2016九年级数学上册4.3解直角三角形同步导练(新版)湘教版
【湘教版】九年级数学上册：4.3解直角三角形同步练习(含答案)
4.3解直角三角形oi课前预习」要点感知在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫作解直角三角形常见类型及求法:预习练习1一1△宓中，b, c分别是Z/,上B, ZC的对边，如果才+F二厲那么下列结论正确的是（）A. csinA=aB. bcosB^c C・atanA=b D. ctanB=b1一2如图，己知中，ZO90° , Z^60° ,曰二6,解这个直角三角形.BA C知识点解直角三角形1.在Rt'ABC中，ZU90°,若沪6, Z^30°,则c和扫曲的值分别为（）A. 12,巴B. 12, V3C.4V3, —D.2V2,羽3 32.在&△宓中，Z090°，己知耳和力，则下列关系中正确的是（）A. c=asinAB. c^a/sinAC. c=acosAD. c^a!cosA3.在直角三角形宓中，已知ZU90° , Z用40°, B&3,则）A. 352/740°B. 3522750°C. 3 如40°D. 3 如50°4.如图，在Rt'ABC中，Z^=90° .(1)已知Z力和c,则a= _______ , b= _______ ；⑵已知Z万和b,则a= _______ , c= _______ .5.在△力庞中，Z 6=90 ° .⑴若尸10, Z J5=30：：，求日，方，ZA；(2)若戻9, c=6上,求a, Z彳,ZB.03课后作业■6.如图是教学用直角三角板，边A(=3cm,ZU90。
，tanZBAO^, 3则边氏的长为()A. 30A/3cmB. 20^3 cmC. 10A/3cmD. 5A/3cmA C7•如图，在虑中，Z6^90° , Z 少60° , D 是 ACh 一点，DELAB于E,且CX2, Di 则庞'的长为()A. 2B. —C. 2朽D. 4石38. 在平面直角坐标系中，设点尸到原点。
湘教版九年级数学上册4.3解直角三角形及其应用 同步练习
4.3解直角三角形及其应用〖预习练习〗1 a B 2.）(A)asin 2α (B)acos 2α (C)asin αcos α (D)asin αtan α3．半径为10cm 的圆内接正三角形的边长为 ，内接正方形的边长为 ，内接正六边形的边长为4.已知正六边形的面积为3 3 cm 2，则它的外接圆半径为 5.已知△ABC 中，∠B ＝30°，a ＝2，c ＝3，则S △ABC ＝6.等腰三角形的腰长为2cm ，面积为1 cm 2，则顶角的度数为7.已知一山坡的坡度为1:3，某人沿斜坡向上走了100m ，则这个人升高了 m8.一锥形零件的大头直径为20cm ，小头直径为5cm ，水平距离为35cm ，则该锥形零件的锥度为 考点训练：1.在Rt △ABC 中，∠C=90°，已知a 和A ，则下列关系中正确的是( ) (A) c=asinA ( B) c= a sinA (C) c=acosA (D) c= acosA2．在Rt △ABC 中，∠C=90°，c=10 ∠A=30°，则b=（ ）(A) 5 3 (B) 10 3 (C) 5 (D) 103. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB 的坡度i=1：2,则BC ：CA ：AB 等于( )(A) 1：2：1 (B) 1： 3 ：2 (C) 1： 3 ： 5 (D) 1：2： 54.从1.5m 高的测量仪上,测得某建筑物顶端仰角为30°,测量仪距建筑物60m,则建筑物的高大约为( )A 34.65mB 36.14mC 28.28mD 29.78m5.已知直角三角形中,较大直角边长为30,此边所对角的余弦值为817，则三角形的周长为 ，面积为 。
6.在平行四边形ABCD 中，AD ：AB=1：2,∠A=60°,AB=4cm,则四边形面积为7.一锥形零件的表面如图，图纸上规定锥度k=3：8，则斜角a 的正切值为8.在△ABC 中, ∠C=90°, ∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c. (1)若∠A=60°,a+b=3+ 3 ,求a 、b 、c 及S △ABC (2)若△ABC 的周长为30,面积为30,求a 、b 、c9.如图四边形ABCD中, ∠A=60°, ∠B=∠D=90, CD=2, BC=11,求AC的长10.从高出海平面500米的直升飞机上,测得甲乙两船的俯角分别为45°和30°,已知两船分别在正东和正西,飞机和两船在同一铅垂面内,求两船的距离.解题指导(1)1.在矩形ABCD中,CE⊥BD,E为垂足,连结AE,已知BC=3,CD=4,求(1)△ADE的面积,(2)tan∠EAB2．已知∠MON＝60°，P是∠MON内一点，它到角的两边的距离分别为2和11，求OP的长3．一个圆内接正三角形面积为16 3 cm2,求(1)这个圆的半径；(2)这个圆的外切正三角形面积?4．如图,已知⊙O中弦AB=2,弓形高CD=2- 3 ,求弓形ABC的面积5.若a、b、c是△ABC的三边, a+c=2b,且方程a(1-x2)+2bx+c(1+ x2)=0有两个相等的实数根,求sinA+sinB+sinC的值6.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=Rt ∠,AC=2,tan 2A+ tan 2B= 103 ,∠A>∠B,点P 在斜边AB 上移动,连结PC,(1)求∠A 的度数(2)设AP 为x,CP 2为y,求y 关于x 的函数表达式及自变量x 的取值范围,(3)求证：AP=1时,CP ⊥AB解题指导（2）1.（1）已知锥体轴截面(如图)，斜角α,tan α=18 ，求锥度K=（2）一锥形零件锥度为18，小头直径为20mm ，长为64mm,求这个零件侧面积；（3）如图，渠道横截面为等腰梯形，内坡比为2：1，测得距深为2m ，上口宽为3.5m ，求渠道底宽。
湘教版数学九年级上册4-3 解直角三角形 同步练习题 含答案
