高等数学基础练习题
高等数学练习题(附答案)
《高等数学》专业年级学号姓名一、判断题.将√或×填入相应的括号内.（每题2分，共20分）（）1.收敛的数列必有界.（）2.无穷大量与有界量之积是无穷大量.（）3.闭区间上的间断函数必无界.（）4.单调函数的导函数也是单调函数.（）5.若f (x )在x 0点可导，则f (x )也在x 0点可导.（）6.若连续函数y =f (x )在x 0点不可导，则曲线y =f (x )在(x 0,f (x 0))点没有切线.（）7.若f (x )在[a ,b ]上可积，则f (x )在[a ,b ]上连续.（）8.若z =f (x ,y )在（x 0,y 0）处的两个一阶偏导数存在，则函数z =f (x ,y )在（x 0,y 0）处可微.（）9.微分方程的含有任意常数的解是该微分方程的通解.（）10.设偶函数f (x )在区间(-1,1)内具有二阶导数，且f ''(0)=f '(0)+1,则f (0)为f (x )的一个极小值.二、填空题.（每题2分，共20分）1.设f (x -1)=x ，则f (x +1)=.22.若f (x )=2-12+11x1x，则lim +=.x →03.设单调可微函数f (x )的反函数为g (x ),f (1)=3,f '(1)=2,f ''(3)=6则---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------g '(3)=.4.设u =xy +2x,则du =.y35.曲线x =6y -y 在(-2,2)点切线的斜率为.6.设f (x )为可导函数,f '(1)=1,F (x )=f ()+f (x ),则F '(1)=.7.若1x2⎰f (x )0t 2dt =x 2(1+x ),则f (2)=.8.f (x )=x +2x 在[0,4]上的最大值为.9.广义积分⎰+∞0e -2x dx =.2210.设D 为圆形区域x +y ≤1,⎰⎰y D1+x 5dxdy =.三、计算题（每题5分，共40分）111+Λ+).1.计算lim(2+22n →∞n (n +1)(2n )2.求y =(x +1)(x +2)(x +3)ΛΛ(x +10)在（0，+∞）内的导数.23103.求不定积分⎰1x (1-x )dx .4.计算定积分⎰πsin 3x -sin 5xdx .3225.求函数f (x ,y )=x -4x +2xy -y 的极值.6.设平面区域D 是由y =x ,y =x 围成，计算⎰⎰Dsin ydxdy .y7.计算由曲线xy =1,xy =2,y =x ,y =3x 围成的平面图形在第一象限的面积.---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------8.求微分方程y '=y -2x的通解.y四、证明题（每题10分，共20分）1.证明：arc tan x=arcsinx 1+x 2(-∞<x <+∞).2.设f (x )在闭区间[a ,b ]上连续，且f (x )>0,F (x )=⎰f (t )dt +⎰x xb1dt f (t )证明：方程F (x )=0在区间(a ,b )内有且仅有一个实根.《高等数学》参考答案一、判断题.将√或×填入相应的括号内（每题2分，共20分）1.√；2.×；3.×；4.×；5.×；6.×；7.×；8.×；9.√；10.√.二、填空题.（每题2分，共20分）21.x +4x +4； 2.1； 3.1/2；4.(y +1/y )dx +(x -x /y )dy ；25.2/3；6. 1；7.336；8.8；9.1/2；10.0.三、计算题（每题5分，共40分）n +1111n +1<++L +<1.解：因为(2n )2n 2(n +1)2(2n )2n 2且lim 由迫敛性定理知：lim(n →∞n +1n +1=0lim ，=0n →∞(2n )2n →∞n 2111++Λ+)=0222n (n +1)(2n )2.解：先求对数ln y =ln(x +1)+2ln(x +2)Λ+10ln(x +10)---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------∴11210y '=++Λ+y x +1x +2x +10∴y '=(x +1)Λ(x +10)(3.解：原式=21210++Λ+)x +1x +2x +10⎰11-xd x =2⎰11-(x )2d x=2arcsin4.解：原式=x +c⎰πsin 3x cos 2xdxπ32=⎰π2020cos x sin xdx -⎰cos x sin xdx232ππ32=⎰sin xd sin x -⎰ππ2sin xd sin x32222-[sin 2x ]π=[sin 2x ]0π552=4/525.解：f x'=3x -8x -2y =0f y'=2x -2y =05π5故⎨⎧x =0⎧x =2或⎨⎩y =0⎩y =2当⎨⎧x =0''(0,0)=-2，f xy ''(0,0)=2''(0,0)=-8，f yy 时f xx⎩y =0---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Θ∆=(-8)⨯(-2)-22>0且A=-8<0∴（0，0）为极大值点且f (0,0)=0当⎨⎧x =2''(2,2)=-2，f xy ''(2,2)=2''(2,2)=4，f yy 时f xxy =2⎩Θ∆=4⨯(-2)-22<0∴无法判断6.解：D=(x ,y )0≤y ≤1,y 2≤x ≤y{}∴⎰⎰D1y sin y 1sin y sin y dxdy =⎰dy ⎰2dx =⎰[x ]y dyy 20y 0y y y =⎰(sin y -y sin y )dy1=[-cos y ]+10⎰1yd cos y 1=1-cos1+[y cos y ]0-⎰cos ydy 01=1-sin17.解：令u =xy ，v =y；则1≤u ≤2，1≤v ≤3x1x uJ =yuxv =2uv y vv-u 2v v =12v u2u v231dv =ln 3∴A =⎰⎰d σ=⎰du ⎰112v D8.解：令y =u ，知(u )'=2u -4x由微分公式知：u =y =e ⎰22dx 2(⎰-4xe ⎰-2dx dx +c )---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------=e 2x (⎰-4xe -2x dx +c )=e 2x (2xe -2x +e -2x +c )四.证明题（每题10分，共20分）1.解：设f (x )=arctan x -arcsinx 1+x 221Θf '(x )=-21+x 1x 1-1+x 221+x -⋅1+x 2x 21+x 2=0∴f (x )=c-∞<x <+∞令x =0Θf (0)=0-0=0∴c =0即：原式成立。
高等数学习题
高等数学练习题一1、一平面过点(1,0,1)-，且平行于向量()2,1,1a →=和()1,1,0b →=-，试求这平面方程.2、求过点(3,1,2)-且通过直线43521x y z -+==的平面方程.3、求过点(3,2,5)-且与两平面43x z -=和251x y z --=的交线平行的直线方程。
4、求过点(0,2,4)且与两平面21x z +=和32y z -=的交线平行的直线方程。
5、求过点()3,0,1-且与平面375120x y z -+-=平行的平面方程.6、求过点(4,1,3)-且垂直于直线31215x y z --==的平面方程. 7、已知某直线过点(1,2,4)-, 且与平面2340x y z -+-=垂直, 则该直线方程8、已知某直线过点 (4,1,3)-, 且平行于直线31215x y z --==，则该直线方程 9、求旋转抛物面221z x y =+-在点(2,1,4)处的切平面方程和法线方程。
10、求曲面3z e z xy -+=在点(2,1,0)处的切平面方程和法线方程。
11、求曲线32,,x t y t z t ===在对应于01t =的点处的切线及法平面方程.12、求曲线21,,1t t x y z t t t +===+在对应于01t =的点处的切线及法平面方程.高等数学练习题二1、设sin u z e v =, 而u xy =, v x y =+. 求z x ∂∂和z y∂∂. 2、设2ln z u v =, 而x u y =, 32v x y =-. 求z x ∂∂和z y∂∂. 3、设23,sin ,,x y z e x t y t -===求dz dt . 4、设22z u v =+，而,u x y v x y =+=-，求,z z x y∂∂∂∂.5、计算二重积分Dd σ⎰⎰，其中D 由两条抛物线y =2y x =所围成闭区域.6、利用极坐标计算22xy D e dxdy --⎰⎰，其中D 是由圆周222x y a +=所围成的闭区域.7、利用极坐标计算22xy D e dxdy +⎰⎰，其中D 是由圆周224x y +=所围成的闭区域.8、计算22ln(1)Dx y d σ++⎰⎰, 其中D 是由圆周221x y +=及坐标轴所围成的第一象限内的闭区域。
高数极限基础练习题
高数极限基础练习题一、选择题（每题3分，共15分）1. 极限 \(\lim_{{x \to 0}} \frac{\sin x}{x}\) 的值为：A. 0B. 1C. 2D. 无穷2. 函数 \( f(x) = x^2 \sin(\frac{1}{x}) \) 在 \( x = 0 \) 处的极限为：A. 0B. 1C. 无定义D. \( \frac{\pi}{2} \)3. 函数 \( g(x) = \frac{\sin x}{x} \) 在 \( x = \pi \) 处的极限为：A. 0B. 1C. \(\frac{1}{\pi}\)D. \(-1\)4. 极限 \(\lim_{{n \to \infty}} \frac{n^2}{e^n}\) 的值为：A. 0B. 1C. 无穷D. \(\frac{1}{2}\)5. 函数 \( h(x) = \frac{1}{1+x^2} \) 在 \( x = 2 \) 处的极限为：A. \(\frac{1}{5}\)B. \(\frac{1}{4}\)C. \(\frac{1}{3}\)D. \(\frac{1}{2}\)二、填空题（每空2分，共20分）6. 极限 \(\lim_{{x \to 1}} (x^2 - 1)\) 等于______。
7. 函数 \( f(x) = \frac{\ln(x)}{x} \) 在 \( x = e \) 处的极限为______。
8. 极限 \(\lim_{{x \to \infty}} \frac{\sin x}{x}\) 存在，其值为______。
