2.1.1_指数与指数幂的运算
2.1 指数函数
2.1 指数函数【2.1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 当n 是偶数时，正数a 的正的n 示，负的n 次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：n a =；当n 为奇数时，a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m na a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m nn aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质（4）指数函数当堂训练[基础训练A组]一、选择题1．计算122[(]-的结果是（）．A． D．-2．对任意实数x，下列等式恒成立的是（）．A．211332()x x= B．211332()x x= C．311535()x x= D．131355()x x--= 3．化简(21)(21)2222k k k-+----+等于（）．A．22k- B．(21)2k-- C．(21)2k-+- D．24．下列函数中指数函数的个数是（）．①23xy=⋅②13xy+=③3xy=④3y x=A．0 B．1 C．2 D．35．方程135108x x x-⋅=的解集是（）．A．{}1,4 B．14⎧⎫⎨⎬⎩⎭C．11,4⎧⎫⎨⎬⎩⎭D144⎧⎫⎨⎬⎩⎭，6．函数()(0,1)xf x a a a=>≠且对任意正实数,x y都有（）．A．()()()f xy f x f y= B．()()()f xy f x f y=+C ．()()()f x y f x f y +=D ．()()()f x y f x f y +=+ 二、填空题1．化简：1114424111244()a b ba ab --=- ． 2．计算：120.750311(0.064)(16()23---÷÷-= ．3．若239x=，3x-= ．4．985316,8,4,2,2从小到大的排列顺序是 ． 5．若函数()11x mf x a =+-是奇函数，则m 为 ． 三、解答题1．化简下列各式： （1）11122()()x x x x x --++-；（2）222222223333x y x y xyxy--------+--+-；（3）3333441()()[(1)()]a a a a a a a a ----+-÷++-．2．计算下列各式：（1）1020.5231(2)2(2)(0.01)54--+⋅-；（2）20.520371037(2)0.1(2)392748π--++-+．3．已知2212213333334,3,3a b x a a b y b a b +==+=+，求2233()()x y x y ++-的值．4. 比较下列各组数的大小:(1)0.1()4-和 0.2-； (2)163()4和154()3-； (3)2(0.8)-和125()3- ．5．家用电器（如冰箱等）使用的氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层，臭氧含量Q 呈指数函数型变化，满足关系式0.00250t Q Q e -=，其中0Q 是臭氧的初始量． （1）随时间的增加，臭氧的含量是增加还是减少？ （2）多少年以后将会有一半的臭氧消失？[基础训练B 组] 一、选择题1．设全集为R ，且22{|0},{|1010}x x A x B x -=≤==，则()R A B ð为（ ）． A ．{2} B ．{1}- C ．{|2}x x ≤ D ．∅2．函数y x =3与y x =--3的图像关于下列那种图形对称（ ）． A ．x 轴 B ．y 轴 C ．直线y x = D ．原点中心对称3．函数11x x e y e -=+的值域是（ ）．A ．(1,1)-B ．[1,1]-C ．(0,1)D ．(,)e e - 4．已知集合{}11M =-，，11242x N x x +⎧⎫=<<∈⎨⎬⎩⎭Z ，，则M N = （ ）． A ．{}11-，B ．{}1-C ．{}0D ．{}10,1-，5．函数11()()3x f x -=在区间[2,1]--上的最大值是（ ）A ．1B ．3C ．9D ．276．设1x ，2x 是函数()(1)x f x a a =>定义域内的两个变量，且12x x <，设121()2m x x =+．那么下列不等式恒成立的是（ ）． A ．12|()()||()()|f m f x f x f m ->-B ．12|()()||()()|f m f x f x f m -<-C ．12|()()||()()|f m f x f x f m -=-D ．212()()()f x f x f m > 二、填空题1．若集合{11|,|x A y y B x y -⎧⎫====⎨⎬⎩⎭，则集合A B = _________．2．方程33131=++-xx的解是_____________． 3．若1122a a-+=1114421124___________1111aaaa+++=+-++． 4．化简11410104848++的值等于__________． 5．若关于x 的方程12220x x a -++=有两个实数解，则实数 的取值范围是_______． 6．对于函数f （x ）定义域中任意的x 1，x 2（x 1≠x 2），有如下结论：①)()()(2121x f x f x x f ⋅=+； ②)()()(2121x f x f x x f +=⋅；③0)]()([)(2121<-⋅-x f x f x x ； ④2)()()2(2121x f x f x x f +<+ 当xx f -=2)(时，上述结论正确结论的序号是 .（写出全部正确结论的序号） 三、解答题1．求函数11()()142xxy =-+在[]3,2x ∈-上的值域．2．求函数241(),[0,5)3x xy x -=∈的值域．3．解方程：（1）192327xx ---⋅= （2）649x x x +=．4．已知11()(),(0)212x f x x x =+≠-， （1）判断()f x 的奇偶性； （2）证明()0f x >．5．