2021届高三数学精准培优专练 平面向量(文) 文科版
2021-2022年高三数学 专题7 平面向量练习
2021-2022年高三数学 专题7 平面向量练习一、前测训练1． (1)已知向量a ＝(0，2)，|b|＝2，则|a －b|的取值范围是 ．(2)若a 是平面内的单位向量，若向量b 满足b ·(a －b)＝0，则b 的取值范围是 ． 答案：(1)[0,4]．(2)[－1,1]． 2．(1)在△ABC 中，∠BAC ＝120，AB ＝2，AC ＝1，点D 是边BC 上一点，DC ＝2BD ，E 为BC 边上的点，且AE ·BC ＝0．则AD ·BC ＝ ；AD ·AE ＝ ．(2)如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60︒，E 为CD 中点， 则−→AE ⋅−→BD ＝ ．(3)已知OA ＝OB ＝2，−→OA ·−→OB ＝0，点C 在线段AB 上，且∠AOC ＝60，则−→AB ·−→OC ＝________________．答案：(1)－83,37．(2)1．(3)8－43．二、方法联想 1．向量的运算方法1 用向量的代数运算．方法2 结合向量表示的几何图形． 2．向量的应用方法 1 基底法，即合理选择一组基底(一般选取模和夹角均已知的两个不共线向量)，将所求向量均用这组基底表示，从而转化为这两个基向量的运算．方法2 坐标法，即合理建立坐标系，求出向量所涉及点的坐标，利用向量的坐标运算解决三、例题分析 [第一层次]例1 （1）若向量a ＝(2，3)，b ＝(x ，－6)，且a ∥b ，则实数x ＝ ． （2）已知a ，b 都是单位向量，a ·b ＝－12，则|a －b|＝ ．（3）已知向量a ＝（－3，2），b ＝（－1，0），且向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值是 ． （4）若平面向量a ，b 满足｜a ＋b ｜＝1，a ＋b 平行于y 轴，a ＝(2，－1)，则b ＝ 答案：（1）－4；（2）3；（3）－17；（4）（－2，2）或（－2，0）．〖教学建议〗一、主要问题归类与方法：ABCDE1．两个非零向量共线的充要条件（坐标形式和非坐标形式）． 2．单位向量与数量积的概念，求模长的基本方法． 3．向量垂直的充要条件（坐标形式和非坐标形式）． 4．坐标形式下向量模长的计算公式． 二、方法选择与优化建议：1．第（2）小题，方法1：将所求模长平方，转化为向量的数量积；方法2可以画图，通过解三角形求解；本题给出了两个向量的模长及数量积，因此方法1求解较为简单．2．第（4）小题，常规方法是设出向量b 的坐标，通过解方程组求解．本题可以抓住向量a ＋b 的两要素，先求出向量a ＋b 的坐标，再求向量b 的坐标，这个解法来得方便，突出了向量的本质．例2 （1）在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，AB ＝3，BD ＝1，则AB →•AD →＝ ．（2）在平面直角坐标系xOy 中，已知OA →＝(3，－1)，OB →＝(0，2)．若OC →·AB →＝0，AC →＝λOB →，则实数λ的值为 ．（3）已知A （－3，0），B （0，3），O 为坐标原点，点C 在第二象限，且∠AOC ＝60°，OC →＝λOA →＋OB →，则实数λ的值是 ．（4）在△ABC 中，已知BC ＝2，AB·AC ＝1，则△ABC 面积的最大值是 ． 答案：（1）152；（2）2；（3）13；（4）2．〖教学建议〗一、主要问题归类与方法：1．解（1）小题可以是基底法（以AB →和BD →为基底），也可以建立直角坐标系用坐标法．2．解（2）小题可以设未知数解方程，也可以画出图形，利用直线方程求解．理解向量共线的意义． 3．平面向量基本定理，利用图形进行分解，通过解三角形求解． 4．平面向量数量积的概念，建立目标函数利用基本不等式求最值．5．解（4）小题还可以用坐标法，得出点A 的轨迹方程，利用图形的直观性求解． 二、方法选择与优化建议：1．解（1）小题显然是基底法简单，因为两个基底向量的模长和夹角都已知． 2．解（4）小题由于建立目标函数有些难度，所以用坐标法求解来得简单易懂．例3 （1） 向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示．若c ＝λa ＋μb （λ，μ∈R ），则λμ＝ ．（2）如图，正六边形ABCDEF 中，P 是△CDE 内（包括边界）的动点．设AP →＝αAB →＋βAF →（α、β∈R ），则α＋β的取值范围是 ． 答案：（1）4；（2）[3，4]． 〖教学建议〗• CDE FP一、主要问题归类与方法：1．问题的本质都是用两个不共线的向量来表示第三个向量．平面向量基本定理，利用图形进行分解，通过解三角形求解．2．解决这一类问题的基本方法为：（1）基底法；（2）坐标法． 二、方法选择与优化建议：1．解决这两题用坐标法优于基底法．2．选用哪一种方法，关键是看其中一个向量用基底来表示是否容易．[第二层次]例1 （1）已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a)∥b ，c ⊥(a ＋b)，则c ＝ ． （2）已知向量a ＝(2，1)，a·b ＝10，︱a ＋b ︱＝52，则︱b ︱＝ ． 变式：平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2，0)，|b|＝1，则|a ＋2b|＝ ．（3）若平面向量a ，b 满足｜a ＋b ｜＝1，a ＋b 平行于y 轴，a ＝(2，－1)，则b ＝ ． （4）在菱形ABCD 中，若AC ＝4，则CA →•AB →＝ ．答案：（1）（－79 ，－73）；（2）5；变式：23．（3）（－2，2）或（－2，0）；（4）－8．〖教学建议〗一、主要问题归类与方法：1．坐标形式下，向量共线、向量垂直的充要条件．2．向量已知了坐标求模长，解决模长问题的基本方法将模长平方转化为数量积．3．第（4）小题的求解，可以是基底法还可以坐标法，基底法的难点选择基底；坐标法的难点是建立合适的直角坐标系．二、方法选择与优化建议：1．第（2）小题，方法1：设向量b 的坐标，通过解方程组求解；方法2：直接对向量(a ＋b)的模长平方求出答案．相对而言，方法2比较简单．2．第（3）小题，常规方法是设出向量b 的坐标，通过解方程组求解．本题可以抓住向量a ＋b 的两要素，先求出向量a ＋b 的坐标，再求向量b 的坐标，这个解法来得方便，突出了向量的本质．3．第（4）小题解法1：基底法，选择CA →和与CA →垂直的12BD →为基底；解法2：以AC 、BD 为；两坐标轴建立直角坐标系．例2 （1）已知正△ABC 的边长为1，→CP ＝7→CA ＋3→CB ，则→CP ·→AB ＝ ．（2）设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ，若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →（λ1，λ2∈R ），则λ1＋λ2的值为__________。
(文科)平面向量测试题-高考经典试题-附详细答案.docx
平面向量专题r r r r1．已知向量a( 5,6) ， b(6,5) ，则 a 与 bA ．垂直B ．不垂直也不平行C．平行且同向 D ．平行且反向2、已知向量a(1， n)， b( 1， n) ，若2a b与b垂直，则a（）A ．1B．2C．2D． 4r r r r r r r r r r3、若向量a, b满足| a | | b |1， a,b 的夹角为60°，则 a a a b =______ ；4、在直角ABC 中， CD 是斜边 AB 上的高，则下列等式不成立的是uuur （A ）ACuuur （C）AB22uuur uuur uuur 2uuur uuurAC AB（ B）BC BA BCuuur uuur uuur 2uuur uuur uuur uuur( AC AB)(BA BC) AC CD（ D）CD uuur 2AB5、在 ? ABC 中，已知 D 是 AB 边上一点，若AD =2 DB，CD =1CA CB ,则= 3211(D) -2(A)(B)(C) -33336、设 F 为抛物线 y2=4x 的焦点， A 、B 、 C 为该抛物线上三点，若FA FB FC =0，则|FA|+|FB|+|FC|=(A)9(B)6(C) 4(D) 3uuur uuur uuur1uuur uuur7、在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD，CA CB，则（）2DB CD321C．12A ．B．3D．333 8、已知O是△ABC所在平面内一点，uuur uuur uuur0 ，那么（D 为 BC 边中点，且2OA OB OC）uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuurＡ． AO ODＢ． AO2ODＣ． AO3ODＤ． 2AO OD9、设a，b是非零向量，若函数 f (x)( xa b) g(a xb) 的图象是一条直线，则必有（）A ．a⊥b B．a∥b C．|a | | b |D．| a | | b |10、若 O、 E、F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是uuur uuur uuurB .uuur uuur uuur uuur uuur uuurA ．EF OF OE EF OF OE C. EF OF OE D .11、设 a=(4,3), a 在 b 上的投影为52,b 在 x 轴上的投影为2,且 |b|＜1,则 b 为2A.(2,14)B.(2,-22D.(2,8)) C.(-2,)77uuur uuur uuurEF OF OE12、已知平面向量a(11)，， b(1， 1) ，则向量 1 a 3b （）22Ａ． (2， 1)Ｂ． ( 2，1)Ｃ． (1，0)Ｄ． (1，2) uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur13、已知向量OA(4,6), OB(3,5), 且 OC OA, AC // OB, 则向量 OC 等于（ A ） 3 , 2（ B） 2 , 4（C）3,2（D ）2,4777217772114、若向量a与b不共线，agb0 ，且c = a -aga b，则向量 a 与 c 的夹角为（）agbA ． 0πC．ππB ．3D ．62uuur uuur uuur15、设A(a,1)，B(2, b)，C (4,5)O 为坐标原点，若为坐标平面上三点，OA 与 OB 在 OC 方向上的投影相同，则 a 与b满足的关系式为（）（ A ）4a5b3（B）5a4b3（ C）4a 5b14（ D）5a4b 14uuur r uuur r uuur r16、在四面体 O-ABC 中，OA a,OB b,OC c, D 为BC的中点，E为AD的中点，则 OE =（用a， b，c 表示）17、已知向量a = 2，4，b = 11，．若向量b(a +b) ，则实数的值是．r r60 ，r r，则r r r，的夹角为a b1ag a b．18、若向量 a b19、如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB ， AC 于不同的两点 M ，N ，若uuur uuuur uuur uuurn 的值为AB mAM ， AC nAN ，则m．ANB O CM20、在平面直角坐标系中，正方形OABC 的对角线 OB 的两端点uuur uuur分别为 O(0，0) ， B(11)，，则 ABgAC．平面向量专题r r r r1．已知向量 a ( 5,6) ， b (6,5) ，则 a 与 bA ．垂直解．已知向量B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向r rr rr ra( 5,6) ， b (6,5) ， a b 30 30 0，则 a 与 b 垂直，选 A 。
高中文科数学平面向量学生版
平面向量高考经典练习题一、选择题1．已知向量(5,6)a =-，(6,5)b =，则a 与bA ．垂直B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向2、已知向量(1)(1)n n ==-，，，a b ，若2-a b 与b 垂直，则=a （ ）A ．1B 2C ．2D ．43、若向量,a b 满足||||1a b ==，,a b 的夹角为60°，则a a a b ⋅+⋅=______；4、在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若123AD DB CD CA CB λ==+，，则λ=（）A ．23 B ．13 C ．13- D ．23-5、若O 、E 、F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是 （ ）A ．EF OF OE =+ B. EF OF OE =-C. EF OF OE =-+D. EF OF OE =--6、已知平面向量(11)(11)==-，，，a b ，则向量1322-=a b （ ）Ａ．(21)--， Ｂ．(21)-，Ｃ．(10)-， Ｄ．(12)-，二、填空题1、已知向量2411()()，，，a =b =．若向量()λ⊥b a +b ，则实数λ的值是．2、若向量a b ，的夹角为 60，1a b ==，则()a a b -= ．3、在平面直角坐标系中，正方形OABC 的对角线OB 的两端点分别为(00)O ，，(11)B ，，则AB AC =．三、解答题： 1、已知ΔABC 三个顶点的直角坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、C(c ，0)．(1)若0AB AC =，求c 的值；(2)若5c =，求sin ∠A 的值2、在ABC △中，角A B C ，，的对边分别为tan 37a b c C =，，，（1）求cos C ；（2）若52CB CA =，且9a b +=，求c ．3、在ABC △中，a b c ，，分别是三个内角A B C ，，的对边．若4π,2==C a ，5522cos=B ，求ABC △的面积S ．4、设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2sin a b A =．（Ⅰ）求B 的大小； （Ⅱ）若33a =，5c =，求b ．5、在ABC △中，1tan 4A =，3tan 5B =． （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若ABC △17。
高三数学(文科)试题.doc
高三数学（文科）试题（平面向量）本卷分第一卷和第二卷两部分，共21个小题．满分150分，时量120分钟第一卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将你认为正确选项的代号填在第二卷相应题号下的空格内 1、 设点P 在有向线段AB 的延长线上，P 分AB 所成的比为λ，则1.-<λA 01.<<-λB 10.<<λC 1.>λD2、 把函数542++=x x y 的图象按向量平移后得2x y =的图象，则=)1,2.(-A )1,2.(-B )1,2.(--C )1,2.(D3、 b a c +===,21，且⊥，则向量与的夹角为︒30.A ︒60.B ︒120.C ︒150.D4、 在ABC ∆中，),3,2(),1,(,90===∠︒AC k AB C 则k 的值是5.A 5.-B 23.C 23.-D5、 已知向量),5(),2,2(k =-=+不超过5，则k 的取值范围是]6,4.[-A ]4,6.[-B ]2,6.[-C ]6,2.[-D6、 O 是ABC ∆所在平面内一点，若=++，则O 是ABC ∆的.A 内心 .B 外心 .C 垂心 .D 重心7、ABC ∆中，B A >是B A sin sin >的.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件.C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件8、已知向量)1,3(),sin ,(cos -==θθ，则-2的最大值、最小值分别是0,16.A 0,4.B 22,4.C 0,24.D 9、 已知ABC ∆及所在平面内一点P 满足=++，则点P 与ABC ∆的关系为P A . 在ABC ∆内部 P B .在ABC ∆外部P C .在AB 边所在直线上 P D .是AC 边的一个三等分点10、ABC ∆中，三个内角满足C B A +=2，且最大边与最小边分别是方程032122=+-x x的两个根，则ABC ∆外接圆面积为π16.A π64.B π124.C π156.D二、填空题11、函数x y 3sin =的图象按向量)1,6(π-=平移后的图象的解析式为12、在ABC ∆中，,2)sin()cos(=++-B A B A 则ABC ∆的形状是 13、已知两点)3,2(),2,1(21--P P ，点)1,(x P 分21P P 所成的比为λ，则=λ14、已知,均为单位向量，它们的夹角为︒60+=15、在ABC ∆中，︒︒=∠=∠=75.45,3C A AC ,BC 的长为高三数学（文科）试题（平面向量）第二卷一、选择题答题卡：每小题5分，共50分．二、填空题：每小题4分，共20分．11、 ；12、13、 ； 14、 ； 15、 ．三、 解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤 16、（本小题满分12分） 在直角坐标系xoy 中，已知点)22cos 2,1cos 2(++x x P 和点)1,(cos -x Q ，其中],0[π∈x 若向量OP 与垂直，求x 的值。
高考文科数学精准培优专题八平面向量 含答案
