浅谈导数在函数极值中的应用
导数在函数的单调性,极值中的应用
导数在函数的单调性、极值中的应用一、知识梳理1．函数的单调性与导数在区间(a ，b)内，函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 如果f_′(x)>0，那么函数 y ＝f(x)在这个区间内单调递增； 如果f_′(x)<0，那么函数 y ＝f(x)在这个区间内单调递减； 如果f_′(x)＝0，那么 f(x)在这个区间内为常数．问题探究1：若函数 f(x)在(a ，b)内单调递增，那么一定有f ′(x)>0吗？f ′(x)>0是否是 f(x)在(a ，b)内单调递增的充要条件？提示：函数 f(x)在(a ，b)内单调递增，则f ′(x)≥0，f ′(x)>0是 f(x)在(a ，b)内单调递增的充分不必要条件． 2．函数的极值与导数 (1)函数的极小值函数 y ＝f(x)在点x ＝a 的函数值f(a)比它在x ＝a 附近其他点的函数值都小，f ′(a)＝0，而且在点x ＝a 附近的左侧f_′(x)<0，右侧f_′(x)>0，则点a 叫做函数 y ＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数 y ＝f(x)的极小值． (2)函数的极大值函数 y ＝f(x)在点x ＝b 的函数值f(b)比它在点x ＝b 附近的其他点的函数值都大，f ′(b)＝0，而且在点x ＝b 附近，左侧f_′(x)>0，右侧f_′(x)<0，则点b 叫做函数 y ＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数 y ＝f(x)的极大值．极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 问题探究2：若f ′(x0)＝0，则x0一定是f(x)的极值点吗？提示：不一定．可导函数在一点的导数值为0是函数在这点取得极值的必要条件，而不是充分条件，如函数f(x)＝x3，在x ＝0时，有f ′(x)＝0，但x ＝0不是函数f(x)＝x3的极值点．二、自主检测1．函数y ＝x －lnx 的单调减区间是( ) A ．(－∞，1) B ．(0,1) C ．(1，＋∞) D ．(0,2)解析：函数的定义域为{x|x>0}，y ′＝1－1x <0，∴0<x<1.2．函数f(x)＝x3－3x2＋3x 的极值点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：f ′(x)＝3x2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0，∴f(x)单调递增，∴f(x)无极值点． 答案：A3．函数 f(x)＝x3＋ax －2在区间(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．[3，＋∞) B ．[－3，＋∞) C ．(－3，＋∞) D ．(－∞，－3)解析：∵ f(x)＝x3＋ax －2在(1，＋∞)上是增函数，∴f ′(x)＝3x2＋a ≥0在(1，＋∞)上恒成立．即a ≥－3x2在(1，＋∞)上恒成立． 又∵在(1，＋∞)上－3x2<－3，∴a ≥－3.答案：B4．(2012年山东诸城高三月考)已知函数y＝f(x)，其导函数y＝f ′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)( )A．在(－∞，0)上为减函数B．在x＝0处取极小值C．在(4，＋∞)上为减函数D．在x＝2处取极大值解析：使导函数y＝f ′(x)>0的x的取值范围为增区间；使导函数y＝f ′(x)<0的x 的取值范围为减区间．答案：C5．若函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3时取得极值，则a＝( )A．2 B．3C．4 D．5解析：f ′(x)＝3x2＋2ax＋3，∵f(x)在x＝－3时取得极值，∴x＝－3时f ′(x)＝0得a ＝5.检验知符合题意．答案：D6．(1)函数f(x)在x＝x0处可导，则“f ′(x0)＝0”是“x0是函数f(x)极值点”的________条件．(2)函数f(x)在(a，b)上可导，则“f ′(x)>0”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的________条件．(3)函数f(x)在(a，b)上可导，则“f ′(x)≥0”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的________条件．答案：(1)必要不充分(2)充分不必要(3)必要不充分三、考向指导考点1 求函数的单调区间1.求可导函数单调区间的一般步骤和方法(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求 f ′(x)，令f ′(x)＝0，求出它在定义域内的一切实根；(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；(4)确定f ′(x)在各个开区间内的符号，根据f ′(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性．2．证明可导函数f(x)在(a，b)内的单调性的步骤(1)求 f ′(x)．(2)确认 f ′(x)在(a，b)内的符号．(3)作出结论： f ′(x)>0时，f(x)为增函数； f ′(x)<0时，f(x)为减函数．例1 (2010年全国)已知函数 f(x)＝x3－3ax2＋3x ＋1. (1)设a ＝2，求 f(x)的单调区间；(2)设 f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a 的取值范围．【解】 (1)当a ＝2时， f(x)＝x 3－6x 2＋3x ＋1，f ′(x)＝3(x －2＋3)(x －2－3)．当x ∈(－∞，2－3)时， f ′(x)>0， f(x)在(－∞，2－3)上单调增加； 当x ∈(2－3，2＋3)时， f ′(x)<0， f(x)在(2－3，2＋3)上单调减少； 当x ∈(2＋3，＋∞)时， f ′(x)>0， f(x)在(2＋3，＋∞)上单调增加． 综上， f(x)的单调增区间是(－∞，2－3)和(2＋3，＋∞)，单调减区间是(2－3，2＋3)．(2) f ′(x)＝3[(x －a)2＋1－a 2]．当1－a 2≥0时， f ′(x)≥0， f(x)为增函数，故 f(x)无极值点； 当1－a 2<0时， f ′(x)＝0有两个根，x 1＝a －a 2－1，x 2＝a ＋a 2－1. 由题意知，2<a －a 2－1<3，① 或2<a ＋a 2－1<3.② ①式无解．解②式得54<a<53.因此a 的取值范围是(54，53)．课堂过手练习：设函数 f(x)＝x3＋ax2－9x －1(a<0)．若曲线y ＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行，求： (1)a 的值；(2)函数 y ＝f(x)的单调区间．解：(1)∵ f(x)＝x 3＋ax 2－9x －1.∴f ′(x)＝3x 2＋2ax －9＝3(x ＋a 3)2－9－a23.即当x ＝－a 3时， f ′(x)取得最小值－9－a23.∴－9－a 23＝－12，即a 2＝9.