新高考人教A版选修数学作业汇编Word版---选修2-21.3导数在研究函数中的应用2课时作业
高中数学人教A版选修2-2(课时训练)：1.3导数在研究函数中的应用1.3.1Word版含答案
函数．观察选项易知 D 正确． 3．若函数 f(x)＝x3－ ax2－ x＋ 6 在(0,1)内单调递减， 则实数 a 的取值范围是 ( )
A． [1 ，＋∞ )
B．a＝1
C． (－∞， 1]
D．(0,1)
答案 A 解析 ∵ f′(x)＝3x2－2ax－1，又 f(x)在(0,1)内单调递减， ∴不等式 3x2－2ax－1＜0 在(0,1)内恒成立，∴ f′(0)≤0，且 f′ (1)≤0，∴ a≥ 1. 4．函数 y＝x2－4x＋a 的增区间为 ________，减区间为 ________．
∴ a 的取值范围为 (－∞ ，0)．
1．函数 f(x)＝x＋ln x 在 (0,6)上是 ( )
A．单调增函数
B．单调减函数
C．在 0，1e 上是减函数，在 1e，6 上是增函数
D．在
1 0，e
上是增函数，在
1e，6 上是减函数
答案 A
解析 ∵ x∈(0,6)时， f′(x)＝1＋1x＞0，∴函数 f(x)在(0,6)上单调递增．
1
1
2
f′(x)＝ 2x－ x，由 f′ (x)＝2x－x＞0 且 x＞0，得 x＞ 2 ，
所以函数 f(x)的单调递增区间为 22，＋ ∞ ；
2 由 f′ (x)＜0 得 x＜ 2 ，又 x∈(0，＋ ∞)，
所以函数 f(x)的单调递减区间为
2 0， 2 .
(2)f′(x)＝3x2－2x－ 1＝ (3x＋ 1)(x－1)．
1 答案 －3，1 ∪[2,3) 6．函数 y＝ln( x2－x－ 2)的递减区间为 ________．
答案 (－∞，－ 1)
解析
2x－1 f′(x)＝ x2－x－2，令
高中数学人教A版选修2-2(课时训练)：1.3 导数在研究函数中的应用1.3.2 Word版含答案.docx
1.3.2函数的极值与导数[学习目标]1．了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用．2．掌握函数极值的判定及求法．3．掌握函数在某一点取得极值的条件．[知识链接]在必修1中，我们研究了函数在定义域内的最大值与最小值问题．但函数在定义域内某一点附近，也存在着哪一点的函数值大，哪一点的函数值小的问题，如何利用导数的知识来判断函数在某点附近函数值的大小问题，如图观察，函数y＝f(x)在d、e、f、g、h、i等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y ＝f(x)在这些点处的导数值是多少？在这些点附近，y＝f(x)的导数的符号有什么规律？答以d、e两点为例，函数y＝f(x)在点x＝d处的函数值f(d)比它在点x＝d附近其他点的函数值都小，f′(d)＝0；在x＝d的附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0.类似地，函数y＝f(x)在点x＝e处的函数值f(e)比它在x＝e附近其他点的函数值都大，f′(e)＝0；在x＝e附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0.[预习导引]1．极值点与极值的概念(1)极小值点与极小值如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则把点a 叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)极大值点与极大值如图，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．2．求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值．(2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值．要点一求函数的极值例1求函数f(x)＝13x3－4x＋4的极值．解f′(x)＝x2－4.解方程x2－4＝0，得x1＝－2，x2＝2.由f′(x)＞0得x＜－2或x＞2；由f′(x)＜0得－2＜x＜2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：由表可知：当x＝－2时，f(x)有极大值f(－2)＝28 3.当x ＝2时，f (x )有极小值f (2)＝－43. 规律方法 求可导函数f (x )的极值的步骤： (1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x )； (2)求方程f ′(x )＝0的根；(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间，并列成表格．检测f ′(x )在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值． 跟踪演练1 求函数f (x )＝3x ＋3ln x 的极值． 解 函数f (x )＝3x ＋3ln x 的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝－3x 2＋3x ＝3(x －1)x 2. 令f ′(x )＝0，得x ＝1.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：要点二 利用函数极值确定参数的值例2 已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)在x ＝±1处取得极值，且f (1)＝－1. (1)求常数a ，b ，c 的值；(2)判断x ＝±1是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由，并求出极值． 解 (1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c . ∵x ＝±1是函数f (x )的极值点， ∴x ＝±1是方程f ′(x )＝0的两根， 即3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根， 由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧－2b 3a ＝0， ①c 3a ＝－1 ②又f (1)＝－1，∴a ＋b ＋c ＝－1. ③ 由①②③解得a ＝12，b ＝0，c ＝－32. (2)由(1)知f (x )＝12x 3－32x ， ∴f ′(x )＝32x 2－32＝32(x －1)(x ＋1)，当x ＜－1或x ＞1时，f ′(x )＞0， 当－1＜x ＜1时，f ′(x )＜0，∴函数f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数， 在(－1,1)上是减函数，∴当x ＝－1时，函数取得极大值f (－1)＝1， 当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝－1.规律方法 (1)利用函数的极值确定参数的值，常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)因为“导数值等于零”不是“此点为极值点”的充要条件，所以利用待定系数法求解后，必须验证根的合理性．跟踪演练2 已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，求常数a ，b 的值．解 因为f (x )在x ＝－1时有极值0， 且f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，所以⎩⎨⎧ f ′(－1)＝0f (－1)＝0，即⎩⎨⎧3－6a ＋b ＝0－1＋3a －b ＋a 2＝0. 解之得⎩⎨⎧ a ＝1b ＝3或⎩⎨⎧a ＝2b ＝9.当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0， 所以f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去． 当a ＝2，b ＝9时，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)．当x∈(－3，－1)时，f(x)为减函数；当x∈(－1，＋∞)时，f(x)为增函数，所以f(x)在x＝－1时取得极小值，因此a＝2，b＝9.要点三函数极值的综合应用例3设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同的实根，求实数a的取值范围．解(1)f′(x)＝3x2－6，令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝ 2.因为当x＞2或x＜－2时，f′(x)＞0；当－2＜x＜2时，f′(x)＜0.所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)；单调递减区间为(－2，2)．当x＝－2时，f(x)有极大值5＋42；当x＝2时，f(x)有极小值5－4 2.(2)由(1)的分析知y＝f(x)的图象的大致形状及走向如图所示．所以，当5－42＜a＜5＋42时，直线y＝a与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，即方程f(x)＝a有三个不同的实根．所以，a的取值范围是(5－42，5＋42)．规律方法用求导的方法确定方程根的个数，是一种很有效的方法．它通过函数的变化情况，运用数形结合思想来确定函数图象与x轴的交点个数，从而判断方程根的个数．跟踪演练3若函数f(x)＝2x3－6x＋k在R上只有一个零点，求常数k的取值范围．解f(x)＝2x3－6x＋k，则f′(x)＝6x2－6，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1，可知f(x)在(－1,1)上是减函数，f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数．f(x)的极大值为f(－1)＝4＋k，f(x)的极小值为f(1)＝－4＋k.要使函数f(x)只有一个零点，只需4＋k＜0或－4＋k＞0(如图所示)或即k＜－4或k＞4.∴k的取值范围是(－∞，－4)∪(4，＋∞)．1．下列关于函数的极值的说法正确的是()A．导数值为0的点一定是函数的极值点B．函数的极小值一定小于它的极大值C．函数在定义域内有一个极大值和一个极小值D．若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内不是单调函数答案 D解析由极值的概念可知只有D正确．2．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)()A．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点答案 C解析在x＝x0的两侧，f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值；f′(x)的符号由负变正，则f(x0)是极小值，由图象易知有两个极大值点，两个极小值点．3．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为() A．－1＜a＜2 B．－3＜a＜6 C．a＜－1或a＞2 D．a＜－3或a＞6 答案 D解析f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，因为f(x)既有极大值又有极小值，那么Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)＞0，解得a＞6或a＜－3.4．设函数f(x)＝6x3＋3(a＋2)x2＋2ax.若f(x)的两个极值点为x1，x2，且x1x2＝1，则实数a的值为________．答案9解析f′(x)＝18x2＋6(a＋2)x＋2a.由已知f′(x1)＝f′(x2)＝0，从而x1x2＝2a18＝1，所以a＝9.1．在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值．2．函数的极值是函数的局部性质．可导函数f(x)在点x＝x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0且在x＝x0两侧f′(x)符号相反．3．利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题.一、基础达标1．函数y＝f(x)的定义域为(a，b)，y＝f′(x)的图象如图，则函数y＝f(x)在开区间(a，b)内取得极小值的点有()A．1个B．2个C．3个D．4个答案 A解析当满足f′(x)＝0的点，左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0时，该点为极小值点，观察题图，只有一个极小值点．2．“函数y＝f(x)在一点的导数值为0”是“函数y＝f(x)在这点取得极值”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析对于f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，不能推出f(x)在x＝0处取极值，反之成立．故选B.3．若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于()A．2 B．3C．6 D．9答案 D解析f′(x)＝12x2－2ax－2b，∵f(x)在x＝1处有极值，∴f′(1)＝12－2a－2b＝0，∴a＋b＝6.又a＞0，b＞0，∴a＋b≥2ab，∴2ab≤6，∴ab≤9，当且仅当a＝b＝3时等号成立，∴ab的最大值为9.4．函数y＝x3－3x2－9x(－2＜x＜2)有()A．极大值5，极小值－27B．极大值5，极小值－11C．极大值5，无极小值D．极小值－27，无极大值答案 C解析 由y ′＝3x 2－6x －9＝0，得x ＝－1或x ＝3，当x ＜－1或x ＞3时，y ′＞0，当－1＜x ＜3时，y ′<0.故当x ＝－1时，函数有极大值5；x 取不到3，故无极小值．5．函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋3既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是________．答案 (－∞，－1)∪(2，＋∞)解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)，令3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)＝0，即x 2＋2ax ＋a ＋2＝0，∵函数f (x )有极大值和极小值，∴方程x 2＋2ax ＋a ＋2＝0有两个不相等的实数根，即Δ＝4a 2－4a －8＞0，解得a ＞2或a ＜－1.6．若函数y ＝x 3－3ax ＋a 在(1,2)内有极小值，则实数a 的取值范围是________． 答案 (1,4)解析 y ′＝3x 2－3a ，当a ≤0时，y ′≥0，函数y ＝x 3－3ax ＋a 为单调函数，不合题意，舍去；当a ＞0时，y ′＝3x 2－3a ＝0⇒x ＝±a ，不难分析，当1＜a ＜2，即1＜a ＜4时，函数y ＝x 3－3ax ＋a 在(1,2)内有极小值．7．求函数f (x )＝x 2e －x 的极值． 解 函数的定义域为R ，f ′(x )＝2x e －x ＋x 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ′＝2x e －x －x 2e －x ＝x (2－x )e －x ， 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：当x ＝2时，函数有极大值，且为f (2)＝4e －2. 二、能力提升8．(2014·新课标全国Ⅱ)设函数f (x )＝3sin πxm .若存在f (x )的极值点x 0满足x 20＋[f (x 0)]2<m 2，则m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－6)∪(6，＋∞) B ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 答案 C解析 由f (x )＝3sin πxm 的图象知，在x ＝x 0处，f (x 0)＝3，或f (x 0)＝－3，即[f (x 0)]2＝3，又πx 0m ＝π2＋k π(k ∈Z )，得x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋12m (k∈Z )，∴|x 0|≥|m |2，∴x 20＋[f (x 0)]2≥m 24＋3，∴m 24＋3<m 2，∴m 2>4，∴m >2或m <－2.故选C.9．(2013·福建)设函数f (x )的定义域为R ，x 0(x 0≠0)是f (x )的极大值点，以下结论一定正确的是( ) A ．∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0) B ．－x 0是f (－x )的极小值点 C ．－x 0是－f (x )的极小值点 D ．－x 0是－f (－x )的极小值点 答案 D解析 x 0(x 0≠0)是f (x )的极大值点，并不是最大值点．故A 错；f (－x )相当于f (x )关于y 轴的对称图象的函数，故－x 0应是f (－x )的极大值点，B 错；－f (x )相当于f (x )关于x 轴的对称图象的函数，故x 0应是－f (x )的极小值点．跟－x 0没有关系，C 错；－f (－x )相当于f (x )关于坐标原点的对称图象的函数．故D 正确． 10．如果函数y ＝f (x )的导函数的图象如图所示，给出下列判断：①函数y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－12内单调递增；②函数y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3内单调递减；③函数y ＝f (x )在区间(4,5)内单调递增； ④当x ＝2时，函数y ＝f (x )有极小值； ⑤当x ＝－12时，函数y ＝f (x )有极大值． 则上述判断正确的是________．