9. 函数 \( g(x) = x - \tan^{-1}(x) \) 在 \( x = 1 \) 处的极限为______。
10. 极限 \(\lim_{{x \to 0}} \frac{e^x - 1}{x}\) 的值为______。
三、计算题（每题10分，共30分）11. 计算极限 \(\lim_{{x \to 0}} \frac{\ln(1+x)}{x}\)。
高中数学练习题基础
高中数学练习题基础一、集合与函数(1) A = {x | x是小于5的自然数}(2) B = {x | x² 3x + 2 = 0}(1) 若A∩B = ∅，则A∪B = A(2) 对于任意实数集R，有R⊆R(1) f(x) = √(x² 5x + 6)(2) g(x) = 1 / (x² 4)(1) f(x) = x³ 3x(2) g(x) = |x| 2二、三角函数(1) sin 45°(2) cos 60°(3) tan 30°2. 已知sin α = 1/2，α为第二象限角，求cos α的值。
(1) y = sin(2x + π/3)(2) y = cos(3x π/4)三、数列(1) an = n² + 1(2) bn = 2^n 1(1) 2, 4, 8, 16, 32, …(2) 1, 3, 6, 10, 15, …(1) 1, 4, 9, 16, 25, …四、平面向量1. 已知向量a = (2, 3)，求向量a的模。
2. 计算向量a = (4, 5)与向量b = (3, 2)的数量积。
(1) a = (2, 1)，b = (4, 2)(2) a = (1, 3)，b = (2, 1)五、平面解析几何(1) 经过点(2, 3)且斜率为2的直线(2) 经过点(1, 3)且垂直于x轴的直线(1) 圆心在原点，半径为3的圆(2) 圆心在点(2, 1)，半径为√5的圆(1) 点(1, 2)到直线y = 3x 1的距离(2) 点(2, 3)到直线2x + 4y + 6 = 0的距离六、立体几何(1) 正方体边长为2(2) 长方体长、宽、高分别为3、4、52. 已知正四面体棱长为a，求其体积。
(1) 正方体A边长为2，正方体B边长为4(2) 长方体A长、宽、高分别为3、4、5，长方体B长、宽、高分别为6、8、10七、概率与统计1. 抛掷一枚硬币10次，求恰好出现5次正面的概率。
高等数学基础练习题
高等数学基础练习题函数（一）单项选择题⒈下列各函数对中，（ ）中的两个函数相等．A. 2)()(x x f =，x x g =)(B. 2)(x x f =，x x g =)(C. 3ln )(x x f =，x x g ln 3)(=D. 1)(+=x x f ，11)(2--=x x x g⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f -+的图形关于（）对称．A. 坐标原点B. x 轴C. y 轴D. x y =⒊下列函数中为奇函数是（ ）．A. )1ln(2x y +=B. x x y cos =C. 2xx a a y -+= D. )1ln(x y +=⒋下列函数中为基本初等函数是（ ）．A. 1+=x yB. x y -=C. 2x y =D. ⎩⎨⎧≥<-=0,10,1x x y⒌下列极限存计算不正确的是（ ）．A. 12lim 22=+∞→x x x B. 0)1ln(lim 0=+→x xC. 0sin lim =∞→x xx D. 01sin lim =∞→x x x⒍当0→x 时，变量（ ）是无穷小量．A. x xsin B. x 1C. x x 1sin D. 2)ln(+x⒎若函数)(x f 在点0x 满足（ ），则)(x f 在点0x 连续。
A. )()(lim 00x f x f x x =→B. )(x f 在点0x的某个邻域内有定义C. )()(lim 00x f x f x x =+→D. )(lim )(lim 00x f x f x x x x -+→→=（二）填空题⒈函数)1ln(39)(2x x x x f ++--=的定义域是 ．⒉已知函数x x x f +=+2)1(，则=)(x f ．⒊=+∞→x x x)211(lim ． ⒋若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<+=0,0,)1()(1x k x x x x f x ，在0=x 处连续，则=k ．⒌函数⎩⎨⎧≤>+=0,sin 0,1x x x x y 的间断点是 ． ⒍若A x f x x =→)(lim 0，则当0x x →时，A x f -)(称为 ．导数与微分（一）单项选择题⒈设0)0(=f 且极限x x f x )(lim0→存在，则=→xx f x )(lim 0（ ）． A. )0(f B. )0(f 'C. )(x f 'D. 0⒉设)(x f 在0x 可导，则=--→hx f h x f h 2)()2(lim 000（ ）． A. )(20x f '- B. )(0x f 'C. )(20x f 'D. )(0x f '- ⒊设xx f e )(=，则=∆-∆+→∆xf x f x )1()1(lim 0（ ）． A. e B. e 2C. e 21D. e 41 ⒋设)99()2)(1()(---=x x x x x f ，则=')0(f （ ）． A. 99 B. 99-C. !99D. !99-⒌下列结论中正确的是（ ）．A. 若)(x f 在点0x 有极限，则在点0x 可导．B. 若)(x f 在点0x 连续，则在点0x 可导．C. 若)(x f 在点0x 可导，则在点0x 有极限．D. 若)(x f 在点0x 有极限，则在点0x 连续．（二）填空题⒈设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(2x x x x x f ，则=')0(f ．⒉设x x x f e 5e )e (2+=，则=x x f d )(ln d ． ⒊曲线1)(+=x x f 在)2,1(处的切线斜率是 ．⒋曲线x x f sin )(=在)1,2π(处的切线方程是 ． ⒌设x x y 2=，则='y ．⒍设x x y ln =，则=''y ．导数的应用（一）单项选择题⒈若函数)(x f 满足条件（ ），则存在),(b a ∈ξ，使得a b a f b f f --=)()()(ξ． A. 在),(b a 内连续B. 在),(b a 内可导C. 在),(b a 内连续且可导D. 在],[b a 内连续，在),(b a 内可导⒉函数14)(2-+=x x x f 的单调增加区间是（ ）．A. )2,(-∞B. )1,1(-C. ),2(∞+D. ),2(∞+-⒊函数542-+=x x y 在区间)6,6(-内满足（ ）．A. 先单调下降再单调上升B. 单调下降C. 先单调上升再单调下降D. 单调上升⒋函数)(x f 满足0)(='x f 的点，一定是)(x f 的（ ）．A. 间断点B. 极值点C. 驻点D. 拐点⒌设)(x f 在),(b a 内有连续的二阶导数，),(0b a x ∈，若)(x f 满足（ ），则)(x f 在0x 取到极小值．A. 0)(,0)(00=''>'x f x fB. 0)(,0)(00=''<'x f x fC. 0)(,0)(00>''='x f x fD. 0)(,0)(00<''='x f x f⒍设)(x f 在),(b a 内有连续的二阶导数，且0)(,0)(<''<'x f x f ，则)(x f 在此区间内是（ ）．A. 单调减少且是凸的B. 单调减少且是凹的C. 单调增加且是凸的D. 单调增加且是凹的（二）填空题⒈设)(x f 在),(b a 内可导，),(0b a x ∈，且当0x x <时0)(<'x f ，当0x x >时0)(>'x f ，则0x 是)(x f 的 点．⒉若函数)(x f 在点0x 可导，且0x 是)(x f 的极值点，则=')(0x f ． ⒊函数)1ln(2x y +=的单调减少区间是 ．⒋函数2e )(x xf =的单调增加区间是 ．⒌若函数)(x f 在],[b a 内恒有0)(<'x f ，则)(x f 在],[b a 上的最大值是 ． ⒍函数3352)(x x x f -+=的拐点是 ．（三）计算题⒈设函数 ⎩⎨⎧≤>=0,0,e )(x x x x f x 求：)1(,)0(,)2(f f f -．⒉求函数xx y 12lg -=的定义域．⒊在半径为R 的半圆内内接一梯形，梯形的一个底边与半圆的直径重合，另一底边的两个端点在半圆上，试将梯形的面积表示成其高的函数．⒋求x xx 2sin 3sin lim 0→．⒌求)1sin(1lim 21+--→xx x ．⒍求x xx 3tan lim 0→．⒎求x x x sin 11lim 20-+→．⒑设函数⎪⎩⎪⎨⎧-<+≤≤->-=1,111,1,)2()(2x x x x x x x f 讨论)(x f 的连续性．。
高等数学第一章练习题
第一章函数、极限、连续一、单项选择题1.区间[a,+∞)，表示不等式（）2.若3.函数是（）。
（A）偶函数（B）奇函数（C）非奇非偶函数（D）既是奇函数又是偶函数4.函数y=f(x)与其反函数 y=f-1（x）的图形对称于直线（）。
5.函数6.函数7.若数列{x n}有极限a,则在a的ε邻域之外，数列中的点（）（A）必不存在（B）至多只有有限多个（C）必定有无穷多个（D）可以有有限个，也可以有无限多个8.若数列{ x n }在（a-ε, a+ε）邻域内有无穷多个数列的点，则（），（其中为某一取定的正数）（A）数列{ x n }必有极限，但不一定等于a（B）数列{ x n }极限存在且一定等于a（C）数列{ x n }的极限不一定存在（D）数列{ x n }一定不存在极限9.数列（A）以0为极限（B）以1为极限（C）以（n-2）/n为极限（D）不存在极限10.极限定义中ε与δ的关系是（）（A）先给定ε后唯一确定δ（B）先确定ε后确定δ，但δ的值不唯一（C）先确定δ后给定ε（D）ε与δ无关11.任意给定12.若函数f（x）在某点x0极限存在，则（）（A） f（x）在 x0的函数值必存在且等于极限值（B） f（x）在x0的函数值必存在，但不一定等于极限值（C） f（x）在x0的函数值可以不存在（D）如果f（x0）存在则必等于极限值13.如果14.无穷小量是（）（A）比0稍大一点的一个数（B）一个很小很小的数（C）以0为极限的一个变量（D）0数15.无穷大量与有界量的关系是（）（A）无穷大量可能是有界量（B）无穷大量一定不是有界量（C）有界量可能是无穷大量（D）不是有界量就一定是无穷大量16.指出下列函数中当X→0+ 时，（）为无穷大量。
17.若18.设19.求20.求21.求22.求23.求24.无穷多个无穷小量之和（）（A）必是无穷小量（B）必是无穷大量（C）必是有界量（D）是无穷小，或是无穷大，或有可能是有界量25.两个无穷小量α与β之积αβ仍是无穷小量，且与α或β相比（）。
