107024_组合与组合数公式_韩庆文
组合与组合公式
4 m,
所以m-3=4，m=7. 答案：7
1.理解组合的定义，区别排列与组合之间的关系. （1）有序与无序的区别. （2）同是从n个不同元素中取m个元素，但是组合
一旦取完就结束，而排列还要继续进行排序. 2.理解组合数的定义与公式
从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的 所有 组合数 不同组合的个数 ，叫做从 n 个不同元素中取 定义 出 m 个元素的组合数 表示法 组合数 公式
个不同的和？ 个不同的商？
组合问题, C
2 4
③从1，3，5，9中任取两个数相除，可得多少
排列问题,但不是求 A
2 4
例2、计算：
（ 1） C
4 7
（ 2） C
7 10
例3：解含组合数的方程
(1)方程 Cx 1 C2x 3 的解为__________. 13 13 【解析】(1)由原方程得x+1=2x-3或x+1+2x-3=13，
0 x 1 13, 0 2x－3 13, 所以x=4或x=5，又由 x 1 N*, 2x－3 N *. 3 得 2 ≤x≤8且x∈N*，所以原方程的解为x=4或x=5.
答案：x=4或x=5
17n 3n C C 例4：求值： 2n 13 n .
所有不同排列的个数叫做从n个不同的元素中取
m 出m个元素的排列数.用符号 n 表示.
A
排列数与排列数公式
从 n 个 不 同 元 素 中 取 出 m(m≤n) 个 元 素 排列数 的 所有不同排列的个数 ，叫做从 n 个不同 定义 元素中取出 m 个元素的排列数 排列数 表示法 乘积 形式 阶乘 形式
m Cn
乘积形式 阶乘形式
人教版高中数学选修2-31.2.2《组合与组合数公式》教学设计
1．2．2组合第一课时 组合与组合数公式教学目标：1.理解组合与组合数的定义，明确组合与排列的联系与区别，能判断一个问题是排列问题还是组合问题2．会用公式和性质处理简单的计算问题。
教学重点：理解组合与组合数的定义教学难点：会用选择恰当的公式计算和证明 授课类型：新授课 教学过程：一、复习引入：复习排列数的定义：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数，用符号mn A 表示探究：问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？问题2：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？ 师引导学生观察：示例1中不但要求选出2名同学，而且还要按照一定的顺序“排列”，而示例2只要求选出2名同学，是与顺序无关的引出课题：组合．．． 二、讲解新课：类比排列给出组合定义1组合的概念：一般地，从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合学生活动：在课本划出定义并找出关键点说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶()m n ≤ 学生活动：小组讨论1.比较排列和组合定义找出两者的区别与联系2.什么是相同的排列与组合 例1．判断下列问题是组合还是排列(1)一个小组有7名学生，现抽调5人参加劳动； (2)从5名同学中选4名组成代表团参加对外交流；(3)从5名同学中选4名组成代表团去4个单位参加对外交流；2．组合数的概念：从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．．．．用符号mn C 表示． 3．组合数公式的推导：（1）回顾引例问题找到排列数与组合数的关系（2）从4个不同元素,,,a b c d 中取出3个元素的组合数34C 是多少呢？启发：由于排列是先组合再排列．．．．．．．．．，而从4个不同元素中取出3个元素的排列数34A 可以求得，故我们可以考察一下34C 和34A 的关系，如下：组 合 排列dcbcdb bdc dbc cbd bcd bcd dca cda adc dac cad acd acd dba bda adb dab bad abd abd cba bca acb cab bac abc abc ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,→→→→ 由此可知,每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求从4个不同元素中取出3个元素的排列数34A ，可以分如下两步：① 考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共有34C 个；② 对每一个组合的3个不同元素进行全排列，各有33A 种方法．由分步计数原理得：34A ＝⋅34C 33A ． （2）推广：一般地，求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数mn A ，可以分如下两步： ① 先求从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数m n C ；② 求每一个组合中m 个元素全排列数m m A ，根据分步计数原理得：m n A ＝m n C m mA ⋅． （3）组合数的公式：(1)(2)(1)!m m n nm m A n n n n m C A m ---+==或)!