九上 2.5.1一元二次方程应用
初中数学湘教版九年级上册第2章 一元二次方程2.5 一元二次方程的应用-章节测试习题(23)
章节测试题1.【题文】某商店将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可售出200件，现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高0.5元其销售量就减少10件，问应将每件售价定为多少元时，才能使每天利润为640元？【答案】应将商品的售价定为12元或16元．【分析】设售价为x元，则有（x-进价）（每天售出的数量-×10）=每天利润，解方程求解即可．【解答】设售价为x元，根据题意列方程得（x-8）（200-×10）=640，整理得：（x-8）（400-20x）=640，即x2-28x+192=0，解得x1=12，x2=16．故将每件售价定为12或16元时，才能使每天利润为640元．原价为10元，则定价为12元和16元都符合题意（加价减销），故应将商品的售价定为12元或16元．2.【题文】某商场从厂家以每件21元的价格购进一批商品，若每件的售价为a 元，则可卖出（350-10a）件，商场计划要赚450元，则每件商品的售价为多少元？【答案】26元或30元【分析】首先根据总利润＝单件利润×数量列出方程，从而求出方程的解得出答案．【解答】解：依题意有（a-21）（350-10a）=450，a2-56a+780=0，解得：a1=26，a2=30．答：每件商品的售价为26元或30元．3.【题文】某电冰箱厂每个月的产量都比上个月增长的百分数相同．已知该厂今年4月份的电冰箱产量为5万台，6月份比5月份多生产了1.2万台．（1）求该厂今年产量的月平均增长率为多少？（2）预计7月份的产量为多少万台？【答案】（1）20%；（2）8.64万台．【分析】（1）设每个月的月平均增长率为x，则5月的产量为5（1+x）台，6月份的产量为5（1+x）2台，由此即可根据6月份比5月份多生产1.2万台可得方程：5（1+x）2-5（1+x）=1.2，解方程即可得到所求答案；（2）根据（1）中所得结果即可按7月份的产量为5（1+x）3，即可计算出7月份的产量了．【解答】（1）设该厂今年产量的月平均增长率是x，根据题意得：5（1+x）2-5（1+x）=1.2解得：x=-1.2（舍去），x=0.2=20%．答：该厂今年的产量的月增长率为20%；（2）7月份的产量为：5（1+20%）3=8.64（万台）．答：预计7月份的产量为8.64万台．4.【题文】某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100出售，一天可售出100件，后来经过市场调查，发现这种商品每降低1元，其销量可增加10件．（1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？（2）设后来该商品每件降价x元，若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？【答案】（1）商场经营该商品原来一天可获利润2000元；（2）每件商品应降价2元或8元．【分析】（1）不降价时，利润=不降价时商品的单件利润×商品的件数；（2）设每件商品应降价x元，可根据：降价后的单件利润×降价后销售的商品的件数=2160，来列出方程，求出未知数的值即可得．【解答】（1）（100-80）×100=2000（元），答：商场经营该商品原来一天可获利润2000元；（2）设每件商品应降价x元，依题意得：（100-80-x）（100+10x）=2160，即x2-10x+16=0，解得：x1=2，x2=8，答：每件商品应降价2元或8元．5.【题文】3月初某商品价格上涨，每件价格上涨20%.用3000元买到的该商品件数比涨价前少20件．3月下旬该商品开始降价，经过两次降价后，该商品价格为每件19.2元．（1）求3月初该商品上涨后的价格；（2）若该商品两次降价率相同，求该商品价格的平均降价率．【答案】（1）3月初该商品价格上涨后变为每件30元；（2）该商品价格的平均降价率为20%．【分析】（1）设3月初该商品原来的价格为x元，根据“每件价格上涨20%，用3000元买到的该商品件数比涨价前少20件”列出方程并解答；（2）设该商品价格的平均降价率为y，根据降价后的价格=降价前的价格（1-降价的百分率），则第一次降价后的价格是30（1-y），第二次后的价格是30（1-y）2，据此即可列方程求解；【解答】解：（1）设3月初该商品原来的价格为x元，依题意得：=20解方程得：x=25，经检验：x=25是原方程的解，25（1+20%）=30．答：3月初该商品上涨后的价格为每件30元；（2）设该商品价格的平均降价率为y，依题意得：30（1-y）2=19.2解得：y1=1.8（舍），y2=20%．答：该商品价格的平均降价率为20%．6.【题文】为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度．2015年市政府共投资3亿元人民币建设了廉租房12万平方米，2017年计划投资6.75亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．（1）求每年市政府投资的增长率；（2）若这两年内的建设成本不变，问2017年预计建设了多少万平方米廉租房?【答案】（1）每年市政府投资的增长率为50%；（2）2017年预计建设了27万平方米的廉租房．【分析】（1）设每年市政府投资的增长率为x，由3（1+x）2=2015年的投资，列出方程，解方程即可；（2）2015年的廉租房=12（1+50%）2，即可得出结果．【解答】解：（1）设每年市政府投资的增长率为x，依题意得：3（1+x）2=6.75解得x1=0.5=50%x2=-2.5（舍去）答：每年市政府投资的增长率为50%（2）12（1+50%）2=27答：2017年预计建设了27万平方米的廉租房．7.【题文】现将进货单价为100元的商品按每件150元售出时，就能卖出300件．已知这批商品每件涨价5元，其销售量将减少10件．问为了赚取19200元利润，同时也为了尽快减少库存，问售价应定为多少？【答案】180元【分析】根据题意，找到等量关系“一件商品的利润×卖出商品的数量=利润”，设出未知数，列方程求解即可．【解答】解：设涨价x元．（150+x-100）（300-10×）=19200解得x1=70，x2=30为了尽快减少库存，∴售价应定为180元．8.【题文】春暖花开，市民纷纷外出踏青，某种品牌鞋专卖店抓住机遇，利用10周年店庆对其中畅销的M款运动鞋进行促销，M款运动鞋每双的成本价为800元，标价为1200元．（1）M款运动鞋每双最多降价多少元，才能使利润率不低于20%；（2）该店以前每周共售出M款运动鞋100双，2018年3月的一个周末，恰好是该店的10周年店庆，这个周末M款运动鞋每双在标价的基础上降价m%，结果这个周末卖出的M款运动鞋的数量比原来一周卖出的M款运动鞋的数量增加了m%，这周周末的利润达到了40000元，求m的值．【答案】（1）M款运动鞋每双最多降价240元，才能使利润率不低于20%；（2）m的值为60．【分析】（1）设M款运动鞋每双降价元，根据利润=售价-进价，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，取其内的最大正整数即可得出结论；令则根据总利润=单双运动鞋的利润×销售数量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】（1）设M款运动鞋每双降价元，根据题意得：解得：答：M款运动鞋每双最多降价240元，才能使利润率不低于20%．（2）令则根据题意得：整理得：解得：或y=0（不合题意，舍去），答：m的值为60．9.【题文】某商店准备进一批季节性小家电，每个进价为40元，经市场预测，销售定价为50元，可售出400个；定价每增加1元，销售量将减少10个．设每个定价增加x元．（1）写出售出一个可获得的利润是多少元（用含x的代数式表示）？（2）商店若准备获得利润6000元，并且使进货量较少，则每个定价为多少元？应进货多少个？（3）商店若要获得最大利润，则每个应定价多少元？获得的最大利润是多少？【答案】（1）x+10元；（2）每个定价为70元，应进货200个．（3）每个定价为65元时得最大利润，可获得的最大利润是6250元．【分析】（1）根据利润=销售价-进价列关系式，（2）总利润=每个的利润×销售量，销售量为400-10x，列方程求解，根据题意取舍，（3）利用函数的性质求最值．【解答】由题意得：（1）50+x-40=x+10（元），（2）设每个定价增加x元，列出方程为：（x+10）（400-10x）=6000，解得：x1=10，x2=20，要使进货量较少，则每个定价为70元，应进货200个，（3）设每个定价增加x元，获得利润为y元，y=（x+10）（400-10x）=-10x2+300x+4000=-10（x-15）2+6250，当x=15时，y有最大值为6250，∴每个定价为65元时得最大利润，可获得的最大利润是6250元．10.【题文】欣欣服装店经销某种品牌的童装，进价为50元/件，原来售价为110元/件，每天可以出售40件，经市场调查发现每降价1元，一天可以多售出2件．（1）若想每天出售50件，应降价多少元？（2）如果每天的利润要比原来多600元，并使库存尽快地减少，问每件应降价多少元？（利润=销售总价-进货价总价）【答案】（1）5；（2）30．【分析】（1）降低1元增加2件，可知若想每天出售50件，降低（50-40）÷2元，列出算式即可．（2）利润=售价-进价，根据一件商品的利润乘以销售量得到总利润，列出方程求解即可．【解答】解：（1）（50-40）÷2=10÷2=5（元）．答：应降价5元；（2）设每件商品降价x元．根据题意得：（110-x-50）×（40+2x）=40×（110-50）+600解得：x1=10，x2=30．∵使库存尽快地减少，∴x=30．答：每件应降价30元．11.【题文】某市的特色农产品在国际市场上颇具竞争力，其中属于菌类的一种猴头菇远销国外，上市时，有一外商按市场价格10元/千克收购了2000千克猴头菇存入冷库中，据预测，猴头菇的市场价格每天每千克上涨0.5元，但冷库存放这批猴头菇时每天需要支出各种费用合计220元，而且这种猴头菇在冷库中最多能保存130天，同时，平均每天有6千克的猴头菇损坏不能出售．