必修四第六讲正弦函数余弦函数的图像与性质
简单易懂的三角函数正弦余弦和正切
简单易懂的三角函数正弦余弦和正切三角函数是数学中重要的概念之一，它们在几何学和三角测量中发挥着至关重要的作用。
本文将详细介绍三角函数中的正弦、余弦和正切，并解释它们的定义、性质和应用。
一、正弦函数（sin）正弦函数是以圆的弧长和半径的比值定义的。
给定一个角度θ（单位为弧度），我们可以通过以下公式来计算它的正弦值：sin(θ) = 对边 / 斜边其中，对边表示角θ对应的直角三角形中与θ相对的边的长度，斜边表示直角三角形中斜边的长度。
正弦函数的定义域是所有实数，其值域在-1到1之间。
正弦函数的图像是一个周期性的波形，它在0到2π之间重复。
正弦函数在数学和物理学中有广泛的应用，比如描绘波动、震动和周期性现象等。
二、余弦函数（cos）余弦函数也是以圆的弧长和半径的比值定义的。
给定一个角度θ，我们可以通过以下公式来计算它的余弦值：cos(θ) = 邻边 / 斜边其中，邻边表示角θ对应的直角三角形中与θ相邻的边的长度。
余弦函数的定义域是所有实数，其值域也在-1到1之间。
余弦函数的图像与正弦函数非常相似，它在0到2π之间同样重复。
余弦函数同样在数学和物理学中有广泛的应用，比如计算力的分解、描述周期性变化等。
三、正切函数（tan）正切函数是以正弦和余弦的比值定义的。
给定一个角度θ，我们可以通过以下公式来计算它的正切值：tan(θ) = 正弦 / 余弦 = 对边 / 邻边正切函数的定义域是所有不等于(2n + 1)π/2的实数，其中n是任意整数。
其值域是所有实数。
正切函数的图像有一些特殊的性质，比如在某些角度上取无穷大的值。
正切函数在解决直角三角形问题、物体运动中的速度和加速度等方面有着重要的应用。
综上所述，三角函数中的正弦、余弦和正切是数学中重要的概念，它们不仅在几何学和三角测量中起到关键作用，而且在物理学、工程学以及其他科学领域中有着广泛的应用。
通过理解和熟练运用这些函数，我们可以更好地理解和解决与角度有关的各种问题。
正弦、余弦、正切函数图象及其性质
函数正弦函数y=sinx 余弦函数y=cosx 正切函数y=tanx图像定义域R R{x∣x≠Kπ+π/2,K∈Z}值域[-1，1][-1，1]R周期性最小正周期都是2π最小正周期都是2π最小正周期都是π奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心是(Kπ,0),K∈Z；对称轴是直线x=Kπ+π/2,K∈Z对称中心是(Kπ+π/2,0),K∈Z；对称轴是直线x=Kπ,K∈Z对称中心是(Kπ/2,0),K∈Z单调性在[2Kπ-π/2,2Kπ+π/2],K∈Z上单调递增；在[2Kπ+π/2,2Kπ+3π/2],K∈Z上单调递减在[2Kπ,2Kπ+π],K∈Z上单调递减；在[2Kπ+π,2Kπ+2π],K∈Z上单调递增在[Kπ-π/2,Kπ+π/2],K∈Z上单调递增最值当X=2Kπ(K∈Z)时，Y取最大值1；当X=2Kπ+3π/2(K∈Z时，Y取最小值－1当X=2Kπ+π/2(K∈Z)时，Y取最大值1；当X=2Kπ+π(K∈Z时，Y取最小值－1无最大值和最小值正弦、余弦、正切函数图象及其性质注意1、正弦函数y=sinx在[2kπ-π/2, 2kπ+π/2]（k∈Z）上是增函数，但不能说它在第一或第四象限是增函数；对于正切函数，它在定义域的每一个单调区间内都是增函数，但不能说它在定义域上是增函数。
2、对于复合函数y=Asin(ωx+φ)、y=Acos(ωx+φ)、y=Atan(ωx+φ)均可以将ωx+φ视为一个整体，用整体的数学方法转化为熟悉的形式解决。
当ω＜0时，要特别注意。
如：y=sin(-2x+π/4)可以化为y=-sin(2x-π/4)或y=cos(2x+π/4)再求解。
3、函数y=Asin(ωx+φ)、y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为2π/∣ω∣，y=Atan(ωx+φ) 的最小正周期为π/∣ω∣。
正弦函数和余弦函数的图像与性质
3. 求最小正周期： (1) f ( x) 3sin x 4cos x (2) f ( x) sin 2 x (3) f ( x) sin 2 x cos 2 x
y cos x , x R 的值域是 [1,1]，最大值是 1，最小值是 1.
