抽样分布

布。因此，当自由度较大时的分布可以近似地按 N 0, 1 分布处理。
(
)
由于曲线的对称性，对于单侧分位数可以表示为
P ( t ≥ tα ) = P ( t ≤ −tα ) = α
t分布的分位数表（附表）给出了不同自由 度下， t分布的单侧分位数，表头上的各概 率 α 是大于表中所列值时的概率。如可以 查 df = 9 ，概率 α = 0.05的t单侧分位 数 t0.05 = 1.833 。其意义为，当时 t ≥ 1.833 ， 曲线下的面积（或概率）为0.05。
生物学中遇到的多为正态总体。对于 正态总体，可用数学方法得出样本统 计量的抽样分布。有了样本分布规 律，就可以由样本来推断总体。
如无特别说明，假设所有样本均抽自正态总体。
生物学研究中所遇总体几乎 是无限的，从该总体抽取含 量为n的样本，其样本统计量 取值的个数也是无限的。由 计算机完成上述抽样，称 “Monte Carlo”研究。
tdf1 +df2 =
( x1 ± x2 ) − ( μ1 ± μ2 )
2 ⎛ 1 df1s12 + df2 s2 1 ⎞ + ⎜ ⎟ df1 + df2 ⎝ df1 + 1 df2 + 1 ⎠
•
若两个总体互相独立且都是正态分布的，同时 σ 1 = σ 2 = σ ，则上式服从自由 度 df1 + df 2 的分布。式中的 df1 = n1 − 1，df 2 = n2 − 1 。因此上式又可以写为
⎛ d f1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ df2 ⎠
d f1 2
⎛ d f1 ⎞ ⎛ d f1 + d f 2 ⎞ −1 ⎟ ⎜ Γ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ F 2 ⎝ ⎠ i , i d f1 + d f 2 ⎛ d f1 ⎞ ⎛ d f 2 ⎞ Γ⎜ Γ⎜ 2 ⎛ ⎞ d f1 ⎟ ⎟ F ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎜1+ df2 ⎝ ⎠
积等于1，即值落入区 间 ( −∞, ∞ ) 内的概率为1。 t 值落入任一区间( t1 , t2 ) 内的概率等于该区间内 曲线和横轴所夹的面 积。
α
不同自由度下的 t 分布
t分布曲线关于纵轴对称（ γ 1:t = 0）。随自由度的增加， t 分布越来越接近于 标准正态分布。 df = ∞ 时，μ = 0 ， σ = 0 ， γ 1 = 0 ，γ 2 = 0。就是 N ( 0, 1) 分
2 σ2 2 s2
s12
2 2 σ 12 和 σ 2 可以相等也可以不等。不论 σ 12 和σ 2 相等与否，当用 σ i2去除 s i 之 后， s i2 就被标准化了。F分布是由一对自由度 df1 和df 2 确定的。
2
•
F分布的密度函数是：
f d f1 , d f 2
(F )
⎧ ⎪ ⎪ ⎪ = ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
tn1 +n2 −2 =
( x1 ± x2 ) − ( μ1 ± μ2 ) ( n1 −1) s12 + ( n2 −1) s22 ⎛ 1 + 1 ⎞ ⎟ n n ( n1 −1) + ( n2 −1) ⎜ ⎝ 1 2⎠
( x1 ± x2 ) − ( μ1 ± μ2 )
2 s12 + s2 n
•
当 n1 = n2 = n 时，上式可以简化为
第四章 抽样分布
统计检验过程中，把样本中我们关心的信 息集中起来，以便加以检验；即通过计算 统计量取到观测值的可能性大小，并把这 种可能性与指定标准（即显著性水平）进 行比较。为了计算这种可能性，需要知道 统计量所服从的理论分布。
统计量 理论分布 总体与样本间的关系
¾ 由已知总体研究样本的分布规律，即由总体到样本的研究过程； ¾ 由样本去推断未知的总体，属于从样本到总体的研究过程。
是比较两个总体，并做出关于它们参数的各种推断。
4.2.1 标准差 σ i已知时，两个平均数的和与差的分布
回顾：根据中心极限定理：设随机变量X由相互独立的随机变量X1，X2，…，Xn 组成，即， n n X = X 1 + X 2 + + X n = ∑ X i ， 则 μ X = μ1 + μ 2 + + μ n = ∑ μi
t2 n − 2 =
4.2.3 两个样本方差比的分布——F分布
并分别求出它们的样本方差 s1 和 s2 。标准化的样本方差之比称为F。 从两个正态总体 ( μ1 , σ 12 ) 和 ( μ 2 , σ 22 ) 中随机抽取含量分别为 n1 和 n2的样本，
2 2
Fdf , df =
1 2
σ 12
