二次函数的应用面积问题
二次函数面积问题解题思路
二次函数面积问题解题思路二次函数面积问题是高中数学中比较常见的题型，也是考查数学问题分析与解决能力的重要方式之一。
本文将从以下几个方面详细介绍二次函数面积问题的解题思路：第一步：理解二次函数面积问题的含义在解决二次函数面积问题之前，我们需要先了解一些概念，比如二次函数的图象、面积等等。
二次函数的图象一般是一个开口朝上或者朝下的抛物线。
而二次函数的面积问题则是指，在一定条件下，通过二次函数所确定的抛物线与坐标轴之间所形成的面积。
第二步：根据题目所给条件列出方程式在解决二次函数面积问题时，一般会给出一定条件，根据条件列出方程式，然后解方程，得到需要求解的值。
例如，在给出二次函数y=ax²+bx+c和横坐标轴的三个交点的情况下，我们可以列出以下方程：ax²+bx+c=0 (x1<=x<=x2)ax²+bx+c>0 (x1<x<x2)其中，x1和x2分别是二次函数与x轴的交点，可以通过求解二次方程式ax²+bx+c=0求得。
第一个方程式是根据二次函数与横坐标轴的交点所得，第二个方程式是根据二次函数开口朝上还是朝下来确定的。
开口朝上的抛物线面积为正，开口朝下的抛物线面积为负。
第三步：解方程求出需要的答案在得到方程式后，我们需要解方程来求出需要的答案，如求抛物线与横坐标轴之间的面积、求最大值或最小值等等。
可以使用一些求根公式或者试和错方法来解方程，但需要注意的是，对于一些较为复杂的问题，可能需要运用更高级的数学知识来解决。
第四步：检验答案的正确性在解题的过程中，为了避免出现错误的答案，需要对所得的答案进行检验。
检验的方法是将最终得到的答案带回原方程式中进行验证，看是否符合条件，比如是否满足开口方向、是否满足交点、是否满足面积等等。
只有经过检验后，我们才能确定所得答案的正确性。
总之，通过以上几个步骤，我们可以比较容易地解决二次函数面积问题。
二次函数的实际应用——面积最大(小)值问题
二次函数的实际应用——面积最大(小)值问题[例1]：在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm ，点P 从点A 出发，沿AB 边向点B 以1cm ／s 的速度移动，同时点Q 从点B 出发沿BC 边向点C 以2cm ／s 的速度移动，如果P 、Q 两点同时出发，分别到达B 、C 两点后就停止移动．（1）运动第t 秒时，△PBQ 的面积y(cm²)是多少？（2）此时五边形APQCD 的面积是S(cm²)，写出S 与t 的函数关系式，并指出自变量的取值范围．（3）t 为何值时s 最小，最小值时多少？答案：6336333607266126262621)1(2222有最小值等于时；当）（）（）（）（）（）（S t t S t t t t t S t t t t y =∴+-=<<+-=+--⨯=+-=⋅-=[例2]某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15m)的空地上修建一个矩形花园ABCD ，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围成．若设花园的宽为x(m) ，花园的面积为y(m²)．(1)求y 与x 之间的函数关系，并写出自变量的取值范围；（2）根据（1）中求得的函数关系式，描述其图象的变化趋势；并结合题意判断当x 取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少？解：)240(x x y -=)20(22x x --=200)10(22+--=x∵152400≤-<x∴205.12<≤x∵二次函数的顶点不在自变量x 的范围内，而当205.12<≤x 内，y 随x 的增大而减小，∴当5.12=x 时，5.187200)105.12(22max =+--=y (平方米)答：当5.12=x 米时花园的面积最大，最大面积是187.5平方米．[例3]如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50 m 长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为x 米．(1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少m ？(2)如果中间有n (n 是大于1的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少米？比较(1)(2)的结果，你能得到什么结论？解：(1)∵长为x 米，则宽为350x -米，设面积为S 平方米． )50(313502x x x x S --=-⋅= 3625)25(312+--=x ∴当25=x 时，3625max =S (平方米) 即：鸡场的长度为25米时，面积最大．(2) 中间有n 道篱笆，则宽为250+-n x 米，设面积为S 平方米． 则：)50(212502x x n n x x S -+-=+-⋅= 2625)25(212++-+-=n x n ∴当25=x 时，2625max +=n S (平方米) 由(1)(2)可知，无论中间有几道篱笆墙，要使面积最大，长都是25米．即：使面积最大的x 值与中间有多少道隔墙无关．。
