材料力学第五章——截面的几何性质
材料力学 截面的几何性质
录
附录Ⅰ
§Ⅰ-1 §Ⅰ-2 §Ⅰ-3 §Ⅰ-4
截面的几何性质
截面的静矩和形心位置 惯性矩、惯性积和惯性半径 平行移轴公式 转轴公式 主惯性矩
静矩与形心
一、静矩的定义(与力矩类似)（也称面积矩或一次矩） 截面对z轴的静矩： y 截面对y轴的静矩：
Sz Sy
dS
A A
z
ydA
A
3
z 100
I
C
CI
a1 a2
I y I yI I yII 443 10 768 10
4
4
y
1211 104 mm 4
由于z轴是对称轴 ，故图形对两轴的惯性积为
140 103.3
CII
II
y
I yz 0
20
I z y 2 dA 2h y 2 bdy
3
附
录
组合截面形心
组合截面：如果截面的图形是由几个简单图形(如矩形、圆形 等）组成的，这种截面称为组合截面。 组合截面对X、Y轴静矩的计算：
S x Ai yci Ayc
i
n
S y Ai xci Axc
i
n
Ai——任一简单图形的面积； xci，yci——任一简单图形的形心坐标； n——全部简单图形的个数。 确定组合截面形心位置的公式：
C H/2
X
1 h 1 h yc 1 y1 ( y1 ) ( y1 ) 2 2 2 2
h 1 h S x Ayc 1 b( y 1 ) ( y 1 ) 2 2 2
b
b 2 2 (h 4y1 ) 8
例2、图形对 x 轴的静矩为
《材料力学 第2版》_顾晓勤第05章第3节 惯性矩的平行移轴公式
13500)mm4
2.04104 m4
I y0
2
I i1 iy0
30 3003 12
270 503 12
mm4
7.03105 m4
0 13500 150 9000 13500
mm
90mm
i 1
（2）计算 T 形截面对于 x0 轴和 y0 轴的惯性矩
查表 5-1，得到矩形Ⅰ、Ⅱ对y0 轴的惯性矩：
I1 y0
30 300 3 12
mm 4
I2 y0
270 503 12
mm4
第 3 节 惯性矩的平行移轴公式
第五章 截面的几何性质
第 3 节 惯性矩的平行移轴公式
第五章 截面的几何性质
已知任意形状的截面如 图所示，C 为此截面的形心，
xC 、yC 为一对通过形心的坐
标轴。则定义图形对于形心
轴 xC 和 yC 的惯性矩为
I xC A yC2 dA I yC A xC2 dA
若 x 轴 // xC 轴，且相距为a；若 y 轴// yC 轴，且相距为b
第五章 截面的几何性质
（1）在C1xy 坐标系计算整个截面的形心坐标 xC 和 yC
矩形Ⅰ：A1 300 30 9000 mm 2 , xC1 0, yC1 0
矩形Ⅱ：A2 50 270 13500 mm 2, xC2 0, yC2 150
2
xC 0,
yC
i1 Ai yCi
2
Ai
第 3 节 惯性矩的平行移轴公式
第五章 截面的几何性质
例 5-5 T 形截面几何尺寸如图所示，现取质心坐
标系 Cx0 y0 ，其中 x0轴沿水平方向，y0 轴沿垂直方向。 试计算 T 形截面对于 x0轴和 y0轴的惯性矩。
截面几何性质(材料力学)
§-4 惯性矩和惯性积的转轴公式 截面的主惯性轴和主惯性矩
1.惯性矩和惯性积的转轴公式
y
bh3 Iz 12
C z
bh3 Iz' 12
h
b
y
注意： 1. 两个座标系的原点 必须重合； 2. 两轴惯性矩之和为常量
z
O
I y1 I
z1
I y I I p z
I z1 I y1
4）解法四 y1 I z I z1
I z0 I z0 1 I z0 2 I z0 3 I z0 4
A3 y
d 4
64
2 I y 2 I z0 3 I z0 3
d4
64 Iy
2
A2 z0
d
4
128
