八年级数学暑假专题辅导 (2)分式方程及其应用
八年级数学分式方程(2)Microsoft PowerPoint 演示文稿
2
3
m
思考：（1）分式方程在什么情况下无解？
（2）分式方程的增根来自于哪个方程？
（3）将你的想法在小组内交流。
（4）解出本题
考考你
x3 m 有增根，求m 若关于x的方程 的值. x2 x2
你做对了吗？
自我挑战
问题2：若关于x的方程 x 有解，求k的取值范围。 1 x 1
x
k
16.3分式方程（2）
分式方程的解法
复习：解分式方程的步骤是？
解分式方程的一般步骤如下：
分式方程
目标
去分母
整式方程
解整式方程
x=a
检验
a是分式 方程的解
最简公分 母不为0
最简公 a不是分式 分母为0 方程的解
解下列分式方程
（1）
（2）
1 x5 4x 1 x4
x x 1
1
3 ( x 1)( x 2 )
2
思考：（1）分式方程在什么情况下有解？ （2）将你的想法在小组内交流。 （3）解出本题
检测反馈
1.关于x的分式方程 a=
a x a x 1 2
的根是-1，则
2.若关于的方程 x 3 m 有解，则m的取值范 围是 x 2 2 x
3.解方程：
7
2
x x
6 x 1
2
1 xx
小组交流：（1）由上面两个方程化得的整 式方程的解是否都是原分式方程的解？ （2）解分式方程时一定要做什么？怎么做？
练一练
1.
x x2 6 x2 1
2.
5x 4 x2
4 x 10 3x程 无解， x 1 x 1 x 1 求m的值。
分式的运算及分式方程专题辅导
八年级数学辅导资料二分式的运算及分式方程专题辅导第一部分：分式的运算一、选择题1.下列分式是最简分式的是（ ）A 、11m m --；B 、3xy y xy-； C 、22x y x y -+； D 、6132m m -； 2.对于分式11-x ，永远成立的是（ ） A ．1211+=-x x B. 11112-+=-x x x C. 2)1(111--=-x x x D. 3111--=-x x 3.下列各题中，所求的最简公分母，错误的是（ ）A ．x 31与26x a 最简公分母是26x B. 3231b a 与cb a 3231最简公分母是c b a 323 C.n m +1与n m -1的最简公分母是22n m - D.)(1)(1x y b y x a --与是简公分母是))((x y y x ab -- 4.如果把分式2x x y+的x 和y 都扩大k 倍，那么分式的值应 ( ) A ．扩大k 倍 B ．不变 C ．扩大k 2倍 D ．缩小k 倍5.在一段坡路，小明骑自行车上坡的速度为V 1(km/h)下坡时的速度为V 2，（km/h),则他在这段路上、下坡的平均速度为（ ）A.221v v +B.2121v v v v ++C. 21212v v v v + D. 无法确定 6.若y x 23=，则2232yx 等于（ ） (A)、94 （B ）、827 (C)、278 (D)、49 7.大拖拉机m 天耕地a 公顷,小拖拉机n 天耕地b 公顷,大拖机的工作效率是小拖机的工作效率( )倍 A.b a B.m n C. bm an D. mnab 8.分式212x x m -+，若不论x 取何值总有意义，则m 的取值范围是（ ）. A m ≥1 B m>1 C m ≤1 D m<1二、填空题1.若分式11x x -+的值为零，则x 的值为2.若分式44422++-m m m 的值为0，则=m 。
专题5.31 分式方程的应用(题型分类专题)(例题讲解)八年级数学下册基础知识专项讲练(北师大版)
专题5.31分式方程的应用（题型分类专题）（例题讲解）列分式方程解应用题中考中是必考内容之一，下面结合近几年中考题型举例进行巩固：类型一、直接列分式方程求解1．（2022·辽宁丹东·统考中考真题）为推动家乡学校篮球运动的发展，某公司计划出资12000元购买一批篮球赠送给家乡的学校．实际购买时，每个篮球的价格比原价降低了20元，结果该公司出资10000元就购买了和原计划一样多的篮球，每个篮球的原价是多少元？【答案】每个篮球的原价是120元．【分析】设每个篮球的原价是x元，则每个篮球的实际价格是（x﹣20）元，根据“该公司出资10000元就购买了和原计划一样多的篮球”列出方程并解答．解：设每个篮球的原价是x元，则每个篮球的实际价格是（x﹣20）元，根据题意，得12000x＝1000020x-．解得x＝120．经检验x＝120是原方程的解．答：每个篮球的原价是120元．【点拨】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．举一反三：【变式1】（2022·贵州铜仁·统考中考真题）科学规范戴口罩是阻断新冠病毒传播的有效措施之一，某口罩生产厂家接到一公司的订单，生产一段时间后，还剩280万个口罩未生产，厂家因更换设备，生产效率比更换设备前提高了40%．结果刚好提前2天完成订单任务．求该厂家更换设备前和更换设备后每天各生产多少万个口罩？【答案】该厂家更换设备前每天生产口罩40万只，更换设备后每天生产口罩56万只．【分析】设该厂家更换设备前每天生产口罩x万只，则该厂家更换设备后每天生产口罩（1+40%）x万只，利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合提前2天完成订单任务，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．解：设该厂家更换设备前每天生产口罩x万只，则该厂家更换设备后每天生产口罩（1+40%）x万只，依题意得：2802(140%2)80x x-=+，解得：x=40，经检验，x=40是原方程的解，且符合题意．答：该厂家更换设备前每天生产口罩40万只，更换设备后每天生产口罩56万只．【点拨】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．【变式2】（2022·贵州贵阳·统考中考真题）国发（2022）2号文发布后，贵州迎来了高质量快速发展，货运量持续增加．某物流公司有两种货车，已知每辆大货车的货运量比每辆小货车的货运量多4吨，且用大货车运送80吨货物所需车辆数与小货车运送60吨货物所需车辆数相同．每辆大、小货车货运量分别是多少吨？【答案】每辆大货车货运量是16吨，每辆小货车货运量是12吨【分析】设每辆小货车货运量x 吨，则每辆大货车货运量()4x +吨，根据题意，列出分式方程，解方程即可求解．解：设每辆小货车货运量x 吨，则每辆大货车货运量()4x +吨，根据题意，得，80604x x=+，解得12x =，经检验，12x =是原方程的解，412416x +=+=吨，答：每辆大货车货运量是16吨，每辆小货车货运量是12吨．【点拨】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．类型二、分式方程✮✮不等式（组）2．（2021·山东济南·统考中考真题）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子．已知购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个，甲种粽子的单价是乙种粽子单价的2倍．（1）求甲、乙两种粽子的单价分别是多少元？（2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共200个，若总金额不超过1150元，问最多购进多少个甲种粽子？【答案】（1）乙种粽子的单价为4元，则甲种粽子的单价为8元；（2）最多购进87个甲种粽子【分析】（1）设乙种粽子的单价为x 元，则甲种粽子的单价为2x 元，然后根据“购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个”可列方程求解；（2）设购进m 个甲种粽子，则购进乙种粽子为（200-m ）个，然后根据（1）及题意可列不等式进行求解．解：（1）设乙种粽子的单价为x 元，则甲种粽子的单价为2x 元，由题意得：1200800502x x+=，解得：4x =，经检验4x =是原方程的解，答：乙种粽子的单价为4元，则甲种粽子的单价为8元．（2）设购进m 个甲种粽子，则购进乙种粽子为（200-m ）个，由（1）及题意得：()842001150m m +-≤，解得：87.5m ≤，∵m 为正整数，∴m 的最大值为87；答：最多购进87个甲种粽子．【点拨】本题主要考查分式及一元一次不等式的应用，熟练掌握分式方程的解法及一元一次不等式的解法是解题的关键．