趣味数学032：“十全数中的珍品”(续2)
初中数学《数的整除》讲义及练习 (2)
5-2数的整除教学目标本讲是数论知识体系中的一个基石，整除知识点的特点介于“定性分析与定量计算之间”即本讲中的题型有定性分析层面的也有定量计算层面的，是很重要的一讲，也是竞赛常考的知识板块。
本讲力求实现的一个核心目标是让孩子熟悉和掌握常见数字的整除判定特性，在这个基础上对没有整除判定特性的数字可以将其转化为几个有整除判定特性的数字乘积形式来分析其整除性质。
另外一个难点是将数字的整除性上升到字母和代数式的整除性上，这个对于学生的代数思维是一个良好的训练也是一个不小的挑战。
知识点拨一、常见数字的整除判定方法1. 一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；2. 一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除.4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除.【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）二、整除性质性质1 如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除．即如果c︱a，c︱b，那么c︱(a±b)．性质2 如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除．即如果b∣a，c∣b，那么c∣a．用同样的方法，我们还可以得出：性质3如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b和c整除．即如果bc∣a，那么b∣a，c∣a．性质4如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b 与c的乘积整除．即如果b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么bc∣a．例如：如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4) ∣12．性质5 如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除．如果b｜a，那么bm｜am（m为非0整数）；性质6如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么ac也能被bd整除．如果b｜a，且d｜c，那么bd｜ac；例题精讲模块一、常见数的整除判定特征【例 1】已知道六位数20□279是13的倍数，求□中的数字是几？【巩固】六位数2008能被99整除，是多少？【巩固】六位数20□□08能被49整除，□□中的数是多少？【例 2】173□是个四位数字。
趣味数学030：十全数
十全数所谓“十全数”，就是指由0、1、2、3、4、5、6、7、8、9十个数字，不重不漏组成的十位数。
“十全数”，最高位上的数字当然不能是0，对于后面各个数位就没有这样的限制。
所以，根据乘法原理，“十全数”共有9×9×8×7×6×5×4×3×2×1＝3265920个，是一个既特殊又庞大的群体。
为了找出其中的珍品，我们不妨提出一些苛刻的条件。
比如，从整除的角度进行筛选。
“十全数”中，恰好能被1、2、3、4、5、6、7、8、9整除的，如1428973560之类，自然就比较少了。
如果进一步把除数的范围扩大到10、11、12、13、14、15、16、17、18。
因为1～18这18个自然数的最小公倍数是12252240，用电脑或计算器不难找到，能被这18个自然数整除的“十全数”只有4个，它们是：2438195760、3785942160、4753869120、4876391520。
而这4个数都不能被19整除，所以，“十全数”被从1开始的连续自然数整除，最大只能到18，这就更加提高了这4个数身价。
另外，还有两个“十全数”尤其可贵，它们是：5732160984、6098457321。
如果把这两个“十全数”拦腰截断，得到两个五位数：57321与60984。
出乎人们意料之外的是，这两个五位数的平方竟然也都是“十全数”！573212＝3289697041，609842＝3719048256。
上面这6个“十全数”在3265920个“十全数”中寥若晨星，堪称“数的珍宝”。
记住它们，用它们做个饰品或者密码什么的，一般人是绝对想不到的。
跟这些珍宝亲密接触，朝夕相处，不正是我们这些数学爱好者引以为荣，值得骄傲的吗？。
10 粒鹅卵石子的数学故事》
10 粒鹅卵石子的数学故事》【原创版2篇】篇1 目录1.介绍《10 粒鹅卵石子的数学故事》2.讲述故事中的数学问题3.解析故事中的数学问题4.总结《10 粒鹅卵石子的数学故事》的启示篇1正文《10 粒鹅卵石子的数学故事》是一本生动有趣的数学故事书，讲述了一个关于鹅卵石子的数学问题。
在这个故事中，主人公小明需要帮助他的爷爷将 10 粒鹅卵石子平均分给 5 只小鸡。
这个问题看似简单，却蕴含了数学中的平均数和比例等概念。
故事中，小明通过观察和思考，发现将 10 粒鹅卵石子平均分给 5 只小鸡并不是一件容易的事情。
他开始尝试不同的方法，如将鹅卵石子堆成山，或者将它们排成一排，以便更好地理解问题。
最终，小明意识到，他需要找到一种方法，使得每只小鸡得到的鹅卵石子数量相等。
为了解决这个问题，小明开始学习数学中的平均数和比例概念。
他发现，要使 10 粒鹅卵石子平均分给 5 只小鸡，每只小鸡应该得到 2 粒鹅卵石子。
在这个过程中，小明不仅学会了如何计算平均数，还理解了比例和分数的概念。
通过这个故事，我们可以看到数学在现实生活中的应用。
小明通过观察和思考，发现了鹅卵石子分配问题背后的数学原理。
这不仅帮助他解决了实际问题，还培养了他的数学思维和解决问题的能力。
总的来说，《10 粒鹅卵石子的数学故事》是一本很好的数学启蒙读物，通过生动有趣的故事情节，引导读者学习数学知识，并培养读者的数学思维和解决问题的能力。
篇2 目录1.故事背景和起因2.鹅卵石子的分配问题3.数学方法解决鹅卵石子问题4.解决鹅卵石子问题的启示篇2正文《10 粒鹅卵石子的数学故事》讲述了一个发生在古代中国的有趣数学问题。
故事发生在一个村庄，一个老人拥有 10 粒鹅卵石子，他想要将这些鹅卵石子分给他的两个儿子。
