动量矩定理

刚体的转动惯量是刚体对某轴转动惯性大小的度量，它的
大小表现了刚体转动状态改变的难易程度。 转动惯量恒为正值，国际单位制中单位 kg· 2 。 m
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二．转动惯量的计算 １．积分法（具有规则几何形状的均匀刚体可采用）
[例1] 匀质细直杆长为l ,质量为m 。
求：对z轴的转动惯量 J z ； 对z' 轴的转动惯量 J z ' 。 解： Jz
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4．计算转动惯量的组合法 当物体由几个规则几何形状的物体组成时，可先计算每一
部分(物体)的转动惯量, 然后再加起来就是整个物体的转动惯量。
若物体有空心部分, 要把此部分的转动惯量视为负值来处理。 [例2] 钟摆： 均质直杆m1, l ； 均质圆盘：m2 , R 。 求 JO 。 解： J J 1m l 2 1 m R 2 m (l R) 2 J O O杆 O盘 1 2 2
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§13-5
相对于质心的动量矩定理 刚体平面运动微分方程
一、质点系相对固定点之动量矩与其相对于质心的动量矩之间的关系 质点系中每一个质点的位置和速度都可用其质心的位置和速度表示为：
ri rC riC
LO rC riC mi (υC υiC )
υi υC υiC
上式称质点动量矩定理的投影形式。即质点对任一固定轴 的动量矩对时间的导数，等于作用在质点上的力对同一轴之矩。
若 mO ( F ) 0 (mz ( F ) 0) 则 mO (mv ) 常矢量 (mz (mv ) 常量)
称为质点的动量矩守恒。
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注：计算动量矩与力矩时，符号规定应一致（规定逆时针转 向为正）
质点动量矩定理的应用：
在质点受有心力的作用时。 质点绕某心（轴）转动的问题。
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二．质点系的动量矩定理
d (i ) ( e) mO (mi vi ) mO ( Fi ) mO ( Fi ) 对质点mi ： dt (i 1,2,3,,n)
(i 1,2,3,,n)
对质点系，有
Lz mz (mi vi ) mi ri J z
2
定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对该轴转动惯量与角速 度的乘积。
其中，J z mi ri 2 , 称为刚体对z轴的转动惯量。
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[例1] 滑轮A：m1，R1，R1=2R2，J1 滑轮B：m2，R2，J2 ；物体C：m3
(e )
v
上爬，猴A不动，问当猴B向上爬时，猴A将如何动？
0 m A v A r mB ( v v A ) r
vA v 2
猴A与猴B向上的绝对速度是一样的, 均为 v 。 2
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§13-3
刚体定轴转动微分方程
d (e) ( J z ) M z dt
对于一个定轴转动刚体 Lz J z
上式称为质点系对固定轴的动量矩定理。即质点系对任一固
定轴的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有外力对同
一固定轴之矩的代数和（外力系对同一轴的主矩）。 定理说明内力不会改变质点系的动量矩，只有外力才能改 变质点系的动量矩。（举例）
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dLO (e) (e) mO ( Fi ) M O dt
第十三章
动量矩定理
§13–1 §13–2 §13–3 §13–4
质点和质点系的动量矩 动量矩定理
刚体定轴转动微分方程 刚体的转动惯量
§13–5
刚体平面运动的微分方程
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质点 动量定理： 质点系 动量的改变—外力（外力系主矢） 质心运动定理：质心的运动—外力（外力系主矢） 若当质心为固定轴上一点时，vC=0，则其动量恒等于零， 质心无运动，可是质点系确受外力的作用。动量矩定理建立了
d (i ) (e) mO (mi vi ) mO ( Fi ) mO ( Fi ) dt
左边交换求和与导数运算的顺序，而
LO mO ( mi vi ), mO ( Fi ( i ) ) 0,则
dLO (e) (e) 一质点系对固定点的动量矩定理 mO ( Fi ) M O dt
mz (mv ) 2OA' B'
正负号规定与力对轴矩的规定相同
对着轴看：顺时针为负 逆时针为正
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质点对点O的动量矩与对轴z 的动量矩之间的关系：
mO (mv ) z mz (mv )
动量矩度量物体在任一瞬时绕固定点(轴)转动的强弱 kg· 2/s。 ｍ 二．质点系的动量矩 质系对点O动量矩： LO mO ( mi vi ) ri mi vi 质系对轴z 动量矩：
m 式中： A R2
R4 J O (2 r Adr r 2 ) 2 A 0 4 1 J O mR 2 或 2
R
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2. 回转半径 由
Jz 所定义的长度 z 称为刚体对 z 轴的回转半径。 m
J z m z
2
对于均质刚体， z 仅与几何形状有关，与密度无关。
m 1 2 2l x l dx 12 ml l 1 2 2 m J z ' x dx ml 0 l 3
2
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l 2
[例2]均质薄圆环对中心轴的转动惯量
J z mi R 2 R 2 mi mR 2
[例3]均质圆板对中心轴的转动惯量
mi 2 ri dri A
2
mi ( xi 2 yi 2 ) ( mi )d 2
2
mi m , mi yi my C 0 I z ' I zC md
2d mi yi
刚体对通过质心轴的转动惯量具有最小值。 例如，对于例1中均质细杆z' 轴的转动惯量为
I z ' I z m( l )2 1 ml 2 1 ml 2 1 ml 2 2 12 4 3
Lz mz (mi vi ) LO z
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刚体动量矩：
1．平动刚体
Lz mz (mvC )
LO mO ( mvC ) rC mvC
对该点（轴）的动量矩。
2．定轴转动刚体
( ri mi vi mi ri vC rC mvC )
平动刚体对固定点（轴）的动量矩等于刚体质心的动量
M O PA r PB r ( PA PB )r PA PB LO v r v r J O g g 1P 2 r 2
(e)

d g PA PB dt r PA PB P / 2
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[例4] 已知：猴子A重=猴子B重，猴B以相对绳速度 动的速度多大？（轮重不计） 解：mO ( F ) 0 , 系统的动量矩守恒。
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求 [例3] 已知: PA PB ; P ; r 。 。
解: 取整个系统为研究对象，
受力分析如图示。
运动分析： v =ｒ
P 将J O r 代入, 得 LO ( PA PB ) 2 g g 2 d r 2 P 由动量矩定理： [ ( PA PB )]( PA PB )r dt g 2
dr v （O为定点） dt
因此
d M O (mv ) M O ( F ) dt
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称为质点的动量矩定理:质点对某定点的动量矩对 时间的一阶导数,等于作用力对同一点的矩.