在工程技术中经常用到一类所谓的双曲函数，定义如下：双曲正弦，2x xe e shx --=；双曲余弦，2x x e e chx -+=；双曲正切，x xx xe e thx e e---=+，请证明： （1）()sh x y shxchy chxshy +=+；（2）()1thx thyth x y thxthy++=+．同步提升一、选择题（12*5分） 1．（369a ）4（639a ）4等于（ ）（A ）a 16 （B ）a 8（C ）a 4（D ）a 22．函数f （x ）=(a 2-1)x在R 上是减函数，则a 的取值范围是（ ） （A ）1>a （B ）2<a （C ）a<2 （D ）1<2<a3.下列函数式中，满足f(x+1)=21f(x)的是( ) (A)21(x+1) (B)x+41 (C)2x (D)2-x4．已知a>b,ab 0≠下列不等式（1）a 2>b 2,(2)2a>2b,(3)ba 11<,(4)a 31>b 31,(5)(31)a <(31)b 中恒成立的有（ ）（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个5．函数y=121-x 的值域是（ ） （A ）（-1,∞） （B ）（-,∞0）⋃（0，+∞） （C ）（-1，+∞） （D ）（-∞，-1）⋃（0，+∞） 6．下列函数中，定义域为R 的是（ ） （A ）y=5x-21 （B ）y=(31)1-x（C ）y=1)21(-x（D ）y=x 21- 7．下列关系中正确的是（ ）（A ）（21）32<（51）32<（21）31 （B ）（21）31<（21）32<（51）32（C ）（51）32<（21）31<（21）32 （D ）（51）32<（21）32<（21）318．若函数y=3·2x-1的反函数的图像经过P 点，则P 点坐标是（ ）（A ）（2，5） （B ）（1，3） （C ）（5，2） （D ）（3，1）9．函数f(x)=3x +5,则f -1(x)的定义域是（ ） （A ）（０，＋∞） （B ）（５，＋∞） （C ）（６，＋∞） （D ）（－∞，＋∞）10．已知函数f(x)=a x+k,它的图像经过点（1，7），又知其反函数的图像经过点（4，0），则函数f(x)的表达式是（ ）(A)f(x)=2x +5 (B)f(x)=5x +3 (C)f(x)=3x +4 (D)f(x)=4x+311．已知0<a<1,b<-1,则函数y=a x+b 的图像必定不经过（ ） (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限12．一批设备价值a 万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b%，则n 年后这批设备的价值为（ ）（A ）na(1-b%) （B ）a(1-nb%) （C ）a(1-(b%)n ) （D ）a(1-b%)n二、填空题（4*4分） 13．若a 23<a2,则a 的取值范围是 。
课件7：2.1.1 指数与指数幂的运算
符号__±_n__a___表示，其中 n a叫__根__式____，这里的 n 叫做 _根__指__数___，a 叫做_被__开__方__数_．
(2)当 n 为奇数时，n an＝___a___；当 n 为偶数时，n an＝ |__a__|＝a－，aa，≥a0<，0.
2．分数指数幂
(1)
我
们
规
定
正
题型三 分数指数幂的运算 【例 3】 计算下列各式：
思路点拨：利用分数指数幂及运算法则进行根式的化简与 求值．
3．计算下列各式：
(3)14－2＋
3＋ 3－
22－(1.03)0·－ 263.
误区解密 因忽略 n 的奇偶导致n an化简出错
【例 4】 计算3 1＋ 23＋4 1－ 24. 错解：3 1＋ 23＋4 1－ 24＝(1＋ 2)＋(1－ 2)＝2. 错 因 分 析 ： 因 为 4 1－ 24 >0 ， 而 1 － 2 <0 ， 所 以 4 1－ 24≠1－ 2.
要点阐释
1．关于根式(n a)n 与n an的理解
(1)(n a)n＝a(n>1，n∈N*，当 n 为奇数时，a∈R; 当 n 为偶数时，a≥0)．
若 a<0，n 为偶数，则n a没有意义．如( －2)2≠－2.
(2)n an＝a|a，|，nn为为奇偶数数， (n>1，n∈N*)． 当 n 为奇数时，∵an＝an， ∴a 是 an 的 n 次方根，即 a＝n an； 当 n 为偶数时，(|a|)n＝an≥0， ∴|a|是 an 的 n 次方根， 即n an＝|a|＝a－，aa，≥a0<，0.
2．将根式转化为分数指数幂是化简求值的关键．
3．关于分数指数幂的运算常采用的思路： ①指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里的，无括 号先进行指数运算(即先乘方、开方)，再乘除后加减．负指数 幂化为正指数幂的倒数，底数是负数，先确定符号，底数是小 数，先要化成分数，底数是带分数的，先要化成假分数，若是 根式，应化为分数指数幂，然后要尽可能用幂的形式表示，便 于用指数运算性质． ②关于常量字母，先化成同底的再运算；对于变量字母， 有时需要对字母进行讨论． ③除式的运算，用分母的“－1”次幂化为乘法运算.
课件11：2.1.1 指数与指数幂的运算
1
＝x＋yx－－2yxy 2 ，①
又∵x＋y＝12，xy＝9，②
∴(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝122－4×9＝108.
∵x<y，∴x－y＝－6 3.③
将②、③代入①式得
1
1
1
x x
2
1 2
－y ＋y
2
1 2
＝12－－26×39
2
＝－
3 3.
【跟踪训练3】
已知a
1 2
－
＋a
1 2
＝3，求下列各式的值．
2.根式一般先转化成分数指数幂，然后再利用有理数指数幂的运算性质进行运算，在将根式化为分数指 数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换为指数的方法，然后运用运算性质准确求解．
3.对于含有字母的化简求值结果，一般用分数指数幂的形式表示．
[走出误区]
易错点⊳因忽略幂指数的范围而导致错误
11
[典例] 化简(1－a)[(a－1)－2(－a) 2 ] 2 ＝________.