高等数学基础样题(试题及答案)
高等数学基础样题(试题及答案)一、单项选择题1下列各函数对中，（ C ）中的两个函数相等．A.2)()(x x f =，x x g =)(B.2)(x x f =，xx g =)(C.3ln )(x x f =，xx g ln 3)(= D.1)(+=x x f ，11)(2−−=x x x g ⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞−∞，则函数)()(x f x f −+的图形关于（ C ）对称．A.坐标原点B.x 轴C.y 轴D.x y =3.设函数)(x f 的定义域为),(+∞−∞，则函数)()(x f x f −−的图形关于（ A ）对称．A.坐标原点 B.x 轴 C.y 轴 D.x y =4.下列函数中为奇函数是（ B ）A.)1ln(2x y += B.xx y cos = C.2xx a a y −+=D.)1ln(x y +=5.下列函数中为偶函数是（ D ）A.xx y sin 1）（+= B.xx y 2= C.xx y cos = D.)1ln(2x y +=6.下列极限存计算不正确的是（ D ）．A.12lim 22=+∞→x x xB.0)1ln(lim 0=+→x x C.0sin lim =∞→xxx D.01sinlim =∞→xx x 7.当0→x 时，变量（ C ）是无穷小量．A. x x sinB. x 1C. xx 1sinD.2)ln(+x 8.当0→x 时，变量（ D ）是无穷小量．(A) x 1(B) xx sin (C)x2(D)1)ln(+x 9.当0→x 时，变量（ C ）是无穷小量．(A) x 1(B) xx sin (C)1e −x (D)2x x 10.当0→x 时，下列变量中（ D ）是无穷小量．(A) x 1sin (B) xxsin (C) 21e (D)1)ln(2+x 11.当0→x 时，下列变量中（ A ）是无穷大量．(A) x x 21+ (B) x (C)0.001x (D)x−212.设)(x f 在0x 可导，则=−−→hx f h x f h 2)()2(lim 000（ D ）．A.)(20x f ′−B.)(0x f ′C. )(20x f ′ D.)(0x f ′−13.设)(x f 在0x 可导，则=−−→hx f h x f h )()2(lim000（ A ）．A.)(20x f ′− B.)(0x f ′ C. )(20x f ′ D.)(0x f ′−14.设)(x f 在0x 可导，则=−−→hx f h x f h 2)()(lim000（ C ）．A.)(210x f ′B.)(20x f ′C.)(210x f ′− D.)(20x f ′−15.设x x f e )(=，则=∆−∆+→∆xf x f x )1()1(lim 0（B ）．(A)e 2(B)e (C)e41(D)e 2116.若)(x f 的一个原函数是x1，则=′)(x f （ D ）．A.xln B. 21x− C. x 1 D.32x 17.若x x f cos )(=，则=′∫x x f d )(（ B ）．A.c x +sinB.cx +cos C.c x +−sin D.c x +−cos 18.若x x f sin )(=，则=′∫x x f d )(（ A ）．A.c x +sinB.cx +cos C.cx +−sin D.cx +−cos 19.若∫+=c x F x x f )(d )(，则∫=x x f xd )(ln 1（ B ）． (A))(ln x F (B)cx F +)(ln (C)c x F x+)(ln 1(D)cxF +)1(20.若∫+=c x F x x f )(d )(，则∫=x x f xd )(1（B ）． (A))(x F (B)cx F +)(2(C)c x F x+)(1(D)c x F +)(2121.下列无穷限积分收敛的是（ B ）．A.∫+∞1d 1x x B.∫+∞−0d e x xC.∫+∞1d 1xxD.∫+∞12d 1x x 22.下列无穷限积分收敛的是（ C ）．(A)xx d 11∫∞+(B)x xd 11∫∞+(C)xx d 1134∫∞+(D)xx d sin 1∫+∞23.下列无穷限积分收敛的是（ D ）．(A)∫+∞1d 1x x(B)∫+∞0d e xx(C)∫+∞1d 1xx(D)∫+∞12d 1x x 24.下列无穷限积分收敛的是（ A ）．(A)∫+∞13d 1xx (B)∫+∞cos xdx(C)dxe x ∫+∞13(D)∫+∞1d 1x x 25.下列无穷限积分收敛的是（ B ）．(A)∫+∞0xd e x(B)dx x ∫+∞021(C)dx x∫+∞11(D)∫+∞1d 1xx26.下列等式中正确的是（ B ）．(A)d d ()arctan 112+=x x x (B)d d ()12x xx =−(C)x x x d 2)2ln 2(d =(D)d d (tan )cot x x x=27.下列等式中正确的是（ C ）．(A)dx xx 1)1(d 2−=(B)dxx x2)1(d =(C)xx xd 2)2ln 2(d =(D)d d (tan )cot x x x =28.下列等式成立的是（ A ）．(A))(d )(d dx f x x f x =∫(B) )(d )(x f x x f =′∫(C))(d )(d x f x x f =∫(D))()(d x f x f =∫29.函数2e e xx y −=−的图形关于（ A）对称．(A)坐标原点(B)x 轴(C)y 轴(D)xy =30.函数222xx y +=−的图形关于（ A）对称．(A)坐标原点(B)y 轴(C)x 轴(D)x y =31.在下列指定的变化过程中，（ C ）是无穷小量．(A))(1sin∞→x xx (B))0(1sin→x x(C))0()1ln(→+x x (D))(e 1∞→x x32.在下列指定的变化过程中，（ A ）是无穷小量．(A))0(1sin→x xx (B))(1sin∞→x xx (C))0(ln →x x (D))(e ∞→x x 33.设)(x f 在0x 可导，则=−−→hx f h x f h 2)()2(lim 000（ C ）． (A))(0x f ′(B))(20x f ′(C))(0x f ′−(D))(20x f ′−35.下列积分计算正确的是（ D ）．(A)0d sin 11=∫−x x x (B)1d e 0=∫∞−−x x (C)πd 2sin 0=∫∞−x x (D)d cos 11=∫−x x x 36.下列积分计算正确的是（ D ）．(A)0d sin 11=∫−x x x (B)1d e 0=∫∞−−x x (C)πd 2sin 0=∫∞−x x (D)d cos 112=∫−x x x 37.下列积分计算正确的是（ B ）．(A)0d )(11=+∫−−x e e x x (B)0d )(e 11=−∫−−x e x x (C)0d 112=∫−x x (D)0d 11=∫−x x38.=∫x x xf xd )(d d 2（ A ）． (A))(2x xf (B)xx f d )(21(C))(21x f (D)xx xf d )(239.函数622+−=x x y 在区间)5,2(内满足（ D ）．A.先单调下降再单调上升B.单调下降C.先单调上升再单调下降D.单调上升40.函数62−−=x x y 在区间)55(，−内满足（ A ）．A.先单调下降再单调上升 B.单调下降C.先单调上升再单调下降 D.单调上升41.函数362−−=x x y 在区间)4,2(内满足（ A ）．A.先单调下降再单调上升B.单调下降C.先单调上升再单调下降D.单调上升42.函数322−+=x x y 在区间)4,2(内满足（ D ）．A.先单调下降再单调上升B.单调下降C.先单调上升再单调下降D.单调上升43.当k=（ C ）时，<+≥+=0,0,1)(2x k x x x x f在点0=x 处连续 (A)-1(B)0(C)1(D)244.函数 =≠=0,0,5sin )(x k x xxx f 在0=x 处连续，则k=（ C ）(A)1(B)5(C) 51(D)045.下列函数中，在),(∞+−∞ 内是单调减少的函数是（ A ）A.x21）（=y B.3x y = C.x y sin = D.2x y =（二）填空题1.函数24)(2−−=x x x f 的定义域是 ),2(]2,(∞+−−∞U ．2.函数x x x f −+−=4)2ln(1)(的定义域是 ]4,3()3,2(U − ．3.函数x x x f −−=5)3ln()(的定义域是)5,3( ．4.函数xx x f −−=6)2ln()(的定义域是)6,2( ．5.函数)1ln(92−−=x x y 的定义域是 ]3,2()2,1(U．6.函数24)1ln(x x y −+=的定义域是)2,1(− ．7.函数x x y ++−=1)3ln(1的定义域是 )3,2()2,1[U − ．8.函数xx y −−+=21)5ln(的定义域是)2,5(− ．9.函数12++=x x y 的间断点是1−=x ．10.函数3322−−−=x x x y 的间断点是 3=x ．11.函数≤>−=0sin 01x x x x y 的间断点是 0=x ．12.函数≥+<=0,10,1sin )(2x x x xx x f 的间断点是 0=x ．13.若函数 ≥+<+=00)1()(21x k x x x x f x ，在0=x 处连续，则=k e ．14.若函数 ≥+<+=00)1()(31x k x x x x f x ，在0=x 处连续，则=k e ．15.函数 =≠−−=1111)(2x a x x x x f ，若)(x f 在),0(+∞内连续，则=a 2 ．16.函数 =≠=0,,2sin )(x k x xxx f ，在0=x 处连续，则=k 2 ．17.已知函数x x x f +=+2)1(，则=)(x f ．18.已知函数72)1(2+−=−x x x f ，则=)(x f 62+x ．19.若函数>≤+=0201)(2x x x x f x ，则=)0(f 1．20.若函数 >+≤−=0103)(2x e x x x f x，则=)0(f -3 ．21.曲线xx f 1)(=在)1,1(处的切线斜率是 21−．22.曲线1)(3+=x x f 在)2,1(处的切线斜率是 3 ．23.曲线2)(2+=x x f 在)3,1(处的切线斜率是 2 ．24.曲线1)(+=x x f 在)2,1(处的切线斜率是21 ．25.曲线2)(+=x x f 在)2,2(处的切线斜率是41 ．26.