平面向量培优点八 1．代数法??aaba??a=3a bb3=2b在），：已知向量方向上的投影为，，则，满足且（例133333? C．．．A．3 BD?22【答案】C ba?aa bb，上的投影为，所以只需求出【解析】考虑在即可．b????2baa??0b??aa?b??aa?由可得：，a?b?933???9a???b，故选所以C．进而．b223．几何法2a?2ab?b=aa?b??b_______，则：设．，是两个非零向量，且2例【答案】32a ba?b为平行四边形的一组邻边和一条对角线，，，【解析】可知a?b?a?b?2a?2o的菱形，由，边长可知满足条件的只能是底角为60从而可求出另一条对角线的长度为．3a?233．建立直角坐标系uuuvuuuvuuvuuuvuuuvuuuvABC中，设，，则__________：例3在边长为1的正三角形．CECA?2BD3?BC?EAD?B A EBCD uuuvuuuv1AD?BE??【答案】4【解析】上周是用合适的基底表示所求向量，从而解决问题，本周仍以此题为例，从另一个角度解题，观察到本题图形为等边三角形，所以考虑利用建系解决数量积问题，??311????,0,0CB?A0,，，如图建系：，????????222??????vuuvuuu??131????y?,CE?xyx,E,CA??下面求坐标：令，，∴，??E????222????11?1?????x?3?x??????22313vuvuuuu????,E?由可得：，∴，????CE3CA???6333?????y?3y??6?2?uuuvuuuv vuuuuvuu????3531,BE??0,?AD?BE?AD?．，∴，∴????????2664????对点增分集训一、单选题?aa2??1ba?b?bbba垂直，则实，，且向量，满足．已知向量，若，的夹角为与14?数）的值为（1122? B．D A．C．．?2244D【答案】?2??2?cos?2a?b?1????????4a?0b?b?2?【解析】因为D．，故选，所以44 a21ab???b?ba7b?a?．已知向量2，）满足，则，，（．2． B1 A．．CD 32A【答案】．2221a?b?7??b4?2a2a?b?a?b?a?b?1?．故选由题意可得：A【解析】．，则1AB?AM ABCD o，，点在边上，且3．如图，平行四边形，中，，AB21AD??ABM60??A3vuuuuuuuv）（则??DBDM33． B．1 CD．A．?1?33B【答案】uvuuuvuuuvuuuvuuuvuuu11vuvuuuuuuvuuAM?ABDM?AM?AD?AB?AD，，【解析】因为，所以ADAB?DB?33uuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuv411????22ADAD??AB?AB??BM?AB?AD?AB?A DDB则??333??141??4??2?1??1?1．故选B．332uuuvuuuv△ABCACO是边的中点，若是边，4．如图，在的中线，，则中，BEBEbACAB?a?uuuv（）?AO11111111a??a?bbba?ba B ． D．．CA．44222442【答案】B uuuuvvuu1AEAC?AC△ABC的中线，所以【解析】由题意，在中，，是边BE2uuuvuuuvuuuv1??AEAB?AO?O又因为，是边的中点，所以BE2vuvuuuvuuuvuuuuuuvuu11111??b??AB?AE?a?AO?ABAE．所以，故选B42222Q2BC??1AB?∥ABCDABCDCD o分别，，．在梯形5和中，，，动点P120?BCD?vuuuvuuuvuuuuuuv1vuuuuuvDCDQ?CDBC，和上，且的最大值为（），则在线段BQAP??BC?BP?8．933?D．． C．BA．2?428D【答案】2CD?1AB?BC?AB∥CD o，【解析】因为，，，120??BCD??ABCD30?BCM，是直角梯形，且所以，3?CMyx所在直线为轴，以轴，建立如图所示的平面直角坐标系：以所在直线为ADABvuuuvuuu1vuuuvuuQDQ?DC CDBC，上，分别在线段和因为，动点和P?BC?BP?81???????????3Q，01?，02，B3,P2?则，，，，???8??vuuuuuuv111?????????4??2，3??AP?BQ2?5，3?所以，????884??11?????01，????4?f5??，且令?84??1时可取得最大值，由基本不等式可知，当119??????41??f5?f??．故选D．则max488uuvuuuv2AC?AB?4?BACABC?60△?AC 上任意一点，，则6．已知，为线段，中，PPB?PC的范围是（）9????????，?4?4，042，14，．D A ．．C． B??4??【答案】C2AC?AB?4?△BACABC?60?，中，，根据题意，【解析】，2ABC△12?4?2??cos60?24BC??16?32BC?为直角，即则根据余弦定理可得．∴三角形????yx，02A0，2C3BC轴建立坐标系，则为原点，以，，轴，为为BBA．yx??1??32x?0?AC的方程为．，则线段232vuuuvuu3410??????yP,x222，则．设，??PBx?x?4PC?y，23?x?y?x??yx?23x?33uvuuvuu94PC???PB?．．故选∵，∴C320?x?42????aa0?3a?2a?bb?bb 7．已知非零向量的夹角为（，，则且与，满足）b?a2?3??? C．．A． B．D244A【答案】2????????a0?3ba?0?a?b2?a?bb?3a?2b非零向量且，，则，满足，【解析】b?a222?220cos??2b3a?a?b?∴，，∴03a?a?b?2b?2122?，∴0?2bb?b?b3??cos?22??2a???b．，的夹角为，故选，∴∴A与?cos442uuvuuvuaPQ?2aRt△ABCBC?，以为中点的线段（中斜边）则，8．在的最大值为QCBP?A B．A． 0 C．．2D2?22B【答案】CA?BCRt△ABC?aBA，∴中斜边【解析】∵在，aPQPQ?2∵为线段，中点，且Avvuuvuuvuuuuuuvuuuvuuvuuuvuuvuu??22222?cos?a??a??CA?a?AQBA?CA?a?AQ?CBAQBA??a?? AQ??∴原式，vvuuuuu?1?cos B．时，有最大值，当．故选0CQ??BP1o cac1ba??0?6,b?a?cc?a?b?b的最大值等于，满足，，则，，9．设向量，2（）．2． B．A1．CD 32．D【答案】1vuuuvuuuuuv o a?c,b?c?60?b?a?，，，因为，【解析】设，c OC?a?OB b OA?2?AOB?120??ACB?60?OC四点共圆，，所以，，，，所以BAuuuvuuuv22??22AB?3，因为，所以，3?ab?b??a?2aAB??b ab?AB?AB?22R?OC四点的圆的直径为2，，由正弦定理知，即过，，BA sin120?c的最大值等于直径2，故选D．所以ac c?2c?a?b ba?b的取值范围为（，10．已知与）为单位向量，且满足则，向量????22?2,2?21,1?． BA．????????222,3?23?2,22 DC．．????【答案】B??????ayxc1,0?b?0,1,a?0a?b?b，，可设，，是单位向量，，【解析】由??c2b?c?a??2y?1,x?1，，∴满足由向量??22????22????1,1C4x?1??y?1，即，∴，半径，其圆心2?r21x?1???y222OC?．故选B，∴．∴2??c?x??y22?2uuuvvuuuvuuuuuuuuuvv ABCD3，，则上投影的数量分别为在11．平行四边形上的中，，在1?BCACBDABBD投影的取值范围是（）????????????1,??1,30,0,3 B．． D CA．．A【答案】??,0aB，【解析】建立如图所示的直角坐标系：设???????aa?131,DC3,ba?b?a?2．，解得，则，则．uuuvvuuuvuuu????2??bC3,D1,cos1cobBM?BD．在，，所以上的摄影BCBD??0BM?????1b???b?0cos??1BM，故选A．，当时，当，得到：，时，BCABC上的点，且是线段中，12．如图，在等腰直角三角形，，ED2?AC?AB1uuuvuuuvDE?BC，则的取值范围是（）AE?AD38448884????????,??,,, D ．A．C ．．B????????3339393????????【答案】A yx BCBC轴建立平面直角坐标系，所在直线为的中垂线为轴，以【解析】如图所示，以21????????????Ex?,0?1?x?,0?CD1,0A1,00,1xB．，则则，，设，，????33????uuuvuuuv2????AE?x?,?11,AD??x，据此有，??3??2uuuvuuuv218??2AD?AE?x?x?1?x??．则??339??81uuuvuuuvx??时，取得最小值；据此可知，当AEAD?3914uuuvuuuv?x1??x时，取得最大值或；当AE?AD3384uuuvuuuv??,．故选A．的取值范围是AE?AD??39??二、填空题?????????b?2a∥c?ba?1,2?2,2?1,c??．________，则，若，，．已知向量13．1【答案】2??????4,22a2a??1,2bb??2,?，，【解析】因为，所以1?????b2ac?c1,∥????2?4又，即，则，且．2??aa b?1a??aa bb2b?，且的夹角为，则满足，__________14．若向量与，．3?【答案】4????0a?a?ba?b?a?2【解析】由，即得，，0ba?a??122a?,b?a?b?a?b?cosa???a,b?cos，据此可得，∴221?3??aa?0,?bb．与的夹角为的夹角的取值范围为又，故与4uuuvuuuv ABCDCD上的一个动点，则求是的最大值为的边长为2，15．已知正方形EBDAE?________．【答案】4uuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuv【解析】设，则，???ABAD?AE?ADDE??DC?DEAB?uuuvuuuvuuuv又，AB?AD?BDuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuv????22??????41?AB?ADAD?AB?A D?AB?AD?AB??4??AE?BD∴，uuuvuuuv???0?10?时，取得最大值4∵，故答案为4．，∴当BDAE?uuvuuuv ABAC?2PPB?PC?30??ABC△?C90?B?的中，，为线段上一点，则，，．在16取值范围为____．??3,27【答案】??yx CACCB轴建立直角坐标系，【解析】以为坐标原点，，所在直线为，xy????????10,2A0,0C3,02B，可得，，则直线的方程为，AB232uuvuuuvx????????2yyP,xy,?23?PB?xy,PC??x?，，，设，，则3?20?x3uuvuuuv??222??则|y?2PC2xPB??23?2x??22212x?3x12?42?4???4x8?4y?83x???3??2??35163162?40x?28?x?x??3，????4333??uuvuuuv35??CPB?P为，由最小的，可值得30,2?x???4vvuuuuuPCPB?时，则的最大值为vuuuuuv????PC?PB773,23,2的取值范围为．故答案为．即????。
高三数学一轮专题突破训练：《平面向量》(文)及答案
山东省2021届高三数学文一轮复习专题突破训练平面向量一、选择、填空题1、（2015年高考）过点P （1，）作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则= .2、（2014年高考）已知向量(1,3),(3,),a b m ==.若向量,a b 的夹角为6π，则实数m = （A ）32 （B ）3（C ）0（D ）3-3、（2013年高考）在平面直角坐标系xOy 中，已知OA →＝(－1，t)，OB →＝(2，2)．若∠ABO＝90°，则实数t 的值为________．4、（滨州市2015届高三一模）若向量(3,6),(4,2),(12,6)u v w =-==--，则下列结论中错误的是（ ）A ．u v ⊥B ．v w ⊥C ．3w u v =-D ．对任意向量AB ，存在实数,a b ，使AB au bv =+5、（德州市2015届高三一模）已知两个单位向量a ，b 的夹角为60º，c ＝（1－t ）a ＋t b ，若b ·c ＝0，则t ＝＿＿6、（菏泽市2015届高三一模）在实数集R 中，我们定义的大小关系“>”为全体实数排了一个“序”类似的，我们在平面向量{|(,),,}D a a x y x R y R ==∈∈上也可以定义一个称“序”的关系，记为“”，定义如下：对于任意两个向量111222(,),(,)a x y a x y ==，“12a a ”当且仅当“12x x >”或“12x x =且12y y =”，按上述定义的关系“”，给出如下四个命题：①若12(1,0),(0,1),0(0,0)e e ===，则120e e②若1223,a a a a ，则13a a ；③对于12a a ，则对于任意12,a D a aa a ∈++；④对于任意向量0,0(0,0)a=，若12a a ，则12a a a a ⋅>⋅其中真命题的序号为7、（莱州市2015届高三一模）已知ABC ∆的重心为G ，角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，若2330aGA bGB cGC ++=，则sin :sin :sin A B C =A.1：1:1B. 3:23:2C. 3:2:1D. 3:1:28、（莱州市2015届高三一模）设点()()1122,,A x y B x y 、是函数()()12y f x x x x =<<图象上的两端点.O 为坐标原点，且点N 满足()()1,ON OA OB M x y λλ=+-，点在函数()y f x =的图象上，且满足()121x x x λλ=+-（λ为实数），则称MN 的最大值为函数()y f x =的“高度”.函数()221f x x x =--在区间[]1,3-上的“高度”为9、（青岛市2015届高三二模）已知不共线的平面向量，满足，，那么|= 2．10、（日照市2015届高三一模）如右图，在4,30,ABC AB BC ABC AD ∆==∠=中，是边BC 上的高，则AD AC ⋅的值等于A.0B.4C.8D. 4-11、（山东省实验中学2015届高三一模）已知正方形ABCD 边长为2，E 为CD 中点，F 为AD 中点，则12、（泰安市2015届高三二模）如图，A ，B 分别是射线OM ，ON 上的两点，给出下列向量：①+2；②+；③+；④+；⑤﹣，若这些向量均以O 为起点，则终点落在阴影区域内（包括边界）的有（）A ． ①②B ． ②④C ． ①③D ． ③⑤13、（潍坊市2015届高三二模）已知G 为△ABC 的重心，令a AB =，b AC =，过点G 的直线分别交AB 、AC 于P 、Q 两点，且a m AP =，b n AQ =，则nm 11+=__________． 14、平面四边形ABCD 中+=0,(-)=0AB CD AB AD AC ，则四边形ABCD 是A ．矩形B ．正方形C ．菱形D ．梯形15、两个非零向量a ，b 满足||2||||a b a b a=-=+，则向量a b +与a 的夹角为A ．6πB ．3πC ．32π D ．65π 16、已知△ABC 的面积为2，在△ABC 所在的平面内有两点P Q 、，满足0,2PA PC QA BQ +==，则APQ ∆的面积为（A ）12（B ）23（C ）1 （D ）2二、解答题1、（青岛市2015届高三二模）已知向量，，实数k为大于零的常数，函数f （x ）=，x∈R，且函数f （x ）的最大值为．（Ⅰ）求k 的值；（Ⅱ）在A 中，A 9分别为内角A 2所对的边，若＜A ＜π，f （A ）=0，且b=2，a=2，求的值．2、（潍坊市2015届高三二模）已知向量)0)(1,(cos ),cos ,sin 3(2>=-=ωωωωx x x ，把函数21)(+⋅=x f 化简为B tx A x f ++=)sin()(ϕ的形式后，利用“五点法”画)(x f y =在某一个周期内的图像时，列表并填入的部分数据如下表所示：x12π127π ①ϕ+tx0 2π 23π π2)(x f11-（Ⅰ）请直接写出①处应填的值，并求ω的值及函数)(x f y =在区间]6,2[ππ-上的值域； （Ⅱ）设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知1)62(=+πA f ，2=c ，7=a ，求BC BA ⋅．3、在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c,若向量()()1cos ,sin ,cos ,sin ,.2m B C n C B m n =-=--⋅=且（I ）求角A 的大小；（II ）若4,b c ABC +=∆的面积3S =，求a 的值.参考答案一、选择、填空题 1、【答案】32考点：1.直线与圆的位置关系；2.平面向量的数量积. 2、【解析】：()22333cos ,2933393a b ma b a b a b m m m m ⋅=+⋅==+∴=+=答案：B3、5 [解析] 由题意得AB →＝OB →－OA →＝(3，2－t)，又∵∠ABO＝90°，∴OB →·AB →＝2×3＋2(2－t)＝0，解得t ＝5. 4、C5、－16、①②③7、B8、49、解答： 解：；∴；；∴；∴． 故答案为：．10、答案 B.解析：因为4,30AB BC ABC ==∠=，AD 是边BC 上的高, AD =2，所以1()2442AD AC AD AB BC AD AB AD BC ⋅=⋅+=⋅+⋅=⨯⨯=,故选B.11、012、解答： 解：∵过A 作ON 的平行线AC ，并且使得AC=2OB ， 根据向量加法的三角形法则，得到和向量的终点不在阴影OAB 里，如图1所示，∴①不满足条件；∵取OA 的中点D ，过D 作DE 平行于ON ，使得DE=OB ， ∵过D 且与ON 平行的线交AB 于F ，DF=OB ∴DE＜DF ，∴F 在阴影AOB 里，如图2所示，∴②满足条件；在OA上取点H，使得AH=OA，过H作OB的平行线交AB于I，则HI=OB＜OB，+对应的终点J在阴影OAB外，如图3所示，∴③不满足条件，同理，+对应的终点在阴影OAB内，④满足条件；﹣对应的终点Z不在阴影OAB内，如图5所示，∴⑤不满足条件；综上，满足条件的是②④．故选：B．13、314、C15、B16、B二、解答题1、解答： 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由已知==…（5分）因为x∈R，所以f（x）的最大值为，则k=1…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，所以化简得因为，所以则，解得…（8分）所以化简得c2+4c﹣32=0，则c=4…（10分）所以…（12分）点评：本题考查余弦定理的应用，两角和与差的三角函数，向量的数量积，考查计算能力．2、3、（Ⅱ）1sin 2ABC S bc A ∆=⋅12πsin23bc =⋅3= ∴4bc =． …………………………8分又由余弦定理得2222π2cos3a b c bc =+-22b c bc =++， ………………10分 ∴22()16412a b c bc =+-=-=，23a =． …………………………12分。
高三数学 数学平面向量多选题的专项培优练习题(及解析
高三数学 数学平面向量多选题的专项培优练习题(及解析一、平面向量多选题1．在OAB 中，4O OC A =，2O OD B =，AD 、BC 的交点为M ，过M 作动直线l分别交线段AC 、BD 于E 、F 两点，若OE OA λ=，(),0OB OF μλμ=>，则λμ+的不可能取到的值为（ ） A ．23+ B ．33+ C ．323+ D ．423+ 【答案】ABC 【分析】先证明结论：当O 为直线EF 外一点时，E 、F 、M 三点共线(),OM xOE yOF x y R ⇔=+∈，1x y +=.计算出1377OM OA OB =+，设OM xOE yOF =+，结合OE OA λ=，(),0OB OF μλμ=>可得出13177x y λμ+=+=，然后将λμ+与1377λμ+相乘，展开后利用基本不等式求出λμ+的最小值，即可得出结论. 【详解】先证明结论：当O 为直线EF 外一点时，E 、F 、M 三点共线(),OM xOE yOF x y R ⇔=+∈，1x y +=.充分性：若E 、F 、M 三点共线，则存在k ∈R ，使得=EM k EF ，即()OM OE k OF OE -=-，所以，()1OM k OE kOF =-+，因为(),OM xOE yOF x y R =+∈，则()11x y k k +=-+=，充分性成立； 必要性：因为(),OM xOE yOF x y R =+∈且1x y +=，所以，()1OM xOE x OF =+-，即()OM OF x OE OF -=-，所以，FM xFE =， 所以，E 、F 、M 三点共线.本题中，取OC 的中点N ，连接DN ，如下图所示：D 、N 分别为OB 、OC 的中点，则DN //BC 且12DN BC =， 14OC OA =，67AC AN ∴=，即67AC AN =，//BC DN ，即//CM DN ，67AM AC AD AN ∴==，67AM AD ∴=， 12AD OD OA OB OA =-=-，6611377277OM OA AM OA AD OA OB OA OA OB ⎛⎫=+=+=+-=+ ⎪⎝⎭， E 、F 、M 三点共线，O 为直线EF 外一点，则(),OM xOE yOF x y R =+∈且1x y +=.OE OA λ=，(),0OB OF μλμ=>，则OM xOE yOF xOA yOB λμ=+=+，所以，1737x y λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得1737x y λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，由1x y +=可得13177λμ+=， 由基本不等式可得()131********μλλμλμλμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=当且仅当μ=时，等号成立.所以，λμ+ABC 选项均不满足47λμ++≥. 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于以下两点：（1）利用三点共线的结论：当O 为直线EF 外一点时，E 、F 、M 三点共线(),OM xOE yOF x y R ⇔=+∈，1x y +=.利用该结论推出13177λμ+=； （2）利用基本不等式求出λμ+的最小值.2．已知a ，b 是平面上夹角为23π的两个单位向量，c 在该平面上，且()()·0a c b c --=，则下列结论中正确的有（ ）A ．||1a b +=B ．||3a b -=C ．||3<cD ．a b +，c 的夹角是钝角【答案】ABC 【分析】在平面上作出OA a =，OB b =，1OA OB ==，23AOB π∠=，作OC c =，则可得出C 点在以AB 为直径的圆上，这样可判断选项C 、D ． 由向量加法和减法法则判断选项A、B ． 【详解】 对于A ：()2222+2||+cos13a b a ba b a b π+=+=⨯⨯=，故A 正确； 对于B ：设OA a =，OB b =，1OA OB ==，23AOB π∠=，则2222+c 32os3AB O OA O A O B B π-⋅==，即3a b -=，故B 正确； OC c =，由(a ﹣c )·(b ﹣c )=0得BC AC ⊥，点C 在以AB 直径的圆上（可以与,A B 重合）．