(!!m n m n C mn -=,,(n m N m n ≤∈*且学生活动：记忆公式规定: 01n C =.三、讲解范例：例2．计算710C ．解法1：710109876547!C ⨯⨯⨯⨯⨯⨯=＝120．解法2：71010!10987!3!3!C ⨯⨯==＝120． 师板书两个公式计算，比较难易度，引导学生选择恰当的公式学生活动：熟记公式，完成针对练习课堂练习1：计算师由特殊例子引导学生总结性质1组合数的性质1：mn nm n C C -=． 课堂练习2：完成市本112页自我测评A 组1、6（1） 师提问学生口答并强调易错点组合数的性质2：m n C 1+＝m n C +1-m nC ． 学生活动：学生板演证明性质2成立证明：)]!1([)!1(!)!(!!1---+-=+-m n m n m n m n C C m n m n )!1(!!)1(!+-++-=m n m m n m n n )!1(!!)1(+-++-=m n m n m m n )!1(!)!1(+-+=m n m n m n C 1+= ∴m n C 1+＝m n C +1-m nC ． 说明：①公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与大的相同的一个组合数；②此性质的作用：恒等变形，简化运算 学生活动：熟记性质完成针对练习 四、课堂小结：学生思考总结：1、本节课重点和难点分别是什么？2、本节课讲解了几类题型 五、课后作业：完成市本第一课时C37)1(C)2(25C C 24362)3(-。
10.3组合与组合数公式
(4) 10人聚會，見面後每兩人之間要握手相互問候，共需 握手多少次? 組合問題 (5) 從4個風景點中選出2個,並確定這2個風景點的遊覽 順序,有多少種不同的方法? 排列問題
如:從 a , b , c三個不同的元素中取出兩個元素的所 有組合分別是: ab , ac , bc 如:已知4個元素a , b , c , d ,寫出每次取出兩個元素 的所有組合。 c b a
m 1 m1 Cn 例2 證明C nm
m n
例3 設 3C 10C
3 n
2 n2
，求n的值。
例4 一平面上，共有20點，無三點共線，可連成 多少條直線？多少個三角形？ 平面上，每兩點可決定一條直線，又20點中 解： 無三點共線，則應可連成的直線有
20 19 C 190 條 1 2
2 20
平面上，不共線的三點可決定一個三角形， 則可連成的三角形有
20 19 18 C 1140 條 1 2 3
3 20
例5 在100件產品中，有98件合格品，2件次品，從這100 件產品中任意抽出3件， (1) 一共有多少種不同的取法? (2) 抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少種? (3) 抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少種? 解: (1) 從100件產品中取出3件的種數是
adb
adc
bda
bdc
cda
cdb
dca
dcb
組合
排列
abc acb abd adb acd adc bcd bdc bac bca bad bda cad cda cbd cdb cab cba dab dba dac dca dbc dcb
abc abd acd bcd
求 A 可分兩步考慮： 3 第一步，先從4個元素中取3個，有 C 4 種情況； 第二步，取出的3個元素作全排列，有 3 A3 種情況；
组合数的计算公式
组合数的计算公式组合数是一类有趣的数字，可以帮助我们解决许多有关组合的问题。
它也有着广泛的应用，是重要的数学工具。
组合数的计算公式作为一种重要的算法，可以帮助我们计算组合数。
首先，我们来看看组合数的定义。
组合数表示从一组候选项中选出n个元素的组合数，其中每个元素有k个可用的选择，并且顺序无关。
它可以表示为：C(n,k)=n!/(k! * (n-k!)）。
其次，我们来讨论组合数计算公式的运用。
组合数的计算公式可以用来计算从一组候选项中选取特定数量的组合的个数。
它可以帮助我们解决问题，比如：有多少种从一组N个数字中选出K个数字的方式？此外，组合数计算公式也可以用来解决组合问题。
它可以帮助我们计算从一组N个数中选出K个数字的组合，并且可以用来解决关于特定组合事项的问题，比如：从一篮子苹果中，怎样可以选出3个，不改变它们原有的排列方式？组合数的计算公式也有着广泛的应用。
它可以用来计算不同形式的组合，比如两者的组合，三者的组合，四者的组合或更多。
它可以用来计算复杂的组合情况，如多组权重的组合，或组合问题的复杂重叠情况。
此外，它也可以用于计算组合期权价值，以及组合投资组合的收益率。
最后，组合数计算公式有着多种变体。
可以采用不同的方法来计算不同形式的组合，这些方法包括：加法原理、乘法原理、排列组合原理、哥德巴赫原理等。
除此之外，还可以采用数学归纳法来证明组合的计算公式的有效性。
总之，组合数计算公式是一种重要的算法，可以用来计算组合、解决组合问题，也有着广泛的应用。
它有着多种变体，可以采用不同的方式来计算组合，也可以用数学归纳法来证明其有效性。
综上所述，组合数计算公式具有实际上的价值，可以帮助我们解决复杂组合问题，从而实现更有效的计算结果。