2.1 指数函数
2.1.1 指数与指数幂的运算
第2课时 指数幂及运算
[问题提出]
1.有理数指数幂的运算性质与整数指数幂的运算性质是否相同？ 2.无理数指数幂的运算性质与有理数指数幂的运算性质是否相同？
[基础自学]
1．有理数指数幂的运算性质 (1)ar·as＝ ar＋s (a>0，r，s∈Q)； (2)(ar)s＝ ars (a>0，r，s∈Q)； (3)(ab)r＝ arbr (a>0，b>0，r∈Q)．
[解]
(1)令2x＝t，则2－x＝t－1，∴t＋t－1＝a.①
由①两边平方得t2＋t－2＝a2－2，
∴8x＋8－x＝t3＋t－3＝(t＋t－1)(t2－t·t－1＋t－2)
数学：2.1.1《指数与指数幂的运算》课件(新人教A版必修1)(2019年新版)
者 而襃水通沔 人主闻之必喜 五巫五灵 谥为平王 断其左股 四年 二十九年 後三年 季主独美 文公修政 君长以什数 ”楚王乃悦 乃复求舜後 及猛将推锋执节 遣振男女三千人 皮冠射鸿 皆不欲齐秦之合也 耕牧河山之阳 其志与众异 薄赋敛 僭拟之事稍衰贬矣 何生不育；舍人弟上变
孔子曰：“回 曰：“秦之所恶 卜居焉 义失者 击盗不行 欲其生子万方 弗由之 望见车骑从西来 仓公乃匿迹自隐而当刑 徐市等费以巨万计 太后除窦婴门籍 宽裕肉好顺成和动之音作 荣最长 是故臣原以从事王 径二寸太半 长幼同听之 难与争锋 有冬有夏 今恬之宗 绝漳滏水 朝贺皆
优孟闻之 ”齐王曰：“寡人憎仪 绛侯、灌将军等曰：“吾属不死 道闻王疾而还 李太后 约结上左右 所说出於为名高者也 ”范睢曰：“主人翁习知之 臣舍人相如止臣 上未之奇也 有邑聚 以便国家利众为务 ”退而深惟曰：“夫诗书隐约者 孔文子问兵於仲尼 子婴仁俭 皆贵重 上讳
云鹿触杀之 ”十一月 济阴人也 適晋 祝曰：“自天下四方皆入吾网 越王句践迎击 高后崩 三年一郊 吾将言之 今虽欲行 羌尝反 ”乃遂围主父 不可当 右渠城守 秦使泾阳君质於齐 为不次 上数使使劳苦丞相 今一使者来 罢兵去 盛溺九升九合 淫於酒妇人 ”起曰：“此三者 可乎
纳地效玺 报太行之役也 厉王之子 晋败我一将 十月戊子 交乱四国’ 三曰“五星龟” 执卤获丑七万有四百四十三级 ’曰：‘不道 君长以什数 黄金印 江傍家人常畜龟饮食之 两人相对 赵简子受赂 顾谓其中子曰：“吾欲与若复牵黄犬俱出上蔡东门逐狡兔 群儒或曰“不与古同” 大
辟疑赦 立王子何以为王 传为单薄 高祖侯之颍川 齐威王欲将孙膑 睢阳以北至穀城 ”屠岸贾不听 信亡藏上林中 质直而好义 自叔带以下 无河山而阑之 孔子曰：“多闻阙疑 功业可明 夫人自织 乃怒 今臣意所诊者 常治无极 有馀则用溉騑 属之廷尉 赵王悉召群臣议 乃还 骛遗雾而远
学案6：2.1.1 指数与指数幂的运算
当x≥y时，原式＝x－y＋y－x＝0；
当x<y时，原式＝y－x＋y－x＝2(y－x)．
所以原式＝
例2(1) (2)a (3)①a3· ＝a3·a ＝a ＝a .
【解析】(1)a ＝ ＝
(2)(a2· )÷( · )＝(a2·a )÷(a ·a )＝a ÷a ＝a ＝a
(4)2 ÷4 ·3 .
方法归纳
利用指数幂的运算性质化简求值的方法
(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．
(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．
(3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示．
当堂检测
[基础巩固]
一、选择题
1．B
【解析】 ＝(－2 ) ＝(－2×2 ) ＝(－2 ) ＝－2 .
2．D
【解析】要使原式有意义，只需 ，
∴a≥0且a≠2.
3．A
【解析】依题意知x<0，所以 ＝－ ＝－ .
4.D
【解析】原式＝ ＝a ＝a .
5．C
【解析】( )4·( )4
＝( ) ·( )
＝(a ) ·(a ) ＝a ·a ＝a4.
3．化简 的结果是()
A．－ B.
C．－ D.
4. (a>0)的值是()
A．1B．a
C．a D．a
5．化简( )4·( )4的结果是()
A．a16B．a8
C．a4D．a2
二、填空题(每小题5分，共15分)
6. －2＋(1－ )0－ －160.75＝________.
课件12：2.1.1 指数与指数幂的运算
对于这一理论，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个 问题：边长为 1 的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一 长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来 表示．希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数 2 的诞 生．小小 2的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大的风 暴．史称“第一次数学危机”．希帕索斯也因发现了根号 2， 憾动了学派的基石而被扔进大海.
跟踪训练 1. 计算下列各值： (1)27 的立方根是________； (2)256 的四次算术方根是________； (3)32 的五次方根是________．
[答案] (1)3 (2)4 (3)2 [解析] (1)∵33＝27，∴27的立方根是3. (2)∵(±4)4＝256，∴256的四次算术方根为4. (3)∵25＝32，∴32的五次方根为2.
∴ x2－2x＋1－ x2＋6x＋9
＝－－24x－2
－3<x<1 1≤x<3 .
命题方向4.根式的运算技巧
例 4.计算 5－2 6＋ 5＋2 6.
[分析] 注意 a＋2 b的配方或整体考虑运用方程思想． [解析] 解法一：原式＝ 2－ 32＋ 2＋ 32＝ 3－ 2＋ 3＋ 2＝2 3. 解法二：设 x＝ 5－2 6＋ 5＋2 6，则 x>0. 平方得 x2＝(5－2 6)＋(5＋2 6)＋ 2 5＋2 65－2 6 即 x2＝12，∵x>0，∴x＝2 3.∴原式＝2 3.
新知导学
1.n次方根
一般地，如果 xn＝a，那么__x__叫做 a 的_n_次__方__根__， 定义＞0 奇数 a＜0 x＜0
x 仅有一个值，记为n a
个数 n 是 a＞0 x 有两个值，且互为相反数，记为±n a
高一人教A版数学必修1课件：2.1.1 指数与指数幂的运算
解答本题易忽视被开方数的符号致误
【防范措施】 为使开偶次方后不出现符号错误，开 方时先带着绝对值符号，然后再根据取值范围去掉绝对值符 号进行化简．
【解】 原式＝ （x－2）2－ （x＋1）2＝|x－2|－ |x＋1|.
