24.4 弧长和扇形面积(第1课时)
24.4弧长及扇形面积(第1课时)课件
r
例1 如图，圆心角为60°的扇形的半径为10厘 米，求这个扇形的面积和周长．（π≈3.14） 解:因为n＝60°，r＝10厘米，所以扇形面积为
nr 2 60 3.14 10 2 S ≈52.33(平方厘米)； 360 360
扇形的周长为
l nr 60 3.14 10 2r 20 180 180
90 图 23.3.2 360
图 23.3.2
45 360 n 360
图 23.3.2
n r 2 360
图 23.3.2
结论：
如果扇形面积为s，圆心角度数为n，圆半径 是r，那么扇形面积计算公式为
Q l n° r O
扇形面 积S
n 2 s r 360 nr r 1
180
lr 2 2
D
有水部分的面积 = S扇+ S△
A
E
B
0
0.24 0.09 3
C
4、如图所示，分别以n边形的顶点为圆心， 以单位1为半径画圆，则图中阴影部分的面积之 和为 个平方单位．
一、弧长的计算公式
n nr l 2r 360 180
二、扇形面积计算公式
n 1 2 s r 或s lr 360 2
n nr 50 l 2r = 3 cm 360 180
50 答：此圆弧的长度为 cm 3
例2制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长 度”，再下料，试计算图所示管道的展直长度 L(单 位：mm，精确到1mm)
解：由弧长公式，可得弧AB
180
的长
L 100 900 500 1570（mm）
3
2
3
cm
谭萍弧长和扇形面积教案设计
课题：24.4弧长和扇形面积（1）课型：新授课课时安排：1课时一、教学目标：1、知识与技能：（1）熟练掌握弧长和扇形面积公式（2）会计算弧长及扇形的面积解决一些实际问题2、过程与方法（1）通过2个合作探究、1个自主探究、变式训练的过程探索弧长、扇形面积、组合图形面积的计算方法和解题规律。
（2）在探究弧长和扇形面积计算公式的过程中让学生体会到从特殊到一般，再从一般到特殊的数学思想方法。
特别地，在探索扇形面积计算公式的推导中还运用类比的数学思想方法。
3、情感态度与价值观（1）在合作交流和自主思考的过程中体验到成功的快乐，培养学生的合作探索以及自主探索的能力，丰富学生的思维过程，提高学生的思维能力。
（2）在教学过程中渗透数学思想方法的思维过程，培养学生的推理归纳的能力。
二、教学重难点：重点：弧长和扇形面积的计算公式难点：1、弧长和扇形面积的推导过程；2、对弧长和扇形面积计算公式的灵活运用。
三、教学过程（一）回顾旧知弧的定义：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
特别的，圆周也是一条弧。
（二）情境创设观看视频：莫斯科田径世锦赛200米决赛博尔特19.66s夺冠视频提出问题：在田径200米比赛中，每位运动员的起跑位置相同吗？答：不同追问：为什么要求运动员的起跑位置不同呢？答：运动员在跑弯道的时候，各个弯道的弧的长度不同。
由弧的长度有长短之分引入本节课的第一个重点内容：弧长的计算公式。
（三）新知讲授1、思考问题：容易知道，弧其实是圆周长的一部分，那么（1）半圆（即圆心角为180°）的弧长为？（2）90°圆心角所对的弧长为？（3）45°圆心角所对的弧长为？过渡语：这些都是特殊的圆心角所对的弧长，它们比较好求，对于更一般的情况：n °圆心角所对的弧长占整个圆周长的几分之几？又该怎么计算？下面，我们一起合作探究这个问题。
2、合作探究推导弧长计算公式（1）提出问题：①你还记得圆周长的计算公式吗？②圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧长？③1°的圆心角所对弧长是多少？④n °的圆心角呢？学生活动：小组合作探究后，各小组派代表上黑板讲解。
《24.4弧长和扇形面积》作业设计方案-初中数学人教版12九年级上册
《弧长和扇形面积》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业设计的目标是帮助学生巩固并掌握弧长和扇形面积的基本概念、计算公式及运用方法。
通过本课时的作业练习，学生能够准确计算弧长和扇形面积，并能够解决与之相关的实际问题。
二、作业内容1. 基础练习：（1）理解弧长与圆心角的关系，掌握弧长计算公式。
（2）了解扇形的定义及其与圆的关系，掌握扇形面积的计算公式。
（3）通过几道简单的计算题，巩固对弧长和扇形面积计算公式的理解。
2. 应用拓展：（1）利用弧长和扇形面积公式解决实际生活中的问题，如计算圆弧形花坛的周长或面积。
（2）通过几何图形的组合与分解，理解不同几何图形之间的关联与转化。
（3）设置几道稍具难度的综合题，考查学生对弧长和扇形面积知识的综合运用能力。
3. 自主探究：（1）引导学生通过小组合作或个人探究的方式，自主寻找生活中与弧长和扇形面积相关的实例。
（2）鼓励学生利用所学知识，尝试解决一些与几何图形有关的实际问题，如设计一个扇形花坛的布局等。
三、作业要求1. 学生在完成作业时，应注重公式的理解和公式的应用，不可只求答案的正确性而忽视解题过程。
2. 要求学生按照题目要求进行作答，书写规范、清晰，步骤完整。
3. 鼓励学生在完成基础练习后，积极尝试应用拓展的题目，提高自己的解题能力。
4. 自主探究部分需学生结合生活实际，积极寻找相关实例，并尝试提出自己的设计方案或解决方案。
四、作业评价1. 教师将根据学生作业的准确性和解题过程的规范性进行评价。
2. 对于在应用拓展部分表现出色的学生，教师应给予表扬和鼓励，激发其学习积极性。
3. 对于在自主探究部分提出创新设计方案的学生，教师应给予额外加分或口头表扬。
五、作业反馈1. 教师将在课堂上对作业进行讲解和点评，帮助学生查漏补缺。
2. 对于学生在作业中普遍出现的问题，教师应重点讲解和强调。
3. 鼓励学生之间相互交流学习心得和解题方法，共同进步。
通过以上作业设计，旨在通过多层次、多角度的练习，帮助学生全面掌握弧长和扇形面积的相关知识，提高其解题能力和实际应用能力。
24.4弧长和扇形面积(第1课时)
3. S阴影＝S △ABC-3 S扇形AFE
五、小结提高
1.