曲线2)(+=x x f 在2=x 处的切线斜率是41 ．27.曲线x x f sin )(=在)1,2(π处的切线斜率是 0 ．28.曲线x x f sin )(=在)0,(π处的切线斜率是-1 ．29.曲线1)(+=x e x f 在)2,0(处的切线斜率是1．30.函数)1ln(2x y +=的单调增加区间是),0(∞+ ．31.函数x y arctan =的单调增加区间是),(∞+−∞．32.函数)1ln(2x y +=的单调增加区间是),0(∞+ ．33.函数1)1(2++=x y 的单调增加区间是),1(∞+− ．34.函数12−=x y 的单调增加区间是 ),0(∞+ ．35.函数1)1(2++=x y 的单调减少区间是 )1,(−−∞ ．36.函数2e )(x xf −=的单调减少区间是 ),0(∞+ ．37.函数12−=x y 的单调减少区间是)0,(−∞ ．38.函数2)2(2+−=x y 的单调减少区间是 )2,(−∞ ．39.若∫+=c x x x f sin d )(，则=′)(x f x sin −．40.=∫−x x d e d 2xx d e 2−．41.若∫+=c x x x f sin d )(，则=′)(x f x sin −．42.若∫+=c x x x f 2cos d )(，则=)(x f x 2sin 2−．43.若∫+=c x x x f cos d )(，则=)('x f x cos −．44.若∫+=c x x x f cos d )(，则=)(x f x sin −．45.若∫+=c x x x f tan d )(，则=)(x f x2cos 1．46.若42)1(2++=+x x x f ，则=)(x f 32+x．47.已知x x f 2ln )(=，则=)]'2([f 0 ．48.=′∫x x d )(sin c x +sin ．49.=∫x x dx d d sin 22sin x ．50.=∫x dx d x d 3223x ．51若x 1是)(x f 的一个原函数，则=)('x f 32x ．52.函数2)1(−=x y 的驻点是 1=x ．三、计算题（一）计算极限1.1.计算极限4586lim 224+−+−→x x x x x ．解：32)1)(4()2)(4(lim 4586lim4224=−−−−=+−+−→→x x x x x x x x x x1.2.计算极限4532lim221+−−+→x x x x x ．解：34)1)(4()1)(3(lim 4532lim 1221−=−−−+=+−−+→→x x x x x x x x x x 1.3.计算极限)1sin(3221lim +−−−→x x x x ．解：4)1sin()3)(1()1sin(32lim lim 121−=+−+=+−−−→−→x x x x x x x x 1.4.计算极限1)1sin(lim 21−+−→x x x ．解：21)1)(1()1sin(lim 1)1sin(lim 121−=−++=−+−→−→x x x x x x x 1.5.计算极限xxx 5sin 6sin lim 0→．解：5655sin lim 66sin lim5655sin 66sin 56lim 5sin 6sin lim 0000=•=•=→→→→x x x xxx x x x x x x x x 1.6.计算极限xxx 2sin 3sin lim0→．解：2322sin lim 33sin lim2322sin 33sin 23lim 2sin 3sin lim0000=•=•=→→→→xx x xx x x x x x x x x x 1.7.计算极限32)3sin(lim 23−++−→x x x x ．解：41)1)(3()3sin(lim 32)3sin(lim323−=−++=−++−→−→x x x x x x x x 1.8.计算极限32)3sin(lim 23−−−−→x x x x ．解：41)1)(3()3sin(lim 32)3sin(lim 323=+−−=−−−−→−→x x x x x x x x 1.9.计算极限)3sin(9lim 23−−−→x x x ．解：6)3sin()3)(3(lim )3sin(9lim323=−+−=−−−→−→x x x x x x x 1.10.计算极限)3sin(9lim 23−−−→x x x ．解：6)3sin()3)(3(lim )3sin(9lim323=−+−=−−−→−→x x x x x x x 1.11.计算极限x xx 2sin lim 0→．解：2121sin lim 2sin lim 00=•=→→x x x x x x1.12.计算极限65)2sin(lim22+−−→x x x x ．解：1)3)(2()2sin(lim 65)2sin(lim 222−=−−−=+−−→→x x x x x x x x （二）设定求值2.1.设22sin x x y x+=，求y ′．解：由导数四则运算法则得4224222sin 22ln 2cos )2(sin 2)2(sin x x x x x x x x x x x x y xx x x −−+=+−′+=′312sin 22ln 2cos x x x x x x x +−−+=2.2.设x y e sin 2=，求′y ．解：由导数四则运算法则得)e 2sin(e e cos e sin e 2x x x x x y ==′2.3.设2x xe y =，求′y ．解：由导数四则运算法则得2222xx e x e y +=′2.4.设x x y 33ln +=，求′y ．解：由导数四则运算法则和复合函数求导法则得)'(ln )'()'ln (3333x x x x y +=+=′xx x x x x 22ln 323)'(ln ln 323+=+=2.5.设2sin x x y −=，求′y ．解：由导数四则运算法则和导数基本公式得)'(sin )'()'sin (22x x x x y −=−=′222cos 221)'(cos 21x x xx x x−=−=2.6.设x e x y 5ln −+=，求′y ．解：由导数四则运算法则和复合函数求导法则得)'()'(ln )'(ln 55x x e x e x y −−+−+=′x x e xx e x 5551)'5(1−−−=−+=2.7.设x e x y cos ln +=，求′y ．解：由导数四则运算法则和复合函数求导法则得x x e e xy sin 1−=′2.8.设2sin x e y x −=，求′y ．解：由导数四则运算法则和导数基本公式得x xe x e y x x 2cos sin 2sin −=−=′ 2.9.设x x y 35ln +=，求′y ．解：由导数四则运算法则和复合函数求导法则得)'(ln )'()'ln (3535x x x x y +=+=′xxx x x x 2424ln 35)'(ln ln 35+=+=2.10.设2cos 3x y x −=，求′y ．解：由导数四则运算法则和复合函数求导法则得)'(cos )'3()'cos 3(22x x y x x −=−=′222sin 23ln 3)'(sin 3ln 3x x x x x x +=+=2.11.设x x e y x ln tan −=，求′y ．解：由导数四则运算法则得xx e x e y x x1cos tan 2−+=′2.12.设x y 2cos ln =，求′y ．解：由导数四则运算法则得xxx x x y 22cos 2sin cos sin cos 2−=−=′2.13.设x x x y ln tan 2+=，求′y ．解：由导数四则运算法则得x x x x x x x x xy ++=•++=′ln 2cos 11ln 2cos 12222.14.设x x x y ln cos ln 2+=，求d y ．解：由微分运算法则得)ln (d )cos (ln d )ln cos (ln d d 22x x x x x x y +=+=)(ln d )(d ln )(cos d cos 122x x x x x x ++= xx x x x x x x x d 1d ln 2d cos sin 2⋅++−=xx x x x d )ln 2tan (++−=2.15.设52x cos x y −=，求y d ．解：由微分运算法则和微分基本公式得)(d )(cos d )(cos d d 5252x x x x y −=−=dx x x xd 45)(cos cos 2−=dxx x x )5sin cos 2(4+−=2.16.设x x y 3e cos +=，求y d ．解：由微分运算法则和微分基本公式得)3(d )e (cos d )3e (cos d d x x x x y +=+=x x x x ln3d 3)e (d e sin +−=x x x x x ln3d 3d e sin e +−=xx x x ln3)d 3e sin e (+−=2.17.设53x cos x y −=，求y d ．解：由微分运算法则和微分基本公式得dxx x x d x y 4253d 5)(cos xd cos 3)((cos d d −=−=）dxx x x )5cos sin 3(42+−=2.18.设x x e y 3sin +=，求y d ．解：由微分运算法则和微分基本公式得)3(d )(d )3(d d sin sin x x x x e e y +=+=dx x d e x x 3ln 3)(sin sin +=dxx e x x )3ln 3cos (sin +=2.19.设x e y x ln cos +=，求y d ．解：由微分运算法则和微分基本公式得)(ln d )(d )ln (d d cos cos x e x e y x x +=+=dx x x d e x 1)(cos cos += dxx x e x )1sin (cos +−=2.20.设y y x =()是由方程yy x 2xsin 2=确定的函数，求'y ．解：等式两端求微分得左端)(sin )(sin )sin (d 222y d x x yd y x +==ydy x ydx x cos sin 22+=右端2222x (d y xdyydx y −==由此得2222cos sin 2y xdyydx ydy x ydx x −=+整理后得xxy y yxy y y d 2cos x sin 22d 222+−=即xy y yxy y y 2cos x sin 22'222+−=2.21.设y y x =()是由方程y x y e cos =确定的函数，求d y ．