不等式性质测试卷

例1 比较33+x 与x 3的大小，其中R x ∈． 解：x x 3)3(2-+332+-=x x ，3)23(])23(3[222+-+-=x x ，43)23(2+-=x ，043>≥， ∴ x x 332>+．说明：由例1可以看出实数比较大小的依据是：①b a b a >⇔>-0； ②b a b a =⇔=-0；③b a b a <⇔<-0．典型例题二例2 比较16+x 与24x x +的大小，其中R x ∈ 解：)()1(246x x x +-+1246+--=x x x ，)1()1(224---=x x x ， )1)(1(42--=x x ， )1)(1)(1(222+--=x x x ， )1()1(222+-=x x ，∴ 当1±=x 时，2461x x x +=+； 当1±≠x 时，.1246x x x +>+说明：两个实数比较大小，通常用作差法来进行，其一般步骤是：第一步：作差；第二步：变形，常采用配方，因式分解等恒等变形手段；第三步：定号，贵州省是能确定是大于0，还是等于0，还是小于0．最后得结论．概括为“三步，—结论”，这里的“变形”一步最为关键．例3 R x ∈，比较)12)(1(2+++x x x 与)21(+x （12++x x ）的大小． 分析：直接作差需要将)12)(1(2+++x x x 与)21(+x （12++x x ）展开，过程复杂，式子冗长，可否考虑根据两个式子特点，予以变形，再作差．解：∵)12)(1(2+++x x x =)1(+x （122+-+xx x ） )1(2)1)(1(2+-+++=x xx x x ，)1)(211()1)(21(22++-+=+++x x x x x x)1(21)1)(1(22++-+++=x x x x x ，∴ )1)(21()12)(1(22+++-+++x x x x x x021)1(21)1(212>=+-++=x x x x ． 则有R x ∈时，)12)(1(2+++x x x >)21(+x （12++x x ）恒成立．说明：有的确问题直接作差不容易判断其符号，这时可根据两式的特点考虑先变形，到比较易于判断符号时，再作差，予以比较，如此例就是先变形后，再作差．典型例题四例4 设R x ∈，比较x+11与x -1的大小． 解：作差x x x x +=--+1)1(112， 1）当0=x 时，即012=+xx ， ∴x x-=+111； 2）当01<+x ，即1-<x 时，012<+xx ， ∴x x-<+111； 3）当01>+x 但0≠x ，即01<<-x 或0>x 时，012>+xx ，∴x x->+111． 说明：如本题作差，变形，变形到最简形式时，由于式中含有字母，不能定号，必须对字母根据式子具体特点分类讨论才能定号．此时要注意分类合理恰当．典型例题五例5 比较1618与1816的大小分析：两个数是幂的形式，比较大小一般采用作商法。

解：1616162161816)289()21()89(161)1618(1618===.1618,016,1)289()1,0(28918161816＜＞＜∴∴∈说明：求商法比大小的变形要围绕与1比大小进行．典型例题六例6 设0,0＞＞b a ，且b a ≠，比较：b a b a ⋅与ab b a 的大小。

分析：比较大小一般方法是求差法或求商法，利用不等式的性质进行变形，然后确定大小。

解：b a ab b a a b b a b a ba ba b a ---==)( 当0＞＞b a 时，0,1＞＞b a b a-，1)(＞ba ba -∴ 当0＞＞ab 时，0,10＜＜＜b a b a-1)(＞ba ba -∴1)(＞b a b a -∴即1＞a b ba ba b a ，又0＞abb a ，abaab a b a ＞∴说明：求商法的基本步骤是：①求商，②变形，③与1比大小从而确定两个数的大小.典型例题七例7 实数d c b a 、、、满足条件：①d c b a <<,；②()()0>--c b c a ；③()()0<--d b d a ，则有( )A ．b d c a <<<B ．d b a c <<<C ．d b c a <<<D ．b d a c <<<（天津市2001年南开中学期末试题）分析：先由条件②③分析出b a 、与d c 、的关系，根据条件利用①用数轴数形结合比出大小．解：∵()()0>--c b c a ，∴b a 、与c 同侧 ∵()()0<--d b d a ，∴b a 、与d 异侧 ∵d c b a <<,∴把d c b a 、、、标在数轴上，只有下面一种情况由此得出b d a c <<<，∴此题选D ． 说明：比较大小时可以借助于数轴，利用推出的一些结论在数轴上标出它们的相对位置，这样容易看出几个数之间的大小关系，尤其是比较的个数较多时适用．典型例题八例8 已知①11≤+≤-b a ；②31≤-≤b a ，求：b a -3的取值范围．分析：此题是给代数式的字母的范围，求另外代数式的范围．分为两步来进行：(1)利用待定系数法将代数式b a -3用b a +和b a -表示．(2)利用不等式性质及题目条件确定b a -3的范围．