一个概念：扇形
三个公式：弧长公式
扇形面积
nπR l 180
2
n πR S扇形 360
1 S扇形 lR. 2
两种变形：弧长公式、扇形面积公式的变形； 一种转化：把阴影部分的面积转化为扇形面积和 三角形面积的和或差.
1 r 2 360
字
圆心角是1°的扇形面积是多少？ 圆心角为n°的扇形面积是多少?
n r 2 360
如果用字母 S 表示扇形的面积，n表示圆 心角的度数，R 表示圆半径，那么扇形面积的 计算公式是： n S扇形 ＝ 360 πR2
从而得出：半径为R，圆心角为n˚的扇形 的面积是
S扇形 nπR
试
金
石
必做题：P114 习题24.4第1、2题。 探究题：如图，⊙A、 ⊙B、 ⊙C、 ⊙D两两不相交，且半径都是2cm，求图中 阴影部分的面积。
B A
D
C
2.思考：如何求下列两个图中阴影部分 的面积？
O A （1） B
图(1)的阴影面积＝扇形OAB的 面积+ △OAB的面积
图(2)的阴影面积＝扇形OAB的 面积- △OAB的面积
A
O （2）
B
六、布置作业
1.必做题： 教科书第114~115页习题24.4第1题 （1）（2）；第2、3、5、6题.
2.选做题： 教科书第115页习题24.4第10题.
2
360
比一比： n˚的圆心角所对的弧长和扇形的面 积之间有什么关系？
nπR 1 nπR 1 S扇形 R lR. 360 2 180 2
24.4弧长和扇形面积的教学设计
分析,激励学生自主
的提出要研究的问
题即弧长和扇形面
积的问题，调动了学
生观察思考的积极
性，加深他们对几
何图形的理解和渴
望探索新知识的求
知欲。
新
知
识
的
探
索
与
交
流
新
知
识
的
探
索
与
交
流
探究一：弧长公式
（1）.半径为R圆的周长为______________。
(2).圆的周长可以看作是_______ 度圆心角所对的弧长。
(3).1°的圆心角所对弧长是______________。那么5度的圆心角所对的弧长是多少呢？
(4).n°的圆心角所对的弧长呢？
在半径为R的圆中,n°的圆心角所对的弧长的计算公式为
L= ·2πr=
实际应用：
制作弯形管道时,需要先按中心计算“展开长度”再下料.试计算图所示的管道的展直长度,即弧AB
的长(结果用含π的式子表示).
24.4弧长和扇形面积（第一课时）
户村中学 陈伟
一、教材分析
（一）本课的地位和作用
本节教材是在学生学习了圆的有关概念性质、圆心角、圆周角等内容之后，对弧长和扇形面积的计算的学习，研究的是初中阶段弧长公式和扇形面积公式的推导过程及其在实际问题中的应用。弧长公式和扇形面积公式是以圆的周长和面积公式为依据的。本节内容是圆的有关计算中的一个重要问题，是学习圆锥的侧面展开图的基础。
2、教学设计的优势
弧长和扇形的面积，在新课标、新教材中是要求学习的内容，在本节教学中我结合学生的实际要求，用生活中的实际问题引入新课，调动了学生的兴趣；同时，教学过程中注意因材施教，根据学生的基础，创设多姿多彩的问题情境，为每一个学生创造发挥自己才能的空间，让学生体验解决问题策略的多样性，发展学生的实践能力，合作探究能力，自主学习能力与创新精神。
人教版九年级数学上册第24章 圆 弧长和扇形面积
第1课时 弧长和扇形面积
1.通过自主探究得出弧长的计算公式，体验从特殊到一般的学习
方法，发展学生的推理能力.