按照当时的传统，长子应该得到双份，次子应该得到单份。
然而，10 这个数字是一个特殊的数字，无法简单地分成双份和单份。
在这个问题中，鹅卵石子的分配成为一个棘手的问题。
趣味数学033：“十全数中的珍品”(续3)
有两个特殊的“十全数”：1234567890、9876543210。
前者，从高位到低位，数字越来越大（9到0除外）；后者，从高位到低位，数字越来越小。
如果把这两个十全数的首位数字移到末尾，得到：2345678901、8765432109。
仍然基本上保持着“升序”或“降序”（0到9除外）的排列关系。
依次进行下去，连同原来的两个数，一共可以得到9个“准升序十全数”和9个“准降序十全数”。
分别是：准升序十全数准降序十全数1234567890 98765432102345678901 87654321093456789012 76543210984567890123 65432109875678901234 54321098766789012345 43210987657890123456 32109876548901234567 21098765439012345678 1098765432有位喜欢探索数的奥秘的数学爱好者，无意间，任意取一个“准升序十全数”和一个“准降序十全数”，求出两个数的差。
结果发现：当两个数的首位数字之和等于8、9、10的时候，差竟然还是十全数。
如：5678901234－3210987654＝24679135807654321098－2345678901＝53086421976543210987－4567890123＝1975320864实在有点儿不可思议！这样的算式还可以列出许多。
有兴趣的网友，趁着“十一”长假还没有结束，你不想也亲手试试吗？看来，“数”绝对不是只能用作计算的枯燥乏味的符号，大自然所赐于我们的“数”，蕴藏了太多太多的奇趣和奥秘。
发现她，认识她，了解她，热爱她，会给我们带来无穷无尽的惊喜和乐趣。
行动起来吧，亲爱的网友！。
数学宝藏的探索之旅(数学谜题解答)
数学宝藏的探索之旅（数学谜题解答）数学作为一门科学，一直以来都给人们带来了无限的乐趣与挑战。
它看似冷冰冰的数字和公式，却蕴藏着丰富的美妙之处。
本文将带您踏上一场数学宝藏的探索之旅，解答一些经典的数学谜题。
一、费马大定理费马大定理是数学史上的一颗璀璨明星，也是最著名的数学谜题之一。
费马大定理的提出者皮埃尔·德·费马在17世纪时断言：对于大于2的任何整数n，方程x^n + y^n = z^n 没有正整数解。
直到1994年，安德鲁·怀尔斯才最终证明了这一定理。
二、哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想是数学界的另一个传世之谜。
它提出了一个问题：任何一个大于2的偶数都可以拆分成两个素数之和。
虽然至今没有人能够证明哥德巴赫猜想的正确性，但已经有大量的研究成果显示其在众多情况下成立。
三、黄金分割黄金分割是一种非常特殊的比例关系，可用一个无理数φ（约1.6180339887...）来表示。
黄金分割在各个领域中都有广泛的应用，例如艺术、建筑、金融等。
更有趣的是，黄金分割还与一些图形和数列有着紧密的联系，如费波那契数列、黄金矩形等。
四、无限级数无限级数是一种以无穷多个项相加的数列，也是数学中的重要概念之一。
其中最著名的无疑是级数的和公式：1+1/2+1/4+1/8+⋯=2。
这个公式在数学上给出了一个有趣的结论，即一个无穷数列的和竟然可以是一个有限的数。
五、四色定理四色定理是数学中的一个著名问题，即地图上每片地区都可以用最多4种颜色进行着色，使得相邻的地区颜色不同。
虽然这个定理在1976年被通过计算机证明，但一直以来令人困惑。
通过以上的解答，我们对于这些数学谜题都有了新的认识和理解。
数学的魅力在于，它不仅仅是一个死板的工具，更是一门美学。
我们在解题的过程中，不仅仅需要运用逻辑和推理，还要培养我们对于美的敏感度和触觉。
在数学的世界里，每一个谜题都是一颗宝藏，它们等待着我们的探索。
正如数学家大卫·希尔伯特曾经说过的：“数学是一间宝藏库，里面装满了许多宝藏，需要我们去发现和探索。
10 粒鹅卵石子的数学故事》
10 粒鹅卵石子的数学故事》（最新版2篇）目录（篇1）1.引言：介绍10粒鹅卵石子的数学故事。
2.鹅卵石子的数量和排列：解释如何用10粒鹅卵石子排列出1-10的数字。
3.排列组合的数学原理：介绍排列组合的数学原理，以及如何用它来解决10粒鹅卵石子的问题。
4.结论：总结10粒鹅卵石子的数学故事，强调其教育意义。
正文（篇1）一、引言10粒鹅卵石子的数学故事是一个简单但有趣的问题。
这个问题可以用排列组合的数学原理来解决，让我们来了解一下这个故事。
二、鹅卵石子的数量和排列10粒鹅卵石子可以排列出1-10的数字。
具体来说，我们可以从第一个空位开始，放入第1粒鹅卵石子，然后从第二个空位开始，放入第2粒鹅卵石子，以此类推，直到最后一个空位。
这个过程可以看作是一个数字序列，其中每个数字都是从1到10的一个连续序列。
三、排列组合的数学原理排列组合的数学原理是解决这个问题的关键。
我们可以使用排列组合公式P(10, 10)来计算出所有可能的排列组合数。
这个公式表示的是从10个元素中选择1个元素的组合数。
四、结论10粒鹅卵石子的数学故事告诉我们，即使是最简单的问题也需要一些数学原理来解决。
通过解决这个问题，我们可以更好地理解排列组合的数学原理，并将其应用到更复杂的问题中。
目录（篇2）1.引言：介绍10粒鹅卵石子的数学故事。
2.鹅卵石子的数量和排列：介绍10粒鹅卵石子的排列方式。
3.数学问题的引入：解释数学问题在故事中的应用。
4.计算方法和公式：介绍使用公式计算的方法。
5.故事的意义：探讨故事的意义和启示。
6.结论：总结故事的结论和意义。
正文（篇2）有一个关于10粒鹅卵石子的数学故事，故事中描述了这些鹅卵石子的排列方式。
这个问题可以转化为一个数学问题，需要使用数学公式进行计算。
首先，我们可以将10粒鹅卵石子排成一个正三角形，如下所示：1 2 3 4 5 6 7 8 9 101 2 3 4 5 6 7 8 9 101 2 3 4 5 6 7 8 9 101 2 3 4 5 6 7 8 9 101 2 3 4 5 6 7 8 9 101 2 3 4 5 6 7 8 9 101 2 3 4 5 6 7 8 9 101 2 3 4 5 6 7 8 9 101 2 3 4 5 6 7 8 9 101 2 3 4 5 6 7 8 9 10接下来，我们可以使用数学公式来计算这个正三角形的面积。