解：等式两端求微分得左端yx x y x y d cos )(cos d )cos (d +==yx x x y d cos d sin +−= 右端y y y d e )e (d ==由此得yy x x x y y d e d cos d sin =+−整理后得xx xy y yd e cos sin d −=2.22.设y y x =()是由方程3y e e x y +=确定的函数，求d y ．解：等式两端求微分得 左端y e e y y d )(d ==右端dy y dx e y d y x x x 2333)d()e ()e (d +=+=+=由此得dy y dx e dy e x y 23+=整理后得x ye y y xd 3e d 2−=（三）计算不定积分3.1.计算不定积分x x x d cos ∫．解：由换元积分法得cx x x x xx +==∫∫sin 2)d(cos 2d cos 3.2.计算不定积分∫x xxd e21．解：由换元积分法得c u x x x uu x x+−=−=−=∫∫∫e d e )1(d e d e 121cx +−=1e 3.3.计算不定积分∫x xd ex．解：由换元积分法得ce u x x xu u x x+===∫∫∫2d e 2)(d e 2d e3.4.计算不定积分∫x xx d ln 1．解：由换元积分法得cx c u du u x d x x x x +=+===∫∫∫ln ln ln 1)(ln ln 1d ln 13.5.计算不定积分∫x x d x 1sin 2．解：由换元积分法得c x c u udu xd x x x +=+=−=−=∫∫∫1cos cos sin 1(1sin d x 1sin23.6.计算不定积分∫x x d x 1cos 2．解：由换元积分法得cx c u x d x x x +−=+−=−=∫∫1sin sin )1(1cos d x 1cos23.7.计算不定积分∫x x x d 3cos ．解：由分部积分法得∫∫−=x x x x x x x d 3sin 313sin 31d 3cos c x x x ++=3cos 913sin 31(四)计算定积分4.1.计算定积分∫e1d ln x x x ．解：由分部积分法得∫∫−=e 12e12e1)d(ln 21ln 2d ln x x x x x x x 414e d 212e 2e 12+=−=∫x x 4.2..计算定积分∫e12d ln x x x ． 解：由分部积分法得∫∫−=e 13e13e12)d(ln 31ln 3d ln x x x x x x x 9192e d 313e 3e 123+=−=∫x x 4.3.计算定积分∫e1d ln x x ． 解：由分部积分法得∫∫−=e 1e1e1)d(ln ln d ln x x x x x x 1d e e1∫=−=x4.4.计算定积分∫10d x xe x ．解：由分部积分法得dx e xex xe x x x∫∫−=10101d 1e 10=−=xe4.5.计算定积分∫e12d ln x x x． 解：由换元积分法得e x e x x e x d x x x x x x 2111d 11)(ln 1ln d ln e1e 12e 1e1e12−=−=+−=+−=∫∫∫4.6.计算定积分∫+e1d ln 2x xx． 解：由换元积分法得∫∫∫=++=+32e1e1d )ln 2()d ln 2(d ln 2u u x x x x x 252322==u4.7.计算定积分∫e1d ln x xx ．解：由分部积分法得ex e x xe x d x x x x xx 2442d 122)(ln 2ln 2d ln e1e1e1e1e1−=−=−=−=∫∫∫四、应用题4.1求曲线上的点，使其到点的距离最短．解：曲线上的点到点的距离公式为22)3(y x d +−=d 与2d 在同一点取到最大值，为计算方便求2d 的最大值点，将代入得x x d +−=22)3(令 x x x D +−=2)3()(求导得1)3(2)(+−=′x x D 令0)(2=′d 得25=x ．并由此解出210±=y ，即曲线上的点)210,25(和点)210,25(−到点的距离最短．y x 2=A (,)30y x 2=A (,)30y x 2=y x 2=A (,)304.2在抛物线x y 42=上求一点，使其与x 轴上的点的距最短．解：设所求点 ),(y x P =，则y x ,满足 x y 42= 点P 到点A 的距离之平方为x x y x L 4)3()3(222+−=+−=令04)3(2'=+−=x L 解得1=x 是唯一驻点，易知1=x 函数的极小点， 当1=x 时，2=y 或2−=y ，所以满足条件的有两个点)2,1( 和)2,1(− 。
完整)高等数学练习题附答案
完整)高等数学练习题附答案第一章自测题一、填空题（每小题3分，共18分）1.lim (sinx-tanx)/(3xln(1+2x)) = 1/22.lim (2x^2+ax+b)/(x-1) =3.a = 5.b = 123.lim (sin2x+e^(2ax)-1)/(x+1) = 2a4.若f(x)在(-∞,+∞)上连续，则a=05.曲线f(x) = (x-1)/(2x-4x+3)的水平渐近线是y=1/2，铅直渐近线是x=3/26.曲线y=(2x-1)/(x+1)的斜渐近线方程为y=2x-3二、单项选择题（每小题3分，共18分）1.“对任意给定的ε∈(0,1)，总存在整数N，当n≥N时，恒有|x_n-a|≤2ε”是数列{x_n}收敛于a的充分条件但非必要条件2.设g(x)={x+2,x<1.2-x^2,1≤x<2.-x,x≥2}，f(x)={2-x,x<1.x^2,x≥1}，则g(f(x))=2-x^2，x≥13.下列各式中正确的是 lim (1-cosx)/x = 04.设x→0时，e^(tanx-x-1)与x^n是等价无穷小，则正整数n=35.曲线y=(1+e^(-x))/(1-e^(-x^2))没有渐近线6.下列函数在给定区间上无界的是 sin(1/x)，x∈(0,1]三、求下列极限（每小题5分，共35分）1.lim (x^2-x-2)/(4x+1-3) = 3/42.lim x+e^(-x)/(2x-x^2) = 03.lim (1+2+3+。
+n)/(n^2 ln n) = 04.lim x^2sin(1/x) = 01.设函数$f(x)=ax(a>0,a\neq1)$，求$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{\ln\left(\frac{f(1)f(2)\cdotsf(n)}{n^2}\right)}$。
2.求$\lim\limits_{4x\to1}\frac{x^2+e\sin x+6}{1+e^x-\cosx}$。
《高等数学基础》期末试题及答案
《高等数学基础》期末试题及答案一、选择题（每题5分，共25分）1. 函数f(x) = x² - 2x + 1在x = 1处的导数是（）A. 0B. 2C. -2D. 1答案：A2. 函数y = ln(e²x)的导数是（）A. 2xB. 2C. e²xD. 1答案：A3. 下列极限中，正确的是（）A. lim(x→0) sinx/x = 0B. lim(x→0) sinx/x = 1C. lim(x→0) sinx/x = ∞D. lim(x→0) sinx/x = -1答案：B4. 函数y = x²e²x的极值点为（）A. x = 0B. x = 1C. x = -1D. x = 2答案：C5. 定积分∫(0→1) x²dx的值是（）A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2答案：A二、填空题（每题5分，共25分）6. 函数y = 2x³ - 3x² + 2x + 1的一阶导数是______。
答案：6x² - 6x + 27. 函数y = x²e²x的二阶导数是______。
答案：4x²e²x + 4xe²x8. 极限lim(x→∞) (1 + 1/x)²ⁿ = ______。
答案：e9. 定积分∫(0→π) sinx dx的值是______。
答案：210. 定积分∫(0→π/2) eˣdx的值是______。
答案：eπ/2 - 1三、解答题（每题25分，共75分）11. 设函数f(x) = x³ - 3x² + 4，求f'(x)和f''(x)。
解：f'(x) = 3x² - 6x，f''(x) = 6x - 6。
12. 求函数f(x) = x²e²x的极值点和极值。
高等数学第一章试题库
第一章试题库第一部分基础练习题一、选择题1.下列数列收敛的是()。
A.sin n x n = B.1sin n x n n = C.1ln n x n = D.1(1)n n-+2.0()f x +和0()f x -都存在是函数()f x 在0x x =处有极限的（）.A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.无关条件3.下列函数中，相同的是（）.A.2()lg f x x =与()2lg g x x =B.()f x =()g x =C.()f x x =与()g x =D.()arcsin f x x =与()arcsin()g x x π=-4.设函数()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，则（）是奇函数。
A.[()]f f x B.[()]g g x C.[()]f g x D.[()]g f x 5.下列变量中是无穷小量的是（）A.1ln(1)1(0)x x +-→B.11sin ()x x x→∞C.()122x x →- D.11(0)x e x -→6.函数()cos f x x x =（）A.x →∞时为无穷大量 B.x →∞时极限存在C.在(,)-∞+∞内有界 D.在(,)-∞+∞内无界7., 1, n n n x n n⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，当n →+∞时{}n x 是()A.无穷大量B.无穷小量C.有界变量D.无界变量8.下列关于无穷小的说法中，错误的是（）A.有限个无穷小的乘积仍是无穷小B.无穷小与有界函数的乘积是无穷小C.两个无穷小的商仍是无穷小D.有限个无穷小的代数和仍是无穷小9.当x →∞时，函数()sin f x x x =是()。
A．无穷大量B．无穷小量C．无界函数D．有界函数10.下列函数在自变量的变化过程中为无穷小量的是（）。