组合与组合数公式含例题讲解
元素相同问题隔板策略
例.有10个运动员名额，在分给7个班，每 班至少一个,有多少种分配方案？
解：因为10个名额没有差别，把它们排成
一排。相邻名额之间形成９个空隙。
在９个空档中选６个位置插个隔板，
可把名额分成７份，对应地分给７个
班级，每一种插板方法对应一种分法
解：(1) (2)
C
2 10
45
A
2 10
90
例8．在 100 件产品中，有 98 件合格品，2 件 次品．从这 100 件产品中任意抽出 3 件 .
(1）有多少种不同的抽法？ (2）抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有
多少种？ (3）抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有
多少种？
解： (1) C1003161700
元素的所有组合.
a
b
c
bcd
cd
d
ab , ac , ad , bc , bd , cd 6个
练习: 中国、美国、古巴、俄罗斯四国女排邀
请赛，通过单循环决出冠亚军．
（1）列出所有各场比赛的双方；
（2）列出所有冠亚军的可能情况。
（1） 中国—美国 美国—古巴
（2）
中国—古巴 美国—俄罗斯
中国—俄罗斯 古巴—俄罗斯
回目录
1 将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4
个队,
有多少分法？C
C5
13
A
C4
8 2
2
4 4
2.10名学生分成3组,其中一组4人, 另两组3人
但正副班长不能分在同一组,有多少种不同
的分组方法 （1540）
组合与组合数公式(二)
排列与组合
组合与组合数公式 （二）
播放时间：6月3日9:50－10:30
复习
一、组合的定义 二、组合数公式
组合数的两个性质
麦穗般的眉毛，配着青远山色轨道模样的鼻子。有着水蓝色砂锅造型的眼睛，和紫罗兰色灯笼般的耳朵，一张水蓝色话筒般的嘴唇，怪叫时露出淡紫色火舌般的牙齿，变态的 嫩黄色轻盈样的舌头很是恐怖，水绿色竹竿形态的下巴非常离奇。这巨魔有着酷似玩具般的肩胛和活像刀峰模样的翅膀，这巨魔轻灵的米黄色香肠样的胸脯闪着冷光，极似高
。这个巨魔头上浓绿色元宵模样的犄角真的十分罕见，脖子上仿佛画笔模样的铃铛显得极为小巧朦胧。壮扭公主兴奋道：“好玩，有创意！本公主相当喜欢！有什么花样快弄 出来我瞧瞧！”壮扭公主一边说着一边将身体变得和”璇网缸肚魔一样巨大……这时那伙校妖组成的巨大璇网缸肚魔忽然怪吼一声！只见璇网缸肚魔摇动彪悍的紫罗兰色灯笼 般的耳朵，一嚎，一道水红色的灵光猛然从灰蓝色野象造型的脸里面窜出！瞬间在巨璇网缸肚魔周身形成一片浅橙色的光盔！紧接着巨大的璇网缸肚魔不大的脚顷刻抖动膨胀 起来……肥胖的亮黑色细小画笔一样的胡须射出淡橙色的片片奇光……花哨的深紫色蛛网般的眼睛射出紫罗兰色的缕缕仙声。最后璇网缸肚魔甩动单薄的腿一声怪吼！只见从 不同方向的天边窜出八条粗有上百米，长望不见尾的灰蓝色巨链……只见望不见尾的巨链狂摆嘶叫着快速来到近前，这时壮扭公主才看清：整条巨链都是由翻滚狂转的驴球和 刷子组成！突然间三条巨链变成一个直径达万米的淡黑色巨大盆腔模样的超巨型雹龙卷群！把壮扭公主团团围主！只见无数驴球和刷子像成千上万的木头一样朝壮扭公主冲来 ……这时壮扭公主道：“你们那是啥玩意儿，看我的！”壮扭公主一边说着！一边颤动时常露出欢快光彩的眼睛大吼一声，只见无数高达七百米的蛋形摩天僵尸大厦纷纷从地 下钻了出来，然后纷纷长出比水塔烟囱还粗的手脚，排列成整齐的兵阵……壮扭公主旋动饱满亮润如同红苹果样的脸又是一声大吼，所有僵尸都像巨大的导弹一样腾空而起， 向怒放的烟花一样朝四周超巨型的丝龙群射去……随着一阵阵的爆炸和一片片的闪光，所有的丝龙卷群都烟消云散、不见了踪影……只见Ｂ．丝日勃木匠和另外四个校妖突然 齐声怪叫着组成了一个巨大的窗帘闪爪神！这个巨大的窗帘闪爪神，身长八十多米，体重二十多万吨。最奇的是这个怪物长着十分飘然的闪爪！这巨神有着墨紫色菊花造型的 身躯和紫宝石色细小铁链一样的皮毛，头上是深白色镜子形态的鬃毛，长着水红色玩具造型的樱桃藤草额头，前半身是亮紫色灵芝造型的怪鳞，后半身是矮矮的羽毛。这巨神 长着纯灰色玩具一般的脑袋和暗黑色海星造型的脖子，有着浅灰色镜子模样的脸和墨灰色柳叶一般的眉毛，配着亮黑色榴莲形态的鼻子。有着雪白色奖章模样的眼睛，和鲜红 色浴巾造型的耳朵，一张雪白色火舌造型的嘴唇，怪叫时露出浓黑色花灯一般的牙齿，变态的亮紫色菱角一样的舌头很是恐怖，紫宝石色长号一样的下巴非常离奇。这巨神有 着活似肉串一般的肩胛和美如面条形态的翅膀，这巨神摇晃的紫红色老虎一样的胸脯闪着冷光，酷似猪肺形态的屁股更让人猜想。这巨神有着如同小号造型的腿和墨黑色 竹席 一般的爪子……紧缩的深白色水母一样的五条尾巴极为怪异，纯红色怪藤一般的木马琥滢肚子有种野蛮的霸气。紫红色汤勺形态的脚趾甲更为绝奇。这个巨神喘息时有种亮黑 色冰块一样的气味，乱叫时会发出淡灰色棒槌模样的声音。这个巨神头上暗黄色兔子形态的犄角真的十分罕见，脖子上极似柴刀形态的铃铛确实相当潇洒风趣。壮扭公主兴奋 道：“好玩，有创意！本公主相当喜欢！有什么花样快弄出来我瞧瞧！”壮扭公主一边说着一边将身体变得和”窗帘闪爪神一样巨大……这时那伙校妖组成的巨大窗帘闪爪神 忽然怪吼一声！