小波分析课程论文
小波分析论文
小波分析理论及其应用胡安兴（武汉工业学院土木工程与建筑学院，交通091,学号090606119）摘要：小波分析的理论与方法是从Fourier分析的思想方法演变而来的。
就象Fourier 分析分为积分Fourier变换和Fourier级数一样，小波分析也分为(积分)小波变换和小波级数两部分，(积分)小波变换的主体是连续小波变换，多尺度小波变换和s－进小波变换；而小波级数的主体部分是关于小波框架的理论。
小波分析理论深刻，应用广泛，并且仍在迅速发展之中。
本文介绍了小波变换的来源及其发展，以及多分辨率分析的问题，小波分析在图像处理中有非常重要的应用。
关键词：小波分析；多分辨率；图像去噪The wavelet analysis theory and its applicationsHU An-xing(Wuhan institute of industrial, civil engineering and architecture institute, traffic civil 091 Student number: 090606119)Abstract:Wavelet analysis theory and method has evolved from the thinking method of Fourier analysis. As Fourier transform and Fourier series is divided into integral Fourier analysis, wavelet analysis is divided into (integral) two parts, the wavelet transform and wavelet series (integral) the body of the wavelet transform is a continuous wavelet transform and multi-scale wavelet transform and s - into the wavelet transform; And the main body of the wavelet series is about wavelet frame theory. Wavelet analysis theory, applications, and are still in rapid development. This paper introduces the source and development of wavelet transform, and multiresolution analysis, wavelet analysis has very important applications in image processing.Key words: Wavelet analysis; multi- resolution ratio; Image denoising1 引言1.1 问题的提出Fourier变换只能告诉我们信号尺度的范围，而无法给出信号的结构以及它蕴含的大小不同尺度的串级过程，即Fourier变换在时空域中没有任何分辨率。
小波分析及其应用
小波分析及其应用论文仿真文献为《小波包在图像边缘检测中的应用》流程图：开始调入图像图像分解边缘检测水平检测垂直检测平面卷积输出结果算法说明：所谓正交小波包，粗略地说，是一函数族，由他们可构成L2(R)的标准正交基库。
所谓正交基库，也就是说，从此库中可以选择出L2(R)的许多组标准正交基，通常的小波正交基只是其中的一组，而小波函数正是这函数族中的一个，所以小波包是小波函数的推广和延伸。
设令),()(),()(10x x u x x u φϕ==)2(2)2(2122k x u g u k x u h u zk n k n zk n k n -=-=∑∑∈+∈其中{}{}k k g h 和为式中的共轭滤波器。
我们称函数族{)(x u n |}+∈Z n 为相对于止交尺度函数)(x ϕ的正交小波包。
小波包对图像分解作多分辨率分解是在小波函数对图像的分解基础上发展起来的，通过水平和垂直滤波，小波包变换将原始图像分为4个子带：水平和垂直方向上的低频子带，水平和垂直方向上的高频子带。
继续对图像的低频子带和高频子带进行分解就可以得到图像的小波包分解结构，如图所示：S1A 1D 2AA 2DA 2AD 2DD 3AAA 3DAA 3ADA 3DDA 3AAD 3DAD 3ADD 3DDD 图像的小波包分解结构示意图由图可见，分解级数越大，也就是选择的小波包尺度越大，小波包系数对应的空间分辨率就越低，利用这一点，可以在不同的空间分辨率上进行分析，实现图像的降噪、图像压缩以及图像增强和图像边缘检测等各种处理工作。
在边缘检测中，常用的一种模板是Sobel 算子。
Sobel 算子有两个，一个是检测水平边缘的；另一个是检测垂直边缘的，与其它算子相比。
Sobel 算子对于像素的位置的影响做了加权，因此效果更好。
由于Sobel 算子是滤波算子的形式，用于提取边缘，可以利用快速卷积函数，简单有效，因此应用广泛。
Sobel 算子是一组方向算子，从不同的方向检测边缘。
毕业设计(论文)-基于小波图像去噪的方法研究[管理资料]
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毕业论文基于小波变换的图像去噪方法的研究学生姓名： 学号：学系 专 指导教师：2011年 5 月基于小波变换的图像去噪方法的研究摘要图像是人类传递信息的主要媒介。
然而,图像在生成和传输的过程中会受到各种噪声的干扰,对信息的处理、传输和存储造成极大的影响。
寻求一种既能有效地减小噪声,又能很好地保留图像边缘信息的方法,是人们一直追求的目标。
小波分析是局部化时频分析,它用时域和频域联合表示信号的特征,是分析非平稳信号的有力工具。
它通过伸缩、平移等运算功能对信号进行多尺度细化分析,能有效地从信号中提取信息。
随着小波变换理论的完善,小波在图像去噪中得到了广泛的应用,与传统的去噪方法相比小波分析有着很大的优势,它能在去噪的同时保留图像细节,得到原图像的最佳恢复。
本文对基于小波变换的图像去噪方法进行了深入的研究分析,首先详细介绍了几种经典的小波变换去噪方法。
对于小波变换模极大值去噪法,详细介绍了其去噪原理和算法,分析了去噪过程中参数的选取问题,并给出了一些选取依据;详细介绍了小波系数相关性去噪方法的原理和算法;对小波变换阈值去噪方法的原理和几个关键问题进行了详细讨论。
最后对这些方法进行了分析比较,讨论了它们各自的优缺点和适用条件,并给出了仿真实验结果。
在众多基于小波变换的图像去噪方法中,运用最多的是小波阈值萎缩去噪法。
传统的硬阈值函数和软阈值函数去噪方法在实际中得到了广泛的应用,而且取得了较好的效果。
但是硬阈值函数的不连续性导致重构信号容易出现伪吉布斯现象;而软阈值函数虽然整体连续性好,但估计值与实际值之间总存在恒定的偏差,具有一定的局限性。
鉴于此,本文提出了一种基于小波多分辨率分析和最小均方误差准则的自适应阈值去噪算法。
该方法利用小波阈值去噪基本原理,在基于最小均方误差算法LMS和Stein无偏估计的前提下,引出了一个具有多阶连续导数的阈值函数,利用其对阈值进行迭代运算,得到最优阈值,从而得到更好的图像去噪效果。
《2024年结合小波分析及优化理论的组合预测方法及应用》范文
《结合小波分析及优化理论的组合预测方法及应用》篇一一、引言随着信息技术的飞速发展，预测技术日益显现出其重要价值。
特别是在经济、气象、金融等多个领域，对数据信息的精准预测变得尤为关键。
小波分析作为一种新型的信号处理方法，已在诸多领域展现出强大的性能。
本文将详细介绍一种结合小波分析与优化理论的组合预测方法，探讨其理论基础及其在各领域的应用情况。
二、小波分析理论及其应用小波分析是一种时频局部化分析方法，能够同时提供信号的时间和频率信息。
它通过将信号分解为一系列小波函数的叠加，实现对信号的细致分析。
在预测领域，小波分析能够有效地提取数据中的有用信息，为预测提供准确的数据支持。
三、优化理论及其在预测中的应用优化理论是一种通过数学方法寻找最优解的理论。
在预测领域，优化理论主要用于对预测模型进行优化，以提高预测的准确性和效率。
通过引入优化理论，可以有效地解决预测模型中的参数估计、模型选择等问题。
四、结合小波分析及优化理论的组合预测方法本文提出的组合预测方法，是将小波分析与优化理论相结合，形成一种新的预测方法。
该方法首先利用小波分析对原始数据进行预处理，提取出数据中的有用信息；然后通过优化理论建立预测模型，对提取出的信息进行进一步的处理和优化；最后得出预测结果。
五、组合预测方法的应用1. 经济领域：在股票价格、汇率等金融市场的预测中，组合预测方法能够有效地提取市场信息，提高预测的准确性。
通过优化模型参数，可以更好地反映市场的动态变化，为投资者提供有价值的参考信息。
