新高考数学(理)之三角函数与解三角形 专题02 同角三角函数的基本关系(解析版)
高考数学一轮复习第四篇三角函数解三角形第2讲 同角三角函数的基本关系
卜人入州八九几市潮王学校第2讲同角三角函数的根本关系与诱导公式【2021年高考会这样考】1．考察同角三角函数的根本关系式．2．考察诱导公式在三角函数化简求值中的运用．【复习指导】本讲复习时应紧扣三角函数的定义，理解记忆同角三角函数的根本关系式和诱导公式；特别是对诱导公式的记忆口诀要理解透彻，可通过适量训练加强理解，掌握其规律．根底梳理1．同角三角函数的根本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；(2)商数关系：＝tanα.2．诱导公式公式一：sin(α＋2kπ)＝sinα，cos(α＋2kπ)＝cos_α，其中k∈Z.公式二：sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α，tan(π＋α)＝tanα.公式三：sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α.公式四：sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－cos_α.公式五：sin＝cos_α，cos＝sinα.公式六：sin＝cos_α，cos＝－sin_α.诱导公式可概括为k·±α的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．假设是奇数倍，那么函数名称变为相应的余名函数；假设是偶数倍，那么函数名称不变，符号看象限是指把α看成锐角时原函数值的符号作为结果的符号．一个口诀诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．三种方法在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tanα＝化成正、余弦．(2)和积转换法：利用(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ的关系进展变形、转化．(3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝tan＝….三个防范(1)利用诱导公式进展化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负－脱周－化锐．特别注意函数名称和符号确实定．(2)在利用同角三角函数的平方关系时，假设开方，要特别注意判断符号．(3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．双基自测1．(A教材习题改编)sin(π＋α)＝，那么cosα的值是()．A．± B.C. D．±解析∵sin(π＋α)＝－sinα＝，∴sinα＝－.∴cosα＝±＝±.答案D2．(2021·调研)点A(sin2011°，cos2011°)在直角坐标平面上位于()．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析2011°＝360°×5＋(180°＋31°)，∴sin2011°＝sin[360°×5＋(180°＋31°)]＝－sin31°＜0，cos2011°＝cos[360°×5＋(180°＋31°)]＝－cos31°＜0，∴点A位于第三象限．答案C3．cosα＝，α∈(0，π)，那么tanα的值等于()．A.B.C．±D．±解析∵α∈(0，π)，∴sinα＝＝，∴tanα＝＝.答案B4．cos－sin的值是()．A.B．－C．0D.解析cos＝cos＝cos＝cos＝，sin＝－sin＝－sin＝－sin＝－.∴cos－sin＝＋＝.答案A5．α是第二象限角，tanα＝－，那么cosα＝________.解析由题意知cosα＜0，又sin2α＋cos2α＝1，tanα＝＝－.∴cosα＝－.答案－考向一利用诱导公式化简、求值【例1】►f(α)＝，求f.[审题视点]先化简f(α)，再代入求解．解f(α)＝＝cosα，∴f＝cosπ＝cos＝cos＝.(1)化简是一种不指定答案的恒等变形，其结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，构造尽可能简单，能求值的要求出值．(2)诱导公式的应用原那么：负化正、大化小，化到锐角为终了．【训练1】角α终边上一点P(－4,3)，那么的值是________．解析原式＝＝tanα，根据三角函数的定义，得tanα＝＝－.答案－考向二同角三角函数关系的应用【例2】►(2021·调研)tanα＝2.求：(1)；(2)4sin2α－3sinαcosα－5cos2α.[审题视点](1)同除cosα；(2)利用1＝sin2α＋cos2α，把整式变为分式，再同除cos2α.解(1)＝＝＝－1.(2)4sin2α－3sinαcosα－5cos2α＝＝＝＝1.(1)对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，其中一个式子的值，其余二式的值可求．转化的公式为(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα；(2)关于sinα，cosα的齐次式，往往化为关于tanα的式子．【训练2】2α－sinαcosα＝________.解析依题意得：＝5，∴tanα＝2.∴sin2α－sinαcosα＝＝＝＝.答案考向三三角形中的诱导公式【例3】►在△ABC中，sin A＋cos A＝，cos A＝－cos(π－B)，求△ABC的三个内角．[审题视点]要求三角形的内角，需求得某一内角的某一三角函数值，故结合条件sin A＋cos A＝知先求角A，进而求其他角．解由可得sin＝，因为0＜A＜π，所以A＝.由可得cos A＝cos B，把A＝代入可得cos B＝，又0＜B＜π，从而B＝，所以C＝π－－＝.在△ABC中常用到以下结论：sin(A＋B)＝sin C，cos(A＋B)＝－cos C，tan(A＋B)＝－tan C，sin ＝cos，cos＝sin.【训练3】假设将例3的条件“sin A＋cos A＝〞改为“sin(2π－A)＝－sin(π－B)〞其余条件不变，求△ABC的三个内角．解由条件得：－sin A＝－sin B，即sin A＝sin B，cos A＝cos B，平方相加得：sin2A＋3cos2A＝2⇒2cos2A＝1，cos A＝±.假设cos A＝－，那么cos B＝－，A，B均为钝角不可能．故cos A＝，cos B＝，故A＝，B＝，C＝.阅卷报告3——无视题设的隐含条件致误【问题诊断】涉及到角的终边、函数符号和同角函数关系问题时，应深挖隐含条件，处理好开方、平方关系，防止出现增解与漏解的错误.,【防范措施】一要考虑题设中的角的范围；二要考虑题设中的隐含条件【例如】►假设sinθ，cosθ是关于x的方程5x2－x＋a＝0(a是常数)的两根，θ∈(0，π)，求cos2θ的值．错因无视隐含条件，产生了增解.实录由题意知，sinθ＋cosθ＝，∴2＝，∴sin2θ＝－，∵θ∈(0，π)，∴2θ∈(0,2π)，∴cos2θ＝±＝±.正解由题意知，sinθ＋cosθ＝.∴(sinθ＋cosθ)2＝.∴sin2θ＝－.即2sinθcosθ＝－＜0，那么sinθ与cosθ异号，又sinθ＋cosθ＝＞0，∴＜θ＜，∴π＜2θ＜.故cos2θ＝－＝－.【试一试】sinθ＋cosθ＝，θ∈(0，π)，求tanθ.[尝试解答]∵sinθ＋cosθ＝，θ∈(0，π)．∴(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ＝.∴sinθcosθ＝－.由根与系数的关系知sinθ，cosθ是方程x2－x－＝0的两根，∴x1＝，x2＝－，又sinθcosθ＝－＜0，∴sinθ＞0，cosθ＜0，∴sinθ＝，cosθ＝－.∴tanθ＝＝－.。
高考数学一轮总复习 第三章 三角函数与解三角形 第2讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式(理)
导公式．
义、同角关系式；
关系式和诱导公式；
2.理解同角三角函数
2014年大纲卷考查诱导 观察分析这些公式 公式及三角函数单调 特征，掌握记忆诀
的基本关系式：sin2x 性；
窍；通过基本题型，
＋cos2x＝1，s i n x ＝ cos x
tanx
2015年新课标卷Ⅰ考查 掌握解题规律 诱导公式、两角和与差 的正余弦公式
函数名不变 符号看象限
四
π－α
sinα －cosα ______ －tanα
五
六
π
π
2 －α 2 ＋α
cosα cosα
sinα －sinα
—
—
函数名改变 符号看象限
3．三角函数线 设角α的顶点在坐标原点，始边与 x 轴正半轴重合，终边与 单位圆相交于点 P，过点 P 作 PM 垂直于 x 轴于点 M，则点 M 是点 P 在 x 轴上的正射影．由三角函数的定义知，点 P 的坐标为 (cosα，sinα)，其中 cosα＝OM，sinα＝MP.单位圆与 x 轴的正 半轴交于点 A，单位圆在点 A 的切线与角α的终边或其反向延长 线相交于点 T，则 tanα＝AT.我们把有向线段 OM，MP，AT 分 别叫做α的余弦线、正弦线、正切线.
答案：D
(2)(2011 年大纲)已知 α∈π，32π，tanα＝2，则 cosα＝ ________.
解析：α∈π，32π，tanα＝2，则
cosα＝－
5 5.