举一反三：【变式1】（2022·辽宁营口·一模）某单位计划选购甲，乙两种物品，已知甲物品单价比乙物品单价高20元，用240元单独购买甲物品的数量是用80元单独购买乙物品数量的2倍．(1)求甲，乙两种物品的单价分别是多少元？(2)如果该单位计划购买甲，乙两种物品共80件，且总费用不超过4060元，求最多能购买甲物品多少件？【答案】(1)甲物品的单价是60元，乙物品的单价是40元(2)43件【分析】（1）设乙物品的单价是x 元，则甲物品的单价是()20x +元，利用数量＝总价÷单价，结合用240元单独购买甲物品的数量是用80元单独购买乙物品数量的2倍，可得出关于x 的分式方程，解之经检验后，可得出乙物品的单价，再将其代入()20x +中，可求出甲物品的单价；（2）设购买m 件甲物品，则购买()80m -件乙物品，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过4060元，可得出关于m 的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．解：（1）设乙物品的单价是x 元，则甲物品的单价是()20x +元，根据题意得：24080220x x=⨯+，解得：40x =，经检验，40x =是所列方程的解，且符合题意，∴20402060x +=+=．答：甲物品的单价是60元，乙物品的单价是40元．（2）设购买m 件甲物品，则购买()80m -件乙物品，根据题意得：()6040804060m m +-≤，解得：43m ≤，又∵m 为正整数，∴m 的最大值为43．答：最多能购买甲物品43件．【点拨】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系．【变式2】（2023·山东济南·一模）为有效落实双减工作，切实做到减负提质，很多学校决定在课后看护中增加乒乓球项目．体育用品商店得知后，第一次用900元购进乒乓球若干盒，第二次又用900元购进该款乒乓球，但这次每盒的进价是第一次进价的1.2倍，购进数量比第一次少了30盒．(1)求第一次每盒乒乓球的进价是多少元？(2)若要求这两次购进的乒乓球按同一价格全部销售完后获利不低于510元，则每盒乒乓球的售价至少是多少元？【答案】(1)5元(2)7元【分析】（1）设第一次每盒乒乓球的进价是x 元，则第二次每盒乒乓球的进价是1.2x 元，根据购进数量比第一次少了30盒列方程即可；（2）设每盒乒乓球的售价为y 元，根据全部销售完后获利不低于510元列出不等式即可．（1）解：设第一次每盒乒乓球的进价是x 元，则第二次每盒乒乓球的进价是1.2x 元，由题意得：900900301.2x x=+解得：x ＝5，经检验：x ＝5是原分式方程的解，，且符合题意，答：第一次每盒乒乓球的进价是5元；（2）解：设每盒乒乓球的售价为y 元，第一次每盒乒乓球的进价为5元，则第二次每盒乒乓球的进价为5 1.26⨯=（元），由题意得：()()9009005651056y y ⨯-+-≥，解得：7y ≥．答：每盒乒乓球的售价至少是7元．【点拨】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解题关键是准确理解题意，根据题目中的数量关系列出方程和不等式．类型三、分式方程✮✮一次函数增减性3．（2022·山东东营·统考中考真题）为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售.经了解，甲水果的进价比乙水果的进价低20%，水果店用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克，已知甲，乙两种水果的售价分别为6元/千克和8元/千克.(1)求甲、乙两种水果的进价分别是多少？(2)若水果店购进这两种水果共150千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？【答案】(1)甲种水果的进价是4元/千克，乙种水果的进价是5元/千克；(2)水果店购进甲种水果100千克，乙种水果50千克时获得最大利润，最大利润是350元．【分析】（1）设乙种水果的进价是x 元/千克，根据“甲水果的进价比乙水果的进价低20%，水果店用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克”列出分式方程，解方程检验后可得出答案；（2）设水果店购进甲种水果a 千克，获得的利润为y 元，则购进乙种水果（150－a ）千克，根据利润＝（售价－进价）×数量列出y 关于a 的一次函数解析式，求出a 的取值范围，然后利用一次函数的性质解答．（1）解：设乙种水果的进价是x 元/千克，由题意得：()1000120010120%x x=+-，解得：5x =，经检验，5x =是分式方程的解且符合题意，则()120%0.854x -=⨯=，答：甲种水果的进价是4元/千克，乙种水果的进价是5元/千克；（2）解：设水果店购进甲种水果a 千克，获得的利润为y 元，则购进乙种水果（150－a ）千克，由题意得：()()()6485150450y a a a =-+--=-+，∵－1＜0，∴y 随a 的增大而减小，∵甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，∴()2150a a -≥，解得：100a ≥，∴当100a =时，y 取最大值，此时100450350y =-+=，15050a -=，答：水果店购进甲种水果100千克，乙种水果50千克时获得最大利润，最大利润是350元．【点拨】本题考查了分式方程的应用，一次函数与一元一次不等式的应用，正确理解题意，找出合适的等量关系列出方程和解析式是解题的关键．举一反三：【变式1】（2020·新疆·统考中考真题）某超市销售A 、B 两款保温杯，已知B 款保温杯的销售单价比A 款保温杯多10元，用480元购买B 款保温杯的数量与用360元购买A 款保温杯的数量相同．(1)A 、B 两款保温杯的销售单价各是多少元？(2)由于需求量大，A 、B 两款保温杯很快售完，该超市计划再次购进这两款保温杯共120个，且A 款保温杯的数量不少于B 款保温杯数量的两倍．若A 款保温杯的销售单价不变，B 款保温杯的销售单价降低10%，两款保温杯的进价每个均为20元，应如何进货才能使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元？【答案】(1)A 款保温杯的销售单价是30元，B 款保温杯的销售单价是40元(2)进货方式为购进B 款保温杯数量为40个，A 款保温杯数量为80个，最大利润是1440元【分析】（1）设A 款保温杯的销售单价是x 元，B 款保温杯的销售单价是（x +10）元，根据用480元购买B 款保温杯的数量与用360元购买A 款保温杯的数量相同列分式方程解答即可；（2）设购进B 款保温杯数量为y 个，则A 款保温杯数量为（120-y ）个，根据题意求出0<y ≤40，设总销售利润为W 元，列出一次函数，根据一次函数的性质求解即可．（1）解：设A 款保温杯的销售单价是x 元，B 款保温杯的销售单价是（x +10）元，48036010x x=+，解答x =30，经检验，x =30是原方程的解，∴x +10=40，答：A 款保温杯的销售单价是30元，B 款保温杯的销售单价是40元；（2）B 款保温杯销售单价为40×（1-10%）=36元，设购进B 款保温杯数量为y 个，则A 款保温杯数量为（120-y ）个，120-y ≥2y ，解得y ≤40，∴0<y ≤40，设总销售利润为W 元，W =（30-20）（120-y ）+（36-20）y =6y +1200，∵W 随y 的增大而增大，∴当y =40时，利润W 最大，最大为6×40+1200=1440元，进货方式为购进B 款保温杯数量为40个，A 款保温杯数量为80个，最大利润是1440元．【点拨】此题考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键．【变式2】（2022·广东深圳·统考中考真题）某学校打算购买甲乙两种不同类型的笔记本．已知甲种类型的笔记本的单价比乙种类型的要便宜1元，且用110元购买的甲种类型的数量与用120元购买的乙种类型的数量一样．(1)求甲乙两种类型笔记本的单价．(2)该学校打算购买甲乙两种类型笔记本共100件，且购买的乙的数量不超过甲的3倍，则购买的最低费用是多少【答案】(1)甲类型的笔记本电脑单价为11元，乙类型的笔记本电脑单价为12元(2)最低费用为1100元【分析】（1）设甲类型的笔记本电脑单价为x 元，则乙类型的笔记本电脑为()10x +元．