当 cos x 1时，x 2k (k Z). 当 cos x 1 时，x (2k 1) (k Z).
（2）周期性
一般地，对于函数 f ( x)，如果存在一个常数 T (T 0)， 使得当 x 取定义域 D 内的任意值时，都有 f ( x T ) f ( x) 成立，那么函数 f ( x) 叫做周期函数，常数 T 叫做函数 f ( x) 的周期。对于一个周期函数 f ( x) 来说，如果在所有的周期中 存在一个最小正数，那么这个最小正数叫做函数 f ( x) 的 最小正周期。
解： 偶函数； (1)
(2) f ( x) cos 2 x，偶函数；
2 (k Z)
(3)sin x 1 x 2k
x
，但 x 可以取 ，即 f ( x)的定义域不关于原点对称， 2 2
f ( x) 是非奇非偶函数。
(4) f ( x)
1 sin 2 x sin x 1 1 sin 2 x sin x 1
5 3 增：k , k (k Z)， 减：k , k (k Z) 8 8 8 8
(4) y log 1 2cos x 3
2
3 解： x cos x 2 k , 2 k 2 6 6
正弦函数和余弦函数的图像与性质
y=sinx
y
1 2 3 4
y= cosx
y
1
图 象 定义域 值 域
-2
-
o
-1
x
-2
-
o
-1
2 3
4
x
R [1,1]
x 2k
R [1,1]
x 2k ( k Z )
最 值
ymax=1
x 2k
2
(k Z ) 时
其值从-1增至1 其值从 1减至-1
y=sinx
y
1 2 3 4
y= cosx
y
1
图 象 定义域 值 域
-2
-
o
-1
x
-2
-
o
-1
2 3
4
x
R [1,1]
x 2k
R [1,1]
x 2k ( k Z )
最 值
ymax=1
x 2k
2
(k Z ) 时
对于一个周期函数，如果在它的所有周期中
存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 它的最小正周期．
(2) 正弦函数的周期性
由公式 sin (x＋k · 2 )＝sin x (kZ) 可知：
正弦函数是一个周期函数，2 ，4 ，„ ，－2 ，
－4 ，„ ， 2k (kZ 且 k≠0)都是正弦函数的周期． 2 是其最小正周期 .
时
2
ymax=1
(k Z ) 时
x 2k (k Z ) 时
ymin= 1
ymin= 1
x k
y= 0
x k ( k Z )
数学必修4——三角函数的图像与性质
数学必修4——三⾓函数的图像与性质数学必修4——三⾓函数的图像与性质⼀. 教学内容：三⾓函数的图像与性质⼆. 教学⽬标：了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会⽤“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin（ωx+φ）的简图，理解A、ω、φ的物理意义。
三. 知识要点：1. 正弦函数、余弦函数、正切函数的图像2. 三⾓函数的单调区间：的递增区间是，递减区间是；的递增区间是，递减区间是的递增区间是，3. 函数最⼤值是，最⼩值是，周期是，频率是，相位是，初相是；其图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中⼼。
4. 由y＝sinx的图象变换出y＝sin（ωx＋）的图象⼀般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活地进⾏图象变换。
利⽤图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现.⽆论哪种变形，请切记每⼀个变换总是对字母x⽽⾔，即图象变换要看“变量”起多⼤变化，⽽不是“⾓变化”多少。
途径⼀：先平移变换再周期变换（伸缩变换）先将y＝sinx的图象向左（＞0）或向右（＜0＝平移｜｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍（ω＞0），便得到y＝sin（ωx＋）的图象。
途径⼆：先周期变换（伸缩变换）再平移变换。
先将y＝sinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍（ω＞0），再沿x轴向左（＞0）或向右（＜0，平移个单位，便得到y＝sin（ωx＋）的图象。
5. 对称轴与对称中⼼：的对称轴为，对称中⼼为；的对称轴为，对称中⼼为；对于和来说，对称中⼼与零点相联系，对称轴与最值点相联系。
6. 五点法作y=Asin（ωx+）的简图：五点法是设X=ωx+，由X取0、、π、、2π来求相应的x值及对应的y值，再描点作图。
【典型例题】例1. 把函数y=cos（x+）的图象向左平移个单位，所得的函数为偶函数，则的最⼩值是（）A. B. C. D.解：先写出向左平移4个单位后的解析式，再利⽤偶函数的性质求解。
正弦函数和余弦函数的图像与性质.ppt
, 0), (2 ,1)
2
2
并注意-4 曲线的“凹凸”变化.
