上海市戏剧学院附中2014-2015学年高一上学期期中数学试卷

2014-2015学年上海市戏剧学院附中高一（上）期中数学试卷一、填空题：（每题4分，共40分）1．（4分）设A={x|x≥﹣2}，B={x|x≤3}，则集合A∩B=．2．（4分）若f（x）=x，g（x）=，则f（x）•g（x）=．3．（4分）命题“若a•b=0，则实数a=0或b=0”的否命题是．4．（4分）已知，则f（f（﹣2））=．5．（4分）函数y=x+（x＞1）的最小值为．6．（4分）函数的定义域是．7．（4分）若二次函数y=x2+bx+c的两个零点分别是﹣1，2，则不等式f（x）＜0的解集是．8．（4分）y=x2﹣4x﹣1（x∈[0，3]）的最大值是M，最小值是m，则M﹣m的值是．9．（4分）已知奇函数y=f（x）在区间[0，+∞）为f（x）=x2+2x，则y=f（x）在区间（﹣∞，0）上的解析式f（x）=．10．（4分）研究问题：“已知关于x的不等式ax2﹣bx+c＞0的解集为（1，2），则关于x的不等式cx2﹣bx+a＞0有如下解法：由，令，则，所以不等式cx2﹣bx+a＞0的解集为．参考上述解法，已知关于x的不等式的解集为（﹣2，﹣1）∪（2，3），则关于x的不等式的解集．二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分）11．（3分）下列四组函数中，函数f（x）与g（x）表示同一个函数的是（）A．f（x）=|x|，g（x）=B．f（x）=2x，g（x）=C．f（x）=x，g（x）=D．f（x）=x，g（x）=12．（3分）已知条件p：x＞1，条件q：，则p是q成立的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件13．（3分）下列四个命题中，为真命题的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b，c＞d则a﹣c＞b﹣dC．若a＞|b|，则a2＞b2D．若a＞b，则＜14．（3分）设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=2x2﹣x，则f（1）=（）A．﹣3 B．﹣1 C．1D．3三、解答题：（8分+8分+10分+10分+12分=48分）15．（8分）已知集合A={1，4，x}，集合B={1，x2}，且B⊆A，求实数x的值及集合A，B．16．（8分）若不等式|x﹣2|﹣2＞0的解集为A，函数g（x）=的定义域为B，U=R，求A，B及A∪∁U B．17．（10分）设函数f（x）=ax2+（b﹣2）x+3（a≠0），若不等式f（x）＞0的解集为（﹣1，3）．（1）求a，b的值；（2）若函数f（x）在x∈[m，1]上的最小值为1，求实数m的值．18．（10分）如图设计一幅矩形宣传画，要求画面（阴影部分）面积为4840cm2，画面上下边要留8cm空白，左右要留5cm空白，怎样确定画面的高与宽的尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小？19．（12分）已知函数（1）判断并证明y=f（x）在x∈（0，+∞）上的单调性；（2）若存在x0，使f（x0）=x0，则称x0为函数f（x）的不动点，现已知该函数有且仅有一个不动点，求a的值，并求出不动点x0；（3）若f（x）＜2x在x∈（0，+∞）上恒成立，求a的取值范围．四、附加题：（4分+16分）20．（4分）不等式|x|≥a（x+1）对任意的实数x都成立，则实数a的取值范围是．21．（16分）已知x∈R，函数f（x）=x+（x∈[0，+∞）），求函数f（x）的最小值．2014-2015学年上海市戏剧学院附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（每题4分，共40分）1．（4分）设A={x|x≥﹣2}，B={x|x≤3}，则集合A∩B=[﹣2，3]．考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：观察两个集合，形式已得到化简，依据交集定义求出两个集合的公共部分．