数学游戏数10的寻宝
数学游戏数10的寻宝数学游戏：数10的寻宝在数学学习的过程中，我们可能会觉得枯燥乏味，甚至有些头疼。
然而，数学也可以有趣且有挑战性。
今天，我将和大家分享一个有趣的数学游戏——数10的寻宝。
游戏规则很简单：给定一组数字，通过运用四则运算，使得这些数字的结果为10。
听起来很简单对吗？但是当你深入游戏后，你会发现这是一项既需要智力又需要创造力的挑战。
首先，我们需要选择一组数字，这些数字可以是任意的整数或分数，比如2、3、5/2和7。
然后，我们可以使用加法、减法、乘法和除法来组合这些数字，目标是通过运算得到结果为10。
每个数字只能在运算过程中使用一次。
例如，如果我们选择了数字3、4和8，我们可以按照以下方式进行运算：3+4+8-5=10。
这样，我们使用了三个数字和三种运算得到了结果为10的答案。
除了使用基本的四则运算，我们还可以利用括号来改变运算的优先级。
比如，如果我们选择了数字5、7和9，我们可以进行以下计算：(5+7)*9/2=10。
通过使用括号，我们改变了运算的顺序，并且得到了结果为10的答案。
在寻找10的过程中，我们可能会遇到一些困难。
有时候，我们可能需要尝试多种组合才能找到正确的答案。
而有时候，我们可能会发现找不到结果为10的答案。
这时，我们需要灵活思维和耐心，通过改变数字或运算的顺序来寻找新的解决方案。
数10的寻宝游戏旨在培养我们的逻辑思维和数学运算能力。
通过这个游戏，我们可以巩固和拓展自己的数学知识，提高解决问题的能力。
同时，这也是一项有趣的挑战，让我们在游戏中享受数学的魅力。
除了作为一种娱乐活动，数10的寻宝也可以用作数学教育的辅助工具。
教师可以将这个游戏引入课堂，让学生在游戏中学习和巩固数学知识。
通过解决问题和寻找答案，学生们可以积极主动地参与到学习中来，提高他们的学习兴趣和动力。
在这个游戏中，数学就像一个宝库，等待我们去探索。
而我们通过运用自己的智慧和技巧，将会找到属于我们的数学宝藏——结果为10的组合方法。
幼儿园中班数学教案《10以内数量的对应》含反思word版
幼儿园是孩子接触学校启蒙教育的最早阶段，教育内容的趣味性非常重要，既要有趣又要能够传达一些道理，培养孩子的各项基础能力。
幼儿园阶段最常用的资料是幼儿园教案，一般包括活动目标、活动准备过程、提问互动环节、活动反思等内容，帮助幼儿园教师梳理安排好每次的课堂环节。
好的教案设计能让孩子们积极参与，掌握知识技能。
为大家整理了幼儿园一些优质的教案案例，方便大家使用学习。
中班数学教案《10以内数量的对应》含反思适用于中班的数学主题教学活动当中，让幼儿通过数出皮球的个数，在下图涂出出相对应的数量并圈出正确的数字个过程，使幼儿学习数量的对应，感知把具体的量抽象成数的过程，培养幼儿手、口一致的数数，并复习数字1—10，帮助幼儿理解数的实际意义，培养其抽象概括能力，快来看看幼儿园中班数学《10以内数量的对应》含反思教案吧。
活动目标1.培养幼儿手、口一致的数数，并复习数字1—10。
2.通过让幼儿数出皮球的个数，在下图涂出出相对应的数量并圈出正确的数字个过程，使幼儿学习数量的对应，感知把具体的量抽象成数的过程。
3.帮助幼儿理解数的实际意义，培养其抽象概括能力。
4.让幼儿学习简单的数学题目。
5.能与同伴合作，并尝试记录结果。
重点难点重点：让幼儿手、口一致的数数。
难点：感知把具体的量抽象成数的过程。
活动准备数字卡各类物品、食物卡。
活动过程一、从《拍手歌》导入复习数字宝宝1—10，并随机抽取数字卡，让幼儿念出来。
二、按顺序排列让幼儿到黑板上把数字卡从1排列到10。
三、数一数让幼儿数一数物品(铅笔、蝴蝶、小鸭子等)的数量，并能用数字几来表示它。
四、点数给相应数量的圆涂上颜色，并把数字圈出来。
1.请小朋友到嘟嘟牛家做客，嘟嘟牛拿出了很多好吃的东西，如玉米、西瓜、糖果等。
2.点数：请幼儿到黑板手、口一致的点数。
3.嘟嘟牛忘记了这些好吃东西的数量，请幼儿用涂圆圈的方法标识起来，并把数字圈出来。
请个别幼儿到黑板上点数、涂色、圈数字。
4. 请幼儿把课本翻到P11页，教师详细讲解，幼儿作业。
趣味数学032：“十全数中的珍品”(续2)
前面，在“十全数中的珍品”一文中，介绍了“十全数”，就是用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数字组成的十位数。
这里提出两个有趣的个问题：问题一、能同时被1、2、3、4、5、6、7、8、9整除的“十全数”，最大的是多少？问题二：能同时被1、2、3、4、5、6、7、8、9整除的“十全数”，最小的是多少？为了找到解决问题的突破口，先把有关的整除条件，认真梳理推敲一番：1、因为1是所有自然数的约数，所以，不必考虑除数是1的情况；2、因为“十全数”10个数字的和是45，45能被9整除，而3又是9的约数，所以不必考虑除数是9和3的情况；3、因为能被5整除的数，个位数只能是0和5，而这个数还要被2、4、6、8这些偶数整除，所以它个位数只能是0；4、因为2、4都是8的约数，所以只需考虑除数是8的情况就可以了。
而一个数能被8整除的条件是末三位数能被8整除；5、因为6的约数2、3已分别包含在8、9之中，所以不必再考虑除数是6的情况。
归纳以上分析得出，能同时被1、2、3、4、5、6、7、8、9整除的“十全数”，必须具备下面两个条件：1、末尾是：120、160、240、280、320、360、480、520、560、680、720、760、840、920、960；2、能被7整除。
第一个条件可以有目的地选择使用；第二个条件没有捷径可走，只能用试算的办法，好在有了计算器，可以节约许多时间和精力，同时也是练习使用计算器的一次很好的机会。
先来看第一个问题：要让用0～9这10个数字组成的“十全数”比较大，就要尽可能把较大的数字排在前面，把较小的数字排在后面，不妨用987开头，把120排在末尾，把6、5、4、3这4个数字所组成的数排在中间。
987能被7整除，6、5、4、3这4个数字有24种不同的排列，从大到小依次是：6543、6534、6453、6435、6354、6345、5643、5634、5463、5436、5364、5346、4653、4635、4563、4536、4365、4356、3654、3645、3564、3546、3465、3456。