湘教版数学九年级上册 第4章 锐角三角形 4.3 解直角三角形 同步练习题1．如图，已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，tan A ＝12，则BC 的长是( )A ．2B ．8C ．2 5D ．4 52．如图是教学用直角三角板，边AC ＝30 cm ，∠C ＝90°，tan ∠BAC ＝33，则边BC 的长为( )A ．30 3 cmB ．20 3 cmC ．10 3 cmD ．5 3 cm3．在直角三角形ABC 中，已知∠C＝90°，∠A ＝40°，BC ＝3，则AC ＝( ) A ．3sin40° B ．3sin50° C ．3tan40° D ．3tan50°4．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a ＝6，∠B ＝30°，则c 和tan A 的值分别为( )A ．12，33B ．12， 3C ．43，33 D ．22， 35．如图，某游乐场一山顶滑梯的高为h, 滑梯的倾斜面与水平面的夹角为α，那么滑梯长l 为( )A.h sin αB.h tan αC.hcos αD ．h ·sin α6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.(1)已知∠A和c，则a＝_____________，b＝_____________.(2)已知∠B和b，则a＝_________，c＝____________．7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，且∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.(1)已知c＝6，∠A＝60°，则a＝_______，b＝____；(2)已知a＝4，∠B＝45°，则b＝____，c＝________；(3)已知a＝10，b＝103，则c＝_______，∠A＝______；(4)已知b＝63，c＝12，则a＝____，∠B＝________.8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形：(1)∠A＝30°，b＝12；(2)a＝26，c＝4 3.9．直角三角形ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝3.求AC和BC的长．10．如图，小明为了测量其所在位置A点到河对岸B点之间的距离，沿着与AB 垂直的方向走了m米，到达点C，测得∠ACB＝α，那么AB等于( )A ．m ·sin α米B ．m ·tan α米C ．m ·cos α米 D.mtan α米11．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝513，则tan B 的值为( )A.1213B.512C.1312D.12512．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AB ＝4，sin A ＝35，则斜边上的高等于( )A.6425B.4825C.165D.12513．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin B ＝32，a ＝5，则∠B ＝______，c ＝______．14．如图，△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为点D ，若BC ＝14，AD ＝12，tan ∠BAD ＝34，求sin C 的值．15．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，∠BAC 的平分线AD ＝1633，求∠B的度数及边BC，AB的长．16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝ 3.点D为BC边上一点，且BD＝2AD，∠ADC＝60°，求△ABC的周长．(结果保留根号)17．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，D是边AB上一点，∠BDC＝45°，AD＝4，求BC的长．(结果保留根号)18．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝23，求AB的长．答案: 1—5 ACDDA6. (1) c·sinA c·cosAb sinB7. (1) 3 3 3 (2) 4 4 2 (3) 20 30° (4) 6 60°8. (1) 解：∠B＝60°，AB ＝83，BC ＝4 3(2) 解：b ＝26，∠A＝45°，∠B＝45°9. 解：sin30°＝AB AC ＝3AC ，∴AC＝6，∴BC＝AC 2－AB 2＝3 310. B 11. D 12. B13. 60° 1014. 解：∵tan ∠BAD ＝BD AD ，∴34＝BD12，∴BD ＝9，CD ＝5，AC ＝AD 2＋CD 2＝13，sinC ＝AD AC ＝121315. 解：cos ∠CAD ＝CA AD ＝81633＝32，∴∠CAD ＝30°，∴∠BAC ＝60°，∴∠B＝30°，tan ∠B ＝AC BC ，∴33＝8BC ，∴BC ＝83，sin ∠B ＝AC AB ，∴12＝8AB ，∴AB ＝1616. 解：在Rt△ACD 中，AC ＝3，∠ADC＝60°，∴AD＝AC sin60°＝3sin60°＝2，∴BD＝2AD ＝4，CD ＝1，∴AB＝（3）2＋52＝28＝27.∴c △ABC ＝27＋5＋ 3 17. 解：tanA ＝BC AB ，∴AB＝BC tan30°＝3BC ，tan∠BDC＝BC BD ，∴BD＝BC tan45°＝BC ，AB －BD ＝AD ，即(3－1)BC ＝4，∴BC＝43－1＝2(3＋1)18. 解：过点C 作CD⊥AB 于点D.在Rt△ACD 中，∵∠A＝30°，∴CD＝12AC ＝3，由勾股定理得AD ＝（23）2－（3）2＝9＝3，在Rt△BCD 中，∵tan45°＝CDBD ，∴BD＝CD ＝3.∴AB＝AD ＋BD ＝3＋ 3。
湘教版九年级数学上册《锐角三角函数》4.3 解直角三角形
能力提升练 11．在△ABC 中，已知∠C＝90°，∠A，∠B，∠C 所对的边分
别为 a，b，c，a＝ 3，c＝ 6，则下列解该直角三角形所得
能力提升练
解：在 Rt△ABC 中，BC＝2，∠A＝30°， AC＝taBnCA＝2 3，则 EF＝AC＝2 3. ∵∠E＝45°，∴FC＝EF·sinE＝ 6， ∴AF＝AC－FC＝2 3－ 6.