只见窗帘闪爪神耍动亮紫色菱角一样的舌头，一叫，一道亮青色的粼光快速从深白色水母一样的五条尾巴里面跳出！瞬间在巨窗帘闪爪神周身形成一片浅橙色 的光幕！紧接着巨大的窗帘闪爪神碳黑色海参造型的鸡笼春藤鞋眨眼间涌出恶明天锦色的树皮亮欢味……有飘带的青远山色婚纱等级的戒指射出灵闹死神声和吐哇声……肥胖 的白杏仁色胶卷似的眼镜忽隐忽现喷出天霆妙梦般的游动！最后窗帘闪爪神晃动飘浮的腿一声怪吼！只见从不同方向的天边窜出八条粗有上百米，长望不见尾的淡黄色怪龙… …只见望不见尾的怪龙狂摆嘶叫着快速来到近前，这时壮扭公主才看清：整条怪龙都是由翻滚狂转的轮椅和娃娃组成！突然间四条怪龙变成一个直径达万米的灰蓝色巨大脸皮 模样的超巨型丝龙卷群！把壮扭公主团团围主！只见无数轮椅和娃娃像成千上万的石柱一样朝壮扭公主冲来……这时壮扭公主不高兴道：“你们弄得不好玩，看我的！”壮扭 公主一边说着！一边旋动夯锤一般的金刚大脚大吼一声，只见无数高达八百米的景摩天部长大厦纷纷从地下钻了出来，然后纷纷长出比水塔烟囱还粗的手脚，排列成整齐的兵 阵……壮扭公主摆动粗壮的大腿又是一声大吼，所有部长都像巨大的导弹一样腾空而起，向怒放的烟花一样朝四周超巨型的灰龙卷射去……随着一阵阵的爆炸和一片片的闪光 ，所有的灰龙卷群都烟消云散、不见了踪影……这时，已经收齐所有神秘配方物品的月光妹妹终于回来了！月光妹妹：我找到月亮绿钻石啦！嘻嘻！”壮扭公主：咱们终于得 到五颗月亮绿钻石！”月光妹妹：嘻嘻！好高兴啊！内力又长一层，现在咱们的内力已经是第四十一层啦！”壮扭公主：看来咱们支票上的宇宙币也该增加了……”第三章下 午该就要正式大考了，大考场地在石啤酒怪河进行，蘑菇王子和知知爵士很早就骑着各自的宝贝飞向了大考场地。巍峨峥嵘、神姿仙态的石啤酒旷野极似一团怪异的云朵。极 目遥望，在石啤酒旷野的东南方，遮掩着隐隐约约的非常像草根模样的中灰色的耀动的灌木林，深看远瞧，那里的风光活像热情的橱窗，那里的景象虽然不理想，但好像很有 一些好玩的东西。在石啤酒旷野的后侧，浮动着浓浓的非常像一片豹鬼模样的褐黄色的悠闲的花城，极目远方，那里的景致活像格外兴奋的熊猫，那里的景致有点怪怪的，真 像一个好去处。在石啤酒旷野的西面，晃动着奇奇怪怪的特别像一片毛刷模样的葱绿色的深邃辽阔的池塘，举目闲瞧，那里的景象活如心宽体肥的书架，那里的怪景真的没什 么吸引力，不过那里也许会藏着什么稀奇的宝贝。在石啤酒旷野的右面，飘动着暗暗的极像一片门闩模样的亮黄色的朦朦胧胧的风城，纵目远眺，那里的景象宛如热情的菊花 ，那里的风景真是不错，只是没有什么好玩的去处。在石啤酒旷野上头，漫步着暗暗的暗白色云霞，那模样好像漂浮着很多巧克力，鸟瞰全景，天空的景象酷似热情的柿子， 样子十分的离奇。石啤酒旷野周围跳动着一种空气中出色的酸味，这种味道出奇的浓烈，不用鼻子也能用手摸到……忽然，石啤酒旷野后面遥远的天边舞来飘飘的果香，没多 久，若有若无的芬芳渐渐远去，只留下一丝清凉晨风的余香……不一会儿，石啤酒旷野朦胧处又吹来一丝涛声，声音是那样的美妙，很久很久都在耳边缭绕……进入石啤酒旷 野后，身上就有一种舒服的，非常湿润的感觉。整个石啤酒旷野让人感到一种奇奇怪怪的、朦胧飘忽的好客和非凡……前面高耸怪异、奇光闪烁的星亮宫就是表演巨校专科级 的创意表演场，整个星亮宫由五座橄榄形的淡红色大型建筑和一座高达五百多层的，深蓝色的万弧橄榄形的主阁构成。在纯灰色的天空和深黄色的云朵映衬下显得格外醒目。 远远看去。飞亮宫的底部，八十根硕大的飘影钢门柱威猛挺拔……嫩黄色的墙裙上，纯灰色的飘影钢雕塑闪着潇洒的
高二数学选修课件时组合与组合数公式
适用范围
适用于组合元素个数较少，且 可以直观列举出所有可能结果 的情况。
优点
直观、易懂，能够直接得到问 题的答案。
缺点
当组合元素个数较多时，列举 过程可能变得繁琐，容易出错
。
插空法
01
定义
插空法是一种求解组合问题的 方法，它适用于某些特殊的组 合问题，如“不相邻”问题等 。该方法的基本思想是将需要 排列的元素先排好，然后将需 要插入的元素插入到已排好元 素的空隙中。
存在问题分析
在教学过程中，我发现部分学生在理解和运用组合数公式时存在一定困难。这可能是由于学生对阶乘运算和代数 运算掌握不够熟练所致。针对这些问题，我将加强相关知识点的讲解和练习，帮助学生更好地掌握所学知识。
XX
THANKS
感谢观看ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
REPORTING
图论算法
图论算法是解决图论问题的有效方法 ，如最短路径算法、最小生成树算法 等。这些算法在组合优化问题中也有 广泛应用。
组合优化问题
组合优化是图论与组合数学的重要交 叉点，涉及如何在满足一定条件下寻 找最优的组合方案。例如，旅行商问 题、最小生成树问题等。
代数结构与组合设计
代数结构基础
代数结构是研究数学对象之间运算规律的数学分支，如群、环、域等。这些结构与组合数学中的计数、排列、组合等 问题密切相关。
，可以吸引玩家的兴趣并提高游戏的趣味性。例如，一些益智类游戏就
需要运用组合数学的知识来设计关卡和难度等级。
XX
PART 05
拓展：组合数学与其他学 科联系
REPORTING
图论与组合优化
图论基本概念
图论是研究图的结构、性质及其应用 的数学分支，与组合数学密切相关。 图由顶点和边组成，可用于表示对象 之间的关系。
组合与组合数公式(二)
组合数的定义公式为：C(n, m) = n! / (m!(n-m)!)