(填序号) 答案③解析 函数的单调性由导数的符号确定，当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(－∞，－2)上为减函数，同理f (x )在(2,4)上为减函数，在(－2,2)上是增函数，在(4，＋∞)上为增函数，所以可排除①和②，可选择③.由于函数在x ＝2的左侧递增，右侧递减，所以当x ＝2时，函数有极大值；而在x ＝－12的左右两侧，函数的导数都是正数，故函数在x ＝－12的左右两侧均为增函数，所以x ＝－12不是函数的极值点．排除④和⑤.11．已知f (x )＝x 3＋12mx 2－2m 2x －4(m 为常数，且m ＞0)有极大值－52，求m 的值． 解 ∵f ′(x )＝3x 2＋mx －2m 2＝(x ＋m )(3x －2m )， 令f ′(x )＝0，则x ＝－m 或x ＝23m .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：∴f (x )极大值＝f (－m )＝－m 3＋12m 3＋2m 3－4＝－52，∴m ＝1. 12．设a 为实数，函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a . (1)求f (x )的极值；(2)当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点？解 (1)f ′(x )＝3x 2－2x －1. 令f ′(x )＝0，则x ＝－13或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以f (x )的极大值是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝527＋a ，极小值是f (1)＝a －1.(2)函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a ＝(x －1)2(x ＋1)＋a －1，由此可知，x 取足够大的正数时，有f (x )＞0， x 取足够小的负数时，有f (x )＜0， 所以曲线y ＝f (x )与x 轴至少有一个交点．由(1)知f (x )极大值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝527＋a ，f (x )极小值＝f (1)＝a －1.∵曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点，∴f (x )极大值＜0或f (x )极小值＞0， 即527＋a ＜0或a －1＞0，∴a ＜－527或a ＞1，∴当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－527∪(1，＋∞)时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点． 三、探究与创新13．(2013·新课标Ⅱ)已知函数f (x )＝e x －ln(x ＋m )． (1)设x ＝0是f (x )的极值点，求m ，并讨论f (x )的单调性； (2)当m ≤2时，证明f (x )＞0. (1)解 f ′(x )＝e x －1x ＋m. 由x ＝0是f (x )的极值点得f ′(0)＝0，所以m ＝1. 于是f (x )＝e x －ln(x ＋1)，定义域为(－1，＋∞)， f ′(x )＝e x －1x ＋1.函数f′(x)＝e x－1x＋1在(－1，＋∞)单调递增，且f′(0)＝0，因此当x∈(－1,0)时，f′(x)＜0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0.所以f(x)在(－1,0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．(2)证明当m≤2，x∈(－m，＋∞)时，ln(x＋m)≤ln(x＋2)，故只需证明当m＝2时，f(x)＞0.当m＝2时，函数f′(x)＝e x－1x＋2在(－2，＋∞)单调递增．又f′(－1)＜0，f′(0)＞0，故f′(x)＝0在(－2，＋∞)有唯一实根x0，且x0∈(－1,0)．当x∈(－2，x0)时，f′(x)＜0；当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)＞0，从而当x＝x0时，f(x)取得最小值．由f′(x0)＝0得e x0＝1x0＋2，ln(x0＋2)＝－x0，故f(x)≥f(x0)＝1x0＋2＋x0＝(x0＋1)2x0＋2＞0.综上，当m≤2时，f(x)＞0.。
高中数学人教A版选修2-2(课时训练)：1.3 导数在研究函数中的应用1.3.2 Word版含答案
1.3.2函数的极值与导数[学习目标]1．了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用．2．掌握函数极值的判定及求法．3．掌握函数在某一点取得极值的条件．[知识链接]在必修1中，我们研究了函数在定义域内的最大值与最小值问题．但函数在定义域内某一点附近，也存在着哪一点的函数值大，哪一点的函数值小的问题，如何利用导数的知识来判断函数在某点附近函数值的大小问题，如图观察，函数y＝f(x)在d、e、f、g、h、i等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y ＝f(x)在这些点处的导数值是多少？在这些点附近，y＝f(x)的导数的符号有什么规律？答以d、e两点为例，函数y＝f(x)在点x＝d处的函数值f(d)比它在点x＝d附近其他点的函数值都小，f′(d)＝0；在x＝d的附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0.类似地，函数y＝f(x)在点x＝e处的函数值f(e)比它在x＝e附近其他点的函数值都大，f′(e)＝0；在x＝e附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0.[预习导引]1．极值点与极值的概念(1)极小值点与极小值如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则把点a 叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)极大值点与极大值如图，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．2．求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值．(2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值．要点一求函数的极值例1求函数f(x)＝13x3－4x＋4的极值．解f′(x)＝x2－4.解方程x2－4＝0，得x1＝－2，x2＝2.由f′(x)＞0得x＜－2或x＞2；由f′(x)＜0得－2＜x＜2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：由表可知：当x＝－2时，f(x)有极大值f(－2)＝28 3.当x ＝2时，f (x )有极小值f (2)＝－43. 规律方法 求可导函数f (x )的极值的步骤： (1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x )； (2)求方程f ′(x )＝0的根；(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间，并列成表格．检测f ′(x )在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值． 跟踪演练1 求函数f (x )＝3x ＋3ln x 的极值． 解 函数f (x )＝3x ＋3ln x 的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝－3x 2＋3x ＝3(x －1)x 2. 令f ′(x )＝0，得x ＝1.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：要点二 利用函数极值确定参数的值例2 已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)在x ＝±1处取得极值，且f (1)＝－1. (1)求常数a ，b ，c 的值；(2)判断x ＝±1是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由，并求出极值． 解 (1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c . ∵x ＝±1是函数f (x )的极值点， ∴x ＝±1是方程f ′(x )＝0的两根， 即3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根， 由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧－2b 3a ＝0， ①c 3a ＝－1②又f (1)＝－1，∴a ＋b ＋c ＝－1. ③ 由①②③解得a ＝12，b ＝0，c ＝－32. (2)由(1)知f (x )＝12x 3－32x ， ∴f ′(x )＝32x 2－32＝32(x －1)(x ＋1)，当x ＜－1或x ＞1时，f ′(x )＞0， 当－1＜x ＜1时，f ′(x )＜0，∴函数f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数， 在(－1,1)上是减函数，∴当x ＝－1时，函数取得极大值f (－1)＝1， 当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝－1.规律方法 (1)利用函数的极值确定参数的值，常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)因为“导数值等于零”不是“此点为极值点”的充要条件，所以利用待定系数法求解后，必须验证根的合理性．跟踪演练2 已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，求常数a ，b 的值．解 因为f (x )在x ＝－1时有极值0， 且f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，所以⎩⎨⎧ f ′(－1)＝0f (－1)＝0，即⎩⎨⎧3－6a ＋b ＝0－1＋3a －b ＋a 2＝0. 解之得⎩⎨⎧ a ＝1b ＝3或⎩⎨⎧a ＝2b ＝9.当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0， 所以f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去． 当a ＝2，b ＝9时，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)．当x∈(－3，－1)时，f(x)为减函数；当x∈(－1，＋∞)时，f(x)为增函数，所以f(x)在x＝－1时取得极小值，因此a＝2，b＝9.要点三函数极值的综合应用例3设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同的实根，求实数a的取值范围．解(1)f′(x)＝3x2－6，令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝ 2.因为当x＞2或x＜－2时，f′(x)＞0；当－2＜x＜2时，f′(x)＜0.所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)；单调递减区间为(－2，2)．当x＝－2时，f(x)有极大值5＋42；当x＝2时，f(x)有极小值5－4 2.(2)由(1)的分析知y＝f(x)的图象的大致形状及走向如图所示．所以，当5－42＜a＜5＋42时，直线y＝a与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，即方程f(x)＝a有三个不同的实根．所以，a的取值范围是(5－42，5＋42)．规律方法用求导的方法确定方程根的个数，是一种很有效的方法．它通过函数的变化情况，运用数形结合思想来确定函数图象与x轴的交点个数，从而判断方程根的个数．跟踪演练3若函数f(x)＝2x3－6x＋k在R上只有一个零点，求常数k的取值范围．解f(x)＝2x3－6x＋k，则f′(x)＝6x2－6，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1，可知f(x)在(－1,1)上是减函数，f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数．f(x)的极大值为f(－1)＝4＋k，f(x)的极小值为f(1)＝－4＋k.要使函数f(x)只有一个零点，只需4＋k＜0或－4＋k＞0(如图所示)或即k＜－4或k＞4.∴k的取值范围是(－∞，－4)∪(4，＋∞)．1．下列关于函数的极值的说法正确的是()A．导数值为0的点一定是函数的极值点B．函数的极小值一定小于它的极大值C．函数在定义域内有一个极大值和一个极小值D．若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内不是单调函数答案 D解析由极值的概念可知只有D正确．2．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)()A．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点答案 C解析在x＝x0的两侧，f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值；f′(x)的符号由负变正，则f(x0)是极小值，由图象易知有两个极大值点，两个极小值点．3．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为() A．－1＜a＜2 B．－3＜a＜6 C．a＜－1或a＞2 D．a＜－3或a＞6 答案 D解析f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，因为f(x)既有极大值又有极小值，那么Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)＞0，解得a＞6或a＜－3.4．设函数f(x)＝6x3＋3(a＋2)x2＋2ax.若f(x)的两个极值点为x1，x2，且x1x2＝1，则实数a的值为________．答案9解析f′(x)＝18x2＋6(a＋2)x＋2a.由已知f′(x1)＝f′(x2)＝0，从而x1x2＝2a18＝1，所以a＝9.1．在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值．2．函数的极值是函数的局部性质．可导函数f(x)在点x＝x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0且在x＝x0两侧f′(x)符号相反．3．利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题.一、基础达标1．函数y＝f(x)的定义域为(a，b)，y＝f′(x)的图象如图，则函数y＝f(x)在开区间(a，b)内取得极小值的点有()A．1个B．2个C．3个D．4个答案 A解析当满足f′(x)＝0的点，左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0时，该点为极小值点，观察题图，只有一个极小值点．2．“函数y＝f(x)在一点的导数值为0”是“函数y＝f(x)在这点取得极值”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析对于f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，不能推出f(x)在x＝0处取极值，反之成立．故选B.3．若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于()A．2 B．3C．6 D．9答案 D解析f′(x)＝12x2－2ax－2b，∵f(x)在x＝1处有极值，∴f′(1)＝12－2a－2b＝0，∴a＋b＝6.又a＞0，b＞0，∴a＋b≥2ab，∴2ab≤6，∴ab≤9，当且仅当a＝b＝3时等号成立，∴ab的最大值为9.4．函数y＝x3－3x2－9x(－2＜x＜2)有()A．极大值5，极小值－27B．极大值5，极小值－11C．极大值5，无极小值D．极小值－27，无极大值答案 C解析 由y ′＝3x 2－6x －9＝0，得x ＝－1或x ＝3，当x ＜－1或x ＞3时，y ′＞0，当－1＜x ＜3时，y ′<0.故当x ＝－1时，函数有极大值5；x 取不到3，故无极小值．5．函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋3既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是________．答案 (－∞，－1)∪(2，＋∞)解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)，令3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)＝0，即x 2＋2ax ＋a ＋2＝0，∵函数f (x )有极大值和极小值，∴方程x 2＋2ax ＋a ＋2＝0有两个不相等的实数根，即Δ＝4a 2－4a －8＞0，解得a ＞2或a ＜－1.6．若函数y ＝x 3－3ax ＋a 在(1,2)内有极小值，则实数a 的取值范围是________． 答案 (1,4)解析 y ′＝3x 2－3a ，当a ≤0时，y ′≥0，函数y ＝x 3－3ax ＋a 为单调函数，不合题意，舍去；当a ＞0时，y ′＝3x 2－3a ＝0⇒x ＝±a ，不难分析，当1＜a ＜2，即1＜a ＜4时，函数y ＝x 3－3ax ＋a 在(1,2)内有极小值．7．求函数f (x )＝x 2e －x 的极值． 