二次函数与三角形面积问题
二次函数与三角形面积问题二次函数与三角形面积问题的关系是通过求解二次函数图像与x轴交点来得到三角形的面积。
具体而言，如果给定二次函数的表达式，我们可以求解方程f(x) = 0的解，这些解就是二次函数图像与x轴交点的横坐标。
通过这些横坐标，我们可以确定三角形的底边的长度。
同时，我们可以求解二次函数的最值来确定三角形的高，进而计算出三角形的面积。
首先，让我们来回顾一下二次函数的定义和性质。
二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c是实数且a不等于零。
二次函数的图像是一个抛物线，它的开口方向由a的正负号决定，当a 大于零时开口向上，当a小于零时开口向下。
二次函数的顶点是抛物线的最值点，当a大于零时顶点是最小值点，当a小于零时顶点是最大值点。
现在，让我们将二次函数与三角形面积问题联系起来。
假设我们有一个给定的二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，我们希望求解该二次函数图像与x轴交点的横坐标，并计算出通过这些交点确定的三角形的面积。
首先，我们需要求解方程f(x) = 0，也就是求解ax^2 + bx + c = 0。
这可以通过使用求根公式来进行计算。
根据求根公式，对于一个二次方程ax^2 + bx + c = 0，它的解为x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。
根据这个公式，我们可以求解出具体的x值。
假设我们求解得到了两个根，x1和x2。
接下来，我们可以通过计算这两个根之间的距离来确定三角形的底边的长度。
根据数学知识，我们知道两个点(x1, 0)和(x2, 0)之间的距离等于|x2 - x1|。
因此，通过计算|x2 - x1|，我们可以得到底边的长度。
接下来，我们需要确定三角形的高。
为了做到这一点，我们需要找到二次函数的顶点。
二次函数的顶点的横坐标可以通过使用公式x = -b / (2a)来计算。
通过计算出的顶点横坐标，我们可以计算出顶点在x轴上的纵坐标。
一次函数与二次函数的面积问题
一次函数与二次函数的面积问题一、引言在高中数学中，我们学习了一次函数和二次函数，它们是数学中非常重要的概念。
本文将探讨一次函数与二次函数的面积问题，通过几个具体的例子，帮助读者理解并解决这类问题。
二、一次函数的面积一次函数又称为线性函数，其代数表达式为$y=ax+b$。
为了计算一次函数在特定区间上的面积，我们可以使用定积分的方法。
2.1一次函数的几何图像一次函数的几何图像是一条直线，其斜率决定了直线的倾斜程度，截距决定了直线与$y$轴的交点。
2.2一次函数的面积计算我们考虑一次函数$y=ax+b$在区间$[x_1,x_2]$上的面积。
首先，我们需要确定该函数在该区间上的单调性。
如果$a>0$，则函数是递增的，如果$a<0$，则函数是递减的。
接下来，我们使用定积分的定义来计算面积。
一次函数的面积可以表示为$$S=\i nt_{x_1}^{x_2}(a x+b)dx$$根据定积分的性质，我们可以求解出这个积分。
2.3一次函数面积的例子让我们通过一个具体的例子来解决一次函数的面积问题。
例子：计算函数$y=2x+1$在区间$[1,3]$上的面积。
解：首先，确定函数是递增的，因为斜率$a=2$是正数。
然后，我们计算积分：$$S=\i nt_{1}^{3}(2x+1)dx$$将积分求解出来，得到$S=8$。
因此，函数$y=2x+1$在区间$[1,3]$上的面积为8。
三、二次函数的面积二次函数的代数表达式为$y=a x^2+bx+c$。
与一次函数类似，我们也可以使用定积分的方法计算二次函数在特定区间上的面积。
3.1二次函数的几何图像二次函数的几何图像是一条抛物线，其开口方向由二次系数$a$的正负决定，顶点决定了抛物线的最低（或最高）点。
3.2二次函数的面积计算我们考虑二次函数$y=ax^2+b x+c$在区间$[x_1,x_2]$上的面积。
与一次函数类似，我们先确定函数在该区间上的单调性。
接着，我们使用定积分的定义来计算面积。
二次函数求面积最大值
二次函数求面积最大值二次函数是高中数学中比较重要的一章内容，它在数学和物理中都有广泛的应用。
其中，求二次函数的最值是一个常见的问题，而二次函数求面积最大值也是其中一个重要的应用。
一、二次函数的基本概念二次函数是形如y=ax+bx+c的函数，其中a、b、c是实数且a≠0。
二次函数的图像是一条开口向上或向下的抛物线，其顶点坐标为(-b/2a, c-b/4a)。
二、二次函数求面积最大值的问题对于给定的二次函数y=ax+bx+c，我们要求其在区间[a, b]上的面积最大值。
这个问题可以转化为求y=ax+bx+c在区间[a, b]上的最大值和最小值，然后再利用定积分求解。
三、求二次函数的最值我们知道，二次函数的最值只可能出现在其顶点处，因此我们可以先求出二次函数的顶点坐标，然后再判断其是否在区间[a, b]内。
对于y=ax+bx+c，其顶点坐标为(-b/2a, c-b/4a)。
如果顶点坐标不在区间[a, b]内，则最值出现在区间端点处，即y(a)和y(b)中的较大值。