2.通过小组讨论推导出扇形面积公式，会推导弧长和扇形面积之
间的关系，学会利用类比的思想方法解决问题.
3.通过练习恰当熟练地运用公式计算弧长、扇形的面积，增强学
生的数学运用能力.
3
4.试着总结圆心角为 ᵒ的扇形面积公式.
扇形 =
=
教师讲评
知识点1．弧长（重点）
n°的圆心角所对的弧长为l= .
知识点2．扇形面积（重点）
1.扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形.如
图，黄色部分是一个扇形，记作扇形OAB.
2.扇形面积：
旧知回顾
还记得小学学过的圆的周长和面积公式吗？
(C=πd=2πr,S=πr²)
“欲穷千里目，更上一层楼”是唐朝诗人王之涣在《登鹳雀楼》一诗中的诗句
，那么同学们想过没有，如果真的要看千里之遥，要“站”多高呢？
如图，地球上B、C两点间的距离指的是球面上两点间的距离，也就是什么的
长？（弧BC的长）
假设弧BC的长为500km，如果地球的半径是6400km，你能算出视线AC的
(2)由(1)易得 =
,
=
, ∠
= °.
∴阴影部分的面积=扇形OAB的面积 −△ 的面积
=
×
− × ×
×
= −
.
24.4 弧长和扇形面积(共2课时)
24.4 弧长和扇形面积（共2课时）第一课时： 弧长和扇形面积教学内容1．n °的圆心角所对的弧长L=180n Rπ 2．扇形的概念；3．圆心角为n °的扇形面积是S 扇形=2360n R π；4．应用以上内容解决一些具体题目． 教学目标了解扇形的概念，理解n•°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式并熟练掌握它们的应用．通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n °的圆心角所对的弧长L=2180n R π和扇形面积S 扇=2360n R π的计算公式，并应用这些公式解决一些题目．重点：n °的圆心角所对的弧长L=180n R π，扇形面积S 扇=2360n R π及其它们的应用．难点：两个公式的应用．关键：由圆的周长和面积迁移到弧长和扇形面积公式的过程． 教学过程一、复习引入老师口问，学生口答 1．圆的周长公式是什么？ 2．圆的面积公式是什么？ 3．什么叫弧长？（1）圆的周长C=2πR （2）圆的面积S 图=πR 2（3）弧长就是圆的一部分． 课件）请同学们独立完成下题：设圆的半径为R ，则： 1．圆的周长可以看作______度的圆心角所对的弧． 2．1°的圆心角所对的弧长是_______． 3．2°的圆心角所对的弧长是_______． 4．4°的圆心角所对的弧长是_______． ……5．n °的圆心角所对的弧长是_______．我们可得到：n °的圆心角所对的弧长为180Rn l π=例1、已知圆弧的半径为50厘米，圆心角为60°，求此圆弧的长度。
说明：没有特别要求，结果保留π。
例2、课本111页例题 课堂练习1、制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，•试计算如图所示的管道的展直长度，即 AB 的长（结果精确到0.1mm ）（幻灯片7）.c分析：要求 AB 的弧长，圆心角知，半径知，只要代入弧长公式即可． 解：R=40mm ，n=110∴ AB 的长=180n R π=11040180π⨯≈76.8（mm ） 因此，管道的展直长度约为76.8mm ．扇形的定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形是扇形。
《弧长和扇形面积》(第一课时)说课稿
《弧长和扇形面积》（第一课时）说课稿各位评委、各位老师：大家好！我说课的课题是《弧长和扇形面积》第一课时，以下我将从背景分析、教学目标设计与教学过程设计等六个方面对本节课的教学设计进行说明。
一、背景分析1.学习任务分析本节课的教学内容是人教版九年级上册教材《第二十四章圆》中的“弧长和扇形面积”第一课时，这节课是学生在前阶段学完了“圆”、“点、直线、圆和圆的位置关系”、“正多边形和圆”的基础上进行的拓展，也是后一节课学习圆锥的预备知识。
这节课由特殊到一般探索弧长和扇形面积公式，并运用公式解决一些具体问题，为学生能更好地运用数学作准备。
因此我确定本节课的重点是：探索和运用“弧长和扇形面积公式”。
在探索弧长和扇形面积公式的过程中，注重了知识的形成过程，以及数学方法的渗透。
2.学生情况分析知识方面：要进行本节课的学习学生应该具备圆的相关性质、勾股定理等知识储备。
这些知识学生都已较好的掌握了，只是在运用知识过程中需要用到转化的数学思想方法，这是学生的薄弱处。
能力方面：在前面的学习中，学生已经积累了一定的数学活动经验，具备了较强的推理能力和说理能力，但自主探究能力和归纳概括能力较弱。
情感态度方面：学生对生活中的例子较为感兴趣，但在探究过程中克服困难的毅力不够。
根据学生的这些特点，我确定本节课：教法：启发式教学学法：自主学习、合作学习、探究学习相结合。
由此我还确定本节课的教学难点：运用扇形面积公式计算阴影部分面积。