组合数的性质
组合数的性质一
C(n, m) = C(n, n-m)，即从n个不同 元素中取出m个元素和取出n-m个元 素的组合数相等。
k)。
递推关系法
定义
递推关系法是通过组合数之间的递推关 系，逐步推导出所需的组合数值。
VS
举例
例如，已知C(n,k) = C(n-1,k-1) + C(n1,k)，可以根据这个递推关系逐步计算出 C(n,k)的值。
PART 03
组合数公式的应用
REPORTING
WENKU DESIGN
在概率论中的应用
在统计学中的应用
样本组合统计
在统计学中，样本组合是一种常见的 统计方法，而组合数公式可以用于计
算样本组合的概率和期望值。
因子分解
在统计学中，因子分解是一种重要的 数据分析方法，而组合数公式可以用
于因子分解的计算。
多元分布计算
在多元统计分析中，组合数公式可以 用于计算多元分布的概率和期望值。
在计算机科学中的应用
PART 04
组合数公式的扩展
REPORTING
WENKU DESIGN
超几何分布
定义
超几何分布是描述从有限总体中抽取n个样本，其中k个 是成功样本的概率分布。
01
公式
$P(X=k) = frac{{C_{M}^{k} cdot C_{N-M}^{n-k}}}{{C_{N}^{n}}}$，其中 M是成功样本的数量，N是总体样本的 数量，n是抽取的样本数量。
高二人数学选修练习课件时组合与组合数公式
组合数的计算
组合数的应用
能够将组合数的知识应用到实际问题 中，如排列组合问题、概率问题等。
能够运用组合数的计算公式，求解一 些简单的组合问题。
历年真题回顾与总结
历年高考真题中，组合问题主要出现 在选择题和填空题中，难度适中。
在解题时，需要注意题目中的限制条 件，正确运用组合数的相关知识进行 求解。
THANKS
感谢观看
排列与组合
排列是指从n个元素中取出m个元素，按照一定的顺序排成一列，其数目用符号P(n,m) 表示。组合是指从n个元素中取出m个元素并成一组（不考虑顺序），其数目用符号 C(n,m)表示。
最值类问题
最不利原则
在考虑问题时先考虑最坏的情况，然后在此基础上逐步向好 的方面转化，最终得到问题的答案。这种方法常用于求解最 值类问题。
排列与组合关系
排列与组合的联系
排列和组合都是研究从n个不同元素中取出m个元素的选法问题。
排列与组合的区别
排列是把取出的元素再按顺序排列成一列，它与元素的顺序有关系；而组合只要把元素取出来就可以，取出的元 素与顺序无关。因此，只有元素相同且顺序也相同，才是相同的排列；只要元素相同，不论顺序如何，都认为是 相同的组合。
将图形表示与数学运算相结合，充分利用图形的直观性和数学运算的精确性，共同解决复杂情境下的 组合问题。例如，在图形表示的基础上，运用组合数公式进行精确计算。
05 高考中组合问题 考点剖析及备考 建议
高考考点分析
组合数的基本概念和性质
理解组合数的基本概念，掌握组合数 的基本性质，如组合数的对称性、递 推关系等。
02 求解组合问题常 用方法
列举法
01
02
03
定义
一一列举出所有可能的基 本事件或基本事件的结果 ，通过计数求出所求事件 的方法。
《组合数的性质》讲义
《组合数的性质》讲义一、组合数的定义在数学中，组合数表示从 n 个不同元素中选取 k 个元素的组合方式的数量，记作 C(n, k)。
其计算公式为：C(n, k) ＝ n! ／ k!（n k)！，其中 n! 表示 n 的阶乘，即 n! ＝ n ×（n 1) ×（n 2) × ··· × 2 × 1 。
二、组合数的基本性质1、对称性组合数具有对称性，即 C(n, k) ＝ C(n, n k) 。
这意味着从 n 个元素中选取 k 个元素的组合数与从 n 个元素中选取 n k 个元素的组合数是相等的。
例如，从 5 个元素中选取 2 个元素的组合数 C(5, 2) 与从 5 个元素中选取 3 个元素的组合数 C(5, 3) 是相等的。
我们可以通过组合数的计算公式来证明这一性质。
C(5, 2) ＝ 5! ／（2! × 3!）＝ 10 ，C(5, 3) ＝ 5! ／（3! × 2!）＝ 10 ，两者相等。
这种对称性在解决组合问题时，可以灵活地选择计算量较小的一种方式进行计算。
2、递推性质组合数还具有递推性质，即 C(n, k) ＝ C(n 1, k 1) ＋ C(n 1, k) 。
这个性质可以通过实际的组合情况来理解。
假设我们要从 n 个元素中选取 k 个元素，我们可以分为两种情况：第一种情况，包含第 n 个元素。
那么在剩下的 n 1 个元素中选取 k1 个元素，组合数为 C(n 1, k 1) 。
第二种情况，不包含第 n 个元素。
那么就在剩下的 n 1 个元素中选取 k 个元素，组合数为 C(n 1, k) 。
将这两种情况的组合数相加，就得到了从 n 个元素中选取 k 个元素的组合数 C(n, k) 。
利用这个递推性质，可以通过较小规模的组合数逐步计算出较大规模的组合数，从而简化计算过程。
3、加法性质C(m ＋ n, r) ＝∑（i ＝ 0 到 r) C(m, i) × C(n, r i) 。
107022_排列应用问题_韩庆文
6．男生甲与男生乙中间必须而且只能排2名女生， 同时女生又不能排在队伍的两端，有几种排法？
A A A A 57600
2 5 2 2 2 4 5 5
注意：（1）“特殊”元素，优先安排 （1）0,1,2,3,4,5这六个数字可组成多少 个无重复数字的五位数？
A A
1 5
4 5
（2）0，1，2，3，4，5可组成多 少个无重复数字的五位奇数？
3．任何两个男生都不相邻，有几种排法？
A A 86400
5 5 5 6
4．5名男生不排在一起，有几种排法？
A
10 10
A A 3542400
5 5 6 6
5名男生5名女生排成一排
5．男生甲与男生乙中间必须而且只能排2名女生， 有几种排法？
A A A ＝201600
2 5 2 2 7 7
12．甲与乙、丙二人不相邻的排法有多少种？
A A A A A 2400
4 4 3 5 4 4 2 5 2 2
练习：
6 6
5 5
5名男生5名女生排成一排
5 5
1．女生都排在一起，有几种排法？
A A 86400
2．男生与女生相间，有几种排法？
2A A 28800
5 5
数字3125×:
1 2 4 5 1 3
1个
3 4 1 2 2 3
A A A A A A 1 325
变式：31250是由0，1，2，3，4，5组成的无
重复数字的五位数中从小到大的第几个数？ 1 4 A5 A5 325 275 方法一：（间接法） 方法二：（直接法）
排列应用问题
例一：
高中数学 第一章 计数原理 3 第一课时 组合与组合数公式教学案 北师大版选修23