I z I z1 I z0 3 OC
d
2
d4 Iy 128 18
1) 极惯性矩、惯性矩和惯性积均与所取的坐标系有关， 2) 惯性积可正可负 3) 单位m4 或 mm4
y dA
4. 惯性半径
Iy iy A
Iz iz A
y
（单位m 或 mm）
O
z z
例
试计算图示矩形截面对于其对称轴x和y的惯性矩。
y dy
解： 取平行于x轴的狭长条， 则 dA=b dy
h
1 2
I zc I yc
2
4 I 2c zc 321104 mm4 y
I yc 0 I min
I zc I yc 2
1 2
I zc I yc
2
4 I 2c zc 57.4 104 mm 4 y
材料力学截面的几何性质课件
目录
• 截面的基本性质 • 截面的二次矩 • 截面的抗弯截面系数 • 截面的抗扭截面系数 • 材料力学截面的应用
01 截面的基本性质
截面的面积
面积
截面面积是二维平面图形被截后，与 原图形相比增加的面积。对于矩形、 圆形、三角形等简单形状，截面面积 可以通过几何公式直接计算。
的刚度和稳定性。
截面惯性矩
截面惯性矩是衡量截面抗弯刚度 的指标，对于承受弯矩的构件， 选择具有较大惯性矩的截面可以
减少挠度和转角。
截面抵抗矩
截面抵抗矩是衡量截面抗剪切能 力的指标，对于承受剪力的构件 ，选择具有较大抵抗矩的截面可
以增加构件的承载能力。
工程设计中的应用
桥梁设计
在桥梁设计中，需要考虑梁的截面尺寸、材料类型和截面形式等 因素，以确保桥梁具有足够的强度和刚、单位等因素，以确保数 据处理结果的准确性和可靠性。
1.谢谢聆 听
根据微面积和其对应的主 轴方向余弦，计算出截面 二次矩。
主轴的确定
根据计算出的惯性矩，找 出三个主轴的方向余弦和 角度。
实例分析
圆截面
圆截面的二次矩为常数， 且各主轴与截面垂直，说 明圆截面在弯曲时没有翘 曲的趋势。
矩形截面
矩形截面的二次矩与宽度 的平方成正比，说明矩形 截面有较好的抗弯能力。
工字形截面
工字形截面的二次矩比同 样面积的矩形截面小，但 抗弯能力仍高于同样重量 的实心杆件。
03 截面的抗弯截面系数
定义与性质
01
抗弯截面系数是截面对其轴线的惯性矩除以截面的面积 得到的数值，用来度量截面在弯矩作用下抵抗变形的能 力。
02
不同形状的截面有不同的抗弯截面系数，如圆截面为1 ，矩形截面为1.13，工字形截面为1.44等。
第26讲第五章 材料力学(九)
第五节截面图形的几何性质一、静矩与形心对图所示截面静矩的量纲为长度的三次方。
对于由几个简单图形组成的组合截面形心坐标显然，若z轴过形心，y c=0，则有S z=0，反之亦然：若y轴过形心，z c=0，则有S y=0，反之亦然。
【真题解析】5—30（2007年真题）图所示矩形截面，m-m线以上部分和以下部分对形心轴z的两个静矩( )。
(A)绝对值相等，正负号相同(B)绝对值相等，正负号不同(c)绝对值不等，正负号相同(D)绝对值不等，正负号不同解：根据静矩定义，图示矩形截面的静矩等于m-m线以上部分和以下部分静矩之和，即，又由于z轴是形心轴，Sz=0，故答案：(B)二、惯性矩、惯性半径、极惯性矩、惯性积对图所示截面，对z轴和y轴的惯性矩为惯性矩总是正值，其量纲为长度的四次方，也可写成i z、i y称为截面对z、y轴的惯性半径，其量纲为长度的一次方。
截面对0点的极惯性矩为因=y2+z2，故有I p=I z+I y，显然I p也恒为正值，其量纲为长度的四次方。
截面对y、z轴的惯性积为I yz可以为正值，也可以为负值，也可以是零，其量纲为长度的四次方。
若y、z两坐标轴中有一个为截面的对称轴，则其惯性积I yz恒等于零。
