2019年河南省中考数学试题、答案(解析版)(最新整理)
河南省2019年中考数学试题与答案【word解析版】
2019年河南省中考数学试卷一、选择题（每小题 3 分，共 24分）1．（ 3 分） (2019 年河南省 ) 下列各数中，最小的数是（）A．0 B．C．﹣D．﹣3考点：有理数大小比较．分析：根据正数大于 0， 0 大于负数，可得答案．解答：解：﹣ 3，故选： D．点评：本题考查了有理数比较大小，正数大于0， 0 大于负数是解题关键．2．（ 3 分） (2019 年河南省 ) 据统计， 2019 年河南省旅游业总收入达到约3875.5 亿元．若将 3875.5 亿用科学记数法表示为 3.8755 ×10 n，则 n 等于（）A．10B．11C．12D． 13考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10 n的形式，其中 1≤|a|＜ 10， n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞ 1 时， n 是正数；当原数的绝对值＜ 1 时， n 是负数．解答：解： 3875.5 亿=3875 5000 0000=3.8755 ×10 11，故选： B．a×10 n的形式，其中 1≤|a| ＜ 10， n 为整点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值．3．（ 3 分）(2019 年河南省 ) 如图，直线 AB，CD相交于点 O，射线 OM平分∠ AOC， ON⊥OM，若∠ AOM=35°，则∠ CON 的度数为（）A．35°B． 45°C． 55° D ． 65°考点：垂线；对顶角、邻补角．分析：由射线 OM平分∠ AOC，∠AOM=35°，得出∠ MOC=35°，由 ON⊥OM，得出∠ CON=∠MON﹣∠ MOC得出答案．解答：解：∵射线 OM平分∠ AOC，∠ AOM=35°，∴∠ MOC=35°，∵ON⊥OM，∴∠ MON=90°，∴∠ CON=∠MON﹣∠ MOC=90°﹣ 35°=55°．故选： C．点评：本题主要考查了垂线和角平分线，解决本题的关键是找准角的关系．4．（ 3 分） (2019 年河南省 ) 下列各式计算正确的是（）A．a+2a=3a2B．（﹣ a3）2=a6C． a3?a2=a6D．（ a+b）2=a2+b2考点：完全平方公式；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．分析：根据合并同类项法则，积的乘方，同底数幂的乘法，平方差公式分别求出每个式子的值，再判断即可．解答：解： A、 a+2a=3a，故本选项错误；B、（﹣ a3）2=a6，故本选项正确；C、 a3?a2=a5，故本选项错误；D、（ a+b）2=a2+b2+2ab，故本选项错误，故选B．点评：本题考查了合并同类项法则，积的乘方，同底数幂的乘法，平方差公式的应用，主要考查学生的计算能力．5．（ 3 分） (2019 年河南省 ) 下列说法中，正确的是（）A．“打开电视，正在播放河南新闻节目”是必然事件B．某种彩票中奖概率为10%是指买十张一定有一张中奖C．神舟飞船反射前需要对零部件进行抽样调查D．了解某种节能灯的使用寿命适合抽样调查考点：分析：随机事件；全面调查与抽样调查；概率的意义．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．不易采集到数据的调查要采用抽样调查的方式，据此判断即可．解答：解： A．“打开电视，正在播放河南新闻节目”是随机事件，本项错误；B．某种彩票中奖概率为10%是指买十张可能中奖，也可能不中奖，本项错误；C．神舟飞船反射前需要对零部件进行全面调查，本项错误；D．解某种节能灯的使用寿命，具有破坏性适合抽样调查．故选： D．点评：本题考查了调查的方式和事件的分类．不易采集到数据的调查要采用抽样调查的方式；必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．6．（ 3 分） (2019 年河南省 ) 将两个长方体如图放置，则所构成的几何体的左视图可能是（）A．B．C．D．考点：分析：解答：故选：点评：简单组合体的三视图．根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．解：从左边看，下面是一个矩形，上面是一个等宽的矩形，该矩形的中间有一条棱，C．本题考查了简单组合体的三视图，注意能看到的棱用实线画出．7．（ 3 分） (2019年河南省) 如图，?ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB=4， AC=6，则BD的长是（）A．8 B．9 C．10D．11考点：平行四边形的性质；勾股定理．分析：利用平行四边形的性质和勾股定理易求BO的长，进而可求出解答：解：∵ ?ABCD的对角线AC与 BD相交于点 O，∴BO=DO， AO=CO，∵AB⊥AC， AB=4， AC=6，∴BO==5，BD的长．∴BD=2BO=10，故选 C．点评：本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，是中考常见题型，比较简单．8．（ 3 分） (2019 年河南省 ) 如图，在Rt△ABC中，∠ C=90°， AC=1cm， BC=2cm，点 P 从点 A 出发，以 1cm/s 的速度沿折线 AC→CB→BA 运动，最终回到点映 y 与 x 之间函数关系的图象大致是（A，设点）P 的运动时间为x（ s），线段AP 的长度为y（ cm），则能够反A．B．C．D．考点：动点问题的函数图象．分析：这是分段函数：①点 P 在 AC边上时， y=x，它的图象是一次函数图象的一部分；②点 P 在边 BC上时，利用勾股定理求得y 与 x 的函数关系式，根据关系式选择图象；③点 P 在边 AB 上时，利用线段间的和差关系求得y 与 x 的函数关系式，由关系式选择图象．解答：解：①当点 P 在 AC边上，即0≤x≤1时， y=x ，它的图象是一次函数图象的一部分．故C错误；②点 P 在边 BC上，即1＜x≤3时，根据勾股定理得AP=，即 y=，则其函数图象是y 随 x 的增大而增大，且不是线段．故B、 D 错误；③点 P 在边 AB 上，即3＜x≤3+时， y= +3﹣ x=﹣ x+3+，其函数图象是直线的一部分．综上所述， A 选项符合题意．故选： A．点评：本题考查了动点问题的函数图象．此题涉及到了函数y=的图象问题，在初中阶段没有学到该函数图象，所以只要采取排除法进行解题．二、填空题（每小题 3 分，共 21分）9．（ 3 分） (2019 年河南省 ) 计算：﹣| ﹣2|= 1 ．考点：实数的运算．分析：首先计算开方和绝对值，然后再计算有理数的减法即可．解答：解：原式 =3﹣ 2=1，故答案为： 1．点评：此题主要考查了实数的运算，关键是掌握立方根和绝对值得性质运算．10．（ 3 分） (2019 年河南省 ) 不等式组的所有整数解的和为﹣2．考点：一元一次不等式组的整数解．分析：先分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，在其公共解集内找出符合条件的x 的所有整数解相加即可求解．解答：解：，由①得： x≥﹣ 2，由②得： x＜2，∴﹣ 2≤x＜ 2，∴不等式组的整数解为：﹣2，﹣ 1， 0， 1．所有整数解的和为﹣2﹣ 1+0+1=﹣ 2．故答案为：﹣2．点评：本题考查的是解一元一次不等式组及求一元一次不等式组的整数解，求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．11．（ 3 分） (2019年河南省) 如图，在△ ABC 中，按以下步骤作图：①分别以B， C 为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于M， N两点；②作直线MN交AB于点D，连接CD，若CD=AC，∠ B=25°，则∠ ACB的度数为105°．考点：作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．分析：首先根据题目中的作图方法确定MN是线段 BC的垂直平分线，然后利用垂直平分线的性质解题即可．解答：解：由题中作图方法知道MN为线段 BC的垂直平分线，∴CD=BD，∵∠ B=25°，∴∠ DCB=∠B=25°，∴∠ ADC=50°，∵CD=AC，∴∠ A=∠ADC=50°，∴∠ ACD=80°，∴∠ ACB=∠ACD+∠BCD=80°+25°=105°，故答案为： 105°．点评：本题考查了基本作图中的垂直平分线的作法及线段的垂直平分线的性质，解题的关键是了解垂直平分线的做法．12．（ 3 分） (2019 年河南省 ) 已知抛物线 y=ax 2+bx+c（a≠0）与 x 轴交于 A，B 两点，若点 A 的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴为直线x=2，则线段 AB的长为8 ．考点：抛物线与 x 轴的交点．分析：由抛物线 y=ax2+bx+c 的对称轴为直线x=2，交 x 轴于 A、B 两点，其中 A 点的坐标为（﹣ 2， 0），根据二次函数的对称性，求得 B 点的坐标，再求出AB的长度．解答：解：∵对称轴为直线 x=2 的抛物线 y=ax 2+bx+c （a≠0）与 x 轴相交于 A、 B 两点，∴A、 B 两点关于直线x=2 对称，∵点 A 的坐标为（﹣2， 0），∴点 B 的坐标为（ 6， 0），AB=6﹣（﹣ 2） =8．故答案为： 8．点评：此题考查了抛物线与 x 轴的交点．此题难度不大，解题的关键是求出 B 点的坐标．13．（ 3 分） (2019 年河南省 ) 一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的 2 个红球和 2 个白球，两个人依次从袋子中随机摸出一个小球不放回，则第一个人摸到红球且第二个人摸到白球的概率是．考点：列表法与树状图法．专题：计算题．分析：列表得出所有等可能的情况数，找出第一个人摸到红球且第二个人摸到白球的情况数，即可求出所求的概率．解答：解：列表得：红红白白红﹣﹣﹣（红，红）（白，红）（白，红）红（红，红）﹣﹣﹣（白，红）（白，红）白（红，白）（红，白）﹣﹣﹣（白，白）白（红，白）（红，白）（白，白）﹣﹣﹣所有等可能的情况有12 种，其中第一个人摸到红球且第二个人摸到白球的情况有 4 种，则P= =．故答案为：．点评：此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14．（ 3 分） (2019 年河南省 ) 如图，在菱形ABCD中， AB=1，∠ DAB=60°，把菱形ABCD 绕点 A顺时针旋转30°得到菱形 AB′C′D′，其中点C的运动路径为，则图中阴影部分的面积为．考点：菱形的性质；扇形面积的计算；旋转的性质．分析：连接 BD′，过 D′作 D′H⊥AB，则阴影部分的面积可分为 3 部分，再根据菱形的性质，三角形的面积公式以及扇形的面积公式计算即可．解答：解：连接BD′，过 D′作 D′H⊥AB，∵在菱形ABCD中， AB=1，∠ DAB=60°，把菱形ABCD绕点 A 顺时针旋转30°得到菱形AB′C′D′，∴D′H=，∴S△ABD′=1×=，∴图中阴影部分的面积为+﹣，故答案为：+﹣．点评：本题考查了旋转的性质，菱形的性质，扇形的面积公式，熟练掌握旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小是解题的关键．15．（ 3 分） (2019 年河南省 ) 如图矩形ABCD中， AD=5， AB=7，点 E 为 DC上一个动点，把△ ADE 沿 AE折叠，当点D 的对应点D′落在∠ ABC 的角平分线上时，DE的长为或．考点：翻折变换（折叠问题）．分析：连接 BD′，过 D′作 MN⊥AB，交出 MD′，再分两种情况利用勾股定理求出解答：解：如图，连接BD′，过 D′作AB 于点 M， CD于点DE．MN⊥AB，交 AB 于点N，作 D′P⊥BC 交 BC于点 P，先利用勾股定理求M， CD于点 N，作 D′P⊥BC 交 BC于点 P，∵点 D 的对应点 D′落在∠ ABC 的角平分线上，∴MD′=PD′，设MD′=x，则 PD′=BM=x，∴AM=AB﹣ BM=7﹣ x，又折叠图形可得AD=AD′=5，22∴x+（ 7﹣ x） =25，解得 x=3 或 4，即MD′=3 或 4．在RT△END′中，设 ED′=a，①当 MD′=3 时， D′E=5﹣ 3=2， EN=7﹣ CN﹣DE=7﹣ 3﹣ a=4﹣ a，222，∴a=2 +（ 4﹣ a）解得 a=，即 DE= ，②当 MD′=4 时， D′E=5﹣ 4=1， EN=7﹣ CN﹣DE=7﹣ 4﹣ a=3﹣ a，222，∴a=1 +（ 3﹣ a）解得 a=，即 DE= ．故答案为：或．点评：本题主要考查了折叠问题，解题的关键是明确掌握折叠以后有哪些线段是对应相等的．三、解答题（本大题共8 小题，满分75 分）16．（ 8 分） (2019 年河南省 ) 先化简，再求值：+（ 2+），其中x=﹣1．考点：专题：分式的化简求值．计算题．分析：先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，然后把分子分母因式分解，约分后得到原式=，再把 x 的值代入计算．解答：解：原式=÷=÷=?=，当 x=﹣1时，原式==．点评：本题考查了分式的化简求值：先把分式的分子或分母因式分解，再进行通分或约分，得到最简分式或整式，然后把满足条件的字母的值代入计算得到对应的分式的值．17．（ 9 分） (2019 年河南省 ) 如图， CD是⊙O 的直径，且CD=2cm，点切线 PA， PB，切点分别为点A， B．（ 1）连接 AC，若∠ APO=30°，试证明△ ACP 是等腰三角形；（ 2）填空：P 为CD的延长线上一点，过点P 作⊙O的①当 DP= 1 cm 时，四边形AOBD是菱形；②当 DP=﹣1cm时，四边形AOBD是正方形．考点：切线的性质；等腰三角形的判定；菱形的判定；正方形的判定．分析：（ 1）利用切线的性质可得 OC⊥PC．利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，求得∠ ACP=30°，从而求得．（2）①要使四边形 AOBD是菱形，则 OA=AD=OD，所以∠ AOP=60°，所以 OP=2OA，DP=OD．②要使四边形 AOBD是正方形，则必须∠ AOP=45°， OA=PA=1，则 OP= ，所以 DP=OP﹣ 1．解答：解：（ 1）连接 OA， AC∵PA 是⊙O的切线，∴OA⊥PA，在 RT△AOP中，∠ AOP=90°﹣∠ APO=90°﹣30°=60°，∴∠ ACP=30°，∵∠ APO=30°∴∠ ACP=∠APO，∴A C=AP，∴△ ACP是等腰三角形．（ 2）① 1，②．点评：本题考查了切线的性质，圆周角的性质，熟练掌握圆的切线的性质和直角三角形的边角关系是解题的关键．18．（ 9 分） (2019 年河南省 ) 某兴趣小组为了了解本校男生参加课外体育锻炼情况，随机抽取本校300 名男生进行了问卷调查，统计整理并绘制了如下两幅尚不完整的统计图．请根据以上信息解答下列问题：（ 1）课外体育锻炼情况扇形统计图中，“经常参加”所对应的圆心角的度数为144°；（2）请补全条形统计图；（3）该校共有 1200 名男生，请估计全校男生中经常参加课外体育锻炼并且最喜欢的项目是篮球的人数；（4）小明认为“全校所有男生中，课外最喜欢参加的运动项目是乒乓球的人数约为1200×=108”，请你判断这种说法是否正确，并说明理由．考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．专题：图表型．分析：（ 1）用“经常参加”所占的百分比乘以360°计算即可得解；（2）先求出“经常参加”的人数，然后求出喜欢篮球的人数，再补全统计图即可；（3）用总人数乘以喜欢篮球的学生所占的百分比计算即可得解；（4）根据喜欢乒乓球的 27 人都是“经常参加”的学生，“偶尔参加”的学生中也会有喜欢乒乓球的考虑解答．解答：解：（ 1）360°×（ 1﹣ 15%﹣ 45%）=360°× 40%=144°；故答案为： 144°；（2）“经常参加”的人数为： 300×40%=120 人，喜欢篮球的学生人数为： 120﹣ 27﹣33﹣ 20=120 ﹣ 80=40 人；补全统计图如图所示；（ 3）全校男生中经常参加课外体育锻炼并且最喜欢的项目是篮球的人数约为：1200×=160 人；（ 4）这个说法不正确．理由如下：小明得到的 108 人是经常参加课外体育锻炼的男生中最喜欢的项目是乒乓球的人数，而全校偶尔参加课外体育锻炼的男生中也会有最喜欢乒乓球的，因此应多于108 人．点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．19．（9 分） (2019 年河南省 ) 在中俄“海上联合﹣2018”反潜演习中，我军舰 A 测得潜艇军舰 A 正上方 1000 米的反潜直升机 B 测得潜艇 C 的俯角为68°，试根据以上数据求出潜艇深度．（结果保留整数，参考数据：sin68 °≈ 0.9 ，cos68°≈ 0.4 ，tan68 °≈ 2.5 ，C 的俯角为30°，位于C 离开海平面的下潜1.7 ）考点：解直角三角形的应用- 仰角俯角问题．分析：过点 C 作 CD⊥AB，交 BA的延长线于点D，则 AD即为潜艇 C 的下潜深度，分别在Rt三角形ACD中表示出 CD和在 Rt 三角形 BCD中表示出BD，从而利用二者之间的关系列出方程求解．解答：解：过点C作 CD⊥AB，交 BA的延长线于点D，则 AD即为潜艇C的下潜深度，根据题意得：∠ ACD=30°，∠ BCD=65°，设AD=x，则 BD=BA+AD=1000+x，在Rt三角形ACD中， CD===，在Rt三角形BCD中， BD=CD?tan68°，∴1000+x=x?tan68 °解得： x==≈308米，∴潜艇 C 离开海平面的下潜深度为308 米．点评：本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从题目中抽象出直角三角形并选择合适的边角关系求解．20．（ 9 分） (2019 年河南省 ) 如图，在直角梯形OABC中， BC∥AO，∠ AOC=90°，点A，B 的坐标分别为（5，0），（2， 6），点 D 为 AB上一点，且 BD=2AD，双曲线 y= （ k＞0）经过点 D，交 BC于点 E．（1）求双曲线的解析式；（2）求四边形 ODBE的面积．考点：反比例函数综合题．专题：综合题．分析：（ 1）作 BM⊥x轴于 M，作 BN⊥x轴于 N，利用点 A，B 的坐标得到 BC=OM=5， BM=OC=6， AM=3，再证明△ADN∽△ ABM，利用相似比可计算出DN=2，AN=1，则 ON=OA﹣ AN=4，得到 D 点坐标为（ 4， 2），然后把 D点坐标代入 y=中求出 k 的值即可得到反比例函数解析式；（ 2）根据反比例函数k 的几何意义和 S四边形=S﹣ S ﹣S 进行计算．ODBE梯形 OABC△OCE△OAD解答：解：（ 1）作 BM⊥x轴于 M，作 BN⊥x轴于 N，如图，∵点 A， B 的坐标分别为（ 5， 0），（ 2，6），∴BC=OM=5， BM=OC=6， AM=3，∵DN∥BM，∴△ ADN∽△ ABM，∴ == ，即= = ，∴D N=2， AN=1，∴ON=OA﹣ AN=4，∴D点坐标为（ 4， 2），把D（ 4， 2）代入 y= 得 k=2×4=8，∴反比例函数解析式为 y= ；（2） S 四边形ODBE=S 梯形OABC﹣ S△OCE﹣ S△OAD=×（ 2+5）× 6﹣×|8| ﹣×5×2=12．点评：本题考查了反比例函数综合题：熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数k 的几何意义和梯形的性质；理解坐标与图形的性质；会运用相似比计算线段的长度．21．（ 10 分） (2019年河南省 ) 某商店销售10 台 A 型和 20 台 B 型电脑的利润为4000 元，销售 20 台 A 型和 10 台B 型电脑的利润为3500 元．（ 1）求每台 A 型电脑和 B型电脑的销售利润；（ 2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100 台，其中 B 型电脑的进货量不超过 A 型电脑的 2 倍，设购进 A 型电脑 x 台，这 100 台电脑的销售总利润为y 元．①求 y 关于 x 的函数关系式；②该商店购进 A 型、 B 型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？（ 3）实际进货时，厂家对 A 型电脑出厂价下调m（0＜ m＜ 100）元，且限定商店最多购进 A 型电脑 70 台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这100 台电脑销售总利润最大的进货方案．考点：一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式组的应用．分析：（ 1）设每台 A 型电脑销售利润为x 元，每台 B 型电脑的销售利润为y 元；根据题意列出方程组求解，（ 2）①据题意得，y=﹣ 50x+15000，②利用不等式求出x 的范围，又因为y=﹣ 50x+15000 是减函数，所以x 取 34， y 取最大值，（ 3）据题意得， y=（ 100+m）x﹣ 150（ 100﹣ x），即 y=（ m﹣50） x+15000，分三种情况讨论，①当0＜ m＜50 时，y随 x 的增大而减小，② m=50 时， m﹣50=0， y=15000 ，③当 50＜ m＜ 100 时， m﹣ 50＞0， y 随 x 的增大而增大，分别进行求解．解答：解：（ 1）设每台 A 型电脑销售利润为x 元，每台 B 型电脑的销售利润为y 元；根据题意得解得答：每台 A 型电脑销售利润为100 元，每台 B 型电脑的销售利润为150 元．（2）①据题意得， y=100x﹣ 150（ 100﹣ x），即 y=﹣50x+15000 ，②据题意得， 100﹣x≤2x，解得 x≥33 ，∵y=﹣ 50x+15000，∴y随 x 的增大而减小，∵x为正整数，∴当 x=34 时， y 取最大值，则100﹣ x=66，即商店购进34 台 A 型电脑和66 台 B 型电脑的销售利润最大．（3）据题意得， y=（ 100+m） x﹣ 150（100﹣ x），即 y=（ m﹣ 50） x+15000，33≤x≤70①当 0＜ m＜50 时， y 随 x 的增大而减小，∴当 x=34 时， y 取最大值，即商店购进34 台 A 型电脑和66 台 B 型电脑的销售利润最大．②m=50 时， m﹣ 50=0， y=15000，即商店购进 A 型电脑数量满足33≤x≤70的整数时，均获得最大利润；③当 50＜ m＜ 100 时， m﹣50＞ 0， y 随 x 的增大而增大，∴当 x=70 时， y 取得最大值．即商店购进70 台 A 型电脑和30 台 B 型电脑的销售利润最大．点评：本题主要考查了一次函数的应用，二元一次方程组及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据一次函数 x 值的增大而确定y 值的增减情况．22．（ 10 分） (2019 年河南省 ) （ 1）问题发现如图 1，△ ACB和△ DCE均为等边三角形，点A， D，E 在同一直线上，连接BE．填空：①∠ AEB 的度数为60°；②线段 AD，BE 之间的数量关系为AD=BE ．（ 2）拓展探究DE 如图 2，△ ACB和△ DCE均为等腰直角三角形，∠ ACB=∠DCE=90°，点A， D，E 在同一直线上，CM为△ DCE中边上的高，连接BE，请判断∠ AEB 的度数及线段CM， AE， BE 之间的数量关系，并说明理由．（ 3）解决问题如图 3，在正方形ABCD中，，若点P 满足PD=1，且∠ BPD=90°，请直接写出点 A 到BP的距离．CD=考点：圆的综合题；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；直角三角形斜边上的中线；正方形的性质；圆周角定理．专题：综合题；探究型．分析：（ 1）由条件易证△ ACD≌△ BCE，从而得到：AD=BE，∠ ADC=∠BEC．由点A，D， E 在同一直线上可求出∠ADC，从而可以求出∠ AEB 的度数．（2）仿照（ 1）中的解法可求出∠ AEB 的度数，证出 AD=BE；由△ DCE为等腰直角三角形及 CM为△ DCE中 DE边上的高可得 CM=DM=ME，从而证到 AE=2CH+BE．（3）由 PD=1可得：点 P 在以点 D 为圆心， 1 为半径的圆上；由∠ BPD=90°可得：点 P 在以 BD为直径的圆上．显然，点 P 是这两个圆的交点，由于两圆有两个交点，接下来需对两个位置分别进行讨论．然后，添加适当的辅助线，借助于（ 2）中的结论即可解决问题．解答：解：（ 1）①如图1，∵△ ACB和△ DCE均为等边三角形，∴CA=CB， CD=CE，∠ ACB=∠DCE=90°．∴∠ ACD=∠BCE．在△ ACD和△ BCE中，∴△ ACD≌△ BCE．∴∠ ADC=∠BEC．∵△ DCE为等边三角形，∴∠ CDE=∠CED=60°．∵点 A， D，E 在同一直线上，∴∠ ADC=120°．∴∠ BEC=120°．∴∠ AEB=∠BEC﹣∠ CED=60°．故答案为： 60°．②∵△ ACD≌△ BCE，∴A D=BE．故答案为： AD=BE．（2）∠ AEB=90°， AE=BE+2CM．理由：如图 2，∵△ ACB和△ DCE均为等腰直角三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°．∴∠ ACD=∠BCE．在△ ACD和△ BCE中，∴△ ACD≌△ BCE．∴A D=BE，∠ ADC=∠BEC．∵△ DCE为等腰直角三角形，∴∠ CDE=∠CED=45°．∵点 A， D，E 在同一直线上，∴∠ ADC=135°．∴∠ BEC=135°．∴∠ AEB=∠BEC﹣∠ CED=90°．∵CD=CE，CM⊥DE，∴DM=ME．∵∠ DCE=90°，∴DM=ME=CM．∴A E=AD+DE=BE+2CM．（3）∵ PD=1，∴点 P 在以点 D 为圆心， 1 为半径的圆上．∵∠ BPD=90°，∴点 P 在以 BD为直径的圆上．∴点 P 是这两圆的交点．①当点 P 在如图 3①所示位置时，连接 PD、 PB、 PA，作 AH⊥BP，垂足为H，过点 A 作 AE⊥AP，交 BP 于点 E，如图 3①．∵四边形ABCD是正方形，∴∠ ADB=45°． AB=AD=DC=BC= ，∠ BAD=90°．∴BD=2．∵DP=1，∴B P= ．∵A、 P、 D、B 四点共圆，∴∠ APB=∠ADB=45°．∴△ PAE 是等腰直角三角形．又∵△ BAD 是等腰直角三角形，点B、E、 P 共线， AH⊥BP，∴由（ 2）中的结论可得：BP=2AH+PD．∴=2AH+1．∴A H=．②当点 P 在如图 3②所示位置时，连接 PD、 PB、 PA，作 AH⊥BP，垂足为H，过点 A 作 AE⊥AP，交 PB 的延长线于点E，如图 3②．同理可得： BP=2AH﹣ PD．∴=2AH﹣ 1．∴A H=．综上所述：点 A 到 BP的距离为或．点评：本题考查了等边三角形的性质、正方形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、圆周角定理、三角形全等的判定与性质等知识，考查了运用已有的知识和经验解决问题的能力，是体现新课程理念的一道好题．而通过添加适当的辅助线从而能用（2）中的结论解决问题是解决第（3）的关键．23．（ 11 分） (2019 年河南省 ) 如图，抛物线y=﹣ x2+bx+c 与 x 轴交于点A（﹣ 1， 0）， B（ 5， 0）两点，直线y=﹣x+3 与 y 轴交于点C，与 x 轴交于点D．点 P 是 x 轴上方的抛物线上一动点，过点P 作 PF⊥x轴于点 F，交直线 CD于点 E．设点 P 的横坐标为m．（ 1）求抛物线的解析式；（ 2）若 PE=5EF，求 m的值；P，使点E′落在y 轴上？若存在，请直接写出相应的（ 3）若点 E′是点 E 关于直线PC的对称点，是否存在点点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（ 1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）用含 m的代数式分别表示出 PE、EF，然后列方程求解；（3）解题关键是识别出四边形 PECE′是菱形，然后根据 PE=CE的条件，列出方程求解．解答：解：（ 1）将点 A、 B 坐标代入抛物线解析式，得：，解得，∴抛物线的解析式为： y=﹣ x2+4x+5．（ 2）∵点 P 的横坐标为m，2m+3）， F（ m， 0）．∴P（ m，﹣ m+4m+5）， E（ m，﹣22m+2|，∴PE=|y ﹣ y |=| （﹣ m+4m+5）﹣（﹣ m+3） |=| ﹣ m+PEEF=|y E﹣ y F|=| （﹣ m+3）﹣ 0|=|﹣ m+3|．由题意， PE=5EF，即： | ﹣m2+m+2|=5| ﹣ m+3|=|m+15|2m+2=2①若﹣ m+m+15，整理得： 2m﹣ 17m+26=0，解得： m=2或 m= ；2m+2=﹣（2①若﹣ m+m+15），整理得： m﹣ m﹣17=0，解得： m=或 m=．由题意， m的取值范围为：﹣ 1＜ m＜ 5，故 m= 、 m=这两个解均舍去．∴m=2或 m=．（3）假设存在．作出示意图如下：∵点 E、E′关于直线PC对称，∴∠ 1=∠2，CE=CE′， PE=PE′．∵PE 平行于 y 轴，∴∠ 1=∠3，∴∠ 2=∠3，∴ PE=CE，∴P E=CE=PE′=CE′，即四边形 PECE′是菱形．由直线CD解析式y=﹣x+3，可得OD=4， OC=3，由勾股定理得CD=5．过点 E 作EM∥x轴，交y 轴于点M，易得△ CEM∽△ CDO，∴，即，解得CE= |m| ，2∴PE=CE= |m| ，又由（ 2）可知： PE=|﹣ m+ m+2|∴|﹣ m2+ m+2|= |m| ．22①若﹣ m+m+2= m，整理得： 2m﹣ 7m﹣ 4=0，解得 m=4或 m=﹣；22或 m=3﹣．②若﹣ m+m+2=﹣ m，整理得： m﹣ 6m﹣ 2=0，解得 m=3+由题意， m的取值范围为：﹣1＜ m＜ 5，故 m=3+这个解舍去．综上所述，存在满足条件的点P，可求得点 P 坐标为（﹣，），（ 4， 5），（ 3﹣， 2﹣ 3）．点评：本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数与一次函数的图象与性质、点的坐标、待定系数法、菱形、相似三角形等多个知识点，重点考查了分类讨论思想与方程思想的灵活运用．需要注意的是，为了避免漏解，表示线段长度的代数式均含有绝对值，解方程时需要分类讨论、分别计算．。