解 函数的定义域为R ，f ′(x )＝2x e －x ＋x 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ′＝2x e －x －x 2e －x ＝x (2－x )e －x ， 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：当x ＝2时，函数有极大值，且为f (2)＝4e －2. 二、能力提升8．(2014·新课标全国Ⅱ)设函数f (x )＝3sin πxm .若存在f (x )的极值点x 0满足x 20＋[f (x 0)]2<m 2，则m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－6)∪(6，＋∞) B ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 答案 C解析 由f (x )＝3sin πxm 的图象知，在x ＝x 0处，f (x 0)＝3，或f (x 0)＝－3，即[f (x 0)]2＝3，又πx 0m ＝π2＋k π(k ∈Z )，得x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋12m (k∈Z )，∴|x 0|≥|m |2，∴x 20＋[f (x 0)]2≥m 24＋3，∴m 24＋3<m 2，∴m 2>4，∴m >2或m <－2.故选C.9．(2013·福建)设函数f (x )的定义域为R ，x 0(x 0≠0)是f (x )的极大值点，以下结论一定正确的是( ) A ．∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0) B ．－x 0是f (－x )的极小值点 C ．－x 0是－f (x )的极小值点 D ．－x 0是－f (－x )的极小值点 答案 D解析 x 0(x 0≠0)是f (x )的极大值点，并不是最大值点．故A 错；f (－x )相当于f (x )关于y 轴的对称图象的函数，故－x 0应是f (－x )的极大值点，B 错；－f (x )相当于f (x )关于x 轴的对称图象的函数，故x 0应是－f (x )的极小值点．跟－x 0没有关系，C 错；－f (－x )相当于f (x )关于坐标原点的对称图象的函数．故D 正确． 10．如果函数y ＝f (x )的导函数的图象如图所示，给出下列判断：①函数y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－12内单调递增；②函数y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3内单调递减；③函数y ＝f (x )在区间(4,5)内单调递增； ④当x ＝2时，函数y ＝f (x )有极小值； ⑤当x ＝－12时，函数y ＝f (x )有极大值． 则上述判断正确的是________．(填序号) 答案③解析 函数的单调性由导数的符号确定，当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(－∞，－2)上为减函数，同理f (x )在(2,4)上为减函数，在(－2,2)上是增函数，在(4，＋∞)上为增函数，所以可排除①和②，可选择③.由于函数在x ＝2的左侧递增，右侧递减，所以当x ＝2时，函数有极大值；而在x ＝－12的左右两侧，函数的导数都是正数，故函数在x ＝－12的左右两侧均为增函数，所以x ＝－12不是函数的极值点．排除④和⑤.11．已知f (x )＝x 3＋12mx 2－2m 2x －4(m 为常数，且m ＞0)有极大值－52，求m 的值． 解 ∵f ′(x )＝3x 2＋mx －2m 2＝(x ＋m )(3x －2m )， 令f ′(x )＝0，则x ＝－m 或x ＝23m .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：∴f (x )极大值＝f (－m )＝－m 3＋12m 3＋2m 3－4＝－52，∴m ＝1. 12．设a 为实数，函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a . (1)求f (x )的极值；(2)当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点？解 (1)f ′(x )＝3x 2－2x －1. 令f ′(x )＝0，则x ＝－13或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以f (x )的极大值是f ⎝ ⎭⎪⎫－13＝527＋a ，极小值是f (1)＝a －1.(2)函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a ＝(x －1)2(x ＋1)＋a －1，由此可知，x 取足够大的正数时，有f (x )＞0， x 取足够小的负数时，有f (x )＜0， 所以曲线y ＝f (x )与x 轴至少有一个交点．由(1)知f (x )极大值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝527＋a ，f (x )极小值＝f (1)＝a －1.∵曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点，∴f (x )极大值＜0或f (x )极小值＞0， 即527＋a ＜0或a －1＞0，∴a ＜－527或a ＞1，∴当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－527∪(1，＋∞)时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点．三、探究与创新13．(2013·新课标Ⅱ)已知函数f (x )＝e x －ln(x ＋m )． (1)设x ＝0是f (x )的极值点，求m ，并讨论f (x )的单调性； (2)当m ≤2时，证明f (x )＞0. (1)解 f ′(x )＝e x －1x ＋m. 由x ＝0是f (x )的极值点得f ′(0)＝0，所以m ＝1. 于是f (x )＝e x －ln(x ＋1)，定义域为(－1，＋∞)， f ′(x )＝e x －1x ＋1.函数f′(x)＝e x－1x＋1在(－1，＋∞)单调递增，且f′(0)＝0，因此当x∈(－1,0)时，f′(x)＜0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0.所以f(x)在(－1,0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．(2)证明当m≤2，x∈(－m，＋∞)时，ln(x＋m)≤ln(x＋2)，故只需证明当m＝2时，f(x)＞0.当m＝2时，函数f′(x)＝e x－1x＋2在(－2，＋∞)单调递增．又f′(－1)＜0，f′(0)＞0，故f′(x)＝0在(－2，＋∞)有唯一实根x0，且x0∈(－1,0)．当x∈(－2，x0)时，f′(x)＜0；当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)＞0，从而当x＝x0时，f(x)取得最小值．由f′(x0)＝0得e x0＝1x0＋2，ln(x0＋2)＝－x0，故f(x)≥f(x0)＝1x0＋2＋x0＝(x0＋1)2x0＋2＞0.综上，当m≤2时，f(x)＞0.高中数学学习技巧：在学习的过程中逐步做到：提出问题，实验探究，展开讨论，形成新知，应用反思。
2018-2019学年人教A版选修2-2 1.3导数在研究函数中的应用1 课时作业
第一章导数及其应用1.3导数在研究函数中的应用1（检测教师版）时间:40分钟 总分：60分班级： 姓名：一、 选择题（共6小题，每题5分，共30分）1．在下列结论中，正确的有 ( )(1)单调增函数的导数也是单调增函数； (2)单调减函数的导数也是单调减函数； (3)单调函数的导数也是单调函数； (4)导函数是单调的，则原函数也是单调的． A ．0个 B ．2个 C ．3个D ．4个[解析] 分别举反例：(1)y ＝ln x ，(2)y ＝1x (x >0)，(3)y ＝2x ，(4)y ＝x 2，故选A ．2．函数f (x )＝ax 3－x 在R 上为减函数，则 ( )A ．a ≤0B ．a <1C ．a <2D ．a ≤13[解析] f ′(x )＝3ax 2－1≤0恒成立，∴a ≤0.3．函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0,1)内的零点个数是 ( )A ．0B ．1C ．2D ．3 [解析] 本小题考查函数的零点与用导数判断函数的单调性，考查分析问题、解决问题的能力． ∵f (x )＝2x ＋x 3－2,0<x <1，∴f ′(x )＝2x ln2＋3x 2>0在(0,1)上恒成立，∴f (x )在(0,1)上单调递增． 又f (0)＝20＋0－2＝－1<0，f (1)＝2＋1－2＝1>0，f (0)f (1)<0，则f (x )在(0,1)内至少有一个零点， 又函数y ＝f (x )在(0,1)上单调递增，则函数f (x )在(0,1)内有且仅有一个零点． 4．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是 ( )A ．y ＝sin xB ．y ＝x e 2C ．y ＝x 3－xD ．y ＝ln x －x[解析] 对于B ，y ＝x e 2，则y ′＝e 2，∴y ＝x e 2在R 上为增函数，在(0，＋∞)上也为增函数，选B ． 5．已知函数y ＝f (x )的图象是如图四个图象之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则该函数的图 象是 ( )[解析] 由导函数图象可知函数在[－1,1]上为增函数，又因导函数值在[－1,0]递增，原函数在[－1,1]上切线的斜率递增，导函数的函数值在[0,1]递减，原函数在[0,1]上切线的斜率递减，选B ．6．若f (x )＝ln xx，e<a <b ，则 ( )A ．f (a )>f (b )B ．f (a )＝f (b )C ．f (a )<f (b )D ．f (a )f (b )>1[解析] 因为f ′(x )＝1－ln xx 2，∴当x >e 时，f ′(x )<0，则f (x )在(e ，＋∞)上为减函数，因为e<a <b ， 所以f (a )>f (b )．选A ．二、填空题（共2小题，每题5分，共10分） 7．函数y ＝ln(x 2－x －2)的单调递减区间为 .[解析] 函数y ＝ln(x 2－x －2)的定义域为(2，＋∞)∪(－∞，－1)， 令f (x )＝x 2－x －2，f ′(x )＝2x －1<0，得x <12，∴函数y ＝ln(x 2－x －2)的单调减区间为(－∞，－1)．8．已知函数f (x )＝x 3－ax 2－3x 在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是 .[解析] ∵f (x )＝x 3－ax 2－3x ，∴f ′(x )＝3x 2－2ax －3， 又因为f (x )＝x 3－ax 2－3x 在区间[1，＋∞)上是增函数， f ′(x )＝3x 2－2ax －3≥0在区间[1，＋∞)上恒成立， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 3≤1，f ＝3×12－2a －3≥0，解得a ≤0，故答案为(－∞，0]．三、解答题（共2小题，共20分）9．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx (a 、b ∈R )的图象过点P (1,2)，且在点P 处的切线斜率为8.(1)求a 、b 的值；(2)求函数f (x )的单调区间．[解析] (1)∵函数f (x )的图象过点P (1,2)，∴f (1)＝2.∴a ＋b ＝1.①又函数图象在点P 处的切线斜率为8，∴f ′(1)＝8， 又f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，∴2a ＋b ＝5.② 解由①②组成的方程组，可得a ＝4，b ＝－3.(2)由(1)得f ′(x )＝3x 2＋8x －3，令f ′(x )>0，可得x <－3或x >13；令f ′(x )<0，可得－3<x <13.∴函数f (x )的单调增区间为(－∞，－3)，(13，＋∞)，单调减区间为(－3，13)．10．已知a ≥0，函数f (x )＝(x 2－2ax )e x .设f (x )在区间[－1,1]上是单调函数，求a 的取值范围.[解析] ∵f (x )＝(x 2－2ax )e x ，∴f ′(x )＝(2x －2a )e x ＋(x 2－2ax )e x ＝e x [x 2＋2(1－a )x －2a ] 令f ′(x )＝0，即x 2＋2(1－a )x －2a ＝0， 解x 1＝a －1－1＋a 2，x 2＝a －1＋1＋a 2， 其中x 1<x 2，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表∵a ≥0，∴x 1212∴x 2≥1，即a －1＋1＋a 2≥1，∴a ≥34.。
新人教A版高中数学(选修2-2)1.3《导数在研究函数中的应用》
求可导函数f(x)单调区间的步骤：
(1)求f’(x)
(2)解不等式f’(x)>0(或f’(x)<0) (3)确认并指出递增区间（或递减区间）
练习 P26 1
1.判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:
1.判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:
注意：应正确理解 “ 某个区间 ” 的含义,它 必是定义域内的某个区间。
随时间t 的增加而增加, 即h(t)是增函数.相应 地,
②从最高点到入水,运动员离水面的高度h随时间t的 增加而减少,即h(t)是减函数.相应地,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
观察下面一些函数的图象, 探讨函数的单调性与其导函 数正负的关系.
y y=x y
y = x2 y
y=
x3
y
O
x x O
O
x
O
x
结论
在某个区间(a,b)内,如果 在这个区间内单调递增; 如果 那么函数 在这个区间内单调递减. ,那么函数 ,
(1)求f’(x)
(2)确认f’(x)在(a,b)内的符号 (3)作出结论
例 求证函数f(x)=2x3-6x2+7在(0,2)内是减函数
补充结论
1. 对x∈(a,b),如果f/(x)≥0,但f/(x)不恒 为0,则f(x)在区间(a,b)上是增函数; 2. 对x∈(a,b),如果f/(x)≤0,但f/(x)不恒 为0,则f(x)在区间(a,b)上是减函数;
可知 可知
y
在此区间内 在此区
综上, 函数 图象 的大致形状如右图所示.
O
1
4
x
练习 P26 2
2.函数 的图象如图所示, 试画出导函数 图象的大致形状
高中数学人教A版选修2-2(课时训练)：1.3 导数在研究函数中的应用1.3.3 Word版含答案
1.3.3函数的最大(小)值与导数[学习目标]1．理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系．2．会求某闭区间上函数的最值．[知识链接]极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质，但是我们往往更关心函数在某个区间上哪个值最大，哪个值最小，函数的极值与最值有怎样的关系？答函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取得必定是极值，所以在开区间(a，b)上若存在最值，则必是极值．[预习导引]1．函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值函数f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在端点处或极值点处取得．2．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最值的步骤(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．3．函数在开区间(a，b)的最值在开区间(a，b)内连续的函数不一定有最大值与最小值；若函数f(x)在开区间I 上只有一个极值，且是极大(小)值，则这个极大(小)值就是函数f(x)在区间I上的最大(小)值．4．极值与最值的意义(1)最值是在区间[a，b]上的函数值相比较最大(小)的值；(2)极值是在区间[a，b]上的某一个数值x0附近相比较最大(小)的值．要点一求函数在闭区间上的最值例1求下列各函数的最值：(1)f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3,2]；(2)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1]．解(1)f′(x)＝－4x3＋4x，令f′(x)＝－4x(x＋1)(x－1)＝0，得x＝－1，x＝0，x＝1.当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：当x＝－1或x＝1时，f(x)取最大值4.(2)f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3，∵f′(x)在[－1,1]内恒大于0，∴f(x)在[－1,1]上为增函数．故x＝－1时，f(x)最小值＝－12；x＝1时，f(x)最大值＝2.即f(x)的最小值为－12，最大值为2.规律方法(1)求函数的最值，显然求极值是关键的一环．但仅仅是求最值，可用下面简化的方法求得．①求出导数为零的点．②比较这些点与端点处函数值的大小，就可求出函数的最大值和最小值．(2)若函数在闭区间[a，b]上连续且单调，则最大、最小值在端点处取得．跟踪演练1求下列函数的最值：(1)f (x )＝13x 3－4x ＋4，x ∈[0,3]； (2)f (x )＝e x (3－x 2)，x ∈[2,5]．解 (1)∵f (x )＝13x 3－4x ＋4，∴f ′(x )＝x 2－4. 令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝2. ∵f (2)＝－43，f (0)＝4，f (3)＝1，∴函数f (x )在[0,3]上的最大值为4，最小值－43. (2)∵f (x )＝3e x －e x x 2，∴f ′(x )＝3e x －(e x x 2＋2e x x )＝－e x (x 2＋2x －3) ＝－e x (x ＋3)(x －1)，∵在区间[2,5]上，f ′(x )＝－e x (x ＋3)(x －1)＜0， 即函数f (x )在区间[2,5]上单调递减， ∴x ＝2时，函数f (x )取得最大值f (2)＝－e 2； x ＝5时，函数f (x )取得最小值f (5)＝－22e 5. 