四、利用定积分求解面积最大值已知y=ax+bx+c在区间[a, b]上的最大值和最小值，我们可以利用定积分求解其面积最大值。
设y=ax+bx+c在区间[a, b]上的最大值和最小值分别为y1和y2，则其面积最大值为∫[a, b] (y1-y2)dx。
五、例题解析下面通过一个例题来说明如何利用二次函数求面积最大值。
例1：求函数y=-x+4x+5在区间[0, 4]上的面积最大值。
首先，求出该函数的顶点坐标：x0 = -b/2a = -4/(-2) = 2y0 = -x0+4x0+5 = -4+8+5 = 9因为顶点坐标(2, 9)在区间[0, 4]内，所以函数的最值为y(2)=9。
然后，利用定积分求解面积最大值：∫[0, 4] (y(2)-y)dx = ∫[0, 4] (9+x-4x)dx = 20/3因此，函数y=-x+4x+5在区间[0, 4]上的面积最大值为20/3。
二次函数的应用(面积问题)
（1）求抛物线解析式 （2）在抛物线上是否存在点F，使△ BCF的面积是5，若存在求出点8 F的坐标，若不存在，说明理由
7
6
5
B
F4
3
2
HE 1
16
14
12
10
8
6
4 C2
O2
4D
显示函数 f
1
显示对象AB
隐藏对象
如图，在平面直角坐标系xoy中，二次函数y=ax2+bx-4(a≠0 的图象与x轴交于点A（-2，0），C（8，0）两点，与y轴 交于点B，其对称轴与x轴交于点D。 （1）求该二次函数的解析式； （2）如图，若点P（m,n）是该二次函数图象上的一个动点 （其中m>0,n<0）,连结PB，PD，BD，求三角形BDP面积的 最大值及此时点P的坐标。
二次函数的应用（面积问题）
授课教师：李晓霞 营口市第二十九中学
5
4.5
1、如图，抛物线y=ax2+bx过A(4，0),B(41，3)两点。 （（12））求点抛P是物A线B上解方析抛式物线上的任意一3点.5 ， B 设点P的横坐标是m,PQ y轴交AB于点Q3 ，
用含m的关系式表示线段PQ的长。 2.5
（3）在（2）的条件下，求当 ABP的2面积
最大时，点P的坐标。
1.5
（当4△）A点BPP的是面抛积物是线6上时一，动求点出，点且P的位坐于标第1。四象限，
0.5
y = x2 + 4∙x
7 隐藏函6数 f
5
4
3
2
1
O E1
2
3
显示函数 g
0.5
显示线段AP,PB,三角形ABP
1、如图，△
二次函数的应用——面积最大问题》说课稿—获奖说课稿
二次函数的应用——面积最大问题》说课稿—获奖说课稿22.过程与方法：培养学生利用所学知识构建数学模型，解决实际问题的能力，掌握建模思想，熟练掌握最值问题的解法。
23.情感态度与价值观：通过实际问题的应用，让学生感受到数学在生活中的实际应用价值，培养学生对数学的兴趣和热爱。
本节课的重点是最值问题的解法和建模思想的培养，难点是对实际问题的分析和建模思想的掌握。
三、教学方法的选择本节课采用“引导发现、归纳总结、启发式教学”等多种教学方法，其中引导发现法是本节课的核心教学方法，通过引导学生发现实际问题中的规律和模式，培养学生独立思考和解决问题的能力；归纳总结法是巩固知识的有效方法，通过对学生已有的知识进行梳理和总结，加深对知识的理解和记忆；启发式教学法则是在教学中采用启发式问题，激发学生的思考和求知欲，提高学生的研究兴趣和积极性。
四、教学过程的设计本节课的教学过程分为四个环节：导入、讲授、练、归纳总结。
导入环节通过引入实际问题，激发学生的兴趣和求知欲，让学生认识到最值问题的实际应用价值；讲授环节通过具体例子和图像分析，讲解最值问题的解法和建模思想；练环节则通过多种形式的练，巩固学生的知识和技能；归纳总结环节则对本节课的知识点进行总结和梳理，加深对知识的理解和记忆。
五、教学效果预测通过本节课的教学，学生将能够掌握最值问题的解法和建模思想，能够熟练应用所学知识解决实际问题，同时也能够感受到数学在生活中的实际应用价值，培养学生对数学的兴趣和热爱，为学生今后的研究打下坚实的理论和思想方法基础。
2、___要在一块长为20米、宽为15米的空地上建一个长方形花园，他想让花园的面积最大，你能帮他算一下最大面积是多少吗？3、某公司生产一种产品，销售价格为每个10元，生产成本为每个5元，每天能生产1000个，你能帮助他们算一下每天的最大利润是多少吗？设计思路]通过这三个问题，引导学生发现实际问题中的最值问题，从而引出二次函数的最值问题。
二次函数应用-几何图形的最大面积问题精品PPT课件
Q1cm/秒B
∴ 当P、Q同时运动2秒后ΔPBQ的面积y最大 最大面积是C，AD⊥BC， BC=160cm ,AD=120cm,
(1)设矩形EFGH的长HG=y,宽HE=x,确定y与x的函 数关系式；
（2）当x为何值时，矩形EFGH的面积S最大？
最 值。
2。有取值范围的在端点或顶点处取最值。
自学教材20页 “动脑筋”
例1:如图，在一面靠墙的空地上用长为24米 的篱笆，围成中间隔有两道篱笆的长方形花 圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。 (1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围。