课堂练习
1.作函数 y sin x 与 y sin x 1在 [0, 2 ]
上的大致图像. 2.指出1.中各图像与正弦函数图像的位置关系.
3.作函数 y cos x, x [ , ]的大致图像.
4.利用3.解不等式：cos x sin x, x [ , ]
-2
五个关键点：(0, 0), ( ,1), ( , 0), (3 , 1), (2 , 0)
2
2
利用五个关-4键点作简图的方法称为“五点法”
10
三、余弦函数的图像
根据诱导公式
cos
8
x
sin(
x) 可知余弦函数
y
cos
6
x的图像可由
y
2 sin
x
的图像向左平移
2
4
个单位得到.
1
2
2
-10
3-5
0
2
1
-2
余弦函数的值域是[1,1] -4
当且仅当 x 2k , k Z 时， -6
余弦函数取得最大值1；-8
5
2
35
x10
2
yP
OM x
当且仅当 x 2k , k-10 Z 时，
余弦函数取得最小值-1-1.2例1.求下列函数的源自大值与最小值，及取到最值6
课堂练习答案
12
1. y sin x, x [0, 2 ] y4
10
x
0
2
3 2
2
2 8
5
-10
高中数学北师大必修四课件集：正弦函数、余弦函数的性质
这就是说：当自变量x的值增加到 x+2kπ时，函数值重复出现.
为了突出函数的这个特性，我们 把函数f(x)=sinx称为周期函数，2kπ为 这个函数的周期 (其中k∈z且k≠0).
思考3：把函数f(x)=sinx称为周期函数. 那么，一般地，如何定义周期函数呢？
余弦函数 偶函数
cos( x) cos x
例1. 判断下列函数的奇偶性
(1) f (x) sin(52 2x)
(3)
y
cos2 x 1 sin x
1
(2) f ( x) sin4 x cos4 x cos2 x sin2 x
解：(1) f (x) sin(52 2x) cos2x ，x R .
2.函数的周期性是函数的一个基本性质，判断一个函数是否为周期函数，一般以定义为 依据，检验它是否存在非零常数T，对定义域内任一实数x，f(x＋T)=f(x)恒成立.
3.什么叫周期函数的最小正周期？
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的 正数, 则这个最小正数叫做f(x)的最小正周期
4.函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ) (A＞0)的最小
正周期 T=
2π 这个公式，解题时可以直接应用
练习：1，2，3.
【周期函数的定义】对于函数f(x)，如 果存在一个非零常数T，使得当x取定义 域内的每一个值时，都有
f(x+T)=f(x) 那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常 数T就叫做这个函数的周期.
【周期函数的定义】对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一 个值时，都有
f(x+T)=f(x) 那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T就叫做这个函数的周期.
