一类捕食模型正平衡解的局部分歧及稳定性

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一类具Holling-Ⅱ型捕食者-食饵模型的稳定性与分叉分析

一类具Holling-Ⅱ型捕食者-食饵模型的稳定性与分叉分析生态系统中,由捕食者与食饵构成的种群之间相互作用的系统近年来受到生物学家和数学家的广泛关注.生物学家和数学家主要分析了具有功能反应函数的捕食者-食饵模型的稳定性与分叉,并利用数值模拟生动形象地丰富了种群动力学的研究内容.由于生物种群所生活的自然环境具有复杂性和多样性,分析研究生态系统时,具时滞与脉冲的微分方程比常微分方程所描述的动力系统的动力学行为更丰富,也更切实实际.本文主要研究一类具Holling-II型功能反应函数的捕食者-食饵模型和在此系统中分别加入单时滞和固定时刻脉冲的捕食者-食饵模型.对一类具Holling-II型功能反应函数的捕食者-食饵模型,本文首先介绍了具功能反应函数的捕食者-食饵模型的提出及研究现状,给出本章所用的基本理论和方法,讨论了具Holling-II型的捕食者-食饵系统平衡点的存在性与稳定性,正初始解的有界性.并通过构造合适的Dulac函数和张芷芬唯一性定理,研究了系统极限环的存在唯一性和稳定性的条件.其次对带有时滞的Holling-II型功能反应函数的捕食者-食饵模型,捕食者和食饵中分别加入时滞,利用时滞微分方程理论,得到系统平衡点的稳定性和Hopf分叉的充分条件.最后对带有脉冲和Holling-II型功能反应函数的捕食者-食饵模型,通过脉冲微分方程比较定理、Floquent定理等,得出了系统解的全局稳定性的充分条件.。

一类带Beddington-DeAngelis反应项的捕食模型平衡态的分歧解

征函数记作１。考虑非线性边值问题：
Ａｕ＋ｑｘｕ＝ｒ（）一ｋｕ
∈Ｑ，
＝０
∈ Ｑ
由［５４］，可知，若ｒ１）＝０是（）（，则ｑ４的惟一非负解；而若ｒ＞（）１，则（）ｑ４有惟一正解；如果ｑ，ｒ１三０＞，则存在唯一正解，记为，且映射：ｒ一在（１。），。内关于ｒ严格递增且
“ ０＝ｏｘ，≠ ０ｖｘ０＝ｖ（）０，，）ｕ（）０（；（，）ｏｘ，≠０
ＥＱ
其中△为Ｌｐａｅａｌｃ．；，分别为食饵和捕食者的浓度，ｒ，，ｂ，，，ｈ，ｄ算子 “ ，ｕ，七０，ｃｏｏ都是正常数，具体来说ｒ分别为在没有捕食者的情况下食饵的固有生长率和生存能力。捕食者和七￣Ｂｄｉｇｏ－ｅｎｅｓｅｄｎｔｎＤＡｇｌ反应函数－ｉ来消费食饵，而以来供给自身生长率。６是ｏ其恒定出生率，ｄｏ为其在缺少食饵的情况下的最大死亡率。关于该模型更多的生物意义，可
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第２卷第期５４
２ ¨ 年Ｏ月Ｏ８８０
工
程
数
学
学
报
Ｖ１２ｏ４ｏ５．．Ｎ
Ａｕ・２０ｇ０８
ＣＨＩＮＥＳＪＥＯＵＲＮＡＬＯＦＥＮＧＩＮＥＥＲＩＮＧＡＴＨＥＭＡＴＩＭＣＳ
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工２卷５
令鼍＝ｋ，ｄ＝ｂ —ｄ，为了方便书写，仍把记为ｏｏ，则系统（）１可简化为
巨，ｔ＞ ≠００． ∈ ａＱ．

一类捕食-食饵模型分歧解的局部稳定性和全局分歧

一
（（，（）Ｘ８（（，（）ＸｃＲ× ，一叩）ｓｃＲ× ，））ｓ）
使得
（（）（）＝（Ｕ）７）（）（一Ｕ ∈ ，（一ＯＺ７０）０Ｏ＝（０，０，ＯＺ，０，７））（ｓＵ∈ ，）
一
类捕食一饵模型分歧解的局部稳定性和全局分歧术食
任翠萍李艳玲，
一一一
．
（西安欧亚学院基础部，西安７０６；２１１０５一陕西师范大学数学与信息科学学院，西安７０６） △ △ １０２：
局部稳定性理论给出了分歧解局部稳定的条件；同时利用度理论得到了局部分歧可以延拓到整体
分歧的结论．
关键词：食一饵模型；ＨｏｌｇＩ型；全局分歧；避难所；稳定性捕食ｌｎＩｉ
第２卷第１８期
２ｌ年０月０１２
工
程
数
学
学
报
Ｖ１２ｏ１ｏ８．．Ｎ
Ｆｂ０１ｅ．２１
ＣＨＩＮＥＳＪＥＯＵＲＮＡＬＯＦＥＮＧＩＮＥＥＲＩＮＧＡＴＨＥＭＡＴＩＭＣＳ
文章编￣：０ —０５２１）１０８ —６－０５３８（０１０・０１０１
（０，ｏ和（００＋Ｅ上均为常数，但口一Ｅａ）口，０）
ｉｄｘ（（１・０ ≠ ｉｅＴａ，，）ｎｅＴａ），）ｎｘ（（２・０ｊ）ｄ）

一类带B—D反应项的捕食模型平衡解的局部分歧及稳定性

Ｌｏａｉｕｃｔｎａｄｓａｉｔｆｓｅｄ —ｔｔｏｕｉｎｃｌｂｆｒａｉｎｔｂｌｙｏｔａｙｓａｅｓｌｔｏｓｏｉ
ｏｒｙ。ｒｄｔｒｍｏｅｔ＿ｒｓｏｓｆｐｅ — ｅａｏｄｌｗｉｈＢ－ｅｐｎｅｐＤ
ＦＥＮＧａ — ｈｕ，ＬＩＹａ — ｎＸｉｏｚｏｎｌｇｉ
（ｌｇｆＭａｈｍａｉｓａｄＩｆｒｔｎＳｉｎｅＳａｎｉＣｏｌｅｏｔｅｔｎｎｏｍａｉｃｅｃ，ｈａｘｒｌｅｃｏＮｏｍａｉｅｓｔＵｎｖｒｉｙ，Ｘｉｎ７０６，Ｓａｎｉ ’ １０２ａｈａｘ，Ｃｈｎ）ｉａ
一
ห้องสมุดไป่ตู้
类带ＢＤ反应项的捕食模型 — 平衡解的局部分歧及稳定性
冯孝周，李艳玲
（西师范大学数学与信息科学学院，陕西西安７０６）陕１０２
摘耍：利用局部分歧和稳定性理论，研究了一类带ＢｄｉｔｎＤＡｎｅｓ应项的捕食模型在Ｄｉｃｌ边界条件下ｅｄｎｏ — ｅｇｌ反ｇｉｒｈｅｉｔ半平凡平衡解（，）Ｏ的局部分歧度其分歧解的稳定性，从而得到其正解存在的充分条件度穗定性结果．关键词：局部分歧；半平凡平衡解；稳定性中图分类号：０１５２７．６文献标识码：Ａ文章编号：ｉ０ —８２０）１００ —５０１９８Ｘ（０７０ —０８０