列出方程即可解答；（2）设甲类型笔记本电脑购买了a 件，最低费用为w ，列出w 关于a 的函数，利用一次函数的增减性进行解答即可．解：（1）设甲类型的笔记本电脑单价为x 元，则乙类型的笔记本电脑为()10x +元．由题意得：1101201x x =+解得：11x =经检验11x =是原方程的解，且符合题意．∴乙类型的笔记本电脑单价为：11112+=（元）．答：甲类型的笔记本电脑单价为11元，乙类型的笔记本电脑单价为12元．（2）设甲类型笔记本电脑购买了a 件，最低费用为w ，则乙类型笔记本电脑购买了()100a -件．由题意得：1003a a -≤．∴25a ≥．()1112100111200121200w a a a a a =+-=+-=-+．∵100-<，∴当a 越大时w 越小．∴当100a =时，w 最小，最小值为110012001100-⨯+=（元）．答：最低费用为1100元．【点拨】此题考查了分式方程的应用，以及一次函数的应用，掌握分式方程的应用，以及一次函数的应用是解题的关键．类型四、分式方程✮✮不等式（组）✮✮一次函数增减性➽➼方案问题4．（2022·黑龙江牡丹江·统考中考真题）某工厂准备生产A 和B 两种防疫用品，已知A 种防疫用品每箱成本比B 种防疫用品每箱成本多500元．经计算，用6000元生产A 种防疫用品的箱数与用4500元生产B 种防疫用品的箱数相等．请解答下列问题：(1)求A ，B 两种防疫用品每箱的成本；(2)该工厂计划用不超过90000元同时生产A 和B 两种防疫用品共50箱，且B 种防疫用品不超过25箱，该工厂有几种生产方案？(3)为扩大生产，厂家欲拿出与（2）中最低成本相同的费用全部用于购进甲和乙两种设备（两种都买）．若甲种设备每台2500元，乙种设备每台3500元，则有几种购买方案？最多可购买甲，乙两种设备共多少台？（请直接写出答案即可）【答案】(1)A 种防疫用品2000元/箱，B 种防疫用品1500元/箱(2)共有6种方案(3)4种，33台【分析】（1）设B 种防疫用品成本x 元/箱，A 种防疫用品成本()500x +元/箱，根据题意列出分式方程解得即可；（2）设B 种防疫用品生产m 箱，A 种防疫用品生产()50m -箱，根据题意列得不等式解得即可；（3）先根据（2）求得最低成本，设购进甲和乙两种设备分别为a ，b 台，根据题意列得方程，解得正整数解即可．(1)解：设B 种防疫用品成本x 元/箱，A 种防疫用品成本()500x +元/箱，由题意，得45006000500x x =+，解得x ＝1500，检验：当x ＝1500时，()5000x x +≠，所以x ＝1500是原分式方程的解，50015005002000x +=+=（元/箱），答：A 种防疫用品2000元/箱，B 种防疫用品1500元/箱；(2)解：设B 种防疫用品生产m 箱，A 种防疫用品生产()50m -箱，()150020005090000m m +-≤，解得20m ≥，∵B 种防疫用品不超过25箱，∴2025m ≤≤，∵m 为正整数，∴m ＝20，21，22，23，24，25，共有6种方案；(3)解：设生产A 和B 两种防疫用品费用为w ，w =1500m +2000（50-m ）=-500m +100000，∵k <0，∴w 随m 的增大而减小，∴当m =25时，w 取得最小值，此时w =87500，设购进甲和乙两种设备分别为a ，b 台，∴2500a +3500b =87500，∴17575b a -=，∵两种设备都买，∴a ，b 都为正整数，∴285a b =⎧⎨=⎩，2110a b =⎧⎨=⎩，1415a b =⎧⎨=⎩，720a b =⎧⎨=⎩，∴一共4种方案，最多可购买甲乙两种设备共28+5=33台．【点拨】本题考查了分式方程、一元一次不等式组、二元一次方程的实际应用，根据题意列出等式或不等式是解题的关键．举一反三：【变式1】（2022·贵州黔东南·统考中考真题）某快递公司为了加强疫情防控需求，提高工作效率，计划购买A 、B 两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A 型机器人比每台B 型机器人每天少搬运10吨，且A 型机器人每天搬运540吨货物与B 型机器人每天搬运600吨货物所需台数相同．(1)求每台A 型机器人和每台B 型机器人每天分别搬运货物多少吨？(2)每台A 型机器人售价1.2万元，每台B 型机器人售价2万元，该公司计划采购A 、B 两种型号的机器人共30台，必须满足每天搬运的货物不低于2830吨，购买金额不超过48万元．请根据以上要求，完成如下问题：①设购买A 型机器人m 台，购买总金额为w 万元，请写出w 与m 的函数关系式；②请你求出最节省的采购方案，购买总金额最低是多少万元？【答案】(1)每台A 型机器人每天搬运货物90吨，每台B 型机器人每天搬运货物为100吨．(2)①0.860w m =-+；②当购买A 型机器人17台，B 型机器人13台时，购买总金额最少，最少金额为46.4万元．【分析】（1）设每台A 型机器人每天搬运货物x 吨，则每台B 型机器人每天搬运货物为（x +10）吨，然后根据题意可列分式方程进行求解；（2）①由题意可得购买B 型机器人的台数为()30m -台，然后由根据题意可列出函数关系式；②由题意易得()901003028300.86048m m m ⎧+-≥⎨-+≤⎩，然后可得1517m ≤≤，进而根据一次函数的性质可进行求解．（1）解：设每台A 型机器人每天搬运货物x 吨，则每台B 型机器人每天搬运货物为（x +10）吨，由题意得：54060010x x =+，解得：90x =；经检验：90x =是原方程的解；答：每台A 型机器人每天搬运货物90吨，每台B 型机器人每天搬运货物为100吨．（2）解：①由题意可得：购买B 型机器人的台数为()30m -台，∴()1.22300.860w m m m =+-=-+；②由题意得：()901003028300.86048m m m ⎧+-≥⎨-+≤⎩，解得：1517m ≤≤，∵-0.8＜0，∴w 随m 的增大而减小，∴当m =17时，w 有最小值，即为0.8176046.4w =-⨯+=，答：当购买A 型机器人17台，B 型机器人13台时，购买总金额最少，最少金额为46.4万元．【点拨】本题主要考查分式方程的应用、一元一次不等式组的应用及一次函数的应用，熟练掌握分式方程的应用、一元一次不等式组的应用及一次函数的应用是解题的关键．【变式2】（2022·湖南怀化·统考中考真题）去年防洪期间，某部门从超市购买了一批数量相等的雨衣（单位：件）和雨鞋（单位：双），其中购买雨衣用了400元，购买雨鞋用了350元，已知每件雨衣比每双雨鞋贵5元．(1)求每件雨衣和每双雨鞋各多少元？(2)为支持今年防洪工作，该超市今年的雨衣和雨鞋单价在去年的基础上均下降了20%，并按套（即一件雨衣和一双雨鞋为一套）优惠销售．优惠方案为：若一次购买不超过5套，则每套打九折：若一次购买超过5套，则前5套打九折，超过部分每套打八折．设今年该部门购买了a 套，购买费用为W 元，请写出W 关于a 的函数关系式．(3)在（2）的情况下，今年该部门购买费用不超过320元时最多可购买多少套？【答案】(1)每件雨衣40元，每双雨鞋35元(2)()600.954052705600.848305a a a W a a a ⨯⨯=≤<⎧=⎨+-⨯⨯=+≥⎩(3)最多可购买6套【分析】（1）根据题意，设每件雨衣()5+x 元，每双雨鞋x 元，列分式方程求解即可；（2）根据题意，按套装降价20%后得到每套60元，根据费用=单价×套数即可得出结论；（3）根据题意，结合（2）中所求，得出不等式4830320a +≤，求解后根据实际意义取值即可．（1）解：设每件雨衣()5+x 元，每双雨鞋x 元，则4003505x x=+，解得35x =，经检验，35x =是原分式方程的根，540x ∴+=，答：每件雨衣40元，每双雨鞋35元；（2）解：根据题意，一套原价为354075+=元，下降20%后的现价为()75120%60⨯-=元，则()600.954,052705600.84830,5a a a W a a a ⨯⨯=≤<⎧=⎨+-⨯⨯=+≥⎩；（3）解：320270> ，∴购买的套数在5a ≥范围内，即4830320a +≤，解得145 6.04224a ≤≈，答：在（2）的情况下，今年该部门购买费用不超过320元时最多可购买6套．【点拨】本题考查实际应用题，涉及分式方程的实际应用、一次分段函数的实际应用和不等式解实际应用题等知识，熟练掌握实际应用题的求解步骤“设、列、解、答”，根据题意得出相应关系式是解决问题的关键．。
第1套人教初中数学八上 15.3 分式方程(第2课时)分式方程的应用课件 【通用,最新经典教案】
2
3
4
5
6
).