A )0(sin ln →x xxB )0(1→x e xC )1()1(12→-x x D)0(cot →x x 11.设45)(,0,0,)(2-=⎪⎩⎪⎨⎧<≥=x x g x x x x x f ，则=)]0([g f ()A.16-B.4-C.4D.1612.已知(21)f x -的定义域为[0,1],则()f x 的定义域为（）．A．[1/2,1]B．[-1,1]C．[0,1]D．[-1,2]13.下列各式计算正确的是()A.sin lim1x xx →∞= B.01lim sin 1x x x→= C.1lim sin1x x x→∞= D.011lim sin 1x xx→=14.函数⎪⎩⎪⎨⎧≤<+=<<-+=2020022)(2x x x x x x f 的定义域是()A．)2,2(-B．]0,2(-C．]2,2(-D．(0,2]15.设函数⎪⎩⎪⎨⎧>-=<+=010001sin )(x e x x x x f x 则=→)(lim 0x f x ()A．1B．0C．1-D．不存在16.下列函数在定义域内关于原点对称的是()A．22ln(1)x x +B．1xx +C．3x x e e -+D．ln(x +17.下列数列收敛的是（）.A.12,2,,(2),n ---L LB.135721,,,,,357921n n -+，L LC.1135721,,,,(1),357921n n n -----+L L ,D.1234,,,,(1),23451n n n ---+,L L 18.下列计算正确的的是（）.A.1lim(1)xx x e→∞+= B.01lim(1x x e x →+= C.1lim sin 1x x x →∞= D.sin lim 1x xx→∞=19.=-→xx x 21)1(lim （）A.21- B.e - C.21eD.20.22442lim ,313x ax x x x →∞-+=-+那么a 的值为（）A.1B.0C.2D.321.当0x →时，tan sin x x e e -与n ax 为等价无穷小，则().A．1,1a n ==B．1,22a n ==C．1,32a n ==D．1,44a n ==22.当0x →时，下列函数哪一个是其他三个的高阶无穷小（）.A.2xB.1cos x -C.tan x x -D.2ln(1)x +23.当0x →时，与2x 等价的无穷小量是（A.2ln(1)x + B.21xe - C.1cos x-1-24.当0→x 时,1是x 的（）.A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.等价无穷小D.同阶但非等价无穷小25．当0→x 时，)2sin(3x x +与x 比较是（）．A．高阶无穷小B．等价无穷小C．同阶无穷小，但不是等价无穷小D．低阶无穷小26．设2, 01()2, >1x x f x x x -⎧<≤=⎨⎩，则1x =是该函数的()A.可去间断点B.跳跃间断点C.第二类间断点D 连续点27．设1sin , 0()1, 0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，则0x =是该函数的()A.可去间断点 B.跳跃间断点 C.第二类间断点 D.连续点28．0x =为函数1()sin f x x x=的（）A．可去间断点B．跳跃间断点C．振荡间断点D．无穷间断点29．函数1sin ,0()0,0x x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处（）A.无极限B.不连续C.连续D.以上都不对30．0x =是11()1x f x e =+的（）。
高等数学基础习题集(含答案)
sin x
,则 f ( x ) 是（
） （C）周期函数 （D）单调函数
（B）无界函数
【解题思路】把函数看成三个分函数，该指数函数无奇偶性， x 为非周期函数， tan x 无严 格单调性. 【详解】 f ( x ) x tan x e
sin x
中， tan x 无界，另负无穷到正无穷都能取到，故整体无界.
n
7、已知极限 lim
x a
f ( x) f (a) 存在，则 lim f ( x) 是否存在？若存在，为多少？ x a xa f ( x) f (a) 0 中，分母趋向于 0，而此极限存在，故只能为 型，因此分 xa 0
x a x a
【解题思路】考虑极限的类型. 2、设 f ( x) 0, 1,
x 1, x 1, g ( x ) e x ，求 f [ g ( x)] 和 g[ f ( x)] ，并作出这两个函数的图形. x 1,
x
x x 【解题思路】求 f [ g ( x)] 时，中间变量为 g ( x ) e ，利用函数 y e 的单调性质，考虑 e
【解题思路】利用数列的单调有界准则. 先求出 a2 , a3 ，易猜测数列是单调递减的，故只需 证有下界即可. 【详解】由已知条件易得 an 0 ，利用基本不等式可得， an+1 = (an + 有下界；又因为 an +1 an = 限 lim an 存在. 证毕.
x a
子也以 0 为极限，故 lim f ( x) f (a) 0 ，所以 lim f ( x) 存在，为 f (a) .
1 2 ex sin x 8、极限 lim 2 x 0 1 e x ln(1 x)
《高等数学》练习题及答案解析
《高等数学》练习题及答案解析第一课时一、单选题1、函数4()31f x x =+，则f(1)的值为：（D ）A 、0B 、1C 、3D 、4解析：采用代入法，将x=1代入原函数，可得f(1)的值为：/*4*/2、函数y =的定义域为：（D ）A 、(-∞，-2]B 、[2，+∞)C 、[-∞,+∞]D 、(-∞，-2]U[2，+∞)解析：根据幂函数性质，要使得该函数有意义，该函数的定义域为：/*(-∞，-2]U[2，+∞)*/。
3、下列函数不是周期函数的是：（c ）A 、y=cos(x -2)B 、y=1+sin πxC 、y=xsinxD 、y=2tan3x解析：根据周期函数的定义，可计算得知，/*y=xsinx*/不是周期函数4、指出函数y=lgx 在(0，+∞)的区间内的单调性：（A ）A 、单调递增B 、单调递减C 、没有单调性D 、无法确定解析：根据函数单调性的性质，y=lgx 是以10为底的对数函数，在其定义域内是递增的。
因此是/*单调递增*/。
5、设函数f(x)=lnx ，则f(x)-f(y)=（D ）A 、f(x+y)B 、f(x -y)C 、f(xy)D 、f(x/y)解析：根据对数函数的运算法则，f(x)-f(y)=lnx -lny=ln(x/y)=f(x/y)，因此，f(x)-f(y)的值为：/*f(x/y)*/。
二、判断题1、函数y=sinx 是以2π为周期的函数（A ）A 、正确B 、错误解析：函数y=sinx 是周期函数，以2π为周期。
因此该表述是/*正确*/的2、函数y=cosx 是奇函数（B ）A 、正确B 、错误解析：函数y=cosx 关于Y 轴对称，因此，函数y=cosx 是偶函数，所以原题的表达是/*错误*/的。
3、函数1()f x x =在开区间（0,1）内无界。
（A ）A 、正确B 、错误解析：根据函数的有界性，可知该函数在指定区间内无界。
因此该表述是/*正确*/的三、多选题1、函数的表达法有：（A 、B 、C ）A 、解析法B 、列表法C 、图形法D 、反函数法解析：函数的表达法有：/*解析法、列表法、图形法*/等三种。
《高等数学》练习题库及答案,DOC
《高等数学》练习测试题库及答案一．选择题1.函数y=112+x 是（） A.偶函数B.奇函数C 单调函数D 无界函数2.设f(sin 2x )=cosx+1,则f(x)为（） A2x 2－2B2－2x 2C1＋x 2D1－x 23A ．C ．4.A C.5A C 6．→lim 1x7．设x 8.当x A.x 2A.必要条件B.充分条件C.充分必要条件D.无关条件10、当|x|<1时，y=（）A 、是连续的B 、无界函数C 、有最大值与最小值D 、无最小值11、设函数f （x ）=（1-x ）cotx 要使f （x ）在点：x=0连续，则应补充定义f （0）为（）A 、B 、eC 、-eD 、-e -112、下列有跳跃间断点x=0的函数为（）A、xarctan1/xB、arctan1/xC、tan1/xD、cos1/x13、设f(x)在点x0连续，g(x)在点x不连续，则下列结论成立是（）A、f(x)+g(x)在点x必不连续B、f(x)×g(x)在点x必不连续须有C、复合函数f[g(x)]在点x必不连续f(x)=0 14、设1516、函数17AC18、AC、充要条件D、无关条件19、下列函数中能在区间(0,1)内取零值的有（）A、f(x)=x+1B、f(x)=x-1C、f(x)=x2-1D、f(x)=5x4-4x+120、曲线y=x2在x=1处的切线斜率为（）A、k=0B、k=1C、k=2D、-1/221、若直线y=x与对数曲线y=logax相切，则（）A、eB、1/eC、e xD、e1/e22、曲线y=lnx平行于直线x-y+1=0的法线方程是（）A、x-y-1=0B、x-y+3e-2=0C、x-y-3e-2=0D、-x-y+3e-2=023、设直线y=x+a与曲线y=2arctanx相切，则a=（）A、±1B、±л/2C、±(л/2+1)D、±(л/2-1)24、设f(x)为可导的奇函数，且f`(x0)=a，则f`(-x)=（）A、aB、-aC、|a|D、025、设26、设27、设28、已知29、已知30A、3132、圆A、-1B、0C、1D、233、函数f(x)在点x0连续是函数f(x)在x可微的（）A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、无关条件34、函数f(x)在点x0可导是函数f(x)在x可微的（）A、充分条件B、必要条件C 、充要条件D 、无关条件35、函数f(x)=|x|在x=0的微分是（）A 、0B 、-dxC 、dxD 、不存在36、极限)ln 11(lim 1xx x x --→的未定式类型是（） A 、0/0型B 、∞/∞型C 、∞-∞D 、∞型37、极限012)sin lim(→x x x x 的未定式类型是（） A 、00型38、极限A 39、x x A C 40A C 41、曲线A 42A 、0B 、43A 44、若∫f(x)dx=2e x/2+C=（）A 、2e x/2B 、4e x/2C 、e x/2+CD 、e x/245、∫xe -x dx=（D ）A 、xe -x -e -x +CB 、-xe -x +e -x +CC 、xe -x +e -x +CD 、-xe -x -e -x +C46、设P（X）为多项式，为自然数，则∫P(x)(x-1)-n dx（）A、不含有对数函数B、含有反三角函数C、一定是初等函数D、一定是有理函数47、∫-10|3x+1|dx=（）A、5/6B、1/2C、-1/2D、148、两椭圆曲线x2/4+y2=1及(x-1)2/9+y2/4=1之间所围的平面图形面积等于（）A、лB、2лC、4лD、6л49、曲线A50、点（A51A、52、平面A53、方程AC54、方程A55、方程A56AC、两发散数列之和必发散D、两收敛数列之和必收敛57.f(x)在点x=x0处有定义是f(x)在x=x处连续的（）A、.