高中数学说课课件《二项式定理》[整理]-新课标

二项式定理
建瓯一中：吴振旺
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一、教材分析
【教材的地位及作用】 “二项式定理”是高中数学新教材第二册（下B） 第十章第四节，它是安排在排列组合内容后的自成体 系的知识块。实际上，它是初中学习的多项式乘法的 继续，它所研究的是一种特殊的多项式-----二项式乘 方的展开式。它与后面学习的概率理论中的二项分布 有内在联系，利用二项式定理可进一步深化对组合数 的认识，因此，二项式定理起着承上启下的作用，是 本章教学的一个重点。 本小节约需3个课时，本节课是第一课时。
【教学重点、难点、关键】
（1）使学生参与并深刻体会二项式定理的形成 重点：
过程，掌握二项式定理；
（2）能正确应用二项式定理解决一些简单的问题。
难点： （1）二项式系数与组合数之间的联系；
（2）二项展开式的应用及一些易混淆的概念。
突破难点的关键：
（1）利用组合数及性质分析“杨辉三角”中各数的关 系；
含 a 4 的项只能由每个括号取a不取b（或说取0个b） 4 C4 a 4 4 b0 ，系数为；C 0 C0 而得，即 4 含 a 3b的项只能由3个括号取a，余下的1个括号取b而 3 C4 a3 1 b1 ，系数为； C1 C1 得，即 4 含 a 2b2的项只能由2个括号取a，余下的2个括号取b而 2 C4 a 2 2 b2 ，系数为； 4 C2 得，即 C2 含 ab 3的项只能由1个括号取a，余下的3个括号取b而 1 1 3 3 3 C 得，即 C4 a 3 b，系数为；C4
m n
【设计意图 ： 】
（1）、本节课从知识上学习了二项式定理及通 项公式，从方法上通过二项式定理的形成过程， 学会了观察、分析、猜想、归纳（证明）的数
以便今后在应用定理解决问题时
能得心应手。
应用解析：
例：（1）、展开
(1
1 4 ) x
（2）、求 (2a 3b)6 展开式的第3项 （学生练习:）
(3b 2a)6 展开式的第3项 （3）、求
【设计意图 ： 】
例（1）是对二项式定理的简单应用，目的在于 对定理字母a、b所表示的数或式的领会及运用 定理的能力；例（2）、（3）二题着重于学生
思路一：
2
观察下列几个等式：
2 2
(a b) a 2ab b
(a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3
(a b)4 (a b)3 (a b) a4 4a3b 6a2b2 4ab3 b4
提问：
(a b)4 为例，展开式中各项字母的形式是什 (1)、以 么？展开式项的次数是什么？有几项？ ( (2)、a b) 展开式中各项的系数与(a b)3 展开式中 各项的系数有没有关系？
4 含 b4的项只能由4个括号都取b而得，即 C4 b4 ，系数 4 C 为； 4
1 ( 从而可得：a b)4 C40a4 C4a3b C42a2b2 C43ab3 C44b4
提问：(a b) 的展开式怎么写呢？
n
引导学生回答：可以对b分类：
0 不取b，得 Cn a n 1 n1 取1个b，得 Cn a b 2 取2个b，得 Cn a n2b2 ………… 取k个b，得Cnk ank bk ………… 取n-1个b，得 Cnn1abn1 n 取n个b，得 Cn bn
3 3
b) 展开式的各项系数： 由此猜想(a
n
C
1 4
2 4
C
C
4 4
C , C , C , C ,
0 n
1 n
2 n
n n
【设计意图 ： 】
学生对各项是 a b 形式不难猜到，但对二项式系 数不易想到。通过“杨辉三角”中的数字规律，联想 到组合数及性质，进而可用组合数来表示表中的数， r n Cn (r 0,1, 2, n) ，让 , (a 从而猜想 b) 各项系数为 学生的思维从特殊到一般，由迷茫到大悟，使学生深 深体会到数学内在的和谐、对称美。在此，适时对学 生进行爱国主义教育，激发学生的民族自豪感和学习 数学的热情。
帮助学生建构和完善自己的认知结构， 既显得合情合理，又科学严谨。进一 步强化学生的逻辑思维能力和归纳能 力。
完善结论： 把上述探索得到的结果叫做二项式 定理，右边的多项式，共有n+1项， r Cn (r 0,1, 2, n) 叫做二 , 其中各项系数 项式系数，其通项公式为： .
