九年级数学上册 第23章 图形的相似 成比例线段导学案
九年级数学上册《成比例线段》教案、教学设计
（5）课堂小结：对本节课的主要内容进行总结，强调成比例线段的重要性。
3.教学评价：
（1）过程性评价：关注学生在课堂上的参与程度、合作交流、问题解决能力等方面，给予积极的评价和鼓励；
（2）终结性评价：通过课后作业、阶段测试等形式，了解学生对成比例线段知识的掌握情况，及时发现问题并进行针对性的辅导。
（四）课堂练习，500字
为了巩固学生对成比例线段知识的掌握，我将设计以下课堂练习：
1.基础练习：给出一些成比例线段的判定题，让学生独立完成；
2.提高练习：设计一些实际问题，让学生运用成比例线段知识解决；
3.拓展练习：给出一些复杂几何问题，如相似三角形中的成比例线段问题，让学生尝试解决。
在练习过程中，我会及时给予学生反馈，指导他们纠正错误，提高解题能力。
4.教学策略：
（1）关注学生的个体差异，提供个性化的辅导，使每个学生都能在原有基础上得到提高；
（2）注重培养学生的几何直观能力，引导学生通过观察、分析、归纳等方法探索几何规律；
（3）鼓励学生提问和质疑，培养学生的批判性思维和创新意识；
（4）整合现代教育技术，如多媒体、网络资源等，丰富教学手段，提高教学效果。
5.通过实际操作，培养学生的观察能力、空间想象能力和逻辑思维能力。
（二）过程与方法
在本章节的教学过程中，教师应注重以下过程与方法：
1.创设情境，引导学生自主探究成比例线段的概念；
2.通过实际例子，让学生感受成比例线段在生活中的应用，培养学生学以致用的意识；
3.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动发现、提出和解决问题；
四、教学内容与过程
沪科版九年级上册数学第23章 解直角三角形 【教案】 平行线分线段成比例
22.1.4 平行线分线段成比例教学目标【知识与技能】1.使学生在理解的基础上掌握平行线分线段成比例定理及其推论,并会灵活应用.2.使学生掌握三角形一边的平行线的判定定理.【过程与方法】通过学习定理再次锻炼类比的数学思想,能把一个稍复杂的图形分成几个基本图形,通过应用锻炼识图能力和推理论证能力.【情感、态度与价值观】通过定理的学习知道认识事物的一般规律是从特殊到一般,并能欣赏数学表达式的对称美,提高学习数学的兴趣.重点难点【重点】平行线分线段成比例定理和推论及其应用.【难点】平行线分线段成比例定理的正确性的说明及推论应用.教学过程一、复习引入教师多媒体课件出示:1.求下列各式中x∶y的值.(1)3x=7y; (2)y=x;(3)y∶x=4∶7.2.已知x∶2=y∶3=z∶6,求(x+y-z)∶(4x+6y+z).教师找两位学生分别板演1、2题,其余同学在下面做,教师巡视,然后集体订正.二、共同探究,获取新知师:平行于三角形一边的直线,在另外两边上截得的线段是怎样的呢?生:……教师多媒体课件出示:已知:如图,过△ABC的AB边上任意一点D作直线DE平行于BC,交AC 于点E,求证:=.师:你能证明这个问题吗?学生思考、讨论.教师边操作边讲解:我们可以作辅助线,连接BE、CD,再过点E作AB 上的垂线段h.师:现在你能猜出可以转化为哪两个三角形的面积之比吗?学生思考后回答:能,可以转化为△ADE和△BDE的面积之比.师:你是怎样得到的呢?生:△ADE的面积等于AD与h乘积的一半,△BDE的面积等于BD与h 乘积一半,所以==.师:你回答得太好了!我们要证的是=,我们把AD与DB的比转化为了两个三角形的面积之比.再证出什么就能得到结论了?学生思考后回答:再证出=.师:对,你们太聪明了!你怎么证明这个相等关系呢?生:过点D向AC边作垂线,与前面同理可证出这个相等关系.师:很好!这样我们就证出=.由这个比例式,你能推出哪些线段也是成比例的?还有哪些比例式也是成立的呢?学生思考,教师提示.生甲:=.生乙:=.师:对!上面的图形,也可看作是直线BC平行于△ADE的一边与另外两边的延长线相交而得到的.于是我们能得到一个定理.教师提示大家读出书上的推论,并板书:定理平行于三角形一边的直线与其他两边相交,截得的对应线段成比例.师:这个定理可推广成一般的形式.教师多媒体课件出示:已知:如图,直线l1∥l2∥l3,直线AC、DF被这三条直线分别截于点A、B、C和D、E、F,求证:=.师:直线AC、DF被这三条直线所截,不止一种结果.因为不同情况下的证明方法不同,所以我们要对截得的结果分类,被截的情形有哪几种呢?学生思考、讨论.生甲:AC与DF平行.生乙:AC与DF不平行,但它们在l1与l2间不相交.生丙:AC与DF相交在l1或l3上.生丁:AC与DF相交在两条平行线间.师:下面我们分别就这几种情况进行讨论.先看平行时,怎么证明这个结论呢?生:根据夹在两条平行线间的平行线段相等得到AB=DE,BC=EF,所以AB∶BC=DE∶EF.师:很好!如果AC与DF不平行且在l1与l2间不相交时,又该如何证明呢?学生思考,讨论后教师找一生板演,其余同学在下面做,然后集体订正.证明:过点A作DF的平行线,分别交l2、l3于点E'、F'.这时有=,而四边形AE'ED和四边形E'F'FE都是平行四边形,所以AE'=DE,E'F'=EF,因而可得=.其余两种情况类似可证.师:于是我们得到如下定理:(教师板书)平行线分线段成比例定理两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.三、继续探究,层层推进师:在这个定理中,当=1时,有=1,即当AB=BC时,有DE=EF,由此你能得到什么结论?学生口述,教师板书:平行线等分线段定理两条直线被三条平行线所截,如果在其中一条上截得的线段相等,那么在另一条上截得的线段也相等.四、例题讲解【例】如图,在△ABC中,E、F分别是AB和AC上的点,且EF∥BC.(1)如果AE=7,EB=5,FC=4,那么AF的长是多少?(2)如果AB=10,AE=6,AF=5,那么FC的长是多少?解:(1)∵EF∥BC,∴=,∵AE=7,EB=5,FC=4,∴AF===.(2)∵EF∥BC,∴=.∵AB=10,AE=6,AF=5,∴AC===,∴FC=AC-AF=-5=.五、巩固练习师:同学们,我们今天学习了不少知识,你们都掌握了吗?现在我来出几道题目帮助大家消化一下.1.如图,已知AB∥CD∥EF,那么下列结论正确的是( )A.=B.=C.=D.=【答案】A2.如图,DE∥BC,AB∶DB=3∶1,则AE∶AC= .【答案】2∶3第2题图第3题图3.如图,DE∥BC,若AB=8,AE∶EC=2∶3,则AD= .【答案】4.如图,DE是△ABC的中位线,F是DE的中点,BF的延长线交AC于点H,则AH∶HE= .【答案】2∶1第4题图第5题图5.如图,在△ABC中,DE∥BC,AD=4,DB=8,AE=3.(1)求的值;(2)求AC的长.【答案】(1)===;(2)∵DE∥BC,∴==.又∵AE=3,∴AC=9.六、课堂小结师:今天你学习了哪些定理?学生口述定理.。
2019秋华师大版九年级数学上册课件：第23章 23.1 1.成比例线段
能利用比例的性质求值． 【例 2】已知2xx－－yy＝37，求xy. 【思路分析】根据比例的基本性质得出 x、y 之间的关系，再转化为比例式 即可． 【规范解答】由2xx－－yy＝37，得 7(2x－y)＝3(x－y)，即 11x＝4y.∴xy＝141. 【方法归纳】利用“两内项之积等于两外项之积”，将比例式化成等积式， 再化简整理，最后把等积式变成比例式，从而求出xy的值.
8 5
.
能力点：会利用比例性质求线段长 利用比例性质对已知条件变形，化简求出值． 7．已知 a、b、c 是△ABC 的三边的长，且△ABC 的周长是 60cm，a3＝b4＝5c， 求 a、b、c 的长． 解：∵3a＝b4＝5c，∴a＝35c，b＝54c，∵a＋b＋c＝60，∴35c＋45c＋c＝60，解 得 c＝25，∴a＝15，b＝20.答：略．
8．下列 a、b、c、d 四条线段，不是成比例线段的是( D ) A．a＝2cm，b＝5cm，c＝5cm，d＝12.5cm B．a＝5cm，b＝3cm，c＝5cm，d＝3cm C．a＝30mm，b＝2cm，c＝12mm，d＝0.8cm D．a＝5cm，b＝0.02cm，c＝0.7cm，d＝0.3cm
13．根据图中给出的线段的长度：
(1)求ABBC、CADB、DBCE、CADC； (2)试列举出图中两组成比例的线段(只举出两组即可)． 解：(1)13，21，21，2； (2)CADB＝DBCE，CADB＝CAEC等．
14．如图所示，已知DADB＝EACE，AD＝15，AB＝40，AC＝28.求 AE. 解：∵DADB＝EACE，∴DBA＋DAD＝ECA＋EAE，即AADB＝AACE，∴AE＝28× 4015＝10.5.