而对于难点的突破，关键在于教学活动中创设具有启发性、探索性的问题情境，让学生在思维积极的状态中进行自主探究学习，并对合作过程进行引导，使学生朝着有利于知识建构的方向发展。
二、教学目标设计根据课标要求，数学的教学不仅要使得学生“知其然”，还应该让他们“知其所以然”，要注重学生在学习中所表现出来的情感态度，帮助学生认识自我，建立信心。
根据本节课的内容和学生的特点，我制定了如下教学目标：知识技能：认识扇形，会计算弧长和扇形面积、圆心角、半径以及阴影部分面积。
24.4弧长及扇形面积(第1课时)课后反思)[1] 2
![24.4弧长及扇形面积(第1课时)课后反思)[1] 2](https://img.taocdn.com/s3/m/08ea818a8762caaedd33d46b.png)
24.4弧长和扇形的面积
（第1课时）课后反思
肖金凤
本节课能从学生熟悉的问题情景引入课题，从而吸引学生的注意，激发学生的学习兴趣．在探求弧长公式时，通过提问一步一步引导学生获得弧长公式，让学生知道公式是怎么得来的。
对于扇形面积公式，让学生类比弧长公式的探讨过程，通过小组讨论，合作探究方法让学生巩固了公式的形成过程，符合新课程所倡导的“以学生为主体，教师为主导”的教学理念。
培养了学生应用数学、探究意识和创新能力。
由于内容不是很难，所以整个教学过程学生都能积极参与，课堂气氛比较活跃，这是我感觉本节课取得成功的地方。
本节课的不足在于时间的分配上不是很合理，由于在学生在探索弧长时我担心引导措施不到位，导致时间过长，后面的教学环节比较吃紧，对学生在新知的应用上没有足够的时间。
有待于在今后的教学中注意这方面的问题，以便进一步提高课堂教学效率。
青冈县第八中学九年级数学上册 第二十四章 圆 24.4 弧长及扇形的面积 第1课时 弧长和扇形面积教
教学任务分析板书设计课后反思教学过程设计n的n的圆心n的圆n的圆n的圆心角所对的弧∴弧长公式为：l=教学过程设计教学过程设计ODC B A问题与情境师生行为设计意图活动六：理一理 学生小结教师归纳布置作业： A 组：P 122页练习：1，2， P 124页习题24.4：1.（1）、（2），2，6，7． B 组：P 122页练习：1，2， P 124页习题24.4：2，3，5，6．经过分析，学生知道了水面高即弧AB 的中点到弦AB 的距离．因此想到做辅助线的方法：连接OA 、AB ，过O 作OC ⊥AB 于点D ，交AB 于点C ．教师关注学生对题目的理解，师生共同分析题目条件后，由学生独立写出解题过程，用实物投影展示学生的解题过程，再由学生对解题过程给予评价．由学生谈谈本节课学习的体会和收获，各抒己见．教师对学生的回答给予帮助，让语言表达更准确． 知识：弧长公式180n Rl π=； 扇形面积公式：2R =360n S π扇形12lR =． 能力：灵活运用公式解决实际问题．数学思想：数形结合思想．学生课下独立完成．教师对学生的作业在批改后及时反馈．B 组补充作业：已知：如图，矩形ABCD 中，AB ＝1cm ，BC ＝2cm ，以B 为圆心，BC 为半径作圆弧交AD 于F ，交BA 延长线于E ，求扇形BCE 被矩形所截剩余部分的面积．学生在学习新知识的同时要想到学过的知识，在这里就运用了垂径定理．巩固所学知识，达到复习的目的，教师及时了解学生对本节知识的掌握情况，对教学进度和方法进行适当调整，并对有困难的学生给予指导。
发展学生的解决实际问题的能力和应用意识.初步探索建立数学模型.让学生畅所欲言，教师了解学生的学习情况，并让学生逐渐的学会总结。
检查知识的落实性，以便发现问题和及时解决问题。
继续培养学生的探究意识和学习上持之以恒的精神.二次函数与一元二次方程的关系学习目标1．通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系，会用二次函数图象求一元二次方程的近似解；(重点)2．通过研究二次函数与一元二次方程的联系体会数形结合思想的应用．(难点)教学过程一、情境导入小唐画y＝x2－6x＋c的图象时，发现其顶点在x轴上，请你帮小唐确定字母c的值是多少？二、合作探究探究点一：判断二次函数图象与x轴交点个数【类型一】二次函数图象与x轴交点情况判断下列函数的图象与x轴只有一个交点的是( )A．y＝x2＋2x－3 B．y＝x2＋2x＋3C．y＝x2－2x＋3 D．y＝x2－2x＋1解析：选项A中b2－4ac＝22－4×1×(－3)＝16＞0，选项B中b2－4ac＝22－4×1×3＝－8＜0，选项C中b2－4ac＝(－2)2－4×1×3＝－8＜0，选项D中b2－4ac＝(－2)2－4×1×1＝0，所以选项D的函数图象与x轴只有一个交点．故选D.【类型二】利用二次函数图象与x轴交点坐标确定抛物线的对称轴如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于(1，0)，(3，0)两点，则它的对称轴为________．解析：∵点(1，0)与(3，0)是一对对称点，∴其对称中心是(2，0)，∴对称轴的方程是x ＝2.方法总结：解答二次函数问题，若能利用抛物线的对称性，则可以简化计算过程．