解答：解：∵A={x|x≥﹣2}，B={x|x≤3}∴A∩B={x|﹣2≤x≤3}故答案为：[﹣2，3]．点评：本题考查交集及其运算，解题的关键是掌握理解好交集的定义，并能根据定义求出两个集合的交集．2．（4分）若f（x）=x，g（x）=，则f（x）•g（x）=2x，x＞0．考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：先确定定义域，再求函数的解析式．解答：解：由题意，x＞0，f（x）•g（x）=x•=2x，故答案为：2x，x＞0．点评：本题考查了函数解析式的求法，属于基础题．3．（4分）命题“若a•b=0，则实数a=0或b=0”的否命题是若a•b≠0，则实数a≠0且b≠0．考点：四种命题．专题：阅读型．分析：命题的否命题是把命题的条件否定做条件，结论否定做结论，根据规则写出否命题即可解答：解：命题“若a•b=0，则实数a=0或b=0”的否命题是“若a•b≠0，则实数a≠0且b≠0”故答案为：若a•b≠0，则实数a≠0且b≠0点评：本题考查四种命题，要求按规则写出命题的否命题，本题易将否命题错为命题的否定而致错，对基本概念要正确理解．4．（4分）已知，则f（f（﹣2））=﹣10．考点：函数的值．专题：计算题．分析：本题属于基础题，根据分段函数在各个区间的解析式直接代入即可．解答：解：∵∴f（﹣2）=（﹣2）2+1=5，f（f（﹣2））=f（5）=﹣2×5=﹣10故答案为：﹣10．点评：理解分段函数的意义以及运算是解决此问题的关键．5．（4分）函数y=x+（x＞1）的最小值为．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：变形利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵x＞1，∴y=x+=x﹣1++1=+1，当且仅当x=+1时取等号．∴函数y=x+（x＞1）的最小值为+1．故答案为：+1．点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．6．（4分）函数的定义域是（﹣∞，﹣2）∪[1，+∞）．考点：函数的定义域及其求法．分析：偶次开方一定要非负，即，并且分母不能为0，即x+2≠0，进而求出x的取值范围．解答：解：由且x+2≠0解得：x＜﹣2或x≥1故答案为：（﹣∞，﹣2）∪[1，+∞）．点评：定义域是高考必考题通常以选择填空的形式出现，通常注意偶次开方时被开方数一定非负，分式中分母不能为0，对数函数的真数一定要大于0，指数和对数的底数大于0且不等于1．另外还要注意正切函数的定义域．7．（4分）若二次函数y=x2+bx+c的两个零点分别是﹣1，2，则不等式f（x）＜0的解集是（﹣1，2）．考点：一元二次不等式的解法；函数的零点．专题：函数的性质及应用．分析：由﹣1和2是函数y=x2+bx+c的零点，从而求出不等式f（x）＜0的解集．解答：解：二次函数y=x2+bx+c的两个零点分别是﹣1，2，又二次函数开口向上，f（x）＜0的解集是（﹣1，2），故答案为：（﹣1，2）点评：本题考查了函数的零点与求一元二次不等式的解集的问题，解题时注意二次函数的开口方向，是解题的关键．8．（4分）y=x2﹣4x﹣1（x∈[0，3]）的最大值是M，最小值是m，则M﹣m的值是4．考点：二次函数在闭区间上的最值．专题：函数的性质及应用．分析：由已知中的函数的解析式，分析出函数的单调性，进而根据函数的单调性得到区间[0，3]上函数的最大值是M，最小值是m，进而得到答案．解答：解：y=x2﹣4x﹣1=（x﹣2）2﹣5其图象是以直线x=2为对称轴，开口方向向上的抛物线故函数在区间[2，3]为为增函数，在区间[0，2]上为减函数∴当x=0时，最大值M=﹣1当x=2时，最小值m=﹣5，∴M﹣m=4．故答案为：4．点评：本题考查的知识点是函数的最值及其几何意义，其中熟练掌握二次函数的图象和性质是解答本题的关键．9．（4分）已知奇函数y=f（x）在区间[0，+∞）为f（x）=x2+2x，则y=f（x）在区间（﹣∞，0）上的解析式f（x）=﹣x2+2x．考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用．