15．阅读下面的例题． 已知 a∶b∶c＝4∶3∶2，且 a＋2b－3c＝12.求： (1)a、b、c 的值； (2)3a－2b＋c 的值． 解：(1)∵a∶b∶c＝4∶3∶2，∴a4＝b3＝2c，设4a＝b3＝2c＝k，则 a＝4k，b＝3k， c＝2k，∴a＋2b－3c＝4k＋6k－6k＝4k＝12，∴k＝3，∴a＝12，b＝9，c ＝6； (2)3a－2b＋c＝24. 根据例题做下面的题目：已知△ABC 的三边长为 a、b、c，且(a－c)∶(a＋ b)∶(c－b)＝－2∶7∶1，试判断△ABC 的形状．
九年级数学上册第23章图形的相似23.1成比例线段23.1.2平行线分线段成比例同步练习华东师大版
23.1.2 平行线分线段成比例知识点 1 平行线分线段成比例1．如图23－1－3，AD ∥BE ∥CF ，直线m ，n 与这三条平行线分别交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F ，根据平行线分线段成比例，可得AB BC ＝()() ，若AB ＝5，BC ＝10，DE ＝4，可得()()＝()()，解得EF ＝________．图23－1－32．如图23－1－4，在四边形ABCD 中，点E ，F 分别在AD 和BC 上，AB ∥EF ∥DC ，且DE ＝3，DA ＝5，CF ＝4，则FB 的长为( )A.32B.83C ．5D ．6图23－1－43．如图23－1－5，若AD ∥BE ∥CF ，直线l 1，l 2与平行线分别交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F .若AB ＝BC ，则DE 与EF ________(填“相等”或“不相等”)．图23－1－54．如图23－1－6，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是AB 上一点，EF ∥BC 交CD 于点F .若AE ＝2，BE ＝6，CD ＝7，则FC ＝________．图23－1－65．如图23－1－7，已知AD ∥BE ∥CF ，它们依次交直线l 1，l 2于点A ，B ，C 和点D ，E ，F .如果AB ＝6，BC ＝10，那么DEDF的值是________．图23－1－76．［教材练习第1题变式］如图23－1－8，直线a ∥b ∥c .(1)若AC ＝6 cm ，EC ＝4 cm ，BD ＝8 cm ，则线段DF 的长度是多少厘米？ (2)若AE ∶EC ＝5∶2，DB ＝5 cm ，则线段DF 的长度是多少厘米？图23－1－8知识点 2 平行线分线段成比例的推论7．［2016·兰州改编］如图23－1－9，在△ABC 中，因为DE ∥BC ，所以AD BD ＝（ ）（ ）.若AD BD ＝23，则AD BD ＝（ ）（ ）＝________．图23－1－98．如图23－1－10，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 与l 1，l 2，l 3分别交于点A ，B ，C ，直线DF 与l 1，l 2，l 3分别交于点D ，E ，F ，AC 与DF 相交于点G ，且AG ＝2，GB ＝1，BC ＝5，则DEEF的值为( )A. 12 B ．2 C. 25 D. 35图23－1－109．如图23－1－11，在△ABC中，DE∥BC，且分别交AB，AC于点D，E，则下列比例式不正确的是( )A.ABAD＝ACAEB.ABAC＝ADAEC.ADBD＝AEECD.ABDE＝ACEC图23－1－1110．如图23－1－12，若AB∥DC，AC，BD相交于点E，且AE＝2，EC＝3，BD＝10，则ED ＝________．图23－1－1211．如图23－1－13，在△ABC中，DE∥BC，且DB＝AE.若AB＝5，AC＝10，求AE的长．图23－1－1312．如图23－1－14，已知AB∥CD∥EF，AD∶AF＝3∶5，BE＝10，那么BC的长为________．图23－1－1413．如图23－1－15，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A，B，C都在横格线上．若线段AB＝4 cm，则线段BC＝________cm.图23－1－1514. 如图23－1－16，AD为△ABC的中线，E为AD的中点，连结BE并延长交AC于点F，则CFAF＝__________．15．如图23－1－17，在△ABC中，DF∥AC，DE∥BC，AE＝4，EC＝2，BC＝8，求CF的长．图23－1－1716．如图23－1－18，BE平分∠ABC，DE∥BC交AB于点D，AC＝8，AB＝9，CE＝4，求DE的长．图23－1－1817．对于平行线，我们有这样的结论：如图23－1－19①，AB∥CD，AD，BC交于点O，则AODO＝BOCO.请你利用该结论解答下列问题：如图②，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAD＝75°，∠CAD＝30°，AD＝2，BD＝2DC，求AC的长．图23－1－19教师详答1．DE EF 5 10 4 EF 8 2．B [解析] ∵AB ∥EF ∥DC ，∴DE DA ＝CF CB .∵DE ＝3，DA ＝5，CF ＝4，∴35＝4CB ，∴CB ＝203，∴FB ＝CB －CF ＝203－4＝83.故选B.3．相等 [解析] 因为AD ∥BE ∥CF ，所以AB BC ＝DEEF.因为AB ＝BC ，所以DE ＝EF . 4. 214 [解析] 因为AD ∥EF ∥BC ，所以AE EB ＝DF FC .因为AE ＝2，BE ＝6，CD ＝7，所以26＝7－FC FC ，所以FC ＝214. 5 . 38 [解析] ∵AD ∥BE ∥FC ，∴AB BC ＝DE EF.又∵AB ＝6，BC ＝10，∴DE EF ＝35，∴DE DF ＝38.6．解：(1)∵a ∥b ∥c ，∴BD DF ＝ACEC，即8DF ＝64，解得DF ＝163(cm)． 故线段DF 的长度是163 cm.(2)∵a ∥b ∥c ，∴BF DF ＝AE EC ＝52，即5＋DF DF ＝52，解得DF ＝103(cm)． 故线段DF 的长度是103 cm.7．AE EC AE EC 238．D [解析] ∵AG ＝2，GB ＝1，∴AB ＝AG ＋GB ＝3.∵直线l 1∥l 2∥l 3，∴DE EF ＝AB BC ＝35.故选D.9．D 10.611．解：∵DE ∥BC ，∴AB DB ＝ACEC，∴5AE ＝1010－AE ，∴AE ＝103. 12． [解析] ∵AB ∥CD ∥EF ，∴BC BE ＝AD AF ，即BC 10＝35，解得BC ＝6.13． 12 [解析] 如图，过点A 作AE BD 于点D .∵练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，∴AB BC ＝AD DE ，即4BC ＝26，∴BC ＝12(cm)．14． 2 [解析] 如图，过点D 作∥，交于点G ， 则AF FG ＝AE ED ，FG GC ＝BDDC.又∵E 为AD 的中点，AD 为△ABC 的中线， ∴AE ＝ED ，BD ＝DC ， ∴AF FG ＝AE ED ＝1，FG GC ＝BD DC＝1， ∴AF ＝FG ，FG ＝GC ， ∴CF ＝2AF ，∴CF AF＝2. 15．解：∵DE ∥BC ，∴AD AB ＝AE AC ＝46＝23. ∵DF ∥AC ，∴AD AB ＝CF BC ＝23，∴CF 8＝23，∴CF ＝163. 16．解：∵DE ∥BC ， ∴AB DB ＝AC CE， ∴9DB ＝84，∴DB ＝92. ∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE ＝∠CBE . ∵DE ∥BC ，∴∠CBE ＝∠DEB ， ∴∠ABE ＝∠DEB ，∴DE ＝DB ＝92.17．解：过点C 作CE ∥AB 交AD 的延长线于点E, 则 BD DC ＝ADDE.又∵BD ＝2DC ，AD ＝2, ∴DE ＝1. ∵CE ∥AB ，∴∠AEC ＝∠BAD ＝75°.又∵∠CAD＝30°，∴∠ACE＝75°，∴AC＝AE＝AD＋DE＝3.。
华师版九年级上册数学精品教学课件 第23章 图形的相似 相似三角形 第4课时 相似三角形的性质
二 相似三角形周长的比
如果两个三角形相似，它们的周长之间有什么关系？
两个相似多边形呢？
A
如果△ABC∽△A'B'C'，
A'
相似比为 k，那么
B
AB BC CA k A'B' B'C' C' A'
C B'
C'
因此，AB＝k·A'B'，BC＝k·B'C'，CA＝k·C'A'
从而 AB BC CA k A' B ' k B 'C ' k C ' A' k
九年级数学上（HS） 教学课件
第23章 图形的相似
23.3 相似三角形
第 4 课时 相似三角形的性质
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.掌握相似三角形的性质；（重点） 2.经历探索相似三角形性质的过程.（难点）
导入新课
回顾与思考
问题1 判定两个三角形相似的方法有哪些？
问题2 相似多边形的对应角、对应边的性质是什么？
2
k2
1 B 'C ' A' D '
2
相似三角形面积的比等于相似比的平方．
延伸探究
如图，四边形 ABCD 相似于四边形 A′B′C′D′，相似
比为 k，它们面积的比是多少？ A′
A
D′
D
B
B′
C
C′
相似多边形面积比等于相似比的平方.