（1）若外商要将这批猴头菇存放x天后一次性出售，则x天后这批猴头菇的销售单价为______元，销售量是______千克（用含x的代数式表示）；（2）如果这位外商想获得利润24000元，需将这批猴头菇存放多少天后出售？（利润=销售总金额-收购成本-各种费用）【答案】（1）10+0.5x，2000-6x；（2）40．【分析】（1）根据猴头菇的销售单价市场价格+0.5×存放天数和销售量=原购入量-6×存放天数列出代数式即可；（2）利用总利润-各种费用-收购成本即可列出方程求解．【解答】解：（1）10+0.5x，2000-6x；（2）由题意得：（10+0.5x）（2000-6x）-10×2000-220x=24000，解得x1=40，x2=200（不合题意，舍去）答：这位外商想获得利润24000元需将这批猴头菇存放40天后出售．12.【题文】为响应国家全民阅读的号召，社区鼓励居民到社区阅览室借阅读书，并统计每年的借阅人数和图书借阅总量（单位：本）．该阅览室在2015年图书借阅总量是7500本，2017年图书借阅总量是10800本．（1）求该社区的图书借阅总量从2015年至2017年的年平均增长率；（2）如果每年的增长率相同，预计2018年图书借阅总量是多少本？【答案】（1）20%，（2）12960本【分析】（1）、首先设该社区的图书借阅总量从2014年至2016年的年平均增长率为x，然后根据增长前的数量×（1+增长率）增长次数=增长后的数量列出一元二次方程，从而得出x的值；（2）、根据增长率求出2018年的数量．【解答】解：（1）、设该社区的图书借阅总量从2014年至2016年的年平均增长率为x，根据题意得：7500（1+x）2=10800，即（1+x）2=1.44，解得：x1=0.2，x2=-2.2（舍去）答：该社区的图书借阅总量从2014年至2016年的年平均增长率为20%；（2）、10800（1+0.2）=12960（本）．答：预计2018年图书借阅总量是12960本．13.【题文】某商场销售一种学生用计算器，进价为每台20元，售价为每台30元时，每周可卖160台，如果每台售价每上涨2元，每周就会少卖20台，但厂家规定最高每台售价不能超过33元，当计算器定价为多少元时，商场每周的利润恰好为1680元？【答案】32【分析】设每台计算器涨价为x元．根据题意可以列出相应的方程，从而可以得到当计算器定价为多少元时，商场每周的利润恰好为1680元，注意厂家规定最高每台售价不能超过33元．【解答】解：设每台计算器涨价为x元．根据题意得：（30+x-20）（160-×20）=1680解得，x1=2，x2=4．∵x≤33-30=3，∴x=2符合题意，∴此时计算器的售价为30+2=32（元）．答：当计算器定价为32元时，商场每周的利润恰好为1680元．14.【题文】苏宁电器销售某种冰箱，每台的进货价为2600元，调查发现，当销售价为3000元时，平均每天能售出8台，而当销售价每降低100元时，平均每天就能多售出8台．商场要使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价为多少元？【答案】要使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为2850元时．【分析】销售利润＝一台冰箱的利润×销售冰箱数量，一台冰箱的利润＝售价-进价，降低售价的同时，销售量就会提高，“一减一加”，根据每台的盈利×销售的件数＝5000元，即可列方程求解．【解答】解：设每台冰箱价格降低100x元，销售量为8＋8x，（3000−100x−2600）（8＋8x）＝5000，解得x＝1.5，冰箱定价＝3000−100x＝3000−100×1.5＝2850（元），答：要使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为2850元．15.【题文】文具店以16元/支的价格购进一批钢笔，根据市场调查，如果以20元/支的价格销售，每月可以售出200支；而这种钢笔的售价每上涨1元就少卖10支．现在商店店主希望销售该种钢笔月利润为1350元，则该种钢笔该如何涨价？此时店主该进货多少？【答案】当店主对该种钢笔上涨5元时，每月进货量为150支；当店主对该种钢笔上涨11元时，每月进货量为90支．【分析】设上涨x元，根据利润=销售量×（定价-进价），列出方程，求解即可．【解答】解：设每支钢笔应该上涨x元钱，根据题意得：（20+x-16）（200-10x）=1350解得：x1=5，x2=11∴每支钢笔应该上涨5元或11元钱，月销售利润为1350元；∴当店主对该种钢笔上涨5元时，每月进货量为200-10×5=150支．当店主对该种钢笔上涨11元时，每月进货量为200-10×11=90支．16.【题文】今年深圳“读书月”期间，某书店将每本成本为30元的一批图书，以40元的单价出售时，每天的销售量是300本．已知在每本涨价幅度不超过10元的情况下，若每本涨价1元，则每天就会少售出10本，设每本书上涨了x元．请解答以下问题：（1）填空：每天可售出书______本（用含x的代数式表示）；（2）若书店想通过售出这批图书每天获得3750元的利润，应涨价多少元？【答案】（1）（300-10x）；（2）每本书应涨价5元．【分析】（1）每本涨价1元，则每天就会少售出10本，设每本书上涨了x元，则每天就会少售出10x本，∴每天可售出书（300-10x）本；（2）根据每本图书的利润×每天销售图书的数量=总利润列出方程，解方程即可求解．【解答】（1）∵每本书上涨了x元，∴每天可售出书（300-10x）本．故答案为：300-10x．（2）设每本书上涨了x元（x≤10），根据题意得：（40-30+x）（300-10x）=3750，整理，得：x2-20x+75=0，解得：x1=5，x2=15（不合题意，舍去）．答：若书店想每天获得3750元的利润，每本书应涨价5元．17.【题文】一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价为120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元，该学校最终向园林公司支付了8800元；请问学校购买了多少棵树苗？【答案】80棵．【分析】根据设该校共购买了x棵树苗，由题意得：x[120-0.5（x-60）]=8800，进而得出即可．【解答】∵60棵树苗售价为120元×60=7200元＜8800元，∴该校购买树苗超过60棵，设该校共购买了x棵树苗，由题意得：x[120-0.5（x-60）]=8800，解得：x1=220，x2=80．当x=220时，120-0.5×=40＜100，∴x=220（不合题意，舍去）；当x=80时，120-0.5×（80-60）=110＞100，∴x=80．答：该校共购买了80棵树苗．18.【题文】55．如图是一块矩形铁皮，将四个角各剪去一个边长为2米的正方形后，剩下的部分做成一个容积为90立方米的无盖长方体箱子，已知长方体箱子底面的长比宽多4米，求矩形铁皮的面积．【答案】矩形铁皮的面积是117平方米．【分析】设矩形铁皮的长为x米，则宽为（x-4）米，无盖长方体箱子的底面长为（x-4）米，底面宽为（x-4-4）米，根据运输箱的容积为90立方米建立方程求出其解即可．【解答】设矩形铁皮的长为x米，则宽为（x-4）米，由题意，得（x-4）（x-8）×2=90，解得：x1=13，x2=-12（舍去），∴矩形铁皮的宽为：13-4=9米，矩形铁皮的面积是：13×9=117（平方米）．答：矩形铁皮的面积是117平方米．19.【题文】如图，为了给小区居民增加锻炼场所，物业拟在一宽为40米、长为60米的矩形区域内的四周修建宽度相同的鹅卵石小路，阴影部分用作绿化当阴影部分面积为800平方米时，小路宽x为多少米．【答案】小路的宽为10米．【分析】分别表示出阴影部分的矩形的长和宽，然后利用矩形的面积公式列出方程求解．【解答】解：设小路的宽为x米，根据题意得：，解得：或舍去答：小路的宽为10米．20.【题文】一辆汽车，新车购买价20万元，第一年使用后折旧，以后该车的年折旧率有所变化，但它在第二、三年的年折旧率相同已知在第三年年末，这辆车折旧后价值万元，求这辆车第二、三年的年折旧率．【答案】这辆车第二、三年的年折旧率为【分析】设这辆车第二、三年的年折旧率为x，则第二年这就后的价格为20（1-20%）（1-x）元，第三年折旧后的而价格为20（1-20%）（1-x）2元，与第三年折旧后的价格为11.56万元建立方程求出其解即可．【解答】设这辆车第二、三年的年折旧率为x，有题意，得．整理得：．．．解得：不合题意，舍去．，即．答：这辆车第二、三年的年折旧率为．。
绥化市实验中学九年级数学上册 第2章 一元二次方程2.5 一元二次方程的应用第2课时 用一元二次方程
解：(1)设 x 秒后，△PBQ 的面积等于 6 cm2，依题意，得12 (5－x)·2x＝6， 解得 x1＝2，x2＝3.故 2 秒或 3 秒后，△PBQ 的面积等于 6 cm2； (2)设 x 秒后，PQ 的长度等于 5 cm，依题意，得(5－x)2＋(2x)2＝52， 解得 x1＝0(舍，)x2＝2.故 2 秒后，PQ 的长度等于 5 cm；
7 那么此直角三角形的面积是4____．
5．(4分)如下图 , 邻边不等的矩形花圃ABCD , 它的一边AD利用已有的 围墙 , 另外三边所围的栅栏的总长度是6 m．假设矩形的面积为4 m2 , 那么AB的长度是1 ____m.(可利用的围墙长度超过6 m)
6．(4分)一块四周镶有宽度相等的花边的地毯 , 如下图 , 它的长为8 m , 宽为5 m , 如果地毯中央长方形图案的面积为18 m2 , 那么花边的宽是1m____．
一平面内 , 从标杆DC退后123步的G处 , 可看到山峰
A和标杆顶端C在一直线上 , 从标杆FE退后127步的
H处 , 可看到山峰A和标杆顶端E在一直线上．求山
峰的高度AB及它和标杆CD的水平距离BD30750步，
（注意：KCDGAK,KEFH AK．）
CD
FE
7．(8分)如下图 , 有一长方形的地 , 该地块长为x米 , 宽为120米 , 建筑商将 它分成三部分 : 甲、乙、丙 , 甲和乙为正方形 , 现计划甲建设住宅区 , 乙建设 商场 , 丙开辟成公司．假设已知丙地的面积为3 200平方米 ,
你能算出x的值吗 ？
解 : 根据题意 , 得(x－120)【120－(x－120)]＝3 200 , 即x2－360x＋32 000＝0 , 解得x1＝200 , x2＝160.故x的值为200或160.