2019年河南省中考数学试卷含答案(WORD版)
60° 34°
C
B
A
CD BC tanCBD 61.09 tan 60 105.69m
即 x 5 105.69
所以 x 51
答：设炎帝塑像 DE 的高度为 51m．
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20．（1）解：设 A 种奖品的单价为 x 元，B 种奖品的单价为 y 元
3x 2 y 120 5x 4 y 210
x2
(x 2)2
3 (x 2)2 x 2 x(x 2)
3 x
当 x 3 时，原式= 3 = 3 3
17．（1）证明：
AB 是 O 的直径
ADB 90
ADB BDG 90
BA BC
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点 D 是 AC 的中点
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ABC 90
AD BD 又 DAF DBG
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A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
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C．只有一个实数根
D．没有实数根
7. 某超市销售 A，B，C，D 四种矿泉水，它们的单价依次是 5 元、3 元、2 元、1 元．某
天的销售情况如图所示，则这天销售的矿泉水的平均单价是（ ）
A．1.95 元
B．2.15 元
m，得 2 x y m ，即 y x m ．满足要求的 x ，y 应是两个函数图象在第
2
象限内交点的坐标．
（2） 画出函数图象
函数 y 4 x 0的图象如图所示，而函数 y x m 的图象可由直线 y x 平移得
x
2
到．请在同一直角坐标系中直接画出直线 y x ．
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B
E
C
2019年河南省中考数学试卷-答案
河南省2019年普通高中招生考试数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题1.【答案】B【解析】解：11||22-=,故选：B . 【提示】根据一个负数的绝对值是它的相反数进行解答即可.【考点】绝对值的概念.2.【答案】C【解析】解：60.0000046 4.610-=⨯.【提示】本题用科学记数法的知识即可解答.【考点】科学记数法.3.【答案】B【解析】解：∵AB CD ∥,∴1B ∠=∠,∵1D E ∠=∠+∠,∴752748D B E ∠=∠-∠=-=,故选：B .【提示】根据平行线的性质解答即可.【考点】平行线的性质,三角形外角的性质.4.【答案】D【解析】解：235a a a +=,A 错误；22(3)9a a -=,B 错误；222(2)x y x xy y -=-+,C D 正确；故选：D .【提示】根据合并同类项法则,完全平方公式,幂的乘方与积的乘方的运算法则进行运算即可.【考点】整式的运算.5.【答案】C【解析】解：观察几何体,确定三视图,此几何体将上层的小正方体平移后俯视图相同,故选C .【提示】根据三视图解答即可.【考点】几何体的三视图.6.【答案】A【解析】解：原方程可化为：2240x x --=,∴1a =,2b =-,4c =-,∴2241()(4)200∆=--⨯⨯-=＞,∴方程由两个不相等的实数根.故选：A .【提示】先化成一般式后,再求根的判别式.【考点】一元二次方程根的情况.7.【答案】C【解析】解：这天销售的矿泉水的平均单价是510%315%255%120% 2.25⨯+⨯+⨯+⨯=(元), 故选：C .【提示】根据加权平均数的定义列式计算可得.【考点】加权平均数的计算.8.【答案】B【解析】解：抛物线24y x bx =-++经过()2,n -和(4,)n 两点,可知函数的对称轴1x =, ∴12b =, ∴2b =；∴224y x x =-++,将点()2,n -代入函数解析式,可得4n =；故选：B .【提示】根据()2,n -和(4,)n 可以确定函数的对称轴1x =,再由对称轴的2b x =即可求解. 【考点】二次函数点的坐标特征,二元一次方程组的解法.9.【答案】A【解析】解：如图,连接FC ,则AF FC =.∵AD BC ∥,∴FAO BCO ∠=∠.在FOA △与BOC △中,FAO BCO OA OCAOF COB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩, ∴()ASA FOA BOC ≅△△,∴3AF BC ==,∴3FC AF ==,431FD AD AF =-=-=.在FDC △中,∵90D ∠=,∴222CD DF FC +=,∴21232CD +=,∴CD =故选：A .【提示】连接FC ,根据基本作图,可得OE 垂直平分AC ,由垂直平分线的性质得出AF FC =.再根据ASA 证明FOA BOC ≅△△,那么3A F B C ==,等量代换得到3F C A F==,利用线段的和差关系求出1FD AD AF =-=.然后在直角FDC △中利用勾股定理求出CD 的长.【考点】尺规作图,平行线的性质,勾股定理,角平分线的性质,全等三角形的判定与性质.10.【答案】D【解析】解：∵4()3,A -,()3,4B ,∴336AB =+=,∵四边形ABCD 为正方形,∴6AD AB ==,∴0()3,1D -,∵704172=⨯+,∴每4次一个循环,第70次旋转结束时,相当于OAB △与正方形ABCD 组成的图形绕点O 顺时针旋转2次,每次旋转90,∴点D 的坐标为(3,)10-.故选：D .【提示】先求出6AB =,再利用正方形的性质确定0()3,1D -,由于704172=⨯+,所以第70次旋转结束时,相当于OAB △与正方形ABCD 组成的图形绕点O 顺时针旋转2次,每次旋转90,此时旋转前后的点D 关于原点对称,于是利用关于原点对称的点的坐标特征可出旋转后的点D 的坐标.【考点】图形的旋转,点的坐标的确定.第Ⅱ卷二、填空题11.【答案】3221-122=- 32=. 故答案为：32. 【提示】本题涉及二次根式化简、负整数指数幂两个考点.针对每个考点分别进行计算,然后根据实数的运算法则求得计算结果.【考点】实数的相关运算.12.【答案】2x -≤ 【解析】解：解不等式12x -,得：2x -≤,解不等式74x -+＞,得：3x ＜,则不等式组的解集为2x -≤,故答案为：2x -≤.【提示】分别求出每一个不等式的解集,根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集.【考点】解不等式组.13.【答案】49由表知,共有9种等可能结果,其中摸出的两个球颜色相同的有4种结果, 所以摸出的两个球颜色相同的概率为49, 故答案为：49. 【提示】列表得出所有等可能结果,从中找到两个球颜色相同的结果数,利用概率公式计算可得.【考点】概率的计算.14.π【解析】解：作OE AB ⊥于点F ,∵在扇形AOB 中,120AOB ∠=,半径OC 交弦AB 于点D ,且OC OA ⊥.O A =2, ∴90AOD ∠=,90BOC ∠=,OA OB =,∴30OAB OBA ∠=∠=,∴tan30232OD OA ===,4AD =,226AB AF ==⨯=,OF ∴2BD =,∴阴影部分的面积是：πAOD BDOOBC S S S +-=+=△△扇形,π.【提示】根据题意,作出合适的辅助线,然后根据图形可知阴影部分的面积是AOD △的面积与扇形OBC 的面积之和再减去BDO △的面积,本题得以解决.【考点】不规则图形面积的计算.15.【答案】53 【解析】解：分两种情况：①当点B '落在AD 边上时,如图1.图1∵四边形ABCD 是矩形,∴90BAD B ∠=∠=,∵将ABE △沿AE 折叠,点B 的对应点B '落在AD 边上, ∴1452BAE B AE BAD ∠=∠'=∠=,∴AB BE =, ∴315a =, ∴53a =； ②当点B '落在CD 边上时,如图2.图2∵四边形ABCD 是矩形,∴90BAD B C D ∠=∠=∠=∠=,AD BC a ==.∵将ABE △沿AE 折叠,点B 的对应点B '落在CD 边上,∴90B AB E ∠=∠'=,1AB AB ='=,35EB EB a ='=,∴DB '=355EC BC BE a a =-=-=.在ADB '△与B CE '△中, 9090B AD EB C AB D D C '''⎧∠=∠=-∠⎨∠=∠=⎩, ∴ADB B CE ''△△, ∴DB AB CE B E ''=',1355a a =,解得1a =,20a =(舍去). 综上,所求a 的值为53故答案为53. 【提示】分两种情况：①点B '落在AD 边上,根据矩形与折叠的性质易得AB BE =,即可求出a 的值；②点B '落在CD 边上,证明ADB B CE ''△△,根据相似三角形对应边成比例即可求出a 的值.【考点】图形的折叠,勾股定理.三、解答题16.【答案】解：原式212(2)()22(2)x x x x x x x +--=-÷--- 322x x x-=- 3x=, 当x,= 【解析】解：原式212(2)()22(2)x x x x x x x +--=-÷--- 322x x x -=-3x=,当x ,= 【提示】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式,再将x 的值代入计算可得.【考点】分式的化简求值.17.【答案】解：(1)证明：如图1,∵BA BC =,90ABC ∠=,图1∴45BAC ∠=∵AB 是O 的直径,∴90ADB AEB ∠=∠=,∴90DAF BGD DBG BGD ∠+∠=∠+∠=∴DAF DBG ∠=∠∵90ABD BAC ∠+∠=∴45ABD BAC ∠=∠=∴AD BD =∴()ASA ADF BDG ≅△△；(2)①4-②30【解析】解：(1)证明：如图1,∵BA BC =,90ABC ∠=,图1∴45BAC ∠=∵AB 是O 的直径,∴90ADB AEB ∠=∠=,∴90DAF BGD DBG BGD ∠+∠=∠+∠=∴DAF DBG ∠=∠∵90ABD BAC ∠+∠=∴45ABD BAC ∠=∠=∴AD BD =∴()ASA ADF BDG ≅△△；(2)①如图2,过F 作FH AB ⊥于H ,∵点E 是BD 的中点,图2∴BAE DAE ∠=∠∵FD AD ⊥,FH AB ⊥∴FH FD = ∵2sin sin452FH ABD BF =∠==,∴2FD BF =即BF = ∵4AB =,∴4cos4522BD ==即BF FD +=,1)FD =∴4FD ==-故答案为4-②连接OE ,EH ,∵点H 是AE 的中点,∴OH AE ⊥,∵90AEB ∠=∴BE AE ⊥∴BE OH ∥∵四边形OBEH 为菱形, ∴12BE OH OB AB === ∴1sin 2BE EAB AB ∠== ∴30EAB ∠=.故答案为：30.【提示】(1)利用直径所对的圆周角是直角,可得90ADB AEB ∠=∠=,再应用同角的余角相等可得DAF DBG∠=∠,易得AD BD =,ADF BDG △≌△得证； (2)作FH AB ⊥,应用等弧所对的圆周角相等得BAE DAE ∠=∠,再应用角平分线性质可得结论；由菱形的性质可得BE OB =,结合三角函数特殊值可得30EAB ∠=.【考点】圆的相关性质,全等三角形的判定和性质,菱形的判定和性质,圆周角定理.18.【答案】(1)23(2)77.5(3)甲学生在该年级的排名更靠前.∵七年级学生甲的成绩大于中位数78分,其名次在该班25名之前,八年级学生乙的成绩小于中位数78分,其名次在该班25名之后,∴甲学生在该年级的排名更靠前.(4)估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数为515840022450++⨯=(人). 【解析】解：(1)在这次测试中,七年级在80分以上(含80分)的有15823+=人,故答案为：23；(2)七年级50人成绩的中位数是第25、26个数据的平均数,而第25、26个数据分别为78、79,∴777877.52m +==, 故答案为：77.5；(3)甲学生在该年级的排名更靠前.∵七年级学生甲的成绩大于中位数78分,其名次在该班25名之前,八年级学生乙的成绩小于中位数78分,其名次在该班25名之后,∴甲学生在该年级的排名更靠前.(4)估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数为515840022450++⨯=(人). 【提示】(1)根据条形图及成绩在7080x ≤＜这一组的数据可得；(2)根据中位数的定义求解可得；(3)将各自成绩与该年级的中位数比较可得答案；(4)用总人数乘以样本中七年级成绩超过平均数76.9分的人数所占比例可得.【考点】统计知识的实际应用.19.【答案】解：∵90ACE ∠=,34CAE ∠=,55m CE =, ∴tan CE CAE AC∠=, ∴5582.1m tan340.67CE AC ==≈, ∵21m AB =,∴61.1m BC AC AB =-=,在Rt BCD △中,tan60CD BC=∴ 1.7361.1105.7m CD =≈⨯≈,∴105.75551m DE CD EC =-=-≈,答：炎帝塑像DE 的高度约为51 m .【解析】解：∵90ACE ∠=,34CAE ∠=,55m CE =, ∴tan CE CAE AC∠=, ∴5582.1m tan340.67CE AC ==≈, ∵21m AB =,∴61.1m BC AC AB =-=,在Rt BCD △中,tan60CD BC=∴ 1.7361.1105.7m CD =≈⨯≈,∴105.75551m DE CD EC =-=-≈,答：炎帝塑像DE 的高度约为51 m .【提示】由三角函数求出82.1m tan34CE AC =≈,得出61.1m BC AC AB =-=,在Rt BCD △中,由三角函数得出105.7m CD ≈,即可得出答案.【考点】解直角三角形的实际应用.20.【答案】解：(1)设A 的单价为x 元,B 的单价为y 元,根据题意,得3212054210x y x y +=⎧⎨+=⎩, ∴3015x y =⎧⎨=⎩, ∴A 的单价30元,B 的单价15元；(2)设购买A 奖品z 个,则购买B 奖品为30-z （）个,购买奖品的花费为W 元,由题意可知,13)3(0z z -≥, ∴152z ≥, 30153045(51)0W z z z =+-=+,当8z =时,W 有最小值为570元,即购买A 奖品8个,购买B 奖品22个,花费最少.【解析】解：(1)设A 的单价为x 元,B 的单价为y 元,根据题意,得3212054210x y x y +=⎧⎨+=⎩, ∴3015x y =⎧⎨=⎩, ∴A 的单价30元,B 的单价15元；(2)设购买A 奖品z 个,则购买B 奖品为30-z （）个,购买奖品的花费为W 元,由题意可知,13)3(0z z -≥, ∴152z ≥, 30153045(51)0W z z z =+-=+,当8z =时,W 有最小值为570元,即购买A 奖品8个,购买B 奖品22个,花费最少.【提示】(1)设A 的单价为x 元,B 的单价为y 元,根据题意列出方程组3212054210x y x y +=⎧⎨+=⎩,即可求解； (2)设购买A 奖品z 个,则购买B 奖品为(30)z -个,购买奖品的花费为W 元,根据题意得到由题意可知,13)3(0z z -≥,30153045(51)0W z z z =+-=+,根据一次函数的性质,即可求解. 【考点】二元一次方程组,不等式及一次函数解决实际问题.21.【答案】(1)一(2)图象如下所示：(3)①8②在直线平移过程中,交点个数有：0个、1个、2个三种情况, 联立4y x =和2m y x =-+并整理得：21402x mx -+=, 214404m ∆=-⨯≥时,两个函数有交点, 解得：8m ≥；(4)8m ≥【解析】解：(1),x y 都是边长,因此,都是正数,故点(),x y 在第一象限,答案为：一；(2)图象如下所示：(3)①把点(2,2)代入2m y x =-+得： 222m =-+,解得：8m =； ②在直线平移过程中,交点个数有：0个、1个、2个三种情况, 联立4y x =和2m y x =-+并整理得：21402x mx -+=, 214404m ∆=-⨯≥时,两个函数有交点, 解得：8m ≥；(4)由(3)得：8m ≥.【提示】(1),x y 都是边长,因此,都是正数,即可求解；(2)直接画出图象即可；(3)①把点()2,2代入2m y x =-+即可求解；②在直线平移过程中,交点个数有：0个、1个、2个三种情况,联立4y x=和 = 2m y x -+并整理得：21402x mx -+=,即可求解；(4)由(3)可得.【考点】反比例函数与一次函数图象的应用.22.【答案】160(2)如图2中,设BD 交AC 于点O ,BD 交PC 于点E .图2∵45PAD CAB ∠=∠=,∴PAC DAB ∠=∠,∵AB AD AC AP== ∴DAB PAC △△,∴PCA DBA ∠=∠,BD AB PC AC== ∵EOC AOB ∠=∠,∴45CEO OABB ∠=∠=,∴直线BD 与直线CP 相交所成的小角的度数为45.(3)如图3-1中,当点D 在线段PC 上时,延长AD 交BC 的延长线于H .图3-1∵CE EA =,CF FB =,∴EF AB ∥,∴45EFC ABC ∠=∠=,∵45PAO ∠=,∴PAO OFH ∠=∠,∵POA FOH ∠=∠,∴H APO ∠=∠,∵90APC ∠=,EA EC =,∴PE EA EC ==,∴EPA EAP BAH ∠=∠=∠,∴H BAH ∠=∠,∴BH BA =,∵45ADP BDC ∠=∠=,∴90ADB ∠=,∴BD AH ⊥,∴22.5DBA DBC ∠=∠=,∵90ADB ACB ∠=∠=,∴A ,D ,C ,B 四点共圆,22.5DAC DBC ∠=∠=,22.5DCA ABD ∠=∠=,∴22.5DAC DCA ∠=∠=,∴DA DC =,设AD a =,则DC AD a ==,PD ,∴2AD CP ==如图3-2中,当点P 在线段CD 上时,同法可证：DA DC =,设AD a =,则CD AD a ==, = 2PD ,图3-2∴PC a=-,∴2ADPC==+【解析】解：(1)如图1中,延长CP交BD的延长线于E,设AB交EC于点O.图1∵60PAD CAB∠=∠=,∴CAP BAD∠=∠,∵CA BA=,PA DA=,∴()SASCAP BAD≅△△,∴PC BD=,ACP ABD∠=∠,∵AOC BOE∠=∠,∴60BEO CAO∠=∠=,∴1BDPC=,线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是60,故答案为1,60.(2)如图2中,设BD交AC于点O,BD交PC于点E.图2∵45PAD CAB∠=∠=,∴PAC DAB∠=∠,∵AB AD AC AP== ∴DAB PAC △△,∴PCA DBA ∠=∠,BD AB PC AC== ∵EOC AOB ∠=∠,∴45CEO OABB ∠=∠=,∴直线BD 与直线CP 相交所成的小角的度数为45.(3)如图3-1中,当点D 在线段PC 上时,延长AD 交BC 的延长线于H .图3-1∵CE EA =,CF FB =,∴EF AB ∥,∴45EFC ABC ∠=∠=,∵45PAO ∠=,∴PAO OFH ∠=∠,∵POA FOH ∠=∠,∴H APO ∠=∠,∵90APC ∠=,EA EC =,∴PE EA EC ==,∴EPA EAP BAH ∠=∠=∠,∴H BAH ∠=∠,∴BH BA =,∵45ADP BDC ∠=∠=,∴90ADB ∠=,∴BD AH ⊥,∴22.5DBA DBC ∠=∠=,∵90ADB ACB ∠=∠=,∴A ,D ,C ,B 四点共圆,22.5DAC DBC ∠=∠=,22.5DCA ABD ∠=∠=,∴22.5DAC DCA ∠=∠=,∴DA DC =,设AD a =,则DC AD a ==,PD ,∴2AD CP ==如图3-2中,当点P 在线段CD 上时,同法可证：DA DC =,设AD a =,则CD AD a ==, = 2PD ,图3-2∴PC a =-,∴2AD PC ==+【提示】(1)如图1中,延长CP 交BD 的延长线于E ,设AB 交EC 于点O .证明()SAS CAP BAD △≌△,即可解决问题.(2)如图2中,设BD 交AC 于点O ,BD 交PC 于点E .证明△DAB ∽△P AC ,即可解决问题.(3)分两种情形：①如图3-1中,当点D 在线段PC 上时,延长AD 交BC 的延长线于H .证明AD =DC 即可解决问题.②如图3-2中,当点P 在线段CD 上时,同法可证：DA DC =解决问题.【考点】图形变换,规律探究.23.【答案】解：(1)当0x =时,1222y x =--=-,∴点C 的坐标为(0,)2-；当0y =时,1202x --=,解得：4x =-,∴点A 的坐标为()4,0-.将0()4,A -,2(0,)C -代入212y ax x c =++,得：16202a c c -+=⎧⎨=-⎩,解得：142a c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩, ∴抛物线的解析式为211242y x x =+-.(2)①∵PM x ⊥轴,∴90PMC ∠≠,∴分两种情况考虑,如图1所示.图1(i )当90MPC ∠=时,PC x ∥轴,∴点P 的纵坐标为2-.当2y =-时,2112242x x +-=-,解得：12x =-,20x =,∴点P 的坐标为(2,2)--；(ii )当90PCM ∠=时,设PC 与x 轴交于点D . ∵90OAC OCA ∠+∠=,90OCA OCD ∠+∠=, ∴OAC OCD ∠=∠.又∵90AOC COD ∠=∠=,∴AOC COD △△, ∴OD OC OC OA =,即224OD =, ∴1OD =,∴点D 的坐标为(1,0).设直线PC 的解析式为()0y kx b k =+≠,将2(0,)C -,()1,0D 代入y kx b =+,得：20b k b =-⎧⎨+=⎩,解得：22k b =⎧⎨=-⎩, ∴直线PC 的解析式为22y x =-.联立直线PC 和抛物线的解析式成方程组,得：22211242y x y x x =-⎧⎪⎨=+-⎪⎩, 解得：1102x y =⎧⎨=-⎩,22610x y =⎧⎨=⎩, 点P 的坐标为(6,10).综上所述：当PCM △是直角三角形时,点P 的坐标为(2,2)--或(6,10).②当0y =时,2112042x x +-=, 解得：14x =-,22x =,∴点B 的坐标为(2,0).∵点P 的横坐标为0()0m m m ≠＞且,∴点P 的坐标为211(,2)42m m m +-, ∴直线PB 的解析式为11(4)(4)42y m x m =+-+(可利用待定系数求出). ∵点B ,B '关于点C 对称,点B ,B ',P 到直线l 的距离都相等,∴直线l 过点C ,且直线l PB ∥直线,∴直线l 的解析式为1(4)24y m x =+-.【解析】解：(1)当0x =时,1222y x =--=-,∴点C 的坐标为(0,)2-；当0y =时,1202x --=,解得：4x =-,∴点A 的坐标为()4,0-.将0()4,A -,2(0,)C -代入212y ax x c =++,得：16202a c c -+=⎧⎨=-⎩,解得：142a c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩, ∴抛物线的解析式为211242y x x =+-.(2)①∵PM x ⊥轴,∴90PMC ∠≠,∴分两种情况考虑,如图1所示.图1(i )当90MPC ∠=时,PC x ∥轴,∴点P 的纵坐标为2-.当2y =-时,2112242x x +-=-, 解得：12x =-,20x =,∴点P 的坐标为(2,2)--；(ii )当90PCM ∠=时,设PC 与x 轴交于点D .∵90OAC OCA ∠+∠=,90OCA OCD ∠+∠=,∴OAC OCD ∠=∠.又∵90AOC COD ∠=∠=,∴AOC COD △△, ∴OD OC OC OA =,即224OD =, ∴1OD =,∴点D 的坐标为(1,0).设直线PC 的解析式为()0y kx b k =+≠,将2(0,)C -,()1,0D 代入y kx b =+,得：20b k b =-⎧⎨+=⎩,解得：22k b =⎧⎨=-⎩, ∴直线PC 的解析式为22y x =-.联立直线PC 和抛物线的解析式成方程组,得：22211242y x y x x =-⎧⎪⎨=+-⎪⎩, 解得：1102x y =⎧⎨=-⎩,22610x y =⎧⎨=⎩,点P 的坐标为(6,10).综上所述：当PCM △是直角三角形时,点P 的坐标为(2,2)--或(6,10).②当0y =时,2112042x x +-=, 解得：14x =-,22x =,∴点B 的坐标为(2,0).∵点P 的横坐标为0()0m m m ≠＞且,∴点P 的坐标为211(,2)42m m m +-, ∴直线PB 的解析式为11(4)(4)42y m x m =+-+(可利用待定系数求出). ∵点B ,B '关于点C 对称,点B ,B ',P 到直线l 的距离都相等,∴直线l 过点C ,且直线l PB ∥直线,∴直线l 的解析式为1(4)24y m x =+-.【提示】(1)利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A ,C 的坐标,根据点A ,C 的坐标,利用待定系数法可求出二次函数解析式；(2)①由PM x ⊥轴可得出90PMC ∠≠,分90MPC ∠=及90PCM ∠=两种情况考虑：(i )当90MPC ∠=时,PC x ∥轴,利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点P 的坐标；(ii )当90PCM ∠=时,设PC 与x 轴交于点D ,易证AOC COD △△,利用相似三角形的性质可求出点D 的坐标,根据点C ,D 的坐标,利用待定系数法可求出直线PC 的解析式,联立直线PC 和抛物线的解析式成方程组,通过解方程组可求出点P 的坐标.综上,此问得解；②利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点B ,P 的坐标,根据点P ,B 的坐标,利用待定系数法可求出直线PB 的解析式,结合题意可知：直线l 过点C ,且直线l PB ∥直线,再结合点C 的坐标即可求出直线l 的解析式.【考点】二次函数的图象和性质,直角三角形的性质,相似三角形的判定和性质,中位线定理,一次函数的性质,分类讨论思想.。
2019年河南省中考数学试卷及答案(Word解析版)
2019年河南省初中学业水平暨高级中等学校招生考试试卷数 学注意事项：1. 本试卷共8页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟，请用蓝、黑色水笔或圆珠笔直接答在试卷上。
参考公式：二次函数图像2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标为24(,)24b ac b a a-- 一、选择题（每小题3分，共24分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填在题后括号内。
1、-2的相反数是【】（A ）2 (B)2-- (C)12 (D)12- 【解析】根据相反数的定义可知：-2的相反数为2【答案】A2、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是【】【解析】轴对称是指在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形。
中心对称图形是指平面内，如果把一个图形绕某个点旋转180°后，能与自身重合，那么就说这两个图形关于这个点成中心对称。
结合定义可知，答案是D【答案】D3、方程(2)(3)0x x -+=的解是【】（A ）2x = （B ）3x =- （C ）122,3x x =-= （D ）122,3x x ==-【解析】由题可知：20x -=或者30x +=，可以得到：122,3x x ==-【答案】D4、在一次体育测试中，小芳所在小组8个人的成绩分别是：46，47，48，48，49，49，49，50.则这8个人体育成绩的中位数是【】（A ） 47 （B ）48 （C ）48.5 （D ）49【解析】中位数是将数据按照从小到大的顺序排列，其中间的一个数或中间两个数的平均数就是这组数的中位数。
本题的8个数据已经按照从小到大的顺序排列了，其中间的两个数是48和49，它们的平均数是48.5。
因此中位数是48.5【答案】C5、如图是正方形的一种张开图，其中每个面上都标有一个数字。
那么在原正方形中，与数字“2”相对的面上的数字是【】（A ）1 （B ）4 （C ）5 （D ）6【解析】将正方形重新还原后可知：“2”与“4”对应，“3”与“5”对应，“1”与“6”对应。
2019年河南省中考真题数学试题(附答案解析)
三、解答题（本大题共8小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．先化简，再求值：
，其中
.
17．如图，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，以AB为直径的半圆O交AC于点D，点E是 BD
上不与点B,D重合的任意一点，连接AE交BD于点F，连接BE并延长交AC于点C.
⑴求证：△ADF ≌ △BDG ；
∴EO⊥AC，∴EB是AC的垂直平分线，∴AB=BC=3.
在Rt△ABM中，∠AMB=90°，AM=AD-MD=1，
∴BM= AB2 AM 2 32 12 2 2 ，
∴CD= 2 2.故选A.