要点二 含参数的函数的最值问题例2 已知a 是实数，函数f (x )＝x 2(x －a )．求f (x )在区间[0,2]上的最大值． 解 令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝2a3. ①当2a3≤0，即a ≤0时， f (x )在[0,2]上单调递增， 从而f (x )max ＝f (2)＝8－4a . ②当2a3≥2，即a ≥3时， f (x )在[0,2]上单调递减， 从而f (x )max ＝f (0)＝0.③当0<2a 3<2，即0<a <3时，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2a 3上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 3，2上单调递增，从而f (x )max ＝{ 8－4a (0<a ≤2)，0 (2<a <3)，综上所述，f (x )max ＝{ 8－4a (a ≤2)，0 (a >2).规律方法 由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化．所以解决这类问题常需要分类讨论，并结合不等式的知识进行求解．跟踪演练2 在本例中，区间[0,2]改为[－1,0]结果如何？ 解 令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝23a ，①当23a ≥0，即a ≥0时，f (x )在[－1,0]上单调递增，从而f (x )max ＝f (0)＝0； ②当23a ≤－1，即a ≤－32时，f (x )在[－1,0]上单调递减，从而f (x )max ＝f (－1)＝－1－a ；③当－1<23a <0，即－32<a <0时， f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，23a 上单调递增；在⎣⎢⎡⎦⎥⎤23a ，0上单调递减， 则f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ＝－427a 3. 综上所述：f (x )max＝⎩⎪⎨⎪⎧－1－a ，a ≤－32－427a 3－32<a <00，a ≥0.要点三 函数最值的应用例3 设函数f (x )＝tx 2＋2t 2x ＋t －1(x ∈R ，t ＞0)． (1)求f (x )的最小值h (t )；(2)若h (t )＜－2t ＋m 对t ∈(0,2)恒成立，求实数m 的取值范围． 解 (1)∵f (x )＝t (x ＋t )2－t 3＋t －1 (x ∈R ，t ＞0)， ∴当x ＝－t 时，f (x )取最小值f (－t )＝－t 3＋t －1， 即h (t )＝－t 3＋t －1.(2)令g (t )＝h (t )－(－2t ＋m )＝－t 3＋3t －1－m ，由g′(t)＝－3t2＋3＝0得t＝1，t＝－1(不合题意，舍去)．当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表：maxh(t)<－2t－m对t∈(0,2)恒成立，也就是g(t)<0，对t∈(0,2)恒成立，只需g(t)max＝1－m<0，∴m>1.故实数m的取值范围是(1，＋∞)．规律方法(1)“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型，一般地，可采用分离参数法进行转化．λ≥f(x)恒成立⇔λ≥[f(x)]max；λ≤f(x)恒成立⇔λ≤[f(x)]min.对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含参函数的最值即可．(2)此类问题特别要小心“最值能否取得到“和“不等式中是否含等号”的情况，以此来确定参数的范围能否取得“＝”．跟踪演练3设函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，(1)若对任意的x∈[0,3]，都有f(x)＜c2成立，求c的取值范围；(2)若对任意的x∈(0,3)，都有f(x)＜c2成立，求c的取值范围．解(1)∵f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)．∴当x∈(0,1)时，f′(x)＞0；当x∈(1,2)时，f′(x)＜0；当x∈(2,3)时，f′(x)＞0.∴当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝5＋8c.又f(3)＝9＋8c＞f(1)，∴x∈[0,3]时，f(x)的最大值为f(3)＝9＋8c.∵对任意的x∈[0,3]，有f(x)＜c2恒成立，∴9＋8c＜c2，即c＜－1或c＞9.∴c的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞)．(2)由(1)知f(x)＜f(3)＝9＋8c，∴9＋8c≤c2，即c≤－1或c≥9，∴c的取值范围为(－∞，－1]∪[9，＋∞)．1．函数f (x )＝－x 2＋4x ＋7，在x ∈[3,5]上的最大值和最小值分别是( ) A ．f (2)，f (3) B ．f (3)，f (5) C ．f (2)，f (5) D ．f (5)，f (3)答案 B解析 ∵f ′(x )＝－2x ＋4， ∴当x ∈[3,5]时，f ′(x )<0， 故f (x )在[3,5]上单调递减，故f (x )的最大值和最小值分别是f (3)，f (5)． 2．函数f (x )＝x 3－3x (|x |＜1)( ) A ．有最大值，但无最小值 B ．有最大值，也有最小值 C ．无最大值，但有最小值 D ．既无最大值，也无最小值 答案 D解析 f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，当x ∈(－1,1)时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(－1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选D. 3．函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π的最大值是( )A ．π－1B ．π2－1 C ．π D ．π＋1 答案 C解析 因为y ′＝1－cos x ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，y ′＞0，则函数在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上为增函数，所以y 的最大值为y max ＝π－sin π＝π，故选C.4．(2012·安徽改编)函数f (x )＝e x sin x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，e π2 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，e π2C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，e π2D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，e π2答案 A解析 f ′(x )＝e x (sin x ＋cos x )． ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ′(x )＞0.∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调增函数，∴f (x )min ＝f (0)＝0，f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝e π2.5．函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋k 在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为________． 答案 －71解析 f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x －3)(x ＋1)． 由f ′(x )＝0得x ＝3或x ＝－1. 又f (－4)＝k －76，f (3)＝k －27， f (－1)＝k ＋5，f (4)＝k －20. 由f (x )max ＝k ＋5＝10，得k ＝5， ∴f (x )min ＝k －76＝－71.1．求函数的最值时，应注意以下几点：(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题，是一个局部概念，而函数的最值是对整个定义域而言，是在整体范围内讨论问题，是一个整体性的概念．(2)闭区间[a ，b ]上的连续函数一定有最值．开区间(a ，b )内的可导函数不一定有最值，但若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值．(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个，而函数的极值则可能不止一个，也可能没有极值，并且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值)． 2．求含参数的函数最值，可分类讨论求解． 3．“恒成立”问题可转化为函数最值问题.一、基础达标1．函数y ＝f (x )在[a ，b ]上( )A．极大值一定比极小值大B．极大值一定是最大值C．最大值一定是极大值D．最大值一定大于极小值答案D解析由函数的最值与极值的概念可知，y＝f(x)在[a，b]上的最大值一定大于极小值．2．函数y＝x e－x，x∈[0,4]的最大值是()A．0 B．1 eC．4e4D．2 e2答案B解析y′＝e－x－x·e－x＝e－x(1－x)，令y′＝0，∴x＝1，∴f(0)＝0，f(4)＝4e4，f(1)＝e－1＝1e，∴f(1)为最大值，故选B.3．函数y＝ln xx的最大值为()A．e－1B．eC．e2D．10 3答案A解析令y′＝(ln x)′x－ln x·x′x2＝1－ln xx2＝0.(x＞0)解得x＝e.当x>e时，y′<0；当0＜x<e时，y′＞0.y极大值＝f(e)＝1e，在定义域(0，＋∞)内只有一个极值，所以y max＝1 e.4．函数y＝4xx2＋1在定义域内()A．有最大值2，无最小值B．无最大值，有最小值－2C．有最大值2，最小值－2 D．无最值答案 C解析 令y ′＝4(x 2＋1)－4x ·2x (x 2＋1)2＝－4x 2＋4(x 2＋1)2＝0，得x ＝±1.当x 变化时，y ′，y 随x 的变化如下表：大值2.5．已知函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是________． 答案 (－∞，2ln 2－2]解析 函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，即方程e x －2x ＋a ＝0有实根，即函数g (x )＝2x －e x ，y ＝a 有交点，而g ′(x )＝2－e x ，易知函数g (x )＝2x －e x 在(－∞，ln 2)上递增，在(ln 2，＋∞)上递减，因而g (x )＝2x －e x 的值域为(－∞，2ln 2－2]，所以要使函数g (x )＝2x －e x ，y ＝a 有交点，只需a ≤2ln 2－2即可． 6．函数y ＝x ＋2cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值是________．答案 π6＋3解析 y ′＝1－2sin x ＝0，x ＝π6，比较0，π6，π2处的函数值，得y max ＝π6＋ 3. 7．已知函数f (x )＝2x 3－6x 2＋a 在[－2,2]上有最小值－37，求a 的值及f (x )在[－2,2]上的最大值．解 f ′(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2)， 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：min 当x ＝0时，f (x )的最大值为3.二、能力提升8．设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝ln x的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为()A．1 B．1 2C．52D．22答案D解析由题意画出函数图象如图所示，由图可以看出|MN|＝y＝t2－ln t(t>0)．y′＝2t－1t＝2t2－1t＝2⎝⎛⎭⎪⎫t＋22⎝⎛⎭⎪⎫t－22t.当0＜t＜22时，y′＜0，可知y在⎝⎛⎭⎪⎫0，22上单调递减；当t＞22时，y′＞0，可知y在⎝⎛⎭⎪⎫22，＋∞上单调递增．故当t＝22时，|MN|有最小值．9．(2014·湖北重点中学检测)已知函数f(x)＝x3－tx2＋3x，若对于任意的a∈[1,2]，b∈(2,3]，函数f(x)在区间[a，b]上单调递减，则实数t的取值范围是() A．(－∞，3] B．(－∞，5] C．[3，＋∞) D．[5，＋∞)答案D解析∵f(x)＝x3－tx2＋3x，∴f′(x)＝3x2－2tx＋3，由于函数f(x)在[a，b]上单调递减，则有f′(x)≤0在[a，b]上恒成立，即不等式3x2－2tx＋3≤0在[a，b]上恒成立，即有t≥32⎝⎛⎭⎪⎫x＋1x在[a，b]上恒成立，而函数y＝32⎝⎛⎭⎪⎫x＋1x在[1,3]上单调递增，由于a ∈[1,2]，b ∈(2,3]，当b ＝3时，函数y ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 取得最大值，即y max ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋13＝5，所以t ≥5，故选D.10．如果函数f (x )＝x 3－32x 2＋a 在[－1,1]上的最大值是2，那么f (x )在[－1,1]上的最小值是________．答案 －12解析 f ′(x )＝3x 2－3x ，令f ′(x )＝0得x ＝0，或x ＝1.∵f (0)＝a ，f (－1)＝－52＋a ，f (1)＝－12＋a ，∴f (x )max ＝a ＝2.∴f (x )min ＝－52＋a ＝－12.11．已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )．(1)若函数f (x )在x ＝－1和x ＝3处取得极值，试求a ，b 的值；(2)在(1)的条件下，当x ∈[－2,6]时，f (x )＜2|c |恒成立，求c 的取值范围． 解 (1)f ′(x )＝3x 2－2ax ＋b ，∵函数f (x )在x ＝－1和x ＝3处取得极值，∴－1,3是方程3x 2－2ax ＋b ＝0的两根．∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋3＝23a－1×3＝b 3，∴⎩⎨⎧a ＝3b ＝－9. (2)由(1)知f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋c ，f ′(x )＝3x 2－6x －9，令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝3.当x 变化时，f ′(x )，f (x )随x 的变化如下表：∴当x ∈[－2,6]时，f (x )的最大值为c ＋54，要使f(x)＜2|c|恒成立，只要c＋54＜2|c|即可，当c≥0时，c＋54＜2c，∴c＞54；当c＜0时，c＋54＜－2c，∴c＜－18.∴c的取值范围是(－∞，－18)∪(54，＋∞)，此即为参数c的取值范围．12．已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a.(1)求f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．解(1)∵f′(x)＝－3x2＋6x＋9.令f′(x)＜0，解得x＜－1或x＞3，∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)．(2)∵f(－2)＝8＋12－18＋a＝2＋a，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，∴f(2)＞f(－2)．于是有22＋a＝20，∴a＝－2.∴f(x)＝－x3＋3x2＋9x－2.∵在(－1,3)上f′(x)＞0，∴f(x)在[－1,2]上单调递增．又由于f(x)在[－2，－1]上单调递减，∴f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2,2]上的最大值和最小值，∴f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，即f(x)最小值为－7.三、探究与创新13．(2013·新课标Ⅰ)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝e x(cx＋d)，若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2.(1)求a，b，c，d的值；(2)若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围．解(1)由已知得f(0)＝2，g(0)＝2，f′(0)＝4，g′(0)＝4，而f′(x)＝2x＋a，g′(x)＝e x(cx＋d＋c)，∴a＝4，b＝2，c＝2，d＝2.(2)由(1)知，f(x)＝x2＋4x＋2，g(x)＝2e x(x＋1)，设函数F(x)＝kg(x)－f(x)＝2k e x(x＋1)－x2－4x－2(x≥－2)，F′(x)＝2k e x(x＋2)－2x－4＝2(x＋2)(k e x－1)．由题设可得F(0)≥0，即k≥1，令F′(x)＝0得x1＝－ln k，x2＝－2，①若1≤k＜e2，则－2＜x1≤0，∴当x∈(－2，x1)时，F′(x)＜0，当x∈(x1，＋∞)时，F′(x)＞0，即F(x)在(－2，x1)单调递减，在(x1，＋∞)单调递增，故F(x)在x＝x1取最小值F(x1)，而F(x1)＝2x1＋2－x21－4x1－2＝－x1(x1＋2)≥0.∴当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．②若k＝e2，则F′(x)＝2e2(x＋2)(e x－e2)，∴当x≥－2时，F′(x)≥0，∴F(x)在(－2，＋∞)单调递增，而F(－2)＝0，∴当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立，③若k＞e2，则F(－2)＝－2k e－2＋2＝－2e－2(k－e2)＜0，∴当x≥－2时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立．综上所述，k的取值范围为[1，e2].。