解得a ＝±3.由题设a<0，得a ＝－3.(2)由(1)知a ＝－3，因此 f(x)＝x3－3x2－9x －1， f ′(x)＝3x2－6x －9＝3(x －3)(x ＋1)． 令f ′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝3. 当x ∈(－∞，－1)时， f ′(x)>0， 故 f(x)在(－∞，－1)上为增函数； 当x ∈(－1,3)时， f ′(x)<0， 故 f(x)在(－1,3)上为减函数； 当x ∈(3，＋∞)时， f ′(x)>0， 故 f(x)在(3，＋∞)上为增函数．由此可见，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(3，＋∞)；单调递减区间为(－1,3).考点2 由函数的单调性求参数的取值范围已知函数的单调性，求参数的取值范围，应注意函数f(x)在(a，b)上递增(或递减)的充要条件应是 f ′(x)≥0(或 f ′(x)≤0)，x∈(a，b)恒成立，且 f ′(x)在(a，b)的任意子区间内都不恒等于0，这就是说，函数f(x)在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有 f ′(x0)＝0，甚至可以在无穷多个点处 f ′(x0)＝0，只要这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间．例2 已知函数f(x)＝x3－ax－1，在实数集R上y＝f(x)单调递增，求实数a的取值范围．【分析】利用f ′(x)≥0恒成立求解．【解】由已知，得f ′(x)＝3x2－a.因为在实数集R上y＝f(x)单调递增，所以f ′(x)＝3x2－a≥0对x∈R恒成立，即a≤3x2对x∈(－∞，＋∞)恒成立．因为3x2≥0，所以只需a≤0.又a＝0时， f ′(x)＝3x2≥0，且等号仅在x＝0处才取得，即y＝f(x)在实数集R上单调递增．综上，当a≤0时，y＝f(x)在实数集R上单调递增．由函数的单调性求参数的取值范围，这类问题一般已知f(x)在区间I上单调递增(递减)，等价于不等式f ′(x)≥0(f ′(x)≤0)在区间I上恒成立，然后可借助分离参数等方法求出参数的取值范围．课堂过手练习：已知f(x)＝ex－ax－1.(1)求f(x)的单调增区间；(2)若f(x)在定义域R内单调递增，求a的取值范围；(3)是否存在a，使f(x)在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．解：(1)f ′(x)＝ex－a.若a≤0, f ′(x)＝ex－a>0恒成立，即f(x)在R上递增．若a>0，令ex－a>0，ex>a，x>lna.此时f(x)的单调递增区间为(lna，＋∞)．(2)∵f(x)在R内单调递增，∴f ′(x)≥0在R上恒成立．∴ex－a≥0，即a≤ex在R上恒成立．∴a≤(ex)min，又∵ex>0，∴a≤0.(3)假设存在a满足条件．解法一：由题意知ex－a≤0在(－∞，0]上恒成立．∴a≥ex在(－∞，0]上恒成立．∵y＝ex在(－∞，0]上为增函数．∴x＝0时，ex最大为1.∴a≥1.同理可知ex －a ≥0在[0，＋∞)上恒成立． ∴a ≤ex 在[0，＋∞)上恒成立， ∴a ≤1，∴a ＝1.解法二：由题意知，x ＝0为f(x)的极小值点．∴f ′(0)＝0，即e0－a ＝0，∴a ＝1. 考点3 求已知函数的极值运用导数求可导函数 y ＝f(x)极值的步骤：(1)先求函数的定义域，再求函数 y ＝f(x)的导数 f ′(x)； (2)求方程 f ′(x)＝0的根；(3)检查 f ′(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么 f(x)在这个根处取得极大值．如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小值．例3 设f(x)＝ex 1＋ax 2，其中a 为正实数．(1)当a ＝43时，求f(x)的极值点；(2)若f(x)为R 上的单调函数，求a 的取值范围． 【解】 对f(x)求导得f ′(x)＝e x1＋ax 2－2ax1＋ax 22①(1)当a ＝43时，若f ′(x)＝0，则4x 2－8x ＋3＝0，解得x 1＝32，x 2＝12.结合①，可知 x (－∞，12)12 (12，32) 32 (32，＋∞) f ′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)↗极大值↘极小值↗所以，x 1＝32是极小值点，x 2＝12是极大值点．(2)若f(x)为R 上的单调函数，则f ′(x)在R 上不变号，结合①与条件a>0，知ax2－2ax＋1≥0在R 上恒成立，因此Δ＝4a2－4a ＝4a(a －1)≤0，由此并结合a>0，知0<a ≤1.课堂过手练习：函数f(x)＝x3－3x2＋1在x ＝________处取得极小值．解析：由f ′(x)＝3x2－6x ＝3x(x －2)＝0，解得x1＝0，x2＝2当x<0时， f ′(x)>0，当0<x<2时f ′(x)<0，当x>2时f ′(x)>0. ∴当x ＝2时， f(x)有极小值是f(2)＝23－3×22＋1＝－3.考点4 利用极值求参数已知函数解析式，可利用导数及极值的定义求出其极大值与极小值；反过来，如果已知某函数的极值点或极值，也可利用导数及极值的必要条件建立参数方程或方程组，从而解出参数，求出函数解析式．例4 设x ＝1与x ＝2是函数f(x)＝alnx ＋bx2＋x 的两个极值点． (1)试确定常数a 和b 的值；(2)试判断x ＝1，x ＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由．【解】 (1)f ′(x)＝ax＋2bx ＋1，由题意得f ′(1)＝0, f ′(2)＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋1＝0，a2＋4b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－23b ＝－16.(2)由(1)知f(x)＝－23lnx －16x 2＋x ，所以f ′(x)＝－23x －x 3＋1＝－ x 2－3x ＋23x＝－13· x －1 x －2x.又∵x>0，∴0<x<1时， f ′(x)<0,1<x<2时， f ′(x)>0，x>2时， f ′(x)<0， 所以函数f(x)在(0,1)和(2，＋∞)上是减函数，在(1,2)上是增函数，所以，x ＝1是函数f(x)的极小值点，x ＝2是函数f(x)的极大值点．课堂过手练习：设函数f(x)＝(x －a)2lnx ，a ∈R.若x ＝e 为y ＝f(x)的极值点，求实数a.解：求导得f ′(x )＝2(x －a )ln x ＋(x －a )2x ＝(x －a )·(2ln x ＋1－ax )．因为x ＝e 是f (x )的极值点，所以f ′(e)＝(e －a )·(3－ae )＝0，解得a ＝e或a ＝3e 经检验，符合题意，所以a ＝e 或a ＝3e.易错点 求参数取值时出现 典例：已知函数f(x)＝ax3＋3x2－x ＋1在R 上是减函数，求a 的取值范围．【错解】 求函数的导数f ′(x)＝3ax 2＋6x －1，当f ′(x)<0时， f(x)是减函数，则f ′(x)＝3ax 2＋6x －1<0(x ∈R)．