10.【答案】D
【解析】由A、B两点的坐标可知线段AB的长度和它与x轴的关系，由正方形的性质可知AD=AB， 延长DA交x轴于点M,则DA⊥x轴，Rt△DMO中，MO=3,DM=10，将△OAB和正方形ABCD绕点O每 次顺时针旋转90°，Rt△DMO也同步绕点O每次顺时针旋转90°，点D的落点坐标可由Rt△DMO的旋 转得到。仔细观察图形得到点D坐标的变化规律，每旋转四次完成一个循环，从而可得到第70次旋 转后的坐标。
（A） 46×10-7 （B） 4.6×10-7 （C）4.6×10-6 （D）0.46×10-5
3．如图，AB∥CD，∠B=75°，∠E=27°，则∠D的度数为
（A）45° （B）48° （C）50° （D）58°
4．下列计算正确的是（
）
A. 2a 3a 6a
B. (3a)2 6a2
C. (x y)2 x2 y2
b.七年级成绩在70≤x＜80这一组的是： 70 72 74 75 76 76 77 77 77 78 79 c.七、八年级成绩的平均数、中位数如下：
2019年河南省中考数学试卷及答案
2019年河南省普通高中招生考试数学(满分120分,考试时间100分钟)一、选择题(每小题3分,共30分)1.-12的绝对值是()A.-12B.12C.2D.-22.成人每天维生素D的摄入量约为0.000 004 6克.数据“0.000 004 6”用科学记数法表示为()A.46×10-7B.4.6×10-7C.4.6×10-6D.0.46×10-53.如图,AB∥CD,∠B=75°,∠E=27°,则∠D的度数为()A.45°B.48°C.50°D.58°4.下列计算正确的是()A.2a+3a=6aB.(-3a)2=6a2C.(x-y)2=x2-y2D.3√2-√2=2√25.如图(1)是由大小相同的小正方体搭成的几何体,将上层的小正方体平移后得到图(2).关于平移前后几何体的三视图,下列说法正确的是()图(1)图(2)A.主视图相同B.左视图相同C.俯视图相同D.三种视图都不相同6.一元二次方程(x+1)(x-1)=2x+3的根的情况是()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根7.某超市销售A,B,C,D四种矿泉水,它们的单价依次是5元、3元、2元、1元.某天的销售情况如图所示,则这天销售的矿泉水的平均单价是() A.1.95元 B.2.15元C.2.25元D.2.75元8.已知抛物线y=-x 2+bx+4经过(-2,n )和(4,n )两点,则n 的值为 ( )A.-2B.-4C.2D.49.如图,在四边形ABCD 中,AD ∥BC ,∠D=90°,AD=4,BC=3.分别以点A ,C 为圆心、大于12AC 的长为半径作弧,两弧交于点E ,作射线BE 交AD 于点F ,交AC 于点O.若点O 是AC 的中点,则CD 的长为( )A.2√2B.4C.3D.√10(第9题) (第10题)10.如图,在△OAB 中,顶点O (0,0),A (-3,4),B (3,4).将△OAB 与正方形ABCD 组成的图形绕点O 顺时针旋转,每次旋转90°,则第70次旋转结束时,点D 的坐标为 ( )A.(10,3)B.(-3,10)C.(10,-3)D.(3,-10)二、填空题(每小题3分,共15分) 11.计算:√4-2-1= .12.不等式组{x2≤-1,-x +7>4的解集是 .13.现有两个不透明的袋子,一个装有2个红球、1个白球,另一个装有1个黄球、2个红球,这些球除颜色外完全相同.从两个袋子中各随机摸出1个球,摸出的2个球颜色相同的概率是 .14.如图,在扇形AOB 中,∠AOB=120°,半径OC 交弦AB 于点D ,且OC ⊥OA.若OA=2√3,则阴影部分的面积为 .(第14题)(第15题)15.如图,在矩形ABCD 中,AB=1,BC=a ,点E 在边BC 上,且BE=35a.连接AE ,将△ABE 沿AE 折叠,若点B 的对应点B'落在矩形ABCD 的边上,则a 的值为 . 三、解答题(本大题共8个小题,满分75分) 16.(8分)先化简,再求值:(x+1x -2-1)÷x 2-2xx 2-4x+4,其中x=√3.⏜上不与点B,D重合的任意17.(9分)如图,在△ABC中,BA=BC,∠ABC=90°,以AB为直径的半圆O交AC于点D,点E是BD一点,连接AE交BD于点F,连接BE并延长交AC于点G.(1)求证:△ADF≌△BDG;(2)填空:⏜的中点,则DF的长为;①若AB=4,且点E是BD⏜的中点H,连接EH,OH,当∠EAB的度数为时,四边形OBEH为菱形.②取AE18.(9分)某校为了解七、八年级学生对“防溺水”安全知识的掌握情况,从七、八年级各随机抽取50名学生进行测试,并对成绩(百分制)进行整理、描述和分析.部分信息如下:a.七年级成绩频数分布直方图:b.七年级成绩在70≤x<80这一组的是:7072747576767777777879c.七、八年级成绩的平均数、中位数(单位:分)如下:年级平均数中位数七76.9m八79.279.5根据以上信息,回答下列问题:(1)在这次测试中,七年级在80分以上(含80分)的有人;(2)表中m的值为;(3)在这次测试中,七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是78分,请判断两位学生在各自年级的排名谁更靠前,并说明理由;(4)该校七年级学生有400人,假设全部参加此次测试,请估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数.19.(9分)数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像(塑像中高者)的高度.如图所示,炎帝塑像DE在高55 m的小山EC上,在A处测得塑像底部E的仰角为34°,再沿AC方向前进21 m到达B处,测得塑像顶部D的仰角为60°,求炎帝塑像DE的高度.(精确到1 m.参考数据:sin 34°≈0.56,cos 34°≈0.83,tan 34°≈0.67,√3≈1.73)20.(9分)学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品.已知购买3个A奖品和2个B奖品共需120元;购买5个A 奖品和4个B奖品共需210元.(1)求A,B两种奖品的单价;(2)学校准备购买A,B两种奖品共30个,且A奖品的数量不少于B奖品数量的1.请设计出最省钱的购买方案,并说明理3由.21.(10分)模具厂计划生产面积为4,周长为m 的矩形模具.对于m 的取值范围,小亮已经能用“代数”的方法解决,现在他又尝试从“图形”的角度进行探究,过程如下: (1)建立函数模型设矩形相邻两边的长分别为x ,y ,由矩形的面积为4,得xy=4,即y=4x;由周长为m ,得2(x+y )=m ,即y=-x+m 2.满足要求的(x ,y )应是两个函数图象在第 象限内交点的坐标. (2)画出函数图象函数y=4x (x>0)的图象如图所示,函数y=-x+m2的图象可由直线y=-x 平移得到.请在同一直角坐标系中直接画出直线y=-x.(3)平移直线y=-x ,观察函数图象①当直线平移到与函数y=4x (x>0)的图象有唯一交点(2,2)时,周长m 的值为 ; ②在直线平移过程中,交点个数还有哪些情况?请写出交点个数及对应的周长m 的取值范围.(4)得出结论若能生产出面积为4的矩形模具,则周长m 的取值范围为 .22.(10分)在△ABC中,CA=CB,∠ACB=α.点P是平面内不与点A,C重合的任意一点,连接AP,将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP,连接AD,BD,CP.(1)观察猜想的值是,直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是.如图(1),当α=60°时,BDCP(2)类比探究的值及直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数,并就图(2)的情形说明理由.当α=90°时,请写出BDCP(3)解决问题的值.当α=90°时,若点E,F分别是CA,CB的中点,点P在直线EF上,请直接写出点C,P,D在同一直线上时ADCP图(1)图(2)备用图23.(11分)如图,抛物线y=ax 2+12x+c 交x 轴于A ,B 两点,交y 轴于点C.直线y=-12x-2经过点A ,C. (1)求抛物线的解析式;(2)点P 是抛物线上一动点,过点P 作x 轴的垂线,交直线AC 于点M ,设点P 的横坐标为m.①连接PC ,当△PCM 是直角三角形时,求点P 的坐标;②作点B 关于点C 的对称点B',则平面内存在直线l ,使点M ,B ,B'到该直线的距离都相等,当点P 在y 轴右侧的抛物线上,且与点B 不重合时,请直接写出直线l :y=kx+b 的解析式.(k ,b 可用含m 的式子表示)2019年河南省普通高中招生考试1.B【解析】根据负数的绝对值等于它的相反数,可知|-12|=12.2.C【解析】0.000 004 6=4.6×10-6,故选C.3.B【素养落地】本题考查平行线的性质,体现了逻辑推理的核心素养.【解析】如图,∵AB∥CD,∴∠1=∠B=75°,又∵∠1=∠D+∠E,∴∠D=∠1-∠E=75°-27°=48°,故选B.4.D【素养落地】本题考查了整式的运算、二次根式的运算,体现了数学运算的核心素养.【解析】2a+3a=(2+3)a=5a,故A项错误;(-3a)2=(-3)2a2=9a2,故B项错误;(x-y)2=x2-2xy+y2,故C项错误;3√2-√2=2√2,故D项正确.5.C【素养落地】本题考查几何体的三视图,体现了直观想象的核心素养.【解析】根据俯视图的定义,可知平移前后几何体的俯视图相同,均如图所示,故选C.6.A【解析】把该方程变形为一般形式,为x2-2x-4=0,由一元二次方程根的判别式Δ=b2-4ac=(-2)2-4×1×(-4)=20>0,可知该方程有两个不相等的实数根.故选A.7.C【素养落地】本题考查扇形统计图的识图能力及平均数的求解方法,体现了数据分析的核心素养.【解析】5×10%+3×15%+2×55%+1×20%=2.25(元),故这天销售的矿泉水的平均单价为2.25元.8.B【素养落地】本题考查二次函数的图象与性质,体现了逻辑推理的核心素养.【解析】根据该抛物线经过(-2,n)和(4,n)两点,可知这条抛物线的对称轴是直线x=-2+42=1,∴-b-2=1,解得b=2,∴该抛物线的解析式为y=-x2+2x+4,把x=4或x=-2代入,得y=-4,即n=-4.9.A【素养落地】本题考查尺规作图、垂直平分线的判定与性质、勾股定理等,体现了逻辑推理的核心素养.【解析】由作图可知,点E在线段AC的垂直平分线上,又点O是AC的中点,∴直线BE是线段AC的垂直平分线,∴AB=BC=3.过点B作BM⊥AD于点M,则四边形BMDC为矩形,∴BM=CD,DM=BC=3,∴AM=1.根据勾股定理,可得BM=√AB2-AM2=√32-12=2√2,即CD=2√2.故选A.10.D【素养落地】本题考查旋转的性质,体现了直观想象、逻辑推理的核心素养.【解析】根据题意,易知在旋转过程中,组合图形每4次一循环,而70÷4=17……2,∴第70次旋转结束时,组合图形的位置如图所示,延长DA交x轴于点E,易知AE⊥x轴,则OE=3,AE=4,∴AD=AB=2OE=6,∴DE=AD+AE=10,故点D的坐标为(3,-10),故选D.11.32【解析】原式=2-12=32.12.x≤-2【素养落地】本题考查不等式组的解法,体现了数学运算的核心素养.【解析】解不等式x2≤-1,得x≤-2,解不等式-x+7>4,得x<3,故不等式组的解集为x≤-2.【素养落地】本题考查用列举法求事件的概率,体现了数据分析的核心素养.13.49【解析】根据题意列表如下:红1红2白黄(红1,黄)(红2,黄)(白,黄)红3(红1,红3)(红2,红3)(白,红3)红4(红1,红4)(红2,红4)(白,红4).由表格可知,共有9种等可能的结果,其中摸出的2个球颜色相同的结果有4种,故所求概率为4914.π+√3【素养落地】本题考查不规则图形面积的计算,体现了逻辑推理、数学运算的核心素养.【解析】∵OA=OB,∠AOB=120°,∴∠OAB=∠OBA=30°.∵OC⊥OA,∴∠BOC=120°-90°=30°=∠OBA,∴OD=BD.如图,过点O作OE⊥AB于点E,在Rt△AOE中,OE=OA·sin∠OAE=2√3×sin 30°=√3.在Rt△AOD中,OD=OA·tan∠OAD=2√3×tan30°=2,∴BD=2,∴S阴影=S△AOD+S扇形OBC-S△OBD=12×2√3×2+30π×(2√3)2360-12×2×√3=π+√3.15.53或√53【素养落地】本题考查折叠的性质及分类讨论思想,体现了逻辑推理、直观想象的核心素养.【解析】分两种情况讨论:①当点B'落在边AD上时,如图(1),则四边形ABEB'是正方形,∴BE=AB=1,即35a=1,∴a=53;②当点B'落在边CD上时,如图(2),易证△ECB'∽△B'DA,∴ECB'D =EB'B'A,即25aB'D=35a1,∴B'D=23,∴a=AD=√B'A2-B'D2=√12-(23)2=√53.综上可知,a的值为53或√53.图(1)图(2)16.【素养落地】本题考查了分式的化简求值,体现了数学运算的核心素养.【参考答案及评分标准】原式=x+1−x+2x-2·(x-2)2x(x-2)=3 x-2·x-2x(4分)=3x.(6分)当x=√3时,原式=3√3=√3.(8分) 17.【素养落地】本题以圆为背景,考查了圆的相关性质、全等三角形的判定与性质、菱形的性质等,体现了逻辑推理的核心素养.【参考答案及评分标准】(1)证明:∵BA=BC,∠ABC=90°,∴∠CAB=∠C=45°.∵AB为半圆O的直径,∴∠ADF=∠BDG=90°,∴∠DBA=∠DAB=45°,∴AD=BD.(3分)∵∠DAF和∠DBG都是DE⏜所对的圆周角,∴∠DAF=∠DBG,∴△ADF≌△BDG.(5分)(2)①4-2√2(7分)②30°(9分)解法提示:①∵AB为半圆O的直径,∴∠AEB=90°,∴AE⊥BG.∴∠AEG=90°.∵点E是BD⏜的中点,∴∠GAE=∠BAE,又AE=AE,∴△AEB≌△AEG,∴AG=AB=4.=2√2,在Rt△ABD中,AD=AB·cos∠DAB=4×√22∴DG=AG-AD=4-2√2.由(1)知△ADF≌△BDG,∴DF=DG=4-2√2.②连接OE,∵四边形OBEH是菱形,∴OB=BE,又OB=OE,∴△OBE是等边三角形,∴∠EOB=60°,∴∠EAB=30°.18.【素养落地】本题以实际生活中的材料为背景,考查了频数分布直方图、平均数、中位数、用样本估计总体等知识,体现了数据分析的核心素养.【参考答案及评分标准】(1)23 (2分)解法提示:由七年级成绩频数分布直方图可知,80分以上(含80分)的有15+8=23(人).(2)77.5 (4分)=77.5.解法提示:77+782(3)七年级学生甲在本年级的排名更靠前.(5分)理由:七年级学生甲的成绩大于七年级抽测成绩的中位数,而八年级学生乙的成绩小于八年级抽测成绩的中位数.(6分) =224(人).(4)400×8+15+550答:估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数为224人.(9分) 19.【素养落地】本题以实际生活为背景,考查解直角三角形的实际应用,体现了逻辑推理、数学抽象、数学建模的核心素养.【参考答案及评分标准】在Rt△ACE中,∵∠A=34°,CE=55,∴AC=CE tan34°≈550.67≈82.1, ∴BC=AC -AB=82.1-21=61.1.(4分)在Rt △BCD 中,∵∠CBD=60°,∴CD=BC ·tan 60°≈61.1×1.73≈105.7, (7分)∴DE=CD -CE=105.7-55≈51.故炎帝塑像DE 的高度约为51 m .(9分)20.【素养落地】 本题材料来源于生活,通过构建一次函数、方程组、不等式模型解决实际问题,体现了数学抽象、数学建模、数学运算的核心素养.【参考答案及评分标准】 (1)设A 奖品的单价为x 元,B 奖品的单价为y 元,(1分)根据题意,得{3x +2y =120,5x +4y =210,解得{x =30,y =15.故A 奖品的单价为30元,B 奖品的单价为15元. (4分) (2)最省钱的购买方案:A 奖品8个,B 奖品22个.(5分)理由:设购买A 奖品a 个,则购买B 奖品(30-a )个,共需w 元, 根据题意,得w=30a+15(30-a )=15a+450.(6分)∵15>0,∴当a 取最小值时,w 取最小值. ∵a ≥13(30-a ),∴a≥7.5,又a为正整数,∴当a=8时,w取得最小值.30-8=22.故当购买A奖品8个,B奖品22个时最省钱.(9分)21.【参考答案及评分标准】(1)一(1分) (2)画直线y=-x如图所示:(3分)(3)①8 (4分)②直线与函数y=4(x>0)的图象交点还有两种情况:x当有0个交点时,周长m的取值范围是0<m<8;当有2个交点时,周长m的取值范围是m>8.(8分) (4)m≥8 (10分) 22.【素养落地】本题是几何图形的类比探究题,主要考查了等腰三角形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及分类讨论思想的运用等,体现了逻辑推理、直观想象的核心素养.【解题思路】(1)利用“SAS”证得△ACP≌△ABD,可得CP=BD,∠ACP=∠ABD,继而可得直线BD与直线CP相交所成的较小角等于∠BAC.(2)根据(1)中的思路,可以证明△DAB∽△PAC,直线BD与直线CP相交所成的较小角仍然等于∠BAC.(3)分点P在线段CD上和点P在线段CD延长线上两种情况进行讨论即可.【参考答案及评分标准】(1)160°(2分)解法提示:∵AC=BC,∠ACB=60°,∴△ABC是等边三角形,∴∠CAB=60°,AC=AB.由旋转可得∠APD=60°,AP=PD,∴△APD是等边三角形,∴∠PAD=60°=∠CAB,AP=AD,∴∠CAP=∠BAD,图(1)∴△ACP≌△ABD,∴CP=BD,∠ACP=∠ABD,∴BDCP=1.如图(1),延长CP,BD交于点M,CM与AB交于点N,在△ANC和△BNM中,∠ACN=∠MBN,∠CNA=∠BNM,∴∠M=∠CAN=60°.(2)BDCP=√2,直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数为45°.(4分)理由如下:∵∠ACB=90°,CA=CB,∴∠CAB=45°,ABAC=√2.同理可得∠PAD=45°,ADAP=√2,∴ABAC =ADAP,∠CAB=∠PAD,∴∠CAB+∠DAC=∠PAD+∠DAC,即∠DAB=∠PAC,∴△DAB∽△PAC,(6分)∴BDCP =ABAC=√2,∠DBA=∠PCA.设BD交CP于点G,交CA于点H.∵∠BHA=∠CHG,∴∠CGH=∠BAH=45°.(8分)(3)ADCP的值为2+√2或2-√2.(10分)解法提示:分两种情况.①如图(2),当点P在线段CD上时,AP⊥CD.可设CP=a,则BD=√2a.设CD与AB交于点Q,则PQ=CP=a.可证∠DQB=∠DBQ=67.5°,则DQ=BD=√2a,易得AD=√2PD=2a+√2a,∴ADCP=2+√2.图(2)图(3)②如图(3),当点P在CD延长线上时,可设AP=DP=b,则AD=√2b.易得EF∥AB,∴∠PEA=∠CAB=45°,可证∠ECD=∠EAD=22.5°,∴CD=AD=√2b,∴CP=√2b+b,∴ADCP=2-√2.23.【解题思路】 (1)根据直线AC 的解析式求出点A ,C 的坐标,再分别代入抛物线的解析式,联立成方程组求解即可.(2)①由△PCM 是直角三角形,∠CMP<90°,可知分∠PCM=90°和∠MPC=90°两种情况进行讨论,据此求解即可;②易知满足条件的直线l 即为△MBB'的三条中位线所在的直线,故先求出点B ,B',M 的坐标,再求出线段BM ,B'M 的中点坐标,即可求得直线l 的解析式.【参考答案及评分标准】 (1)∵直线y=-12x-2经过点A ,C , ∴A (-4,0),C (0,-2).∵抛物线y=ax 2+12x+c 经过点A ,C , ∴{0=16a -2+c,-2=c,解得{a =14,c =−2.故抛物线的解析式为y=14x 2+12x-2. (3分)(2)①∵点P 的横坐标为m ,∴点P 的坐标为(m ,14m 2+12m-2). 当△PCM 是直角三角形时,因∠PMC<90°,故分以下两种情况讨论. (i )当∠CPM=90°时,PC ∥x 轴,则14m 2+12m-2=-2, 解得m 1=0(舍去),m 2=-2.∴点P 的坐标为(-2,-2). (5分)(ii)方法一:当∠PCM=90°时,如图,过点P作PN⊥y轴于点N,∴∠CNP=∠AOC=90°.∵∠NCP+∠ACO=∠OAC+∠ACO=90°,∴∠NCP=∠OAC,∴△CNP∽△AOC,∴CNAO =PN CO.∵C(0,-2),N(0,14m2+12m-2),∴CN=14m2+12m,∴14m2+12m4=m2,解得m3=0(舍去),m4=6.当m=6时,14m2+12m-2=10,∴点P的坐标为(6,10).方法二:当∠PCM=90°时,PC⊥AC,易得直线PC的解析式为y=2x-2,令2x-2=14x2+12x-2,解得x1=0(舍去),x2=6,∴x P=6,∴y P=10,∴点P的坐标为(6,10).综上所述,点P的坐标为(-2,-2)或(6,10).(8分)②直线l的解析式为y=x-34m-2,y=-m+42m-4x-2或y=4−m2m+4x-2.(11分)解法提示:易得B (2,0),M (m ,-12m-2). ∵点B 和点B'关于点C (0,-2)对称, ∴由中点坐标公式可得B'(-2,-4).连接MB ,取MB 的中点Q ,则Q (m+22,-14m-1). 连接MB',取MB'的中点G ,则G (m -22,-14m-3). ∵点B ,B',M 到直线l 的距离相等, ∴直线l 是△MBB'的中位线所在的直线.(i )当直线l 过点C (0,-2)和Q (m+22,-14m-1)时,b=-2, 将Q (m+22,-14m-1)代入y=kx-2, 得-14m-1=k ×m+22-2, 解得k=4−m 2m+4,故直线l 的解析式为y=4−m 2m+4x-2.(ii )当直线l 过点C (0,-2)和G (m -22,-14m-3)时,b=-2, 将G (m -22,-14m-3)代入y=kx-2, 得-14m-3=k ×m -22-2, 解得k=-m+42m -4, 故直线l 的解析式为y=-m+42m -4x-2. (iii )当直线l 过点Q (m+22,-14m-1)和G (m -22,-14m-3)时, 有{k ×m+22+b =−14m -1,k ×m -22+b =−14m -3,解得{b =−34m -2,k =1.故直线l 的解析式为y=x-34m-2. 综上所述,直线l 的解析式为y=4−m 2m+4x-2,y=-m+42m -4x-2或y=x-34m-2.。
2019年河南省中考数学试卷及试卷解析
河南省2019年中考数学试题班级______ 姓名______一． 选择题： 1. 的绝对值是（ ） A.B.C. 2D.2. 成人每天维生素D 的摄入量约为0.0000046克，数据“0.0000046”用科学记数法表示为（ ） A. B.C.D.3. 如图，,则的度数为（）A. 45°B. 48°C. 50°D. 58°4. 下列计算正确的是（ ） A. B.C.D.5. 如图①是由大小相同的小正方体搭成的几何体，将上层的小正方体平移后得到图②. 关于平移后几何体的三视图，下列说法正确的是（ ）A. 主视图相同B. 左视图相同C. 俯视图相同D. 三种视图都不相同 6. 一元二次方程的根的情况是（ ）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C. 只有一个实数根D. 没有实数根正面1图图27. 某超市销售A ，B ，C ，D 四种矿泉水，它们的单价依次是5元，3元，2元，1元. 某天的销售情况如图所示，则这天销售的矿泉水的平均单价（ ）A. 1.95 元B. 2.15元C. 2.25元D. 2.75元8.已知抛物线经过（-2，n ）和（4，n ）两点，则n 的值为（ ）A. -2B. -4C. 2D. 49. 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠D=90°，AD=4，BC=3，分别以A ，C 为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点E ，作射线BE 交AD 于点F ，交AC 于点O ，若点O 是AC 的中点，则CD 的长为（ ） A.B. 4C. 3D.10. 如图，在△OAB 中，顶点O （0，0），A （-3，4），B （3，4），将△OAB 与正方形ABCD 组成的图形绕点O 顺时针旋转，每次旋转90°，则第70次旋转结束时，点D 的坐标为（ ）A. (10,3)B. (-3,10)C. (10,-3)D. (3,-10) 二． 填空题 11. 计算：=___________12. 不等式组的解集是_________________13. 现有两个不透明的袋子，一个装有2个红球、1个白球，另一个装有1个黄球2个红球，这些球除颜色外完全相同。
2019年河南省中招考试数学试卷及答案（解析版）
2019年河南省中招考试数学试卷及答案（解析版）2019年河南省中招考试数学试卷及答案解析⼀、选择题（每⼩题3分，共24分）1.下列各数中，最⼩的数是（）(A). 0 (B).13(C).-13(D).-3答案：D解析：根据有理数的⼤⼩⽐较法则（正数都⼤于0，负数都⼩于0，正数都⼤于负数，两个负数，其绝对值⼤的反⽽⼩）⽐较即可．解：∵﹣3＜-13＜0＜13，∴最⼩的数是﹣3，故选A．2. 据统计，2013年河南省旅游业总收⼊达到3875.5亿元.若将3875.5亿⽤科学计数法表⽰为3.8755×10n，则n等于（）（A) 10 （B) 11 (C).12 (D).13答案：B解析：科学记数法的表⽰形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表⽰时关键要正确确定a的值以及n的值．3875.5亿=3.8755×1011，故选B.3.如图，直线AB、CD相交于O，射线OM平分∠AOC,ON⊥OM,若∠AOM =350，则∠CON的度数为（）(A) .350 (B). 450 (C) .550（D). 650答案：C解析：根据⾓的平分线的性质及直⾓的性质，即可求解．∠CON=900-350=550,故选C.4.下列各式计算正确的是（）（A）a +2a =3a2（B）（-a3)2=a6(C）a3·a2=a6（D）（a＋b）2=a2 + b2答案：B解析：根据同底数幂的乘法；幂的乘⽅；完全平⽅公式；同类项加法即可求得；（-a3)2=a6计算正确，故选B5.下列说法中，正确的是（）（A）“打开电视，正在播放河南新闻节⽬”是必然事件（B）某种彩票中奖概率为10％是指买⼗张⼀定有⼀张中奖（C）神州飞船发射前需要对零部件进⾏抽样检查（D）了解某种节能灯的使⽤寿命适合抽样调查答案：D解析：根据统计学知识；（A）“打开电视，正在播放河南新闻节⽬”是随机事件，（A）错误。
2019年河南省中考数学试题、答案(解析版)(可编辑修改word版)
2 2019 年河南省中考数学试题、答案（解析版）本试卷满分 120 分,考试时间 100 分钟.第Ⅰ卷(选择题 共 30 分)一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1. - 1的绝对值是( )2A. - 12B. 1 2C. 2D. -22. 成人每天维生素 D 的摄入量约为 0.000 004 6 克.数据“0.000 004 6”用科学记数法表示为()A . 46 ⨯10-7B . 4.6 ⨯10-7C . 4.6 ⨯10-6D . 0.46 ⨯10-53.如图, AB ∥CD , ∠B = 75 , ∠E = 27 ,则∠D 的度数为()A . 45B . 48C . 50D . 584. 下列计算正确的是()A . 2a + 3a = 6aB . (-3a )2 = 6a 2C . (x - y )2 = x 2 - y 2D . 3 - = 25. 如图 1 是由大小相同的小正方体搭成的几何体,将上层的小正方体平移后得到图 2.关于平移前后几何体的三视图,下列说法正确的是( )A. 主视图相同B .左视图相同C .俯视图相同D .三种视图都不相同图 1 图 26. 一元二次方程(x + 1)(x -1) = 2x + 3 的根的情况是( )A. 有两个不相等的实数根B .有两个相等的实数根C .只有一个实数根D .没有实数根7. 某超市销售 A ,B ,C ,D 四种矿泉水,它们的单价依次是 5 元、3 元、2 元、1 元.某天的销售情况如图所示,则这天销售的矿泉水的平均单价是( )A .1.95 元2 24⎨B .2.15 元C.2.25 元D.2.75 元8.已知抛物线y =-x2+bx + 4 经过(-2, n) 和(4, n) 两点,则n 的值为( )A.-2B.-4C.2D.49.如图,在四边形ABCD 中, AD∥BC ,∠D = 90 ,AD = 4 ,BC = 3 .分别以点A,C 为圆心,大于1AC 长为半径作弧,两弧交2于点E,作射线BE 交AD 于点F,交AC 于点O.若点O 是AC 的中点,则CD 的长为( )A.2B.4C.3D.10.如图,在△OAB 中,顶点O(0, 0) ,A(-3, 4) ,B(3, 4) .将△OAB 与正方形ABCD 组成的图形绕点O 顺时针旋转,每次旋转90 ,则第70 次旋转结束时,点D 的坐标为( )A. (10,3)B. (-3,10)C. (10, -3)D. (3, -10)第Ⅱ卷(非选择题共90 分)二、填空题(本大题共5 小题,每小题3 分,共15 分.把答案填写在题中的横线上)11.计算：- 2-1=.⎧x≤-1,12.不等式组⎪2⎪⎩-x+7＞4的解集是.13.现有两个不透明的袋子,一个装有2 个红球、1 个白球,另一个装有1 个黄球、2 个红球,这些球除颜色外完全相同.从两个袋子中各随机摸出1 个球,摸出的两个球颜色相同的概率是.14.如图,在扇形AOB 中, ∠AOB =120 ,半径OC 交弦AB 于点D,且OC ⊥OA .若OA = 2 ,则阴影部分的面积为.21033 15. 如图,在矩形 ABCD 中, AB = 1 , BC = a ,点 E 在边 BC 上,且 BE =3.连接 AE ,将△ABE 沿 AE 折叠,若点 B 的对应点 B '5落在矩形 ABCD 的边上,则 a 的值为.三、解答题(本大题共 8 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(本小题满分 8 分)先化简,再求值： ( x + 1 x - 2 -1) ÷x 2 - 2x x 2 - 4x + 4,其中 x = .17.(本小题满分 9 分)如图,在△ABC 中, BA = BC , ∠ABC = 90 .以 AB 为直径的半圆 O 交 AC 于点 D ,点 E 是 B D 上不与点 B ,D 重合的任意一点,连接 AE 交 BD 于点 F ,连接 BE 并延长交 AC 于点 G .(1) 求证： △ADF ≅ △BDG ；(2) 填空：①若 AB = 4 ,且点 E 是 B D 的中点,则 DF 的长为 ；②取 AE 的中点 H ,当∠EAB 的度数为时,四边形 OBEH 为菱形.18.(本小题满分 9 分)某校为了解七、八年级学生对“防溺水”安全知识的掌握情况,从七、八年级各随机抽取 50 名学生进行测试,并对成绩 (百分制)进行整理、描述和分析.部分信息如下：a. 七年级成绩频数分布直方图：3b. 七年级成绩在70≤x ＜80 这一组的是：70 72 74 75 76 76 77 77 77 78 79c. 七、八年级成绩的平均数、中位数如下：年级平均数 中位数 七 76.9 m 八79.279.5根据以上信息,回答下列问题：(1) 在这次测试中,七年级在 80 分以上(含 80 分)的有人；(2) 表中 m 的值为；(3) 在这次测试中,七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是 78 分,请判断两位学生在各自年级的排名谁更靠前,并说明理由；(4) 该校七年级学生有 400 人,假设全部参加此次测试,请估计七年级成绩超过平均数 76.9 分的人数.19.(本小题满分 9 分)数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像(塑像中高者)的高度.