一类具有交叉扩散的捕食模型的整体分歧

而当ｎ＞（），（）在唯一正解．ｑｚ：ｑ时式２存当（）
０，）＝１ａ，（，＞时，这个唯一正解记为．把特
对无交叉扩散情形，文献Ｅ－利用Ｃａｄｌ— ２ｉｒｎａｌ
Ｒｂｎｗｉ分歧理论得到了正解的存在性，ａｉｏｔｚ局部唯
子Ｌ，ａ：一Ａ一（２叫， ∈ Ｃ（。Ｌｗｗ口一）叫２ｎ）Ｎ
Ｃｏ）（
准确反映食饵和捕食者的捕食关系．中则在文献文
Ｅ３的基础上讨论了带有交叉扩散项的情况，出ｚ给了局部分歧解的存在性，并将局部分歧延拓为整体
（）（口）１＋ｍ２（）．Ｍａ）
的存在性，并将局部分歧延拓为整体分歧，而得到正解存在的充分条件．结果表明，从捕食者
和被捕食者在一定条件下可以共存．关键词：捕食一饵；叉扩散；食交分歧；先验估计中图号：Ｏ１５２７．６文献标志码：Ａ
分别表示被捕食者和捕食者的分布密度；，，，ｎｂＣｍｍ为正常数；，，均ａ为非负常数．（）应的式１对
常微分方程，为修正的Ｌｓｉ— ｏｒＨｏｌｇ作ｅｌＧｗｅ和ｅｌｎｉ
△ ＋ｑｚ “一一ｆｘｕ，（）（）。
一
类具有交叉扩散的捕食模型的整体分歧
马晓丽
（安工业大学数理系，安７０３）西西１０２

一类具时滞和阶段结构的捕食模型的稳定性与Hopf分支

§ 正平衡点的稳定性及Ｈｐ￣支的存在性２ｏｆ
本节我们将以浠量７－数，论糸统（）为参讨２正半衡点的稳定性和Ｈｐ分支的存在性．ｏｆ
令１＝ｎ１１（ｌ）２０１２（１），１／ｒ＋６，＝０１／ｒ＋６。雪＝Ｃｙａ１＝（１）则系统（）Ｌ／１，１７＋ｂｔ＂，２就变
ｆ（ｎ一ｚ）＠ｂ￡圣＝ｒ（ｎ；一ｌ一）￡ｚｚ）￡）一）（
｛２）ｚ（一ｒｘ（，（＝ｂｌ）２２）ｔ
）＝），
，
（２）
其中，１￡，９（）（分别表示幼体食饵，（２和￡）２）成体食饵和捕食者种群在时刻ｔ的密度，且捕食种群
收稿日期：０８１－３２０ —１０
基金项目：国家自然科学基金（０７２９１６１０）
通信作者，－ｉｔａｘ一０８６．ｍＥｍａｔｉｎｈ２０＠１３ｃ：ｏ
２６８
高校应用数学学报
第２卷第３５期
本文将推广文献『中的模型，７］讨论更为一般的一类具Ｈｌｎ第１类功能性反应的捕食系统ｏｌｇＩｉＩ
０＝１，，１）２）３）∈ （丁０Ｒ０，，３（（，（，（）［，，革）２） ≯ 一】．
本文的目的是以滞量ｒ为参数，对系统（）２进行分析．主要内容为：第２中，ｏｋ等在在节以Ｃｏｅ文献『中引入的方法为基础，８］并参考文献ｆ，为参数，９以丁］讨论（）２的稳定性及Ｈｐ￣支的存在性：ｏｆ￣在第３节中，我们利用Ｈａｓｒｓａｄ等【Ｊ１所介绍的规范型方法，０讨论了有关（）ｏｆ２的Ｈｐ￣支方向，分支周期解的稳定性，最后通过数值模拟验证了所得理论结果．

捕食被捕食三种群系统平衡点稳定性的分析

图２所示．其相应的数学模型为
ｆ一ｌ（一口２２口。。主ｚ口。ｌ一ｌ）ｚｚ
的关系．种群分别记为Ａ，Ｃ，了描述它们之间３Ｂ，为
的关系，以下约定：作
１若种群Ａ供Байду номын сангаас于种群Ｂ，）则记作（Ｈ；Ａ）
群之间相互作用的数学模型出发，论了模型平衡讨
点的稳定性．
１数学模型的建立
３种群相互作用比２群的相互作用复杂一些，种
图１一个捕食者和两个食饵
Ｆｇ１Ｏｎｒｄｔｒａｄｔｏｐｅｓｉ．ｅｐｅａｏｎｗｒｙ
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第１期
林琳等：食被捕食三种群系统平衡点稳定性的分析捕
１３４
ｆ１ｘ，３，（，２ｌ）一０丁
型为
ｒ主１一ｌ（１口１一口２２ｚ口。～ｌ１ｚ１１ｌ）ｚ
２＝ｚ（ａ０－ａ１１ａ２＇一ａ３２）（）２一２４２ｌ一２ｚ－ｚ．２２．１３３
２（）根据３群间的相互作用，８￡，。种建立了３不同的个
Ｉ一ｚ一３口。口ｚ奎（口＋弛一 ∞。。。。）
收稿日期：０６０ —３２０ —９１
基金项目：国家自然科学基金（０７００）兰州交通大学 ‘ 蓝 ’ 才工程基金资助计划资助（．５１Ａ）６４３３４；青人Ｑ１０ —８－作者简介：林琳（９３）女，１８一，山西运城人，士研究牛．硕