新高考人教A版选修数学作业汇编Word版---选修2-2导数的几何意义课时作业
新高考人教A版选修数学作业汇编课时分层作业(二)导数的几何意义(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线()【016】A．不存在B．与x轴平行或重合C．与x轴垂直D．与x轴相交但不垂直B[由导数的几何意义可知选项B正确．]2．若函数f(x)＝x＋1x，则f′(1)＝()A．2 B．5 2C．1 D．0D[f′(1)＝limΔx→0f(1＋Δx)－f(1)Δx＝limΔx→0⎝⎛⎭⎪⎫1－11＋Δx＝0.]3．已知点P(－1,1)为曲线上的一点，PQ为曲线的割线，当Δx→0时，若k PQ的极限为－2，则在点P处的切线方程为()A．y＝－2x＋1 B．y＝－2x－1C．y＝－2x＋3 D．y＝－2x－2B[由题意可知，曲线在点P处的切线方程为y－1＝－2(x＋1)，即2x＋y＋1＝0.]4．在曲线y＝x2上切线倾斜角为π4的点是()A．(0,0) B．(2,4)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，116D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14D [∵y ′＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2－x 2Δx ＝lim Δx →0(2x ＋Δx )＝2x ，∴令2x ＝tan π4＝1，得x ＝12.∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14，所求点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14.]图1-1-105．如图1-1-10，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)等于( )【017】A ．2B ．3C ．4D ．5A [易得切点P (5,3)，∴f (5)＝3，k ＝－1，即f ′(5)＝－1.∴f (5)＋f ′(5)＝3－1＝2.]二、填空题6．已知函数y ＝ax 2＋b 在点(1,3)处的切线斜率为2，则ba ＝ . [解析] ∵f ′(1)＝2，又lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝lim Δx →0 a (1＋Δx )2－aΔx ＝lim Δx →0 (a Δx ＋2a )＝2a ，∴2a ＝2，∴a ＝1.又f (1)＝a ＋b ＝3，∴b ＝2.∴ba ＝2. [答案] 27．曲线y ＝x 2－2x ＋3在点A (－1,6)处的切线方程是 .【018】[解析] 因为y ＝x 2－2x ＋3，切点为点A (－1,6)，所以斜率k ＝y ′|x ＝－1＝lim Δx →0 (－1＋Δx )2－2(－1＋Δx )＋3－(1＋2＋3)Δx＝lim Δx →0(Δx －4)＝－4，所以切线方程为y －6＝－4(x ＋1)，即4x ＋y －2＝0. [答案] 4x ＋y －2＝08．若曲线y ＝x 2＋2x 在点P 处的切线垂直于直线x ＋2y ＝0，则点P 的坐标是 ．[解析] 设P (x 0，y 0)，则y ′|x ＝x 0＝lim Δx →0(x 0＋Δx )2＋2(x 0＋Δx )－x 20－2x 0Δx＝lim Δx →0(2x 0＋2＋Δx )＝2x 0＋2.因为点P 处的切线垂直于直线x ＋2y ＝0， 所以点P 处的切线的斜率为2，所以2x 0＋2＝2，解得x 0＝0，即点P 的坐标是(0,0)． [答案] (0,0) 三、解答题9．若曲线y ＝f (x )＝x 3在点(a ，a 3)(a ≠0)处的切线与x 轴、直线x ＝a 所围成的三角形的面积为16，求a 的值．[解] ∵f ′(a )＝lim Δx →0 (a ＋Δx )3－a 3Δx ＝3a 2，∴曲线在(a ，a 3)处的切线方程为y＝－a 3＝3a 2(x －a )，切线与x 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，0.∴三角形的面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －23a ·|a 3|＝16，得a ＝±1.10．已知曲线y ＝x 2，(1)求曲线在点P (1,1)处的切线方程； (2)求曲线过点P (3,5)的切线方程. 【019】 [解] (1)设切点为(x 0，y 0)，∵y′|x＝x0＝limΔx→0(x0＋Δx)2－x20Δx＝limΔx→0x20＋2x0·Δx＋(Δx)2－x20Δx＝2x0，∴y′|x＝1＝2.∴曲线在点P(1,1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.(2)点P(3,5)不在曲线y＝x2上，设切点为A(x0，y0)，由(1)知，y′|x＝x0＝2x0，∴切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)，由P(3,5)在所求直线上得5－y0＝2x0(3－x0)，①再由A(x0，y0)在曲线y＝x2上得y0＝x20，②联立①，②得x0＝1或x0＝5.从而切点为(1,1)时，切线的斜率为k1＝2x0＝2，此时切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，当切点为(5,25)时，切线的斜率为k2＝2x0＝10，此时切线方程为y－25＝10(x－5)，即y＝10－25.综上所述，过点P(3,5)且与曲线y＝x2相切的直线方程为y＝2x－1或y＝10x －25.[能力提升练]1．已知函数f(x)的图象如图1-1-11所示，f′(x)是f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是()图1-1-11A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2)B．0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)C．0<f′(3)<f′(2)<f(3)－f(2)D．0<f(3)－f(2)<f′(3)<f′(2)B[由函数的图象，可知函数f(x)是单调递增的，所以函数图象上任意一点处的导函数值都大于零，并且由图象可知，函数图象在x＝2处的切线斜率k1大于在x＝3处的切线斜率k2，所以f′(2)>f′(3)．记A(2，f(2))，B(3，f(3))，作直线AB，则直线AB的斜率k＝f(3)－f(2)3－2＝f(3)－f(2)，由函数图象，可知k1>k>k2>0，即f′(2)>f(3)－f(2)>f′(3)>0.故选B.]2．设f(x)为可导函数，且满足limΔx→0f(1)－f(1－x)2x＝－1，则过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为()A．2 B．－1 C．1 D．－2D[∵limΔx→0f(1)－f(1－x)2x＝12limΔx→0f(1－x)－f(1)－x＝－1，∴limΔx→0f(1－x)－f(1)－x＝－2，即f′(1)＝－2.由导数的几何意义知，曲线在点(1，f(1))处的切线斜率k＝f′(1)＝－2，故选D.]3．已知曲线y＝x3在点P处的切线的斜率k＝3，则点P的坐标是.【020】[解析]因为y＝x3，所以y′＝limΔx→0(x＋Δx)3－x3Δx＝limΔx→0[3x2＋3x·Δx＋(Δx)2]＝3x2.由题意，知切线斜率k＝3，令3x2＝3，得x＝1或x＝－1.当x＝1时，y＝1；当x＝－1时，y＝－1.故点P的坐标是(1,1)或(－1，－1)．[答案] (1,1)或(－1，－1)4．已知函数y ＝f (x )的图象如图1-1-12所示，则函数y ＝f ′(x )的图象可能是 (填序号)．图1-1-12[解析] 由y ＝f (x )的图象及导数的几何意义可知，当x <0时f ′(x )>0，当x ＝0时f ′(x )＝0，当x >0时f ′(x )<0，故②符合．[答案] ②5．已知曲线f (x )＝1x .(1)求曲线过点A (1,0)的切线方程； (2)求满足斜率为－13的曲线的切线方程． [解] (1)f ′(x )＝lim Δx →01x ＋Δx－1x Δx ＝lim Δx →0 －1(x ＋Δx )x＝－1x 2. 设过点A (1,0)的切线的切点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，1x 0，①则f ′(x 0)＝－1x 20，即该切线的斜率为k ＝－1x 20.因为点A (1,0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，1x 0在切线上，所以1x 0－0x 0－1＝－1x 20，②解得x 0＝12.故切线的斜率k ＝－4.故曲线过点A (1,0)的切线方程为y ＝－4(x －1)， 即4x ＋y －4＝0.(2)设斜率为－13的切线的切点为Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，1a ，由(1)知，k ＝f ′(a )＝－1a 2＝－13，得a ＝±3. 所以切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，33或⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－33.故满足斜率为－13的曲线的切线方程为 y －33＝－13(x －3)或y ＋33＝－13(x ＋3)， 即x ＋3y －23＝0或x ＋3y ＋23＝0.。
新高考人教A版选修数学作业汇编Word版---选修2-2第一章1.11.1.2导数的概念作业
新高考人教A 版选修数学作业汇编第一章 1.1 1.1.2 导数的概念A 级 基础巩固一、选择题1．若f (x )＝x 3，f ′(x 0)＝3，则x 0的值为( C )A ．1B ．－1C ．±1D ．3[解析] ∵f ′(x 0)＝lim Δx →0Δx f(x0＋Δx ＝lim Δx →0 0＝lim Δx →0[(Δx )2＋3x 0Δx ＋3x 02]＝3x 02＝3，∴x 0＝±1．2．(2018·龙岩期中)设f (x )是可导函数lim Δh →0h f(x0－h ＝2，则f ′(x 0)＝( C )A ．2B ．21C ．－2D ．－21[解析] 当h →0时，h f(x0－h －f(x0→2，则f ′(x 0)＝h h(x0－f(x0－h ＝－2，故选C ．3．(2018·杏花岭区校级月考)已知f (x )＝－x 2＋10，则f (x )在x ＝23处的瞬时变化率是( B )A ．3B ．－3C ．2D ．－2[解析] ∵f (x )＝－x 2＋10，∴f ′(x )＝lim Δx →0 Δx f(x ＋Δx ＝－2x ．即当x ＝23时，f ′(23)＝－3，即在点x ＝23处的瞬时变化率是－3，故选B ．4．(2018·郑州高二检测)若可导函数f (x )的图象过原点，且满足lim Δx →0 Δx f(Δx ＝－1，则f ′ (0)＝( B )A ．－2B ．－1C ．1D ．2[解析] ∵f (x )图象过原点，∴f (0)＝0，∴f ′(0)＝lim Δx →0Δx f(0＋Δx ＝lim Δx →0 Δx f(Δx ＝－1，∴选B ．二、填空题5．设函数f (x )＝x 1，则limx →a x －a f(x 等于－a21．[解析] limx →a x －a f(x ＝limx →a a ＝limx →a (－xa 1)＝－a21．6．函数y ＝x ＋x 1在x ＝1处的导数是0．[解析] ∵Δy ＝1＋Δx 1－11＝Δx －1＋Δx ＋11＝Δx ＋1(Δx ，∴Δx Δy ＝Δx ＋1Δx ．∴y ′|x ＝1＝lim Δx →0 Δx ＋1Δx ＝0．三、解答题7．设f (x )在R 上可导，求f (－x )在x ＝a 处与f (x )在x ＝－a 处的导数之间的关系．[解析] 设f (－x )＝g (x )，则f (－x )在a 处的导数为g ′(a )，于是g ′(a )＝limx →a x －a g(x＝limx →a x －a f(－x而f ′(－a )＝limx →－a x ＋a f(x ，令x ＝－t ，则当x →－a 时，t →a ，∴f ′(－a )＝limt →a －t ＋a f(－t＝－limt →a t －a f(－t＝－g ′(a )，这说明f (－x )在x ＝a 处的导数与f (x )在x ＝－a 处的导数互为相反数．B 级 素养提升一、选择题1．质点M 的运动规律为s ＝4t ＋4t 2，则质点M 在t ＝t 0时的速度为( C )A ．4＋4t 0B ．0C ．8t 0＋4D ．4t 0＋4t 02[解析] Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)＝4(Δt )2＋4Δt ＋8t 0Δt ，Δt Δs ＝4Δt ＋4＋8t 0，lim Δt →0 Δt Δs ＝lim Δt →0 (4Δt ＋4＋8t 0)＝4＋8t 0．2．(2018·思明区校级月考)若f ′(x 0)＝4，则lim Δx →0Δx f(x0＋2Δx ＝( D ) A ．2B ．4C ．81D ．8[解析] lim Δx →0Δx f(x0＋2Δx ＝2lim Λx →02Δx f(x0＋2Δx ＝2f ′(x 0)＝8，故选D ．二、填空题 3．已知y ＝，则y ′|x ＝1＝105．[解析] 由题意知Δy ＝－＝－，∴Δx Δy ＝Δx 5．∴y ′|x ＝1＝lim Δx →0 Δx 5＝lim Δx →0Δx＝105．4．某物体做匀速运动，其运动方程是s ＝v t ＋b ，则该物体在运动过程中其平均速度与任何时刻的瞬时速度关系是相等．[解析] v 0＝lim Δt →0 Δt Δs ＝lim Δt →0 Δt s(t0＋Δt＝lim Δt →0 Δt v(t0＋Δt ＝lim Δt →0 Δt v ·Δt ＝v ．三、解答题5．(1)已知函数y ＝f (x )＝13－8x ＋x 2，且f ′(x 0)＝4，求x 0的值．(2)已知函数y ＝f (x )＝x 2＋2xf ′(0)，求f ′(0)的值．[解析] (1)f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δx Δy＝lim Δx →0 Δx＝lim Δx →0 Δx 2(Δx＝lim Δx →0 (－8＋2x 0＋Δx )＝－8＋2x 0＝4，∴x 0＝3．(2)f ′(0)＝lim Δx →0 Δx Δy ＝lim Δx →0 Δx f(0＋Δx＝lim Δx →0 Δx (Δx＝lim Δx →0[Δx ＋2f ′(0)]＝2f ′(0)，∴f ′(0)＝0．。
新高考人教A版选修数学作业汇编Word版---选修2-21.3.3函数的最大(小)值与导数课时作业