设AB 中点是M ，c OC =的最大值为13+32222+A b B O MC a M +==+<，故C 正确； a b +与OM 同向，由图，OM 与c 的夹角不可能为钝角．故D 错误． 故选：ABC ．【点睛】思路点睛：本题考查向量的线性运算，考查向量数量积．解题关键是作出图形，作出OA a =，OB b =，OC c =，确定C 点轨迹，然后由向量的概念判断．3．如图，已知长方形ABCD 中，3AB =，2AD =，()01DE DC λλ→→=<<，则下列结论正确的是（ ）A ．当13λ=时，1233E A A E D B →→→=+B ．当23λ=时，cos ,AE BE →→=C ．对任意()0,1λ∈，AE BE →→⊥不成立D ．AE BE →→+的最小值为4 【答案】BCD 【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，由DE DC λ→→=，根据向量坐标的运算可得()3,2E λ，当13λ=时，得出()1,2E ，根据向量的线性运算即向量的坐标运算，可求出2133AD AE BE →→→=+，即可判断A 选项；当23λ=时，()2,2E ，根据平面向量的夹角公式、向量的数量积运算和模的运算，求出cos ,AE BE →→=，即可判断B 选项；若AE BE →→⊥，根据向量垂直的数量积运算，即可判断C 选项；根据向量坐标加法运算求得()63,4AE BE λ→→+=-，再根据向量模的运算即可判断D 选项.【详解】解：如图，以A 为坐标原点，,AB AD 所在直线分别为x 轴､y 轴建立平面直角坐标系， 则()0,0A ，()3,0B ，()3,2C ，()0,2D ，由DE DC λ→→=，可得()3,2E λ，A 项，当13λ=时，()1,2E ，则()1,2AE →=，()2,2BE →=-， 设AD m AE n BE →→→=+，又()0,2AD →=，所以02222m n m n =-⎧⎨=+⎩，得2313m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故2133AD AE BE →→→=+，A 错误；B 项，当23λ=时，()2,2E ，则()2,2AE →=，()1,2BE →=-，故cos ,AE BE AE BE AE BE→→→→→→⋅===⋅，B 正确；C 项，()3,2AE λ→=，()33,2BE λ→=-，若AE BE →→⊥，则()2333229940AE BE λλλλ→→⋅=-+⨯=-+=，对于方程29940λλ-+=，()2Δ94940=--⨯⨯<， 故不存在()0,1λ∈，使得AE BE →→⊥，C 正确；D 项，()63,4AE BE λ→→+=-，所以()226344AE BE λ→→+=-+≥，当且仅当12λ=时等号成立，D 正确. 故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量的坐标运算，数量积运算和线性运算，考查运用数量积表示两个向量的夹角以及会用数量积判断两个平面向量的垂直关系，熟练运用平面向量的数量积运算是解题的关键.4．下列说法中错误的为（ ）A ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．向量1(2,3)e =-，213,24e ⎛⎫=-⎪⎝⎭不能作为平面内所有向量的一组基底 C ．若//a b ，则a 在b 方向上的投影为||aD ．非零向量a 和b 满足||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为60° 【答案】ACD 【分析】由向量的数量积､向量的投影､基本定理与向量的夹角等基本知识，逐个判断即可求解. 【详解】对于A ，∵(1,2)a =，(1,1)b =，a 与a b λ+的夹角为锐角， ∴()(1,2)(1,2)a a b λλλ⋅+=⋅++142350λλλ=+++=+>，且0λ≠(0λ=时a 与a b λ+的夹角为0)，所以53λ>-且0λ≠，故A 错误； 对于B ，向量12(2,3)4e e =-=，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，B 正确；对于C ，若//a b ，则a 在b 方向上的正射影的数量为||a ±，故C 错误； 对于D ，因为|||a a b =-∣，两边平方得||2b a b =⋅， 则223()||||2a ab a a b a ⋅+=+⋅=， 222||()||2||3||a b a b a a b b a +=+=+⋅+=，故23||()32cos ,||||3||a a a b a a b a a b a a ⋅+<+>===+⋅∣， 而向量的夹角范围为[]0,180︒︒， 得a 与a b λ+的夹角为30°，故D 项错误. 故错误的选项为ACD 故选：ACD 【点睛】本题考查平面向量基本定理及向量的数量积，向量的夹角等知识，对知识广度及准确度要求比较高，中档题.5．已知数列{a n }，11a =，25a =，在平面四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点E ，且2AE EC =，当n ≥2时，恒有()()1123n n n n BD a a BA a a BC -+=-+-，则（ ） A ．数列{a n }为等差数列 B ．1233BE BA BC =+ C ．数列{a n }为等比数列 D ．14nn n a a +-=【答案】BD 【分析】 证明1233BE BA BC =+，所以选项B 正确；设BD tBE =（0t >），易得()114n n n n a a a a +--=-，显然1n n a a --不是同一常数，所以选项A 错误；数列{1n n a a --}是以4为首项，4为公比的等比数列，所以14nn n a a +-=，所以选项D 正确，易得321a =，选项C 不正确.【详解】因为2AE EC =，所以23AE AC =，所以2()3AB BE AB BC+=+,所以1233BE BA BC=+，所以选项B正确；设BD tBE=（0t>），则当n≥2时，由()()1123n n n nBD tBE a a BA a a BC-+==-+-，所以()()111123n n n nBE a a BA a a BCt t-+=-+-，所以()11123n na at--=，()11233n na at+-=，所以()11322n n n na a a a+--=-，易得()114n n n na a a a+--=-，显然1n na a--不是同一常数，所以选项A错误；因为2a-1a=4，114n nn na aa a+--=-，所以数列{1n na a--}是以4为首项，4为公比的等比数列，所以14nn na a+-=，所以选项D正确，易得321a=，显然选项C不正确.故选：BD【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，考查等比数列等差数列的判定，考查等比数列通项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中1OA=，则下列结论正确的有（）A ．22OA OD ⋅=-B ．2OB OH OE +=-C ．AH HO BC BO ⋅=⋅D ．AH 在AB 向量上的投影为22- 【答案】AB 【分析】直接利用向量的数量积的应用，向量的夹角的应用求出结果． 【详解】图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中||1OA =， 对于32:11cos4A OA OD π=⨯⨯=；故正确． 对于:22B OB OH OA OE +==-，故正确．对于:||||C AH BC =，||||HO BO =，但对应向量的夹角不相等，所以不成立．故错误． 对于:D AH 在AB 向量上的投影32||cos ||4AH AH π=-，||1AH ≠，故错误． 故选：AB ． 【点睛】本题考查的知识要点：向量的数量积的应用，向量的夹角的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．7．已知向量()1,3OA =-，()2,1OB =-，()3,8OC t t =+-，若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数t 可以为（ ） A ．-2 B ．12C ．1D ．-1【答案】ABD 【分析】若点A ，B ，C 能构成三角形，故A ，B ，C 三点不共线，即向量,AB BC 不共线，计算两个向量的坐标，由向量共线的坐标表示，即得解 【详解】若点A ，B ，C 能构成三角形，故A ，B ，C 三点不共线，则向量,AB BC 不共线， 由于向量()1,3OA =-，()2,1OB =-，()3,8OC t t =+-， 故(3,4)AB OB OA =-=-，(5,9)BC OC OB t t =-=+- 若A ，B ，C 三点不共线，则 3(9)4(5)01t t t ---+≠∴≠ 故选：ABD 【点睛】本题考查了向量共线的坐标表示，考查了学生转化划归，概念理解，数学运算能力，属于中档题.8．ABC ∆是边长为3的等边三角形，已知向量a 、b 满足3AB a =，3AC a b =+，则下列结论中正确的有（ ） A ．a 为单位向量 B ．//b BCC ．a b ⊥D ．()6a b BC +⊥【答案】ABD 【分析】求出a 可判断A 选项的正误；利用向量的减法法则求出b ，利用共线向量的基本定理可判断B 选项的正误；计算出a b ⋅，可判断C 选项的正误；计算出()6a b BC +⋅，可判断D 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】 对于A 选项，3AB a =，13a AB ∴=，则113a AB ==，A 选项正确； 对于B 选项，3AC ab AB b =+=+，b AC AB BC ∴=-=，//b BC ∴，B 选项正确；对于C 选项，21123cos 0333a b AB BC π⋅=⋅=⨯⨯≠，所以a 与b 不垂直，C 选项错误； 对于D 选项，()()()2260a b BC AB AC AC AB AC AB +⋅=+⋅-=-=，所以，()6a b BC +⊥，D 选项正确.故选：ABD. 【点睛】本题考查向量有关命题真假的判断，涉及单位向量、共线向量的概念的理解以及垂直向量的判断，考查推理能力，属于中等题.二、立体几何多选题9．如图①，矩形ABCD 的边2BC =，设AB x =，0x >，三角形BCM 为等边三角形，沿BC 将三角形BCM 折起，构成四棱锥M ABCD -如图②，则下列说法正确的有（ ）A ．若T 为BC 中点，则在线段MC 上存在点P ，使得//PD 平面MATB ．当()3,2x ∈时，则在翻折过程中，不存在某个位置满足平面MAD ⊥平面ABCDC ．若使点M 在平面ABCD 内的射影落在线段AD 上，则此时该四棱锥的体积最大值为1 D ．若1x =，且当点M 在平面ABCD 内的射影点H 落在线段AD 上时，三棱锥M HAB -的外接球半径与内切球半径的比值为6322++【答案】BCD 【分析】对于A ，延长AT 与DC 的延长线交于点N ，此时，DP 与MN 必有交点； 对于B ，取AD 的中点H ，表示出2223MH MT HT x =-=-，验证当()3,2x ∈时，无解即可； 对于C ，利用体积公式21233V x x =⨯⨯⨯-，借助基本不等式求最值即可； 对于D ，要求外接球半径与内切球半径，找外接圆的圆心，又内接圆半径为2323r =++，即可作出比值．【详解】对于A ，如图，延长AT 与DC 的延长线交于点N ，则面ATM ⋂面()MDC N MN =．此时，DP 与MN 必有交点，则DP 与面ATM 相交，故A 错误；对于B ，取AD 的中点H ，连接MH ，则MH AD ⊥．若面MAD ⊥面ABCD ，则有2223MH MT HT x =-=-， 当()3,2x ∈时，无解，所以在翻折过程中，不存在某个位置满足平面MAD ⊥平面ABCD故B 正确；对于C ，由题可知，此时面MAD ⊥面ABCD ，由B 可知，()0,3x ∈， 所以()22222221223232331333232x x V x x x x ⎛⎫+-⎛⎫=⨯⨯⨯-=-≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当且仅当223x x =-，即6x =时等号成立．故C 正确； 对于D ，由题可知，此时面MAD ⊥面ABCD ，且2MH =因为AHB ，MHB 都是直角三角形，所以M ABH -底面外接圆的圆心是中点，所以1R =，由等体积法，可求得内接圆半径为2323r =++，故61322R r +=，故D 正确． 故选：BCD ．【点睛】本题从多个角度深度考查了立体几何的相关内容，注意辅助线的作法，以及求内接圆半径的公式、基本不等式、构造函数等核心思想．10．一副三角板由一块有一个内角为60°的直角三角形和一块等腰直角三角形组成，如图所示，090B F ∠=∠=，0060,45,A D BC DE ∠=∠==，现将两块三角形板拼接在一起，得三棱锥F CAB -，取BC 中点O 与AC 中点M ，则下列判断中正确的是（ ）A ．BC FM ⊥B ．AC 与平面MOF 所成的角的余弦值为32C ．平面MOF 与平面AFB 所成的二面角的平面角为45°D ．设平面ABF平面MOF l =，则有//l AB 【答案】AD【分析】证明BC ⊥面FOM 可判断A ；根据AC 与平面MOF 所成的角为060CMO ∠=判断B ；利用特殊位置判断C ；先证明//AB 面MOF ，由线面平行的性质定理可判断D ；【详解】由三角形中位线定理以及等腰三角形的性质可得,,BC OF BC OM OMOF O ⊥⊥=，所以BC ⊥面FOM BC FM ⇒⊥，故A 正确；因为BC ⊥面FOM ，所以AC 与平面MOF 所成的角为060CMO ∠=，所以余弦值为12，故B 错误； 对于C 选项可以考虑特殊位置法，由BC ⊥面FOM 得面ABC ⊥面FOM ，所以点F 在平面ABC 内的射影在直线OM 上，不妨设点F 平面ABC 内的射影为M ，过点M 作//BC MN ，连结NF .易证AB ⊥面MNF ，则l ⊥面MNF ，所以MFN ∠为平面MOF 与平面AFB 所成的二面角的平面角，不妨设2AB =，因为060A ，所以23BC =，则13,12OF BC OM ===，显然MFN ∠不等于45°，故C 错误. 设面MOF 与平面ABF 的交线为l ，又因为//,AB OM AB ⊄面MOF ，OM ⊂面l AB，故D正确；AB面MOF，由线面平行的性质定理可得：//MOF，所以//故选：AD.【点睛】方法点睛：求直线与平面所成的角有两种方法：一是传统法，证明线面垂直找到直线与平面所成的角，利用平面几何知识解答；二是利用空间向量，求出直线的方向向量以及平面的方向向量，利用空间向量夹角余弦公式求解即可.。
2021届广西普通高中高三上学期高考精准备考模拟卷(一)数学(文)试题(解析版)
广西普通高中2021届高考精准备考模拟卷（一）文科数学本试卷满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．做选考题时，考生须按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑． 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知集合{|1}A x x =∈>-Z ，集合{}2|log 2B x x =<，则A B ⋂=（ ） A ．{|14}x x -<< B ．{|04}x x << C ．{0,1,2,3} D ．{1,2,3} 2．若()1a bi i bi +=-，其中a ，b 都是实数，i 是虚数单位，则ab 等于（ ） A ．2- B ．1- C ．0 D ．13．某小区从热爱跳广场舞的3对夫妻中随机抽取2人去参加社区组织的广场舞比赛，则抽取的2人恰好为1对夫妻的概率为（ ） A ．15 B ．14 C ．35 D ．234．已知0.8 2.13log 0.8,3,0.3a b c ===，则（ ）A ．a ab c <<B ．ac b c <<C ．ab a c <<D ．c ac b << 5．函数ln cos 22y x x ππ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．6．我国南北朝时期的数学家、天文学家祖暅提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．“幂”是面积，“势”即为高，意思是：夹在两平行平面之间的两个几何体，被平行这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相同，那么这两个几何体的体积相等．某几何体的三视图如图所示，该几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为（ ）A ．483π-B ．42π-C ．283π- D ．8π- 7．如图是一个计算：201920172015201353-+-+⋅⋅⋅-+的算法流程图，若输入2019n =，则由上到下的两个空白内分别应该填入（ ）A ．12(1),2n S S n n n -=--⋅=- B ．1(1),1n S S n n n -=--⋅=-C ．1(1),2n S S n n n -=+-⋅=- D ．1(1),1n S S n n n -=+-⋅=-8．将函数()cos2sin (0)222x x x f x ωωωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象向左平移3πω个单位长度，得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，则ω的最大值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．49．现在需要制作一个长和宽分别为m a 和m b 的矩形大裱框，要求其长和宽使用不同的材质，长和宽材质的单价分别为10元/m 和20元/m ，在总制作费用不超过100元的条件下，可裱框相片的最大面积为（ ） A ．225m 3 B ．225m 4 C ．225m 8 D ．225m 1610．已知数列{}n a 中，15256a =，数列{}n b 满足2122214log log log 7b b b +++=，且1n n n a a b +=⋅，则1a =（ ） A ．12B ．1C ．2D ．4 11．已知圆D 关于y 轴对称，点(3,0),(0,2)B C --位于其上，则sin DBC ∠=（ ）A．13 B．4 C．13 D．412．已知函数22,0(),0,x x f x x bx c x +⎧=⎨++>⎩()210g x x =-，若1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且(2)3f =-，则函数(())y g f x =零点的取值集合为（ ）A ．{3,4}B ．{2,4}C ．{4}D ．{0,3,4}二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知实数x ，y 满足约束条件2,220,20,x x y x y ⎧⎪-+⎨⎪++⎩则3x z y =-+的最大值为__________．14．已知抛物线2:(,0)C y mx m m =∈≠R 过点(1,4)P -，则抛物线C 的准线方程为____________． 15．已知()f x 是定义在R 上的函数，且满足()(),(4)()0f x f x f x f x -=+-=，当(0,2]x ∈时，2()2f x x =，则(7)f 等于_________．16．在三棱锥P ABC -中，若BC CA AB ===PA ⊥平面ABC ，4PA =，则三棱锥P ABC -外接球的半径为__________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17．（12分）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC 的面积为12cos bcB．（1）求sin cos A B 的值和cos sin A B 的取值范围； （2）若ABC 为钝角三角形，且1cos sin ,33A B c ==，分别求C 和22b a -的值． 18．