分析：设x∈（﹣∞，0），则﹣x∈（0，+∞），由已知表达式可求得f（﹣x），根据奇函数性质可得f（﹣x）=﹣f（x），从而可求得f（x）．解答：解：设x∈（﹣∞，0），则﹣x∈（0，+∞），则f（﹣x）=（﹣x）2+2×（﹣x），=x2﹣2x，又f（x）为奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x），所以f（x）=﹣f（﹣x）=﹣x2+2x，故f（x）=﹣x2+2x，x∈（﹣∞，0）．故答案为﹣x2+2x点评：本题考查函数奇偶性的判断及其应用，属基础题，定义是解决该类问题的基础．10．（4分）研究问题：“已知关于x的不等式ax2﹣bx+c＞0的解集为（1，2），则关于x的不等式cx2﹣bx+a＞0有如下解法：由，令，则，所以不等式cx2﹣bx+a＞0的解集为．参考上述解法，已知关于x的不等式的解集为（﹣2，﹣1）∪（2，3），则关于x的不等式的解集．考点：类比推理．专题：压轴题；探究型．分析：先明白题目所给解答的方法：ax2﹣bx+c＞0化为，类推为cx2﹣bx+a＞0，解答不等式；然后依照所给定义解答题目即可．解答：解：关于x的不等式+＜0的解集为（﹣2，﹣1）∪（2，3），用替换x，不等式可以化为：可得可得故答案为：．点评：本题是创新题目，考查理解能力，读懂题意是解答本题关键，将方程问题和不等式问题进行转化是解答本题的关键．二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分）11．（3分）下列四组函数中，函数f（x）与g（x）表示同一个函数的是（）A．f（x）=|x|，g（x）=B．f（x）=2x，g（x）=C．f（x）=x，g（x）=D．f（x）=x，g（x）=考点：判断两个函数是否为同一函数．专题：函数的性质及应用．分析：通过求函数的定义域以及化简函数解析式即可找出表示同一函数的选项．解答：解：A．不是同一函数，定义域不同，f（x）定义域为R，g（x）定义域为[0，+∞）；B．不是同一函数，定义域不同，f（x）定义域为R，g（x）定义域为{x|x≠0}；C．是同一函数，g（x）==x=f（x）；D．不是同一函数，对应法则即解析式不同，g（x）==|x|．故选C．点评：考查确定函数的两要素：定义域和对应法则，以及求函数的定义域，以及对于函数解析式的化简．12．（3分）已知条件p：x＞1，条件q：，则p是q成立的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件考点：充要条件．专题：计算题．分析：先通过解分式不等式化简命题q，再判断p成立是否推出q成立；条件q成立是否推出p成立，利用充要条件的定义判断出p是q成立的什么条件．解答：解：条件q：即为x＞1或x＜0若条件p：x＞1成立则命题q一定成立；反之，当条件q成立即有x＞1或x＜0不一定有条件p：x＞1成立所以p是q成立的充分非必要条件故选A．点评：判断一个条件是另一个条件的什么条件，应该先化简两个条件，再利用充要条件的定义进行判断．13．（3分）下列四个命题中，为真命题的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b，c＞d则a﹣c＞b﹣dC．若a＞|b|，则a2＞b2D．若a＞b，则＜考点：命题的真假判断与应用．专题：不等式的解法及应用．分析：A，若a＞b，当c=0时，ac2=bc2，可判断A；B，令a=3，b=2，c=2，d=0，可判断B；C，利用不等式的性质可判断C；D，令a=2＞﹣1=b，可判断D．解答：解：A，若a＞b，当c=0时，ac2=bc2，A错误；B，若a=3，b=2，c=2，d=0，满足a＞b，c＞d，但a﹣c=1＜b﹣d=2，故B错误；C，若a＞|b|，则a2＞|b|2=b2，正确；D，若a=2＞﹣1=b，则＞﹣1，故＜错误．故选：C．点评：本题考查不等式的基本性质及应用，特值法是解决选择题的良好方法，属于中档题．14．（3分）设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=2x2﹣x，则f（1）=（）A．