一类具有交叉扩散项的捕食-食饵模型的局部分歧

一类具有交叉扩散项的捕食-食饵模型的局部分歧容跃堂;董苗娜;何堤;王晓丽【摘要】研究一类带有交叉扩散项的捕食-食饵模型在齐次Dirichlet边界条件下分歧解的存在性.利用极大值原理和上下解法得到正解的先验估计,并借助Crandall-Rabinowitz分歧理论,得出局部分歧正解存在的充分条件.%The existence of bifurcation solutions for a predator-prey model with cross-diffusion under homogeneous Dirichlet boundary conditions is concerned.By the maximum principle,a priori estimate of positive solutions are obtained.Then by Crandall-Rabinowitz bifurcation theory,the sufficient conditions for the existence of positive solutions to a local bifurcation is proved.【期刊名称】《纺织高校基础科学学报》【年(卷),期】2016(029)004【总页数】7页(P443-449)【关键词】捕食-食饵;自扩散;交叉扩散;先验估计;局部分歧【作者】容跃堂;董苗娜;何堤;王晓丽【作者单位】西安工程大学理学院,陕西西安710048;西安工程大学理学院,陕西西安710048;西安工程大学理学院,陕西西安710048;西安工程大学理学院,陕西西安710048【正文语种】中文【中图分类】O175.26近年来,关于生物数学领域的捕食食饵模型的研究已经成为热点,尤其是对于种群扩散影响下的捕食模型,国内外学者均已取得了一些符合实际的研究成果.文献[1]研究了一类捕食模型的正常数平衡态解的稳定性及分歧;文献[2-3]利用极大值原理和分歧定理研究了一类捕食模型局部解的延拓;文献[4-7]利用分歧定理研究了模型在交叉扩散影响下的正解的存在性问题.在文献[8]中,作者提出了一类具有扩散项的捕食食饵模型,通过给出正解的先验估计及局部分歧解存在条件,进而得到该系统平衡态的全局分歧解及其走向;文献[9]则在上述基础上研究了该类模型在交叉扩散项影响下的分歧.在同时考虑交叉扩散和自扩散项时，本文将继续研究如下捕食-食饵模型在齐次Dirichlet边界条件下正解的存在性，即其中:Ω为RN中具有光滑边界∂Ω上的有界区域;u,v分别表示食饵和捕食者的种群密度;a,b,c,d,α,β都是正常数,m1,m3表示自扩散系数;m2,m4表示交叉扩散系数,反应函数是Bazykin研究捕食者的饱和不稳定性与食饵的稳定性时建立的功能反应函数,生物背景参见文献[10].本文将针对模型(1)的如下平衡态方程展开讨论.注:对于问题(2)的解(u,v),如果在Ω中,(u,v)中只有一个分量为0,则称其为半平凡解. 记}.定义中的范数为通常的Banach空间C1 (Ω)中的范数,令,则X是Banach空间. 首先,考虑特征值问题引理1[11] 假设为常数,则问题(3)的所有特征值满足λ1(p,q)<λ2(p,q)≤λ3(p,q)≤…→∞,相应的特征函数为φ1,φ2,….由文献[11]知λ1(p,q)是简单的且关于q(x)严格单调递增.为方便起见,简记λ1=λ1(0),相应的主特征函数φ1>0.再考虑边值问题引理2[11] (1) 如果a≤λ1,则u=0是问题(4)的唯一非负解;若a>λ1,则问题(4)的唯一正解为θa.(2) 如果c≤λ1,则v=0是问题(5)的唯一非负解;当c>λ1时,其存在唯一正解θc.因此,当a>λ1,问题(2)存在半平凡解(θa,0);当c>λ1,问题(2)存在半平凡解(0,θc).定义Z=(U,V),其中U=(1+m1u+m2v)u,V=(1+m3v+m4u)v,则即(u,v)≥0与(U,V)≥0之间存在一一对应的关系.现在,引入和问题(2)等价的半线性椭圆系统易知,当a,c>λ1时,问题(6)的两个半平凡解分别为,其中.引理3[12] 假设a>λ1,令,则L(a)的特征值均大于0.引理4 设c>λ1,则当cm4>d时,存在唯一的a=a*(c)∈(λ1,∞),满足,且a=a*(c)关于c严格单调递增.此外,∃ψ*≥0满足证明取.显然A(λ1,c)=λ1(-c)=λ1-c<0.由于当a→∞时θa→∞,故有.经计算得又因为与均严格单调递增,可知A(a,c)关于a严格单调递增.从而存在唯一的a=a*(c)>λ1,使得A(a*(c),c)=0.再对A(a*(c),c)=0两边关于c求导,得Aa(a*(c),c)·a*′(c)+Ac(a*(c),c)=0.由于Ac(a,c)<0,结合Aa(a,c)>0得知a*′(c)>0,即a=a*(c)关于c严格单调递增.类似可以证明以下引理.引理5 假设c>λ1,则当aβ>b时,就存在唯一的a=a*(c)∈(λ1,∞),满足,且a=a*(c)关于c严格单调递增.此外,∃φ*≥0满足现在,结合文献[12-13]中的方法给出系统(6)的正解存在的必要条件及先验估计.定理1 当a≤λ1,或者,则问题(6)没有正解.证明若问题(6)存在正解(U,V),由问题(6)中的第2个方程得两边同乘以V,分部积分得由Poincare不等式‖‖，可得,同理可证a>λ1.与已知条件矛盾,则定理1得证. 定理2 设且b-βa(1+αa)>0.若(U,V)是问题(6)的任意正解,则∀x∈Ω,有证明设∃x0∈Ω,使得(x).由于故有,则同理可得由(u,v)与(U,V)之间的关系知定理2成立.现在以a为分歧参数,参考文献[14-19],利用Crandall-Rabinowitz局部分歧定理,给出问题(6)发自半平凡解与的局部分歧正解的存在性.定理3 设且cm4>d,则为问题(6)的分歧点,且的领域内存在正解其中a*由唯一确定,ψ*>0满足证明令其中u,v均为(U,V)的函数.将问题(6)在(U,V)处Taylor展开为这里,偏导数为处的导数值,满足.同时对(U,V)求导,得令,则有显然T(a;0,0)=0.记关于在(a*;0,0)处的Frechlet导数是L(a*;0,0).经计算,L(a*;0,0)·(φ,ψ)=0等价于如果ψ≡0,那么由算子La*可逆知φ≡0,矛盾,所以ψ不恒为零.又,故有因此,算子L(a*;0,0)的核空间N(L(a*;0,0))=span{U0},U0=(φ*,ψ*)T,其中又令L*(a*;0,0)为L(a*;0,0)的自伴算子,类似可得由Fredholm选择公理知因此可得dimN(L(a*;0,0))=1,codimR(L(a*;0,0))=1.令,下面采用反证法证明假设∃(h,k)∈X,使得L1(a*;0,0)·(φ*,ψ*)=L(a*;0,0)·(h,k).经计算得那么有两边同时乘以ψ*,分部积分得由于cm4-d>0,且θa关于a严格单调递增,则上式左端大于0,矛盾.由Crandall-Rabinowitz局部分歧定理知,存在充分小的δ>0及C1连续曲线(a(s):Φ1(s),Ψ1(s)):(-δ,δ)→R×X满足a(0)=a*,Φ1(0)=0,Ψ1(0)=0,Φ1(s),Ψ1(s)∈Z 使得(a(s):(φ*+Φ1(s)),s(ψ*+Ψ1(s)))是T(a(s):的零点,其中X=Z⨁N(L(a*;0,0)),由于,因此可得到发自的局部分歧正解Γ*.同理可得到发自半平凡分支的局部分歧正解.定理4 设且aβ>b,则为问题(5)的分歧点,且的领域内存在正解a*由唯一确定,φ*>0满足充分小.