能力提升练
15．如图，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的高，tan C＝12，AC＝ 3 5，AB＝4，求△ABC 的周长．
基础巩固练
7．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，已知 a 和∠A，则下列关系中正
确的是( D )
A．c＝a·cos A C．c＝a·sin A
B．c＝coas A D．c＝sina A
基础巩固练
8．【中考·沈阳】如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，
AB＝8，则 BC 的长是( D )
同理可得 sin
∠a BAC＝sinc C，则sin
∠a BAC＝sinb B＝sinc C.
A．4
B．3 2
C．5
D．4 2
能力提升练
【点拨】如图，过点 A 作 AD⊥BC 于点 D. 在 Rt△ACD 中，∠C＝45°，AC＝2 2， ∴AD＝AC·sin 45°＝2. ∵在 Rt△ABD 中，∠B＝30°， ∴sin 30°＝AADB，∴AB＝sinA△ABC 中，∠B＝60°，AB＝2，BC＝3，AD⊥BC，
九年级数学上册 4.4 解直角三角形的应用同步导练 (新版)湘教版
4.4 解直角三角形的应用基础导练1如图，从热气球C上测定建筑物A、B底部的俯角分别为30°和60°，如果这时气球的高度CD为150米，且点A、D、B在同一直线上，建筑物A、B间的距离为( )2.小强和小明去测量一座古塔的高度（如图），他们在离古塔60米的A处，用测角仪器得塔顶的仰角为30°，已知测角仪器高AD=1.5米，则古塔BE的高为（）.A.（-1.5）米 B.（）米 C.31.5 D.28.53.由山顶A望地面C、D两点的俯角分别为450、300，若CD=100m，则山高AB等于（）.A.100mB.503mC.502mD.50（3+1）m4.某堤的横断面如图.堤高BC是5米，迎水斜坡AB的长时13米，那么斜坡AB的坡度是( )A.1∶3B.1∶2.6C.1∶2.4D.1∶25.如图，坡角为30的斜坡上两树间的水平距离AC为2m，则两树间的坡面距离AB为6.如图，甲、乙两幢楼之间的距离是30米，自甲楼顶A处测得乙楼顶端C处的仰角为45°，测得乙楼底部D处的俯角为30°，则乙楼的高度为米.能力提升7.钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部门对钓鱼岛海域实现了常态化巡航管理.如图，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B，B船在A船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，B的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C，求此时船C与船B的距离是多少.(结果保留根号)8.如图，为了测量山顶铁塔AE的高，小明在27 m高的楼CD底部D测得塔顶A的仰角为45°，在楼顶C测得塔顶A的仰角为36°52′.已知山高BE为56 m，楼的底部D与山脚在同一水平面上，求该铁塔的高AE.(参考数据：sin36°52′≈0.60，tan36°52′≈0.75)9.某商场为方便顾客使用购物车，准备将滚动电梯的坡面坡度由1∶1.8改为1∶2.4(如图).如果改动后电梯的坡面长为13米，求改动后电梯水平宽度增加部分BC的长.10.一艘渔船在A处观测到东北方向有一小岛C，已知小岛C周围4.8海里范围内是水产养殖场.渔船沿北偏东30°方向航行10海里到达B处，在B处测得小岛C在北偏东60°方向，这时渔船改变航线向正东(即BD)方向航行，这艘渔船是否有进入养殖场的危险？参考答案1.C2.B3.D4.C5.（）7.作BD⊥AC于D.由题意可知，∠BAC=45°，∠ABC=105°，∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=30°.在Rt△ABD中，BD=AB·sin∠BAD=20×2=10海里).在Rt△BCD中，BC=sin BD BCD∠=12=(海里).答：此时船C与船B的距离是.8.过点C作CF⊥AB，垂足为F，则∠AFC=90°.在Rt△ABD中，tan45°=ABBD，∴AB=BD.设AE=xm，则AF=(x+29)m，CF=BD=AB=(x+56)m.∵在Rt△ACF中，tan36°52′=AFCF，∴tan36°52′=2956xx++.∵tan36°52′≈0.75，∴2956xx++=0.75，解得x=52.经检验x=52是原方程的根，且符合题意.答：该铁塔的高AE 为52 m.9.在Rt △ADC 中，∵AD ∶DC=1∶2.4，AC=13，由AD 2+DC 2=AC 2，得AD2+(2.4AD)2=132.∴AD=±5(负值不合题意，舍去).∴DC=12.在Rt △ABD 中，∵AD ∶BD=1∶1.8，∴BD=5×1.8=9.∴BC=DC-BD=12-9=3.答：改动后电梯水平宽度增加部分BC 的长为3米. 10.过点C 作CE ⊥BD ，垂足为E ，∴CE ∥GB ∥FA.∴∠BCE=∠GBC=60°.∠ACE=∠FAC=45°.∴∠BCA=∠BCE-∠ACE=60°-45°=15°.又∠BAC=∠FAC-∠FAB=45°-30°=15°，∴∠BCA=∠BAC.∴BC=AB=10.在Rt △BCE 中，CE=BC ·cos ∠BCE=BC ·cos60°=10×21=5(海里). ∵5海里＞4.8海里，∴渔船没有进入养殖场的危险.。