高B数学必修四课件余弦函数的图象与性质
06
总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结回顾
余弦函数定义
余弦函数是三角函数的一种，表示为y=cosx，其中x为角度，y为对应的余弦值。
余弦函数图象
余弦函数的图象是一个周期函数，周期为2π。在0到2π的区间内，余弦函数的图象呈现出 一个先下降后上升的趋势，最高点为(0,1)，最低点为(π,-1)。
正切函数的图象呈现出一个周期 性的上升趋势，周期为π。正切函 数具有奇偶性，即tan(-x)=-tanx 。此外，正切函数在x=kπ+π/2 （k为整数）处存在间断点。
三角函数之间的关系
正弦函数、余弦函数和正切函数 之间存在紧密的联系。例如， sinx=cos(x-π/2)， tanx=sinx/cosx等。这些关系式 在处理复杂的三角函数问题时具 有重要的应用价值。
周期性及奇偶性
周期性
余弦函数具有周期性，其最小正周期为2π。这意味着对于任 意整数k，cos(x+2kπ)=cosx。
偶函数性质
余弦函数是偶函数，即cos(-x)=cosx。这意味着余弦函数的 图像关于y轴对称。
02
余弦函数图像特点
振幅、周期和相位对图像影响
01
02
03
振幅
决定图像在垂直方向上的 拉伸或压缩程度，振幅越 大，图像在垂直方向上的 变化范围越大。
THANKS
感谢观看
05
生活中实际应用举例
振动现象中余弦函数模型建立
机械振动
在机械振动中，物体围绕平衡位置做周 期性往复运动，其位移随时间的变化可 以用余弦函数来描述。例如，单摆的运 动、弹簧振子的振动等。
VS
电磁波
电磁波是一种横波，其电场和磁场分量随 时间的变化遵循余弦函数规律。在通信、 广播、电视等领域，利用余弦函数的性质 可以对电磁波进行调制和解调。
正弦函数余弦函数的图像和性质
f ( x) = 3cos x = 3cos( x + 2π ) = f ( x + 2π )
所以T=2π
2、y=sin2x x ∈R 解、令z=2x，那么x∈R必须并且只需z∈R，且函 数y=sinz，z∈R的T=2π，即变量z只要并且至少 要增加到z+2π，函数y=sinz，z∈R的值才能重复 取得，而z+2π=2x+2π=2（x+π） 故变量x只要并且至少要增加到x+π，函数值 x x+π 就能重复取得，所以y=sin2x，x∈R的T=π 即 f ( x) = sin 2 x = sin(2 x + 2π ) = sin 2( x + π ) = f ( x + π ) 所以T=π
例1．画出下列函数的简图 ．
（1）y= 2sinx ,x∈[0, 2π], ） ∈ π （2）y=sin2x , x∈[0,2π] ） 解: （1） 列表 ） Y 2 1 0
x y=2sinx
0 0
π
2
π 0
3π 2
2π π 0
2
-2
(2)描点作图 描点作图
y=2sinx y=sinx
π
2π
X
2、五点作图法 、
y = sin( x + ), x ∈ R 3 4
例4利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：
（1） sin 250 （2） cos
15 π 8
o
与
sin 260o
与 cos 14 π 9
例5 求函数 y = sin( 2 x + 3 ), x ∈ [−2π , 2π ] 的单调递增区间. 解： 令
( 0 , 0 ) (π , 0 ) (2π ,0)
正弦函数余弦函数的图像和性质PPT课件
1. sinα、cosα、tgα的几何意义. 想一想? 1
P
T
正弦线MP 余弦线OM
o
M
1
A
正切线AT
三角问题
几何问题
4.8 正弦函数.余弦函数的图象和性质
2.用描点法作出函数图象的主要步骤是怎样的？ (1) 列表
(2) 描点
-
(3) 连线
-
4.8 正弦函数.余弦函数的图象和性质
如: 作 的正弦线 平移定点
,连线
4.8 正弦函数.余弦函数的图象和性质
函数 图象的几何作法 作法: (1) 等分 (2) 作正弦线
1-
(3) 平移 (4) 连线
-
-
-
-1 -1 -
-
4.8 正弦函数.余弦函数的图象和性质
正弦曲线
1-
-1-
因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=sinx的图象在……， …与y=sinx,x∈[0,2π]的图象相同 余弦曲线（平移得到） 余弦曲线（几何作法）
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4.8 正弦函数.余弦函数的图象和性质
(五点作图法)
1-
图象的最高点 与x轴的交点 图象的最低点
-
-1 -1 -
简图作法 (1) 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标) (2) 描点(定出五个关键点) (3) 连线(用光滑的曲线顺次连结五个点)
-
图象的最高点 与x轴的交点
1-
-
-1
图象的最低点
（1） y
x
4.8 正弦函数.余弦函数的图象和性质
余弦曲线
-
1
-
-1
由于
所以余弦函数
(完整版)正弦和余弦函数的图像及性质
y=
cosx
=
cos(-x)
=
sin[
2
-(-x)]
=
sin(x+
2
)
y 从 向图 左像平中移我 们个看单到位co后sx得由到sinx
2
1
-
-
4
2
o
-
2
-
4
-
x
-
-
－1
因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=cosx的图象在……，
4 ,2 , 2 ,0, 0,2 , 2 ,4 , ……与y=cosx,x∈[0,2π]的图象
y=
1
2 sinx+
3 2
cosx
=
sinxcos
3
+
cosxsin
3
= sin(x+ 3 )
X+ 3
x
y
0
2
－
3
6
0
1
换元法
3 2
2
2
7
5
3
6
3
0 －1 0
y=sin(x+
3
)图像如下所示
y
最大值为 1，最小值为－1
-
2 1 o- -
12
-
-
2
-
-
2
-
-
x
3
3
-
想一想?