(2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，
最大值是多少？
谢谢大家
荣幸这一路，与你同行
It'S An Honor To Walk With You All The Way
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
（四）课堂小结
1. 对于面积最值问题应该设图形一边长为自 变量，所求面积为函数建立二次函数的模型， 利用二次函数有关知识求得最值，要注意函数 的自变量的取值范围。
2. 用函数知识求解实际问题，需要把实际问 题转化为数学问题再建立函数模型求解，解要 符合实际题意，要注意数与形结合。
1.在一幅长60 cm，宽40 cm的矩形风景画的四周 镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示， 如果要使整个挂图的面积是y cm2，设金色纸边 的宽度为x cm，那么y关于x的函数是( ) A.y=(60+2x)(40+2x)
（一）思前想后
1.二次函数y＝ax2+bx＋c（a≠0）的顶点坐标、 对称轴和最值
2.（1）求函数y＝x2+2x－3的最值。 （2）求函数y＝x2+2x－3 （0≤x ≤ 3）
二次函数--由动点生成面积问题
二次函数--由动点生成面积问题二次函数是数学中重要的一个概念，它描述了一类以二次项为主导的多项式函数。
而这篇文章将重点探讨一个有趣的问题：如何由动点生成二次函数并应用于面积问题。
首先，我们需要了解什么是动点。
动点是平面上一个不固定的点，它的位置随着时间的推移而变化。
在二维平面上，我们通常用坐标系来描述动点的位置，其中x轴和y轴代表两个独立的变量。
考虑以下问题：假设我们有一条规定的直线，上面有两个动点A和B，它们沿着直线运动。
我们假设初始时刻A和B分别位于直线的两个不同的点，运动速度相同且方向相反。
我们还假设直线是垂直于x轴的。
为了简化问题，我们将直线的方程表示为 y = kx + b，其中 k 是直线的斜率，b 是 y 轴的截距。
此外，我们假设 A 和 B 分别运动的距离为 d1 和 d2，而 d1 和 d2 的长度相等。
我们的目标是通过动点A和B的运动来生成一个面积问题，并进一步将其转化为二次函数。
为了实现这一目标，我们需要引入一个新的点C，它是动点A和B的垂直平分线上的一个固定点。
通过仔细观察，我们可以发现三角形ABC的两条边的长度与动点A和B的距离之间存在一定的关系。
假设三角形ABC的高度为h，底边的长度为b，同时A和B分别位于底边的两个端点。
根据数学原理，我们可以通过两个已知长度和一个夹角来计算一个三角形的面积。
那么如何计算三角形ABC的面积呢？首先，我们可以根据两个动点A和B的运动距离d1和d2来计算出三角形底边的长度b。
由于d1和d2的长度相等，我们可以将它们的和除以2来得到b的长度。
即b=(d1+d2)/2接下来，我们需要确定三角形ABC的高度h。
由于点C是动点A和B的垂直平分线上的一个固定点，因此我们可以用坐标系来表示其位置。
假设点C的坐标为(x0,y0)。
由于点C是动点A和B的垂直平分线的交点，因此动点A在以点C为圆心的圆上运动。
同样地，动点B也在以点C为圆心的圆上运动。
我们可以将动点A和B的位置分别表示为(x1,y1)和(x2,y2)。
二次函数面积最大值问题
二次函数面积最大值问题二次函数是一种形式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c是常数，a!=0。
它是数学中的一种基本函数类型，也是一种常见的函数类型。
二次函数的图像是一个开口朝上或朝下的抛物线，它在平面上呈现出对称的形状。
而二次函数的面积最大值问题即是要找到这个二次函数上的某个区间，使得该区间所对应的面积达到最大值。
要解决这个问题，我们首先需要找到二次函数的顶点，因为顶点是抛物线的最高点或最低点，对应着面积最大值或最小值。
二次函数的顶点坐标的x值可以通过求导函数的根来得到，也可以通过使用二次函数的对称轴公式来得到。
一般来说，对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，它的对称轴公式为x = -b/(2a)。
对于开口朝上的抛物线，顶点位于对称轴上方；对于开口朝下的抛物线，顶点位于对称轴下方。
有了二次函数的顶点坐标后，我们可以进一步求得面积最大值对应的区间。
对于开口朝上的抛物线，可以找到一个区间，使得顶点的两个x值都落在该区间内；对于开口朝下的抛物线，可以找到一个区间，使得顶点的两个x值都落在该区间外。
接下来，我们需要定义面积的计算方法。
对于开口朝上的抛物线，面积为两个顶点x值之间的曲线下方所围成的面积；对于开口朝下的抛物线，面积为整个函数曲线下方所围成的面积。
对于面积的计算，可以使用微积分的方法。
我们可以先求出二次函数的原函数F(x)，然后通过计算F(x)在区间内的两个端点的函数值之差来得到面积。
具体来说，对于开口朝上的抛物线，面积可以表示为S = F(x2) - F(x1)，其中x1和x2是顶点的两个x值；对于开口朝下的抛物线，面积可以表示为S = |-F(x2) + F(x1)|。
要计算S的数值，我们需要根据二次函数的具体形式来计算对应的原函数F(x)。