如图所示,炎帝塑像 DE 在高 55 m 的小山 EC 上,在A 处测得塑像底部 E 的仰角为34 ,再沿 AC 方向前进 21 m 到达 B 处,测得塑像顶部 D 的仰角为60 ,求炎帝塑像 DE 的高 度.(精确到 1 m .参考数据： sin34 ≈ 0.56 , cos34 = 0.83 , tan34 ≈ 0.67 , ≈ 1.73 )20.(本小题满分 9 分)学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品.已知购买 3 个 A 奖品和 2 个 B 奖品共需 120 元；购买 5 个 A 奖品和 4个B 奖品共需210 元. (1)求A,B 两种奖品的单价；(2)学校准备购买A,B 两种奖品共30 个,且A 奖品的数量不少于B1奖品数量的 .请设计出最省钱的购买方案,并说明理由.321.(本小题满分10 分)模具厂计划生产面积为4,周长为m 的矩形模具.对于m 的取值范围,小亮已经能用“代数”的方法解决,现在他又尝试从“图形”的角度进行探究,过程如下：(1)建立函数模型设矩形相邻两边的长分别为x ,y .由矩形的面积为4,得xy = 4 ,即y =4；由周长为m ,得2(x +y) =m ,即y =-x +m.满x 2 足要求的(x, y) 应是两个函数图象在第象限内交点的坐标；(2)画出函数图象函数y =4(x＞0) 的图象如图所示,而函数y =-x +m的图象可由直线y =-x 平移得到.请在同一直角坐标系中直接画出x 2直线y =-x ；(3)平移直线y =-x ,观察函数图象①当直线平移到与函数y =4(x＞0) 的图象有唯一交点(2, 2) 时,周长m 的值为；x②在直线平移过程中,交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长m 的取值范围.(4)得出结论若能生产出面积为4 的矩形模具,则周长m 的取值范围为.22.(本小题满分10 分)在△ABC 中,CA =CB ,∠ACB =.点P 是平面内不与点A,C 重合的任意一点,连接AP,将线段AP 绕点P 逆时针旋转得到线段DP,连接AD,BD,CP.(1) 观察猜想如图 1,当= 60 时, BD的值是,直线 BD 与直线 CP 相交所成的较小角的度数是；CP(2) 类比探究如图 2,当= 90 时,请写出 BD的值及直线 BD 与直线 CP 相交所成的小角的度数,并就图 2 的情形说明理由；CP(3) 解决问题当= 90 时,若点 E ,F 分别是 CA ,CB 的中点,点 P 在直线 EF 上,请直接写出点 C ,P ,D 在同一直线上时 AD的值.CP图 1图 2备用图23.(本小题满分 11 分)如图,抛物线 y = ax 2 + 1 x + c 交 x 轴于 A ,B 两点,交 y 轴于点 C .直线 y = - 1x - 2 经过点 A ,C .2 2(1) 求抛物线的解析式；(2) 点 P 是抛物线上一动点,过点 P 作 x 轴的垂线,交直线 AC 于点 M ,设点 P 的横坐标为 m .①当△PCM 是直角三角形时,求点 P 的坐标；②作点 B 关于点 C 的对称点 B ' ,则平面内存在直线 l ,使点 M ,B , B '到该直线的距离都相等.当点 P 在 y 轴右侧的抛物线上, 且与点 B 不重合时,请直接写出直线 l ： y = kx + b 的解析式.(k ,b 可用含 m 的式子表示)备用图2 河南省 2019 年普通高中招生考试数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题1. 【答案】B【解析】解： | - 1 |= 1,故选：B .2 2【提示】根据一个负数的绝对值是它的相反数进行解答即可.【考点】绝对值的概念.2. 【答案】C【解析】解： 0.000 004 6 = 4.6 ⨯10-6 .【提示】本题用科学记数法的知识即可解答.【考点】科学记数法.3. 【答案】B【解析】解：∵ AB ∥CD ,∴ ∠B = ∠1 ,∵ ∠1 = ∠D + ∠E ,∴ ∠D = ∠B - ∠E = 75 - 27 = 48 ,故选：B .【提示】根据平行线的性质解答即可.【考点】平行线的性质,三角形外角的性质.4. 【答案】D【解析】解： 2a + 3a = 5a ,A 错误； (-3a )2 = 9a 2 ,B 错误； (x - y )2 = x 2 - 2xy + y 2 ,C 错误； 3 - = 2 ,D 正确；故选：D .【提示】根据合并同类项法则,完全平方公式,幂的乘方与积的乘方的运算法则进行运算即可.【考点】整式的运算.5. 【答案】 C2 2【解析】解：观察几何体,确定三视图,此几何体将上层的小正方体平移后俯视图相同,故选C. 【提示】根据三视图解答即可.【考点】几何体的三视图.6.【答案】A【解析】解：原方程可化为：x2 - 2x - 4 = 0 ,∴a = 1 , b =-2 , c =-4 ,∴∆= (-2)2- 4 ⨯1⨯ (-4) = 20＞0 ,∴方程由两个不相等的实数根.故选：A.【提示】先化成一般式后,再求根的判别式.【考点】一元二次方程根的情况.7.【答案】C【解析】解：这天销售的矿泉水的平均单价是5 ⨯10% + 3⨯15% + 2 ⨯ 55% + 1⨯ 20% = 2.25 (元), 故选：C.【提示】根据加权平均数的定义列式计算可得.【考点】加权平均数的计算.8.【答案】B【解析】解：抛物线y =-x2+bx + 4 经过(-2, n) 和(4, n) 两点,可知函数的对称轴x = 1 ,∴b= 1, 2∴b = 2 ；∴ y =-x2+ 2x + 4 ,将点(-2, n) 代入函数解析式,可得n = 4 ；故选：B.【提示】根据(-2, n) 和(4, n) 可以确定函数的对称轴x = 1 ,再由对称轴的x =b即可求解.2【考点】二次函数点的坐标特征,二元一次方程组的解法.2 ⎩9. 【答案】A【解析】解：如图,连接 FC ,则 AF = FC .∵ AD ∥BC ,∴ ∠FAO = ∠BCO .在△FOA 与△BOC 中,⎧∠FAO = ∠BCO ⎪⎨OA = OC, ⎪∠AOF = ∠COB∴△FOA ≅ △BOC (ASA) ,∴ AF = BC = 3 ,∴ FC = AF = 3 , FD = AD - AF = 4 - 3 = 1 .在△FDC 中,∵ ∠D = 90 ,∴ CD 2 + DF 2 = FC 2 ,∴ CD 2 + 12 = 32 ,∴ CD = 2 .故选：A .【 提示】 连接 FC ,根据基本作图,可得 OE 垂直平分 AC ,由垂直平分线的性质得出 AF = FC .再根据 ASA 证明△FOA ≅ △BOC ,那么 AF = BC = 3 ,等量代换得到 FC = AF = 3 ,利用线段的和差关系求出 FD = AD - AF = 1.然后在直角△FDC 中利用勾股定理求出 CD 的长.【考点】尺规作图,平行线的性质,勾股定理,角平分线的性质,全等三角形的判定与性质.10. 【答案】D【解析】解：∵ A (-3, 4) , B (3, 4) ,∴ AB = 3 + 3 = 6 ,∵四边形 ABCD 为正方形,∴ AD = AB = 6 ,∴D(-3,10) ,∵70 = 4 ⨯17 + 2 ,∴每 4 次一个循环,第70 次旋转结束时,相当于△OAB 与正方形ABCD 组成的图形绕点O 顺时针旋转2 次,每次旋转90 , ∴点D 的坐标为(3, -10) .故选：D.【提示】先求出AB = 6 ,再利用正方形的性质确定D(-3,10) ,由于70 = 4 ⨯17 + 2 ,所以第70 次旋转结束时,相当于△OAB 与正方形ABCD 组成的图形绕点O 顺时针旋转2 次,每次旋转90 ,此时旋转前后的点D 关于原点对称,于是利用关于原点对称的点的坐标特征可出旋转后的点D 的坐标.【考点】图形的旋转,点的坐标的确定.第Ⅱ卷二、填空题11.【答案】3 2【解析】解：- 2 -1= 2 -12=3 . 2故答案为：3. 2【提示】本题涉及二次根式化简、负整数指数幂两个考点.针对每个考点分别进行计算,然后根据实数的运算法则求得计算结果. 【考点】实数的相关运算.12.【答案】x≤- 2【解析】解：解不等式x…2-1,得：x≤- 2 ,解不等式-x + 7＞4 ,得：x＜3 ,则不等式组的解集为x≤- 2 ,故答案为：x≤- 2 .【提示】分别求出每一个不等式的解集,根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集.【考点】解不等式组.13.【答案】4 94333【解析】解：列表如下：黄红红红(黄,红) (红,红) (红,红)红(黄,红) (红,红) (红,红)白(黄,白) (红,白) (红,白)由表知,共有9 种等可能结果,其中摸出的两个球颜色相同的有4 种结果,所以摸出的两个球颜色相同的概率为4, 9故答案为：4. 9【提示】列表得出所有等可能结果,从中找到两个球颜色相同的结果数,利用概率公式计算可得. 【考点】概率的计算.14.【答案】+π【解析】解：作OE ⊥AB 于点F,∵在扇形AOB 中, ∠AOB =120 ,半径OC 交弦AB 于点D,且OC ⊥OA .OA=2 ,∴∠AOD = 90 , ∠BOC = 90 , OA =OB ,∴∠OAB =∠OBA = 30 , ∴OD =OA tan30 = 2 3 ⨯3= 2 , AD = 4 , AB = 2 A F = 2 ⨯ 2 3 ⨯33= 6 , OF =,2∴B D = 2 ,2 3 ⨯ 2 30 ⨯π(23)2 2 ⨯ 3∴阴影部分的面积是：S△AOD +S扇形OBC-S△BDO=2+360-=+π,2故答案为：+π.【提示】根据题意,作出合适的辅助线,然后根据图形可知阴影部分的面积是△AOD 的面积与扇形OBC 的面积之和再减去△BDO 的面积,本题得以解决.【考点】不规则图形面积的计算.15.【答案】5或5 3 3 31-a 2 ⎩【解析】解：分两种情况：①当点 B ' 落在 AD 边上时,如图 1.图 1∵四边形 ABCD 是矩形,∴ ∠BAD = ∠B = 90 ,∵将△ABE 沿 AE 折叠,点 B 的对应点 B ' 落在 AD 边上,∴ ∠BAE = ∠B 'AE = 1 ∠BAD = 45 ,2∴ AB = BE ,∴ 3a = 1 , 5∴ a = 5 ；3②当点 B ' 落在 CD 边上时,如图 2.图 2∵四边形 ABCD 是矩形,∴ ∠BAD = ∠B = ∠C = ∠D = 90 , AD = BC = a .∵将△ABE 沿 AE 折叠,点 B 的对应点 B ' 落在 CD 边上,∴ ∠B = ∠AB 'E = 90 , AB = AB ' = 1, EB = EB ' = 3 a ,5∴ DB ' == ,EC = BC - BE = a - 3a = 5 . 5在△ADB ' 与△B 'CE 中,⎧∠B 'AD = ∠EB 'C = 90 - ∠AB 'D⎨∠D = ∠C = 90,∴△ADB ' △B 'CE ,B 'A 2 - AD 21 -a233333DB'=AB'=1∴CE B'E,即,2a3a5 5解得a =5, a = 0 (舍去).1 3 2综上,所求a 的值为5或5.3 3故答案为5或5.3 3【提示】分两种情况：①点B'落在AD 边上,根据矩形与折叠的性质易得AB =BE ,即可求出a 的值；②点B'落在CD 边上, 证明△ADB' △B'CE ,根据相似三角形对应边成比例即可求出a 的值.【考点】图形的折叠,勾股定理.三、解答题16.【答案】解：原式= (x +1-x - 2) ÷x(x - 2)x - 2 x - 2 (x -2)2=3x - 2x - 2 x=3,x当x =时,原式=.【解析】解：原式= (x +1-x - 2) ÷x(x - 2)x - 2 x - 2 (x -2)2=3x - 2当x =时,原式x - 2 x=3,x=.【提示】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式,再将x 的值代入计算可得.【考点】分式的化简求值.17.【答案】解：(1)证明：如图1,∵ BA =BC , ∠ABC = 90 ,图1333∴ ∠BAC = 45∵AB 是 O 的直径,∴ ∠ADB = ∠AEB = 90 ,∴ ∠DAF + ∠BGD = ∠DBG + ∠BGD = 90∴ ∠DAF = ∠DBG∵ ∠ABD + ∠BAC = 90∴ ∠ABD = ∠BAC = 45∴ AD = BD∴△ADF ≅ △BDG (ASA) ；(2)① 4 - 2② 30【解析】解：(1)证明：如图 1,∵ BA = BC , ∠ABC = 90 ,图 1∴ ∠BAC = 45∵AB 是 O 的直径,∴ ∠ADB = ∠AEB = 90 ,∴ ∠DAF + ∠BGD = ∠DBG + ∠BGD = 90∴ ∠DAF = ∠DBG∵ ∠ABD + ∠BAC = 90∴ ∠ABD = ∠BAC = 45∴ AD = BD∴△ADF ≅ △BDG (ASA) ；(2)①如图 2,过 F 作 FH ⊥ AB 于 H ,∵点 E 是 BD 的中点, 222 22+12图 2∴∠BAE =∠DAE∵ FD ⊥AD , F H ⊥AB ∴ FH =FD∵FH= sin∠ABD = sin45 =2, BF 2∴FD=BF2,即BF =22FD∵AB = 4 ,∴BD = 4cos45 = 2∴FD == 4 -2,即BF +FD = 2, ( +1)FD = 2故答案为4 - 2 .②连接OE,EH,∵点H 是 AE 的中点,∴OH ⊥AE ,∵∠AEB = 90∴BE ⊥AE∴BE∥OH∵四边形OBEH 为菱形,∴BE =OH =OB =1 AB 2∴ sin∠EAB =BE=1AB 22222∴∠EAB = 30 .故答案为：30 .【提示】(1)利用直径所对的圆周角是直角,可得∠ADB =∠AEB = 90 ,再应用同角的余角相等可得∠DAF =∠DBG ,易得AD =BD , △ADF≌△BDG 得证；(2)作FH ⊥AB ,应用等弧所对的圆周角相等得∠BAE =∠DAE ,再应用角平分线性质可得结论；由菱形的性质可得BE =OB ,结合三角函数特殊值可得∠EAB = 30 .【考点】圆的相关性质,全等三角形的判定和性质,菱形的判定和性质,圆周角定理.18.【答案】(1)23(2)77.5(3)甲学生在该年级的排名更靠前.∵七年级学生甲的成绩大于中位数78 分,其名次在该班25 名之前,八年级学生乙的成绩小于中位数78 分,其名次在该班25 名之后,∴甲学生在该年级的排名更靠前.(4)估计七年级成绩超过平均数76.9 分的人数为400 ⨯5 + 15 + 8= 224 (人).50【解析】解：(1)在这次测试中,七年级在80 分以上(含80 分)的有15 + 8 = 23 人,故答案为：23；(2)七年级50 人成绩的中位数是第25、26 个数据的平均数,而第25、26 个数据分别为78、79,∴m =77 + 78= 77.5 , 2故答案为：77.5；(3)甲学生在该年级的排名更靠前.∵七年级学生甲的成绩大于中位数78 分,其名次在该班25 名之前, 八年级学生乙的成绩小于中位数78 分,其名次在该班25 名之后, ∴甲学生在该年级的排名更靠前.(4)估计七年级成绩超过平均数76.9 分的人数为400 ⨯5 + 15 + 8= 224 (人).50【提示】(1)根据条形图及成绩在70≤x＜80 这一组的数据可得；(2)根据中位数的定义求解可得；(3)将各自成绩与该年级的中位数比较可得答案；(4)用总人数乘以样本中七年级成绩超过平均数76.9 分的人数所占比例可得. 【考点】统计知识的实际应用.3 3 ⎨⎩19.【答案】解：∵ ∠ACE = 90 , ∠CAE = 34 , CE = 55 m ,∴ tan ∠CAE = CE,AC∴ AC =CEtan34 = 55 0.67≈ 82.1 m ,∵ AB = 21 m ,∴ BC = AC - AB = 61.1 m ,在Rt △BCD 中, tan60 =CD = ,BC∴ CD = 3BC ≈ 1.73⨯ 61.1 ≈ 105.7 m ,∴ DE = CD - EC = 105.7 - 55 ≈ 51 m ,答：炎帝塑像 DE 的高度约为 51 m .【解析】解：∵ ∠ACE = 90 , ∠CAE = 34 , CE = 55 m ,∴ tan ∠CAE = CE ,AC∴ AC =CEtan34 = 55 0.67≈ 82.1 m ,∵ AB = 21 m ,∴ BC = AC - AB = 61.1 m ,在Rt △BCD 中, tan60 =CD = ,BC∴ CD = 3BC ≈ 1.73⨯ 61.1 ≈ 105.7 m ,∴ DE = CD - EC = 105.7 - 55 ≈ 51 m ,答：炎帝塑像 DE 的高度约为 51 m .【 提 示 】 由 三 角 函 数 求 出 AC =CEtan34≈ 82.1 m ,得 出 BC = AC - AB = 61.1 m ,在 Rt △BCD 中 ,由 三 角 函 数 得 出CD = 3BC ≈ 105.7 m ,即可得出答案.【考点】解直角三角形的实际应用.20. 【答案】解：(1)设 A 的单价为 x 元,B 的单价为 y 元,⎧3x + 2 y = 120根据题意,得 , ⎩5x + 4 y = 210⎧x = 30 ∴ ⎨y = 15 ,∴A 的单价 30 元,B 的单价 15 元；(2)设购买 A 奖品 z 个,则购买 B 奖品为（30 - z ）个,购买奖品的花费为 W 元,⎨⎩由题意可知, z ≥1(30 - z ) ,3∴ z ≥15 ,2W = 30z + 15(30 - z ) = 450 + 15z ,当 z = 8 时,W 有最小值为 570 元,即购买 A 奖品 8 个,购买 B 奖品 22 个,花费最少.【解析】解：(1)设 A 的单价为 x 元,B 的单价为 y 元,⎧3x + 2 y = 120根据题意,得 , ⎩5x + 4 y = 210⎧x = 30 ∴ ⎨y = 15 ,∴A 的单价 30 元,B 的单价 15 元；(2)设购买 A 奖品 z 个,则购买 B 奖品为（30 - z ）个,购买奖品的花费为 W 元,由题意可知, z ≥1(30 - z ) ,3∴ z ≥15 ,2W = 30z + 15(30 - z ) = 450 + 15z ,当 z = 8 时,W 有最小值为 570 元,即购买 A 奖品 8 个,购买 B 奖品 22 个,花费最少.⎧3x + 2 y = 120【提示】(1)设 A 的单价为 x 元,B 的单价为 y 元,根据题意列出方程组⎨ ⎩5x + 4 y = 210,即可求解；(2)设购买 A 奖品 z 个,则购买 B 奖品为 (30 - z ) 个,购买奖品的花费为 W 元,根据题意得到由题意可知, z ≥1(30 - z ) ,3W = 30z + 15(30 - z ) = 450 + 15z ,根据一次函数的性质,即可求解.【考点】二元一次方程组,不等式及一次函数解决实际问题.21. 【答案】(1)一(2)图象如下所示：(3)①8②在直线平移过程中,交点个数有：0 个、1 个、2 个三种情况,联立y =4和y =-x +m并整理得：x2-1mx + 4 = 0 , x 2 2∆=1m2- 4 ⨯ 4≥0 时,两个函数有交点, 4解得：m≥8 ；(4) m≥8【解析】解：(1) x, y 都是边长,因此,都是正数, 故点(x, y) 在第一象限,答案为：一；(2)图象如下所示：(3)①把点(2, 2) 代入y =-x +m得：22 =-2 +m,解得：m = 8 ；2②在直线平移过程中,交点个数有：0 个、1 个、2 个三种情况,联立y =4和y =-x +m并整理得：x2-1mx + 4 = 0 , x 2 22 2 ∆ = 1 m 2 - 4 ⨯ 4≥0 时,两个函数有交点, 4解得： m ≥8 ；(4)由(3)得： m ≥8 .【提示】(1) x , y 都是边长,因此,都是正数,即可求解；(2) 直接画出图象即可；(3) ①把点(2, 2) 代入 y = -x + m即可求解；②在直线平移过程中,交点个数有：0 个、1 个、2 个三种情况,联立 y = 4 和 2x y = - x + m 并整理得： x 2 - 1 mx + 4 = 0 ,即可求解；2 2(4)由(3)可得.【考点】反比例函数与一次函数图象的应用.22. 【答案】160(2) 如图 2 中,设 BD 交 AC 于点 O ,BD 交 PC 于点 E .图 2∵ ∠PAD = ∠CAB = 45 ,∴ ∠PAC = ∠DAB ,∵ AB= AD= ,AC AP ∴△DAB △PAC ,∴ ∠PCA = ∠DBA , BD = AB =,PCAC ∵ ∠EOC = ∠AOB ,∴ ∠CEO = ∠OABB = 45 ,∴直线 BD 与直线 CP 相交所成的小角的度数为 45 .(3) 如图 3-1 中,当点 D 在线段 PC 上时,延长 AD 交 BC 的延长线于 H.a a + 2 a 2图 3-1∵ CE = EA , CF = FB ,∴ EF ∥AB ,∴ ∠EFC = ∠ABC = 45 ,∵ ∠PAO = 45 ,∴ ∠PAO = ∠OFH ,∵ ∠POA = ∠FOH ,∴ ∠H = ∠APO ,∵ ∠APC = 90 , EA = EC ,∴ PE = EA = EC ,∴ ∠EPA = ∠EAP = ∠BAH ,∴ ∠H = ∠BAH ,∴ BH = BA ,∵ ∠ADP = ∠BDC = 45 ,∴ ∠ADB = 90 ,∴ BD ⊥ AH ,∴ ∠DBA = ∠DBC = 22.5 ,∵ ∠ADB = ∠ACB = 90 ,∴A ,D ,C ,B 四点共圆,∠DAC = ∠DBC = 22.5 , ∠DCA = ∠ABD = 22.5 ,∴ ∠DAC = ∠DCA = 22.5 ,∴ DA = DC ,设 AD = a ,则 DC = AD = a , PD =2 a , 2∴AD == 2 - .CP 2aa-2a2如图3-2 中,当点P 在线段CD 上时,同法可证：DA =DC ,设AD =a ,则CD =AD =a ,PD =2a , 2∴PC =a -图3-2 2a ,2∴AD== 2 +. PC2【解析】解：(1)如图 1 中,延长CP 交BD 的延长线于E,设AB 交EC 于点O.图 1∵∠PAD =∠CAB = 60 ,∴∠CAP =∠BAD ,∵CA =BA , PA =DA ,∴△CAP ≅△BAD(SAS) ,∴PC =BD , ∠ACP =∠ABD ,∵∠AOC =∠BOE ,∴∠BEO =∠CAO = 60 ,∴ BD= 1 ,线BD 与直线CP 相交所成的较小角的度数是60 ,PC故答案为1, 60 .(2)如图2 中,设BD 交AC 于点O,BD 交PC 于点E.2 2图 2∵ ∠PAD = ∠CAB = 45 ,∴ ∠PAC = ∠DAB ,∵ AB = AD = , AC AP∴△DAB △PAC ,∴ ∠PCA = ∠DBA , BD = AB = ,PC AC∵ ∠EOC = ∠AOB ,∴ ∠CEO = ∠OABB = 45 ,∴直线 BD 与直线 CP 相交所成的小角的度数为 45 .(3) 如图 3-1 中,当点 D 在线段 PC 上时,延长 AD 交 BC 的延长线于 H .图 3-1∵ CE = EA , CF = FB ,∴ EF ∥AB ,∴ ∠EFC = ∠ABC = 45 ,∵ ∠PAO = 45 ,∴ ∠PAO = ∠OFH ,∵ ∠POA = ∠FOH ,∴ ∠H = ∠APO ,∵ ∠APC = 90 , EA = EC ,∴ PE = EA = EC ,a a + 2 a 2 a a - 2 a 2 ∴ ∠EPA = ∠EAP = ∠BAH ,∴ ∠H = ∠BAH ,∴ BH = BA ,∵ ∠ADP = ∠BDC = 45 ,∴ ∠ADB = 90 ,∴ BD ⊥ AH ,∴ ∠DBA = ∠DBC = 22.5 ,∵ ∠ADB = ∠ACB = 90 ,∴A ,D ,C ,B 四点共圆,∠DAC = ∠DBC = 22.5 , ∠DCA = ∠ABD = 22.5 ,∴ ∠DAC = ∠DCA = 22.5 ,∴ DA = DC ,设 AD = a ,则 DC = AD = a , PD =2 a ,2 ∴ AD == 2 - .CP 2如图 3-2 中,当点 P 在线段 CD 上时,同法可证： DA = DC ,设 AD = a ,则CD = AD = a , PD =2 a ,2∴ PC = a -图 3-2 2 a ,2 ∴ AD == 2 + .PC2 【提示】(1)如图 1 中,延长 CP 交 BD 的延长线于 E ,设 AB 交 EC 于点 O .证明△CAP ≌△BAD (SAS) ,即可解决问题.(2) 如图 2 中,设 BD 交 AC 于点 O ,BD 交 PC 于点 E .证明△DAB ∽△PAC ,即可解决问题.(3) 分两种情形：①如图 3-1 中,当点 D在线段 PC 上时,延长 AD 交 BC 的延长线于 H .证明 AD=DC 即可解决问题.②如图 3-2 中,当点 P 在线段 CD 上时,同法可证： DA = DC 解决问题.⎨ 【考点】图形变换,规律探究.23.【答案】解：(1)当 x = 0 时, y = - 1 x - 2= -2 ,2∴点 C 的坐标为(0, -2) ； 当 y = 0 时, - 1 x - 2 = 0 ,2解得： x = -4 ,∴点 A 的坐标为(-4, 0) .将 A (-4, 0) , C (0, -2) 代入 y = ax 2 + 1 x + c ,得： 2 ⎧16a - 2 + c = 0 ⎧a = 1 ⎨c = -2 ,解得： ⎪ 4 ,⎪⎩c = -2∴抛物线的解析式为 y = 1 x 2 + 1 x - 2 .4 2(2) ①∵ PM ⊥ x 轴,∴ ∠PMC ≠ 90 ,∴分两种情况考虑,如图 1 所示.图 1(i) 当∠MPC = 90时, PC ∥x 轴,∴点 P 的纵坐标为-2 .当 y = -2 时, 1 x 2 + 1 x - 2 = -2 ,4 2解得： x 1 = -2 , x 2 = 0 ,∴点 P 的坐标为(-2, -2) ；(ii) 当∠PCM = 90时,设 PC 与 x 轴交于点 D .∵ ∠OAC + ∠OCA = 90 , ∠OCA + ∠OCD = 90 ,∴ ∠OAC = ∠OCD .⎩⎨ 1 2 1 又∵ ∠AOC = ∠COD = 90 ,∴△AOC △COD ,∴ OD = OC ,即 OD = 2 , OC OA 2 4∴ OD = 1 ,∴点 D 的坐标为(1, 0) .设直线 PC 的解析式为 y = kx + b (k ≠ 0) ,将C (0, -2) , D (1, 0) 代入 y = kx + b ,得：⎧b = -2 ⎧k = 2 ⎨k + b = 0 ,解得： ⎨ = -2 ,⎩ ⎩b∴直线 PC 的解析式为 y = 2x - 2 .⎧ y = 2x - 2 联立直线 PC 和抛物线的解析式成方程组,得： ⎪ , y = x + x - 2解得： ⎧x 1 = 0 , ⎧x 2 = 6 , ⎩⎪ 4 2 ⎨ y = -2 ⎨ y = 10 ⎩ 1 ⎩ 2点 P 的坐标为(6,10) .综上所述：当△PCM 是直角三角形时,点 P 的坐标为(-2, -2) 或(6,10) .②当 y = 0 时, 1 x 2 + 1 x - 2 = 0 ,4 2解得： x 1 = -4 , x 2 = 2 ,∴点 B 的坐标为(2, 0) .∵点 P 的横坐标为 m (m ＞0且m ≠ 0) ,∴点 P 的坐标为(m , 1 m 2 + 1 m - 2) ,4 2∴直线 PB 的解析式为 y = 1 (m + 4)x - 1 (m + 4) (可利用待定系数求出).4 2∵点 B , B ' 关于点 C 对称,点 B , B ' ,P 到直线 l 的距离都相等,∴直线 l 过点 C ,且直线l ∥直线PB ,∴直线 l 的解析式为 y = 1 (m + 4)x - 2 .4⎨【解析】解：(1)当 x = 0 时, y= - 1 x -2 = -2 ,2∴点 C 的坐标为(0, -2) ；当 y = 0 时, - 1 x - 2 = 0 ,2解得： x = -4 ,∴点 A 的坐标为(-4, 0) .将 A (-4, 0) , C (0, -2) 代入 y = ax 2 + 1 x + c ,得： 2 ⎧16a - 2 + c = 0 ⎧a = 1 ⎨c = -2 ,解得： ⎪ 4 ,⎪⎩c = -2∴抛物线的解析式为 y = 1 x 2 + 1 x - 2 .4 2(2) ①∵ PM ⊥ x 轴,∴ ∠PMC ≠ 90 ,∴分两种情况考虑,如图 1 所示.图 1(i) 当∠MPC = 90时, PC ∥x 轴,∴点 P 的纵坐标为-2 .当 y = -2 时, 1 x 2 + 1 x - 2 = -2 ,4 2解得： x 1 = -2 , x 2 = 0 ,⎩⎨ 1 2 1 ∴点 P 的坐标为(-2, -2) ；(ii)当∠PCM = 90时,设 PC 与 x 轴交于点 D .∵ ∠OAC + ∠OCA = 90 , ∠OCA + ∠OCD = 90 ,∴ ∠OAC = ∠OCD .又∵ ∠AOC = ∠COD = 90 ,∴△AOC △COD ,∴ OD = OC ,即 OD = 2 , OC OA 2 4∴ OD = 1 ,∴点 D 的坐标为(1, 0) .设直线 PC 的解析式为 y = kx + b (k ≠ 0) ,将C (0, -2) , D (1, 0) 代入 y = kx + b ,得：⎧b = -2 ⎧k = 2 ⎨k + b = 0 ,解得： ⎨ = -2 ,⎩ ⎩b∴直线 PC 的解析式为 y = 2x - 2 .⎧ y = 2x - 2 联立直线 PC 和抛物线的解析式成方程组,得： ⎪ , y = x + x - 2解得： ⎧x 1 = 0 , ⎧x 2 = 6 , ⎩⎪ 4 2 ⎨ y = -2 ⎨ y = 10 ⎩ 1 ⎩ 2点 P 的坐标为(6,10) .综上所述：当△PCM 是直角三角形时,点 P 的坐标为(-2, -2) 或(6,10) .②当 y = 0 时, 1 x 2 + 1 x - 2 = 0 ,4 2解得： x 1 = -4 , x 2 = 2 ,∴点 B 的坐标为(2, 0) .∵点 P 的横坐标为 m (m ＞0且m ≠ 0) ,∴点 P 的坐标为(m , 1 m 2 + 1 m - 2) ,4 2∴直线 PB 的解析式为 y = 1 (m + 4)x - 1 (m + 4) (可利用待定系数求出).4 2∵点 B , B ' 关于点 C 对称,点 B , B ' ,P 到直线 l 的距离都相等,∴直线 l 过点 C ,且直线l ∥直线PB ,∴直线l 的解析式为y =1(m + 4)x - 2 .4【提示】(1)利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A,C 的坐标,根据点A,C 的坐标,利用待定系数法可求出二次函数解析式；(2)①由PM ⊥x 轴可得出∠PMC ≠ 90 ,分∠MPC = 90 及∠PCM = 90 两种情况考虑：(i)当∠MPC = 90 时, PC∥x 轴,利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点P 的坐标；(ii)当∠PCM = 90 时,设PC 与x 轴交于点D,易证△AOC △COD,利用相似三角形的性质可求出点D 的坐标,根据点C,D 的坐标,利用待定系数法可求出直线PC 的解析式,联立直线PC 和抛物线的解析式成方程组,通过解方程组可求出点P 的坐标.综上,此问得解；②利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点B,P 的坐标,根据点P,B 的坐标,利用待定系数法可求出直线PB 的解析式,结合题意可知：直线l 过点C,且直线l∥直线PB ,再结合点C 的坐标即可求出直线l 的解析式.【考点】二次函数的图象和性质,直角三角形的性质,相似三角形的判定和性质,中位线定理,一次函数的性质,分类讨论思想.。
2019年河南省中考数学试题及答案解析(Word版)
2019年河南省中考数学试题及答案解析（Word 版）一、选择题（每小题3分，共24分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的。