秋九年级数学上册 2.5 一元二次方程的应用 第3课时 面积问题测试题 (新版)湘教版-(新版)湘教
第3课时 面积问题01 基础题 知识点1 面积问题1．(某某中考)公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图)，原空地一边减少了1 m ，另一边减少了2 m ，剩余空地的面积为18 m 2，求原正方形的边长．设原正方形的空地的边长为x m ，则可列方程为(C) A ．(x ＋1)(x ＋2)＝18 B ．x 2－3x ＋16＝0 C ．(x －1)(x －2)＝18 D ．x 2＋3x ＋16＝02．如图，在宽为20米，长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551米2，则修建的路宽应为(A) A ．1米 B ． C ．2米D ．3．如图，在长70 m ，宽40 m 的长方形花园中，欲修宽度相等的观赏路(如阴影部分所示)，要使观赏路面积占总面积的18，则路宽x 应满足的方程是(B)A ．(40－x)(70－x)＝350B ．(40－2x)(70－3x)＝2 450C ．(40－2x)(70－3x)＝350D ．(40－x)(70－x)＝2 4504．如图是一无盖长方体铁盒的平面展开图，若铁盒的容积为3 m3，则根据图中的条件，可列出方程：x(x＋1)＝3．5．为了绿化校园，需移植草皮到操场，若矩形操场的长比宽多4米，面积是320平方米，则操场的长为20米，宽为16米．6．(某某中考)如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？解：设AB的长度为x米，则BC的长度为(100－4x)米．根据题意，得(100－4x)x＝400，解得x1＝20，x2＝5.则100－4x＝20或100－4x＝80.∵80＞25，∴x2＝5舍去，∴AB＝20，BC＝20.答：羊圈的边长AB，BC分别是20米，20米．知识点2 动点问题7．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8 cm，BC＝6 cm.动点P，Q分别从点A，B开始同时移动，点P的速度为1 cm/s，点Q的速度为2 cm/s，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．若点Q运动t s时，△PBQ的面积为15 cm2，则t的值为(B)A ．2B ．3C ．4D ．58．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6 cm ，BC ＝12 cm ，点P 从点A 出发沿AB 以1 cm/s 的速度向点B 移动；同时，点Q 从点B 出发沿BC 以2 cm/s 的速度向点C 移动，几秒钟后△DPQ 的面积等于28 cm 2?解：设x s 后△DPQ 的面积等于28 cm 2，根据题意，得 6×12－12×12x－12×2x(6－x)－12×6×(12－2x)＝28，即x 2－6x ＋8＝0，解得x 1＝2，x 2＝4. 答：2 s 或4 s 后△DPQ 的面积等于28 cm 2.02中档题9．如图，某小区有一块长为30 m ，宽为24 m 的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为480 m 2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为2米．10．为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为80 m 的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC 的长度为x m ，矩形区域ABCD 的面积为y m 2.(1)求AE 的长(用x 的代数式表示)； (2)当y ＝108时，求x 的值． 解：(1)∵三块矩形区域的面积相等， ∴矩形AEFD 面积是矩形BCFE 面积的2倍． ∴AE＝2BE.设BE ＝a ，则AE ＝2a ，AB ＝3a ， ∴8a＋2x ＝80. ∴a＝－14x ＋10.∴AE＝2a ＝－12x ＋20.(2)∵S 矩形ABCD ＝AB·BC， ∴3(－14x ＋10)·x＝108.整理，得x 2－40x ＋144＝0. 解得x ＝36或4.故当y ＝108时，x 的值为36或4.11．如图，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a 米．(1)当通道宽a 为10米时，花圃的面积为800平方米；(2)通道的面积与花圃的面积之比能否恰好等于3∶5？如果可以，试求出此时通道的宽． 解：根据题意，得(40－2a)(60－2a)＝58×60×40，解得a 1＝5，a 2＝45(舍去)．答：通道的面积与花圃的面积之比能等于3∶5，此时通道的宽为5米．12．如图，在△ABC 中，AB ＝6 cm ，BC ＝7 cm ，∠ABC＝30°，点P 从A 点出发，以1 cm/s 的速度向B 点移动，点Q 从B 点出发，以2 cm/s 的速度向C 点移动．如果P 、Q 两点同时出发，经过几秒后△PBQ 的面积等于4 cm 2?解：设经过t 秒后△PBQ 的面积等于4 cm 2， 则PB ＝6－t ，QB ＝2t ，过点Q 作QE⊥PB 于E ，则∠QEB＝90°. ∵∠ABC＝30°， ∴QE＝12QB ＝t.根据题意，得12·(6－t)·t＝4.即t 2－6t ＋8＝0. 解得t 1＝2，t 2＝4.当t ＝4时，2t ＝8，8＞7，不合题意，舍去，∴t＝2. 答：经过2 s 后△PBQ 的面积等于4 cm 2. 03 综合题13．某小区有一长100 m ，宽80 m 的空地，现将其建成花园广场，设计图案如图，阴影区域为绿化区(四块绿化区是全等的矩形，设矩形的长边长为x m ，短边比长边少10 m)，空白区域为活动区，且四周出口一样宽，宽度不小于50 m ，不大于60 m ，预计活动区每平方米造价60元，绿化区每平方米造价50元．如果小区投资46.9万元，问能否完成工程任务，若能，请写出x 为整数的所有工程方案；若不能，请说明理由．(参考值：3≈1.732)解：由题意可得4x(x－10)×50＋[80×100－4x(x－10)]×60＝469 000，整理，得x2－10x－275＝0.∴x＝5±103(负值舍去)．∴x＝5＋103≈22.32.∵50≤100－2x≤60，∴20≤x≤25.∴投资46.9万元能完成工程任务．又∵小区投资46.9万元，x取整数，∴x≥23且x为整数．∴方案一：一块矩形绿地的长为23 m，宽为13 m；方案二：一块矩形绿地的长为24 m，宽为14 m；方案三：一块矩形绿地的长为25 m，宽为15 m.。
九年级上第04讲 一元二次方程的应用 讲义+练习
类型三利润问题
某批发商以每件50元的价格购进800件T恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元，设第二个月单价降低x元．
当3＜x≤4时，S= ×2×（12－3x）=12－3x= ，∴x= （舍去），∴此时不存在．
综上所述，x= 或2＋ 时，S= ．
（3）当△AQP为锐角三角形时，2＜x＜6－2 ．
1.受“减少税收，适当补贴”政策的影响，某市居民购房热情大幅提高．据调查，2017年1月该市宏鑫房地产公司的住房销售量为100套，3月份的住房销售量为169套．假设该公司这两个月住房销售量的增长率为x，根据题意所列方程为_____．
(1)若苗圃园的面积为72平方米，求x；
(2)若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由；
(3)当这个苗圃园的面积不小于100平方米时，直接写出x的取值范围．
【答案】(1)苗圃园与墙平行的一边长为(30－2x)米．依题意可列方程
（1）填表：（不需化简）
时间
第一个月
第二个月
清仓时
单价（元）
80
40
销售量（件）
200
（2）如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？
【答案】
（1）80－x，200＋10x，800－200－（200＋10x）；
（2）根据题意，得80×200＋（80－x）（200＋10x）＋40[800－200－（200＋10x）]－50×800=9000，
湘教版九年级PPT课件：2.5 一元二次方程的应用
解：(1)设 x 秒后，△PBQ 的面积等于 6 cm2， 依题意得：12(5－x)·2x＝6，解得：x1＝2，x2＝3. 故 2 秒或 3 秒后，△PBQ 的面积等于 6 cm2；
(2)设 x 秒后，PQ 的长度等于 5 cm， 依题意，得：(5－x)2＋(2x)2＝52， 解得：x1＝0(舍去)，x2＝2. 故 2 秒后，PQ 的长度等于 5 cm；
由于今年到后年间隔两年，所以问题中涉及的等量
关系是：
今年的使用率×(1+年平均增长率)2=后年的使用率
设这两年秸秆的使用率的年平均增长率为x，则根据
等量关系，可列出方程：
40%(1+x)2=90%
整理，得 (1+x)2=2.25
解得
x1=0.5=50%，x2= -2.5（不合题意，舍去）
因此，这两年秸秆使用率的年平均增长率为50%。
课后练习
1．随着市民环保意识的增强，烟花爆竹销售量逐年下 降．某市2013年销售烟花爆竹20万箱，到2015年烟花爆 竹销售量为9.8万箱．求该市2013年到2015年烟花爆竹年 销售量的平均下降率．
解：设咸宁市2013年到2015年烟花爆竹年销售量的平均下 降率是x，依题意得：20(1－x)2＝9.8，解这个方程，得x1＝ 0.3，x2＝1.7，由于x2＝1.7不符合题意，故x＝0.3＝30%. 答：咸宁市2013年到2015年烟花爆竹年销售量的平均下降 率为30%.
根据题意得AP= xcm,PC=(6-x)cm,CQ=2xcm
整理，得
解得
x1= x2=3
答：点P，Q出发3s后可使△PCQ的面积为9cm².