对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，它的原函数F(x) = (a/3)x^3 + (b/2)x^2 + cx。
初中数学 二次函数的应用——面积最大问题
二次函数的应用——面积最大问题一、教学内容的分析地位与作用：二次函数的应用本身是学习二次函数的图象与性质后，检验学生应用所学知识解决实际问题能力的一个综合考查。
新课标中要求学生能通过对实际问题的情境的分析确定二次函数的表达式，体会其意义，能根据图象的性质解决简单的实际问题，而最值问题又是生活中利用二次函数知识解决最常见、最有实际应用价值的问题之一，它生活背景丰富，学生比较感兴趣，对于面积问题学生易于理解和接受，为求解最大利润等问题奠定基础。
目的在于让学生通过掌握求面积最大这一类题，学会用建模的思想去解决其它和函数有关的应用问题。
此部分内容是学习一次函数及其应用后的巩固与延伸，又为高中乃至以后学习更多函数打下坚实的理论和思想方法基础。
二、教学目标、重点、难点的确定结合本节课的教学内容和学生现有的学习水平，我确定本节课的教学目标如下：1.知识与技能：通过实际问题与二次函数关系的探究，让学生掌握利用利用二次函数求图形面积的最大值;通过探讨明确自变量的取值范围对函数最值的影响2. 过程与方法：通过观察图象，理解顶点的特殊性，会把实际问题中的最值转化为二次函数的最值问题，通过动手动脑，提高分析解决问题的能力，并体会一般与特殊的关系，了解数形结合思想、函数思想。
3．情感、态度与价值观：通过学生之间的讨论、交流和探索，建立合作意识，提高探索能力，激发学习的兴趣和欲望，体会数学在生活中广泛的应用价值。
教学重点：利用二次函数y=2ax bx c ++（a ≠0）的图象与性质求面积最值问题教学难点：1、正确构建数学模型2、对函数图象顶点、端点与最值关系的理解与应用三、教学流程：《二次函数的应用——面积最大问题》哈尔滨市阿城区第五中学刘晓慧。
二次函数中的面积计算问题
二次函数中的面积计算问题[典型例题]例. 如图，二次函数2y x bx c =++图象与x 轴交于A,B 两点(A 在B 的左边)，与y 轴交于点C ，顶点为M ，MAB ∆为直角三角形, 图象的对称轴为直线2-=x ，点P 是抛物线上位于,A C 两点之间的一个动点，则PAC ∆的面积的最大值为（C ） A ．274 B ．112 C ． 278D ．3二次函数中面积问题常见类型： 一、选择填空中简单应用 二、不规则三角形面积运用S= 三、运用四、运用相似三角形五、运用分割方法将不规则图形转化为规则图形例1. 如图1，已知：正方形ABCD 边长为1，E 、F 、G 、H 分别为各边上的点， 且AE=BF=CG=DH, 设小正方形EFGH 的面积为s ，AE 为x ，则s 关于x 的函数图象大致是 （ B ）xy ABCOM例2. 解答下列问题：如图1，抛物线顶点坐标为点C (1，4)，交x 轴于点A (3，0)，交y 轴于点B .（1）求抛物线和直线AB 的解析式； （2）求△CAB 的铅垂高CD 及S △CAB ；（3）设点P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P ，使S △PAB ＝89S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.思路分析此题是二次函数中常见的面积问题，方法不唯一，可以用割补法，但有些繁琐，如图2我们可得出一种计算三角形面积的新方法：ah S ABC 21=∆即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.掌握这个公式后，思路直接，过程较为简单，计算量相对也少许多，答案:（1）由已知，可设抛物线的解析式为y 1＝a (x －1)2＋4(a ≠0)．把A (3，0)代入解析式求得a ＝－1，∴抛物线的解析式为y 1＝－(x －1)2＋4，即y 1＝－x 2＋2x ＋3．图2图1设直线AB 的解析式为y 2＝kx ＋b ，由y 1＝－x 2＋2x ＋3求得B 点的坐标为(0，3)．把A (3，0)，B (0，3)代入y 2＝kx ＋b ，解得k ＝－1，b ＝3．∴直线AB 的解析式为y 2＝－x ＋3．（2）∵C (1，4)，∴当x ＝1时，y 1＝4，y 2＝2．∴△CAB 的铅垂高CD ＝4－2＝2．S △CAB ＝21×3×2＝3(平方单位)．（3）解：存在．设P 点的横坐标为x ，△PAB 的铅垂高为h则h ＝y 1－y 2＝(－x 2＋2x ＋3)－(－x ＋由S △PAB ＝89S △CAB 得：21×3×(－x 2＋3x )整理得4x 2－12x ＋9＝0，解得x ＝23．把x ＝23代入y 1＝－x 2＋2x ＋3，得y 1＝415．∴P 点的坐标为(23，415)．例3. （贵州省遵义市）如图，在平面直角坐标系中，Rt △AOB 的顶点坐标分别为A （0，2），O （0，0），B （4，0），把△AOB 绕点O 逆时针方向旋转90°得到△COD （点A 转到点C 的位置），抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)经过C 、D 、B 三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为P ，求△PAB 的面积；（3）抛物线上是否存在点M ，使△MBC 的面积等于△PAB 的面积若存在，请求出点M图2思路分析:根据题目所给信息，函数关系式和△PAB 的面积很容易求出。