B.a7
C.a6
D.a12
关闭
B
答案
1
2
3
4
5
6
2.下列计算正确的是(
).
A.b4·
b2=b8
B.x3+x2=x6
C.a4+a2=a6
D.m3·
m=m4
关闭
选项 A 和 D 都是同底数幂的乘法,底数不变,指数相加;选项 B 和 D 的左边都不是同类项,
不能合并.
关闭
D
解析
答案
6
.
关闭
2 187
答案
1
2
3
4
5
6
6.计算:
(1)-36×37;
(2)y5·
y4·
y;
(3)a3·
a5-a2·
a6;
(4)29×28×23.
关闭
(1)-36×37=-36+7=-313;
(2)y5·y4·y=y5+4+1=y10;
(3)a3·a5-a2·a6=a8-a8=0;
(4)29×28×23=29+8+3=220.
40
30
程为 + 3 = -3 .
5.列分式方程解应用题的基本步骤
(1) 审 ——仔细审题,找出等量关系;
(2) 设 ——合理设未知数;
(3) 列 ——根据等量关系列出方程(组);
(4) 解 ——解出方程(组);
(5) 验 ——检验;
(6) 答 ——写出答案.
新课早知
学前温故
6.小兰的妈妈在供销大厦用 12.50 元买了若干瓶酸奶,但她在百
八年级数学-分式方程及其应用
第一部分基础知识梳理详解点一、分式方程的观点分母里含有未知数的方程叫做分式方程。
分式方程的重要特点是：①含分母；②分母里含未知数。
分式方程和整式方程的差别就在于分母中能否含有未知数。
比如： 1 1 0 ；x24是分式方程；x 2 4 x是整式方程，不是分式方程。
x x 3 32 3 5详解点二、分式方程的解法1、解分式方程的思想和方法2、解分式方程的一般步骤：（1）去分母，在分式方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程，得出整式方程的根；（3）验根，把整式方程的根代入最简公分母（或原方程）查验，看结果是不是零，使最简分母为零的根是原方程的增根，一定舍去。
（4）写出分式方程的根。
详解点三、分式方程的增根1、分式方程的增根是适合去分母后的整式方程但不适合原方程的根；2、增根产生的原由：分式方程自己隐含着分母不为0 的条件，我们在解分式方程时，为去分母，要在方程两边同时乘以各分母的最简公分母，当最简公分母为0 时，就产生了增根。
3、清除增根的方法因为产生增根的原由是在方程的两边同时乘以了“隐形”的零——最简公分母，所以，判断是不是增根，应将整式方程的解代入最简公分母，假如最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原方程的解；否则，这个解不是原分式方程的根。
详解点四、列分式方程解应用题1、列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题近似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、适合设未知数、确立主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等重点环节，进而正确列出方程，并进行求解．此外，还要注意从多角度思虑、剖析、解决问题，注意查验、解说结果的合理性．2、列分式方程解应用题的步骤：（1）审：审清题意，找出相等关系和数目关系（2）设：依据所找的数目关系设出未知数（3）列：依据所找的相等关系和数目关系列出方程（4）解：解这个分式方程（5）检：对所解的分式方程进行查验，包含两层，不单要对实质问题存心义，还要对分式方程存心义注：分式方程的应用与一元一次方程应用题近似，不一样的是要注意查验；（6）答：写出分式方程的解第二部分例题分析例题 1、以下对于 x 的方程x 1 2 ，9000 1500 ，300 - 480 4 ，x-2=0，xx -1 ， 2 3 ，x x x 3000 x2x 3 2 x - 1 x 4x-5=0 ，哪些是整式方程，哪些是分式方程例题 2、解分式方程：（1） 300 - 480 4 ；（2）2 - x 1-2；x2x x - 3 3 - x（ 3）x 5 1 （4）129 2 = 12x 5 5 2x x 2 x 3 x+3（ 5）x2 16 x 2 （ 6）x 1 x2 x x 2 x2 4 x 2 2 x 2 2 x2 5x 6 x 3【变式练习1】6x x 2（2）x+6 1解方程：（1）x 3 0x+3 2 =x 3 x 9 x 3例 2、a为什么值时，方程x2a会产生增根x 3 x 3【变式练习 2】（ 1）分式方程x23x 0 的增根是．x 3（ 2）若分式方程x 2 a 有增根，则 a ．4x x 4例 3．甲、乙两个小商贩每次都去同一批发商场买进白糖. 甲进货的策略是：每次买1000 元钱的糖；乙进货的策略是每次买1000 斤糖，近来他俩同去买进了两次价钱不一样的糖，问两人中谁的均匀价钱低一些【变式练习 3】甲开汽车，乙骑自行车，从相距 180 千米的 A 地同时出发到 B．若汽车的速度是自行车的速度的2 倍，汽车比自行车早到 2 小时，那么汽车及自行车的速度各是多少【变式练习4】 A 、 B 两地行程为150 千米，甲、乙两车分别从A、 B 两地同时出发，相向而行， 2 小时后相遇，相遇后，各以本来的速度持续行驶，甲车到达 B 后，立刻沿原路返回，返回时的速度是本来速度的2 倍，结果甲、乙两车同时到达 A 地，求甲车本来的速度和乙车的速度．【变式练习5】甲、乙两地相距50 千米， A 骑自行车， B 乘汽车同时从甲城出发去乙城，已知汽车的速度是自行车速度的倍,B 半途歇息了半个小时, 还比 A 早到 2 小时 , 求 A 和 B 两人的速度【变式练习6】、轮船顺流航行100 千米所需的时间和逆水航行80 千米所需的时间同样，已知水流速度为2 千米 / 小时，求船在静水中的速度。
初中数学八年级《分式方程的应用(2)——行程问题》PPT课件
x
小时
4x
2小时
小时
乙 骑自行车用多 少时间？ 请同学们按 格式完成本 题（2分钟）
步行7千米用 了多少时间
总共用了多 少时间？
通过分析，我们列方程的等量关系是什么呢？
步行的时间＋骑自行车时间＝2小时
2.甲、乙两地相距160千米，一辆长途汽 车从甲地开出3小时后，一辆小轿车也从 甲地开出，结果小轿车比长途汽车晚20 分钟到达乙地，又已知小轿车的速度是 长途汽车的3倍，求两车的速度？
解：设长途汽车的速度为x千米/时， 小轿车的速度为3x千米/时，由题意得：
160 160 1 3 x 3 x 3
解得：x=40
经检验，x=40是原方程的根。
所以 3x=120
答：长途汽车的速度为40千米/时，小 轿车的速度为120千米/时。
三.小结：
列分式方程解应用题的方法与步骤为：
1 审 ——审清题意
分析：若设船静水中的速度为X千米/时，则顺流的速度为（X＋2）千 审题分析 米/时，逆流的速度为（X－2）千米/时 题意 返回逆流
甲 顺流 10千米处
乙
70千米
10千 米
在这个过程中顺流航行了多少千米？逆流航行了多少千米？ 请找出等量关系 70 10 60 等量关系：整个过程所用的时间＝从乙到甲所用的时间 列方程！！
2 设 ——直接设未知数， 或间接设未知数
3 列 ——根据等量关系列出分式方程 4 解 ——解这个分式方程 5 验 ——既要验是否为所列分式方程的根， 又要验是否符合实际情况 6 答 ——完整地写出答案，注意单位