答案：－
5 5
(3)(2012 年大纲)已知 α 为第二象限角，sinα＋cosα＝ 33， 则 cos2α＝( )
A．－
5 3
B．－
3．(2013 年大纲)已知 α 是第二象限角，sinα＝153，则 c．－153
高考一轮复习第3章三角函数解三角形第2讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式
第二讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式知识梳理·双基自测 知识梳理知识点一 同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系： sin 2x ＋cos 2x ＝1 . (2)商数关系： sin xcos x ＝tan x .知识点二 三角函数的诱导公式重要结论1．同角三角函数基本关系式的变形应用：如sin x ＝tan x·cos x，tan 2x ＋1＝1cos 2x，(sinx ＋cos x)2＝1＋2sin xcos x 等．2．诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”．“奇”与“偶”指的是诱导公式k·π2＋α(k∈Z)中的整数k 是奇数还是偶数．“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k 是奇数，则正、余弦互变；若k 为偶数，则函数名称不变．“符号看象限”指的是在k·π2＋α(k∈Z)中，将α看成锐角时k·π2＋α(k∈Z)所在的象限．双基自测题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若α，β为锐角，则sin 2α＋cos 2β＝1.( × )(2)若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立．( × )(3)sin (π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( × ) (4)若sin (kπ－α)＝13(k ∈Z)，则sin α＝13.( × )[解析] (1)根据同角三角函数的基本关系式知当α，β为同角时才正确．(2)cos α≠0时才成立．(3)根据诱导公式知α为任意角．(4)当k 为奇数和偶数时，sin α的值不同．题组二 走进教材2．(必修4P 22B 组T3改编)已知tan α＝12，则sin α－cos α3sin α＋2cos α＝( A )A ．－17B ．17C ．－7D ．7[解析] sin α－cos α3sin α＋2cos α＝tan α－13tan α＋2＝12－13×12＋2＝－17.故选A.3．(必修4P 22B 组T2改编)化简cos α1－sin α1＋sin α＋sin α1－co s α1＋cos α⎝⎛⎭⎪⎫π<α<3π2得( A )A ．sin α＋cos α－2B ．2－sin α－cos αC ．sin α－cos αD ．cos α－sin α[解析] 原式＝cos α1－sin α2cos 2α＋sin α1－cos α2sin 2α，∵π<α<32π，∴cos α<0，sin α<0.∴原式＝－(1－sin α)－(1－cos α)＝sin α＋cos α－2.4．(必修4P 29B 组T2改编)若sin(π＋α)＝－12，则sin(7π－α)＝ 12 ，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝ 12 . [解析] 由sin(π＋α)＝－12，得sin α＝12，则sin(7π－α)＝sin(π－α)＝sin α＝12，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2－2π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α＝12.题组三 走向高考5．(2019·全国卷Ⅰ)tan 255°＝( D )A ．－2－ 3B ．－2＋ 3C ．2－ 3D ．2＋ 3[解析] 由正切函数的周期性可知，tan 255°＝tan(180°＋75°)＝tan 75°＝tan(30°＋45°)＝33＋11－33＝2＋3，故选D.另：tan 225°＝tan 75°>tan 60°＝3，∴选D.6．(2015·福建)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( D )A.125B ．－125C ．512D ．－512[解析] 因为sin α＝－513，且α为第四象限角，所以cos α＝1213，所以tan α＝－512，故选D.7．(2017·全国卷Ⅲ)已知sin α－cos α＝43，则sin 2α＝( A )A ．－79B ．－29C ．29D ．79[解析] 将sin α－cos α＝43的两边进行平方，得sin 2α－2sin αcos α＋cos 2α＝169，即sin 2α＝－79，故选A.考点突破·互动探究考点一 同角三角函数的基本关系式——师生共研 例1 (1)已知α为第三象限角，cos α＝－817，则tan α＝( D )A ．－815B ．815C ．－158D ．158(2)已知α是三角形的内角，且tan α＝－13，则sin α＋cos α的值为 －5 .(3)若角α的终边落在第三象限，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为 －3 .[解析] (1)因为α是第三象限角，cos α＝－817，所以sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－8172＝－1517，故tan α＝sin αcos α＝158.选D.(2)由tan α＝－13，得sin α＝－13cos α，将其代入sin 2α＋cos 2α＝1，得109cos 2α＝1，所以cos 2α＝910，易知cos α<0，所以cos α＝－31010，sin α＝1010，故sin α＋cos α＝－105. (3)由角α的终边落在第三象限， 得sin α<0，cos α<0，故原式＝cos α|cos α|＋2sin α|sin α|＝cos α－c os α＋2sin α－sin α＝－1－2＝－3.名师点拨(1)已知一个角的三角函数值求这个角的其他三角函数值时，主要是利用公式sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α求解，解题时，要注意角所在的象限．并由此确定根号前的正、负号，若不能确定角所在象限要分类讨论．(2)遇sin α，cos α的齐次式常“弦化切”，如：asin α＋bcos αcsin α＋dcos α＝atan α＋b ctan α＋d ；sin αcos α＝sin αcos α1＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan α1＋tan 2α； sin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝sin 2α＋sin αcos α－2cos 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋tan α－21＋tan 2α. 〔变式训练1〕(1)若α是第二象限角，tan α＝－512，则sin α＝( C )A.15 B ．－15C ．513D ．－513(2)已知α是第二象限角，化简1－cos 4α－sin 4α1－cos 6α－sin 6α＝ 23. (3)(2017·全国卷Ⅰ)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＝2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝ 31010 .[解析] (1)∵tan α＝－512，∴sin αcos α＝－512.∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin 2α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－125sin α2＝1，∴sin α＝±513.又α为第二象限角，∴sin α＝513，故选C.(2)解法一：原式＝1－cos 2α1＋cos 2α－sin 4α1－cos 2α1＋cos 2α＋cos 4α－sin 6α ＝sin 2α1＋cos 2α－sin 2αsin 2α1＋cos 2α＋cos 4α－sin 4α ＝2cos 2α1＋cos 2α＋cos 2α－sin 2α ＝2cos 2α3cos 2α＝23. 解法二：∵1－cos 4α－sin 4α＝1－(cos 2α＋sin 2α)2＋2sin 2αcos 2α＝2sin 2αcos 2α， ∴原式＝2sin 2αcos 2α1－cos 2α＋sin 2αcos 4α－cos 2αsin 2α＋sin 4α ＝2sin 2αcos 2α1－cos 4α－sin 4α＋cos 2αsin 2α ＝2sin 2αcos 2α3sin 2αcos 2α＝23. (3)由tan α＝2得sin α＝2cos α. 又sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝15.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos α＝55，sin α＝255.因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝55×22＋255×22＝31010. 考点二 诱导公式及其应用——多维探究 角度1 利用诱导公式化简三角函数式例2 (1)化简：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－3π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－αtan 22π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin π＋α＝ －1sin α .(2)化简1－2sin 10°sin 100°cos 80°－1－sin 2170°＝ －1 . [解析] (1)原式＝cos α－cos αtan 2αsin α－sin α－sin α＝－cos 2α·sin 2αcos 2αsin 3α＝－1sin α. (2)∵cos 10°>sin10°，∴原式＝1－2sin 10°cos 10°sin 10°－cos 10°＝sin 210°－2sin 10°cos 10°＋cos 210°sin 10°－cos 10°＝|sin 10°－cos 10°|sin 10°－cos 10°＝cos 10°－sin 10°－cos 10°－sin 10°＝－1.角度2 “换元法”的应用例3 已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ的值是 0 .[解析] 因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－a.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝0. 名师点拨(1)诱导公式的两个应用方向与原则：①求值：化角的原则与方向：负化正，大化小，化到锐角为终了． ②化简：化简的原则与方向：统一角，统一名，同角名少为终了．(2)注意已知中角与所求式子中角隐含的互余、互补关系、巧用诱导公式解题，常见的互余关系有π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等，互补关系有π3＋α与2π3－α；π4＋α与3π4－α等．〔变式训练2〕(1)(角度1)已知f(α)＝sin α－3πcos 2π－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos －π－αsin －π－α.①化简f(α)；②若α是第三象限的角，且cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f(α)的值． (2)(角度2)(2021·唐山模拟)已知α为钝角，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝34，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝ －74 ，cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝ 34 .[解析] (1)①f(α)＝sin α－3πcos 2π－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos －π－αsin －π－α＝－sin α·cos α·－cos α－cos α·sin α＝－cos α.②因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝－sin α，所以sin α＝－15. 又α是第三角限的角， 所以cos α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－152＝－265.所以f(α)＝265.(2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α， 因为α为钝角， 所以34π<π4＋α<54π，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α<0.所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝－74.cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝34.名师讲坛·素养提升sin x ＋cos x 、sin x －cos x 、sin xcos x 之间的关系例4 (2021·北京东城模拟)已知sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，则tan θ＝ －125. [解析] 解法一：因为sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝49169，sin θcos θ＝－60169.由根与系数的关系，知sin θ，cos θ是方程x 2－713x －60169＝0的两根，所以x 1＝1213，x 2＝－513.因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0.所以sin θ＝1213，cos θ＝－513，tan θ＝sin θcos θ＝－125.解法二：同解法一，得sin θcos θ＝－60169，所以sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝－60169，弦化切，得 tan θtan 2θ＋1＝－60169，解得tan θ＝－125或tan θ＝－512. 又θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝713>0，sin θcos θ＝－60169<0.∴θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin θ>|cos θ|，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin θcos θ＝|tan θ|>1，∴tan θ＝－125.解法三：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝713，sin 2θ＋cos 2θ＝1.得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝1213，cos θ＝－513或⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝－513，cos θ＝1213.(舍去)故tan θ＝－125.名师点拨sin x ＋cos x 、sin x －cos x 、sin xcos x 之间的关系为(sin x ＋cos x)2＝1＋2sin xcos x ，(sin x －cos x)2＝1－2sin xcos x ，(sin x ＋cos x)2＋(sin x －cos x)2＝2.因此已知上述三个代数式中的任意一个代数式的值，便可求其余两个代数式的值． 〔变式训练3〕(1)(2021·山东师大附中模拟)已知－π2<α<0，sin α＋cos α＝15，则1cos 2α－sin 2α的值为( C ) A.75 B ．725 C ．257D ．2425(2)若1sin α＋1cos α＝3，则s in αcos α＝( A )A ．－13B ．13C ．－13或1D ．13或－1 [解析] (1)解法一：∵sin α＋cos α＝15，∴(sin α＋cos α)2＝125，∴sin αcos α＝－1225，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，∴sin α<0，cos α>0，∴cos α－sin α＝sin α－cos α2＝1－2sin αcos α＝75.∴1cos 2α－sin 2α＝1cos α－sin αcos α＋sin α＝257，故选C. 解法二：由解法一知⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15，sin α－cos α＝－75，得⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝45，sin α＝－35.∴tan α＝sin αcos α＝－34.∴1cos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α－sin 2α＝1＋tan 2α1－tan 2α ＝1＋9161－916＝257，故选C.(2)由1sin α＋1cos α＝3，可得sin α＋cos α＝3sin αcos α，两边平方，得1＋2sin αcosα＝3sin 2αcos 2α，解得sin αcos α＝－13或sin αcos α＝1.由题意，知－1<sin α<1，－1<cos α<1，且sin α≠0，cos α≠0，所以sin αcos α≠1，故选A.。
高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式课件理
[探究 3] 在本例(3)的条件下，求 sin2α＋2sin αcos α 的值． 解：sin2α＋2sin αcos α＝sin2sαin＋2α2＋sincoαsc2αos α ＝tan12＋α＋ta2nt2aαn α＝1196＋－19836＝－285.