2. 气象领域：在气象预测中，组合预测方法能够准确预测气候变化趋势。
通过对气候数据进行小波分析，提取出气候变化的周期性和趋势性信息；然后通过优化理论建立预测模型，实现对未来气候的准确预测。
3. 其他领域：除了经济和气象领域外，组合预测方法还可以应用于其他领域，如电力、交通、医疗等。
通过提取各领域的特定信息，建立相应的优化模型，实现对各领域的精准预测。
六、结论本文介绍的组合预测方法，结合了小波分析和优化理论的优势，能够有效地提取数据中的有用信息，提高预测的准确性和效率。
小波分析论文
生物医学信号处理论文小波变换分析摘要：小波变换 (wavelet transformation ，WT)是近几年兴起的一种信号处理方法，可用作分析数据压缩和提取有用信息的工具。
在目前的研究中。
db 族小波基在小波中应用最广泛，具有分析近红外光谱这类平滑信号的特性。
其他小波基symmlet 族和coiflet 族等也常被使用。
小波变换在数字图像处理、故障诊断、语音和生物医学信号处理及光谱分析等方面获得了广泛的应用。
关键词：小波变换；研究现状；原理；滤波；应用一、小波理论的发展及研究现状小波分析方法的提出可以追溯到1909年Alfred Haar 提出的小“波”规范正交基。
20世纪70年代，法国地球物理学家Jean Morlet 提出了小波变换的概念，并与法国物理学家Grossman 共同提出连续小波变换的几何体系，其基础是平移和伸缩下的不变性，这使得能将一个信号分解成对空间和尺度(即时间与频率)的独立贡献，同时又不丢失原有信号的信息。
20世纪80年代，法国科学家Y ．Meyer 创造性的构造出具有一定衰减性的光滑函数，他用缩放与平移均为2J (j>0的整数)的倍数构造了2L (R)空间的规范正交基，使小波方法得到真正的发展。
1988年Mallat 将计算机视觉领域内的多尺度分析的思想引入到小波分析中，提出了多分辨率分析的概念，用多分辨率分析来定义小波，给出了构造正交小波基的一般方法和与快速傅立叶变换(FFT)相对应的快速小波算法一Mallat 算法，并将这理论用于图像分析和完全重构。
该算法统一了在此之前构造正交小波基的所有方法。
Mallat 将小波理论与信号处理联系起来，开创了小波理论在信号处理中的应用。
小波分析是在傅立叶分析的基础上发展而来的，它优于傅立叶分析的地方是在时间域和频率域同时具有良好的局部化性质。
由于它对高频成分采用逐渐精细的时域或空域取样步长，从而可以聚焦到对象的任意细节。
其局部化格式随频域自动变换，在高频处取窄的时间窗，在低频处取宽的时间窗，适合处理非平稳信号。
《2024年结合小波分析及优化理论的组合预测方法及应用》范文
《结合小波分析及优化理论的组合预测方法及应用》篇一一、引言随着现代科技的发展，预测问题在各个领域中显得尤为重要。
为了更准确地预测各种现象和趋势，研究者们不断探索新的预测方法。
小波分析作为一种有效的信号处理工具，在预测领域具有广泛应用。
同时，优化理论则为组合预测模型提供了强大的理论支持。
本文将结合小波分析和优化理论，探讨一种组合预测方法及其应用。
二、小波分析简介小波分析是一种在时间-频率平面上对信号进行局部分析的方法。
它通过对信号进行多尺度分解，可以有效地提取信号中的有用信息，并对不同频率成分进行针对性处理。
小波分析在信号处理、图像分析、时间序列分析等领域具有广泛应用。
三、优化理论概述优化理论是一种数学方法，旨在寻找最优解或近似最优解的问题。
在预测领域，优化理论为组合预测模型提供了强大的理论支持。
通过优化理论，我们可以选择合适的预测模型参数，使得预测结果的准确度达到最优。
四、组合预测方法本文提出的组合预测方法结合了小波分析和优化理论。
首先，利用小波分析对原始数据进行多尺度分解，提取不同频率成分的信息。
然后，根据优化理论，选择合适的预测模型参数，对不同频率成分进行预测。
最后，将各频率成分的预测结果进行组合，得到最终的预测结果。
五、应用实例以某股票价格预测为例，本文将该方法应用于实际数据中。
首先，利用小波分析对股票价格数据进行多尺度分解，提取不同时间尺度的价格波动信息。
然后，根据优化理论选择合适的股票价格预测模型参数，如线性回归模型、神经网络模型等。
通过这些模型对不同时间尺度的价格波动进行预测。
最后，将各时间尺度的预测结果进行组合，得到最终的股票价格预测结果。
六、实验结果与分析实验结果表明，本文提出的组合预测方法在股票价格预测中取得了较好的效果。
与传统的单一预测方法相比，该方法能够更准确地捕捉价格波动的不同时间尺度信息，提高了预测的准确度。
同时，通过优化理论选择合适的预测模型参数，使得模型能够更好地适应不同数据集的特点，提高了模型的泛化能力。
基于小波分析的信号处理技术研究
基于小波分析的信号处理技术研究随着现代社会科学技术的不断发展，数字信号处理已成为现代社会中不可缺少的一部分。
在数字信号处理领域中，小波分析是一种非常重要的工具。
它可以对信号进行分析和处理，包括信号的去噪、压缩、过滤、分割等。
下面我们就基于小波分析的信号处理技术进行研究探讨。
一、小波分析概述小波分析（Wavelet Analysis）是一种新型的信号处理技术，它是基于小波变换的信号分析方法。
相比于传统的傅里叶变换方法，小波分析具有更好的时域和频率分辨率，而且可以处理非平稳信号。
小波变换是一种时频分析方法，它可以将一段时间序列信号分解成一系列的小波函数，从而识别出信号的不同特征。
小波分析在许多领域得到了广泛应用，如信号处理、图像处理、模式识别、数据压缩和量化等。
二、小波分析的优势小波分析相比于传统的信号处理方法有很多优势。
首先，它可以分析非平稳信号，这在很多领域中都是非常重要的，如生物信号处理、语音信号处理等。
其次，它可以将信号分解成多个频率分量，并且每个频率分量都有不同的时间和频率分辨率。
这使得小波分析可以精确地分析信号的局部特征。
此外，小波分析还可以适应不同的滤波器和分解层数，这使得小波分析的灵活性非常高。
三、小波分析在信号处理中的应用小波分析在信号处理中有很广泛的应用。
下面我们将分别对小波分析在信号去噪、信号压缩和信号分割中的应用进行探讨。
1、信号去噪小波去噪是指利用小波分析技术对信号进行降噪处理。
利用小波分析可以将原始信号分解成多个频率分量，在低频部分信号中保留有效信号，而在高频部分中滤除噪声信号。
小波去噪的方法相对于传统的去噪方法更加精确且有效。
在语音信号处理、图像处理和生物信号处理等方面都得到了广泛的应用。
2、信号压缩小波压缩是一种有效的信号压缩方法，它可以通过将信号分解成多个频率分量，进而将信号的高频部分进行舍弃，来实现对信号的压缩。
小波压缩方法与传统的压缩方法相比，具有更高的压缩比和更好的保真性能。
小波变换论文
《图像处理与分析》结课论文小波变换及其在图像处理与分析中的应用院（系）名称：遥感信息工程学院专业名称：测绘工程学号：学生姓名：指导老师：二○一三年十一月摘要对小波变换的基本概念进行了简要介绍，分析了小波变换在图像压缩、图像去噪以及图像融合等方面的应用，概述了相关算法原理。
以Matlab为平台，进行了基于小波变换的图像融合实验，并分析了实验结果。
关键词：小波变换图像压缩图像去噪图像融合ABSTRACTThe paper give a brief introduction of wavelet transform’s basic conception and analysis the applications of wavelet transform in image compression, image denoising and image fusion. Then it introduces some algorithms about image prosessing. Finally, give a experiment of image fusion based on wavelet transform, which is programmed in Matlab platform, and analyze the experimental results.Key words: Wavelet transform Image compression Image denoising Image fusion第1章引言当从时域中观察一个信号时，得到的信息是信号随着时间的变化，其幅度的起起伏伏。
但是，如果更进一步想研究起伏速度较快或较慢的部分，就不太容易从时域中信号的波形直接得到所需的信息。
因此，需要将时域中的信号转换到频域中分析。
传统的转换方式是利用傅立叶变换，然而，傅立叶变换潜在的假设了信号是平稳信号。
小波分析及其应用研究
小波分析及其应用研究引言小波分析是一种近年来逐渐被广泛应用的数学工具，它在信号处理、图像处理等领域具有广泛的应用价值。
小波分析能够将一个信号或图像分解成多个小波系数，从而方便地对信号或图像进行频域和时域的分析。