新高考人教A版选修数学作业汇编1.3.3 函数的最大(小)值与导数一、选择题(本大题共7小题,每小题5分,共35分)1.函数f(x)=x+2cos x在区间上的最小值是()A. -B. 2C. +D. +12.若函数f(x)=a sin x+sin 3x在x=处有最值,则a等于()A.2B.1C.D.03.函数y=在定义域内()A.有最大值2,无最小值B.无最大值,有最小值-2C.有最大值2,最小值-2D.无最值4.已知函数f(x)=e x-x+a,若f(x)>0恒成立,则实数a的取值范围是()A. (-1,+∞)B. (-∞,-1)C. [-1,+∞)D. (-∞,-1]5.下列关于函数f(x)=(2x-x2)e x的判断正确的是()①f(x)>0的解集是{x|0<x<2};②f(-)是极小值,f()是极大值;③f(x)没有最小值,也没有最大值.A. ①③B. ①②③C. ②D. ①②6.已知函数f(x)的导函数f'(x)满足2f(x)+xf'(x)>x2(x∈R),则对任意x∈R都有()A. x2f(x)≥0B. x2f(x)≤0C. x2[f(x)-1]≥0D. x2[f(x)-1]≤07.已知函数f(x)=ax3-x2+1(a>0)在区间上有f(x)>0恒成立,则a的取值范围为()A. (0,2]B. [2,+∞)C. (0,5)D. (2,5]二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)8.函数f(x)=e x-x在[-1,1]上的最小值是.9.已知f(x)=-x2+mx+1在区间[-2,-1]上的最大值就是函数f(x)的极大值,则m的取值范围是.10.不等式e x≥kx对任意实数x恒成立,则实数k的最大值为.11.已知函数f(x)=ax3-3x+1,且对任意x∈(0,1],f(x)≥0恒成立,则实数a的取值范围是.三、解答题(本大题共2小题,共25分)12.(12分)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+1在x=-1与x=2处有极值.(1)求函数f(x)的解析式;(2)求f(x)在[-2,3]上的最值.13.(13分)已知函数f(x)=.(1)求函数f(x)的极大值;(2)求f(x)在区间(-∞,0]上的最小值;(3)若x2+5x+5-a e x≥0对x∈R恒成立,求a的取值范围.14.(5分)已知函数f(x)=m ln x+8x-x2在[1,+∞)上单调递减,则实数m的取值范围为()A. (-∞,-8]B. (-∞,-8)C. (-∞,-6]D. (-∞,-6)15.(15分)已知函数f(x)=x2+ax+b,g(x)=e x(cx+d),若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线y=4x+2.(1)求a,b,c,d的值;(2)若当x≥-2时,f(x)≤kg(x)恒成立,求k的取值范围.1.3.3函数的最大(小)值与导数1.A[解析]f(x)=x+2cos x,x∈,则f'(x)=1-2sin x>0,所以f(x)在上为增函数,故f(x)的最小值为f=-,故选A.2.A[解析]∵f(x)在x=处有最值,∴x=是函数f(x)的极值点.又∵f'(x)=a cos x+cos 3x,∴f'=a cos +cos π=0,解得a=2.3.C[解析]令y'===0,得x=±1.当x变化时,y',y的变化情况如下表:由上表及函数的图像(图略)易知,当x=-1时,y取得极小值也是最小值,即为-2;当x=1时,y取得极大值也是最大值,即为2.4.A[解析]f'(x)=e x-1,令f'(x)>0,解得x>0,令f'(x)<0,解得x<0,故f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,故f(x)min=f(0)=1+a.若f(x)>0恒成立,则1+a>0,解得a>-1,故选A.5.D[解析]由f(x)>0得0<x<2,故①正确.f'(x)=(2-x2)e x,令f'(x)=0,得x=±,当x<-或x>时,f'(x)<0,当-<x<时,f'(x)>0,∴当x=-时,f(x)取得极小值,当x=时,f(x)取得极大值,故②正确.当x→-∞时,f(x)<0,当x→+∞时,f(x)<0,结合函数的单调性可知,函数f(x)有最大值无最小值,故③不正确.6.A[解析]构造函数F(x)=x2f(x),则F'(x)=2xf(x)+x2f'(x)=x[2f(x)+xf'(x)].当x>0时,F'(x)>x3>0,F(x)单调递增;当x<0时,F'(x)<x3<0,F(x)单调递减.所以F(x)=x2f(x)在x=0处取最小值,从而F(x)=x2f(x)≥F(0)=0,故选A.7.C[解析]∵f(x)=ax3-x2+1(a>0),∴f'(x)=3ax2-3x,由f'(x)=0,得x=0或x=.①当≥,即0<a≤2时,∵f=-,f=+,f(0)=1,∴在区间上,f(x)min=-,∵在区间上,f(x)>0恒成立,∴f(x)min=->0,解得a<5,∴0<a≤2.②当<,即a>2时,∵f=-,f=+,f(0)=1,f=1-,∴在区间上,f(x)min=-,∵在区间上,f(x)>0恒成立,∴f(x)min=->0,解得a<5,∴2<a<5.综上所述,a的取值范围是(0,5).8.1[解析]f'(x)=e x-1,令f'(x)=0,得x=0.当x∈[-1,0)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(0,1]时,f'(x)>0,f(x)单调递增.∴当x=0时,f(x)取得极小值也是最小值,即f(0)=1.9.[-4,-2][解析]f'(x)=m-2x,令f'(x)=0,得x=.由题意得∈[-2,-1],故m∈[-4,-2].10.e[解析]不等式e x≥kx对任意实数x恒成立,即为f(x)=e x-kx≥0恒成立,即有f(x)min≥0.f'(x)=e x-k,当k≤0时,可得f'(x)>0恒成立,f(x)单调递增,无最小值.当k>0时,x>ln k时,f'(x)>0,f(x)单调递增;x<ln k时,f'(x)<0,f(x)单调递减.即有x=ln k时f(x)取得最小值,即为k-k ln k,由k-k ln k≥0,解得k≤e,即k的最大值为e.11.[4,+∞)[解析]当x∈(0,1]时,不等式ax3-3x+1≥0可化为a≥.设g(x)=,x∈(0,1],则g'(x)==-.令g'(x)=0,得x=.g'(x)与g(x)随x的变化情况如下表:因此g(x)的最大值等于极大值4,则实数a的取值范围是[4,+∞).12.解:(1)f'(x)=3x2+2ax+b,∵函数f(x)=x3+ax2+bx+1在x=-1与x=2处有极值,∴-1,2是f'(x)=0的两个实数根,∴解得∴f(x)=x3-x2-6x+1.(2)由(1)可得f'(x)=3x2-3x-6=3(x-2)(x+1),令f'(x)=0,解得x=-1或2.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:由表格可知:当x=-1时,函数f(x)取得极大值,即f(-1)=;当x=2时,函数f(x)取得极小值,即f(2)=-9.又f(-2)=-1,f(3)=-,故当x=-1时,函数f(x)取得最大值;当x=2时,函数f(x)取得最小值-9.13.解:(1)f'(x)=,当x<-3时,f'(x)<0,当-3<x<0时,f'(x)>0,当x>0时,f'(x)<0,所以函数f(x)在(-∞,-3)上为减函数,在(-3,0)上为增函数,在(0,+∞)上为减函数,因此函数f(x)在x=0处有极大值f(0)=5.(2)由(1)得,函数f(x)在(-∞,-3)上为减函数,在(-3,0)上为增函数,所以函数f(x)在x=-3处有最小值f(-3)=-e3.(3)由题意知a≤=f(x).由(2)得,函数f(x)在区间(-∞,0]上有最小值-e3,当x>0时,f(x)>0,所以函数f(x)在定义域内的最小值为-e3,所以a≤-e3,即a的取值范围为(-∞,-e3].14.A[解析]f'(x)=+8-2x=,若函数f(x)=m ln x+8x-x2在[1,+∞)上单调递减,则-2x2+8x+m≤0在[1,+∞)上恒成立,即m≤2x2-8x在[1,+∞)上恒成立.令h(x)=2x2-8x,x∈[1,+∞),则h'(x)=4x-8,令h'(x)>0,解得x>2,令h'(x)<0,解得1≤x<2,故h(x)在[1,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,故h(x)min=h(2)=-8,故m≤-8.15.解:(1)因为曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2),所以b=d=2.因为f'(x)=2x+a,所以f'(0)=a=4.又g'(x)=e x(cx+d+c),故g'(0)=2+c=4,故c=2.从而a=4,b=2,c=2,d=2.(2)令F(x)=kg(x)-f(x)=k e x(2x+2)-x2-4x-2,则F'(x)=(k e x-1)(2x+4),由题设可得F(0)≥0,故k≥1,令F'(x)=0,得x1=-ln k,x2=-2.①若1≤k<e2,则-2<x1≤0,当x∈[-2,x1)时,F'(x)<0,当x∈(x1,+∞)时,F'(x)>0,即F(x)在[-2,+∞)上的最小值为F(x1)=2x1+2--4x1-2=-x1(x1+2)≥0,此时f(x)≤kg(x)恒成立;②若k=e2,则F'(x)=(e x+2-1)(2x+4)≥0在[-2,+∞)上恒成立,故F(x)在[-2,+∞)上单调递增,因为F(x)min=F(-2)=0,所以f(x)≤kg(x)恒成立;③若k>e2,则F(x)min=F(-2)=-2k e-2+2=-2e-2(k-e2)<0,从而当x∈[-2,+∞)时,f(x)≤kg(x)不可能恒成立.综上所述,k的取值范围为[1,e2].。
高中数学人教新课标A版 选修2-2 1.3导数在研究函数中的应用
高中数学人教新课标A版选修2-2 1.3导数在研究函数中的应用一、单选题（共14题；共28分）1.曲线在点（－1，－3）处的切线方程是( )A. y=7x+4B. y=7x+2C. y=x-4D. y=x-22.函数的增区间是（）A. B. C. D.3.设曲线在点处的切线与X轴的交点横坐标为，则的值为()A. B. －1 C. D. 14.曲线在处的切线平行于直线，则点的坐标为（）A. B. C. 和 D. 和5.已知函数y=f(x)在区间(a,b)内可导，且x0∈（a，b）则的值为（）A. f’(x0)B. 2 f’(x0)C. -2 f’(x0)D. 06.函数的图象在点处的切线与直线平行，则实数（）A. 1B. -1C. 2D. -27.已知函数，，若对，且，使得，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.8.如果曲线上一点处的切线过点，则有（）A. B. C. D. 不存在9.如果函数y=f（x）的图象如图，那么导函数y=f′（x）的图象可能是（）A. B.C. D.10.函数的图像大致为( )A. B.C. D.11.给出定义：若函数在D上可导，即存在，且导函数在D上也可导，则称在D 上存在二阶导函数，记，若在D上恒成立，则称在D上为凸函数．以下四个函数在上不是凸函数的是（）A. B. C. D.12.定义域为的函数对任意都有，且其导函数满足，则当时，有（）A. B.C. D.13.设，函数，，，…，，曲线的最低点为，的面积为，则A. 是常数列B. 不是单调数列C. 是递增数列D. 是递减数列（）14.实数.设函数的两个极值点为,现向点所在平面区域投掷一个飞镖,则飞镖恰好落入使且的区域的概率为( ▲ ) ．A. B. C. D.二、多选题（共2题；共6分）15.已知函数，则（）A. 函数的递减区间是( ，1)B. 函数在(e，)上单调递增C. 函数的最小值为1D. 若，则m＋n＞216.已知函数，则下列结论正确的是（）A. 是周期为的奇函数B. 在上为增函数C. 在内有21个极值点D. 在上恒成立的充要条件是三、填空题（共6题；共7分）17.曲线在点处的切线方程为________.18.已知函数（e为自然对数的底数），那么曲线在点（0，1）处的切线方程为________。
新高考人教A版选修数学作业汇编Word版---选修2-2第一章1.31.3.3函数的最值与导数作业
新高考人教A 版选修数学作业汇编第一章 1.3 1.3.3 函数的最值 与导数A 级 基础巩固一、选择题1．(2018·潍坊高二检测)设函数f (x )满足x 2f ′(x )＋2xf (x )＝x ex ，f (2)＝8e2，则x ＞0时，f (x )( D )A ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也无极小值[解析] ∵函数f (x )满足x 2f ′(x )＋2xf (x )＝x ex ， ∴[x 2f (x )]′＝x ex ，令F (x )＝x 2f (x )，则f ′(x )＝x ex，F (2)＝4·f (2)＝2e2．由x 2f ′(x )＋2xf (x )＝x ex ，得f ′(x )＝x3ex －2F(x ， 令φ(x )＝e x－2F (x )，则φ′(x )＝e x－2f ′(x )＝x ex(x －2．∴φ(x )在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增， ∴φ(x )的最小值为φ(2)＝e 2－2F (2)＝0．∴φ(x )≥0． 又x ＞0，∴f ′(x )≥0． ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增． ∴f (x )既无极大值也无极小值．故选D ．2．(2018·新乡一模)若函数f (x )＝－x 2＋ax ＋2ln x 在(1,2)上有最大值，则a 的取值范围为( B )A ．(0，＋∞)B ．(0,3)C ．(3，＋∞)D ．(1,3)[解析] f ′(x )＝－2x ＋a ＋x 2＝x －2x2＋ax ＋2 要使函数f (x )＝－x 2＋ax ＋2ln x 在(1,2)上有最大值 则函数f (x )＝－x 2＋ax ＋2ln x 在(1,2)上有极大值即方程－2x 2＋ax ＋2＝0有两个不等实根，且较大根在区间(1,2) ∴－2×22＋a ·2＋2<0－2×12＋a ·1＋2>0，解得0＜a ＜3． 故选B ．3．(2017·临沂高二检测)函数y ＝2x 3－3x 2－12x ＋5在[0,3]上的最大值和最小值分别是( A )A ．5，－15B ．5，－4C ．－4，－15D ．5，－16[解析] 令y ′＝6x 2－6x －12＝0，得x ＝－1(舍去)或x ＝2，故函数y ＝f (x )＝2x 3－3x 2－12x ＋5在[0,3]上的最值可能是x 取0,2,3时的函数值，而f (0)＝5，f (2)＝－15，f (3)＝－4，故最大值为5，最小值为－15，故选A ．4．已知函数f (x )，g (x )均为[a ，b ]上的可导函数，在[a ，b ]上连续且f ′(x )<g ′(x )，则f (x )－g (x )的最大值为( A )A ．f (a )－g (a )B ．f (b )－g (b )C ．f (a )－g (b )D ．f (b )－g (a )[解析] 令F (x )＝f (x )－g (x ) ∴F ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )<0．所以F ′(x )<0，∴F (x )在[a ，b ]上递减，∴F (x )max ＝f (a )－g (a )． 5．若存在正数x 使2x (x －a )<1成立，则a 的取值范围是( D ) A ．(－∞，＋∞) B ．(－2，＋∞) C ．(0，＋∞)D ．(－1，＋∞)[解析] ∵2x (x －a )<1， ∴a >x －2x 1， 令y ＝x －2x 1，∴y 是单调增函数，若x >0，则y >－1，∴a >－1．6．已知函数f (x )＝－32x 3＋2ax 2＋3x (a >0)的导数f ′(x )的最大值为5，则在函数f (x )图象上的点(1，f (1))处的切线方程是( B )A ．3x －15y ＋4＝0B ．15x －3y －2＝0C ．15x －3y ＋2＝0D ．3x －y ＋1＝0[解析] ∵f (x )＝－32x 3＋2ax 2＋3x ， ∴f ′(x )＝－2x 2＋4ax ＋3＝－2(x －a )2＋2a 2＋3， ∵f ′(x )的最大值为5， ∴2a 2＋3＝5，∵a >0，∴a ＝1∴f ′(1)＝5，f (1)＝313．∴f (x )在点(1，f (1))处的切线方程是y －313＝5(x －1)，即15x －3y －2＝0． 二、填空题7．(2018·荆州一模)函数f (x )＝x 3－x 2＋2在(0，＋∞)上的最小值为2750． [解析] 函数f (x )＝x 3－x 2＋2在(0，＋∞)，可得f ′(x )＝3x 2－2x ，令3x 2－2x ＝0，可得x ＝0或x ＝32，当x ∈(0，32)时，f ′(x )＜0，函数是减函数；x ∈(32，＋∞)时，f ′(x )＞0，函数是增函数，所以x ＝32是函数的极小值即最小值，所以f (x )min ＝(32)3－(32)2＋2＝2750． 故答案为2750．8．函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3[(a ＋2)x ＋1]既有极大值又有极小值，则a 的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞)．[解析] f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)，令f ′(x )＝0，即x 2＋2ax ＋a ＋2＝0．因为函数f (x )有极大值和极小值，所以方程x 2＋2ax ＋a ＋2＝0有两个不相等的实数根，即Δ＝4a 2－4a －8>0，解得a >2或a <－1．三、解答题9．设函数f (x )＝21x 2－ax ＋2ln x (a ∈R )在x ＝1时取得极值． (1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间． [解析] (1)f ′(x )＝x －a ＋x 2，因为当x ＝1时f (x )取得极值，所以f ′(1)＝0， 即1－a ＋2＝0，解得a ＝3， 经检验，符合题意．(2)由(1)得：f (x )＝21x 2－3x ＋2ln x ，∴f ′(x )＝x －3＋x 2＝x (x －1，(x >0)， 令f ′(x )>0解得0<x <1或x >2， 令f ′(x )<0解得1<x <2，∴f (x )的单调递增区间为(0,1)，(2，＋∞)；单调递减区间为(1,2)． 10．(2017·宁波高二检测)设函数f (x )＝e x sin x ． (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈[0，π]时，求函数f (x )的最大值与最小值． [解析] (1)f ′(x )＝e x(sin x ＋cos x )＝e xsin(x ＋4π)．f ′(x )≥0，所以sin(x ＋4π)≥0，所以2k π≤x ＋4π≤2k π＋π，k ∈Z ，即2k π－4π≤x ≤2k π＋43π，k ∈Z ． f (x )的单调增区间为[2k π－4π，2k π＋43π]，k ∈Z ．(2)由(1)知当x ∈[0，π]时，[0，43π]是单调增区间，[43π，π]是单调减区间． f (0)＝0，f (π)＝0，f (43π)＝22e 43π， 所以f (x )max ＝f (43π)＝22e 43π， f (x )min ＝f (0)＝f (π)＝0．B 级 素养提升一、选择题1．若函数f (x )在定义域R 内可导，f (1．9＋x )＝f (0．1－x )且(x －1)f ′(x )＜0，a ＝f (0)，b ＝f (21)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系是( D )A ．a >b >cB ．c >a >bC ．c >b >aD ．b >a >c[解析] ∵(x －1)f ′(x )＜0，∴当x ＞1时，f ′(x )＜0，此时函数f (x )单调递减； 当x ＜1时，f ′(x )＞0，此时函数f (x )单调递增． 又f (1．9＋x )＝f (0．1－x )，∴f (x )＝f (2－x )， ∴f (3)＝f [2－(－1)]＝f (－1)， ∵－1＜0<21，∴f (－1)＜f (0)＜f (21)，∴f (3)<f (0)<f (21)， ∴b ＞a ＞c ，故选D ．2．(2018·铁东区校级一模)已知函数f (x )＝x 3－3x －1，若对于区间[－3,2]上最大值为M ，最小值为N ，则M －N ＝( A )A ．20B ．18C ．3D ．0[解析] 函数f (x )＝x 3－3x －1的导数为f ′(x )＝3x 2－3， 令f ′(x )＝0，解得x ＝±1， 所以(1，－1)为函数f (x )的极值点．因为f (－3)＝－19，f (－1)＝1，f (1)＝－3，f (2)＝1， 所以在区间[－3,2]上，M ＝f (x )max ＝1， N ＝f (x )min ＝－19，对于区间[－3,2]上最大值为M ，最小值为N ，则M －N ＝20， 故选A ． 