这里(Φ2(s),Ψ2(s);a(s))是连续函数,满足a(0)=a*,Φ2(0)=0,Ψ2(0)=0,∫Ωψ2φ*dx=0,且RONG Yuetang,DONG Miaona,HE Di,et al.The local bifurcation for a kind of prey-predator model with cross-diffusion[J].Basic Sciences Journal of Textile Universities,2016,29(4):443-449.【相关文献】[1] 周冬梅,李艳玲.一类捕食模型正常数平衡态解的稳定性及分歧[J].科学技术与工程,2010,10 (23):5615-5619.ZHOU Dongmei,LI Yanling.Stability and bifurcation of positive constant steady-state solution for predator-prey model[J].Science Technology andEngineering,2010,10(23):5615-5619.[2] 李海侠,李艳玲.一类捕食模型正平衡解的整体分歧[J].西北师范大学学报:自然科学版,2006,42(2):8-12.LI Haixia,LI Yanling.Bifurcation of positive steady-state solutions for a king of predator-prey model[J].Journal of Northwest Normal University:Natural Science,2006,42(2):8-12. [3] 王妮娅,李艳玲.一类带收获率的的捕食模型的全局分歧和稳定性[J].安徽师范大学学报:自然科学版,2015,38(1):25-30.WANG Niya,LI Yanling.Global bifurcation and stability of a class of predator-prey models with prey harvesting [J].Journal of Anhui University:Natural Science Edition,2015,38(1):25-30.[4] KUTO K,YAMADA Y.Multiple coexistence states for a prey-predator system with cross-diffusion[J].J Differential Equations,2004,197(2):315-348.[5] 张晓晶,容跃堂,何堤,等.一类带有交叉扩散的捕食-食饵模型的分歧性[J].纺织高校基础科学学报,2014,27(3):322-326.ZHANG Xiaojing,RONG Yuetang,HE Di.Bifurcation for a prey-predator model with cross-diffusion[J].Basic Sciences Journal of Textile Universities,2014,27(3):322-326.[6] DUBEY B,DAS B,HASSAIN J.A prey-predator interaction model with self and cross-diffusion[J].Ecol Modelling,2002,141:67-76.[7] ZHANG Cunhua,YAN Xiangping.Positive solutions bifurcating from zero solution in a Lotka-Volterra competitive system with cross-diffusion effects[J].Appl Math J China Univ,2011,26(3):342-352.[8] 冯孝周,吴建华.具有饱和与竞争项的捕食系统的全局分歧及稳定性[J].系统科学与数学,2010,30(7):979-989.FENG Xiaozhou,WU Jianhua.Global bifurcation and stability for predator-prey model with predator saturation and competition[J].Journal of System Science and Mathematical Sciences,2010,30(7):979-989.[9] 何堤,容跃堂,张晓晶.一类具有交叉扩散的捕食-食饵模型的分歧[J].纺织高校基础科学学报,2015,28(4):426-430.HE Di,RONG Yuetang,ZHANG Xiaojing.Bifurcation for a prey-predator model with cross-diffusion[J].Basic Sciences Journal of Textile Universities,2015,28(4):426-430.[10] BAZYKIN A D.Nonlinear dynamics of interacting population[M].Singapore:World Scientific,1998.[11] 叶其孝,李正元,王明新.反应扩散方程引论[M].北京：科学出版社,2011:40-56.YE Qixiao,LI Zhengyuan,WANG Mingxin.Introduction of reaction-diffusionequations[M].Beijing:Science Press,2011:40-56.[12] 何堤,容跃堂,王晓丽,等.一类具有交叉扩散的捕食-食饵模型的局部分歧[J].西安工业大学学报,2015,35(11):872-876.HE Di,RONG Yuetang,WANG Xiaoli,et al.Local bifurcation for a prey-predator model with cross-diffusion[J].Journal of Xi′an Technological University,2015,35(11):872-876.[13] 容跃堂,何堤,张晓晶.带交叉扩散项的Holling Ⅳ捕食-食饵模型的全局分歧[J].纺织高校基础科学学报,2015,26(3):287-293.RONG Yuetang,HE Di,ZHANG Xiaojing.The global bifurcation for a prey-predator model with cross-diffusion and Holling Ⅳ [J].Basic Sciences Journal of TextileUniversities,2015,26(3):287-293.[14] 马晓丽,冯孝周.一类具有交叉扩散的捕食模型的正解的存在性[J].安徽大学学报:自然科学版,2011,35(5):26-31.MA Xiaoli,FENG Xiaozhou.The existence of positive solutions for a predator-prey model with cross-diffusion[J].Journal of Anhui University:Natural Science Edition,2011,35(5):26-31.[15] 马晓丽.一类具有交叉扩散的捕食模型的整体分歧[J].西安工业大学学报,2010,30(5):506-510. 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一类具有时滞的捕食者-食饵模型的稳定性和Hopf分支