故⎩⎪⎨⎪⎧a<0，Δ<0.解得a<－3.【错因分析】 f ′(x)<0(x ∈(a ，b))是f(x)在(a ，b)上单调递减的充分不必要条件，在解题过程中易误作是充要条件，如f(x)＝－x3在R 上递减，但f ′(x)＝－3x2≤0.【正确解答】 求函数的导数f ′(x)＝3ax 2＋6x －1，(1)当f ′(x)<0时， f(x)是减函数，则f ′(x)＝3ax 2＋6x －1<0(x ∈R)．故⎩⎪⎨⎪⎧a<0，Δ<0，解得a<－3.(2)当a ＝－3时， f(x)＝－3x 3＋3x 2－x ＋1＝－3(x －13)3＋89易知此时函数也在R 上是减函数．综上a 的取值范围是a ≤－3.(1)当函数在某个区间内恒有f ′(x)＝0，则f(x)为常数，函数不具有单调性．∴f (x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件．在解题中误将必要条件作充分条件或将既不充分与不必要条件误作充要条件使用而导致的错误还很多，在学习过程中注意思维的严密性．(2)函数极值是一个局部性概念，函数的极值可以有多个，并且极大值与极小值的大小关系不确定．要强化用导数处理单调性、极值、最值、方程的根及不等式的证明等数学问题的意识．(3)如果一个函数在给定定义域上的单调区间不止一个，这些区间之间一般不能用并集符号“∪”连接，只能用“，”或“和”字隔开． 纠错课堂练习：已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx ＋c 在x ＝1处取极值－2. (1)试用c 表示a ，b ；(2)求f(x)的单调递减区间．解：(1)f ′(x)＝3x 2＋2ax ＋b由已知条件⎩⎪⎨⎪⎧f ′ 1 ＝0f 1 ＝－2，即⎩⎪⎨⎪⎧3＋2a ＋b ＝01＋a ＋b ＋c ＝－2解得a ＝c ，b ＝－3－2c(2)f ′(x)＝3x 2＋2cx －3－2c ＝(3x ＋3＋2c)(x －1)＝3(x ＋3＋2c3)(x －1)①若－3＋2c 3＝1，即c ＝－3f ′(x)＝3(x －1)2≥0f(x)在(－∞，＋∞)上递增不合题意 c ＝－3应舍去．②若－3＋2c 3<1，即c>－3时，f(x)的递减区间为(－3＋2c 3，1)；③若－3＋2c3>1，即c<－3时，f(x)的递减区间为(1，－3＋2c3)．1．与函数的单调性有关的问题(1)利用导数求函数的单调区间，可通过f ′(x)>0或f ′(x)<0来进行，至于区间的端点是否包含，取决于函数在端点处是否有意义，若有意义，则端点包含与不包含均可；若无意义，则必不能包含端点．(2)若函数f(x)在(a，b)上递增(或递减)，则在(a，b)上f ′(x)≥0(或f ′(x)≤0)恒成立，若该不等式中含有参数，我们可利用上述结论求参数的范围，它蕴涵了恒成立思想．利用上述方法求得参数的范围后，要注意检验该参数的端点值能否使f ′(x)＝0恒成立．若能，则去掉该端点值；否则，即为所求．2．与函数的极值有关的问题(1)求函数的极值点，可通过f ′(x)＝0来求得，但同时还要注意检验在其两侧附近的导函数值是否异号．(2)若函数f(x)在x＝x0处有极值，则一定有f ′(x0)＝0，我们可利用上述结论求参数的值．。
13《导数在研究函数中的应用》选修
13《导数在研究函数中的应用》选修导数是微积分中非常重要的概念，它被广泛应用在研究函数的各种性质中。
导数可以告诉我们函数在其中一点的变化速率，这对于理解函数的形态和性质非常有帮助。
在本文中，我们将介绍导数在研究函数中的应用，并探讨导数在不同领域中的重要性。
首先，导数在函数的极值问题中扮演着非常重要的角色。
通过求解函数的导数并找到导数为零的点，我们可以确定函数的极值点。
这些极值点可以告诉我们函数的最大值和最小值，帮助我们优化函数的性能。
在实际生活中，比如经济学中的成本函数和收益函数，通过求解导数我们可以找到最大利润的生产量或者最小成本的生产方式。
其次，导数在函数的连续性和光滑性的研究中也扮演着重要的角色。
通过求解函数的导数，我们可以判断函数在其中一点是否连续，或者函数是否具有一阶或者二阶导数。
这些信息对于理解函数的性态和特性非常有帮助。
在物理学中，速度和加速度分别是位移函数和速度函数的导数，通过求解导数我们可以得到精确的运动轨迹和加速度曲线。
另外，导数在函数的图像和曲线的绘制中也发挥着至关重要的作用。
通过求解函数的导数，我们可以找到函数的拐点和弯曲点，这些点对于绘制函数的准确曲线非常重要。
在工程学中，比如控制系统和信号处理中，求解导数可以帮助我们设计稳定和高效的系统。
最后，导数在函数的微分方程中也被广泛应用。
微分方程描述了函数和导数之间的关系，通过求解微分方程我们可以找到函数的解析解。
这对于预测和模拟函数的行为非常重要。
在生物学和医学中，通过建立生物系统的微分方程，我们可以模拟疾病的发展过程和治疗效果。
总之，导数在研究函数中的应用是非常广泛和重要的。
通过求解导数，我们可以研究函数的极值问题，连续性和光滑性，图像和曲线的绘制，以及微分方程的建模和求解。
导数不仅是微积分中的基本概念，也是现代科学和工程中不可或缺的工具。
希望本文可以帮助读者更好地理解导数在函数中的应用和重要性。
导数应用与极值问题
导数应用与极值问题在微积分中，导数是研究函数变化率的重要工具。
通过求导可以得到函数的导数，而导数可以帮助我们解决一系列的应用问题，其中包括极值问题。
本文将探讨导数应用于极值问题的方法和步骤。
一、导数的基本概念在介绍导数应用于极值问题之前，首先需要了解导数的基本概念。
对于一个函数f(x)，它在某点x处的导数表示函数在该点处的变化率，可以用以下的方式表示：f'(x) = lim(h -> 0) [f(x+h) - f(x)] / h其中，lim表示极限，h表示自变量x的增量。
导数的几何意义是函数曲线在该点处的切线斜率。
当导数为正时，函数在该点处递增；当导数为负时，函数在该点处递减；当导数为零时，函数在该点处取得极值。
二、极值问题的求解在解决极值问题时，我们通常要对函数f(x)进行求导，并通过导数的性质来分析函数的极值点。
1. 导数为零的点首先，我们需要找到函数f(x)的导数为零的点，即f'(x) = 0。
这些点可能是函数的极值点。
2. 导数的符号接下来，我们要确定导数在导数为零的点的两侧的符号。
当导数从正数变成负数时，函数在该点有极大值；当导数从负数变成正数时，函数在该点有极小值。
3. 极值点的判断通过对导数的符号进行分析，我们可以判断出函数的极值点。
需要注意的是，导数为零的点并不一定都是极值点，还需要进行二阶导数的判断。
3.1 二阶导数的求解求得函数f(x)的导数为零的点后，我们可以进一步求解它的二阶导数f''(x)。
二阶导数可以帮助我们判断导数为零的点处的极值类型。
3.2 二阶导数的判断当二阶导数f''(x)大于零时，函数在导数为零的点处有极小值；当二阶导数f''(x)小于零时，函数在导数为零的点处有极大值；当二阶导数f''(x)等于零时，判断不明确，需要进行其他方法的分析。
4. 求解极值点通过以上的步骤，我们可以确定函数f(x)的极值点。
导数在函数极值中的应用例题和知识点总结
导数在函数极值中的应用例题和知识点总结在数学的广袤领域中，导数作为研究函数性质的有力工具，在函数极值的求解中发挥着至关重要的作用。
理解导数与函数极值的关系，并通过实际例题进行深入剖析，有助于我们更好地掌握这一重要的数学概念和方法。
一、导数与函数极值的基本概念首先，让我们来明确一下什么是导数以及函数的极值。