趣味数学031：十全数中的珍品(续1)
前面，在“十全数中的珍品”一文中，谈到了4个十全数：2438195760、3785942160、4753869120、4876391520 这4个十全数，能同时被1～18整除，实属凤毛麟角。
怎样才能记住这几个数中瑰宝，着实让人头痛。
不过也不是完全没有办法。
可以从1～18的最小公倍数入手。
1～18的最小公倍数是12252240，这4个数分别是它的2438195760÷12252240＝199倍，3785942160÷12252240＝309倍；4753869120÷12252240＝388倍；4876391520÷12252240＝398倍。
那么，又怎样才能记住12252240这个数呢？也有办法：当我们在求1～18的最小公倍数时，只需求出5×7×9×11×13×16×17的积就行了，因为其余1、2、3、4、6、8、10、12、14、15、18的因数，都已经包含在这个积的因数里面了，唯独缺了个16。
而5×7×9×11×13×17＝765765，所以1～18的最小公倍数就等于16×765765。
整理一下上面的思路，在整个计算过程中，起关键作用的数有6个，分别是：765、16、199、309、388、389。
由765想到765765；再结合16，就能求出12252240；再结合199、309、388、389就能求出这4个十全数中的珍品：2438195760、3785942160、4753869120、4876391520。
那么，又怎样才能记住765、16、199、309、388、389这几个数呢？也有办法，把它们变成“三字经”就行了：七六五，一十六；一九九，三零九；三八八，三八九。
这个说得头头是道的记忆方法，把要记的东西弄得越来越多，越来越琐碎，明显带有几分搞笑的成分，不过，笑过之后，说不定还真的就记住了。
初中数学拔尖材料09 整数里的一些神奇数
初中数学拔尖材料09 整数里的一些神奇数数学是一切科学的皇后，整数理论是皇后头上的皇冠，皇冠里面有很多神奇的数．本讲主要介绍常见的几个神奇数：质数、合数，最大公约数、最小公倍数；同时介绍几个与它们有关的定理：算术基本定理、正约数个数定理、辗转相除法、费马小定理．这些内容小学生都能玩得起来，其中充满了“数的智慧”，还能检测你的“数．”思维能力． 一、质数与合数 基本知识定义1：一个大于1的正整数a ，如果仅有1与a 这两个正约数，那么称a 叫做质数．．． 定义2：如果一个正整数a 除了1与a 这两个约数外还有其它的正约数，那么称a 叫做合数．．． 注意：1既不是质数，也不是合数．正整数分为三类：1，质数，合数． 如果一个正整数的约数是质数，那么称它为质约数．．．． 典型例题例1．若三个质数p q r 、、满足p q r <<，且p q r +=，求质数p ．例2．求不能用三个不相等的合数之和来表示的最大奇数．例3．判断下列各数哪些是质数？哪些合数？31，97，721，3223．例4．若a 是正整数，问：4239a a -+是质数还是合数？例5．若p 是不小于5的质数，且21p +也是质数，试证：41p +是合数．例6．求这样的质数p ，当它加上10和14时，仍为质数．二、最大公约数与最小公倍数 基本知识定义3：设12, ,, n a a a 是不全为0的整数，如果1d a ，2d a ，…，n d a ，那么称d 叫做1a ，2,, n a a 的公约数．其中最大的d 叫做最大公约数．．．．．，记作：12(, , , )n a a a d =．定义4：设12, ,, n a a a 和m 是正整数，如果1a m ，2a m ，…，n a m ，那么称m 叫做1a ，2,, n a a 的公倍数．其中最小的m 叫做最．小．公．倍．数．，记作：12[, , , ]n a a a d =．特别地，对于两个正整数a 、b ，两者之间关系是：[, ](, )aba b a b =． 定义5：设12, ,, n a a a 都是正整数，如果12(, ,, )1n a a a =，那么称12, ,, n a a a 是互质的数，简称互质．．．特别地，12, , , n a a a 中任意两个数都互质，则称为两两互质．．．．． 两两互质的整数一定互质；反之，互质的整数不一定两两互质，如：（8，9，14）．典型例题例7．求：①（221，325）； ②（5767，4453）．例8．若n 为小于50的正整数，求使代数式45n +和76n +的值有大于1的公约数的所有n 的值．例9．设m 是两个不相等的正整数x y 、的最小公倍数，且满足111m x y m-+=，求所有可能的x y 、．例10．一个正整数能被5和7整除，被11除时余6，求适合条件的最小正整数，并写出具有这种性质的整数的一般形式．例11．用数码1、2、3、4、5、6随意排成一个六位数n ，求证：n 不是完全平方数．三、有关的常用定理 基本知识定理1（算术基本定理）：任意一个大于1的整数都能唯一地分解成质数的乘积．（不考虑顺序）定理2（正约数个数定理）：1212kk N p p p ααα=⋅⋅⋅的正约数共有：12(1)(1)(1)k ααα+++个．定理3（费马小定理）：对任意一个质数p 和整数a ，总有p p a a -成立；特别地，当(, )1p a =，就有11p p a --成立．例12．求最小的正整数，使它的12是平方数，它的13是立方数，它的15是五次方数．例13．设n 是满足下列两个条件的最小正整数：①n 是75的倍数；②n 恰好有75个正约数（包括1和本身）；试求75n ．例14．当质数5p >时，求证：(1)111p p -个．例15．求证：530a a -(a 为任一整数)．巩固练习1．求不能写成两个合数之和的最大正整数．2．三个质数之积等于它们的和的5倍，求这三个质数．3．有一个小于2000的四位数，它恰有14个正约数（包括1和本身），其中有一个质约数的末位数是1，求这个四位数．。
重庆市县(新版)2024高考数学统编版质量检测(拓展卷)完整试卷