课堂练习
3. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm， BC=6cm.点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AC， BC向终点C移动，它们的速度都是1cm/s，且当其中一 点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q出 发几秒后可使△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半？
湘教版数学九年级上册2.5《一元二次方程的应用》教学设计4
湘教版数学九年级上册2.5《一元二次方程的应用》教学设计4一. 教材分析《一元二次方程的应用》是湘教版数学九年级上册2.5节的内容。
这部分内容是在学生已经掌握了方程的解法、根的判别式等知识的基础上进行学习的。
本节课主要让学生学会运用一元二次方程解决实际问题，培养学生的数学应用能力。
教材通过例题和练习题的形式，引导学生掌握一元二次方程的应用，并能够将其运用到实际问题中。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对一元二次方程的解法和根的判别式有一定的了解。
但是，学生在解决实际问题时，往往会将数学知识与实际问题脱节，无法正确列出方程。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生将数学知识与实际问题相结合，提高学生的数学应用能力。
三. 教学目标1.让学生掌握一元二次方程的应用，能够正确列出实际问题中的一元二次方程。
2.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3.提高学生对数学的兴趣，培养学生的数学思维。
四. 教学重难点1.教学重点：引导学生掌握一元二次方程的应用，能够将其运用到实际问题中。
2.教学难点：如何引导学生将实际问题转化为数学方程，并正确求解。
五. 教学方法1.讲授法：教师通过讲解例题和练习题，引导学生掌握一元二次方程的应用。
2.案例分析法：教师通过分析实际问题，引导学生将数学知识与实际问题相结合。
3.练习法：学生通过做练习题，巩固所学知识，提高解题能力。
六. 教学准备1.教师准备PPT，内容包括例题、练习题和相关的实际问题。
2.教师准备黑板，用于板书解题过程和关键步骤。
3.学生准备笔记本，用于记录解题过程和重点知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个简单的实际问题，引导学生思考如何运用一元二次方程解决问题。
例如：一块地形为等腰三角形的农田，底边长为8米，高为6米，求这块农田的面积。
2.呈现（10分钟）教师呈现PPT，展示例题和相关的实际问题。
例题：某商品打8折后的售价为120元，求原价。
九年级上一元二次方程应用题常见类型总结
九年级上 专题复习之实际问题与一元二次方程【一、面积问题】【方法技巧】注意题目中隐含条件，用平移表示矩形的长度．【题型一 围栏靠墙】【例1】如图，要建一个矩形的鸡场ABCD ，鸡场的一边靠墙，另外三边用竹篱笆围成，墙的长度为14m ，墙的对面开一个1m 宽的门，现有竹篱笆总长31m ．(1)若要围成的鸡场面积为120m 2，求鸡场的长和宽各是多少m ？(2)当边AB 的长为______m 时，鸡场面积最大，最大面积为______ m 2【题型二 矩形中通道】 【例2】如图，要设计一副宽20cm 、长30cm的图案，其中有一横一竖的彩条，横、竖彩条的宽度之比为2：3．如果要彩条所占面积是图案面积的19％，问横、竖彩条的宽度各为多少？【题型三边框设计】【例3】如图，要设计一本书的封面，封面长27cm ，宽21cm ，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形．如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的1781，上、下边村等宽，左、右边衬等宽，则上、下边衬的宽为( )cmA ．1B ．1．5C ．2D ．2．5【针对练习1】1．要为一幅长30cm 、宽20cm 的照片配一个镜框，要求镜框的四条边宽度相等，且镜框所占面积为照片面积的1124，则镜框边的宽度为( ) A ．1cm B ．2cm C ．2cm D ．2．5cm2．如图所示，在宽为20m ，长为32m 的矩形地面上修筑相同宽度的甬道(图中阴影部分)，余下部分种上草坪，要使草坪面积为540m 2，求甬道宽．3．如图，一幅长20cm 、宽12cm 的图案，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：2．若图案中三条彩条所占面积是图案面积的25，求横、竖彩条的宽度．4．如图，利用一面墙(墙的长度为20m )，用34m 长的篱笆围成两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道1m 宽的门，设AB 的长为xm ．(1)若两个鸡场总面积为96m 2，求x ；(2)若两个鸡场总面积和为Sm 2，求S 关于x 的关系式；(3)两个鸡场面积和S 有最大值吗？若有，最大值是多少？【二、循环向题、增长率问题、传染等问题】1．n 支球队参加单循环比赛、一共赛12n (n －1)场；n 支球队参加双循环比赛，一共赛n (n －1)场； 2．基数A 经过两轮增长(下降)，平均增长(下降)率为x ，两轮后结果为A (1±x )2； 3．一人感冒，经过两轮传染，平均每人传染x 人，两轮后感冒人数为(1＋x )2【题型一 循环问题】【例1】要组织一次篮球比赛，赛制为单循环形式(毎两队之间都赛一场)，计划安排15场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？【例2】九年级某班在调研考试前，每个同学都向全班其他同学各送一张写有祝福的卡片，全班共送了1980张卡片．设全班有x 名学生，根据题意列出方程为________．【题型二增长率问题】【例3】今年我区高效课堂建设以“信息技术与课堂教学深度融合”为抓手，加强对教师队伍建设的投入，计划从今年起三年共投人3640万元，已知今年已投入1000万元，设投入经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是( )A．1000(1＋x)2＝3640 B．1000(x2＋1)＝3640C．1000＋1000x＋1000x2＝3640 D．1000(1＋x)＋1000(x＋1)2＝2640【例4】某工厂七月份出口创汇200万美元，因受国际大环境的严重影响，出口创汇出现连续下滑，至九月份时出口创汇下降到98万美元，设该厂平均每月下降的百分率是x，则所列方程_________【题型三传染问题】【例5】某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．(1)每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？(2)若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？【题型四树枝分叉问题】【例6】某种植物主干长出若干数目的支干．每个支干又长出同样数目的小分支．主干、支干、小分支的总数是73，求每个支干长出多少个小分支？【例7】有一个人收到短信后，再用手机转发短消息，每人只转发一次，经过两轮转发后共有133人收到短消息，问每轮转发中平均一个人转发给( )个人A．9 B．10 C．11 D．12【针对练习2】1．新年里，一个小组有若干人，若每人给小组的其它成员赠送一张贺卡，全组共送贺卡72张，则此小组人数为( )A．7 B．8 C．9 D．102．篮球联赛实行单循环赛制，即每两个球队之间进行一场比赛，计划一共打36场比赛．设一共有x个球队参赛，根据题意，所列方程为____________3．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支．若主干、支干和小分支的总数是57，则每个支干长出( )根小分支A．5 B．6 C．7 D．84．某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由1000元降到了810元，则平均每月降价的百分率为( )A．9．5% B．20% C．10% D．11%5．某村的人均收入前年为12000元，今年的人均收入为14520元．设这两年该村人均收入的年平均增长率为x，根据题意，所列方程为__________6．有两个人患了流感，经过两轮传染后共有242个人患了流感，每轮传染中，平均一个人传染了____人．【三、利润问题】【方法技巧】利润＝单件利润×数量．【例1】某商店从生产厂家以每件21元的价格进一批商品，该商品以25元一件的价格出售，每天可卖出100件．后调査发现：每涨价2元每天将少卖20件，每件商品加价超过进价的20％但不能超过进价的50％．商店计划每天要赚400元，需要卖出多少件商品？每件商品的售价为多少元？【例2】某公司投资新建了一商场，共有商铺30间，据预测，当每间的年租金定为10万元时，可全部租出，每间的年租金每增加5000元，少租出商铺1间，该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元，未租出的商铺每间每年交各种费用5000元.（1）当每间商铺的年租金定为13万元时，能租出多少间？（2）当每间商铺的年租金定为多少万元时，该公司的年收益（收益＝租金—各种费用）为275万元？【针对练习3】1.某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克.经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克.现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元？2.某宾馆有30个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为100元时，房间恰好全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时,就会有一个房间空闲.如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用，设每间房间定价x元（x≥100).（1）每天有游客居住的房间数为（用x表示结果化简）（2）当毎间房价定为多少元，宾馆的利润w(元)最大?（3）宾馆某天统计结果显示，该天利润为1870元，请求出这天每间房的定价x（元）的值。
湘教版数学九年级上册《2.5一元二次方程的应用(1)》说课稿
湘教版数学九年级上册《2.5一元二次方程的应用（1）》说课稿一. 教材分析湘教版数学九年级上册《2.5一元二次方程的应用（1）》这一节，是在学生已经掌握了方程的解法的基础上进行教学的。
本节课的主要内容是一元二次方程的应用，其中包括了一元二次方程在实际生活中的应用，以及一元二次方程在几何图形中的应用。
这一节课的内容既是对学生已经学过的知识的一个巩固，同时也是对学生所学知识的拓展和延伸。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对方程的概念和解法已经有了一定的了解。
但是，对于一元二次方程在实际生活中的应用，以及一元二次方程在几何图形中的应用，可能还比较陌生。
因此，在教学的过程中，需要引导学生将所学的理论知识与实际应用结合起来，提高学生的数学应用能力。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握一元二次方程在实际生活中的应用，以及一元二次方程在几何图形中的应用。
2.过程与方法目标：通过实例的分析，培养学生解决实际问题的能力，提高学生的数学应用能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生积极思考、勇于探索的精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：一元二次方程在实际生活中的应用，以及一元二次方程在几何图形中的应用。
2.教学难点：如何将实际问题转化为方程问题，如何运用一元二次方程解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法，引导学生通过自主学习、合作交流的方式，探索一元二次方程的应用。
2.教学手段：利用多媒体课件，为学生提供丰富的学习资源，帮助学生更好地理解和掌握一元二次方程的应用。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引入一元二次方程的应用。
2.讲解：讲解一元二次方程在实际生活中的应用，以及一元二次方程在几何图形中的应用。
3.实例分析：分析几个实例，让学生了解如何将实际问题转化为方程问题，如何运用一元二次方程解决实际问题。
4.练习：让学生独立完成几个练习题，巩固所学知识。
秋九年级数学上册 第2章 一元二次方程 2.5 一元二次方程的应用 第2课时 图形面积和动点几何问题