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(1)利用 sin2α＋cos2α＝1 可以实现角 α 的正弦、余弦的互化， 利用csions αα＝tan α 可以实现角 α 的弦切互化．
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[典题 1] (1)(2015·福建高考)若 sin α＝－153，且 α 为第四
象限角，则 tan α 的值等于( )
A.152
B．－152
C.152
D．－152
(2)sin21°＋sin22°＋…＋sin289°＝________.
(3)已知 α 为三角形的内角，且 sin α＋cos α＝15，则 tan α
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利用诱导公式化简三角函数的思路和要求 (1)思路方法：①分析结构特点，选择恰当公式；②利用公式 化成单角三角函数；③整理得最简形式． (2)化简要求：①化简过程是恒等变形；②结果要求项数尽可 能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．
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1．已知 sinα＋1π2＝13，则 cosα＋71π2的值为________．
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解：(1)f(α)＝sintαa－nπ－2·αco－sπ32π·s＋inα－·taαn－ππ－ α
＝－cos－αta·sninαα··si－n αtan α＝－cos α.
(2)∵cosα－32π＝15，∴－sin α＝15，从而 sin α＝－15.
2020版高考数学复习三角函数、解三角形第2讲同角三角函数的基本关系及诱导公式讲义理(含解析)
第2讲 同角三角函数的基本关系及诱导公式1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：□01sin 2α＋cos 2α＝1. (2)商数关系：□02sin αcos α＝tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2＋k π，k ∈Z . 2.三角函数的诱导公式1.概念辨析(1)对任意α，β∈R ，有sin 2α＋cos 2β＝1.( ) (2)若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立．( )(3)(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.( )(4)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)× 2.小题热身 (1)若sin α＝55，π2<α<π，则tan α＝________. 答案 －12解析 因为sin α＝55，π2<α<π， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝⎛⎭⎪⎫552＝－255， 所以tan α＝sin αcos α＝－12.(2)化简：cos 2α－1sin αtan α＝________.答案 －cos α解析 原式＝－sin 2αsin α·sin αcos α＝－cos α.(3)sin2490°＝________；cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52π3＝________.答案 －12 －12解析 sin2490°＝sin(7×360°－30°)＝－sin30°＝－12.cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫16π＋π＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3 ＝－cos π3＝－12.(4)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin(π＋α)＝________.答案 －45解析 因为sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin α＝1－cos 2α＝45，所以sin(π＋α)＝－sin α＝－45.题型 一 同角三角函数关系式的应用1.已知cos α＝15，－π2<α<0，则1tan α＝( )A.2 6 B ．－2 6 C ．－612 D.612答案 C解析 因为cos α＝15，－π2<α<0，所以sin α＝－1－cos 2α＝－265，所以1tan α＝cos αsin α＝15－265＝－612.2.已知tan x ＝3，则sin x ＋3cos x2sin x －3cos x ＝________.答案 2解析 因为tan x ＝3，所以sin x ＋3cos x 2sin x －3cos x ＝tan x ＋32tan x －3＝3＋32×3－3＝2.3.sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°＝________. 答案 44.5解析 因为sin(90°－α)＝cos α，所以当α＋β＝90°时，sin 2α＋sin 2β＝sin 2α＋cos 2α＝1，设S ＝sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°， 则S ＝sin 289°＋sin 288°＋sin 287°＋…＋sin 21°， 两个式子相加得2S ＝1＋1＋1＋…＋1＝89，S ＝44.5.同角三角函数关系式的应用方法(1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．(2)由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因为利用“平方关系”公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论.1.已知△ABC 中，cos A sin A ＝－125，则cos A 等于( )A.1213 B.513 C ．－513 D ．－1213答案 D解析 因为A 是三角形内角，且cos A sin A ＝－125<0，所以cos A <0且5cos A ＝－12sin A ， 则25cos 2A ＝144sin 2A ＝144(1－cos 2A ) 解得cos 2A ＝144169，所以cos A ＝－1213.2.若α是第二象限角，则tan α1sin 2α－1化简的结果是( ) A.－1 B ．1 C.－tan 2α D ．tan 2α答案 A解析 因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0， 所以tan α1sin 2α－1＝sin αcos α·⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos αsin α＝－sin αcos α·cos αsin α＝－1. 3.(2018·绵阳诊断)已知2sin α＝1＋cos α，则tan α的值为( ) A.－43B.43 C.－43或0D.43或0 答案 D解析 因为2sin α＝1＋cos α，所以4sin 2α＝1＋2cos α＋cos 2α，又因为sin 2α＝1－cos 2α，所以4(1－cos 2α)＝1＋2cos α＋cos 2α，即5cos 2α＋2cos α－3＝0，解得cos α＝－1或cos α＝35.当cos α＝－1时，sin α＝0，tan α＝0，当cos α＝35时，sin α＝45，tan α＝43.题型 二 诱导公式的应用1.化简sin(－1071°)sin99°＋sin(－171°)sin(－261°)的结果为( ) A.1 B ．－1 C ．0 D ．2 答案 C解析 原式＝(－sin1071°)sin99°＋sin171°sin261°＝－sin(3×360°－9°)sin(90°＋9°)＋sin(180°－9°)·sin(270°－9°)＝sin9°cos9°－sin9°cos9°＝0.2.已知f (α)＝π－απ－α－π－απ－α，则f ⎝⎛⎭⎪⎫－25π3的值为( ) A.12 B.13 C.32 D.22 答案 A解析 ∵f (α)＝sin αcos α－cos α－tan α＝cos α，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋π3＝cos π3＝12. 3.已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ的值是________．答案 0 解析 因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－a .sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝0.条件探究1 若举例说明3的条件“cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ”改为“sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π12＝a ”，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋7π12.解 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋7π12＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π12＋π2＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π12＝－a .条件探究2 若举例说明3的条件“cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ”改为“cos(α－17°)＝a ”，求sin(α－107°)．解 sin(α－107°)＝sin(α－17°－90°) ＝－cos(α－17°)＝－a .(1)诱导公式的两个应用方向与原则①求值，化角的原则与方向：负化正，大化小，化到锐角为终了． ②化简，化简的原则与方向：统一角，统一名，同角名少为终了． (2)应用诱导公式的基本流程(3)巧用口诀：奇变偶不变，符号看象限．(4)注意观察已知角与所求角的关系，如果两者之差或和为π2的整数倍，可考虑诱导公式，如举例说明3中π6－θ＋5π6＋θ＝π，⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝π2.1.(2019·天一大联考)在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边经过点P (3,4)，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－2017π2＝( ) A.－45 B ．－35 C.35 D.45答案 B解析 因为角α的终边经过点P (3,4)． 所以cos α＝332＋42＝35. 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－2017π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2－1008π ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－cos α＝－35. 2.(2018·石家庄模拟)已知k ∈Z ，化简：k π－αk －π－α]k ＋π＋αk π＋α＝________.答案 －1解析 当k 为偶数时，原式＝－α－π－απ＋αα＝－sin α－cos α－sin αcos α＝－1. 当k 为奇数时，原式＝π－α－αsin απ＋α＝sin αcos αsin α－cos α＝－1.综上知，原式＝－1.题型 三 同角三角函数基本关系式和诱导公式的灵活应用角度1 化简与求值1.已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是( )A.355 B.377 C.31010 D.13答案 C解析 由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β－1＝0，解得tan α＝3，又α为锐角，故sin α＝31010.角度2 sin α＋cos α、sin αcos α、sin α－cos α三者之间的关系2.(2018·长沙模拟)已知－π<x <0，sin(π＋x )－cos x ＝－15，则sin x －cos x ＝( )A.－75B.75C.57 D ．