本文旨在探讨小波分析的基本原理及其在信号处理和图像处理领域的应用研究，以期读者能够更好地理解小波分析的应用价值。
小波分析基本原理小波分析的基本原理主要包括小波基函数的选取、小波分解的过程以及小波重构的过程。
小波基函数具有尺度性和移位性，通过这些性质，可以将一个信号或图像从小波基函数展开，得到一系列的小波系数。
小波分解是将信号或图像分解成多个小波系数的过程，从而方便对信号或图像进行频域和时域的分析。
小波重构则是从小波系数出发，恢复原信号或图像的过程。
小波分析在信号处理中的应用小波分析在信号处理领域具有广泛的应用，主要包括信号压缩、去噪以及分类等方面。
小波分析能够将信号分解成多个小波系数，对于那些幅值较小的系数，可以将其置零或近似为零，从而实现信号压缩。
同时，小波分析在信号去噪方面也有着重要的应用，通过将信号分解成多个小波系数，可以有效地去除噪声，提高信号的信噪比。
此外，小波分析还可以应用于信号分类，例如基于小波包的分类方法可以有效地对信号进行分类。
小波分析在图像处理中的应用小波分析在图像处理领域同样具有广泛的应用，主要包括图像压缩、去噪以及分类等方面。
在图像压缩方面，小波分析可以通过将图像分解成多个小波系数，实现图像的压缩，从而减少存储空间的需求。
同时，小波分析在图像去噪方面也有着重要的应用，能够有效地去除图像中的噪声。
此外，小波分析还可以应用于图像分类，例如基于小波包的分类方法可以有效地对图像进行分类。
小波分析作为一种数学工具，在信号处理和图像处理领域具有广泛的应用价值。
通过将信号或图像分解成多个小波系数，可以方便地对信号或图像进行频域和时域的分析。
本文介绍了小波分析的基本原理及其在信号处理和图像处理领域的应用研究，希望读者能够更好地理解小波分析的应用价值。
《2024年结合小波分析及优化理论的组合预测方法及应用》范文
《结合小波分析及优化理论的组合预测方法及应用》篇一一、引言随着信息技术的飞速发展，预测技术在众多领域中扮演着越来越重要的角色。
为了更准确地捕捉数据中的变化趋势和特征，学者们不断探索新的预测方法。
其中，小波分析因其独特的时频分析特性在信号处理领域获得了广泛应用。
本文旨在探讨结合小波分析及优化理论的组合预测方法，并分析其在某些领域的应用。
二、小波分析概述小波分析是一种在时间-频率平面上分析信号的方法，具有多尺度、多分辨率的特点。
其通过使用小波基函数对信号进行展开，可以在不同频段上分析信号的特性。
小波分析对于处理非平稳信号具有独特优势，能够在不同尺度上捕捉信号的局部特征。
三、优化理论简介优化理论是数学的一个分支，主要研究在给定条件下如何寻找最优解。
在预测领域，优化理论可以帮助我们选择合适的模型参数，提高预测的准确度。
通过结合优化理论，我们可以对预测模型进行优化，使其更好地适应实际数据。
四、组合预测方法本文提出的组合预测方法是将小波分析与优化理论相结合。
首先，利用小波分析对原始数据进行多尺度分解，提取出不同频段上的特征信息。
然后，通过优化理论选择合适的模型参数，对每个频段上的数据进行预测。
最后，将各频段的预测结果进行组合，得到最终的预测结果。
五、应用领域1. 金融领域：在金融市场分析中，股票价格、汇率等金融指标的预测对于投资者具有重要意义。
通过结合小波分析和优化理论的组合预测方法，可以更准确地捕捉金融数据的局部变化趋势，提高预测的准确度。
2. 气象领域：气象预测对于农业、交通等领域具有重要影响。
小波分析可以有效地处理气象数据中的非平稳特性，结合优化理论，可以提高气象预测的准确性和稳定性。
3. 医疗领域：在医疗领域，通过对生物信号（如心电图、脑电图等）进行小波分析，可以提取出有用的信息。
结合优化理论，可以建立更准确的生物信号预测模型，为疾病诊断和治疗提供有力支持。
六、案例分析以金融领域为例，本文将结合实际数据，展示组合预测方法的应用过程。
小波分析论文
基于小波分析在图像处理中的应用摘要介绍了图像小波分析的基本理论和基于小波变换的分解与重构原理，利用小波变换对二维图像进行分解，将原始图像分解成不同方向、不同频率成分的子图像。
同时对含噪声图像进行小波分解。
通过选取适当的阈值，对小波分解系数进行阈值量化，再对高低频系数重构，实现图像的去噪。
最后运用MATLAB仿真平台进行仿真验证，仿真结果表明：利用小波分析对图像进行压缩和去噪可以得到非常好的压缩效果和去噪效果。
对工程应用具有一定的借鉴意义。
关键字：小波；图像压缩；图像去噪；1 引言小波分析(Wavelet Analysis)即小波变换是80年代中期发展起来的一门新兴的数学理论和方法，它被认为是傅立叶分析方法的突破性进展，它具有许多优良的特性。
小波变换的基本思想类似于Fourier变换，就是用信号在一族基函数张成的空间上的投影表征该信号。
经典的Fourier变换把信号按三角正、余弦基展开，将任意函数表示为具有不同频率的谐波函数的线性迭加，能较好地刻划信号的频率特性，但它在时空域上无任何分辨，不能作局部分析，这在理论和应用上都带来了许多不便。
小波分析优于傅立叶之处在于，小波分析在时域和频域同时具有良好的局部化性质，因为小波函数是紧支集，而三角正、余弦的区间是无穷区间，所以小波变换可以对高频成分采用逐渐精细的时域或空间域取代步长，从而可以聚焦到对象的任意细节。
因此，小波变换被誉为分析信号的显微镜，傅立叶分析发展史上的一个新的里程碑。
小波分析的应用是与小波分析的理论研究紧密地结合在一起的。
现在，它已经在科技信息领域取得了令人瞩目的成就。
现在，对性质随时间稳定不变的信号，处理的理想工具仍然是傅立叶分析。
但在实际应用中，绝大多数信号是非稳定的，小波分析正是适用于非稳定信号的处理工具。
图像处理是针对性很强的技术，根据不同应用、不同要求需要采用不同的处理方法。
采用的方法是综合各学科较先进的成果而成的，如数学、物理学、心理学、信号分析学、计算机学、和系统工程等。
小波在信号检测中的应用毕业论文
小波在信号检测中的应用毕业论文诚信书我谨在此保证：本人所写的毕业论文(设计)，凡引用他人的研究成果均已在参考文献或注释中列出。
论文(设计)主体均由本人独立完成，没有抄袭、剽窃他人已经发表或未发表的研究成果行为。
如出现以上违反知识产权的情况，本人愿意承担相应的责任。
1 / 48声明人(签名)：年月日摘要小波分析作为最新的时-频分析工具，在信号分析、图像处理、特征提取、故障诊断等各领域得到了广泛的应用。
小波变换具有表征信号局部特征的能力和多分辨率的特征,因此，很适于探测信号中的瞬态和奇异现象, 并可展示其成份。
本文在综述小波变换的基本思想与具体性质和原理的基础上，重点介绍了小波在滚动轴承机械故障检测中的应用。
滚动轴承机械故障信号分析中基函数的不同将导致对信号的观测角度和观测方法的不同，在小波基函数的选取方面Fourier变换、短时Fourier变换和小波变换各自的基函数有着的本质区别。
本文通过比较故障诊断中常用的各种小波基函数的性能和特点，研究不同的故障信号特征与各种小波基函数的在联系。
利用连续小波变换方法将滚动轴承振动信号的特征信息转化为能量谱与尺度的关系，进而建立尺度和能量相对应的特征向量，为滚动轴承的快速诊断提供了新方法。
本文提出一种应用 Daubechies 小波包多层分解、重构提取滚动轴承各部件的故障特征频率和能量特征，通过小波包多层分解确定滚动轴承机械振动的奇异点的方法, 实现故障的精确诊断。
关键词：小波分析、故障诊断、滚动轴承、多层分解AbstractWavelet analysis as the latest time - frequency analysis tool in signal analysis, image processing, feature extraction, fault diagnosis and other fields has been widely used.Characterization of the signal wavelet transform has the ability of local features and characteristics of multi-resolution, therefore, it is very suitable for detection of transient signals and singular phenomenon, even to display its components.General speaking the summary of this paper, the basic ideas of wavelet transform and the specific nature, the most important of this paper is focusing on the waveletapplications of fault detection in the rolling machine.In the