第2课时 图形面积和动点几何问题知|识|目|标1．通过讨论、探究，会用一元二次方程解决图形面积问题．2．在理解直角三角形面积计算的基础上，能够建立一元二次方程解决与动点有关的几何问题．目标一 能利用一元二次方程解决图形面积问题例1 教材例3针对训练如图2－5－2，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一块长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a 米．(1)用含a 的式子表示花圃的面积；(2)如果通道所占面积是整个长方形空地面积的38，求出此时通道的宽． 图2－5－2【归纳总结】利用图形的面积建立一元二次方程模型的步骤(1)设元；(2)用未知数表示各边的长度；(3)利用面积公式列一元二次方程；(4)解一元二次方程；(5)针对实际情况舍去负根和超X围的根，从而得出结果．目标二利用一元二次方程解决动点几何问题例2 教材补充例题在矩形ABCD中，AB＝5 cm，BC＝6 cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1 cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2 cm/s的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t s(t>0)．(1)填空：BQ＝________ cm，PB＝________ cm(用含t的代数式表示)．(2)当t为何值时，PQ的长度等于5 cm?(3)是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于26 cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．【归纳总结】利用一元二次方程解决动点问题的方法(1)构造直角三角形法，利用勾股定理建立一元二次方程．(2)等线段法，利用三角形全等构造两线段相等，建立一元二次方程；(3)等面积法，利用三角形面积(或三角形高)的变化建立面积等式．实现将几何问题转化为代数问题，从而加以解决．知识点利用一元二次方程解几何图形问题常用的等量关系有：(1)勾股定理；(2)面积的等量关系．[点拨] 在建立一元二次方程模型解几何图形实际问题的过程中，必须检验方程的根的实际意义，所求得的根应该保证几何图形的存在．如图2－5－3，某农场有一块长40 m ，宽32 m 的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路，要使种植面积为1140 m 2，求小路的宽．图2－5－3解：解法1：设小路的宽为x m ，则东西方向小路的面积为40x m 2，南北方向小路的面积为32x m 2. 则40×32－40x －32x ＝1140，解得x ＝3518. 所以小路的宽为3518m. 解法2：设小路的宽为x m ，将4块种植地平移为一个矩形，其长为(40－x )m ，宽为(32－x )m.根据矩形面积公式，得(40－x )(32－x )＝1140，整理得x 2－72x ＋140＝0.解得x 1＝2，x 2＝70.答：小路的宽应是2 m 或70 m.以上两种解法正确吗？若不正确，出现错误的原因是什么？请给出正确的答案．详解详析【目标突破】例1 解：(1)由图可知，花圃的面积为(40－2a)(60－2a)平方米．(2)由已知可列方程：60×40－(40－2a)(60－2a)＝38×60×40，解得a 1＝5，a 2＝45(舍去)．答：此时通道的宽为5米．例2 解：(1)2t (5－t)(2)由题意得(5－t)2＋(2t)2＝52，解得t 1＝0(不合题意，舍去)，t 2＝2.∴当t ＝2时，PQ 的长度等于5 cm .(3)存在．∵矩形ABCD 的面积是5×6＝30(cm 2)，五边形APQCD 的面积等于26 cm 2，∴△PBQ 的面积为30－26＝4(cm 2)，∴(5－t)×2t×12＝4， 解得t 1＝4(不合题意，舍去)，t 2＝1.即当t ＝1时，五边形APQCD 的面积等于26 cm 2.备选题型 用一元二次方程解决存在性问题例 用一根长22 cm 的铁丝，能不能恰好折成一个面积为32 cm 2的矩形？试分析你的结论．解：设折成的矩形的长为x cm ，则宽为(11－x)cm ，矩形的面积为x(11－x)cm 2，依题意，得x(11－x)＝32，化简为x 2－11x ＋32＝0， Δ＝b 2－4ac ＝(－11)2－4×1×32＝121－128＝－7＜0，因此方程无实数根，则用长为22 cm 的铁丝不能折成一个面积为32 cm 2的矩形．【总结反思】[反思] 解：两种解法都不正确，解法1多减去了两条小路交叉重叠的小正方形的面积，因此正确的方程是40×32－40x －32x ＋x 2＝1140；解法2没有考虑方程的根是否符合实际意义，因为x＜32，显然x＝70不符合题意．正确的答案为x＝2，即小路的宽为2 m.。
2.5一元二次方程的根与系数的关系-九年级上册初三数学(北师大版)
5.课堂氛围较为活跃，学生提问积极性较高，这说明他们在课堂上愿意思考、探究。作为老师，我要继续保持这种良好的课堂氛围，鼓励学生提问，培养他们的质疑精神。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解一元二次方程的根与系数关系的基本概念。一元二次方程的根与系数关系是指方程的三个系数a、b、c与其根x1、x2之间的数学关系。这个关系在解决实际问题中起着关键作用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例将展示如何通过已知的根来求解方程的系数，以及如何利用系数关系来解决实际问题。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了一元二次方程的根与系数关系的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这个知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在今天的教学中，我重点关注了一元二次方程的根与系数关系这一章节。通过引入日常生活中的问题，我希望能够激发学生的兴趣，帮助他们理解数学与实际的联系。在授课过程中，我发现以下几点值得反思：
1.学生对于根的判别式Δ的理解存在困难。在讲解这一部分时，我应该更加形象地使用抛物线图像来帮助学生理解Δ值与方程根的关系。今后，我可以在课堂上增加更多直观的示例，以加深学生的理解。
2.教学难点
-理解根的判别式Δ的含义及其与方程根的关系。
初中数学湘教版九年级上册第2章 一元二次方程2.5 一元二次方程的应用-章节测试习题(18)
章节测试题1.【题文】某市一企业2008年总产值为2500万元，总支出为2000万元．经市场调查发现，受金融危机影响，该厂2009年得总产值比2008年降低20%，预计2010年得总产值将比2009年提高6%，为了使2010年得销售利润与2008年持平，该厂的总支出平均每年应降低百分之几？（销售利润=总产值-总支出）【答案】见解答．【分析】设该厂的总支出平均每年应降低的百分率是x，根据销售利润=总产值-总支出，且使2010年得销售利润与2008年持平，可列出方程求解．【解答】解：设该厂的总支出平均每年应降低的百分率是x，2500-2000=2500（1-20%）（1+6%）-2000（1-x）2解得x=0.1=10%或x=1.9（舍去）．该厂的总支出平均每年应降低10%．2.【题文】我市某经济开发区去年总产值100亿元，计划两年后总产值达到121亿元，求平均年增长率．【答案】见解答．【分析】根据增长后的产值=增长前的产值（1+增长率），先将所求问题设为x，则两年后的产值是100（1+x）2，即可列方程求解．【解答】解：设平均年增长率为x依题意得：100（1+x）2=121（1+x）2=1.21，1+x=±1.1，解得：x1=0.1，x2=-2.1（舍去）．答：平均每年增长的百分率为10%．3.【题文】随着人们节能意识的增强，节能产品的销售量逐年增加．某商场高效节能灯的年销售量2008年为5万只，预计2010年将达到7.2万只．求该商场2008年到2010年高效节能灯年销售量的平均增长率．【答案】见解答．【分析】根据题意可得等量关系：2008年销售量×（1+平均增长率）2=2010年销售量．【解答】解：设年销售量的平均增长率为x，依题意得：5（1+x）2=7.2．（4分）解这个方程，得x1=0.2，x2=-2.2．∵x为正数，∴x=0.2=20%．故该商场2008年到2010年高效节能灯年销售量的平均增长率为20%．4.【题文】2010年5月中央召开了新疆工作座谈会，为实现新疆跨越发展和长治久安，作出了重要战略决策部署，为此我市抓住机遇，加快发展，决定今年投入5亿元用于城市基础设施维护和建设，以后逐年增加，计划到2012年当年用于城市基础设施维护与建设的资金达到8.45亿元．（1）求从2010年至2012年我市每年投入城市基础设施维护与建设资金的年平均增长率；（2）若2010年至2012年我市每年投入城市基础设施维护和建设的年平均增长率相同，预计我市这三年用于城市基础设施维护和建设的资金共多少亿元？【答案】见解答．【分析】（1）设从2010至2012年我市每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率为x，根据2年增长率的一般计算公式a（1+x）2，列方程5（1+x）2=8.45求解即可，注意值的取舍问题；（2）分别表示出2010年到2012年这三年每年的投入资金，相加即可求解．【解答】解：（1）设从2010至2012年我市每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率为x，由题意，得：5（1+x）2=8.45，解得x1=30%，x2=-2.3（不合题意舍去）．答：从2010年至2012年我市每年投入城市基础设施维护与建设资金的年平均增长率为30%．（2）这三年共投资5+5（1+x）+8.45=5+5（1+0.3）+8.45=19.95（亿元）．答：预计我市这三年用于城市基础设施维护和建设的资金共19.95亿元．5.【题文】“百年大计，教育为本”．某地区近几年教育投入逐年提高，2007年教育投入为1600万元，2009年政府预算教育投入为2500万元，若每年教育投入比上一年增长的百分率相同，求这个百分率？【答案】见解答．【分析】设这个百分率为x，根据2007年教育投入为1600万元，2009年政府预算教育投入为2500万元，若每年教育投入比上一年增长的百分率相同，可列方程求解．【解答】解：设这个百分率为x，1600（1+x）2=2500x=25%或x=-225%（舍去）这个百分率为25%6.【题文】某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？【答案】见解答．【分析】本题可设每轮感染中平均一台会感染x台电脑，则第一轮后共有（1+x）台被感染，第二轮后共有（1+x）+x（1+x）即（1+x）2台被感染，利用方程即可求出x的值，并且3轮后共有（1+x）3台被感染，比较该数同700的大小，即可作出判断．【解答】解：设每轮感染中平均每一台电脑会感染x台电脑，依题意得：1+x+（1+x）x=81，整理得（1+x）2=81，则x+1=9或x+1=-9，解得x1=8，x2=-10（舍去），∴（1+x）2+x（1+x）2=（1+x）3=（1+8）3=729＞700．答：每轮感染中平均每一台电脑会感染8台电脑，3轮感染后，被感染的电脑会超过700台．7.【题文】某企业2006年盈利1500万元，2008年克服全球金融危机的不利影响，仍实现盈利2160万元．从2006年到2008年，如果该企业每年盈利的年增长率相同，求：（1）该企业2007年盈利多少万元？（2）若该企业盈利的年增长率继续保持不变，预计2009年盈利多少万元？【答案】见解答．【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）．（1）可先求出增长率，然后再求2007年的盈利情况．（2）有了2008年的盈利和增长率，求出2009年的就容易了．【解答】解：（1）设每年盈利的年增长率为x，根据题意，得1500（1+x）2=2160．解得x1=0.2，x2=-2.2（不合题意，舍去）．∴1500（1+x）=1500（1+0.2）=1800．答：2007年该企业盈利1800万元．（2）2160（1+0.2）=2592．答：预计2009年该企业盈利2592万元．8.【题文】常德市工业走廊南起汉寿县太子庙镇，北至桃源县盘塘镇创元工业园．在这一走廊内的工业企业2008年完成工业总产值440亿元，如果要在2010年达到743.6亿元，那么2008年到2010年的工业总产值年平均增长率是多少？《常德工业走廊建设发展规划纲要（草案）》确定2012年走廊内工业总产值要达到1200亿元，若继续保持上面的增长率，该目标是否可以完成？【答案】见解答．【分析】本题可设2008年到2010年的年平均增长率为x，∵这一走廊内的工业企业2008年完成工业总产值440亿元，在2010年达到743.6亿元，∴可列方程440（1+x）2=743.6，解之即可求出答案．依此增长率，到2010年总产值可达到743.6（1+x）2亿元，把该数与1200作比较，即可作出判断．【解答】解：设2008年到2010年的年平均增长率为x，则440（1+x）2=743.6，化简得：（1+x）2=1.69，开平方得1+x=±1.3，∴x1=0.3=30%，x2=-2.3（舍去），743.6×（1+0.3）2=1256.684＞1200．