重庆市县（新版）2024高考数学统编版质量检测(拓展卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题为提升学校教职工的身体素质，某校工会组织学校600名教职工积极参加“全民健身运动会”，该运动会设有跳绳、仰卧起坐、俯卧撑、开合跳、健步走五个项目，教职工根据自己的兴趣爱好最多可参加其中一个，参加各项目的人数比例的饼状图如图所示，其中参加俯卧撑项目的教职工有75名，参加跳绳项目的教职工有125名，则该校（ ）A．参加该运动会的教职工的总人数为450B．参加该运动会的教职工的总人数占该校教职工人数的80%C．参加开合跳项目的教职工的人数占参加该运动会的教职工的总人数的12%D．从参加该运动会的教职工中任选一名，其参加跳绳或健步走项目的概率为0.6第(2)题已知三棱锥的各顶点都在一个球面上，球心在上，底面，球的体积与三棱锥体积之比是，，则该球的表面积等于A．B．C．D．第(3)题已知集合，，则（）A．B．C．D．第(4)题围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是，则从中任意取出2粒恰好是不同色的概率是（）A．B．C．D．第(5)题设集合，，则（）A．B．C．D．第(6)题已知集合，那么（）A．B．C．D．第(7)题在区间[0，π]上随机取一个数x，则事件“”的概率为（）A．B．C．D．第(8)题某圆锥的侧面展开图是面积为，圆心角为的扇形，则该圆锥的轴截面的面积为（）A．B．C．D．2二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知函数，结论正确的有（）A．是周期函数B．的图象关于原点对称C．的值域为D．在区间上单调递增第(2)题在正方体中，，分别为棱，的中点，则下列说法正确的是（）A．平面B．C．，，，四点共面D．平面平面第(3)题已知等差数列的前项和为，的公差为，则（）A．B．C ．若为等差数列，则D．若为等差数列，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知非零向量，满足，，则与夹角为______．第(2)题将参数方程（q为参数）化为普通方程，所得方程是_____；第(3)题设有一组圆：．下列四个命题其中真命题的序号是____①存在一条定直线与所有的圆均相切；②存在一条定直线与所有的圆均相交；③存在一条定直线与所有的圆均不相交；④所有的圆均不经过原点．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题设函数，是函数的导数.（1）若，证明在区间上没有零点；（2）在上恒成立，求的取值范围.第(2)题已知函数（）.（1）若曲线在点处的切线方程为，求a的值；（2）若是函数的极值点，且，求证：.第(3)题如图，四棱锥的底面是正方形，平面平面，，分别是，的中点，平面经过点，，与棱交于点，．(1)求的值；(2)求直线与平面所成角的余弦值．第(4)题记表示m，n中的最大值，如.已知函数，.（1）设，求函数在上的零点个数；（2）试探讨是否存在实数，使得对恒成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，说明理由.第(5)题在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.如图，在“阳马”中，侧棱底面，且.(1)若，试计算底面面积的最大值;(2)过棱的中点作，交于点，连，，求证:直线平面(3)若平面与平面所成锐二面角的大小为，试求的值.。
贵州省黔西南布依族苗族自治州(新版)2024高考数学统编版(五四制)能力评测(强化卷)完整试卷
贵州省黔西南布依族苗族自治州（新版）2024高考数学统编版（五四制）能力评测(强化卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知函数，方程有3个不同的解，现给出下述结论：①；②；③的极小值.其中所有正确结论的序号是（）A．②B．③C．①③D．②③第(2)题已知定义在[，]上的函数满足，且当x[，1]时，，若方程有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）A ．(，]B．(，]C ．(，]D．(，]第(3)题南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，他所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项之差成等差数列．现有一高阶等差数列，其前7项分别为1，2，4，7，11，16，22，则该数列的第100项为（）A．4 923B．4 933C．4 941D．4 951第(4)题已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，记次品数为X，已知，且该产品的次品率不超过；则这10件产品中次品数n为（）A．1件B．2件C．8件D．2件或8件第(5)题已知，，（）是函数（且）的3个零点，则的取值范围是（）A．B．C．D．第(6)题已知函数.（为自然对数的底数），.若存在实数，使得，且，则实数的最大值为（）A．B．C．D．1第(7)题已知平面向量，满足，，，则，夹角的余弦值为（）A．B．C．D．第(8)题波兰数学大师史坦因豪斯编著的《一百个数学问题》中的第46个问题是球的堆垒问题：有无数个完全相同的球，取3个使它们两两相切放置，然后放上第4个球，使其与前3个球都相切，这样形成4个凹穴，在每个凹穴再放上一个球，则一共放了8个球，它们形成多少个凹穴？这个过程可以一直继续下去吗？若我们只考虑前8个球，设球的半径为1，其中两个球的球心之间的距离为d，则d的取值集合为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题若，，则（）A．B．C．D．第(2)题设直线：与圆C：，则下列结论正确的为（）A．直线与圆C可能相离B．直线不可能将圆C的周长平分C．当时，直线被圆C截得的弦长为D．直线被圆C截得的最短弦长为第(3)题在平面直角坐标系中，过轴上一点作单位圆（以坐标原点为圆心）的切线，切线交椭圆于两点，则以下结论正确的是（）A．的最大值为2B．的最大值为4C．当时，弦长随的增大而减小D．当时，弦长随的增大而减小三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知的面积是3，，则与的夹角___________.