必要条件B、充分条件C、充分必要条件D、无关条件58函数f(x)=tanx能取最小最大值的区间是下列区间中的（）A、[0,л]B、（0,л）C、[-л/4,л/4]D、（-л/4,л/4）59下列函数中能在区间(0,1)内取零值的有（）A、f(x)=x+1B、f(x)=x-1C 、f(x)=x 2-1D 、f(x)=5x 4-4x+160设y=(cos)sinx ，则y’|x=0=（）A 、-1B 、0C 、1D 、不存在二、填空题1、求极限1lim -→x (x 2+2x+5)/(x 2+1)=（） 2、求极限0lim →x [(x 3-3x+1)/(x-4)+1]=（） 3、求极限2lim →x x-2/(x+2)1/2=（） 456、已知78、已知910、函数11、函数12、函数13、函数14、函数15、点（16、∫xx 17、若18、若∫19、d/dx ∫a b arctantdt =（）20、已知函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠⎰-0,0,022)1(1x a x x t dt e x 在点x=0连续，则a=（） 21、∫02(x 2+1/x 4)dx =（）22、∫49x 1/2(1+x 1/2)dx=（）23、∫031/2a dx/(a 2+x 2)=（）1dx/(4-x2)1/2=（）24、∫25、∫л/3лsin(л/3+x)dx=（）9x1/2(1+x1/2)dx=()26、∫49x1/2(1+x1/2)dx=（）27、∫49x1/2(1+x1/2)dx=（）28、∫49x1/2(1+x1/2)dx=（）29、∫49x1/2(1+x1/2)dx=（）30、∫49x31、∫9x32、∫43334、设35、函数36、37、383940（）41424344、通过45lim[x/(x+1)]x=（）46求极限∞x→47函数y=x2-2x+3的极值是y(1)=（）9x1/2(1+x1/2)dx=（）48∫449y=sinx,y=cosx直线x=0,x=л/2所围成的面积是（）50求过点（3，0，-1），且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程是（）三、解答题1、设Y=2X-5X2，问X等于多少时Y最大？并求出其最大值。
高数极限基础练习题
高数极限基础练习题一、数列极限1. 计算下列数列的极限：(1) $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}$(2) $\lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{2n+3}$(3) $\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 1}{n^2 + 1}$(4) $\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n^2 + n}}{n + 1}$ 2. 判断下列数列极限是否存在，若存在，求出其极限值：(1) $\lim_{n \to \infty} (1)^n$(2) $\lim_{n \to \infty} \sin(n\pi)$(3) $\lim_{n \to \infty} \frac{n!}{n^n}$二、函数极限1. 计算下列函数的极限：(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$(2) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 1}{x 1}$(3) $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}$(4) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x 1}{x}$2. 判断下列函数极限是否存在，若存在，求出其极限值：(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x}$(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x}$(3) $\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x$三、无穷小与无穷大1. 判断下列表达式是否为无穷小：(1) $\frac{1}{x^2}$ 当 $x \to \infty$(2) $\sin \frac{1}{x}$ 当 $x \to \infty$(3) $e^{x}$ 当 $x \to \infty$2. 判断下列表达式是否为无穷大：(1) $x^3$ 当 $x \to \infty$(2) $\ln x$ 当 $x \to \infty$(3) $\frac{1}{\sqrt{x}}$ 当 $x \to 0^+$四、极限运算法则1. 利用极限运算法则计算下列极限：(1) $\lim_{x \to 0} (3x^2 + 2x 1)$(2) $\lim_{x \to 1} \frac{x^3 3x^2 + 2x}{x^2 2x + 1}$(3) $\lim_{x \to \infty} (x^3 2x^2 + 3)$2. 利用极限的性质，计算下列极限：(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot\frac{1}{\cos x}$(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x + 1}$(3) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x e^{x}}{2x}$五、复合函数极限1. 计算下列复合函数的极限：(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(\sqrt{x^2 + 1})}{x}$(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x^2 + 1)}{x}$(3) $\lim_{x \to 0} \frac{e^{x^2} 1}{x^2}$2. 判断下列复合函数极限是否存在，若存在，求出其极限值：(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(\tan x)}{x}$(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(e^x + 1)}{x}$(3) $\lim_{x \to 0} \frac{1 \cos(\sqrt{x})}{x}$六、极限的应用1. 计算下列极限问题：(1) 设 $f(x)2. 已知函数 $f(x) = \frac{x^2 1}{x 1}$，求 $\lim_{x \to 1} f(x)$。
高数基础练习题选择题及答案
高数基础练习题选择题及答案高等数学基础模拟练题一、单项选择题1.设函数f(x)的定义域为(-∞,+∞)，则函数f(x)+f(-x)的图形关于（）对称．A)y=xB)x轴C)y轴D)坐标原点2.当x→0时，变量（）是无穷小量．A)1/xB)sinx/xC)2xD)ln(x+1)3.下列等式中正确的是（）．A)d(arctanx)=1/(1+x^2)dxB)d(1/x)=-1/x^2dxC)d(2xln2)=2dxD)d(tanx)=sec^2xdx4.下列等式成立的是（）．A)d/dx∫f(x)dx=f(x)B)∫f'(x)dx=f(x)C)d∫f(x)dx=f(x)D)∫df(x)=f(x)5.下列无穷限积分收敛的是（）．A)∫1/x dx from 1 to +∞B)∫1/x dx from 1 to 0C)∫1/3x^4 dx from 1 to +∞D)∫sinx dx from 0 to +∞二、填空题1.函数f(x)=(x^2-4)/(x-2)的定义域是(-∞,2)∪(2,+∞)．2.函数y=(x+2)/(x+1)的间断点是x=-1．3.曲线f(x)=1/x在(1,1)处的切线斜率是-1．4.函数y=ln(1+x^2)的单调增加区间是(0,+∞)．5.d∫e^-x^2 dx=-2xe^-x^2+C．三、计算题（每小题9分，共54分）1.计算极限lim(x^2-6x+8)/(x^2-5x+4) as x→4，结果为-2．2.设y=ln(cosx)+x^2lnx，求dy=-(sinx/x)+2xlnx+dx/(xln10)．3.计算不定积分∫(1/x+e^x)dx=ln|x|+e^x+C．4.计算定积分∫cosx/x dx，结果为Ci(x)+C，其中Ci(x)为余积分函数．5.计算定积分∫e^(1/x)lnx dx，结果为-γ-2ln2，其中γ为欧拉常数．四、应用题1.求曲线y=x上的点，使其到点A(3,0)的距离最短．解：设点P(x,y)在曲线y=x上，则P到A的距离为d=sqrt((x-3)^2+y^2)．将y=x代入得d=sqrt((x-3)^2+x^2)=sqrt(2x^2-6x+9)．对d求导得d'=(4x-6)/sqrt(2x^2-6x+9)，令d'=0得x=3/2．再求d''(3/2)<0，故点P(3/2,3/2)到A的距离最短．。
简单高数题
简单高数题一、函数与极限部分（6题）1. 求极限 lim_{x to 1}(x^2 - 1)/(x - 1)- 解析：- 首先对分子进行因式分解，x^2 - 1=(x + 1)(x - 1)。
- 则原式可化为lim_{x to 1}((x + 1)(x - 1))/(x - 1)。
- 当xto1时，x≠1，可以约去x - 1，得到lim_{x to 1}(x + 1)。
- 把x = 1代入x+1，得到极限值为2。
2. 设函数f(x)=<=ft{begin{array}{ll}x+1, & x<0 0, & x = 0 x - 1, &x>0end{array}right.，求lim_{x to 0}f(x)- 解析：- 当xto0^-（即x从左边趋近于0）时，f(x)=x + 1，则lim_{x to 0^-}f(x)=lim_{x to 0^-}(x + 1)=1。
- 当xto0^+（即x从右边趋近于0）时，f(x)=x - 1，则lim_{x to0^+}f(x)=lim_{x to 0^+}(x - 1)= - 1。
- 因为lim_{x to 0^-}f(x)≠lim_{x to 0^+}f(x)，所以lim_{x to 0}f(x)不存在。