1. 下列各数中最大的数是（ ）A. 5B.3C. πD. -8A 【解析】本题考查实数的比较大小.∵732.13≈，π≈3.14,∴5>π8-，∴最大的数为5. 2. 如图所示的几何体的俯视图是（ ）B 【解析】本题考查实物体的俯视图的判断，俯视图是从上往下看得到的图形，从上面看可以看到轮廓是一个矩形和中间有一条竖着的实线，故B 选项符合题意.3. 据统计，2018年我国高新技术产品出口总额达40 570亿元，将数据40 570亿用科学记数法表示为（ ） A.4.2018×109B. 0.20180×2018C. 40.570×2018D. 4.2018×2018 D 【解析】本题考查带计数单位的大数科学计数法.∵1亿=108，20180=4.057×104，∴ 20180亿=4.057×104×108=4.2018×2018.4. 如图，直线a ，b 被直线e ，d 所截，若∠1=∠2，∠3=125°，则∠4的度数为（ ） A. 55° B. 60° C.70° D. 75°A【解析】本题考查了平行线的判定和相交线与平行线性质求角度.∵∠1＝∠2，∴a∥b．∴∠5＝∠3=125°，∴∠4＝180°－∠5=180°－125°=55°． 5. 不等式组⎩⎨⎧>-≥+13,05x x 的解集在数轴上表示为（ ）C DB A 正面 第2题d c ba第4题CDBAC 【解析】本题考查解一元一次不等式组及在数轴上表示.由不等式x+5≥0，解得：x≥－5 ； 由不 等式3-x>1，解得：x ＜2，则该不等式组的解集为－5≤x＜2，故C 选项符合.6. 小王参加某企业招聘测试，他的笔试，面试、技能操作得分分别为85分，80分，90分，若依次按照2:3:5的比例确定成绩，则小王的成绩是（ ）A. 255分B. 84分C. 84.5分D.86分C 【解析】本题考查加权平均数的应用.根据题意得86532590380285=++⨯+⨯+⨯=x —，∴小王成绩为86分.7. 如图，在□ABCD 中，用直尺和圆规作∠BAD 的平分线AG 交BC 于点E ，若BF=6，AB=5，则AE 的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10C 【解析】本题考查平行四边形的性质和角平分线的性质，以及基本的尺规作图. 设AE 与BF 交于点O ，∵AF=AB，∠BAE= ∠FAE ，∴AE⊥BF，OB=21BF=3在Rt△AOB 中，4=，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC∴∠FAE= ∠BEA，∴∠BAE=∠BEA ，∴AB=BE，∴AE=2AO=8.8. 如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O 1，O 2，O 3，… 组成一条平滑的曲线，点P从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒2π个单位长度，则第2018秒时，点P 的坐标是（ ） A.（2018,0） B.（2018，-1）C. （2018,1）D. （2018,0） B 【解析】本题考查直角坐标系中点坐标的规律探索.∵半圆的半径r=1，∴半圆长度=π， ∴第2018秒点P 运动的路径长为：2π×2018， ∵2π×2018÷π=2018…1，∴点P 位于第2018个半圆的中点上，且这个半圆在x 轴的下方. ∴此时点P 的横坐标为：2018×2-1=2018，纵坐标为-1，∴点P(2018，-1) .第8题解图 二、填空题（每小题3分，共21分）EF CDBGA第7图第8题DA9. 计算：(-3)0+3-1= . 9.34【解析】313,1310==--）（，∴原式=1+31 = 34. 10. 如图，△ABC 中，点D 、E 分别在边AB ，BC 上，DE//AC ，若DB=4，DA=2，BE=3，则EC= .23【解析】本题考查平行线分线段成比例定理.∵DE∥AC，∴BEDA BD =∴EC=23432BD BE DA =⨯=⋅. 11. 如图，直线y=kx 与双曲线)0(2>=x xy 交于点A （1，a ）,则k= .2【解析】本题考查一次函数与反比例函数结合. 把点A 坐标（1，a ）代入 y=x 2 ,得a=12=2 ∴点A 的坐标为（1,2），再把点A （1,2）代入y=kx 中，得k=2.12. 已知点A （4，y 1），B （2，y 2），C （-2，y 3）都在二次函数y=(x-2)2-1的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是 ..213y y y <<【解析】本题考查二次函数图象及其性质.方法一：解：∵ A （4，y 1）、B （2，y 2）C （-2，y 3）在抛物线y=21-2x -（）上，∴y 1=3，y 2=5-42,y 3=15.∵5-42＜3＜ 15，∴y 2＜y 1＜y 3方法二：解：设点A 、B 、C 三点到抛物线对称轴的距离分别为d 1、d 2、d 3，∵y=212)x --（ ∴对称轴为直线x=2，∴d 1=2,d 2=2-2,d 3=4∵2-2＜2＜4，且a=1＞0，∴y 2＜y 1＜y 3. 方法三：解：∵y=1)22--x （，∴对称轴为直线x=2，∴点A(4, y 1)关于x=2的对称点是（0，y 1）.∵-2＜0＜2且a=1＞0，∴y 2＜y 1＜y 3.13. 现有四张分别标有数字1，2，3，4的卡片，它们除数字外完全相同，把卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张后放回，再背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，则两次抽出的卡片所标数字不同的概率是 .85或画树状图如解图：第13题解图由列表或树状图可得所有等可能的情况有16种，其中两次抽出卡片所标数字不同的情况有10种，则14. 如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交AB于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作CD交OB于点D，若OA=2，则阴影部分的面积为.【分析】先观察阴影部分的图形为不规则图形，相到利用转化的思想，并作出必要的辅助线，即连接OE，得到CO DO CEO BESSSS扇形扇形阴影-+=∆，再分别计算出各图形的面积即可求解.12+π【解析】本题考查阴影部分面积的计算.如解图，连接OE，∵点C是OA的中点，∴OC＝21OA＝１，∵OE＝OA＝２，∴OC＝21OE.∵CE⊥OA，∴∠OEC＝30°，∴∠COE＝60°.在Rt△OCE中，CE＝3，∴Ｓ△OCE＝21OC·CE=23.∵∠AOB＝9０°，∴∠BOE＝∠AOB-∠COE＝30°,∴S扇形OBE=230360⋅π2=3π，Ｓ扇形COD=2901360⋅π=4π，∴[来CO DO CEO BESSSS扇形扇形阴影-+=∆=3π+23-4π=2312+π.第14题CB第14题解图15. 如图，正方形ABCD 的边长是16，点E 在边AB 上，AE=3，点F 是边BC 上不与点B 、C 重合的一个动点，把△EBF 沿EF 折叠，点B 落在B′处，若△CDB′恰为等腰三角形，则DB′的长为 .【分析】若△CD B '恰为等腰三角形，判断以CD 为腰或为底边分为三种情况：①DB′=DC；②CB′=CD；③CB′=DB′，针对每一种情况利用正方形和折叠的性质进行分析求解.16或54【解析】本题考查正方形、矩形的性质和勾股定理的运用，以及分类讨论思想.根据题意，若△CD B '恰为等腰三角形需分三种情况讨论：（1）若DB′=DC 时，则DB′=16（易知点F 在BC 上且不与点C 、B 重合） ；（2）当CB′=CD 时，∵EB=EB′，CB=CB′∴点E 、C 在BB′的垂直平分线上，∴EC 垂直平分BB′，由折叠可知点F 与点C 重合，不符合题意，舍去；（3）如解图，当CB′=DB′时，作BG⊥AB 与点G ，交CD 于点H.∵AB∥CD， ∴B′H⊥CD，∵CB′=DB′，∴DH=21CD=8，∴AG=DH=8，∴GE=AG -AE=5，在Rt△B′EG 中，由勾股定理得B′G=12，∴B′H=GH -B ′G=4.在Rt△B′DH 中，由勾股定理得DB′=54，综上所述DB′=16或54.G E第15题解图 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16.（8分）先化简，再求值：)11(22222ab b a b ab a -÷-+-，其中15+=a ，15-=b . 【分析】解答本题应从运算顺序入手，先将括号里通分，能因式分解的进行因式分解，然后将除法变乘法，最后约分化简成最简分式后，将a,b 的值代入求解.解：原式=abba b a b a -÷--)(22）（……………………………………………………（4分） =ba abb a -⋅-2 EF C DBA 第15题B ′=2ab.……………………………………………………（6分）当1,1a b ==时，原式=22152)15(15=-=-+）（.…………（8分）17.（9分）如图，AB 是半圆O 的直径，点P 是半圆上不与点A 、B 重合的一个动点，延长BP 到点C ，使PC=PB ，D 是AC 的中点，连接PD ，PO. （1）求证：△CDP∽△POB； （2）填空：① 若AB=4，则四边形AOPD 的最大面积为 ； ② 连接OD ，当∠PBA 的度数为 时，四边形BPDO 是菱形.（1）【分析】要证△CDP≌△POB，已知有一组对应边相等，结合已知条件易得DP 是△ACB 的中位线，进而可得出一组对应角和一组对应边相等，根据SAS 即可得证.解：∵点D 是AC 的中点，PC=PB ，…………………………………………（3分） ∴DP∥DB，AB DP 21=，∴∠CPD=∠PBO. ∵AB OB 21=,∴DP=OB，∴△CDP≌△POB（SAS ）.………………………………（5分）B第17题解图(2) 【分析】①易得四边形AOPD 是平行四边形，由于AO 是定值，要使四边形AOPD 的面积最大，就得使四边形AOPD 底边AO 上的高最大，即当OP⊥OA 时面积最大；②易得四边形BPDO 是平行四边形，再根据菱形的判定得到△PBO 是等边三角形即可求解.解： ① 4 ；………………………………………………………………………………（7分） ② 60°.（注：若填为60，不扣分）…………………………………………………（9分）第17题【解法提示】①当OP⊥OA 时四边形AOPD 的面积最大，∵由（1）得DP=AO ，DP∥DB，∴四边形AOPD 是平行四边形，∵AB=4，∴AO=PO=2，∴四边形AOPD 的面积最大为,2×2=4；②连接OD,∵由（1）得DP=AO=OB ，DP∥DB，∴四边形BPDO 是平行四边形，∴当OB=BP 时四边形BPDO 是菱形，∵PO=BO，∴△PBO 是等边三角形，∴∠PBA=60°. 18.（9分）为了了解市民“获取新闻的最主要途径”，某市记者开展了一次抽样调查，根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图。
2019年河南省中考真题数学试题(解析版)(含考点分析)
{来源}2019年河南省中考数学试卷 {适用范围:3． 九年级}{标题}2019年河南省中考数学试卷考试时间：100分钟 满分：120分{题型:1-选择题}一、选择题：本大题共 小题，每小题 分，合计分．{题目}1．（2019河南省，T1）12的绝对值是( ) 12（A ）- 12（B ） 2（C ） 2（D ） - {答案} B{解析}本题考查了绝对值的概念，解题的关键是理解绝对值的意义．此类问题容易出错的地方是容易与倒数或相反数混淆．根据绝对值的意义:一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，从而可得12的绝对值是12，即1122． 故答案选B{分值}3{章节:[1-1-2-4]绝对值} {考点:绝对值的意义} {类别:常考题} {难度:1-最简单}{题目}2．（2019河南省,T2） 成人每天维生素D 的摄入量约为0.0000046克 ．数据“0.0000046”用科学记数法表示为（A ） 46×10-7 （B ） 4.6×10-7 （C ）4.6×10-6 （D ）0.46×10-5{答案} C{解析}本题考查了科学记数法，解题的关键是正确确定a 的值以及n 的值．0.0000046是绝对值小于1的数，这类数用科学计数法表示的方法是写成a×10-n （1≤a ＜10，n＞0 ）的形式，关键是确定－n，确定了n的值，－n的值就确定了．确定方法是：n 的值等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位数上的零）．故0.0000046中左起第一个非零数为4，其左边六个零，即0.0000046=4.6×10-6．答案选C．{分值}3{章节:[1-1-5-2]科学计数法}{考点:将一个绝对值较小的数科学计数法}{类别:常考题}{类别:易错题}{难度:2-简单}{题目}3．（2019河南省,T3）如图，AB∥CD，∠B=75°，∠E=27°，则∠D的度数为（A）45° （B）48° （C）50° （D）58°{答案} B{解析}如图，设CD和BE的交点为F，∵AB∥CD，∠B=75°，∴∠B=∠CFE=75°，∵∠CFE=∠D+∠E，∠E=27°，∴∠D=∠CFE-∠E=75°-27°=48°.故选B．{分值}3{章节:[1-5-3]平行线的性质}{考点:两直线平行同位角相等}{难度:2-简单}{题目}4．（2019河南卷,T4）下列计算正确的是（ ）A.236a a a +=B.22(3)6a a -=C.222()x y x y -=- D.={答案} D{解析}本题考查了合并同类项、积的乘方、乘法公式、合并同类二次根式，A 合并同类项系数2+3=5，,不是2×3=6，B 错-3的平方等于9，C 中乘法公式用错，D 正确，选D{分值}3{章节:[1-14-1]整式的乘法} {考点:多项式乘以多项式} {类别:常考题} {难度:2-简单}{题目}5.（2019河南,T5）如图（1）是由大小相同的小正方体搭成的几何体，将上层的小正方体平移后得到图（2），关于平移前后几何体的三视图，下列说法正确的是（ ）A.主视图相同B.左视图相同C. 俯视图相同D.三种视图都不相同{答案} c{解析}本题考查了三视图，对比平移前后结果A 主视图不同，B 左视图不同，AB 选项不对，C 俯视图相同，C 正确.故选Ｃ．{分值}3{章节:[1-4-1-1]立体图形与平面图形} {考点:简单组合体的三视图}{难度:3-中等难度}{题目}6．（2019河南,T6）一元二次方程(1)(1)23x x x +-=+的根的情况是（ ）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根{答案} A{解析}本题考查了一元二次方程根的判别式，先化简，∵2123x x -=+，∴2240x x --=，△=2-+16=20（2）>0，故选A {分值}3{章节:[1-21-2-2]公式法} {考点:根的判别式}{类别:常考题}{类别:易错题} {难度:3-中等难度}{题目}7．（2019河南,T7）．某超市销售 A ，B ，C ，D 四种矿泉水，它们的单价依次是 5 元、3 元、2 元、1 元．某天的销售情况如图所示，则这天销售的矿泉水的平均单价是（ ） A ．1.95 元 B ．2.15 元 C ．2.25 元 D ．2.75 元{答案}C{解析}本题考查了加权平均数的概念和意义，由题意可知各种不同价格的百分比就是权重，最终的平均数就等于每个价格乘以权重，所以平均单价为：5×10%+3×15%+2×55%+1×10%=2.25，所以最后的平均单价为2.25元.因此本题选C ．{分值}3{章节:[1-20-1-1]平均数}{考点:加权平均数（权重为百分比）}{类别:常考题} {难度:3-中等难度}{题目}8．（2019年河南,T8）已知抛物线 y = x 2+bx + 4 经过(-2 ，n)和）(4 ，n)两点，则 n 的值为（ ）A ． 2B ． 4C ．2D ．4{答案}B{解析}本题考查了二次函数的对称性;中点坐标公式;求对称轴的公式及二次函数解析式，由题意知抛物线过（-2，n ）和（4，n ）,说明这两个点关于对称轴对称，即对称轴为直线x=1，所以-ab2=1，又因为a=-1，所以可得b=2，即抛物线的解析式为y=-x 2+2x+4，把x=-2代入解得n=-4.因此本题选B ．{分值}3{章节:[1-22-1-4]二次函数y=ax2+bx+c 的图象和性质} {考点:二次函数y ＝ax2+bx+c 的性质} {类别:常考题} {难度:4-较高难度}{题目}9．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠D=90°，AD=4，BC=3，分别以点A ，C 为圆心，大于21AC 长为半径作弧，两弧交于点E ，作射线BE 交AD 于点F ，交AC 于点O.若点O 是AC 的中点，则CD 的长为（ ）A.22B.4C.3D.10{答案}A{解析}本题考查了尺规作图 ，矩形的判定及性质，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质 ，勾股定理，如图，过点B 做BM ⊥AD 于点M,连结AE 、CE ，∵AD ∥BC ，∴∠BCD+∠D=180°，又∵∠D=90°∴∠BCD=90°，∴∠BCD=∠D=∠BMD=90°， ∴四边形BCDM 为矩形 ，∴MD=BC=3 ， BM=CD ，由作图可知AE=CE 又∵O 是AC 的中点， ∴EO ⊥AC ，∴EB 是AC 的垂直平分线，∴AB=BC=3. 在Rt △ABM 中，∠AMB=90°，AM=AD-MD=1，∴BM=22132222=-=-AM AB ，∴CD= 22.故选A.{分值}3{章节:[1-18-2-1]矩形} {考点:矩形的性质} {考点:矩形的判定} {类别:常考题} {难度:4-较高难度}10．（2019河南，T10）如图，在△OAB 中，顶点O(0,0),A(-3,4),B(3,4).将△OAB 与正方形ABCD 组成的图形绕点O 顺时针旋转，每次旋转90°，则第70次旋转结束时，点D 的坐标为（ ）A.（10,3）B.（-3,10）MFEOBDACC.（10，-3）D.（3，-10）【答案】D【解析】由A、B两点的坐标可知线段AB的长度和它与x轴的关系，由正方形的性质可知AD=AB，延长DA交x轴于点M,则DA⊥x轴，Rt△DMO中，MO=3,DM=10，将△OAB和正方形ABCD绕点O每次顺时针旋转90°，Rt△DMO也同步绕点O每次顺时针旋转90°，点D的落点坐标可由Rt△DMO的旋转得到。
河南2019年中考数学试题和答案[word解析版]
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2019年河南省中考数学试卷一、选择题(每小题3分,共24分)1.(3分)(2019年河南省)下列各数中,最小得数就是( )A. 0B.C. ﹣D. ﹣3考点: 有理数大小比较.分析: 根据正数大于0,0大于负数,可得答案.解答: 解:﹣3,故选:D.点评: 本题考查了有理数比较大小,正数大于0,0大于负数就是解题关键.2.(3分)(2019年河南省)据统计,2019年河南省旅游业总收入达到约3875、5亿元.若将3875、5亿用科学记数法表示为3、8755×10n,则n等于( )A. 10B. 11C. 12D. 13考点: 科学记数法—表示较大得数.分析: 科学记数法得表示形式为a×10n得形式,其中1≤|a|＜10,n为整数.确定n得值时,要瞧把原数变成a时,小数点移动了多少位,n得绝对值与小数点移动得位数相同.当原数绝对值＞1时,n就是正数;当原数得绝对值＜1时,n就是负数.解答: 解:3875、5亿=3875 5000 0000=3、8755×1011,故选:B.点评: 此题考查科学记数法得表示方法.科学记数法得表示形式为a×10n得形式,其中1≤|a|＜10,n为整数,表示时关键要正确确定a得值以及n得值.3.(3分)(2019年河南省)如图,直线AB,CD相交于点O,射线OM平分∠AOC,ON⊥OM,若∠AOM=35°,则∠CON得度数为( )A. 35°B. 45°C. 55°D. 65°考点: 垂线;对顶角、邻补角.分析: 由射线OM平分∠AOC,∠AOM=35°,得出∠MOC=35°,由ON⊥OM,得出∠CON=∠MON﹣∠MOC得出答案.解答: 解:∵射线OM平分∠AOC,∠AOM=35°,∴∠MOC=35°,∵ON⊥OM,∴∠MON=90°,∴∠CON=∠MON﹣∠MOC=90°﹣35°=55°.故选:C.点评: 本题主要考查了垂线与角平分线,解决本题得关键就是找准角得关系.4.(3分)(2019年河南省)下列各式计算正确得就是( )A. a+2a=3a2B. (﹣a3)2=a6C. a3•a2=a6D. (a+b)2=a2+b2考点: 完全平方公式;合并同类项;同底数幂得乘法;幂得乘方与积得乘方.分析: 根据合并同类项法则,积得乘方,同底数幂得乘法,平方差公式分别求出每个式子得值,再判断即可.解答: 解:A、a+2a=3a,故本选项错误;B、(﹣a3)2=a6,故本选项正确;C、a3•a2=a5,故本选项错误;D、(a+b)2=a2+b2+2ab,故本选项错误,故选B.点评: 本题考查了合并同类项法则,积得乘方,同底数幂得乘法,平方差公式得应用,主要考查学生得计算能力.5.(3分)(2019年河南省)下列说法中,正确得就是( )A. “打开电视,正在播放河南新闻节目”就是必然事件B. 某种彩票中奖概率为10%就是指买十张一定有一张中奖C. 神舟飞船反射前需要对零部件进行抽样调查D. 了解某种节能灯得使用寿命适合抽样调查考点: 随机事件;全面调查与抽样调查;概率得意义.分析: 必然事件指在一定条件下一定发生得事件.不可能事件就是指在一定条件下,一定不发生得事件.不确定事件即随机事件就是指在一定条件下,可能发生也可能不发生得事件.不易采集到数据得调查要采用抽样调查得方式,据此判断即可.解答: 解:A.“打开电视,正在播放河南新闻节目”就是随机事件,本项错误;B.某种彩票中奖概率为10%就是指买十张可能中奖,也可能不中奖,本项错误;C.神舟飞船反射前需要对零部件进行全面调查,本项错误;D.解某种节能灯得使用寿命,具有破坏性适合抽样调查.故选:D.点评: 本题考查了调查得方式与事件得分类.不易采集到数据得调查要采用抽样调查得方式;必然事件指在一定条件下一定发生得事件.不可能事件就是指在一定条件下,一定不发生得事件.不确定事件即随机事件就是指在一定条件下,可能发生也可能不发生得事件.6.(3分)(2019年河南省)将两个长方体如图放置,则所构成得几何体得左视图可能就是( )A. B. C. D.考点: 简单组合体得三视图.分析: 根据从左边瞧得到得图形就是左视图,可得答案.解答: 解:从左边瞧,下面就是一个矩形,上面就是一个等宽得矩形,该矩形得中间有一条棱,故选:C.点评: 本题考查了简单组合体得三视图,注意能瞧到得棱用实线画出.7.(3分)(2019年河南省)如图,▱ABCD得对角线AC与BD相交于点O,AB⊥AC,若AB=4,AC=6,则BD得长就是( )A. 8B. 9C. 10D. 11考点: 平行四边形得性质;勾股定理.分析: 利用平行四边形得性质与勾股定理易求BO得长,进而可求出BD得长.解答: 解:∵▱ABCD得对角线AC与BD相交于点O,∴BO=DO,AO=CO,∵AB⊥AC,AB=4,AC=6,∴BO==5,∴BD=2BO=10,故选C.点评: 本题考查了平行四边形得性质以及勾股定理得运用,就是中考常见题型,比较简单.8.(3分)(2019年河南省)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1cm,BC=2cm,点P从点A出发,以1cm/s得速度沿折线AC→CB→BA运动,最终回到点A,设点P得运动时间为x(s),线段AP得长度为y(cm),则能够反映y与x之间函数关系得图象大致就是( )A. B. C. D.考点: 动点问题得函数图象.分析: 这就是分段函数:①点P在AC边上时,y=x,它得图象就是一次函数图象得一部分;②点P在边BC上时,利用勾股定理求得y与x得函数关系式,根据关系式选择图象;③点P在边AB上时,利用线段间得与差关系求得y与x得函数关系式,由关系式选择图象.解答: 解:①当点P在AC边上,即0≤x≤1时,y=x,它得图象就是一次函数图象得一部分.故C错误;②点P在边BC上,即1＜x≤3时,根据勾股定理得 AP=,即y=,则其函数图象就是y随x得增大而增大,且不就是线段.故B、D错误;③点P在边AB上,即3＜x≤3+时,y=+3﹣x=﹣x+3+,其函数图象就是直线得一部分.综上所述,A选项符合题意.故选:A.点评: 本题考查了动点问题得函数图象.此题涉及到了函数y=得图象问题,在初中阶段没有学到该函数图象,所以只要采取排除法进行解题.二、填空题(每小题3分,共21分)9.(3分)(2019年河南省)计算:﹣|﹣2|= 1 .考点: 实数得运算.分析: 首先计算开方与绝对值,然后再计算有理数得减法即可.解答: 解:原式=3﹣2=1,故答案为:1.点评: 此题主要考查了实数得运算,关键就是掌握立方根与绝对值得性质运算.10.(3分)(2019年河南省)不等式组得所有整数解得与为﹣2 .考点: 一元一次不等式组得整数解.分析: 先分别求出各不等式得解集,再求出其公共解集,在其公共解集内找出符合条件得x得所有整数解相加即可求解.解答: 解:,由①得:x≥﹣2,由②得:x＜2,∴﹣2≤x＜2,∴不等式组得整数解为:﹣2,﹣1,0,1.所有整数解得与为﹣2﹣1+0+1=﹣2.故答案为:﹣2.点评: 本题考查得就是解一元一次不等式组及求一元一次不等式组得整数解,求不等式得公共解,要遵循以下原则:同大取较大,同小取较小,小大大小中间找,大大小小解不了.11.(3分)(2019年河南省)如图,在△ABC中,按以下步骤作图:①分别以B,C为圆心,以大于BC得长为半径作弧,两弧相交于M,N两点;②作直线MN交AB于点D,连接CD,若CD=AC,∠B=25°,则∠ACB得度数为105°.考点: 作图—基本作图;线段垂直平分线得性质.分析: 首先根据题目中得作图方法确定MN就是线段BC得垂直平分线,然后利用垂直平分线得性质解题即可.解答: 解:由题中作图方法知道MN为线段BC得垂直平分线,∴CD=BD,∵∠B=25°,∴∠DCB=∠B=25°,∴∠ADC=50°,∵CD=AC,∴∠A=∠ADC=50°,∴∠ACD=80°,∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=80°+25°=105°,故答案为:105°.点评: 本题考查了基本作图中得垂直平分线得作法及线段得垂直平分线得性质,解题得关键就是了解垂直平分线得做法.12.(3分)(2019年河南省)已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A,B两点,若点A得坐标为(﹣2,0),抛物线得对称轴为直线x=2,则线段AB得长为8 .考点: 抛物线与x轴得交点.分析: 由抛物线y=ax2+bx+c得对称轴为直线x=2,交x轴于A、B两点,其中A点得坐标为(﹣2,0),根据二次函数得对称性,求得B点得坐标,再求出AB得长度.解答: 解:∵对称轴为直线x=2得抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴相交于A、B两点,∴A、B两点关于直线x=2对称,∵点A得坐标为(﹣2,0),∴点B得坐标为(6,0),AB=6﹣(﹣2)=8.故答案为:8.点评: 此题考查了抛物线与x轴得交点.此题难度不大,解题得关键就是求出B点得坐标.13.(3分)(2019年河南省)一个不透明得袋子中装有仅颜色不同得2个红球与2个白球,两个人依次从袋子中随机摸出一个小球不放回,则第一个人摸到红球且第二个人摸到白球得概率就是.考点: 列表法与树状图法.专题: 计算题.分析: 列表得出所有等可能得情况数,找出第一个人摸到红球且第二个人摸到白球得情况数,即可求出所求得概率.解答: 解:列表得:红红白白红﹣﹣﹣(红,红) (白,红) (白,红)红(红,红) ﹣﹣﹣(白,红) (白,红)白(红,白) (红,白) ﹣﹣﹣(白,白)白(红,白) (红,白) (白,白) ﹣﹣﹣所有等可能得情况有12种,其中第一个人摸到红球且第二个人摸到白球得情况有4种,则P==.故答案为:.点评: 此题考查了列表法与树状图法,用到得知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.14.(3分)(2019年河南省)如图,在菱形ABCD中,AB=1,∠DAB=60°,把菱形ABCD绕点A顺时针旋转30°得到菱形AB′C′D′,其中点C得运动路径为,则图中阴影部分得面积为.考点: 菱形得性质;扇形面积得计算;旋转得性质.分析: 连接BD′,过D′作D′H⊥AB,则阴影部分得面积可分为3部分,再根据菱形得性质,三角形得面积公式以及扇形得面积公式计算即可.解答: 解:连接BD′,过D′作D′H⊥AB,∵在菱形ABCD中,AB=1,∠DAB=60°,把菱形ABCD绕点A顺时针旋转30°得到菱形AB′C′D′,∴D′H=,∴S△ABD′=1×=,∴图中阴影部分得面积为+﹣,故答案为:+﹣.点评: 本题考查了旋转得性质,菱形得性质,扇形得面积公式,熟练掌握旋转变换只改变图形得位置不改变图形得形状与大小就是解题得关键.15.(3分)(2019年河南省)如图矩形ABCD中,AD=5,AB=7,点E为DC上一个动点,把△ADE沿AE折叠,当点D得对应点D′落在∠ABC得角平分线上时,DE得长为或.考点: 翻折变换(折叠问题).分析: 连接BD′,过D′作MN⊥AB,交AB于点M,CD于点N,作D′P⊥BC交BC于点P,先利用勾股定理求出MD′,再分两种情况利用勾股定理求出DE.解答: 解:如图,连接BD′,过D′作MN⊥AB,交AB于点M,CD于点N,作D′P⊥BC交BC于点P,∵点D得对应点D′落在∠ABC得角平分线上,∴MD′=PD′,设MD′=x,则PD′=BM=x,∴AM=AB﹣BM=7﹣x,又折叠图形可得AD=AD′=5,∴x2+(7﹣x)2=25,解得x=3或4,即MD′=3或4.在RT△END′中,设ED′=a,①当MD′=3时,D′E=5﹣3=2,EN=7﹣CN﹣DE=7﹣3﹣a=4﹣a,∴a2=22+(4﹣a)2,解得a=,即DE=,②当MD′=4时,D′E=5﹣4=1,EN=7﹣CN﹣DE=7﹣4﹣a=3﹣a,∴a2=12+(3﹣a)2,解得a=,即DE=.故答案为:或.点评: 本题主要考查了折叠问题,解题得关键就是明确掌握折叠以后有哪些线段就是对应相等得.三、解答题(本大题共8小题,满分75分)16.(8分)(2019年河南省)先化简,再求值:+(2+),其中x=﹣1.考点: 分式得化简求值.专题: 计算题.分析: 先把括号内通分,再把除法运算化为乘法运算,然后把分子分母因式分解,约分后得到原式=,再把x得值代入计算.解答: 解:原式=÷=÷=•=,当x=﹣1时,原式==.点评: 本题考查了分式得化简求值:先把分式得分子或分母因式分解,再进行通分或约分,得到最简分式或整式,然后把满足条件得字母得值代入计算得到对应得分式得值.17.(9分)(2019年河南省)如图,CD就是⊙O得直径,且CD=2cm,点P为CD得延长线上一点,过点P作⊙O得切线PA,PB,切点分别为点A,B.(1)连接AC,若∠APO=30°,试证明△ACP就是等腰三角形;(2)填空:①当DP= 1 cm时,四边形AOBD就是菱形;②当DP= ﹣1 cm时,四边形AOBD就是正方形.考点: 切线得性质;等腰三角形得判定;菱形得判定;正方形得判定.分析: (1)利用切线得性质可得OC⊥PC.利用同弧所对得圆周角等于圆心角得一半,求得∠ACP=30°,从而求得.(2)①要使四边形AOBD就是菱形,则OA=AD=OD,所以∠AOP=60°,所以OP=2OA,DP=OD.②要使四边形AOBD就是正方形,则必须∠AOP=45°,OA=PA=1,则OP=,所以DP=OP﹣1.解答: 解:(1)连接OA,AC∵PA就是⊙O得切线,∴OA⊥PA,在RT△AOP中,∠AOP=90°﹣∠APO=90°﹣30°=60°,∴∠ACP=30°,∵∠APO=30°∴∠ACP=∠APO,∴AC=AP,∴△ACP就是等腰三角形.(2)①1,②.点评: 本题考查了切线得性质,圆周角得性质,熟练掌握圆得切线得性质与直角三角形得边角关系就是解题得关键.18.(9分)(2019年河南省)某兴趣小组为了了解本校男生参加课外体育锻炼情况,随机抽取本校300名男生进行了问卷调查,统计整理并绘制了如下两幅尚不完整得统计图.请根据以上信息解答下列问题:(1)课外体育锻炼情况扇形统计图中,“经常参加”所对应得圆心角得度数为144°;(2)请补全条形统计图;(3)该校共有1200名男生,请估计全校男生中经常参加课外体育锻炼并且最喜欢得项目就是篮球得人数;(4)小明认为“全校所有男生中,课外最喜欢参加得运动项目就是乒乓球得人数约为1200×=108”,请您判断这种说法就是否正确,并说明理由.考点: 条形统计图;用样本估计总体;扇形统计图.