∵－1＜x＜2，∴x＋1＞0，x－2＜0， ∴原式＝2－x－x－1＝1－2x.
化，但要注意根指数是分数指数的分母．
2．在应用分数指数幂进行根式的计算时，应注意把根
式统一化为分数指数幂的形式．当所求根式含有多重根号时
，应由里向外用分数指数幂写出，然后再利用性质运算．
忽视被开方数的符号致误
(2014·山东日照一模)若－1＜x＜2，化简 x2－4x＋4
－ x2＋2x＋1. 【易错分析】
0＋37； 48
(2)
－338
－
2 3
＋
(0.002)
－
1 2
－
10(
5 － 2) － 1 ＋ (
2－
3)0；
(3)(a－2b－3)·(－4a－1b)÷(12a－4b－2c)(a＞0，b＞0，c＞
0)；
3 (4)2
a÷46
a·b×3
b3(a＞0，b＞0)．
【思路探究】 进行指数幂运算时，化负指数为正指 数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，以便于进行乘、 除、乘方、开方运算，达到化繁为简的目的．
自 主 学 习 · 基 础 知 识
易 误 警 示 · 规 范 指 导
合
作
探
课
究
时
·
作
重
业
难
疑
点
2．1
指数函数
2．1.1 指数与指数幂的运算
[学习目标] 1.理解方根和根式的概念，掌握根式的性 质，会进行简单的求n次方根的运算．(重点、难点)2.理解整 数指数幂和分数指数幂的意义，掌握根式与分数指数幂之间 的相互转化．(重点、易混点)3.理解有理数指数幂的含义及 其 运 算 性 质 ． ( 重 点 )4. 通 过 具 体 实 例 了 解 实 数 指 数 幂 的 意 义．
2.1.1指数幂运算与无理数指数幂
3, 3
例6：已知x+x =3，求下列各式的值 (1)x x
2 1 2 2 1 2
1
2 x x 3 3 3 x x
3
补充：x y x y x
3
2
xy y
2
1 a b a b ________
4 4
2 2 2 ______
【题型4】分数指数幂或根式中x的定义域问 题根式运算 例5.求下列各式中x的范围
(1) 1 x ;
4
。
x≤1
(2).( x 1)
1 3 X≠1
(3)( x 1)
2 3
X∈R
(4).(1 2 x)
3 4 x 1
2
(5).(| x | 1)
1 3
思考2:观察上面两个图表，你能发现 5 2 的 大小可以通过怎样的途径来得到吗？ 结论:由一串逐渐增大的有理数指数幂的值
5
1.4
,5
1.41
,5
1.414
,5
1.4142
,
和另一串逐渐减小的有理数指数幂的值
5 ,5
1.5
1.42
,5
1.415
,5
1.4143
, 无限逼近得到
无理数指数幂
51.4
-6x+4=0的两根且a>b,
a b 求 的值. a b
1.分数指数概念
(1) a n a m ; m (2) a n 1 m an
m n
(a＞0,m,n∈N*, n＞1)
n
1 ; am
(3)0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂 没有意义. 2.有理数指数幂运算性质
(新)高中数学第二章基本初等函数Ⅰ2_1_1指数与指数幂的运算教材梳理素材新人教A版必修11
2.1.1 指数与指数幂的运算疱丁巧解牛知识·巧学·升华指数与指数幂的运算 1．整数指数幂 （1）正整数指数幂正整数指数幂a m（a ＞0，m ∈N *）事实上是一种缩写，即 个m ma a a a .=⋅⋅⋅•.根据缩写的这种意义可以得到如下的性质:（1）a m×a n=a m+n;（2）a m÷a n=a m-n；（3）(a m )n=a mn；(4）a n b n=(ab)n;(5)(ba )n =n nb a （b ≠0）.（2）负整数指数幂 ∵a n·a -n=a n-n=a 0=1，∴a -n=na 1. 这一规定把除法与乘法统一起来了，a n÷b m=m n ba =a n ·b -m.由于a 0与a -n（n ∈N *）都是由数学式子中除数a n产生的，根据0作除数无意义，所以规定a 0与a -n 的同时，必须有a n≠0即a ≠0，这样的规定才与已往有的除法运算相一致.就这样，正整数指数幂推广到了整数指数幂.要点提示 整数指数幂的底数应使等号两边都有意义.正整数指数幂的底数是a ∈R ；零指数和负整数指数幂的底数a ∈R 且a ≠0.指数可以是任意整数. 2．根式（1）平方根：如果x 2=a ，则x 叫做a 的平方根（或二次方根），其中a 叫做被开方数，次数2叫做根指数，x 叫做a 的平方根.当a ＞0时，它有两个互为相反数的平方根，记作：a ，-a ；当a=0时，0=0；当a ＜0时，在实数范围内没有平方根.例如：x 2=9，则x=±9=±3是9的平方根，若x 2=-4＜0，则在实数范围内-4没有平方根. 或者平方根可由二次函数y=x 2的图象与性质去理解.要点提示 平方根存在与否以及平方根的个数仅仅与被开方数有关.（2）立方根：如果x 3=a ，则x 叫做a 的立方根（或三次方根）.它的被开方数、根指数、根分别是a 、3、x.在实数范围内，对任意a ∈R ，它都有唯一的立方根3a ，其中3a 叫做根式.（3）n 次方根：如果存在实数x ，使得x n=a （a ∈R ，n ＞1，n ∈N ），则x 叫做a 的n 次方根. 如果n 是偶数，它同平方根一样，当a ＞0时，它有两个n 次方根，即±n a ；当a=0时，n 0=0；当a ＜0时，在实数范围内无偶次方根.如果n 是奇数，它同立方根一样，对任意a ∈R ，它都有唯一的n 次方根n a .要点提示 (1)只有当n a 有意义时，才能称为根式.n 次方根是平方根和立方根的推广.根指数是大于1的整数.(2）无论根指数是大于1的偶数还是奇数，当被开方数是0时，它的n 次方根是0. 3．