生物统计学中的最基本问题。总体可以分为数字总体 和由研究对象构成的总体两类。后者也可变为数字总 体。如人的身高的集合就构成一个数字总体。 从该总体随机选一人测其身高X的值，便是一随机试 验。而X作为在随机试验中非测量的量是一随机变量。 这时总体的分布就是表征总体的随机变量的分布。
§4.1 从一个正态总体中抽取的 样本统计量的分布
将平均数标准化，则
u=
x −μ
σ
n
☆ 如果变量是正态的或近似 正态的，则标准化的变量服从 或近似服从 N 0, 1 分布。
( )
s σ 未知时的平均数分布——分布（t-distribution） 2．标准差
σ 未知时，可以用样本标准差s代替总体标准差，标准化变量 若标准差 σ
并不服从正态分布，而是服从具有 n − 1自由度的 t 分布 x −μ • ，具 n − 1 自由度 t= s n
X −μ s n
s 其中的 n 称为样本（平均数）标准误差。 t 分布也是一种对称分布，它只
有自由度这一个参数。
自由度：指独立观测值的个数。因为计算 s 时所使用的 n个观测值受到平 均数 x 的制约，即有一个观测值不能独立取值，因此自由度 df = n − 1。
t 分布的密度函数：
f d f (t ) = ⎛ df + 1 ⎞ df + 1 − Γ⎜ ⎟ 2 ⎛ t ⎞ 2 ⎝ 2 ⎠ , −∞ < t < ∞ ⎜1 + ⎟ d f df ⎠ ⎛ ⎞⎝ df (π )Γ ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠
μi 是各Xi的总体平均数。如果Xi（i=1, 2, …, n）是相互独立的，且全部都 2 有有限方差 σ i（i=1, 2, …, n），则
σ X = σ +σ2 +
2 2 1 2
i =1
i =1
+ σ n = ∑σ i2
2 i =1
n
从
x1 ± x2
抽样分布：从一已知的总体中，独立随机地抽取含量为n的样本，研
究所得样本的各种统计量的概率分布，谓之。
例
只有10个数构成的总体中，抽取含量为5的样本。样本平均数、方差和标准
5 差分别可以取得C10 = 252 个值。列出上述各统计量的频率分布表，即可得到 各统计量的分布规律。或可以得到这些统计量的抽样分布。
式中的 df = n − 1 ，是分布的自由度。随 df 增加， t 分布越来越接近于标 准正态分布。 t 分布的特征数： μt = 0 ( df >1) •
σt =
df df − 2
( df > 2) ( df > 3) ( df > 4)
γ1:t = 0 γ 2:t =
6 df − 4
t 分布曲线下的总面
χ 2分布的下侧分位点示意图
¾ 若要查下侧分位数，只要查 1 − α 时的分位数即可。如查 df = 9 ， α = 0.05 的 2 下侧分位数，只要查 df = 9 行， 概率 α = 1 − 0.05 = 0.95 列，得 χ = 3.33。因 为 χ 2 分布是不对称的，所以这两个值并不以9自由度的 χ 2 平均数为轴对称 （见上图）。
4.1.3 样本标准差的分布
从正态总体中抽取样本，其标准差的理论分布是由卡方分布的 密度函数式经过变量变换得到的。μ s 和 σ s 分别为：
μ s = c4σ
σ s = σ 1 − c4 2 = c5σ
其中，c4 和 c5（样本标准差分布的矩系数）由附表给出。从表 中可见，c4 的值都小于1，当随n的增加， c4 的值迅速接近于 1。 γ 1 和 γ 2 的公式较为复杂，在此不再给出。但 s 分布的偏斜度 2 很低，可见它在任何自由度下都比 s 分布更接近于正态分 布。 2 需特别指出的是，虽然 s 的理论平均数是σ 2 ，但 s 的理论平 均数并不是 σ 。即 μs = σ 2 与 μ s ≠ σ 。
2
2
2 χ ¾ 分布的上侧分位数表（附表6 ） 。表头的χ 2 概率是大于表内所列χ 2值 的概率。如查 df = 9 ，概率 α = 0.05 的 χ 2 值等于16.9，即χ 2 值大于16.9的
概率 α = 0.05，或记为 P ( χ 2 ≥ 16.9 ) = 0.05 。
χ 2分布的上侧分位点示意图
σ 12
n1
+
2 σ2
σ (x −x ) =
1 2
σ 12
n1
+
2 σ2
n2
n2
标准化的变量服从标准正态分布。 利用该式可推断在 标准差已知时，两个样本平均数的差异是否显著。
4.2.2 标准差 σ i未知但相等时，两个平均数的和与差的分布
• 当 σ 1 和 σ 2 未知时，可以用 s1 和s2 代替，
4.1.1 样本平均数的分布
1．标准差σ 已知时的平均数分布 从平均数为 μ ，标准差为 本，则
σ
的正态总体中，独立随机地抽取含量为 n 的样
μx = μ
•
σx =
σ
n
（平均数的标准误差）
样本平均数是一服从正态分布的随机变量，记为 X 。 简写为：