导数，从几何意义上来说，它表示函数在某一点处的切线斜率。
而从代数角度看，导数反映了函数在某一点处的变化率。
函数的极值则分为极大值和极小值。
极大值是指在某个局部范围内，函数值比附近其他点的函数值都大；极小值则是在局部范围内函数值比附近其他点的函数值都小。
二、判断函数极值的必要条件若函数在某点处可导，且该点为极值点，那么在该点处的导数为零。
但需要注意的是，导数为零的点不一定是极值点，还需要进一步判断导数在该点两侧的符号。
三、通过导数判断函数极值的充分条件设函数在点处具有导数，且，那么：当在的左侧为正，右侧为负时，为极大值点；当在的左侧为负，右侧为正，为极小值点。
接下来，我们通过一些具体的例题来加深对导数在函数极值中应用的理解。
例题 1：求函数的极值。
首先，对函数求导：。
令，解得。
当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减。
所以为极大值点，极大值为。
例题 2：求函数在区间上的极值。
对函数求导：。
令，解得。
当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增。
所以为极小值点，极小值为。
通过以上两个例题，我们可以看到利用导数求函数极值的一般步骤：1、对函数求导。
2、令导数等于零，求出可能的极值点。
3、判断导数在极值点两侧的符号，确定是极大值还是极小值。
在实际应用中，我们还会遇到一些较为复杂的函数，需要综合运用各种数学方法和技巧来求解极值。
例如，对于含有参数的函数，需要对参数进行分类讨论；对于高次函数，可能需要多次求导来分析函数的单调性和极值情况。
总之，导数在函数极值的求解中是一种非常有效的方法。
通过不断的练习和总结，我们能够更加熟练地运用这一工具解决各种数学问题，提高我们的数学思维能力和解题能力。
导数在函数单调性与极值求解中的应用
导数在函数单调性与极值求解中的应用导数是研究函数的工具，导数进入新教材之后，给函数问题注入了生机和活力，开辟了许多解题新途径，拓展了高考对函数问题的命题空间。
所以把导数与函数综合在一起是顺理成章的事情，试题的命制往往融函数，导数，不等式，方程等知识于一体，通过演绎证明，运算推理等理性思维，解决单调性，极值，最值，切线，方程的根，参数的范围等问题，这类题难度很大，综合性强，内容新，背景新，方法新，是高考命题的丰富宝藏。
解题中需用到函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化与划归思想。
本文仅以历年高考试为例谈谈导数在函数单调性与极值求解中的应用问题问题，供鉴赏。
一、导数在单调性中的应用：函数的单调性是函数最基本的性质之一，是我们研究函数所要掌握的最基本的知识.它在中学数学中的用处是非常广泛的，其思维方法有：一、利用增（减）函数的定义判断单调性；二、导数法。
利用在(,)a b 内可导的函数()f x 在(,)a b 上递增（或递减）的充要条件是()0f x '≥（或()0f x '≤），(,)x ab∈恒成立（但()f x '在(,)a b 的任意子区间内都不恒等于0）。
方法一化简较为繁琐，比较适合解决抽象函数的单调性问题，而用导数知识来判断函数的单调性既快捷又容易掌握.，特别是对于具体函数更加适用。
1. 利用导数求单调区间：例1.函数y =x ln x 在区间(0，1)上是 A. 单调增函数 B. 单调减函数C.在(0，e1)上是减函数，在(e1,1)上是增函数D.在(0，e1)上是增函数，在(e1,1)上是减函数分析：本题主要考查利用求导方法判定函数在给定区间上的单调性. 解：y ′=ln x +1,当y ′>0时，解得x >e 1.又x ∈(0,1),∴e1<x <1时，函数y =x ln x 为单调增函数.同理，由y ′<0且x ∈(0,1)得0<x <e1,此时函数y =x ln x 为单调减函数.故应选C.答案：C例2.函数y =sin 2x 的单调递减区间是__________. 分析：本题考查导数在三角问题上的应用.解：y ′=2sin x cos x =sin2x . 令y ′<0,即sin2x <0， ∴2k π－π<2x <2k π,k ∈Z . ∴k π－2π<x <k π,k ∈Z .∴函数y =sin 2x 的单调递减区间是(k π－2π,k π),k ∈Z .2. 利用导数和单调性的关系，选择导函数与原函数的图像问题：例3.设f ′(x )是函数f (x )的导函数,y =f ′(x )的图象如下图所示,则y =f (x )的图象最有可能是（AC BD分析:本题主要考查函数的导数与图象结合处理问题.要求对导数的含义有深刻理解、应用的能力.解:函数的增减性由导数的符号反映出来.由导函数的图象可大略知道函数的图象.由导函数图象知:函数在(－∞,0)上递增,在(0,2)上递减,在(2,+∞)上递增;函数f (x )在x =0处取得极大值,在x =2处取得极小值.答案:C例4．已知函数()y xf x '=的图象如右图所示(其中'()f x 是函数()f x 的导函数)，下面四个图象中 ()y f x =的图象大致是( ）解析：由()y xf x '=图象可知：)(/x f y =在]1,1[-上小于等于零，故原函数在]1,1[-上为减函数，故选C ．评注：函数()y xf x '=图象提供了很多信息，但要抓住关键特点，如导数为零的点、导数为正值或负值的区间等．3. 利用导数和单调性的关系判断方程解的个数： 例5、方程3269100x x x -+-=的实根的个数是 （ ）A 、3B 、2C 、1D 、0分析：此题是一个三次方程，不易猜根。
导数在极值问题的应用
导数在极值问题的应用1. 引言在数学中，导数是函数的一个基本概念。
它描述了函数在每一个点上的变化率。
导数的概念广泛应用于不同领域的问题中，特别是在求解极值问题时。
极值问题是数学中常见的一类问题，涉及找到函数的最大值或最小值。
在本文中，我们将探讨导数在极值问题中的应用。
2. 极值问题在数学中，极值问题是指寻找函数的最大值或最小值。
对于一个函数而言，最大值是指函数取得的最高值，最小值是指函数取得的最低值。
极值问题在许多实际问题中都有应用，比如经济学中的最大化利润和最小化成本问题，物理学中的最小作用量原理等等。
3. 导数的意义导数是函数变化率的描述。
对于函数f(x)，它的导数f′(x)表示函数在某一点x处的变化率。
导数可以用来确定函数的增减性、判断函数的极值以及确定函数的拐点等。
4. 寻找极值点的方法为了寻找函数的极值点，我们需要使用导数的相关知识。
一般来说，函数在极值点处的导数为0或者不存在。
因此，我们可以通过求解方程f′(x)=0来寻找极值点。
具体寻找极值点的方法有如下步骤：1.求出函数f(x)的导函数f′(x)；2.求解方程f′(x)=0，得到解$x_1, x_2, \\ldots, x_n$；3.将解$x_1, x_2, \\ldots, x_n$代入函数f(x)，计算出对应的函数值$f(x_1), f(x_2), \\ldots, f(x_n)$；4.比较函数值$f(x_1), f(x_2), \\ldots, f(x_n)$，得到函数的极值。
需要注意的是，通过求解方程f′(x)=0得到的解并不一定都是函数的极值点，还需要进行进一步的判断。
5. 极值点的判断在上一步中，我们已经得到了解$x_1, x_2, \\ldots, x_n$，这些解可能是函数的极值点，也可能是函数的拐点。