方根性质（1）n 次方根的性质x=⎪⎩⎪⎨⎧=±+=kn a k n a n n 2,12,(k ∈N *,n>1,n ∈N )式子n a 叫做根式，n 叫做根指数，a 叫做被开方数. 由n 次方根的定义，我们可以得到根式的运算性质． （2）根式的运算性质①nn a )(=a （n ＞1，n ∈N ）理解这一性质的关键是紧扣n 次方根的定义，如果x n=a(n>1,且n ∈N )有意义，则无论n是奇数或偶数，x=n a 一定是它的一个n 次方根，所以n n a )(=a 恒成立.例如：44)3(=3，33)5(-=-5.记忆要诀 先开方，再乘方（同次），结果为被开方数. 当n 为奇数时，a ∈R ，由n 次方根的定义可得n n a =a 恒成立，当n 为偶数时，a ∈R ，a n≥0，nn a 表示正的n 次方根或0，所以如果a ≥0，那么n n a =a.例如443=3，40=0；如果a ＜0，那么n n a =|a|=-a ，如2)3(-=23=3.从而归纳得到以下根式的性质：②⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧<-≥==.,0,,0,||,,为偶数为奇数n a a a a a n a a nn利用根式的运算性质对根式的化简的过程中，根指数n 为奇数的题目较易处理，而例题侧重于根指数n 为偶数的运算.记忆要诀 先奇次乘方，再开方（同次），结果为被开方数；先偶次乘方，再开方（同次），结果为被开方数的绝对值. 4.分数指数幂（1）根式与分数指数幂的转化为了使同底数幂的运算变成指数的简单运算，有必要对分数指数幂规定为：n mnma a =（a ≥0，n 、m ∈N *，n ≥2），nm nm aa1=（a ＞0，n 、m ∈N *，n ≥2）．分数指数幂是根式的另一种写法，这种写法更便于指数运算.同0指数幂、负整数指数幂一样，负分数指数幂中，nm a ≠0，即a ≠0.指数的概念在引入了0指数、负整数指数、分数指数以后，指数的概念就实现了由整数到有理数的扩充，扩充后同底数的有理次幂的乘法、除法、开方都可以化为指数的运算，为化简根式带来了很大的方便.要点提示 （1）{有理数}={分数}=Q .（2）零的正分数次幂为零，零的负分数次幂无意义.（3）对分数指数幂和根式的互化，要紧扣方根的定义. （2）分数指数幂的运算法则设a ＞0，b ＞0，α、β∈Q ，则 ①a α·a β=a α+β；②（a α）β=a αβ；③（ab ）α=a α·b α.分数指数幂的运算法则同整数指数幂一样，a α是一个确定的实数. 根式n m a 化成分数指数幂nm a 的形式，若对nm约分，有时会改变a 的范围.例如：214242)2()2()2(-≠-=-.所以考虑清楚a 的范围后再化简nm . 要点提示 化简代数式的关键是把问题化归成我们熟悉的、已知其运算法则的分数指数幂的形式，利用其法则去计算；对于代数式的化简结果，可用根式或分数指数幂中的一种形式，但不能同时出现根式和分数指数幂的形式，也不能既有分母，又有负指数. 5.无理指数幂无理指数幂教材中没有给出严格的定义，可阅读教材61页，通过计算器计算，体会“有理数逼近无理数”的思想，感受一下它的逼近程度.一般地，当a ＞0，α为无理数时，a α也是一个确定的实数.整数指数幂的运算法则就推广到了实数范围内，也就是说，设a ＞0，b ＞0，α、β∈R ，则（1）a α·a β=a α+β；（2）（a α）β=a αβ；（3）（ab ）α=a α·b α.恒成立. 问题·思路·探究问题 为什么正数的偶次方根有两个并且互为相反数，而负数没有偶次方根？ 思路：根据方根的定义，考虑偶次方与偶次方根的联系．探究:根据方根定义，若x 是a(a>0)的n 次方根（n 为偶数），则x n =a ，这时（-x ）n=a ，即-x 也是a(a>0)的n 次方根．假设x 是a(a<0)的n 次方根（n 为偶数）,则x n =a ．因为x n≥0，a<0，所以x n=a 不成立，与方根定义矛盾． 典题·热题·新题例1 下列命题中,错误的是（ ）A.当n 为奇数时,n n x =xB.当n 为偶数时,n n x =xC.当n 为奇数时,n n x )(=xD.当n 为偶数时,n n x )(=x思路解析：由对根式性质中奇偶条件限制的理解,很容易知道选B. 答案：B深化升华 当n 是奇数时，n n n n a a =)(=a.例2 已知函数y=n m x 的定义域为R ,则下列给出的n, m 中,不能取的一对值是（ ） A.n=3,m=7 B.n=2,m=4 C.n=4,m=3 D.n=3,m=4 思路解析：如果n 是奇数，对任意a ∈R ，它都有唯一的n 次方根n a ；故A 、D 项符合要求．如果n 是偶数，它同平方根一样，当a ＞0时，它有两个n 次方根，当a=0时，n 0=0,当a ＜0时，在实数范围内无偶次方根，B 项中x 4符合要求，而C 项中x 3未必为非负数，如x=-1就不行． 答案：C误区警示 当a ＜0时，在实数范围内a 无偶次方根，容易忽视． 例3 利用函数计算器计算（精确到0.001）. （1）0.32.1；（2）3.14-3；（3）431.3；（4）33.思路解析：对于（1），可先按底数0.3，再按 2.1，最后按□=，即可求得它的值；对于（2），先按底数3.14，再按□-键，再按3，最后按□=即可；对于（3），先按底数3.1，再按3□÷4，最后按□=即可.对于（4），这种无理指数幂，可先按底数3，其次按3，最后按□=键.有时也可按.答案：（1）0.32.1≈0.080；（2）3.14-3≈0.032；（3）431.3≈2.336；（4）33≈6.705.深化升华 熟练掌握用计算器计算幂的值的方法与步骤，感受一下现代技术的威力，逐步把自己融入现代信息社会.