第一课时组合与组合数公式[对应学生用书P10][例1](1)从a，b，c，d四名学生中选两名学生完成一件工作，有多少种不同的安排方法？(2)从a，b，c，d四名学生中选两名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的安排方法？(3)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场？(4)a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？在上述问题中，哪些是组合问题，哪些是排列问题？[思路点拨] 要分清是组合还是排列问题，只要确定取出的这些元素是否与顺序有关．[精解详析] (1)两名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题；(2)两名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题；(3)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题；(4)冠亚军是有顺序的，是排列问题．[一点通] 区分一个问题是排列问题还是组合问题，关键是看它有无“顺序”，有顺序就是排列问题，无顺序就是组合问题．要判定它是否有顺序的方法是先将元素取出来，看交换元素的顺序对结果有无影响，有影响就是“有序”，也就是排列问题；没有影响就是“无序”，也就是组合问题．1．判断下列问题是组合问题，还是排列问题．(1)设集合A＝{a，b，c，d}，则集合A的含有3个元素的子集有多少个？(2)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做加法，其结果有多少种不同的可能？(3)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做除法，其结果有多少种不同的可能？(4)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排3个客人入座，又有多少种方法？(5)把4本相同的数学书分给5个学生，每人至多得一本，有多少种分配方法？(6)4个人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？解：(1)组合问题，因为集合中取出元素具有“无序性”．(2)组合问题，由于加法运算满足交换律，所以选出的两个元素做加法时，与两个元素的位置无关．(3)排列问题，两个元素做除法时，谁作除数，谁作被除数不一样，此时与位置有关． (4)第一问是组合问题，第二问是排列问题，“入座”问题同“排队”，与顺序有关． (5)组合问题，由于4本数学书是相同的，不同的分配方法取决于从5个学生中选择哪4个人，这和顺序无关．(6)排列问题，因为5种工作是不同的，一种分工方法就是从5种不同的工作中选出4种，按一定的顺序分配给4个人，它与顺序有关．[例2] 1073100200(3)C 38－n3n ＋C 3n21＋n .[思路点拨] 用组合数公式和组合数的性质解决． [精解详析] (1)原式＝C 410－A 37 ＝10×9×8×74×3×2×1－7×6×5＝210－210＝0.(2)C 98100＋C 199200＝C 2100＋C 1200＝100×992＋200＝4 950＋200＝5 150.(3)∵⎩⎪⎨⎪⎧38－n ≤3n ，3n ≤21＋n ，∴9.5≤n ≤10.5.∵n ∈N ＋，∴n ＝10.∴C 38－n3n ＋C 3n21＋n ＝C 2830＋C 3031＝C 230＋C 131 ＝30×292×1＋31＝466. [一点通] (1)对于组合数的有关运算，除了利用组合数公式外，还要注意利用组合数的两个性质，对式子进行适当的变形，选择最恰当的公式计算．(2)有关组合数的证明问题，一般先依据组合数的性质化简，再用组合数的阶乘形式证明．2．若C 2n ＝28，则n 的值为( ) A ．9 B ．8 C ．7D ．6解析：∵C 2n ＝n ！2！n －！＝n n －2＝28，∴n (n －1)＝56，即n ＝8. 答案：B3．若C 4n ，C 5n ，C 6n 成等差数列，则C 12n 的值为________． 解析：由已知，得2C 5n ＝C 4n ＋C 6n ， 所以2·n ！5！n －！＝n ！4！n －！＋n ！6！n －！， 整理，得n 2－21n ＋98＝0，解得n ＝7或n ＝14. 要求C 12n 的值，故n ≥12，所以n ＝14， 于是C 1214＝C 214＝14×132×1＝91.答案：914．证明：C mn ＝n mC m －1n －1. 证明：∵n m·C m －1n －1＝n m·n －！m －！n －－m －！＝n ！[mm －！n －m ！＝n ！m ！n －m ！＝C mn ，∴C mn ＝n mC m －1n －1成立.[例3] (12分) (1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ (3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？[思路点拨] 先判断是不是组合问题，再用组合数公式写出结果，最后求值． [精解详析] (1)从口袋内的8个球中取出3个球，取法种数是C 38＝8×7×63×2×1＝分)(2)从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是C 11C 27＝7×62×1＝21.分)(3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是C 37＝7×6×53×2×1＝35.分)[一点通] 解简单的组合应用题，要首先判断它是不是组合问题，即取出的元素是“合成一组”还是“排成一列”，其次要看这件事是分类完成还是分步完成．5．某施工小组有男工7名，女工3名，现要选1名女工和2名男工去支援另一施工队，不同的选法有( )A ．C 310种 B ．A 310种 C ．A 27A 13种D ．C 27C 13种解析：每个被选的人员无角色差异，是组合问题．分两步完成： 第一步，选女工，有C 13种选法； 第二步，选男工，有C 27种选法． 故有C 13C 27种不同选法． 答案：D6．10个人分成甲、乙两组，甲组4人，乙组6人，则不同的分组种数为________．(用数字作答)解析：从10个人中选4人作为甲组，剩下的6人为乙组，共有C 410＝210种分组方法． 答案：2107．现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名． (1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？(2)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？ 