为了确定这些解的性质，我们需要进行进一步的判断。
根据函数的导数f′(x)的符号变化情况，可以判断出函数在不同区间上的增减性。
导数在函数极值中的应用例题和知识点总结
导数在函数极值中的应用例题和知识点总结在数学的广袤天地中，导数无疑是一座连接函数性质与实际应用的重要桥梁。
而在函数的研究中，极值问题又占据着关键地位。
通过导数来求解函数的极值，不仅能让我们更深入地理解函数的变化规律，还能为解决实际问题提供有力的工具。
接下来，我们将通过具体的例题和详细的知识点总结，来探讨导数在函数极值中的应用。
一、知识点回顾1、导数的定义函数＼（y ＝ f(x)＼）在＼（x ＝ x_0\）处的导数＼（f'（x_0)＼）定义为：＼（f'（x_0) ＝＼lim_{＼Delta x ＼to 0} ＼frac{f(x_0 ＋＼Delta x) f(x_0)｝｛＼Delta x}＼）2、导数的几何意义导数＼（f'（x_0)＼）表示函数＼（y ＝ f(x)＼）在＼（x ＝ x_0\）处的切线斜率。
3、函数的单调性与导数的关系若＼（f'（x) ＞ 0\），则函数＼（f(x)＼）在区间内单调递增；若＼（f'（x) ＜ 0\），则函数＼（f(x)＼）在区间内单调递减。
4、函数的极值设函数＼（f(x)＼）在＼（x_0\）处可导，且在＼（x_0\）处附近左增右减，则＼（x_0\）为函数的极大值点，＼（f(x_0)＼）为极大值；若在＼（x_0\）处附近左减右增，则＼（x_0\）为函数的极小值点，＼（f(x_0)＼）为极小值。
5、求函数极值的步骤（1）求导数＼（f'（x)＼）；（2）解方程＼（f'（x) ＝ 0\），求出函数的驻点；（3）分析驻点左右两侧导数的符号，确定极值点；（4）将极值点代入函数，求出极值。
二、例题讲解例 1：求函数＼（f(x) ＝ x^3 3x^2 ＋ 1\）的极值。
解：首先，对函数求导：＼（f'（x) ＝ 3x^2 6x\）令＼（f'（x) ＝ 0\），即＼（3x^2 6x ＝ 0\），解得＼（x ＝ 0\）或＼（x ＝ 2\）当＼（x ＜ 0\）时，＼（f'（x) ＞ 0\），函数单调递增；当＼（0 ＜ x ＜ 2\）时，＼（f'（x) ＜ 0\），函数单调递减；当＼（x ＞ 2\）时，＼（f'（x) ＞ 0\），函数单调递增。
导数与函数的极值
导数与函数的极值函数的极值是指函数在某个区间上取得的最大值或最小值。
导数是函数变化率的度量，通过导数我们可以研究函数的极值情况。
在本文中，我们将讨论导数与函数的极值之间的关系以及如何运用导数来确定函数的极值。
1. 导数的定义导数表示函数在某一点上的变化速率。
对于可导函数f(x)，其导数定义为：f'(x) = lim(Δx→0) [f(x+Δx) - f(x)] / Δx其中，Δx表示x的增量，Δx→0表示Δx趋近于0。
导数的值代表了函数在该点的瞬时变化率。
2. 极值的定义函数的极值包括最大值和最小值。
在某个区间上，如果函数在某一点的导数为0，那么该点可能是函数的极值点。
具体而言，若函数在该点的导数由正变负，这个点就是极大值点；若函数在该点的导数由负变正，这个点就是极小值点。
3. 导数与函数极值的关系函数的极值点必然是函数的驻点，即导数为0的点。
然而，只有导数为0的点不一定是极值点。
根据导数的定义，我们可以利用导数判断函数的极值点。
具体来说：- 如果函数在某一点的导数为0，并且导数的符号在此点前后改变，那么该点就是函数的极值点。
- 如果函数在某一点的导数为0，并且导数的符号在此点前后不改变，那么该点可能是函数的驻点但不是极值点。
4. 导数的应用利用导数判断函数的极值点可以帮助我们解决许多实际问题。
例如，在经济学中，我们可以通过求解某种产品的利润函数来确定最大化利润的产量。
通过求解利润函数的导数，我们可以找到使利润最大化的产量。
同样地，在物理学中，我们可以使用导数来分析物体的运动情况。
通过求解位置函数的导数，我们可以找到物体的最大速度和最大加速度的时刻。
此外，在数学建模和优化问题中，导数也是一种重要的工具。
通过确定函数的极值点，我们可以优化函数的性能，以满足特定需求。
5. 导数与极值的例子例如，我们考虑函数f(x) = x^2在区间[0, 2]上的极值问题。
首先，我们求解函数的导数f'(x) = 2x。
导数在研究函数中的应用
导数在研究函数中的应用导数是微积分中的重要概念，它在研究函数中有着广泛的应用。
导数可以描述函数在某一点上的变化率，帮助我们理解函数的性质以及解决实际问题。
本文将从几个方面介绍导数在函数研究中的应用。
一、函数的极值问题导数在研究函数的极值问题中起着重要的作用。
通过求函数的导数，我们可以得到函数的驻点和拐点，从而确定函数的极值。
具体来说，当函数的导数为零或不存在时，该点可能是函数的极值点。
通过求导数并求解方程，我们可以求得这些驻点，然后用二阶导数的符号判断它们是极大值还是极小值。
这个过程在求解最优化问题、优化生产过程中都有着广泛的应用。
二、函数的图像与性质导数可以帮助我们研究函数的图像和性质。
通过求导数，我们可以得到函数的增减性和凹凸性。
具体来说，当导数大于零时，函数是增函数；当导数小于零时，函数是减函数。
而二阶导数的正负可以判断函数的凹凸性，当二阶导数大于零时，函数是凹函数；当二阶导数小于零时，函数是凸函数。
通过分析导数和二阶导数的变化，我们可以画出函数的图像，并对函数的性质进行准确的描述。
三、函数的近似计算导数在函数的近似计算中有着重要的应用。
当函数的表达式很复杂或很难求解时，我们可以通过导数来近似计算函数的值。
具体来说，我们可以利用导数的定义公式f'(x) = lim(h->0) (f(x+h)-f(x))/h 来计算函数在某一点的导数，然后通过导数的值和函数在该点的值来估计函数在附近点的值。
这种方法在数值计算、机器学习等领域中被广泛应用。
四、函数的最优化问题导数在函数的最优化问题中也有着重要的应用。
通过求函数的导数，我们可以找到函数的驻点，从而求解函数的最值。
具体来说，当函数在某一点的导数为零或不存在时，该点可能是函数的最值点。
通过求导数并求解方程，我们可以求得这些驻点，然后通过二阶导数的符号判断它们是极大值还是极小值。
这个方法在经济学、工程学等领域中常常用来解决最优化问题。
导数在函数的研究中有着广泛的应用。
导数的应用极值问题与曲线的切线斜率
导数的应用极值问题与曲线的切线斜率导数是微积分中的基本概念，它在数学中有着广泛的应用。
本文将重点探讨导数在极值问题和曲线的切线斜率中的应用。
一、极值问题在数学中，我们常常会遇到寻找函数极值的问题。
而导数在解决这类问题中起到了重要的作用。
当求取一个函数的导数为零或不存在时，我们可以得到该函数的极值点。
通过求取导数为零的点，我们可以找到函数的极大值或极小值。
此时，我们可以利用导数的性质来判断所得的点是极大值还是极小值。
若函数在该点左侧的导数为正、右侧的导数为负，则该点是极大值点；若函数在该点左侧的导数为负、右侧的导数为正，则该点是极小值点。
举例说明：考虑函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1，我们可以对该函数求导数，得到f'(x) = 3x^2 - 6x + 2。
将f'(x)置零，并解得x = 1或x = 2。
接下来，我们可以通过求解f'(x)在这两个点附近的导数符号来判断它们是极大值点还是极小值点。
计算f''(x) = 6x - 6，可得f''(1) = 0，f''(2) = 6。
由于f''(1)为零，我们无法确定极值的类型。