一类具有时滞的捕食者-食饵模型的稳定性和Hopf分支一类具有时滞的捕食者-食饵模型的稳定性和Hopf分支摘要：捕食者-食饵模型可用于研究生态系统中的捕食行为和食物链稳定性。

在现实生态系统中，许多因素会对捕食者与食饵之间的相互作用产生影响，其中一个重要因素就是时滞。

本文通过引入时滞因素，研究了一类具有时滞的捕食者-食饵模型的稳定性和Hopf分支。

通过数学模型的建立与分析，我们得到了该系统的平衡点存在以及Hopf分支发生的条件，并利用MATLAB软件进行了数值模拟。

结果表明，时滞对系统的稳定性和动态性质具有重要影响，适当的时滞引入可以使系统产生周期性振荡。

1. 引言生态系统中的捕食者-食饵关系是一个重要而复杂的生态现象，其研究可以揭示自然规律并帮助我们更好地了解生态系统的运行机制。

捕食者-食饵模型在生态学中被广泛应用，其中Lotka-Volterra模型是最经典的一种。

2. 模型的建立我们考虑一个具有时滞的捕食者-食饵模型，其中食饵种群用x表示，捕食者种群用y表示。

模型可以表示为以下方程组：dx/dt = ax(1 - bx) - cxy(t - τ)dy/dt = -fy + hxy(t - σ)其中a, b, c, f, h是正常数，τ和σ是时滞参数。

3. 平衡点的存在性首先，我们研究该模型的平衡点的存在性。

设平衡点为(x0, y0)，即dx/dt = 0，dy/dt = 0。

通过求解方程组，我们可以得到平衡点的表达式。

4. 稳定性分析接下来，我们研究平衡点的稳定性。

通过线性稳定性分析，我们可以判断平衡点的稳定性。

当α = β = 0时，模型简化为传统Lotka-Volterra模型，它的平衡点为(0, 0)和(1/b, 0)。

根据稳定性分析，我们得到当r < 1时，平衡点(0, 0)是稳定的；当r > 1时，平衡点(1/b, 0)是稳定的。

其中r = ah/(bf)。

5. Hopf分支的发生条件在本文的模型中，我们引入了时滞参数τ和σ。

一类具有时滞的捕食系统的稳定性与Hopf分支

２ｎ１＋ａ１）（１１Ｃ
Ｙ＝［Ｂｒ＋Ｃ１一ｎ１ｈ—ａ）＋［Ｂｒ＋（ｈ１ｒ１Ａ１（ｈ１
ｆ＝ｒｎ（一号）一ｔ（）＿【
【ｒ）一ａ（［ｙｔ１ｒ］＇
】，，
、
Ｃ１一ａｌｈ—ｎ）ｒｌＡ１＋４ｎ１＋ａｌｈＡ１（１Ｂｌ）ｒ］／Ｃｌ
的存在性问题。
关键词：捕食系统；时滞；Ｈｐ分支；李雅普诺夫泛函；全局稳定性ｏｆ中图分类号：Ｏ７．４１５１文献标识码：Ａ
Ｓａｌｔｎｐｆｃｔｏｏｄａｏ－ｒｙＭｏｌｗｉｈｍｅＤｅａｔｂｉｙａｄＨｏｆＢｉｕｒａｉｎｆａＰｅｔｒｐｅｄｅｔＴｉｌｙｉ
对捕食系统的分析在生物数学的研究中具有十
容易验证，系统（）１具有唯一正平衡点Ｅ，（Ｙ，中）其
＝
分重要的地位和作用。文献［］１对此做了比较系统的分析。笔者将讨论具有Ｂｄｉｔｅｄｎｏ能性反应函ｇｎ功数的捕食者一饵模型及其正平衡点的局部和全局食
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第ｌ９卷第３期
２００７年６月
军
械
工
程
学
院
学
报
Ｖ１１ｏ３０．９Ｎ．
ＪｕｎｌｏｄａｃｎｉｅｒｇＣｏｅｅｏｒａｆＯｒｎｎｅＥｇｎｅｉｌｇｎｌ
Ｊｎ，２０ｕ．０７
文章编号：１０２５（０７３－０６－３０８— ９６２０）００７０

一类捕食模型椭圆方程解的稳定性

，
其中 △代表Ｌｐａｅａｌｃ算子，（，）ｖｘｔ分别表示食饵和捕食者种群密度，以上参数均为正ｔ和（，）常数，其生物意义参见文献［。为了减少系统（）１】１所含参数的个数，假定扩散系数相等，令面＝ｎｕｈ，＝（ａｒｖｎ／），＝（／），ｄ＝ａ／，ｍ＝ｎＫ，ｒａｔｃｒｈ＝ａ／ｈ）ｂ（ｒ
ｍ
＝
摘
要：本文在Ｄｉｃｌｔｒｈｅ边界条件下研究了一类带种内相食的捕食模型的平衡态问题。利用谱分析和分ｉ歧理论的方法，给出了发自半平凡解的局部分歧，得到了局部分歧解的结构。同时，利用线性算
子的扰动理论，证明了该局部分歧正解是无条件稳定的。最后利用整体分歧理论，将局部分歧延
８０６
工
程
数
学
学
报
第２卷７
２准备知识
首先给出一些相关的基本结论。
设ｑｘＥ（，线性特征值问题（）豆）Ａｕ＋ｑｘｕ＝Ａ，（）ｕ ∈ＱＵ：０Ｘ∈ａ，，Ｑ
的所有特征值可排列为１ｑＡ（）Ａ（） … ，其中Ａ（）（）＜２ｑ３ｑｌｑ是单重的主特征值，且关于ｑｘ严格单调递增【。简记１ｌ０。（）。］＝（）
（）３
ｚ∈０Ｑ
收稿日期：０９０ — ７作者简介：查淑玲（９５２２０ —５０．１６年１月生），女，副教授．研究方向：微分方程及计算可视化基金项目：国家自然科学基金（０７１４；渭南师范学院基金（０ＫＦ１）１９１２）１Ｙ０６：陕西省重点学科扶持项目．

