97b截断切割 参考答案

1997年B题截断切割

B题截断切割

某些工业部门（如贵重石材加工等）采用截断切割的加工方式。这里“截断切割”是指将物体沿某个切割平面分成两部分。从一个长方体中加工出一个已知尺寸、位置预定的长方体（这两个长主体的对应表面是平行的）通常要经过6次截断切割。

设水平切割单位面积的费用是垂直切割单位面积费用的r倍，且当先后两次垂直切割的平面（不管它们之间是否穿插水平切割）不平行时，因调整刀具需额外费用e.

试为这些部门设计一种安排各面加工次序（称“切割方式”）的方法，使加工费用最少。（由工艺要求，与水平工作台接触的长方体底面是事先指定的）详细要求如下：

1、需考虑的不同切割方式的总数

2、给出上述问题的数学模型和求解方法。

1、试对某部门用的如下准则作出评价：每次选择一个加工费用最少的待切割面进行切割。

2、对于e=0的情形有无简明的优化准则。

3、用以下实例验证你的方法：待加工长方体和成品长方体的长、宽、高分别为10、14.5、

19和3、2、4，二者左侧面、正面、底面之间的距离分别为6、7、9（单位均为厘米）。

垂直切割费用为每平方厘米1元，r和e的数据有以下4组：

a.r=1 e=0 ;

b.r=1.5 e=0 ;

c.r=8 ,e=0 ;

d.r=1.5;2≤e≤15

对最后一组数据应给出所有最优解，并进行讨论。

B题截断切割

（1）需考虑的不同切割方式的总数

V中共有6!=720个不同的元素，因此有720种不同的切割方式，注意到相继二次切割一对平行的平面时，交换这二次切割的先后次序不影响对应切割方式的费用，将费用相同的切割方式归成一类，每类取一种切割方式作为代表，此时仅需考虑加工费用可能不同的切割方式426种。

（2）问题归结为求一个定义在6个切割面排列次序的全体或它的一个子集上的函数的最小值。目标函数应尽量用显式写出。求解可用枚举法，分支定界法或其它方法，从尽可能简便有效作为评价标准：

（3）一种作法如下：

在直角坐标系中，表面平行于坐标平面的长方体可表示为{（x,y,z）,(a,b,c)},其中（x,y,z）为长方体某指定角点的坐标，a,b,c分别为它的长、宽、高。

设原材料长方体（简称母体）知成品长方体（简称子体）的长、宽、高分另为（a0,b0,c0）和（a,b,c）；取母体正前方左下角为原点，取长、宽、高方向为x.y,z轴，建立直角坐标系；设子体正前方左下角坐标为（x e,y e,z e）,6个切割平面分别为：x=x e,x=x e+a,y=y e y=y e+b,z=z e z=z e+c我们依次用1-6分别标记这6种切割。

对于一种给定的切割方式，i1i2i3 i4 i5 i6, i j∈{1,2,3,4,5,6},i j≠i k(j≠k j,k=1,2,3,4,5,6)可以用递推方法决定其加工费用，设第k次切割前的加工长方体为{（x k-1,y k-1,z k-1）,(a k-1,b k-1c k-1)},i k决定了加工后的长方体{（x k,y k,z k）,(a k,b k,c k)};由i k和i k-j(k-j>0,j=1,2,3)完全决定了k次切割的费用e k，例如：设i k=1(此时x k-1≠x e),{(x k,y k,z k),(a k,b k,c k)}={(x e,y k-1,z k-1),(a k-x e,b k-1,c k-1)}而e k=b k-1,c k-1+f k,其中

f k ={0e 当K>1且i k-1=2时或当k>2,i k-1=5或6且i k-2=2时，或k>3，i k-1,i k-2=5或6且i k-3=2时其它。

又如i k =6(此时z k-1≠z e +c){（x k ,y k ,z k ）,(a k ,b k ,c k )}={(x k-1,y k-1,z k-1),(a k-1,b k-1,z e +c-z k-1)}而e k =ra k-1,b k-1,对i k 取其它值可类似处理

E=∑=6

1k k e 即为这一加工方式的总费用。这样i 1,i 2,…i 6→E k-1定义了一个函数,记为

E=f(i 1,i 2,i 3,i 4,i 5,i 6),其定义域为V={ i 1,i 2,i 3,i 4,i 5,i 6|i j ∈{1,2,3,4,5,6},i j ≠i k ,I,k=1,2,3,4,5,6} 数学模型归结为:求E=f(i 1,i 2,i 3,i 4,i 5,i 6)在V 上的最小值和最小值点,这里采用长方体正前方左下角坐标和长宽高来表示长方体,但可以用其它方式来表示;加工方式的表示也可以是多样的,因此建立的模型会有多种不同的形式.

模型的求解：

1、采用枚举法

2、采用分支定界或类似的方法求解

若用某种算法得到最优费用的一个上界并用若干局部最优，准则减少分叉和较早剪枝，可以减少计算工作量。

3、学生自行创造的方法或加的改造的方法，应给予较高评价。

（3）选择最小化费的切割面造行切割的准则一般达不到最优，答卷应举反例加以说明。

（4）将6个切割面从1-6编号，设成品长方体落在第j 个切割面上的表面与待加工长方体相应的表面之间的距离为d j ,令 h j =d j /r j ,(1,2,3,4,5,6)，其中r j 是第j 个切割面的加工费用系数： r j ={1r 当切割面j 的垂直的

当切割面j 的水平的。

则当e=0有如下最优准则：

将h j 按由大到小的次序排列为h j1,h j2…h j6,则j 1,j 2…j 6是一个最优切割方式，由此可得所有可能的最优切割方式。

对这一准则的最优性应从数学上加以论证，论证方式可以是多种的。

（5）数值结果

①（r,e ）=（1，0），最优切割方式为531642或536142，对应费用为374元。

②（r,e ）=(1.5,0),最优切割方式为315462或351462，对应费用为437.5元。 ③（r,e ）=(8,0)，最优切割方式为314526费用为540.5元。

④a,e ∈[2,2.5]最优切割方式为315462和351462，351462和354162，对应费用为437.5+3e 元；c.e ∈（2.5,15]最优切割方式为354162,对应费用为442.5+e 元。

其中1,2表示垂直于长度为10的边的切割面；3,4表示垂直于长变14.5的边的切割面；5，6为两个水平切割面（（2）中已有解释）。