湘教版九年级数学上册同步练习 4.3 解直角三角形
湘教版九年级数学上册同步练习 44.3 解直角三角形知识点1 一边一角解直角三角形1．如图4－3－1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°.(1)∠A 和c ，那么a ＝________，b ＝________；(2)∠B 和b ，那么a ＝________，c ＝________．2．在直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝40°，BC ＝3，那么AC ＝( )A ．3sin40°B ．3sin50°C ．3tan40°D ．3tan50°图4－3－1图4－3－23．如图4－3－2，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝8，那么BC 的长是( ) A.4 33B ．4C ．8 3D ．4 3 4．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝8，∠B ＝60°，求∠A ，b ，c .知识点2 两边解直角三角形5．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝2，AC ＝6，那么AB ＝________，∠A ＝______°，∠B ＝________°.6．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 区分是∠A ，∠B ，∠C 的对边，假设a ＝2，b ＝2 3，求c 及∠B .知识点3 一边和锐角三角函数解直角三角形7．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin B ＝32，BC ＝5，那么∠B ＝________°，AB ＝________． 8．2021·岳阳如图4－3－3是教学用三角尺，边AC ＝30 cm ，∠C ＝90°，tan ∠BAC ＝33，那么边BC 的长为( )A ．30 3 cmB ．20 3 cmC ．10 3 cmD ．5 3 cm9．在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝4，sin A ＝23，那么AC 边的长是( ) A ．6 B ．2 5C ．3 5D ．2 13图4－3－3图4－3－4知识点4 〝双直角三角形〞效果10．如图4－3－4，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，AB ＝8，∠ABD ＝30°，∠CAD ＝45°，那么BC 的长为( )A ．4 3B ．4 3＋4C ．4 3－4D ．411．教材习题4.3第3题变式如图4－3－5，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，点D 在AC 上，∠BDC ＝45°，BD ＝10 2，AB ＝20，求∠A 的度数．图4－3－512．如图4－3－6所示，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是∠BAC 的平分线．AB ＝10，tan B＝34，那么BC 的长为( ) A ．6 B ．8 C ．12 D ．16图4－3－6图4－3－713．如图4－3－7，折叠矩形ABCD 的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，AB ＝8 cm ，BC ＝10 cm ，那么tan ∠EAF ＝________．14．如图4－3－8，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，∠A ＝30°，D 是边AB 上一点，∠BDC ＝45°，AD ＝4.求BC 的长．(结果保管根号)图4－3－815．如图4－3－9，在Rt △AOB 中，∠AOB ＝90°，OA ＝2，OB ＝1，OA 与x 轴的正方向的夹角为30°，求A ，B 两点的坐标．图4－3－916．如图4－3－10，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，∠BCD ＝45°，点E 在BC 上，且∠AEB ＝60°，假定AB ＝2 3，AD ＝1，求CD 和CE 的长．(结果保管根号)图4－3－1017．如图4－3－11，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的中线，过点A 作AE ⊥CD ，AE 与CD ，CB 区分相交于点H ，E ，AH ＝2CH .(1)求sin B 的值；(2)假设CD ＝5，求BE 的长．图4－3－11详解详析1．(1)c ·sin A c ·cos A(2)b tan B b sin B2．D [解析] ∵∠C ＝90°，∠A ＝40°，∴∠B ＝90°－∠A ＝90°－40°＝50°.又∵tan B ＝AC BC，∴AC ＝BC ·tan B ＝3tan50°. 应选D.3．D [解析] ∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝8，cos B ＝BC AB，即cos30°＝BC 8， ∴BC ＝8×32＝4 3.应选D. 4．解：∠A ＝90°－∠B ＝30°，c ＝a sin A＝16，b ＝a ·tan B ＝8 3. 