﹣3 B．﹣1 C．1D．3考点：函数奇偶性的性质．专题：计算题．分析：要计算f（1）的值，根据f（x）是定义在R上的奇函数，我们可以先计算f（﹣1）的值，再利用奇函数的性质进行求解，当x≤0时，f（x）=2x2﹣x，代入即可得到答案．解答：解：∵当x≤0时，f（x）=2x2﹣x，∴f（﹣1）=2（﹣1）2﹣（﹣1）=3，又∵f（x）是定义在R上的奇函数∴f（1）=﹣f（﹣1）=﹣3故选A点评：本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，熟练掌握函数的奇偶性的性质是解答本题的关键．三、解答题：（8分+8分+10分+10分+12分=48分）15．（8分）已知集合A={1，4，x}，集合B={1，x2}，且B⊆A，求实数x的值及集合A，B．考点：集合的包含关系判断及应用．专题：集合．分析：根据B⊆A，得到x2=4或x2=x，解方程即可．解答：解：∵B⊆A，∴x2=4或x2=x…（2分）由x2=4，解得x=2或x=﹣2由x2=x，解得x=0或x=1（舍x=1）…．（4分）故当x=2时，A={1，4，2}，B={1，4}；当x=﹣2时，A={1，4，﹣2}，B={1，4}；当x=0时，A={1，4，0}，B={1，0}…..（8分）点评：本题考查了集合的关系，如果B⊆A，那么任意x∈B，则x∈A．16．（8分）若不等式|x﹣2|﹣2＞0的解集为A，函数g（x）=的定义域为B，U=R，求A，B及A∪∁U B．考点：绝对值不等式的解法；交、并、补集的混合运算；函数的定义域及其求法．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：利用绝对值不等式以及一元二次不等式的解法分别求出集合A、B，再利用集合的混合运算即可求出．解答：解：∵不等式|x﹣2|﹣2＞0的解集为A，∴A={x|x＜0或x＞4}，∵函数g（x）=的定义域为B，∴x2+x﹣2≥0的解集为B，∴B={x|x≤﹣2或x≥1}，则C U B={x|﹣2≤x≤1}，∴A∪∁U B={x|x＜1或x＞4}．点评：此题主要考查一元二次不等式的解法及集合的交集、并集及补集运算，为高考中的常考内容，要认真掌握，并确保得分17．（10分）设函数f（x）=ax2+（b﹣2）x+3（a≠0），若不等式f（x）＞0的解集为（﹣1，3）．（1）求a，b的值；（2）若函数f（x）在x∈[m，1]上的最小值为1，求实数m的值．考点：一元二次不等式的应用；函数单调性的性质．分析：由不等式f（x）＞0的解集为（﹣1，3）知：﹣1，3是方程f（x）=0的两根，由韦达定理便可解得a，b的值．由第（1）问求得f（x）的解析式，得知f（x）的开口方向以及对称轴，判断出f（x）在[m，1]上的单调性，然后由最小值等于1列方程，解得m的值．解答：解：（1）由条件得解得：a=﹣1，b=4．（2）f（x）=﹣x2+2x+3函数开口方向向下，对称轴方程为x=1，∴f（x）在x∈[m，1]上单调递增，∴x=m时f（x）min=﹣m2+2m+3=1解得．∵，∴．点评：考查一元二次不等式的解法，以及一元二次函数的单调性．18．（10分）如图设计一幅矩形宣传画，要求画面（阴影部分）面积为4840cm2，画面上下边要留8cm空白，左右要留5cm空白，怎样确定画面的高与宽的尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小？考点：基本不等式在最值问题中的应用；函数模型的选择与应用．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：设画面高为xcm，宽为ycm，求出所需纸张面积S的表达式，利用基本不等式求解即可．解答：解：设画面高为xcm，宽为ycm，依意有xy=4840，x＞0，y＞0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）则所需纸张面积S=（x+16）（y+10）=xy+16y+10x+160，即S=5000+16y+10x，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）∵x＞0，y＞0，xy=4840∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）当且仅当16y=10x，即x=88，y=55时等号成立．