解：设：b y x a y x b a y b a x b a )()()()(3-++=-++=-⎩⎨⎧==∴⎩⎨⎧-=-=+∴2113y x y x y x 由①+②×2得：231)(2)(21⨯+≤-++≤+-b a b a即：731≤-≤b a ．说明：此题的一种典型错误做法，如下：,31,11≤-≤≤+≤-b a b a 420≤≤∴a ，即：20≤≤a02413,11≤≤-∴-≤-≤-≤+≤-b a b b a即：02≤≤-b830,20,630≤-≤∴≤-≤≤≤∴b a b a此解法的错误原因是因为a 与b 是两个相互联系，相互制约的量，而不是各自独立的，当b a +取到最大值或最小值时，b a -不一定能取到最值，所以用以上方法可能扩大变量的范围．避免出错的方法是通过待定系数法“整体代入”，见解题过程．典型例题九例9 判断下列各命题的真假，并说明理由． （1）若22bc ac >，则.b a >（2）若b a >，则.11ba < （3）若0,<<cb a ，则.bca c <（4）若d c b a >>,，则.d b c a ->- （5）若c a b a >>>,0，则.2bc a > （6）若+∈>N m b a ,，则.m mb a >分析：利用不等式的性质来判断命题的真假．解：（1）⇒≠⇒>0222c bc ac b a bc ac c >⇒⎪⎭⎪⎬⎫>>22201，是真命题．（2）可用赋值法：2,3-==b a ，有ba 11>，是假命题． 也可这样说明：aba b b a -=-11， ∵ b a >，只能确定0<-a b ，但ab 的符号无法确定，从而b a 11-的符号确定不了，所以ba 11<无法得到，实际上有：.110,b a ab b a <⇒>>.110,ba ab b a >⇒<>（3）与（2）类似，由⇒/<b a bc a c c b a <⇒⎪⎭⎪⎬⎫<>011，从而b ca cb a <⇒/<是假命题．（4）取特殊值：.3,2,1,5-====d c b a有d b c a -<-，∴ 是假命题．定理3的推论是同向不等式可相加，但同向不等式相减不一定成立．只有异向不等式可相减，即.,d b c a d c b a ->-⇒<>（5）bc a bc ab b c a ab a a b a >⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫>⎭⎬⎫>>>⇒⎭⎬⎫>>>22000， ∴是真命题．（6）定理4成立的条件为必须是正数．举反例：2,4,3=-==m b a ，则有.m m b a <说明：在利用不等式的性质解题时，一定要注意性质定理成立的条件．要说明一个命题是假命题可通过举反例．典型例题十例10 求证：.0,011,<>⇒>>b a ba b a 分析：把已知的大小关系转化为差数的正负，再利用不等式的性质完成推理． 证明：利用不等式的性质，得00011110<⇒⎪⎭⎪⎬⎫<-⇒<-⇒>>-⇒>ab ab b a a b b a b a b a .0,0异号,<>⇒⎭⎬⎫>b a b a b a典型例题十一例11 若d c b a >>,，则下面不等式中成立的一个是（ ） （A ）c b d a +>+ （B ）bd ac > （C ）dbc a > （D ）b c ad -<- 解：由不等式的性质知：（A ）、（B ）、（C ）成立的条件都不充分，所以选（D ），其实（D ） 正是异向不等式相减的结果．.b c a d c d d c b a b a -<-⇒⎭⎬⎫<⇒>-<-⇒>说明：本的解法都是不等式性质的基本应用，对于不等式的基本性质要逐条掌握准确，以便灵活应用．典型例题十二例12 若11<β<α<-，则下面各式中恒成立的是（ ）． （A ）02<β-α<- （B ）12-<β-α<- （C ）01<β-α<- （D ）11<β-α<-分析 本题考查是否能正确使用不等式的性质来进行变形，应看到，已知条件中含有两个内容，即11<α<-，11<β<-和β<α，根据不等式的性质，可得11<β-<-，0<β-α，继而得到22<β-α<-且0<β-α，故02<β-α<-，因此选A ．典型例题十三例13 若c b a >>，则一定成立的不等式是（ ）A ．c b c a >B ．ac ab >C ．c b c a ->-D ．cb a 111<< 分析：A 错，当0,=>c b a 时有c b c a =；同样B 错；D 没有考虑各数取零和正负号的关系，所以也不对．故选C ，因为不等式两边同时加上一个任意数（此题是c -），原不等式成立． 说明：这类题可以采用特例法：令0=c 即得C 成立．典型例题十四例14 已知：0<c f e b a ，＞，＞，求证：bc e ac f --＜．分析：要证明的式子中，左右均为二项差，其中都有一项是两字母积的形式，因此在证明时，对两项积要注意性质的使用，对两项差的证明要注意使用同向加性或异向减性来处理．证明：，＞，＞，＞bc ac c b a ∴0 ．＜bc ac --∴又，＜e f ∴由同向加性可得：bc e ac f --＜．