因此，我们需要进一步观察f''(x)的符号变化来判断极值类型。
在x < 1时，f''(x) < 0，在1 < x< 2时，f''(x) > 0，而在x > 2时，f''(x) > 0。
根据导数的性质，我们可以得知x = 1是函数f(x)的极小值点，而x = 2是函数f(x)的极大值点。
二、曲线的切线斜率切线是曲线上一点处与曲线相切且方向与曲线相同的直线。
而切线的斜率则是切线与坐标轴之间的夹角的正切值。
导数可以帮助我们计算曲线上任意一点处的切线斜率。
以函数f(x)为例，设其在点x = a处的导数为f'(a)，则曲线在该点处的切线斜率即为f'(a)。
导数的应用—函数的极值与最值
导数的应用—函数的极值与最值导数是微积分中的重要概念，它在数学和实际问题中都有着广泛的应用。
其中一个重要的应用就是求函数的极值与最值。
本文将通过实例和推导，探讨导数在函数极值与最值问题中的应用。
一、函数的极值首先，我们来介绍一下函数的极值。
对于一个函数$f(x)$，如果在某个点$x=a$处，存在一个邻域，使得在这个邻域内的任意一点$x$，都满足$f(x)\leqf(a)$（或$f(x)\geq f(a)$），那么我们称函数在点$x=a$处取得极大值（或极小值），并将这个值称为函数的极值。
那么如何求函数的极值呢？这就需要用到导数的概念了。
我们知道，导数表示函数在某一点的变化率，而函数的极值对应着导数的零点。
具体来说，如果函数$f(x)$在点$x=a$处取得极值，那么在这个点处的导数$f'(a)$将等于零或不存在。
举个例子来说明。
考虑函数$f(x)=x^2$，我们来求它的极值。
首先，我们求出它的导数$f'(x)=2x$。
然后，令导数等于零，得到方程$2x=0$，解得$x=0$。
所以函数$f(x)=x^2$在点$x=0$处取得极小值。
二、函数的最值除了极值，函数还可能存在最值。
函数的最大值和最小值统称为最值。
与极值相比，最值是函数在整个定义域上的特殊取值。
同样地，我们可以通过导数来求函数的最值。
具体来说，如果函数$f(x)$在某个区间上连续且可导，那么函数的最值要么出现在区间的端点，要么出现在导数为零的点处。
我们再来看一个例子。
考虑函数$f(x)=x^3-3x$，我们要求它的最值。
首先，我们求出它的导数$f'(x)=3x^2-3$。
然后，令导数等于零，得到方程$3x^2-3=0$，解得$x=\pm 1$。
所以函数$f(x)=x^3-3x$的最大值和最小值分别出现在$x=-1$和$x=1$处。
三、实际问题中的应用导数的应用不仅仅局限于数学问题，它在实际问题中也有着广泛的应用。
下面我们通过几个实例来探讨导数在实际问题中求极值与最值的应用。
导数在函数研究中的应用
导数在函数研究中的应用主要体现在以下几个方面：
1. 判断函数的单调性：通过求导数，可以判断函数在某个区间上的单调性。
如果导数大于零，则函数在该区间上单调递增；如果导数小于零，则函数在该区间上单调递减。
2. 寻找函数的极值：当导数等于零的点称为极值点，函数在该点取得极值。
通过求导数并令其等于零，可以找到函数的极值点。
3. 判断函数的凹凸性：通过求二阶导数，可以判断函数的凹凸性。
如果二阶导数大于零，则函数在该区间上凹；如果二阶导数小于零，则函数在该区间上凸。
4. 解决最优化问题：通过求导数，可以找到函数的最小值或最大值。
例如，在经济学中，可以使用导数来求解边际成本、边际收益等最优化问题。
5. 应用于物理学：在物理学中，导数是研究运动和力学的重要工具。
例如，速度是位移对时间的导数，加速度是速度对时间的导数。
因此，知道这些概念可以帮助我们更好地理解物体的运动和力学。
6. 应用于工程学：在工程学中，构造函数和导数是设计和优化产品和系统的重要工具。
例如，可以使用导数来优化工程材料的强度和刚度。
7. 应用于统计学：在统计学中，一些重要概念如概率密度函数和累积分布函数也可以使用导数来求解。
总之，导数是数学中非常重要的概念，它在许多领域中都有广泛的应用。
导数在函数单调性、极值中的应用
,右侧
,则
点a叫做函数的极小值点,f(a)叫做函数的极小值.
(2)函数的极大值
若函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数
值 ,且f'(b)=0,而且在点x=b附近的左侧
,右侧
,则
点b叫做函数的极大值点,f(b)叫做函数的极大值,
和
统
称为极值.
返回目录 按Esc键退出
1. 作出结论:f'(x)>0时为增函数;f'(x)<0时为减函数. ○ 请做[针对训练]1
返回目录 按Esc键退出
二、函数的极值与导数
【例2】 已知函数f(x)=x3+mx2+nx-2的图象过点(-1,-6), 且函数g(x)=f'(x)+6x的图象关于y轴对称.
1. 求m,n的值及函数y=f(x)的单调区间; 2. 若a>0,求函数y=f(x)在区间(a-1,a+1)内的极值.
返回目录 按Esc键退出
添加标题
解:f'(x)=3x2+a,g'(x)=2x+b.
添加标题
由题意知f'(x)g'(x)≥0在[-1,+∞)上恒成立.
添加标题
因为a>0,故3x2+a>0,
添加标题
进而2x+b≥0,即b≥-2x在区间[-1,+∞)上恒成立,
添加标题
所以b≥2.因此b的取值范围是[2,+∞).
添加标题
综上得:当0<a<1 时,f(x)有极大值-2,
无极小值;
添加标题
当1<a<3时,f(x)有 极小值-6,无极大值;
导数的应用概述
导数的应用概述导数是微积分中重要的概念之一，它描述了函数在某一点的变化率。
导数的应用广泛，涉及到许多领域，如物理学、经济学、工程学等。
本文将对导数的应用进行概述，介绍几个常见的应用场景。
1. 最值问题导数可以用来求函数的最值。
我们知道，在一个可导函数的极值点处，导数为零或不存在。
因此，通过求函数的导数，并解方程找到导数为零的点，我们可以确定函数的极值点。
然后通过二阶导数的符号来判断极值点的类型，是极大值还是极小值。
例如，我们有一个函数f(x)表示某商品的需求曲线，通过求导并解方程f'(x)=0，可以找到最大需求和最小需求的价格。
2. 切线与法线导数还可以用来求函数图像上的切线和法线。
切线是函数图像在某点的斜率，而斜率恰好就是该点处的导数值。
因此，我们可以通过求导得到函数在某点处的导数，从而得到该点的切线。
例如，我们有一个位置函数s(t)，表示某物体在时间t时的位置。
通过求导得到速度函数v(t)，我们可以知道在任意时间t时物体的速度，进而得到该时刻物体运动轨迹上的切线。
3. 函数图像的变化趋势函数的导数还可以用来描述函数图像的变化趋势。
根据导数的正负性，可以判断函数在某一区间上是递增还是递减。
例如，对于函数f(x)，如果在某区间上导数大于零，则说明函数在该区间上递增；如果导数小于零，则说明函数在该区间上递减。
这样，我们就可以通过函数的导数来判断其图像的升降性，并画出函数的大致图像。
4. 曲线的凹凸性导数的二阶导数可以判定函数图像上的曲线是凹还是凸。
具体地说，如果函数的二阶导数大于零，则函数图像是凹的；如果二阶导数小于零，则函数图像是凸的。
例如，对于函数f(x)，我们可以通过计算它的二阶导数f''(x)来判断函数图像在某一区间上的凹凸性。
这个判断对于模型的建立和问题的分析具有重要作用。
综上所述，导数作为微积分的重要工具，具有广泛的应用。
通过求导，我们可以解决最值问题、求切线和法线、描述函数图像的变化趋势以及判断曲线的凹凸性等。
高中数学知识点总结导数的应用之函数的极值与最值
