数阵问题 整理版

数阵
趣味导读：
有些数按照一定的要求排列成各种各样的图形，就叫做数阵图，数阵填数的游戏是非常有趣的，有时也有一定的难度。

不过它能促使我们积极地思考问题，分析问题，拓展我们的能力。

有的同学说：这样的数阵图填写时只能采取试的方法，没有其他捷径好走。

其实这话不对。

填写数阵图时，我们应抓住数阵中的关键位置（例如两种线的交点，长方形和正方形的顶点），再根据题目的要求，进行必要的计算，先填写这些关键位置的数，再填写出其他位置的数。

一些数按照一定的规则，填在某一特定图形的规定位置上，这种图形，我们称它为“数阵图”，数阵图的种类繁多，绚丽多彩，这里只向大家介绍三种数阵图，即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图。

在解答这类问题时，要善于确定所求的和与关键数字间的关系式，用试验的方法，找到相等的和与关键数字：要会对基本解中的数进行适当调整，得到其他的解，从而培养自己的观察能力，思维的灵活性和严密性。

【解法总结】：
做数阵题目，我们的一般步骤是：
①.先观察在图中有哪些格子重复了，重复了几次。

②.根据题中给出的数字以及图形来发现重复的这几个数有什么特点。

③.看看在给出的数中有哪些数符合我们特点，再通过试算，确定每个格子中的数。

【例题1】将1,2,3,4,5这五个数分别填入下图的各正方形中，组成一个“十字数阵图”
使图中横行三个数的和与竖行三个数据的和相等。

解析：根据图形的特点，中间那个数是横行与竖行共用的，要使横行与竖行三个数的和相等，可以先确定中间的数，再让左右两数的和与上、下两数的和相等。

①中间填1，则剩下2,3,4,5，而2+5=4+3，共有8种填法。

②中间填2，则剩下1,3,4,5而这四个数无法组成□+□=□+□的形式所以中间不可填？
③中间填3，则剩下1,2,4,5，而1+5=2+4，共有8种填法：
④中间填4，则剩下1,2,3,5而这四个数无法组成□+□=□+□的形式所以中间可能填4。

⑤中间填5，则剩下1,2,3,4，1+4=2+3共有8种填法。

提示：可以令中间数为一个字母A，根据求和与倍数的关系填数阵图。

练习：
1、将1,3,5,7,9 这五个数分别填入下图的各正方形中，组成一个“十字型数阵图”使图中横行三个数的和与竖行三个数的和相等。

2、将数字1-8分别填入下图中的□内，使每一横行每一竖行相邻3个□的数字和相等。

3、将数字1-5分别填在下图中的○内，使每条线段上3个○内的数字之和相等。

4、将数字1-9分别填在图中的○内使每条线上五个○内数的和相等。

其中一个和为23.
5、把1,4,7,10,13,16,19七个数填入图中7朵花里，使每条线上三个数的和相等。

其中一个和为30.
6、将26、2
7、2
8、36、37、38、46、47、48九个数分别填入下图中的圆圈里，使第一个图每条直线上三个数的和是111。

第二个图自由发挥。

7、把1~7填入下图中,使每条线段上三个○内的数的和相等.第一个图中三个数的和是14.
8、把1~11填入图中,使每条线上三个数的和相等.
【例题2】请你把1-6这六个数字填在下面三角形的O内，使每条边上的数字之和相等。

你能做到吗？
这是一种封闭型的数阵图，填写时的关键是确定三个顶点上的数。

1+2+3+4+5+6=21，用k 表示每边上三个数的和，因为三个顶点上的数在求和时，都用了两次，用a,b,c表示三个顶点的数，使有21+a+b+c=3k因为a+b+c的最小值为6，最大值为15，所以3个k的最小值为27，最大为36，那么k的最小值是9，最大值是12。

①当k=9时，a+b+c=6 这时
a=1,b=2,c=3; a=1,b=3,c=2； a=2,b=1,c=3；
a=2,b=3,c=1; a=3,b=1,c=2； a=3,b=2,c=1；
②当k=10、11、12时，可仿照①的方法进行分析。

本题的填法有很多种，这里只列举其中的几种，其他的填法由同学们自己考虑。

能使每边上的三个数的和都是11吗？你能很快判断出来吗？想一想。

【分析】：因为每条边上的和都是11，所以三条边上的数字之和为11333
⨯=，在三角形三个顶点上的数都重复算了两次，而12345621
+++++=，所以三个角上的三个数之和是
332112
-=。

在16中，和是12的三个数有可能是156246345
、、；，，；，，。

但是当三个数是156
、、时，我们发现在一条边上中点那个数找不到，所以删去。

再通过我们的计算发现只有246
、、的时候，才能满足条件，所以结果是：
13
5
6
4
2
练习：
1在下图12个小圆圈中分别填入1--9这九个数字，规定4个角上的圆圈中必须填入相同的数字，并要使每边上四个数字的和都相等。

有多少种不同的填法，每边上四个数的和可以是几？写出你认为可以的所有结果。

【分析】：根据我们做数阵题目的步骤，我们可以发现只有角上四个数是重复了，所以我们可以设角上的数为x，设每条线上四个数的和为y。

而12348945
++++++=，那么4534
x y
+=。

这是一个不定方程，我们可以用奇偶分析法。

因为45是奇数，4y是偶数，所以3x一定为奇数，那么x只可能是13579
、、、、。

我们通过试算发现x只可能是159
、、三种情况。

2、将1-9这九个数分别填入下面数阵的9个○内，使三角形每条边上4个○内数的和相等。

试着写一写。

3、在图中填入2-9，使每边3个数的和等于15。

4、把1~10填入图中,使五条边上三个○内的数的和相等.
5、把1~8,填入图中,使每条线及正方形四个顶点上的数的和相等.
【例题3】将1,2,3,5,6,7这六个数字填入下表中，使每行中三个数的和相等，同时使每列两个数的和也相等。

解析：因为表中有2行、3列，这样六个数可分成（7,3,2）和（6,5,1）每列两个数的和为24÷3=8，同样这六个数也可分为（7,1）、（6,2）和（5,3）三组。

根据题意，我们同时考虑使每行中的数和每列中数的和分别相等。

你能想出其他11种填法吗？试试看.
练习：
1、将1,3,5,7,9,11这六个数字填入下表中，使每行中三个数的和相等，同时使每列两个数的和也相等。

2、将1--8这八个个数字填入下表中，使每行中四个数的和相等，同时使每列两个数的和也相等。

想一想，你还能写出多少个？
【例题4】将1~8个数分别填入图中,使每个圆圈上五个数和分别为20
解析:中间两个数是重叠数，重叠的次数都是1，所以两个重叠数为：
20×2-（1+2+3+4+5+6+7+8）=4
在已知的八个数中，两个数之和是6的只有1和3.两个大圆上的其他三个数之和为20-4=16. 那么剩下的6个数为2、4、5、6、7、8，把这6个数平分为两组，每组三数之和为16的有2+6+8=16和4+5+7=16。

即如下图所示：
练习：
1、将1~8个数分别填入图中,使每个圆圈上五个数和分别为21、24。

和为21 和为24
2、将1、2、
3、
4、
5、6六个数字填入图中的小圆圈内，使每个大圆上四个数字的和是16。