第4课二次函数的实际应用(面积最值问题)(教师)
∴S=x（10-2x）=-2x2+10x=-2(x-2.5)2+12.5 ∵，∴
当x=2.5时，S有最大值12.5
12．(2008四川内江)如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳 子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳 子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部 刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为 0.5 米．
cm时，折成的有盖长方体盒子的侧面积最大，最大面积为
cm2．
16．(08兰州)一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图16所示)，拱高6m，跨度 20m，相邻两支柱间的距离均为5m．
（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图17所示)，求抛物线的 解析式；
（2）求支柱 的长度；
（3）拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m的隔离带)， 其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车(汽车间的间隔 忽略不计)？请说明你的理由．
[例4]：某人定制了一批地砖，每块地砖（如图(1)所示）是边长为0.4米 的正方形ABCD，点E、F分别在边BC和CD上，△CFE、△ABE和四边 形AEFD均由单一材料制成，制成△CFE、△ABE和四边形AEFD的三种 材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元，若将此种地砖按图(2)所 示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形EFGH．
(1)求y与x之间的函数关系，并写出自变量的取值范围； （2）根据（1）中求得的函数关系式，描述其图象的变化趋势；并 结合题意判断当x取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少？ 解： ∵ ∴ ∵二次函数的顶点不在自变量的范围内， 而当内，随的增大而减小， ∴当时， (平方米) 答：当米时花园的面积最大，最大面积是187.5平方米．
二次函数求面积问题解题思路
二次函数求面积问题解题思路【导语】在数学中，二次函数是非常常见的一种函数类型。
而对于二次函数求面积问题，我们可以通过一定的解题思路来解决。
本文将围绕着二次函数求面积问题展开，详细介绍解题思路，并分享个人观点和理解。
【引言】二次函数是形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c为常数，且a 不等于零。
在二次函数中，求解其曲线所围成的面积是一道常见的数学题目。
解决这类问题需要掌握一定的数学知识和解题技巧。
下面将按照从简到繁、由浅入深的方式，分享二次函数求面积问题的解题思路。
【正文】1. 面积问题的基本思路在解决二次函数求面积问题时，我们可以使用定积分的思想。
具体来说，我们将二次函数的曲线与x轴所围成的面积，分解为无穷多个无限小的矩形，然后对这些矩形的面积进行求和。
通过计算这个和，我们就可以得到所求的面积。
2. 简单情况下的求解在一些简单的情况下，我们可以直接使用基本的几何知识来求解二次函数的面积。
当二次函数的解析式可以方便地转化为一个简单的几何形状时，我们可以直接计算这个几何形状的面积，得到答案。
3. 进阶情况下的求解在更复杂的情况下，我们需要使用定积分的方法来求解二次函数的面积。
具体而言，我们可以首先确定二次函数与x轴的交点，然后根据这些交点将整个面积分割成多个部分。
接下来，我们可以分别计算每个小矩形的面积，并对这些面积进行求和，最后得到所求的总面积。
4. 完整解题思路的展示下面，我们将通过一个具体的例子来展示完整的解题思路。
假设我们需要计算二次函数y=x^2与x轴所围成的面积。
我们可以求解出二次函数与x轴的交点，得到交点为x=0和x=1。
我们可以将整个面积分割成两部分：在0到1之间的部分和在1到正无穷之间的部分。
对于0到1之间的部分，我们可以使用定积分的方法计算出面积为∫[0,1]x^2 dx；对于1到正无穷之间的部分，我们可以使用类似的方法计算出面积为∫[1,+∞)x^2 dx。
将这两部分的面积相加，即可得到最终的结果。
二次函数面积问题
二次函数面积问题
二次函数面积是数学中一个重要内容，也是很多人亟待解决的问题。
二次函数
面积有着渊博的数学知识，涉及数学几何、初等数学、微积分等多学科交叉的知识。