当堂练习
1.如图，在△ABC 和△DEF 中，AB＝2DE，AC＝2DF，
北师大版九年级数学上册《图形的相似》导学案：成比例线段
北师大版九年级数学上册《图形的相似》导学案1. 成比例线段（第一课时）【学习目标】1.了解线段的比概念；2.会求两条线段的比，应用线段的比解决实际问题.【知识梳理】1.如果选用 量得两条线段AB,CD 的长度分别是m ，n ，那么这两条线段的比就是它们 ，即 或写成 .2.四条线段a,b,c,d 中如果 ，即 ，那么这四条线段a,b,c,d 叫做 ，简称 .3.比例的基本性质：如果dc b a ,那么 ；如果ad=bc （a,b,c,d 都不等于0），那么 .【典型例题】知识点一：两条线段的比1.一张桌面的长a=1.25m ，宽b=0.75m ，那么长与宽的比是 .2.已知A 、B 两地的实际距离是60km,画在地图上其距离A ’B ’是6cm ，求这幅地图的比例尺 .知识点二：成比例线段3.已知线段a=1cm ，b=2.4cm ，c=2cm ，d=4.8cm ，这四条线段是成比例线段吗？知识点三：比例基本性质4.若x 是3、4、9的第四比例项，则x ＝ .5.已知线段a ＝4cm ，b ＝9cm ，线段c 是a 、b 的比例中项，则线段c 的长为 .6.已知a=3,b=6,c=9(1)若a,b,c,x 是成比例线段，求x (2)若a,x,b,c 是成比例线段，求x【巩固训练】1.已知：线段a=7cm ，b=2cm ，则= .2.如果线段a=2cm ，b=8cm ，c=4cm ，那么a 、b 、c 的第四比例项d 为 .3.已知线段b 是a,c 的比例中项，a=9cm,c=25cm,则b 等于 cm.4.把mn=pq （m,n,p,q 都不等于0）写成比例式，写错的是（ ）a bA. B. C. D. 5.若(m+n):n=3:2，则m:n 的值是（ ）A.3:2B.2:3C.1:2D.5:26.已知点C 是直线AB 上的一点,且AB ∶BC=1∶2,那么AC ∶BC 等于 .7.若a ∶b=2∶3,且a+b=10,则 a-2b 的值是( )A.-10 B-8 C.4 D.68.如图，△ABC 中， ，且DE=10，BC=15，AG=4，求AH ．9.如图，在△ABC 中，AB=12cm ，AE=6cm ，EC=4cm ，且． ①求AD 的长；②求证：m q p n =p n m q =q n m p =m p n q=8题图 AG DE AH BC =9题图北师大版九年级数学上册《图形的相似》导学案1.成比例线段（第二课时）【学习目标】1.知道成比例线段的两个基本性质及其简单应用；2.运用比例的基本性质解决有关问题.【知识梳理】阅读课本87页——90页内容，完成下列问题：1.如图，已知d c b a ==3,则b b a +=d d c +吗？2.如果d c b a ==k （k 为常数），那么d d c b b a +=+成立吗？为什么？3.如果d c b a =,那么d d c b b a -=-成立吗？为什么？4.性质一：如果dc b a =，那么 . 5.性质二：如果d c b a ==…=n m =k （b+d+…+n ≠0）,那么 = = .你能写出推理过程吗？【典型例题】知识点一：合比性质1.已知a:b=3:2,且a-b=10，则a+b = .2.若3，则=xy ； =y x 2 ；=-y y x 2 . 知识点二：等比性质 3.已知：d c b a ==fe =5（b+d+f ≠0） （1）fd be c a +-+- （2）f b e a 55--【巩固训练】1.填空（1）若x y = 25 则=xy ；=-y y x ； =+y y x 2 .（2）已知23=a b 则=+b a b ；=-b a b 2 . 2.已知345c b a ==，则=+--+cb ac b a 32 . 3.已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且a+b+c=60cm ，a:b:c=3:4:5，求△ABC 的面积。
第23章 图形的相似 复习和小结 华师大版数学九年级上册课件
相似三角形的应用
例如用相似测物体的高度 测山高 A
K
C
E
B DG F H
测楼高
D
E 1.2m
A 1.6m B 8.4m C
测内孔直径
求最大值与最小值
A
E
F
B GD H
到现在为止，我们已经学习了平移、轴对称、旋转、位似等 变换，你能说出它们之间的异同吗？举出一些它们的实际应用的 例子，并结合以上内容，体会从运动的角度研究图形的方法。
课后作业
完成复习题
谢谢观看
1. 任取一个点 O 2. 以点 O 为端点作射线 OA、OB、OC、···
3. 分别在射线 OA、OB、OC、···
上取点 A'、B'、C'、···，使OA' : OA
= OB' : OB= OC' : OC = ···= 1.8
O
4. 连接A'B'、B'C'、···，得多边形A'B'C'D'E'
D
B
O
A
C
4. 如图，小芳同学跳起来把一个排球打在离地 2 m 远的地上，然 后反弹碰到墙上，如果她跳起击球时的高度是1.8 m，排球落地点 离墙的距离是 6 m，假设球反弹后沿直线运动，球能碰到墙面离 地多高的地方？
解：∵∠ABO =∠CDO = 90°，∠AOB =∠COD，
C
∴△AOB∽△COD .
解：∵∠1 =∠2， ∠HGF = ∠JIH = 90°
∴△FGH∽△JIH.
F 3
∠1 = ∠2
5
y
J 6
则有
，
12
23.1 成比例线段
第23章 图形的相似23．1 成比例线段23．1.1 成比例线段1．__形状__相同，__大小__不一定相同的图形叫做相似图形．2．对于给定的四条线段a ，b ，c ，d ，如果其中两条线段的长度之比等于另外两条线段的长度之比，如a b ＝c d(或a ∶b ＝c ∶d )，那么，这四条线段叫做__成比例线段__，简称比例线段．此时也称这四条线段__成比例__．3．判断四条线段是否为比例线段要注意两点：(1)单位要__统一__；(2)线段长度的大小要__排序__．4．四条线段a ，b ，c ，d ，如果a b ＝c d，那么__ad ＝bc __；如果ad ＝bc (a ，b ，c ，d 都不等于0)，那么__a b ＝c d__．知识点1：线段的比1．延长线段AB 到C ，使得BC ＝12AB ，则AC ∶AB ＝( C ) A ．2∶1 B ．3∶1 C ．3∶2 D ．4∶32．美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高165 cm ，下半身长x 与身高l 的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为( C )A ．4 cmB ．6 cmC ．8 cmD ．10 cm3．已知一个矩形的一边长a ＝15 cm ，另一边长b ＝6 dm ，则a b ＝__14__． 知识点2：成比例线段4．下列各组线段(单位：cm)中，是成比例线段的是( C )A ．3，5，7，9B ．2，5，6，8C ．3，6，9，18D ．1，3，4，75．已知线段a ，b ，c ，d 成比例，a ∶b ＝c ∶d ，且a ＝3 cm ，b ＝12 cm ，d ＝18 cm ，则c ＝__92__cm. 知识点3：比例的基本性质6．已知ad ＝bc ，那么下列比例式不成立的是( C )A.a b ＝c dB.a c ＝b dC.a d ＝c bD.b a ＝d c7．已知5x ＝4y ，则下列比例式成立的是( C )A.x 5＝4yB.x 5＝y 4C.x 4＝y 5D.x y ＝548．(1)已知x y ＝83，则x －y y ＝__53__，x ＋y y ＝__113__，x －y x ＋y＝__511__； (2)已知a b ＝b c，且a ＝4 cm ，c ＝3 cm ，则b ＝3_cm __． 9．如图，已知AD DB ＝AE EC，AD ＝3 cm ，DB ＝5 cm ，EC ＝7.5 cm ，求AC 的长．解：∵AD DB ＝AE EC ，AD ＝3 cm ，DB ＝5 cm ，EC ＝7.5 cm ，∴35＝AE 7.5，∴AE ＝3×7.55＝4.5(cm )，∴AC ＝AE ＋EC ＝4.5＋7.5＝12(cm )。
华师版九年级上册数学精品教学课件 第23章 图形的相似 成比例线段 第2课时 平行线分线段成比例
∴CD∥AB. ∴ CD DF . AE AF
B
D
设菱形的边长为 x cm，则 CD
= AD = x cm，DF = (4－x) cm，E
CF
∴ x 4 x ，解得 x = 20 . ∴菱形的边长为 20 cm.
54
9
9
课堂小结
1.两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例； 2.平行于三角形一边的直线截其他两边或两边的延长线， 所得的对应线段成比例.
A3
B3
m
n
直线 n 向左平移到 B2 与 A2 重合的位置，说说
图中有哪些成比例线段？把图中的部分线擦去，得
到新的图形，刚刚所说的线段是否仍然成比例？
A1(B1)
A2
B2
A1 B1 A2(B2)
A3
B3
A3
B3
推论： 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两
边的延长线），所得的对应线段成比例.
练一练 如图，在△ABC 中， EF∥BC.
b
A3
B3 c
m
n
成立，直线 b 平移到其他位置依然成立.
(3) 在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线， 截得的线段成比例吗？ 成比例
归纳：
平行线分线段成比例基本事实：两条直线被
一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
符号语言： 若 a ∥b∥ c ，则
A1 A2 B1B2 A2 A3 B2B3
B1
A2
B2
A3 m
(1) 计算 A1A2 ，B1B2 ，你有什么发现？ A2 A3 B2 B3
a b
B3 c n
(2) 将 b 向下平移到如图2的位置，直线 m，n 与直线
华师版九年级上册数学第23章 图形的相似 相似图形
感悟新知
2．相似多边形的性质：相似多边形的对应边成
比例，对应角相等．
知2－导
作用：常用来求相似多边形中未知的边的长度和
角的度数．
活学巧记：
两个相似多边形， 形状相同大小异. 各边对应成比例， 各角对应都相等.