（12分）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，已知O 为平行四边形11BDD B 的中心，E 为1CC 的中点．（1）求证：OE ∥平面ABCD ；（2）若平面11BDD B ⊥平面,ABCD OE BD ⊥．求证：1D E BE =． 19．（12分）在网络空前发展的今天，电子图书发展迅猛，大有替代纸质图书之势．但电子阅读的快餐文化本质，决定了它只能承担快捷传递信息性很强的资料，缺乏思想深度和回味，电子阅读只能是传统纸质阅读的一种补充．看传统的书不仅是学习，更是种文化盛宴的享受，读书感受的不仅是跃然于纸上的文字，更注重的是蕴藏于纸质书中的中国传统文化．某地为了提高居民的读书兴趣，准备在各社区兴建一批自助图书站（电子纸质均可凭电子借书卡借书）由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现从一社区内随机抽取了一天中的80名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段：[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]后得到如图所示的频率分布直方图．（1）以每组数据所在区间中点的值作代表，求80名读书者年龄的平均数；（2）若将该80人分成两个年龄层次，年龄在[20,50)定义为中青年，在[50,80]定义为老年．为进一步调查阅读习惯（电子阅读和传统阅读）与年龄层次是否有关，得到如下22⨯列联表完善该表数据，并判断：是否有95%的把握认为“阅读习惯”与“年龄层次”有关．附：22(),()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++． 临界值表供参考：3.841 20．（12分）设函数2()cos ,()sin af x x xg x x=+=． （1）当[0,]x π∈时，判断()f x 的单调性；（2）若当,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式()()f x g x 有解，求证：24a π．21．（12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的长轴长为4，且经过点2P ⎭．（1）求椭圆的方程； （2）直线l 的斜率为12，且与椭圆相交于A ，B 两点（异于点P ），过P 作APB ∠的角平分线交椭圆于另一点Q ．（ⅰ）证明：直线PQ 与y 轴平行；（ⅱ）当AP BP ⊥时，求四边形APBQ 的面积．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）已知曲线1C 的直角坐标方程为2213y x +=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是1ρ=，四边形ABCD 的顶点都在曲线2C 上，点A 的极坐标为1,6π⎛⎫⎪⎝⎭，点A 与C 关于y 轴对称，点D 与C 关于直线6πθ=对称，点B 与D 关于x 轴对称．（1）求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；（2）设P 为1C 上任意一点，求点P 到直线CD 的距离d 的取值范围． 23．[选修4-5：不等式选讲]（10分） 设函数()|21||2|f x x x =--+． （1）解不等式()0f x >；（2）若0x ∃∈R ，使得()2024f x m m +<，求实数m 的取值范围．2021届高考精准备考原创模拟卷（一） 文科数学参考答案、提示及评分细则1．D ∵集合{|1}A x x =∈>-Z ，集合{}2|log 2{|04}B x x x x =<=<<，所以{1,2,3}A B ⋂=． 2．B 因为()1a bi i bi +=-，所以1b ai bi -+=-，所以1,b a b -==-，所以1,1a b ==-．所以1ab =-． 3．A 设第1，2，3对夫妻分别为()11,A B ，()22,AB ，()33,A B ，从中随机抽取2人，所有等可能的结果为()11,A B ，()12,A A ，()12,A B ，()13,A A ，()13,A B ，()12,B A ，()12,B B ，()13,B A ，()13,B B ，()22,A B ，()23,A A ，()23,A B ，()23,B A ，()23,B B ，()33,A B ，共有15种，其中抽取的2人恰好为1对夫妻的情况有()11,A B ，()22,A B ，()33,A B ，共3种，所以抽取的2人恰好为1对夫妻的概率为31155=． 4．C ∵0,1,01a b c <><<，∴ab a c <<．5．B 由题得()lncos()lncos ()f x x x f x -=-==，所以函数()f x 是偶函数．所以图象关于y 轴对称，所以排除A ．C ．又,22x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，所以cos (0,1)x ∈，所以lncos (,0)x ∈-∞，所以D 错误，故答案为B ． 6．D 由题意可知几何体的直观图如图：几何体的底面面积为211221422ππ⨯-⋅⨯=-，所以几何体的体积为8π-，故选B ．7．A 将4个选择支分别代入检验得，由上到下的两个空白内依次填入12(1),2n S S n n n -=--⋅=-，才可以计算出201920172015201353-+-+⋅⋅⋅-+，所以选A ． 8．B函数()cos2sin 233(0)222x x x f x ωωωω⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭1cos sin 233sin 3cos 2sin 23x x x x x ωπωωωω+⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭，()f x 的图象向左平移3πω个单位，得2sin 33y x ππωω⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象，∴函数()2sin y g x x ω==；又()y g x =在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，∴44Tπ，即244ππω，解2ω，所以ω的最大值为2．故选B．9．C 由已知得，2040100a b +，所以25a b +，所以22(2)1(2)1525222228a b a b ab ⋅+⎡⎤⎛⎫=⋅⋅=⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，当且仅当2a b =，25a b +=，即55,24a b ==时取等号，所以可裱框相片的最大面积为258平方米． 10．C 因为数列{}n b 满足2122214log log log 7b b b +++=，所以有7123142b b b b ⋅⋅=，又1n n n a a b +=⋅，所以1n n na b a +=，于是有151421413114131a a a b b b a a a ⨯⨯⨯=⋅，所以71512a a =，故12a =，选C ． 11．A 因为圆D 关于y 轴对称，所以设圆心坐标为(0,)a ，半径为r ，因为点(3,0),(0,2)B C --位于其上，所以2223,2a r r a +==+，所以54a =，半径134r =，所以圆的标准方程为22251344x y ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以D 到直线BC 的距离4d ==，所以sin 13d DBC r ∠== 12．C 由1322f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得12b -=，∴2b =-，又因为(2)3f =，∴423b c ++=-，∴3c =-，∴()f x 的解析式22,0,()23,0,x x f x x x x -⎧=⎨-->⎩由(())0g f x =，∴()5f x =，当0x 时，25x +=，∴3x =（舍），当0x >时，2235x x --=，∴4x =或2x =-，又∵0x >，∴4x =，故函数的零点为4x =． 13．43作出可行域为如图所示的三角形ABC 边界及其内部区域，易知(2,4)A -，(2,0)B -，(2,2)C ．把3x z y =-+变形为3x y z =+，当且仅当动直线3x y z =+过点(2,2)C 时，z 取得最大值为43．14．116y =-将点(1,4)P -带入抛物线可得4m =，即有24y x =，所以214x y =，则抛物线的准线方程为116y =-． 15． 2 由(4)()f x f x +=，得(7)(3)(1)f f f ==-，又()f x 为偶函数，∴2(1)(1),(1)212f f f -==⨯=．∴(7)2f =．16． 设ABC 的外接圆的圆心为D ，三棱锥P ABC -外接球的球心为O ，O 到平面ABC 的距离为h ，连接PO ．因为PA ⊥平面ABC ，所以四边形PADO 为直角梯形，且OP OA =，所以2h PA =，所以2h =，所以三棱锥P ABC -=17．解：（1）由题设得，1sin 212cos bc bc A B =，所以1sin cos 6A B =； 1分 因为1sin()sin cos cos sin cos sin ,0sin()16A B A B A B A B A B +=+=+<+， 所以15cos sin 66A B -<． 3分 又因为1sin()sin cos cos sin cos sin ,1sin()16A B A B A B A B A B -=-=---， 所以57cos sin 66A B -． 5分 综上，15cos sin 66A B -<． 6分 （2）因为11sin cos ,cos sin 63A B A B ==， 所以1sin()sin cos cos sin 2A B A B A B +=+=， 所以6A B π+=或56A B π+=， 所以6C π=或56C π=． 9分 因为sin cos 0,cos sin 0A B A B >>，所以A ，B 都为锐角，又因为ABC 为钝角三角形，所以56C π=． 10分 因为11sin cos ,cos sin 63A B A B ==， 所以sin cos 1cos sin 2A B A B =，所以2222222122a a c b bc b ac b c a +-⋅⋅=+-， 所以()2223b a c -=，所以223b a -=． 12分 18．证明：（1）连结11,,AC BD AC ． 在平行六面体1111ABCD A B C D -中，因为1111//,AB C D AB C D =，所以四边形11ABC D 为平行四边形，所以11,AC BD 相互平分， 2分 因为O 为平行四边形11BDD B 的中心，所以O 为1BD 的中点，所以O 为1AC 的中点， 因为E 为1CC 的中点，所以//OE AC ， 4分 因为OE ⊄平面,ABCD AC ⊂平面ABCD ，所以//OE 平面ABCD ； 6分 （2）因为,//OE BD OE AC ⊥，所以AC BD ⊥，因为平面11BDD B ⊥平面ABCD ，平面11BDD B ⋂平面,ABCD BD AC =⊂平面ABCD ， 所以AC ⊥平面11BDD B ， 9分 所以1AC BD ⊥，所以1OE BD ⊥，因为1OB OD =，所以1D E BE =． 12分 19．解：（1）80名读书者年龄的平均数为250.05350.1450.2550.3650.25750.154⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 4分（2）由频率分布直方图可得中青年人数为(0.0050.010.02)108028++⨯⨯=， 老年人数为(0.030.0250.01)108052++⨯⨯=， 6分 由此可得22⨯列联表如图，9分由题意2280(15391313)320 6.5312852285249K ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯， 因为6.531 3.841>，所以有95%的把握认为“阅读习惯”与“年龄层次”有关． 12分20．解：（1）()2sin f x x x =-'， 2分令()2sin h x x x =-，当[0,]x π∈时，()2cos 0h x x =->'， 4分所以当[0,]x π∈时，()2sin h x x x =-单调递增； 5分 所以当[0,]x π∈时，()2sin 0f x x x -'=，所以当[0,]x π∈时，2()cos f x x x =+单调递增． 6分（2）因为当,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式()()f x g x 有解， 所以当,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式sin ()a x f x ⋅有解， 7分 令()sin ()k x x f x =⋅，所以()cos ()sin ()k x x f x x f x ''=⋅+⋅， 8分 因为当,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，cos 0,()0,sin 0,()0x f x x f x '>>>>， 所以()0k x '>，所以()k x 单调递增， 10分所以2()24k x k ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以24a π． 12分 21．解：（1）由题意可得2224,211,2a a b =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得224,1a b ==， 2分所以椭圆的方程为：2214x y +=； 3分 （2）设直线l 的方程为：12y x t =+，设()()1122,,,A x y B x y ， 联立直线l 与椭圆的方程221214y x t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，整理可得：222220x tx t ++-=， 则()2244220t t ∆=-->，即22t <，且212122,22x x t x x t +=-=-． 5分（ⅰ）因为((122112112222PA PB x t x x t x y y k k ⎛⎛+-++-- -+=+=()121222(0x x t x x t +-+--===， 所以APB ∠的角平分线平行于y 轴． 7分（ⅱ）如图所示，当AP BP ⊥时，则45APQ BPQ ∠=∠=，所以直线AP的方程为2yx =，即2y x =-，8分 代入椭圆的方程可得22440x x ⎛+--=⎝⎭，即2520x --=， 可得A x =A 到直线PQ的距离1d ==； 9分 直线BP的方程为：(y x x =-+=-+， 代入椭圆的方程224402x x ⎛+-+-=⎝⎭，即25140x-+=，可得B x =B 到直线PQ的距离255d ==，10分 而由上可得||QP =所以()12 118||22555APQ BPQ APBQ S S S PQ d d ⎛=+=⋅+=+= ⎝⎭四边形， 所以四边形APBQ 的面积为85． 12分22．解：（1）由题知点A ，C ，D ，B 的极坐标分别为531,,1,,1,,1,6622ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 2分 所以点A ，C ，D ，B 的直角坐标分别为11,,(0,1),(0,1)22⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 4分 （2）设()00,P x y 是曲线1C 上的任意一点，则00cos ,xy ϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数），5分因为C ，D的直角坐标分别为1,,(0,1)22⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 所以直线CD 的直角坐标方程为1y =-10y ++=， 6分所以d===， 8分 因为16sin 1614πϕ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭，所以6102d+． 10分 23．解：（1）函数3,2,1()|21||2|31,2,213,.2x x f x x x x x x x ⎧-+<-⎪⎪⎪=--+=---⎨⎪⎪->⎪⎩ 3分 令()0f x =，求得13x =-，或3x =，故不等式()0f x >的解集为133x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或． 5分 （2）若存在0x ∃∈R ，使得()2024f x m m +<，即()2042f x m m <-有解， 7分 由（1）可得()f x 的最小值为11531222f ⎛⎫=-⨯-=- ⎪⎝⎭， 8分 故25422m m -<-，解得1522m -<<．10分。
2021届高考文科数学模拟培优卷(新课标全国3卷)
绝密★启用前2021届高考文科数学模拟培优卷（新课标全国3卷）学校：___________一、选择题1.已知0m >，设集合{}2{||},230M x x m N x x x =<=-<∣∣，且{1}M N xx n ⋃=-<<∣，则 m n +=( )A.12B.1C.2D.522.设复数2i1iz =+，则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点在( ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.设有两组数据12,,,n x x x 与12,,,n y y y ，它们的平均数分别是x 和y ，则新的一组数据1122231,231,,231n n x y x y x y -+-+-+的平均数是( )。