用四舍五入法求近似值，若保留小数点后n 位，只需看第（n+1）位能否进位即可.例4 比较55，33，2的大小.思路解析：底数不同根指数也不同的两个数比较其大小，要化为同底数的或化为同指数的数再作比较.解：61613218)2(22===，616123139)3(33===，而8＜9， ∴36161398<<，10110152132)2(22===，1012515)5(55==，而25＜32.∴55＜2.总之，55＜2＜33.拓展延伸 比较幂值的大小，如果底数与指数都不相同时，能化为同底，则先化为同底，不能化为同底，就化为同指数，这些都是通过代数变形转化的方法来实现的.转化是解题的万能钥匙.例5 已知x+x -1=3,求下列各式的值. (1)2121-+xx ;(2)2323-+xx思路解析：（1）题若平方则可出现已知形式,但开方时应注意正负的讨论;(2)题若立方则可出现(1)题形式与已知条件,需将已知条件与(1)题结论综合;或者可仿照(1)题作平方处理,进而利用立方和公式展开. ∵221212122122121)(2)()(---+•+=+x xx x x x =x+x -1+2=3+2=5,∴2121-+xx =±5.又由x+x -1=3得x>0，所以52121=+-x x .（2）解法一：3213212323)()(--+=+x x x x=])())[((22121212212121---+•-+x x x x x x=)(2121-+xx （x-1+x -1）=)13(5-=52 解法二：22323][-+x x=2232323223)(2)(--+•+x xx x=x 3+x -3+2而x 3+x -3=(x+x -1)(x 2-1+x -2)=(x+x -1)［(x+x -1)2-3］=3×(32-3)=18 ∴22323][-+xx =20.又由x+x -1=3,得x>0, ∴52202323==+-xx .误区警示 (1)题注重了已知条件与所求问题之间的内在联系,但开方时正负的取舍容易被学生忽视,应强调以引起学生注意.拓展延伸 (2)题解法一注意了(1)题结论的应用,显得颇为简捷,解法二注重的是与已知条件的联系,体现了对立方和公式、平方和公式的灵活运用,而且具有一定的层次,需看透问题实质方可解决得彻底,否则可能半途而废.另外,(2)题也体现了一题多解. 深化升华 条件代数式的化简遵循以下三个原则.（1）若条件复杂，结论简单，可把条件化简成结论的形式.（2）若结论复杂，条件简单，可把结论化简成条件的形式.（3）若条件结论均复杂，可同时化简它们，直到找到它们之间的联系为止.。
高中数学2.1.1 指数与指数幂的运算 第1课时 根式
,被开方数是
.
【解析】根据根式的概念可知,2是根指数,m+1是被开方数.
答案:2 m+1
【知识探究】 知识点 根式与根式的性质 观察如图所示内容,回答下列问题:
问题1:如何确定实数a的n次实数方根的个数? 问题2: n an 与( n a )n有什么区别?
【总结提升】 1.对根式的三点认识 (1)n的取值范围是n∈N*且n>1. (2)当n为大于1的奇数时, n a 对任意a∈R都有意义,它表示a在实数 范围内有唯一的一个n次方根. (3)当n为大于1的偶数时, n a 只有当a≥0时有意义,当a<0时无意 义. n a (a≥0)表示a在实数范围内的一个n次方根,另一个是- n a .
【补偿训练】1.求下列各式的值：
13 23 .2 92 .3(5 2)5.4 x2 2xy y2 . 【解析】(1) 3 23 2.
2 92 9 9.
3(5 2)5 2.
4
x2 2xy y2
x
y2
xy
x y, x y 0, x y, x y＜0.
2.化简求值：
(1) 3.14 2＋ 3.14 2 . (2) 4 m n4＋3 m n3 . 【解析】(1) 3.14 2＋ 3.14 2
答案：1
【防范措施】化简根式的三个关注点
(1)首先要确定变量的取值范围，即保证根式有意义，如分母不为0，
偶次实数方根的被开方数不小于0.
(2)其次化简根式必须为恒等变形，比如n∈N*，n≥2,当n为奇数时，
n an =a;当n为偶数时， n an =|a|.只有当a≥0,才有 n an =a.
(3)常见的等价变形有：
【延伸探究】
1.(变换条件、改变问法)若将本例原式改为
高中数学必修一：2.1.1指数与指数幂的运算
知识探究（二）：方根性质和根式概念
问题1:-8的立方根，16的4次方根，32的5次
方根，-32的5次方根，0的7次方根，a6的立 方根分别是什么数？怎样表示？
问题2:设a为实常数，则关于x的方程x3=a，
x5=a分别有解吗？有几个解？
问题3:一般地，当n为奇数时，实数a的n次
方根存在吗？有几个？
问题4:设a为实常数，则关于x的方程x4=a，
若a=0，则a的n次方根为0； 若a<0，则a的n次方根不存在.
让我们认识一下这个式子:
a 根指数
n
根式
被开方数
探究:
表示nana的n n次方根,等式一定成立吗n ?an a 如果不一定成立,那么等n 于an什么?
a, (当n为奇数)
n
an
|
a
|
a, a a,
a
五、知识总结
整数指数幂
根式
两个等式
分数指数幂 有理数指数幂 无理数指数幂
(1)aras ars (a 0, r, s R) (2)(ar )s ars (a 0, r, s R) (3)(ab)r arbr (a 0,b 0, r R)
当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规 律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时
间称为“半衰期”。根据此规律，人们获得了生物体内
碳14含量Ｐ与死亡年数t之间的关系：
P
(
1
)
t 5730
.