答：2008年到2010年的工业总产值平均增长率为30%，若继续保持上面的增长率，在2012年该目标可以完成．9.【题文】某电厂规定：该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过A千瓦时，•那么这户居民这个月只交10元电费，如果超过A千瓦时，那么这个月除了交10•元用电费外超过部分还要按每千瓦时元收费．（1）若某户2月份用电90千瓦时，超过规定A千瓦时，则超过部分电费为多少元？（•用A表示）（2）下表是这户居民3月、4月的用电情况和交费情况月份用电量（千瓦时）交电费总金额（元）3 80 254 45 10根据上表数据，求电厂规定的A值为多少？【答案】（1）-A2+A（2）50【分析】（1）由于超过部分要按每千瓦时元收费，∴超过部分电费（90-A）•元，化简即可；（2）依题意，得：（80-A）•=15，解方程即可．此外从表格中知道没有超过45时，电费还是10元，由此可以舍去不符合题意的结果．【解答】解：（1）超过部分电费=（90-A）·=-A2+A（2）依题意，得：（80-A）·=15，A1=30（舍去），A2=5010.【题文】上海甲商场七月份利润为100万元，九月份的利润为121万元，乙商场七月份利润为200万元，九月份的利润为288万元，那么哪个商场利润的年平均上升率较大?【答案】乙商场年均利润的上升率大．【分析】分别列一元二次方程计算甲，乙的上升率，比较大小．【解答】甲：设上升率为x，则100（1+x）2=121，x1=10%，x2=-2.1（舍）．乙：设上升率为y，则200（1+y）2=288，y1=20%，y2=-2.2（舍）那么乙商场年均利润的上升率大．11.【题文】一个两位数的十位数字比个位数字大2，把这个两位数的个位数字与十位数字互换后平方，所得的数值比原来的两位数大138，求原来的两位数．【答案】31．【分析】设原来两位数的个位数字为x，则十位数为x+2，根据题意由等量关系列出一元二次方程，解之即可．【解答】设原来的两位数的个位数字为x，则十位数字为（x+2），根据题意，得（10x+x+2）2=10（x+2）+x+138．解得x1=-（舍去），x2=1．答：原来的两位数为31．12.【题文】一个两位数，个位数字比十位数字大3，且个位数字的平方刚好等于这个两位数，求这个两位数是多少？【答案】这个两位数是36或25．【分析】设个位数字为x，那么十位数字是（x-3），这个两位数是[10（x-3）+x]，然后根据个位数字的平方刚好等于这个两位数即可列出方程求解．【解答】设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为（x-3），由题意，得x2=10（x-3）+x．解得x1=6，x2=5．当x=6时，x-3=3；当x=5时，x-3=2．答：这个两位数是36或25．13.【题文】某生物实验室需培育一群有益菌．现有60个活体样本，经过两轮培植后，总和达24000个，其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌．（1）每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌?（2）按照这样的分裂速度，经过三轮培植后有多少个有益菌？【答案】（1）每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出19个有益菌．（2）经过三轮培植后共有480000个有益菌．【分析】（1）设每轮分裂中，平均每个有益菌可分裂出x个有益菌，则根据题意可得60（1+x）2=24000，求解即可解答（1）；（2）根据（1）可得经过三轮培植后有60×（1+x）3个有益菌，结合x的值即可解答．【解答】（1）设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出x个有益菌，根据题意，得60（1+x）2=24000．解得x1=19，x2=-21（不合题意，舍去）．答：每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出19个有益菌．（2）经过三轮培植后，得60（1+19）3=60×203=480000（个）．答：经过三轮培植后共有480000个有益菌．14.【题文】在“文化宜昌·全民阅读”活动中，某中学社团“精一读书社”对全校学生的人数及纸质图书阅读质量（单位：本）进行了调查．2012年全校有1000名学生，2013年全校学生人数比2012年增加10%，2014年全校学生人数比2013年增加100人．（1）求2014年全校学生人数；（2）2013年全校学生人均阅读量比2012年多1本，阅读总量比2012年增加1700本．（阅读总量=人均阅读量×人数）①求2012年全校学生人均阅读量；②2012年读书社人均阅读量是全校学生人均阅读量的2.5倍．如果2013年、2014年这两年读书社人均阅读量都比前一年增加一个相同的百分数a，2014年全校学生人均阅读量比2012年增加的百分数也是a，那么2014年读书社全部80名成员的阅读总量将达到全校学生阅读总量的25%.求a的值．【答案】（1）1200人．（2）①2012年全校学生人均阅读量为6本．②50%．【分析】（1）根据题意，先求出2013年全校的学生人数就可以求出2014年的学生人数；（2）①设2012人均阅读量为x本，则2013年的人均阅读量为（x+1）本，根据阅读总量之间的数量关系建立方程就可以得出结论；②由①的结论就可以求出2012年读书社的人均读书量，2014年读书社的人均读书量，全校的人均读书量，由2014年读书社的读书量与全校读书量之间的关系建立方程求出其解即可．【解答】解：（1）2013年学生人数为1000×（1+10%）=1100（人），∴1100+100=1200，即2014年全校学生人数为1200人；（2）①设2012年全校学生人均阅读量为x本，则2013年全校学生人均阅读量为（x+1）本，依题意，得1100（x+1）=1000x+1700，解得x=6，即2012年全校学生人均阅读量为6本；②2012年读书社人均阅读量为2.5×6=15（本），2014年读书社人均阅读量为15（1+a）2本，2014年全校学生人均阅读量为6（1+a）本．由题意得：80×15（1+a）2=1200×6（1+a）×25%，即2（1+a）2=3（1+a），解得a1=-1，a2=0.5（a1=-1不合题意，舍去），∴a=50%．15.【题文】要建一个面积为150m2的长方形养鸡场，为了节约材料，•鸡场的一边靠着原有的一堵墙，墙长为am，另三边用竹篱笆围成，如果篱笆的长为35m．（1）求鸡场的长与宽各是多少？（2）题中墙的长度a对解题有什么作用．【答案】（1）当x=10时，鸡场宽为10m长为15m（2）当15≤a＜20时，只能为10，即鸡场的长可以为15m，也可以为20m【分析】（1）设鸡场垂直于墙的宽度为x，则x（35-2x）=150，解方程可求得长和宽；（2）墙可以作为养鸡场的一边，因而墙长应不小于边长．【解答】（1）设鸡场垂直于墙的宽度为x，则x（35-2x）=150，解得x=7.5，x=10，若对墙的长度a的面不作限制，则当x=7.5时，鸡场的宽为7.5m，长为20m，当x=10时，鸡场宽为10m长为15m，（2）当15≤a＜20时，只能为10，即鸡场的长可以为15m，也可以为20m．16.【题文】中华商场将进价为40元的衬衫按50元售出时，每月能卖出500件，经市场调查，这种衬衫每件涨价4元，其销售量就减少40件．如果商场计划每月赚得8000元利润，那么售价应定为多少？这时每月应进多少件衬衫？【答案】当售价定为60元时，每月应进400件衬衫；售价定为80元时，每月应进200件衬衫．【分析】利用总利润=单件利润总销售件数，列一元二次方程，一元二次方程有两个解，需要分类讨论．设涨价4x元，则销量为（500-40x），利润为（10+4x），再由每月赚8000元，可得方程，解方程即可．【解答】解：设涨价4x元，则销量为（500-40x），利润为（10+4x），由题意得，（500-40x）×（10+4x）=8000，整理得，5000+2000x-400x-160x2=8000，解得：x1=，x2=，当x1=时，则涨价10元，销量为：400件；当x2=时，则涨价30元，销量为：200件．答：当售价定为60元时，每月应进400件衬衫；售价定为80元时，每月应进200件衬衫．17.【题文】某企业2006年盈利1500万元，2008年克服全球金融危机的不利影响，仍实现盈利2160万元．从2006年到2008年，如果该企业每年盈利的年增长率相同，求：（1）该企业2007年盈利多少万元？（2）若该企业盈利的年增长率继续保持不变，预计2009年盈利多少万元？【答案】（1）2007年该企业盈利1800万元；（2）2009年该企业盈利2592万元．【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）．（1）可先求出增长率，然后再求2007年的盈利情况．（2）有了2008年的盈利和增长率，求出2009年的就容易了．【解答】解：（1）设每年盈利的年增长率为x，根据题意，得1500（1+x）2=2160．解得x1=0.2，x2=-2.2（不合题意，舍去）．∴1500（1+x）=1500（1+0.2）=1800．答：2007年该企业盈利1800万元．（2）2160（1+0.2）=2592．答：预计2009年该企业盈利2592万元．增长两次，一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．18.【题文】某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润120元．天气渐热，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价．据测算，若每箱饮料每降价1元，每天可多售出2箱．针对这种饮料的销售情况，请解答以下问题：（1）当每箱饮料降价20元时，这种饮料每天销售获利多少元？（2）在要求每箱饮料获利大于80元的情况下，要使每天销售饮料获利14400元，问每箱应降价多少元？【答案】（1）14000元；（2）30元【分析】（1）由题意可知，每箱降价20元时，每箱利润为：（120-20）元，销售量为（100+20×2）箱，两者相乘可得每天获利总额；（2）这每箱应降价元，则此时每箱获利为（120-）元，销售量为（100+）箱，由二者相乘等于总利润14400可列方程，解方程求得，再结合“每箱获利大于80元”进行检验可得结果．【解答】（1）当每箱降价20元时，由题意可得此时每天可获利润为：（120-20）×（100+2×20）=14000（元）．（2）要使每天销售饮料获利14400元，每箱应降价元，依据题意列方程得：整理得：，解得：，∵要求每箱饮料获利大于80元，∴．答：每箱应降价30元，可使每天销售饮料获利14400元．19.【题文】商场销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元；为扩大销售，增加盈利，减少库存，商场决定采取适当降价措施．在试销期间发现，当每件商品售价每降价1元时，商场平均每天可多销售2件．据此规律，若商场每天要盈利1200元，每件商品售价应降价多少元？【答案】20元【分析】若设每件商品应降价元，则降价后每件商品可盈利：元，每天销售量为：件，由题意可得方程：，解方程，并结合“为扩大销售，增加盈利，减少库存”这一要求可得答案．【解答】设每件商品降价元，由题意得：整理得：，解得：，∵要增加盈利，减少库存，∴．答：每件商品应降价20元．20.【题文】如图，一块长5米宽4米的地毯，为了美观设计了两横、两纵的配色条纹（图中阴影部分），已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的．（1）求配色条纹的宽度；（2）如果地毯配色条纹部分每平方米造价200元，其余部分每平方米造价100元，求地毯的总造价．【答案】；（2）2425元【分析】（1）设配色条纹部分的宽度为米，根据题意可列方程：，解方程并根据实际意义检验可得结果；（2）由条纹部分占总面积的、非条纹部分占总面积的，总面积为200平方米，可分别计算出条纹部分和非条纹部分的造价相加可得总造价．【解答】解：（1）设条纹的宽度为米．依题意得：解得：（不合题意，舍去），答：配色条纹的宽度为米．（2）由题意可得，条纹部分造价：×5×4×200=850（元）其余部分造价：（1-）×4×5×100=1575（元）∴总造价为：850+1575=2425（元）答：地毯的总造价是2425元．。
2019秋九年级数学上册第2章一元二次方程2.5一元二次方程的应用第1课时增长率问题与经济问题练习2