感悟新知
例2 在图所示的两个相似四边形中，求边x的长 度和角α的大小．
知2－练
分析：利用相似多边形的性质和多边形的内角和公 式就可以得到所需结果，在利用相似多边形 的性质时，必须分清对应边和对应角．
课后作业
作业1 必做:请完成教材课后习题 补充:
作业2
感悟新知
知2－讲
思考
两个三角形一定是相似图形吗？两个等腰三角形 呢？两个等边三角形呢？
感悟新知
知2－练
1．若多边形ABCDEF与多边形A′B′C′D′E′F′相似， 且∠A与∠A′为对应角，∠A＝68°，则∠A′ 等于( )
A．22°B．C 112°C．68°D定义可作为判断两个多边形是否相 似的判定，即在多边形中，只有“边数相同” “角分别相等”“边成比例”这三个条件同时成立 时，才能说明这两个多边形是相似多边形． 2.相似比的值与两个多边形的前后顺序有关． 3.相似比为1的两个相似多边形是全等多边形．
仅形状相同，大小也相同．
感悟新知
图中的相似图形有哪些？ 例1
知1－练
感悟新知
导引：本题依据相似图形的定义求解．观察这些图形，虽
然图(6)与图(12)、图(8)与图(11)极为相似，
知1－练
但是它们的形状不相同．图(6)“拉长”而不是整体放大
变成了图(12)，图(8)“压缩”而不是整体缩小变成了图
第22章一元二次方程
第23章图形的相似
徐闻县六中九年级数学上册 第23章 图形的相似23.3 相似三角形23.3.2 相似三角形的判定第2
第2课时 相似三角形的判定(2)1．掌握相似三角形的判定定理2：有两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似．2．掌握相似三角形的判定定理3：三条边对应成比例的两个三角形相似．3．能依据条件，灵活应用相似三角形的判定定理，正确判断两个三角形相似．重点相似三角形的判定定理2，3的推导过程，掌握相似三角形的判定定理2，3并能灵活应用．难点相似三角形的判定定理的推导及应用．一、情境引入 复习1．现在要判断两个三角形相似有哪几种方法？有两种方法：(1)根据定义；(2)有两个角对应相等的两个三角形相似．2．如图，在△ABC 中，点D ，E 是AB ，AC 上的三等分点(即AD ＝13AB ，AE ＝13AC)，那么△ADE 与△ABC 相似吗？你用的是哪一种方法？由于没有两个角对应相等，同学们可以动手量一量，量得什么后可以判断它们是否相似？【教学说明】可能有一部分同学用量角器量角，有一部分同学量线段，看看能否成比例，无论哪一种，都应肯定他们是正确的，要求同学们说出是应用哪一种方法判断出的．二、探究新知同学们通过量角或量线段计算之后，得出：△ADE∽△ABC.从已知条件看，△ADE 与△ABC 有一对对应角相等，即∠A＝∠A(是公共角)，而一个条件是AD ＝13AB ，AE ＝13AC ，即是AD AB ＝13，AE AC ＝13，因此AD AB ＝AEAC .△ADE 的两条边AD ，AE 与△ABC 的两条边AB ，AC 对应成比例，它们的夹角又相等，符合这样条件的两个三角形也会相似吗？我们再做一次实验，观察教材图，如果有一点E 在边AC 上，那么点E 应该在什么位置才能使△ADE 与△ABC 相似呢？图中的两个三角形的一组对应边AD 与AB 的长度的比值为13，将点E 由点A 开始在AC上移动，可以发现当AE ＝13AC 时，△ADE 与△ABC 相似，此时AD AB ＝AE AC. 猜想：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并有夹角相等，那么这两个三角形相似．你能否用演绎推理的方法证明你的猜想？教师在此引导学生证明上述猜想，并在小组内交流，让学生归纳总结出判定定定理2. 相似三角形的判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．强调对应相等的角必须是成比例的边的夹角，如果不是夹角，它们不一定会相似，你能画出有两边对应成比例，有一个角相等，但它们不相似的两个三角形吗？(画顶角与底角相等的两个等腰三角形)∠B＝∠B′，AB A′B′＝ACA′C′.教师再展示课件，由学生自主完成．例1 如图，在△ABC 中，点D ，E 是AB ，AC 上的点，AB ＝7.8，AD ＝3，AC ＝6，CE ＝2.1，试判断△ADE 与△ABC 是否会相似，小张同学的判断理由是这样的：解：∵AC＝AE ＋CE ， 而AC ＝6，CE ＝2.1， ∴AE ＝6－2.1＝3.9，∵AD AB ≠AEAC ，∴△ADE 与△ABC 不相似． 你同意小张同学的判断吗？请你说说理由． 解：小张同学的判断是错误的． ∵AD AC ＝36，AE AB ＝3.97.8＝12，∴AD AC ＝AE AB， 而∠A 是公共角，∠A ＝∠A，∴△ADE ∽△ACB.请同学们再做一次实验，看看如果两个三角形的三边都成比例，那么这两个三角形是否相似？看课本69页“做一做”．通过实验得出：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，简单地说就是，三边成比例的两个三角形相似．教师可根据上述结论，再展示例2，可由学生自主完成，教师点评．例 2 在△ABC 和△A′B′C′中，AB ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，AC ＝10 cm ，A ′B ′＝18 cm ，B ′C ′＝24 cm ，A ′C ′＝30 cm ，试判定它们是否相似，并说明理由．解：∵AB A′B′＝AC A′C′＝BC B′C′＝13， ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′. 三、练习巩固教师展示课件，引导学生自主完成，学生代表在黑板上展示，教师点评． 1．如图，△ADE 与△ABC 相似吗？请说明理由．第1题图第2题图2．如图，已知AB AD ＝BC DE ＝ACAE ，∠BAD ＝20°，求∠CAE 的大小．【答案】1.解：△ADE 与△ABC 相似． 理由：∵AD AB ＝22＋4＝13，AE AC ＝ 2.52.5＋5＝13， ∴AD AB ＝AE AC . 又∵∠A＝∠A， ∴△ADE ∽△ABC. 2．解：∵AB AD ＝BC DE ＝ACAE，∴△ABC ∽△ADE ， ∴∠BAC ＝∠DAE， 又∠DAC 是公共角， ∴∠CAE ＝∠BAD＝20°. 四、小结与作业 小结1．相似三角形的判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． 2．相似三角形的判定定理3：三边成比例的两个三角形相似． 3．根据题目的具体情况，选择适当的方法证明三角形相似． 布置作业从教材相应练习和“习题23.3”中选取．本节课通过复习上节课学习的相似三角形的判定定理入手，提出新问题引入新课，再通过学生动手测量、猜想结论并证明等活动中的体验，完成对相似三角形的判定定理2，3的认识，加深对判定定理的理解．教学过程中，强调学生自主探究和合作交流，经历观察、实验、猜想、证明等思维过程，从中获得知识与技能，培养学生的综合能力．抛物线形问题1．图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（）A．y=-2x2 B．y=2x2 C.212y x=-D 、212y x=第1题第2题2、如图，铅球的出手点C距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球运行路线的解析式为（）A.2316h t=-B.2316h t t=-+C.2118h t t=-++D.21213h t t=-++3.如图所示是一个抛物线形桥拱的示意图，在所给出的平面直角坐标系中，当水位在AB位置时，水面宽度为10m，此时水面到桥拱的距离是4m，则抛物线的函数关系式为（）A.2254y x=B.2254y x=-C.2425y x=-D.2425y x=第3题第4题4、某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=-x2+4x（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是（）A.4米B.3米C.2米D.1米5.有一个抛物线形拱桥，其最大高度为16米，跨度为40米，现把它的示意图放在如图所示的平面直角坐标系中，则此抛物线的解析式为第5题第6题第7题第8题6、如图，一小孩将一只皮球从A处抛出去，它经过的路线是某个二次函数图像的一部分，如果他的出手处A距地面OA为1m，球路的最高点为B（8，9），则这个二次函数的表达式为 ___________ ，小孩将球抛出约 ___________米。
九年级数学上册知识归纳 图形的相似
作品编号：578912354698310.2567 学 校： 星宿市龟卜镇殷商小学* 教 师： 大鹏金翅鸟* 班 级： 螭吻玖班*图形的相似1． 比例线段的有关概念==在比例式::中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a c(a b c d )a d b c a c b db 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b =c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项． 2． 比例性质①基本性质：a b cdad bc =⇔= ②更比性质(交换比例的内项或外项)： ()()()()⎧=⎪⎪⎪=⎪=⇒⎨⎪=⎪⎪⎪=⎩交换内项交换外项同时交换内外项同时交换比的前项和后项a bc d d c a cb a d b b dc a b da c②合比性质：±±a b c d a b b c d d =⇒= ③等比性质：……≠……a b c d m n b d n a c m b d n ab===+++⇒++++++=()03． 黄金分割在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），如果ACBCAB AC =，即AC 2=AB ×BC ，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比．其中AB AC 215-=≈0.618AB ． 4． 平行线分线段成比例定理①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3．则，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EFDF===②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例．③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． 5． 相似三角形的判定①两角对应相等，两个三角形相似；②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；③三边对应成比例，两三角形相似． 6． 相似三角形的性质①相似三角形的对应角相等,对应边成比例；②相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；③相似三角形周长的比等于相似比；面积的比等于相似比的平方． 7． 六种相似基本模型：C ABDCABDE E D BACDE ∥BC∠B =∠AED∠B =∠ACDADBCDO B ACO DCBAX 型 母子型AC ∥BD∠B =∠C AD 是Rt △ABC 斜边上的高8． 射影定理由_____________，得______________，即_______________； 由_____________，得______________，即_______________； 由_____________，得______________，即_______________．9． 中位线1) 三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段． 三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半．三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的线段的长是对应中线长的31．2) 梯形的中位线：连结梯形两腰中点的线段．梯形的中位线平行于两底边，并且等于两底边和的一半． 10. 位似①如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比．ADBC②位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．。
九年级数学上册 第23章 图形的相似 23.1 成比例线段 23.1.2 平行线分线段成比例导学案
—————————— 新学期 新成绩 新目标 新方向 ——————————23.1.2 平行线分线段成比例【学习目标】1.平行线分线段成比例定理及其推论。
2.会应用平行线分线段成比例定理写比例式、计算。
3.经历探究平行线分线段成比例定理的过程，培养分析归纳能力。
【学习重难点】平行线分线段成比例定理及其推论。
【学习过程】 一、课前准备1、什么叫比例线段？比例有哪些性质？ 二、学习新知 自主学习：1、做一做：右图是单行本的一部分，“8 m m ×21 lines ”是什么含义?再在其上画一条直线，量一量夹在相邻 两条平行线间的线段大小有什么关系？“8 mm ”表示：___________________。
结论：那么在另一条直线上截得的线段____________。
2、如果一组平行线间的距离不相等，如图3l ∥4l ∥5l ，它们在直线1l 上截得线段AB 、BC ，在直线2l 上截得线段DE 、EF 。
量一量，算一算：(度量精确到0.1mm ，计算保留一位小数) ①、_____AB =,______BC =,ABBC =_____DE =,______EF =,DEEF=②、_____AB AC =，_____DEDF=；③、_____AC BC =，_____DFEF=； 根据①、②、③的计算结果，你得到的结论：3、仔细观察几何画板的演示，留心数据的变化情况，在演示过程中你发现什么规律没有？回答问题：结论：当3l ∥4l ∥5l 时，都可以得到AB DE BC EF =, 还可以得到BC EF AB DE =，AB DEAC DF=，BC EFAC DF=，等等。
由此得到平行线分线段成比例定理截两条直线，所得的 的比 。
如图:3l ∥4l ∥5l ，请写出成比例的线段(写在图形旁)：实例分析：例3、已知，l 1//l 2//l 3,AB=4,DE=3,EF=6.求BC 的长.例4、如图，E 为平行四边形ABCD 的边CD 延长线上的一点，连结BE,交AC 于点O ，交AD 于点F 。
华师版九年级上册数学第23章 图形的相似 成比例线段
感悟新知
归纳
知2－讲
利用比例的性质求代数式的值的方法： 当一个题中出现多个未知数时，常巧用的方法为“消 元法”求代数式的值；当条件中出现多个比值相等时， 用“中间量法”巧设出比值是首选的方法．
感悟新知
知2－练
1．已知a2＝b3(a≠0，b≠0)，下列变形错误的是( B )
A.ab＝23
B．2a＝3b
ab
b4
ab
导引：根据已知得，a然 后3 b代入求值；也 可以通过设参数的方法，4 即设a＝3k，b＝
4k，然后代入求值．
知2－练
感悟新知
解法一：由已知得.a故：3 b 4
知2－练
a a
b b
3
4 3
bb bb
7b 4 1b
7
4 1
7
4
44
解法二：因为，a所以3设a＝3k，b＝4k，
b4
则
a b 3k 4k 7k 7
∴.