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）即当画面高为88cm，宽为55cm时，所需纸张面积最小为6760cm2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）点评：本题考查函数的模型与应用，基本不等式的应用，考查计算能力．19．（12分）已知函数（1）判断并证明y=f（x）在x∈（0，+∞）上的单调性；（2）若存在x0，使f（x0）=x0，则称x0为函数f（x）的不动点，现已知该函数有且仅有一个不动点，求a的值，并求出不动点x0；（3）若f（x）＜2x在x∈（0，+∞）上恒成立，求a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．专题：综合题．分析：（1）先对函数的表达式进行化简，然后根据函数单调性的定义进行判断．（2）令转化为二次函数，根据该函数有且仅有一个不动点，令判别式等于0即可求出a的值．（3）将函数解析式代入f（x）＜2x中，整理为，在根据基本不等式的知识求出的最小值，令此最小值大于，即可求出a的范围．解答：解：（1）对任意的x1，x2∈（0，+∞）且x1＞x2∵x1＞x2＞0∴x1﹣x2＞0，x1x2＞0∴f（x1）﹣f（x2）＞0，函数y=f（x）在x∈（0，+∞）上单调递增．（2）解：令，令（负值舍去）将代入ax2﹣x+a=0得（3）∵f（x）＜2x∴∵x＞0∴（等号成立当）∴∴a的取值范围是点评：本题主要考查函数单调性的定义和基本不等式的应用．考查计算能力和综合运用能力．四、附加题：（4分+16分）20．（4分）不等式|x|≥a（x+1）对任意的实数x都成立，则实数a的取值范围是[﹣1，0]．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：由题意不等式|x|≥a（x+1）对任意的实数x都成立，讨论x+1、x与0的关系，两边除以x+1，分离出a，利用不等式的性质求最值，分别求出a的范围，最后求出交集即可．解答：解：由题意得，不等式|x|≥a（x+1），①若﹣1＜x＜0，原不等式化为：a≤=﹣1，又﹣1＞0，则a≤0，②若x≥0时，原不等式化为：a≤=又，则a≤0，③若x＜﹣1，原不等式化为：a≥=﹣1，又﹣1＜﹣1，则a≥﹣1，④若x=﹣1，则有1≥0，恒成立；∵不等式|x|≥a（x+1）对任意的实数x都成立，∴以上情况取交集得，a∈[﹣1，0]，故答案为：[﹣1，0]．点评：本题考查绝对值不等式的解法，恒成立问题，运用了分类讨论的思想，解题的关键是去掉绝对值，利用常数分离法进行求解，利用不等式的性质求最值，此类题目是高考常见的题型．21．（16分）已知x∈R，函数f（x）=x+（x∈[0，+∞）），求函数f（x）的最小值．考点：函数单调性的性质．专题：计算题；分类讨论．分析：函数f（x）=x+（x∈[0，+∞）），求函数f（x）的最小值，探讨函数的单调性，根据函数的单调性求得函数的最小值；而函数的单调性与参数a的取值有关，因此要对a取值进行分类讨论．解答：解：设x1、x2是[0，+∞）内任意两个实数，且x1＜x2则f（x1）﹣f（x2）=x1+﹣x2﹣=（x1﹣x2）+=（x1﹣x2）（1﹣）．（i）当a＜1时，1﹣=＞0，（x1﹣x2）（1﹣）＜0即f（x1）﹣f（x2）＜0因此，f（x）在[0，+∞）上时单调递增函数，故（f（x））min=f（0）=a．（ii）当a≥1时，f（x）=x+=（x+1）+﹣1≥2﹣1．当且仅当x+1=，即x=﹣1（﹣1∈[0，+∝））时，等号成立．于是，（f（x））min=f（﹣1）=2﹣1．所以，（f（x））min=．点评：考查了应用函数单调性的定义探讨函数的单调性，注意：设x1、x2是[0，+∞）内任意两个实数，体现了分类讨论的数学思想；应用函数的单调性求函数的最值也是常考的知识点，属难题．。