傅里叶变换在信号处理中的应用

傅里叶变换在信号处理中的应用

姓名董柱班级电气工程及其自动化学号1109141013

摘要：

傅里叶变换是一种特殊的积分变换。通过傅里叶变换把信号的从时域变换到频域研究，采用频域法较之经典时域的方法有很多突出的优点，虽然傅里叶分析不是信息科学与技术领域中唯一的变换域方法，但是不得不承认，在此领域中，傅里叶变换分析始终有着广泛的应用，通过傅里叶变换实现信号的滤波，调制，抽样是傅里叶变换在信号处理中最主要的作用。通过对信号的调制可以将信号的低频成分调制到高频，实现频谱搬移，减少马间串扰，提高抗噪声新能，有利于信号的远距离传输，另外，对信号采样可以使连续信号离散化，有利于用计算机对信号进行处理，总之，傅里叶变换在信号处理中有着非常重要的作用。傅里叶变换是学习其他频域变换的基础。

关键词：

傅里叶变换，时域，频域，信号处理，信息科学与技术，滤波，调制，抽样。

一傅里叶变换

1.定义

f(t）是t的函数，如果t满足狄里赫莱条件：具有有限个间断点；具有有限个极值点；绝对可积。则有下图①式成立。称为积分运算f(t）的傅立叶变换，

②式的积分运算叫做F（ω）的傅立叶逆变换。F（ω）叫做f(t）的像函数，f(t）叫做

F（ω）的像原函数。F（ω）是f(t）的像。f(t）是F（ω）原像。

①

傅里叶变换

傅里叶逆变换

2.分类

连续傅立叶变换：一般情况下，若“傅立叶变换”一词的前面未加任何限定语，则指的是“连续傅立叶变换”。“连续傅立叶变换”将平方可积的函数f(t) 表示成复指数函数的积分或级数形式。

f(t) = \mathcal^[F（ω）] = \frac{\sqrt{2π}}

\int\limits_{-\infty}^\infty F（ω）e^{iωt}\,dω.

上式其实表示的是连续傅立叶变换的逆变换，即将时间域的函数f(t）表示为频率域的函数F（ω）的积分。反过来，其正变换恰好是将频率域的函数F（ω）表示为时间域的函数f(t）的积分形式。一般可称函数f(t）为原函数，而称函数F（ω）为傅立叶变换的像函数，原函数和像函数构成一个傅立叶变换对（transform pair）。

一种对连续傅立叶变换的推广称为分数傅立叶变换（Fractional Fourier Transform）。

当f(t）为奇函数（或偶函数）时，其余弦（或正弦）分量将消亡，而可以称这时的变换为余弦转换（cosine transform) 或正弦转换（sine transform)。

另一个值得注意的性质是，当f(t) 为纯实函数时，F(−ω） = F（ω）*成立。

离散傅立叶变换：为了在科学计算和数字信号处理等领域使用计算机进行傅立叶变换，必须将函数xn定义在离散点而非连续域内，且须满足有限性或周期性条件。这种情况下，使用离散傅立叶变换，将函数 xn 表示为下面的求和形式：

x_n = \frac1 \sum_{k=0}^ X_k e^{i\frac{2\pi} kn} \qquad n =

0,\dots,N-1

其中Xk是傅立叶振幅。直接使用这个公式计算的计算复杂度为

\mathcal(n^2），而快速傅立叶变换（FFT）可以将复杂度改进为\mathcal(n \log n）。计算复杂度的降低以及数字电路计算能力的发展使得DFT成为在信号处理领域十分实用且重要的方法。

3 Fourier变换的意义

傅立叶变换原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅立叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。

和傅立叶变换算法对应的是反傅立叶变换算法。该反变换从本质上说也是一种累加处理，这样就可以将单独改变的正弦波信号转换成一个信号。

因此，可以说，傅立叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号（信号的频谱），可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工。最后还可以利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。

傅里叶变换的应用领域广泛，谱估计就是对各种信号进行频谱分析,或将时间域信号转换为频率域信号进行处理。例如通过对环境噪声的谱分析,可以确定主要频率成分,了解噪声的成因,找出降低噪声的对策;对振动信号的谱分析,

可了解振动物体的特性,为设计或故障诊断提供资料和数据。对于高保真音乐和

电视这样的宽带信号转到频率域后极大多数能量集中在直流和低频部分,就可把

频谱中的大部分成分滤去,从而压缩信号频带。

二.用MATLAB对常见信号的Fourier变换分析

1冲激信号[4]

冲激函数是最基本的函数，其傅里叶变换是系统函数，只要知道系统函数，那么通过这个系统的输出函数并可以确定。

在Matlab中产生冲激函数和其傅里叶变换的程序如下：

M=10;

T=10;

N=2^M;

dt=T/N;

n=0:N-1;

t=n*dt;

w=zeros(size(t));

w(100:105)=100;

subplot(211);

plot(t,w,'b','LineWidth',2.5);

title(‘冲激函数');

xlabel('t/s--->'); ylabel('y/m');

Subplot(212);

W=fft(w);

W=fftshift(W);

plot(t,abs(W),'b','LineWidth',2.5);

title('冲激函数的傅里叶变换');

xlabel('w--->'); ylabel('y/m');

其时域图像和频域图像如图1所示

图1冲激函数的时域和频谱

图像分析：