正弦曲线、余弦曲线，它们图象有何特征？
-1 -
y
简图作法 (五点作图法)
图象的最低点(
3 2,
1)
(y1) 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标)
(2) 描点( ) 正弦y 函数.余弦函数的图象和性质 6
高一数学必修四课件时正弦余弦函数的图象与性质
平方和公式转换
利用正弦平方(x) + 余弦平方(x) = 1的恒等式，可以在已知一个 三角函数值的情况下求出另一个
的值。
诱导公式转换
利用三角函数的周期性，可以通 过加减360度或180度等诱导公 式将角度转换到基本区间内，从
而方便计算。
典型例题分析
例题1
解析
已知sin(x) = 1/2，求cos(x) 的值。
余弦函数单调性
单调性
在余弦函数的一个周期内，其在$[0, pi]$区间内单调递减，在$[pi, 2pi]$区间内单调递增。
单调性应用
利用余弦函数的单调性，可以比较不同角度的余弦值大小，以及解决与余弦函数相关的最值问题。
04
正弦余弦函数关系及转换
正弦余弦函数关系
互补关系
正弦函数和余弦函数在相位上相差90 度，即正弦(x) = 余弦(x - 90度)。这 种关系表明正弦和余弦函数是互补的 。
正弦型函数、余弦型函数的图象变换与性质； 三角函数在物理学、工程学等领域的应用。
思考题与练习题
1. 思考题
如何通过正弦函数、余弦函数的图象判断其周期性？
2. 练习题
求正弦函数 y = sin(2x + π/3) 的周期、振幅和相位。
3. 思考题
正切函数与正弦函数、余弦函数之间有何关系？如何通过 正切函数的图象判断其性质？
三角函数在解决实际问题中的应用
振动问题
波动问题
三角函数可以用来描述振动现象，如弹簧 振子、单摆等振动系统的运动规律。
三角函数可以用来描述波动现象，如声波 、光波等波动的传播规律。
圆周运动问题
实际问题建模
三角函数可以用来描述圆周运动，如匀速 圆周运动中的角速度、线速度等物理量的 变化规律。
课件正弦余弦函数图象与性质河南省新乡市-中学_人教版高中数学必修四PPT课件_优秀版
2
2
减区间:[2k ,2k 3 ](k Z )
2
2
减区间 :[2k ,2k ](k Z )
对称中心 ：(k ,0)(k Z )
对称轴：x k (k Z )
2
对称中心：( k ,0)(k Z )
2 对称轴：x k (k Z )
一、周期函数的定义
一般地，对于函数f(x)，如果存在一个 一、正弦余弦函数的性质——定义域与值域
例1 比较下列各组数的大小:
非零常数T ，使得当 x 取定义域内的每一 总结：正弦、余弦函数的图像和性质
例1 比较下列各组数的大小: 可知： 函数y=sinx和y=cosx都是周期函数，2kπ(k∈Z且 k≠0)都是它的周期，最小正周期是 2π。
个值时，都有f( x+T )=f(x) , 那么函数f(x) 一、正弦余弦函数的性质——定义域与值域
正弦、余弦函数的图像和性质
一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T ，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有f( x+T )=f(x) , 那么函数f(x)就叫做周期函数，
非零常数T叫做这个函数的周期。
cos(-x)= cosx (xR) y=cosx在每一个闭区间[(2k-1)π,2kπ] (k∈Z)上都是增函数,其值从-1增大到1；
非零常数T叫做这个函数的周期。
【解题提示】（1）（2）利用整体代换法；
注意：（1）周期T为非零常数。
当x=2kπ+π(k∈Z)时ymin=-1
可知： 函数y=sinx和y=cosx都是周期 一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T ，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有f( x+T )=f(x) , 那么函数f(x)就叫做周期函数，
最新人教版高中数学必修四正弦余弦函数的性质优质课件
x
2 )
26
26
2 sin(
1 2
x
6
)2 sin1 2(x4
)
6
y
2sin( 1 2
x)
6
的周期为４π
另法
归纳总结
一般地， 函数y Asin(x ), x R及函 数y Acos(x ), x R(其中A,,为常 数,且A 0, 0)的周期为:T 2 .