mechanical failure of the rolling bearing signal analysis, the different basis functions lead to a differenceof signal point of observing views and observing methods, which are the essential differences among wavelet transform Fourier transform, short-time Fourier transform.In this paper, by comparing the performances and characteristics of3 / 48a variety of common used small-wavelet fonctions in fault diagnosis, I research on the internal relations between different characteristics of the fault signal and wavelet fonctions.Making using of continuous wavelet transform method, this paper changes the characteristics of rolling bearing vibration signal information into the relationship of energy spectrum and measure, coming to the establishment a feature vectorcorresponding toenergy and scale, creats the new method for the rapid diagnosis of rolling bearings. In order to accurately diagnosis of fault type,this paper proposes the application ofmulti-decomposition of Daubechies wavelet packet,reconfiguration of the extraction offault characteristic frequency and energy feature in componentsrolling bearingcomponents, by analysing multi-decomposition of Daubechies wavelet packet, we can clearly see the failurepoint of mechanical vibration in rolling bearing.Key words：Wavelet analysis, fault diagnosis, rolling bearing, multi-decomposition目录摘要Abstract第1章绪论11.1 论文选题背景和意义11.2 论文研究现状11.2.1：小波分析现状11.2.2：机械故障诊断现状71.3 论文研究方法和容11第2章小波分析的理论基础112.1 傅立叶分析与其优缺点112.1.1傅立叶变换(Fourier Transform)112.1.2傅立叶变换的优点与缺点122.2小波分析132.3小波基性能研究152.4针对故障诊断处理的小波分类172.5小波变换对信号奇异性检测的基本原理182.5. 1奇异性的定义182.5. 2小波变换的卷积表达形式192.5. 3小波变换的极值点、过零点与信号奇异性的联系202.6 小波基的选择212.7 最佳小波基的选取212.8 Daubechies小波232.9 小波分解与尺度选择24第3章滚动轴承的故障与诊断技术253.1滚动轴承的结构263.2滚动轴承失效的基本形式263.3滚动轴承故障的振动诊断273.4 滚动轴承的振动机理与故障特征频率283.4.1滚动轴承的振动机理283.4.2滚动轴承各元件单一缺陷的特征频率283.4.3由滚动轴承构造所引起的振动293.4.5滚动轴承的非线性引发的振动303.4.6滚动轴承损伤(缺陷〕而引起的振动30第4章 MATLAB对故障奇异信号进行分析314.1检测第一类间断点314.2检测第二类间断点324.3滚动轴承的保持架机械振动信号的故障分析344.4滚动轴承的外滚道机械振动信号的故障分析364.5滚动轴承的滚道机械振动信号的故障分析37第5章总结与展望40参考文献41至42附录42第1章绪论1.1 论文选题背景和意义在信号处理的领域中，存在众多的频域分析方法，其基本思想都是通过研究信号的频谱特征来得到进行信号处理的基本信息，傅里叶分析方法是一种最古老也是发展最充分的方法，但是傅里叶分析方法的严重不足在于不能表达时域信息，应用很受局限，后来提出的短5 / 48时傅里叶变换虽然可以表达时域信息，但是在空间中的分辨率是固定的，不够灵活，不能反映信号瞬变的特点。
小波分析论文
1 绪论1.1概述小波分析是在近几十年以来发展起来的一种新的时频分析方法。
其典型应用包括齿轮变速控制，起重机的非正常噪声，自动目标所顶，物理中的间断现象等。
由此可知，时频分析应用非常广泛，涵盖了物理学，工程技术，生物科学，经济学等众多领域，而且在很多情况下单单分析其时域或频域的性质是不够的，比如在电力监测系统中，即要监控稳定信号的成分，又要准确定位故障信号。
这就需要引入新的时频分析方法，小波分析正是由于这类需求发展起来的。
在传统的傅立叶分析中，信号完全是在频域展开的，不包含任何时频的信息，这对于某些应用来说是很恰当的，因为信号的频率的信息对其是非常重要的。
但其丢弃的时域信息可能对某些应用同样非常重要，所以人们对傅立叶分析进行了推广，提出了很多能表征时域和频域信息的信号分析方法，如短时傅立叶变换，Gabor 变换，时频分析，小波变换等。
其中短时傅立叶变换是在傅立叶分析基础上引入时域信息的最初尝试，其基本假定在于在一定的时间窗内信号是平稳的，那么通过分割时间窗，在每个时间窗内把信号展开到频域就可以获得局部的频域信息 ，但是它的时域区分度只能依赖于大小不变的时间窗，对某些瞬态信号来说还是粒度太大。
换言之，短时傅立叶分析只能在一个分辨率上进行。
所以对很多应用来说不够精确，存在很大的缺陷。
而小波分析则克服了短时傅立叶变换在单分辨率上的缺陷，具有多分辨率分析的特点，在时域和频域都有表征信号局部信息的能力，时间窗和频率窗都可以根据信号的具体形态动态调整，在一般情况下，在低频部分（信号较平稳）可以采用较低的时间分辨率，而提高频率的分辨率，在高频情况下（频率变化不大）可以用较低的频率分辨率来换取精确的时间定位。
因为这些特定，小波分析可以探测正常信号中的瞬态，并展示其频率成分，被称为数学显微镜，广泛应用于各个时频分析领域。
全文介绍了小波变换的基本理论，并介绍了一些常用的小波函数，它们的主要性质包括紧支集长度、滤波器长度、对称性、消失矩等，都做了简要的说明。
博士学位研究生小波分析及其应用论文作业基于小波分析的声测管弯斜修
博士学位研究生小波分析及其应用论文作业基于小波分析的声测管弯斜修正方法博士研究生：董倩学号：1015205002所在学院：建筑工程学院所学专业：岩土工程研究方向：无损检测二○一五年十二月基于小波分析的声测管弯斜修正方法摘要：声波透射法桩基检测结果的准确性常受到声测管弯斜的影响。
本文详细叙述了声测管弯斜对桩基检测的影响，基于一维小波分析原理，结合声波透射法测管弯斜时检测信号特点，建立了声测管弯斜修正模型。
通过计算机模拟检验发现，在5类常用小波函数中修正效果最好的为Db6小波，修正后的数据不仅消除了声测管弯斜对检测数据的影响，而且保留了检测信号中有用的高频信息，减少了漏判和误判的发生，取得了很好的工程实效。
关键词：小波分析；声测管；修正0 引言随着国家基础设施投资力度的加大和我国城市化进程的推进，高速铁路、民航机高等级公路以及各种高层建筑的建设力度不断加大，而桩基础作为许多建筑的首选或必选基础形式，其应用越来越广泛。
据不完全统计，我国每年用桩量达数百万根。
目前，对混凝土灌注桩的完整性检测主要有：钻芯法，高、低应变动测法和超声波透射法等四种方法，与其他几种方法比较，超声波透射法有其鲜明的特点：检测全面、细致，声波检测的范围可覆盖全桩长的各个横截面，信息量相当丰富，结果较为准确可靠，而且现场操作简便、迅速，不受桩长、长径比的限制，一般也不受场地的限制。
声波透射法以其鲜明的技术特点成为目前混凝土灌注桩（尤其是大直径灌注桩）完整性检测的重要手段。
由于灌注桩是地下结构，人们无法像地面结构那样精确地量取管距。
目前规范要求在用超声透射法对灌注桩桩进行检测时，需保持声测管处于相互平行的状态，用管口距离代表桩身上下各处的管距。