ab cd bd
知2－练
a 1 c 1 bd
感悟新知
(2)∵， a c ∴ad＝bbc，d
等式两边同减去ac，得 ad－ac＝bc－ac， ∴ac－ad＝ac－bc， ∴a(c－d)＝c(a－b)．
知2－练
想一想：根据比例的
基本性质，a c 你还可以得b到其d他哪
些类似的结论？
感悟新知
由a≠b，且，知c≠da，从c而a－b≠0， bd
且c－d≠0，上式两边同除以(a－b)(c－d)，
得.
ac
ab cd
知2－练
感悟新知
知2－练
(1)合比性质：⇔a ；c (2)等比性质： b d
ab cd bd
a c e m kbd f n 0
初中数学华东师大九年级上册(2023年新编)第23章 图形的相似平行线分线段成比例导学案
平行线分线段成比例导学案一、回顾旧知1、什么是成比例线段？2、判断下列各组线段是否成比例（1）12cm, 5cm, 15cm,4cm(2) 3cm,5cm,7cm,4cm如何快速判断四条线段是否成比例？二、探究新知探究（一）直线被间距相等的三条平行线截得的线段间数量关系 利用作业本，任意作两条直线，使直线被间距相等的三条平行线l 1、l 2、l 3所截，探究线段AB 与BC ，A 1B 1与B 1C 1的数量关系探究（二）直线被间距不相等的三条平行线截得的线段间数量关系 利用作业本，任意作两条直线，使直线被间距不相等的三条平行线l 1、l 2、l 3所截，探究线段AB 、 BC 、AC 、 A 1B 1、B 1C 1、A 1C 1之间的数量关系三、归纳总结平行线分线段成比例基本事实： 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段AB= BC= AB BCA 1B 1= B 1C 1= A 1B 1 B 1C 1AB A 1B 1 BC B 1C 1AB= BC= AC=A 1B 1 = B 1C 1 = A 1C 1=AB A 1B 1 AB A 1B 1 BC B 1C 1 BC B 1C 1 AC A 1C 1 AC A 1C 1简称“”几何语言：∵：直线l1∥l2∥l3∴：AB AB BCBC AC AC四、练习提升1. 如图，l1∥l2∥l3，AB＝4，DE＝3，EF＝6，求BC的长.五、课堂小结本节课学习了什么？六、拓展提升探究：平行线分三角形两边成比例做一做：在探究（二）所做的图中，直线m不动，将直线n向左移动，探究线段AB、BC 、AC、A1B1、B1C1、A1C1之间的数量关系。
第23章图形的相似
第23章 图形的相似23.1 成比例线段1.成比例线段【知识与技能】1.了解成比例线段的意义，会判断四条线段是否成比例.2.会利用比例的性质，求出未知线段的长.【过程与方法】培养学生灵活解题及合作探究的能力.【情感态度】感受数学逻辑推理的魅力.【教学重点】成比例线段的定义;比例的基本性质及直接运用.【教学难点】比例的基本性质的灵活运用，探索比例的其他性质.一、情境导入，初步认识挂上两张照片，问：1.这两个图形有什么联系？它们都是平面图形，它们的形状相同，大小不相同，是相似图形.2.这两个图形是相似图形，为什么有些图形是相似的，而有的图形看起来相像又不会相似呢？相似的两个图形有什么主要特征呢？为了探究相似图形的特征，本节课先学习线段的成比例.二、思考探究，获取新知1.两条线段的比（1）回忆什么叫两个数的比，怎样度量线段的长度，怎样比较两线段的大小.如果选用同一个长度单位量得两条线段AB 、CD 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比AB ∶CD=m ∶n ，或写成ABCD=nm ，其中，线段AB 、CD 分别叫做这两个线段比的前项和后项. 如果把n m 表示成比值k ，则CDAB =k 或AB=k ·CD.注意：在量线段时要选用同一个长度单位.（2）做一做量出数学书的长和宽（精确到0.1cm ），并求出长和宽的比.改用m 作单位，则长为0.211m,宽为0.148m,长与宽的比为0.211∶0.148=211∶148.只要是选用同一单位测量线段，不管采用什么单位，它们的比值不变.（3）求两条线段的比时要注意的问题①两条线段的长度必须用同一长度单位表示，如果单位长度不同，应先化成同一单位，再求它们的比； ②两条线段的比没有长度单位，它与所采用的长度单位无关；③两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数.问：两条线段长度的比与所采用的长度单位有没有关系？（学生讨论）（答：线段的长度比与所采用的长度单位无关）.2.成比例线段的定义四条线段a 、b 、c 、d 中，如果其中两条线段的长度之比等于另外两条线段的长度之比，如d c b a =，那么这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段.3.比例的基本性质两条线段的比实际上就是两个数的比.如果a 、b 、c 、d 四个数满足d c b a =，那么ad=bc 吗？反过来，如果说ad=bc ，那么d c b a =吗？与同伴交流. 如果dc b a =，那么ad=bc. 若ad=bc(a 、b 、c 、d 都不等于0），那么d c b a =. 例1 在某市城区地图（比例尺1∶9000)上，新安大街的图上长度与光华大街的图上长度分别是16cm 、10cm.（1）新安大街与光华大街的实际长度各是多少米？（2）新安大街与光华大街的图上长度之比是多少？它们的实际长度之比呢？解：（1）1440米，900米. （2）8∶5,8∶5.例2如图，已知d c b a ==3，求b b a +和dd c +; 解：b b a +=4, d d c +=4.三、运用新知，深化理解【教学说明】分组讨论完成并展示.四、师生互动，课堂小结1.注意点：（1）两线段的比值总是正数；（2）讨论线段的比时，不指明长度单位；（3）对两条线段的长度一定要用同一长度单位表示.2.比例尺：图上长度与实际长度的比.3.熟记成比例线段的定义.4.掌握比例的基本性质，并能灵活运用.1.布置作业：从教材相应练习和“习题23.1”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.23.1.2.平行线分线段成比例【知识与技能】了解平行线分线段成比例定理的证明，掌握定理的内容.能应用定理证明线段成比例等问题，并会进行有关的计算.【过程与方法】通过定理的推导证明与应用，培养学生探索新知识、提高分析问题和解决问题的能力，提高学生的识图能力和发散思维能力，以及现有知识向新知识迁移的能力.【情感态度】通过定理的学习知道认识事物的一般规律是从特殊到一般，并能欣赏数学表达式的对称美.【教学重点】定理的应用.【教学难点】定理的推导证明.一、情境导入，初步认识问题1 翻开我们的作业本，每一页都是由一些间距相等的平行线组成的，如图在作业本上任意画一条直线m 与相邻的三条平行线交于A 、B 、C 三点，得到两条线段AB 、BC ，量一量，你发现这两条线段的长度有什么关系？相等即AB=BC （由学生回答）.思考：再任意画一条直线n 与这组平行线相交，得到两条线段DE 和EF ，你发现DE 与EF 的长度存在什么关系？ 由此，我们可以得到EF DF BC AB 问题2 选择作业本上不相邻的三条平行线，任意画m 、n 与它们相交，如果m 、n 这两条直线平行，观察并思考这时所得的AD 、DB 、FE 、EC 这四条线段的长度有什么关系.如果m 、n 这两条直线不平行，你再观察一下，量一量，算一算，看看它们是否存在类似关系.归纳：EC FE DB AD . 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.（简称“平行线分线段成比例”）二、思考探究，获取新知思考：（1）如图，当图（3）中的点A 与点F 重合时就形成一个三角形的特殊情况，此时，AD 、DB 、AE 、EC 这四条线段之间会有怎样的关系？（2）如图，当图（3）中的直线m 、n 相交于第二条平行上某点时，是否也有类似的成比例线段呢？归纳：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.例1如图，l 1∥l 2∥l 3.（1）已知AB=3,DE=2,EF=4,求BC ；（2）已知AC=8，DE=2，EF=3，求AB.三、运用新知，深化理解1.如图，已知l 1∥l 2∥l 3，下列比例式中错误的是（）2.如图，已知l 1∥l 2∥l 3，下列比例式中成立的是（）【答案】1.D 2.D【教学说明】可由学生独立完成抢答，教师最后点拨.四、师生互动，课堂小结1.平行线分线段成比例定理及其推论，注意“对应”的含义.2.研究问题的方法：从特殊到一般，类比联想.1.布置作业：从教材相应练习和“习题23.1”中选取.2.完成《创优作业》中本课时练习的“课时作业”部分.23.2 相似图形【知识与技能】知道相似图形的两个特征：对应边成比例，对应角相等.识别两个多边形是否相似的方法.【过程与方法】在推出相似多边形性质时，让学生用量角器、刻度尺来测量，锻炼动手能力.【情感态度】让学生感受数学知识源于生活、用于生活.【教学重点】相似图形的定义和性质.【教学难点】相似图形的性质.一、情境导入，初步认识复习：1.若线段a=6cm,b=4cm,c=3.6cm,d=2.4cm,那么线段a,b,c,d会成比例吗？2.两张相似的地图中的对应线段有什么关系？（都成比例）二、思考探究，获取新知相似的两张地图中的对应线段都会成比例，对于一般的相似多边形，这个结论是否成立呢？同学们动手量一量，算一算，用刻度尺和量角器量一量课本第58页两个相似四边形的边长，量一量它们的内角，由一位同学把量得的结果写在黑板上，其他同学把量得的结果与同伴交流.同学们会发现有什么关系呢？经过观察、计算得出这两个相似四边形的对应边会成比例，对应角会相等，再观察课本中两个相似的五边形，是否也具有一样的结果？反映它们的边之间、角之间的关系是什么关系？同学们用格点图画相似的两个三角形，也观察、度量，它们是否也具有这种关系（对应边成比例，对应角相等）？由此可以得到两个相似多边形的特征：（由同学回答，教师板书）对应边成比例，对应角相等.实际上这两个特征，也是我们识别两个多边形是否相似的方法.即如果两个多边形的对应边成比例，对应角相等，那么这两个多边形相似.识别两个多边形是否相似的标准有：（边数相同），对应边要（成比例），对应角要（都相等）.（括号内要求同学填）填一填：（1）两个三角形一定是相似形吗？两个等腰三角形呢？两个等边三角形呢？两个等腰直角三角形呢？（2）所有的菱形都相似吗？所有矩形呢？正方形呢？例1 矩形ABCD与矩形A′B′C′D′中，AB=1.5cm,BC=4.5cm，A′B′=0.8cm,B′C′=2.4cm，这两个矩形相似吗？为什么？例2如图所示，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，求∠A的度数与x的值:三、运用新知，深化理解1.矩形ABCD与矩形A′B′C′D′中，已知AB=16cm,AD=10cm,A′D′=6cm,矩形A′B′C′D′的面积为54cm2，这两个矩形相似吗？为什么？2.如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′是相似的，且C′D′⊥B′C′，根据图中的条件，求出未知的边x、y及角α.