【类型三】利用抛物线与x轴交点情况确定字母取值(范围)若函数y ＝mx2＋(m ＋2)x ＋12m ＋1的图象与x 轴只有一个交点，那么m 的值为( )A ．0B ．0或2C ．2或－2D ．0，2或－2解析：若m ≠0，根据二次函数与x 轴只有一个交点，利用一元二次方程根的判别式为零来求解；若m ＝0，原函数是一次函数，图象与x 轴有一个交点．当m ≠0时，Δ＝(m ＋2)2－4m(12m ＋1)＝0，解得m ＝2或－2；当m ＝0时，原函数是一次函数，图象与x 轴只有一个交点，所以当m ＝0，2或－2时，图象与x 轴只有一个交点．故选D.方法总结：二次函数y ＝ax2＋bx ＋c ，当b2－4ac ＞0时，图象与x 轴有两个交点，当b2－4ac ＝0时，图象与x 轴有一个交点，当b2－4ac ＜0时，图象与x 轴没有交点． 探究点二：二次函数图象与x 轴的交点坐标与一元二次方程根的关系已知二次函数y ＝－x2＋2x ＋m 的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程－x2＋2x ＋m ＝0的解为________．解析：因为抛物线经过点(3，0)，所以x ＝3，y ＝0是该函数的一组对应值．将x ＝3，y ＝0代入函数表达式，得0＝－32＋2×3＋m ，解得m ＝3.所以一元二次方程为－x2＋2x ＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3.方法总结：本题先求出m 的值，从而写出一元二次方程，然后解这个一元二次方程得出其解．也可以由图象得抛物线的对称轴为直线x ＝1，抛物线与x 轴的一个交点为(3，0)．根据抛物线的对称性知抛物线与x 轴的另一个交点为(－1，0)，则(3，0)和(－1，0)两点的横坐标就是所求方程的根，即x1＝－1，x2＝3. 探究点三：利用二次函数求一元二次方程的近似解利用二次函数的图象求一元二次方程－x2＋2x －3＝－8的实数根(精确到0.1)． 解析：对于y ＝－x2＋2x －3，当函数值为－8时，对应点的横坐标即为一元二次方程－x2＋2x －3＝－8的实数根，故可通过作出函数图象来求方程的实数根．解：在平面直角坐标系内作出函数y ＝－x2＋2x －3的图象，如图．由图象可知方程－x2＋2x －3＝－8的根是抛物线y ＝－x2＋2x －3与直线y ＝－8的交点的横坐标，左边的交点横坐标在－1与－2之间，另一个交点的横坐标在3与4之间．(1)先求在－2和－1之间的根，利用计算器进行探索：x －1.1 －1.2 －1.3 －1.4 －1.5 y－6.41－6.84－7.29－7.76－8.25因此x ≈－1.4是方程的一个实数根； (2)另一个根可以类似地求出：x 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 y－6.41－6.84－7.29－7.76－8.25x ≈3.4是方程的另一个实数根．方法总结：用二次函数的图象求一元二次方程满足精确度的实数根的方法：(1)作出函数的图象，并由图象确定方程解的个数；(2)由图象与y ＝h 的交点的位置确定交点横坐标的取值范围；(3)利用计算器求方程的实数根． 板书设计二次函数与一元二次方程⎩⎪⎨⎪⎧1.与x 轴交点的情况判断2.确定一元二次方程的解和解的情况、确定对称轴和字母系数的取值范围教学反思教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，通过观察二次函数与x 轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况．体会知识间的相互转化和相互联系．3。
24.4弧长和扇形面积(第1课时)-教学设计
交 BA 延长线于 E， 求扇形 BCE 被矩形 所截剩余部分的面积。
运用所学公式迅速、 正确解题， 培养学生 良好的学习习惯， 训 练学生的解题速度 和综合运用知识解 题的能力。
四、小结归纳 1.弧长公式 2.扇形面积公式
l nR 180
公式的关系
四、板书设计
课题 弧长公式 应用 扇形面积公式关系定理应用 归纳 弧长公式与扇形面积公式的关系 教 学 反 思
学生初步应用弧长公式进行 计算，结合图形分析思考，了 解公式的不同使用方法。从而 发展学生的解决实际问题的 能力和应用意识，并让学生逐 渐的学会总结，教师检查知识 的落实性，以便发现问题和及 时解决问题。
学生类比推导扇形 面积公积公式。
教师引导学生类比弧长公式 的推导方法尝试探究扇形面 积公式。
（3） 圆心角为 n°的扇形的面积是圆心角为 1°的扇形的面积 n 倍； （4）圆心角为 n°的扇形的面积 = 归纳：若设⊙O 半径为 R，圆心角为 n°的扇形的面积 S 扇形， 则 nR 2 扇形面积公式 S扇形 360 2.应用： ⑴扇形的半径为 24，面积为 240 ，则这个 O 扇形的圆心角为 ； D A B ⑵ 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面 C 半径是 0.6m，其中水面高 0.3m，求截面上有 水部分的面积（精确到 0.01m） （三）弧长公式与扇形面积公式的关系 问题：扇形的面积公式与弧长公式有联系吗？得到