－57答案 A解析 因为sin(π＋x )－cos x ＝－15，所以－sin x －cos x ＝－15，所以sin x ＋cos x ＝15∈(0,1)．又因为－π<x <0，所以－π2<x <0，所以sin x －cos x <0.sin x ＋cos x ＝15，两边平方得1＋2sin x cos x ＝125，所以2sin x cos x ＝－2425.所以(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝4925.所以sin x －cos x ＝－75.角度3 常值代换问题3.(2016·全国卷Ⅲ)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin2α＝( )A.6425 B.4825 C ．1 D.1625答案 A解析 当tan α＝34时，原式＝cos 2α＋4sin αcos α＝cos 2α＋4sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝1＋4tan αtan 2α＋1＝1＋4×34916＋1＝6425， 故选A.同角三角函数基本关系在求值与化简时的常用方法(1)弦切互化法：主要利用公式tan x ＝sin x cos x 进行切化弦或弦化切，如a sin x ＋b cos xc sin x ＋d cos x，a sin 2x ＋b sin x cos x ＋c cos 2x 等类型可进行弦化切．(2)和积转换法：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α可以知一求二．(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝sin 2θ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1tan 2θ＝tan π4＝….1.1＋π－π＋化简的结果是( )A.sin3－cos3 B ．cos3－sin3 C.±(sin3－cos3) D ．以上都不对 答案 A解析 因为sin(π－3)＝sin3，cos(π＋3)＝－cos3，所以原式＝1－2sin3·cos3＝－2＝|sin3－cos3|.因为π2<3<π，所以sin3>0，cos3<0，即sin3－cos3>0，所以原式＝sin3－cos3.2.已知tan100°＝k ，则sin80°的值等于( ) A.k1＋k 2B ．－k1＋k2C.1＋k2k D ．－1＋k2k答案 B解析 由已知得tan100°＝k ＝tan(180°－80°)＝－tan80°，所以tan80°＝－k ，又因为tan80°＝sin80°cos80°＝sin80°1－sin 280°，所以sin 280°1－sin 280°＝k 2，注意到k <0，可解得sin80°＝－k1＋k2.3.若sin x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，则cos x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝( )A.25 B ．－25 C.23 D ．－23 答案 B解析 由sin x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，得sin x ＝2cos x ，即tan x ＝2，则cos x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－cos x sin x ＝－sin x cos x sin 2x ＋cos 2x ＝－tan x 1＋tan 2x ＝－21＋4＝－25.。
高考数学(理)之三角函数与解三角形 专题02 同角三角函数的基本关系(解析版)
三角函数与平面向量02 同角三角函数的基本关系一、具本目标：（1）理解同角三角函数的基本关系式，会用同角三角函数之间的关系解决相关的问题. （2）高考解读：高考对同角三角函数基本关系式的考查主要是小题为主,或都与诱导公式及其它知识相结合，试题难度不大．但在高考中属于一个分点，同角的三个函数值中sin ,cos ,tan θθθ知一求二，易错点是忽略角的范围.导致整个题出错误.二、知识概述：1.知识要点：（1）22sin cos 1()R ααα+=∈ （2）sin tan ,cos 2k k Z απααπα⎛⎫=≠+∈ ⎪⎝⎭2.解题技巧：（1)已知sin ,cos ,tan θθθ三者中的一个求另外两个：利用平方关系和商数关系构造方程组求解； （2）已知αtan 的值，求关于αsin 与αcos 的齐n 次分式的值：分子、分母同除以αncos ，转化为关于αtan 的式子求解； （3）1的代换问题：含有α2sin，α2cos ，及αsin αcos 的整式求值问题，可将所求式子的分母看作“1”，利用22sin cos 1()R ααα+=∈代换后转化为“切”，然后求解； (4)对于αsin +αcos ，αsin αcos ，αsin -αcos 这三个式子，已知其中一个式子的值，可求其余两个式子的值，转化的公式为()ααααcos sin 21cos sin 2±=±.1.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知α∈(0，2π)，2sin2α=cos2α+1，则sin α=（ ）A ．15B．5C．3D．5【解析】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查.2sin 2cos21αα=+Q ，【考点讲解】【真题分析】24sin cos 2cos .0,,cos 02αααααπ⎛⎫∴⋅=∈∴> ⎪⎝⎭Q ，sin 0,α>2sin cos αα∴=，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5αα∴==，又sin 0α>，sin 5α∴=，故选B ．【答案】B2．【2019优选题】设ααcos sin +=t ，且0cos sin 33<+αα，则t 的取值范围是（ ） （A ）)0,2[- （B ）),3()0,3(+∞-Y （C ）)2,1()0,1(Y - （D ）)2,2[-【解析】由ααααcos sin 21)cos (sin 2+=+得21cos sin 2-=⋅t αα，故)cos cos sin )(sin cos (sin cos sin 2233αααααααα+-+=+=23)211(22t t t t -⋅=--⋅ 注意到]2,2[)4(sin 2cos sin -∈+=+=παααt ，所以02<≤-t .【答案】A3.【2019优选题】已知α是三角形的一个内角，且32cos sin =+αα则这个三角形的形状是（ ） A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.不等腰的直角三角形 D.等腰直角三角形【解析】解法1：主要是判断α是钝角、锐角还是直角，又可以等价转化为判断α的某一三角函数值的符号.由α),0(π∈，将32cos sin =+αα两边平方得0194cos sin 2<-=αα，而0cos 0sin <∴>αα故α为钝角.解法2：由)4(sin 2cos sin πααα+=+，若20πα≤<则4344ππαπ≤+<，1)4sin(22≤+≤πα从而2cos sin 1≤+≤αα而132cos sin <=+αα，故α为钝角. 【答案】B4. 【2016高考新课标3理数】若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625【解析】本题的考点是同角三角函数间的基本关系与倍角公式． 法一：由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ． 【答案】A 法二：由αα2sin 2cos2+可得ααααααααα22222cos sin cos sin 4cos 12sin 2cos 2sin 2cos ++=+=+将上面的式子分子分母同除以α2cos 后，1tan tan 41cos sin cos sin 4cos 2222++=++ααααααα化简后得2564. 【答案】A5.【2015福建】若，且为第四象限角，则的值等于（ ） A ． B ． C ． D ．【解析】由，且为第四象限角，则， 则，故选D ． 【答案】D6.【2019优选题】若0tan >α，则下列选项正确的是（ ）A ．0sin >αB ． 0cos >αC ． 02sin >αD ． 02cos >α 【解析】 tan 0α>知α的终边在第一象限或第三象限，此时sin α与cos α同号，故sin 22sin cos 0ααα=>，选C ． 【答案】C7.【2019优选题】已知，则（ ） A ．B ．C ．D ．【解析】由22(sin 2cos )2αα+=可得2222sin 4cos 4sin cos 10sin cos 4αααααα++=+，进一步整理可得 23tan 8tan 30αα--=，解得tan 3α=或1tan 3α=-，于是22tan 3tan 21tan 4ααα==--． 【答案】C5sin 13α=-αtan α125125-512512-5sin 13α=-α12cos 13α==sin tan cos ααα=512=-210cos 2sin ,=+∈αααR =α2tan 344343-34-8.【2019优选题】若，则tan2α=（ ）A ．−B ．C ．−D ．【解析】分子分母同除cos α得：sin cos tan 11,sin cos tan 12αααααα++==--∴tan 3α=-，∴22tan 3tan 21tan 4ααα==-. 【答案】B9.【2019优选题】若sin cos 1,sin cos 1,θθθθ+=-=则a b ab 的值是（ ）A. 0B. 1C. -1D. 【解析】由题意可得θθθθcos 1sin ,cos 1sin +=-=b a ，将两式相乘得到：()()θθθθθ222sin cos 1cos 1cos 1sin =-=+-=ab()0sin 12=-θab ，因为0sin ≠θ，所以1=ab .【答案】B.10．【2018优选题】设sin 2sin αα=-，(,)2παπ∈，则tan 2α的值是_____．【解析】 sin 22sin cos sin αααα==-，则1cos 2α=-，又(,)2παπ∈，则tan α=22tan tan 21tan ααα===-11.【2017优选题】已知sin 2cos 0αα+=，则22sin cos cos ααα-的值是________．【解析】由已知可得tan 2α=-，22sin cos cos ααα-＝． 【答案】1-12. 【2019优选题】已知αtan 与αcot 是方程0222=+-m x x 的两根，则=αsin . 【解析】由韦达定理得12cot tan ==⋅m αα，故方程为0122=+-x x ,其两根均为1， 于是1cot tan ==αα，若α的终边在第一象限，则22sin ,42=+=αππαk ，若α的终边在第三象限，sin cos 1sin cos 2αααα+=-3434434322222sin cos cos 2tan 1411sin cos tan 141ααααααα----===-+++则22sin ,452-=+=αππαk ，故=αsin 22±. 【答案】22±13. 【2019优选题】若，则= ． 【解析】法一：2cos sin tan ==ααα得ααcos 2sin =， ααααααααα222222cos 4sin cos sin cos sin 2cos 4sin 12sin +++=++∴ 89cos 4cos 4cos cos 4cos 422222=+++=ααααα，故答案为89.法二：ααααααααα222222cos 4sin cos sin cos sin 2cos 4sin 12sin +++=++894tan 1tan tan 222=+++=ααα 【答案】8914.【2018年高考江苏卷】已知,αβ为锐角，4tan 3=α，cos()5+=-αβ． （1）求cos2α的值；（2）求tan()-αβ的值．【解析】本小题主要考查同角三角函数关系、两角和（差）及二倍角的三角函数，考查运算求解能力．（1）因为4tan 3=α，sin tan cos =ααα，所以4sin cos 3=αα． 因为22sin cos 1+=αα，所以29cos 25=α，因此，27cos 22cos 125=-=-αα．（2）因为,αβ为锐角，所以(0,)+∈παβ．又因为cos()+=αβ，所以sin()+==αβ，因此tan()2+=-αβ．因为4tan 3=α，所以22tan 24tan 21tan 7==--ααα，因此，tan 2tan()2tan()tan[2()]1tan 2tan()11-+-=-+==-++ααβαβααβααβ．tan 2α=22sin 21sin 4cos ααα++1.已知,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭且()53sin -=+απ，则tan α=（ ）A. 34-B. 43 C . 