5．2 2 30 606．解：在Rt △ABC 中，由勾股定理，得c 2＝a 2＋b 2＝22＋(2 3)2＝42，∴c ＝4.∵sin B ＝b c ＝2 34＝32，∴∠B ＝60°.7．60 108．C [解析] ∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∴tan ∠BAC ＝BC AC. 又∵AC ＝30 cm ，tan ∠BAC ＝33， ∴BC ＝AC ·tan ∠BAC ＝30×33＝10 3(cm)． 应选C.9．B [解析] ∵在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝4，∴sin A ＝23＝BC AB ＝4AB，∴AB ＝6，∴AC ＝36－16＝2 5.10．B [解析] 首先解Rt △ABD ，求出AD ，BD 的长，再解Rt △ADC ，求出DC 的长，然后由BC ＝BD ＋DC 即可求解．11．解：∵在Rt △BDC 中，∠BDC ＝45°，BD ＝10 2，∴BC ＝BD ·sin ∠BDC ＝10 2×22＝10. ∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝20，∴sin A ＝BC AB ＝1020＝12， ∴∠A ＝30°.12．D [解析] ∵AB ＝AC ，AD 是∠BAC 的平分线，∴AD ⊥BC ，BD ＝CD ，∴tan B ＝AD BD ＝34，∴AD ＝34BD .∵AD 2＋BD 2＝AB 2， ∴(34BD )2＋BD 2＝102，∴BD ＝8，∴BC ＝16.应选D. 13.12[解析] ∵四边形ABCD 为矩形，∴CD ＝AB ＝8 cm ，AD ＝BC ＝10 cm. ∵折叠矩形ABCD 的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，∴AF ＝AD ＝10 cm ，DE ＝EF ，∠AFE ＝∠D ＝90°.在Rt △ABF 中，BF ＝AF 2－AB 2＝6 cm ，∴FC ＝BC －BF ＝4 cm.设EF ＝x cm ，那么DE ＝x cm ，CE ＝CD －DE ＝(8－x )cm.在Rt △CEF 中，∵CF 2＋CE 2＝EF 2，∴42＋()8－x 2＝x 2，解得x ＝5，即EF ＝5 cm.在Rt △AEF 中，tan ∠EAF ＝EF AF ＝510＝12. 14．解： 设BC ＝x ，在Rt △BCD 中，∠DBC ＝90°，∠BDC ＝45°，∴BD ＝BC ＝x . ∵AD ＝4，∴AB ＝4＋x .在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝x ，AB ＝4＋x .∵tan A ＝BC AB ，即33＝x 4＋x，解得x ＝2 3＋2， ∴BC 的长为2 3＋2.15．解：过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，过点B 作BD ⊥x 轴于点D .在Rt △AOC 中，AC ＝2sin30°＝1，OC ＝2cos30°＝3， 所以点A 的坐标为(3，1)．由于∠AOB ＝90°，∠AOC ＝30°，所以∠BOC ＝60°.同理，BD ＝OB ·sin60°＝32，OD ＝OB ·cos60°＝12. 由于点B 在第四象限，所以点B 的坐标为(12，－32)． 16．解：过点D 作DF ⊥BC ，垂足为F .∵AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，DF ⊥BC ，∴∠BAD ＝∠ABC ＝∠DFB ＝90°，∴四边形ABFD 为矩形，∴DF ＝AB ＝2 3，BF ＝AD ＝1.∵在Rt △DFC 中，∠C ＝45°，∴DF ＝FC ＝2 3，CD ＝2DF ＝2 6，∴BC ＝FC ＋BF ＝AB ＋AD ＝2 3＋1.在Rt △ABE 中，BE ＝AB tan60°＝2， ∴CE ＝BC －BE ＝2 3＋1－2＝2 3－1.即CD ＝2 6，CE ＝2 3－1.17．解：(1)在Rt △ABC 中，∵∠ACB ＝90°， ∴∠CAB ＋∠B ＝90°.∵AE ⊥CD ，∴∠CAH ＋∠ACH ＝90°.∵CD 是斜边AB 上的中线，∴CD ＝AD ，∴∠DAC ＝∠ACD ，∴∠B ＝∠CAH ，∴sin B ＝sin ∠CAH .又∵AH ＝2CH ，∴AC ＝5CH ，∴sin B ＝sin ∠CAH ＝CH AC ＝55. (2)∵CD ＝5，∴AB ＝2 5.∵sin B ＝55， ∴AC ＝2，∴BC ＝4.又∵sin B ＝sin ∠CAH ＝CE AE ＝55，AC ＝2， ∴CE ＝1，∴BE ＝BC －CE ＝4－1＝3.。
九年级数学上册 第4章 锐角三角函数 4.3 解直角三角形练习 (新版)湘教版
