2019届人教B版(文科数学) 空间向量与立体几何 单元测试

阶段质量检测（三） 空间向量与立体几何(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设空间向量a ＝(1,2,1)，b ＝(2,2,3)，则a ·b ＝( ) A ．(2,4,3) B ．(3,4,4) C ．9D ．－5解析：选C ∵a ＝(1,2,1)，b ＝(2,2,3)， ∴a ·b ＝1×2＋2×2＋1×3＝9.2．设l 1的方向向量为a ＝(1,2，－2)，l 2的方向向量为b ＝(－2,3，m )，若l 1⊥l 2，则m 等于( )A ．1B ．2 C.12D ．3解析：选B 若l 1⊥l 2，则a ⊥b ，∴a ·b ＝0， ∴1×(－2)＋2×3＋(－2m )＝0，解得m ＝2.3．已知向量i ，j ， 是一组单位正交向量，m ＝8j ＋3 ，n ＝－i ＋5j －4 ，则m ·n ＝( ) A ．7 B ．－20 C ．28D ．11解析：选C 因为m ＝(0,8,3)，n ＝(－1,5，－4)，所以m ·n ＝0＋40－12＝28. 4．已知二面角αl β的大小为π3，m ，n 为异面直线，且m ⊥α，n ⊥β，则m ，n 所成的角为( )A.π6B.π3C.π2D.2π3解析：选B 设m ，n 的方向向量分别为m ，n . 由m ⊥α，n ⊥β知m ，n 分别是平面α，β的法向量． ∵|cos 〈m ，n 〉|＝cos π3＝12，∴〈m ，n 〉＝π3或2π3.但由于两异面直线所成的角的范围为⎝⎛⎦⎤0，π2， 故异面直线m ，n 所成的角为π3.5．已知空间三点O (0,0,0)，A (－1,1,0)，B (0,1,1)在直线OA 上有一点H 满足BH ⊥OA ，则点H 的坐标为( )A ．(－2,2,0)B ．(2，－2,0) C.⎝⎛⎭⎫－12，12，0D.⎝⎛⎭⎫12，－12，0 解析：选C 由＝(－1,1,0)，且点H 在直线OA 上，可设H (－λ，λ，0)，则BH ―→＝(－λ，λ－1，－1)．又BH ⊥OA ，∴·OA ―→＝0，即(－λ，λ－1，－1)·(－1,1,0)＝0， 即λ＋λ－1＝0，解得λ＝12，∴H ⎝⎛⎭⎫－12，12，0.6．如图，三棱锥SABC 中，棱SA ，SB ，SC 两两垂直，且SA ＝SB ＝SC ，则二面角ABCS 大小的正切值为( )A ．1 B.22C. 2D ．2解析：选C ∵三棱锥SABC 中，棱SA ，SB ，SC 两两垂直，且SA ＝SB ＝SC ，∴SA ⊥平面SBC ，且AB ＝AC ＝SA 2＋SB 2，取BC 的中点D ，连接SD ，AD ，则SD ⊥BC ，AD ⊥BC ，则∠ADS 是二面角ABCS 的平面角，设SA ＝SB ＝SC ＝1，则SD ＝22，则tan ∠ADS ＝SA SD ＝122＝2，故选C.7．在空间直角坐标系Oxy 中，i ，j ， 分别是x 轴、y 轴、 轴的方向向量，设a 为非零向量，且〈a ，i 〉＝45°，〈a ，j 〉＝60°，则〈a ， 〉＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：选C 如图所示，设|a |＝m (m >0)，a ＝，PA ⊥平面xOy ，则在Rt △PBO 中， |PB |＝||·sin 〈a ，i 〉＝22m ， 在Rt △PCO 中， |OC |＝||·cos 〈a ，j 〉＝m2，∴|AB |＝m2，在Rt △PAB 中， |PA |＝|PB |2－|AB |2 ＝24m 2－m 24＝m 2， ∴|OD |＝m2，在Rt △PDO 中，cos 〈a ， 〉＝|OD ||OP |＝12，又0°≤〈a ， 〉≤180°，∴〈a ， 〉＝60°. 8.如图，在正四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，AB ＝BC ＝1，动点P ，Q 分别在线段C 1D ，AC 上，则线段PQ 长度的最小值是( )A.23B.33C.23D.53解析：选C 建立如图所示的空间直角坐标系，则A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，C 1(0,1,2)．