将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得
d d d mx (mv ) mx ( F ), m y (mv ) m y ( F ), mz (mv ) mz ( F ) dt dt dt
动量矩定理
d d M O (mv ) ( r mv ) dr mv r d (mv ) dt dt dt dt
其中:
d (mv ) F dt
设质点对定点O的动量矩为,有 M o (mv ) ，对其求导：
v mv 0
求系统对O轴的动量矩。 解： O LOA LOB LOC L
J11 ( J 22 m2v2 R2 ) m3v3 R2
v3 v2 R2 2 1 R11 2 J1 J2 LO ( 2 2 m2 m3 ) R2v3 R2 R2
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§13-2 1．质点的动量矩定理
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证明：设质量为m的刚体，质心为C， O'z'//Cz
J zC mi ri mi ( xi yi )
2 2 2
J z ' mi ri '2 mi ( xi '2 yi '2 )
xi xi ' , yi ' yi d J z ' mi [ xi ( yi d ) 2 ]
在机械工程设计手册中，可以查阅到简单几何形状或已 标准化的零件的转动惯量和回转半径。书中列出几种常见均质 刚体的 J z 和 z ，以供参考P207页（表13-1）。
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3. 平行移轴定理 同一个刚体对不同轴的转动惯量一般是不相同的。
J z ' J zC md 2
刚体对某轴的转动惯量等于刚体对通过质心且与该轴平行的 轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离的平方之乘积。
保持静止。
若M z (e ) 常量，则 =常量，刚体作匀变速转动。
将 J z M z 转动惯性的度量。
(e )
与 ma F 比较，刚体的转动惯量 J z 是刚体
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§13-4 刚体的转动惯量
一．定义：J z mi ri 2 若刚体的质量是连续分布，则 J z
r 2 dm m
3 2
1 1 m1l 2 m2 (3R 2 2l 2 4lR) 3 2
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例: 已知滑轮A的质量为m1，半径为R1，对转轴O的转动惯量为J1 ；滑轮B的
质量为m2，半径为R2，R1= 2R2， 对其质心的转动惯量为J2 ；物体C的质量为m3 ， 速度为υ3。 求系统对O 轴的动量矩。
代入质点系动量矩定理，有
d 2 (e) 或 Jz 2 Mz dt
J z M z
(e)
—刚体定轴转动微分方程
解决两类问题：
已知作用在刚体的外力矩，求刚体的转动规律。
已知刚体的转动规律，求作用于刚体的外力（矩）。 但不能求出轴承处的约束反力，需用质心运动定理求解。
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特殊情况：
若 M z (e) mz ( F (e) ) 0 ,则 0, 恒量，刚体作匀速转动或
质点和质点系相对于某固定点（固定轴）的动量矩的改变与外
力对同一点（轴）之矩两者之间的关系。
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§13-1
动量矩
一．质点的动量矩 质点对点O的动量矩：mO (mv ) r mv 矢量 质点对轴 z 的动量矩： z ( mv ) mO ( mv xy ) 代数量 m
mO ( mv ) 2OAB
( e) (e) (e) dLx ( e ) dLy ( e ) dLz (e) mx ( Fi ) M x , m y ( Fi ) M y , mz ( Fi ) M z dt dt dt
质点系的动量矩守恒
当 M O 0 时， LO 常矢量。
(e)
当 M z ( e ) 0 时，Lz 常量。
解：LO
LOA LOB LOC J11
υ ( J 22 m2 2 R2 ) m3 3 R2 υ
1 υ υ R2 2 R11 3 2 2 1 1 2 2 J1 m1R1 J 2 m2 R2 2 2
1 LO (4m1 3m2 2m3 ) R2 3 υ 2
质点系对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质 点系上所有外力对同一点之矩的矢量和（外力系的主矩）。
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dLO (e) (e) mO ( Fi ) M O dt
将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得:
( e) (e) (e) dLx ( e ) dLy ( e ) dLz (e) mx ( Fi ) M x , m y ( Fi ) M y , mz ( Fi ) M z dt dt dt
分别代入质点系对固定点O动量矩表达式中，就有
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rC mi υC rC mi υiC riC mi υiC riC mi υC rC mi υC rC mi υiC mi riC υC riC mi υiC