高中数学知识点总结导数的应用之函数的极值与最值高中数学知识点总结：导数的应用之函数的极值与最值在高中数学中，导数是一个重要的概念和工具，它被广泛应用于各个数学领域。
其中的一个应用就是求解函数的极值与最值。
本文将针对这一知识点进行总结和讨论。
I. 导数和极值函数的极值指的是函数在某个区间上的最大值或最小值。
在求解极值问题时，我们可以利用导数的性质来进行分析和计算。
下面是一些常见的求解函数极值的方法：1. 极值的必要条件若函数f(x)在x=a处取得极值，那么导数f'(a)存在，且f'(a)=0，或者导数不存在（函数在该点有间断点或者不可导）。
2. 极值的充分条件若函数f(x)在x=a点的左右两侧导数符号相反，即f'(a-)和f'(a+)异号，那么f(x)在x=a处取得极值。
- 若f'(a-)>0且f'(a+)<0，那么极值为极大值；- 若f'(a-)<0且f'(a+)>0，那么极值为极小值。
3. 临界点和拐点临界点是指导数为零或不存在的点，对于一元函数来说，临界点多对应于函数的极值点。
拐点是指在函数图像上出现凹凸性突变的点，即曲线的凸度方向改变的点。
II. 求解函数的极值步骤在应用导数求解函数极值时，一般需要按照以下步骤进行：1. 求取函数f(x)的导数f'(x)。
2. 解方程f'(x)=0，求得导数为零的临界点。
3. 利用极值的充分条件，对临界点进行分析判断。
4. 若需要，进一步计算临界点处的函数值和边界点处的函数值进行比较。
5. 得到函数的极值。
III. 求解函数的最值函数的最大值和最小值称为最值，求解最值问题需要考虑函数的定义域和导数的变化情况。
下面是一些常见的求解函数最值的方法：1. 函数在开区间内求最值若函数f(x)在开区间(a, b)内进行求最大值，我们需要进行以下步骤：- 求取函数f(x)的导数f'(x)。
第17讲导数在函数中的应用——极值与最值
第17讲导数在函数中的应用——极值与最值在数学中，导数是函数在其中一点的变化率。
它对于研究函数的各种特性非常重要。
其中之一就是函数的极值与最值。
通过求解导数，我们可以找到函数的极值点和最值，这对于优化问题和在实际应用中的最优解是非常有用的。
首先，我们来定义什么是极值和最值。
在一个给定的区间内，如果函数在其中一点的导数存在，并且导数的值为0或者不存在，那么这个点就是函数的极值点。
如果在整个区间内，函数的值在该点的左边都小于这个点的函数值，而在该点的右边都大于这个点的函数值，那么该点是函数的极小值点；反之，如果在整个区间内，函数的值在该点的左边都大于这个点的函数值，而在该点的右边都小于这个点的函数值，那么该点是函数的极大值点。
而最大值和最小值则是函数在一个给定的区间上的最大值和最小值。
注意，极值点不一定是最大值或最小值，因为函数可能在其它点上也可以取到相同的函数值。
下面，我们来看一些具体的例子。
例子1：求函数$f(x)=x^3-3x^2+2$在区间$[-1,2]$上的极值和最值。
首先，我们求出函数$f(x)$的导数：$f'(x)=3x^2-6x$。
然后令导数等于0，解方程$3x^2-6x=0$，得到$x=0$和$x=2$。
将这两个解代入到原函数$f(x)$中，我们得到$f(0)=2$和$f(2)=2$。
接下来我们要找到$x=-1,0,2$三个点之间的最大值和最小值。
我们可以通过描绘函数的图像来直观地找到答案。
根据图像，我们可以看出当$x=-1$时，$f(x)$取到最大值2；当$x=2$时，$f(x)$取到最小值-2所以在区间$[-1,2]$上，函数$f(x)$的极大值为2，极小值为-2，最大值为2，最小值为-2例子2：求函数$f(x)=x^4-2x^3-6x^2+12x$在区间$[-2,3]$上的极值和最值。
首先，我们求出函数$f(x)$的导数：$f'(x)=4x^3-6x^2-12x+12$。
导数的应用最值问题
导数的应用最值问题导数作为微积分中的重要概念，被广泛应用于许多数学和科学领域，尤其在求解函数的极值问题中发挥着重要作用。
通过导数的计算和分析，我们可以确定函数在给定区间内的最大值和最小值，解决许多实际问题。
本文将从理论基础、方法介绍、具体案例等方面，深入探讨导数在最值问题中的应用。
一、理论基础在研究导数的应用最值问题之前，我们首先需要了解导数的定义和性质。
导数描述了函数在某一点的变化率，也可以理解为函数曲线在某一点的切线斜率。
对于函数f(x)，它的导数可以表示为f'(x)，也可以用dy/dx或df/dx表示。
导数的计算可以通过求导公式、导数的性质以及基本函数的导数法则来完成。
二、方法介绍为了求解导数的应用最值问题，我们可以采用以下方法：1. 导数判定法：通过求导得到函数的导数，然后找出导数为零或不存在的点，可以确定函数的极值点。
具体方法是将导数等于零或不存在的点带入原函数，得到相应的函数值，进而确定函数的极值。
2. 区间分析法：在给定的区间内，通过求导和导数的性质，可以计算出函数在区间内的所有驻点（导数为零点和导数不存在点），然后带入原函数进行比较，得出最大值和最小值。
3. 边界分析法：当给定区间的边界值由于实际问题的限制已知时，可以将边界值带入原函数计算，然后通过比较得到最大值和最小值。
三、具体案例为了更好地理解导数在应用最值问题中的具体应用，我们来看一个例子：问题：一个长为10米的长方形围成的园地，围墙的一面沿直线河岸修筑，而其他三面用篱笆修筑。
如何设计河岸到圆墙的距离x，使得园地面积最大？解题思路：设河岸到圆墙的距离为x，园地的宽度为y。
我们需要求解园地的最大面积，即求解函数A(x) = xy的最大值。
由于园地的长为10米，所以有x+y=10。
1. 变量消去法：通过将固定的条件x+y=10代入函数A(x)中，得到A(x) = x(10-x)。
将A(x)化简为A(x) = 10x - x^2的形式。
专题08导数在研究函数图像与性质中的综合应用
专题08导数在研究函数图像与性质中的综合应用导数在研究函数图像与性质中的综合应用导数是微积分的重要概念，广泛应用于研究函数的图像与性质。
导数可以描述函数的变化率、切线斜率以及函数的极值等重要特征，从而揭示函数的规律和性质。
在研究函数图像与性质时，导数的综合应用具有重要的意义。
本文将重点讨论导数在研究函数极值、函数图像的凹凸性以及函数的增减性方面的应用。
一、导数在研究函数极值中的应用函数在极值点处的导数为0或不存在，通过研究导数与函数的极值点的关系可以求得函数的极值。
设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导且在(a,b)内有唯一的极值点c，则f'(c)=0或f'(c)不存在。
通过求导数并解方程f'(x)=0，可以求得函数的极值点。
当f'(x)存在于(c-d,c)时，f'(x)>0；当f'(x)存在于(c,c+d)时，f'(x)<0。
另外，对于开区间(a,b)，当f'(x)>0时，函数单调增加；当f'(x)<0时，函数单调减少。
这些定理可以帮助我们更好地研究函数的极值点及其周围的函数性质。
二、导数在研究函数图像的凹凸性中的应用导数的符号可以判断函数图像的凹凸性。
设函数f(x)在(a,b)上连续，在(a,b)内具有二阶导数，则有以下结论：1.当f''(x)>0时，函数在(a,b)上凹；2.当f''(x)<0时，函数在(a,b)上凸；3.当f''(x)≥0时，函数在(a,b)上上凹；4.当f''(x)≤0时，函数在(a,b)上上凸。
根据上述结论，我们可以通过求导数和二阶导数，来判断函数在不同区间上的凹凸性。
凹凸性的判断对于研究函数图像的形状和特点非常重要，可以帮助我们更好地理解函数的性质。