设点P 的坐标为(0，λ，2λ)，λ∈[0,1]，点Q 的坐标为(1－μ，μ，0)，μ∈[0,1]， PQ ＝(1－μ)2＋(μ－λ)2＋4λ2 ＝2μ2＋5λ2－2λμ－2μ＋1 ＝5⎝⎛⎭⎫λ－15μ2＋95⎝⎛⎭⎫μ－592＋49， 当且仅当λ＝19，μ＝59时，线段PQ 的长度取得最小值23.二、填空题(本大题共7小题，多空题每空3分，单空题每题4分，共36分) 9．已知向量a ＝(1,2,3)，b ＝(－2，－4，－6)，|c |＝14，若(a ＋b )·c ＝7，则a 与c 的夹角为________，|a |＝________.解析：设向量a ＋b 与c 的夹角为α， 因为a ＋b ＝(－1，－2，－3)，|a ＋b |＝14， cos α＝(a ＋b )·c |a ＋b ||c |＝12，所以α＝60°.因为向量a ＋b 与a 的方向相反，所以a 与c 的夹角为120°，|a |＝12＋22＋32＝14. 答案：120°1410．已知a ＝(3λ，6，λ＋6)，b ＝(λ＋1,3,2λ)为两平行平面的法向量，则λ＝________，a 的同向单位向量为________．解析：由题意知a ∥b ，∴3λλ＋1＝63＝λ＋62λ，解得λ＝2.∴a ＝(6,6,8)，|a |＝234，∴a 的同向单位向量为a |a |＝⎝⎛⎭⎫33434，33434，23417.答案：2⎝⎛⎭⎫33434，33434，2341711．若a ＝(2,3，－1)，b ＝(－2,1,3)，则a －b ＝________.以a ，b 为邻边的平行四边形的面积为________．解析：a －b ＝(4,2，－4)，cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－27，得sin 〈a ，b 〉＝357，则S ＝|a ||b |sin〈a ，b 〉＝6 5.答案：(4,2，－4) 6 512．在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A 1到截面AB 1D 1的距离为________，三棱锥AA 1B 1D 1的体积为________．解析：建立如图所示的空间直角坐标系． 则A (2,0,0)，B 1(2,2,4)，D 1(0,0,4)，A 1(2,0,4)，＝(0,2,4)，＝(－2,0,4)，＝(0,0,4)．设平面AB 1D 1的法向量n ＝(x ，y ， )，则⎩⎪⎨⎪⎧·n ＝0，·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y ＋4z ＝0，－2x ＋4z ＝0， 令x ＝2，得n ＝(2，－2,1)． 所以A 1到平面AB 1D 1的距离为d ＝|AA 1―→·n ||n |＝43. VAA 1B 1D 1＝13×12×2×2×4＝83.答案：43 8313．三棱柱ABCA 1B 1C 1中，底面ABC 为正三角形，侧棱长等于底面边长，A 1在底面的射影是△ABC 的中心，则AB 1与底面ABC 所成角的正弦值等于________．解析：如图，设A 1在底面ABC 内的射影为O ，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．设△ABC 边长为1， 则A⎝⎛⎭⎫33，0，0，B 1－32，12，63，∴＝⎝⎛⎭⎫－536，12，63.又平面ABC 的法向量n ＝(0,0,1)， 则AB 1与底面ABC 所成角α的正弦值为sin α＝|cos 〈，n 〉|＝637536＋14＋69＝23.答案：2314．在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，若＝a＋2b＋3c，则abc ＝________.解析：∵＝＋＋＝a＋2b＋3c ，∴a ＝1，b ＝12，c ＝－13.∴abc ＝－16.答案：－1615．