专题: 图表型.分析: (1)用“经常参加”所占得百分比乘以360°计算即可得解;(2)先求出“经常参加”得人数,然后求出喜欢篮球得人数,再补全统计图即可;(3)用总人数乘以喜欢篮球得学生所占得百分比计算即可得解;(4)根据喜欢乒乓球得27人都就是“经常参加”得学生,“偶尔参加”得学生中也会有喜欢乒乓球得考虑解答. 解答: 解:(1)360°×(1﹣15%﹣45%)=360°×40%=144°;故答案为:144°;(2)“经常参加”得人数为:300×40%=120人,喜欢篮球得学生人数为:120﹣27﹣33﹣20=120﹣80=40人;补全统计图如图所示;(3)全校男生中经常参加课外体育锻炼并且最喜欢得项目就是篮球得人数约为:1200×=160人;(4)这个说法不正确.理由如下:小明得到得108人就是经常参加课外体育锻炼得男生中最喜欢得项目就是乒乓球得人数,而全校偶尔参加课外体育锻炼得男生中也会有最喜欢乒乓球得,因此应多于108人.点评: 本题考查得就是条形统计图与扇形统计图得综合运用,读懂统计图,从不同得统计图中得到必要得信息就是解决问题得关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目得数据;扇形统计图直接反映部分占总体得百分比大小.19.(9分)(2019年河南省)在中俄“海上联合﹣2018”反潜演习中,我军舰A测得潜艇C得俯角为30°,位于军舰A正上方1000米得反潜直升机B测得潜艇C得俯角为68°,试根据以上数据求出潜艇C离开海平面得下潜深度.(结果保留整数,参考数据:sin68°≈0、9,cos68°≈0、4,tan68°≈2、5,1、7)考点: 解直角三角形得应用-仰角俯角问题.分析: 过点C作CD⊥AB,交BA得延长线于点D,则AD即为潜艇C得下潜深度,分别在Rt三角形ACD中表示出CD 与在Rt三角形BCD中表示出BD,从而利用二者之间得关系列出方程求解.解答: 解:过点C作CD⊥AB,交BA得延长线于点D,则AD即为潜艇C得下潜深度,根据题意得:∠ACD=30°,∠BCD=65°,设AD=x,则BD=BA+AD=1000+x,在Rt三角形ACD中,CD===,在Rt三角形BCD中,BD=CD•tan68°,∴1000+x=x•tan68°解得:x==≈308米,∴潜艇C离开海平面得下潜深度为308米.点评: 本题考查了解直角三角形得应用,解题得关键就是从题目中抽象出直角三角形并选择合适得边角关系求解.20.(9分)(2019年河南省)如图,在直角梯形OABC中,BC∥AO,∠AOC=90°,点A,B得坐标分别为(5,0),(2,6),点D 为AB上一点,且BD=2AD,双曲线y=(k＞0)经过点D,交BC于点E.(1)求双曲线得解析式;(2)求四边形ODBE得面积.考点: 反比例函数综合题.专题: 综合题.分析: (1)作BM⊥x轴于M,作BN⊥x轴于N,利用点A,B得坐标得到BC=OM=5,BM=OC=6,AM=3,再证明△ADN∽△ABM,利用相似比可计算出DN=2,AN=1,则ON=OA﹣AN=4,得到D点坐标为(4,2),然后把D点坐标代入y=中求出k得值即可得到反比例函数解析式;(2)根据反比例函数k得几何意义与S四边形ODBE=S梯形OABC﹣S△OCE﹣S△OAD进行计算.解答: 解:(1)作BM⊥x轴于M,作BN⊥x轴于N,如图,∵点A,B得坐标分别为(5,0),(2,6),∴BC=OM=5,BM=OC=6,AM=3,∵DN∥BM,∴△ADN∽△ABM,∴==,即==,∴DN=2,AN=1,∴ON=OA﹣AN=4,∴D点坐标为(4,2),把D(4,2)代入y=得k=2×4=8,∴反比例函数解析式为y=;(2)S四边形ODBE=S梯形OABC﹣S△OCE﹣S△OAD=×(2+5)×6﹣×|8|﹣×5×2=12.点评: 本题考查了反比例函数综合题:熟练掌握反比例函数图象上点得坐标特征、反比例函数k得几何意义与梯形得性质;理解坐标与图形得性质;会运用相似比计算线段得长度.21.(10分)(2019年河南省)某商店销售10台A型与20台B型电脑得利润为4000元,销售20台A型与10台B 型电脑得利润为3500元.(1)求每台A型电脑与B型电脑得销售利润;(2)该商店计划一次购进两种型号得电脑共100台,其中B型电脑得进货量不超过A型电脑得2倍,设购进A型电脑x台,这100台电脑得销售总利润为y元.①求y关于x得函数关系式;②该商店购进A型、B型电脑各多少台,才能使销售总利润最大？(3)实际进货时,厂家对A型电脑出厂价下调m(0＜m＜100)元,且限定商店最多购进A型电脑70台,若商店保持同种电脑得售价不变,请您根据以上信息及(2)中条件,设计出使这100台电脑销售总利润最大得进货方案.考点: 一次函数得应用;二元一次方程组得应用;一元一次不等式组得应用.分析: (1)设每台A型电脑销售利润为x元,每台B型电脑得销售利润为y元;根据题意列出方程组求解,(2)①据题意得,y=﹣50x+15000,②利用不等式求出x得范围,又因为y=﹣50x+15000就是减函数,所以x取34,y取最大值,(3)据题意得,y=(100+m)x﹣150(100﹣x),即y=(m﹣50)x+15000,分三种情况讨论,①当0＜m＜50时,y随x得增大而减小,②m=50时,m﹣50=0,y=15000,③当50＜m＜100时,m﹣50＞0,y随x得增大而增大,分别进行求解.解答: 解:(1)设每台A型电脑销售利润为x元,每台B型电脑得销售利润为y元;根据题意得解得答:每台A型电脑销售利润为100元,每台B型电脑得销售利润为150元.(2)①据题意得,y=100x﹣150(100﹣x),即y=﹣50x+15000,②据题意得,100﹣x≤2x,解得x≥33,∵y=﹣50x+15000,∴y随x得增大而减小,∵x为正整数,∴当x=34时,y取最大值,则100﹣x=66,即商店购进34台A型电脑与66台B型电脑得销售利润最大.(3)据题意得,y=(100+m)x﹣150(100﹣x),即y=(m﹣50)x+15000,33≤x≤70①当0＜m＜50时,y随x得增大而减小,∴当x=34时,y取最大值,即商店购进34台A型电脑与66台B型电脑得销售利润最大.②m=50时,m﹣50=0,y=15000,即商店购进A型电脑数量满足33≤x≤70得整数时,均获得最大利润;③当50＜m＜100时,m﹣50＞0,y随x得增大而增大,∴当x=70时,y取得最大值.即商店购进70台A型电脑与30台B型电脑得销售利润最大.点评: 本题主要考查了一次函数得应用,二元一次方程组及一元一次不等式得应用,解题得关键就是根据一次函数x值得增大而确定y值得增减情况.22.(10分)(2019年河南省)(1)问题发现如图1,△ACB与△DCE均为等边三角形,点A,D,E在同一直线上,连接BE.填空:①∠AEB得度数为60°;②线段AD,BE之间得数量关系为AD=BE .(2)拓展探究如图2,△ACB与△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,点A,D,E在同一直线上,CM为△DCE中DE边上得高,连接BE,请判断∠AEB得度数及线段CM,AE,BE之间得数量关系,并说明理由.(3)解决问题如图3,在正方形ABCD中,CD=,若点P满足PD=1,且∠BPD=90°,请直接写出点A到BP得距离.考点: 圆得综合题;全等三角形得判定与性质;等腰三角形得性质;等边三角形得性质;直角三角形斜边上得中线;正方形得性质;圆周角定理.专题: 综合题;探究型.分析: (1)由条件易证△ACD≌△BCE,从而得到:AD=BE,∠ADC=∠BEC.由点A,D,E在同一直线上可求出∠ADC,从而可以求出∠AEB得度数.(2)仿照(1)中得解法可求出∠AEB得度数,证出AD=BE;由△DCE为等腰直角三角形及CM为△DCE中DE边上得高可得CM=DM=ME,从而证到AE=2CH+BE.(3)由PD=1可得:点P在以点D为圆心,1为半径得圆上;由∠BPD=90°可得:点P在以BD为直径得圆上.显然,点P就是这两个圆得交点,由于两圆有两个交点,接下来需对两个位置分别进行讨论.然后,添加适当得辅助线,借助于(2)中得结论即可解决问题.解答: 解:(1)①如图1,∵△ACB与△DCE均为等边三角形,∴CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=90°.∴∠ACD=∠BC E.在△ACD与△BCE中,∴△ACD≌△BCE.∴∠ADC=∠BEC.∵△DCE为等边三角形,∴∠CDE=∠CED=60°.∵点A,D,E在同一直线上,∴∠ADC=120°.∴∠BEC=120°.∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=60°.故答案为:60°.②∵△ACD≌△BCE,∴AD=BE.故答案为:AD=BE.(2)∠AEB=90°,AE=BE+2CM.理由:如图2,∵△ACB与△DCE均为等腰直角三角形,∴CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=90°.∴∠ACD=∠BCE.在△ACD与△BCE中,∴△ACD≌△BCE.∴AD=BE,∠ADC=∠BEC.∵△DCE为等腰直角三角形,∴∠CDE=∠CED=45°.∵点A,D,E在同一直线上,∴∠ADC=135°.∴∠BEC=135°.∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°.∵CD=CE,CM⊥DE,∴DM=ME.∵∠DCE=90°,∴DM=ME=CM.∴AE=AD+DE=BE+2CM.(3)∵PD=1,∴点P在以点D为圆心,1为半径得圆上.∵∠BPD=90°,∴点P在以BD为直径得圆上.∴点P就是这两圆得交点.①当点P在如图3①所示位置时,连接PD、PB、PA,作AH⊥BP,垂足为H,过点A作AE⊥AP,交BP于点E,如图3①.∵四边形ABCD就是正方形,∴∠ADB=45°.AB=AD=DC=BC=,∠BAD=90°.∴BD=2.∵DP=1,∴BP=.∵A、P、D、B四点共圆,∴∠APB=∠ADB=45°.∴△PAE就是等腰直角三角形.又∵△BAD就是等腰直角三角形,点B、E、P共线,AH⊥BP,∴由(2)中得结论可得:BP=2AH+PD.∴=2AH+1.∴AH=.②当点P在如图3②所示位置时,连接PD、PB、PA,作AH⊥BP,垂足为H,过点A作AE⊥AP,交PB得延长线于点E,如图3②.同理可得:BP=2AH﹣PD.∴=2AH﹣1.∴AH=.综上所述:点A到BP得距离为或.点评: 本题考查了等边三角形得性质、正方形得性质、等腰三角形得性质、直角三角形斜边上得中线等于斜边得一半、圆周角定理、三角形全等得判定与性质等知识,考查了运用已有得知识与经验解决问题得能力,就是体现新课程理念得一道好题.而通过添加适当得辅助线从而能用(2)中得结论解决问题就是解决第(3)得关键.23.(11分)(2019年河南省)如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A(﹣1,0),B(5,0)两点,直线y=﹣x+3与y轴交于点C,与x轴交于点D.点P就是x轴上方得抛物线上一动点,过点P作PF⊥x轴于点F,交直线CD于点E.设点P得横坐标为m.(1)求抛物线得解析式;(2)若PE=5EF,求m得值;(3)若点E′就是点E关于直线PC得对称点,就是否存在点P,使点E′落在y轴上？若存在,请直接写出相应得点P得坐标;若不存在,请说明理由.考点: 二次函数综合题.分析: (1)利用待定系数法求出抛物线得解析式;(2)用含m得代数式分别表示出PE、EF,然后列方程求解;(3)解题关键就是识别出四边形PECE′就是菱形,然后根据PE=CE得条件,列出方程求解.解答: 解:(1)将点A、B坐标代入抛物线解析式,得:,解得,∴抛物线得解析式为:y=﹣x2+4x+5.(2)∵点P得横坐标为m,∴P(m,﹣m2+4m+5),E(m,﹣m+3),F(m,0).∴PE=|y P﹣y E|=|(﹣m2+4m+5)﹣(﹣m+3)|=|﹣m2+m+2|,EF=|y E﹣y F|=|(﹣m+3)﹣0|=|﹣m+3|.由题意,PE=5EF,即:|﹣m2+m+2|=5|﹣m+3|=|m+15|①若﹣m2+m+2=m+15,整理得:2m2﹣17m+26=0,解得:m=2或m=;①若﹣m2+m+2=﹣(m+15),整理得:m2﹣m﹣17=0,解得:m=或m=.由题意,m得取值范围为:﹣1＜m＜5,故m=、m=这两个解均舍去.∴m=2或m=.(3)假设存在.作出示意图如下:∵点E、E′关于直线PC对称,∴∠1=∠2,CE=CE′,PE=PE′.∵PE平行于y轴,∴∠1=∠3,∴∠2=∠3,∴PE=CE,∴PE=CE=PE′=CE′,即四边形PECE′就是菱形.由直线CD解析式y=﹣x+3,可得OD=4,OC=3,由勾股定理得CD=5.过点E作EM∥x轴,交y轴于点M,易得△CEM∽△CDO,∴,即,解得CE=|m|,∴PE=CE=|m|,又由(2)可知:PE=|﹣m2+m+2|∴|﹣m2+m+2|=|m|.①若﹣m2+m+2=m,整理得:2m2﹣7m﹣4=0,解得m=4或m=﹣;②若﹣m2+m+2=﹣m,整理得:m2﹣6m﹣2=0,解得m=3+或m=3﹣.由题意,m得取值范围为:﹣1＜m＜5,故m=3+这个解舍去.综上所述,存在满足条件得点P,可求得点P坐标为(﹣,),(4,5),(3﹣,2﹣3).点评: 本题就是二次函数压轴题,综合考查了二次函数与一次函数得图象与性质、点得坐标、待定系数法、菱形、相似三角形等多个知识点,重点考查了分类讨论思想与方程思想得灵活运用.需要注意得就是,为了避免漏解,表示线段长度得代数式均含有绝对值,解方程时需要分类讨论、分别计算.。
(完整版)2019年河南省中考数学试题、答案(解析版)
2019年河南省中考数学试题、答案（解析版）本试卷满分120分,考试时间100分钟.第Ⅰ卷(选择题 共30分)一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.12-的绝对值是 ( )A .12-B .12C .2D .2-2.成人每天维生素D 的摄入量约为0.000 004 6克.数据“0.000 004 6”用科学记数法表示为( ) A .74610-⨯B .74.610-⨯C .64.610-⨯D .50.4610-⨯ 3.如图,AB CD ∥,75B ∠=,27E ∠=,则D ∠的度数为( )A .45B .48C .50D .584.下列计算正确的是( )A .236a a a +=B .22(3)6a a -=C .222()x y x y -=-D .32222-=5.如图1是由大小相同的小正方体搭成的几何体,将上层的小正方体平移后得到图2.关于平移前后几何体的三视图,下列说法正确的是( )A .主视图相同B .左视图相同C .俯视图相同D .三种视图都不相同是( )6.一元二次方程()12()13x x x +-=+的根的情况A .有两个不相等的实数根 B .有两个相等的实数根 C .只有一个实数根D .没有实数根7.某超市销售A ,B ,C ,D 四种矿泉水,它们的单价依次是5元、3元、2元、1元.某天的销售情况如图所示,则这天销售的矿泉水的平均单价是( )A .1.95元B .2.15元C .2.25元D .2.75元8.已知抛物线24y x bx =-++经过()2,n -和(4,)n 两点,则n 的值为( )A .2-B .4-C .2D .49.如图,在四边形ABCD 中,AD BC ∥,90D ∠=,4AD =,3BC =.分别以点A ,C 为圆心,大于12AC 长为半径作弧,两弧交于点E ,作射线BE 交AD 于点F ,交AC 于点O .若点O 是AC 的中点,则CD 的长为( )图1图2A .22 B .4 C .3 D .10与正方形ABCD 组成的图形绕点O 10.如图,在OAB △中,顶点()0,0O ,4()3,A -,()3,4B .将OAB △顺时针旋转,每次旋转90,则第70次旋转结束时,点D 的坐标为( )A .(10,3)B .()3,10-C .(10,)3-D .(3,)10-第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分.把答案填写在题中的横线上) 11.计算：142--= .12.不等式组1,274xx ⎧-⎪⎨⎪-+⎩≤＞的解集是 .13.现有两个不透明的袋子,一个装有2个红球、1个白球,另一个装有1个黄球、2个红球,这些球除颜色外完全相同.从两个袋子中各随机摸出1个球,摸出的两个球颜色相同的概率是 .14.如图,在扇形AOB 中,120AOB ∠=,半径OC 交弦AB 于点D ,且OC OA ⊥.若23OA =,则阴影部分的面积为 .15.如图,在矩形ABCD 中,1AB =,BC a =,点E 在边BC 上,且35BE α=.连接AE ,将ABE △沿AE 折叠,若点B 的对应点B '落在矩形ABCD 的边上,则a 的值为 .三、解答题(本大题共8小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(本小题满分8分)先化简,再求值：2212(1)244x x xx x x +--÷--+,其中3x =.17.(本小题满分9分)如图,在ABC △中,BA BC =,90ABC ∠=.以AB 为直径的半圆O 交AC 于点D ,点E 是BD 上不与点B ,D 重合的任意一点,连接AE 交BD 于点F ,连接BE 并延长交AC 于点G . (1)求证：ADF BDG ≅△△；(2)填空：①若4AB =,且点E 是BD 的中点,则DF 的长为 ；②取AE 的中点H ,当EAB ∠的度数为 时,四边形OBEH 为菱形.18.(本小题满分9分)某校为了解七、八年级学生对“防溺水”安全知识的掌握情况,从七、八年级各随机抽取50名学生进行测试,并对成绩(百分制)进行整理、描述和分析.部分信息如下： a .七年级成绩频数分布直方图：b .七年级成绩在7080x ≤＜这一组的是：70 72 74 75 76 76 77 77 77 78 79 c .根据以上信息,回答下列问题：(1)在这次测试中,七年级在80分以上(含80分)的有 人； (2)表中m 的值为 ；(3)在这次测试中,七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是78分,请判断两位学生在各自年级的排名谁更靠前,并说明理由；(4)该校七年级学生有400人,假设全部参加此次测试,请估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数.19.(本小题满分9分)数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像(塑像中高者)的高度.如图所示,炎帝塑像DE 在高55 m 的小山EC 上,在A处测得塑像底部E 的仰角为34,再沿AC 方向前进21 m 到达B 处,测得塑像顶部D 的仰角为60,求炎帝塑像DE 的高度.(精确到1 m .参考数据：sin340.56≈,cos340.83=,tan340.67≈ 1.73≈)20.(本小题满分9分)学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品.已知购买3个A 奖品和2个B 奖品共需120元；购买5个A 奖品和4个B 奖品共需210元. (1)求A ,B 两种奖品的单价；(2)学校准备购买A ,B 两种奖品共30个,且A 奖品的数量不少于B 奖品数量的13.请设计出最省钱的购买方案,并说明理由.21.(本小题满分10分)模具厂计划生产面积为4,周长为m 的矩形模具.对于m 的取值范围,小亮已经能用“代数”的方法解决,现在他又尝试从“图形”的角度进行探究,过程如下： (1)建立函数模型设矩形相邻两边的长分别为x ,y .由矩形的面积为4,得4xy =,即4y x =；由周长为m ,得2()x y m +=,即2m y x =-+.满足要求的(),x y 应是两个函数图象在第________象限内交点的坐标； (2)画出函数图象 函数4(0)y x x =＞的图象如图所示,而函数2my x =-+的图象可由直线y x =-平移得到.请在同一直角坐标系中直接画出直线y x =-；(3)平移直线y x =-,观察函数图象 ①当直线平移到与函数4(0)y x x=＞的图象有唯一交点(2,2)时,周长m 的值为 ； ②在直线平移过程中,交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长m 的取值范围. (4)得出结论若能生产出面积为4的矩形模具,则周长m 的取值范围为 .22.(本小题满分10分)在ABC △中,CA CB =,ACB α∠=.点P 是平面内不与点A ,C 重合的任意一点,连接AP ,将线段AP 绕点P 逆时针旋转α得到线段DP ,连接AD ,BD ,CP .(1)观察猜想 如图1,当60α=时,BDCP的值是 ,直线BD 与直线CP 相交所成的较小角的度数是 ； (2)类比探究如图2,当90α=时,请写出BDCP的值及直线BD 与直线CP 相交所成的小角的度数,并就图2的情形说明理由； (3)解决问题当90α=时,若点E ,F 分别是CA ,CB 的中点,点P 在直线EF 上,请直接写出点C ,P ,D 在同一直线上时ADCP的值.图1图2备用图23.(本小题满分11分) 如图,抛物线212y ax x c =++交x 轴于A ,B 两点,交y 轴于点C .直线122y x =--经过点A ,C . (1)求抛物线的解析式；(2)点P 是抛物线上一动点,过点P 作x 轴的垂线,交直线AC 于点M ,设点P 的横坐标为m . ①当PCM △是直角三角形时,求点P 的坐标；②作点B 关于点C 的对称点B ',则平面内存在直线l ,使点M ,B ,B '到该直线的距离都相等.当点P 在y 轴右侧的抛物线上,且与点B 不重合时,请直接写出直线l ：y kx b =+的解析式.(k ,b 可用含m 的式子表示)备用图河南省2019年普通高中招生考试数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】B 【解析】解：11||22-=,故选：B . 【提示】根据一个负数的绝对值是它的相反数进行解答即可. 【考点】绝对值的概念. 2.【答案】C【解析】解：60.0000046 4.610-=⨯. 【提示】本题用科学记数法的知识即可解答. 【考点】科学记数法. 3.【答案】B【解析】解：∵AB CD ∥,∴1B ∠=∠, ∵1D E ∠=∠+∠,∴752748D B E ∠=∠-∠=-=, 故选：B .【提示】根据平行线的性质解答即可. 【考点】平行线的性质,三角形外角的性质. 4.【答案】D【解析】解：235a a a +=,A 错误；22(3)9a a -=,B 错误；222(2)x y x xy y -=-+,C错误；=D 正确；故选：D .【提示】根据合并同类项法则,完全平方公式,幂的乘方与积的乘方的运算法则进行运算即可. 【考点】整式的运算. 5.【答案】C【解析】解：观察几何体,确定三视图,此几何体将上层的小正方体平移后俯视图相同,故选C . 【提示】根据三视图解答即可. 【考点】几何体的三视图. 6.【答案】A【解析】解：原方程可化为：2240x x --=, ∴1a =,2b =-,4c =-, ∴2241()(4)200∆=--⨯⨯-=＞, ∴方程由两个不相等的实数根. 故选：A .【提示】先化成一般式后,再求根的判别式. 【考点】一元二次方程根的情况.7.【答案】C【解析】解：这天销售的矿泉水的平均单价是510%315%255%120% 2.25⨯+⨯+⨯+⨯=(元), 故选：C .【提示】根据加权平均数的定义列式计算可得. 【考点】加权平均数的计算. 8.【答案】B【解析】解：抛物线24y x bx =-++经过()2,n -和(4,)n 两点, 可知函数的对称轴1x =, ∴12b=, ∴2b =；∴224y x x =-++,将点()2,n -代入函数解析式,可得4n =； 故选：B .【提示】根据()2,n -和(4,)n 可以确定函数的对称轴1x =,再由对称轴的2bx =即可求解. 【考点】二次函数点的坐标特征,二元一次方程组的解法. 9.【答案】A【解析】解：如图,连接FC ,则AF FC =. ∵AD BC ∥, ∴FAO BCO ∠=∠. 在FOA △与BOC △中,FAO BCO OA OCAOF COB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩, ∴()ASA FOA BOC ≅△△, ∴3AF BC ==,∴3FC AF ==,431FD AD AF =-=-=. 在FDC △中,∵90D ∠=, ∴222CD DF FC +=, ∴21232CD +=,∴CD = 故选：A .【提示】连接FC ,根据基本作图,可得OE 垂直平分AC ,由垂直平分线的性质得出AF FC =.再根据ASA 证明FOA BOC ≅△△,那么3AF BC ==,等量代换得到3FC AF ==,利用线段的和差关系求出1FD AD AF =-=.然后在直角FDC △中利用勾股定理求出CD 的长.【考点】尺规作图,平行线的性质,勾股定理,角平分线的性质,全等三角形的判定与性质.10.【答案】D【解析】解：∵4()3,A -,()3,4B , ∴336AB =+=, ∵四边形ABCD 为正方形, ∴6AD AB ==, ∴0()3,1D -, ∵704172=⨯+,∴每4次一个循环,第70次旋转结束时,相当于OAB △与正方形ABCD 组成的图形绕点O 顺时针旋转2次,每次旋转90, ∴点D 的坐标为(3,)10-. 故选：D .【提示】先求出6AB =,再利用正方形的性质确定0()3,1D -,由于704172=⨯+,所以第70次旋转结束时,相当于OAB △与正方形ABCD 组成的图形绕点O 顺时针旋转2次,每次旋转90,此时旋转前后的点D 关于原点对称,于是利用关于原点对称的点的坐标特征可出旋转后的点D 的坐标. 【考点】图形的旋转,点的坐标的确定.第Ⅱ卷二、填空题 11.【答案】3221-122=- 32=. 故答案为：32. 【提示】本题涉及二次根式化简、负整数指数幂两个考点.针对每个考点分别进行计算,然后根据实数的运算法则求得计算结果.【考点】实数的相关运算. 12.【答案】2x -≤ 【解析】解：解不等式12x-,得：2x -≤, 解不等式74x -+＞,得：3x ＜, 则不等式组的解集为2x -≤, 故答案为：2x -≤.【提示】分别求出每一个不等式的解集,根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集. 【考点】解不等式组. 13.【答案】49由表知,共有9种等可能结果,其中摸出的两个球颜色相同的有4种结果, 所以摸出的两个球颜色相同的概率为49, 故答案为：49. 【提示】列表得出所有等可能结果,从中找到两个球颜色相同的结果数,利用概率公式计算可得. 【考点】概率的计算. 14.π【解析】解：作OE AB ⊥于点F ,∵在扇形AOB 中,120AOB ∠=,半径OC 交弦AB 于点D ,且OC OA ⊥.OA=2,∴90AOD ∠=,90BOC ∠=,OA OB =, ∴30OAB OBA ∠=∠=,∴tan30232OD OA ===,4AD =,226ABAF ==⨯=,OF = ∴2BD =,∴阴影部分的面积是：πAOD BDO OBC S S S +-==△△扇形,π.【提示】根据题意,作出合适的辅助线,然后根据图形可知阴影部分的面积是AOD △的面积与扇形OBC 的面积之和再减去BDO △的面积,本题得以解决.【考点】不规则图形面积的计算. 15.【答案】53【解析】解：分两种情况： ①当点B '落在AD 边上时,如图1.图1∵四边形ABCD 是矩形, ∴90BAD B ∠=∠=,∵将ABE △沿AE 折叠,点B 的对应点B '落在AD 边上, ∴1452BAE B AE BAD ∠=∠'=∠=, ∴AB BE =, ∴315a =, ∴53a =； ②当点B'落在CD 边上时,如图2.图2∵四边形ABCD 是矩形,∴90BAD B C D ∠=∠=∠=∠=,AD BC a ==. ∵将ABE △沿AE 折叠,点B 的对应点B '落在CD 边上, ∴90B AB E ∠=∠'=,1AB AB ='=,35EB EB a ='=,∴DB '==355EC BC BE a a =-=-=. 在ADB '△与B CE '△中,9090B AD EB C AB DD C '''⎧∠=∠=-∠⎨∠=∠=⎩, ∴ADB B CE ''△△,∴DB AB CE B E ''=',1355a a =,解得1a ,20a =(舍去).综上,所求a 的值为53.故答案为53.【提示】分两种情况：①点B '落在AD 边上,根据矩形与折叠的性质易得AB BE =,即可求出a 的值；②点B '落在CD 边上,证明ADB B CE ''△△,根据相似三角形对应边成比例即可求出a 的值. 【考点】图形的折叠,勾股定理. 三、解答题16.【答案】解：原式212(2)()22(2)x x x x x x x +--=-÷--- 322x x x -=-3x=, 当x=,=【解析】解：原式212(2)()22(2)x x x x x x x +--=-÷--- 322x x x -=-3x=, 当x =,=【提示】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式,再将x 的值代入计算可得. 【考点】分式的化简求值.17.【答案】解：(1)证明：如图1,∵BA BC =,90ABC ∠=,图1∴45BAC ∠=∵AB 是O 的直径,∴90ADB AEB ∠=∠=,∴90DAF BGD DBG BGD ∠+∠=∠+∠=∴DAF DBG ∠=∠∵90ABD BAC ∠+∠=∴45ABD BAC ∠=∠=∴AD BD =∴()ASA ADF BDG ≅△△；(2)①4-②30【解析】解：(1)证明：如图1,∵BA BC =,90ABC ∠=,图1∴45BAC ∠=∵AB 是O 的直径,∴90ADB AEB ∠=∠=,∴90DAF BGD DBG BGD ∠+∠=∠+∠=∴DAF DBG ∠=∠∵90ABD BAC ∠+∠=∴45ABD BAC ∠=∠=∴AD BD =∴()ASA ADF BDG ≅△△；(2)①如图2,过F 作FH AB ⊥于H ,∵点E 是BD 的中点,图2∴BAE DAE ∠=∠∵FD AD ⊥,FH AB ⊥∴FH FD = ∵2sin sin452FH ABD BF =∠==,∴FD BF 即BF = ∵4AB =, ∴4cos4522BD ==即BF FD +=1)FD =∴4FD ==-故答案为4-②连接OE ,EH ,∵点H 是AE 的中点,∴OH AE ⊥,∵90AEB ∠=∴BE AE ⊥ ∴BE OH ∥∵四边形OBEH 为菱形,∴12BE OH OB AB ===∴1sin 2BE EAB AB ∠== ∴30EAB ∠=.故答案为：30.【提示】(1)利用直径所对的圆周角是直角,可得90ADB AEB ∠=∠=,再应用同角的余角相等可得DAF DBG ∠=∠,易得AD BD =,ADF BDG △≌△得证；(2)作FH AB ⊥,应用等弧所对的圆周角相等得BAE DAE ∠=∠,再应用角平分线性质可得结论；由菱形的性质可得BE OB =,结合三角函数特殊值可得30EAB ∠=.【考点】圆的相关性质,全等三角形的判定和性质,菱形的判定和性质,圆周角定理.18.【答案】(1)23(2)77.5(3)甲学生在该年级的排名更靠前.∵七年级学生甲的成绩大于中位数78分,其名次在该班25名之前,八年级学生乙的成绩小于中位数78分,其名次在该班25名之后,∴甲学生在该年级的排名更靠前.(4)估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数为515840022450++⨯=(人). 【解析】解：(1)在这次测试中,七年级在80分以上(含80分)的有15823+=人,故答案为：23；(2)七年级50人成绩的中位数是第25、26个数据的平均数,而第25、26个数据分别为78、79,∴777877.52m +==,故答案为：77.5；(3)甲学生在该年级的排名更靠前.∵七年级学生甲的成绩大于中位数78分,其名次在该班25名之前,八年级学生乙的成绩小于中位数78分,其名次在该班25名之后,∴甲学生在该年级的排名更靠前.(4)估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数为515840022450++⨯=(人). 【提示】(1)根据条形图及成绩在7080x ≤＜这一组的数据可得；(2)根据中位数的定义求解可得；(3)将各自成绩与该年级的中位数比较可得答案；(4)用总人数乘以样本中七年级成绩超过平均数76.9分的人数所占比例可得.