l
0 0
教师提出问题，学生通过复习 圆周长公式，以及圆心角和其 所对弧的关系自主探究弧长 公式，经历猜想、计算、推理、 感性、理性，加深对弧长公式 的理解，小组之间进行交流， 汇总，师生总结。
让学生初步应用弧 长公式， 通过运用掌 握公式的运用技巧， 培养学生计算能力 及分析解决实际问 题的能力。
【课件】24.4弧长和扇形面积
∴AF＝ AB2＋BF2＝ 22＋12＝ 5.由平行四边形的性质，△FEC≌
△CGF，∴S△FEC＝S△CGF，∴S 阴影＝S 扇形 BAC＋S△ABF＋S△FGC－S 扇形 FAG
＝90×3π60×22＋12×2×1＋12×(1＋2)×1－90×π
×（ 360
5）2＝52－π4
16．(2014·昆明)如图，在△ABC 中，∠ABC＝90°，D 是边 AC 上的一点，连接 BD，使∠A＝2∠1，E 是 BC 上的一点，以 BE 为直径的⊙O 经过点 D.
(1)求证：AC 是⊙O 的切线； (2)若∠A＝60°，⊙O 的半径为 2，求阴影部分的面积．(结果
保留根号和π)
解：(1)连接 OD，∵OB＝OD，∴∠1＝∠BDO，∴∠DOC＝2 ∠1＝∠A.在 Rt△ABC 中，∠A＋∠C＝90°，即∠DOC＋∠C＝90 °，∴∠ODC＝90°，即 OD⊥DC，∴AC 为圆 O 的切线
3．已知扇形的圆心角为 45°，弧长等于π2 ，则该扇形的半径是 ___2__．
4．(2014·兰州)如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30
°，AB＝2.将△ABC 绕直角顶点 C 逆时针旋转 60°得△A′B′C，则点
B 转过的路径长为(B )
π A. 3
3π B. 3
2π C. 3
∠FAB＝90°.∵线段 AF 绕点 F 顺时针旋转 90°得线段 FG，∴∠
AFB＋∠CFG＝∠AFG＝90°，∴∠CFG＝∠FAB＝∠ECB，∴EC
∥FG.∵AF＝EC，AF＝FG，∴EC＝FG，∴四边形 EFGC 是平行四
边形，∴EF∥CG
(2)∵AB＝2，E 是 AB 的中点，∴FB＝BE＝12AB＝12×2＝1，
人教版弧长和扇形面积公式优质教案(共两篇)
人教版弧长和扇形面积公式优质教案(共两篇)第1课时教学内容24．4弧长和扇形面积（1）．教学目标1．理解弧长和扇形面积公式，并会计算弧长和扇形的面积．2．经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程，感受转化、类比的数学思想，培养学生的探索能力．3．通过用弧长及扇形面积公式解决实际问题，让学生体验数学与人类生活的密切联系．教学重点1．推导弧长及扇形面积计算公式的过程．2．掌握弧长及扇形面积计算公式，会用公式解决问题．教学难点推导弧长及扇形面积计算公式的过程．教学过程一、导入新课复习圆的周长和面积公式，导入新课的教学．二、新课教学1．弧长的计算公式．思考：我们知道，弧是圆的一部分，弧长就是圆周长的一部分．想一想，如何计算圆周长？圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧长？由此出发，1°的圆心角所对的弧长是多少？n°的圆心角呢？在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C＝2πR，所以1°的圆心角所对的弧长是，即．于是n°的圆心角所对的弧长为．2．扇形面积的计算公式．如图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形．可以发现，扇形的面积除了与圆的半径有关外还与组成扇形的圆心角的大小有关，圆心角越大，扇形面积也就越大．怎样计算圆半径为R，圆心角为n°的扇形面积呢？思考：由扇形的定义可知，扇形面积就是圆面积的一部分．想一想，如何计算圆的面积？圆面积可以看作是多少度的圆心角所对的扇形的面积？1°的圆心角所对的扇形面积是多少？n°的圆心角呢？在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积S＝πR2，所以1°的扇形面积是，于是圆心角为n°的扇形面积是S扇形＝．3．实例探究．例 1 制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算下图所示的管道的展直长度L（结果取整数）．解：由弧长公式，得的长＝500π≈1 570（mm）．因此所要求的展直长度L＝2×700＋1 570＝2 970（mm）．例2 如下左图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m，其中水面高0.3 m．求截面上有水部分的面积（结果保留小数点后两位）．解：如上右图，连接OA，OB，作弦AB的垂直平分线，垂足为D，交于点C，连接AC．∵ OC＝0.6 m，DC＝0.3 m，∴ OD＝OC－DC＝0.3（m）．∴ OD＝DC．又 AD⊥DC，∴ AD是线段OC的垂直平分线．∴ AC＝AO＝OC．从而∠AOD＝60°，∠AOB＝120°．有水部分的面积S＝S扇形OAB－S△OAB＝×0.62－AB·OD＝0.12π－×0.6×0.3≈0.22（m2）．三、巩固练习教材第113页练习．四、课堂小结今天学习了什么？有什么收获？五、布置作业习题24.4 第1、2题．一、基础知识1.使学生理解弧长和扇形的定义，明白弧长和扇形面积的推导过程，并熟记弧长和扇形面积公式。