A.23x y -B.231x y -+C.49x y -D.491x y -+4.将甲桶中的a 升水缓缓注入大小、形状都相同的空桶乙中，t 分钟后甲桶中剩余的水量符合衰减曲线e nty a =.若5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，又过了m 分钟后甲桶中的水只有8a升，则m 的值为( )A.7B.8C.9D.105.已知0ω>，函数π()sin 4f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则ω的取值范围是( )A.15,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D.(0,2]6.已知圆()22:200M x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是M 与圆()()22:111N x y -+-=的位置关系是( )A.内切B.相交C.外切D.相离 7.设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点.若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为( ) A.4B.8C.16D.328.已知抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ,直线l 为准线,点E 在拋物线上.若点E 在直线l 上的射影为Q ,且Q 在第四象限,||2FQ p =,则直线FE 的斜率为( )D.19.已知一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为( )A. 14π2+1π2++D. 4 10.若0.330.3log 0.3log 0.20.2a b c ＝，＝，＝，则（ ） A.a b c <<B.b c a <<C.a c b <<D.b a c <<11.已知12,F F 为双曲线22:2C x y -=的左、右焦点,点 P 在C 上,122PF PF =,则12cos F PF ∠等于( )A.14B.35C.34D.4512.若函数213()22f x x x =-+在区间 I 上单调递增,且函数()f x y x=在区间 I 上单调递减,则区间I 可能是( )A.[1,)+∞B.)+∞C.[1,3]D.二、填空题13.若x y ,满足约束条件210501x y x y y --≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2244z x x y =-++的取值范围是 .14.在平面直角坐标系xOy 中,过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点F 作x 轴的垂线l ,与双曲线C 及其渐近线在第一象限内分别交于点,A B ,且2FB FA =,则双曲线C 的离心率为___________.15.曲线()22xf x e x =-+在0x =处的切线方程是 .16.已知三棱锥,3,1,4,A BCD AB AD BC BD -====,当三棱锥A BCD -的体积最大时,其外接球的表面积为______.三、解答题17.已知各项均为正数的等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==，且236a a ⋅=，238b b a ⋅= (1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式.(2)若2221log n n n c a b +=，求12n c c c ++⋯+.18.某企业销售部门为了解员工的销售能力，设计了关于销售的问卷调查表，从该部门现有员工中按性别（男生占45%）分层抽取n 名进行问卷调查，得分分为1,2,3,4,5五个档次，各档次中参与问卷调查的员工的人数如条形图所示.已知第5档员工的人数占总人数的15.（1）（i ）求n 与a 的值；（ii ）若将某员工得分所在的档次作为该员工的销售能力基数0x （记销售能力基数05x =为能力基数高，其他均为能力基数不高）.在销售能力基数为5的员工中，女生与男生的比例为7:3，以抽取的n 名员工为研究对象，完成下面的22⨯列联表，并判断是否有90%的把握认为销售能力基数高不高与性别有关.能力指数y 与销售能力基数0x 以及参加培训的次数t 满足函数关系式()150011e ty x x ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭.如果员工甲的销售能力基数为4，员工乙的销售能力基数为2，则在甲不参加培训的情况下，乙至少需要参加多少次培训，其营销能力指数才能超过甲？ 参考数据及参考公式：ln3 1.099≈，22()()()()()n ad bc K a b cd a c b d -=++++，其中n a b c d =+++. 0已知圆锥的顶点为(1)设圆锥的母线长为4,求圆锥的体积(2)设4,,PO OA OB =是底面半径,且90o AOB ∠=,M 为线段AB 的中点,如图,求异面直线PM 与OB 所成的角的大小20.设函数()()211ln 112()2f x x x ax a x a a =+-+++∈R ，()()g x f x '=.(1)若1a =-，求函数()g x 的单调区间.(2)若函数()f x 有2个零点，求实数a 的取值范围.21.已知直线1x y +=过椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点,且交椭圆于A,B 两点,线段AB 的中点是21,33M ⎛⎫⎪⎝⎭, (1)求椭圆的方程;(2)过原点的直线l 与线段AB 相交（不含端点）且交椭圆于C,D 两点,求四边形ACBD 面积的最大值.22.已知在平面直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为2cos ,2sin x y αα=-+⎧⎨=+⎩(α为参数).以坐标原点O为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为(sin )1ρθθ-=. (1)分别求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程. (2)若,P Q 分别是曲线1C 和曲线2C 上的动点,求PQ 的最小值. 23.已知函数2()f x x a x a =-+-.()I 当1a =-时,求()4f x ≤的解集；()Ⅱ记()f x 的最小值为()g a ,求()g a 在[0,2]a ∈时的最大值.。
专题07 平面向量【文科】(原卷版)
专题07 平面向量一、单选题1. 【河北省衡水第一中学2021届全国高三第二次联合考试（1）】在钝角三角形ABC中，(1,3),||1,ABC AB AC S ===，点D 为BC 的中点，则||=AD （） ABC D ．12 2. 【河北省衡水第一中学2021届全国高三第二次联合考试（1）】在平面内，A ，C 是两个定点，B 是动点，若1,3AD AC BD BC CD =+=，则ABC 的内角A 的最大值为（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 3. 【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】O 是正方形ABCD 的中心．若DO ＝λAB ＋μAC ，其中λ，μ∈R ，则λμ＝（ ） A．－2B ．－12C D4. 【河北省衡水中学2021届全国高三第一次联合考试（全国卷）】已知向量,OA OB 的夹角为60︒，||1,||2OA OB ==，点C 为AOB ∠的平分线上的一点，且(,)OC mOA nOB m n R =+∈，则m n=（ ） A ．13 B ．12 C ．2 D ．35. 【河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试（II 卷）】已知向量(1,2),||2,||13a b a b ==-=，则a 与b 的夹角为（ ）A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π 二、填空题1. 【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】已知向量(2,1)a =，(1,3)b =，()c a b λλ=-∈R ，若2c a b ⋅=，则λ=________.2. 【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】平面向量a 与b 的夹角为60︒，()2,0,1a b ==，则2+a b 等于____3. 【河北省衡水中学2021届全国高三第一次联合考试（全国卷）】已知向量(2,),(ln ,2)a y b x ==-，且a b ⊥，那么y x的最大值为_____.。
高考数学试题解析 分项专题07 平面向量 文 试题
2021最新命题题库大全2021-2021年高考试题解析数学〔文科〕分项专题07 平面向量本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
2021年高考试题 一、选择题:1．(2021年高考卷文科3)向量(1,2),(1,0),(3,4)a b c ===，假设λ为实数，()//a b c λ+，那么λ= 〔 〕A ．14 B ．12C ．1D ．2 【答案】B【解析】)2,1()0,()2,1(λλλ+=+=+b a ， ()//a b c λ+ 210324)1(=∴=⨯-⨯+∴λλ 所以选B.2.〔2021年高考全国卷文科3)设向量a b 、满足|a |=|b |=1, a b ⋅1=2-,那么2a b +=〔A 〔B 〔C 〔D 【答案】B【解析】2222(2)44a b a b a a b b +=+=+⋅+2244a a b b =+⋅+== B3.〔2021年高考卷文科3)向量a =〔2,1〕，b =〔-1，k 〕，a ·〔2a -b 〕=0，那么k=〔 〕〔A 〕-12 〔B 〕-6 〔C 〕6 〔D 〕12 答案： D解析：由题意，得2a -b =〔5，2-k 〕，a ·〔2a -b 〕=2×5+2-k=0，所以k=12.4．〔2021年高考卷文科5)向量(1,),(2,2),a k b a b a ==+且与一共线，那么a b ⋅的值是A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D二、填空题：5. 〔2021年高考卷文科13)a 与b 为两个不一共线的单位向量,k 为实数,假设向量a b +与向量ka b -垂直,那么k = .【解析】要求→1b *→2b ，只需将题目条件带入，得：→1b *→2b =〔→1e -2→2e 〕*〔3→1e +4→2e 〕=222121823→→→→-•-e e e e其中21→e =1，=•→→21e e =60cos 21••→→e e =1*1*21=21，122=→e ，带入，原式=3*1—2*21—8*1=—6.8. 〔2021年高考卷文科13)假设向量a=〔1,1〕，b 〔-1,2〕，那么a·b 等于_____________. 【答案】1【解析】因为向量a=〔1,1〕，b 〔-1,2〕，所以a·b 等于1.9. 〔2021年高考卷文科7)如图，正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++=(A)0 (B)BE (C)AD (D)CF 答案：D解析：BA CD EF DE CD EF CD DE EF CF ++=++=++=.10．〔2021年高考卷文科13)设向量,a b 满足||25,(2,1),a b ==且a b 与的方向相反，那么a 的坐标为 ． 答案：(4,2)-- 解析：由题2||215b =+=，所以2(4,2).a b =-=--11．〔2021年高考卷文科2)假设向量{1,2},{1,1}a b ==-，那么2a b +与a b -的夹角等于A.4π-B.6πC.4π D.34π 答案：C解析：因为2(3,3),(0,3)a b a b +=-=,设其夹角为r ，故(2)()2cos 2|2|||a b a b r a b a b +⋅-==+⋅-，即4r π=，所以选C.12.〔2021年高考卷文科15)假设平面向量α、β 满足1,1αβ=≤，且以向量α、β为邻边的平行四边形的面积为12，那么α和β的夹角θ取值范围是___。
2021版新高考数学(文科)一轮复习课后限时集训30 平面向量的数量积与平面向量应用举例
平面向量的数量积与平面向量应用举例建议用时：45分钟一、选择题1．已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝()A．4B．3C．2D．0B[a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2－(－1)＝3，故选B.]2．已知平面向量a＝(－2,3)，b＝(1,2)，向量λa＋b与b垂直，则实数λ的值为()A.413B．－413 C.54 D．－54D[∵a＝(－2,3)，b＝(1,2)，∴λa＋b＝(－2λ＋1,3λ＋2)．∵λa＋b与b垂直，∴(λa＋b)·b＝0，∴(－2λ＋1,3λ＋2)·(1,2)＝0，即－2λ＋1＋6λ＋4＝0，解得λ＝－5 4.]3．已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(2,1)，且a·b＝0，则|a－b|＝()A. 6B. 5 C．2 D. 3A[因为|a|＝1，b＝(2,1)，且a·b＝0，所以|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝1＋5－0＝6，所以|a－b|＝ 6.故选A.]4．a ，b 为平面向量，已知a ＝(2,4)，a －2b ＝(0,8)，则a ，b 夹角的余弦值等于( )A ．－45B ．－35 C.35 D.45B [∵a ＝(2,4)，a －2b ＝(0,8)，∴b ＝12[a －(a －2b )]＝(1，－2)，∴a·b ＝2－8＝－6.设a ，b 的夹角为θ，∵a·b ＝|a||b|cos θ＝25×5cos θ＝10cos θ，∴10cos θ＝－6，∴cos θ＝－35，故选B.]5.如图在边长为1的正方形组成的网格中，平行四边形ABCD 的顶点D 被阴影遮住，请设法计算AB →·AD →＝( )A ．10B ．11C ．12D ．13B [以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (4,1)，C (6,4)，AB →＝(4,1)，AD →＝BC →＝(2,3)，∴AB →·AD →＝4×2＋1×3＝11，故选B.]6．(2019·河北衡水模拟三)已知向量a ＝(1，k )，b ＝(2,4)，则“k ＝－12”是“|a ＋b |2＝a 2＋b 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件C [由|a ＋b |2＝a 2＋b 2，得a 2＋2a·b ＋b 2＝a 2＋b 2，得a·b ＝0，得(1，k )·(2,4)＝0，解得k ＝－12，所以“k ＝－12”是“|a ＋b |2＝a 2＋b 2”的充要条件．故选C.]7．(2019·宝鸡模拟)在直角三角形ABC 中，角C 为直角，且AC ＝BC ＝1，点P 是斜边上的一个三等分点，则CP →·CB →＋CP →·CA →＝( )A ．0B ．1 C.94D ．－94B [以点C 的坐标原点，分别以CA →，CB →的方向为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系(图略)，则C (0,0)，A (1,0)，B (0,1)，不妨设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23，所以CP →·CB→＋CP →·CA →＝CP →·(CB →＋CA →)＝13＋23＝1.故选B.]二、填空题8．已知平面向量a ，b 满足a ·(a ＋b )＝3，且|a |＝2，|b |＝1，则向量a 与b 的夹角的正弦值为 ．32 [∵a ·(a ＋b )＝a 2＋a ·b ＝22＋2×1×cos 〈a ，b 〉＝4＋2cos 〈a ，b 〉＝3，∴cos 〈a ，b 〉＝－12，又〈a ，b 〉∈[0，π]， ∴sin 〈a ，b 〉＝1－cos 2〈a ，b 〉＝32.] 9．已知平面向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，|a ＋b |＝3，则a 在b 方向上的投影等于 ．－12 [∵|a |＝1，|b |＝2，|a ＋b |＝3， ∴(a ＋b )2＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝5＋2a ·b ＝3， ∴a·b ＝－1，∴a 在b 方向上的投影为a·b|b |＝－12.]10．如图所示，直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝AD ＝4，CD ＝8.若CE →＝－7DE →，3BF →＝FC →，则AF →·BE →＝ .－11 [以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系如图．则A (0,0)，B (4,0)，E (1,4)，F (5,1)，所以AF →＝(5,1)，BE →＝(－3,4)，则AF →·BE →＝－15＋4＝－11.]1．若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|b |，则向量a ＋b 与a 的夹角为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6A [由|a ＋b |＝|a －b |知，a·b ＝0，所以a ⊥b .将|a －b |＝2|b |两边平方，得|a |2－2a·b ＋|b |2＝4|b |2，所以|a |2＝3|b |2，所以|a |＝3|b |，所以cos 〈a ＋b ，a 〉＝(a ＋b )·a |a ＋b ||a |＝|a |22|b||a|＝3|b |22|b |·3|b |＝32，所以向量a ＋b 与a 的夹角为π6，故选A.]2．已知平面向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|c |＝1，若a·b ＝12，则(a ＋c )·(2b －c )的最小值为( )A ．－2B ．－ 3C ．－1D ．0B [因为a·b ＝|a||b |·cos 〈a ，b 〉＝cos 〈a ，b 〉＝12，所以〈a ，b 〉＝π3.不妨设a ＝(1,0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，c ＝(cos θ，sin θ)，则(a ＋c )·(2b －c )＝2a·b －a·c ＋2b·c－c 2＝1－cos θ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ＋32sin θ－1＝3sin θ，所以(a ＋c )·(2b －c )的最小值为－3，故选B.]3．在△ABC 中，a ，b ，c 为A ，B ，C 的对边，a ，b ，c 成等比数列，a ＋c ＝3，cos B ＝34，则AB →·BC →＝ .－32 [由a ，b ，c 成等比数列得ac ＝b 2，在△ABC 中，由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝(a ＋c )2－3ac 2ac，则34＝9－3ac 2ac ，解得ac ＝2，则AB →·BC →＝ac cos(π－B )＝－ac cos B ＝－32.]4．(2019·衡水第二次调研)如图所示，|AB →|＝5，|AE →|＝5，AB →·AE →＝0，且AB →＝2AD →，AC →＝3AE →，连接BE ，CD 交于点F ，则|AF →|＝ .1455 [由三点共线可知，AF →＝λAB →＋(1－λ)AE →＝2λAD →＋(1－λ)AE →(λ∈R )，①同理，AF →＝μAD →＋(1－μ)AC →＝μAD →＋3(1－μ)AE →(μ∈R )，② 由①②，得⎩⎪⎨⎪⎧μ＝2λ，3－3μ＝1－λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝25，μ＝45，故AF →＝25AB →＋35AE →. ∴|AF →|＝425|AB →|2＋925|AE →|2＋1225AB →·AE →＝1455.]1．(2019·河南创新教学联盟考试)如图所示，△AB 1C 1，△C 1B 2C 2，△C 2B 3C 3均是边长为2的正三角形，点C 1，C 2在线段AC 3上，点P i (i ＝1,2，…，10)在B 3C 3上，且满足C 3P 1→＝P 1P 2→＝P 2P 3→＝…＝P 10B 3，连接AB 2，AP i (i ＝1,2，…，10)，则∑10 i ＝1(AB 2→·AP i →)＝ .180 [以A 为坐标原点，AC 1所在直线为x 轴建立直角坐标系(图略)，可得B 2(3，3)，B 3(5，3)，C 3(6,0)，直线B 3C 3的方程为y ＝－3(x －6)，可设P i (x i ，y i )，可得3x i ＋y i ＝63，即有AB 2→·AP i →＝3x i ＋3y i ＝3(3x i ＋y i )＝18， 则∑10i ＝1 (AB 2→·AP i →)＝180.]2．已知在△ABC 所在平面内有两点P ，Q ，满足P A →＋PC →＝0，QA →＋QB →＋QC →＝BC →，若|AB →|＝4，|AC →|＝2，S △APQ ＝23，则sin A ＝ ，AB →·AC →＝ .12 ±43 [由P A →＋PC →＝0知，P 是AC 的中点，由QA →＋QB →＋QC →＝BC →，可得QA →＋QB →＝BC →－QC →，即QA →＋QB →＝BQ →，即QA →＝2BQ →，∴Q 是AB 边靠近B 的三等分点， ∴S △APQ ＝23×12×S △ABC ＝13S △ABC ， ∴S △ABC ＝3S △APQ ＝3×23＝2.∵S △ABC ＝12|AB →||AC →|sin A ＝12×4×2×sin A ＝2， ∴sin A ＝12，∴cos A ＝±32，∴AB →·AC →＝|AB →||AC →|·cos A ＝±4 3.]感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！。
2021年高考数学分项汇编 专题5 平面向量(含解析)文
2021年高考数学分项汇编专题5 平面向量（含解析）文一．基础题组
1.【xx四川，文3】设平面向量，则( )
（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）
【答案】：A
【考点】：此题重点考察向量加减、数乘的坐标运算；
【突破】：准确应用向量的坐标运算公式是解题的关键；
2.【xx四川，文6】设点是线段的中点，点在直线外，，，则（）
（A）8 （B）4 （C）2 （D）1
【答案】C
【命题意图】本题主要考查平面向量的基本运算.