【考点】统计知识的实际应用.19.【答案】解：∵90ACE ∠=,34CAE ∠=,55m CE =, ∴tan CE CAE AC∠=, ∴5582.1m tan340.67CE AC ==≈, ∵21m AB =,∴61.1m BC AC AB =-=,在Rt BCD △中,tan60CD BC==, ∴ 1.7361.1105.7m CD ≈⨯≈,∴105.75551m DE CD EC =-=-≈,答：炎帝塑像DE 的高度约为51 m .【解析】解：∵90ACE ∠=,34CAE ∠=,55m CE =, ∴tan CE CAE AC∠=, ∴5582.1m tan340.67CE AC ==≈, ∵21m AB =,∴61.1m BC AC AB =-=,在Rt BCD △中,tan60CD BC==, ∴ 1.7361.1105.7m CD ≈⨯≈,∴105.75551m DE CD EC =-=-≈,答：炎帝塑像DE 的高度约为51 m .【提示】由三角函数求出82.1m tan34CE AC =≈,得出61.1m BC AC AB =-=,在Rt BCD △中,由三角函数得出105.7m CD =≈,即可得出答案.【考点】解直角三角形的实际应用.20.【答案】解：(1)设A 的单价为x 元,B 的单价为y 元,根据题意,得3212054210x y x y +=⎧⎨+=⎩, ∴3015x y =⎧⎨=⎩,∴A 的单价30元,B 的单价15元；(2)设购买A 奖品z 个,则购买B 奖品为30-z （）个,购买奖品的花费为W 元,由题意可知,13)3(0z z -≥, ∴152z ≥, 30153045(51)0W z z z =+-=+,当8z =时,W 有最小值为570元,即购买A 奖品8个,购买B 奖品22个,花费最少.【解析】解：(1)设A 的单价为x 元,B 的单价为y 元,根据题意,得3212054210x y x y +=⎧⎨+=⎩,∴3015x y =⎧⎨=⎩, ∴A 的单价30元,B 的单价15元；(2)设购买A 奖品z 个,则购买B 奖品为30-z （）个,购买奖品的花费为W 元, 由题意可知,13)3(0z z -≥, ∴152z ≥, 30153045(51)0W z z z =+-=+,当8z =时,W 有最小值为570元,即购买A 奖品8个,购买B 奖品22个,花费最少.【提示】(1)设A 的单价为x 元,B 的单价为y 元,根据题意列出方程组3212054210x y x y +=⎧⎨+=⎩,即可求解； (2)设购买A 奖品z 个,则购买B 奖品为(30)z -个,购买奖品的花费为W 元,根据题意得到由题意可知,13)3(0z z -≥,30153045(51)0W z z z =+-=+,根据一次函数的性质,即可求解.【考点】二元一次方程组,不等式及一次函数解决实际问题.21.【答案】(1)一(2)图象如下所示：(3)①8②在直线平移过程中,交点个数有：0个、1个、2个三种情况, 联立4y x =和2m y x =-+并整理得：21402x mx -+=, 214404m ∆=-⨯≥时,两个函数有交点, 解得：8m ≥；(4)8m ≥【解析】解：(1),x y 都是边长,因此,都是正数,故点(),x y 在第一象限,答案为：一；(2)图象如下所示：(3)①把点(2,2)代入2m y x =-+得： 222m =-+,解得：8m =； ②在直线平移过程中,交点个数有：0个、1个、2个三种情况, 联立4y x =和2m y x =-+并整理得：21402x mx -+=, 214404m ∆=-⨯≥时,两个函数有交点, 解得：8m ≥；(4)由(3)得：8m ≥.【提示】(1),x y 都是边长,因此,都是正数,即可求解；(2)直接画出图象即可；(3)①把点()2,2代入2m y x =-+即可求解；②在直线平移过程中,交点个数有：0个、1个、2个三种情况,联立4y x=和 = 2m y x -+并整理得：21402x mx -+=,即可求解； (4)由(3)可得.【考点】反比例函数与一次函数图象的应用.22.【答案】1 60(2)如图2中,设BD 交AC 于点O ,BD 交PC 于点E .图2∵45PAD CAB ∠=∠=,∴PAC DAB ∠=∠,∵AB AD AC AP== ∴DAB PAC △△, ∴PCA DBA ∠=∠,BD AB PC AC== ∵EOC AOB ∠=∠,∴45CEO OABB ∠=∠=,∴直线BD 与直线CP 相交所成的小角的度数为45.(3)如图3-1中,当点D 在线段PC 上时,延长AD 交BC 的延长线于H .图3-1∵CE EA =,CF FB =,∴EF AB ∥,∴45EFC ABC ∠=∠=,∵45PAO ∠=,∴PAO OFH ∠=∠,∵POA FOH ∠=∠,∴H APO ∠=∠,∵90APC ∠=,EA EC =,∴PE EA EC ==,∴EPA EAP BAH ∠=∠=∠,∴H BAH ∠=∠,∴BH BA =,∵45ADP BDC ∠=∠=,∴90ADB ∠=,∴BD AH ⊥,∴22.5DBA DBC ∠=∠=,∵90ADB ACB ∠=∠=,∴A ,D ,C ,B 四点共圆,22.5DAC DBC ∠=∠=,22.5DCA ABD ∠=∠=,∴22.5DAC DCA ∠=∠=,∴DA DC =,设AD a =,则DC AD a ==,PD ,∴2AD CP ==如图3-2中,当点P 在线段CD 上时,同法可证：DA DC =,设AD a =,则CD AD a ==,PD ,图3-2∴PC a=-,∴2ADPC==+【解析】解：(1)如图1中,延长CP交BD的延长线于E,设AB交EC于点O.图1∵60PAD CAB∠=∠=,∴CAP BAD∠=∠,∵CA BA=,PA DA=,∴()SASCAP BAD≅△△,∴PC BD=,ACP ABD∠=∠,∵AOC BOE∠=∠,∴60BEO CAO∠=∠=,∴1BDPC=,线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是60,故答案为1,60.(2)如图2中,设BD交AC于点O,BD交PC于点E.图2∵45PAD CAB∠=∠=,∴PAC DAB∠=∠,∵AB ADAC AP==∴DAB PAC△△,∴PCA DBA∠=∠,BD ABPC AC==∵EOC AOB∠=∠,∴45CEO OABB∠=∠=,∴直线BD与直线CP相交所成的小角的度数为45.(3)如图3-1中,当点D在线段PC上时,延长AD交BC的延长线于H.图3-1∵CE EA =,CF FB =,∴EF AB ∥,∴45EFC ABC ∠=∠=,∵45PAO ∠=,∴PAO OFH ∠=∠,∵POA FOH ∠=∠,∴H APO ∠=∠,∵90APC ∠=,EA EC =,∴PE EA EC ==,∴EPA EAP BAH ∠=∠=∠,∴H BAH ∠=∠,∴BH BA =,∵45ADP BDC ∠=∠=,∴90ADB ∠=,∴BD AH ⊥,∴22.5DBA DBC ∠=∠=,∵90ADB ACB ∠=∠=,∴A ,D ,C ,B 四点共圆,22.5DAC DBC ∠=∠=,22.5DCA ABD ∠=∠=,∴22.5DAC DCA ∠=∠=,∴DA DC =,设AD a =,则DC AD a ==,PD ,∴2AD CP ==如图3-2中,当点P 在线段CD 上时,同法可证：DA DC =,设AD a =,则CD AD a ==,PD ,图3-2∴PC a =-,∴2AD PC ==+ 【提示】(1)如图1中,延长CP 交BD 的延长线于E ,设AB 交EC 于点O .证明()SAS CAP BAD △≌△,即可解决问题.(2)如图2中,设BD 交AC 于点O ,BD 交PC 于点E .证明△DAB ∽△PAC ,即可解决问题.(3)分两种情形：①如图3-1中,当点D 在线段PC 上时,延长AD 交BC 的延长线于H .证明AD=DC 即可解决问题. ②如图3-2中,当点P 在线段CD 上时,同法可证：DA DC =解决问题.【考点】图形变换,规律探究.23.【答案】解：(1)当0x =时,1222y x =--=-,∴点C 的坐标为(0,)2-；当0y =时,1202x --=,解得：4x =-,∴点A 的坐标为()4,0-.将0()4,A -,2(0,)C -代入212y ax x c =++,得： 16202a c c -+=⎧⎨=-⎩,解得：142a c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩, ∴抛物线的解析式为211242y x x =+-. (2)①∵PM x ⊥轴,∴90PMC ∠≠,∴分两种情况考虑,如图1所示.图1(i )当90MPC ∠=时,PC x ∥轴,∴点P 的纵坐标为2-.当2y =-时,2112242x x +-=-, 解得：12x =-,20x =,∴点P 的坐标为(2,2)--；(ii )当90PCM ∠=时,设PC 与x 轴交于点D .∵90OAC OCA ∠+∠=,90OCA OCD ∠+∠=,∴OAC OCD ∠=∠.又∵90AOC COD ∠=∠=,∴AOC COD △△, ∴OD OC OC OA =,即224OD =, ∴1OD =,∴点D 的坐标为(1,0).设直线PC 的解析式为()0y kx b k =+≠,将2(0,)C -,()1,0D 代入y kx b =+,得：20b k b =-⎧⎨+=⎩,解得：22k b =⎧⎨=-⎩, ∴直线PC 的解析式为22y x =-.联立直线PC 和抛物线的解析式成方程组,得：22211242y x y x x =-⎧⎪⎨=+-⎪⎩,解得：1102x y =⎧⎨=-⎩,22610x y =⎧⎨=⎩, 点P 的坐标为(6,10).综上所述：当PCM △是直角三角形时,点P 的坐标为(2,2)--或(6,10). ②当0y =时,2112042x x +-=, 解得：14x =-,22x =,∴点B 的坐标为(2,0).∵点P 的横坐标为0()0m m m ≠＞且,∴点P 的坐标为211(,2)42m m m +-,∴直线PB 的解析式为11(4)(4)42y m x m =+-+(可利用待定系数求出). ∵点B ,B '关于点C 对称,点B ,B ',P 到直线l 的距离都相等, ∴直线l 过点C ,且直线l PB ∥直线,∴直线l 的解析式为1(4)24y m x =+-. 【解析】解：(1)当0x =时,1222y x =--=-,∴点C 的坐标为(0,)2-；当0y =时,1202x --=,解得：4x =-,∴点A 的坐标为()4,0-.将0()4,A -,2(0,)C -代入212y ax x c =++,得： 16202a c c -+=⎧⎨=-⎩,解得：142a c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩, ∴抛物线的解析式为211242y x x =+-. (2)①∵PM x ⊥轴,∴90PMC ∠≠,∴分两种情况考虑,如图1所示.图1(i )当90MPC ∠=时,PC x ∥轴,∴点P 的纵坐标为2-.当2y =-时,2112242x x +-=-, 解得：12x =-,20x =,∴点P 的坐标为(2,2)--；(ii )当90PCM ∠=时,设PC 与x 轴交于点D .∵90OAC OCA ∠+∠=,90OCA OCD ∠+∠=,∴OAC OCD ∠=∠.又∵90AOC COD ∠=∠=,∴AOC COD △△, ∴OD OC OC OA =,即224OD =, ∴1OD =,∴点D 的坐标为(1,0).设直线PC 的解析式为()0y kx b k =+≠,将2(0,)C -,()1,0D 代入y kx b =+,得：20b k b =-⎧⎨+=⎩,解得：22k b =⎧⎨=-⎩, ∴直线PC 的解析式为22y x =-.联立直线PC 和抛物线的解析式成方程组,得：22211242y x y x x =-⎧⎪⎨=+-⎪⎩, 解得：1102x y =⎧⎨=-⎩,22610x y =⎧⎨=⎩, 点P 的坐标为(6,10).综上所述：当PCM △是直角三角形时,点P 的坐标为(2,2)--或(6,10).②当0y =时,2112042x x +-=, 解得：14x =-,22x =,∴点B 的坐标为(2,0).∵点P 的横坐标为0()0m m m ≠＞且,∴点P 的坐标为211(,2)42m m m +-,∴直线PB 的解析式为11(4)(4)42y m x m =+-+(可利用待定系数求出). ∵点B ,B '关于点C 对称,点B ,B ',P 到直线l 的距离都相等,∴直线l 过点C ,且直线l PB ∥直线,∴直线l 的解析式为1(4)24y m x =+-.【提示】(1)利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A ,C 的坐标,根据点A ,C 的坐标,利用待定系数法可求出二次函数解析式；(2)①由PM x ⊥轴可得出90PMC ∠≠,分90MPC ∠=及90PCM ∠=两种情况考虑：(i )当90MPC ∠=时,PC x ∥轴,利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点P 的坐标；(ii )当90PCM ∠=时,设PC 与x 轴交于点D ,易证AOC COD △△,利用相似三角形的性质可求出点D 的坐标,根据点C ,D 的坐标,利用待定系数法可求出直线PC 的解析式,联立直线PC 和抛物线的解析式成方程组,通过解方程组可求出点P 的坐标.综上,此问得解；②利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点B ,P 的坐标,根据点P ,B 的坐标,利用待定系数法可求出直线PB 的解析式,结合题意可知：直线l 过点C ,且直线l PB ∥直线,再结合点C 的坐标即可求出直线l 的解析式.【考点】二次函数的图象和性质,直角三角形的性质,相似三角形的判定和性质,中位线定理,一次函数的性质,分类讨论思想.。
2019年河南省中考数学试卷含答案
2EBA2019 年河南省普通高中招生考试数学试题一、选择题(每小题 3 分，共 30 分)下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的．1.- 1的绝对值是（）2A.-12B.12C ．2D ． -22.成人每天维生素 D 的摄入量约为 0.0000046 克，数据“0.0000046”用科学记数法表示为（）A ． 46⨯10-7B ． 4.6⨯10-7C ． 4.6⨯10-6D ． 0.46⨯10-53．如图， AB ∥CD ，∠B = 75︒，∠E = 27︒ ，则∠D 的度数为（）A ． 45︒B ． 48︒C ． 50︒D ．58︒4.下列计算正确的是（）A ． 2a + 3a = 6a C ． ( x - y )2= x 2 - y 2DCB ．(-3a )2= 6a2D ．3 2 -= 25.如图①是由大小相同的小正方体搭成的几何体，将上层的小正方体平移后得到图②． 关于平移前后几何体的三视图，下列说法正确的是（）A ．主视图相同B ．左视图相同C ．俯视图相同D ．三种视图都不相同正面2图①图②6.一元二次方程(x +1)(x -1)= 2x +3 的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根255％C ．只有一个实数根D ．没有实数根7.某超市销售 A ，B ，C ，D 四种矿泉水，它们的单价依次是 5 元、3 元、2 元、1元．某天的销售情况如图所示，则这天销售的矿泉水的平均单价是（）A ．1.95 元B ．2.15 元C ．2.25 元D ．2.75 元8.已知抛物线 y = -x 2 + bx + 4 经过(-2 ，n )和(4 ，n ) 两点，则 n 的值为（）A.-2B.-4C ．2D ．49.如图，在四边形 ABCD 中， AD ∥BC ，∠D = 90︒ ， AD = 4 ， BC = 3，分别以点 A ，C为圆心，大于 1AC 长为半径作弧，两弧交于点 E ，作射线 BE 交 AD 于点 F ，交 AC 于2点 O ．若点 O 是 AC 的中点，则 CD 的长为（）A ． 2B ．4C ．3D ．A10.如图，在△OAB 中，顶点 O (0 ，0)，A (-3 ，4) ，B (3 ，4) ．将△OAB 与正方形 ABCD 组成的图形绕点 O 顺时针旋转，每次旋转90︒ ，则第 70 次旋转结束时，点 D 的坐标为10（）A ． (10 ，3)B ． (-3 ，10)C ． (10 ，- 3)D ． (3 ，-10)二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）11.计算： - 2-1 = ．4⎪ x≤ -112.不等式组⎨ 2⎩-x + 7 > 4的解集是 ．13.现有两个不透明的袋子，一个装有 2 个红球、1 个白球，另一个装有 1 个黄球、2 个红球，这些球除颜色外完全相同．从两个袋子中各随机摸出 1 个球，摸出的两个球颜色相同的概率是．14.如图，在扇形 AOB 中， ∠AOB =120︒ ，半径OC 交弦 AB 于点 D ，且OC ⊥ OA ．若OA = 2，则阴影部分的面积为．15.如图，在矩形 ABCD 中，AB = 1，BC = a ，点 E 在边 BC 上，且 BE = 3a ．连接 AE ，5将△ABE 沿着 AE 折叠，若点 B 的对应点 B ' 落在矩形 ABCD 的边上，则a 的值为．3x +1 -1÷x 2 - 2x AB三、解答题（本大题共 8 个小题，满分 75 分）( x - 2)x 2 - 4x + 417．（9 分）如图，在△ABC 中， BA = BC ， ∠ABC = 90︒，以 AB 为直径的半圆O 交AC 于点 D ，点 E 是弧 BD 上不与点 B 、D 重合的任意一点，连接 AE 交 BD 于点 F ，连接BE 并延长交 AC 于点 G ．16．（8 分）先化简，再求值：，其中 x = 3 ．（1）求证：△ADF≌△BDG ；（2）填空：①若AB = 4 ，且点E 是弧BD 的中点，则DF 的长为；②取弧AE 的中点H，当∠EAB 的度数为时，四边形OBEH 为菱形．EA18．（9 分）某校为了解七、八年级学生对“防溺水”安全知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取50 名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析，部分信息如下：a.七年级成绩频数分布直方图：50708090100成绩/分60b.七年级成绩在70 ≤x < 80 这一组的是：7072747576767777777879c.七、八年级成绩的平均数、中位数如下：年级平均数中位数七76.9m八79.279.5根据以上信息，回答下列问题：（1）在这次测试中，七年级在80 分以上（含80 分）的有人；（2）表中m 的值为；（3）在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是78 分，请判断两位学生在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由；（4）该校七年级学生有400 人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超过平均数76.9 分的人数．19．（9 分）数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度．如图所示，炎帝塑像DE 在高55m 的小山EC 上，在A 处测得塑像底部 E 的仰角为34︒，再沿AC 方向前进21m 到达B 处，测得塑像顶部D 的仰角为60︒，求炎帝塑像DE 的高度．（精确到1m．参考数据：sin34︒≈0.56，cos34︒≈0.83，tan34︒≈0.67，3≈1.73）60°C34°BA20．（9 分）学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品．已知购买 3 个 A 奖品和 2个 B 奖品共需 120 元；购买 5 个 A 奖品和 4 个 B 奖品共需 210 元．（1）求 A ，B 两种奖品的单价；（2）学校准备购买 A ，B 两种奖品共 30 个，且 A 奖品的数量不少于B奖品数量的1．请3设计出最省钱的方案，并说明理由．21．（10 分）模具厂计划生产面积为4，周长为m 的矩形模具．对于m 的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下：（1）建立函数模型设矩形相邻两边的长分别为x，y．由矩形的面积为4，得xy = 4 ，即y =4；由周长为xm，得2(x+y)=m ，即y =-x +m．满足要求的(x，y)应是两个函数图象在第2象限内交点的坐标．（2）画出函数图象函数y =4 (x > 0)的图象如图所示，而函数y =-x +m 的图象可由直线y =-x 平移得x2到．请在同一直角坐标系中直接画出直线y =-x ．9–2（3）平移直线y =-x ，观察函数图象①当直线平移到与函数y=4(x>0)的图象有唯一交点(2，2)时，周长m的值为；x②在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长m 的取值范围．（4）得出结论若能生产出面积为4 的矩形模具，则周长m 的取值范围为．22．（10 分）在△ABC 中，CA =CB ，∠ACB =α．点P 是平面内不与点A，C 重合的任意一点，连接AP，将线段AP 绕点P 逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP．（1）观察猜想如图 1，当α = 60︒ 时， BD的值是CP，直线 BD 与直线 CP 相交所成的较小角的度数是．（2）类比探究如图 2，当α = 90︒ 时，请写出 BD的值及直线 BD 与直线 CP 相交所成的较小角的度数，CP并就图 2 的情形说明理由．（3）解决问题当α = 90︒ 时，若点 E ，F 分别是 CA ，CB 的中点，点 P 在直线 EF 上，请直接写出点C ，P ，D 在同一直线上时 AD的值．CPBPABCEFAB图 1图 2备用图DCyA O BxC23（11 分）如图，抛物线 y = ax 2 + 1 x + c 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，直线 y = - 1x - 222经过点 A ，C ．（1）求抛物线的解析式．（2）点 P 是抛物线上一动点，过点 P 作 x 轴的垂线，交直线 AC 于点 M ，设点 P 的横坐标为 m ．①当△PCM 是直角三角形时，求点 P 的坐标；②作点 B 关于点 C 的对称点 B '，则平面内存在直线 l ，使点 M ，B ， B '到该直线的距离都相等．当点 P 在 y 轴右侧的抛物线上，且与点 B 不重合时，请直接写出直线 l ： y = kx + b 的解析式．（k ，b 可用含 m 的式子表示）备用图一、选择题2019 年河南省普通高中招生考试数学参考答案题号12345679910答案B C B D C A C B A D 二、填空题11．3212．x ≤-213．4914． 3 +π15．5 或 533三、解答题16. 解：原式= x +1-x + 2 ÷x(x - 2)x - 2(x -2)2= 3 x -2=3 x (x -2)2 x(x -2)当x =3 时，原式= 3 =317．（1）证明：AB 是O 的直径3∴∠ADB = 90︒∴∠ADB =∠BDG = 90︒BA =BC∴点D 是AC 的中点∠DAF∠ABC = 90︒∴ A D = BD 又= ∠DBG∴△ADF ≌△BDG （ASA ）（2） 4 - 2（3） 3018．（1）23（2）77.5（3）学生甲的成绩排名更靠前，理由如下：学生甲的成绩大于七年级成绩的中位数，学生乙的成绩小于八年级成绩的中位数∴学生甲的成绩排名更靠前（4） 400⨯5+15+8=224 （人）50答：七年级成绩超过平均数 76.9 分的有 224 人．19．解: 由题意可得 AB = 21m ，EC = 55m ，∠EAC = 34︒， ∠DBC = 60︒设炎帝塑像 DE 的高度是 x m ，则 DC = (x + 55)m 在Rt △ACE 中， tan ∠EAC = EC = 55AC AC∴ AC =55≈ 82.09 m tan ∠EAC∴BC = AC - AB =61.09m A在Rt △BCD 中， tan ∠CBD = CDBC∴CD = BC ⋅ tan ∠CBD = 61.09 tan 60︒ ≈105.69m 即 x + 5 ≈105.69所以 x ≈ 51答：设炎帝塑像 DE 的高度为 51m ．2⎨⎩15 > 020．（1）解：设 A 种奖品的单价为 x 元，B 种奖品的单价为 y 元⎧3x + 2 y = 120⎩5x + 4 y = 210⎧x = 30解得： ⎨y = 15答：设 A 种奖品的单价为 30 元，B 种奖品的单价为 15 元．（2）设 A 种奖品为 a 个，B 种奖品为(30 - a ) 个，总费用为 W ⎪a ≥ 1（30 - a ）⎨3解得： 7.5 ≤ a ≤ 30⎩30 - a ≥ 0所以总费用W =30a +15(30 - a ) =15a + 450∴ W 随a 的增大而增大又 a 为正整数∴当a = 8 时，W 最小此时 B 为30 -8 = 22 （个）答：最省钱的购买方案为：A 种奖品 8 个，B 种奖品 22 个．21．（1）一（2）2y9–2（3）①8②0 个交点时， 0 < m < 8（4） m ≥ 822．解：（1）1； 60︒；2 个交点的时， m > 8（2） BD =，直线 BD 与 CP 相交所成的角度是45︒CP理由如下：假设 BD 与 CP 相交于点 M ，AC 与 BD 交于点 N ，B由题意可知， △PAD 是等腰直角三角形∴∠DAP = 45︒ ，PA =2AD 2CA = CB ， ∠ACB = α = 90︒∴ △ACB 是等腰直角三角形22⎨c = -2∴∠CAB = 45︒ ，AC =2AB 2∠CAP = ∠PAD +∠CAD = 45︒ +∠CAD ， ∠BAD = ∠BAC +∠CAD = 45︒ +∠CAD ∴∠PAC = ∠DAB 又PA = AC =2AD AB 2∴△APC ∽△ADB∴ BD = AB =CP AC2 ， ∠PCA = ∠ABD ∠ANB = ∠DNC ∴∠CMN = ∠CAB = 45︒即直线 BD 与 CP 相交所成的角度是45︒ ．综上所述， BD =，直线 BD 与 CP 相交所成的角度是45︒ ．CP（3） 2 +或2 -23．解：（1）由直线 y = - 1 x - 2 ，可得 A （ -4 ，0），C （0， -2 ）2二次函数经过 A 、C 两点，∴ ⎧16a - 2 + c = 0⎩⎪a =1解得： ⎨4⎩c = -2∴ 抛物线的解析式为 y = 1 x 2 + 1 x - 242（2）① 由题意可知，M 点处不可能是直角，所以分两种情况：（ i ）若∠MPC = 90︒ 时，则有： 1 x 2 + 1 x - 2 = -242解得： x 1 = 0 （舍去）， x 2 = -22∴ 点 P 坐标为（ -2 ， -2 ）（ ii ）若∠MCP = 90︒ ，则有CP ⊥ CM∴k CP = 2由点 C （0， -2 ）可得直线 CP 的解析式： y = 2x - 2∴2x - 2 = 1 x 2 + 1 x - 242解得： x 1 = 0 （舍去）， x 2 = 6∴ x = 6 时， y = 2x - 2 = 10∴ 点 P 坐标为（6，10）综上所述，点 P 坐标为（6，10）或（ -2 ， -2 ）．② y = x - 3 m - 2 或 y = -m - 4 x - 2 或 y = -m + 4 x - 2 ．42m - 42m + 4。