34 D. 43- 【解析】本题考查的是同角三角函数的关系，由题意可知,()53sin sin -=-=+ααπ，因为53sin =α并且,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以54sin 1cos 2-=--=αα，αααcos sin tan ==34-.【答案】A2.如图是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形中较小的内角为，大正方形的面积是1，则的值是（ ） A.1 B. C. D.－【解析】由已知可得大正方形的边长为1，小正方形的面积是()251sin cos 2=-θθ，这里θθsin cos >，所以可得到51sin cos =-θθ，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=+51sin cos 1cos sin 22θθθθ可得：53sin ,54cos ==θθ，257cos sin 22-=-θθ，故选D.【答案】D3.已知tan 2θ=，则22sinsin cos 2cos θθθθ+-=（ ）A ．43-B ．54 C.34- D ．45【解析】2222222222sin sin cos 2cos tan tan 2222sin sin cos 2cos sin cos tan 121θθθθθθθθθθθθθ+-+-+-+-===+++＝θ22sin cos θθ-2425-725725【模拟考场】45，故选D ． 【答案】D4.已知sin cos 2sin cos αααα-=+，则tan α=__________．【解析】sin cos 1tan 2,2,tan 3.sin cos 1tan ααααααα--=∴=∴=-++Q【答案】-3 5.若sin cos θθ+=，[0,π]θ∈，则tan θ=（ ） A ．12-B ．12C ．2-D ．2 【解析】由题意可知()51cos sin 2cos sin cos sin 222=++=+θθθθθθ，因此可得：054cos sin 2<-=θθ，因为()πθ，0∈，所以0cos ,0sin <>θ，因此得到⎪⎭⎫ ⎝⎛∈ππθ，2. 由()59cos sin 2cos sin cos sin 222=-+=-θθθθθθ.由0cos ,0sin <>θ，得到553cos sin =-θθ.又由于55cos sin =+θθ， 得到552sin =θ,55cos -=θ,2cos sin tan -==θθθ. 【答案】C6.若α为第三象限，则αααα22cos 1sin 2sin 1cos -+-的值为（ ）A ．3B ．3-C ．1D ．1- 【解析】因为α为第三象限，所以sin 0,cos 0αα<<．因此cos 2sin 123cos sin αααα+==+=--=---，故选择B ．【答案】B7.已知2cos sin αα=，则41+cos sin αα=（ ）A.12B. 32-C. 12D. 23m【解析】由22cos sin 1sin ααα==-可得sin α=， 4221111cos sin 1cos 1sin sin sin sin sin αααααααα+=+=+-=+-1122=+-= ，故选D. 【答案】D8.,那么( )A. B . - C.D . -【易错分析】(1)k 值的正负；（2）tan100o表达式符号易错.【解析】()222180cos 180cos 180sin k -=--=-=οοο,οοοο80cos 80sin 80tan 100tan -=-=,而()k ==-οο80cos 80cos ， 所以kk 21100tan --=ο，所以选B.【答案】B. 9．已知54cos ),0,2(=-∈x x π，则=x 2tan （ ） （A ）247 （B ）247- （C ）724 （D ）724- 【解析】解法1：用常规解法，可先由已知条件求x sin ，再求得x tan ，再应用倍角正切公式求得答案.因为54cos ),0,2(=-∈x x π，所以 53cos 1sin 2-=--=x x ，则43tan -=x . 由此得724tan 1tan 22tan 2-=-=xx x . 解法2：先由已知条件求x sin ，方法同1，由724sin cos cos sin 22cos 2sin 2tan 22-=-==x x x x x x x .cos(80)k -︒=tan100︒=k k解法3：因为)0,2(π-∈x ，235422<<，所以由54cos =x 得64ππ-<<-x ，从而322ππ-<<-x ，则32tan -<x ，故排除A 、B 、C 得答案为D ，这是一个用估值解决问题的灵活方法.解法4：作图如下，点A 在第四象限，作AB x ⊥轴，设OA =5，OB = 4，AB =3，OC 为第四象限的角平分线，OD 为∠COx 的角平分线，右BC = 4，54==OC BO DC BD 及BD+DC =4，解得BD =AB <916, ||x AOB =∠，则84ππ-<<-x ，所以422ππ-<<-x ，于是12tan -<x ，排除A 、B 、C 得答案. 【答案】D10．化简8sin 1-的结果是（ ）A.4cos 4sin +B.4cos 4sin -C.4sin 4cos -D.4cos 4sin -- 【解析】|4cos 4sin |)4cos 4(sin 4cos 4sin 24cos 4sin 8sin 1222-=-=-+=-，︒>︒=︒⨯≈225228)574(4Θ，224cos ,224sin ->-<∴，4cos 4sin <∴，故选C . 也可以在弧度制下去绝对值符号：2332329441534545ππ≈⨯=<<=⨯≈Θ4cos 45cos 45sin4sin <=<∴ππ.【答案】C 11.已知sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，则cos α＝________.【解析】∵sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，∵sin 2α＝4sin 2β，∵tan 2α＝9tan 2β，∵由∵÷∵得：9cos 2α＝4cos 2β，∵ ∵＋∵得：sin 2α＋9cos 2α＝4， ∵cos 2α＋sin 2α＝1， cos 2α＝38，即cos α＝±64.∵【答案】±64xA D yOBC12．已知1sin 3sin cos 3cos 222=-⋅+x x x x ，则=x tan .【解析】由x x 22cos sin 1+=可得x x x x x x 2222cos sin sin 3sin cos 3cos 2+=-⋅+， 整理得：0sin 4sin cos 3cos 22=-⋅+x x x x ，而0cos ≠x ，两边同时除以x 2cos 得0tan 4tan 312=-+x x ，解得41tan -=x 或1.【答案】41-或1。
高考数学复习第三章三角函数、解三角形第2节同角三角函数的基本关系及诱导公式课件
A．{1，－1,2，－2}
B．{－1,1}
C．{2，－2}
D．{1，－1,0,2，－2}
解析 当 k 为偶数时，A＝ssiinn αα＋ccooss αα＝2；当 k 为奇数时，A＝－sisninαα－ccooss αα＝ －2.故 A＝{2，－2}．
3．化简：tanπc－osα－coαs－2ππ－siαn－sinπ－－αα＋ 32π＝___－__1_. 解析 原式＝co－stπa＋nαα·c·o[s－α·si－ncπo＋sαα] ＝ta－nαc·coosαsα·s·icnoαsα＝csoi－nsααs·icnoαsα＝－1.
4．已知 cosπ6－θ＝a，则 cos56π＋θ＋sin23π－θ的值是___0____. 解析 ∵cos56π＋θ＝－cosπ－56π＋θ＝－a， sin23π－θ＝sinπ2＋π6－θ＝a， ∴cos56π＋θ＋sin23π－θ＝－a＋a＝0.
A．
12 13
B．－1123
C．
13 12
D．－1132
解析 ∵α∈π2，π，
且 cos α＝－153，
∴sin
α＝1123，则ctaonsαα＋＋π2π＝－ －ccsooinss
α αα＝sin1
α＝1132.
[素养练 2] ＝___－__43___.
(2016·全国卷Ⅰ)已知 θ 是第四象限角，且 sinθ＋π4＝35，则 tanθ－π4
核心素养系列
(十七)数学运算——三角函数式化简求值中的核心素养 三角运算是重要的“数学运算”，在正确分析条件和所求的基础上明确运 算的方向，灵活地选用三角公式，完成三角运算.
[素养练 1] 已知 α∈π2，π，且 cos α＝－153，则ctaonsαα＋＋π2π＝( C )
2024届高三数学一轮复习--三角函数与解三角形第2练 同角三角函数的基本关系及诱导公式(解析版)
参考答案：
【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母
(1 sin2 cos2 )，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入 tan 2 即可得到结果． 【详解】将式子进行齐次化处理得：
sin 1 sin 2 sin sin2 cos2 2sin cos sin sin cos
上逆时针做匀速圆周运动，同时出发．P 的角速度大小为 2rad/s ，起点为 e O 与 x 轴正半轴
的交点；Q 的角速度大小为 5rad/s ，起点为射线 y 3x x 0 与 e O 的交点．则当 Q 与
P 重合时，Q 的坐标可以为（ ）
A．
cos
2 9
, sin
2 9
C．
cos
9
20．（2023·全国·高三专题练习）已知 VABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，
b
3
，
a
c
，且
sin
π 3
A
cos
π 6
A
1 4
．
(1)求 A 的大小；
(2)若 a sin A c sin C 4 3 sin B ，求 VABC 的面积．
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1．C
B．
cos
7π 8
1 3
C．
sin
13π 8
2
2 3
D．
tan
π 8
2
2
10．（2023·全国·高一假期作业）已知 sin cos 1 ， 0, π ，则（ ）
5
A． sin cos 12 25
B． sin cos 12 25
C． sin cos 7 5
D． tan 4 3
高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形第二节同角三角函数的基本关系及诱导公式课件新人教版
为( B )
A．a＞b＞c
B．b＞a＞c
C．b＞c＞a
D．a＞c＞b
5．(2021·唐山模拟)已知sin52π＋α＝35，那么tan α的值为( C )
A．－43
B．－34
C．±43
D．±34
6．(2021·苏州模拟)化简：sin1＋π－siαnπ2＋＋siαnαtacnosα α＝________. 解析：sin1＋π－siαnπ2＋＋siαnαtacnosαα＝sin1＋α＋cossinααtcaonsαα＝cos α.
3 4
π，B＝56π，不符合题意，舍去．
综上，C＝172π.
[答案]
7 12π
三角形中的三角函数问题，要注意隐含条件的发掘以及三角形内 角和定理的应用.
(二)创新应用——斜率公式与三角函数的交汇问题
[例2] 已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上
有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos 2α＝23，则|a－b|＝( B )
1 A.5
B．
5 5
25 C. 5
D．1
本题主要通过商数关系进行弦化切，结合斜率公式求解，着重 考查了逻辑推理与数学运算核心素养．
[题组突破]
1．已知曲线f(x)＝32x3在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为α，则
2sinsiαn2cαo－s αc＋osc2αos2α＝( C )
1 A.2
B．2
函数名不变 符号看象限
函数名改变，符 号看象限
1．若sin6π－α＝13，则cos3π＋α＝( C )
A．－79
B．－13
1 C.3
D．79
2．化简scions25απ－＋π2α·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为________．
2024届高考数学一轮总复习第三章三角函数解三角形第二讲同角三角函数的基本关系与诱导公式课件
A.－153
B.153
C.－152
D.152
答案：C
2.(一题两空)已知 tan α＝12，则ssiinnαα－＋3ccoossαα＝___________； sin2α＋sinαcos α＋2＝________.