二、填空题3．(2018·红桥区一模)函数y ＝－e x ＋x 在R 上的最大值是－1． [解析] 函数y ＝－e x ＋x ，y ′＝1－e x ，由y ′＝0得x ＝0， 当x ∈(－∞，0)时，y ′＞0，函数y ＝x －e x 单调递增， 当x ∈(0，＋∞)时，y ′＜0，函数y ＝x －e x 单调递减， 所以，当x ＝0时，y 取得最大值，最大值为－1． 故答案为－1．4．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，f (1)＝0，当x >0时，有x2xf ′(x>0，则不等式x 2f (x )>0的解集是(－1,0)∪(1，＋∞)．[解析] 令g (x )＝x f(x(x ≠0)， ∵x >0时，x2xf ′(x>0，∴g ′(x )>0，∴g (x )在(0，＋∞)上为增函数，又f (1)＝0，∴g (1)＝f (1)＝0，∴在(0，＋∞)上g (x )>0的解集为(1，＋∞)，∵f (x )为奇函数，∴g (x )为偶函数，∴在(－∞，0)上g (x )<0的解集为(－1,0)，由x 2f (x )>0得f (x )>0，∴f (x )>0的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)．三、解答题5．设函数f (x )＝e x －2kx 2－x ． (1)若k ＝0，求f (x )的最小值； (2)若k ＝1，讨论函数f (x )的单调性．[解析] (1)k ＝0时，f (x )＝e x －x ，f ′(x )＝e x －1．当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，0)上单调减小，在(0，＋∞)上单调增加，故f (x )的最小值为f (0)＝1．(2)若k ＝1，则f (x )＝e x －21x 2－x ，定义域为R ．∴f ′(x )＝e x －x －1，令g (x )＝e x －x －1，则g ′(x )＝e x －1， 由g ′(x )≥0得x ≥0，所以g (x )在[0，＋∞)上单调递增， 由g ′(x )<0得x <0，所以g (x )在(－∞，0)上单调递减， ∴g (x )min ＝g (0)＝0，即f ′(x )min ＝0，故f ′(x )≥0． 所以f (x )在R 上单调递增．6．(2018·全国卷Ⅱ文，21)已知函数f (x )＝31x 3－a (x 2＋x ＋1)． (1)若a ＝3，求f (x )的单调区间； (2)证明：f (x )只有一个零点．[解析] (1)解：当a ＝3时，f (x )＝31x 3－3x 2－3x －3，f ′(x )＝x 2－6x －3． 令f ′(x )＝0，解得x ＝3－2或x ＝3＋2． 当x ∈(－∞，3－2)∪(3＋2，＋∞)时，f ′(x )>0； 当x ∈(3－2，3＋2)时，f ′(x )<0．故f (x )在(－∞，3－2)，(3＋2，＋∞)单调递增，在(3－2，3＋2)单调递减． (2)证明：因为x 2＋x ＋1>0，所以f (x )＝0等价于x2＋x ＋1x3－3a ＝0．设g (x )＝x2＋x ＋1x3－3a ，则g ′(x )＝(x2＋x ＋1x2(x2＋2x ＋3≥0， 仅当x ＝0时g ′(x )＝0，所以g (x )在(－∞，＋∞)单调递增．故g (x )至多有一个零点，从而f (x )至多有一个零点．又f (3a －1)＝－6a 2＋2a －31＝－6612－61<0，f (3a ＋1)＝31>0，故f (x )有一个零点． 综上，f (x )只有一个零点．C 级 能力拔高设函数f (x )＝x 3－ax －b ，x ∈R ，其中a ，b ∈R ． (Ⅰ)求f (x )的单调区间；(Ⅱ)若f (x )存在极值点x 0，且f (x 1)＝f (x 0)，其中x 1≠x 0，求证：x 1＋2x 0＝0； (Ⅲ)设a ＞0，函数g (x )＝|f (x )|，求证：g (x )在区间[－1,1]上的最大值不小于41． [解析] (Ⅰ)由f (x )＝x 3－ax －b ，可得f ′(x )＝3x 2－a ． 下面分两种情况讨论：(1)当a ≤0时，有f ′(x )＝3x 2－a ≥0恒成立，所以f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)． (2)当a >0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝33a ，或x ＝－33a ． 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以f (x )的单调递减区间为(－3，3)，单调递增区间为(－∞，－3)，(3，＋∞)． (Ⅱ)证明：因为f (x )存在极值点，所以由(Ⅰ)知a >0，且x 0≠0，由题意，得f ′(x 0)＝3x 02－a ＝0，即x 02＝3a ，进而f (x 0)＝x 03－ax 0－b ＝－32ax 0－b ．又f (－2x 0)＝－8x 03＋2ax 0－b ＝－38a x 0＋2ax 0－b ＝－32ax 0－b ＝f (x 0)，且－2x 0≠x 0，由题意及(Ⅰ)知，存在唯一实数x 1满足f (x 1)＝f (x 0)，且x 1≠x 0，因此x 1＝－2x 0．所以x 1＋2x 0＝0．(Ⅲ)设g (x )在区间[－1,1]上最大值为M ，max{x ，y }表示x ，y 两数的最大值．下面分三种情况讨论：(1)当a ≥3时，－33a ≤－1<1≤33a，由(Ⅰ)知，f (x )在区间[－1,1]上单调递减，所以f (x )在区间[－1,1]上的取值范围为[f (1)，f (－1)]，因此M ＝max{|f (1)|，|f (－1)|} ＝max{|1－a －b |，|－1＋a －b |}＝max{|a －1＋b |，|a －1－b |}＝a －1－b ，b<0a －1＋b ，b ≥0， 所以M ＝a －1＋|b |≥2．(2)当43≤a <3时，－33a ≤－1<－33a <33a <1≤33a，由(Ⅰ)和(Ⅱ)知， f (－1)≥f (－33a )＝f (33a )，f (1)≤f (33a) ＝f (－33a )，所以f (x )在区间[－1,1]上的取值范围为[f (33a )，f (－33a)]，因此 M ＝max{|f (33a )|，|f (－33a)|} ＝max{|－92a －b |，|92a－b )|} ＝max{|92a ＋b |，|92a －b )|}＝92a＋|b | ≥92×43×43＝41．(3)当0<a <43时，－1<－33a <33a <1，由(Ⅰ)和(Ⅱ)知，f (－1)<f (－33a )＝f (33a)， f (1)>f (33a )＝f (－33a )，所以f (x )在区间[－1,1]上的取值范围为[f (－1)，f (1)]，因此 M ＝max{|f (－1)|，|f (1)|}， ＝max{|－1＋a －b |，|1－a －b |}＝max{|1－a ＋b |，|1－a －b |}＝1－a ＋|b |>41．综上所述，当a >0时， g (x )在区间[－1,1]上的最大值不小于41．。
新高考人教A版选修数学作业汇编Word版---选修2-21.3导数在研究函数中的应用课时作业
新高考人教A版选修数学作业汇编滚动习题(二)[范围1.3][时间:45分钟分值:100分]题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 得分答案一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设函数g(x)=x(x2-1),则g(x)在区间[0,1]上的最小值为()A.-1B.0C.-D.2.设函数f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图像如图G2-1所示,则导函数y=f'(x)的图像可能为()图G2-1图G2-23.函数f(x)=x3-3x+1在区间[-3,0]上的最大值和最小值分别是()A.1,-1B.1,-17C.3,-17D.9,-194.已知函数f(x)=-x3+ax2-x-1在R上是单调函数,则实数a的取值范围是()A.(-∞,-)∪(,+∞)B.(-,)C.(-∞,-]∪[,+∞)D.[-,]5.设函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R),若函数y=f(x)e x在x=-1处取得极值,则下列图像不可能为y=f(x)的图像的是()A B C D图G2-36.若函数f(x)=x2e x-a恰有三个零点,则实数a的取值范围是()A.B.C. (0,4e2)D. (0,+∞)7.函数f(x)=-x3+3x2+9x+a,x∈[-2,2]的最小值为-2,则f(x)的最大值为()A. 25B. 23C. 21D. 208.已知定义在R上的奇函数f(x),设其导函数为f'(x),当x∈(-∞,0]时,恒有xf'(x)<f(-x),则满足(2x-1)f(2x-1)<f(3)的实数x的取值范围是()A. (-1,2)B.C. D. (-2,1)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)9.函数y=3x3-9x+5在区间[-2,2]上的最大值与最小值之和是.10.已知函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图像如图G2-4所示.图G2-4则下列说法中正确的是(填序号).①函数y=f(x)在区间上单调递增;②函数y=f(x)在区间上单调递减;③函数y=f(x)在区间(4,5)上单调递增;④当x=2时,函数y=f(x)有极小值;⑤当x=-时,函数y=f(x)有极大值.11.已知函数f(x)=在区间(m,m+2)上单调递减,则实数m的取值范围为.12.已知函数f(x)=ln x-ax2-bx,若x=1是f(x)的极大值点,则a的取值范围为.三、解答题(本大题共4小题,共40分)得分13.(8分)已知函数f(x)=x3-bx2+2cx的导函数的图像关于直线x=2对称.(1)求b的值;(2)若函数f(x)无极值,求c的取值范围.14.(8分)已知函数f(x)=x2+ln x(a∈R).(1)当a=1时,求f(x)在区间[1,e]上的最大值和最小值;(2)求f(x)的极值.15.(12分)已知函数g(x)=,f(x)=g(x)-ax.(1)求函数g(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在(1,+∞)上是减函数,求实数a的最小值.16.(12分)已知函数f(x)= x2-2a ln x+(a-2)x.(1)当a=1时,求函数f(x)在[1,e]上的最小值和最大值.(2)当a<0时,讨论函数f(x)的单调性.(3)是否存在实数a,对任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,都有>a恒成立?若存在,求出a的取值范围;若不存在,说明理由.滚动习题(二)1.C[解析]g(x)=x3-x,由g'(x)=3x2-1=0,解得x1=,x2=-(舍去).当x变化时,g'(x)与g(x)的变化情况如下表:x0 1g'(x)-0 +g(x)0 ↘极小值↗0所以当x=时,g(x)有最小值g=-.2.D[解析]由函数的单调性与其导函数的正负关系知,选D.3.C[解析]令f'(x)=3x2-3=0,解得x=-1(x=1舍去).∵f(-3)=-17,f(0)=1,f(-1)=3,∴f(x)的最大值为3,最小值为-17.4.D[解析]∵f(x)=-x3+ax2-x-1在R上是单调函数,∴f'(x)=-3x2+2ax-1≤0恒成立,则Δ=(2a)2-4×3≤0,解得-≤a≤.5.D[解析]由y=f(x)e x=e x(ax2+bx+c)⇒y'=f'(x)e x+e x f(x)=e x[ax2+(b+2a)x+b+c],由x=-1为函数y=f(x)e x的一个极值点,得-1是方程ax2+(b+2a)x+b+c=0的一个根,所以有a-(b+2a)+b+c=0⇒c=a,所以函数f(x)=ax2+bx+a,其图像的对称轴为直线x=-,且f(-1)=2a-b,f(0)=a.对于A,由图得a>0,f(0)>0,f(-1)=0,不矛盾;对于B,由图得a<0,f(0)<0,f(-1)=0,不矛盾;对于C,由图得a<0,f(0)<0,x=->0⇒b>0⇒f(-1)<0,不矛盾;对于D,由图得a>0,f(0)>0,x=-<-1⇒b>2a⇒f(-1)<0,与原图中f(-1)>0矛盾,故选D.6.B[解析]令g(x)=x2e x,则g'(x)=2x e x+x2e x=x e x(x+2),令g'(x)=0,得x=0或-2,则函数g(x)在(-2,0)上单调递减,在(-∞,-2),(0,+∞)上单调递增,则函数g(x)的极值为g(0)=0,g(-2)=4e-2=.又函数f(x)=x2e x-a恰有三个零点,则实数a的取值范围是.7.A[解析]f'(x)=-3x2+6x+9,令f'(x)=0,解得x=-1或x=3,∴函数f(x)在[-2,-1)上单调递减,在(-1,2]上单调递增,∴函数f(x)在[-2,2]上的最小值为f(-1)=a-5=-2,解得a=3.又∵f(-2)=8+12-18+a=2+a,f(2)=-8+12+18+a=22+a,∴函数f(x)在[-2,2]上的最大值为25.8.A[解析]∵函数f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(-x)=-f(x),∴由xf'(x)<f(-x)可得xf'(x)+f(x)<0,即[xf(x)]'<0.∵当x∈(-∞,0]时,恒有xf'(x)<f(-x),∴当x∈(-∞,0]时,恒有[xf(x)]'<0.设F(x)=xf(x),则函数F(x)=xf(x)为(-∞,0]上的减函数.∵F(-x)=(-x)f(-x)=(-x)[-f(x)]=xf(x)=F(x),∴函数F(x)为R上的偶函数,∴函数F(x)=xf(x)为[0,+∞)上的增函数.∵(2x-1)f(2x-1)<f(3),∴(2x-1)f(2x-1)<3f(3),∴F(2x-1)<F(3),∴|2x-1|<3,解得-1<x<2.9.10[解析]∵y=3x3-9x+5,∴y'=9x2-9.令y'>0,解得x>1或x<-1;令y'<0,解得-1<x<1.∴函数在[-2,-1)上单调递增,在(-1,1)上单调递减,在(1,2]上单调递增,∴x=-1时,y取极大值,极大值是11,x=1时,y取极小值,极小值是-1,而x=-2时,y=-1,x=2时,y=11,故函数的最小值与最大值之和是10.10.③[解析]由导函数y=f'(x)的图像可知,函数y=f(x)的单调递减区间为(-∞,-2),(2,4),单调递增区间为(-2,2),(4,+∞),故只有③正确.11.[-1,1][解析]f'(x)=,令f'(x)<0,解得-1<x<3,故f(x)在(-1,3)上单调递减,故(m,m+2)⊆(-1,3),得解得-1≤m≤1.12.(-1,+∞)[解析]f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)= -ax-b.由f'(1)=0,得b=1-a,所以f'(x)= -ax+a-1=.当a=0时,易知x=1是f(x)的极大值点,满足题意.当a≠0时,令g(x)=-ax2+(a-1)x+1=0,得x=1或x=-.①若a>0,则当0<x<1时,f'(x)>0,此时f(x)单调递增;当x>1时,f'(x)<0,此时f(x)单调递减.故x=1是f(x)的极大值点.②若a<0,因为x=1是f(x)的极大值点,所以->1,解得-1<a<0.综上所述,a的取值范围是a>-1.13.解:(1)f'(x)=3x2-2bx+2c,∵f'(x)的图像关于直线x=2对称,∴=2,解得b=6.(2)由(1)可知,f(x)=x3-6x2+2cx,f'(x)=3x2-12x+2c=3(x-2)2+2c-12,当2c-12≥0,即c≥6时,f'(x)≥0,此时函数f(x)无极值.14.解:(1)当a=1时,f(x)= x2+ln x,f'(x)=x+=,当x∈[1,e]时,有f'(x)>0,∴f(x)在区间[1,e]上为增函数,∴f(x)max=f(e)=1+,f(x)min=f(1)=.(2)f'(x)=(2a-1)x+=(x>0).①当2a-1≥0,即a≥时,f'(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增,故f(x)无极值点.②当2a-1<0,即a<时,令f'(x)=0,得x1=,x2=-(舍去).当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:xf'(x)+0 -f(x)↗极大值↘由上表可知,当x=时,f(x)极大值=--ln(1-2a),无极小值.15.解:(1)由已知得函数g(x)的定义域为(0,1)∪(1,+∞),g'(x)==.当x>e时,g'(x)>0,所以函数g(x)的单调递增区间是(e,+∞);当0<x<e且x≠1时,g'(x)<0,所以函数g(x)的单调递减区间是(0,1),(1,e). (2)因为f(x)在(1,+∞)上为减函数,且f(x)=-ax,所以f'(x)=-a≤0在(1,+∞)上恒成立,所以当x∈(1,+∞)时,f'(x)max≤0.又f'(x)=-a=-+-a=-+-a,故当=,即x=e2时,f'(x)max=-a,所以-a≤0,于是a≥,故a的最小值为.16.解:(1)当a=1时,f(x)= x2-2ln x-x,则f'(x)=x--1==,∴当x∈(1,2)时,f'(x)<0,当x∈(2,e)时,f'(x)>0,∴f(x)在(1,2)上是减函数,在(2,e)上是增函数,∴当x=2时,f(x)取得最小值,且最小值为f(2)=-2ln 2.又f(1)=-,f(e)=-e-2,∴f(e)-f(1)=-e-2+=<0,∴f(e)<f(1),∴f(x)max=f(1)=-.(2)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=x-+a-2==.①当-2<a<0时,f(x)在(0,-a)上是增函数,在(-a,2)上是减函数,在(2,+∞)上是增函数.②当a=-2时,f(x)在(0,+∞)上是增函数.③当a<-2时,f(x)在(0,2)上是增函数,在(2,-a)上是减函数,在(-a,+∞)上是增函数.(3)假设存在实数a,对任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,都有>a恒成立.不妨设0<x1<x2,则>a,即f(x2)-ax2>f(x1)-ax1,令g(x)=f(x)-ax=x2-2a ln x+(a-2)x-ax=x2-2a ln x-2x,则只需g(x)在(0,+∞)上为增函数.g'(x)=x--2==,要使g'(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,只需-1-2a≥0,即a≤-,故存在a∈满足题意.。