然而由于设计和施工中的种种原因，声测管的倾斜弯曲在实际工程检测中常有发生。
若此时仍以管口距离代表桩身上下各处的管距，那么算得的混凝土声参数必然不准确，往往会导致检测发生漏判、误判、重判、轻判等问题。
小波分析论文：基于小波变换的心电信号自动分析技术
小波分析论文：基于小波变换的心电信号自动分析技术【中文摘要】心电信号是心脏活动过程中产生的生物电信号在体表的反应。
它是临床上诊断心脏疾病的重要手段。
通常,对于心电图进行的人工分析,主观性比较强,工作量巨大。
随着计算机技术的发展,心电信号的自动分析技术的需求开始变成现实。
心电信号的自动分析依赖于准确的心电信号参数。
由于心电信号幅度小,频率低,在采集过程中容易受到外界环境和人体自身的影响。
采集到的心电信号常会夹杂着许多干扰,有时甚至干扰会将正常的心电信号淹没,这给病情的诊断带来很多不便。
同时,由于病人情况各异,会使采集到的心电信号千差万别。
怎样从杂乱的信号中提取出有用的心电信号,得到准确的心电信号参数是心电信号自动分析中的重点。
本文利用提升小波的方法对心电信号进行处理和特征提取。
由于提升小波相对于第一代小波来说,占用系统资源少,适合于在实际应用中进行推广。
首先,利用小波阈值法对心电信号进行去噪处理。
利用小波的方法对心电信号进行多层分解,剔除噪声比重大的层,保留有用信号比重大的层。
通过小波重构,得到去除噪声的心电波形。
然后,对去除噪声的心电信号进行特征波形分析。
利用模极大值法,分别检测出QRS波群,P波,T波的确切位置,得到心电信号的特征参数。
最后,制定检测标准,利用检测到的心电信号参数进行自动分析。
通过利用MIT-BIH数据库数据进行检验,证明算法是可行的。
【英文摘要】Electrocardiograph (abbr. ECG) is thebiological reactions in the body surface in the process of heart activity electrical signals generated. It is an important means of clinically diagnosis of heart disease. As a result, the manual analysis of ECG is much subjective, and the workloads are huge, too. With the development of computer technology, technology demand of automatic analysis of ECG starts to become a reality. Automatic ECG analysis depends on the accuracy of ECG parameters. As small ECG signal amplitude, low frequency, the collection process is vulnerable to the external environment and the body’s own influence. Collected ECG signals often mixed with a lot of interference, and sometimes the normal ECG signals were disturbed, which made the diagnosis of disease much inconvenience. Meanwhile, different patients also made the collected ECG signal different. How to extract the useful ECG signal out of the clutter and getting the accurate ECG signal parameters are the key points of automated analysis of ECG signal.In my dissertation, the method of lifting wavelet in the ECG signal processing and feature extraction is used. The lifting wavelet relative to the first generation wavelet occupies less system resources, so it is suitable for promotion in practical applications. First, ECG signals are denoised by using wavelet thresholding. Wavelet is used for decomposing ECGsignal into layers, in order to removing the significant noise level and retaining the useful signal level. The wavelet reconstructions remove the noise of ECG Second, analyzing the waveform characteristics of denoised ECG signals. Modulus maxima method is used for detecting the exact location of QRS wave group, P wave and T wave, so that the ECG parameters are obtained. Finally, formulating the testing standards, and using the detected ECG signal parameters for automatic analysis. The tests in MIT-BIH database prove that the algorithm is feasible.【关键词】小波分析心电信号自动检测心律失常【英文关键词】wavelet analysis ECG automatic detection arrhythmia【目录】基于小波变换的心电信号自动分析技术摘要4-5Abstract5目录6-9 1. 绪论9-19 1.1 研究背景9-10 1.2 心电图基础知识10-12 1.2.1 心电图产生机理10-11 1.2.2 心电图的典型波形11 1.2.3 心电图的典型间期和典型段11-12 1.2.4 心电信号特点12 1.3 国内外研究现状12-17 1.3.1 心电信号预处理技术的研究现况12-13 1.3.2 波形检测13-16 1.3.3 心律失常自动诊断研究现状16-17 1.4 本文的主要内容及章节安排17-19 2. 小波分析基础知识19-31 2.1 小波分析的历史19 2.2 连续小波变换19-21 2.3 离散小波变换21 2.4 多分辨率分析与Mallat算法21-24 2.4.1 多分辨率分析21-23 2.4.2 Mallat算法23-24 2.5 提升小波24-31 2.5.1 提升小波特性24-25 2.5.2 提升小波步骤25-28 2.5.3 提升方法的实现28-31 3. 心电去噪31-38 3.1 心电信号噪声及其特性31-32 3.2 一般含噪声的信号模型32 3.3 信号和噪声在小波变换下的特性32 3.4 提升小波变换心电信号去噪32-35 3.4.1 心电信号去噪的具体步骤32-33 3.4.2 阈值函数的选取33-35 3.4.3 阈值的选取35 3.5 Matlab仿真分析35-36 3.6 结论36-38 4. 特征提取38-49 4.1 小波变换表征信号突变点的原理38-39 4.2 小波变换检测ECG 波形成分的原理39-40 4.2.1 双正交样条小波滤波器的频段分解40 4.3 心电信号特征波检测40-48 4.3.1 R波检测40-43 4.3.2 R波检测结果43-45 4.3.3 Q波和S波的检测45-46 4.3.4 Q波与S波检测结果46 4.3.5 P波和T波的检测46-48 4.3.6 P波和T波检测结果48 4.4 总结48-49 5. 心律失常自动分析49-54 5.1 心律失常的形成49-50 5.2 冲动起源性心率失常分类50-52 5.2.1 冲动起源性心律失常分类50 5.2.2 冲动起源性心律失常心电图特征50-52 5.3 心律失常分类算法52-54 6. 总结与展望54-55参考文献55-57致谢57-58个人简历、研究生期间发表论文58。
新疆大学硕士学位论文基于小波分析...