3. 求函数y=√(x^2 - 4)+(1)/(x - 3)的定义域。
- 解析：- 对于根式部分，要使√(x^2 - 4)有意义，则x^2-4≥slant0。
- 解不等式x^2 - 4≥slant0，即(x + 2)(x - 2)≥slant0，得到x≤slant - 2或x≥slant2。
- 对于分式部分，要使(1)/(x - 3)有意义，则x - 3≠0，即x≠3。
- 综合起来，函数的定义域为(-∞,-2]∪[2,3)∪(3,+∞)。
4. 已知函数f(x)=ln(x + 1)，求f^′(0)。
- 解析：- 首先对f(x)=ln(x + 1)求导，根据求导公式(ln(u))^′=(1)/(u)u^′，这里u=x + 1，u^′ = 1。
高三数学基础训练试卷
一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，无理数是（）A. √4B. √9C. √16D. √252. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，则f(x)的对称轴是（）A. x = 2B. x = 1C. x = 3D. x = 03. 若log2(3x - 1) = 3，则x的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 54. 下列函数中，单调递增的函数是（）A. y = 2x - 1B. y = -x^2 + 1C. y = x^3D. y = 1/x5. 在三角形ABC中，若a=3，b=4，c=5，则sinA的值为（）A. 3/5B. 4/5C. 5/3D. 5/46. 已知复数z = 1 + i，则|z|^2的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 57. 下列方程中，无解的是（）A. x + 2 = 0B. x^2 - 4 = 0C. x^2 + 4 = 0D. x^2 - 1 = 08. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，S5=15，则公差d的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 59. 在平面直角坐标系中，点P(2,3)关于直线y=x的对称点为（）A. (2,3)B. (3,2)C. (-2,-3)D. (-3,-2)10. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，S4=15，则公比q的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（每题5分，共25分）11. 已知函数f(x) = 2x - 3，则f(-1)的值为______。
12. 在等差数列{an}中，若a1=2，公差d=3，则第10项an的值为______。
13. 已知复数z = 3 - 4i，则|z|^2的值为______。
14. 在三角形ABC中，若∠A=60°，a=5，b=8，则c的值为______。
15. 若等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，S5=31，则公比q的值为______。
高等数学练习题(函数)
使所用材料最省？若底面单位面积的造价是侧面单位面积造价
的2倍，问怎样设计才能使造价最低？
练习题九
一、填空题：
1、D： 0 x 1, 0 y 1 dxdy
。
D
2、D：y 0, x 0, y 1 x dxdy
。
D
3、D：x2 y2 1
dxdy
。
D
4、D： y x, x 2, y 0 dxdy
x [ 3 , ]
22
B、 f ( x) ( x 4)2 x [2,4] D、 f ( x) | x | x [1,1]
2、f ( x) 2x2 x 1在[1,3]上满足拉格朗日中值定理条件的
A、
3 4
B、0
C、 3
4
D、1
3、若 x0 是 f ( x) 的极值点，则下列命题正确的是（
dx x
D、
xe xdx
0
1
4、 A、 1 x2 dx
B、 1
ln xdx x
5、 A、 0 e2xdx
B、 1 dx
1x
三、计算：
3
x x 1dx
0
C、 x cos xdx 0
D、
1
x x
2
dx
C、 1 dx 1x
D、
0
1
x x
2
dx
四、求下列各题中所给曲线及直线围成的平面图形面积
下列反常积分中收敛的是（
）
1、 A、 exdx 0
2、
A、 1
1 x3
3、
A、 0 e xdx
B、2
x
1 ln
x
dx
C、
1 dx 0 1 x
高等数学基础题及答案
一、单项选择题（每小题4分，共28分）1.设，则r(A)= （ D ）．A ．0B ．1C ．2D ．3 2.已知当（ A ）时，函数为无穷小量．3.当时，下列变量为无穷小量的是（ A ）．A ．B ．C ．D ．4.若，则f (x ) =（ C ）A ．B ．-C ．D ．-5.函数的定义域是（ D ） A ．B ．C ．D ．且6.以下结论或等式正确的是（ C ）A ．若均为零矩阵，则有B ．若，且，则C ．对角矩阵是对称矩阵D ．若，则7.线性方程组 解的情况是（ D ）A . 有无穷多解B . 只有0解C . 有唯一解D . 无解二、填空题（每小题4分，共20分） 1.dx e x 2-．2.函数的原函数是 C x +-2cos 213若函数，则62-x4已知某商品的需求函数为q = 180 – 4p ，其中p 为该商品的价格，则该商品的收入函数R (q ) = q q 45412+-5曲线在处的切线斜率是21 三、计算题（每小题5分，共30分）1．已知，求 ．解：2cos sin 2ln 2)cos ()2()(x xx x xxx y x x ++='-'='2．已知，求 ．解：xx x x x x x x x f x x x x x 1cos 2sin 2ln 21)(sin 2sin )2()(ln )sin 2()(++=+'+'='+'='3．设，求．解：由xxx y -+=2cos sin 33，得 32232322322233333cos 3cos sin 3cos 3)(cos sin )(cos cos )(sin xx x x x x x x x x x x d d x y=+='-'== 所以 dx xx d y 322cos 3= 4.计算积分．解：原式21)0cos 21(2cos 2102cos 21222=--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=ππx 5．计算解：原式C x+=1cos6．解：原式C x x dxx +-=-=⎰221)2(2四、线性代数计算题（10分）设矩阵A =，求逆矩阵．解：02≠=A ，知A 可逆。
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成人高等教育入学考试《高等数学》模拟题（专升本）
（考试时间150分钟）
答案必须答在答题卡上的指定位置，答在试卷上无效．．．．．．．
一、选择题（每小题4分，共40分）
1、21
lim
43x x x →∞+=-
A ．12
B ．1
C ．3
D ．-13
2、函数)(x f 在2x =处可导，且'(2)4f =，则(2)(2)
lim x f h f x
∆→∞--=∆
A ．4
B ．-4
C ．2
D ．-2
3、设函数2
1x y e =+，则'y = A ．2
x e
B ．2
x xe
C ．2
2x xe
D ．2
21x xe +
4、若'()0()()0,f x a x b f b <<≤>且则在(a,b)内必有__ __
A.()0f x >
B.()0f x <
C.()0f x =
D.()f x 符号不定
5、设函数2sin(1)y x =-，则dy = A. 2cos(1)x dx - B. 2cos(1)x dx -- C. 22cos(1)x x dx - D. 22cos(1)x x dx --
6、
1
31
x dx -=⎰
A ．1
4
B ．0
C ．1
D ．-1
7、x e dx -=⎰ A ．x e C -+
B ．x e
C --+
C ．x e C -+
D ．x e C +
8、设函数xy z e =，则z
x
∂=∂ A ．xy ye B ．xy xe C ．xy e D ．y e
装 订 线 线 内 不 要 答 题
注意： 因以下项目填写不清而影响成绩自负
准考证号 __________ 姓名
__________ 考试
地点______ ______考场 ______号 归属
区县______ （领准考证的区县）
9、设函数3
()z x y =+，则2z
x y
∂=∂∂
A ．3()x y + B. 23()x y + C ．6()x y + D ．26()x y +
10、若随机事件A 与B 相互独立，而且P(A)=0.4，P(B)=0.5，则P （AB ）= A ．0.2
B ．0.4 C.0.5 D.0.9
二、填空题（每小题4分，共40分）
11、2031
lim 1
x x x x →+-=+ 。
12、=→x
x
x 32tan lim
0_____ 。
13、设函数ln x
y x
=，则'y =____ __ __。
14、设函数sin 2y x =，则''
y = ___ ___ _。
15、曲线3(1)1y x =--的拐点是 。
16、31
dx x =⎰。
17、30
x
d t dt dx =⎰ 。
18、22
(cos )x x dx π
π-+=⎰ 。
19、函数z =的定义域为 。
20、设函数2x y
z e
+=，则全微分dz = 。
三、解答题（共70分） 21、计算（本小题满分8分）
224lim 2
x x x →--
设函数4sin
y x x
=，求dy 23、（本小题满分8分）
计算
cos ln x
dx
x
⎰
24、（本小题满分8分）
(,)z
z z x y x y z e
=++=
设是由方程所确定的隐函数，求dz。
袋子中装有大小相同的12个球，其中5个白球，7个黑球，从中任取3个球，求这三个球中至少有一个黑球的概率。
26、（本小题满分10分）
用铁皮做成一个容积一定的圆柱形无盖容器，问应当如何设计，才能使用料最省？
装 订 线 线 内 不 要 答 题
（1）求由曲线x y e 及直线y=1,x=0,y=0所围成的图形的面积S 。
（2）求该平面图形绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积V 。
装 订 线 线 内 不 要 答 题
22
1
1
()(3)().f x f x dx f x dx -=⎰⎰设为连续函数，试证。