4.3 解直角三角形知|识|目|标1．通过探索、讨论，理解解直角三角形的定义与依据．2．通过阅读、自学，掌握已知2个元素(至少有1个是边)求3个未知元素的解法．3．通过转化思想，能把非直角三角形问题转化为直角三角形问题来解决．目标一理解解直角三角形的定义与依据例1 教材补充例题在Rt△ABC中，根据下列条件，可求三角形其他元素的是( ) A．已知a＝5，∠C＝90°B．已知∠B＝48°，∠C＝90°C．已知a＝5，∠B＝48°D．已知∠B＝48°，∠A＝42°[全品导学号：90912121]例2 教材补充例题在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知∠B和a，则有( )A．c＝a cos B B．c＝a sin BC．c＝asin BD．c＝acos B【归纳总结】解直角三角形的条件和依据1．解直角三角形的条件：除直角外，已知两个条件中至少有1个是边．2．解直角三角形的依据：(1)直角三角形两个锐角的互余关系；(2)直角三角形三边之间的关系(勾股定理)；(3)直角三角形边角之间的关系(锐角三角函数)．目标二会解直角三角形例3 教材例1针对训练如图4－3－1，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°，BC＝5，解这个直角三角形．图4－3－1例4 教材补充例题在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝2 3，b＝6，解这个直角三角形．【归纳总结】解直角三角形的类型与解法1．解直角三角形的基本方法：2.计算边时，可按照“有斜用弦，无斜用切”的原则，即若与斜边有关，则使用正、余弦；若与斜边无关，则使用正切．例5 教材补充例题如图4－3－2，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，D是边AB 上一点，∠BDC＝45°，AD＝4.求BC的长(结果保留根号)．图4－3－2【归纳总结】含双直角三角形的问题的解法对于含有公共直角边的双直角三角形问题，一般从特殊角入手，以含特殊角的直角三角形为基本图形，先分析基本图形，将边转移到另外的直角三角形中，再利用其中特殊的边角，结合锐角三角函数的定义构造方程求解．目标三 会把非直角三角形转化为直角三角形求解例6 教材补充例题如图4－3－3，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，sin C ＝35，D 是BC 上一点，且DC ＝AC .(1)求BD 的长的值； (2)求tan ∠BAD .图4－3－3【归纳总结】 非直角三角形转化为直角三角形的解法求不规则图形中的边或角的关键是作出辅助线(高)，构造直角三角形，把斜三角形的问题转化为直角三角形的问题来解决．注意熟练掌握锐角三角函数的定义．知识点一 解直角三角形的定义与依据在直角三角形中，除直角外有5个元素(即3条边、2个锐角)，只要知道其中的2个元素(至少有1个是______)，就可以求出其余的3个未知元素．我们把在直角三角形中利用已知元素求其余未知元素的过程叫作解直角三角形．如图4－3－4，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，设三个内角∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c (以下字母同)，则解直角三角形的主要依据是：(1)三条边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2； (2)两锐角之间的关系：∠A ＋∠B ＝90°；(3)边角之间的关系：sin A ＝cos B ＝a c ，cos A ＝sin B ＝b c ，tan A ＝1tan B ＝ab.图4－3－4知识点二 解直角三角形的方法(1)解直角三角形时，已知一个锐角及邻边，可用______求出斜边，用______求出对边； (2)解直角三角形时，已知一个锐角及对边，可用______求出斜边，用正切求出邻边； (3)解直角三角形时，已知两边，可用勾股定理求出第三边，用正切求出锐角． [点拨] 解直角三角形时，应先分析清楚已知元素与所求元素，可作草图帮助理解，正确寻求能够沟通已知与所求元素之间的函数关系式．分析下列解题过程是否正确？若不正确，请指出错误的原因，并给出正确解法． 问题：在△ABC 中，∠A ＝30°，BC ＝6，AC ＝2 3，求AB 的长．解：如图4－3－5，作出符合题意的几何图形，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，∴∠ADC ＝∠BDC ＝90°.∵sin A ＝CD AC ＝12，且AC ＝2 3，∴CD ＝ 3.又sin ∠CBD ＝CD BC＝36＝22，∴∠CBD ＝45°， ∴tan ∠CBD ＝CD BD＝1， ∴CD ＝BD ＝ 3.∵∠A ＝30°，AC ＝2 3，∴AD ＝AC ·cos A ＝3， ∴AB ＝AD ＋BD ＝3＋ 3.图4－3－5详解详析【目标突破】例1 [解析] C A ．已知一边和一角，一角是直角，Rt △ABC 不可解，不符合题意；B ．没有一条边，Rt △ABC 不可解，不符合题意；C ．已知一边和一角，一角不是直角，Rt △ABC 可解，符合题意；D ．没有一条边，Rt △ABC 不可解，不符合题意．例2 [解析] D 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°， ∵cos B ＝a c ，∴c ＝acos B.例3 解：∵∠C ＝90°，∠B ＝45°， ∴∠A ＝90°－45°＝45°， ∴∠A ＝∠B ， ∴AC ＝BC ＝5. 在Rt △ABC 中，∵cos B ＝cos45°＝BCAB，∴AB ＝BCcos45°＝5 2，∴∠A ＝45°，AC ＝5，AB ＝5 2.例4 解：∵a＝2 3，b ＝6， ∴tan A ＝a b ＝2 36＝33，∴∠A ＝30°，∴∠B ＝90°－30°＝60°，c ＝2a ＝4 3.