新疆大学硕士学位论文基于小波分析的遥感图像特征信息提取方法研究图２．３图像三级分解结构Ｆｉｇ２．３ＴｈｒｅｅＬｅｖｅｌＤｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎＳｔｒｕｃｔｕｒｅｏｆＩｍａｇｅ滤波器组输出四个部分，＾，（竹ｌ，，１２）反映两个方向应水平方向的低频成分，Ｄ÷”厂“，ｔ１２）反映水平方向的低频成分和垂直方向的高频成分，Ｄｙ厂（，ｌｌ，’１２）反映水平方向的高频成分和垂直方向的低频成分，Ｄｙ，（飞，竹２）反映水平方向的高频成分和垂直方向的低频成分。
当将一副图像进行三级分解（ｊ＿３）时，由于每一级处理要经过两次二抽出，因此处理后图像尺寸减到原来的四分之一。
同时一副图像经一级分解后变成四副图像，其中左上角ＬＬ是平滑逼近，其余三副都是细节图像，其中左下角ＬＨｌ为垂直分量，ＨＬｌ为水平分量，Ｉ＇ＩＨｌ为对角分量，进一步分解将图像近似部分按同样规则重新分成四幅子图像，以此类推，其分解结构如图２．３所示。
图像二维多分辨率重构算法是分解算法的逆算法，流程如２．４图所示：新疆大学硕士学位论文基于小波分析的遥感图像特征信息提取方法研究ＡＡＩＩＡｌ｛ＩｌＡＶｌＩＡＤＩｌｌＩＡｌＩＩ｜ＩｌｌＩ｝ＩＶｌｌ¨ＤＡＩ二》题圃ＶｌＨ一一ＤＶ八ｌＩＶＨｌＩＶＶＩｌＶＤＩＩｎＡｌＩＤＪｌＩＩＤＶＩｌＤＤ图２．５二级小波包分解示意图Ｆｉｇ２．５ｓｃｈｅｍａｔｉｃｄｉａｇｒａｍｓｈｏｗｉｎｇｏｆＴｗｏ－ＤｉｍｅｎｓｉｏｎａｌＷａｖｅｌｅｔＰａｃｋｅｔＤｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ小波包算法中，一个关键问题是最佳基的选择，即哪些频段需要作迸一步的分解，而哪些不需要作分解。
一些常用的准则包括香农熵准则、范数准则、能量准则和阈值准则。
根据尺度函数的小波变换的可分离性，小波包变换可通过分别对图像的行和列作一维小波变换来实现。
图２－６为分别经小波变换和小波包变换分解后得到的输出结果。
原图原图的小波分解原图的小波包分解图２．６图像的二级小波分解和小波包分解结果Ｆ垃２．６ＴｗｏＬｅｖｅｌＷａｖｅｌｅｔａｎｄＷａｖｅｌｅｔＰａｃｋｅｔＤｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎＲｅｓｕｌｔｏｆＩｍａｇｅ２．３小波分析在遥感图像处理中的应用小波变换作为信号处理的一种手段，由于其数学理论的先进性，被越来越多的研究学者所重视和应用。
《基于小波分析的车牌识别系统研究》范文
《基于小波分析的车牌识别系统研究》篇一一、引言随着智能交通系统的快速发展，车牌识别技术已成为智能交通系统的重要组成部分。
车牌识别系统能够自动识别车辆车牌信息，为交通管理、车辆追踪等提供重要数据支持。
然而，由于车牌的多样性、复杂性和环境因素的干扰，车牌识别仍然是一个具有挑战性的问题。
本文将基于小波分析技术，对车牌识别系统进行研究，以提高车牌识别的准确性和效率。
二、小波分析技术概述小波分析是一种信号处理技术，其基本思想是将信号分解为一系列小波函数的叠加。
小波分析技术具有多尺度、多分辨率的特点，可以有效地提取信号的局部特征。
在车牌识别系统中，小波分析技术可以用于对车牌图像进行预处理、特征提取和图像重构等环节。
三、车牌识别系统中的小波分析应用1. 车牌图像预处理车牌图像预处理是车牌识别系统中的重要环节，其目的是消除图像中的噪声、提高图像的清晰度。
小波分析技术可以用于车牌图像的滤波、去噪和增强等预处理工作。
通过选择合适的小波基函数和分解层数，可以有效地去除图像中的噪声和干扰信息，提高图像的信噪比和清晰度。
2. 特征提取特征提取是车牌识别系统中的关键环节，其目的是从车牌图像中提取出有效的特征信息。
小波分析技术可以用于车牌图像的特征提取。
通过小波变换，可以将车牌图像分解为多个频带，提取出各个频带的能量、纹理等特征信息。
这些特征信息可以用于后续的分类和识别工作。
3. 图像重构图像重构是车牌识别系统中的另一个重要环节，其目的是将提取出的特征信息重新构建成完整的车牌图像。
小波分析技术可以用于车牌图像的重构。
通过小波逆变换，可以将提取出的特征信息还原为原始的车牌图像，从而实现车牌的准确识别。
四、基于小波分析的车牌识别系统实现基于小波分析的车牌识别系统实现主要包括以下几个步骤：1. 采集车牌图像并进行预处理，消除噪声和干扰信息；2. 对预处理后的车牌图像进行小波变换，提取出各个频带的特征信息；3. 采用合适的分类器对提取出的特征信息进行分类和识别；4. 根据分类和识别的结果，进行车牌图像的重构和输出。
《基于小波分析的车牌识别系统研究》范文
《基于小波分析的车牌识别系统研究》篇一一、引言随着社会的不断进步和科技的快速发展，智能交通系统已经逐渐成为了城市管理的重要组成部分。
车牌识别作为智能交通系统中的关键技术之一，其准确性和效率直接影响到整个系统的性能。
因此，本文将针对基于小波分析的车牌识别系统进行研究，旨在提高车牌识别的准确性和效率。
二、车牌识别系统的基本原理车牌识别系统主要通过图像处理技术对车辆车牌进行识别。
其基本原理包括图像预处理、车牌定位、字符分割和字符识别四个步骤。
在传统的方法中，这些步骤大多依赖于人工设计的特征和复杂的算法。
然而，这些方法往往受到光照、车牌颜色、车牌污损等因素的影响，导致识别准确率不高。
三、小波分析在车牌识别系统中的应用小波分析作为一种强大的信号处理工具，近年来在车牌识别系统中得到了广泛的应用。
小波分析可以通过对图像进行多尺度、多方向的分解，提取出图像中的有用信息。
在车牌识别系统中，小波分析可以应用于以下方面：1. 图像预处理：通过小波变换对图像进行去噪、增强等预处理操作，提高图像的质量，为后续的步骤提供更好的输入。
2. 车牌定位：利用小波变换的多尺度特性，对图像进行多尺度分解，提取出车牌的边缘信息，从而实现车牌的精确定位。
3. 字符分割：通过小波变换对车牌图像进行分割，将车牌上的每个字符分离出来，为后续的字符识别提供基础。
4. 字符识别：利用小波变换提取出字符的特征，结合机器学习等方法进行字符识别。
四、基于小波分析的车牌识别系统实现本文提出了一种基于小波分析的车牌识别系统实现方案。
首先，对输入的图像进行小波变换，提取出有用的信息。
然后，利用多尺度、多方向的特性，实现车牌的精确定位和字符的分割。
最后，结合机器学习等方法，对字符进行识别。
在实现过程中，我们采用了优化的小波变换算法和高效的机器学习模型，以提高系统的准确性和效率。
五、实验结果与分析我们通过实验验证了基于小波分析的车牌识别系统的性能。
实验结果表明，该系统在各种复杂环境下均能实现较高的识别准确率。
《2024年结合小波分析及优化理论的组合预测方法及应用》范文
《结合小波分析及优化理论的组合预测方法及应用》篇一一、引言随着信息技术的飞速发展，预测技术在众多领域中发挥着越来越重要的作用。
为了更准确地预测复杂系统中的数据变化，本文提出了一种结合小波分析及优化理论的组合预测方法。
该方法能够有效地捕捉数据中的非线性变化和波动，同时结合优化理论对预测模型进行优化，从而提高预测的准确性和可靠性。
二、小波分析理论基础小波分析是一种基于信号时频分析的数学工具，它能够有效地捕捉信号中的局部特征和变化趋势。
小波分析的基本思想是将原始信号进行多尺度分解，通过对每个尺度的分析，获取信号的细节信息。
在小波分析中，不同尺度的小波基函数具有不同的时频分辨率，从而能够在不同的时间和频率尺度上对信号进行精确的分析和预测。
三、优化理论的应用优化理论是一种通过数学方法寻找最优解的理论。
在预测模型中，优化理论的应用主要体现在对模型参数的优化和模型的改进上。
通过对模型参数的优化，可以使得模型更好地适应数据的变化，提高预测的准确性。
同时，通过对模型的改进，可以引入更多的信息和知识，提高模型的泛化能力和鲁棒性。
四、组合预测方法的构建本文提出的组合预测方法主要包括两个部分：小波分析和优化理论的应用。
首先，利用小波分析对原始数据进行多尺度分解，获取不同尺度下的特征信息。
然后，通过优化理论对小波分析的结果进行进一步的处理和优化，以获取更准确的预测结果。
具体实现时，可以结合具体的预测任务和数据进行选择合适的尺度划分、小波基函数和优化算法等。
