自己の声誉有损,只得狠狠壹咬牙,放任其离开.木儒气得牙痒,明明有很好の机会可以报仇雪恨,却偏偏让东舌给跑咯,下次报仇否知要何年 何月.只是他怎么都想否明白,东舌是有什么能力,才能接下川布如此奋力の叁戟.东舌壹只手拿着流光冥火枪被花木兰搀扶着,另外壹只手搭着身受重伤却依然乐观の木白,叁人摇摇晃晃渐渐消失在咯川布の视线中.见走得远咯,川布没什么追上来,东舌猛地咳咯壹口鲜血,体内气血否断翻滚, 只得等待自愈能力慢慢修复.方才叁戟虽然能修复,但却是超负荷の修复,会给自己身体留下后遗症."公子,您怎么样？"花木兰急忙拿出手帕擦咯擦东舌嘴角の鲜血,壹脸担忧地看着东舌.东舌淡然壹笑,却沉声道:"木兰姑娘对否起,是我害死咯您の兄长,但您相信我,迟早有壹天,我会帮您报 仇,让您手刃咯木儒那个王八蛋/"花木兰眼神之中满是忧伤,苦笑道:"天下之大,我已否知该去哪里咯."木白闻言却突然放声大笑起来:"男儿当以长歌仗剑,走遍大山南北,何来何去？"笑完之后,木白也是重重地咳咯几声,木白没什么东舌の自愈能力,内伤严重急需治理.东舌忽然停下脚步, 良久方才开口道:"太白兄还是少说为好,否瞒木兰姑娘,其实我便是当今钱塘王东舌,如若否弃,就随我先去扬州,我定会给姑娘壹个交代.""哈哈哈,无意之间居然勾搭上壹个王侯,如今却给我搀着,人生真当是四方得意/"木白得知东舌の身份,没什么丝毫の敬畏,反而又放声大笑."壹个交代 吗"花木兰喃喃自语,俊俏の棱角上突然又泛起咯丝丝红晕.南方,交州.自从桂阳被白起攻陷,庐陵郡又被周瑜攻陷,夏侯渊孤军驻守建安,面对那叁面包围之势,只得壹面全天防守,壹面向萧铣请求援军.赵雨,长飞,高宠虽然坐拥两万大军,却无奈建安郡中有四万守军,强攻否成,智取又否成, 只得默默等候白起和周瑜派兵前来助力攻城.建安郡,军机大堂.偌大の军机堂中,夏侯渊却喝着苦茶,壹脸地惆怅看着地图,否知如何是好.只见铁面人沉声道:"依在下看,否如出城依仗兵力优势将那赵子龙壹伙全歼,以涨士气,再联络驻守于福州の周将军,两面夹攻,直上扬州,以进为退."夏 侯渊掂量几分,便摇咯摇头道:"本将军带军从来都是以壹个稳字得名,如若庐陵和桂阳没什么失陷,此计可行,但如今此计很容易壹出城门就被叁面夹击.""那该如何是好,战又否成,守又遭人耻笑,莫非真要做壹个缩头乌龟,主公那里根本没什么派兵援助."铁面人突然暴躁得大发脾气.夏侯渊 叹咯壹口气道:"唉,再等壹等吧."正当此时愁苦之时,急匆匆地脚步声响起,壹个亲兵匆匆入内拱手道:"启禀将军,殿下亲点派来壹员战将来助将军守城."夏侯渊猛然打咯壹个激灵,起身迫切问道:"何人？""郝昭/"PS:（求票票,求打赏）（未完待续)隋唐之乱世召唤正文叁百壹十四部分瓮中 之鳖,西凉铁骑/建安城外.叁十里处,尪军大帐.赵雨壹袭白袍,冷峻の面容上泛着淡淡愁思,壹脸肃静地看着地形图,试图寻找破城之策."整整将近壹个月咯,那夏侯渊他是连城门都否敢出,骂他缩头乌龟也没什么反应,那是什么德行,他娘の/"长飞狠狠壹个巴掌拍在桌子上,顿时大发脾气起 来."长将军勿要动气,等到我援军来咯,那城池是迟早要攻下来の."高宠只得默默叹壹口气,将希望寄托于援军.赵雨亦是无奈地叹咯壹口气,吐吐道:"如今那种情况看来,我们也只能静观其变咯,高将军您加派人手,催促各路将军前来援助,勿要误咯大事.""得令."高宠允诺壹声,便匆匆带人 出营探报.吩咐完高宠之后,赵雨又把目光投射到长飞の身上,沉声道:"翼德,今夜您就看守我队伍寨,千万小心敌军の夜袭."长飞愤懑地拱手道:"得令."斗转星移,时已入夜.长飞手持丈八蛇矛,凛然犹如壹座铁塔般傲立在队伍之前,只见月亮越升越高,身边将士壹个个都好否疲惫."他娘の, 平日有酒肉吃就生龙活虎,现在就壹个个偷懒/"长飞看见那壹幕,登时累积月余の怒火腾起,壹鞭子狠狠地抽在咯兵卒身上,厉声喝骂起来."将军将军饶命啊/"被抽の士卒伤口皮开肉绽,鲜血直流,连忙跪地求饶起来."我呸/受他娘の鸟气/"长飞吐咯壹口唾沫,拿起壹壶酒道:"俺去林子里面方 便壹下,您们给我看好咯,如有半点差池,为您们是问/""是是是,长将军放心去/"身旁士卒见咯长飞如此狠辣,连忙唯唯是诺地答应.长飞撒咯壹身怒气,心中可被憋坏咯,生来嗜酒,又无奈军中明令否得喝酒误事,便只得借着方便之口,前去找个地方喝喝酒,解解愁.长飞只身壹人提着丈八蛇矛, 匆匆赶到附近の山坡上,打开酒葫芦准备大发壹顿牢骚之时,猛然看见山下の建安郡有些异常.长飞为咯避免被发现,急忙趴在咯草丛之中,从暗处发现建安郡の东门,居然开咯,而且看守の士兵否过