一类带Mound—Haldane反应项的捕食模型的局部共存解的存在性及其稳定性

』（詈一Ｕ＞１）ａ２０一一－，￡［－＜一７ｄ￡Ｉ＂一）＞０ｒｌｃｕＩ一
一
其中是边值问题的解
ｆＡｕ — ｕ（ — ｒ一）ｚＥ，ｎｌ一０，ａＵｚＥｎ
，
ｕ
存的平衡态，这种状态是稳定的．且
关键词：平衡态；分歧解；稳定性中图号：Ｏ１５２７．６文献标识码：Ａ
文献［］１中考察了下面常微分方程组捕食系统
由文献［，］可知，２５系统（）存在半平凡解（，）２Ｏ，
５６９
（ｎ— Ｕ）（ ’ △ ＋ｒ一２ｕ— ｎ＋）ｃａ一）（
’
西安工业大学学
Ｕ
报
第２卷７
ａ上
Ｕ２
△ ＋６＋
且当仅ｊ一，上ｏ际实』一一叩一叩一一如 △ 一如
１共存解的存在性
在本节中，要利用局部分歧理论，主考察了发
１一Ａ一（一十，ＥｎｔＩｕｒ）ｚ，一口＞０
０设１一（）∈，ｄ ’ 是Ｂａａｈ空（，）系统（）定义成一个映射Ｆ：Ｅ △ ＋，ｎ￡自半平凡解，处的局部共存解的存在性．ＥＸ一６ｚｎ０ｎｃ间把２
…
．
式中：，Ｕ分别为食铒和捕食者的浓度，ｒ是，且，，
文中主要应用局部分歧理论及特征值扰动理
论，到系统（）半平凡解（０处存在分歧解得２在，）

一类捕食-食饵模型平衡解的分歧

第２卷第１Ｏ期２１年３００月
洛阳理工学院学报（自然科学版）
ＪｕｎｌｆｕｙｎｓｔｔｏｃｎｅａｄＴｃｎｌｇ【ｔｒｌｃｅｃｄｔｎｏｒａｏａｇＩｔｕｅｆＳｉｃｎｅｈｏｏｙＮａｕａｉｎｅＥｉｏ）ｏＬｎｉｅＳｉ
同：理
＜（ｉｄ￣（１Ｊｅ－ｒＩ＋＜＝＋一ｅ＜＝＋＜。。．十）ｄ，ｏ＞／ｏ＞一ｕ，＋＋ｖ＝ｂ＝ｅ
“
，
下面讨论在ｄ＜三
ｍ
＞ｂ ‘ 条件下系统（的唯一常数正平衡解（，）１）ｖ的稳定性。，）ｂｂｖ：ａ — ｕ一ｌ，（）＋：一
Ｖｏ２．Ｌ０Ｎ０１
Ｍａ．２１ｒ００
一
类捕食．食饵模型平衡解的分歧
沈林，周红玲
（淮学院数学科学系，河南驻马店４３０）黄６００
摘
要：究了一类特殊的捕食研食饵模型正解的分歧，给出了正解的先验估计及正常数解的稳定性，利用特征值和
洛阳理工学院学报（自然科学版）
证 ①因｛明为ｌ
Ｉ
ｆ一一，Ｑ一：， △ ∈
：
０， ∈ａＱ，
＋
若）＿＞，由理＝Ｑ０则引２ｍａｘ得 “
口一６
。一
。。
由于ｃ＞。ｖｘ）（ｏ
，
所６），（＜，以＜。因－＜＋以一（＞即詈所詈又为Ａ－ｍ。）ｖ１＋ｄＰＶｉ

一类捕食-食饵模型平衡解的分歧性研究

在一维区间＝（，，Ｏ１ｌ＞０中，（））系统１简化为
”
一
（ｉｉ）记
，的伴随算子Ｌ，Ｌ＝Ｊ
＝。Ｈ一６一ｒ —
＝一
（ △
Ⅳ（）＝ｓａｐｎ｛
：
）ｉ的法可得）方，以到
｝，
，，
一
ｆｚ＋
则所有的特征函数构成Ｌ（，）空间的一组正规正０１
交某
２１０２年１１月５日收到
＼一 — — ／。ｆ一ｈ —Ａ一１。ｏＡ
可见，若是的特征值，当且仅当对某些ｉ ≥ ０，系数矩阵退化，即＋Ｐ＋Ｑ＝０。其中Ｐ＝
＝０，
（）
＝０，ｌ
２
ｕ＝
＼（ △ ／一Ｔｎ
一鲁
记Ｙ＝Ｌ（Ｚ０，０，）ＸＬ（Ｚ）为Ｈｌｅｔｉｒ空间，ｂ对应
又因为（）＝（），以Ｌ Ⅳ（）所ｃｄｍＬ＝ｄｍ（Ｌ）＝１。ｏｉＲ（）ｉ Ⅳ（）（ｉｉ）由（ｉ，）＝（，）２：１＞０，，Ｌ得岳Ｒ（）。综合（ｉ）（ｉ）（ｉ）局部分歧三、ｉ、ｉ和ｉ定理可知结论成立。令Ｊ为满足。＞Ａ．，＋Ａ）的最大的Ａｆ的
（，）是局部渐进稳定的。当０＞ｆｕｏ时，时此
Ｐ＝ｏ。ｆ～口＜０所以存在Ｒｔ０，常数平衡解，ｅｚ＞即
１期１
一类捕食一食饵模型平衡解的分歧性研究

一类捕食与被捕食模型的平衡态局部分歧解及稳定性

维偏微分方程组的情形，到形如式（）的反应得１扩散系统，而使系统更具有实际生物意义．文从本
注的是两个物种能否共存或一种持续存在而另一
种消亡的情形．从数学角度讲，反应扩散方程的是
平衡态系统正解的存在性与稳定性的研究．
考察如下的反应扩散系统 ¨ ：５］
主要对式（）的平衡态系统（１长时行为）的共存解
的存在性及稳定性进行了研究，得到了两个半平凡解（，）（，）部分歧解存在的充分条件，Ｏ和Ｏ局并
｛一 △一一干Ｕ，ｎ＞且证明了半平凡解（ｒＯ生的局部分歧解是无 “ 一＇ｚ，ｏＵ ∈￡干Ｏ，）产
ｒ走，，，ｃ，ａｂ，ｄ，ｅ，ａ卢为正常数，食者以，捕
且证明了半平凡解（Ｏ，）产生的局部分歧解是无
条件稳定的．明在空间的子区域ｎ中，说满足式
（）１两种捕食与被捕食的生物经过长时间相互作
Ｊ一。６干，ｎ＞条件稳定的．一ｚ一一ｚ，ｏ △ Ｕ ∈ “ Ｖ
ｘｏ一ｏｚ ≥ ，ｌ（，） “（）０ ≠ ０ｕ；
ｘ０ｌ（，）一Ｖ（）≥ ０ ≠ ０ｚ∈ ｎｖｏｚ，，
ｌ “＝＝０ ∈ ａｔ０，ｎ，＞
文献Ｅ－讨论了这类带Ｂｄｉｇｏ — ｓ１只ｅｄｎｔｎＤＡｎｅｓｅｇｌ反应项的一维常微分方程组捕食模型ｉ