五、组合预测方法的应用本文提出的组合预测方法在多个领域中得到了应用和验证。
例如，在股票价格预测中，通过小波分析捕捉股票价格的变化趋势和波动特征，然后结合优化理论对预测模型进行优化和调整，从而提高了股票价格预测的准确性和可靠性。
在气象预测中，该方法可以有效地捕捉气象数据的非线性变化和波动特征，提高了气象预测的精度和可靠性。
此外，该方法还可以应用于其他领域中，如交通流量预测、经济指标预测等。
论文-浅谈小波分析
浅谈小波分析摘要：小波分析已成为当代最重要的数学工具之一。
本文简要叙述了小波的由来和发展过程，并且阐述了本人对小波的理解，以及进行了小波分析与傅里叶分析之间的比较，最后对小波发展进行一些展望。
关键字：小波变换；傅里叶变换；0．引言当代社会时信息社会，诸多领域都会涉及到信号处理的问题。
长期以来，傅里叶变换一直是信号处理最重要的工具，并且己经发展了一套内容非常丰富并在许多实际问题中行之有效的方法。
但是，傅里叶变换分析方法存在着一定的局限性与弱点，傅里叶变换虽然提供了信号在频率域上的详细特征，却把时间域上的特征完全丢失了。
而在实际中，瞬变信号(非平稳信号)大量存在，对这一类信号进行处理分析，通常需要提取某一时间段(或瞬间)的频域信息或某一频域段所对应的时间信息。
小波变换不仅继承和发展了傅里叶变换的一些思想和理论，也克服了其缺点，是一种比较理想的信号处理的数学工具。
小波变换作为信号处理的一种手段，被越来越多的理论工作者和工程技术人员所重视和应用，并在许多应用中取得了显著的效果，同传统的处理方法相比，产生了质的飞跃，证明了小波技术作为一种调和分析方法，具有十分巨大的生命力和广阔的应用前景。
小波分析虽然已形成了一门独立的学科，但傅里叶分析的方法、理论和命题，是小波分析理论中不可缺少的部分。
前文已指出傅里叶分析是频谱分析，而小波分析是频带分析，二者具有互补的作用。
尽管小波分析具有种种优越性，但对某些信号，傅里叶分析还是适用的、方便的。
小波分析是对傅里叶分析的发展，而傅里叶分析是对小波分析的支撑。
它们同是信号分析中的方法。
小波理论的进一步发展仍然离不开傅里叶分析的理论和方法。
1．小波理论的来源傅里叶分析是一种频谱分析，它能清楚揭示信号()f t的频谱结构，因此在信号分析中长期占据着突出的地位。
但是它也存在着不可避免的缺点，即傅里叶系数是信号()f t在f t在整个时间域上的加权平均。
要想用它们的系数来反映信号()时间域上的局部性质是不可能的，而信号的局部性质无论是在理论研究方面，还是在实际应用方面都是十分重要的。
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傅里叶分析与小波分析Fourier分析简介摘要：本文主要通过介绍关于Fourier分析的相关内容以及它的一些具体应用，来加深对Fourier分析和Fourier变换的认识与理解.关键词：Fourier级数fourier变换及其逆变换Fourier分析1.历史背景及发展概况Fourier(一般译为“傅里叶”)分析, 又称调和分析，是分析数学中18世纪后逐渐形成的一个重要的分支领域.它研究如何将一个函数或者信号表达为基本波形的叠加，亦即函数的Fourier变换及其性质.它研究并扩展Fourier级数和Fourier变换的概念.基本波形称为调和函数，调和分析因此得名.在经历了近两个世纪的发展之后，研究领域已从直线群、圆周群扩展到一般的抽象群.关于后者的研究又称为群上的傅里叶分析，以区别于前者的经典傅里叶分析.在过去两个世纪中，它已成为一个广泛的主题，无论在概念或方法上都广泛地影响着数学其它分支的发展并在诸多领域内得到广泛应用，如信号处理、量子力学、神经科学等等.法国科学家J.-B.-J Fourier由于当时工业上处理金属的需要，从事热流动的研究. 他在题为《热的解析理论》一文中，发展了热流动方程，并且指出如何求解；在求解过程中，他提出了任意周期函数都可以用三角级数来表示的想法. 他的这种思想，虽然缺乏严格的论证，但对近代数学以及物理、工程技术却都产生了深远的影响，成为傅里叶分析的起源.Fourier分析从诞生之日起,就围绕着“f的傅里叶级数究竟是否收敛于f自身”这样一个中心问题进行研究. 当Fourier提出函数可用级数表示时，他的想法还没有得到严格的数学论证，实际的情形人们并不清楚. P.G.L Dirichlet(狄利克雷)是历史上第一个给出函数ƒ(x)的Fourier级数收敛于它自身的充分条件的数学家. 他的收敛判别法,后称为狄利克雷-若尔当判别法. 他证明了在一个周期上分段单调的周期函数f的Fourier级数,在它的连续点上必收敛于f(x)；如果f在x点不连续，则级数的和是(f(x+0)+f(x-0))/2. 顺便指出，狄利克雷正是在研究Fourier级数收敛问题的过程中，才提出了函数的正确概念. 因为在他的判别法中，函数在一个周期内的分段单调性，可能导致该函数在不同区间上的不同解析表示，这自然应当把它们看做同一个函数的不同组成部分，而不是像当时人们所理解的那样，认为一个解析表达式就是一个函数.(G.F.)B. Riemann(黎曼)对Fourier级数的研究也作出了贡献. 他在题为《用三角级》来表示函数》(1854)的论文中，为了使得更广一类函数可以用傅里叶级数来表示，第一次明确地引进并研究了现在称之为黎曼积分的概念及其性质，使得积分这个分析学中的重要概念，有了坚实的理论基础. 他证明了如果周期函数ƒ(x)在［0,2π］上有界且可积，则当n趋于无穷时ƒ的傅里叶系数趋于0. 此外，黎曼还指出，有界可积函数ƒ的傅里叶级数在一点处的收敛性,仅仅依赖于ƒ(x)在该点近旁的性质。
这个非常基本而重要的结果称之为局部性原理.G.G. Stokes(斯托克斯)和P.L.von Seidel(赛德尔)引进了函数项级数一致收敛性的概念以后，傅里叶级数的收敛问题进一步受到了人们的注意. H.E. Heine(海涅)在1870年的一篇论文中指出，有界函数ƒ(x)可以惟一地表示为三角级数这一结论，通常采用的论证方法是不完备的，因为傅里叶级数未必一致收敛，从而无法确保逐项积分的合理性. 这样，就可能存在不一致收敛的三角级数，而它确实表示一个函数. 这就促使G.(F.P.) Cantor(康托尔)研究函数用三角级数表示是否惟一的问题. 这种惟一性问题的研究，又促进了对各种点集结构的探讨. G. Cantor第一次引进了点集的极限点以及导集等概念，为近代点集论的诞生奠定了基础.K.(T.W.) Weierstrass(魏尔斯特拉斯)在1861年首次利用三角级数构造了处处不可求导的连续函数. 他的这一发现震动了当时的数学界,因为长期的直观感觉使人们误认为,连续函数只有在少数一些点上才不可求导. 而不久后，1876年P.D.G. Du Bois-Reymond(杜布瓦－雷蒙)首先发现，存在连续函数，它的傅里叶级数在某些点上发散；后又证明，连续函数的傅里叶级数可以在一个无穷点集上处处发散. 这反面结果的发现提醒人们对傅里叶级数的收敛性应持审慎态度.在进入20世纪后，Fourier分析得到了更多的关注与重视，这也使得对它的研究更加深入更加广泛，具体的将在下面第三部分理论简介中提及.2.基础知识2.1 Fourier级数的两种形式由三角函数系｛cos nx ,sin nx ｝(n =0,1,2,…) 以及函数系(n =0,±1，±2,…) 的正交性，可以得到［0,2π］上的周期函数f(x)的两种Fourier 级数形式：01()(cos sin )2n n n a f x a nx b nx ∞==++∑，其中系数由下面式子给出 201()cos ,0,1,2n a f x nxdx n ππ==⎰ ，201()sin ,1,2n b f x nxdx n ππ==⎰这称为f 的三角级数. 类似地还有如下复级数形式201(),(),0,1,22inx inx n n n f x c e c f x e dx n ππ∞=-∞===±±∑⎰如果f 为周期函数但不是定义在［0,2π］上，则可以通过变量代换使得定义区间变为［0,2π］.2.2 Fourier 变换及其逆变换对于在(,)-∞∞绝对可积的函数f ，f 的Fourier 变换定义为2()()i s x f x e dx F s π∞--∞=⎰. 