例6图(a)、(b)所示的两截面，其惯性矩关系应为哪一种？A.(I y)1>(I y)2,(I z)1=(I z)2B. (I y)1=(I y)2, (I z)1>(I z)2C.(I y)1=(I y)2,(I z)1<(I z)2D. (I y)1<(I y)2,(I z)1=(I z)2解：两截面面积相同，但图 (a)截面分布离z轴较远，故I z较大。
对y轴惯性矩相同。
答案：B2016—63真题面积相同的两个如图所示，对各自水平形心轴 z 的惯性矩之间的关系为（）。
提示：图（ a ）与图（ b ）面积相同，面积分布的位置到 z 轴的距离也相同，故惯性矩I za=I zb而图（ c ）虽然面积与（ a ）、（ b ）相同，但是其面积分布的位置到 z 轴的距离小，所以惯性矩I zc也小。
材料力学截面的几何性质课件
截面的对称性
截面可以是对称的或非对称的。
对称截面是指沿中心线对称的截面，如圆形、正 方形等。
非对称截面是指不沿中心线对称的截面，如椭圆 形、三角形等。
截面的重心
重心是物体质量的集中点，对于规则形状的物体，重心位置可以通过几何计算得 到。
对于截面，重心是截面质量的集中点，其位置可以通过计算截面的面积和质量得 到。
材料力学的发展历程
总结词
材料力学的发展经历了多个阶段，从最早的实验观察到现代的理论建模和计算机模拟。
详细描述
最初的材料力学研究主要基于实验观察和经验总结，随着数学和物理学的发展，人们开始建立更精确 的理论模型，并使用计算机进行模拟和分析。这些理论模型和方法在解决复杂工程问题方面发挥了重 要作用。
02
意义
主惯性矩是衡量截面抗弯和抗扭能力的一个重要参数，其 值越大，抗弯和抗扭能力越强。
04
材料力学截面的弯曲性质
弯曲的定义
弯曲是指物体在力的作用下发 生形变，其中物体的一部分相 对于另一部分发生转动。
弯曲变形通常发生在梁、柱等 细长结构中，其中截面上的应 力分布不均匀。
弯曲变形可以通过施加外力或 重力等作用力引起，也可以由 热膨胀、收缩等因素引起。
扭转的变形能
1 2
变形能
物体在受到外力作用时，由于发生变形而储存的 能量称为变形能。
扭转变形能
物体在扭转变形时，由于变形而储存的能量称为 扭转变形能。
3
扭转变形能的计算
扭转变形能可以通过计算截面上的剪切应变和剪 切胡克常数来计算。
扭转的稳定性
01
稳定性
在材料力学中，稳定性是指物体在外力作用下保持其平衡状态的能力。
剪切变形能
材料力学课件之截面几何性质
d
2 2
16 43 416 (5.53 2)2 12
4123 412 (10.57 6)2 12
2416.76mm4
y
C2 C
z
C1
646 （单位mm）
y1
y2
29
Ai yi Ai Ai zi Ai
Ai yi
A
Ai zi
A
o Z1
z
Z2
使用上述公式时，对于挖掉部分的面积应取负值。
6
例2 求图示矩形截面abcd 部分对z 轴的静矩。
y
C3
C1
C2
o 2
4
6
12
123
Ai 144 72 -16
yi 6 4 6
z
zi 6 16 4
（单位：cm）
解：
yC
404
402
(mm)
402 )
12
64
4
23034100.7mm4
17
截面图形的的几何性质------形心和惯性矩
1，简单截面
1、有对称轴的截面，记忆或直接判断 教材353页附录Ⅱ
2、型钢，查表。教材356页附录Ⅲ
2，组合截面，组合法。
§Ⅰ.5惯性矩和惯性积的转轴公式,主惯性轴
一：已知 Iy、Iz、Iyz、(逆时针为正)，求 Iy1、Iz1、Iy1z1
cos 2
0
C
z
方形截面
Iz'
Iz
Iy 2
Iz
Iy 2
cos 2
I yz sin 2
Iz
Iy 2
Iz
I
y'
Iz
2
其中：
I
材料力学 截面的几何性质
O1 O 2
O
x
O3
x 1
C
课堂练习
I.