第(2)题如果一个凸多面体是n棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有_____条，这些直线中共有对异面直线，则；f(n)=______(答案用数字或n的解析式表示)第(3)题等比数列的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则的公比为_____________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知，点在第一象限，以为直径的圆与轴相切，动点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）若曲线在点处的切线的斜率为，直线的斜率为，求满足的点的个数.第(2)题计算第(3)题已知有两个极值点．(1)求实数a的取值范围；(2)证明：．第(4)题已知直线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆的极坐标方程为，且直线经过椭圆的右焦点.（1）求椭圆的内接矩形面积的最大值；（2）若直线与椭圆交于两点，求的值.第(5)题一座小桥自左向右全长100米，桥头到桥尾对应数轴上的坐标为0至100，桥上有若干士兵，一阵爆炸声后士兵们发生混乱，每个士兵爬起来后都有一个初始方向（向左或向右），所有士兵的速度都为1米每秒，中途不会主动改变方向，但小桥十分狭窄，只能容纳1人通过，假如两个士兵面对面相遇，他们无法绕过对方，此时士兵则分别转身后继续前进（不计转身时间）.(1)在坐标为10，40，80处各有一个士兵，计算初始方向不同的所有情况中，3个士兵全部离开桥面的最长时间（提示：两个士兵面对面相遇并转身等价于两个士兵互相穿过且编号互换）；(2)在坐标为10、20、30、……、90处各有一个士兵，初始方向向右的概率为，设最后一个士兵离开独木桥的时间为秒，求的分布列和期望；(3)若初始状态共个士兵，初始方向向右的概率为，计算自左向右的第个士兵（命名为指挥官）从他的初始方向离开小桥的概率，以及当取得最大值时取值．。
新疆喀什地区2024-2025学年三上数学第二单元人教版基础掌握测试卷
新疆喀什地区2024-2025学年三上数学第二单元人教版基础掌握测试卷学校：_______ 班级：__________姓名：_______ 考号：__________（满分：100分时间：45分钟）总分栏题号一二三四五六七总分得分评卷人得分一、认真审题，填一填。
（除标注外，每空1分）1.380比610少( )，( )比520多170。
2.比380少130的数是( )；比380多130的数是( )。
3.估算498＋303的结果是( )。
4.晓东在计算两位数加两位数时，把其中一个加数十位的5看成了6，结果得78，正确的和是( )。
5.一架照相机的价钱是5996元，大约是( )元。
6.在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。
54＋5( )54＋50 87－9( )82 79－（9－8）( )79－9＋73元2角( )32角 52角( )5元 18＋（40－30）( )18＋40－307.用、、、组成的最小的四位数是( )，最大的四位数是( )。
8.48个十加22个十是( )个十，也就是( )。
9.最大的三位数与最小的三位数它们的差是( )，它们的和是( )。
10.一个湖的水面高出海平面180米，湖的底面则比海平面低220米。
湖水在这一点实际有( )米深。
11.超市昨天卖出牛奶197箱，今天卖出203箱，两天大约共卖出_______箱。
12.填上适当的数字。
350＋( )＝500280－( )＝130( )－280＝610评卷人得分二、仔细推敲，选一选。
（将正确答案的序号填入括号内）（每小题2分，10分）1.天猫“双十二”活动即将开启，妈妈看中了一件棉服，这件棉服的价格在560元到890元之间。
妈妈支付宝中现在有450元，要想买这件棉服，最多还需要从银行卡转到支付宝上（）元钱。
A．110B．440C．10102.根据25+16＝41，写出两道减法算式是（ ）A．41﹣25＝16和16+25＝41B．41﹣16＝25和41﹣25＝163.甲数是83，比乙数少468，乙数是（）。
2024四年级部编版上册数学期末知识点全真模拟巩固卷提分版
2024四年级部编版上册数学期末知识点全真模拟巩固卷提分版一、单项选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分，在每小题给出的答案中，只有一个符合题目要求。
(共10题)第(1)题2019年10月1日，庆祝中华人民共和国成立70周年仪式备受瞩目。
据统计，全国约有89538000人次通过网络或直播的方式观看阅兵仪式。
这个数中的两个“8”分别表示（）。
A．8个一千万，8个一千B．8个一亿，8个十万C．8个一千万，8个一万第(2)题我们伟大祖国的陆地总面积约是960万（）。
A．公顷B．平方米C．平方千米D．千米第(3)题电子计算器的ON/C键是（）。
A．开关及清除屏键B．开机键及关机键C．关机及清除屏键第(4)题一颗卫星与木星的平均距离是23670000千米，把这个数改写成用“万千米”作单位的数是（）。
A．23.67万千米B．2367万千米C．2.367万千米第(5)题某公司保管员不慎将保险箱密码忘记了，只记得是下面三个数中的一个，并记得它只读一个0，这个密码是（）。
A．8000880B．8000808C．8080080第(6)题某品牌免洗抑菌洗手液一瓶50元，买5瓶送1瓶，750元最多可以买（）瓶。
A．16B．18C．50第(7)题用放大10倍的放大镜看一个15度的角，这个角是（）度。
A．150B．15C．不能确定第(8)题把69497400省略“万”后面的尾数约是（）。
A．6949万B．6950C．6950万第(9)题两条直线相交时，有一个角是45°，这个角的邻角是（）。
A．125°B．135°C．145°第(10)题一小滴血液大约含有25000000个红细胞。
请你把横线的数据省略万位后面的尾数，正确的是（）。
A．2500万B．250万C．25万二、填空题：本题共11小题，每小题3分，共33分 (共11题)第(1)题一个长方形果园，长是400米，宽是150米。
广东省阳江市2024高三冲刺(高考数学)人教版模拟(巩固卷)完整试卷