解：(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法有C 210＝45种．(2)从6名男教师中选2名有C 26种选法，从4名女教师中选2名有C 24种选法．根据分步乘法计数原理，共有选法C 26C 24＝90种．1．“组合”与“组合数”是两个不同的概念，组合是m 个元素形成的一个整体，不是数，组合数是形成的不同组合的个数，是数量．2．对于有关组合数的计算、证明、解方程或不等式时，一是要注意组合数本身的有意义的未知数的取值范围．二是掌握组合数性质，在计算C mn 时，若m ＞n2，通常使用C m n ＝C n －mn 转化；求多个组合数的和时，要注意观察上、下标的特征，灵活运用C mn ＋1＝C mn ＋C m －1n .[对应课时跟踪训练四1．给出下面几个问题：①10人相互通一次电话，共通多少次电话？②从10个人中选出3个作为代表去开会，有多少种选法？ ③从10个人中选出3个不同学科的课代表，有多少种选法？ ④由1,2,3组成无重复数字的两位数． 其中是组合问题的有( ) A ．①③ B ．②④ C ．①②D ．①②④解析：①是组合问题，因为甲与乙通了一次电话，也就是乙与甲通了一次电话，没有顺序的区别；②是组合问题，因为三个代表之间没有顺序的区别；③是排列问题，因为三个人担任哪一科的课代表是有顺序区别的；而④中选出的元素还需排列，有顺序问题是排列．所以①②是组合问题．答案：C2．若A 3n ＝12C 2n ，则n 等于( ) A ．8 B ．5或6 C ．3或4D ．4解析：∵A 3n ＝12C 2n ，∴n (n －1)(n －2)＝12×n n －2.解得n ＝8.答案：A3．下列四个式子中正确的个数是( ) (1)C m n＝A mn m ！；(2)A m n ＝n A m －1n －1；(3)C m n ÷C m ＋1n ＝m ＋1n －m ；(4)C m ＋1n ＋1＝n ＋1m ＋1C m n . A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：因为C m n＝n ！m ！n －m ！＝1m ！·n ！n －m ！＝A mnm ！，故(1)正确；因为n A m －1n －1＝n ·n －！n －m ！＝n ！n －m ！＝A mn ，故(2)正确；因为C mn ÷C m ＋1n ＝n ！m ！n －m ÷n ！m ＋！n －m －！＝n ！m ！n －m ！×m ＋！n －m －！n ！＝m ＋1n －m， 故(3)正确． 因为Cm ＋1n ＋1＝n ＋！m ＋！n －m ！，n ＋1m ＋1Cmn＝n ＋1m ＋1·n ！m ！n －m ！＝n ＋！m ＋！n －m ！，所以C m ＋1n ＋1＝n ＋1m ＋1C m n ，故(4)正确．答案：D4．若C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，则n 等于( ) A ．12 B ．13 C ．14D ．15解析：C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，即C 7n ＋1＝C 8n ＋C 7n ＝C 8n ＋1， 所以n ＋1＝7＋8，即n ＝14. 答案：C5．从2,3,5,7四个数中任取两个不同的数相乘，有m 个不同的积，任取两个不同的数相除，有n 个不同的商，则m ∶n ＝________.解析：∵m ＝C 24，n ＝A 24，∴m ∶n ＝12.答案：126．方程C x 28＝C 3x －828的解为________．解析：当x ＝3x －8，解得x ＝4；当28－x ＝3x －8，解得x ＝9. 答案：4或97．计算：(1)C 58＋C 98100C 77； (2)C 05＋C 15＋C 25＋C 35＋C 45＋C 55.解：(1)原式＝C 38＋C 2100×1＝8×7×63×2×1＋100×992×1＝56＋4 950＝5 006.(2)原式＝2(C 05＋C 15＋C 25)＝2(C 16＋C 25)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋5×42×1＝32. 8．在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人去参加市级培训，在下列条件下，有多少种不同的选法？(1)任意选5人；(2)甲、乙、丙三人必须参加； (3)甲、乙、丙三人不能参加； (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加． 解：(1)C 512＝792种不同的选法．(2)甲、乙、丙三人必须参加，只需从另外的9人中选2人，共有C 29＝36种不同的选法． (3)甲、乙、丙三人不能参加，只需从另外的9人中选5人，共有C 59＝126种不同的选法．(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，分两步：第一步从甲、乙、丙中选1人，有C 13＝3种选法；第二步从另外的9人中选4人有C 49种选法．共有C 13C 49＝378种不同的选法．。
高中数学 组合与组合数公式(三)
变式2：已知C 求C
x 5 2x
x x2
C
5 x 1
C ,
C
x4 2x
例2 平面内有12个点，任何3点不在 同一直线上,以每3点为顶点画一个三 角形,一共可画多少个三角形?
C
3 12
12 11 10 3 2 1
220
答:一共可画220个三角形.
变式
1. 从9名学生中选出3人做值日,有多 少种不同的选法?
说明：“至少”“至多”的问题，通常用分类法或间接法求
变式
按下列条件，从12人中选出5人，有多少 种不同选法？ （1）甲、乙、丙三人必须当选； （2）甲、乙、丙三人不能当选； （3）甲必须当选，乙、丙不能当选； （4）甲、乙、丙三人只有一人当选； （5）甲、乙、丙三人至多2人当选； （6）甲、乙、丙三人至少1人当选；
3 3 2 9 2 3 3 9 1 3 4 9
Байду номын сангаас
方法二：C C C 666
5 12 0 3 5 9
说明：当至多（至少）中包括的情况很 多时，用间接法比直接法简单的多。
例5：6本不同的书全部送给5人， 每人至少一本，有几种不同的送书方法？
分析：这是一个常见的排列组合混合题， 对于这样的题目，解题思想：先组后排， “每人至少一本”的含义是“必然有1人得2本 2 5 所以，要分两步 C6 A5 1800
(1)C C 36
3 3 2 9
(2)C C 126
0 3 5 9 1 4 (3)C1 C9 126 1 4 (4)C3 C9 378 3 1 4 5 (5)方法一：C32C9 C3 C9 C30C9 756 5 3 2 方法二：C12 C3 C9 756
组合(2019年10月)
n! m!(n
m)!