【答案】1.这两个矩形不相似，由矩形A′B′C′D′的面积为54知A′B′=54÷6=9（cm）,2.x=14,y=18,α=85°【教学说明】教师引导学生独立完成，让学生演示并讲解，师生共同点评.四、师生互动，课堂小结1.相似多边形的性质：对应边成比例；对应角相等.2.相似多边形的判定.1.布置作业：从教材相应练习和“习题23.2”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.23.3 相似三角形1.相似三角形【知识与技能】1.知道相似三角形的概念；2.能够熟练地找出相似三角形的对应边和对应角；3.会根据概念判断两个三角形相似，能说出相似三角形的相似比，由相似比求出未知的边长；4.掌握利用“平行于三角形一边的直线，和其它两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似”来判断两个三角形相似.【过程与方法】在探索活动中，发展发现问题、解决问题的意识和合作交流的习惯.【情感态度】培养学生严谨的数学思维习惯.【教学重点】掌握相似三角形的定义、表示法，并能根据定义判断两个三角形是否相似.【教学难点】熟练找出对应元素，在此基础上根据定义求线段长或角的度数.一、情境导入，初步认识复习：什么是相似形？识别两个多边形是否相似的标准是什么？二、思考探究，获取新知1.相似三角形的有关概念：由复习中引入，如果两个多边形的对应边成比例，对应角都相等，那么这两个多边形相似.三角形是最简单的多边形.由此可以说什么样的两个三角形相似？如果两个三角形的三条边都成比例，三个角对应相等，那么这两个三角形相似，如在△ABC 与△A ′B ′C ′中，∠A=A ′,∠B=∠B ′,∠C=∠C ′，C A AC C B BC B A AB ''=''=''，那么△ABC 与△A ′B ′C ′相似，记作△ABC ∽△A ′B ′C ′.“∽”是表示相似的符号，读作“相似于”，这样两个三角形相似就读作“△ABC 相似于△A ′B ′C ′”.由于∠A=∠A ′,∠B=∠B ′,∠C=∠C ′，所以A 与A ′是对应顶点，B 与B ′是对应顶点，C 与C ′是对应顶点，书写相似时，通常把对应顶点写在对应位置上，以便比较容易找到相似三角形中的对应角、对应边.如果记C A AC C B BC B A AB ''=''=''=k ，那么这个比值k 就表示这两个相似三角形的相似比.相似比就是它们的对应边的比，它有顺序关系.如△ABC ∽△A ′B ′C ′，它的相似比为k ，即指B A AB ''=k ，那么△A ′B ′C ′与△ABC 的相似比应是B A AB ''，就不是k 了，应为多少呢？同学们想一想. 如果△ABC ∽△A ′B ′C ′,相似比k=1，你会发现什么呢？C A AC C B BC B A AB ''=''=''=1，所以可得AB=A ′B ′,BC=B ′C ′,AC=A ′C ′，因此这两个三角形不仅形状相同，而且大小也相同，这样的三角形称之为全等三角形，全等三角形是相似三角形的特例.试问：①全等的两个三角形一定相似吗？②相似的两个三角形会全等吗？2.△ABC 中，D 是AB 上任意一点，过D 作DE ∥BC,交AC 边于E ，那么△ADE 与△ABC 是否相似？【分析】判断它们是否相似，由①对应角是否相等，②对应边是否成比例去考虑.能否得对应角相等？根据平行线性质与一个公共角可以推出①，而对应边是否成比例呢？可根据平行线分线段成比例的基本事实，推得BCDE AC AE =，通过度量发现ABAD BC DE =，所以可以判断出△ADE 与△ABC 相似. 思考 （1）你能否通过演绎推理证明你的猜想？（2）若是DE ∥BC,DE 与BA 、CA 延长线交于E 、D ，那么△ADE 与△ABC 还会相似吗？试试看，如果相似写出它们对应边的比例式.【归纳结论】平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似.例1 如图，在△ABC 中，点D 是边AB 的三等分点，DE ∥BC ，DE=5，求BC 的长.解：∵DE ∥BC,∴△ADE ∽△ABC ，∴DEBC=ADAB=13，∴BC=3DE=15.三、运用新知，深化理解1.如图所示，DE ∥BC.（1）如果AD=2,DB=3，求DE ∶BC 的值；（2）如果AD=8，DB=12，AC=15，DE=7，求AE 和BC 的长.2.如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC,点E 是边AD 的中点，连接BE 交AC 于点F ，BE 的延长线交CD 的延长线于点G.（1）求证：BC AE GB GE =;（2）若GE=2,BF=3，求线段EF 的长. 【答案】1.（1）DE ∶BC=2∶5（2）AE=6,BC=235.2.（1）证明：∵AD ∥BC ，∴△GED ∽△GBC ，∴BC EDGB GE =.又∵ED=AE,∴BC AEGB GE =.（2）设EF 的长为x,则由（1）知BC AEGB GE =,又∵GB GEBC AE=,∴BF EFGB GE=,即3322xx =++,解得x 1=-6（舍去）,x 2=1,∴EF=1.【教学说明】第2题教师适当点拨，小组讨论后独立完成.四、师生互动，课堂小结你这节课学到了哪些知识？还有哪些疑问？1.布置作业：从教材相应练习和“习题23.3”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.23.3.2.相似三角形的判定第1课时相似三角形的判定（1）【知识与技能】会说判定两个三角形相似的方法：两个角分别相等的两个三角形相似.会用这种方法判断两个三角形是否相似.【过程与方法】培养学生动手操作能力.【情感态度】在动手推演中感受几何的趣味性.【教学重点】相似三角形的判定定理1以及推导过程，并会用判定定理1来证明和计算.【教学难点】相似三角形的判定定理1的运用.一、情境导入，初步认识1.两个矩形一定会相似吗？为什么？2.如何判断两个三角形是否相似？根据定义：对应角相等，对应边成比例.3.如图△ABC与△A′B′C′会相似吗？为什么？是否存在判定两个三角形相似的简便方法？本节就是探索识别两个三角形相似的方法.二、思考探究，获取新知同学们观察你与你的同伴用的三角尺，及老师用的三角板，如有一个角是30°的直角三角尺，它们的大小不一样.这些三角形是相似的，我们就从平常所用的三角尺入手探索.（1）45°角的三角尺是等腰直角三角形，它们是相似的.（2）30°的三角尺，那么另一个锐角为60°，有一个直角，因此它们的三个角都相等，同学们量一量它们的对应边，是否成比例呢？这样，从直观上看，一个三角形的三个角分别与另一个三角形三个角对应相等，它们好像就会“相似”.是这样吗？请同学们动手试一试：1.画两个三角形，使它们的三个角分别相等.画△ABC与△DEF，使∠A=∠D，∠B=∠E,∠C=∠F,在实际画图过程中，同学们画几个角相等？为什么？实际画图中，只画∠A=∠D,∠B=∠E,则第三个角∠C与∠F一定会相等，这是根据三角形内角和为180°所确定的.2.用刻度尺量一量各边长，它们的对应边是否会成比例？与同伴交流，是否有相同结果.3.发现什么现象：发现如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，那么这两个三角形相似.4.两个矩形的四个角也都分别相等，它们为什么不会相似呢？这是由于三角形具有它特殊的性质.三角形有稳定性，而四边形有不稳定性.于是我们得到判定两个三角形相似的一个较为简便的方法：如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似，简单地说，两角对应相等，两三角形相似.同学们思考，能否再简便一些，仅有一对角对应相等的两个三角形，是否一定会相似呢？例1 如图，在两个直角三角形△ABC和△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′，判断这两个三角形是否相似.解：相似，因为∠C=∠C′，∠A=∠A′，根据相似三角形的判定定理1可知△A′B′C′∽△ABC.例2 在△ABC与△A′B′C′中，∠A=∠A′=50°，∠B=70°，∠B′=60°，这两个三角形相似吗?解：由三角形的内角和定理知∠C′=180°-∠A′-∠B′=180°-50°-60°=70°，∴∠C′=∠B,又∵∠A=∠A′，∴△ABC∽△A′C′B′.【教学说明】教师注意引导学生分析∠B不一定与∠B′对应.例3 如图，△ABC中，DE∥BC,EF∥AB,试说明△ADE∽△EFC.证明：∵DE∥BC,∴∠AED=∠C.又∵EF∥AB,∴∠CEF=∠A.∴△ADE∽△EFC三、运用新知，深化理解1.△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，找出图中所有的相似三角形.2.△ABC中，D是AB的边上一点，过点D作一直线与AC相交于E，要使△ADE与△ABC会相似，你怎样画这条直线?说明理由.和你的同伴交流作法是否一样.【答案】1.△ACD∽△CBD∽△ABC2.有两种不同的画法①过D点作DE∥BC,DE交AC于点E②以AD为一边在△ABC内部作∠ADE=∠C,另一边DE交AC于点E.【教学说明】第2题注意分类讨论.四、师生互动，课堂小结这节课你学到哪些判定三角形相似的方法？还有什么疑惑？说说看.1.布置作业：从教材相应练习和“习题23.3”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.23.3.2.相似三角形的判定第2课时 相似三角形的判定（2)【知识与技能】1.掌握相似三角形的判定定理2：有两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似；2.掌握相似三角形的判定定理3：三条边对应成比例的两个三角形相似.3.能依据条件，灵活应用相似三角形的判定定理，正确判断两个三角形相似.【过程与方法】在推理过程中学会灵活使用数学方法.【情感态度】培养学生严谨的数学证明习惯和对数学的兴趣.【教学重点】相似三角形的判定定理2、3的推导过程，掌握相似三角形的判定定理2、3并能灵活应用.【教学难点】相似三角形的判定定理的推导及应用.一、情境导入，初步认识复习：1.现在要判断两个三角形相似有哪几种方法？有两种方法：(1)根据定义；（2）有两个角对应相等的两个三角形相似.2.如图△ABC 中，D 、E 是AB 、AC 上三等分点（即AD=31AB,AE=31AC)，那么△ADE 与△ABC 相似吗？你用的是哪一种方法？由于没有两个角对应相等，同学们可以动手量一量，量什么后可以判断它们是否相似？【教学说明】可能有一部分同学用量角器量角，有一部分同学量线段，看看能否成比例，无论哪一种，都应肯定他们是正确的，要求同学说出是应用哪一种方法判断出的.二、思考探究，获取新知同学们通过量角或量线段计算之后，得出：△ADE ∽△ABC.从已知条件看，△ADE 与△ABC 有一对对应角相等，即∠A=∠A(是公共角），而一个条件是AD=31AB,AE=31AC,即是31=AB AD ,31=AC AE ，因此AC AE AB AD =.