三、导数在研究函数的增减性方面的应用导数可以判断函数的增减性。
导数在求值(极值、最值)中的应用
导数在求值(极值、最值)中的应用一、预备知识1．若函数f(x)在闭区间〔a，b〕上连续，根据闭区间连续函数的性质，函数f(x)在闭区间〔a，b〕上必取到最大值与最小值．而最大点或最小点可能在区间端点a或b 上；也可能取在开区间(a，b)内部某点上，此时的最大点即为极大点；最小点即为极小点．因此，函数f(x)在闭区间〔a，b〕上连续，在开区间(a，b)内可导，且x1，x2，…，x n是函数f(x)在开区间(a，b)内的所有驻点(隐定点)，则函数值f(a)，f(x1)，f(x2)，…f(x n)，f(b)中最小者就是函数f(x)的最小值；最大者就是函数f(x)的最大值．2．若函数f(x)在有界开区间(a，b)或无界开区间(a，+∞)(或(－∞，b))上可导，且x1，x2，…，x n是函数f(x)在开区间(a，b)或(a，+∞)(或(－∞，b))的所有驻点(隐定点)，设：存在；f(x i)=max{f(x1)，f(x2)，…，f(x n)}，f(x j)=min{f(x1)，f(x2)，…，f(x n)}．则f(x i)为最大值，则f(x j)为最小值．二、应用例题f(x)=(x+b+c)3－(x+b－c)3－(b+c－x)3－(c+x－b)3．f′(x)=3〔(x+b+c)2－(x+b－c)2+(b+c－x)2－(c+x－b)2〕=24bc．对上式求原函数，有.f(x)=∫24bcdx=24xbc+c则c1=f(0)=(b+c)3－(b－c)3－(b+c)3+(b－c)3=0，从而f(x)=24xbc或f(a)=24abc．为定值．证明设M(x，y)是星形线上任一点，将星形线方程对x求导，得过点M的切线l方程为令Y=0，则得l在x轴上截距令X=0，则得l在y轴上截距于是，二坐标轴所截线段长为例3已知p1，p2，…，p n∈N，a1，a2，…，a n∈R+，且p1a1+p2a2+…解不失一般性，令a1=min{a1，a2，…，a n}，a n=max{a1，a2，…，a n}，p=p1+p2+…+p n，则将a2，a3，…，a n看作常量，a1看作变量，设函数(将a1用x表示)则为所求的最小值．例6从半径为R的圆形铁片中剪去一个扇形(如图)，将剩余部分围成一个圆形漏斗，问剪去的扇形的圆心角多大时，才能使圆锥形漏斗的容积最大？解设剪后剩余部分的圆心角是x(θ≤x≤2π)．圆锥形漏斗的斜高是R，圆是圆锥的底面积S是于是，圆锥的体积是下面求函数V(x)在〔0，2π〕上的最大值．例7测量某个量A，由于仪器的精度和测量的技术等原因，对量A做了n次测量，测量的数值分别为a1，a2，…，a n取数x作为量A的近似值，问x取何值才能使x与a i(i=1，2，…，n)之差的平方和为最小？解由题意，求函数f(x)=(x－a1)2+(x－a2)2+…+(x－a n)2的最小值．f′(x)=2(x－a1)+2(x－a2)+…+2(x－a n)=2〔nx－(a1+a2+…+a n)〕f″(x)=2n＞0，值作为量A的近似值，才能使函数f(x)取最小值．例8一个容器，下半部是圆柱，上半部是半球，且圆柱底面半径和半球的半径相等，设容器表面积为S，问圆柱的高与底面半径之比为何值时，容器的容积最大．解设圆柱的高为h，底面半径为r，则容器的容积为将(*)式代入上式，整理得例9设有底为等边三角形的直柱体，体积为V，要使其总面积为最小，问底边的长应为多少？等边三角形的直柱体总面积为例10求内接于半径为R的球的体积最大的圆柱体的高．解设球的内接圆柱体的高为h(如图)，则圆柱体底面半径圆柱体体积为例11要使内接于一个半径为R的球内的圆锥体的侧面积为最大，问圆锥体的高应为多少？解设球的内接锥体的高为h(如图)，则锥体底面的圆半径所以圆锥体的侧面积为例12平面上通过一个已知点P(1，4)引一条直线，要使它在两个坐标轴上的截距都为正，且它们的和为最小，求这直线的方程．解过点p(1，4)且斜率为k的直线方程为设两截距之和为S，则所以极小值即为最小值，故所求的直线方程为例13求内接于半径为R的半圆的周长最大的矩形的边长．例14要做一个圆锥形漏斗，其母线长20厘米，要使其体积为最大，问其高应为多少？漏斗的体积为例15 三个点A、B和C不在同一直线上，∠ABC=60°，汽车以80公里/小时的速度由A向B行驶，同时火车以50公里/小时的速度由B向C行驶．如果AB=200公里，问运动开始几小时后汽车与火车的距离为最短？解设运动t小时后，汽车行至D点，火车行至E点，两车的距离为DE=S(如图)，则例16在一半径为R的圆形广场中心挂一灯，问要挂多么高，才能使广场周围的路上照得最亮？(灯光的亮度与光线投射角的余弦成正比，与光源距离的平方成反比，而投射角是经过灯所作垂直于地面的直线与光线所夹的角)．解设灯位于Q点离地面的高度为h(如图)，则广场周围的路上，灯光的亮度为例17有甲乙两城，甲城位于一直线形的河岸，乙城离岸40公里，乙城到岸的垂足与甲城相距50公里，两城在此河边合建一水厂供水，从水厂到甲城与乙城安装水管费用分别为每公里500元与700元，问此水厂建在河边何处，才能使安装水管费最省？解设水厂建在离甲城x公里(如图)，则安装水管费为令S′(x)=0，即渔站．如果送信人步行每小时5公里，船速每小时4公里，问应在何处登岸再走，才可使抵达渔站的时间最省？解设渔艇停泊在A处，海岸渔站位于B处(如图)，过A且垂直于海岸线交于C，令T′(x)=0，即于是登岸处距渔站3公里时，所需的时间最省．。
导数的应用于函数的极值与拐点
导数的应用于函数的极值与拐点在微积分中，导数是一个关键概念，用于描述函数的变化率。
它不仅可以帮助我们求解函数的极值，还可以找到函数的拐点。
通过对导数的应用，我们能够更好地理解函数的特性与性质。
本文将介绍导数在函数极值和拐点方面的应用，以及如何利用导数求解这些问题。
一、函数的极值函数的极值指的是函数取得的最大值和最小值。
在函数曲线上，极值出现在函数的局部最高点和最低点。
为了找到这些极值点，我们可以利用导数的概念和性质。
1. 导数的正负性若函数f(x)在某区间(a, b)内连续，并在(a, b)的开区间内可导，那么在该开区间内，如果f'(x)>0，则函数在该区间上是增函数；如果f'(x)<0，则函数在该区间上是减函数。
因此，我们可以通过观察导数的正负性来判断函数的增减性。
当导数从正数转为负数时，函数达到极大值；当导数从负数转为正数时，函数达到极小值。
2. 驻点与极值驻点是指函数的导数等于零的点。
如果函数在某个驻点附近导数的符号在相邻区间内变化（即驻点处导数曲线的切线穿过x轴），则该驻点为极值点。
这是因为在驻点处，函数由增转减或由减转增，表示函数在该点附近取得极值。
3. 临界点临界点是指函数的定义域内的导数不存在或者为零的点。
临界点是找寻函数极值的重要依据之一。
需要注意的是，临界点只是极值的可能出现的位置，并不一定就是极值点。
通过以上方法，我们可以发现函数的极值点，并进一步求解极值点的横坐标和纵坐标，从而得到函数的极值。
二、函数的拐点函数的拐点是指曲线由凹变凸或由凸变凹的点。
类似于函数的极值点，利用导数的概念和性质我们可以找到函数的拐点。
注：以下内容均指可导函数。
1. 凹凸性若函数f(x)在某区间(a, b)内连续，并在(a, b)的开区间内二阶可导，那么在该开区间内函数的凹凸性与二导数的正负相关。
如果f''(x)>0，则函数在该区间上是凹函数（曲线向上凸起）；如果f''(x)<0，则函数在该区间上是凸函数（曲线向下凸起）。