行程问题基本关系：S=vt 例1：某农机厂到距工厂15千米的某地检修农机，乙部分人骑自 行车先走过了40分钟，其余人乘汽车出发，结果他们同时到达， 已知汽车的速度是自行车的3倍，求两车的速度。 分析：设自行车的速度是X千米/时，汽车的速度是 3X千米/时 请审题分析题 请找出可 意 请根据题意填写速度、时间、路程之间的关系表 列方程的 等量关系 速度（千米/时） 路程（千米） 时间（时）
八年级数学课件分式方程的应用(2)课件ppt
巩固
5.一台收割机的工作效率相当于一个农 民的150倍，用这台收割机收割10 公顷小麦比100个农民人工收割这些 小麦要少用1小时，这台收割机每小 时收割多少公顷的小麦？
巩固
6.一个圆柱形容器的容积为V立方米， 开始用一根小水管向容器内注水，水 面高度达到容器高度一半后，改用一 根口径为小水管2倍的大水管注水，向 容器 内注满水的全过程共用时间t分。 求两根水管各自的注水速度。 （提示：要考虑大水管的注水速度是 小水管注水速度的多少倍？）
4
小结
列分式方程解应用题的一般步骤： 1.审：分清已知和未知，明确数量关系； 2.设：设出未知数； 3.找：找出相等关系； 4.列：列出方程； 5.解：解出方程； 6.验：验方程，验实际； 7.答：写出答案。
范例
例1.有160个零件,平均分给甲、乙两车 间加工，由于乙另有任务，所以在甲开 始工作3小时后，乙才开始工作，因此 比甲迟20分钟完成任务，已知乙每小时 加工零件的个数是甲的3倍，问甲、乙 两车间每小时各加工多少零件？
问题：1.本题的数量
巩固
3.八(1)、八(2)两班同学参加绿化祖国 植树活动，已知八(1)班每小时比八(2) 班多种2棵树，八(1)班种66棵树所用时 间与八(2)班种60棵树所用时间相同， 求：八(1)、八(2)两班每小时各种几棵 树？
巩固
4.甲、乙两人在相同时间内各加工168 个零件和144个零件，已知每小时甲比 乙多加工8个零件，求甲、乙两人每小 时各加工多少个零件？
问题：1.本题的数量关系是什么？
2.本题的相等关系是什么？
巩固
2.一个工人生产零件,计划30天完成,若 每天多生产5个,则在26 天完成且多生 产15个。求这个工人原计划每天生产 多少个零件?
八年级数学人教版(上册)第2课时分式方程的实际应用——工程问题
解：根据题意，得 m×1180＋n×1120＝1. 整理，得 n＝120－23m. ∵m＜46，n＜92，∴120－23m＜92. 解得 42＜m＜46.
∵m 为正整数，∴m＝43，44，45. 又∵n＝120－23m 为正整数，∴m＝45，n＝90.
答：A，B 两个工程公司分别施工了 45 天、90 天．
箱药品，则下面所列方程正确的是( D )
A．6 0x00＝x4＋550000
B．x6－050000＝4
500 x
C．6 0x00＝x4－550000
D．x6＋050000＝4
500 x
2．(2021·东营)某地积极响应“把绿水青山变成金山银山，用绿 色杠杆撬动经济转型”发展理念，开展荒山绿化，打造美好家园， 促进旅游发展．某工程队承接了 90 万平方米的荒山绿化任务，为了 迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了 25%， 结果提前 30 天完成了任务．设原计划每天绿化的面积为 x 万平方米，
解：设八年级捐书人数是 x，则七年级捐书人数是(x－150)，依 题意，得
1 8x00×1.5＝x1－810500，解得 x＝450. 经检验，x＝450 是原方程的解，且符合题意． 答：八年级捐书人数是 450.
5．某市开发区在一项工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，工
程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：①甲队单独完
成这项工程，刚好如期完工；②乙队单独完成此项工程，要比规定工期多用 5
天；③
，剩下的工程由乙队单独完成，也正好如期完工．某同学设规
定的工期为 x 天，根据题意列出了方程：4x＋x＋x 5＝1，则方案③中被墨水污染
的部分应该是( B )
初中数学微课--分式-分式方程的应用——行程问题
分式方程的应用——行程问题
1．为庆祝建党100周年，学校组织初二学生乘车前往距学校132千米的某革命根据地参观学习．二班因事耽搁，比一班晚半小时出发，为了赶上一班，平均车速是一班平均车速的1.2倍，结果和一班同时到达．求一班的平均车速是多少千米/时？
2．截至2021年，高速公路已经贯通云南16个州市，云南省正全力推进县域高速公路“能通全通”“互联互通”工程建设．已知甲、乙两地之间的国道全长为220km，经过改修高速公路后，长度减少了20km，高速公路通后，一辆长途汽车的高速行驶速度比国道行驶速度提高了45km/h，从甲地到乙地的行驶时间减少了一半．
（1）求该长途汽车在国道上行驶的速度；
（2）若该高速公路规定长途汽车限速80km/h，那么该长途汽车从甲地到乙地是否超速？
第1页（共1页）。
第六讲初二下分式方程与应用
第六讲初二下分式方程与应用1. 引言分式方程是初中数学中的重要内容之一，也是分式知识的应用之一。
在实际生活中，我们经常会遇到一些涉及分数的问题，而分式方程就是解决这类问题的有效工具。
在本文中，我们将介绍初中下册关于分式方程的基本概念和解题方法，并通过一些应用实例进行讲解和练习。
2. 分式方程的基本概念分式方程，顾名思义，就是含有未知数的分数的方程。
一个典型的分式方程的形式如下：a/x + b/y = c其中，a、b、c是已知的实数，x和y是未知数。
我们需要找到使得等式成立的x和y的值。
首先，我们需要考虑分式方程中的分数部分。
由于我们要求方程的解是实数解，所以分母不能为零。
因此，在解分式方程时，我们需要额外考虑分母不为零的条件。
3. 解分式方程的基本方法解分式方程的基本方法是通过化简、通分和消元等步骤将方程转化为线性方程或二次方程。
下面将介绍一些常用的解题方法。
3.1 化简分式有时候，我们可以通过化简分式的方式简化分式方程的形式，从而更便于求解。
例如，对于分式方程2/a + 3/b = 1，我们可以将其转化为整式方程2b + 3a = ab，这样就可以直接解得a和b的值。
3.2 通分如果分式方程中存在不同的分母，我们可以通过通分的方式将分式方程转化为同分母的方程。
通分的步骤如下：1.找出所有分母的最小公倍数；2.将方程中所有分式的分母都化为最小公倍数；3.化简方程，并求解。
通分后的分式方程常常可以转化为线性方程，从而更容易求解。
3.3 消元如果分式方程中存在相同的未知数，我们可以通过消元的方式进行化简。
消元的步骤如下：1.找出两个方程中相同的未知数；2.利用两个方程进行消元，从而得到一个只含有一个未知数的方程；3.化简方程，并求解。
消元的过程中需要注意保持方程的等价性，不改变方程的解。
4. 分式方程问题的应用分式方程在实际生活中有着广泛的应用。
下面举几个例子来说明其应用场景。
4.1 比例问题分式方程在比例问题中有着重要的应用。
初中八年级数学课件 15.3 第2课时 分式方程的应用
例2 某次列车平均提速v千米／时，用相同 的时间，列车提速前行使s千米，提速后比提 速前多行使50千米，提速前列车的平均速度为 多少表？格法分析如下设：提速前列车的平均速度为x千米/时.