新高考人教A版选修数学作业汇编Word版---选修2-21.4导数及其应用习题课课时作业
新高考人教A 版选修数学作业汇编第一章导数及其应用1.4习题课（检测教师版）时间:40分钟 总分：60分 班级： 姓名：一、 选择题（共6小题，每题5分，共30分）1．函数f (x )＝x cos x 的导函数f ′(x )在区间[－π，π]上的图象大致是( )答案 A解析 ∵f (x )＝x cos x ，∴f ′(x )＝cos x －x sin x .∴f ′(－x )＝f ′(x )，∴f ′(x )为偶函数，∴函数图象关于y 轴对称，排除C 选项．由f ′(0)＝1可排除D 选项．而f ′(1)＝cos 1－sin 1<0，从而观察图象即可得到答案为A.2．函数y ＝x cos x －sin x 在下面哪个区间内是增函数( )A.⎝⎛⎭⎫π2，3π2B ．(π，2π) C.⎝⎛⎭⎫3π2，5π2D ．(2π，3π)答案 B解析 y ′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x ，若y ＝f (x )在某区间内是增函数，只需在此区间内y ′恒大于或等于0即可．∴只有选项B 符合题意，当x ∈(π，2π)时，y ′≥0恒成立．3．已知函数f (x )＝x ＋ln x ，则有( )A ．f (2)<f (e)<f (3)B ．f (e)<f (2)<f (3)C ．f (3)<f (e)<f (2)D ．f (e)<f (3)<f (2)答案 A解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝12x ＋1x >0在(0，＋∞)上恒成立， ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增，∴f (2)<f (e)<f (3)．4．函数y ＝f (x )的图象如下图所示，则导函数y ＝f ′(x )的图象可能是( )答案 D解析由y＝f(x)的图象知，f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上都为减函数，∴在(－∞，0)，(0，＋∞)上，f′(x)<0恒成立，故D正确．5．已知函数f(x)、g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f′(x)<g′(x)，则f(x)－g(x)的最大值为()A．f(a)－g(a) B．f(b)－g(b)C．f(a)－g(b) D．f(b)－g(a)答案 A解析设F(x)＝f(x)－g(x)，F′(x)＝f′(x)－g′(x)<0，∴F(x)在[a，b]上为减函数，∴当x＝a时，F(x)取最大值f(a)－g(a)．6．已知对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且当x>0时，有f′(x)>0，g′(x)>0，则当x<0时，有()A．f′(x)>0，g′(x)>0 B．f′(x)>0，g′(x)<0C．f′(x)<0，g′(x)>0 D．f′(x)<0，g′(x)<0答案 B解析由已知f(x)为奇函数，g(x)为偶函数．∵x>0时，f′(x)>0，g′(x)>0，∴f(x)，g(x)在(0，＋∞)上递增．∴x<0时，f(x)递增，g(x)递减．∴x<0时，f′(x)>0，g′(x)<0.二、填空题（共2小题，每题5分，共10分）7．已知a >0，函数f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上单调递增，则a 的最大值为 ． 答案 3解析 由题意知，f ′(x )＝3x 2－a ≥0(x ≥1)，∴a ≤3x 2，∴a ≤3.8．若函数y ＝x 3＋32x 2＋m 在[－2,1]上的最大值为92，则m ＝ . 答案 2解析 y ′＝⎝⎛⎭⎫x 3＋32x 2＋m ′＝3x 2＋3x ＝3x (x ＋1)．由y ′＝0，得x ＝0或x ＝－1. ∴f (0)＝m ，f (－1)＝m ＋12.又∵f (1)＝m ＋52，f (－2)＝－8＋6＋m ＝m －2， ∴f (1)＝m ＋52最大．∴m ＋52＝92.∴m ＝2. 三、解答题（共2小题，共20分）9．设函数f (x )＝x ＋ax 2＋b ln x ，曲线y ＝f (x )过P (1,0)，且在P 点处的切线斜率为2.(1)求a ，b 的值；(2)证明：f (x )≤2x －2.(1)解 f ′(x )＝1＋2ax ＋b x .由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧ f 1＝0，f ′1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋a ＝0，1＋2a ＋b ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3. (2)证明 因为f (x )的定义域为(0，＋∞)，由(1)知f (x )＝x －x 2＋3ln x .设g (x )＝f (x )－(2x －2)＝2－x －x 2＋3ln x ，则g ′(x )＝－1－2x ＋3x＝－x －12x ＋3x .当0<x <1时，g ′(x )>0，当x >1时，g ′(x )<0.所以g (x )在(0,1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减．而g (1)＝0，故当x >0时，g (x )≤0，即f (x )≤2x －2.10．已知a ∈R ，函数f (x )＝(－x 2＋ax )e x (x ∈R )．(1)当a ＝2时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在(－1,1)上单调递增，求a 的取值范围．解 当a ＝2时，f (x )＝(－x 2＋2x )e x ，f ′(x )＝(－x 2＋2)e x .当f ′(x )>0时，(－x 2＋2)e x >0，注意到e x >0，所以－x 2＋2>0，解得－2<x < 2. 所以，函数f (x )的单调递增区间为(－2，2)．同理可得，函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)．(2)因为函数f (x )在(－1,1)上单调递增，所以f ′(x )≥0在(－1,1)上恒成立．又f ′(x )＝[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ，即[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ≥0，注意到e x >0， 因此－x 2＋(a －2)x ＋a ≥0在(－1,1)上恒成立，也就是a ≥x 2＋2x x ＋1＝x ＋1－1x ＋1在(－1,1)上恒成立． 设y ＝x ＋1－1x ＋1，则y ′＝1＋1x ＋12>0，即y ＝x ＋1－1x ＋1在(－1,1)上单调递增， 则y <1＋1－11＋1＝32，故a ≥32.。
人教A版选修2-21.3导数在研究函数中的运用同步练习.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作1.3导数在研究函数中的运用同步练习1. 曲线f(x )=x ㏑x 在点x =1处的切线方程是（ ） A ． y=2x +2 B ．y=2x -2 C ．y=x -1D ．y=x +1答案：C解析：解答：根据导数的几何意义求出函数f （x ）在x =1处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成一般式即可解：y=x ln x , y '=1×ln+x •1x=1+ln x , y '=1又当x =1时y=0，∴切线方程为y=x -1即x -y-1=0，故选：C分析：此题主要考查导数的计算，以及利用导数研究曲线上某点切线方程，属于基础题 2.曲线y= 2xx -在点（1，-1）处的切线方程为 A ．y=x -2 B ．y=-3x +2 C ．y=2x -3D ．y= -2x +1答案：D解析：解答：根据题意 ，由于曲线y=2xx -,则可知其导数2222(2)(2)x x y x x ---'==--，故当x =1时，则可知导数值为-2，则由点斜式方程可知为y= -2x +1，选D. 分析：主要是考查了导数在研究曲线的切线方程中的运用，属于基础题。
3. 函数21ln 2y x x =-的单调递减区间为（ ） A.(-1，1]B.(0，1]C.[1，+∞)D.(0，+∞)答案：B解析：解答：根据题意，对于函数21ln 2y x x =-，由于1(1)(1)x x y x x x-+'=-=（x >0），可知，当y ’<0时，则可知0<x <1能满足题意，故可知单调减区间为(0，1]，选B. 分析：本题考查利用导数求函数的单调区间，注意首先应求函数的定义域4.已知f(x )＝x 3＋x ，若a ，b ，c R ∈，且a ＋b>0，a ＋c>0，b ＋c>0，则f(a)＋f(b)＋f(c)的值( ) A ．一定大于0 B ．一定等于0 C ．一定小于0 D ．正负都有可能 答案：A解析：解答：由2()31f x x '=+可知函数在定义域内为增函数,又3()f x x x =+为奇函数，则a+b>0得a>-b ，()()()f a f b f b >-=-，故()()0f a f b +>，同理()()0f a f c +>，()()0f b f c +>，三式相加可得2()2()2()0f a f b f c ++>，即()()()0f a f b f c ++>.分析：此题利用函数的单调性解决不等式，有一定的技巧，属于中档题。
高三复习测试题数学选修2-21.3导数在研究函数中的应用word版Word版含答案
§1.3 导数在研究函数中的应用复习题学习目标：1. 会用导数研究函数的单调性；2. 会求函数的极值与最值；3. 会用最值证明不等式.一．选择题：1.函数x x x f -=2sin )(在]2,2[ππ-上的最大值、最小值分别为（ ） A.6π，6π- B.4π，4π- C.3π，3π- D.2π，2π-2.设ax x x x f 22131)(23++-=,若)(x f 在+,32( ）∞上存在单调递增区间，则a 的取值范围是（ ） A.91-<a B.91->a C.31<a D.31>a 3.已知函数x m x x x f )2(21)1ln(4)(2+-+-=，（其中m 为常数）.若)(x f y =有两个极值点，则实数m 的取值范围是（ ）A.3>mB.3<mC.1->mD.1-<m4.设x x x x f sin cos )(-⋅=，则（ ）A.0)2()3(>+-f fB.0)2()3(<+-f fC.0)2()3(=+-f fD.0)2()3(<--f f5.已知函数1)1()1ln()(+---=x k x x f .给出下列三个命题，其中正确的个数有（ ） ①当0≤k 时，)(x f 的递增区间为),1[+∞；②2)1ln(-≤-x x 恒成立；③若0)(≤x f 恒成立，则k 的取值范围是1≥k .A.0个B.1个C.2个D.3个题号1 2 3 4 5 答案二．填空题： 6.若52)1(31)(2/3-++=x x f x x f ，则)(x f 递减区间为 7.若函数)0(,)(2>+=a a x x x f 在),1[+∞上的最大值为213-，则=a8.设函数)(x f 在R 上可导，其导函数为)(/x f ，且函数)()1(/x f x y -=的图像如图所示，则函数)(x f 的极大值点是9.已知)(x f 是R 上的奇函数，且)(x f 的导函数)(/x f 满足)()(/x f x f <对于R x ∈恒成立，则f)(a 0，（其中)0>a .三．解答题：10.设21)(ax e x f x+=，其中a 为正实数.（1）当34=a 时，求)(x f 的极值点； （2）若)(x f 为R 上的单调函数，求a 的取值范围。
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新高考人教A 版选修数学作业汇编
第一章导数及其应用1.3导数在研究函数中的应用2
（检测教师版）
时间:40分钟 总分：60分 班级： 姓名：
一、 选择题（共6小题，每题5分，共30分）
1．函数f (x )的定义域为R ，导函数f ′(x )的图象如图所示，则函数f (x )( )
A ．无极大值点，有四个极小值点
B ．有三个极大值点、两个极小极值点
C ．有两个极大值点、两个极小值点
D ．有四个极大值点、无极小值点 解析：由导函数f ′(x )的图象可知，f ′(x )＝0有四个零点，根据极值的概念知，函数f (x )有两个
极大值点、两个极小值点．
答案：C
2．f ′(x 0)＝0是可导函数f (x )在点x 0处取极值的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：f ′(x 0)＝0不能保证f ′(x )在x 0左右两边异号，故不能保证有极值，
但f (x )在x 0处有极值则必有f ′(x 0)＝0.
答案：B
3．设函数f (x )＝x e x ，则( )
A ．x ＝1为f (x )的极大值点
B ．x ＝1为f (x )的极小值点
C ．x ＝－1为f (x )的极大值点
D ．x ＝－1为f (x )的极小值点
解析：f ′(x )＝e x ＋x e x ＝(1＋x )e x ，令f ′(x )＝0，得x ＝－1，当x ＜－1时，f ′(x )＜0；
当x ＞－1时，f ′(x )＞0.所以x ＝－1为f (x )的极小值点．
答案：D
4．函数f (x )＝x ＋1x
的极值情况是( ) A ．当x ＝1时，取极小值2，但无极大值
B ．当x ＝－1时，取极大值－2，但无极小值
C ．当x ＝－1时，取极小值－2；当x ＝1时，取极大值2
D ．当x ＝－1时，取极大值－2；当x ＝1时，取极小值2
解析：f ′(x )＝1－1x
2，令f ′(x )＝0，得x ＝±1，函数f (x )在区间(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，
在(－1，0)和(0，1)上单调递减，所以当x ＝－1时，取极大值－2，当x ＝1时，取极小值2.
答案：D
5．若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9在x ＝－3处取得极值，则a ＝( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，由题意得f ′(－3)＝0，即30－6a ＝0，所以a ＝5.验证知，
符合题意，故选D.
答案：D
6. 函数f (x )＝13x 3－12
(2b ＋1)x 2＋b (b ＋1)x 在(0，2)内有极小值，则( ) A ．0＜b ＜1
B ．0＜b ＜2
C ．－1＜b ＜1
D ．－1＜b ＜2
解析：f ′(x )＝x 2－(2b ＋1)x ＋b (b ＋1)＝(x －b )[x －(b ＋1)]，令f ′(x )＝0，则x ＝b 或x ＝b ＋1，
x ＝b ＋1是极小值点，所以0＜b ＋1＜2，得－1＜b ＜1.
答案：C
二、填空题（共2小题，每题5分，共10分）
7．函数f (x )＝x ＋2cos x 在⎣⎡⎦
⎤0，π2上的极大值点为 ． 解析：f ′(x )＝1－2sin x ，令f ′(x )＝0得x ＝π6
. 当0＜x ＜π6时，f ′(x )＞0；当π6＜x ＜π2时，f ′(x )＜0.所以当x ＝π6
时，f (x )有极大值． 答案：π6
8．设x ＝1与x ＝2是函数f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x 的两个极值点，则常数a ＝ ．
解析：f ′(x )＝a x ＋2bx ＋1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋1＝0，a 2＋4b ＋1＝0，
解得a ＝－23. 答案：－23
三、解答题（共2小题，共20分）
9．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴切于(1，0)点，求f (x )的极大值及极小值．
解：f ′(x )＝3x 2－2px －q ，由f ′(1)＝0，f (1)＝0得，
⎩
⎪⎨⎪⎧3－2p －q ＝0，1－p －q ＝0，解得p ＝2，q ＝－1， 所以f (x )＝x 3－2x 2＋x .由f ′(x )＝3x 2－4x ＋1＝0得x ＝13
或x ＝1， 易得当x ＝13时，f (x )取极大值427
，当x ＝1时，f (x )取极小值0. 10．设函数f (x )＝x 3－3ax ＋b (a ≠0)．
(1)若曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处与直线y ＝8相切，求a ，b 的值；
(2)求函数f (x )的单调区间与极值点．
解：(1)由已知可得f ′(x )＝3x 2－3a (a ≠0)．
因为曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处与直线y ＝8相切，
所以⎩
⎪⎨⎪⎧f ′（2）＝0，f （2）＝8，即⎩⎪⎨⎪⎧3（4－a ）＝0，8－6a ＋b ＝8，解得a ＝4，b ＝24. (2)f ′(x )＝3(x 2－a )(a ≠0)．
当a ＜0时，f ′(x )＞0，函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，此时函数f (x )没有极值点． 当a ＞0时，由f ′(x )＝0，得x ＝±a .
当x ∈(－∞.－a )时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增；
当x ∈(－a ，a )时，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减；
当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增．
此时x ＝－a 是f (x )的极大值点，x ＝a 是f (x )的极小值点．。