人教版九年级数学上册第二十四章圆《24.4弧长和扇形面积》第1课时教学设计
人教版九年级数学上册第二十四章圆《24.4弧长和扇形面积》第1课时教学设计一. 教材分析人教版九年级数学上册第二十四章圆《24.4弧长和扇形面积》是学生在学习了角的度量、圆的性质、圆的周长等知识的基础上，进一步探究圆的弧长和扇形面积的计算。
这一节内容不仅是前面学习内容的延续，也为后面学习圆锥、圆柱等几何体提供了基础。
教材通过生活中的实例，引导学生探究弧长和扇形面积的计算公式，让学生感受数学与生活的紧密联系，提高学生学习数学的兴趣。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识，对圆的基本概念和性质有一定的了解。
但是，对于弧长和扇形面积的计算，学生可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过实际操作、探究活动等，理解和掌握弧长和扇形面积的计算方法。
三. 教学目标1.理解弧长和扇形面积的概念。
2.掌握弧长和扇形面积的计算公式。
3.能够运用弧长和扇形面积的知识解决实际问题。
四. 教学重难点1.重点：弧长和扇形面积的计算公式。
2.难点：弧长和扇形面积公式的推导过程。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过实际问题，探究弧长和扇形面积的计算方法。
2.利用几何画板等软件，直观展示弧长和扇形的计算过程，帮助学生理解。
3.采用小组合作学习的方式，让学生在合作中交流、讨论，提高学生的合作能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学课件、几何画板软件。
2.准备一些实际的例子，用于引导学生探究。
3.准备一些练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个生活中的实例，如自行车轮子的周长，引出弧长的概念。
提问：如何计算这个弧长？引导学生思考，为下面的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）利用几何画板软件，展示一个圆的扇形，让学生直观地感受弧长和扇形面积的计算过程。
通过软件的动态演示，引导学生探究弧长和扇形面积的计算公式。
3.操练（10分钟）让学生分组合作，利用准备好的实际例子，计算弧长和扇形面积。
人教版九年级数学上册《弧长和扇形面积》圆PPT课件(第1课时)
创设情境
探究新知
应用新知
巩固新知
做一做
弧长公式
：
l=
π
180
1.在半径为24 cm的圆中，30°的圆心角所对的弧长为 4π cm，
60°的圆心角所对的弧长为 8π cm，120°的圆心角所对的弧
长为
16π cm.
2.半径为6 cm的圆中，75°的圆心角所对的弧长是 2.5π cm；
D．80°
，扇形OAB的面积为15π，则
(
巩固新知
π，半径是6，那么此扇形的
AB 所对的圆心角是（ B ）
课堂小结
布置作业
A．120°
B．72°
C．36°
D．60°
创设情境
随堂练习
3．如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6 m，其中水
探究新知
面高0.9 m，求截面上有水部分的面积（结果保留小数点后两位）.
线，垂足为D，交
于点C，连接
O●
巩固新知
课堂小结
布置作业
AC.
∵OC=0.6 m，DC=0.3 m，
∴OD=OC-DC=0.3（m）.
∴OD=DC.
又AD⊥DC，
∴AD是线段OC的垂直平分线.
∴AC=AO=OC.
A
D
C
B
创设情境
典型例题
【例2】如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m，
探究新知
圆心角
有关，
创设情境
典型例题
【例1】制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，
探究新知
再下料，试计算图所示管道的展直长度L (结果取整数) .
A
第二十四章圆 24.4 第1课时
课前预习
1. 圆心角为60°，半径为2 cm的扇形的弧长是 __________cm. 2. 已知扇形的半径为3 cm，面积为6π cm2，则该扇形 的弧长等于___4_π___c_m__ .
3
课堂讲练
典型例题
知识点1：弧长的计算 【例1】 在半径为6 cm的圆中，求120°的圆心角所对 的弧长.
解：（1）∵弧长l=
=20ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，
∴r=
=24（cm）.
（2）扇形面积= lr= ×20π×24=240π（cm2）.