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝1，EF ∥BC 且AE ＝2EB ，G 为BC 的中点， 为AF 的中点．沿EF 将矩形折成120°的二面角AEFB ，此时 G 的长为________．解析：如图，过 作 M ⊥EF，垂足M 为EF 的中点，则向量与的夹角为120°，〈，〉＝60°. 又＝＋＝＋， ∴＝＋＋2·＝1＋1＋2×1×1×cos 60°＝3. ∴||＝ 3.答案： 3三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分14分)已知a ＝(x,4,1)，b ＝(－2，y ，－1)，c ＝(3，－2， )．a ∥b ，b ⊥c ，求：(1)a ，b ，c ；(2)a ＋c 与b ＋c 夹角的余弦值． 解：(1)因为a ∥b ，所以x －2＝4y ＝1－1，解得x ＝2，y ＝－4，则a ＝(2,4,1)，b ＝(－2，－4，－1)． 又b ⊥c ，所以b ·c ＝0，即－6＋8－ ＝0， 解得 ＝2，于是c ＝(3，－2,2)．(2)由(1)得a ＋c ＝(5,2,3)，b ＋c ＝(1，－6,1)， 设a ＋c 与b ＋c 夹角为θ， 因此cos θ＝5－12＋338·38＝－219.17．(本小题满分15分)如图，在四棱锥PABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD ＝DC ，E ，F 分别是AB ，PB 的中点．(1)求证：EF ⊥CD ；(2)求DB 与平面DEF 所成角的正弦值．解：(1)证明：以D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 所在直线分别为x 轴，y 轴， 轴建立空间直角坐标系如图．设AD ＝a ，则D (0,0,0)，A (a,0,0)，B (a ，a,0)，C (0，a,0)， E ⎝⎛⎭⎫a ，a2，0，P (0,0，a )， F ⎝⎛⎭⎫a 2，a 2，a 2. ∵＝⎝⎛⎭⎫－a 2，0，a2·(0，a,0)＝0. ∴，∴EF ⊥CD .(2)设平面DEF 的法向量为n ＝(x ，y ， )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·＝0，n ·＝0，即⎩⎨⎧(x ，y ，z )·⎝⎛⎭⎫a 2，a 2，a 2＝0，(x ，y ，z )·⎝⎛⎭⎫a ，a 2，0＝0，即⎩⎨⎧a2(x ＋y ＋z )＝0，ax ＋a2y ＝0.取x ＝1，则y ＝－2， ＝1，∴n ＝(1，－2,1)，∴cos 〈，n 〉＝·n||·|n |＝a 2a ·6＝36.设DB 与平面DEF 所成角为θ，则sin θ＝36.18．(本小题满分15分)已知四棱锥PABCD 的底面是直角梯形，AB ∥DC ，∠DAB ＝90°，PD ⊥底面ABCD ，且PD ＝DA ＝CD ＝2AB ＝2，M 点为PC 的中点．(1)求证：BM ∥平面PAD ；(2)在平面PAD 内找一点N ，使MN ⊥平面PBD .解：(1)证明：∵PD ⊥底面ABCD ，CD ∥AB ，CD ⊥AD . ∴以D 为原点，DA ，DC ，DP 分别为x 轴、y 轴、 轴建立空间直角坐标系(如图所示)．由于PD ＝CD ＝DA ＝2AB ＝2，所以D (0,0,0)，A (2,0,0)，B (2,1,0)，C (0,2,0)，P (0,0,2)，M (0,1,1)，∴＝(－2,0,1)，＝(0,2,0)，∵⊥平面PAD ，∴是平面PAD 的法向量，且·＝0，又BM ⊄平面PAD . ∴BM ∥平面PAD .(2)设N (x,0， )是平面PAD 内一点，则＝(x ，－1， －1)，＝(0,0,2)，＝(2,1,0)，若MN ⊥平面PBD ，则⎩⎪⎨⎪⎧·＝0，·＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2(z －1)＝0，2x －1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，z ＝1.∴在平面PAD 内存在点N ⎝⎛⎭⎫12，0，1，使MN ⊥平面PBD .19.