例5 解：设BC ＝x ，在Rt △BCD 中，∠ABC ＝90°，∠BDC ＝45°，∴BD ＝BC ＝x. 在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，∠A ＝30°，AB ＝4＋x ， ∴tan A ＝BC AB ，即33＝x4＋x ，解得x ＝2 3＋2.∴BC 的长为2 3＋2.例6 解：(1)如图，过点A 作AE ⊥BC 于点E . ∵AB ＝AC ， ∴BE ＝CE .在Rt △ACE 中，AC ＝10，sin C ＝35，∴AE ＝6，从而CE ＝AC 2－AE 2＝8， ∴BC ＝2CE ＝16，∴BD ＝BC －DC ＝BC －AC ＝6.(2)如图，过点D 作DF ⊥AB 于点F . 在Rt △BDF 中，BD ＝6，sin B ＝sin C ＝35，∴DF ＝185，从而BF ＝BD 2－DF 2＝245，∴AF ＝AB －BF ＝265，∴tan ∠BAD ＝DF AF ＝913.备选题型 解非直角三角形例 如图，已知在△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝30°，BC ＝3＋3 3，求AB 的长．[解析] 过点A 作AD ⊥BC 于点D ，将特殊角∠B ，∠C 放在两个直角三角形中，再利用相应的锐角三角函数求解．解：过点A 作AD ⊥BC 于点D . ∵∠B ＝45°， ∴AD ＝BD ，AB ＝2BD . 设AD ＝BD ＝x ，在Rt △ADC 中， ∵tan C ＝ADDC ，即x DC ＝33， ∴DC ＝3x . 又∵BC ＝BD ＋DC ， ∴x ＋3x ＝3＋3 3， 解得x ＝3， ∴AB ＝3 2.[归纳总结] (1)在直角三角形中求边长可以从勾股定理和锐角三角函数两个方面考虑． (2)在含有特殊角的非直角三角形中，通常需要作辅助线构造直角三角形来解决问题，通常情况下是以一个特殊角为它的一个锐角构造直角三角形．(3)根据条件中的线段的比或锐角三角函数值，可以设出一个未知数，然后列出方程求解．【总结反思】 [小结] 知识点一 边知识点二 (1)余弦 正切 (2)正弦[反思] 解：解题过程有不正确，错误原因是符合条件的几何图形不是唯一的．正解：情形(1)见题中所给解答，情形(2)如下：过点C 作CD ⊥AB 交AB 的延长线于点D ，∴∠ADC ＝90°.∵sin A ＝CD AC ＝12，且AC ＝2 3，∴CD ＝ 3.又sin ∠CBD ＝CD BC＝36＝22， ∴∠CBD ＝45°， ∴tan ∠CBD ＝CD BD＝1， ∴CD ＝BD ＝ 3.∵∠A ＝30°，AC ＝2 3， ∴AD ＝AC ·cos A ＝3， ∴AB ＝AD －BD ＝3－ 3.综合情形(1)与(2)，得AB 的长为3＋3或3－ 3.。
湘教版-数学-九年级上册-数学4.3解直角三角形同步测试
4.3解直角三角形同步测试一、选择题1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，若AC=4，BC=3，则tan∠ACD的值为（）A. B. C. D.2.若一个三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点，则此三角形一定是（）A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 等腰直角三角形D. 直角三角形3.在△ABC中，AB=5，BC=6，B为锐角且sinB=，则∠C的正弦值等于（）A. B. C. D.4.在△ABC中，∠C=90°，AB=15，sinA=，则BC等于（）A. 45B. 5C.D.5.已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=，AC=3，那么AB的长为( )A. 3sinα；B. 3cosα；C. ；D. ．6.如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，D是AC上一点．若tan∠DBA=，则AD的长为（）A. 2B.C.D. 17.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点M在AC边上，且AM=1，MC=4，动点P在AB边上，连接PC，PM，则PC+PM的最小值是（）A. B. 6 C. D. 78.在△ACB中，AB=10，sinA= ，则BC的长为（）A. 6B. 7.5C. 8D. 不能确定9.在△ABC中，若|sinA-|+（cosB-）2=0，则∠C的度数是（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°10.正比例函数y=kx的图象经过点（3，2），则它与x轴所夹锐角的正弦值是（）A. B. C. D.二、填空题11.如图，已知tanO=，点P在边OA上，OP=5，点M、N在边OB上，PM=PN，如果MN=2，那么PM=________．12.如图，已知点A（5，0），直线y=x+b（b＞0）与y轴交于点B，连接AB，∠α=75°，则b=________．13.在正方形ABCD中，N是DC的中点，M是AD上异于D的点，且∠NMB=∠MBC，则tan∠ABM=________ ．14.在△ABC中，AB=12，AC=13，cos∠B=，则BC边长为________ ．15.如图,河堤横断面如图所示,迎水坡AB的坡比为1：,则坡角∠A的度数为________16.如图，AD⊥CD，∠ABD=60°，AB=4m，∠ACB=45°，则AC=________．17.在△ABC中，AC=6 ，点D为直线AB上一点，且AB=3BD，直线CD与直线BC所夹锐角的正切值为，并且CD⊥AC，则BC的长为________．18.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tanB=，点D，E分别在边AB，AC上，DE⊥AC，DE=6，DB=20，则tan∠BCD的值是________．三、解答题19.某数学兴趣小组，利用树影测量树高．已测出树AB的影长AC为9米，并测出此时太阳光线与地面成30°夹角．（1）求出树高AB；（2）因水土流失，此时树AB沿太阳光线方向倒下，在倾倒过程中，树影长度发生了变化，假设太阳光线与地面夹角保持不变。