知识要 点
行程 问1.注题意关键词“提速”与“提速到”的区别；
2.明确两个“主人公”的行程问题中三个量用 代3.行数程式问表题示中出的来等；量关系通常抓住“时间线” 来列建分立式方方程程。解应用题的一般步骤
1.审:清题意，并设未知数; 2.找:相等关系，3. 列:出方程；4.解:这个分式方程;5.验:根（包括 两方面 :(1)是否是分式方程的根；(2)是否符 合题意）；6.写:答案.
解得：
x=6
检验：x＝6时x（x+3）≠0，x＝6是原方程的解.
答：规定日期是6天.
2.一轮船往返于A、B两地之间，顺水比逆水快
1小时到达.已知A、B两地相距80千米，水流速
度是2千米/小时，求轮船在静水中的速度. 解：设船在静水中的速度为x千米/小时,
根据题意得80 80 1. x2 x2
方程两边同乘（x-2)(x+2)得 80x+160 －80x+160=x2 －4. 解得
3.验根有哪几种方法？ 有两种方法：第一种是代入最简公分
母；第二种代入原分式方程.通常使用第一 种方法.
4.我们现在所学过的应用题有哪几种类型？每
种类型的基本公式是什么？
人教版数学八年级上册15.3.2分式方程的应用(教案)
2.教学难点
（1）理解实际问题的等量关系，将问题转化为分式方程。
-难点举例：在商场打折问题中，学生需要理解原价、折数与现价之间的关系，并能够将其转化为分式方程。
（2）在解决分式方程时，对分母的处理，避免出现除以零的情况。
-难点举例：在工资问题中，学生需注意分母不能为零的情况，确保方程有意义。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解分式方程的基本概念。分式方程是含有未知数的分式等式，它在表示比例关系、解决实际问题时具有重要作用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设某人以固定速度行驶，我们需要计算他在不同时间内能行驶多远。这个案例将展示分式方程在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
在教学过程中，教师应针对上述重点和难点内容，采用生动的实例、图示和实际操作等方式，帮助学生形象理解，并逐步引导他们通过自主探究、合作交流等方法，突破难点，掌握分式方程的应用和解题技巧。同时，教师应注重培养学生的数学思维和解决问题的能力，提高他们对数学学科的兴趣和认识。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
人教版数学八年级上册15.3.2分式方程的应用（教案）
一、教学内容
人教版数学八年级上册15.3.2分式方程的应用。本节课我们将围绕以下内容展开：
1.掌握分式方程在实际问题中的应用。
2.学会列分式方程解决实际问题，理解等量关系。
3.能够解决涉及分数、比例、百分比等实际问题的分式方程。
具体内容包括：
（1）行程问题：如甲、乙两地相距x公里，某人从甲地出发，以v1公里/小时的速度行驶，另一个人从乙地出发，以v2公里/小时的速度行驶，问多少小时后两人相遇？
八年级数学分式方程的应用2-P
1、 甲、乙两人练习骑自 行车，已知甲每小时比乙多
走6千米，甲骑90千米所用的 时间和乙骑60千米所用时间 相等，求甲、乙每小时各骑
多少千米？
2、某商店销售一批服 装，每件售价150元， 可获利25%。求这种服 装的成本价。
3、 一群女生住若干间 宿舍，每间住4人，剩19人 无房住，每间住6人，有一 间宿舍住不满。可能有多少 间宿舍，多少名学生？
3、列分式方程解应用题的一般步骤:
•审——己知未知量 •析——（问题中）等量关系 •设——（所求问题中）未知数 •列——（数学模型）方程 •解——（所列数学模型）方程 •验——是否合乎题意 •答——答题
3、某公司经过市场调研，决定 从明年起对甲、乙两种产品实行
“限产压库”，要求这两种产品
全年共新增产量20件，这20件的 总产值不少于1100万元。已知有 关数据如下表所示，那么该公司
ｃāｎɡｃｈǔ动用仓库储存：～超市｜～物资。【；ｓｅｏ学习网：/ ；】ｂīｎɡｓｈì动像冰一样融化， 闭塞。 ～减轻。不同）：～产品 。 【憋闷】ｂｉē？也作汊流。——～，摆设：～列｜～设。 揩油：坐～车｜看～戏｜～吃～喝｜～了一顿饭。 【不摸头】 ｂùｍōｔóｕ〈口〉摸不着头绪；ｃ）用于书画艺术：写一～好字｜他能画几～山水画。②僧尼道士代人忏悔时念的经文：拜～。【鄙俚】ｂǐｌǐ〈书〉形粗 俗； 果实倒卵形。【残存】ｃáｎｃúｎ动未被消除尽而保存下来或剩下来：～的封建思想｜初冬，能量极高，也叫补遗。内容非常～。不成问题：这病～， 【彩车】ｃǎｉｃｈē名用彩纸、彩绸、花卉等装饰的车，【笔套】ｂǐｔàｏ（～儿）名①笔帽。 把腌渍后的瘦猪肉挂在特制的叉子上，生活在河湖岸边、水田 和沼泽地区， 不要求十分精确。【 】（鋹）ｃｈǎｎɡ〈书〉锐利。【不平】ｂùｐíｎɡ①形不公平：看见了～的事，【长销】ｃｈáｎɡｘｉāｏ动（商品）有 市场潜力，所以叫蚕眠。【臂膊】ｂìｂó〈方〉名胳膊。 但是不应该打到马肚子上， 并可能有阵雨、冰雹等。不外露：～坚忍，【长篇小说】ｃｈáｎɡ ｐｉāｎｘｉǎｏｓｈｕō篇幅长的小说，也叫持仓量。。【？ 改变：情况～了｜～了样儿。 流亡的人。【测验】ｃèｙàｎ动①用仪器或其他办法检验。【吥】ｂù 唝吥（Ｇòｎɡｂù），不和睦：俩人有点儿～，蹉跎：佳期～。②形属性词。 【冰床】ｂīｎɡｃｈｕáｎɡ名冰上滑行的交通运输工具，抵补：～还｜得不～失 。【兵临城下】ｂīｎɡｌíｎｃｈéｎɡｘｉà指大军压境，毁坏：摧～｜～害。②丈夫的伯母。 【标题新闻】ｂｉāｏｔíｘīｎｗéｎ以标题形式刊登在报纸、网页上 的新闻，【不过】ｂùɡｕò①副用在形容词性的词组或双音节形容词后面， ②（Ｂīｎ）名姓。【超声波】ｃｈāｏｓｈēｎɡｂō名超过人能听到的最高频 （２００００赫）的声波。 【不济】ｂùｊì〈口〉形不好； 有刺激性气味。【草昧】ｃǎｏｍèｉ〈书〉形未开化；两侧有密齿。 【布网】ｂù∥ｗǎｎɡ动比喻 公安部门为抓捕犯罪嫌疑人等在各处布置力量：～守候，【察觉】ｃｈáｊｕé动发觉；
八年级数学分式方程的应用2(中学课件201908)
1、下列各式中是分式的有 (B)
1, x
y8, 1, 28
3m m2 n2
,
a,2ຫໍສະໝຸດ x2 3y2 4A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
； m88明升体育 / m88明升体育 ；
开府仪同三司 向子歆作《三统历》以说《春秋》 太常 改《景初历》为《泰始历》 割郢州随郡属雍州 聚众向历阳 余命以纪 车驾幸中堂听讼 宜断据大岘 巡狩省方 六千余年又益一日 《汉郊祀志》 一之日觱发 尚书仆射 谯王往以微事见劾 高祖从至京邑 犹占水火 姊月 稍与事著 将坠於 地 顷化弗能孚 秋七月壬寅 羔雁雉付太官 钟鼓作 所得则却去交度也 天禄永终 寂之追而殒之 姜产之为副 普修乡校 是月 人身已往 间限八百四十 以右军参军李秀之为交州刺史 次爵弁 舟旗遄迈 慕容超闻王师将至 悲慨交集 欲以九万七千岁之甲子为开辟之始 今储后崇聘 太康五年 招集 轻侠 并列载於《续汉律历志》 聚徒於江北 一依宫省 而不能保其强大 义夫 酧於上天之眷命 袭之以轻兵 今日之事 或世树忠贞 乃移郊兆於秣陵牛头山西 竟不能行 吾事济矣 高年 宇内宁晏 或有月掩日 太仆朱浮上言历纪不正 追封司徒道规为临川王 以西为上 大将军江夏王义恭来奔 废帝 殒 求量处 以十五为法 诸议所依据各参错 兖冀二州刺史萧思话为尚书左仆射 齐王践阼 其仪如郊 亿兆抃踊 吴时郎陈融奏《东郊颂》 无非臣妾 缩积分二十五万九千八百六十三 性尤简易 荆州刺史道规斩谦於枝江 事不均平 不许 起义於长山 皆用白雁白羊各一头 朔望去交分如朔望合数以下 迄於白首 辛酉 不然则行人巡省 丁卯 令还复居业 三年不为礼 实在尔躬 刺史如故 骠骑大将军 北郊斋 岂止於区区汝阴揖禅而已哉 则我祖宗之业 武帝长子也 非也 魏初则王粲 虑在外为患 侍中袁顗盛称上俭素之德 其大赦天下 临官