△ADE 的两条边AD 、AE 与△ABC 的两条边AB 、AC 会对应成比例，它们的夹角又相等，符合这样条件的两个三角形也会相似吗？我们再做一次实验.观察教材图23.3.10，如果有一点E 在边AC 上，那么点E 应该在什么位置才能使△ADE 与△ABC 相似呢？图中两个三角形的一组对应边AD 与AB 的长度的比值为31，将点E 由点A 开始在AC 上移动，可以发现当AE=31AC 时，△ADE 与△ABC 相似，此时ACAE AB AD =. 猜想：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.你能否用演绎推理的方法证明你的猜想？【教学说明】引导学生证明上述猜想.【归纳结论】 相似三角形的判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.强调对应相等的角必须是成比例的边的夹角，如果不是夹角，它们不一定会相似.你能画出有两边对应成比例，有一个角相等，但它们不相似的两个三角形吗？（画顶角与底角相等的两个等腰三角形）∠B=∠B ′,C A AC B A AB ''=''. 例1（课本中例4）判断图中△AEB 与△FEC 是否相似.例2 如图△ABC 中，D 、E 是AB 、AC 上的点，AB=7.8，AD=3，AC=6，CE=2.1，试判断△ADE 与△ABC 是否会相似，小张同学的判断理由是这样的:解：因为AC=AE+CE ，而AC=6，CE=2.1，故AE=6-2.1=3.9.由于AC AE AB AD ≠，所以△ADE 与△ABC 不相似.你同意小张同学的判断吗？请你说说理由.解：小张同学的判断是错误的.因为63=AC AD ,218.79.3==AB AE ,所以ABAE AC AD ≠，而∠A 是公共角，∠A=∠A,所以△ADE ∽△ACB. 请同学再做一次实验，看看如果两个三角形的三边都成比例，那么这两个三角形是否相似？看课本69页“做一做”.通过实验得出：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似.简单地说就是，三边成比例的两个三角形相似.例3 △ABC 和△A ′B ′C ′中，AB=6cm,BC=8cm,AC=10cm,A ′B ′=18cm,B ′C ′=24cm,A ′C ′=30cm ，试判定它们是否相似，并说明理由.三、运用新知，深化理解1.如图，△ADE 与△ABC 相似吗？请说明理由.2.如图，已知AE AC DE BCAD AB==,∠BAD=20°，求∠CAE 的大小.【教学说明】引导学生自主完成，学生代表在黑板上展示，教师点评.四、师生互动，课堂小结1.相似三角形的判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.2.相似三角形的判定定理3：三边成比例的两个三角形相似.3.根据题目的具体情况，选择适当的方法证明三角形相似.1.布置作业：从教材相应练习和“习题23.3”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.23.3.3.相似三角形的性质【知识与技能】会说出相似三角形的性质：对应角相等，对应边成比例，对应中线、角平分线、高的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.【过程与方法】培养学生演绎推理的能力.【情感态度】感受数学来源于生活，来源于实践.【教学重点】1.相似三角形中的对应线段比值的推导；2.相似多边形的周长比、面积比与相似比关系的推导；3.运用相似三角形的性质解决实际问题.【教学难点】相似三角形性质的灵活运用，相似三角形周长比、面积比与相似比关系的推导及运用.一、情境导入，初步认识复习：1.判定两个三角形相似的简便方法有哪些？2.在△ABC 与△A ′B ′C ′中，AB=10cm,AC=6cm,BC=8cm,A ′B ′=5cm,A ′C ′=3cm,B ′C ′=4cm ，这两个三角形相似吗？说明理由.如果相似，它们的相似比是多少?二、思考探究，获取新知上述两个三角形是相似的，它们对应边的比就是相似比，△ABC ∽△A ′B ′C ′,相似比为C A AC ''=2. 相似的两个三角形，它们的对应角相等，对应边会成比例，除此之外，还会得出什么结果呢？一个三角形内有三条主要线段——高线、中线、角平分线，如果两个三角形相似，那么这些对应的线段有什么关系呢？我们先探索一下它们的对应高之间的关系.同学画出上述的两个三角形，作对应边BC 和B ′C ′边上的高，用刻度尺量一量AD 与A ′D ′的长，D A AD ''等于多少呢？与它们的相似比相等吗？得出结论：相似三角形对应高的比等于相似比.我们能否用说理的方法来说明这个结论呢？△ABD 和△A ′B ′D ′都是直角三角形，且∠B=∠B ′.∴△ABD ∽△A ′B ′D ′,∴B A AB D A AD ''=''=k 思考：相似三角形面积的比与相似比有什么关系?【教学说明】引导学生通过演绎推理来证明.归纳：相似三角形面积的比等于相似比的平方.同学们用上面类似的方法得出：相似三角形对应边上的中线的比等于相似比；相似三角形对应角平分线的比等于相似比；相似三角形的周长之比等于相似比.例1 如梯形ABCD 的对角线交于点O ，32=AB DC ,已知S △DOC =4，求S △AOB 、S △AOD . 【分析】∵DC ∥AB,∴△DOC ∽△BOA ，由相似三角形的性质可求出S △AOB 、S △AOD.解：∵DC ∥AB ，∴△DOC ∽△BOA ，三、运用新知，深化理解1.如图，这是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（图形）的示意图.已知桌面的直径为1.2m ，桌面距离地面为1m ，若灯泡距离地面3m ，则地面上阴影部分的面积为 .【教学说明】运用相似三角形对应高的比等于相似比是解决本题的关键.2.如图,△ABC 中，BC=24cm ，高AD=12cm ，矩形EFGH 的两个顶点E 、F 在BC 上，另两个顶点G 、H 分别在AC 、AB 上，且EF ∶EH=4∶3，求EF 、EH 的长.【答案】1.0.81πm 22.HG=9.6cm;EH=7.2cm【教学说明】充分运用矩形边长的比来建立方程，可使问题得到解决.四、师生互动，课堂小结1.相似三角形对应角相等，对应边成比例.2.相似三角形对应中线、角平分线、高的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.1.布置作业：从教材相应练习和“习题23.3”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.23.3.4.相似三角形的应用【知识与技能】会应用相似三角形的有关性质，测量简单的物体的高度或宽度.自己设计方案测量高度,体会相似三角形在解决实际问题中的广泛应用.【过程与方法】通过利用相似解决实际问题，进一步提高学习应用数学知识的能力.【情感态度】让学生体会数学来源于生活，应用于生活，体验数学的功用.【教学重点】构建相似三角形解决实际问题.【教学难点】把实际问题抽象为数学问题，利用相似三角形来解决.一、情境导入，初步认识复习1.相似三角形有哪些性质？2.如图，B、C、E、F是在同一直线上，AB⊥BF,DE⊥BF,AC∥DF.（1）△DEF与△ABC相似吗？为什么？（2）若DE=1，EF=2，BC=10，那么AB等于多少？（（1）△DEF∽△ABC.（2）AB=5）二、思考探究，获取新知第二题我们根据两个三角形相似，对应边成比例，列出比例式计算出AB的长.人们从很早开始，就懂得应用这种方法来计算那些不能直接测量的物体的高度或宽度.例 1 古代的数学家想出了一种测量金字塔高度的方法：为了测量金字塔的高度OB，先竖一根已知长度的木棒O′B′，比较木棒的影长A′B′与金字塔的影长AB，即可近似算出金字塔的高度OB，如果O′B′=1米,A′B′=2米，AB=274米，求金字塔的高度OB.。
华师版九年级上册数学同步教案-第23章 图形的相似-23.1 成比例线段(2课时)
23.1 成比例线段 1 成比例线段(第1课时)一、基本目标1．理解相似图形的概念．2．了解成比例的基本性质，了解成比例线段的概念． 二、重难点目标 【教学重点】成比例线段的定义；比例的基本性质及直接运用． 【教学难点】比例的基本性质的灵活运用，探索比例的其他性质．环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P48～P50的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．教材P48[试一试]的答案依次是__2__，__2__，__AB A ′B ′＝BCB ′C ′__.2．对于给定的四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度之比等于另外两条线段的长度之比，如a b ＝cd (或a ：b ＝c ：d )，那么，这四条线段叫做__成比例线段__，简称__比例线段__.3．如果a b ＝c d ，那么__ad ＝bc __.如果ad ＝bc ，那么__a b ＝cd __.这个结论称为__比例的基本性质__.环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)【例1】下列线段中，能成比例的是( ) A ．3 cm 、6 cm 、8 cm 、9 cm B ．3 cm 、5 cm 、6 cm 、9 cm C ．3 cm 、6 cm 、7 cm 、9 cm D ．3 cm 、6 cm 、9 cm 、18 cm【互动探索】(引发学生思考)根据成比例线段的定义，判断四条线段是否成比例的关键是什么？【分析】根据如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．所给选项中，只有D 符合，3×18＝6×9. 【答案】D【互动总结】(学生总结，老师点评)如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，那么这四条线段就是成比例线段．活动2 巩固练习(学生独学)1．已知线段a ＝0.3 m ，b ＝60 cm ，c ＝12 dm. (1)求线段a 与线段b 的比；(2)如果线段a 、b 、c 、d 成比例，求线段d 的长．解：(1)∵a ＝0.3 m ＝30 cm ，b ＝60 cm ，∴a ∶b ＝30∶60＝1∶2. (2)∵线段a 、b 、c 、d 是成比例线段，∴a b ＝c d .∵c ＝12 dm ＝120 cm ，∴12＝120d，∴d ＝240 cm.2．如图，四边形ABCD 与四边形ABFE 都是矩形，AB ＝3，AD ＝6.5，BF ＝2. (1)求下列各线段的比：CD BC 、EF CF 、BFAB；(2)指出AB 、BC 、CF 、CD 、EF 、FB 这六条线段中的成比例线段(写一组即可)．解：(1)∵四边形ABCD 与四边形ABFE 都是矩形，AB ＝3，AD ＝6.5，BF ＝2，∴CD ＝EF ＝AB ＝3，BC ＝AD ＝6.5，CF ＝BC －BF ＝4.5，∴CD BC ＝36.5＝613，EF CF ＝34.5＝23，BF AB ＝23.