广东省阳江市2024高三冲刺（高考数学）人教版模拟(巩固卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题采购经理指数（PMI），是通过对企业采购经理的月度调查结果统计汇总、编制而成的指数，它涵盖了企业采购、生产、流通等各个环节，包括制造业和非制造业领域，是国际上通用的检测宏观经济走势的先行指数之一，具有较强的预测、预警作用．制造业PMI高于时，反映制造业较上月扩张；低于，则反映制造业较上月收缩．下图为我国2021年1月—2022年6月制造业采购经理指数（PMI）统计图．根据统计图分析，下列结论最恰当的一项为（）A．2021年第二、三季度的各月制造业在逐月收缩B．2021年第四季度各月制造业在逐月扩张C．2022年1月至4月制造业逐月收缩D．2022年6月PMI重回临界点以上，制造业景气水平呈恢复性扩张第(2)题已知等差数列的前项和为，，则（）A．B．C．D．第(3)题已知为等差数列的前项和，若，，则当取最小值时，（）A．9B．10C．10或11D．11第(4)题已知集合{10以内的质数}，，则（）A．B．C．D．第(5)题顶角为的等腰三角形，常称为“最美三角形”．已知，则“最美三角形”的底边长与腰长的比为（）A．B．C．D．第(6)题复数的辐角的主值是（）A．B．C．D．第(7)题某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到10年内每年此农产品的销售额（单位：万元）等于上一年的1.3倍再减去3.已知第一年（2023年）该公司该产品的销售额为100万元，则按照计划该公司从2023年到2032年该产品的销售总额约为（参考数据：）（）A．3937万元B．3837万元C．3737万元D．3637万元第(8)题设命题甲为，命题乙为．那么（）A．甲是乙的充分条件．但不是乙的必要条件B．甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知函数，则下列说法正确的是（）A．的值域为B．的对称中心为C．在上的递增区间为D．在上的极值点个数为1第(2)题已知复数和，则下列命题是真命题的有（）A．若满足，则其在复平面内对应点的轨迹是圆B．若满足，则其在复平面内对应点的轨迹是椭圆C．若满足，则其在复平面内对应点的轨迹是双曲线D．若满足，则其在复平面内对应点的轨迹是抛物线第(3)题已知函数，下列结论正确是（）A．值域是B．是周期函数C．图像关于直线对称D．在上单调递增三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题在平面直角坐标系中，双曲线的离心率为_______．第(2)题已知抛物线C：（p>0）的焦点为F，过点F且斜率为1的直线与抛物线C相交于A，B两点，与抛物线C的准线交于点E，若，则p＝________.第(3)题设P为直线3x＋4y＋3＝0上的动点，过点P作圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB的面积的最小值为________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题如图，在四棱锥中，底面是菱形，与交于点，，，，平面平面，为线段上的一点．(1)证明：平面；(2)当与平面所成的角的正弦值最大时，求平面与平面夹角的余弦值．第(2)题已知数列满足.(1)求数列的通项公式；(2)对任意的正整数n，令，求数列的前2n项的和.第(3)题已知椭圆的方程，右焦点为，且离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)设是椭圆的左、右顶点，过的直线交于两点（其中点在轴上方），求与的面积之比的取值范围.第(4)题如图，在四棱锥中，为棱上一点，，四边形为矩形，且平面.(1)求证：平面；(2)求二面角的大小.第(5)题将8株某种果树的幼苗分种在4个坑内，每坑种2株，每株幼苗成活的概率为0.5.若一个坑内至少有1株幼苗成活，则这个坑不需要补种，若一个坑内的幼苗都没成活，则这个坑需要补种，每补种1个坑需15元，用X表示补种费用.(1)求一个坑不需要补种的概率；(2)求4个坑中恰有2个坑需要补种的概率；(3)求X的数学期望.。
吉林省延边朝鲜族自治州(新版)2024高考数学统编版真题(评估卷)完整试卷
吉林省延边朝鲜族自治州（新版）2024高考数学统编版真题(评估卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题榫卯，是一种中国传统建筑、家具及其他器械的主要结构方式，是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式．春秋时期著名的工匠鲁班运用榫卯结构制作出了鲁班锁，且鲁班锁可拆解，但是要将它们拼接起来则需要较高的空间思维能力和足够的耐心．如图甲，六通鲁班锁是由六块长度大小一样，中间各有着不同镂空的长条形木块组装而成．其主视图如图乙所示，则其侧视图为（）A．B．C．D．第(2)题已知函数的定义域为，且，，，则（）A．B．C．0D．1第(3)题将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图是（）A．B．C．D．第(4)题曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．第(5)题中国古代数学名著《算法统宗》中有这样一个问题：今有米二百四十石，令甲，乙，丙､丁，戊五人递差分之，要将甲､乙二人数与丙､丁，戊三人数同.问：各该若干？其大意是：现有大米二百四十石，甲，乙，丙，丁，戊五人分得的重量依次成等差数列，要使甲，乙两人所得大米重量与丙，丁，戊三人所得大米重量相等，问每个人各分得多少大米？在这个问题中，丁分得大米重量为（）A．32石B．40石C．48石D．56石第(6)题已知复数满足，则的虚部为（）A．B．C．D．第(7)题已知函数的定义域为，且，，则（）A．B．为奇函数C．D．的周期为3第(8)题已知命题：，，：，，则下列命题是真命题的是（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题设，，且，则（）A．的最大值为B．的最小值为C．的最小值为D．的最小值为第(2)题若函数的图象上存在两个不同的点P，Q，使得在这两点处的切线重合，则称函数为“切线重合函数”，下列函数中是“切线重合函数”的是（）A．B．C．D．第(3)题在正方体中，，，分别为棱，，的中点，平面，，直线和直线所成角为，则（）A．B．的最小值为C．，，，四点共面D．