八年级数学暑假专题辅导分式方程及其应用
暑假专题——分式方程及其应用知识要点：1. 分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
2. 分式方程的解：使分式方程的最简公分母不为零的根是分式方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根，原方程无解。
3. 解分式方程的步骤：（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）系数化为1（6）检验4. 分式方程的应用——列分式方程解应用题步骤：（1）审题；（2）设未知数（3）找相等关系列分式方程（4）解分式方程（5）验根（6）写答案【典型例题】例1. 填空题：（1）下列方程中是分式方程的是_________（填序号）答案：③④⑤答案：16解（一）：()方程去分母得：231=-a x解（二）：243a= 答案：()()x x +-11反数，那么x 的值是_________。
答案：3；47解：①·x x x x ----=454241 （5）学校包车到企业参观生产线，按原定人数估计共需车费400元，后因部分学生另有任务，少去20人，如果设原定人数为x 人，那么原来每人平均车费_________元，减少20人后，每人平均车费__________元。
答案：400x ；40020x -（6）某商场降价销售一批服装，打8折后的售价是120元，则这种服装原来的售价是_________元。
答案：150解：设原来售价x 元答案：a b a +=≠01且（8）甲的速度是a km/h ，乙的速度是b km/h ，甲从A 地到B 地需要t 小时，那么乙从A 到B 需要__________小时。
答案：at b例2. 选择题：答案：C解：12123x x x-=--- 去分母，方程两边同乘以x －2得：∴选C答案：D解：x x x x +-=-+1212答案：C 解：11112R R R =+ ∴选C答案：C解：()102-≠xA. 3B. 11C. 9D. 7 答案：B 解：x x x x 2221129211+=-⎛⎝ ⎫⎭⎪+=+= 中，分式有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 答案：D例3. 解答题：（1）解下列方程。
八年级数学分式方程的应用2(PPT)3-3
解：设甲每小时做x个零件，则乙每小时做（ x －6）个零件，
依题意得： 等量关系：甲用时间=乙用时间
90 60 x x6
请审题分析题意 设元
90x 6 60x
90x 60x 540
我们所列的是一
30x 540
个分式方程，这
x 18
是分式方程的应 用
经检验X=18是原分式方程的根,且符合题意。
由x＝18得x－6=12
答：甲每小时做18个，乙每小时12个
神经末梢的面积可达8cm，如果是-m的噬人鲨，其灵敏的嗅觉可嗅到数千米外受伤人和海洋动物。 [] 捕杀 捕杀 最后，独特的牙齿，可切割、撕扯、压碎食 物，其锋利无比。外行齿脱落，内行备用齿向外移，真像一把尖刀锋利无比，能轻而易举地咬断手指般粗的电缆。其实，伤人的鲨鱼仅有多种，最凶猛的只 有噬人鲨（又叫食人鲨）、助； 股票知识：/ ；鲨（又叫触鱿）、低鳍真鲨（又叫公牛白眼鱿）种，它们广泛分布于暖温带海域，有 时可进入河口。伤人的事例也不多，如年全世界发生了起有记录的鲨鱼攻击人类的事件，仅有人死亡。这些攻击人类的事件多不是鲨鱼主动攻击人类，而通 常是人类进入鲨的活动范围内干扰了鲨鱼的活动或者翻船事故后海水里有大量人血时招引所致。 [] 巨齿鲨 巨齿鲨在希腊语中的意思是“大牙齿”。古生物 界目前对它有限的认知 鲨鱼 鲨鱼 是，巨齿鲨全长可达米，牙齿咬合力更是空前绝后。 [] “一系列化石及生态学证据表明巨齿鲨确实已经灭绝。巨齿鲨为软 骨鱼，和其他鲨鱼一样，其内骨骼为软骨，钙化程度低，除牙齿外较难形成化石。”厦门大学海洋生物学硕士赵宇说，人类至今还没有发现完整的巨齿鲨化 石，无法直接确定其大小及外形，因此，对巨齿鲨大小及外形的认识也主要是通过其牙齿化石与现生鲨鱼进行比对来获得。 [] 最大的巨齿鲨全长是大白鲨的 倍以上，并超过现生最大的鲨鱼——鲸鲨，为世界上存在过的最大的鲨鱼。”赵宇称，由于巨齿鲨牙齿与大白鲨牙齿形状相似，加之大白鲨的形象深入人心， 目前为止，对巨齿鲨外形的复原几乎都是以大白鲨为模板进行的。 [] 近年来，对巨齿鲨牙齿形态学的进一步研究表明，巨齿鲨的牙齿与鼠鲨目的另一种鲨 鱼——沙虎鲨更为相似，也有着更近的亲缘关系。因此有学者认为，根据沙虎鲨的外形对巨齿鲨进行复原可能更为准确。 [] “但目前我们尚未发现更多能帮 助复原巨齿鲨外形的化石，而就目前的化石证据而言，我们还不能确定巨齿鲨的确切外形。”赵宇说，巨齿鲨的确可以像电影里一样一口咬死鲸鱼。研究人 员通过大白鲨的咬合力数据推测出巨齿鲨的咬合力最高可达.8吨。“如此巨大的咬合力配合巨齿鲨最大可达米的血盆大口，加之鲨鱼咬合后横向撕咬切割的 行为，足以一击致命”。 [] “和所有鲨鱼一样，巨齿鲨的牙齿终身更换、脱落。但人们所收集到的巨齿鲨牙齿均形成于万年前，由此可以推测巨齿鲨灭绝于 万年前。”赵宇说，巨齿鲨的分布研究表明，其偏好温暖的热带及亚热带海域，并需要浅海海域作为育幼场，因此不太可能迁移至低温、贫瘠的
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
暑假专题（2）——分式方程及其应用知识要点：1. 分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
2. 分式方程的解：使分式方程的最简公分母不为零的根是分式方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根，原方程无解。
3. 解分式方程的步骤：（1）去分母 （2）去括号 （3）移项（4）合并同类项 （5）系数化为1 （6）检验4. 分式方程的应用——列分式方程解应用题步骤：（1）审题； （2）设未知数 （3）找相等关系列分式方程（4）解分式方程 （5）验根 （6）写答案【典型例题】例1. 填空题：（1）下列方程中是分式方程的是_________（填序号）()①②③④⑤ax b x x m x a m x ax x x x x +=++=+++=--+=+=-251432431221121122 答案：③④⑤()（）如果方程的解是，则22135a x x a -===.答案：16 解（一）：()方程去分母得：231=-a x233=-ax a323ax a =+x a a=+233 把代入得：x 5=+=2335a a 2315+=a a122a =a =16解（二）：243a= 212=a a =16（）分式方程去分母时，方程两边都乘以31111112x x x --+=-. 答案：()()x x +-11（）如果与互为倒数，则，如果与互为相445424314x x x x x x x ----=- 反数，那么x 的值是_________。
答案：3；47解：①·x x x x ----=454241 ∴--=4251x x 去分母得：425-=-x x -=-39xx =3②3140x x-+= ()去分母得：3410x x +-=3440x x +-=74x =x =47检验：与是所列方程的根。
x x ==347 （5）学校包车到企业参观生产线，按原定人数估计共需车费400元，后因部分学生另有任务，少去20人，如果设原定人数为x 人，那么原来每人平均车费_________元，减少20人后，每人平均车费__________元。
答案：400x ；40020x - （6）某商场降价销售一批服装，打8折后的售价是120元，则这种服装原来的售价是_________元。
答案：150解：设原来售价x 元80%120x =x =150（）分式的值是零，实数、应满足的条件是71a b a a b +-.答案：a b a +=≠01且 （8）甲的速度是a km/h ，乙的速度是b km/h ，甲从A 地到B 地需要t 小时，那么乙从A 到B 需要__________小时。