2.5 一元二次方程的应用第1课时增长率问题与经济问题一、选择题1. （四川凉山，6，4分）某品牌服装原价173元，连续两次降价后售价价为127元，下面所列方程中正确的是（）2 （贵州毕节，10，3分）广州亚运会期间，某纪念品原价188元，连续两次降价后售价为118元，下列所列方程正确的是( )3. （广西百色，11，4分）某工厂今年元月份的产量是50万元，3月份的产值达到了72万元．若求2、3月份的产值平均增长率，设这两个月的产值平均月增长率为x，依题意可列方程（）A．72（x+1）2=50B．50（x+1）2=72C．50（x﹣1）2=72D．72（x﹣1）2=50二、填空题1. （宁夏，13，3分）某商场在促销活动中，将原价36元的商品，连续两次降价m%后现价为25元．根据题意可列方程为_________.2.（山西，15，3分）“十二五”时期，山西将建成中西部旅游强省，以旅游业为龙头的服务业将成为推动山西经济发展的主要动力． 2010年全省全年旅游总收入大约1000亿元，如果到2012年全省全年旅游总收入要达到1440亿元，那么年平均增长率应为__________．3. 某小区2010年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2012年屋顶绿化面积要达到2880平方米．如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是 _______.4.（云南保山，13，3分）据调查，某市2011年的房价为4000元/m2，预计2013年将达到4840元/m2，求这两年的年平均增长率.设年平均增长率为x，根据题意，所列方程为（）A．4000(1+x)=4840 B．4000(1+x)2=4840C．4000(1-x)=4840 D．4000(1-x)2=48405.（青海）某种药品原价为100元，经过连续两次的降价后，价格变为64元，如果每次降价的百分率是一样的，那么每次降价后的百分率是______ ．6. （山东省潍坊， 16，3分）已知线段AB的长为．以AB为边在AB的下方作正方形ACDB．取AB边上一点E．以AE为边在AB的上方作正方形AKNM．过E作EF⊥CD．垂足为F点．若正方形AENM与四边形EFDB的面积相等．则AE的长为________________．7. （山西15，3分）“十二五”时期，山西将建成中西部旅游强省，以旅游业为龙头的服务业将成为推动山西经济发展的丰要动力．2010年全省全年旅游总收入大约l000亿元，如果到2012年全省每年旅游总收入要达到1440亿元，那么年平均增长率应为_____．8. （四川省宜宾）某城市居民最低生活保障在2009年是240元，经过连续两年的增加，到2011年提高到345.6元，则该城市两年最低生活保障的平均年增长率是________ .9. （江苏宿迁）如图，邻边不等的矩形花圃ABCD，它的一边AD利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6m．若矩形的面积为4m2，则AB的长度是m（可利用的围墙长度超过6m）．10. 某家用电器经过两次降价，每台零售价由350元下降到299元．若两次降价的百分率相同，设这个百分率为x，则可列出关于x的方程为 _______．考点：由实际问题抽象出一元二次方程．三、解答题1. （江苏镇江常州）某商店以6元/千克的价格购进某种干果1140千克，并对其进行筛选分成甲级干果与乙级干果后同时开始销售．这批干果销售结束后，店主从销售统计中发出：甲级干果与乙级干果在销售过程中每天都有销量，且在同一天卖完；甲级干果从开始销售至销售的第x天的总销量y1（千克）与x的关系为y1=﹣x2+40x；乙级干果从开始销售至销售的第t天的总销量y2（千克）与t的关系为y2=at2+bt，且乙级干果的前三天的销售量的情况见下表：t 1 2 3y2 21 44 69（1）求a．b的值；（2）若甲级干果与乙级干果分别以8元/千克的6元/千克的零售价出售，则卖完这批干果获得的毛利润是多少元？（3）问从第几天起乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多6千克？（说明：毛利润=销售总金额﹣进货总金额．这批干果进货至卖完的过程中的损耗忽略不计）2.（山东日照，20，8分）为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度．2010年市政府共投资2亿元人民币建设了廉租房8万平方米，预计到2012年底三年共累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．（1）求每年市政府投资的增长率；（2）若这两年内的建设成本不变，求到2012年底共建设了多少万平方米廉租房．3. （四川广安，27，9分）广安市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售．（1）求平均每次下调的百分率．（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9．8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？4.（新疆建设兵团，23，10分）某商场推销一种书包，进价为30元，在试销中发现这种书包每天的销售量P（个）与每个书包销售价x（元）满足一次函数关系式．当定价为35元时，每天销售30个；定价为37元时，每天销售26个．问：如果要保证商场每天销售这种书包获利200元，求书包的销售单价应定为多少元？5.（贵港）随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多地进入普通家庭．据某市交通部门统计，2008年底该市汽车拥有量为75万辆，而截止到2010年底，该市的汽车拥有量已达108万辆．（1）求2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率；（2）为了保护城市环境，缓解汽车拥堵状况，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2012年底全市汽车拥有量不超过125.48万辆；另据统计，从2011年初起，该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%假设每年新增汽车数量相同，请你估算出该市从2011年初起每年新增汽车数量最多不超过多少万辆．6.（西宁）国家发改委公布的《商品房销售明码标价规定》，从2011年5月1日起商品房销售实行一套一标价．商品房销售价格明码标价后，可以自行降价、打折销售，但涨价必须重新申报．某市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于新政策的出台，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售．（1）求平均每次下调的百分率；（2）某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子，开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月1.5元．请问哪种方案更优惠？7.（山东省东营市，22，10分）随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多地进入普通家庭，成为居民消费新的增长点．据某市交通部门统计，2008年底全市汽车拥有量为15万辆，而截止到2010年底，全市的汽车拥有量已达21.6万辆．（1）求2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率；（2）为保护城市环境，缓解汽车拥堵状况，从2011年初起，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2012年底全市汽车拥有量不超过23.196万辆；另据估计，该市从2011年起每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%．假定在这种情况下每年新增汽车数量相同，请你计算出该市每年新增汽车数多不能超过多少万辆．考8（四川广安，27，9分）广安市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售．（1）求平均每次下调的百分率．（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9．8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？9.（广西桂林，23，8分）某市为争创全国文明卫生城，2008年市政府对市区绿化工程投入的资金是2000万元，2010年投入的资金是2420万元，且从2008年到2010年，两年间每年投入资金的年平均增长率相同.（1）求该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率；（2）若投入资金的年平均增长率不变，那么该市在2012年需投入多少万元？10-(襄阳，22，6分)汽车产业是我市支柱产业之一，产量和效益逐年增如．据统计，2008年我市某种品牌汽车的年产量为6.4万辆，到2010年，该品牌汽车的年产量达到10万辆．若该品牌汽车年产量的年平均增长率从2008年开始五年内保持不变，则该品牌汽车2011的年产量为多少万辆？11（宜昌，22，7分）随着经济的发展，尹进所在的公司每年都在元月一次性的提高员工当年的月工资．尹进2008年的月工资为2000元，在2010年时他的月工资增加到2420元，他2011年的月工资按2008到2010年的月工资的平均增长率继续增长．（1）尹进2011年的月工资为多少？（2）尹进看了甲、乙两种工具书的单价，认为用自己2011年6月份的月工资刚好购买若干本甲种工具书和一些乙种工具书，当他拿着选定的这些工具书去付书款时，发现自己计算书款时把这两种工具书的单价弄对换了，故实际付款比2011年6月份的月工资少了242元，于是他用这242元又购买了甲、乙两种工具书各一本，并把购买的这两种工具书全部捐献给西部山区的学校．请问，尹进总共捐献了多少本工具书？12 （福建省漳州市，24,10分）2008年漳州市出口贸易总值为22.52亿美元，至2010年出口贸易总值达到50.67亿美元，反映了两年来漳州市出口贸易的高速增长．（1）求这两年漳州市出口贸易的年平均增长率；（2）按这样的速度增长，请你预测2011年漳州市的出口贸易总值．（温馨提示：2252=4×563，5067=9×563）13（巴彦淖尔，19，9分）益趣玩具店购进一种儿童玩具，计划每个售价36元，能盈利80%，在销售中出现了滞销，于是先后两次降价，售价降为25元．（1）求这种玩具的进价；（2）求平均每次降价的百分率（精确到0.1%）．。
【湘教版】九年级数学上册：2.5《一元二次方程的应用》(2)教案(含答案)
一元二次方程的应用教学目标【知识与技能】会建立一元二次方程的模型解决实际问题，并能根据具体问题的实际意义，对方程解的合理性作出解释.【过程与方法】进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题，解决问题的能力，培养学生用数学的意识.【情感态度】让学生进一步感受一元二次方程的应用价值，提高学生的数学应用意识.【教学重点】应用一元二次方程解决实际问题.【教学难点】从实际问题中建立一元二次方程的模型.教学过程一、情景导入，初步认知复习列方程解应用题的一般步骤：(1)审题：仔细阅读题目，分析题意，明确题目要求，弄清已知数、未知数以及它们之间的关系；(2)设未知数：用字母(如x)表示题中的未知数，通常是求什么量，就设这个量为x;( 3)列方程：根据题中已知量和未知量之间的关系列出方程；( 4)解方程：求出所给方程的解;( 5)检验：既要检验所求方程的解是否满足所列出的方程，又要检验它是否能使实际问题有意义;( 6)作答：根据题意，选择合理的答案.2. 说一说，矩形的面积与它的两邻边长有什么关系？【教学说明】复习相关知识，为本节课的学习作准备.二、思考探究，获取新知1. 思考：如图，在一长为40cm,宽为28cm的矩形铁皮的四角截去四个全等的小正方形后，折成一个无盖的长方体盒子，若已知长方体盒子的底面积为364平方厘米，求截去的四个小正方形的边长.(1) 弓I导学生审题，弄清已知数、未知数以及它们之间的关系；(2) 确定本题的等量关系是：盒子的底面积=盒子的底面长X盒子的底面宽;(3) 引导学生根据题意设未知数；(4) 引导学生根据等量关系列方程；(5) 引导学生求出所列方程的解；(6) 检验所求方程的解合理性；(7) 根据题意作答.【教学说明】设未知数和作答时都不要漏写单位，多项式时要加括号再写单位•2. 如图，一长为32m,宽为20m的矩形地面上修建有同样宽的道路(图中阴影部分)，余下部分进行了绿化，若已知绿化面积为540m2,求道路的宽.分析：本题考查了一元二次方程的应用，这类题目体现了数形结合的思想，如图，需利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程，求出答案.还要注意根据题意考虑根的合理性，从而确定根的取舍. 本题可设道路宽为x米，利用平移把不规则的图形变为规则图形，如此一来，所有草坪面积之和就变为了( 32-x )( 20-x )米2,进而即可列出方程，求出答案.解：设道路宽为x米(32-x ) (20-x)=540解得：x i=2, X2=50 (不合题意，舍去)答：设道路宽为2米3. 如图所示，在厶ABC 中，/ C=90° ,AC=6cm.BC=8cm,点P 沿AC 边从点A 向终点C 以1cm/s 的速度移动，同时点 Q 沿CB 边从C 向终点B 以2cm/s 的速度移动，且当其中一点达到终点 时，另一点也随之停止移动，问点 P 、Q 出发几秒后，可使△ PCQ 的面积为9cm?解：设xs 后，可使△ PCQ 的面积为9cm2.由题意得，AP=xcm PC= (6-x ) cm, CQ=2xcmi 则 1/2 • (6 — x) • 2x=9 .2整理，得 x -6x+9=0 ,解得 X 1=X 2=3.所以P 、Q 同时出发，3s 后可使△ PCQ 的面积为9cm2.