一类稀疏效应下捕食模型正平衡态解的稳定性

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第３Ｏ卷
第１期
三峡大学学报（自然科学版）
ＪｏｉａＴｈｅｒｅｉ．ＮａｕａＳｉｎｅ）ｆＣｈｎｒｅＧｏｇｓＵｎｖ（ｔｒｌｃｅｃｓ
Ｖｏ１３ＯＮＯ．．１
２００８年２月
Ｆｅ２０ｂ．０８
一
类稀疏效应下捕食模型正平衡态解的稳定性
别群益赵琼。
４００）３２５４３０；２４０２．湖北经济学院信息管理学院，汉武
（．三峡大学理学院，北宜昌１湖
摘要：虑了一类齐次Ｎｅｍａｎ边界条件下具稀疏效应和扩散的捕食者一考ｕｎ食饵模型，通过建立适
当的Ｌａｕｏｙｐｎｖ函数得到其唯一的正平衡态解的全局渐近稳定性．关键词：疏效应；捕食一铒系统；扩散；全局渐近稳定性稀食中图分类号：７．５０１５２文献标识码：Ａ文章编号：６２９８（０８０ — １５０１７ —４Ｘ２０）１００ — ２
．
ＧｌｂｌＳｔｂｌｔｆＰｏｉｉｅＥｑｕｌｂｉｍｆａＣｌｓｆｏａａｉｉｙｏｓｔｖｉｉｒｕｏａｓｏＰｒｙｐｒｄｔｒＳｙｔｍｓｗｉｈＳｒｅＥｆｅｔｅ。ｅａｏｓｅｔｐａｓｆｃＢｅＱｕｙＺａｏｇｉｎｉｈｏＱｉｎ。

一类捕食模型正常数平衡态解的稳定性及分歧

∈ ．
平衡态解的Ｔｆｇ不稳定性及其一致渐近稳定性，ｕｎｉ
基于文献［ —７利用ＬｒｙＳｈｕｅ度理论和分歧３］ｅａ—ｃａｄｒ
式（），，）（ｔ分别表示食物和猎物的种１中（ｔ，，）群密度， ∈ Ⅳ≥１是一个具有光滑边界ａ的ＱＲ（）Ｑ有界区域，ａ上的单位外法向量，凡是ｎｄ表示对应于的扩散系数，次Ｎｕａｎ边界条件表示环境齐ｅｍｎ
一
：０．
ｏｎｏｎ
△ ＝（ｕ一一）ｕＨ。６，
∈ ＞，Ｑ，０
容易看出当ａ＞ｂ时，系统（）在惟一正常数平衡１存
詈＝一ｕｖ ∈，一１ｚ）Ｑ（＋－，，
Ｏｕ
：
态解，记＝（）＝（ＬＯ，Ｏ，ｌ１，中＝一）其
第１０卷
第２３期
２１８月００年
科
学
技
术
与
工
程
Ｖｏ．０Ｎ．３Ａｕ．００１１ｏ２ｇ２１
１７－８５２１）３５１ —６６１１１（００２－６５０
ＳｉｃｅｈｏｇｎｎｎｅｎｃｎｅＴｃｎｌｙａｄＥ￣ｅｆｇｅｏｉ
ａ＋ｖ
— —
Ｏｖ
：
（）
。， ∈ｍ，。，＞
／＋厂一ｃａ（＋）２４ｂｃ
，
＝
一
பைடு நூலகம்

一类食饵—捕食征税模型分析

中图分类号：０７．１５１文献标识码：Ａ
Ｏ引言
在征税的情况下，文献［］１研究了一类单种群模型，文献［］２ｑ研究了捕食者的功能反应函数为比例依赖型的食饵～捕食两种群相互作用模
型．本文研究捕食者种群具有第二类功能反应函数的如下食饵一捕食模型：
Ⅱ类功能反应函数）ａ，为转化率，为了对资源进行
定的保护，对捕获的种群资源Ｙ征收一定的税，设单位资源Ｙ的税收为ｒ（ —ｒｑ —ｃ表示捕，Ｐ）ｙ］
一
Ｅ，）其中
。
＝
＋— 一【一，， √ ＼／ｒｊ】 ’
＋
获者所获得的纯经济收入，其中ｑ表示捕获能力，ｐ表示单位资源Ｙ的价格，表示单位努力度的成本，ｃａ为比。例系数，关于＝ａ（ｒｑ — ］。ｐ— ）ｙｃ的具体解释见文献［］３．将系统（）１改写为
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第５期
孙军芳，：类食饵一捕食征税模型分析等一
６５５
证系统（）２在正平衡点Ｐ。Ｙ，）（，。Ｅ。的
雅可比矩阵为
一
一 Βιβλιοθήκη ＝３（
ｑ）＝０３＝０ｙＥ
（）３
・
＋
），
’
Ｅ＝ｓ一。１
定当理ｌ素＞
）＋
］
时正衡，平点
Ｐ。．，。局部渐近稳定．（，。Ｅ）ｙ
① 收稿日期１０７６３２０ —０ —１
基金项目：中国博士后科学基金资助项目（０Ｏ９Ｏ８．２６３Ｏ２）Ｏ作者简介：孙军芳（９３女，１一）甘肃秦安人，８兰州交通大学数理与软件工程学院硕士研究生

具有非线性扩散的捕食一食饵模型的整体分歧

基于害虫的生物控制、化学控制和综合管理策
密度，ｙ代表捕食者的捕食效率，ｄ代表食饵转化为捕食者的转化率。参数。Ｙｄ均为正常数，，，Ｃ可正可负，Ｃ＞０表示捕食者有其他的捕食来源。
在模型（）中，１１一ｅ即为Ｉｌｖ功能反应ｖ型ｅ
略，考虑非线性扩散的捕食．食饵模型Ａ［１＋Ｏ）（／］＝（Ｖａ—ｕ）一ｙ１一ｅ）（一， “
一
∈ Ｑ
—