&
任意图形，若对某一对正交坐标轴的惯性积为零， 则这一对坐标轴一定是该图形的（ ）。
B
A. 形心轴； B. 主轴 C. 主形心轴 D. 对称轴 在图示开口薄壁截面图形中，当（ 为一对主轴。
y
）时，y-z轴始终保持
A. y轴不动，x轴平移； B. x轴不动，y轴平移； C. x轴不动，y轴任意移动；
y b C 1x C 2x O a x
æ 1 öæ 2 ö æ 1 öæ h ö = ç bh ÷ç h ÷ + ç ah ÷ç ÷ è 2 øè 3 ø è 2 øè 3 ø
h 2 = (a + 2 b ) 6
形心位置
h
x = 0
h 2 (a + 2 b ) h a + 2 b S x y = = பைடு நூலகம்· = 6 A h 3 a + b (a + b ) 2
主惯性矩:
图形对主轴的惯性矩,称主惯性矩
形心主轴:
过形心的主轴称为形心主轴
形心主矩:
图形对形心主轴的惯性矩称为形心主矩
课堂练习
I.
&
在下列关于平面图形的结论中，（
）是错误的。
A.图形的对称轴必定通过形心； B.图形两个对称轴的交点必为形心； C.图形对对称轴的静矩为零； D.使静矩为零的轴必为对称轴。 在平面图形的几何性质中，（
y
dA y
ü2、惯性矩和极惯矩永远为正，
惯性积可能为正、为负、为零。
x 1
ü3、任何平面图形对于通过其形
材料力学 第五章 截面几何性质
12cm
A1 122 452.39; z1 0
9
§5–2 惯性矩与惯性积
一、 定义 y
I y z 2 dA A 2 I z y dA A
定义Iy ，Iz 为图形对y ，z 轴
的惯性矩。惯性矩永为正值，单位 为：m4。 o
z
dA y z
I yz yxdA
tg 2 0
2 I yc z c I z c I yc
19
形心主惯性矩：
I z0 I z I y Iz Iy 2 I yz 2 I y0 2
对称图形形心主轴的确定 y yC
△A △A
2
⑴对称轴为形心主轴，另一形
心主轴过形心且与对称轴垂直。 zC
13
§5–3 y
惯性矩与惯性积的平行轴公式
z a
yC zC C dA zC z
I z y dA ( yC b) dA
2 2 A A A 2 yC dA 2b yC dA b 2 dA A A
I zc 2bSzc b A
2
o
S zc 0
16
§5–4 惯性矩与惯性积的旋转轴公式· 主惯性轴与主惯性矩
一、转轴公式
y' y cos z sin z ' y sin z cos
I z ' y ' dA
2 A
y′
y
2
z
dA y
z′
y′
z′ z
2 2
( y cos z sin ) dA
Hale Waihona Puke ⑵组合图形的形心y2C2
材料力学 第五版 i 截面的几何性质+习题答案
附录I 截面的几何性质 习题解[习题I-1] 试求图示各截面的阴影线面积对x 轴的静积。
（a ）解：)(24000)1020()2040(3mm y A S c x =+⨯⨯=⋅=（b ）解：)(42250265)6520(3mm y A S c x =⨯⨯=⋅= （c ）解：)(280000)10150()20100(3mm y A S c x =-⨯⨯=⋅=（d ）解：)(520000)20150()40100(3mm y A S c x =-⨯⨯=⋅=[习题I-2] 试积分方法求图示半圆形截面对x 轴的静矩，并确定其形心的坐标。
解：用两条半径线和两个同心圆截出一微分面积如图所示。
dx xd dA ⋅=)(θ；微分面积的纵坐标：θsin x y =；微分面积对x 轴的静矩为： θθθθθdxd x x dx xd y dx xd y dA dS x ⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅=sin sin )(2半圆对x 轴的静矩为：32)]0cos (cos [3]cos []3[sin 33003002r r x d dx x S r rx =--⋅=-⋅=⋅=⎰⎰πθθθππ因为c x y A S ⋅=，所以c y r r ⋅⋅=232132π π34ry c = [习题I-3] 试确定图示各图形的形心位置。