练习1. 求下列函数的周期：
T 2 ( 0)
• 3.图象法:
小结
T 2
１．理解周期定义时要注意，式子f(x＋T)＝f(x) 是对“x”而言.
２．一个函数是周期函数，但它不一定有最小正 周期.例如，f(x)＝a(常数)
３．设T是f(x)(x∈R)的周期，那么kT(k∈Z， 且k≠0)也一定是f(x)的周期.
４．函数 y=Acos(ωx+φ)的周期都是 y=Asin(ωx+φ)
正弦余弦函数的性质
（1）对称性 （2）定义域
-----------周期
（3）值 域
（4）周期性
（5）奇偶性 （6）单调性
在生活中的周期性现象!
诱导公式sin(x+2π) =sinx,的几何意义．
y
o
x
X
X+2π
X
X+2π
正弦函数值是按照一定规律不断重复地出现的
能不能从正弦、余弦函数周期性归纳出一般函 数的规律性？
(1) y sin 3x, x R;(2) y cos x ; 3
(3) y 3sin x , x R;(4) y sin(x );
4
10
(5) y cos(2x ), x R;
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《新课标高中数学必修④精讲精练》——精讲 第一章 三角函数 11 第 6 讲 §1.4.1 正弦函数、余弦函数的图像与性质
¤学习目标：①理解并掌握五点作图法；②理解正、余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇 偶性的意义； ③会求简单函数的定义域、 值域、 最小正周期和单调区间； ④掌握正弦函数 ( ) sin y A x w j =+ 的周期及求法
¤知识要点：
① 周期函数的定义:对 x M "Î ，都有 ( ) ( ) f x T f x += ，用公式计算 2 T p w =
； ②正弦函数的对称轴方程为 , 2 x k k Z p p =
+Î ，余弦函数的对称轴方程为 , x k k Z p =Î .
¤例题精讲： 【例 1】作函数 2sin 31 4 y x p æö =++ ç÷ è
ø 的简图. 解： （1）列表 （2）描点连线，图如右.
x 12 p - 12 p 3 12 p 5 12 p 7 12
p 3 4 x p + 0 2 p p 3 2 p 2p y 1 3 1 1 1
【例 2】求下列三角函数的周期：（1） sin 3 y x p æö =+ ç÷ èø ； （2） 3sin 25 x y p æö =+ ç÷ èø
. 解： 方法一：（1） 令 3 z x p =+ ， 而 ( ) sin 2sin z z p += ， 即 ( ) 2 33 f x f x p p p éùæö ++=+ ç÷ êú ëûèø
， 所以周期 2 T p = . （2）令 25 x z p æö =+ ç÷ èø ，则 ( ) ( ) 3sin 3sin 2 f x z z p ==+ =3sin 2 25 x p p æö ++ ç÷ èø 4 3sin 2
5 x p p + æö =+ ç÷ èø = ( ) 4 f x p + ，所以周期 T=4p .
方法二：直接利用求周期的公式： 2 T p w =
. （1） 2 2 1
T p p == ；（2） 2 4 1 2
T p p == . 【例 3】已知函数 2 cos sin 3,,62 y x x x p p éù =-+Î êú ëû ，求函数的最大值. 解： 2
22 117 cos sin 3sin sin 4sin 24 y x x x x x æö =-+=--+=-++ ç÷ è
ø ， 由于 ,62 x p p éù Î êú ëû ，则 1 sin 1 2 x ££ ，所以，当 1 sin 2 x = 时，函数取得最大值 13 4 . 点评：由同角三角函数关系式 22 cos 1sin x x =- ，把 y 化为sin x 的函数求解.
【例 4】 若函数 cos y a b x =- 的最大值是 3 2 ，最小值是 1 2
- ，求函数 4sin y a bx =- 的最大值与最小 值及周期.
解： 1cos 1 x -££ Q ，当
0 b > 时， cos b b x b -££ ，
cos a b a b x a b \-£-£+ ， 1.5 0.5 a b a b += ì \í -=- î ，解得 0.5 1 a b = ì í = î
， 2sin y x \=- ，同理可得当 0 b < 时， 1.5 0.5 a b a b -= ì í +=- î ，此时 0.5 1 a b = ì í =- î
， ( ) 2sin 2sin y x x \=--= ，
从而， sin y x =± ，此函数的最大值是 2，最小值是2，周期是2p .
点评：本题须对b 进行讨论，若不讨论只能得前一个解，容易发生少解的情况.。