解析：ssiinnαα－＋3ccoossαα＝ttaann αα－ ＋31＝－53.sin2α＋sinαcos α＋2＝
的技能以及基本的运算能力.
π2±α，π±α的正弦、余弦、正切
2.题型为选择题和填空题，中 低档难度
1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商数关系：csoinsαα＝tan αα≠π2＋kπ，k∈Z.
2.三角函数的诱导公式
公式 一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α (k∈Z)
π4＋α 与π4－α 等，常见的互补关系有π3＋α 与23π－α；π4＋α 与34π－α 等.
【考法全练】
1.(考向 1)(2023 年兴庆区校级月考)已知角 α 的终边经过点
(－1，2)，则 sin (2α－3π)＋tan π2－α＝(
)
3 A.5
B.－35
C.－130
3 D.10
解析：因为角α的终边经过点(－1，2)，
π2＜α＜π，则 sin α－cos α 的值为( )
A.194
B.－194
C.
14 3
D.－
14 3
解析：因为 sin (π－α)－cos (π＋α)＝32，且π2＜α＜π，所以 sin α
＋cos α＝23，sin α＞0，cos α＜0，方程两边平方，可得 1＋2sin αcos α
2024版新教材高考数学总复习：第二节同角三角函数的基本关系及诱导公式课件
同角三角函数的基本关系及诱导公式
必备知识·夯实双基
关键能力·题型突破
【课标标准】
sinα
2
2
1.理解同角三角函数的基本关系式：sin α＋cos α＝1，
＝tanα.
cos α
π
2.借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式( ±α，π±α的正
2
弦、余弦、正切)．
必备知识·夯实双基
知识梳理
sin α+cos α
解析：
＝
sin α−cos α
sin α
+1
cos α
sin α
−1
cos α
sin α+cos α
3
α＝2，则
的值为________．
sin α−cos α
tan α+1 2+1
＝
＝ ＝3.
tan α−1 2−1
sin kπ+α
4．(易错)已知A＝
sin α
+
{2，－2}
是________．
＝
所以f(－1 860°)＝cos (－1 860°)＝cos 1 860°
1
＝cos (5×360°＋60°)＝cos 60°＝ .
2
＝cos α，
题后师说
1.利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤
2．常见的互余和互补的角
互余的角
互补的角
巩固训练1
4π
5
7π
(1)若cos (α＋ )＝－ ，则sin ( －α)＝(
3
5
sin π−α cos 2π−α tan −α+2π
(2)已知f(α)＝
2023届高考数学一轮复习——三角函数与解三角形 第二讲 同角三角函数的基本关系、诱导公式 课
sin sin
AcosA= 60 169
A cos A 7
， 得
，
sin A cos A
12， 13 所以.
5，
tan
A
12 5
.
13
13
故选 D.
[变式训练]
1. 若 为第四象限角，则 1 cos 1 cos 可化简为( D ) 1 cos 1 cos
A. 2tan
2
k,
k
Z
.
[典型例题]
1.已知角 A 是 ABC 的一个内角，若 sin A cos A 7 13
则 tanA ( D )
A. 12 13
C. 5 12
B. 7 12
D. 12 5
[解析]
利用 sin2 A cos2 A 1, 可得 sin Acos A 60 可知 A 为钝角， 169
cos3 cos
(
C
)
A. 12 25
C. 37 25
B. 9 25
D. 52 25
[解析]
由
sin
π 2
3 5
，
(π,
2π)
得
cos
3 5
，所以
sin
4 5
，则
sin3 cos3 sin2 sin cos cos2 1 4 3 37 ，
sin cos
5 5 25
三角函数与解三角形 第二讲 同角三角函数的基本关系式
重点
理解同角三角函数的基本关系式， 并能熟练运用同角三角函数关系进行化简或求值.
难点
利用诱导公式进行化简或求值.
核心知识整合
考点1：同角三角函数的基本关系式
高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形第2节同角三角函数的基本关系式与诱导公式课件
余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α
正切 tan α tan α －tan α －tan α
口诀
函数名不变，符号看象限
函数名改变， 符号看象限
1．诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限． 2．同角三角函数基本关系式的常用变形：(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. 3．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要 注意判断三角函数值的符号．
－sin2 α＝( )
4 A.5
B．－45
3 C.5
D．－35
解析：由同角三角函数关系得 cos2 α－sin2 α＝
cos2 cos2
α－sin2 α＋sin2
αα＝11－＋ttaann22
αα＝11－＋99＝－45.
答案：B
3．(人 A 必修 4·习题改编)已知 α 为锐角，且 sin α
＝45，则 cos(π＋α)＝( )
＋45°)＝1t－anta3n0°3＋0°ttaann4455°°＝13－3＋331＝2＋ 3.
答案：D
2．(2020·临川九校联考)已知 α∈(0，π)，且 cos α＝
－1157，则 sinπ2＋α·tan(π＋α)＝(
)
A．－1157
15 B.17
C．－187
8 D.17
解析：sinπ2＋α·tan(π＋α)＝cos α·tan α＝sin α，
4．(2020·东莞质检)函数 y＝loga(x＋4)＋2(a>0 且 a≠1)的 图象恒过点 A，且点 A 在角 θ 的终边上，则 sin 2θ＝( )
A．－153
5 B.13
C．－1123
D.1123
同角三角函数的基本关系南瓜数学
同角三角函数的基本关系南瓜数学同角三角函数是指在同一个角度下的正弦、余弦、正切、余切、正割和余割的关系。
这些函数之间存在着一些基本的关系，下面我将从几个不同的角度来解释这些基本关系。
首先，我们可以从几何角度来理解同角三角函数的基本关系。
在一个直角三角形中，假设角A的对边为a，邻边为b，斜边为c，那么根据三角函数的定义，正弦函数sinA等于对边a与斜边c的比值，即sinA=a/c；余弦函数cosA等于邻边b与斜边c的比值，即cosA=b/c；正切函数tanA等于对边a与邻边b的比值，即tanA=a/b。
这些基本关系可以通过直角三角形的几何性质得到。
其次，我们可以从单位圆的角度来理解同角三角函数的基本关系。
单位圆是以原点为圆心、半径为1的圆，对于任意一个角度θ，我们可以在单位圆上找到对应的点P(x, y)，其中x=cosθ，y=sinθ。
这样，我们可以得到sinθ和cosθ之间的基本关系，sin²θ+cos²θ=1。
这就是著名的三角恒等式。
通过单位圆，我们可以直观地理解同角三角函数之间的基本关系。
此外，我们还可以从周期性和对称性的角度来理解同角三角函数的基本关系。
正弦函数和余弦函数是周期函数，它们的周期都是2π。
而正切函数和余切函数则具有π的周期性。
另外，正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，而正切函数和余切函数则不具有奇偶性。
这些性质也反映了同角三角函数之间的基本关系。
综上所述，同角三角函数的基本关系可以从几何、单位圆和周期性对称性等多个角度来理解。
这些基本关系在解决三角函数相关问题时起着重要的作用，对于理解和应用三角函数都具有重要意义。
希望以上解释能够帮助你更好地理解同角三角函数的基本关系。
高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式讲义含解析0513135.doc
第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式突破点一 同角三角函数的基本关系[基本知识]1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1(α∈R)．(2)商数关系：tan α＝sin αcos α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠k π＋π2，k ∈Z . 2．同角三角函数基本关系式的应用技巧一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)若α，β为锐角，则sin 2α＋cos 2β＝1.( ) (2)若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立．( )答案：(1)× (2)× 二、填空题1．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝35，则tan α＝________. 解析：∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝35，∴cos α＝－45，于是tan α＝－34. 答案：－342．已知tan α＝2，则sin α＋cos αsin α－cos α的值为________．解析：原式＝tan α＋1tan α－1＝2＋12－1＝3.答案：3[全析考法]考法一 知弦求弦、切或知切求弦利用同角三角函数的基本关系求解问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基本关系的正用、逆用、变形．同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对于一些题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组，通过解方程组达到解决问题的目的．[例1] (1)(2019·成都龙泉中学月考)设cos(－80°)＝k ，那么tan 100°等于( ) A.1－k2k B ．－1－k2k C.k1－k2D ．－k1－k2(2)(2019·甘肃诊断)已知tan x ＝43，且角x 的终边落在第三象限，则cos x ＝( )A.45 B ．－45C.35D ．－35[解析] (1)∵cos(－80°)＝cos 80°＝k ，∴sin 80°＝1－cos 280°＝1－k 2， ∴tan 100°＝－tan 80°＝－1－k2k.故选B.(2)因为角x 的终边落在第三象限，所以cos x <0，因为tan x ＝43，所以⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x ＋cos 2x ＝1，sin x cos x ＝43，cos x <0，解得cos x ＝－35，故选D.[答案] (1)B (2)D [易错提醒]知弦求弦、切或知切求弦时要注意判断角所在的象限，不要弄错切、弦的符号． 考法二 知切求f (sin α、cos α)的值[例2] (2019·保定三校联考)已知tan(3π＋α)＝3，则3sin α－cos α2sin α＋3cos α＝( )A.13B.89C.23D ．2[解析] ∵tan(3π＋α)＝3，∴tan α＝3，∴3sin α－cos α2sin α＋3cos α＝3tan α－12tan α＋3＝3×3－12×3＋3＝89.故选B.[答案] B [方法技巧]利用“切弦互化”的技巧(1)弦化切：把正弦、余弦化成切的结构形式，统一为“切”的表达式，进行求值．常见的结构有：①sin α，cos α的二次齐次式(如a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2α)的问题常采用“切”代换法求解；②sin α，cos α的齐次分式⎝ ⎛⎭⎪⎫如a sin α＋b cos αc sin α＋d cos α的问题常采用分式的基本性质进行变形．(2)切化弦：利用公式tan α＝sin αcos α，把式子中的切化成弦．一般单独出现正切、余切的时候，采用此技巧．考法三 sin α±cos α与sin αcos α关系的应用[例3] (1)已知sin αcos α＝38，且π4<α<π2，则cos α－sin α的值为( )A.12 B ．±12C ．－14D ．