定义F(s)的逆变换为21()()2i sx F s e ds f x ππ∞-∞=⎰. 有时为了对称，在有些相关的书籍和文章中也将Fourier 变换与逆变换分别写成2121()()(2)i s x F s f x e d x ππ∞--∞=⎰和2121()()(2)i sx f x F s e ds ππ∞-∞=⎰.2.3 卷积及其性质定义函数f 和g 的一维卷积为()*()()()f x g x f u g x u dx ∞-∞=-⎰容易验证卷积具有交换律，结合律，对加法的分配律.类似可定义函数f 和g 的二维卷积为2111111()**()(,)(,)R f x g x f x y g x x y y dx dy =--⎰⎰.一维卷积和二维卷积具有特殊的性质，在函数的Fourier 变换中发挥了重要的作用.2.4 Fourier 变换的性质、定理[1]列表Fourier 变换与逆变换均是线性算子，且它们互为伴随算子. 在2L 空间上具有保范性，也满足Parseval 等式22||()||||()||L L F s f x =.2.5 离散Fourier 变换离散Fourier 变换： 设n S 表示以n 为周期的复数集，那么n S 中的元素{}n n y y ∞=-∞=都可以看成是周期离散信号，y 的离散Fourier 变换定义为{}k k y ∧∞=-∞，k y ∧=10jkn j k j y y ω-∧==∑，其中exp(2/)i n ωπ=，亦即10exp(2/)n j k j y y ikj n π-∧==-∑.对应地，离散Fourier 逆变换为1100exp(2/)jk n n j k k k k y y y ikj n ωπ--∧∧====∑∑.关于Fourier 级数和变换的著作和论文是相当多的，详细的内容在此不再介绍，具体可参阅相关书籍文章.3. 关于Fourier 分析的理论简介长期以来，对Fourier 分析的研究已经得出了许多的结论和成果， 在此仅给出部分结果及其简单介绍，如下.3.1 Lebesgue(勒贝格)积分理论20世纪初，H.L. Lebesgue(勒贝格)引入了新的积分与点集测度的概念，对Fourier 分析的研究产生了深远的影响. 这种积分与测度，现在称为Lebesgue 积分与Lebesgue 测度，已成为数学各分支中不可缺少的重要概念和工具. Lebesgue 用他的积分理论，把上面提到的Riemann 的工作又推进了一步。
例如，根据Lebesgue 积分的性质，任何Lebesgue 可积函数的Fourier 级数，不论收敛与否，都可以逐项积分. 又例如，对于［0,2π］上Lebesgue 平方可积的函数，帕舍伐尔等式成立：.3.2 Fejer(费耶尔)求和法1904年，匈牙利数学家L.Fejer 首次考虑用部分和的算术平均代替级数的部分和，证明了傅里叶级数部分和序列的算术平均，在函数的连续点上,必收敛于函数自身. 这样,通过新的求和法，又能成功地用傅里叶级数表达连续函数. 这无疑是傅里叶级数理论的一个重要进展. Fejer之后，各种求和法相继产生. 一门新的学科分支，发散级数的求和理论，就此应运而生.3.3 Luzin(卢津)问题1913年俄国数学家H.H. Luzin(卢津)在他发表的一篇论文中，提出了如下的猜想：区间[0,2π]上平方可积函数的Fourier级数，在[0,2π]上几乎处处收敛. 这个猜想发表后，引起了世界上许多第一流数学家的关注. 在长长的53年中,这个猜想既不能被证实,也无法被否定. 最后，于1966年,瑞典数学家 L.A.C.Carleson(卡尔森)才以十分精巧的数学论证，证实了卢津猜想.3.4复变函数论方法Fourier级数与单位圆内解析函数的理论有着非常密切的联系. 假设(1)是可积函数f的Fourier级数，简单的计算表明，它是复变量z的幂级数(5)的实部. 另一方面，级数(5)是单位圆内的解析函数,记为F(z). 这样,傅里叶级数(1)可以通过单位圆内解析函数的理论来研究. 这就是傅里叶分析中的复变函数论方法，它是20世纪前半叶研究傅里叶级数的一个重要工具.3.5经典的H p空间概念对Fourier级数进一步的研究使G.H. Hardy(哈代)以及F.(F.) Ries(里斯)兄弟建立单位圆上H p空间的理论. 他们研究了单位圆内使有界的解析函数F(z)，这里0<r<1，而p>0. 这类函数的全体，称为H p空间，它是近代H p空间理论的先驱.通过傅里叶级数刻画函数类是傅里叶分析中的重要课题,著名的帕舍伐尔公式以及里斯-费希尔定理反映了函数类l2(0,2π)的特征. 如果P≠2，则有以下的豪斯多夫-杨定理.豪斯多夫－杨定理设1<p≤2,p┡=p/(p-1),如果ƒ∈l p(0,2π)，C n是ƒ的复傅里叶系数，那么；反之，如果{сn}(-∞<n<∞)是满足的复数列,那么｛сn｝必为中某函数ƒ的傅里叶系数，且.3.6小波分析Fourier级数的一个缺点是，它的构造块是无始无终的周期性正弦波和余弦波. 该方法适合滤除或压缩那些具有近似周期性的波动信号，但对那些具有显著局部特性的信号，正弦波和余弦波就无能为力了. 为了能够对信号的局部特性进行描述与分析，相应地久发展出了另一门学科，即小波分析.3.7群上的Fourier分析把函数ƒ分解为许多个“特殊”函数｛e ixt｝之和的思想，启发人们考虑更为深刻的问题.事实上，从群的观点看，无论是周期函数还是非周期函数，它们的定义域都是拓扑群G，就是说，G有一个代数运算，称为群运算，以及与之相协调的极限运算,称为G的拓扑. Fourier级数或Fourier积分的任务,正是研究G上定义的函数f(x)分解为群上许多“特殊”函数（例如e inx或e itx）之和的可能性,以及通过Fourier系数或Fourier变换来研究f自身的性质.对于一般的拓扑群G,相当于｛e inx｝或｛e itx｝的“特殊”函数是哪种函数；把这种“特殊”函数x(t)代入变换公式(*)，又必须确定G上的测度μ，以求出f的傅里叶变换，这是在群上建立傅里叶分析理论所必须解决的两个基本问题. 对于直线群R=(-∞,∞)，它的“特殊”函数x(t)=e ixt(-∞<x<∞)的特殊性，就在于它们满足以下的三个条件:①x(t+s)=x(t)x(s),②｜x(t)｜=1，③x(t)是t的连续函数. 用群表示论的术语来说,条件①、②、③合起来，正好说明x(t)是群R的一个酉表示，而且进一步可以证明，满足①、②、③的不可约的酉表示的全体就是｛e ixt｝(-∞<x<∞). 对圆周群T而言，T的“特殊”函数全体x n(t)=e(n＝0,±1,±2,…)除满足①～③以外，还满足条件④x n(2π)=1. 从群表示论的观点看，条件①～④合起来,说明T的“特殊”函数正好是群T的酉表示；进一步则可证明，T的一切不可约酉表示正好就是｛e｜n=0,±1,±2,…｝. 这样,寻找一般抽象群G上合适的“特殊”函数的问题,就转化为研究和寻找群G上一切不可约酉表示的问题.对于紧群或局部紧的交换群,群表示论的结果已经相当丰富,相应的“特殊”函数的研究也比较成熟. 至于既非交换又非紧的拓扑群，寻找相应的“特殊”函数，尚是一个值得探索的难题.研究拓扑群上的测度是建立群上傅里叶分析的另一个基本课题，因为群上的积分(11)离不开相应的测度. 以可加的局部紧拓扑群R=(-∞,∞)为例，经典的勒贝格测度的主要特点是:①R中任一紧集的勒贝格测度必为有限;②R中任何可测集的勒贝格测度关于右（或左）平移是不变的. 于是就有这样一个问题必须解决：一般的拓扑群上,具有①、②两条件的测度（现在称为哈尔测度）是否存在？存在的话，是否惟一？这个问题,自1930年以来,经A.哈尔，A.韦伊以及И.М.盖尔范德等人的努力,已经证明，在局部紧的拓扑群上，满足条件①、②的哈尔测度是一定存在的，并且相互间仅差常数倍. 例如，以乘法为群运算的全体正实数构成一拓扑群R+，它的拓扑就是欧氏空间的拓扑, 那么测度dμ=x_1d x就是R+上的哈尔测度. 这是因为，对于任意的,这说明测度dμ=x_1d x关于位移是不变的. 如果进一步求出群R+的一切不可约酉表示，则经过计算，可以证明R+的一切不可约酉表示就是｛x it｜- ∞<t<∞｝。