说明：此题还可采用异向减性来处理：．＜，＞，＜bc e ac f bc ac e f --∴做这类题过程并不复杂，关键是记准性质，并能正确地应用．典型例题十五例15已知集合{}{},,2||145|A 2A y y x x B x x x R I ∈-==--==，＜０，求：B A ⋂．分析：要求B A ⋂，需要先求集合A 和B ，从已知来看，A 的范围容易求，B 的元素由A y ∈可以推算，但在推算过程中，要注意运用不等式的性质．解：,01452R I x x =<--且.72<<-∴x{}{}.7201452<<-=<--=∴x x x x x A.72,<<-∴∈y A y ,2||.524-=<-<-∴y x y .5||,5||4<∴<<-∴x x .55<<-∴x{}.55<<-=∴x x B }.52{<<-=⋂∴x x B A说明：本题中的条件R I =，意在明确集合A 中的元素为R ，若去掉此条件，会出现不确定的情况．比如，72<<-x 的实数和72<<-x 的整数显然是有区别的．另外，这里集合B 的元素是通过集合A 的元素求出的，解题时，一定要看清．典型例题十六例16 设a 和b 都是非零实数，求不等式b a >和ba 11>同时成立的充要条件． 分析：本题是求两个不等式同时成立的充要条件，因此，这两个不等式不能分开来讨论．如果分开讨论，则b a >成立的条件就是b a >本身；而ba 11>成立的条件则是a 与b 同号，且b a <，但这个条件只是ba 11>的一个充分条件，并且与第一个不等式b a >是矛盾的．所以必须研究这两个不等式同时成立的条件．显然，应该从求它们同时成立的必要条件入手．解：先求b a >，b a 11>同时成立的必要条件，即当b a >，ba 11>同时成立时，a 与b 应具备什么条件．由⎪⎩⎪⎨⎧>>b a b a 11,，得⎪⎩⎪⎨⎧>->-.0,0aba b b a由0>-b a 可知0<-a b ，再由0>-abab 知0<ab ，即a 与b 异号，因此b a >>0是不等式b a >与b a 11>同时成立的必要条件． 再求b a >，ba 11>同时成立的充分条件．事实上，当b a >>0时，必有b a >，且01,01<>b a ，因而ba 11>成立．从而b a >>0是不等式b a >，ba 11>同时成立的充分条件． 因此，两个不等式b a >，b a 11>同时成立的充要条件是b a >>0．说明：本题结果表明，b a >与ba 11>同时成立，其充要条件是a 为正数，b 为负数．这与b a 11>成立的条件0>ab ，a b >不要混淆．解本题是从必要条件入手的，即若b a >，b a 11>同时成立，则要研究从不等式ba 11>和b a >看a 与b 的大小有什么关系，从中得出结论（b a >>0），再把这个结论作为一个充分条件去验证b a >及ba 11>能否同时成立．从而解决了本题．典型例题十七例17 已知函数c ax x f -=2)(满足：.5)2(1,1)1(4≤≤--≤≤-f f 则)3(f 应满足（ ）（A ）26)3(7≤≤-f （B ）15)3(4≤≤-f （C ）20)3(1≤≤-f （D ）335)3(328≤≤-f 分析：如果能用)1(f 与)2(f 将)3(f “线性”表示出：)2()1()3(nf mf f +=，就可利用不等式的基本性质，由)1(f 、)2(f 的取值范围，推出)3(f 满足的条件．解：∵,4)2(,)1(c a f c a f -=-= ∴)]1(4)2([31)],1()2([31f f c f f a -=-=故)]1(4)2([31)]1()2([39)3(f f f f c a f ---=-= )1(35)2(38f f -=由不等式的基本性质，得.20)3(13040)2(38385)2(1320)1(35351)1(4≤≤-⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫≤≤-⇒≤≤-≤-≤⇒-≤≤-f f f f f故选（C ）.说明：（1）也可设)2()1()3(nf mf f +=，由代定系数法求得35-=m ，38=n ． （2）下面的错误是值得引以为戒的∵,4)2(,)1(c a f c a f -=-=⎭⎬⎫≤-≤-⇒≤≤-≤-⇒-≤-≤-⇒-≤≤-5415)2(14141)1(4c a f a c c a f714130930≤≤⇒⎭⎬⎫≤-≤≤≤⇒≤≤⇒c a c a a又 .9)3(c a f -=∴.26)3(7171,279030≤≤-⇒⎭⎬⎫-≤-⇒≤≤≤≤⇒≤≤f c c a a故选（A ）上述推理错误产生的原因是由于将条件⎩⎨⎧≤≤--≤≤-5)2(11)1(4f f 化为⎩⎨⎧≤≤≤≤7130c a 使a 、c 的取值范围扩大所致．事实上，作为点集与{}711,30),(≤≤≤≤=a c a N 之间的关系是N M ⊆/，如图点集N 是图中乱世形OABD 所围成的区域，点集M 是由平行四边形MNBP所围成的区域，这样就直观地表现了N M ⊆/，揭示了上述解法的错误．。