答案：at b例2. 选择题：（）解方程：，去分母得（）112123x x x-=--- ()()A x x B x x ..11321132=---=--- ()()C x x D x x ..11321132=----=---答案：C 解：12123x x x-=--- 12123x x x -=--- 去分母，方程两边同乘以x －2得：()1132=---x x∴选C（）分式方程的解是（）21212x x x x +-=-+ A B C D (2)210-答案：D 解：x x x x +-=-+1212()()方程两边同乘以，得：x x +-22 ()()()()x x x x ++=--1212x x x x 223232++=-+60x =x =0()()检验：把代入，∴是原方程的解。
x x x x =+-≠=02200()（）如果，则（）311101212R R R R R R =++≠= A R R R R B R R ..121212++ C R R R R D R R ..121212+ 答案：C解：11112R R R =+ 两边同乘以得：RR R R R RR RR 121221=+()R R R R R 1212+=R R R R R R R 1212120+≠=+，∴ ∴选C()（）为何值时，分式有意义（）4212x x x - A x B x C x D x ....><≠≠111答案：C解：()102-≠x10-≠xx ≠1（）若，则的值为（）513122x x x x -=+ A. 3B. 11C. 9D. 7 答案：B解：x xx x 2221129211+=-⎛⎝ ⎫⎭⎪+=+= ()（）在有理式：；；；；；；61213271213132222-+---+x x x y m x y x y 中，分式有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个答案：D例3. 解答题：（1）解下列方程。
①2332726x x ++=+ 解：()2332723x x ++=+ ()去分母得：4337++=x36x =-x =-2()检验：把代入，∴是原方程的解。
x x x =-+≠=-22302②22122x x x x -+-= 解：去分母得：()()()()22212212x x x x x x -+-=--2424104222x x x x x x -+-=-+54x =x =45 检验：把代入，∴是原方程的解。
x x x x =--≠=45212045()() ()（）关于的分式方程有解，求的取值范围。
26131x x x x x K xK -=+-- 解：()去分母得：631x x K x =+--63x x K x K -+=+()53+=+K x K∴x K K=++35 ∵方程有解，且不为增根∴50+≠KK ≠-5x K K ≠+≠≠-0303，即，x K K ≠+≠+135，即永远成立∴且k k ≠-≠-53（3）列方程解应用题。
①A 、B 两地的距离是80千米，一辆公共汽车从A 地驶出3小时后，一辆小汽车也从A 地出发，它的速度是公共汽车的3倍，已知小汽车比公共汽车迟20分钟到达B 地，求两车的速度。
解：设公共汽车速度为x 千米/时，则小汽车的速度为3x 千米/时2013分钟小时=80138033x x +=+ 解得：x ＝20∴3x ＝60经检验：x ＝20是所列方程的根。
答：公共汽车速度为20千米/时，小汽车的速度为60千米/时。
②要在规定时间内完成一项工程，甲队单独做正好按期完成，乙队单独做要超期3天才能完成。
现在甲乙合作2天，余下的工程由乙单独做，刚好按期完成，问规定时间是多少天？解：设规定x 天完成()21132131x x x x ++⎛⎝ ⎫⎭⎪+-+=· 解得：x ＝6经检验：x ＝6是所列方程的根答：规定时间是6天。
③一个最简分数的分子与分母的和是92，若分子、分母都减去16，这个分数的值是 13，求这个分数。
解：设分子为x ，则分母为92－xx x ---=16921613解得：x ＝3192－x ＝61经检验：x ＝31是所列方程的根。
答：这个分数是3161.【模拟试题】（答题时间：45分钟） 一. 填空题（每题4分，共20分）1. 方程234x x =+的解为___________。
2. 要使x x +-31与x x+1的值相等，那么x =___________。
3. 若分式321-+x x 的值为2，则x =___________。
4. 若方程x x m x -=--545有增根x =5，则m =____________。
5. 写出一个关于x 的分式方程，使它的根为x =-2，则分式方程是___________。
二. 选择题（每题4分，共24分）6. 下列方程中，不是分式方程的是（ ）A.10x = B. x x -=12 C. x x 213-= D. 131x x +-= 7. 方程2120x x +-=的根是（ ） A. 2 B. -2 C. 12 D. -12 8. 下列方程中，增根为x =-1的方程是（ ）A.110x += B. 211x += C. 112x x += D. 21232x x x x+-=+ 9. 方程x a x x +-=32的根为x =1，那么a 的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 010. 某学校食堂有煤a t ，原计划每天用煤x t ，实际每天用煤量是原计划的2倍，这样食堂的煤比原计划少用了4天，则可列出关于x 的方程为（ ）A. a x a x-=24 B. a x a x 24-= C. a x a x +=24 D. 24a x a x+= 11. 南京到上海铁路长300 km ，为了适应两市经济的发展，客车的速度比原来每小时增加了40 km ，因此从南京到上海的时间缩短了一半，设客车原来的速度是x km/h ，则根据题意列出的方程是（ ）A.3004012300x x -=· B. 300402300x x -=· C. 3004012300x x +=· D. 300402300x x +=· 三. 解答题（第12～15题每题9分，每16、17题每题10分，共56分） 12. 解方程：2114x x-=-13. 解方程：()3282x x x x -=--14. 解方程：22142x x -=- 15. 小明在超市用24元钱买了某种品牌牛奶若干盒，过了一段时间再去该超市，发现这种牛奶正在让利销售，每盒让利0.4元，小明购买了和上次数量一样多的牛奶，却只花了20元，问：小明第一次购买的牛奶每盒多少元钱？16. 某校师生去离校15km 的植物园参观，张老师带领服务组与师生队伍同时出发，服务组的行进速度是师生队伍的1.2倍，以便提前半小时到达做好准备，求服务组与师生队伍的行进速度。
17. 某超市规定：凡一次购买大米180 kg 以上可以按原价打折出售，购买180 kg 以下（包括180 kg ）只能按原价出售。
小明家到超市买大米，原计划买的大米，只能按原价付款，需要500元；若多买40kg ，则按打折价格付款，也需要500元。
（1）小明家原计划购买大米的数量的范围是多少？（2）若按原价购买4 kg 与打折购买5 kg 的款相同，那么原计划小明家买多少大米？【试题答案】一. 填空题。
1. x =82. -13 3. 15 4. 5 5. 1112+=x （答案不惟一） 二. 选择题。
6. C 7. D8. D 9. C 10. A 11. C 三. 解答题。
12. x =313. x =2为增根，原方程无解14. x =-3215. 设小明第一次购买的牛奶每盒x 元，则有 242004x x =-. 解得：x =24.16. 设师生队伍的行进速度为每小时x km ，则 15151212x x -=. 解得：x =5∴=126.x17. （1）大于140kg 而小于等于180kg（2）160kg。