（a ） 解：习题I-3(a): 求门形截面的形心位置矩形 Li Bi Ai Yci AiYci Yc 离顶边上 400 20 8000 160 1280000 左 150 20 3000 75 225000 右150 20 3000 75 225000140001730000Ai=Li*Bi Yc=∑AiYci/∑Ai(b)解：(c)解：[习题I-4]试求图示四分之一圆形截面对于x轴和y轴的惯性矩x I、y I和惯性积xy I。
解：用两条半径线和两个同心圆截出一微分面积如图所示。
dx xd dA ⋅=)(θ；微分面积的纵坐标：θsin x y =；微分面积对x 轴的惯性矩为： θθθθθdxd x dx xd x dx xd y dA y dI x ⋅=⋅⋅=⋅==232222sin sin )(四分之一圆对x 轴的惯性矩为： ⎰⎰⎰-⋅==2/0042/02322cos 1]4[sin ππθθθθd x d dx x I r rx)]2(2cos 21[2142/02/04θθθππd d r ⎰⎰-⋅= }]2[sin 212{82/04πθπ-=r 164r ⋅=π由圆的对称性可知，四分之一圆对y 轴的惯性矩为：164r I I x y ⋅==π微分面积对x 轴、y 轴的惯性积为：xydA dI xy =8)42(21]42[21)(21444042222022r r r x x r dx x r x ydx xdx I r rx r rxy =-=-=-==⎰⎰⎰- [习题I-5] 图示直径为mm d 200=的圆形截面，在其上、下对称地切去两个高为mm 20=δ的弓形，试用积分法求余下阴影部分对其对称轴x 的惯性矩。
《材料力学 第2版》_顾晓勤第05章第2节 截面的惯性矩、惯性积和惯性半径
2 2 2 22
64
第 2 节 截面的惯性矩、惯性积和惯性半径 第五章 截面的几何性质
例 5-4 如图所示，计算圆形截面对于 x 轴和 y轴
的惯性矩、惯性半径，以及极惯性矩、第一象限部
分对 x、y轴的惯性积。
解 取平行于 x 轴的狭
长条作为微面积 dA，则
dA b(y)dy 2 d 22 y2dy
dy
dA bdy
y
矩形截面对于 x 轴的惯性矩为
H
Ix A y2dA 2h2 y2bdy 2 2b [( H )3 ( h )3 ] 32 2 b (H 3 h3) 12
第 2 节 截面的惯性矩、惯性积和惯性半径 第五章 截面的几何性质
矩形截面对于 x 轴的惯性半径为
ix
Ix A
b 12
圆形截面对于 x 轴的惯性矩为
Ix A y2dA
d2
d 2
y2
2
d 2 2 y2 dy
πd 4 64
第 2 节 截面的惯性矩、惯性积和惯性半径 第五章 截面的几何性质
圆形截面对于 x 轴的惯性半径为
ix
Ix A
πd 4 πd 2
64 4
d 4
x 轴和 y 轴都与圆的直径重合，由
于对称的原因，有
第 2 节 截面的惯性矩、惯性积和惯性半径 第五章 截面的几何性质
设任意平面图形其面积
为A。x 轴和 y 轴为图形所在 平面内的坐标轴。在 ( x ，y )
处取微面积 dA，则定义图形
对于x 轴和 y轴 y2dA I y A x2dA
注意
由于 x2 和 y 2总是正的，所以 I x 和 I y 也恒
是正值。
惯性矩的量纲为长度的四次方。
截面图形的几何性质-材料力学
yC
Sz A
558000 9000
62
Sz Sz1 Sz2 120 40 20 140 30110 558000
A A1 A2 120 40 140 30 9000