在数学运算中，二次函数面积被广泛应用于极限计算、微积分、复数函数和三角函数等复杂问题的解决中。
二次函数面积的计算基本包括曲线上的点的坐标、函数的参数，面积的值取决
于曲线的参数，而参数则是二次函数的系数和截距。
我们可以把曲线上的点的坐标写成关于参数的式子，而面积的计算则取决于把这些表达式代入到一般方程中，根据方程得出面积的结果。
二次函数面积的计算还涉及到三角函数，比如求椭圆面积，我们要对函数求导，再对导数求积分，而有时候，为了方便计算，我们也可以采用其它方法，比如变量积分求解法、微分法，可以利用相关函数和变量求助于有效地求解二次函数面积。
总之，二次函数面积的计算涉及到诸多的数学知识，使用不同的方法解决二次
函数面积的计算才可以达到最优的结果。
在现实中，二次函数面积的计算往往与诸多应用紧密相关，在科研和工程中有着重要的意义，要有效求解二次函数面积的问题，需要更深入地学习和研究，无论是针对实践中的经验，还是更深入的理论分析，对于二次函数面积的深入研究都有着突出的重要价值。
二次函数的实际应用(典型例题分类)
二次函数与实际问题1、理论应用（基本性质的考查：解析式、图象、性质等)2、实际应用(拱桥问题，求最值、最大利润、最大面积等）类型一:最大面积问题例一:如图在长20０米,宽80米的矩形广场内修建等宽的十字形道路,绿地面积y(㎡)与路宽x(m)之间的关系？并求出绿地面积的最大值？变式练习1:如图,用５0m长的护栏全部用于建造一块靠墙的长方形花园，写出长方形花园的面积y(㎡)与它与墙平行的边的长x(ｍ）之间的函数关系式？当x为多长时，花园面积最大？类型二:利润问题例二:某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是２.５元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在某一时间内,单价是１3.5元时，销售量是５0０件,而单价每降低1元，就可以多售出2０0件．请你帮助分析:销售单价是多少时,可以获利最多？设销售单价为x元,(0＜x≤13.5）元，那么（1）销售量可以表示为__________＿________＿;（2）销售额可以表示为_＿___＿＿_____________；（3）所获利润可以表示为＿__＿_____＿____＿___;（4）当销售单价是＿_＿＿＿___元时，可以获得最大利润,最大利润是__＿＿___＿__变式训练2．某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出３00件,市场调查反映：每涨价1元,每星期少卖出1０件;每降价１元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件4０元,如何定价才能使利润最大?变式训练3:某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后,公司经历从亏损到盈利的过程,如下图的二次函数图象(部分）刻画了该公司年初以来累积利润y(万元)与销售时间x（月)之间的关系（即前x个月的利润之和ｙ与x之间的关系).（1）根据图上信息,求累积利润y(万元)与销售时间x(月)的函数关系式；（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元？(3）求第8个月公司所获利润是多少万元?40030060 70 Ｏy (件) )变式训练4.某服装公司试销一种成本为每件５０元的T 恤衫,规定试销时的销售单价不低于成本价，又不高于每件７0元,试销中销售量y (件)与销售单价x （元)的关系可以近似的看作一次函数（如图)．（1）求y 与x 之间的函数关系式;(２）设公司获得的总利润(总利润=总销售额 总成本)为P 元，求P 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围;根据题意判断:当x 取何值时,Ｐ的值最大？最大值是多少？类型三:实际抛物线问题例三：某隧道横断面由抛物线与矩形的三边组成,尺寸如图10所示。
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1、求下列函数的最大值或最小值：
(1) y x 2 x 1
2
y ( x 1) 2
2
(2) y x 4 x
2
y ( x 2) 4
2
抛物线 y ax bx c 的极值问题： b (1)若a>0，则当x= 时， 2a 2 4ac b y最小值= ； 4a b (2)若a<0，则当x= 时， 2 a 2 4ac b y最大值= 。 4a
A P B
巩固 3.如图是一块三角形废料，∠A=30°， ∠C=90°，AB=12。用这块废料剪出一 个长方形CDEF，其中，点D、E、F分 别在AC、AB、BC上。要使剪出的长方 形CDEF的面积最大，点E应选在何处？ B
E A D F C
小结
用函数解实际问题的方法： (1)理解问题；
(2)分析问题中的变量和常量以及它们之 间的关系； (3)用数学方式表示它们之间的关系；
1.读题，审题; 2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系; 3.列出函数关系式; 4.解决问题; 5.检验结果的合理性,写出答.