3.【2011四川，文7】如图，正六边形ABCDEF中，（）
（A）0（B）
（C）（D）
【答案】D
4.【xx四川，文12】如图，在平行四边形中，对角线与交于点，，则____________.
5.【xx四川，文14】平面向量，，（），且与的夹角等于与的夹角，则 .
【答案】 2.
【考点定位】向量的夹角及向量的坐标运算.
二．能力题组
1.【xx四川，文8】设为坐标平面上三点，O为坐标原点，若与在方向上的投影相同，则a与b满足的关系式为( )
A. B. C. D.
【答案】
2.【xx四川，文7】设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（）
A、 B、 C、 D、且
l23713 5CA1 岡23267 5AE3 嫣
24884 6134 愴w27563 6BAB 殫 36855 8FF7 迷r735515 8ABB 誻e 25053 61DD 懝。
2021年高考试题模拟新题分类汇编专题F平面向量(文科)(高考真题模拟新题)
F 平面向量F1 平面向量的概念及其线性运算4．H1、F1[2021·上海卷] 假设d ＝(2,1)是直线l 的一个方向向量，那么l 的倾斜角的大小为________(结果用反三角函数值表示)．4．arctan 12 [解析] 考查直线的方向向量、斜率与倾斜角三者之间的关系，关键是求出直线的斜率．20．H5、F1、H1[2021·陕西卷] 椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率．(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB →＝2OA →，求直线AB 的方程．20．解：(1)由可设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 24＝1(a ＞2)，其离心率为32，故a 2－4a ＝32，那么a ＝4， 故椭圆C 2的方程为y 216＋x 24＝1.(2)解法一：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )， 由OB →＝2OA →及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上， 因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A ＝41＋4k 2， 将y ＝kx 代入y 216＋x 24＝1中，得(4＋k 2)x 2＝16，所以x 2B＝164＋k 2， 又由OB →＝2OA →得x 2B ＝4x 2A ，即164＋k 2＝161＋4k 2， 解得k ＝±1，故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .解法二：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )， 由OB →＝2OA →及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上， 因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A ＝41＋4k 2， 由OB →＝2OA →得x 2B ＝161＋4k 2，y 2B ＝16k 21＋4k2， 将x 2B ，y 2B 代入y 216＋x 24＝1中，得4＋k 21＋4k 2＝1， 即4＋k 2＝1＋4k 2，解得k ＝±1， 故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .13．F2、F3[2021·湖北卷] 向量a ＝(1,0)，b ＝(1,1)，那么 (1)与2a ＋b 同向的单位向量的坐标表示为________；(2)向量b －3a 与向量a 夹角的余弦值为________．13．[答案] (1)⎝⎛⎭⎫31010，1010 (2)－255 [解析] (1)由题意，2a ＋b ＝(3,1)，所以与2a ＋b 同向的单位向量的坐标为⎝⎛⎭⎫310，110，即⎝⎛⎭⎫31010，1010. (2)因为a ＝(1,0)，b ＝(1,1)，所以b －3a ＝(－2,1)．设向量b －3a 与向量a 的夹角为θ，那么cos θ＝(b －3a )·a |b －3a ||a |＝(－2，1)·(1，0)5×1＝－255.3．F2[2021·广东卷] 假设向量AB →＝(1,2)，BC →＝(3,4)，那么AC →＝( ) A ．(4,6) B ．(－4，－6) C ．(－2，－2) D ．(2,2)3．A [解析] 因为AC →＝AB →＋BC →＝(1,2)＋(3,4)＝(4,6)．所以选择A.9．F2[2021·全国卷] △ABC 中，AB 边的高为CD ，假设CB →＝a ，CA →＝b ，a·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，那么AD →＝( )A.13a －13bB.23a －23bC.35a －35bD.45a －45b 9．D [解析] 本小题主要考查平面向量的根本定理，解题的突破口为设法用a 和b 作为基底去表示向量AD →.易知a ⊥b ，|AB |＝5，用等面积法求得|CD |＝255， ∵AD ＝AC 2－CD 2＝455，AB ＝5，∴AD →＝45AB →＝45(a －b )，应选D.7．F 2、C6[2021·陕西卷] 设向量a ＝(1，cos θ)与b ＝(－1,2cos θ)垂直，那么cos2θ等于( )A.22B.12C ．0D ．－1 7．C [解析] 由向量垂直的充要条件可知，要使两向量垂直，那么有－1＋2cos 2θ＝0，那么cos2θ＝2cos 2θ－1＝0.应选C.A. 5B.10 C ．2 5 D ．106．B [解析] 因为a ⊥b ，所以a ·b ＝0，即x ·1＋1·(－2)＝0，解得x ＝2，所以a ＋b ＝(3，－1)，|a ＋b |＝32＋(－1)2＝10，选B.F3 平面向量的数量积及应用12．F3[2021·上海卷] 在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1.假设M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足|BM →||BC →|＝|CN →||CD →|，那么AM →·AN →的取值范围是________．AN →＝AD →＋(1－n )AB →，所以AM →·AN →＝(AB →＋nAD →)·[AD →＋(1－n )AB →]＝(1－n )AB →2＋nAD →2＝4－3n ，而函数f (n )＝4－3n 在[0,1]上是单调递减的，其值域为[1,4]，所以AM →·AN →的取值范围是[1,4]． 1．F3[2021·辽宁卷] 向量a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )，假设a ·b ＝1，那么x ＝( )A ．－1B ．－12C.12D ．1 1．D [解析] 本小题主要考查向量数量积的坐标运算．解题的突破口为正确运用数量积的坐标运算公式．因为a ·b ＝(1，－1)·(2，x )＝1×2－1·x ＝1⇒x ＝1，所以答案选D.15．F3[2021·课标全国卷] 向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，那么|b |＝________.15．[答案] 3 212．F3[2021·江西卷] 设单位向量m ＝(x ，y )，b ＝(2，－1)．假设m ⊥b ，那么|x ＋2y |＝________.12.5 [解析] 设c ＝(1,2) ，那么c ⊥b ，∴c ∥m .∵| m |＝1，∴|m·c |＝|c |＝ 5. 21．H5、H8、F3[2021·重庆卷] 如图，设椭圆的中点为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1，F 2，线段OF 1，OF 2的中点分别为B 1，B 2，且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形．(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过B 1作直线交椭圆于P ，Q 两点，使PB 2⊥QB 2，求△PB 2Q 的面积．21．解：(1)设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，右焦点为F 2(c,0)．因△AB 1B 2是直角三角形且|AB 1|＝|AB 2|，故∠B 1AB 2为直角，从而|OA |＝|OB 2|，即b ＝c2.结合c 2＝a 2－b 2得4b 2＝a 2－b 2，故a 2＝5b 2，c 2＝4b 2，所以离心率e ＝c a ＝25 5.在Rt △AB 1B 2中，OA ⊥B 1B 2，故S △AB 1B 2＝12·|B 1B 2|·|OA |＝|OB 2|·|OA |＝c2·b ＝b 2，由题设条件S △AB 1B 2＝4得b 2＝4，从而a 2＝5b 2＝20.因此所求椭圆的标准方程为：x 220＋y 24＝1.(2)由(1)知B 1(－2,0)、B 2(2,0)．由题意，直线PQ 的倾斜角不为0，故可设直线PQ 的方程为：x ＝my －2.代入椭圆方程得(m 2＋5)y 2－4my －16＝0.(*)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，那么y 1，y 2是上面方程的两根，因此 y 1＋y 2＝4mm 2＋5，y 1·y 2＝－16m 2＋5.又B 2P →＝(x 1－2，y 1)，B 2Q →＝(x 2－2，y 2)，所以 B 2P →·B 2Q →＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2 ＝(my 1－4)(my 2－4)＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2－4m (y 1＋y 2)＋16＝－16(m 2＋1)m 2＋5－16m 2m 2＋5＋16由PB 2⊥QB 2，知B 2P →·B 2Q →＝0，即16m 2－64＝0，解得m ＝±2. 当m ＝2时，方程(*)化为：9y 2－8y －16＝0， 故y 1＝4＋4109，y 2＝4－4109，|y 1－y 2|＝8910，△PB 2Q 的面积S ＝12|B 1B 2|·|y 1－y 2|＝16910.当m ＝－2时，同理可得(或由对称性可得)△PB 2Q 的面积S ＝16910.综上所述，△PB 2Q 的面积为16910.9．F3[2021·江苏卷] 如图1－3，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，假设AB →·AF →＝2，那么AE →·BF →的值是________．图1－39.2 [解析] 此题考查几何图形中的向量的数量积的求解，解题突破口为合理建立平面直角坐标系，确定点F 的位置．以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，那么AB →＝(2，0)． 设AF →＝(x,2)，那么由条件得2x ＝2，得x ＝1，从而F (1,2)，AE →＝(2，1)，BF →＝(1－2，2)，于是AE →·BF →＝ 2. 15．F3[2021·湖南卷] 如图1－5，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，且AP＝3，那么AP →·AC →＝________.图1－515．18 [解析] 此题考查平面向量的数量积和向量的表示，意在考查考生对数量积的掌握和向量相互转化能力；具体的解题思路和过程：把未知向量用向量来表示．AP →·AC →＝AP →·(DB →＋2BC →)＝2AP →·BC →＝2AP →·AD →＝2|AP →|·|AP →|＝18.[易错点] 此题易错一：找不到向量，无法把未知向量用向量表示；易错二：不会转化AD →＝BC →，把向量放到同一个直角三角形中；易错三：发现不了AD →在向量AP →上的射影等于|AP →|.13．F2、F3[2021·湖北卷] 向量a ＝(1,0)，b ＝(1,1)，那么(2)向量b －3a 与向量a 夹角的余弦值为________．13．[答案] (1)⎝⎛⎭⎫31010，1010 (2)－255 [解析] (1)由题意，2a ＋b ＝(3,1)，所以与2a ＋b 同向的单位向量的坐标为⎝⎛⎭⎫310，110，即⎝⎛⎭⎫31010，1010. (2)因为a ＝(1,0)，b ＝(1,1)，所以b －3a ＝(－2,1)．设向量b －3a 与向量a 的夹角为θ，那么cos θ＝(b －3a )·a |b －3a ||a |＝(－2，1)·(1，0)5×1＝－255.10．F3[2021·广东卷] 对任意两个非零的平面向量α和β，定义α∘β＝α∘ββ∘β.假设两个非零的平面向量a ，b 满足a 与b 的夹角θ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，且a ∘b 和b ∘a 都在集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎪⎪n 2n ∈Z 中，那么a ∘b ＝( )A.52B.32 C ．1 D.1210．D [解析] 根据新定义得：a ∘b ＝a ·b b ·b ＝|a ||b |cos θ|b ||b |＝|a |cos θ|b |＝n 2(n ∈Z )，(1)b ∘a ＝b ·a a ·a ＝|a ||b |cos θ|a ||a |＝|b |cos θ|a |＝m 2(m ∈Z )，(2)以上两式相乘得：cos 2θ＝n ·m4(n ，m ∈Z )．∵θ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，∴cos 2θ∈⎝⎛⎭⎫0，12，即 n ·m 4<12，所以0<mn <2，又因为n ，m ∈Z ，所以m ＝n ＝1，所以a ∘b ＝12.所以选择D. 11．F3[2021·安徽卷] 设向量a ＝(1,2m )，b ＝(m ＋1,1)，c ＝(2，m )，假设(a ＋c )⊥b ，那么|a |＝________.11.2 [解析] 因为a ＋c ＝(3,3m )，又b ＝(m ＋1,1)，(a ＋c )⊥b, 所以(a ＋c )·b ＝0，即(3,3m )·(m ＋1,1)＝6m ＋3＝0，解得m ＝－12，那么a ＝(1，－1)．故|a |＝ 2.13．F3[2021·北京卷] 正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，那么DE →·CB →的值为________，DE →·DC →的最大值为________． 13．1 1 [解析] 此题考查平面向量的数量积，平面向量的投影等根底知识．法一：投影法：设向量DE →，DA →的夹角为θ，那么DE →·CB →＝DE →·DA →＝|DE →|·|DA →|cos θ，由图可知，|DE →|cos θ＝|DA →|，所以原式等于|DA →|2＝1，要使DE →·DC →最大只要使向量DE →在向量DC →上的投影到达最大即可，因为DE →在向量DC →上的投影到达最大为|DC →|＝1，所以(DE →·DC →)max ＝|DC →|2＝1；法二：因为DE →＝DA →＋AE →且DA →⊥AE →，所以DE →·CB →＝(DA →＋AE →)·DA →＝|DA →|2＝1，DE →·DC →＝(DA →＋AE →)·AB →＝AB →·AE →＝|AB →||AE →|＝|AE →|，所以要使DE →·DC →最大，只要|AE →|最大即可，明显随着E 点在AB 边上移动|AE →|max ＝1，故(DE →·DC →)max ＝1.法三：以D 为坐标原点，DC →与DA →所在直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系，所以DE →＝(x,1)，CB →＝(0,1)，可得DE →·CB →＝x ×0＋1×1＝1.因为DC →＝(1,0)，所以DE →·DC →＝x ，因为1≥x ≥0，所以(DE →·DC →)max ＝1. 3．A2、F3[2021·福建卷] 向量a ＝(x －1,2)，b ＝(2,1)，那么a ⊥b 的充要条件是( )A ．x ＝－12B ．x ＝－1C ．x ＝5D ．x ＝03．D [解析] 因为a ⊥b ，所以a ·b ＝0，即(x －1)×2＋2×1＝0，解得x ＝0.8．F3[2021·天津卷] 在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝1，AC ＝2，设点P ，Q 满足AP →＝λAB →，AQ →＝(1－λ)AC →，λ∈R .假设BQ →·CP →＝－2，那么λ＝( )A.13B.23C.43D ．2 8．B [解析] BQ →·CP →＝(AQ →－AB →)·(AP →－AC →)＝[(1－λ)AC →－AB →]·(λAB →－AC →)＝－(1－λ)AC →2－λAB →2＝3λ－4＝－2，解得λ＝23.7．