（*）
当生物死亡了52730 ，2 5730 ，3 5730 ，...年后，
它体内碳14的含量P分别是 1 ，(1 )2 ，(1 )3，... 22 2
课件14：2.1.1指数与指数幂的运算
学习目标
1．理解方根和根式的概念，掌握根式的性质，会进行
简单的求n次方根的运算．(重点、难点)
2．理解整数指数幂和分数指数幂的意义，掌握根式与
分数指数幂之间的相互转化．(重点、易混点)
3．理解有理数指数幂的含义及其运算性质．(重点)
4．通过具体实例了解实数指数幂的意义．
基础知识
3．0的正分数指数幂等于 0 ,0的负分数指数幂没有
意义．
练一练2
把下列根式化为分数指数幂，分数指数幂化为根式：
5
3
(1) 3 ＝________；(2) 2 ＝________；(3)
3
1
2
3
－
(4)32＝________；(5)m 5＝________.
5
23
＝________；
练一练2
基础知识
知识点1
根式
1．根式及相关概念
(1)a的n次方根的定义
xn＝a
如果 _______，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且
n∈N*.
(2)a的n次方根的表示
(3)根式
2．根式的性质(n＞1，且n∈N*)
(1)n为奇数时， ＝ a.
(2)n为偶数时，
(3)
a
______(
≥ 0)
2
(4) x2－2x＋1－ x2＋6x＋9(－3<x<3)．
精彩点拨：根指数是奇数的，直接开出结果，
根指数是偶数的，先判断被开方数的底数的符号，
如不能唯一确定，可分类表示．
5
解：(1) (－2)5＝－2.
4 3－π π－3
2._1._1_指数与指数幂的运算根式1用
6＋( 2)2＋ 22－4
＝ ( 3＋ 2)2＋ (2－ 3)2 ＝| 3＋ 2|＋|2－ 3|＝ 3＋ 2＋2－ 3＝ 2＋2.
１．知识技能目标
了解n次方根的概念； 了解n次方根的概念； 掌握n次方根的符号表示； 掌握n次方根的符号表示； 掌握n次方根的性质。 掌握n次方根的性质。
２．过程性目标
注意问题
特别注意： 特别注意： 1） 思考： 思考： ）n 0的 n 的 次方根等于 次方根等于0. 一定表示一个正数吗？ a 一定表示一个正数吗？
n
为奇数时，它可为正、可为负、可为零． n为奇数时，它可为正、可为负、可为零． a 为偶数时，它表示非负数． n为偶数时，它表示非负数． 一定是正数或非负数吗？ a中的 a 一定是正数或非负数吗？ 为偶数时， 当 n为偶数时，它有意义的条件是 a ≥ 0； 为奇数时， 当 n为奇数时，它有意义的条件是 a∈ R ． 2）n ）
2.若 若
a − 2a + 1 = a − 1, 求a的取值范围
2
练一练： 练一练：
1： ： 化简
(3.14－π )
3.14－π
2
5
(a − b )
a −b
5
＋
+
(π −
10
π − 10
)
2
=
2 已知:3a=2，3b=5.则32a-b=_____ 已知 ， 则 3
化简： 化简：
a + 2 a − 1 + a − 2 a − 1(a ≥ 1)
4
5
a
10
a
12
2.给出下列4个等式：①
;② ( a ) 2 = a a =a ③ 3 a 3 = a ;④ (3 a ) 3 = a .其中恒成立 的个数为( )
2.1.1指数与指数幂的运算
C.
4
a
4
4
1 32
b
4
a b D. 10 ( a b ) 10 a b
1 16
9、化简 (1 2
)(1 2
)(1 2 )(1 2 )(1 2 )的结果 ( A)
1 8
1 4
1 2
1 A. (1 2 2
C.1 2
1 32
1 32
)
一、根式
定义1:如果xn=a(n>1,且nN*),则称x是a的n次方根. 定义2：式子n a 叫做根式，n叫做根指数， 叫做 被开方数
a
归纳:
（1）当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数， 负数的n次方根是一个负数.
（2）当n是偶数时，正数的n次方根有两个，它们 互为相反数. （3）负数没有偶次方根, 0的任何次方根都是0. 记作 n 0 = 0.
探究
n
a a
n
一定成立吗？
(a 0) a (a 0)
n n n a a 1、当 是奇数时， a n n 2、当 n 是偶数时， a | a |
探究: (
n
a)
n
a
例1、求下列各式的值（式子中字母都大于零）
(1) (8)
3 4
3 4
(2) (10)
2 2
(3) (3 )
1、已知 x
3
1 a ，求 a 2 2ax 3 x 6 的值
2、计算下列各式
(1)
a b
1 2
1 2 1 2
a b
2
1 2
a b
1 2
课件10：2.1.1 指数与指数幂的运算
2.1.1 指数与指数幂的运算
第1课时 根式与指数幂
[问题提出]
1.根式的概念是什么？根式有什么性质？ 2.分数指数幂是如何定义的？它与根式如何进行转化？
[基础自学]
1．根式的定义
(1)a的n次方根的定义 如果 xn＝a ，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*.
(2)a的n次方根的表示
例1 求下列各式的值：
3 (1)
－53；(2)
－102；
4 (3)
3－π4；(4)
1
＋
1
.
3 2＋ 53 3 2－ 53
[典例示法]
要分母有理化？
根式中n的奇偶对结果有怎样的影响？a的符号对结果有怎样的影响？题目(4)的结果需
提示：当n是奇数时，a的n次方根＝ n a .当n是偶数时，a的n次方根＝±n a ，当a≥0时，a的n次方根 n a ≥0，当a<0时，a只能开奇数方根且n a<0.题目(4)的化简结果必须分母有理化．
2 6
＝|y|
1 3
＝－y
1 3
，D不正确．
[规律小结]
n 1.
an与(n
a)n
两式子的含义
n (1)
an是实数
an
的
n
次方根，是一个恒有意义的式子，不受
n
的奇偶限制，a∈R，但此式的值受
n
的
奇偶限制：当 n 为大于 1 的奇数时，n an＝a；当 n 为大于 1 的偶数时，n an＝|a|.