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4.3 解直角三角形
基础导练
1.在Rt △ABC 中，∠C=90°，若，∠B=30°，则c 和tan A 的值分别为( )
A.12
B.122.在Rt △ABC 中，∠C=90°，已知a 和A ，则下列关系中正确的是( )
A.c=a sin A
B.c=a/sin A
C.c=a cos A
D.c=a/cos A 3.在直角三角形ABC 中，已知∠C=90°，∠A=40°，BC=3，则AC=( ) 4. A.3sin40° B.3sin50° C.3ta n40° D.3tan50° 4.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°.
(1)已知∠A 和c ，则a= ，b= ； (2)已知∠B 和b ，则a= ，c= .
5.根据下列条件解直角三角形.
(1)在Rt △ABC 中，∠C=90°，c=10，∠B=30°；
(2)在Rt △ABC 中，∠C=90°，b=9，
能力提升
6.如图是教学用直角三角板，边AC=30 cm ，∠C=90°，tan ∠BAC=
3
3
，则边BC 的长为( ) A.303 cm
B.203 cm
C.103 cm
D.53 cm
7.如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=60°，D 是AC 上一点，DE ⊥AB 于E ，且CD=2，DE=1，则BC 的长为( ) A.2
B.
3
3
4 C.23 D.43
8.在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=4，sin A=3
5
，则斜边上的高等于( )
A.64
25
B.
48
25
C.
16
5
D.
12
5
9.在Rt△ABC中，∠C=90°，a=5，则∠B= °，c= .
10.在Rt△ABC中，∠C=90°，根据下列条件解直角三角形：
(1)a=30，b=20； (2)∠B=72°，c=14.
11.∠C=90°，c=0.832 8，b=0.295 4，解这个直角三角形.
12.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，sin A=2
5
，求BC的长和tan B的值.
13.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=3.点D为BC边上一点，且BD=2AD，∠ADC=60°，求△ABC的周长（结果保留根号）.
14.一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，AC=10，试求CD的长.
参考答案
1.D
2.B
3.D
4.(1)c sin A c cos A (2)
b
tanB
b
sinB
5.(1)∵∠C=90°，c=10，∠B=30°，∴b=5.∴∴∠A=90°-∠B=60°.
(2)∵∠C=90°，b=9，=
∵sin A=
a c ==12
，∴∠A=30°，∠B=60°. 6.C 7.B 8.B 9.60°10
10==tan A=
303
202
==1.5，∴∠A ≈56.3°.
∴∠B=90°-∠A ≈33.7°，即，∠A ≈56.3°，∠B ≈33.7°. (2)∠A=90°-72°=18°.
又sin B=
b c ，∴sin72°=14b
.∴b=14×sin72°≈13.3. ∵sin A=a
c
，∴a=14×sin18°≈4.3.
即∠A=18°，b ≈13.3，a ≈4.3. 11.∵sin B=
b c =0.29540.8326
≈0.354 7，∴∠B ≈20°47′.∴∠A=90-∠B ≈90°-20°47′=
69°13′=0.778 6. 12.在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=10，sin A=
BC AB =
2
105
BC =，∴BC=4.
根据勾股定理得：=tan B=
AC BC . 13.在Rt △ACD 中，AC=3,∠ADC=60°∴C △ABC =27+5+3.
14.过点B 作BM ⊥FD 于点M.在△ACB 中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=10，∴∠ABC=30°，BC=AC ×tan60°=10
3.∵AB ∥CF ，∴BM=BC ×sin30°=103×1/2=53，CM=BC ×
cos30°=15.在△EFD 中，∠F=90°，∠E=45°，∴∠EDF=45°，∴MD=BM=53，∴CD=CM-MD=15-53.。