F3[2021·浙江卷] 设a ，b 是两个非零向量( ) A ．假设|a ＋b |＝|a |－|b |，那么a ⊥b B ．假设a ⊥b ，那么|a ＋b |＝|a |－|b |C ．假设|a ＋b |＝|a |－|b |，那么存在实数λ，使得b ＝λaD ．假设存在实数λ，使得b ＝λa ，那么|a ＋b |＝|a |－|b |7．C [解析] 此题考查对平面向量数量积理解及应用．法一：对于选项A ，假设|a ＋b |＝|a |－|b |可得a ·b ＝－|a ||b |，那么a 与b 为方向相反的向量，A 不正确；对于选项B ，由a ⊥b ，得a ·b ＝0，由|a ＋b |＝|a |－|b |得a ·b ＝－|a ||b |，故B 不正确；对于选项C ，假设|a ＋b |＝|a |－|b |可得a ·b ＝－|a ||b |，那么a 与b 为方向相反的共线向量，∴b ＝λa ；对于选项D ，假设b ＝λa ，当λ>0时，|a ＋b |＝|a |＋|b |，当λ<0时，可有|a ＋b |＝|a |－|b |，故D 不正确．[点评] 由|a ＋b |＝|a |－|b |判断a ，b 方向相反，且有|a |≥|b |是一个重要的结论，由此可以对各选项加以正确分析与应用．15．C8、F3[2021·浙江卷] 在△ABC 中，M 是线段BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，那么AB →·AC →＝________.15．－16 [解析] 此题主要考查平面几何的性质、平面向量的线性运算与数量积．法一：AB →·AC →＝(AM →＋MB →)·(AM →＋MC →) ＝|AM →|2－|MB →|2＝9－5×5＝－16.法二：特例法：假设△ABC 是以AB 、AC 为腰的等腰三角形，如图，AM ＝3，BC ＝10，AB ＝AC ＝34，cos ∠BAC ＝34＋34－1002×34＝－817，AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos∠BAC ＝－16.6．F2、F3[2021·重庆卷] 设x ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，－2)，且a ⊥b ，那么|a ＋b |＝( )A. 5B.10 C ．2 5 D ．106．B [解析] 因为a ⊥b ，所以a ·b ＝0，即x ·1＋1·(－2)＝0，解得x ＝2，所以a ＋b ＝(3，－1)，|a ＋b |＝32＋(－1)2＝10，选B.F4 单元综合7．F4[2021·四川卷] 设a 、b 都是非零向量．以下四个条件中，使a |a |＝b|b |成立的充分条件是( )A ．|a |＝|b |且a ∥bB ．a ＝－bC ．a ∥bD ．a ＝2b7．D [解析] 要使得a |a |＝b|b |，在a ，b 为非零向量的前提下，必须且只需a 、b 同向即可，结合四个选项，只有D 满足这一条件． 16．C9、F4[2021·山东卷] 如图1－5，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP →的坐标为________．图1－516．(2－sin2,1－cos2) [解析] 此题考查向量坐标运算与三角函数，考查数据处理能力与创新意识，难题．根据题意可知圆滚动了2个单位弧长，点P 旋转了2弧度．结合图象，设滚动后圆与x轴的交点为Q ，圆心为C 2，作C 2M ⊥y 轴于M, ∠PC 2Q ＝2，∠PC 2M ＝2－π2，∴点P 的横坐标为2－1×cos ⎝⎛⎭⎫2－π2＝2－sin2， 点P 的纵坐标为1＋1×sin ⎝⎛⎭⎫2－π2＝1－cos2. 2021模拟题1．[2021·湛江测试] 向量a ＝(1,3)，b ＝(2，x )，且a ∥b ，那么x ＝( )A ．－23 B.23C ．6D ．－61. C [解析] 由a ∥b 那么x －3×2＝0，即x ＝6，选C.2．[2021·宁夏一中模拟] 假设a ，b ，c 均为单位向量，且a·b ＝－12，c ＝x a ＋y b (x ，y ∈R )，那么x ＋y 的最大值是( )A ．2 B. 3 C. 2 D ．12．A [解析] 因为a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝－12，c ＝x a ＋y b (x ，y ∈R )，由|c |＝1得x 2＋y 2＝xy ＋1，所以xy ≤1，而(x ＋y )2＝x 2＋y 2＋2xy ＝3xy ＋1≤4，x ＋y ≤2，选A.3．[2021·三明普通高中联考] 关于x 的方程a x 2＋b x ＋c ＝0(其中a 、b 、c 都是非零平面向量)，且a 、b 不共线，那么该方程的解的情况是( )A ．至多有一个解B ．至少有一个解C ．至多有两个解D ．可能有无数个解3．C [解析] 由，x 是实数．关于x 的方程a x 2＋b x ＋c ＝0(其中a 、b 、c 都是非零向量)可化为c ＝－x 2a －x b ，a ，b 不共线且为非零平面向量，由平面向量的根本定理，存在唯一实数对(m ，n )使c ＝m a ＋n b .于是⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＝m －x ＝n ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－m ，x ＝－n ，至多有两个解．4．[2021·青岛期末] 设i 、j 是平面直角坐标系(坐标原点为O )内分别与x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量，且OA →＝－2i ＋j ，OB →＝4i ＋3j ，那么△OAB 的面积等于________．4．5 [解析] 设OA →，OB →的夹角为α，那么cos α＝－2×4＋1×35×5＝－55，∴sin α＝255，S △OA B ＝12×5×5×255＝5.5．[2021·台州质量评估] 如图G5－1，扇形AOB 的弧的中点为M ，动点C ，D 分别在OA ，OB 上，且OC ＝BD .假设OA ＝1，∠AOB ＝120°，那么MC →·MD →的取值范围是________．图G5－15. ⎣⎡⎦⎤38，12 [解析] 设OC ＝BD ＝x ，MC →·MD →＝(OC →－OM →)·(OD →－OM →)＝OC →·OD →＋OM →2－OM →·(OC →＋OD →)．∵∠COM ＝∠DOM ＝60°，∴MC →·MD →＝x (1－x )cos120°＋1－x cos60°－(1－x )cos60°＝x 2－x ＋12，x ∈[0,1]．。
(word版)(文科)平面向量测试题高考经典试题附详细答案
平面向量专题rrr r1．向量a (5,6)，b (6,5)，那么a 与bA ．垂直B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向2、向量a(1，n)，b (1，n)，假设2ab 与b 垂直，那么a〔〕A ．1B ．2C ．2D ．4rr rr rr rr rr 3、假设向量a,b 满足|a||b| 1，a,b 的夹角为 60°，那么aa ab=______；4、在直角 ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，那么以下等式不成立的是 （ uuur （A 〕AC（ uuur（ C 〕AB22uuuruuurAC ABuuuruuurACCDuuur 2 uuuruuur 〔B 〕BC BABCuuur 2 uuur uuu r uuur uuu r(AC AB) (BA BC)〔D 〕CDuuur 2AB5、在?ABC 中，D 是AB 边上一点，假设AD =2DB ，CD =1CACB ,那么=3 211(D)-2(A)(B)(C)-33336、设F 为抛物线y 2=4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，假设 FAFBFC =0，那么|FA|+|FB|+|FC|=(A)9(B) 6(C)4(D)3uuur uuuruuu r 1 uuur uuur7、在△ABC 中，D 是AB 边上一点，假设AD ， CA CB，那么 〔〕2DBCD 32 1 C ．1 2A ．B ．3D ．3338、O 是△ABC 所在平面内一点，uuu r uuur uuur0，那么〔D 为BC 边中点，且2OA OB OC 〕uuur uuuruuu ruuur uuur uuuruuur uuurＡ．AO ODＢ．AO2OD Ｃ．AO 3OD Ｄ．2AO OD9、设a ，b 是非零向量，假设函数f(x) (xab)g(axb)的图象是一条直线，那么必有〔〕A ．a ⊥bB ．a ∥bC ．|a||b|D ．|a||b|10、假设O 、E 、F 是不共线的任意三点，那么以下各式中成立的是uuu r uuu r uuu rB.uuur uuu r uuur uuur uuu r uuur A ．EF OF OEEF OF OEC.EFOF OE D.11、设a=(4,3),a 在b 上的投影为5 2,b 在x 轴上的投影为 2,且|b|＜1,那么b为2A.(2,14)B.(2,-22D.(2,8))7uuur uuur uuurEF OF OE112、平面向量a(11)，，b(1，1)，那么向量1a 3b〔〕22Ａ．(2，1)Ｂ．(2，1)Ｃ．(1，0)Ｄ．(1，2)uuur uuur uuur uuuruuur uuur uuur13、向量OA(4,6),OB(3,5),且OC OA,AC//OB,那么向量OC等于〔A〕3,2〔B〕2,4〔C〕3,2〔D〕2,4777217772114、假设向量a与b不共线，agb0，且c=a-aga b，那么向量a与c的夹角为〔〕agbA．0πC．ππB．3D．62uuuruuur uuur15、设A(a,1)，B(2,b)，C(4,5)O为坐标原点，假设为坐标平面上三点，OA与OB在OC方向上的投影相同，那么a与b满足的关系式为〔〕〔A〕4a5b3〔B〕5a4b3〔C〕4a5b14〔D〕5a4b14uuur r uuur r uuur r16、在四面体O-ABC中，OA a,OB b,OC c,D为BC的中点，E为AD的中点，那么OE=〔用a，b，c表示〕17、向量a=2，4，b=11，．假设向量b(a+b)，那么实数的值是．r r60，r r，那么rr r，的夹角为a b1aga b．18、假设向量ab19、如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，假设uuur uuuur uuur uuurn的值为AB mAM，AC nAN，那么m．ANB O CM20、在平面直角坐标系中，正方形OABC的对角线OB的两端点uuuruuur分别为O(0，0)，B(11)，，那么ABgAC．2平面向量专题rrrr1．向量a(5,6)，b(6,5)，那么a 与b．垂直解．向量B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向r r rrrra (5,6)，b(6,5)，ab 30300，那么a 与b 垂直，选A 。
高考数学试题解析 分项专题07 平面向量 文 试题
2021最新命题题库大全2021-2021年高考试题解析数学〔文科〕分项专题07 平面向量2021年高考试题 一、选择题:1．(2021年高考卷文科3)向量(1,2),(1,0),(3,4)a b c ===，假设λ为实数，()//a b c λ+，那么λ= 〔 〕 A ．14 B ．12C ．1D ．2 【答案】B【解析】)2,1()0,()2,1(λλλ+=+=+b a ， ()//a b c λ+210324)1(=∴=⨯-⨯+∴λλ 所以选B.2.〔2021年高考全国卷文科3)设向量a b 、满足|a |=|b |=1, a b ⋅1=2-,那么2a b +=〔A 〔B 〔C 〔D 【答案】B【解析】2222(2)44a b a b a a b b +=+=+⋅+2244a a b b =+⋅+== B3.〔2021年高考卷文科3)向量a =〔2,1〕，b =〔-1，k 〕，a ·〔2a -b 〕=0，那么k=〔 〕〔A 〕-12 〔B 〕-6 〔C 〕6 〔D 〕12 答案： D解析：由题意，得2a -b =〔5，2-k 〕，a ·〔2a -b 〕=2×5+2-k=0，所以k=12.4．〔2021年高考卷文科5)向量(1,),(2,2),a k b a b a ==+且与一共线，那么a b ⋅的值是A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D 二、填空题：5. 〔2021年高考卷文科13)a 与b 为两个不一共线的单位向量,k 为实数,假设向量a b +与向量ka b -垂直,那么k = .【解析】要求→1b *→2b ，只需将题目条件带入，得：→1b *→2b =〔→1e -2→2e 〕*〔3→1e +4→2e 〕=222121823→→→→-•-e e e e其中21→e =1，=•→→21e e =60cos 21••→→e e =1*1*21=21，122=→e ，带入，原式=3*1—2*21—8*1=—6.8. 〔2021年高考卷文科13)假设向量a=〔1,1〕，b 〔-1,2〕，那么a·b 等于_____________. 【答案】1【解析】因为向量a=〔1,1〕，b 〔-1,2〕，所以a·b 等于1.9. 〔2021年高考卷文科7)如图，正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++=(A)0 (B)BE (C)AD (D)CF 答案：D解析：BA CD EF DE CD EF CD DE EF CF ++=++=++=.10．〔2021年高考卷文科13)设向量,a b 满足||25,(2,1),a b ==且a b 与的方向相反，那么a 的坐标为 ． 答案：(4,2)-- 解析：由题2||215b =+=2(4,2).a b =-=--11．〔2021年高考卷文科2)假设向量{1,2},{1,1}a b ==-，那么2a b +与a b -的夹角等于A.4π-B.6πC.4π D.34π 答案：C解析：因为2(3,3),(0,3)a b a b +=-=,设其夹角为r ，故(2)()2cos 2|2|||a b a b r a b a b +⋅-==+⋅-，即4r π=，所以选C.12.〔2021年高考卷文科15)假设平面向量α、β 满足1,1αβ=≤，且以向量α、β为邻边的平行四边形的面积为12，那么α和β的夹角θ取值范围是___。