拓展提高
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何时面积最大
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD， 其中AB和AD分别在两直角边上. (1).设矩形的一边AB=xm,那么AD M 边的长度如何表示？ (2).设矩形的面积为ym2,当x取何 D 值时,y的最大值是多少?
巩固 1.如图，正方形ABCD的边长是4， E是AB上一点，F是AD延长线上一点， BE=DF。四边形AEGF是矩形，则矩 形AEGF的面积y随BE的长x的变化而 变化，y与x之间可 A D F 以用怎样的函数来 表示？ E G
B
C
巩固 2.如图，△ABC中，∠B=90°，AB= 6cm，BC=12cm，点P从A开始沿AB边 向B以1cm/s的速度移动；点Q从B开始 沿BC边向C以2cm/s的速度移动。如果 C P、Q同时出发，问经过几秒钟, △PQB的面积最大？最大面积 是多少？ Q
bm
30m
C
┐ xm
3 A B 40m 解 : 1 .设AD bm, 易得b x 30. 4 3 2 3 3 2. y xb x x 30 x 30 x x 202 300. 4 4 4 b 4ac b 2 或用公式 : 当x 20时, y最大值 300. 2a 4a
N
何时面积最大
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD， 其顶点A和点D分别在两直角边上,BC在斜边上. M C (1).设矩形的一边BC=xm,那么AB H 边的长度如何表示？ B 2 D (2).设矩形的面积为ym ,当x取何 G 值时,y的最大值是多少? P┐
30m
A N 解 : 1 .由勾股定理得MN 50m, PH 24m. 40m 12 设AB bm, 易得b x 24. 12 2 12 25 12 2 x 25 300. 2. y xb x x 24 x 24 x 25 25 25 2 b 4ac b 或用公式 : 当x 25时, y最大值 300. 2a 4a
(4)利用函数求解； (5)检验结果的合理性、拓展性。
解：(1) y=x(20-2x)即y=-2x² +20x (2) y=-2x² +20x =-2(x-5)² +50
所以当X=5时，面积最 大，最大面积是50 ㎡
A
D
B
C
变式：如图，在一面靠墙的空地上用长为20m的 篱笆，围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃。 设花圃的宽AB为xm，面积为ym2。
(1)求y与x的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当x取何值时，所围成花圃的面积最大？ 最大值是多少？
2
问题
• 如图，用一段长20米的铝合金型材制作一个矩 形窗框，窗框的宽和高各为多少时，该窗框的 透光面积最大（精确到0.1m,且不计铝合金型 材的宽度）?
例1、如图，一边靠学校院墙，其他三边用20 m长 的篱笆围成一个矩形花圃，设矩形ABCD的边 AB=x m，面积为y㎡。 （1）写出y与x之间的函数关系式； （2）当x取何值时，面积y最大，最大值是多少？
例2、如图，在矩形ABCD中，AB=6cm， BC=12cm，点P从A开始向B以1cm/s的 速度移动，点Q从B开始向C以2cm/s的 速度移动。如果P、Q分别从A、B同时 出发，设△PBQ的面积为 D C S(cm2)，移动时间为t(s)。 (1)求S与t的函数关系； Q A
P
B
“二次函数应用” 的思路
A
B
D C
解：(1) y=x(20-4x)
即y=-4x² +20x（0＜ x＜ 5) (2) y=-4x² +20x
=-4(x-2.5)² +25 答(1) y与x的函数关系式 为 y=-4x² +20x， 0＜ x＜ 5
A
D C
B
(2)当x=2.5m时，所围成花圃的面积最大. 最大值是25m2。