【教学说明】使学生感受、明白在几何图形中利用一元二次方程解决实际问题的过程与方法.三、运用新知，深化理解准备在长 30m,宽20m 的矩形草坪上修两横两纵四条路宽为3xcm,则可列方程为.3xm 则纵路宽为2xm,我们利用“图形经过移动，它的面横四条路移动一下(目的是求出路面的宽， 至于实际施工, 2 x 的代数式表示为(30-4x)(20-6x)m ,又由题意可知余下草坪的面积为原草坪面积的四分之三，可列方程则可列方程：(30 — 4x)(20 — 6x)=3/4 X 30 X 20【答案】 (30-4x ) (20-6x)=3/4 X 30 X 20 小路，横纵路的宽度之比为 3 : 2,若使余下的草坪面积是原来草坪面积的四分之三，若横 1.如图，某中学为方便师生活动,分析：若设小路的横路宽为 积大小不会改变”的道理，把纵、 仍可按原图的位置修路)，则余下的草坪面积可用含2.在一幅长80cm,宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm,那么x满足的方程是()2A. x +130x-1400=02B. x +65x-350=02C. x -130x-1400=02D. x -65x-350=0【答案】B3. 如图，利用一面墙(墙的长度不超过45m)，用80m长的篱笆围一个矩形场地.(1)怎样围才能使矩形场地的面积为75001？⑵能否使所围矩形场地的面积为810m2，为什么?解：(1)设所围矩形ABCD勺长AB为x米，则宽AD为12( 80-x )米.依题意，得x • 1/2 (80-x ) =750.2即，x -80x+1500=0 ,解此方程，得x仁30, X2=50.•••墙的长度不超过45m,「. x2=50不合题意，应舍去.当x=30 时，1/2 (80-x ) =1/2 X( 80-30 ) =25,所以，当所围矩形的长为30m宽为25m时，能使矩形的面积为750nt(2)不能.因为由x • 1/2 (80-x ) =810 得x2-80x+1620=0 .2 2又••• b-4ac= (-80) -4 x 1 x 1620=-80 v 0,•••上述方程没有实数根.因此，不能使所围矩形场地的面积为810m2.4. 如图①，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的边. 如图②，地毯中央的矩形图案长6米、宽3米，整个地毯的面积是40平方米.求花边的宽.① ②分析：本题可根据地毯的面积为40平方米来列方程，其等量关系式可表示为：（矩形图案的长+两个花边的宽）X（矩形图案的宽+两个花边的宽）=地毯的面积.解：设花边的宽为x米，根据题意得（2x+6）（2x+3）=40,解得x i=1, X2=-11/2 ,X2=-11/2不合题意，舍去.答：花边的宽为1米.5. 我校原有一块正方形空地，后来在这块空地上划出部分区域栽种花草（如图），原空地一边减少了1m另一边减少了2m使剩余的空地面积为12m2,求原正方形的边长.分析：本题可设原正方形的边长为xm,则剩余的空地长为（x-1 ）m宽为（x-2 ）m根据长方形的面积公式方程可列出，进而可求出原正方形的边长.解：设原正方形的边长为xm,依题意有(x-1 )( x-2 ) =122整理，得x -3x-10=0 ./•（x-5 ）（x+2）=0,••• X1=5, X2=-2 （不合题意，舍去）答：原正方形的边长5m6. 小明家有一块长8m宽6m的矩形空地，现准备在该空地上建造一个十字花园（图中x值.解：据题意，得(8-x )( 6-x ) =1/2 X 8 X 6.解得x1=12，x2=2．X1不合题意，舍去./• x=2.【教学说明】进一步提高分析问题、解决问题的能力，深刻体会方程的思想方法在解应用问题中的用途.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想, 而后以小组为单位派代表进行总结. 教师作以补充.课后作业布置作业：教材“习题 2.5 ”中第3、4、7题.教学反思本节课以学生熟悉的现实生活为问题的背景，让学生从具体的问题情境中抽象出数量关系，归纳出变化规律，并能用数学符号表示，最终解决实际问题. 这类注重联系实际考查学生数学应用能力的问题，体现时代性，并且结合社会热点、焦点问题，引导学生关注国家、人类和世界的命运. 既有强烈的德育功能，又可以让学生从数学的角度分析社会现象，体会数学在现实生活中的作用.。
人教版九年级上册一元二次方程的实际应用
一元二次方程的实际应用知识点解题要点：（1）用一元二次方程解决实际问题的一般步骤可归纳为：“审、设、列、解、验、答。
”（2）在解决实际问题时有几个重要环节：①完整、准确地审清题意；②提取问题中的等量关系；③正确地求解方程并检验解的合理性。
例1．某电脑公司2001年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、•二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．例2．如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，•正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，•如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，•应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1cm）？例3．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，•据市场分析，•若每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种水产品情况，请解答以下问题：（1）当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售利润．（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的关系式．（3）商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少?例4、如图，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方形水槽，使它的底面积为800平方厘米。
求截去正方形的边长。
【变式练习1、】某小区计划在一个长40米，宽26米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草，如图，若想使每一块草坪的面积都为144平方米，求小路的宽度。
例2、为落实素质教育要求，促使学生全面发展，我市某中学2011年投资11万元新增一批电脑，计划以后每年以相同的增长率进行投资，2013年投资18.59万元。
（1）求该学校为新增电脑投资的年平均增长率；（2）从2011年到2013年，该中学三年为新增电脑共投资多少万元？【变式练习2】 （1）某纪念品原价168元，连续两次降价a ℅后售价为128元。
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2.5.1实际问题与一元二次方程
教学内容
建立一元二次方程的数学模型，解决增长率与降低率问题。
教学目标
掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题。
重难点关键
1．重点：如何解决增长率与降低率问题。
2．难点与关键：解决增长率与降低率问题的公式a(1±x)n=b,其中a是原有量,x增长（或降低）率,n为增长（或降低）的次数,b为增长（或降低）后的量。
教学过程
探究2两年前生产 1吨甲种药品的成本是5000元,生产1吨乙种药品的成本是6000元,随着生产技术的进步,现在生产 1吨甲种药品的成本是3000元,生产1
吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大?
分析:甲种药品成本的年平均下降额为
(5000-3000)÷2=1000(元)
乙种药品成本的年平均下降额为
(6000-3600)÷2=1200(元)
乙种药品成本的年平均下降额较大.但是,年平均下降额(元)不等同于年平均下降率
解:设甲种药品成本的年平均下降率为x,则一年后甲种药品成本为5000(1-x)元,两年后甲种药品成本为 5000(1-x)2 元,依题意得
5000（1-x）2=3000
解方程,得
答:甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%.
算一算:乙种药品成本的年平均下降率是多少? 比较:两种药品成本的年平均下降率
(22.5%,相同)
思考：经过计算,你能得出什么结论?成本下降额较大的药品,它的成本下降率一定也较大吗 ?应怎样全面地比较对象的变化状况?
（经过计算,成本下降额较大的药品,它的成本下降率不一定较大,应比较降前及降后的价格.）
小结：类似地这种增长率的问题在实际生活普遍存在,有一定的模式
若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前的是a,增长(或降低)n次后的量是b,则它们的数量关系可表示为a(1±x)n=b(中增长取+,降低取－)
二巩固练习
（1）某林场现有木材a立方米，预计在今后两年内年平均增长p%，那么两年后该林场有木材多少立方米?
（2）某化工厂今年一月份生产化工原料15万吨，通过优化管理，产量逐年上升，第一季度共生产化工原料60万吨，设二、三月份平均增长的百分率相
同，均为x，可列出方程为__________．
(3)公司2001年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、•二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．
4. 某种细菌，一个细菌经过两轮繁殖后，共有256个细菌，每轮繁殖中平均一个细菌繁殖了多少个细菌？
三应用拓展
例2．某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利
率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率．
分析：设这种存款方式的年利率为x，第一次存2000元取1000元，剩下的本金和利息是1000+2000x·80%；第二次存，本金就变为
1000+2000x·80%，其它依此类推．
解：设这种存款方式的年利率为x
则：1000+2000x·80%+（1000+2000x·8%）x·80%=1320
整理，得：1280x2+800x+1600x=320，即8x2+15x-2=0
解得：x
1=-2（不符，舍去），x
2
==0.125=12.5%
答：所求的年利率是12．5%．
五作业 1。
P53-7 P58-8
2．选用作业设计:
一、选择题
1．2005年一月份越南发生禽流感的养鸡场100家，后来二、•三月份新发生禽流感的养鸡场共250家，设二、三月份平均每月禽流感的感染率为x，依题
意列出的方程是（）．
A．100（1+x）2=250 B．100（1+x）+100（1+x）2=250
C．100（1-x）2=250 D．100（1+x）2
2．一台电视机成本价为a元，销售价比成本价增加25%，因库存积压，•所以就按销售价的70%出售，那么每台售价为（）．
A．（1+25%）（1+70%）a元 B．70%（1+25%）a元
C．（1+25%）（1-70%）a元 D．（1+25%+70%）a元
3．某商场的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏损成本，•售价的折扣（即降低的百分数）不得超过d%，则d可用p表示为（）．
A． B．p C． D．
二、填空题
1．某农户的粮食产量，平均每年的增长率为x，第一年的产量为6万kg，•第二年的产量为_______kg，第三年的产量为_______，三年总产量为_______．
2．某糖厂2002年食糖产量为at，如果在以后两年平均增长的百分率为x，•那么预计2004年的产量将是________．
3．•我国政府为了解决老百姓看病难的问题，•决定下调药品价格，•某种药品在1999年涨价30%•后，•2001•年降价70%•至a•元，•则这种药品在
1999•年涨价前价格是__________．
三、综合提高题
1．为了响应国家“退耕还林”，改变我省水土流失的严重现状，2000年我省某地退耕还林1600亩，计划到2002年一年退耕还林1936亩，问这两年平
均每年退耕还林的平均增长率2．洛阳东方红拖拉机厂一月份生产甲、乙两种新型拖拉机，其中乙型16台，•从二月份起，甲型每月增产10台，乙型每月按
相同的增长率逐年递增，又知二月份甲、乙两型的产量之比是3：2，三月份甲、乙两型产量之和为65台，•求乙型拖拉机每月的增长率及甲型拖拉机一月
份的产量．
2．某商场于第一年初投入50万元进行商品经营，•以后每年年终将当年获得的利润与当年年初投入的资金相加所得的总资金，作为下一年年初投入的资金
继续进行经营．
（1）如果第一年的年获利率为p，那么第一年年终的总资金是多少万元?（•用代数式来表示）（注：年获利率=×100%）
（2）如果第二年的年获利率多10个百分点（即第二年的年获利率是第一年的年获利率与10%的和），第二年年终的总资金为66万元，求第一年的年获利率．。