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2021届高三精准培优专练例1：如图，三个半径为3的圆两两外切（M，N，P为圆心），且等边ABC△的每一边都与其中的两个圆相切，则AP AN⋅=．例2：已知对任意平面向量(,)AB x y=，把AB绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量(cos sin,sin cos)AP x y x yθθθθ=-+，叫做把点B绕点A逆时针旋转θ角得到点P．若平面内点(3,0)A，点(0,1)B，把点B绕点A顺时针方向旋转4π3后得到点P，则点P的坐标为（）A．(3,2)-B．(0,2)-C．(3,1)D．(23,0)例3：如图在矩形ABCD中，3AB=，4BC=，点E为BC的中点，点F在CD上，若3AB AF⋅=，则AE BF⋅的值是（）培优点平面向量一、平面向量的线性运算二、平面向量的坐标运算三、平面向量数量积A ．53--B ．53+C ．43+D ．53-例4：在ABC △中，6AC =，7BC =，1cos 5A =，O 是ABC △的内心，若OP xOA yOB =+， 其中01x ≤≤，12y ≤≤，动点P 的轨迹所覆盖的面积为（ ）A ．1063B ．563C ．103D ．203例5：在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上， 若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为（ ） A ．3 B ．22C ．5D ．2一、选择题1．梯形ABCD 中，AB CD ∥且AB AD BC λμ=+，则λμ+=（ ）四、平面向量和三角形函数，解三角形的综合五、平面向量和平面几何的综合对点增分集训A ．1B ．1-C ．0D ．不能确定2．在ABC △中，M 是AB 边所在直线上任意一点，若2CM CA CB λ=-+，则λ=（ ） A ．1B ．2C ．3D ．43．已知两点(1,0)M -，(1,0)N ，若直线340x y m -+=上存在点P 满足0PM PN ⋅=，则实数m 的 取值范围是（ ） A ．(,5][5,)-∞-+∞ B ．(,25][25,)-∞-+∞ C ．[5,5]-D ．[25,25]-4．已知2==a b ，且0⋅=a b ，1()2=+c a b ，-=d c ，则d 的取值范围是（ ）A ．[0,B ．[0,2]C ．D ．[0,1]5．若O 为ABC △所在平面内任意一点，且满足()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=，则ABC △的 形状为（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．正三角形D ．等腰直角三角形6．长度都为2的向量OA ，OB 的夹角为π3，点C 在以O 为圆心的圆弧AB （劣弧）上，OC mOA nOB =+，则m n +的最大值是（ ）A ．B ．3C D ．7．过点(1,1)P -作圆22()(2)1()C x t y t t -+-+=∈R 的切线，切点分别为A ，B ，则PA PB ⋅的最小值为（ ）A ．103B ．403C ．214D ．38．如图，四边形OABC 是边长为1的正方形，3OD =，点P 为BCD △内（含边界）的动点，设OP OC OD αβ=+（α，β∈R ），则54αβ+的最大值是（ ）A ．14B ．920C ．34D ．17609．如图，在ABC △中，π3BAC ∠=，2AD DB =，P 为CD 上一点，且满足12AP mAC AB =+，若ABC △的面积为AP 的最小值为（ ）ABC ．3D ．4310．已知AB AC ⊥，1AB t =，AC t =，1[,4]4t ∈；若P 是ABC △所在平面内一点，且4AB AC AP ABAC=+，则PB PC ⋅的取值范围是（ ）A ．[13,17]B ．[12,13]C ．3[,12]4D ．3[,13]411．在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足DA DB DC==，2DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅=-，动点P ，M 满足1AP =，PM MC =，则2BM 的最大值是（ ）A ．434B ．494C ．374+ D ．374+ 12．如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，1AB AD ==．若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅的最小值为（ ）A ．2116B ．32C ．2516D ．3二、填空题13．已知G 为ABC △的重心，过点G 的直线与边AB ，AC 分别相交于点P ，Q ． 若AP AB λ=，则当ABC △与APQ △的面积之比为20:9时，实数λ的值为 ．14．已知腰长为2的等腰直角三角形ABC 中，M 为斜边AB 的中点，点P 为ABC △所在平面内一动点，若2PC =，则()()PA PB PC PM ⋅⋅⋅的最小值是 ． 15．在ABC △中，0GA GB GC ++=，且0GA GB ⋅=，若tan tan tan tan tan A B mA B C+=，则实数m 的值是 ．16．如图，等边ABC △的边长为2，顶点B ，C 分别在x 轴的非负半轴，y 轴的非负半轴上移动，M 为AB 的中点，则OA OM ⋅的最大值为 ．例1：【答案】18123+【解析】由题意易得23AM =，所以()()AP AN AM MP AM MN ⋅=+⋅+2AM AM MN MP AM MP MN=+⋅+⋅+⋅2(23)22323cos302323cos 6018123=+⨯⨯⨯︒+⨯⨯︒=+．例2：【答案】A【解析】(3,1)AB =-，顺时针旋转4π3时，4π3θ=-， 代入得4π4π3cos()1sin()033x '=-⋅--⨯-=， 4π4π3sin()cos()233y '=--+-=-，即(0,2)AP =-， ∵(3,0)A ，∴(3,2)P -，故选A ． 例3：【答案】B【解析】选基向量AB 和BC ，由题意得0AB BC ⋅=，3AB =，4BC =， ∴AF AD DF BC DF =+=+，∴()3AB AF AB BC DF AB BC AB DF ⋅=⋅+=⋅+⋅=，即cos 03AB DF =，解得1DF =， ∵点E 为BC 的中点，1DF =，∴12AE AB BC =+，33BF BC CF BC AB -=+=-， ∴221331()()532233AE BF AB BC BC AB AB BC --⋅=+⋅-=-+=+． 故选B ． 例4：【答案】A【解析】如图，根据题意知，P 点在以BD ，BF 为邻边的平行四边形内部，培优点八 平面向量 答案∴动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为2AOB S △， 在ABC △中，1cos 5BAC ∠=，6AC =，7BC =， ∴由余弦定理得，213649526AB AB +-=⋅，解得5AB =或135AB =-（舍去），又O 为ABC △的内心，所以内切圆半径2ABCS r a b c=++△，又12AOB S r AB =⋅⋅△，∴5512556sin 56718263OB ABC S S BAC =⋅=⨯⨯⨯⨯∠==++△△，∴动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为3A ． 例5：【答案】A 【解析】如图，以A 为原点，以AB ，AD 所在的直线为x ，y 轴建立如图所示的坐标系，则(0,0)A ，(1,0)B ，(0,2)D ，(1,2)C ，∵动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上，设圆的半径为r ，∵2BC =，1CD =，∴BD ==1122BC CD BD r ⋅=⋅，∴5r =， ∴圆的方程为224(1)(2)5x y -+-=，设点P 的坐标为2)θθ++，∵AP AB AD λμ=+，所以2)(1,0)(0,2)(,2)θθλμλμ++=+=，1θλ+=22θμ+=，∴2sin()255λμθθθϕ+=++=++，其中tan 2ϕ=， ∵1sin()1θϕ-≤+≤，13λμ≤+≤，故λμ+的最大值为3，故选A ．一、选择题 1．【答案】C【解析】由梯形ABCD 易得：0AB BC CD DA +++=，所以AB DC AD CB -=+， 又AB AD BC λμ=+，所以(1)(1)DC AD BC λμ=-++， 由于AB CD ∥，所以(1)(1)λμμλ-=+，可得0λμ+=．故选C ． 2．【答案】C【解析】∵ABC △中，M 是AB 边所在直线上任意一点， ∴存在实数μ，使得AM MB μ=，即()CM CA CB CM μ-=-， 化简得111CM CA CB μμμ=+++，∵2CM CA CB λ=-+，∴结合平面向量基本定理，得1211μμλμ⎧=-⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩，解之得3λ=，32μ=-．故选C ． 3．【答案】C【解析】设(,)P x y ，则(1,)PM x y =---，(1,)PN x y =--，由PM PN ⊥，得221x y +=，∴点P 的轨迹为一个以原点为圆心，1为半径的圆，因P 在直线340x y m -+=上，故圆心到直线的距离1d =≤，故[5,5]m ∈-，故选C ．4．【答案】A【解析】如图所示，OA =a ，OB =b ，且OA OB ⊥，又1()2=+c a b ，取AB 中点为C ，可得OC =c ，∵-d c ，∴d 的终点D 在以C为半径的圆上运动， 当D 点在O 点处，d 的最小值为0；当D 点在OC 的延长线时，d的最大值为，∴d的取值范围是，故选A ． 5．【答案】A【解析】()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=，即()0CB AB AC ⋅+=， ∵AB AC CB -=，∴()()0AB AC AB AC -⋅+=，即AB AC=，∴ABC △是等腰三角形，故选A ． 6．【答案】B【解析】∵OC mOA nOB =+，∴22()OC mOA nOB =+，∴224442m n mn OA OB =++⋅⋅，即22π444222cos 3m n mn =++⨯⨯⨯， 即221m n mn ++=，故22()()14m n m n mn ++-=≤，（当且仅当m n =时，等号成立）；故24()3m n +≤，故m n +3=． 7．【答案】C【解析】由已知得圆心坐标(,)x y 满足2x ty t =⎧⎨=-⎩，即2y x =-，可知圆心C 在直线2y x =-上运动，则1PC -≥=．设CPA θ∠=，则22cos 2(12sin )PA PB PA PB PA θθ⋅=⋅=-222222(1)(1)3PC PC PCPC=--=+-，易知函数23y x x =+-在[8,)+∞上为增函数，所以2218384PA PB ⋅≥+-=．故选C ． 8．【答案】D【解析】以O 为坐标原点，以OD ，OC 所在的直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则(0,0)O ，(1,0)A ，(0,1)C ，设(,)P x y ． 因为OP OC OD αβ=+，所以3OP OC OA αβ=+，即(3,)P βα，所以3x y βα=⎧⎨=⎩，所以3yx αβ=⎧⎪⎨=⎪⎩，则54125x y αβ+=+．由题意知动点(,)P x y 的运动区域为BCD △内（含边界）， 因此平行于直线0125x y +=的直线经过点(1,1)B 时，125x y+取得最大值， 即max max 1117()()5412512560x y αβ+=+=+=，故选D ． 9．【答案】B【解析】设3AB a =，AC b =，则三角形ABC的面积为1π3sin 23ab ⨯=，解得83ab =， 由1324AP mAC AB mAC AD =+=+，且C ，P ，D 三点共线，可知314m +=，14m =， 故1344AP AC AD =+． 以A 点为坐标原点，以AB 所在直线为x 轴，过A 点作AB 的垂线为y 轴，建立如图所示坐标系，则(0,0)A ，(2,0)D a ，(3,0)B a，1()2Cb，则1(,)22AC b b =，(2,0)AD a =，13(,)828AP b a =+，则2222222213193319()()1828644864164AP b a b a ab b b a =++=+++=++31134ab ≥=+=（当且仅当2219164b a =，即6b a =时取“=”）．故AP 的最小值为B ． 10．【答案】D【解析】由题意建立如图所示的坐标系，可得(0,0)A ，1(,0)B t，(0,)C t ，∵4(1,0)(0,4)(1,4)AB AC AP ABAC=+=+=，∴(1,4)P ，∴1(1,4)PB t=--，(1,4)PC t =--，∴11(1)4(4)17(4)1713PB PC t t t t ⋅=----=-+≤-=， 当且仅当14t t =，即11[,4]24t =∈时，取等号， 由4t =可得13=17(16)44PB PC ⋅-+=，由14t =可得17(14)12PB PC ⋅=-+=， ∴PB PC ⋅的最大值为13，最小值为34．则PB PC ⋅的范围是3[,13]4．故选D ． 11．【答案】B 【解析】由题意，DA DB DC==，∴D到A，B，C三点的距离相等，D是ABC△的外心，2DA DB DB DC DC DA⋅=⋅=⋅=-()0DA DB DB DC DB DA DC DB CA⇒⋅-⋅=⋅-=⋅=，∴DB AC⊥，同理可得，DA BC⊥，DC AB⊥，从而D是ABC△的垂心，∴ABC△的外心与垂心重合，因此ABC△是正三角形，且D是ABC△的中心，1cos()222DA DB DA DB ADB DA DB DA⋅=⋅∠=⨯-=-⇒=，∴正三角形ABC的边长为A为原点建立直角坐标系，B，C，D三点坐标分别为(3,B，C，(2,0)D，由1AP=，设P点的坐标为(cos,sin)θθ，其中[0,2π)θ∈，而PM MC=，即M是PC的中点，可以写出M的坐标为3cos(2Mθ+，则222π3712sin()cos33712496()2444BMθθ+--+=+=≤=，当2π3θ=时，2BM取得最大值494．故选B．12．【答案】A【解析】以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，因为在平面四边形ABCD 中，1AB AD ==，120BAD ∠=︒， 所以(0,0)A ，(1,0)B ，1(,)22D -， 设(1,)C m ，(,)E x y，所以3(,22DC m =-，1(22AD =-， 因为AD CD ⊥，所以31(,(022m ⋅-=，即31()022m ⨯-+=，解得m =C ， 因为E 在CD上，所以2y ≤≤， 由CECD k k =，得21112y x =-+，即2x =-， 因为(,)AE x y =，(1,)BE x y =-，所以(,)(1,)AE BE x y x y ⋅=⋅-222222)246x x y y y =-+=--++=-+．因为函数2()46f y y =-+在上单调递减，在上单调递增，所以2min 21()4(68816f y =⨯-+=． 所以AE BE ⋅的最小值为2116，故选A ．二、填空题 13．【答案】34或35【解析】设AQ AC μ=，则由AP AB λ=，209ABC APQS S =△△，可得1sin 20219sin 2AB AC A AB AC AB AC AP AQ A λμ⋅⋅==⋅⋅，所以920λμ=．① 又G 为ABC △的重心，所以111111()()3333AG AB AC AP AQ AP AQ λμλμ=+=+=+． 结合P ，G ，Q 三点共线，得11133λμ+=．② 联立①②消去μ，得2202790λλ-+=，解得34λ=或35． 14．【答案】32-【解析】如图，以C 为原点，CB ，CA 的方向分别为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则(0,0)C ，(2,0)B ，(0,2)A ，(1,1)M ，(2cos ,2sin )P θθ，(2cos ,22sin )PA θθ=--，(22cos ,2sin )PB θθ=--，∴44(cos sin )PA PB θθ⋅=-+，(2cos ,2sin )PC θθ=--，(12cos ,12sin )PM θθ=--，∴42(cos sin )PC PM θθ⋅=-+，故()()[44(cos sin )][42(cos sin )]PA PB PC PM θθθθ⋅⋅⋅=-+⋅-+， 设cos sin t θθ+=，[t ∈，则2()()(44)(42)8(32)PA PB PC PM t t t t ⋅⋅⋅=-⋅-=-+，当t =时，()()PA PB PC PM ⋅⋅⋅取得最小值，其最小值为32-15．【答案】12【解析】设在ABC △中，三个内角BAC ∠，ABC ∠，ACB ∠的对边分别是a ，b ，c ， ∵0GA GB GC ++=，则G 为ABC △的重心， 又∵0GA GB ⋅=，则AG BG ⊥，如图，作ABC △的中线AF ，BE ，CD ，∴12AD BD GD GC ===．由余弦定理得2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-⋅∠，2222cos(π)BC BD CD BD CD ADC =+-⋅-∠，∴222222220AC BC AD CD BD CD AD +=+++=，即2225a b c +=， 由正弦定理得222sin sin 5sin A B C +=，再由余弦定理得2222244sin cos 222sin sin a b c c CC ab ab A B+-===，∴2sin sin cos 2sin A B C C =，∴sin sin cos 2sin cos cos sin cos cos A B C CA B C A B=，∴tan tan 2sin()2(tan tan )tan cos cos A B A B A B C A B +==+，∴1tan tan 2tan tan tan A BA B C+=，∴12m =．16．【答案】52+【解析】设OBC θ∠=，因为2BC =，所以(2cos ,0)B θ，(0,2sin )C θ，则(2cos ,2sin )BC θθ=-， 设(,)BA x y =，因为ABC △是边长为2的等边三角形，所以2242cos 2sin 2x y x y θθ⎧+=⎨-+=⎩，解得cos sin x y θθθθ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩，即(3cos sin )BA θθθθ=-+，则(3cos sin )OA OB BA θθθθ=+=++，因为M 为AB 的中点， 所以1331(cos sin)222OMOB BA θθθθ=+=++， 所以2311522cos 2cos22222OA OM θθθθθ⋅=+++=++5)2θϕ=++（其中cos 14ϕ=，sin 14ϕ=），所以OA OB ⋅的最大值为52+。