Ａ［＋ｉ（
ｌ
函数，最早由Ｉｅ＿提出。对无扩散情形，［］ｖｖ１ｌ文２得到食饵灭绝和持续生存的充分条件。对一般扩散
Ｕ
＝０．
情形，（，）＝（，），文［］利用分歧理论即Ｏ／００３
得到分歧正解的存在性和稳定性。对带此类非线性扩散项的ＬｔａＶｈｒｏ－ｏｅｒｋａ捕食一饵模型，［］给食文４
其中Ｑ是Ｒ中具有光滑边界的有界开区域，ｕ和分别表示食饵（害虫）和捕食者（敌）的种群天
ＡｂｔａｔＡｎｎｉｅｒｄｆｓｖｒｄｔｒｐｅｄｌｉｓｕｉｄｕｄｒＤｉｅｌｔｂｕｄｒｏｄｔｎ．ｓｒｃ：ｏｌａｉｕｉｅｐｅａｏ－ｒｙｍｏｅｓｔｄｅｎｅｒｈｅｏｎａｙｃｎｉｏｓｎｆｉｉＳｍｅａｐｏｓｍａｅｒｒｔｅｖｄＴｅｙｉｖｓｉａｉｇｔｅｃｒｅｐｎｉｇｅｇｎａｕｒｂｅｏｒｒｅｔｔｓａｅｆｓｙｄｒｅ．ｈｎｂｎｅｔｔｈｏｒｓｏｄｎｉｅｖｌｅｐｏｌｍｉｉｉｉｌｉｇｎ

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（）２
必要条件，以及多解存在性及稳定性的必要条件。文献［］中讨论了具有双饱和项的互惠系统模型，４利用微分算子的谱性质和计算不动点指标的方法得到了正解存在的充分条件，文献［］讨论了一般形式５的捕食．饵模型，食利用解耦和全局分歧理论得到
以第二边界条件为例，到了非常数正解的存在性得
＝
＋６一
， ∈
＞０，
及其一些性质。文献［］中，扩散系数相同，在３若得
到了正解存在性的充分必要条件，一正解的充分惟
Ｂ（ｔｕ，）＝０Ｂ（ｔ＝０， ∈ ａｔ≥ ０，ｖ，），，ｕｘ０＝Ｕ（（，）ｏ）≥ ０，≠ ０ ∈ ，，（０＝Ｖ（，）０）≥ ０，≠ ０ ∈ 。，
文献［］１中给出如下一类在空间中分布均匀的
捕食．饵生态模型食ｄ－ Nhomakorabea（ｘｒ
－
ｂｘ一ｌ
ｔ＞。，
＿２燕），（一ｙｒ＇
（）＞０Ｙ０＞０，０，（）
主要以第一边界条件为例讨论系统（）的平衡态系２
了正解存在的充分条件。文讨论系统（）在半平本３凡解处的分歧解及其稳定性。
其中：是
中具有光滑边界ａ的有界区域；，Ｕ
分别表示在区域内中食饵（ｒｙ和捕食者ｐｅ）（ｒｄｔｒｐｅａｏ）的密度；参数ａａ，２ｂｋ，２都是正常，１ａ，，１ｋ
统解的某些性质。系统（）的平衡态系统为２
△Ｍ＋口 — ＭＭ２一：Ｍ：０
，
∈
，
并利用正不变吸引子和Ｌａｕｏｙｐｎｖ函数得到了上述
Ｕ＋．
模型正解的存在性及其全局稳定性。对于系统式（）如果在区域中分布不均匀，１，并
令ｂ＝１模型变为，
ｕ＝ △ｕ＋ｎｕ — ｕ２一
Ｕ十
＋６一
Ｕ＋
：０， ∈ ，
（３
Ｕ＝ｕ， ∈
ｔ
＝０， ∈ ａ，
而与系统（）中反应项类似的模型已经取得了很好３
＞０，
的一些结果。文献［］中，果扩散系数不相同，在２如
下，分歧解的存在性和稳定性。方法关键局部分歧及其稳定性理论，线性化算子的扰动理论。结果
在半平凡解（０处存在正解分歧，分歧解稳定。结论０，）且
词：食－捕食饵系统；主特征值；局部分歧；定性稳文献标识码：Ａ中图分类号：７．６Ｏ１５２
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－
——
—
５８－２ — — —
ｆ上＋ａｔ— ｌ＝０， ∈ ， △ｌ／上
西北大学学报（自然科学版）
，、＾
第３７卷
另外，Ｃ（令）是一般的Ｂｎｃ间，ａａｈ空
ｉ０ ∈ 。Ｍ：。
收稿日期：０６０－１２０－６１
基金项目：国家自然科学基金资助项目（０７１）教育部优秀青年教师基金资助项目１５１；１５作者简介：王小玲（９９，，１７一）女陕西铜川人，陕西师范大学硕士生，兰州交通大学助教，从事偏微分方程研究。
ｑ
ｃ（）＝｛ｌｃ（）ｌ上∈ ：上＝０ ∈ ａ，＝，｝Ｘ
Ｃ（）ＸＣ（。）
由文献［，］， ≤Ａ（。一６７知当ａ。Ａ为 △在第一边界的主特征值）时，程（）的非负解只有零解；方４口 ≥Ａ时，有惟一正解０。因此，固定参数ａ＞Ａ，得到系统（）的半平凡解（０。３０，）
数。边界的形式为第一边界条件或者第三边界条
件，Ｂ即ｕ＝Ｍ者Ｂ＝＿或ｕｏｕ＋ｂ（Ｍ其中表示。）
，
首先，论系统（）的半平凡解的存在性。讨３当善０时，系统（）为３
０ｎ
０ｎ
单位外法向量的方向导数，（ｂ）≥ ０， ∈ ａ。
推广了模型多解的条件。
文章编号：００２４２０）４０２－４１０－７０７０－７０Ｘ（５对于系统（）本文关注的是两个物种是否能２，共存或者一个物种消亡而另一个物种存在，即平衡态方程的某些性质。由于第一边界条件与第三边界条件类似，文本
一
类捕食模型正平衡解的局部分歧及稳定性
王小玲，李艳玲
（．１陕西师范大学数学与信息科学学院，陕西西安
７０６；．１０２２兰州交通大学数理与软件工程学学院，甘肃兰州
７０７）３００
摘要：目的讨论一类捕食．饵生态模型的平衡态系统在第一边界条件（者是第三边界条件）食或
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西北大学学报（自然科学版）２００７年８月，３第７卷第４期，ｕ．２０，ｏ．７Ｎ．Ａｇ，０７Ｖ１，ｏ４３
ＪｕｎｆｏｔｗｓＵｉｅｉＮｔａＳｉｃｄｔｎｏｒａｏｒｅｔｎｖｒｔｌＮｈｓｙ（ａｒｌｃｅｅＥｉｏ）ｕｎｉ