120
I
CI
C
CII
II
y 30
参考轴
z 40
yC
zC 140
注意
① 由两块组成组合图形，其复合图形形心一定位于两个子图的形心连线上。 ② 组合图形形心计算公式也适用于负面积情况， 但要记住面积为负号。
z
I
C1 C
s
C2
II
b
y1 h
y
y2
t
典型例题
例3 已知组合截面尺寸t=20mm，h=140mm，b=100mm。试求截面图
形对形心轴 y 的惯性矩。
t
解： 由平行移轴定理
矩形1对y轴的惯性矩：
I (1) y
I y1
b12 A1
矩形2对y轴的惯性矩：
I (2) y
I y2
b22 A2
整个截面的惯性矩：
Iz
y 2 dA
A
h y2bdy 0
b
y3 3
/
h 0
bh3 3
y
h b
dy y
z
典型例题
例2 试求图示截面对形心轴zC轴的惯性矩。
IzC
y 2 dA
A
h
2 h
y2bdy
2
b
y3 3
h
/
2
h
2
bh3
12
I yC
z 2dA
A
y
yC
hb3 =
材料力学课件(路桥)第5章截面图形的几何性质-PPT精选文档
A
形心轴的惯性矩。 圆
π d Ip I I 2 I y z y c c c 3 2
2
π d4 Iyc Izc 2 6 4
Ip
4 4 4 d π d π d 5 π d I I A B y A c 2 6 4 1 6 6 4
§5-4 惯性矩和惯性积的转轴定理*
截面图形的几何性质
§5–1 静矩和形心
§5–2 惯性矩、极惯性矩、惯性积
§5–3 惯性矩和惯性积的平行移轴定理 §5–4 惯性矩和惯性积的转轴定理* 截面的主惯性轴和主惯性矩
§5-1 静矩和形心 一、静矩：(与力矩类似)是面积与它到轴的距离之积。 z
Sz
y dA z y
ydA
A
S
y
zdA
§5-2 惯性矩、惯性积、极惯性矩 一、惯性矩：（与转动惯量类似） 是面积与它到轴的距离的平方之积。
Iy Iz
z
A
2
dA
z y
y 2d A
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A
dA z y
二、极惯性矩： 是面积对极点的二次矩。
2 Ip d A Iy Iz A
三、惯性积：面积与其到两轴距离之积。
I yz yzd A
A
二、形心： (等厚均质板的质心与形心重合。)
y
质心：
m
ydm m
等厚 均质
A
yt dA t A zt dA t A
A
ydA A zdA A
Sz A Sy A
z
z
m
zdm m
材料力学-截面几何特性
I 0 xC 2 yC 2
IxC IxC1 A1 yc21 IxC2 A2 yc22 1104 mm4 1200mm2 (15mm)2 28.58mm4 700mm2 (25mm)2 100.33mm4
64
9 /2
Ix2 Ix2C A2 (a xc2 )2 28mm 4 (80mm )2 (100 17)2 8 3467mm4
组合截面对x轴的惯性矩为
I x I x1 2I x2 5333mm4 23467mm4 12270mm4
§I-4 惯性矩和惯性积的转轴公式 ·截面 的主惯性轴和主惯性矩
A
A ( yC b)2 dA
A ( yC2 2byC b2 )dA
I xC 2bSxC b2 A
Ix IxC 2bSxC b2 A
因为C为形心
SxC AyC 0
y
yC
x
dA
a
r
bC y
xC
x
I x I xC b2 A 同理：
I y I yC a2 A I xy I xC yC abA I p I pC (a2 b2 ) A
C1
80
x
图(b)
x
xi
Ai
x 1
A1x
2
A2
A
A1A2
409600 45 7700 19.7mm 9600 7700
y
yi Ai
y 1
A1
y
2
A2
A
A1 A2
609600 65 7700 39.7mm 9600 7700