(2)(n a)n 是实数n a的 n 次幂，当 n 为大于 1 的奇数时，(n a)n＝a，a∈R；当 n 为大于 1 的偶数时，(n a)n
2.1.1指数与指数幂的运算
3 1 3 16 4 例1、求值： 8 、 100 、 ( ) 、 ( 81) 4
2 3
1 2
例2、用分数指数幂表示下列各式:（式中a>0）
(1)a a
2
(2)a a
3 3
2
(3) a a
例3：计算下列各式（式中字母都是正数）
(1) (2a b )(6a b ) (3a b )
(1)当n为奇数时,记作 x
n
a
( a) a
n n
n
a a
n
n
(2)当n为偶数时，记作 x n a , (a 0)
( a ) a, (a 0)
n n
负数没有偶次方根； n
a, a 0 a | a | a, a 0
n
0 0.
分数指数幂
我们规定:
2
5 5 3、 (7) = - 7
4、4 (3 ) 4 = - 3
5、若a<b，则 ( a b) 2 = b - a
结论：
1、当n为奇数时， n
n 2、当n为偶数时，
a =a
n
a
n
= |a| =
a， a 0 - a， a < 0
复 习
1、根式：一般地，如果 xn=a，那么 x 叫 做 a 的 n 次方根，其中 n>1，且 n N*
5 5
5 6
5 12
5 4
a a
6
5
a a
5.计算： (0.0081 )
1 4
7 0 1 3 0.25 [3 ( ) ] [81 (3 ) ] 8 8
1 3
课件13：2.1.1 指数与指数幂的运算
命题方向1.根式与分数指数幂的互化 例 1.用分数指数幂表示下列各式(a＞0，b＞0)：
(1)3 a2· a3；(2) a a a； (3)(3 a)2· ab3；(4) 1 .
4 a3＋b32
[思路分析] (1)关键是理解分数指数幂的意义，先将根式
化为分数指数幂的形式．
(2)运用分数指数幂的运算性质进行化简．
1
[错因分析] 忽略了题中有(－a)2 ，即相当于告知－a≥0，
1
故 a≤0，这样，[(a－1)－2]2 ≠(a－1)－1.实际上在解答本类题时
除了灵活运用运算法则外还要关注条件中的字母是否有隐含的
条件．
1
[正解] 由(－a)2 知－a≥0，故 a－1<0.
11
∴(1－a)[(a－1)－2(－a)2 ]2
7
a－3
13 +3
＝3 a3÷
a2＝1.
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1
＝(a－1)4
＝4
a－1.
当堂检测
3
1．若(1－2x)－4 有意义，则 x 的取值范围是 ( )
A．x∈R
B．x∈R 且 x≠12
C．x>12
D．x<12
[答案] [解析]
D
3
(1－2x)－4
＝ 4
1
，∴1－2x>0，得
1 x<2.
1－2x3
2
5
2．计算(2a－3b－3 )·(－3a－1b)÷(4a－4b－3 )得 ( )
正是由于牛顿的这一发现，才使得正整数指数幂推广到了任意
实数指数幂．本节我们就一起来探究一下指数幂的扩充过程.
新知导学
高一数学必修一课件2.1.1-指数与指数幂的运算
a = a
m n
n
m
(a > 0,m,n N*, 且n > 1)
实数指数幂的运算法则
(1)a a a (a 0, r , s R)
r s
rs rs
(2)(a ) a (a 0, r , s R)
r s r
(3)(ab) a b (a 0, b 0, r R)
1 1 1 + 2 4 8
= 2 3 = 6;
1 1 1 2 - 3 3
= a ;(4)x
5 8
1 1 - + 3 3
- 4x
4 = 1- ． x
知识点总结
• 根式 • 分数指数幂 • 无理数指数幂
正分数指数幂
负分数指数幂
新课导入
回顾旧知
正整数指数幂： 一个数a的n次幂等于n个a的连乘积， 即：
1.am· an=am+n； 2.am÷an=am-n； 3.(am)n=amn； 4.(ab)n=an· bn；
n a a 5. = n (b 0). b b n
前面我们讲的都是正整数指数幂，即 n只取正整数，那么n能否取有理数呢？
5 2 常数
无理数指数幂：
1.无理数指数幂ax（a>0，x是无理数） 是一个确定的实数. 2.有理数指数幂的运算性质同样适用 于无理数指数幂.
课堂小结
整数指数幂 根式 xn=a
x a ; (当n是奇数)
n
负数没有偶次方根； 0的任何次方根都是0.
x n a . (当n是偶数,
且a＞0)
1 3
3 25Βιβλιοθήκη 63 1 (2) x x 2 2 x 2 ; 1 2
数学：2.1.1《指数与指数幂的运算》课件(新人教A版必修1)
1.am· an=am+n；
2.am÷an=am-n； 3.(am)n=amn； 4.(ab)n=an· bn； 5.
a n an ( ) n (b 0). b b
另外，我们规定：
a 1(a 0); 1 n a n. a
0
二、根式
一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根(n th root)，其中n＞1， 且n∈N*.
(a b) (a b).
2
三、分数指数幂 探究:
5 10 5
a
10பைடு நூலகம்
(a ) a a (a 0),
5 2 5 2 12 4
4
a12 4 (a 4 ) 3 a 3 a (a 0).
2 3
0的正分数指数 幂等于0,0 的负 分数指数幂没有 意义.
3
a 2 a ( a 0), b b (b 0),
(2)(a r ) s a rs (a 0, r , s Q) (3)(ab) r a r b r (a 0, b 0, r Q)
例2 用分数指数幂表示下列各式(其中a>0).
a 3 a , a 2 3 a 2 , a3 a .
解：
a3 a a3 a a
2 3 1 3 1 3 1 3
2 3
a
1 3
1 3 1 3
a
1 3
a 2b
a a a a.
五、知识总结
整数指数幂 根式 两个等式
分数指数幂 有理数指数幂 无理数指数幂
(1)a r a s a r s (a 0, r , s R) (2)(a r ) s a rs (a 0, r , s R ) (3)(ab) a b (a 0, b 0, r R)