浙江省温州市十校联合体2011学年第一学期高三期初联考数学试卷(理科)

温州市十校联合体2011学年第一学期高三期初联考数学试卷（理科）(完卷时间：120分钟， 满分：150分，本次考试不得使用计算器)一．选择题：本大题共10题，每小题5分，共50分．1．复数i i )1(-的共轭复数是（ ▲ ）A ．1i -B ．1i --C ．1i -+D ．1i +2．设全集,{|(3)0},{|1},U R A x x x B x x ==+<=<-则右图中阴影部分表示的集合（ ▲ ）A ．}13|{-<<-x xB ．}03|{<<-x xC ．{x|x ＞0}D ．}1|{-<x x3．下列命题中的假命题是（ ▲ ） A ．,lg 0x R x ∃∈=B.,tan 1x R x ∃∈=C ．3,0x R x ∀∈> D ．02,>∈∀x R x 4. 右边是一个算法的程序框图，当输入的x 值为3时，输出y 的结果恰好是13，则？处的关系是（ ▲ ）A.3y x =B. 3x y -=C. 3xy = D.13y x =5、从数字1,2,3,4,5这5个数中，随机抽取2个不同的数，则这两个数的和为偶数的概率是（ ▲ ）A.15B. 25C. 35D. 456．若ABC ∆的三个内角A 、B 、C 满足6sin 4sin 3sin A B C ==,则ABC ∆（ ▲ ） A ．一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形7. 已知O 是坐标原点，点)2,1(A ，若点),(y x M 为平面区域210100x y x y x -+≥⎧⎪++≥⎨⎪≤⎩上的一个动点 ，则OM OA ⋅的最大值是（ ▲ ）A ．-1B ．12-C ．0D ．18.已知函数22()(2)(4)f x m x m x m =-+-+是偶函数，32()2g x x x mx =-++ ()-∞+∞在，内单调递减，则实数m=（ ▲ ）A.2B.2-C.2±D. 09．设函数()f x 的定义域为D ，如果对于任意的1x D ∈，存在唯一的2x D ∈，使得12()()2f x f x C+= 成立（其中C 为常数），则称函数()y f x =在D 上的均值为C ， 现在给出下列4个函数： ①3y x = ②4sin y x = ③lg y x = ④2xy = ，则在其定义域上的均值为 2的所有函数是下面的 （ ▲ ）A. ①②B. ③④C. ①③④D. ①③10．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,00|,1|)(x x xx x f ，则关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f ，有5个不同实数解的充要条件是( ▲ )A ．2-<b 且0=cB ．2-≥b 且0=cC ．2-<b 且0>cD ．2->b 且0<c 二．填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分11. 已知函数67,0()10,0xx x f x x +<⎧=⎨≥⎩，则(0)(1)f f +-=__▲__; 12.某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第6,7,8层停靠，若该电梯在底层有5个乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率为31，用ξ表示5位乘客在第8层下电梯的人数，则随机变量ξ的期望=)(ξE ___▲___.13.若(12)n x +的展开式中3x 的系数2x 的6倍，则=n ______▲_______;14. 观察下列式子：474131211,3531211,23211222222<+++<++<+, …,根据以上式子可以猜想：<++++22220111...31211____▲_____;15. 如下图，函数2sin()y x πϕ=+,x ∈R,(其中0≤ϕ≤2π)的图像与y 轴交于点（0，1）. 设P 是图像上的最高点，M 、N 是图像与x 轴的交点，则PM 与PN的夹角的余弦值为 ▲ ． 16. 给出下列命题：①1y =是幂函数②函数2()2log xf x x =-的零点有1个2)0x -≥的解集为[)2,+∞④“x ＜1”是“x ＜2”的充分不必要条件⑤函数3y x =在点O （0，0）处切线是x 轴其中真命题的序号是 ▲ （写出所有正确命题的编号） 17. 定义在)1,1(-上的函数)(x f 满足（1）对)1,1(,-∈∀y x 都有)1()()(xy yx f y f x f --=-； （2）对)0,1(-∈∀x 都有0)(>x f .若)1201220121()11()111()51(22-++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅++=f r r f f f P ，)21(f Q =，)0(f R =，则P 、Q 、R 的大小关系为______▲_____（用“<”连接）.三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18．（本题14分） 在∆ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． 已知．B a C b B c A b cos cos 2cos 2cos -=-（1）求sin sin CA 的值；（2）若cosB=14，b=2，ABC ∆的面积S 。