平面三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题A，B，C，D为球面上四点，M，N分别是AB，CD的中点，以MN为直径的球称为AB，CD的“伴随球”，若三棱锥A—BCD的四个顶点在表面积为64π的球面上，它的两条边AB，CD的长度分别为和，则AB，CD的伴随球的体积的取值范围是___________第(2)题复数______.第(3)题若函数在区间上存在零点，则实数m的最小值是_________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知数列的前项和为，满足.（1）求证：数列等差数列；（2）当时，记，是否存在正整数、，使得、、成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数对；若不存在，请说明理由；（3）若数列、、、、、是公比为的等比数列，求最小正整数，使得当时，.第(2)题已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若方程有两个不相等的实根，，求实数a的取值范围，并证明．第(3)题已知函数 .(1)求函数的极值；(2)若1是关于的方程的根，且方程在上有实根，求的取值范围.第(4)题对于项数为的有穷正整数数列，记，即为，，……中的最大值，称数列{}为数列{}的“创新数列”.比如1，3，2，5，5的“创新数列”为1，3，3，5，5.(1)若数列的“创新数列”{}为1，2，3，4，4，写出所有可能的数列；(2)设数列{}为数列的“创新数列”，满足，求证：(3)设数列{}为数列的“创新数列”，数列{bn}中的项互不相等且所有项的和等于所有项的积，求出所有的数列.第(5)题已知点在圆：上运动，点在轴上的投影为，动点满足．（1）求动点的轨迹的方程；（2）过点的动直线与曲线交于、两点，问：在轴上是否存在定点使得的值为定值？若存在，求出定点的坐标及该定值；若不存在，请说明理由．。
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前面，在“十全数中的珍品”一文中，介绍了“十全数”，就是用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数字组成的十位数。
这里提出两个有趣的个问题：
问题一、能同时被1、2、3、4、5、6、7、8、9整除的“十全数”，最大的是多少？
问题二：能同时被1、2、3、4、5、6、7、8、9整除的“十全数”，最小的是多少？
为了找到解决问题的突破口，先把有关的整除条件，认真梳理推敲一番：
1、因为1是所有自然数的约数，所以，不必考虑除数是1的情况；
2、因为“十全数”10个数字的和是45，45能被9整除，而3又是9的约数，所以不必考虑除数是9和3的情况；
3、因为能被5整除的数，个位数只能是0和5，而这个数还要被2、
4、6、8这些偶数整除，所以它个位数只能是0；
4、因为2、4都是8的约数，所以只需考虑除数是8的情况就可以了。
而一个数能被8整除的条件是末三位数能被8整除；
5、因为6的约数2、3已分别包含在8、9之中，所以不必再考虑除数是6的情况。
归纳以上分析得出，能同时被1、2、3、4、5、6、7、8、9整除的“十全数”，必须具备下面两个条件：
1、末尾是：
120、160、240、280、320、360、480、520、560、680、720、760、840、920、960；
2、能被7整除。
第一个条件可以有目的地选择使用；第二个条件没有捷径可走，只能用试算的办法，好在有了计算器，可以节约许多时间和精力，同时也是练习使用计算器的一次很好的机会。
先来看第一个问题：
要让用0～9这10个数字组成的“十全数”比较大，就要尽可能把较大的数字排在前面，把较小的数字排在后面，不妨用987开头，把120排在末尾，把6、5、4、3这4个数字所组成的数排在中间。
987能被7整除，6、5、4、3这4个数字有24种不同的排列，从大到小依次是：
6543、6534、6453、6435、6354、6345、5643、5634、5463、5436、5364、5346、4653、4635、4563、4536、4365、4356、3654、3645、3564、3546、3465、3456。
试算发现，5643120能被7整除，所以，能同时被1～9整除的“十全数”，最大的是9875643120。
再来看第二个问题：
要让用0～9这10个数字组成的“十全数”比较小，就要尽可能把较小的数字排在前面，把较大的数字排在后面。
如果用1234开头，那么，末三位数数字中含有1、2、3、4的就不再考虑，只能取560、680、760、960。
如果取560，还剩下7、8、9这3个数字，有6种不同排列，从小到大依次是：789、798、879、897、978、987。
因为1234被7除余2，560能被7整除，而2789、2798、2879、2897、2978、2987都不能被7整除，所以无解；
如果取680，还剩下5、7、9这3个数字，有6种不同排列，从小到大依次是：579、597、759、795、957、975。
因为1234被7除余2，试算发现，只有2759680能被7整除，于是得到1个解1234759680；
如果取760，还剩下5、8、9这3个数字，有6种不同排列，从小到大依次是：589、598、859、895、958、985。
因为1234被7除余2，试算发现.2895760、2958760能被7整除，于是又得到2个解1234895760、1234958760；
如果取960，还剩下5、7、8这3个数字，有6种不同排列，从小到大依次是：578、587、758、785、857、875。
因为1234被7除余2，试算发现，2857960能被7整除，于是又得到1个解1234857960；
所得到的4个解1234759680、1234895760、1234958760、1234857960中，1234759680最小，所以，能同时被1～9整除的“十全数”，最小的是1234759680。
求出这两个特殊的“十全数”，不仅让我们又一次感爱到数的奥妙，而且在探求过程中，综合运用了整除、分析、归纳、排列、试算、比较、判断等许多数学知识和数学思想方法，这才是尤为可贵的。
因为学习数学、运用数学、研究数学，就是要能够灵活地驾驭所掌握的数学知识和数学思想方法。
愿我们在学习、运用、研究数学的过程中，充分感受到它特有的魅力，领略到它特有的韵味，享受到由此带来的特有的乐趣！。