(本小题满分15分)四棱锥PABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AC ⊥DB ，∠CAD ＝60°，AD ＝2，PD ＝1.(1)证明：AC ⊥BP ；(2)求二面角CAPD 的平面角的余弦值．解：(1)证明：∵PD ⊥底面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， ∴AC ⊥PD .又AC ⊥BD ，BD ∩PD ＝D .∴AC ⊥平面PBD ，又BP ⊂平面PBD ，∴AC ⊥BP .(2)设AC ∩BD ＝O ，以O 为坐标原点，OD ，OA 所在直线分别为x 轴，y 轴建立如图空间直角坐标系Oxy ，则O (0,0,0)，D (3，0,0)，A (0,1,0)，P (3，0,1)，∴＝(0,1,0)，＝(3，0,1)，＝(3，－1,0)，＝(0,0,1)．设平面ACP 的法向量m ＝(x 1，y 1， 1)， 平面ADP 的法向量n ＝(x 2，y 2， 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧m ·＝0，m ·＝0得⎩⎨⎧y 1＝0，3x 1＋z 1＝0.取x 1＝1，则m ＝(1,0，－3)．同理，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·＝0.n ·＝0得n ＝(1，3，0)． ∴cos 〈m ，n 〉＝m·n |m ||n |＝12×2＝14. ∴二面角CAPD 的平面角的余弦值为14.20.(本小题满分15分)(2016·浙江高考)如图，在三棱台ABCDEF 中，平面BCFE ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°，BE ＝EF ＝FC ＝1，BC ＝2，AC ＝3.(1)求证：BF ⊥平面ACFD ；(2)求二面角BADF 的平面角的余弦值．解：(1)证明：延长AD ，BE ，CF 相交于一点 ，如图所示． 因为平面BCFE ⊥平面ABC ，平面BCFE ∩平面ABC ＝BC ，且AC ⊥BC ，所以AC ⊥平面BCFE ，又因为BF ⊂平面BCFE ， 因此BF ⊥AC .又因为EF ∥BC ，BE ＝EF ＝FC ＝1，BC ＝2，所以△BC 为等边三角形，且F 为C 的中点，则BF ⊥C .又AC ∩C ＝C ，所以BF ⊥平面ACFD .(2)法一：过点F 作FQ ⊥A 于Q ， 连接BQ .因为BF ⊥平面ACFD ，所以BF ⊥A ，则A ⊥平面BQF ，所以BQ ⊥A . 所以∠BQF 是二面角BADF 的平面角． 在Rt △AC 中，AC ＝3，C ＝2， 得A ＝13，FQ ＝31313.在Rt △BQF 中，FQ ＝31313，BF ＝3， 得cos ∠BQF ＝34. 所以二面角BADF 的平面角的余弦值为34. 法二：取BC 的中点O ，连接 O ， 则 O ⊥BC .又平面BCFE ⊥平面ABC ，所以 O ⊥平面ABC .以点O 为原点，分别以射线OB ，O 的方向为x 轴， 轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxy .由题意得B (1,0,0)，C (－1,0,0)， (0,0，3)， A (－1，－3,0)，E ⎝⎛⎭⎫12，0，32，F ⎝⎛⎭⎫－12，0，32.因此＝(0,3,0)，＝(1,3，3)，＝(2,3,0)．设平面ACFD 的法向量为m ＝(x 1，y 1， 1)，平面ABED 的法向量为n ＝(x 2，y 2， 2)．由⎩⎨⎧·m ＝0，·m ＝0得⎩⎨⎧3y 1＝0，x 1＋3y 1＋3z 1＝0，取m ＝(3，0，－1)；由⎩⎪⎨⎪⎧·n ＝0， ·n ＝0得⎩⎨⎧2x 2＋3y 2＝0，x 2＋3y 2＋3z 2＝0，取n ＝(3，－2，3)．于是cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝34.3所以二面角BADF的平面角的余弦值为4.。