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2 2019 年河南省中考数学试题、答案（解析版）本试卷满分 120 分,考试时间 100 分钟.第Ⅰ卷(选择题 共 30 分)一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1. - 1的绝对值是( )2A. - 12B. 1 2C. 2D. -22. 成人每天维生素 D 的摄入量约为 0.000 004 6 克.数据“0.000 004 6”用科学记数法表示为()A . 46 ⨯10-7B . 4.6 ⨯10-7C . 4.6 ⨯10-6D . 0.46 ⨯10-53.如图, AB ∥CD , ∠B = 75 , ∠E = 27 ,则∠D 的度数为()A . 45B . 48C . 50D . 584. 下列计算正确的是()A . 2a + 3a = 6aB . (-3a )2 = 6a 2C . (x - y )2 = x 2 - y 2D . 3 - = 25. 如图 1 是由大小相同的小正方体搭成的几何体,将上层的小正方体平移后得到图 2.关于平移前后几何体的三视图,下列说法正确的是( )A. 主视图相同B .左视图相同C .俯视图相同D .三种视图都不相同图 1 图 26. 一元二次方程(x + 1)(x -1) = 2x + 3 的根的情况是( )A. 有两个不相等的实数根B .有两个相等的实数根C .只有一个实数根D .没有实数根7. 某超市销售 A ,B ,C ,D 四种矿泉水,它们的单价依次是 5 元、3 元、2 元、1 元.某天的销售情况如图所示,则这天销售的矿泉水的平均单价是( )A .1.95 元2 24⎨B .2.15 元C.2.25 元D.2.75 元8.已知抛物线y =-x2+bx + 4 经过(-2, n) 和(4, n) 两点,则n 的值为( )A.-2B.-4C.2D.49.如图,在四边形ABCD 中, AD∥BC ,∠D = 90 ,AD = 4 ,BC = 3 .分别以点A,C 为圆心,大于1AC 长为半径作弧,两弧交2于点E,作射线BE 交AD 于点F,交AC 于点O.若点O 是AC 的中点,则CD 的长为( )A.2B.4C.3D.10.如图,在△OAB 中,顶点O(0, 0) ,A(-3, 4) ,B(3, 4) .将△OAB 与正方形ABCD 组成的图形绕点O 顺时针旋转,每次旋转90 ,则第70 次旋转结束时,点D 的坐标为( )A. (10,3)B. (-3,10)C. (10, -3)D. (3, -10)第Ⅱ卷(非选择题共90 分)二、填空题(本大题共5 小题,每小题3 分,共15 分.把答案填写在题中的横线上)11.计算：- 2-1=.⎧x≤-1,12.不等式组⎪2⎪⎩-x+7＞4的解集是.13.现有两个不透明的袋子,一个装有2 个红球、1 个白球,另一个装有1 个黄球、2 个红球,这些球除颜色外完全相同.从两个袋子中各随机摸出1 个球,摸出的两个球颜色相同的概率是.14.如图,在扇形AOB 中, ∠AOB =120 ,半径OC 交弦AB 于点D,且OC ⊥OA .若OA = 2 ,则阴影部分的面积为.21033 15. 如图,在矩形 ABCD 中, AB = 1 , BC = a ,点 E 在边 BC 上,且 BE =3.连接 AE ,将△ABE 沿 AE 折叠,若点 B 的对应点 B '5落在矩形 ABCD 的边上,则 a 的值为.三、解答题(本大题共 8 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(本小题满分 8 分)先化简,再求值： ( x + 1 x - 2 -1) ÷x 2 - 2x x 2 - 4x + 4,其中 x = .17.(本小题满分 9 分)如图,在△ABC 中, BA = BC , ∠ABC = 90 .以 AB 为直径的半圆 O 交 AC 于点 D ,点 E 是 B D 上不与点 B ,D 重合的任意一点,连接 AE 交 BD 于点 F ,连接 BE 并延长交 AC 于点 G .(1) 求证： △ADF ≅ △BDG ；(2) 填空：①若 AB = 4 ,且点 E 是 B D 的中点,则 DF 的长为 ；②取 AE 的中点 H ,当∠EAB 的度数为时,四边形 OBEH 为菱形.18.(本小题满分 9 分)某校为了解七、八年级学生对“防溺水”安全知识的掌握情况,从七、八年级各随机抽取 50 名学生进行测试,并对成绩 (百分制)进行整理、描述和分析.部分信息如下：a. 七年级成绩频数分布直方图：3b. 七年级成绩在70≤x ＜80 这一组的是：70 72 74 75 76 76 77 77 77 78 79c. 七、八年级成绩的平均数、中位数如下：年级平均数 中位数 七 76.9 m 八79.279.5根据以上信息,回答下列问题：(1) 在这次测试中,七年级在 80 分以上(含 80 分)的有人；(2) 表中 m 的值为；(3) 在这次测试中,七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是 78 分,请判断两位学生在各自年级的排名谁更靠前,并说明理由；(4) 该校七年级学生有 400 人,假设全部参加此次测试,请估计七年级成绩超过平均数 76.9 分的人数.19.(本小题满分 9 分)数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像(塑像中高者)的高度.如图所示,炎帝塑像 DE 在高 55 m 的小山 EC 上,在A 处测得塑像底部 E 的仰角为34 ,再沿 AC 方向前进 21 m 到达 B 处,测得塑像顶部 D 的仰角为60 ,求炎帝塑像 DE 的高 度.(精确到 1 m .参考数据： sin34 ≈ 0.56 , cos34 = 0.83 , tan34 ≈ 0.67 , ≈ 1.73 )20.(本小题满分 9 分)学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品.已知购买 3 个 A 奖品和 2 个 B 奖品共需 120 元；购买 5 个 A 奖品和 4个B 奖品共需210 元. (1)求A,B 两种奖品的单价；(2)学校准备购买A,B 两种奖品共30 个,且A 奖品的数量不少于B1奖品数量的 .请设计出最省钱的购买方案,并说明理由.321.(本小题满分10 分)模具厂计划生产面积为4,周长为m 的矩形模具.对于m 的取值范围,小亮已经能用“代数”的方法解决,现在他又尝试从“图形”的角度进行探究,过程如下：(1)建立函数模型设矩形相邻两边的长分别为x ,y .由矩形的面积为4,得xy = 4 ,即y =4；由周长为m ,得2(x +y) =m ,即y =-x +m.满x 2 足要求的(x, y) 应是两个函数图象在第象限内交点的坐标；(2)画出函数图象函数y =4(x＞0) 的图象如图所示,而函数y =-x +m的图象可由直线y =-x 平移得到.请在同一直角坐标系中直接画出x 2直线y =-x ；(3)平移直线y =-x ,观察函数图象①当直线平移到与函数y =4(x＞0) 的图象有唯一交点(2, 2) 时,周长m 的值为；x②在直线平移过程中,交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长m 的取值范围.(4)得出结论若能生产出面积为4 的矩形模具,则周长m 的取值范围为.22.(本小题满分10 分)在△ABC 中,CA =CB ,∠ACB =.点P 是平面内不与点A,C 重合的任意一点,连接AP,将线段AP 绕点P 逆时针旋转得到线段DP,连接AD,BD,CP.(1) 观察猜想如图 1,当= 60 时, BD的值是,直线 BD 与直线 CP 相交所成的较小角的度数是；CP(2) 类比探究如图 2,当= 90 时,请写出 BD的值及直线 BD 与直线 CP 相交所成的小角的度数,并就图 2 的情形说明理由；CP(3) 解决问题当= 90 时,若点 E ,F 分别是 CA ,CB 的中点,点 P 在直线 EF 上,请直接写出点 C ,P ,D 在同一直线上时 AD的值.CP图 1图 2备用图23.(本小题满分 11 分)如图,抛物线 y = ax 2 + 1 x + c 交 x 轴于 A ,B 两点,交 y 轴于点 C .直线 y = - 1x - 2 经过点 A ,C .2 2(1) 求抛物线的解析式；(2) 点 P 是抛物线上一动点,过点 P 作 x 轴的垂线,交直线 AC 于点 M ,设点 P 的横坐标为 m .①当△PCM 是直角三角形时,求点 P 的坐标；②作点 B 关于点 C 的对称点 B ' ,则平面内存在直线 l ,使点 M ,B , B '到该直线的距离都相等.当点 P 在 y 轴右侧的抛物线上, 且与点 B 不重合时,请直接写出直线 l ： y = kx + b 的解析式.(k ,b 可用含 m 的式子表示)备用图2 河南省 2019 年普通高中招生考试数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题1. 【答案】B【解析】解： | - 1 |= 1,故选：B .2 2【提示】根据一个负数的绝对值是它的相反数进行解答即可.【考点】绝对值的概念.2. 【答案】C【解析】解： 0.000 004 6 = 4.6 ⨯10-6 .【提示】本题用科学记数法的知识即可解答.【考点】科学记数法.3. 【答案】B【解析】解：∵ AB ∥CD ,∴ ∠B = ∠1 ,∵ ∠1 = ∠D + ∠E ,∴ ∠D = ∠B - ∠E = 75 - 27 = 48 ,故选：B .【提示】根据平行线的性质解答即可.【考点】平行线的性质,三角形外角的性质.4. 【答案】D【解析】解： 2a + 3a = 5a ,A 错误； (-3a )2 = 9a 2 ,B 错误； (x - y )2 = x 2 - 2xy + y 2 ,C 错误； 3 - = 2 ,D 正确；故选：D .【提示】根据合并同类项法则,完全平方公式,幂的乘方与积的乘方的运算法则进行运算即可.【考点】整式的运算.5. 【答案】 C2 2【解析】解：观察几何体,确定三视图,此几何体将上层的小正方体平移后俯视图相同,故选C. 【提示】根据三视图解答即可.【考点】几何体的三视图.6.【答案】A【解析】解：原方程可化为：x2 - 2x - 4 = 0 ,∴a = 1 , b =-2 , c =-4 ,∴∆= (-2)2- 4 ⨯1⨯ (-4) = 20＞0 ,∴方程由两个不相等的实数根.故选：A.【提示】先化成一般式后,再求根的判别式.【考点】一元二次方程根的情况.7.【答案】C【解析】解：这天销售的矿泉水的平均单价是5 ⨯10% + 3⨯15% + 2 ⨯ 55% + 1⨯ 20% = 2.25 (元), 故选：C.【提示】根据加权平均数的定义列式计算可得.【考点】加权平均数的计算.8.【答案】B【解析】解：抛物线y =-x2+bx + 4 经过(-2, n) 和(4, n) 两点,可知函数的对称轴x = 1 ,∴b= 1, 2∴b = 2 ；∴ y =-x2+ 2x + 4 ,将点(-2, n) 代入函数解析式,可得n = 4 ；故选：B.【提示】根据(-2, n) 和(4, n) 可以确定函数的对称轴x = 1 ,再由对称轴的x =b即可求解.2【考点】二次函数点的坐标特征,二元一次方程组的解法.2 ⎩9. 【答案】A【解析】解：如图,连接 FC ,则 AF = FC .∵ AD ∥BC ,∴ ∠FAO = ∠BCO .在△FOA 与△BOC 中,⎧∠FAO = ∠BCO ⎪⎨OA = OC, ⎪∠AOF = ∠COB∴△FOA ≅ △BOC (ASA) ,∴ AF = BC = 3 ,∴ FC = AF = 3 , FD = AD - AF = 4 - 3 = 1 .在△FDC 中,∵ ∠D = 90 ,∴ CD 2 + DF 2 = FC 2 ,∴ CD 2 + 12 = 32 ,∴ CD = 2 .故选：A .【 提示】 连接 FC ,根据基本作图,可得 OE 垂直平分 AC ,由垂直平分线的性质得出 AF = FC .再根据 ASA 证明△FOA ≅ △BOC ,那么 AF = BC = 3 ,等量代换得到 FC = AF = 3 ,利用线段的和差关系求出 FD = AD - AF = 1.然后在直角△FDC 中利用勾股定理求出 CD 的长.【考点】尺规作图,平行线的性质,勾股定理,角平分线的性质,全等三角形的判定与性质.10. 【答案】D【解析】解：∵ A (-3, 4) , B (3, 4) ,∴ AB = 3 + 3 = 6 ,∵四边形 ABCD 为正方形,∴ AD = AB = 6 ,∴D(-3,10) ,∵70 = 4 ⨯17 + 2 ,∴每 4 次一个循环,第70 次旋转结束时,相当于△OAB 与正方形ABCD 组成的图形绕点O 顺时针旋转2 次,每次旋转90 , ∴点D 的坐标为(3, -10) .故选：D.【提示】先求出AB = 6 ,再利用正方形的性质确定D(-3,10) ,由于70 = 4 ⨯17 + 2 ,所以第70 次旋转结束时,相当于△OAB 与正方形ABCD 组成的图形绕点O 顺时针旋转2 次,每次旋转90 ,此时旋转前后的点D 关于原点对称,于是利用关于原点对称的点的坐标特征可出旋转后的点D 的坐标.【考点】图形的旋转,点的坐标的确定.第Ⅱ卷二、填空题11.【答案】3 2【解析】解：- 2 -1= 2 -12=3 . 2故答案为：3. 2【提示】本题涉及二次根式化简、负整数指数幂两个考点.针对每个考点分别进行计算,然后根据实数的运算法则求得计算结果. 【考点】实数的相关运算.12.【答案】x≤- 2【解析】解：解不等式x…2-1,得：x≤- 2 ,解不等式-x + 7＞4 ,得：x＜3 ,则不等式组的解集为x≤- 2 ,故答案为：x≤- 2 .【提示】分别求出每一个不等式的解集,根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集.【考点】解不等式组.13.【答案】4 94333【解析】解：列表如下：黄红红红(黄,红) (红,红) (红,红)红(黄,红) (红,红) (红,红)白(黄,白) (红,白) (红,白)由表知,共有9 种等可能结果,其中摸出的两个球颜色相同的有4 种结果,所以摸出的两个球颜色相同的概率为4, 9故答案为：4. 9【提示】列表得出所有等可能结果,从中找到两个球颜色相同的结果数,利用概率公式计算可得. 【考点】概率的计算.14.【答案】+π【解析】解：作OE ⊥AB 于点F,∵在扇形AOB 中, ∠AOB =120 ,半径OC 交弦AB 于点D,且OC ⊥OA .OA=2 ,∴∠AOD = 90 , ∠BOC = 90 , OA =OB ,∴∠OAB =∠OBA = 30 ,∴OD=OA tan30 =23⨯3= 2 , AD = 4 , AB = 2 A F = 2 ⨯ 2 3 ⨯33= 6 , OF =,2∴B D = 2 ,2 3 ⨯ 2 30 ⨯π(23)2 2 ⨯ 3∴阴影部分的面积是：S△AOD +S扇形OBC-S△BDO=2+360-=+π,2故答案为：+π.【提示】根据题意,作出合适的辅助线,然后根据图形可知阴影部分的面积是△AOD 的面积与扇形OBC 的面积之和再减去△BDO 的面积,本题得以解决.【考点】不规则图形面积的计算.15.【答案】5或5 3 3 31-a 2⎩【解析】解：分两种情况：①当点 B ' 落在 AD 边上时,如图 1.图 1∵四边形 ABCD 是矩形,∴ ∠BAD = ∠B = 90 ,∵将△ABE 沿 AE 折叠,点 B 的对应点 B ' 落在 AD 边上,∴ ∠BAE = ∠B 'AE = 1 ∠BAD = 45 ,2∴ AB = BE ,∴ 3a = 1 , 5∴ a = 5 ；3②当点 B ' 落在 CD 边上时,如图 2.图 2∵四边形 ABCD 是矩形,∴ ∠BAD = ∠B = ∠C = ∠D = 90 , AD = BC = a .∵将△ABE 沿 AE 折叠,点 B 的对应点 B ' 落在 CD 边上,∴ ∠B = ∠AB 'E = 90 , AB = AB ' = 1, EB = EB ' = 3 a ,5∴ DB ' == , EC = BC - BE = a - 3a = 5 . 5在△ADB ' 与△B 'CE 中,⎧∠B 'AD = ∠EB 'C = 90 - ∠AB 'D⎨∠D = ∠C = 90,∴△ADB ' △B 'CE ,B 'A 2 - AD 21 -a233333DB'=AB'=1∴CE B'E,即,2a3a5 5解得a =5, a = 0 (舍去).1 3 2综上,所求a 的值为5或5.3 3故答案为5或5.3 3【提示】分两种情况：①点B'落在AD 边上,根据矩形与折叠的性质易得AB =BE ,即可求出a 的值；②点B'落在CD 边上, 证明△ADB' △B'CE ,根据相似三角形对应边成比例即可求出a 的值.【考点】图形的折叠,勾股定理.三、解答题16.【答案】解：原式= (x +1-x - 2) ÷x(x - 2)x - 2 x - 2 (x -2)2=3x - 2x - 2 x=3,x当x =时,原式=.【解析】解：原式= (x +1-x - 2) ÷x(x - 2)x - 2 x - 2 (x -2)2=3x - 2当x =时,原式x - 2 x=3,x=.【提示】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式,再将x 的值代入计算可得.【考点】分式的化简求值.17.【答案】解：(1)证明：如图1,∵ BA =BC , ∠ABC = 90 ,图1333∴ ∠BAC = 45∵AB 是 O 的直径,∴ ∠ADB = ∠AEB = 90 ,∴ ∠DAF + ∠BGD = ∠DBG + ∠BGD = 90∴ ∠DAF = ∠DBG∵ ∠ABD + ∠BAC = 90∴ ∠ABD = ∠BAC = 45∴ AD = BD∴△ADF ≅ △BDG (ASA) ；(2)① 4 - 2② 30【解析】解：(1)证明：如图 1,∵ BA = BC , ∠ABC = 90 ,图 1∴ ∠BAC = 45∵AB 是 O 的直径,∴ ∠ADB = ∠AEB = 90 ,∴ ∠DAF + ∠BGD = ∠DBG + ∠BGD = 90∴ ∠DAF = ∠DBG∵ ∠ABD + ∠BAC = 90∴ ∠ABD = ∠BAC = 45∴ AD = BD∴△ADF ≅ △BDG (ASA) ；(2)①如图 2,过 F 作 FH ⊥ AB 于 H ,∵点 E 是 BD 的中点, 222 22 +12图 2∴∠BAE =∠DAE∵ FD ⊥AD , F H ⊥AB∴ FH =FD∵FH=sin∠ABD=sin45 =2,BF 2∴FD=BF2,即BF =22FD∵AB = 4 ,∴BD=4cos45 =2∴FD == 4 -2,即BF +FD = 2, ( +1)FD = 2故答案为4 - 2 .②连接OE,EH,∵点H 是 AE 的中点,∴OH ⊥AE ,∵∠AEB = 90∴BE ⊥AE∴BE∥OH∵四边形OBEH 为菱形,∴BE =OH =OB =1AB2∴ sin∠EAB =BE=1AB 22222∴∠EAB = 30 .故答案为：30 .【提示】(1)利用直径所对的圆周角是直角,可得∠ADB =∠AEB = 90 ,再应用同角的余角相等可得∠DAF =∠DBG ,易得AD =BD , △ADF≌△BDG 得证；(2)作FH ⊥AB ,应用等弧所对的圆周角相等得∠BAE =∠DAE ,再应用角平分线性质可得结论；由菱形的性质可得BE =OB ,结合三角函数特殊值可得∠EAB = 30 .【考点】圆的相关性质,全等三角形的判定和性质,菱形的判定和性质,圆周角定理.18.【答案】(1)23(2)77.5(3)甲学生在该年级的排名更靠前.∵七年级学生甲的成绩大于中位数78 分,其名次在该班25 名之前,八年级学生乙的成绩小于中位数78 分,其名次在该班25 名之后,∴甲学生在该年级的排名更靠前.(4)估计七年级成绩超过平均数76.9 分的人数为400 ⨯5 + 15 + 8= 224 (人).50【解析】解：(1)在这次测试中,七年级在80 分以上(含80 分)的有15 + 8 = 23 人,故答案为：23；(2)七年级50 人成绩的中位数是第25、26 个数据的平均数,而第25、26 个数据分别为78、79,∴m =77 + 78= 77.5 , 2故答案为：77.5；(3)甲学生在该年级的排名更靠前.∵七年级学生甲的成绩大于中位数78 分,其名次在该班25 名之前, 八年级学生乙的成绩小于中位数78 分,其名次在该班25 名之后, ∴甲学生在该年级的排名更靠前.(4)估计七年级成绩超过平均数76.9 分的人数为400 ⨯5 + 15 + 8= 224 (人).50【提示】(1)根据条形图及成绩在70≤x＜80 这一组的数据可得；(2)根据中位数的定义求解可得；(3)将各自成绩与该年级的中位数比较可得答案；(4)用总人数乘以样本中七年级成绩超过平均数76.9 分的人数所占比例可得. 【考点】统计知识的实际应用.3 3 ⎨⎩19.【答案】解：∵ ∠ACE = 90 , ∠CAE = 34 , CE = 55 m ,∴ tan ∠CAE = CE,AC∴ AC =CEtan34= 55 0.67 ≈ 82.1 m ,∵ AB = 21 m ,∴ BC = AC - AB = 61.1 m ,在Rt △BCD 中, tan60 = CD = ,BC∴ CD = 3BC ≈ 1.73⨯ 61.1 ≈ 105.7 m ,∴ DE = CD - EC = 105.7 - 55 ≈ 51 m ,答：炎帝塑像 DE 的高度约为 51 m .【解析】解：∵ ∠ACE = 90 , ∠CAE = 34 , CE = 55 m ,∴ tan ∠CAE = CE ,AC∴ AC =CEtan34= 55 0.67 ≈ 82.1 m ,∵ AB = 21 m ,∴ BC = AC - AB = 61.1 m ,在Rt △BCD 中, tan60 = CD = ,BC∴ CD = 3BC ≈ 1.73⨯ 61.1 ≈ 105.7 m ,∴ DE = CD - EC = 105.7 - 55 ≈ 51 m ,答：炎帝塑像 DE 的高度约为 51 m .【 提 示 】 由 三 角 函 数 求 出 AC =CEtan34≈ 82.1 m ,得 出 BC = AC - AB = 61.1 m ,在 Rt △BCD 中 ,由 三 角 函 数 得 出 CD = 3BC ≈ 105.7 m ,即可得出答案.【考点】解直角三角形的实际应用.20. 【答案】解：(1)设 A 的单价为 x 元,B 的单价为 y 元,⎧3x + 2 y = 120根据题意,得 , ⎩5x + 4 y = 210⎧x = 30 ∴ ⎨y = 15 ,∴A 的单价 30 元,B 的单价 15 元；(2)设购买 A 奖品 z 个,则购买 B 奖品为（30 - z ）个,购买奖品的花费为 W 元,⎨⎩由题意可知, z ≥1(30 - z ) ,3∴ z ≥15 ,2W = 30z + 15(30 - z ) = 450 + 15z ,当 z = 8 时,W 有最小值为 570 元,即购买 A 奖品 8 个,购买 B 奖品 22 个,花费最少.【解析】解：(1)设 A 的单价为 x 元,B 的单价为 y 元,⎧3x + 2 y = 120根据题意,得 , ⎩5x + 4 y = 210⎧x = 30 ∴ ⎨y = 15 ,∴A 的单价 30 元,B 的单价 15 元；(2)设购买 A 奖品 z 个,则购买 B 奖品为（30 - z ）个,购买奖品的花费为 W 元,由题意可知, z ≥1(30 - z ) ,3∴ z ≥15 ,2W = 30z + 15(30 - z ) = 450 + 15z ,当 z = 8 时,W 有最小值为 570 元,即购买 A 奖品 8 个,购买 B 奖品 22 个,花费最少.⎧3x + 2 y = 120【提示】(1)设 A 的单价为 x 元,B 的单价为 y 元,根据题意列出方程组⎨ ⎩5x + 4 y = 210,即可求解；(2)设购买 A 奖品 z 个,则购买 B 奖品为 (30 - z ) 个,购买奖品的花费为 W 元,根据题意得到由题意可知, z ≥1(30 - z ) ,3W = 30z + 15(30 - z ) = 450 + 15z ,根据一次函数的性质,即可求解.【考点】二元一次方程组,不等式及一次函数解决实际问题.21. 【答案】(1)一(2)图象如下所示：(3)①8②在直线平移过程中,交点个数有：0 个、1 个、2 个三种情况,联立y =4和y =-x +m并整理得：x2-1mx + 4 = 0 , x 2 2∆=1m2- 4 ⨯ 4≥0 时,两个函数有交点, 4解得：m≥8 ；(4) m≥8【解析】解：(1) x, y 都是边长,因此,都是正数, 故点(x, y) 在第一象限,答案为：一；(2)图象如下所示：(3)①把点(2, 2) 代入y =-x +m得：22 =-2 +m,解得：m = 8 ；2②在直线平移过程中,交点个数有：0 个、1 个、2 个三种情况,联立y =4和y =-x +m并整理得：x2-1mx + 4 = 0 , x 2 22 2 ∆ = 1 m 2 - 4 ⨯ 4≥0 时,两个函数有交点, 4解得： m ≥8 ；(4)由(3)得： m ≥8 .【提示】(1) x , y 都是边长,因此,都是正数,即可求解；(2) 直接画出图象即可；(3) ①把点(2, 2) 代入 y = -x + m即可求解；②在直线平移过程中,交点个数有：0 个、1 个、2 个三种情况,联立 y = 4 和 2x y = - x + m 并整理得： x 2 - 1 mx + 4 = 0 ,即可求解；2 2(4)由(3)可得.【考点】反比例函数与一次函数图象的应用.22. 【答案】160(2) 如图 2 中,设 BD 交 AC 于点 O ,BD 交 PC 于点 E .图 2∵ ∠PAD = ∠CAB = 45 ,∴ ∠PAC = ∠DAB ,∵ AB= AD= ,AC AP ∴△DAB △PAC ,∴ ∠PCA = ∠DBA , BD = AB =,PCAC ∵ ∠EOC = ∠AOB ,∴ ∠CEO = ∠OABB = 45 ,∴直线 BD 与直线 CP 相交所成的小角的度数为 45 .(3) 如图 3-1 中,当点 D 在线段 PC 上时,延长 AD 交 BC 的延长线于 H.a a + 2 a 2图 3-1∵ CE = EA , CF = FB ,∴ EF ∥AB ,∴ ∠EFC = ∠ABC = 45 ,∵ ∠PAO = 45 ,∴ ∠PAO = ∠OFH ,∵ ∠POA = ∠FOH ,∴ ∠H = ∠APO ,∵ ∠APC = 90 , EA = EC ,∴ PE = EA = EC ,∴ ∠EPA = ∠EAP = ∠BAH ,∴ ∠H = ∠BAH ,∴ BH = BA ,∵ ∠ADP = ∠BDC = 45 ,∴ ∠ADB = 90 ,∴ BD ⊥ AH ,∴ ∠DBA = ∠DBC = 22.5 ,∵ ∠ADB = ∠ACB = 90 ,∴A ,D ,C ,B 四点共圆,∠DAC = ∠DBC = 22.5 , ∠DCA = ∠ABD = 22.5 ,∴ ∠DAC = ∠DCA = 22.5 ,∴ DA = DC ,设 AD = a ,则 DC = AD = a , PD =2 a , 2∴AD == 2 - .CP 2aa-2a2如图3-2 中,当点P 在线段CD 上时,同法可证：DA =DC ,设AD =a ,则CD =AD =a ,PD =2a , 2∴PC =a -图3-2 2a ,2∴AD== 2 +. PC2【解析】解：(1)如图 1 中,延长CP 交BD 的延长线于E,设AB 交EC 于点O.图 1∵∠PAD =∠CAB = 60 ,∴∠CAP =∠BAD ,∵CA =BA , PA =DA ,∴△CAP ≅△BAD(SAS) ,∴PC =BD , ∠ACP =∠ABD ,∵∠AOC =∠BOE ,∴∠BEO =∠CAO = 60 ,∴ BD= 1 ,线BD 与直线CP 相交所成的较小角的度数是60 ,PC故答案为1, 60 .(2)如图2 中,设BD 交AC 于点O,BD 交PC 于点E.2 2图 2∵ ∠PAD = ∠CAB = 45 ,∴ ∠PAC = ∠DAB ,∵ AB = AD = , AC AP∴△DAB △PAC ,∴ ∠PCA = ∠DBA , BD = AB = ,PC AC∵ ∠EOC = ∠AOB ,∴ ∠CEO = ∠OABB = 45 ,∴直线 BD 与直线 CP 相交所成的小角的度数为 45 .(3) 如图 3-1 中,当点 D 在线段 PC 上时,延长 AD 交 BC 的延长线于 H .图 3-1∵ CE = EA , CF = FB ,∴ EF ∥AB ,∴ ∠EFC = ∠ABC = 45 ,∵ ∠PAO = 45 ,∴ ∠PAO = ∠OFH ,∵ ∠POA = ∠FOH ,∴ ∠H = ∠APO ,∵ ∠APC = 90 , EA = EC ,∴ PE = EA = EC ,a a + 2 a 2 a a - 2 a 2 ∴ ∠EPA = ∠EAP = ∠BAH ,∴ ∠H = ∠BAH ,∴ BH = BA ,∵ ∠ADP = ∠BDC = 45 ,∴ ∠ADB = 90 ,∴ BD ⊥ AH ,∴ ∠DBA = ∠DBC = 22.5 ,∵ ∠ADB = ∠ACB = 90 ,∴A ,D ,C ,B 四点共圆,∠DAC = ∠DBC = 22.5 , ∠DCA = ∠ABD = 22.5 ,∴ ∠DAC = ∠DCA = 22.5 ,∴ DA = DC ,设 AD = a ,则 DC = AD = a , PD =2 a ,2 ∴ AD == 2 - .CP 2如图 3-2 中,当点 P 在线段 CD 上时,同法可证： DA = DC ,设 AD = a ,则CD = AD = a , PD =2 a ,2∴ PC = a -图 3-2 2 a ,2 ∴ AD == 2 + .PC2 【提示】(1)如图 1 中,延长 CP 交 BD 的延长线于 E ,设 AB 交 EC 于点 O .证明△CAP ≌△BAD (SAS) ,即可解决问题.(2) 如图 2 中,设 BD 交 AC 于点 O ,BD 交 PC 于点 E .证明△DAB ∽△PAC ,即可解决问题.(3) 分两种情形：①如图 3-1 中,当点 D在线段 PC 上时,延长 AD 交 BC 的延长线于 H .证明 AD=DC 即可解决问题.②如图 3-2 中,当点 P 在线段 CD 上时,同法可证： DA = DC 解决问题.⎨ 【考点】图形变换,规律探究.23.【答案】解：(1)当 x = 0 时, y = - 1 x - 2= -2 ,2∴点 C 的坐标为(0, -2) ； 当 y = 0 时, - 1 x - 2 = 0 ,2解得： x = -4 ,∴点 A 的坐标为(-4, 0) .将 A (-4, 0) , C (0, -2) 代入 y = ax 2 + 1 x + c ,得： 2 ⎧16a - 2 + c = 0 ⎧a = 1 ⎨c = -2 ,解得： ⎪ 4 ,⎪⎩c = -2∴抛物线的解析式为 y = 1 x 2 + 1 x - 2 .4 2(2) ①∵ PM ⊥ x 轴,∴ ∠PMC ≠ 90 ,∴分两种情况考虑,如图 1 所示.图 1(i) 当∠MPC = 90时, PC ∥x 轴,∴点 P 的纵坐标为-2 .当 y = -2 时, 1 x 2 + 1 x - 2 = -2 ,4 2解得： x 1 = -2 , x 2 = 0 ,∴点 P 的坐标为(-2, -2) ；(ii) 当∠PCM = 90时,设 PC 与 x 轴交于点 D .∵ ∠OAC + ∠OCA = 90 , ∠OCA + ∠OCD = 90 ,∴ ∠OAC = ∠OCD .⎩⎨ 1 2 1 又∵ ∠AOC = ∠COD = 90 ,∴△AOC △COD ,∴ OD = OC ,即 OD = 2 , OC OA 2 4∴ OD = 1 ,∴点 D 的坐标为(1, 0) .设直线 PC 的解析式为 y = kx + b (k ≠ 0) ,将C (0, -2) , D (1, 0) 代入 y = kx + b ,得：⎧b = -2 ⎧k = 2 ⎨k + b = 0 ,解得： ⎨ = -2 ,⎩ ⎩b∴直线 PC 的解析式为 y = 2x - 2 .⎧ y = 2x - 2 联立直线 PC 和抛物线的解析式成方程组,得： ⎪ , y = x + x - 2解得： ⎧x 1 = 0 , ⎧x 2 = 6 , ⎩⎪ 4 2 ⎨ y = -2 ⎨ y = 10 ⎩ 1 ⎩ 2点 P 的坐标为(6,10) .综上所述：当△PCM 是直角三角形时,点 P 的坐标为(-2, -2) 或(6,10) .②当 y = 0 时, 1 x 2 + 1 x - 2 = 0 ,4 2解得： x 1 = -4 , x 2 = 2 ,∴点 B 的坐标为(2, 0) .∵点 P 的横坐标为 m (m ＞0且m ≠ 0) ,∴点 P 的坐标为(m , 1 m 2 + 1 m - 2) ,4 2∴直线 PB 的解析式为 y = 1 (m + 4)x - 1 (m + 4) (可利用待定系数求出).4 2∵点 B , B ' 关于点 C 对称,点 B , B ' ,P 到直线 l 的距离都相等,∴直线 l 过点 C ,且直线l ∥直线PB ,∴直线 l 的解析式为 y = 1 (m + 4)x - 2 .4⎨【解析】解：(1)当 x = 0 时, y= - 1 x -2 = -2 ,2∴点 C 的坐标为(0, -2) ；当 y = 0 时, - 1 x - 2 = 0 ,2解得： x = -4 ,∴点 A 的坐标为(-4, 0) .将 A (-4, 0) , C (0, -2) 代入 y = ax 2 + 1 x + c ,得： 2 ⎧16a - 2 + c = 0 ⎧a = 1 ⎨c = -2 ,解得： ⎪ 4 ,⎪⎩c = -2∴抛物线的解析式为 y = 1 x 2 + 1 x - 2 .4 2(2) ①∵ PM ⊥ x 轴,∴ ∠PMC ≠ 90 ,∴分两种情况考虑,如图 1 所示.图 1(i) 当∠MPC = 90时, PC ∥x 轴,∴点 P 的纵坐标为-2 .当 y = -2 时, 1 x 2 + 1 x - 2 = -2 ,4 2解得： x 1 = -2 , x 2 = 0 ,⎩⎨ 1 2 1 ∴点 P 的坐标为(-2, -2) ；(ii)当∠PCM = 90时,设 PC 与 x 轴交于点 D .∵ ∠OAC + ∠OCA = 90 , ∠OCA + ∠OCD = 90 ,∴ ∠OAC = ∠OCD .又∵ ∠AOC = ∠COD = 90 ,∴△AOC △COD ,∴ OD = OC ,即 OD = 2 , OC OA 2 4∴ OD = 1 ,∴点 D 的坐标为(1, 0) .设直线 PC 的解析式为 y = kx + b (k ≠ 0) ,将C (0, -2) , D (1, 0) 代入 y = kx + b ,得：⎧b = -2 ⎧k = 2 ⎨k + b = 0 ,解得： ⎨ = -2 ,⎩ ⎩b∴直线 PC 的解析式为 y = 2x - 2 .⎧ y = 2x - 2 联立直线 PC 和抛物线的解析式成方程组,得： ⎪ , y = x + x - 2解得： ⎧x 1 = 0 , ⎧x 2 = 6 , ⎩⎪ 4 2 ⎨ y = -2 ⎨ y = 10 ⎩ 1 ⎩ 2点 P 的坐标为(6,10) .综上所述：当△PCM 是直角三角形时,点 P 的坐标为(-2, -2) 或(6,10) .②当 y = 0 时, 1 x 2 + 1 x - 2 = 0 ,4 2解得： x 1 = -4 , x 2 = 2 ,∴点 B 的坐标为(2, 0) .∵点 P 的横坐标为 m (m ＞0且m ≠ 0) ,∴点 P 的坐标为(m , 1 m 2 + 1 m - 2) ,4 2∴直线 PB 的解析式为 y = 1 (m + 4)x - 1 (m + 4) (可利用待定系数求出).4 2∵点 B , B ' 关于点 C 对称,点 B , B ' ,P 到直线 l 的距离都相等,∴直线 l 过点 C ,且直线l ∥直线PB ,∴直线l 的解析式为y =1(m + 4)x - 2 .4【提示】(1)利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A,C 的坐标,根据点A,C 的坐标,利用待定系数法可求出二次函数解析式；(2)①由PM ⊥x 轴可得出∠PMC ≠ 90 ,分∠MPC = 90 及∠PCM = 90 两种情况考虑：(i)当∠MPC = 90 时, PC∥x 轴,利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点P 的坐标；(ii)当∠PCM = 90 时,设PC 与x 轴交于点D,易证△AOC △COD , 利用相似三角形的性质可求出点D 的坐标,根据点C,D 的坐标,利用待定系数法可求出直线PC 的解析式,联立直线PC 和抛物线的解析式成方程组,通过解方程组可求出点P 的坐标.综上,此问得解；②利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点B,P 的坐标,根据点P,B 的坐标,利用待定系数法可求出直线PB 的解析式,结合题意可知：直线l 过点C,且直线l∥直线PB ,再结合点C 的坐标即可求出直线l 的解析式.【考点】二次函数的图象和性质,直角三角形的性质,相似三角形的判定和性质,中位线定理,一次函数的性质,分类讨论思想.“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。