10
课堂讲练
3. 如图24-4-3，半圆O的直径AB=2，弦CD∥AB， ∠CAD=30°，求阴影部分的面积. （结果保留π） 解：如答图24-4-2所示，连接OC,OD. ∵∠CAD=30°，∴∠COD=60°. ∵AB∥CD，∴S△ACD=S△COD ∴阴影部分的面积=S弓形CD+S△ACD=扇形OCD的面积=
第二十四章 圆
24.4 弧长和扇形面积
第1课时 弧长和扇形面积（一）
1
课前预习
A. 弧长及扇形面积公式： （1）弧长公式：__________（其中n为弧所对的圆心角 的度数）； （2）扇形面积公式：______________或_____=____l_R__ （其中n为弧长所对的圆心角的度数，l为扇形的弧长， R为半径）.
A. 175π cm2
C.
cm2
B. 350π cm2 D. 150π cm2
13
分层训练
3. 如图24-4-6，已知扇形AOB的半径为2，圆心角为 90°，连接AB，则图中阴影部分的面积是（ A ） A. π-2 B. π-4 C. 4π-2 D. 4π-4 4. （2017菏泽）一个扇形的圆心角为100°，面积为 15πcm2，则此扇形的半径长为__________.
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）这头牛吃草的最大活动区域有多大？
n°角，那么它的最大活动区域有多大？
）这头牛吃草的最大活动区域是一个以
n°角，那么它的最大活动区域应该是°圆心角所对的弧所围成的圆的一部分的图形，如图
分析：要求弧长和扇形面积，只要有圆心角，半径的已知量便可求，本题已满足．
10.5
AOB的面积为150.7cm
•将一块半径足够长的扇形纸板的圆心角放在边长为
的正五边形的中心点处，并将纸板绕
时，正三角形边被纸覆盖部分的总长度为定值a；当扇形纸板的圆心角为
正五边形的边长被纸板覆盖部分的总长度也为定值a．
(a)
）探究与引申：一般地，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为
若将纸板绕O点旋转，
覆盖部分的总长度为定值a，这时正
（点A）重合，此时
边形被纸板覆盖部分的面积是定值，这个定值是S
n
．
一、选择题
1．已知扇形的圆心角为120°，半径为6，则扇形的弧长是（）．
A．3πB．4πC．5πD．6π
2．如图1所示，把边长为2的正方形ABCD的一边放在定直线L上，按顺时针方向绕点D旋转到如图的位置，则点B运动到点B′所经过的路线长度为（）
A．1 B．πC Dπ
(1) (2) (3)
3．如图2所示，实数部分是半径为9m的两条等弧组成的游泳池，若每条弧所在的圆都经过另一个圆的圆心，则游泳池的周长为（）
A．12πm B．18πm C．20πm D．24πm
二、填空题
1．如果一条弧长等于
4
π
R ，它的半径是R ，那么这条弧所对的圆心角度数为______，• 当圆心
角增加30°时，这条弧长增加________．
2．如图3所示，OA=30B ，则 A D 的长是 BC
的长的_____倍． 三、综合提高题
1．已知如图所示， AB 所在圆的半径为R ， AB 的长为3
π
R ，⊙O ′和OA 、OB 分别相切于点C 、E ，
且与⊙O 内切于点D ，求⊙O ′的周长．
2．如图，若⊙O 的周长为20πcm ，⊙A 、⊙B 的周长都是4πcm ，⊙A 在⊙O •内沿⊙O 滚动，⊙B 在⊙O 外沿⊙O 滚动，⊙B 转动6周回到原来的位置，而⊙A 只需转动4周即可，你能说出其中的道理吗？
3．如图所示，在计算机白色屏幕上，有一矩形着色画刷
ABCD ，AB=1，，将画刷以B 为中
心，按顺时针转动A ′B ′
C ′
D ′位置（A ′点转在对角线BD 上），求屏幕被着色的面积．
答案:
一、1．B 2．D 3．D 二、1．45°
16
πR 2．3
三、1．连结OD 、O ′C ，则O ′在OD 上
由 A B
l =3
π
R ，解得：∠AOB=60°， 由Rt △OO ′C •解得⊙O ′的半径r=
13
R ，所以⊙O ′的周长为2πr=
23
πR ．
2．⊙O 、⊙A 、⊙B 的周长分别为20πcm ，4πcm ，4πcm ， 可求出它的半径分别为10cm 、•2cm 、2cm
，
所以OA=8cm ，OB=12cm ，
因为圆滚动的距离实际等于其圆心经过的距离，
所以⊙A 滚动回原位置经过距离为2π×8=16π=4π×4， 而⊙B 滚动回原位置经过距离为2π×12=24π=4π×6． 因此，与原题意相符． 3．设屏幕被着色面积为S ，
则S=S △ABD +S 扇形BDD`
+S △BC`D `=S
矩形ABCD
+S
扇形BDD`
，
连结BD ′，
在Rt △A ′BD ′中，A ′B=1，A ′D ′=AD=， ∴BD ′=BD=2，∠DBD ′=60°，
∴S=16
π·22+123
π．。