－12(2)已知－π2<α<0，sin α＋cos α＝15，则1cos 2α－sin 2α＝( ) A.75 B.257 C.725D.2425[解析] (1)因为sin αcos α＝38，所以(cos α－sin α)2＝cos 2α－2sin αcos α＋sin 2α＝1－2sin αcos α＝1－2×38＝14，因为π4<α<π2，所以cos α<sin α，即cos α－sin α<0， 所以cos α－sin α＝－12.(2)∵sin α＋cos α＝15，∴1＋2sin αcos α＝125，∴2sin αcos α＝－2425，(cos α－sin α)2＝1＋2425＝4925.又∵－π2<α<0，∴cos α>0>sin α，∴cos α－sin α＝75，∴1cos 2α－sin 2α＝1α＋sin αα－sin α＝115×75＝257. [答案] (1)D (2)B [方法技巧]正弦、余弦“sin α±cos α，sin α·cos α”的应用sin α±cos α与sin α·cos α通过平方关系联系到一起，即(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，sin αcos α＝α＋cos α2－12，sin αcos α＝1－α－cos α22.因此在解题中已知1个可求另外2个．[集训冲关]1.[考法一]已知α∈(0，π)，cos α＝－35，则tan α＝( )A.34 B ．－34C.43D ．－43解析：选D ∵cos α＝－35且α∈(0，π)，∴sin α＝1－cos 2α＝45，∴tan α＝sin αcos α＝－43.故选D.2.[考法三]已知sin α＋cos α＝13，则sin αcos α的值为________．解析：∵sin α＋cos α＝13，∴(sin α＋cos α)2＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝1＋2sin αcos α＝19，解得sin αcos α＝－49.答案：－493.[考法二]已知tan α＝－43，求：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α的值； (2)1cos 2α－sin 2α的值； (3)sin 2α＋2sin αcos α的值．解：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α＝tan α－45tan α＋2＝－43－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＋2＝87.(2)1cos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2αcos 2α－sin 2αcos 2α＝tan 2α＋11－tan 2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＝－257. (3)sin 2α＋2sin αcos α＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋2tan αtan 2α＋1＝169－83169＋1＝－825. 突破点二 三角函数的诱导公式[基本知识]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( )(2)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍、偶数倍，变与不变指函数名称是否变化．( )答案：(1)× (2)√ 二、填空题1．已知cos(π＋α)＝－35，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α等于________． 解析：cos(π＋α)＝－cos α＝－35，则cos α＝35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－cos α＝ －35.答案：－352．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6等于________． 解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋π＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－45. 答案：－453．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝________. 解析：tan ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6＋α＝tan [ π－( π6－α) ]＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33. 答案：－331．利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤也就是：“负化正，大化小，化到锐角为终了．” 2．利用诱导公式化简三角函数的要求 (1)化简过程是恒等变形；(2)结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．[典例感悟](2019·武威六中第一次阶段性检测)已知f (α)＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－απ＋α－π－α2－14sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α＋π－α＋π－α .(1)化简f (α)；(2)若－π3<α<π3，且f (α)<14，求α的取值范围．解：(1)f (α)＝αtan α＋cos α2－1－4cos α－cos α＋cos α＝α＋cos α2－1－4cos α＝2sin αcos α－4cos α＝－12sin α.(2)由已知得－12sin α<14，∴sin α>－12，∴2k π－π6<α<2k π＋7π6，k ∈Z.∵－π3<α<π3，∴－π6<α<π3.故α的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3.[方法技巧]应用诱导公式化简求值的常见问题及注意事项(1)已知角求值问题．关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解．转化过程中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用．(2)对给定的式子进行化简或求值问题．要注意给定的角之间存在的特定关系，充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化．特别要注意每一个角所在的象限，防止符号及三角函数名出错．[针对训练]1．(2018·玉林陆川中学期中)sin 570°的值是( )A ．－12B.12C.32D ．－32解析：选A sin 570°＝sin(720°－150°)＝－sin 150°＝－12.故选A.2．(2019·湖北八校联考)已知sin(π＋α)＝－13，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝( ) A ．2 2 B ．－2 2 C.24D ．±2 2解析：选D ∵sin(π＋α)＝－13，∴sin α＝13，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos αsin α＝±22，故选D.3．(2019·南充模拟)设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β都是非零实数．若f (2 019)＝－1，则f (2 020)＝( )A ．1B ．2C ．0D ．－1解析：选A ∵f (2 019)＝a sin(2 019π＋α)＋b cos(2 019π＋β)＝－a sin α－b cos β＝－1，∴a sin α＋b cos β＝1，∴f (2 020)＝a sin(2 020π＋α)＋b cos(2 020π＋β)＝a sin α＋b cos β＝1.故选A.4．化简：sin2α＋ππ＋α－α－2ππ＋α3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－α－2π＝________.解析：原式＝sin 2α－cos ααtan α·cos 3α－sin α＝sin 2αcos 2αsin 2αcos 2α＝1. 答案：1精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
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新高考数学（理）三角函数与平面向量02 同角三角函数的基本关系一、具本目标：（1）理解同角三角函数的基本关系式，会用同角三角函数之间的关系解决相关的问题. （2）高考解读：高考对同角三角函数基本关系式的考查主要是小题为主,或都与诱导公式及其它知识相结合，试题难度不大．但在高考中属于一个分点，同角的三个函数值中sin ,cos ,tan θθθ知一求二，易错点是忽略角的范围.导致整个题出错误.二、知识概述：1.知识要点：（1）22sin cos 1()R ααα+=∈ （2）sin tan ,cos 2k k Z απααπα⎛⎫=≠+∈ ⎪⎝⎭2.解题技巧：（1)已知sin ,cos ,tan θθθ三者中的一个求另外两个：利用平方关系和商数关系构造方程组求解； （2）已知αtan 的值，求关于αsin 与αcos 的齐n 次分式的值：分子、分母同除以αncos ，转化为关于αtan 的式子求解； （3）1的代换问题：含有α2sin，α2cos ，及αsin αcos 的整式求值问题，可将所求式子的分母看作“1”，利用22sin cos 1()R ααα+=∈代换后转化为“切”，然后求解； (4)对于αsin +αcos ，αsin αcos ，αsin -αcos 这三个式子，已知其中一个式子的值，可求其余两个式子的值，转化的公式为()ααααcos sin 21cos sin 2±=±.【考点讲解】【真题分析】1.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知α∈(0，2π)，2sin2α=cos2α+1，则sin α=（ ）A ．15B ．55C ．33D ．255【解析】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查.2sin 2cos21αα=+Q ，24sin cos 2cos .0,,cos 02αααααπ⎛⎫∴⋅=∈∴> ⎪⎝⎭Q ，sin 0,α>2sin cos αα∴=，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5αα∴==，又sin 0α>，5sin 5α∴=，故选B ．【答案】B2．【2019优选题】设ααcos sin +=t ，且0cos sin 33<+αα，则t 的取值范围是（ ） （A ）)0,2[- （B ）),3()0,3(+∞-Y （C ）)2,1()0,1(Y - （D ）)2,2[-【解析】由ααααcos sin 21)cos (sin 2+=+得21cos sin 2-=⋅t αα，故)cos cos sin )(sin cos (sin cos sin 2233αααααααα+-+=+=23)211(22t t t t -⋅=--⋅ 注意到]2,2[)4(sin 2cos sin -∈+=+=παααt ，所以02<≤-t .【答案】A3.【2019优选题】已知α是三角形的一个内角，且32cos sin =+αα则这个三角形的形状是（ ） A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.不等腰的直角三角形 D.等腰直角三角形【解析】解法1：主要是判断α是钝角、锐角还是直角，又可以等价转化为判断α的某一三角函数值的符号.由α),0(π∈，将32cos sin =+αα两边平方得0194cos sin 2<-=αα，而0cos 0sin <∴>αα故α为钝角.解法2：由)4(sin 2cos sin πααα+=+，若20πα≤<则4344ππαπ≤+<，1)4sin(22≤+≤πα从而2cos sin 1≤+≤αα而132cos sin <=+αα，故α为钝角.【答案】B4. 【2016高考新课标3理数】若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625【解析】本题的考点是同角三角函数间的基本关系与倍角公式． 