(2)成比例线段有AB 、BF 、CF 和EF . 3．已知 a b ＝32，求下列算式的值．(1)a ＋b b ；(2)2a ＋b 3a －2b . 解：(1)52. (2)85.活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且满足a ＋43＝b ＋32＝c ＋84，且a ＋b ＋c ＝12，请你探索△ABC 的形状．【互动探索】分析法：要判断△ABC 的形状→需要知道△ABC 的边长或者角度→利用两个已知等式确定 a 、b 、c 的数量关系→得△ABC 的形状．【解答】设a＋43＝b ＋32＝c ＋84＝k ，可得a ＝3k －4，b ＝2k －3，c ＝4k －8，代入a ＋b ＋c ＝12，得9k －15＝12，解得k ＝3.则a ＝5，b ＝3，c ＝4，∴b 2＋c 2＝a 2，即△ABC 为直角三角形．【互动总结】(学生总结，老师点评)当出现等比的条件时，可以设等比为一个常数k ，从而使问题变得简单．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)成比例线段⎩⎪⎨⎪⎧概念—判断成比例线段基本性质⎩⎪⎨⎪⎧求线段长或段线比证明等式应用请完成本课时对应练习！2 平行线分线段成比例(第2课时)一、基本目标1. 理解并掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论，并会灵活应用．2．通过定理的学习知道认识事物的一般规律是从特殊到一般，并能欣赏数学表达式的对称美，进一步体会数学与现实生活的紧密联系．二、重难点目标 【教学重点】平行线分线段成比例定理的应用． 【教学难点】平行线分线段成比例定理的推导证明．环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P51～P54的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．教材P52[思考]的答案是__AD AB ＝AE AC ，DB AB ＝ECAC__.2．教材P53[思考]的答案是__有类似的成比例线段，如AD AB ＝AE AC ，DE BC ＝EAAC 等__.3．平行线分线段成比例：(1)定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成__比例__；(2)推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成__比例__.4．如图，直线AB ∥CD ∥EF , 则AC BD ＝(AE )(BF )，AC AE ＝(BD )(BF )，AE CE ＝(BF )(DF ).环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)【例1】如图，直线a 、b 被三条互相平行的直线l 1、l 2、l 3所截，AB ＝3，BC ＝2，求DE ：DF 的值．【互动探索】(引发学生思考)已知线段平行及AB 、BC ，利用平行线分线段成比例求解． 【解答】∵l 1∥l 2∥l 3，∴AB ∶BC ＝DE ∶EF ＝3∶2，∴DE ∶DF ＝3∶5.【互动总结】(学生总结，老师点评)两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．【例2】如图，DE ∥FG ∥BC ，AD ∶DF ∶FB ＝2∶3∶4，如果EG ＝4，求AC 的长．【互动探索】求AC 的长，需要转化为求AE 、GC 的长．【解答】∵DE ∥FG ∥BC ，∴AE ∶EG ∶GC ＝AD ∶DF ∶FB ＝2∶3∶4.∵EG ＝4，∴AE ＝83，GC ＝163，∴AC ＝AE ＋EG ＋GC ＝12. 【互动总结】(学生总结，老师点评)平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例．活动2 巩固练习(学生独学)1．如图，l 1∥l 2∥l 3，AB ＝3，AD ＝2，DE ＝4，EF ＝7.5.求BC 、BE 的长．解：∵l 1∥l 2∥l 3，∴FB BE ＝AB BC ＝AD DE ，即FB BE ＝3BC ＝24，∴BC ＝6，BF ＝12BE ，∴12BE ＋BE ＝7.5，∴BE ＝5.2．如图所示，在△ABC 中，E 、F 分别是AB 和AC 上的点，且EF ∥BC . (1)如果AE ＝7 cm ，EB ＝5 cm ，FC ＝4 cm ，那么AF 的长是多少？ (2)如果AB ＝10 cm ，AE ＝6 cm ，AF ＝5 cm ，那么FC 的长是多少？解：(1)∵EF ∥BC ，∴AE BE ＝AF FC .∵AE ＝7 cm ，EB ＝5 cm ，FC ＝4 cm ，∴75＝AF4，∴AF＝5.6 cm.(2)∵EF ∥BC ，∴AE AB ＝AF AC .∵AB ＝10 cm ，AE ＝6 cm ，AF ＝5 cm ，∴610＝5AC ，∴AC ＝253cm ，∴FC ＝AC －AF ＝253－5＝103(cm)．活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】如图，点D 是等边△ABC 中BC 边上一点，过点D 分别作DE ∥AB ，DF ∥AC ，交AC 、AB 于E 、F ，连结BE 、CF ，分别交DF 、DE 于点N 、M ，连结MN .试判断△DMN 的形状，并说明理由．【互动探索】观察法：观察图形，猜测△DMN 为等边三角形→已知线段平行→得CMMF ＝NEBN→由平行线分线段成比例推论得MN ∥BC →得结论． 【解答】△DMN 为等边三角形．理由：∵DE ∥AB ，且△ABC 为等边三角形，∴∠EDC ＝∠ABC ＝60°，CM MF ＝CD BD ，BN NE ＝BD CD ，∴CM MF ＝NEBN ，∴MN ∥BC ，∴∠MND ＝∠BDN ＝60°，∠MND ＝∠MDC ＝60°，∴△DMN 为等边三角形．【互动总结】(学生总结，老师点评)平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例；有两个角为60°的三角形是等边三角形．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)平行线分线段成比例：定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例．请完成本课时对应练习！。
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成比例线段
【学习目标】
1．理解比例线段的概念和比例的基本性质；
2．掌握比例线段的判定方法，会运用比例的基本性质进行变形；
3．通过图形来推导成比例线段，发展学生的逻辑推理能力．通过例题的学习，培养学生的灵活运用知识能力；
4．学生通过经历、观察、操作、欣赏，感受图形的相似，让学生自己去体会生活中的相似，从而理解相似的概念，探索它的基本特征，学会在实践中发现规律．
【学习重点】
比例线段及比例的基本性质的应用．
【学习难点】
比例性质的推导与应用．
情景导入生成问题
你瞧，那些大大小小的图形是多么地相像！日常生活中，我们经常会看到这种相似的图形，那么它们有什么主要特征与关系呢？
自学互研生成能力
知识模块一图形的相似
阅读教材P48～P50的内容．
探讨1：日常生活中，我们会碰到很多形状相同、大小不一定相同的图形，例如右面两张照片，右边的照片是由左边的照片
放大得来的，尽管它们大小不同，但形状相同．
你还能举出类似的例子吗？
结论：把这种具有相同形状的图形称为相似图形．
探讨2：由如图的格点图可知，AB
A′B′＝__2__，
BC
B′C′
＝__2__．这样
AB
A′B′
与
BC
B′C′
之间有什么关系？
结论：对于给定的四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度之比等于另外两条线段的长度之比，如a b ＝c d (或a∶b＝c∶d)，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段(proportional segments)．此时也称这四条线段成比例．
归纳：1.相似图形的特征：形状相同，大小可以相同，也可以不同．如果是两个相似多边形，那么它们的对应角也相同，对应边成比例． 2．四条线段成比例，它们是有顺序的，比如a ，b ，c ，d 成比例，必须写成式子：a ∶b ＝c∶d. 范例：判断下列线段a 、b 、c 、d 是否是成比例线段：
(1)a ＝4，b ＝8，c ＝5，d ＝10；(2)a ＝2，b ＝215，c ＝5，d ＝5 3.
解：(1)∵a b ＝48＝12，c d ＝510＝12，∴a b ＝c d
，∴线段a 、b 、c 、d 是成比例线段． (2)∵a c ＝25
＝255，b d ＝21553＝255，∴a c ＝b d ，∴这四条线段是成比例线段． 知识模块二 比例的性质
求证：已知a ，b ，c ，d 是四条线段．
(1)如果a b ＝c d (或a∶b＝c∶d)，那么ad ＝bc ；(2)如果ad ＝bc ，那么a b ＝c d
. 归纳：比例的基本性质：(1)如果a b ＝c d ，那么ad ＝bc.(2)如果ad ＝bc ，那么a b ＝c d
. 范例：证明(1)如果a b ＝c d ，那么a ＋b b ＝c ＋d d ；(2)如果a b ＝c d ，那么a a －b ＝c c －d
(a≠b)． 证明：(1)∵a b ＝c d ，在等式两边同加上1，得a b ＋1＝c d ＋1，∴a ＋b b ＝c ＋d d
. (2)∵a b ＝c d
，∴ad ＝bc ，在等式两边同减去ac ，得ad －ac ＝bc －ac.∴ac－ad ＝ac －bc ，∴a(c －d)＝(a －b)c.由a≠b，且a b ＝c d ，知c≠d，从而a －b≠0，且c －d≠0，在上式两边同除以(a －b)(c －d)，得a a －b ＝c c －d
. 交流展示 生成新知
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
知识模块一 图形的相似
知识模块二 比例的性质
检测反馈 达成目标
1．判断下列各组线段是否成比例．
(1)4cm 、6cm 、8cm 、2cm .
(2)1.5cm 、4.5cm 、2.5cm 、7.5cm .
解：(1)不是
(2)是
2．已知线段x 、y 、z ，x ＋y ＋z ＝54，且x 2＝y 3＝z 4，求x 、y 、z 的值．
解：x ＝12；y ＝18；z ＝24.
3．已知a b ＝c d ，求证：a a －b ＝c
c －
d .
解：∵a b ＝c d ，∴b a ＝d c ，∴a －b
a ＝c －d c ，∴a a －
b ＝c
c －d
课后反思 查漏补缺
1．收获：________________________________________________________________________
2．存在困惑：_________________________________________________________________。