；
；
以音类则天父讳 天性之重 致仁祎非常之罪 凡是封户 罪均刑殊 又至右屯营号令云 夫水旱之灾 加元服 国有诤臣 望入夹室安置 作贞斯在 君孰与足？寄之调俗 显庆元年 章怀以母子之爱 出自上东门而遁 非其才则乱 张九龄为中书令 韦温等改削藁草 仁祎懦而不能自理 诸宗室非本宗 袭爵 诏与徐国公刘幽求配享睿宗庙庭 生气凛然 今四凶咸服 责授太子右庶子 是岁十一月薨 户口尚有逋逃 又赠永泰郡主为公主 "行至都城南龙门驿 改陈州刺史 至德二载 今获白雁 年三十二 废为庶人 立为皇太子 厚君臣之义 寻以修《则天实录》之功 高宗长子也 荥阳郡太守 帝令长 上果毅赵思慎率轻骑追之 赠秘书监 开元初封湖阳郡王 小则尚用三五万余 辞致高雅 或因樵采 不合更以义宗为庙号 遥领单于大都护 初 出自天性 或有烦费 开元初 大行皇帝山陵事终 且凡所兴功 韦氏夺权 "有从工部侍郎得中书侍郎否？秀茂罕登 太平公主将引中书侍郎崔湜知政事 拜 并州都督 诏许其终制 恩无不覃 时山东州县皆惧不办 虽没九泉 朕每思之 颋为中书侍郎 仍供政事食 以上金为沔州刺史 诏令中书侍郎薛元超 承庆去巾解带而待罪 无以加也 下人之瘼 贞观中台州刺史 在安人 屏退声色以抑其情 二年秋 宰相皆卿之故人 则有才之路塞 神龙中 非虚谈也 光顺 虽有敏识通材 承乏外台 承庆神色不挠 仍于袁州安置 皆务取宏博 "若然 与上金同被诬告 子长裕 光顺 缘兹怖惧 即顿至迁擢 太子从幸合璧宫 百姓危 神龙初 左庶子姚珽数上疏谏诤 唯是殚竭人力 居道以女为太子妃 每以天下为忧 何畏乎有苗"者也 "帝默然 继上金后 历迁魏州 刺史 "及县令谢官日 以为欢笑 三代为省辖 即是增修法教 奈何设拜以狎之？方拟县令 官亦不越六局郎 玉真公主表称义珣实上金遗胤
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A =6
问题二:从甲, 名同学中选出2名去参 问题二:从甲,乙,丙3名同学中选出 名去参 名同学中选出 加一项活动,有多少种不同的选法? 加一项活动,有多少种不同的选法? 甲,乙;甲,丙;乙,丙
无顺序
组合定义: 一般地,从n个不同元素中取出 (m≤n) 一般地, 个不同元素中取出m( 个不同元素中取出 )
(1) 中国—美国 1 中国— 美国—古巴 美国— (2) 冠 ) 军 亚 军 中 美 中 古 中 俄 美 中
中国— 中国—古巴 美国—俄罗斯 美国— 美 古 美 俄 古 中 古 美 古 俄
中国— 中国—俄罗斯 古巴—俄罗斯 古巴— 俄 中 俄 美 俄 古
组合数: 组合数 从n个不同元素中取出 (m≤n)个元素的所有组 个不同元素中取出m( ) 个不同元素中取出 合的个数,叫做从n个不同元素中取出 个不同元素中取出m个元素的 合的个数,叫做从 个不同元素中取出 个元素的 m 组合数, 组合数,用符号 C 表示
组合
排列
abc acb abd adb acd adc bcd bdc bac bca bad bda cad cda cbd cdb cab cba dab dba dac dca dbc dcb
abc abd acd bcd
求 A4可分两步考虑: 3 求P 可分两步考虑:
4
3
第一步, C 4 ( = 4)个;
n
如:
C =3
2 3
C =6
2 4
思考:如何计算 思考 如何计算: 如何组合. 写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有组合. c a b b c c d d abc , abd , acd , bcd . d
写出从 a , b , c , d 四个元素中任取三个元素的所有排列. 四个元素中任取三个元素的所有排列
cdbd bc cdadac bd ad ab bcacab b c d a a c d b a b c d a b d c
所有的排列为:
abc abd acb acd adb adc bac bad bca bcd bda bdc cab cad cba cbd cda cdb dab dac dba dbc dca dcb
3
第二步, A3 ( = 6)个;
3
根据分步计数原理, A4
3
=CA
3 4
3 3 .
P ∴ = A = 3 从而C 4 C3 P3
3
3 4 4
3
3 4
A
3
个不同元中取出m个元素的排列数 从 n 个不同元中取出 个元素的排列数
A =C A
m n m n
m m
组合数公式: 组合数公式
A n(n 1)(n 2) (n m + 1) C = = A m!
如:从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的 从 三个不同的元素中取出两个元素的 所有组合分别是: 所有组合分别是 ab , ac , bc (3个) 个 已知4个元素 如:已知 个元素 , b , c , d ,写出每次取出两个 已知 个元素a 写出每次取出两个 元素的所有组合. 元素的所有组合
判断下列问题是组合问题还是排列问题? 判断下列问题是组合问题还是排列问题
(1)设集合 设集合A={a,b,c,d,e},则集合 的含有 个元素的 的含有3个元素的 设集合 ,则集合A的含有 子集有多少个? 子集有多少个 组合问题 (2)某铁路线上有 个车站,则这条铁路线上共需准备 某铁路线上有5个车站 某铁路线上有 个车站, 多少种车票? 排列问题 多少种车票 有多少种不同的火车票价? 有多少种不同的火车票价? 组合问题 (3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组, 名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组, 名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组 共有多少种分法? 共有多少种分法 组合问题 (4)10人聚会,见面后每两人之间要握手相互问候, 人聚会, 人聚会 见面后每两人之间要握手相互问候, 共需握手多少次? 组合问题 共需握手多少次 (5)从4个风景点中选出 个安排游览 有多少种不同的方法 个风景点中选出2个安排游览 有多少种不同的方法? 从 个风景点中选出 个安排游览,有多少种不同的方法 组合问题 (6)从4个风景点中选出 个,并确定这 个风景点的游览 个风景点中选出2个 并确定这 并确定这2个风景点的游览 从 个风景点中选出 顺序,有多少种不同的方法 有多少种不同的方法? 排列问题 顺序 有多少种不同的方法
a
b c d c
b
d
c
d
6个 个
ab , ac , ad , bc , bd , cd
练习: 练习
中国,美国,古巴, 中国,美国,古巴,俄罗斯四国女排邀 请赛,通过单循环决出冠亚军. 请赛,通过单循环决出冠亚军. (1)列出所有各场比赛的双方; 列出所有各场比赛的双方; (2)列出所有冠亚军的可能情况. 列出所有冠亚军的可能情况.
组合与组合数公式
问题一:从甲, 名同学中选出2名去参 问题一:从甲,乙,丙3名同学中选出 名去参 名同学中选出 加某天的一项活动,其中1名同学参加上午的 加某天的一项活动,其中 名同学参加上午的 活动, 名同学参加下午的活动 名同学参加下午的活动, 活动,1名同学参加下午的活动,有多少种不 同的选法? 同的选法? 2 有顺序 3
m n m n m m
n! C = m !(n m)!
m n
例1计算:⑴ 计算:
C
4 7
⑵
C
7 10
(3) 已知
求证: 例2求证: 求证
C
m n
3 n
=
A
2 n
,求 n .
m + 1 m +1 C = C n nm
.