r Tr 1 Cn anrbr 0 r n
【学生情况分析】
授课对象是高二中等程度班级的学生。学生 具有一般的归纳推理能力，学生思维较活跃， 但创新思维能力较弱。在学习过程中，大部分 学生只重视定理、公式的结论，而不重视其形 成过程。 （根据以上分析，结合新课标的理念，制 订如下的教学目标和教学重、难点）。
【教学目标】
使学生掌握二项式定理及推导方法、二项展 1、知识目标：开式、通项公式的特点，并能运用二项式定 理计算或证明一些简单的问题。 在学生对二项式定理形成过程的参与探讨过 2、能力目标： 程中，培养学生观察、猜想、归纳的能力， 以及学生的化归意识与知识迁移的能力。 通过“二项式定理”的学习，培养学生解决 数学问题的兴趣和信心，让学生感受数学内 3、情感目标：在的和谐、对称美及数学符号应用的简洁美， 结合“杨辉三角”，对学生进行爱国主义教 育，激励学生的民族自豪感和为国富民强而 勤奋学习的热情，培养学生勇于探索、勇于 创新的精神。
（2）利用组合的知识归纳二项式系数；
二、教法、学法分析
数学是一门培养人的思维发展的重要学科。因此， 在教学中让学生自己发现规律是最好的途径。正所谓 “学问之道，问而得，不如求而得之，深固之。”本节 课的教法贯穿启发式教学原则以启发学生主动学习，积 极探求为主，创设一个以学生为主体，师生互动，共同 探索的教与学的情境，采用引导发现法，由学生熟悉的 多项式乘法入手，进行分析，又可利用组合的有关知识 加以分析、归纳，通过对二项展开式规律的探索过程， 培养学生由特殊到一般，经过观察分析、猜想、归纳 （证明）来解决问题的数学思想方法，培养了学生观察、 联想、归纳能力。不仅重视知识的结果，而且注重了知 识的发生、发现和解决的过程，贯彻了新课程标准的教 学理念，培育了本节课内容最佳的“知识生长点”，这 对于学生建立完整的认知结构是有积极意义的。
小结 思路一： 由特殊的二项式 来分析猜想一般 (a b)n 展开式 的 思路二： 根据多项式乘法、 结合组合知识，通 过猜想归纳得到
二项式定理：
0 1 (a b) n Cn a n Cn a n 1b Cn a n k b k Cn b n n N * k n
r Cn ，注意与项的系数的区别。 （e）、二项式系数为
布置作业
1、课本作业：Ｐ113 1、（1），2、（2），3、（3）
5
2、思考题：
求 ( x 3x 2) 的展开式中x的系数
2
3、研究性题：
的展开式 中x的系数为19，求 x 2 的系数的最小值及 此时展开式中x7 的系数。
f x 1 x 1 x , m, n N *
r Cn ，注意与项的系数的区别。 （5）、二项式系数为
3 4 3 (1 2 x)7 的第三项是 T4 C7 1 (2x)，其二项式 例如：
3 C3 C7 35，第三项的系数为： 7 23 280 。 系数为：
【设计意图 ： 】
对定理的特点加以说明，可 使学生能熟练掌握定理的特点，
(a b)4
发现每行两端都是１，后一行其它各数是 上一行肩上二数之和。再从一个数等于另二数 m m 之和联想到结合数及其性质： n 1 Cn Cn1， Cm 1 于是各项系数可写成表中形式：
C
C C30 C
0 4 0 2 1 C3
0 1
C
1 2
1 1
C
C
C C
2 3
2 2
C
3 4
4
(3)、你能猜想 (a b) 展开式的形式吗？
n
【设计意图 ： 】
由特殊的二项式来分析猜 n 想一般的(a b) 展开式，培养 学生由特殊到一般的思维方式， 培养学生大胆探索的精神。
发现：
（１）、展开式中各项是 a b i j n 的形 式，可按a（或b）的降幂排成：
i j
对通项公式的掌握，体会二项式定理 (a b) 的
n
展开式中a与b位置不能对换，并注意到例（3） 的结论正是例（2）展开式中的倒数第3项。
应用解析：
例（4）、 a 2b 3c)7的展开式中， a 2b3c 2 项 (可先将其中的二项看成一个整体，再用二 项式定理展开，进而求出其系数，这种解法体现了 化归的意识，但本题如能根据二项式定理的形成过 程中项的系数的探究，可得如下解法：从7个括号的 2 2 2个里取“a”得C7 a ，再从余下的5个括号中的3个取 3 C5 (2b)3 ，最后剩下的2个括号里取“3c” “2b”得 2 C2 (3c)2 得： ，由分步计数原理得： 2 2 3 3 2 2 2 3 2 3 2 2 3 2 C7 a 5 (2b) 2 (3c) 72C7 C5 a b c 15120a b c C C 通过本题的学习，有利于学生对知识的串联、 累积、加工，使学生的思维有一个升华过程，从而 达到举一反三的效果，加深学生对数学本质的理解。
将这n+1个式子相加，可得二项式定理
0 1 (a b)n Cn an Cnan1b Cn ank bk Cn bn n N * k n
【设计意图 ： 】
本环节以问题为中心，由浅入深 地引导学生大胆猜想。利用组合知识，
充分揭示二项展开式的内涵和外延。
说明 ：