19．（本小题满分14分）已知函数2()2cos cos(2),2f x x x x Rπ=++∈（Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 的单调增区间；（Ⅲ）若3()4f α=，求sin 4α的值.20．（本题满分14分）等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +== （1）求数列{}n a 的通项公式.（2）设 31323log log ......log ,nn b a a a =+++求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前项和.21．（本题满分15分）某项考试按科目A 、科目B 依次进行，只有当科目A 成绩合格时，才可继续参加科目B 的考试.已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书.现某人参加这项考试，科目A 每次考试成绩合格的概率均为23，科目B 每次考试成绩合格的概率均为12.假设各次考试成绩合格与否均互不影响.（Ⅰ）求他不需要补考就可获得证书的概率；（Ⅱ）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为ξ，求ξ的数学期望E ξ.22.（本题满分15分）已知函数)0()(,ln)(>==axaxgxxf，设)()()(xgxfxF+=。

（Ⅰ）求F（x）的单调区间；（Ⅱ）若以(]3,0)((∈=xxFy）图象上任意一点),(yxP为切点的切线的斜率21≤k恒成立，求实数a的最小值。

（Ⅲ）是否存在实数m，使得函数1)12(2-++=mxagy的图象与)1(2xfy+=的图象恰好有四个不同的交点？若存在，求出m的取值范围，若不存在，说明理由。

2011学年第一学期温州十校联合体高三期初联考数学参考答案 (理 科)一．选择题 : 本大题共10小题, 每小题5分, 共50分.二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分.）11、2 12、35 13、11 14、2011402115、171516、④⑤ 17、Q<P<R三、解答题：（本大题共5小题，共52分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18、（本题14分）（1）由正弦定理，设,sin sin sin a b ck A B C === …………………2分则22sin sin 2sin sin ,sin sin c a k C k A C Ab k B B ---==所以cos 2cos 2sin sin .cos sin A C C A B B --= …………………..4分即(cos 2cos )sin (2sin sin )cos A C B C A B -=-，化简可得sin()2sin().A B B C +=+ …………………6 分 又A B C π++=， 所以sin 2sin C A =因此sin 2.sin C A = ……………….7分 （2）由sin 2sin CA =得2.c a =由余弦定理22222212cos cos ,2,4144.4b a c ac B B b a a =+-==+-⨯及得4=a ………………………….9分解得a=1。

因此c=2 …………………………11分又因为π<<=B B 0,41cos所以sin B =……………………………..13分因此11sin 1222S ac B ==⨯⨯= …………………….. 14分19. （本小题满分14分）已知函数2()2cos cos(2),2f x x x x Rπ=++∈（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 的单调增区间； （Ⅲ）若3()4f α=，求si n 4α的值.解:2()2cos cos(2)2f x x x π=++1cos 2sin 2x x =+- …………………………2分（Ⅰ）()1)4f x x π=++ ……………………………………4分 ()f x 的最小正周期T=22ππ= ……………………………………5分（Ⅱ）∴2224k x k ππππ-+≤+≤588k x k ππππ-≤≤- …………………………………8分∴()f x 的单调增区间是5[,]88k k ππππ-- ()k Z ∈…………9分（Ⅲ）3()1cos2sin 24f ααα=+-=1sin 2cos24αα-=……………………………11分221(sin 2cos2)()4αα-=11sin 416α-=∴15sin 416α=……………………………14分20. 解：（1）设数列{a n}的公比为q ，由23269a a a =得32349a a =所以219q =。

有条件可知a>0,故13q =。

……………………4分由12231a a +=得12231a a q +=，所以113a =………6分故数列{a n }的通项式为a n =13n …………7分（2）31323log log ......log ,n n b a a a =+++(12...)(1)2n n n =-++++=-…………………….10分故12112()(1)1nb n n n n =-=--++ …….11分 12111111112...2((1)()...())22311n n b b b n n n +++=--+-++-=-++所以数列1{}n b 的前n 项和为21n n -+ ………14分21. 解:设“科目A 第一次考试合格”为事件A ，“科目A 补考合格”为事件A 2；“科目B 第一次考试合格”为事件B ，“科目B 补考合格”为事件B . (Ⅰ)不需要补考就获得证书的事件为A 1·B 1,注意到A 1与B 1相互独立，则1111211()()()323P A B P A P B =⨯=⨯=.答：该考生不需要补考就获得证书的概率为13. ………6分(Ⅱ)由已知得，ξ＝2，3，4，注意到各事件之间的独立性与互斥性，可得….7分1112(2)()()P P A B P A A ξ==+2111114.3233399=⨯+⨯=+= ……8分112112122(3)()()()P P A B B P A B B P A A B ξ==++94213232212132212132=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= ……9分 12221212(4)()()P P A A B B P A A B B ξ==+12111211111,3322332218189=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+= ……10分 故4418234.9993E ξ=⨯+⨯+⨯= ……….12分答：该考生参加考试次数的数学期望为83. ……..15分22. 解.(Ⅰ)F)0(ln )()()(>+=+=x x ax x g x f x)0(1)('22>-=-=x x ax x a x x F …2分）上单调递增。