法一：由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ． 【答案】A 法二：由αα2sin 2cos2+可得ααααααααα22222cos sin cos sin 4cos 12sin 2cos 2sin 2cos ++=+=+将上面的式子分子分母同除以α2cos 后，1tan tan 41cos sin cos sin 4cos 2222++=++ααααααα化简后得2564. 【答案】A5.【2015福建】若，且为第四象限角，则的值等于（ ） A ． B ． C ． D ．【解析】由，且为第四象限角，则， 则，故选D ． 【答案】D6.【2019优选题】若0tan >α，则下列选项正确的是（ ）A ．0sin >αB ． 0cos >αC ． 02sin >αD ． 02cos >α 【解析】 tan 0α>知α的终边在第一象限或第三象限，此时sin α与cos α同号，故sin 22sin cos 0ααα=>，选C ． 【答案】C7.【2019优选题】已知，则（ ） 5sin 13α=-αtan α125125-512512-5sin 13α=-α212cos 1sin 13αα=-=sin tan cos ααα=512=-210cos 2sin ,=+∈αααR =α2tanA ．B ．C ．D ．【解析】由2210(sin 2cos )()2αα+=可得2222sin 4cos 4sin cos 10sin cos 4αααααα++=+，进一步整理可得 23tan 8tan 30αα--=，解得tan 3α=或1tan 3α=-，于是22tan 3tan 21tan 4ααα==--． 【答案】C8.【2019优选题】若，则tan2α=（ ）A ．−B ．C ．−D ．【解析】分子分母同除cos α得：sin cos tan 11,sin cos tan 12αααααα++==--∴tan 3α=-，∴22tan 3tan 21tan 4ααα==-. 【答案】B9.【2019优选题】若sin cos 1,sin cos 1,θθθθ+=-=则a b ab 的值是（ ）A. 0B. 1C. -1D. 2【解析】由题意可得θθθθcos 1sin ,cos 1sin +=-=b a ，将两式相乘得到：()()θθθθθ222sin cos 1cos 1cos 1sin =-=+-=ab()0sin 12=-θab ，因为0sin ≠θ，所以1=ab .【答案】B.10．【2018优选题】设sin 2sin αα=-，(,)2παπ∈，则tan 2α的值是_____．【解析】 sin 22sin cos sin αααα==-，则1cos 2α=-，又(,)2παπ∈， 则tan 3α=-，22tan 23tan 231tan 13ααα-===--． 【答案】311.【2017优选题】已知sin 2cos 0αα+=，则22sin cos cos ααα-的值是________．【解析】由已知可得tan 2α=-，22sin cos cos ααα-＝． 【答案】1-344343-34-sin cos 1sin cos 2αααα+=-3434434322222sin cos cos 2tan 1411sin cos tan 141ααααααα----===-+++12. 【2019优选题】已知αtan 与αcot 是方程0222=+-m x x 的两根，则=αsin . 【解析】由韦达定理得12cot tan ==⋅m αα，故方程为0122=+-x x ,其两根均为1， 于是1cot tan ==αα，若α的终边在第一象限，则22sin ,42=+=αππαk ，若α的终边在第三象限，则22sin ,452-=+=αππαk ，故=αsin 22±. 【答案】22±13. 【2019优选题】若，则= ． 【解析】法一：2cos sin tan ==ααα得ααcos 2sin =， ααααααααα222222cos 4sin cos sin cos sin 2cos 4sin 12sin +++=++∴ 89cos 4cos 4cos cos 4cos 422222=+++=ααααα，故答案为89.法二：ααααααααα222222cos 4sin cos sin cos sin 2cos 4sin 12sin +++=++894tan 1tan tan 222=+++=ααα 【答案】8914.【2018年高考江苏卷】已知,αβ为锐角，4tan 3=α，5cos()5+=-αβ． （1）求cos2α的值；（2）求tan()-αβ的值．【解析】本小题主要考查同角三角函数关系、两角和（差）及二倍角的三角函数，考查运算求解能力．（1）因为4tan 3=α，sin tan cos =ααα，所以4sin cos 3=αα． 因为22sin cos 1+=αα，所以29cos 25=α，因此，27cos 22cos 125=-=-αα．（2）因为,αβ为锐角，所以(0,)+∈παβ．tan 2α=22sin 21sin 4cos ααα++又因为5cos()5+=-αβ，所以225sin()1cos ()5+=-+=αβαβ，因此tan()2+=-αβ．因为4tan 3=α，所以22tan 24tan 21tan 7==--ααα，因此，tan 2tan()2tan()tan[2()]1tan 2tan()11-+-=-+==-++ααβαβααβααβ．1.已知,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且()53sin-=+απ，则tan α=（ ）A. 34-B. 43 C . 34 D. 43- 【解析】本题考查的是同角三角函数的关系，由题意可知,()53sin sin-=-=+ααπ，因为53sin =α并且,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以54sin 1cos 2-=--=αα，αααcos sin tan ==34-.【答案】A2.如图是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形中较小的内角为，大正方形的面积是1，小正方形的面积是，则的值是（ ） A.1 B. C. D.－【解析】由已知可得大正方形的边长为1，小正方形的面积是()251sin cos 2=-θθ，这里θθsin cos >，所以可得到51sin cos =-θθ，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=+51sin cos 1cos sin 22θθθθ可得：θ12522sin cos θθ-2425-725725【模拟考场】53sin ,54cos ==θθ，257cos sin 22-=-θθ，故选D.【答案】D3.已知tan 2θ=，则22sinsin cos 2cos θθθθ+-=（ ）A ．43-B ．54 C.34- D ．45【解析】2222222222sin sin cos 2cos tan tan 2222sin sin cos 2cos sin cos tan 121θθθθθθθθθθθθθ+-+-+-+-===+++＝45，故选D ． 【答案】D4.已知sin cos 2sin cos αααα-=+，则tan α=__________．【解析】sin cos 1tan 2,2,tan 3.sin cos 1tan ααααααα--=∴=∴=-++Q【答案】-3 5.若5sin cos 5θθ+=，[0,π]θ∈，则tan θ=（ ） A ．12-B ．12C ．2-D ．2 【解析】由题意可知()51cos sin 2cos sin cos sin 222=++=+θθθθθθ， 因此可得：054cos sin 2<-=θθ，因为()πθ，0∈，所以0cos ,0sin <>θ，因此得到⎪⎭⎫ ⎝⎛∈ππθ，2. 由()59cos sin 2cos sin cos sin 222=-+=-θθθθθθ.由0cos ,0sin <>θ，得到553cos sin =-θθ.又由于55cos sin =+θθ，得到552sin =θ,55cos -=θ,2cos sin tan -==θθθ.【答案】C6.若α为第三象限，则αααα22cos 1sin 2sin 1cos -+-的值为（ ）A ．3B ．3-C ．1D ．1- 【解析】因为α为第三象限，所以sin 0,cos 0αα<<．因此2222cos 2sin cos 2sin cos 2sin 123cos sin 1sin 1cos cos sin αααααααααααα+=+=+=--=-----，故选择B ．【答案】B7.已知2cos sin αα=，则41+cos sin αα=（ ） A.512+ B. 352- C. 12D. 23m【解析】由22cos sin 1sin ααα==- 可得51sin 2α-=， 4221111cos sin 1cos 1sin sin sin sin sin αααααααα+=+=+-=+- 25112251-=+-=- ，故选D. 【答案】D8.,那么( )A. B . - C. D . -【易错分析】(1)k 值的正负；（2）tan100o表达式符号易错.【解析】()222180cos 180cos 180sin k -=--=-=οοο,οοοο80cos 80sin 80tan 100tan -=-=,而()k ==-οο80cos 80cos ， 所以kk 21100tan --=ο，所以选B.【答案】B. 9．已知54cos ),0,2(=-∈x x π，则=x 2tan （ ） cos(80)k -︒=tan100︒=21k k -21k k -21k k -21k k -（A ）247 （B ）247- （C ）724 （D ）724- 【解析】解法1：用常规解法，可先由已知条件求x sin ，再求得x tan ，再应用倍角正切公式求得答案.因为54cos ),0,2(=-∈x x π，所以 53cos 1sin 2-=--=x x ，则43tan -=x . 由此得724tan 1tan 22tan 2-=-=xx x . 解法2：先由已知条件求x sin ，方法同1，由724sin cos cos sin 22cos 2sin 2tan 22-=-==x x x x x x x .解法3：因为)0,2(π-∈x ，235422<<，所以由54cos =x 得64ππ-<<-x ，从而322ππ-<<-x ，则32tan -<x ，故排除A 、B 、C 得答案为D ，这是一个用估值解决问题的灵活方法.解法4：作图如下，点A 在第四象限，作AB x ⊥轴，设OA =5，OB = 4，AB =3，OC 为第四象限的角平分线，OD 为∠COx 的角平分线，右BC = 4，54==OC BO DC BD 及BD+DC =4，解得BD =AB <916, ||x AOB =∠，则84ππ-<<-x ，所以422ππ-<<-x ，于是12tan -<x ，排除A 、B 、C 得答案. 【答案】D10．化简8sin 1-的结果是（ ）A.4cos 4sin +B.4cos 4sin -C.4sin 4cos -D.4cos 4sin -- 【解析】|4cos 4sin |)4cos 4(sin 4cos 4sin 24cos 4sin 8sin 1222-=-=-+=-，︒>︒=︒⨯≈225228)574(4Θ，224cos ,224sin ->-<∴，4cos 4sin <∴，故选C . 也可以在弧度制下去绝对值符号：2332329441534545ππ≈⨯=<<=⨯≈ΘxA D yOBC4cos 45cos 45sin4sin <=<∴ππ.【答案】C 11.已知sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，则cos α＝________.【解析】∵sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，∵sin 2α＝4sin 2β，∵tan 2α＝9tan 2β，∵由∵÷∵得：9cos 2α＝4cos 2β，∵ ∵＋∵得：sin 2α＋9cos 2α＝4， ∵cos 2α＋sin 2α＝1， cos 2α＝38，即cos α＝±64.∵【答案】±6412．已知1sin 3sin cos 3cos 222=-⋅+x x x x ，则=x tan .【解析】由x x 22cos sin 1+=可得x x x x x x 2222cos sin sin 3sin cos 3cos 2+=-⋅+， 整理得：0sin 4sin cos 3cos 22=-⋅+x x x x ，而0cos ≠x ，两边同时除以x 2cos 得0tan 4tan 312=-+x x ，解得41tan -=x 或1.【答案】41-或1。